INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO

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1 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO CURSO DE MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E GESTÃO ANÁLISE MATEMÁTICA II ELEMENTOS DE ANÁLISE REAL Volue Por : Gregóro Luís I

2 PREFÁCIO O resete teto dest-se or dscl de Aálse Mteátc II do curso de Mteátc Alcd à Ecoo e Gestão do Isttuto Sueror de Ecoo e Gestão. Pr lé d ordge teórc dos tes e estudo o teto clu d o fl de cd cítulo eercícos e resectvs soluções. Os eercícos rcdos co * são de resolução s dfícl odedo ser gordos elos luos édos. Acosel-se cotudo su resolução os luos s teressdos. A or rte dos eercícos cluídos tê sdo utlzdos os últos 30 os s uls rátcs ds dscls de Mteátc dos reros os dos cursos strdos o Isttuto Sueror de Ecoo e Gestão tordo-se ossível referecr su roveêc ; r lé destes á d eercícos orgs e outros que for retrdos ou dtdos d logrf dcd o fl. Cd cítulo te u uerção deedete r os otos teores e roreddes. Ns referêcs fets o teto suetede-se que os otos teores e roreddes ertece o róro cítulo slvo qudo eressete se dcdo o cotráro. Este refáco ão oder terr se u referêc os rofessores que o logo dos últos 60 os cotrur decsvete r trdção que o eso d teátc te est escol de ecoo e gestão. Corredo o rsco de ustete esquecer lgus ct-se qu os Profs. Mr Ferdes Beto Crç Lete Pto Vcete Goçlves José Rero de Aluquerque e Beto Murter. Lso de Mo de 00 Atóo Gregóro Luís II

3 ÍNDICE CAPÍTULO I Prtvs. Geerlddes. Prtvção edt e quse edt.. Prtvção or rtes Prtvção or susttução Eercícos 7 CAPÍTULO II Itegrl de Re e R. Defção e rers roreddes.... Nov defção de tegrl. Equvlêc co teror Codção de tegrldde 3 3. Itrodução Coutos co edd ul segudo Leesgue Codção de tegrldde Iterretção geoétrc do coceto de tegrl Novs roreddes do tegrl de Re Fórul fudetl do cálculo tegrl Itegrl defdo Itegrção or rtes Itegrção or susttução Segudo teore d éd. 44. Itegrs róros de rer eséce 46. Itegrs róros de segud eséce Outros tos de tegrs róros Fuções Bet e G Eercícos 70 CAPÍTULO III Sucessões e séres de fuções. Covergêc oto oto e covergêc ufore Cotudde d fução lte Alcção o cso ds séres de fuções res de vrável rel Alcção às séres de otêcs Dervção e rtvção tero tero Dervção e rtvção tero tero ds séres de otêcs Alcção o cálculo de so de séres Itegrção de séres tero tero Eercícos 09 CAPÍTULO IV Desevolvetos e sére. Sére de Tlor e de Mc-Lur 6 III

4 . Téccs de desevolveto e sére Itrodução.. 9. Oteção rátc de desevolvetos Eercícos 3 CAPÍTULO V Noções toológcs e sucessões e R. Dstâc e vzçs Cocetos toológcos áscos 3 3. Coutos ltdos Potos róros e R Sucessões e R Geerlddes Coceto de lte. Teores fudets Sultes. Teores fudets Eercícos 5 CAPÍTULO VI Ltes e cotudde de fuções e R. Geerlddes Fuções res de vrável vectorl desol Fuções vectors desos de vrável rel Fuções vectors desos de vrável vectorl desol 58. Defção de lte de u fução u oto Codção ecessár e sufcete r estêc de lte ertecete R Sultes Regrs de cálculo de ltes 6 5. Cso ds fuções de A R e R 6 5. Cso ds fuções de A R e R Cotudde otul Descotuddes Cotudde u couto. Proreddes esecs ds fuções cotíus Defção de fução cotíu u couto Geerlzção do teore de Cuc Coeão or rcos Teore de Cuc Fuções cotíus u couto ltdo e fecdo Cotudde d fução vers Cotudde ufore. Teore de Hee Ctor 80. Noção de cotrcção. Teore do oto fo 83. Eercícos 85 CAPÍTULO VII Dervção e dferecção e R. Dervds rcs de fuções res de vráves res 9. Dervds segudo vectores r fuções res de vráves res Dferecldde de fuções res de vráves res 95 IV

5 4. Codção sufcete de dferecldde Dervção rcl e dferecção de fuções de A R e R Dferecldde de u fução coost Fuções oogées Teore dos créscos ftos Iguldde ds dervds sts Eercícos 5 CAPÍTULO VIII Dferecs de orde sueror. Fórul de Tlor e lcções. Dferecs de orde sueror Fórul de Tlor Alcção à deterção de etretes terores Estudo d covedde e cocvdde Eercícos 57 CAPÍTULO IX Fuções defds lctete. Ivertldde. Itrodução Dervds de fuções defds lctete Teores de estêc Cso de u só equção Cso de u sste de equções Ivertldde locl Eercícos 307 CAPÍTULO X Etretes codcodos e R. Itrodução Prer codção ecessár de etrete Potos de estcordde sgulres e ão sgulres Segud codção ecessár de etrete Codções sufcetes de etrete Codções sufcetes. Técc do deterte orldo Geerlddes sore fors qudrátcs res Clssfcção ds fors qudrátcs o couto ds soluções de u sste oogéeo deterdo Deterção de etretes codcodos: eelos Eercícos 36 CAPÍTULO XI Deedêc e deedêc fucos. Cocetos áscos 364. Teores fudets sore deedêc e deedêc fucos Dervção de u deterte fucol Estudo esecl d deedêc ler r s fuções res de vrável rel Eercícos 38 BIBLIOGRAFIA. 384 V

6 VI

7 CAPITULO I PRIMITIVAS. Geerlddes. Prtvção edt e quse edt Sedo f () u fução rel de vrável rel defd o tervlo ão degeerdo I c-se rtv de f () e I qulquer fução F () tl que F () f () r todos os I ; s etreddes do tervlo If I e Su I cso le erteç defção ege que F d () f () e que F e () f () resectvete. Veos lgus eelos: ) F () é u rtv de f () o tervlo ] - + [ ; ) F () log é u rtv de f () / o tervlo ] 0 + [ ; 3) F () log é u rtv de f () / o tervlo ] - 0 [ ; 4) F () e e G() e + são dus rtvs de f () e e ] - + [. Note-se que sedo F 0 () u rtculr rtv de f () e I etão qulquer fução F () F 0 () + k co k costte é gulete rtv de f () o tervlo I : se dervd de F 0 () é f () e I etão té dervd de F () F 0 () + k é f () e I orque dervd de u costte é zero. Iversete é fácl rovr utlzdo u coroláro do teore de Lgrge que sedo F 0 () e F () dus rtvs de u es fução f () e I etão F () - F 0 () k (costte) ou se F () F 0 () + k. E rtculr qulquer rtv d fução ul u tervlo é costte o tervlo e cus orque F 0 () 0 é u rtv d fução ul. As cosderções recedetes ostr que dd u fução f () defd u tervlo I desde que se coeç u su rtculr rtv esse tervlo fc erfetete coecd fíl de tods s rtvs d fução : desgdo or F 0 () u rtculr rtv de f () e I eressão gerl ds rtvs de f () e I é dd or F () F 0 () + k. U rtculr rtv de f () que é usd e dverss lcções é rtv que se ul e certo oto do tervlo I : sedo F 0 () u rtculr rtv de f () e I d eressão gerl ds rtvs de f () e I F () F 0 () + k result co k - F 0 () rtv

8 F () F 0 () - F 0 () que se ul qudo. Veos lgus eelos: ) Sedo f () cos u su rtculr rtv o tervlo ] - + [ é fução F 0 () se. A fíl gerl ds rtvs é F () se + k. Fdo or eelo π / rtv que se ul e π / é fução F () se -. ) Sedo f () e u su rtculr rtv e ] - + [ é fução F 0 () e. A fíl gerl ds rtvs é F () e + k. Fdo or eelo 0 rtv que se ul e 0 é fução F () e -. No que se segue deverão ser tds e cot s segutes coveções: ) Us-se gerlete o síolo P f () r desgr fíl ds rtvs de f (). Por eelo P e e + k. ) Norlete sure-se referêc à costte k escrevedo-se or eelo P e e devedo etão sueteder-se que fução dcd o segudo ero é u ds rtvs de f (). c) Qudo ão se fz referêc elíct o tervlo e que se está rtvr f () deve sueteder-se que se trt do tervlo ou dos tervlos ode f () está defd. Por eelo qudo se ede r clculr P / se se elctr qul o tervlo de rtvção ressuõe-se que se retede o cálculo e ] - 0 [ e té e ] 0 + [ : P / log. O teore segute fudet regrs de rtvção do roduto de u costte or u fução e de u so de fuções: Teore : ) Sedo F () u rtv de f () e I etão k. F () é u rtv de k. f () o eso tervlo ; ) Sedo F ()... F () rtvs de resectvete f ()... f () o tervlo I etão F () F () é u rtv de f () f () o eso tervlo. Solcete: ) P k. f () k. P f () ; ) P [ f () + f () f ()] P f () + P f () P f () Deostrção : A frção d líe ) result de [ k. F ()] k. F () k. f () sedo segud guldde ustfcd or ser F () é u rtv de f (). Quto à frção d líe ) el result de ser [ F () + F () F ()] F () + F () F ()

9 f () + f () f () orque or ótese F () é u rtv de f () (... ). Co o coeceto ds regrs de dervção e ds regrs do teore recedete ode oter-se rtvs de u grde úero de fuções corretes s lcções. Veos lgus eelos ( resetção dos resultdos otreos sere costte k sto é dcreos sere u rtv rtculr e vez d eressão gerl ds rtvs) : ) P c c ( c costte) ; ) P P (/). (/). P / ; 3) P ( ) P + P 3 + P 4 3 4) P ( + ) α ( + ) α + P ( + ) - P + α + se α - log + ; 3 5) P e + P (/). e + (/). P e + (/). e + ; ; 6) P (se + cos ) - cos + se ; 7) P 8) P 9) P rc tg ; log ( + ) ; rc tg ( ) ; 0) P ) P 4.( + ) rc se ( ) ; P - P + log - log +. 3

10 . Prtvção or rtes Se H() e K() fuções derváves o tervlo I e reresete-se or H () e K () s resectvs dervds. N codção de H(). K () ser rtvável o tervlo I ode oter-se u rtv de H (). K() usdo fórul: P H (). K() H(). K() - P H(). K () odedo tor-se o segudo ero qulquer ds rtvs d fução H(). K (). Co efeto dervdo o segudo ero d guldde oté--se : [ H(). K() - P H(). K () ] H (). K() + H(). K () - H(). K () H (). K() o que or defção de rtv ustfc fórul e cus. É est fórul que se se o cdo étodo de rtvção or rtes que ssos eelfcr : ) P. log log P log P log. 4 ) P. e e. - P e. e. - e. NOTA: Neste eelo toou-se H () e e K(). Cso se tvesse otdo or tor H () e K() e fórul ertr oter P. e e - P e e rtv que rece o segudo ero ão é edt. Isto é eor teorcete qulquer dos fctores oss ser todo coo sedo H () rátc u ds dus osslddes ode ser referível à outr. 3) P cos P (cos. cos ) se. cos - P (- se. se ) se. cos + P se se. cos + P ( - cos ) se. cos + - P cos e cosderdo ter sdo todo o segudo ero es rtv de cos que o rero ero result 4

11 . P cos se. cos + P cos se. cos +. 4) P log. log - P.. log. (/). log - P log. log - [. log - P. (/)]. log -. log + P. log -. log Prtvção or susttução Co se regr de dervção de u fução coost ode oter-se o étodo de rtvção or susttução. Adt-se que f () é rtvável o tervlo I e se g(t) u ecção do tervlo J o tervlo I. Costru-se fução (t) f [g(t)]. g (t) o que ressuõe estêc de g (t) e J. Nests codções veos e rero lugr que (t) é rtvável o tervlo J : sedo F() u rtv de f () o tervlo I (que este or ótese) fç-se coosção F [g(t)] e clcule-se resectv dervd {F [g(t)]} f [g(t)]. g (t) (t) t J resultdo que ostr ser F [g(t)] u rtv de (t) e J. Veos e segudo lugr que sedo H(t) u qulquer rtv de (t) e J - á vos que (t) é rtvável - fução que se oté fzedo coosção H [g - ()] é u rtv de f () : st otr que de {F [g(t)]} (t) H (t) result F [g(t)] - H(t) k (costte) e J ; e fzedo coosção de F [g(t)] - H(t) co t g - () result F() H [g - ()] k (costte) e I e dest guldde result que H [g - ()] é u rtv de f () e I or ser F() suostete u rtv de f () o eso tervlo. Eelos de lcção : ) Pr cr P o tervlo ] 0 + [ cosdere-se log t co t o e tervlo ] + [. Te-se 5

12 (t) t t t H(t) P (t) log (t - ) - log t log t t t dode fzedo t e result P H(e ) log e e e ] 0 + [. e Pr cr rtv d es fução s gor o tervlo ] - 0 [ ode usr-se es susttução s gor co t o tervlo ] 0 [. Te-se (t) t t H(t) P (t) log t log t log t t dode fzedo t e result P e H(e e ) log e e ] - 0 [. t t Os dos resultdos otdos ode resur-se u só váldo r os dos tervlos : P e log e e ) Pr cr P e [ - ] ( > 0) ode fzer-se se t co t o tervlo [ -π / π /] : (t). se t. cos t cos t H(t) P cos t. se t. cos t + t (rtvdo or rtes) P H [ rc se (/)].. rc se ( / ) + otedo-se este últo resultdo ós lgus cálculos trgooétrcos eleetres. 6

13 4. Eercícos - Detere u rtv r cd u ds segutes fuções: ) + + ; ) e + 3 ; c) - ; d) 5 ; e) + ; f) + + ; g) e e ; ) ( + ) α ; ) ( ) 5 4 ; ) cos. se ; k) e. ; + α l) ; ) + ( 0) ; ) ; o) 4 + ; ) sec ; q) log ; r) se + se ( ) cos ( / ) ; s). log( + ) + ; t) tg ; u) cotg ; v). log ; ) ( + ) ( 0) ; ). 4 ; z) ; ) cos cos. - Clcule: ) A rtv que se ul r d fução f () + / ; + ) A rtv que to o vlor r 0 d fução f () c) A fução g () que dte dus rtvs G() e H() ts que ; G() - H() e G() + H() se ( ). cos ( ) se cos ; d) As fuções f () e g() ts que u ds rtvs d su so e u ds rtvs d su dfereç se resectvete e. se e. se ; e) A fução g() co doío e R - {} tl que g () /(-) g(0) 0 e g() 3. 7

14 3 - Prtve or decoosção u so de fuções s segutes fuções: ) cos ; ) tg 3 ; c) se. 3 cos ; d) ( ) ; e) ( ) ; f) ; g) ( ) ; ) 3 + ( + )( ) ; ) se ( ) + se + cos cos ; ) + + ; k) tg 3 + tg Prtve or rtes s segutes fuções: ) log ; ) se ; c) rc cos ; d) rc tg ; e) cos. log ( + cos ) ; f). log ; g). se ; ) se 3. cos 4 ; ). log ; ). e ; k). e. log + e ; l). rc tg ( - ) ; ) e. (tg + tg ). 5 - Sedo F() P f () ostre que P f (). [ log F () + ] F(). log F (). 6 - Deduz fóruls de recorrêc r o cálculo de : ) P ( + ) α ( 0 e α ) ; ) P se α ; c) P log ; d) P tg ; e) P. log. 7 - Coo lcção ds fóruls do eercíco teror rtve s segutes fuções: ) ( + ) ; ) se 4 ; c) log ; d) log - log - ; e) tg ; f) tg -3 ; g). log. 8

15 8* - Reresete-se or F () u rtv de. e - ( N) o tervlo [ 0 + [. Prove or dução ft que [ ( ) ( )] l F F + 0!. 9 - Fzedo s susttuções dcds clcule rtvs r s segutes fuções: ) ( se t) ; ) + ( se t) ; c) e [ log ( + t )] ; d) 3 + [ 4 + ( ) ] [ + t e usdo deos fórul de recorrêc do eercíco 6 )] ; e) + ( t ) ; f) / ( + t 4 ) ; / g) e + e / e e (e t ) ; ). + ( + t ) ; ) se cos + + ( rc tg t) ; ) + log (t + log ) ; k) e rc se ( t rc se ) ; l) 3 ) e + e e (t e ). ( se t ) ; RESPOSTAS : - ) ; ) e + 3 ; c) 3 log 5 45 ; d) ( ) / ; e) log + ; 8 f) log ( + ) + rc tg ; g) -. e ; ) Se α.( α) ( + ) Se α log + ; ) Se α α ( + ) α ; Se α log ( + ) ; ) se ; k) e 5 5 α ; ; 9

16 l). log ; ) (/). rc tg (/) ; ) rc se ( / ) ; o) Se 0 (/). rc tg ( / ) ; Se 0 -/ ; ) log tg + sec ; q) (/). log 4 ; r) cos ( 3 / ) ; s) (/). log ( + ) ; t) - log cos ; 3 u) log se ; v) log log ; ) ( ) ; ) ; ( + ) 5. log z) rc se ( - ) ; ) rc tg (se ). - ) (/). log + d) f () ; ) + (/6). rc tg (3 /) ; c) g() - cos ( ) ; ( e + ). se + ( e + ). cos ( e ). se + ( e ). cos g () log ( ) < e) g(). 3 + log( ) > ; se cos 3 - ) +. ; ) (/). tg + log cos ; c) (/). tg 3 - log cotg ; d) ( ) ( ) 4( ) e) log [ 4 + ( - ) ] + (0/4). rc tg [ ( - )/] ; 3 4 ; f) (3/8).( + ) 8 / 3 + (3/). ( + ) / 3 ; log [( ) + 3] g) + rc tg 3 3 ) 4 5 log log + log ; ) se - cos - log cos ; 3 6 ) ( ) ; 5 k) (/3). tg 3 + (/). tg - tg + + log cos. 4 - ). (log - ) ; ) cos. se ; ; c). rc cos - ; d). rc tg - (/). log ( + ) ; e) se. log ( + cos ) + - se ; 3 f).( log / 3) ; g) se -. cos ; ) (/7). cos 7 - (/5). cos 5 ; 3 ) ( /). ( log - /) ; ) e. ( - + ) ; k) e. log ; l). rc tg ( - ) - - log ( - + ) ; ) e. (tg - ). 6 - ) P ( + ) α α 3 + P α.( α ).( + ).( α ) ( + ) α ; 0

17 ) P se α α α α Pse se α α. cos ( α 0) ; c) P log. log -. P log - ; d) P tg tg P tg ( ) ; e) P. log + log P. log ( -) ).( + ) + ( / ). rc tg ; ) (3/8).( - se. cos ) - (/4). se 3. cos ; c). log -.(log - ) ; d). log - ; e) tg - ; f) (-/). tg - - log se ; g) (/7). 3 + (/3). 3. log - (/9). 3. log. rc se 9 - ) +.. ; ) (3/). rc se - ; c). e. rc se e ; d) (/). log [( - ) + 4] + (5/8). rc tg 5-4. ( ) + 4 e) log + ; [ ] 4 4 f) 4. [ ( / ). + / + + / + + / ] g) - 4. log e / - ; log ; ; ) (4/7). ( + ) 7/ - (8/5). ( + ) 5/ + (4/3). ( + ) 3/ ; ). tg (/) + - se ; ) (/3). ( + log ). + log ; k) +. e r c s e ; l) rc se. ; ) - e - 3 e - 3. log - e.

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19 CAPÍTULO II INTEGRAL DE RIEMANN EM R. Defção e rers roreddes Cosdere-se fução f () ltd o tervlo I [ ] ( < ) ltdo e fecdo. Fdo otos e úero fto ts que 0 < < < < - < o couto D { } c-se decoosção do tervlo I [ ]. Est desgção truíd o couto D result do fcto de os otos deterre decoosção de [ ] os segutes sutervlos: [ ] [ ]... [ - ] cu uão dá o tervlo [ ]. Note-se que á u fdde de odos ossíves de fr os otos s codções referds e ss surge turlete fts decoosções ossíves r o tervlo [ ]. O dâetro de u decoosção D { } do tervlo [ ] é or ds dfereçs + - ou se or ds ltudes dos sutervlos e que o tervlo fc decoosto elos otos D. Reresetreos or d(d) o dâetro d decoosção D. Todo e cd sutervlo [ + ] u oto def-se + 0 σ (D) ( ). f ( ) eressão que se desg or so sg ou so de Re d fução f () r decoosção D { } cosderd. Coclu-se co fcldde que σ (D) é u fução fívoc qudo cosderd quer coo fução de D quer coo fução do dâetro d decoosção d Má { + - : }. De fcto cd decoosção D corresode u fdde de sos sg vráves co escol dos otos ; e á té fts decoosções D co o eso dâetro d.

20 Dz-se que λ l d 0 σ (D) se e só se δ > 0 ε ε (δ ) : d(d) < ε σ (D) V δ (λ) ; qudo λ se fto codção recedete ode escrever-se do segute odo: e esse cso: δ > 0 ε ε (δ ) : d(d) < ε σ (D) - λ < δ ) A fução f () dz-se tegrável à Re o tervlo [ ] ; ) Ao lte fto λ c-se tegrl de f () o tervlo [ ] e rereset-se elo síolo f ( ) d síolo este que evdec : ) As etreddes e do tervlo de tegrção; ) A fução tegrd f () ; 3) A vrável de tegrção. Qudo o tervlo de tegrção se degeerdo ( ) fução cosder-se sere coo tegrável or defção e coveco-se que é ulo o vlor do tegrl. Cové oservr que o vlor do tegrl cso fução se tegrável deede do tervlo de tegrção e d fução tegrd s ão d vrável de tegrção sto é f ( ) d f ( u) du f () t dt. Vos estudr segudete lgus roreddes eleetres do tegrl de Re. P : Se f () e g() defds o tervlo [ ] dfere es elo vlor ssudo e certo c [ ] etão s s fuções são coutete tegráves ou ão tegráves o tervlo e e cso de tegrldde f ( ) d g ( ) d Deostrção : Se D { } u qulquer decoosção do tervlo [ ]. As sos + 0 σ g (D) ( ) + 0. g ( ) e σ f (D) ( ). f ( ) 3

21 só dfere o cso esecl de u dos α escoldos ser recsete o vlor c ode s fuções ssue vlor dstto; esse cso esecl σ f (D) - σ g (D) ( α+ - α ). [ f (c) - g(c)]. Portto e gerl se coo for que se escol os α te-se σ f (D) - σ g (D) d. f (c) - g(c) e que d é o dâetro d decoosção D. Adt-se gor que λ l d 0 σ f (D) é fto ou se que f () é tegrável e [ ]. Fdo u vlor δ > 0 este etão u ε ε (δ ) tl que Etão r d < ε te-se d < ε σ f (D) - λ < δ / e d < δ. f ( c) g( c). σ g (D) - λ σ g (D) - σ f (D) + σ f (D) - λ < < d. f (c) - g(c) + δ / < δ / + δ / δ ou se λ l σ g (D) ss se cocludo que g() é té tegrável e [ ] d 0 e que o seu tegrl esse tervlo cocde co o de f (). Trocdo deostrção os es de f () e g() coclu-se que se g() é tegrável o tervlo [ ] té o é f () e te o eso tegrl. A roredde que c de ser deostrd dte o segute Coroláro : Se f () e g() defds o tervlo [ ] dfere es elos vlores ssudos e certos otos c [ ] (... ) e úero fto etão s s fuções são coutete tegráves ou ão tegráves o tervlo e e cso de tegrldde f ( ) d g ( ) d Deostrção : Bst lcr reetdete (u úero fto de vezes) roredde teror. A roredde recedete e o seu coroláro erte lrgr oção de tegrl de u fução f () u tervlo [ ] o cso e que el ão este defd u úero fto de otos do tervlo. Pr tl cosder-se fução g() cocdete co f () os otos do tervlo ode est este defd e co vlores rtráros os otos c [ ] ode f () ão este defd. A tegrldde e o vlor do tegrl 4

22 de g() o tervlo ão deede dos vlores rtráros utlzdos r defr g() os otos c (e úero fto) e etão dz-se que f () é tegrável e [ ] se e só se g() o for e e cso de tegrldde defe-se f ( ) d g ( ) d. P : Sedo f () k (costte) e [ ] f () é tegrável esse tervlo e te-se kd k. ( - ) Deostrção : Pr qulquer decoosção do tervlo [ ] te-se + 0 σ (D) ( ) + 0. F ( ) ( ). k k. ( - ) e ortto kd l d 0 σ (D) k. ( - ) que é o que se reted rovr. P3 : Sedo f () 0 e [ ] e sedo f () tegrável esse tervlo te-se f ( ) d 0 Deostrção : Result edtete do fcto de ser r qulquer decoosção D + 0 σ (D) ( ). f ( ) 0. P4 : Sedo f () e g() tegráves e [ ] etão f () + g() é gulete tegrável esse tervlo e te-se [ ( ) + ( )] f g d f ( ) d + g ( ) d Deostrção : Se λ f e λ g resectvete os tegrs de f () e de g() o tervlo e cus. Ddo u qulquer δ > 0 este etão u ε ε (δ ) tl que d d(d) < ε σ f (D) - λ f < δ / σ g (D) - λ g < δ /. Pr u decoosção D de dâetro feror ε ε (δ ) te-se etão + 0 σ f+g (D) ( ). [ f ( ) + g( )] σ f (D) + σ g (D) dode result σ f+g (D) - (λ f +λ g ) σ f (D) - λ f + σ g (D) - λ g < δ / + δ / δ 5

23 o que ostr ser l d 0 σ f+g (D) λ f +λ g que é o que se reted rovr. O segute coroláro é edto or lcção reetd d roredde teror: Coroláro : Sedo f ()... e úero fto fuções tegráves o tervlo [ ] etão f ( ) é gulete tegrável o tervlo e te-se f ( ) d f ( ) d P5 : Sedo f () tegrável e [ ] e k costte etão k. f () é té tegrável esse tervlo e k. f ( ) d k. f ( ) d Deostrção : Pr u qulquer decoosção D do tervlo te-se + 0 σ k.f (D) ( ). [ k. f( )] k. σ f (D). Sedo f () tegrável o tervlo e cus e λ f o resectvo tegrl te-se δ > 0 ε ε (δ ) : d(d) < ε σ f (D) - λ f < δ / k dtdo que k 0 (co k 0 guldde do teore é evdete). Cosderdo etão u qulquer decoosção de dâetro feror ε te-se o que ostr ser l d 0 σ k.f (D) - k. λ f k. σ f (D) - k. λ f k. σ f (D) - λ f < δ σ k.f (D) k.λ f que é o que se reted rovr. P6 : Sedo f () e g() tegráves e [ ] e f () g() esse tervlo etão f ( ) d g ( ) d Deostrção: Fzedo () g() f () g() + [ -f ()] te-se () 0 e () tegrável o tervlo e cus or ser so de dus fuções tegráves. Pel roredde P3 te-se ( ) d 0 ; s roreddes P4 e P5 erte etão escrever ( ) d g ( ) d- f ( ) d 0 dode se tr edtete desguldde do eucdo. 6

24 . Nov defção de tegrl. Equvlêc co teror Se f () ltd o tervlo ltdo e fecdo [ ] e cosdere-se u qulquer decoosção D { } desse tervlo. Costru-se s sos + 0 S(D) ( ). L co L Su { f () : + } + 0 s(d) ( ). l co l If { f () : + } s qus se desg resectvete or so sueror de Drou e so feror de Drou de f () reltvs à decoosção D cosderd. Ddo que L Su { f () : } L Su { f () : + } l If { f () : } l f { f () : + } + 0 e sedo or outro ldo l L e ( ) que - tr-se se dfculdde l. ( - ) s(d) S(D) L. ( - ). Portto s sos ferores são ords or L. ( - ) e s sos suerores são ords or l. ( - ) estdo etão ftos o sureo do couto ds sos ferores e o ífo do couto ds sos suerores solcete Su {s(d)} e If {S(D)} desgdo-se ts vlores resectvete or tegrl feror de Drou e tegrl sueror de Drou de f () o tervlo [ ] : f ( ) d Su {s(d)} e f d ( ) If {S(D)}. (Itegrl feror de Drou) (Itegrl sueror de Drou) No teore segute estelece-se u relção de desguldde etre os dos tegrs de Drou: Teore : Te-se segute desguldde f ( ) d f ( ) d Deostrção : A deostrção d desguldde se-se o coceto de decoosção s f. Dz-se que u decoosção D de u tervlo [ ] é s f que outr decoosção D do eso tervlo se e só se rer é ford or todos os 7

25 otos d segud e elo eos s u dcol ou se se e só se D D coo sucede o esque que segur se reset: D Potos cous de D e D * Potos dcos de D D * * Dds dus decoosções D e D do tervlo [ ] é sere ossível costrur u decoosção D 3 s f que s rers usdo todos os otos de s ou se D 3 D D coo se eelfc o esque segute : () () () () () () D () Potos de D () () () () ()() D () Potos de D D (3) Potos de D 3 (3) (3) (3)(3)(3) (3)(3) (3) (3)(3) É fácl coclur que sedo D 3 costruíd coo se dcou rtr de D e D são verfcds s segutes desgulddes: s(d ) s(d 3 ) S(D 3 ) S(D ) e s(d ) s(d 3 ) S(D 3 ) S(D ) dode result s(d ) S(D ) qusquer que se s decoosções D e D do tervlo. Não ode ter-se ortto δ > 0 tl que f ( ) d > f ( ) d orque se ss fosse ddo f ( ) d - δ > f ( ) d + δ estr (or defção de sureo e ífo) decoosções D e D ts que s(d ) > f ( ) d - δ > f ( ) d + δ > S(D ) o que ser cotr desguldde s(d ) S(D ) tes estelecd. Só ode ser ortto f ( ) d f ( ) d coo se quer rovr. 8

26 Qudo os tegrs sueror e feror de f () o tervlo [ ] se gus fução dz-se tegrável o setdo de Drou sedo etão o vlor cou o tegrl d fução segudo Drou o tervlo e cus. Vos segudete estelecer equvlêc ds dus defções de tegrl segudo Re e segudo Drou coeçdo or rovr o Teore : Reresetdo or d o dâetro d decoosção D te-se f ( ) d l d 0 s(d) e f ( ) d l d 0 S(D) Deostrção : ) Cosdere-se rero o cso do tegrl sueror e dt-se que f () 0 o tervlo de tegrção. Se λ o vlor do tegrl sueror e cosdere-se u qulquer δ > 0. Coo λ é o ífo ds sos suerores de Drou este u decoosção D 0 do tervlo de tegrção r qul S(D 0 ) < λ + δ /. Se q o úero de otos de D 0 terores do tervlo de tegrção e fç-se L Su { f () : } e ε δ /ql. Estos dtr que L > 0 os co L 0 e f () 0 te-se fução detcete ul o tervlo de tegrção e etão tese do teore é trvl orque tods s sos de Drou são uls. Se gor D u qulquer decoosção do tervlo de tegrção co dâetro d feror ε δ /ql e eressão que defe S(D) sere-se s rcels e dos gruos: ) o gruo ds rcels corresodetes os sutervlos d decoosção do tervlo de tegrção or D que este cotdos e sutervlos d decoosção do eso tervlo or D 0 desgdo-se or S so desss rcels (será S 0 se eu ds rcels estver s codções egds) ; ) o gruo ds rcels corresodetes os sutervlos d decoosção do tervlo de tegrção or D que te o seu teror u ou s otos de D 0 desgdo-se or S so desss rcels (será S 0 se eu ds rcels estver s codções egds). Clro que S(D) S + S. Por ser f () 0 result S S(D 0 ) e or outro ldo S L q d orque cd rcel de S é ord or L d e á o áo q desss rcels. Etão λ S(D) S + S S(D 0 ) + L q d S(D 0 ) + L q (δ /L q) < λ + δ /+ δ / λ + δ ou se S(D) - λ < δ desde que o dâetro d d(d) se feror o úero ε ε (δ ) δ /ql. Tl sgfc que f ( ) d λ l S(D) d 0 9

27 coo se quer rovr. ) Cotudo cosderr o cso do tegrl sueror ele-se gor ótese de ser f () 0 o tervlo de tegrção. Coo fução f () é ltd o tervlo este u costte k tl que g() f() + k 0. Etão elo deostrdo e ) g ( ) d l d 0 S g (D). Dd relção estete etre f () e g() oté-se se dfculdde g + 0 S g (D) ( ). L dode result logo f + 0 ( ).( L + k) S f (D) + k. ( - ) g ( ) d f ( ) d + k. ( - ) l d 0 S g (D). Ddo δ > 0 este etão u ε ε (δ ) tl que d d(d) < ε S g (D) - f ( ) d - k. ( - ) < δ S f (D) + k. ( - ) - f ( ) d - k. ( - ) < δ S f (D) - f ( ) d < δ ss se cocludo este cso gerl quto f () que f ( ) d l d 0 S f (D). c) Podeos gor rovr co fcldde o teore r o cso do tegrl feror. Notdo que If { f () : + } - Su {-f () : + } tr-se s f (D) - S -f (D) r qulquer decoosção D ; est guldde erte oter f ( ) d Su { s f (D)} - f { S -f (D)} - [ f ( ) ] d. 0

28 Or coo se deostrou e ) e ) [ ] f ( ) d l d 0 S -f (D) dode result edtete f ( ) d - [ f ( ) ] d - l coo se quer deostrr. d 0 S -f (D) l d 0 s f (D) Pode gor rovr-se o teore que dá equvlêc ds defções de tegrl segudo Re e segudo Drou. Teore 3 : A codção ecessár e sufcete r que f () se tegrável à Re o tervlo [ ] é que se tegrável segudo Drou o eso tervlo. E cso de tegrldde os dos tegrs (segudo Re e segudo Drou) são gus Deostrção: ) A codção é ecessár. Adt-se que f () é tegrável segudo Re o tervlo [ ] e desge-se or λ o tegrl. Dds s defções de s(d) σ (D) e S(D) te-se s(d) σ (D) S(D). Pr cd decoosção D s(d) é o ífo ds sos sg σ (D) que ode clculr-se r ess decoosção edte s fts escols dos otos terédos [ + ] ; de fcto s(d) é clrete u orte do couto desss sos σ (D) e coo f ( ) ode fzer-se - or escol coveete de - rtrrete róo de l If { f () : + } té σ (D) ode fzer-se rtrrete róo de s(d). Do eso odo r cd decoosção D S(D) é o sureo ds sos sg σ (D) que ode clculr-se r ess decoosção edte s fts escols dos otos terédos [ + ]. Ddo δ > 0 este ε ε (δ ) tl que d d(d) < ε λ - δ / < σ (D) < λ + δ / e que coo se dsse λ desg o vlor do tegrl (segudo Re) d fução f () o tervlo [ ] ; etão r u qulquer decoosção D co dâetro feror ε s fts sos sg ossíves são ords or λ+δ / e ords or λ -δ / e coo s(d) e S(D) são coo vos resectvete o ífo e o sureo desss sos sg te-se λ - δ / s(d) σ (D) S(D) λ + δ / ou se s(d) - λ < δ e S(D) - λ < δ dode

29 λ l d 0 s(d) f ( ) d e λ l d 0 S(D) f ( ) d ou d f ( ) d f ( ) d λ coo se quer rovr. ) A codção é sufcete. Sedo f ( ) d f ( ) d λ te-se l d 0 s(d) l d 0 S(D) λ ou se δ > 0 ε ε (δ ) : d d(d) < ε λ - δ < s(d) S(D) < λ + δ e coo s(d) σ (D) S(D) result δ > 0 ε ε (δ ) : d d(d) < ε λ - δ < σ (D) < λ + δ o que trduz ser lσ (D) λ. Logo f () é tegrável à Re o tervlo e d 0 cus e o vlor do tegrl cocde co o do tegrl segudo Drou. Veos coo lcção deste teore o estudo d tegrldde d fução f () 0 rcol rrcol o tervlo [0 ]. Dd u qulquer decoosção D do tervlo co os otos 0 0 < < < < - < te-se dode result s(d) ( ). l l 0 L e S(D) ( ). L o que erte coclur que f ( ) d 0 e f ( ) d 0 ou se fução dd 0 ão é tegrável segudo Drou logo té ão o é segudo Re o tervlo [0 ]. 3. Codções de tegrldde

30 3. - Itrodução O estudo d tegrldde e o cálculo do tegrl de u fução recorredo drectete à defção é tref e regr rtcável slvo e lgus csos trvs. É os coveete dsor de codções que ert or sles oservção d fução coclur el su tegrldde ou ão tegrldde e or outro ldo dsor de regrs rátcs de cálculo dos tegrs elo eos r s fuções que s correteete surge s lcções. No resete oto trtreos es ds codções de tegrldde dedo r estudo osteror s regrs rátcs r o cálculo dos tegrs. A título de trodução ode desde á dtr-se que questão de u fução ltd u tervlo [ ] ser ou ão ser í tegrável está lgd o úero de descotuddes que fução reset o referdo tervlo. Nu setdo que dte será esclrecdo fução será tegrável se e es se ão reset u úero ecessvo de descotuddes o tervlo Coutos co edd ul segudo Leesgue Dz-se que u couto B R te edd ul segudo Leesgue se e só se qulquer que se ε > 0 este tervlos I ltdos (de qulquer to) e úero fto ou fdde uerável de ltudes ( I ) ts que : ) B Υ I ; ) ( I ) < ε. Veos lgus eelos de coutos co edd ul segudo Leesgue : ) Desde logo o couto B : ) Qulquer couto fto B { r r r k }. Co efeto fdo qulquer ε > 0 r os tervlos I ] r - ε /3k r + ε /3k [ te-se que B Υ I e or outro ldo k ( I ) k ε 3k ε < ε. 3 3

31 3) Qulquer couto uerável B { r r r }. Co efeto fdo qulquer ε > 0 r os tervlos I ] r - ε /3.( ) r + ε /3.( ) [ te-se que B U I e or outro ldo ( I ). ε (/ ) 3 ε / 3 / ε < ε. 3 Não se ulgue que só os coutos ftos ou ueráves tê edd ul. Este sucoutos de R uto s coleos que tê otêc do cotíuo (são equotetes R) e o etto tê edd ul. É o cso do couto teráro de Ctor: C [0 ] U Codções de tegrldde E co 3 / E ](3r ).3 (3r ).3 [ U 3 r. O coceto de couto co edd segudo Leesgue ul erte eucr o segute teore cu deostrção ão se reset or ultrssr o âto do resete teto. Teore 4 : A codção ecessár e sufcete r que f () (ltd) se tegrável à Re e [ ] é que o couto dos otos de descotudde de f () esse tervlo te edd ul segudo Leesgue O teore recedete erte desde logo frr que são tegráves e [ ] s fuções cotíus esse tervlo ou que sedo ltds esse tervlo í te o áo u fdde uerável de otos de descotudde. Estão esss codções etre outrs s fuções ltds que : ) Se oótos o tervlo orque coo seos ão ode ter o tervlo de ooto s que u fdde uerável de descotuddes ; ) Se ltds e oótos or troços o tervlo ; u fução dz-se oóto or troços o tervlo [ ] se e só se este res 0 < < < < k ts que f () é oóto e cd u dos tervlos ] + [. 4. Iterretção geoétrc do coceto de tegrl Cosdere-se fução f () 0 e [ ] e se D { } 4

32 u decoosção do tervlo. As sos feror e sueror de Drou de f () reltvs à decoosção D + 0 s(d) ( ). l co l If { f () : + } + 0 S(D) ( ). L co L Su { f () : + } dte u terretção geoétrc teresste: ) Cd rcel ( + - ). l é áre de u rectâgulo de se + - e de ltur l e or outro ldo cd rcel ( + - ). L é áre de u rectâgulo de se + - e de ltur L coo se lustr fgur segute: f () L l + ) As sos s(d) e S(D) são ortto resectvete roções or defeto e or ecesso d áre d fgur l que rereset o couto {( ) : 0 f ()} ; c) Qudo f() se tegrável e [ ] te-se : f ( ) d f ( ) d Su {s(d)} If {S(D)} f ( ) d ou se o sureo ds roções or defeto d áre d fgur l que rereset o couto cocde co o ífo ds roções or ecesso d es áre sedo etão o vlor cou - ou se o tegrl d fução - áre d fgur referd. Isto é Teore 5 : Sedo f () 0 e [ ] o tegrl d fgur l que rereset o couto f ( ) d cso est dá áre {( ) : 0 f ()} ou se áre d fgur l deltd suerorete el curv que rereset f () ferorete elo eo O e lterlete els rects de equções e 5

33 Verfc-se fclete que co f () 0 e [ ] áre d fgur l que rereset o couto {( ) : f () 0} é dd or - f ( ) d cso o tegrl est. No cso de ser or eelo f () 0 e [ c] e f () 0 e [ c ] áre d fgur l que rereset o couto {( ) : c 0 f ()} {( ) : c f () 0} é dd or c f ( ) d - f ( ) d. c Por coosções coveetes é ossível clculr áres de fgurs ls s coles. 5. Novs roreddes do tegrl de Re Estud-se segudete roreddes dcos do tegrl de Re: P7 : Sedo f () tegrável e [ ] e todo c [ ] te-se f () tegrável e cd u dos tervlos [ c] e [c ] e c f ( ) d f ( ) d + f ( ) d Deostrção: E rero lugr ote-se que tedo e cot codção ecessár e sufcete de tegrldde eress o teore 4 tegrldde de f () e [ ] grte su tegrldde e qulquer sutervlo deste fcdo ss rovdo que f () é tegrável e cd u dos tervlos [ c] e [c ]. Veos gor guldde do eucdo. Fdo s decoosções D { c } de [ c] D { 0 c... - } de [c ] co os otos e oté-se u decoosção D { c } do tervlo [ ] e clro que r s sos sg corresodetes te-se segute relção: σ f (D ) + σ f (D ) σ f (D ). Reresetdo or d e d os dâetros de D e D e or λ e λ os tegrs de f () e [ c] e e [c ] te-se que r cd δ > 0 este ε ε (δ ) tl que c 6

34 ou se or ser d Má {d d } d < ε σ f (D ) - λ < δ / d < ε σ f (D ) - λ < δ / d < ε σ f (D ) - (λ + λ ) σ f (D ) + σ f (D ) - (λ + λ ) σ f (D ) - λ + σ f (D ) - λ < δ. Reresetdo gor or λ o tegrl de f () e [ ] e sedo D u qulquer decoosção deste tervlo ão ecessrete otd coo se dcou rtr de D e D etão ddo δ > 0 este ε ε (δ ) tl que d d(d) < ε σ f (D ) - λ < δ. Todo e rtculr D D co s decoosções D e D escolds de odo que d < ε Mí {ε ε } e d < ε Mí {ε ε } te-se dode d < ε d < ε σ f (D ) - (λ + λ ) < δ d < ε d < ε σ f (D ) - λ < δ λ + λ - λ λ + λ - σ f (D ) + σ f (D ) - λ σ f (D ) - (λ + λ ) + σ f (D ) - λ < δ + δ δ ; devdo à rtrredde de δ te-se ecessrete λ λ + λ ou se f ( ) d f d ( ) + f d ( ) c coo se quer rovr. A roredde que c de ser deostrd dte o segute c Coroláro : Sedo f () fução tegrável e [ ] e cosderdo os otos c c... c - c etão fução é tegrável os tervlos [ c ] [ c c ]... [ c - c ] [ c ] e te-se c f ( ) d f ( ) d + f ( ) d f ( ) d+ f ( ) d c c c c Deostrção : Bst lcr reetdete roredde P7. c 7

35 A roredde P7 ode dtr-se de for rger stuções s gers e que o oto c oss estr à esquerd de ou à dret de. De fcto sedo c < e suodo f () tegrável e [c ] te-se ou se f ( ) d f ( ) d + f ( ) d c c f ( ) d - f ( ) d + f ( ) d ; or outro ldo sedo c > e suodo f () tegrável e [ c] te-se ou se c c f ( ) d f ( ) d + f ( ) d c f ( ) d f ( ) d - f ( ) d. Os segudos eros ds gulddes que dão o vlor do tegrl f ( ) d os csos e que c < ou c > ode ser forlete resetdos coo guldde d roredde P7 qul fo estelecd r o cso e que c. Bst r sso fzer segute CONVENÇÃO SIMBÓLICA : Sedo f () tegrável e [ ] ( ) o síolo f ( ) d rereset o sétrco do tegrl f ( ) d sto é f ( ) d - f ( ) d. Co est coveção o eucdo d roredde P7 ode resetr-se e teros s gers coo segudete se dc: P8 : Sedo f () tegrável e [ ] co Mí { c} e Má { c} ( ) etão c f ( ) d f ( ) d + f ( ) d Deostrção: Co c estos o cso d roredde P7 á deostrd. Sedo c < teos coo se vu s cosderções que edtete segue deostrção do coroláro d roredde P7 f ( ) d - f ( ) d + f ( ) d c c c c c c 8

36 e co coveção referd result f ( ) d f ( ) d + f ( ) d. Flete sedo < c teos f ( ) d f ( ) d - f ( ) d e de ovo co coveção referd result té guldde do eucdo. c c c c A roredde segute é orlete coecd or teore d éd: P9 : Sedo f () tegrável e [ ] este u vlor k etre o ífo l e o sureo L de f() o tervlo tl que: f ( ) d k.( - ) Deostrção: Ddo que l f () L e [ ] roredde P6 erte escrever ld f ( ) d Ld e el roredde P l. ( - ) f ( ) d L. ( - ). Adtdo que < (o cso de ser guldde do eucdo é trvl) te-se l k f ( ) d L dode result f ( ) d k.( - ) co l k L coo se quer rovr. Dest roredde tr-se o segute coroláro Coroláro : Sedo f () cotíu e [ ] este u [ ] tl que f ( ).( - ) f ( ) d Deostrção: Result edtete d roredde P9 otdo que u fução f () cotu e [ ] ssue qulquer vlor k etre o seu ífo e o seu sureo esse tervlo e certo [ ]. O teore d éd (roredde P9) e o seu coroláro dte u terretção geoétrc teresste o cso e que f () 0 o tervlo [ ]. Coo se se o tegrl f ( ) d é áre d fgur l que rereset o couto {( ) : 0 f ()} ; or outro ldo o roduto ( - ). k co 9

37 0 l k L é áre de u rectâgulo de se - e ltur k. O teore d éd sgfc ortto que este u vlor k [l L] r o qul são gus s áres referds coo se lustr fgur segute: L D f () k A B l C Áre d fgur CD Áre d fgur AB Oserve-se d que o teore d éd ode lcr-se f ( ) d co < : f ( ) d - f ( ) d - k.( - ) k.( - ) co k etre o ífo e o sureo de f() e [ ]. Ou se P0 : Sedo e qusquer e f () tegrável e [ ] co Mí { } e Má { } etão f () e [ ] f ( ) d k.( - ) co k etre o ífo e o sureo de Te-se té e corresodêc co o coroláro d roredde P9 o segute Coroláro : Sedo e qusquer e f () cotíu e [ ] co Mí { } e Má { } etão f ( ) d f ( ).( - ) r certo [ ] Pr terr o resete oto estud-se roredde segute ortte desguldde de Scwrz : P : Sedo f () e g() tegráves e [ ] te-se que s fuções f () g () e f (). g() são gulete tegráves o eso tervlo e [ f ( ). g( ) d] [ f ( ) d]. [ g ( ) d] (Scwrz) Deostrção: Fce o teore 4 (codção ecessár e sufcete de tegrldde) d tegrldde ds fuções f() e g() o tervlo [ ] decorre 30

38 edtete tegrldde ds fuções f () g () e f (). g() o eso tervlo orque ests fuções tê o áo s descotuddes dquels. Sedo α R fução [ f () + α g()] é gulete tegrável e te-se or se trtr de u fução ão egtv 0 [ ( ) + α ( )] f g d [ g ( ) d]. α +.[ f ( ). g( ) d]. α + + [ f ( ) d]. O tróo do º gru e α que se cegou só oderá ser ão egtvo r todo o vlor α R se for 4.[ f ( ). g( ) d] - 4.[ f ( ) d]. [ g ( ) d] 0 dode result edtete desguldde do eucdo. 6. Fórul fudetl do cálculo tegrl Se f () o eso teo tegrável e rtvável o tervlo [ ]. Nests codções o cálculo do tegrl ode fzer-se utlzdo u ds rtvs d fução os teros do teore segute Teore 6 : Sedo f () tegrável e rtvável e [ ] e F() u rtv de f () o tervlo etão f ( ) d F() - F() Deostrção : Sedo D { } u decoosção do tervlo de tegrção te-se F() - F() F( ) - F( 0 ) + F( ) - F( ) F( ) - F( - ) e lcdo o teore de Lgrge cd u ds dfereçs F( ) - F( - ) oté-se F() - F() ( - 0 ). f ( 0 ) + ( - ). f ( ) ( - - ). f ( - ) + 0 ( ). f ( ) co certos ertecetes os tervlos [ + ] ( ). Ou se r qulquer decoosção D do tervlo de tegrção é sere ossível escoler otos terédos os sutervlos [ + ] de odo que F() - F() σ (D). Ms or ser f () tegrável e [ ] te-se 3

39 lσ (D) d 0 f ( ) d dode ecessrete f ( ) d F() - F(). É usul reresetr dfereç F() - F() elo síolo [ F( ) ] de odo que guldde do teore escreve-se tulete do segute odo: f ( ) d [ F ] ( ) F() - F(). A fórul de cálculo do teore e coecd elo oe de fórul fudetl do cálculo tegrl ou fórul de Brrow. Veos lgus eelos de lcção: ) d ; ) 0 + rc tg d [ ] 0 π /4 ; 3) + d [ log ( + ) ] log 4 - log 3 log (4/3). A fórul fudetl do teore 6 cougd co o coroláro d roredde P7 erte d oter o tegrl qudo eor fução tegrd ão te rtv o tervlo de tegrção este se oss decoor e dos ou s sutervlos (e úero fto) e cd u dos qus fução tegrd se rtvável. É o cso de f ( ) d qudo se or eelo f () < 0 0 <. 3

40 Te-se f ( ) d 0 d + ( ) d + d 0 0 [ / ] [ / ] [ ] (0 - /) + (/ - 0) + (4 - ) Itegrl defdo Cosdere-se f () defd e I (tervlo qulquer) e dt-se que é tegrável e qulquer tervlo fecdo cotdo e I o que tes de s ressuõe que f () se ltd e qulquer [ ] I. Fe-se c I e def-se fução ϕ (z) z f ( ) d ( z I ) c devedo otr-se que o síolo do segudo ero rereset o tegrl de f () e [c z] qudo se z c ; e rereset o sétrco do tegrl de f () e [z c] qudo se c > z. Isto é ϕ (z) z f ( ) d z I z c c c < f ( ) d z I z c z. A fução ϕ (z) to o oe de tegrl defdo de f () o tervlo I co orge o oto c I. N rátc us-se letr r desgr vrável deedete d fução ϕ o que org lterr letr que rereset vrável deedete d fução tegrd: ϕ () f () t dt ϕ () f ( u) du etc. c c Veos lgus roreddes do tegrl defdo. P : Dos tegrs defdos d es fução o eso tervlo dfere or u costte Deostrção : Sedo ϕ () el roredde P8 ϕ () - ψ () f () t dt e ψ () f () t dt te-se r I c f () t dt - f () t dt f () t dt c d d d c 33

41 o que ostr que dfereç ϕ () - ψ () ão deede do vlor de cosderdo e I ou se os dos tegrs defdos de f () dfere or u costte. P3 : O tegrl defdo ϕ () é fução cotíu o tervlo I ode está defd Deostrção : Utlzdo roredde P8 e o teore d éd ( versão gerl cotd roredde P0) co 0 I te-se ϕ () - ϕ ( 0 ) 0 f () t dt - f () t dt f () t dt ( - 0 ). k( 0 ) c c 0 co k( 0 ) coreeddo etre o ífo e o sureo de f () o tervlo de etreddes 0 e. Qudo se fz 0 k( 0 ) té-se ltdo dode result que l 0 [ϕ () - ϕ ( 0 )] l ( - 0 ). k( 0 ) 0 0 ou se l 0 ϕ () ϕ ( 0 ) o que trduz cotudde de ϕ () e qulquer 0 I (ote-se que qudo 0 se u ds etreddes de I cotudde otd é cotudde lterl). P4 : O tegrl defdo te or dervd fução tegrd os otos e que est se cotíu Deostrção : Coo deostrção d roredde P3 te-se ϕ () - ϕ ( 0 ) f () t dt 0 dode result r I e 0 ϕ ( ) ϕ ( 0 ) 0 0. f () t dt. 0 Sedo f (t) cotíu e 0 te-se f (t) f ( 0 ) + α ( t ) co l α ( t ) 0. Por se t 0 oter de f (t) sutrdo costte f ( 0 ) α ( t ) é tegrável o tervlo de etreddes 0 e e ss ϕ ( ) ϕ ( 0 ) 0 0. [ ( 0 ) + ( )] f α t dt 0 0. ( ). f ( ) + ( t) dt 0 0 α 0 34

42 f ( 0 ) +. α () t dt 0 0. Veos gor que l. α () t dt o que rovrá ser ϕ ( ) ϕ ( 0 ) l f ( 0 ) 0 0 que é o que se retede ostrr. Coo l α ( t ) 0 ddo δ > 0 este ε ε (δ ) tl que t 0 t - 0 < ε t I α ( t ) < δ -δ < α ( t ) < δ ; qudo se te - 0 < ε e I qulquer t do tervlo de etreddes 0 e verfcrá s codções t - 0 < ε e t I elo que será ou d -δ.( - 0 ) < α () t dt < δ.( - 0 ) se δ.( 0 - ) < α () t dt < δ.( 0 - ) se < 0 ; -δ < 0. α () t dt 0 < δ se 0 -δ < 0. 0 α () t dt 0. α () t dt 0 < δ se < 0 odedo ortto escrever-se quer r 0 quer r < 0 -δ < 0. α () t dt 0 < δ desde que - 0 < ε e I. Tl sgfc que l 0 0. α () t dt 0 0 coo se quer rovr. 35

43 OBSERVAÇÃO: Ns etreddes do tervlo I ode ϕ () está defd cso erteç o tervlo e els se cotíu f () os vlores d fução f () são s dervds lters do tegrl defdo. A roredde que c de ser deostrd dte dos coroláros orttes: Coroláro : A dervd do tegrl defdo ϕ () cocde co f () eceto qudo uto os otos de u couto X I co edd à Leesgue ul Deostrção: Pr que o tegrl defdo ϕ () est e I é ecessáro e sufcete que f () se tegrável e qulquer sutervlo ltdo e fecdo de I. Etão de cordo co o teore 4 o couto dos otos de descotudde de f () e qulquer desses sutervlos logo e I te de ter edd à Leesgue ul. Coo os otos de cotudde de f () se te ϕ () f () coclu-se etão que est guldde só ão se verfc qudo uto r os otos de u couto X I co edd à Leesgue ul. Coroláro : Qulquer fução f () cotíu u tervlo I é rtvável esse tervlo Deostrção : Fdo u qulquer c I fução é cotíu e qulquer tervlo fecdo de etreddes c e. Logo é ltd e tegrável e qulquer desses tervlos estdo ortto o tegrl defdo ϕ () f () t dt. c Pel roredde P4 ϕ () f () os otos de cotudde de f () ; coo or ótese este fução é cotíu e todos os otos I e todos eles se verfc ϕ () f () dode result que ϕ () é u rtv de f () o tervlo I. 8. Itegrção or rtes Se f () e g() fuções tegráves o tervlo [ ]. Cosderdo u decoosção D do tervlo de tegrção so σ (D) de f (). g() r decoosção e cus é + 0 σ (D) ( ). f ( ). g( ). A fução f (). g() é té tegrável o tervlo e cus e or defção Cosdere-se gor s sos f ( ). g( ) d l d 0 σ (D). 36

44 + 0 τ (D) ( ). f ( ). k e que os k desg vlores coreeddos etre o ífo e o sureo de g() e [ + ]. Coo f () é tegrável é ltd o tervlo [ ] ou se f() M r [ ] co cert costte M. Etão 0 σ (D) - τ (D) ( + ). f ( ).[ g( ) k] + 0 ( ). f ( ). g( ) k + 0 ( ). M. Λ λ e que Λ e λ desg resectvete o sureo e o ífo de g() o tervlo [ + ]. Notdo gor que 0 S(D) - s(d) ( + ).[ ] Λ λ e que S(D) e s(d) desg s sos sueror e feror de Drou de g() reltvs à decoosção D e tededo à tegrldde de g() o tervlo [ ] os teores e 3 erte coclur que l d 0 ( + ). 0 [ ] Λ λ l d 0 [ S(D) - s(d)] 0 dode se tr que l d 0 τ (D) l d 0 σ (D) f ( ). g( ) d. Ests cosderções e o resultdo que se cegou vão ertr deostrr o teore segute o qul trduz o cdo étodo de tegrção or rtes : Teore 7 : Sedo u() e v() tegráves e [ ] e desgdo or U() e V() os seus tegrs defdos (qusquer) quele tervlo te-se: u ( ). V( ) d [ U( ). V( ) ] U( ). v( ) d Deostrção : Note-se e rero lugr que s óteses do teore grte estêc dos tegrs que fgur guldde. Co efeto u() é tegrável e V() cotíu o tervlo e cus ; or outro ldo v() é tegrável e U() cotíu o eso tervlo. Toe-se u qulquer decoosção D do tervlo [ ] e fç-se Φ () U().V(). Te-se 37

45 Φ () - Φ () [ Φ( + ) Φ( ) ] 0 [ U( + ). V( + ) U( ). V( ) ] 0 U( + ).[ V( + ) V( ) ] 0 + V( ).[ U( + ) U( ) ] U( ). v( ) d + + V( ). u( ) d 0 U( ).( ). k V( ).( ). k 0 + * co k etre o ífo e o sureo de v() e [ + ] e k * etre o ífo e o sure-o de u() e [ + ]. Etão Φ () - Φ () U( ).( ). k V( w ).( ). k 0 + * co + e w. Os dos sotóros otdos são sos τ (D) referetes à decoosção D resectvete r os rodutos U().v() e V(). u() elo que os teros ds cosderções que recede o teore Φ () - Φ () l d 0 0 U( ).( ). k + + l d 0 0 V( w ).( ). k + * U( ). v( ) d + u ( ). V( ) d dode result tededo à defção de Φ () u ( ). V( ) d Φ () - Φ () - U( ). v( ) d [ U( ). V( ) ] U( ). v( ) d que é fórul de tegrção deostrr. OBSERVAÇÃO : Fórul seelte evolvedo rtvs e vez de tegrs defdos ode ser otd utlzdo o étodo de rtvção or rtes e fórul fudetl do cálculo tegrl do teore 6. No etto esse rocedeto org dtr que s fuções u() e v() lé de tegráves se té rtváves o tervlo [ ] ; e te d de ssur-se que U().v() se rtvável o eso tervlo. Nesss codções 38

46 ) A fórul de rtvção or rtes erte oter P u().v() U().V() - P U().v() ; ) A fórul de cálculo do teore 6 dá or seu ldo u( ). V ( ) d [ U( ). V( ) P U( ). v( ) ] [ U( ). V( ) ] U( ). v( ) d fórul seelte à do teore 7 s e que U() e V() rereset rtvs (e ão ecessrete tegrs defdos) de u() e v(). 9. Itegrção or susttução Tl coo o étodo de rtvção or susttução co o qul te grdes seelçs té o étodo de tegrção or susttução erte e utos csos slfcr o cálculo de tegrs. O teore e que se fudet o étodo é o segute. Teore 8 : Se f () u fução tegrável e [ ] ϕ (t) u fução estrtete crescete e dervável co doío e [α β ] e dt-se que ϕ (α ) e ϕ (β ). Nesss codções sedo ϕ (t) tegrável e [α β ] te-se: β f ( ) d f [ ϕ () t ]. ϕ () t dt Deostrção : ) Por ser ϕ (t) estrtete crescete cd decoosção α D { t 0 α t t... t - t β } do tervlo [α β ] corresode fzedo ϕ (t ) u decoosção D* { } do tervlo [ ]. O teore de Lgrge e o fcto de ϕ (t) ser ltd (or ser tegrável) e [α β ] erte coclur que + - ϕ (t + ) - ϕ (t ) (t + - t ). ϕ (t *) (t + - t ). M ( ) 39

47 co certo t * ] t t + [ e que M é o sureo (fto) de ϕ (t) e [α β ]. Est desguldde erte coclur que: sedo d o dâetro de D e d* o dâetro de D* etão de fcto δ > 0 ε δ /M : d d(d) < ε d* d(d*) < δ ; d d(d) < ε δ /M t + - t < ε δ /M ( ) (t + - t ). M < δ ( ) + - < δ ( ) d* d(d*) < δ. ) Cotudo cosderr s decoosções D e D* d líe teror se: 0 ( t t ). f ϕ ( u ). ϕ ( u ) σ g (D) + [ ] co u [t t + ] u so sg de g(t) f [ϕ (t)]. ϕ (t) reltv à decoosção D ; e or outro ldo + 0 σ f (D*) ( ). f ( ) co ϕ (u ) [ + ] u so sg de f () reltv à decoosção D*. O teore de Lgrge erte escrever + 0 σ f (D*) ( ). f ( ) 0 [ ϕ ( t+ ) ϕ ( t) ]. f [ ϕ ( u) ] 0 * ( t+ t). ( t ). f [ ( u) ] co t * ] t t + [ ; e etão ϕ ϕ * σ f (D*) - σ g (D) ( t+ t). f [ ( u) ].[ ( t ) ( u) ] 0 ϕ ϕ ϕ 0 0 ( t+ t). f [ ϕ ( u) ].[ L l] ( t+ t). K.[ L l] 40

48 e que L e l são resectvete o sureo e o ífo de ϕ (t) o tervlo [ t t + ] e K u orte ostvo de f () e [ ]. Reresetdo or S ϕ (D) e s ϕ (D) resectvete s sos sueror e feror de Drou de ϕ (t) reltvs à decoosção D te-se d σ f (D*) - σ g (D) K.[ S ϕ (D) - s ϕ (D)]. Coo or ótese ϕ (t) é tegrável e [α β ] ddo u qulquer η > 0 este u ε ε (η ) tl que d d(d) < ε S ϕ (D) - s ϕ (D) < η /K. Do eso odo coo f () é tegrável e [ ] r o referdo η > 0 este u δ δ (η ) tl que d* d(d*) < δ σ f (D*) - λ < η / e que λ f ( ) d ; rtr deste δ > 0 ode os teros d roredde referd rte fl d líe ) d resete deostrção deterr-se ε δ /M tl que d d(d) < ε d* d(d*) < δ. Etão todo ε Mí {ε ε } te-se: d d(d) < ε σ f (D*) - λ < η / S ϕ (D) - s ϕ (D) < η /K ou se r d d(d) < ε te-se σ g (D) - λ σ g (D) - σ f (D*) + σ f (D*) - λ ss se cocludo que ou se K.[ S ϕ (D) - s ϕ (D)] + σ f (D*) - λ < η / + η / η coo queríos rovr. lσ g (D) λ d 0 f ( ) d gt () dt f ( ) d β β [ ϕ ] α α f () t. ϕ () t dt Nos csos e que ϕ (t) se estrtete decrescete te-se o segute: 4

49 Coroláro : Se f () u fução tegrável e [ ] ϕ (t) u fução estrtete decrescete e dervável defd e [α β ] e dt-se que ϕ (β ) e ϕ (α ). Nesss codções sedo ϕ (t) tegrável e [α β ] te-se: β f ( ) d - f [ ϕ () t ]. ϕ () t dt Deostrção : ) Note-se e rero lugr que α f ( ) d f( ) d. Co efeto à decoosção D { } do tervlo [ ] corresode segute decoosção do tervlo [- -] : D* { u 0 - u u... u - u - } e que u - - r os vlores As s decoosções tê o eso dâetro. + 0 A cd so σ f (D) ( ). f ( ) de f () reltv à decoosção D do tervlo [ ] corresode u so + 0 σ g (D*) ( u u ). g( w ) co u + - u e w - -- de g () f (-) reltv à decoosção D* do tervlo [ - -]. E coo + 0 σ g (D*) ( u u ). g( w ) ( + ). f ( ) 0 0 ( ). f ( ) + 0 ( ). f ( ) σ f (D) e d d(d) d* d(d*) coclu-se fclete que lσ f (D) l σ g (D*) d 0 d * 0 ou se f ( ) d f ( ) d. ) A deostrção do coroláro é gor edt. Ns codções do eucdo ψ (t) - ϕ (t) é estrtete crescete e o resultdo d líe ) cougdo co o teore 8 erte escrever : 4

50 f ( ) d f ( ) d β [ ϕ ()].[ ϕ ()] α β - [ ϕ ] f () t. ϕ () t dt. α f t t dt OBSERVAÇÕES : ) Os resultdos do teore 8 e seu coroláro ode reur-se u só fórul lcável quer qudo ϕ (t) se crescete quer qudo se decrescete. Bst otr que ϕ (t) crescete ϕ (t) 0 ϕ (t) ϕ (t) ϕ (t) decrescete ϕ (t) 0 ϕ (t) -ϕ (t) β r se coclur que fórul f ( ) d f [ ϕ t ] ϕ t dt (). () coreede s α fóruls do teore e do coroláro. De otr d que qudo ϕ (t) se crescete α ϕ - () e β ϕ - () ; qudo ϕ (t) se decrescete α ϕ - () e β ϕ - (). ) U ltertv o uso do ódulo de ϕ (t) r reur u só fórul os dos csos cosste e fzer β* f ( ) d f [ ϕ () t ]. ϕ () t dt α* co α* ϕ - () e β* ϕ - (). De fcto o cso de ϕ (t) ser crescete α* ϕ - () α e β* ϕ - () β e ortto β* f ( ) d f [ ϕ () t ]. ϕ () t dt β [ ϕ ] α* f () t. ϕ () t dt ; o cso de ϕ (t) ser decrescete α* ϕ - () β e β* ϕ - () α e ortto β* f ( ) d f [ ϕ () t ]. ϕ () t dt α [ ϕ ] α* β - [ ϕ ] f () t. ϕ () t dt. α 0. Segudo teore d éd O teore segute é coecdo or segudo teore d éd: α f () t. ϕ () t dt Teore 9 : Se ϕ () 0 e decrescete e [ ]. Sedo ϕ () e ψ () tegráves e [ ] etão co certo c [ ] ϕ ( ). ψ ( ) d ϕ( ). ψ ( ) d β c 43

51 Deostrção : Sedo ϕ () 0 o fcto de ser ϕ () 0 e decrescete e [ ] lc ϕ () 0 e todo o tervlo e esss codções guldde do eucdo é evdete. Assureos ortto que ϕ () > 0. Pr u qulquer decoosção D fços + ϕ ( ) e ψ ( ) d ( ). Pelo teore d éd (roredde P9) os ode ser reresetdos do segute odo: ( + - ). k co k coreeddo etre o ífo e o sureo de ψ () o tervlo [ + ]. Por ser π () ψ () t dt fução cotíu e [ ] - or se trtr de tegrl defdo - etão fução π () te esse tervlo ío π (α ) e áo π (β ) e clro que π (α ) 0 ψ ( ) d π (β ) π (α ) 0 + ψ ( ) d π (β )... π (α ) ψ ( ) d π (β ). A detdde de Ael ( 0 - ) ( - ). ( 0 + ) + + ( - 3 ). ( ) ( - 0 ). ( ) e o fcto de ser + (ϕ é decrescete) erte etão oter π (α ). [ ] 0 [ ]. π (β ) ou se ós slfcção óv π (α ). 0 defção dos e dos result etão 0 π (β ). 0. Atededo à 44

52 + 0 ϕ ( ). π (α ) ϕ ( ). k.( ) ϕ ( ).π (β ). O sotóro recedete ão é s que u so τ (D) r o roduto ϕ (). ψ () reltv à decoosção D e os teros ds cosderções que o oto 8 recede o teore 7 te-se lτ (D) ϕ ( ). ψ ( ) d. d 0 Etão ecessrete ϕ ( ). π (α ) ϕ ( ). ψ ( ) d ϕ ( ).π (β ) dode or ser ϕ ( ) > 0 π (α ) ϕ ( ). ψ ( ) d ϕ ( ) π (β ). Ms π () ψ () t dt é fução cotíu e [ ] logo ssue todos os vlores etre o seu ío π (α ) e o seu áo π (β ) ou se este u c [ ] tl que c ϕ ( ). ψ ( ) d π (c) ψ () t dt ϕ ( ) dode result ϕ ( c ). ψ ( ) d ϕ( ). ψ ( ) d coo se quer rovr. Coroláro : Sedo ϕ () decrescete e [ ] e ϕ () e ψ () tegráves esse tervlo etão ϕ ( ). ψ ( ) d ϕ( ). ψ ( ) d + ϕ( ). ψ ( ) d c co certo c [ ] (Weerstrss) Deostrção : As fuções ϕ*() ϕ () - ϕ () e ψ () ecotr-se s codções do eucdo do teore 9. D lcção do teore ests fuções result ós slfcções óvs guldde do eucdo deste coroláro. c. Itegrs róros de rer eséce Tod teor terorete desevolvd te coo ótese fudetl que o tervlo de tegrção é ltdo e que fução tegrd é gulete ltd o tervlo de tegrção. Poré e dverss lcções cové dsor de u coceto de tegrl que se lcável stuções e que u ou s dquels óteses se volds. U 45

53 rer stução que teress cosderr é quel e que o tervlo de tegrção ão é ltdo sedo cotudo fução tegrd ltd e qulquer sutervlo ltdo do tervlo de tegrção. Suo-se rero o cso de o tervlo de tegrção ser I [ + [ co fução tegrd f () ltd e tegrável e qulquer [ ]. Neste cso defe-se + f ( ) d l + f ( ) d cso se fto o lte do segudo ero; cso tl lte se fto ou ão est + dz-se que o tegrl f ( ) d ão este ou é dvergete (qudo o tegrl este dz-se que é covergete). Outro cso ossível surge qudo o tervlo de tegrção é I ] - ] co fução tegrd f () ltd e tegrável e qulquer [k ]. Neste cso defe-se f ( ) d l k f ( ) d k cso se fto o lte do segudo ero; cso tl lte se fto ou ão est dz-se que o tegrl f ( ) d ão este ou é dvergete (qudo o tegrl este dz-se que é covergete). Cové referr que este cso se ode reduzr o cso teror or udç de vrável: f ( ) d l k f ( ) d l k k k f ( ) d l + f ( ) d + f ( ) d. 46

54 Flete ode dtr-se o cso de o tervlo de tegrção ser ] - + [ co fução tegrd f () ltd e tegrável e qulquer tervlo [k ]. Neste cso + o tegrl f ( ) d defe-se do segute odo: escole-se rtrrete u oto c ] - + [ e fz-se or defção + f ( ) d f ( ) d + f ( ) d c cso est os os tegrs do segudo ero; se elo eos u deles for dvergete dz-se que o tegrl do rero ero ão este ou é dvergete. Cové oservr que ossldde de escol rtrár do oto c ão lc qulquer gudde defção teror. Co efeto se e vez de c for cosderdo c c te-se: + f ( ) d f ( ) d + f ( ) d c + c c + l k c f ( ) d + l k + f ( ) d c l k c c f ( ) d + f ( ) d k + l c + c c f ( ) d + f ( ) d c c + f ( ) d + f ( ) d + f ( ) d + f ( ) d c c + f ( ) d + f ( ) d + f ( ) d c + f ( ) d + f ( ) d. c c c c c c + Vos cetrr o osso estudo o cso f ( ) d co f () ltd e tegrável e qulquer [ ] ddo que coo vos os dos outros csos de tegrs co ltes ftos se ode reduzr o rero. O teore segute coté u resultdo ortte que ertrá deduzr u crtéro de covergêc de lcção rátc frequete. Teore 0 : Sedo g() f () 0 e [ + [ te-se: + ) A covergêc de g( ) d lc covergêc de f ( ) d ; + ) A dvergêc de f ( ) d lc dvergêc de g( ) d c c

55 Deostrção : Pr cosdere-se s fuções ϕ () f ( ) d e ψ () g ( ) d s qus são crescetes e [ + [ or sere f () e g() ão egtvs. Etão coo se se d teor ds fuções l + ϕ () e l + ψ () este sere odedo ser ftos ou +. Por outro ldo de f () g() result ϕ () ψ () e ortto l + ϕ () l + ψ (). Etão + ) Se o tegrl g( ) d for covergete l ψ () é fto e ss é té fto l ϕ () ou se f ( ) d é covergete ; ) Cso o tegrl f ( ) d se dvergete te-se l ϕ () + e ortto té l ψ () + ou se g( ) d é dvergete. Do teore recedete otê-se os segutes coroláros: Coroláro : Sedo g() f() 0 e [c + [ te-se: + ) A covergêc de g( ) d lc covergêc de f ( ) d ; + ) A dvergêc de f ( ) d lc dvergêc de g( ) d Deostrção : Result edtete do teore teror otdo que covergêc + + de g( ) d equvle à de g( ) d or ser c + + l + g( ) d l + c g( ) d + g( ) d c c g( ) d + l + g( ) d c e otdo té or u rgueto seelte que covergêc de equvle à de f ( ) d. c + + f ( ) d + Coroláro : A covergêc de f ( ) d lc covergêc de f ( ) d + 48

56 Deostrção : Defdo g() f () + f () coclu-se que 0 g(). f () or ser f () f (). D covergêc de f ( ) d deduz-se fclete + cover-gêc de. f ( ) d ddo que + l +. f ( ) d. l + f ( ) d. Pelo teore teror deduz-se etão covergêc de f () g() - f () result + g( ) d. Ms coo l + f ( ) d l + g ( ) d f ( ) d l + g ( ) d- l + f ( ) d + g( ) d - f ( ) d < + ss se deduzdo covergêc de f ( ) d. + + Coo coleeto o coroláro deve oservr-se que o etto d dvergêc do + + tegrl f ( ) d ão decorre orgtorete dvergêc de f ( ) d ; + or outrs lvrs o tegrl f ( ) d ode ser covergete se que o se + f ( ) d. Ass or eelo ão ode ser fto + ( se )/ d l 0 + ( se )/ d 0 orque todo π ( 3... ) te-se π ( se )/ d ( se )/ d 0 π ( ) π π se π ( ) π d 49

57 π 0 π se d π 0 π se d 4 π π ; e coo l + π + (or ser dvergete sére / ) result que té l + + π ( se )/ d é covergete. 0 ( se )/ d +. Ver-se-á dte que o tegrl 0 Ests cosderções ustfc defção segute: o tegrl f ( ) d dz-se solutete covergete qudo for covergete coutete co o tegrl + f ( ) d ; dz-se slesete covergete qudo su covergêc coestr + co dvergêc de f ( ) d. A roósto d covergêc solut te-se o segute + Teore : Se f () te sl fo e certo tervlo [c + [ (co c ) etão o + f ( ) d ão ode ser slesete covergete : ou é solutete covergete ou dvergete Deostrção : Se f () 0 e [c + [ (co c ) te-se r c f ( ) d f ( ) d + f ( ) d f ( ) d + f ( ) d ss se cocludo que c c [ ( ) ( ) ] c f f d + f ( ) d c c l + f ( ) d fto l + f ( ) d fto + e ortto f ( ) d ão ode ser slesete covergete. 50

58 Cso se f () 0 e [c + [ (co c ) te-se r c f ( ) d f ( ) d + f ( ) d f ( ) d - f ( ) d ss se cocludo que c c [ ( ) + ( ) ] c f f d - f ( ) d c c l + f ( ) d fto l + f ( ) d fto + e ortto f ( ) d ão ode ser slesete covergete. Vos segudete estudr lgus crtéros de covergêc solut. Teore : Sedo f () ltd e tegrável e [ ] r todo o e sedo g() ão egtv ltd e tegrável e [ ] ( ) r todo o se estr k l f () / g() te-se: + + ) Se k + dvergêc de g( ) d lc dvergêc de f ( ) d + ou se lc que o tegrl f ( ) d ão ode ser solutete covergete; ) Se k 0 covergêc de g( ) d lc covergêc solut de + f ( ) d; c) Se k 0 + etão: + + c.) A dvergêc de g( ) d lc dvergêc de f ( ) d ou se + lc que o tegrl f ( ) d ão ode ser solutete covergete; + + c.) A covergêc de g( ) d lc covergêc solut de f ( ) d + + Deostrção : ) Se k + este u c > tl que f () > g() r c. Or co c f ( ) d f ( ) d + f ( ) d c c g( ) d + g( ) d c c 5

59 c f ( ) d + g( ) d - g ( ) d c e etão g( ) d dvergete l + + g( ) d + l + f ( ) d + f ( ) d dvergete. ) Se k 0 este u c > tl que f () < g() r c. Or co c e etão f ( ) d f ( ) d + f ( ) d c c f ( ) d + g( ) d c c c f ( ) d + g( ) d - g ( ) d c + g( ) d covergete l + + g( ) d fto l + c) Se 0 < k < + este u c > tl que + f ( ) d fto f ( ) d covergete f ( ) d solutete covergete. + (k - k/). g() < f () < (k + k/). g() e rcocdo coo e ) rtr de (k - k/). g() < f () oté-se c.) ; rcocdo coo e ) rtr de f () < (k + k/). g() oté-se c.). O teore que c de ser rovdo dte o segute coroláro de frequete utlzção rátc: Coroláro : Sedo f () ltd e tegrável e [ ] r todo o se estr k l α. f () te-se: + 5

60 + ) Se k for fto e α > o tegrl f ( ) d é solutete covergete ; + ) Se k 0 e α o tegrl f ( ) d ão é solutete covergete α Deostrção : É fácl coclur que co > 0 o tegrl / d é covergete r α > e dvergete r α. Alcdo o teore teror co g() / α e reresetdo or k o lte + k l + f ( ) α / l α. f ( ) + coclusão ) do eucdo do coroláro result de ) e de c.) do teore ; coclusão ) do eucdo do coroláro result de ) e de c.) do teore. No teore segute relco-se covergêc solut do tegrl f ( ) d e d sére f ( + ) o cso e que f () se decrescete o tervlo [ + [. Teore 3 : Sedo f () ltd e tegrável e [ ] r todo o e suodo que f () é decrescete o tervlo [ + [ etão o tegrl e sére segutes + + f ( ) d e f ( + ) são coutete solutete ou ão solutete covergetes Deostrção : Por ser f () decrescete e [ ] co... te-- se + f ( + ) f ( ) d f ( + - ). Etão + + f ( + ) f ( ) d f ( + ). Adtdo que sére do eucdo é solutete covergete te-se l f ( + ) l + + fto l f ( ) d fto f ( ) d ão ode ser fto 53

61 l + + f ( ) d fto f ( ) d covergete f ( ) d solutete covergete. + Iversete se o tegrl f ( ) d é solutete covergete te-se + l f ( ) d < + dode result + l f ( + ) l f ( + ) f ( + ) + f ( ) f () + l f ( + ) + f() + l f ( ) d< + ss se cocludo que sére f ( + ) f ( + ) é solutete covergete. é covergete ou se sére Veos u eelo de lcção do teore recedete. Cosdere-se fução f () / α co α 0. Trt-se de u fução decrescete o tervlo [ + [. Ddo trtr-se de u fução ão egtv covergêc d sére e do tegrl segutes α ( + ) + e α / α d equvle à resectv covergêc solut. Ddo que / α d coverge r α > e dverge r 0 α o eso cotece co sére ss se otedo or outr v u resultdo á coecdo. Estud-se segudete dos crtéros de covergêc (ão ecessrete solut) os qus são uts vezes útes r estelecer covergêc sles dos tegrs que se s ão sere solutete covergetes. Teore 4 : Sedo f () ltd e tegrável e [ ] r todo o e sedo α() u fução oóto e ltd e [ + [ se estr fto + 54

62 l + f ( ) d + etão té é fto l + α ( ). f ( ) d ou se coverge o tegrl α ( ). f ( ) d (Crtéro de Ael) Deostrção : ) Cosder-se rero o cso e que α() é oóto decrescete. Sedo ϕ () f ( ) d codção ecessár e sufcete r que l ϕ () se fto é que qulquer que se δ > 0 est u ε > 0 tl que > /ε > ϕ ( ) - ϕ ( ) < δ sedo est coecd codção de Cuc r estêc de lte fto. + Coo f () é tegrável e qulquer tervlo [ ] ( < ) e α() é decresce-te esse tervlo o coroláro do teore 9 erte coclur que este u c [ ] tl que c α ( ). f ( ) d α( ). f ( ) d + α( ). f ( ) d. Coo or outro ldo α() é ltd e [ + [ este u > 0 tl que α() r logo α ( ). f ( ) d. [ f ( ) d + f ( ) d ]. Desgdo or ψ () α ( ). f ( ) d te-se ortto ψ ( ) - ψ ( ) α ( ). f ( ) d. [ f ( ) d + f ( ) d ]. Ddo u qulquer δ > 0 rocure-se ε > 0 tl que c c k > /ε > ϕ () - ϕ (k) < δ / ; etão co > /ε > este coo vos c [ ] tl que ψ ( ) - ψ ( ) α ( ). f ( ) d. [ f ( ) d + f ( ) d ] ou se ψ ( ) - ψ ( ). [ ϕ (c) - ϕ ( ) + ϕ ( ) - ϕ (c) ] < c <. [δ / +δ / ] δ c c c c 55

63 que é codção de Cuc r ser fto l ψ () l + + α ( ). f ( ) d ou se r ser covergete o tegrl α ( ). f ( ) d. + ) Cso fução α() se crescete -α() é decrescete e o deostrdo e ) erte + coclur que é covergete o tegrl [ α ( ) ]. f ( ) d dode se tr fclete + covergêc de α ( ). f ( ) d. Teore 5 : Sedo f () ltd e tegrável e [ ] r todo o e sedo α() fução oóto e ltd e [ + [ se ϕ () f ( ) d for fução ltd de e [ + [ e se l α() 0 etão coverge o + + tegrl α ( ). f ( ) d (Crtéro de Drclet) Deostrção : Bst fzer deostrção r o cso e que α() é oóto decrescete orque o cso e que é crescete se reduz àquele utlzdo fução -α() tl coo se fez deostrção do teore teror. Tl coo deostrção do teore teror ceg-se c α ( ). f ( ) d α( ). f ( ) d + α( ). f ( ) d. co < e certo c [ ]. Desgdo guldde teror escreve-se ψ () α ( ). f ( ) d e ϕ () f ( ) d ψ ( ) - ψ ( ) α( ). [ ϕ (c) - ϕ ( ) ] + α( ). [ ϕ ( ) - ϕ (c) ]. Coo or ótese ϕ () f ( ) d é ltd e [ + [ este u > 0 tl que dode result ϕ (c) - ϕ ( ) < e ϕ ( ) - ϕ (c) < c 56

64 ψ ( ) - ψ ( ). α( ) +. α( ). Atededo gor que l α() 0 te-se qulquer que se δ > 0 + > /ε > α() < δ / co certo ε > 0 (deedete de δ ). Te-se etão > /ε ψ ( ) - ψ ( ) <. [δ / +δ / ] δ que é codção de Cuc r ser fto l α ( ). f ( ) d. Fc ss rovd covergêc do tegrl α ( ). f ( ) d + +. Coo lcção do crtéro do teore recedete vos ostrr que á covergete o + tegrl ( se )/ d : st otr que α() / é u fução decrescete o tervlo [ + [ que l α() 0 e que + ϕ () se d - cos + cos é u fução ltd de o tervlo [ + [. Deste resultdo decorre covergêc (sles) de + ( se )/ d ( se )/ d + ( se )/ d 0 0 á tes ucd s cosderções que recede os cocetos de covergêc solut e covergêc sles tedo-se etão cocluído que o tegrl + ( se )/ d ão é solutete covergete. 0 Ter-se este oto reltvo os tegrs róros de rer eséce resolvedo lgus eercícos de lcção ) Veos coo rero eercíco o cálculo de e d. Te-se + 0 e d l + 0 e d [ e ] + l [ + ] + 0 l e 0. ) Clcule-se segudete / α d. Pr α te-se + 57

65 / α d l + + α / d l + α α l + α α α sedo este lte gul /(α -) qudo se α > e + qudo se α < ; r α / d l + + / d l + [ ] log l + [ log 0 ] +. E coclusão: o tegrl é covergete (solutete) r α > sedo o resectvo vlor /(α -) ; e é dvergete r α. k + k 3) Estudeos gor turez do tegrl.( + ) d. Trt-se de u tegrl róro de rer eséce : tervlo de tegrção co lte sueror fto e fução tegrd tegrável e qulquer tervlo fecdo [ ]. Coo fução tegrd te sl fo o tervlo de tegrção (é ão egtv) o estudo d covergêc solut equvle o estudo d covergêc (o tegrl ão ode ser slesete covergete!). Alcdo o coroláro do teore te-se : + l α. k. ( + ) + k l + + α + k. ( + ) + k l + + k α k ( + ) sedo este lte gul à udde qudo se -α - k + k o que equvle ser α - k -. O tegrl é etão solutete covergete qudo se α - k - > sto é k < - ; e será dvergete (orque ão é solutete covergete e fução tegrd te sl fo o tervlo de tegrção) qudo se α - k - sto é k -. 3) Flete vos estudr turez do tegrl β. se d. Alcdo o coroláro do teore te-se l + α. β. se l + + α + β. se e o lte é ulo qudo se α + β < 0. Or r qulquer vlor β < - este α > tl que α + β < 0 (st tor α tl que < α < -β ) ; ortto os teros d líe ) do eucdo do coroláro c referdo ode coclur-se que o tegrl e estudo é solutete covergete qudo se β < -. 58

66 Quto o que sucede qudo se β - o referdo coroláro d os erte dtr coo o letor fclete costtrá. Ms o teore 0 erte co fcldde coclur que o tegrl e cus ão é solutete covergete. Co efeto β. se β +. se se orque β + 0 β +. Coo o tegrl ( se ) / d dverge (ver eelo resetdo s cosderções que recede os cocetos de covergêc solut e sles) o teore 0 erte coclur que té dverge o tegrl + β +. se d ou se r β - o tegrl β. se d ão é solutete covergete. Tereos etão que estudr evetul covergêc sles do tegrl r o cso e que se β -. Pr - β < 0 o crtéro de Drclet erte coclur que á covergêc sles: co 0 < -β fução α() β / -β é ltd e decrescete o tervlo [ + [ sedo lé dsso l α() 0 ; or outro ldo + + ϕ () se d - cos + cos é u fução ltd de o tervlo [ + [ ; etão segudo o crtéro de Drclet β. se d é covergete (slesete). + Pr β 0 o tegrl reduz-se se d que fclete se vê ser dvergete. + Pr β > 0 o estudo do tegrl ode fzer-se recorredo à codção de Cuc. A fução ϕ () β. se d (β > 0) terá lte fto qudo teder r s fto se e só se qulquer que se δ > 0 estr ε ε (δ ) > 0 tl que β. > > /ε > ϕ ( ) - ϕ ( ) se d < δ. Or elo teore d éd 59

67 β. β se d ( - ). *. se * e cosderdo or eelo π + π /4 e π + π / r 3... te-se co certo * [ π + π /4 π + π /] β. β se d (π /4).. se * * (π /4). (π /4) β. / desguldde que ostr ão ser verfcd codção de Cuc r vlores δ (π /4). (π /4) β. / : orque r qulquer destes vlores de δ or eor que se ε > 0 á sere vlores π + π / > π + π /4 > /ε > β. r os qus se d δ stdo r tl tor sufceteete grde.. Itegrs róros de segud eséce Estud-se gor o cso e que fução tegrd f () ão é ltd o tervlo de tegrção [ ] (gor suosto ltdo) eor se ltd e tegrável e qulquer [ k] co < k <. Nest ótese ode cosderr-se três stuções que se lustr grfcete s fgurs segutes: º Cso º Cso 3º Cso f () f () f () Fução es ão Fução es ão Fução es ão ltd uto de ltd uto de ltd uto de e de Eor trtdo-se de stuções dstts ds que for estudds o oto. teor desevolve-se quse e rlelo vedo es que fzer lgus dtções. Ass defe-se: º Cso : f ( ) d l 0 fto ou ão estr o tegrl dz-se dvergete. f ( ) d se for fto o lte; se tl lte for 60

68 º Cso : f ( ) d l k + 0 fto ou ão estr o tegrl dz-se dvergete. c f ( ) d se for fto o lte ; se tl lte for k 3º Cso : f ( ) d f d ( ) + f d ( ) co c rtrrete escoldo c o tervlo ] [ se estre os os tegrs do segudo ero; se u deles ou os fore dvergetes o tegrl do rero ero ão este ou é dvergete. Tl coo r os tegrs róros de rer eséce té gor o oto c cosderdo defção do 3º cso ode se qulquer gudde ser escoldo de for rtrár o teror do tervlo de tegrção. Por outro ldo té gor o º cso se ode reduzr o rero or udç de vrável: f ( ) d l k + 0 f ( ) d l f ( ) d. k k + 0 k f ( ) d l 0 f ( ) d A oservção recedete erte ltr o osso estudo o º cso ou se trtreos elctete es o cso do tegrl f ( ) d co fução tegrd ltd es uto de. U rero resultdo é o segute : Teore 6 : Sedo g() f () 0 e [ [ te-se: ) A covergêc de g( ) d lc covergêc de f ( ) d ; ) A dvergêc de f ( ) d lc dvergêc de g( ) d Deostrção : Tl qul do teore 0 susttudo es + or. Do teore recedete otê-se os segutes coroláros cus deostrções são tl qul s dos corresodetes coroláros do teore 0 : Coroláro : Sedo g() f () 0 e [c [ te-se: ) A covergêc de g( ) d lc covergêc de f ( ) d ; ) A dvergêc de f ( ) d lc dvergêc de g( ) d Coroláro : A covergêc de f ( ) d lc covergêc de f ( ) d Té gor coo coleeto o coroláro deve oservr-se que d dvergêc do tegrl f ( ) d ão decorre orgtorete dvergêc de f ( ) d ; 6

69 or outrs lvrs o tegrl f ( ) d. f ( ) d ode ser covergete se que o se Est oservção erte clssfcr os tegrs covergetes e solutete covergetes ou slesete covergetes. Dz-se que o tegrl róro f ( ) d é solutete covergete se e só se for covergete coutete co f ( ) d ; dz-se que é slesete covergete se covergêc coestr co dvergêc de f ( ) d. Te-se gor u teore seelte o teore : Teore 7 : Se f () te sl fo e certo tervlo [c [ (co c ) etão o f ( ) d ão ode ser slesete covergete : ou é solutete covergete ou dvergete Cotudo o estudo e rlelo co o que fo feto o oto. estelece-se segudete crtéros de covergêc solut sedo s deostrções dos teores e tudo álogs às dos corresodetes teores etão deostrdos. Ass e rlelo coo teore e co dêtc deostrção te-se o segute: Teore 8 : Sedo f () ltd e tegrável e [ ] r todo o [ [ e sedo g() ão egtv ltd e tegrável e [c ] ( c < ) r todo o [c [ se estr k l f () / g() te-se: 0 ) Se k + dvergêc de g( ) d lc dvergêc de f ( ) d c ou se lc que o tegrl f ( ) d ão ode ser solutete covergete; ) Se k 0 covergêc de g( ) d lc covergêc solut de f ( ) d; c) Se k 0 + etão: c c.) A dvergêc de g( ) d lc dvergêc de f ( ) d c ou se lc que o tegrl f ( ) d ão ode ser solutete covergete; c.) A covergêc de g( ) d lc covergêc solut de f ( ) d c Este teore dte u coroláro que se deostr coo o corresodete coroláro do teore estuddo revete o tegrl 6

70 d α ( ) que fclete se costt ser covergete r α < e dvergete r α. Te-se etão: Coroláro : Sedo f () ltd e tegrável e [ ] r todo o [ [ e estdo k l ( - ) α. f () 0 ) Se k fto e α < etão o tegrl f ( ) d é solutete covergete ; ) Se k 0 e α etão o tegrl f ( ) d ão é solutete covergete OBSERVAÇÃO : Por u questão de cooddde rátc de lcção deste coroláro qudo se te que estudr o tegrl róro f ( ) d co f () ltd es uto de ode fzer-se segute dtção: ) Coo se elcou terorete este º cso ode reduzr-se o º cso utlzdo guldde co f (-) ltd es uto de - ; f ( ) d f ( ) d ) N lcção do coroláro o tegrl do segudo ero deverá clculr-se k l 0 e trr e segud s resectvs coclusões; (- - ) α. f (-) c) Ms o lte cdo ode trsforr-se coo segue fzedo - k l 0 (- - ) α. f (-) l + 0 l + 0 ( - ) α. f () ( - ) α. f () elo que ode cr-se desde logo este últo lte e lcr drectete o coroláro. Tl coo o cso dos tegrs róros de rer eséce tê-se os segutes crtéros de covergêc (ão ecessrete solut) os qus se deostr tl coo os teores 4 e 5. Trt-se dos crtéros de Ael e de Drclet os qus são uto útes r estelecer covergêc sles dos tegrs que se s ão sere solutete covergetes: 63

71 Teore 9 : Sedo f () ltd e tegrável e [ ] r todo o [ [ e sedo α() u fução oóto e ltd e [ [ se estr fto l 0 f ( ) d etão té é fto l 0 coverge o tegrl α ( ). f ( ) d (Crtéro de Ael) α ( ). f ( ) d ou se Teore 0 : Sedo f () ltd e tegrável e [ ] r todo o [ [ e sedo α() u fução oóto e ltd e [ [ se ϕ () f ( ) d for u fução ltd de e [ [ e se l α() 0 etão é fto l 0 0 α ( ). f ( ) d ou se coverge o tegrl α ( ). f ( ) d (Crtéro de Drclet) Ter-se este estudo dos tegrs róros de segud eséce resolvedo três eercícos de lcção. ) Clcule-se d. Pr α te-se α ( ) d l α ( ) 0 d l α ( ) 0 α ( ) α l 0 α α α ( ) ( ) α sedo este lte gul α ( ) α qudo se α < e gul + qudo se α > ; r α te-se d l 0 l 0 d l 0 [ log ] [ log + log ] ( ) ( ) ( ) +. E coclusão: o tegrl é covergete qudo se α < sedo resectvo vlor 64

72 α ( ) α ; e é dvergete qudo se α. k ) Estudr covergêc de ( ). e d. Coo fução tegrd te 0 sl fo o tervlo de tegrção (é ão egtv) o estudo d covergêc solut equvle o estudo d covergêc (o tegrl e cus ão ode ser slesete covergete). Alcdo o coroláro do teore 8 te-se: l 0 ( - ) α. ( - ) k -. e - l ( - ) α + k -. e - 0 sedo o lte gul e - qudo se α + k - 0 sto é α - k. O tegrl e estudo será etão solutete covergete r α - k < ou se k > 0 ; e será dvergete r α - k ou se k 0. k k 3) Estudr covergêc de ( + ). ( ) d. Coo fução tegrd é ltd uto de s s etreddes do tervlo de tegrção te-se k k ( + ). ( ) d 0 k k ( + ).( ) d + k k + ( + ). ( ) d 0 sedo o tegrl estudr covergete se e só se o eso cotecer às dus rcels do º ero d guldde (coo se se o oto c 0 utlzdo r decoor o tervlo de tegrção é rtráro e oder ter sdo qulquer outro ertecete o tervlo ]- [ ). Estudeos etão covergêc de cd u ds rcels: ) Pr rer rcel te-se os teros d oservção susequete o coroláro do teore 8 l + 0 ( + ) α. ( + ) k. ( - ) - k l ( + ) α + k. ( - ) - k + 0 sedo o lte gul 3 -k qudo se α + k 0 sto é α - k. Etão o tegrl 0 k k ( + ). ( ) d será solutete covergete r α - k < ou se k > - ; e será dvergete r k (ote-se que coo fução tegrd te sl fo o tervlo de tegrção o fcto de o tegrl ão ser solutete covergete lc dvergêc). ) Pr segud rcel te-se lcdo o coroláro do teore 8 l 0 ( - ) α. ( + ) k. ( - ) - k l ( - ) α - k +. ( + ) k 0 65

73 sedo o lte gul 3 k qudo se α - k + 0 sto é α k -. Etão o tegrl k k ( + ). ( ) d será solutete covergete r α k - < ou 0 se k < ; e será dvergete r k. Coo coclusão fce os resultdos otdos e ) e ) te-se que o tegrl k k ( + ). ( ) d é solutete covergete qudo se - < k < e dvergete r k - ou k. 3. Outros tos de tegrs róros A rtr dos tegrs róros de rer e segud eséces estuddos os otos. e. ode defr-se utos outros s coleos que or vezes rece s lcções. O rocedeto segur cosste e decoor o tervlo de tegrção e ttos os sutervlos qutos os ecessáros r que e relção cd u deles fução tegrd se ecotre u ds stuções estudds os otos. e. ; o tegrl róro defe-se etão coo so dos tegrs de rer e segud eséce corresodetes os sutervlos e que se decoo o tervlo de tegrção codção de todos eles estre. Veos dos eelos: ) ) + e 0 d + e d e + e d + d ; (ª Eséce) (ª Eséce) 0 e 0 e e d + d + d 0 + (ª Eséce) (ª Eséce) (ª Eséce) + e + d. (ª Eséce) Note-se que coo se dsse covergêc dos tegrs dos reros eros fc deedete d covergêc de todos os tegrs rcels que fgur os segudos eros. Covrá d referr que estêc de fts osslddes r decoor o tervlo de tegrção ão troduz qulquer gudde o rocedeto descrto coo fclete se verfc (o ressuosto de ser fto o úero de sutervlos e que se decoõe o tervlo de tegrção). Ass o cso do eelo ) oder defr-se 66

74 + e 0 d e + e d + d (ª Eséce) (ª Eséce) 0 se que dí resultsse qulquer lterção d coclusão quer quto à covergêc quer quto o vlor do tegrl e cso de covergêc. Co efeto 0 e d + + e d l k 0 + k e d + l + e d l k 0 + e [ d + k e d ] + l + e [ d - e d ] l k 0 + k e d + l + e d 0 e d + + e d. 4. Fuções Bet e G Dus orttes fuções defds or tegrs co dverss lcções oedete teor ds rolddes são s coecds fuções de Euler : + 0 ) A fução G : Γ (). e d ; ) A fução Bet : Β ( ).( ) d. 0 A fução G é u tegrl róro de ª eséce r odedo decoor-se so de u tegrl róro de ª eséce co u de ª eséce qudo se <. A lcção dos crtéros estuddos coduz fclete à coclusão que o tegrl que defe Γ () é covergete r > 0 e dvergete r 0. O doío d fução G é ss defdo el codção > 0 ou se é o tervlo ] 0 + [. Quto à fução Bet r e o tegrl que defe é u tegrl róro (fução cotíu ltd u tervlo ltdo). Qudo se < ou < o tegrl que defe fução Bet é u tegrl róro de ª eséce. A lcção dos crtéros estuddos lev fclete à coclusão que o tegrl que defe Β ( ) é covergete r > 0 e > 0 e dvergete qudo se 0 ou 0. O doío d fução Bet é ss o segute tervlo de R : I {( ) : > 0 > 0}. As fuções de Euler ossue orttes roreddes que ssos estudr : P5 : Pr > Γ () ( - ). Γ ( - ) e e rtculr co tero ostvo deduz-se Γ () ( - )! 67

75 Deostrção : Cosderdo > e tegrdo or rtes oté-se sucessvete: + Γ (). e d. e d +. e d l 0 +. e d + l k + k. e d l + l + [ ] 0 e. + e. ( ). d + [ ] k + + l 0 [ ] k k e. + e. ( ). d { } e + e + e d + l.. ( ). + { } e k k + e + k. e. ( ). d k + [ ] { } + e e +.( ). d 0 +{ e + e d}.( ). + ( ). e. d 0 ( - ). Γ ( - ). Sedo tero or ou gul Γ () ( - ). Γ ( - ) ( - ). ( - ). Γ ( - )... ( - ). ( - )... Γ () ( - ). ( - ).... Γ () ( - )! + 0 orque Γ () e d tero ostvo Γ () ( - )!.. Pr Γ () 0!. Portto e gerl co P 6 : Pr qusquer > 0 e > 0 Β ( ) Β ( ) Deostrção : Te-se Β ( ).( ) d l /.( ) d + 68

76 + l / k 0 e fzedo udç de vrável - result k.( ) d Β ( ) l 0 + ( ). d / + l k 0 / k ( ). d ( ). d / / + ( ). d 0 ( ). d 0 Β ( ) coo se reted deostrr. P 7 : A fução Bet ode e ltertv ser defd elo tegrl Β ( ) + 0 ( + ) + d Deostrção : De-se coo eercíco sugerdo-se que se utlzd udç de vrável +. Areset-se flete se deostrção u guldde que relco s fuções Bet e G. A deostrção fz-se de for reltvete sles s evolve o coeceto d teor d tegrção e R otvo elo qul ão resetreos qu. P 8 : Pr qusquer > 0 e > 0 te-se: Β ( ) Γ ( ). Γ ( ) Γ ( + ) 69

77 5. Eercícos - Detere s sos de Re d fução f () 8 - / o tervlo [0 6] reltvete à decoosção defd elos otos todo coo otos terédos: ) + / ; ) + /3. Detere té s sos feror e sueror de Drou de f () r es decoosção. Core os resultdos otdos co o vlor do tegrl d fução o tervlo que se se ser gul. - Detere s sos de Re d fução f () e [0 ] reltvete à decoosção defd elos otos todo coo otos terédos Detere té s sos feror e sueror de Drou de f () r es decoosção. Core os resultdos otdos co o vlor do tegrl d fução o tervlo que se se ser gul / Clcule os segutes tegrs: 4 ) 5 d ; ) d ; c) 00 d ; 0 4 d) f ( ) d co f () tero outros vlores de. 4 - Sedo que 4 4 d d 5/ e d 4/3 utlze s roreddes dos tegrs r clculr 4 4 ) ( 3 + 5) d ; ) ( 6 ) d ; c) ( ) d ; d) ( 5) d Verfque s segutes desgulddes se clculr os tegrs els evolvdos: ) ( 3 + 4) d ( + 5) d ; ) ( ) d > Pr fução rrcol g() 0 rcol ostre que r qulquer decoosção do tervlo [0 ] sere se ode ecotrr sos sg uls e outrs utárs or escol coveete dos otos terédos. Recorredo à defção de Re que coclusão ode trr sore tegrldde de g() o tervlo e cus? Justfque

78 7 - Cosdere fução defd e [0 ] do segute odo: f () 0 < 3 < ) Mostre que r qulquer decoosção do tervlo s sos sueror e feror verfc s relções: s < 4 < S ; ) Recorredo drectete à defção de tegrl segudo Drou ostre que f () é tegrável e clcule o vlor do tegrl. 8* - Prove que codção ecessár e sufcete de tegrldde de f () e [ ] é que qulquer que se δ > 0 est u decoosção D δ tl que S(D δ ) - s(d δ ) < δ. Coo lcção deste resultdo esteleç tegrldde d fução f () o ter-vlo [ ]. 9 - Co se codção ecessár e sufcete de tegrldde ustfque ser tegráve segute fução o tervlos [0 ]: [ ] s e I(/ ) 0 < f (). 0 e que I () desg o or tero que é feror ou gul. 0* - Cosderdo fução f () defd o tervlo [ ] def-se : Prte ostv de f () : f + () Prte egtv de f () : f - () f ( ) e f ( ) 0 0 e f ( ) < 0 0 e f ( ) 0 f ( ) e f ( ) < 0. Sedo [ + ] u qulquer sutervlo de [ ] se l Ífo de f () e [ + ] ; l + Ífo de f + () e [ + ] ; L Sureo de f () e [ + ] ; L + Sureo de f + () e [ + ]. Posto sto rove que: ) L + - l + L - l ; ) Se f () é tegrável e [ ] etão f + () té o é ; 7

79 c) Se f () é tegrável e [ ] etão f - () té o é ; d) Se f () é tegrável e [ ] etão f () té o é e te-se segute desguldde f ( ) d f ( ) d. - Prove que sedo f () cotíu e ão egtv o tervlo [ ] st que est u c [ ] tl que f (c) > 0 r que o tegrl de f () e [ ] se ostvo. - Utlze terretção geoétrc do coceto de tegrl r clculr : ) ( + ) d ; ) ( 3) d ; c) f ( ) d co f () < < ; d) d. 3 - Reltvete cd u dos csos do eercíco teror detere o vlor k que se refere o teore d éd ou se o vlor k que stsfz guldde f ( ) d k.( - ). 4 - Prove que se f () é cotíu e [ ] e g() é ão egtv e tegrável o eso tervlo etão este u c [ ] tl que f ( ). g( ) d f (c). g ( ) d. 5 - Sedo f () tegrável e [ ] utlze o teore d éd r rovr que l ε ε f ( ) d l ε + 0 ε f ( ) d f ( ) d. 6 - Clculr os tegrs segutes : ) ( + + ) d ; ) log d ; e c) f ( ) d co f () + < 0 0 < e π / ; d) se d ; 0 7

80 e). e d ; f) f ( ) d co f () ( + ) < < + ; 4 g) 3 d. 7 - Mostre qul o erro d segute deostrção ode suostete se rov que - > 0 : Notdo que P (/ ) -/ te-se lcdo fórul fudetl do cálculo tegrl ( / ) d [ / ] ; or outro ldo coo / > 0 te-se ( / ) d > 0 dode result desguldde - > Tedo e cot o resultdo estelecdo o eercíco 5 ostre que sedo f () tegrável e [ ] e rtvável e ] ] te-se reresetdo or F () u rtv d fução e ] ] co F( + 0) l +0 f ( ) d F() - F( + 0) / π 0 F(). Arovete o resultdo r clculr f ( ) d co f (). se ( / ) cos ( / ) Clculr os tegrs defdos segutes: ) De f (). e co orge e c 0 ; ) De f () + < 0 0 < e co orge e c ; c) De f () log co orge e c. No cso d líe c) verfque que dervd do tegrl defdo cocde co fução tegrd. Ser de eserr outro resultdo? Justfque. 73

81 0 - Utlze o tegrl defdo d fução f () se co u orge geérc c r ostrr que e tods s rtvs de u fução u tervlo são ecessrete tegrs defdos d fução e cus. - Sedo f () cotíu e [ ] cosdere o tegrl defdo co orge e. Se F() u qulquer rtv de f () e [ ]. Utlze s roreddes do tegrl defdo r rovr que f ( ) d F() - F() que coo se é fórul fudetl do cálculo tegrl. Core s óteses cosderds este eercíco co s óteses dotds deostrção do teore 6 e dg ustfcdo qul o couto de óteses le rece s gerl. - Mostre que este u só fução f () cotíu [0 ] e tl que r cd [ 0 ]. f () t dt f () t dt Se u() e v() fuções cotíus e R e ts que r cd R ut () dt vt () dt co e costtes res. Prove que u() v() e que u ( ) d 0. 4 Se f () u fução cotíu e R e g() u fução de R - {0} e R defd or ) Idque o vlor de l 0 g() ; g() f t dt ( ). 0 ) Prove que g() é costte e R - {0} se e só se f () é costte e R ; c) Prove que o cotrdoío de g() está cotdo o cotrdoío de f (). 5 - Sedo g() u fução cotíu e ostv e setdo estrto e R def-se ) Estude o sl de () ; () gt () dt ( R ). ) Clcule () ; c) Prove que () é estrtete decrescete o tervlo ] - 0[ ; 74

82 d*) Justfque que () te ío soluto e desgdo-o or rove que verfc relção Má {g() : [0 ] }. 4 6* - Se I [ ] ( < ) e f () u fução de I e R. Pr cd decoosção D { } do tervlo I def--se + 0 v(f D) f ( ) f ( ). Desgdo or V ( f ) o couto de todos os úeros v(f D) que r u dd fução f () ode oter-se cosderdo tods s ossíves decoosções do terv-lo [ ] se λ f Su V ( f ). Dz-se que f () é u fução de vrção ltd o tervlo [ ] se e só se λ f estr fto ou de outro odo se e só se o couto V ( f ) for ordo e R ; qudo fução se de vrção ltd o úero λ f c-se vrção totl d fução o tervlo [ ] ; qudo fução ão se de vrção ltd dz-se que su vrção totl o tervlo e cus é ft. Nests codções: ) Idque qus ds fuções segutes tods defds e [0 ] são de vrção ltd e qul vrção totl de cd u : f () / 0 < 3 0 f () se ( / ) 0 < 0 0 f 3 () se (0 ) f 4 () 0 e rrcol 0 0 e rcol ; ) Prove que se f () é oóto e [ ] etão te vrção ltd e vrção totl é λ f f () f () ; c) Prove que se f () é tegrável e ão egtv e [ ] qulquer dos seus tegrs defdos é u fução de vrção ltd co vrção totl λ f f ( ) d ; d) Prove que se f () é cotíu e [ ] qulquer dos seus tegrs defdos é u fução de vrção ltd co vrção totl ão sueror ( - ). Má { f(t) : t }. 7 - Utlze o étodo de tegrção or rtes r clculr 75

83 π ) cos d ; ). log d ; c) rc tg d ; 0 d). rc t g d. 0 e 8 - Sedo I () t /.( t + ) dt utlze o étodo de tegrção or rtes 0 r ostrr que. I () -. ( + ) / - ( - ).. I - () r. Utlze est guldde r ostrr que 0 5 /.( + 5) d Sedo I ( ) d ostre utlzdo o étodo de tegrção or 0 rtes que ( + ). I. I - e utlze est relção r clculr I I 3 I 4 e I 5. π / Sedo f () tg d ( 0) ostre que: 0 ) f (+) < f () ; ) f () + f (-) se ; c) + <. f ( ) < se. 3* - Adt que f () te dervd de orde + cotíu e certo tervlo I que erteç. Etão r cd I ostre que f () f ( ) + ( ). f ( ) + ( )! f "( ) + L + ( )! ( ) f ( ) + E ( ) co E () ( + ) ( t). f ( t) dt. Est é cd fórul de Tlor co! resto for tegrl. ( SUGESTÃO: Fç deostrção or dução ft e e utlze o étodo de tegrção or rtes). 3 - Clcule os tegrs segutes fzedo s udçs de vrável que se dc : 76

84 ) d ( cos t ) ; ) c) d) e log ( log ) e. log d ( e t ) ; 4 4. d ( t 4 + ) ; 0 3 d ( t 5 - ) Se F( ) Mostre que F( ) + - q. F(/ ) Suodo > 0 ostre que t dt co > 0 e q N. 0 q ( t + ) + t dt / + t dt Co e turs ostre que ).( ) d.( ) d ; 0 0 π / *) cos. se d 0. π / 0 cos d Fzedo udç de vrável u π - ostre que π. f ( se ) d (π /). f ( se ) d. Arovete o resultdo r ostrr que 0 π 0. se π d π. 0 + cos 0 + d Sedo g (t) cotíu e ão ul e [ ] e estdo u costte > 0 tl que g (t) qulquer que se t [ ] utlze o coroláro do segudo teore d éd r rovr que se g() t dt 4/. 77

85 (SUGESTÃO : Multlque e dvd fução tegrd or g (t) ). Utlze o resultdo otdo r ostrr que sedo > 0 qulquer que se >. se t dt / 38 - Clcule s áres sslds e cd u ds segutes fgurs: ) ) cos π/ π + r c) d) 4/ Clcule s áres ds segutes fgurs ls: ) Fgur l que rereset geoetrcete o segute sucouto de R : A {( ) : } ; ) Fgur l ltd els rects / e Sedo f () u fução cotíu e ão egtv o tervlo [ ] desge-se or o couto dos otos do esço ordáro gerdo u rotção colet do trezode defdo els relções e toro do eo O. e 0 f () ) Bsedo-se oção tutv de volue verfque que r qulquer decoosção D { } do tervlo [ ] o volue de está coreeddo etre s sos feror e sueror de Drou d fução g() π. f () reltvs à decoosção D ; 78

86 ) Fce à coclusão d líe teror coo oderá terretr geoetrcete o tegrl π. f ( ) d ; c) Tedo e cot resost d líe teror clcule o volue : ) De u esfer de ro r ; ) De u coe crculr recto de ltur e ro d se r ; ) Do sóldo gerdo or u rotção colet e toro do eo O efectud elo couto dos otos do selo 0 cus coordeds verfc codção Estudr estêc e clculr o vlor de : ) ( / ) d ; ) / d ; c) 0 e d ; d) log ( + ) d ; e) ). e d α d ; f) ( / ) d ; g) α.. e d + log ( log ) ; ) d (Fç e ). e. log + (α > 0 ) ; 4 - Estude covergêc dos segutes tegrs: ) + se + 4 β d ; ).( + ) d 0 + ; c) 0. e d ; + 3/ d). se d ; e) + log ( + ) + d ; f) α e d. + ; g) β. se d ; *) + + se + d ; *) se d 0 ; 0 + *) se d ; k) e. se d Ddos o tegrl e sére + ( ). log ( ) d e + + ( + ). log ( + ) estude turez do rero e coclu dí sore turez d segud Utlze rocedeto seelte o do eercíco teror r estudr α covergê-c d sére ( / ) r α > 0. 79

87 45 - Sedo f () (-) -. / ( - < ; 3... ) estude covergêc + do tegrl f ( ) d Estudr covergêc e clculr o vlor de : ) + 0.( ) d π / 3 ; ) tg d ; c) d 0 / 0 ; / d) / d ; e). e d Estudr covergêc dos segutes tegrs: 0 / ) e d / / ; ) ( + ). ( ) 3 d ; c) cos d ; 0 / d) ( ) β. log ( + ) d ; e) ( ). se ( ) d 0 ; / 3 / f).( ) d ; g).( 4 ) d ; 0 0 ) ( β + ).[. ( )] / d 0 ; ).( 8 ) d ; α ). e d ; k).( ) d. 0 0 α β 48 - Estude covergêc de ( cos ) / d rocededo coo se dc: / 0 ) Alcr o tegrl ( cos )/ d o rero teore d éd; /( + ) ) Reresetdo or () o or tero que fz 0 < < co + ( cos )/ d ; ( ) ( ) + cos..( + ) cos c) Mostrr que sére é dvergete ;..( + ) d) Coclur e segud sore turez do tegrl roosto. ostrr que r 80

88 49 - Estudr covergêc e clculr o vlor de ) + + e α d ; ) c). log d. ( ) 3 / d + ;.( + ) 50 - Estudr covergêc de ) + + e d ; *) β. se d Sedo f () tegrável e [- ] e f () - f () (fução ír) o tervlo rove que co fto f ( ) d 0. O resultdo será váldo o cso de ser +? Justfque. 5 - Mostre trvés de u eelo que ode ter-se co N l f ( ) d k (fto) + se que est o tegrl róro f ( ) d Fzedo udç de vrável se clcule Β (3/ /). A rtr do resultdo otdo clcule : ) Γ (/) Β (/ /) e Γ (9/) ; ) O tegrl + / e d π fzedo o tegrl que defe Γ (/) udç de vrável /. RESPOSTAS: - ) σ 5 s 5 S 05 ; ) σ 57 s 5 S σ 0685 s 05 S

89 3 - ) 30 ; ) 9. / ; c) 0 ; d) ) 78 ; ) 4 ; c) 7 ; d) 5 / A fução g () ão é tegrável e [0 ] orque s sos sg ão tede r u lte fto qudo o dâetro d decoosção tede r zero. 7 - ) O vlor do tegrl é 4. - ) 0 ; ) -8 ; c) 3 ; d) π /. 3 - ) 5 ; ) - ; c) 3/6 ; d) π / ) 8/3 ; ) ; c) e - e + /3 ; d) ; e) e - ; f) 4/6 ; g) 9/. 7 - A fução f () / ão é ltd o tervlo [ - ]. 8 - O tegrl é ulo. 9 - ) ϕ (). e - e + e - ( R ) ; ) ϕ () / < 0 3 / 3 + / 3 0 < e e ; c) ϕ () + log - ( > 0). No cso d líe c) te-se ϕ () log coo ser de eserr ddo que fução tegrd f () log é cotíu o tervlo ]0 + [. - Hótese cosderd o eercíco : H) f () é cotíu o tervlo [ ]. Hóteses cosderds o teore 0 : H) f () tegrável o tervlo [ ] ; H) f () rtvável o tervlo [ ]. Coo H) lc H) e H) s H) e H) ão lc H) ode frr-se que o couto ds óteses H) e H) é s gerl (rge s fuções) que ótese H). 4 - ) f (0). 5 - ) () > 0 se < 0 ou > ; () < 0 se 0 < < ; (0) () 0 ; ) () g( ) - g( ). 6 - ) f 3 () é de vrção ltd sedo resectv vrção totl o tervlo gul se ; s resttes fuções ão são de vrção ltd os tervlos referdos. 7 - ) π / ; ) ( + e 3 ) / 9 ; c) (π /4) - (log )/ ; d) (π /4) - /. 9 - I 8/5 I 3 6/35 I 4 8/35 I 5 56/ ) π / ; ) + log ( + log ) + log ; c) π /4 ; d) 4/5. 8

90 38 - ) - π / ; ) π r ; c) /6 ; d) / ) 9 ; ) / ) Pode terretr-se coo sedo o volue de ; c) ) (4/3)π r 3 ; ) (/3) π r ; ) (4/3)π. 4 - ) ; ) Não este ; c) ; d) Não este ; e) π ; f) / ; g) ; ) 0 ; ). 4 - ) Asolutete covergete ; ) Pr β < -/ solutete covergete ; r β -/ dvergete ; c) Asolutete covergete ; d) Asolutete coverge-te ; e) Asolutete covergete ; f) Asolutete covergete ; g) Pr β < - solutete covergete ; r - β < 0 slesete covergete ; r β 0 dvergete ; ) Slesete covergete ; ) Slesete covergete ; ) Pr < - solutete covergete ; r - dvergete ; r > slesete covergete ; k) Asolutete covergete O tegrl e sére são dvergetes A sére coverge se α > e dverge se α Slesete covergete ) 4 ; ) Não este ; c) (3/) 4 / 3 ; d) Não este ; e) e - / ) Dvergete ; ) Asolutete covergete ; c) Dvergete ; d) Asolutete covergete ; e) Pr β - dvergete ; r β > - solutete covergete ; f) Asolutete covergete ; g) Pr - dvergete ; r > - solutete covergete ; ) Pr β > -/ solutete covergete ; r β -/ dvergete ; ) Pr - dvergete ; r > - solutete covergete ; ) Pr α 0 dvergete ; r α > 0 solutete covergete ; k) Pr α 0 ou β 0 dvergete ; r α > 0 e β > 0 solutete covergete Dvergete ) 4 ; ) Dvergete ; c) Dvergete ) Asolutete covergete ; ) Pr β - dvergete ; r - < β < - solutete covergete ; r - β < 0 slesete covergete ; r β 0 dvergete. 5 - A vldde do resultdo r + ressuõe covergêc do tegrl róro Por eelo l cos π d 0 e ão este cos π d ) Β(3/ /) π / Γ (/) π Β(/ /) π Γ (9/) 05 6 ). 0 π ; 83

91 84

92 CAPÍTULO III SUCESSÕES E SÉRIES DE FUNÇÕES. Covergêc oto oto e covergêc ufore Cosdere-se s fuções f () 3... tods de A R e R. Pr cd A f () é u sucessão de teros res e oderá ou ão estr l f (). Sedo B A u couto ão vzo de res r os qus est fto l f () cosdere-se fução f () l f () co doío e B. Dz-se etão que sucessão de fuções f () coverge oto oto (ou coverge otulete) r fução f () o couto B ; ou se f () coverge oto oto r f () e B se e só se é verfcd segute codção δ > 0 B δ () : > δ () f () f () < δ. Se codção recedete orde δ () uder ser ecotrd de for ão deeder do B cosderdo covergêc de f () r f () e B dz-se ufore ; ou se f () coverge uforeete r f () e B se e só se é verfcd segute codção δ > 0 δ : > δ B f () f () < δ. Clro que covergêc ufore lc covergêc oto oto s vers ão é verdder coo ostr o eelo segute. Sedo f () r R te-se ]- ] l f () f () 0 < < verfcdo-se ortto covergêc oto oto d sucessão de fuções f () r f () o tervlo ]- ]. No etto orde rtr d qul se te f () f () < δ deede de for ultrssável do ]- ] cosderdo ão sedo ortto ufore covergêc; co efeto todo or eelo δ / r qulquer orde que se fe á sere vlores ]- ] ts que f () f () / stdo r tl tor vlores de co ódulo sufceteete róo d udde. No teore segute reset-se u codção ecessár e sufcete de covergêc ufore: Teore : Dd sucessão de fuções f () tods de A R e R codção ecessár e sufcete r que sucessão covr uforeete r f () e B A é que te lte ulo segute sucessão : λ Su { f () f () : B} 85

93 Deostrção : A codção é ecessár. Se f () coverge uforeete r f () e B A te-se etão r > δ δ > 0 δ : > δ B f () f () < δ / ; λ λ Su { f () f () : B} δ / < δ ou se or defção de lte de u sucessão te-se que l λ 0. A codção é sufcete. Se l λ 0 etão δ > 0 δ : > δ λ λ Su { f () f () : B} < δ e ortto or ser f () f () Su { f () f () : B} r todo o B te-se δ > 0 δ : > δ B f () f () < δ codção que trduz covergêc ufore de f () r f () e B A. U outr codção ecessár e sufcete de covergêc ufore cost do teore segute : Teore : Dd sucessão de fuções f () tods de A R e R codção ecessár e sufcete r que sucessão covr uforeete r cert f () e B A é que δ > 0 δ : > > δ B f () f () < δ Deostrção : A codção é ecessár. Adt-se que f () coverge uforeete r f () e B A. Te-se δ > 0 δ : > δ B f () f () < δ /. Etão r > > δ e B te-se f () f () f () f () + f () f () < δ / + δ / δ ss se rovdo que codção é ecessár. A codção é sufcete. Adt-se verfcd codção do eucdo qul lc que r cd B este fto f () l f (). Ass se coclu que f () coverge oto oto r cert fução f () e B. Rest rovr que covergêc é ufore. Ddo u qulquer δ > 0 detere-se orde δ tl que r > > δ e qulquer B se te f () f () < δ / ; etão r > δ e + k ( k... ) e qulquer B te-se 86

94 f () f () f () f + k () + f + k () f () < or ser r cd B l k + < δ / + f + k () f () ; f + k () f () result que l k + f + k () f () 0 cocludo-se etão que f () f () δ / < δ r > δ e qulquer B ou se sucessão f () coverge uforeete r f () o couto B.. Cotudde d fução lte Adtos que sucessão de fuções f () tods de A R e R coverge uforeete r f () e certo B A. Vereos segudete que sedo s fuções f () cotíus e B etão fução lte f () é gulete cotíu e B. O teore resectvo será eucdo e deostrdo r o cso e que B A or er coveêc de otção s os teros de u coroláro edto o resultdo geerlz-se o cso e que B A. Teore 3 : Sedo f () u sucessão de fuções tods de A R e R cotíus e A etão se sucessão f () coverge uforeete r f () e A té f () é fução cotíu e A ; e rtculr se s fuções f () são cotíus e A o eso sucede co f () Deostrção : Pel covergêc ufore de f () e A te-se δ > 0 δ : > δ A f () f () < δ /3. Coo or ótese fução f δ + () é cotíu e ou se este ε δ > 0 tl que < ε δ A f δ + () f δ + () < δ /3 result etão r < ε δ e A f () f () f () f δ + () + f δ + () f δ + () + + f δ + () f () < δ /3 + δ /3 + δ /3 δ ou se f () é fução cotíu e. Coo o rgueto recedete se ode lcr qulquer A ode s fuções f () se cotíus result segud rte do teore. 87

95 Coroláro : Sedo f () u sucessão de fuções tods de A R e R cotíus e B A etão se sucessão f () coverge uforeete r f () e B té f () é fução cotíu este eso couto Deostrção : Bst lcr o teore à sucessão ds restrções ds f () B. 3. Alcção o cso ds séres de fuções res de vrável rel Cosdere-se gor o cso de u sére + R. Pr cd A sére + f () de fuções f () tods de A R e f () é u sére rel covergete ou dvergete ; covergêc d sére equvle coo se se à covergêc d resectv sucessão ssocd S () f () + f () f () e verfcr-se te-se + f () f ( ) l S (). Se B u couto de otos A r os qus est ft so f () d sére + f ( ) ou se u couto de otos A r os qus sucessão S () te lte fto; dz-se etão que sére + f () coverge oto oto r f () e B ; ou se covergêc oto oto d sére e B equvle à covergêc oto oto d resectv sucessão ssocd S () o eso couto. No cso de covergêc de S () r f () ser ufore e B dz-se té que sére coverge uforeete r f () e B. + f Os crtéros de covergêc ufore estuddos r s sucessões de fuções ode ortto ser lcdos r estudr covergêc ufore ds séres de fuções (st lcr ts crtéros às resectvs sucessões ssocds). No etto rtr d codção ecessár e sufcete costte do teore ode eucr-se crtéros de lcção drect o estudo d covergêc ufore de u sére de fuções. Teore 4 : Dd sére + f () () co s f () fuções de A R e R codção ecessár e sufcete r que sére covr uforeete r cert f () o couto B é que δ > 0 δ : > > δ B f + () + f + () f () < δ Deostrção : A covergêc ufore d sére de fuções + f fução f () e B equvle à covergêc ufore d sucessão ssocd () r cert 88

96 S () f () + f () f () r es fução f () o couto B ; elo teore r que tl coteç é ecessáro e sufcete que δ > 0 δ : > > δ B S () S () < δ s or ser S () - S () f + () + f + () f () result de edto codção do eucdo que é ss ecessár e sufcete r que sére de fuções res + f () covr uforeete r cert f () o couto B. O teore recedete é de dfícl lcção rátc elo que é coveete deduzr dele lgus codções sufcetes de covergêc ufore de s sles utlzção. Ass: + Teore 5 : Sedo f ( ) co s f () fuções de A R e R uforeete covergete r cert fução g() o couto B A té f ( ) é uforeete covergete r cert fução f () o eso couto Deostrção : Por ser f + () + f + () f () f + () + f + () f () + f + () + f + () f () e coo covergêc ufore d sére dos ódulos equvle ser δ > 0 δ : > > δ B f + () + f + () f () coclu-se té que f + () + f + () f () < δ δ > 0 δ : > > δ B f + () + f + () f () < δ codção que de cordo co o teore 4 grte o covergêc ufore d sére + f ( ) o couto B. 89

97 + Teore 6 : Dd sére f ( ) co s f () fuções de A R e R se rtr de cert orde k (f ão deedete de ) se tver r qulquer B f () e se sére rel de teros ostvos + f + + for covergete etão s séres f ( ) e ( ) são s uforeete covergetes e B (Crtéro de Weerstrss) Deostrção : Pr > > k f + () + f + () f () qulquer que se B. Coo or ótese sére de úeros res ostvos covergete ddo δ > 0 este u orde δ tl que r > > δ < δ ; + é evdeteete que orde δ deede es de δ á que os teros ão deede de. Sedo δ Má { δ k} te-se r > > δ e qulquer B f + () + f + () f () < δ codção que de cordo co o teore 4 grte covergêc ufore d sére + f ( ) o couto B ; o teore 5 grte or su vez que té sére f ( ) é uforeete covergete o eso couto. Quto à cotudde d so d sére te-se o segute : + Teore 7 : Se s fuções f () fore cotíus e A e sére f ( ) for uforeete covergete r f () e A etão té f () é fução cotíu e A ; e rtculr se s fuções f () são cotíus e A o eso sucede co f () Deostrção : Bst otr que s codções do eucdo sucessão de fuções cotíus S () f () + f () f () coverge uforeete r so d sére f () e lcr o teore

98 Coroláro : Se s fuções f () fore cotíus o couto B A e sére f ( ) for uforeete covergete r f () e B etão té f () é fução cotíu este eso couto Deostrção : Bst lcr o teore à sére ds restrções ds f () B + 4. Alcção às séres de otêcs Reltvete o estudo efectudo o oto teror u cso rtculr ortte é o d sére de otêcs e R ou se sére +. ( ) e que e são úeros res é vrável rel e é o tero gerl de u sucessão estrtete crescete de úeros teros ão egtvos. + Seos á que sére de otêcs.( ) é covergete r ertecete certo tervlo I o qul ode ser: ) erto I ]- + [ ou I ] -λ +λ [ ; ) se--erto I ] -λ +λ ] ou I [ -λ +λ [ ; ) fecdo I [ -λ +λ ]. Se-se té que sére de otêcs referd é solutete covergete os otos terores do tervlo I odedo d sê-lo s resectvs etreddes ± λ devedo oré otr-se que qudo tl cotece covergêc ão ode ser solut es u ds etreddes ddo que s séres +.( λ ) + e.( + λ ) cocde tero tero. Desgdo or I 0 o tervlo de covergêc solut tese I 0 I e o cso de ser I 0 I sére é slesete covergete e elo eos u ds etreddes ± λ. Pr cd I ( ertecete tervlo de covergêc d sére de otêcs) se + f ().( ). Te-se etão que sére de otêcs coverge oto oto o tervlo I r + fução f ().( ). Os teores segutes trt d questão d evetul covergêc ufore d sére de otêcs r fução f () referd. 9

99 Teore 8 : Dd sére de otêcs e R +.( ) se I 0 o resectvo tervlo de covergêc solut. Etão: ) Se I 0 [ -λ +λ ] sére é uforeete covergete e I 0 ; ) Se I 0 ]- + [ ou I 0 ] -λ +λ [ sére é uforeete covergete e qulquer tervlo ltdo e fecdo cotdo e I 0 Deostrção : No cso d líe ) te-se r [ -λ +λ ].( ).( λ ) + e or ser covergete sére.( λ ) ddo ser solutete covergete + sére de otêcs.( ) r ± λ o crtéro de Weerstrss (teore 6) erte trr coclusão desed : sére de otêcs é uforeete covergete e I 0. No cso d líe ) cosdere-se u tervlo K [ ] ltdo e fecdo cotdo e I 0 ]- + [ ou I 0 ] -λ +λ [. Coo e ertece o tervlo erto I 0 este ortto u rel r > 0 tl que + e coo sére.( ) K [ ] [ - r + r] I 0 é solutete covergete e [ - r + r] rcocdo coo o cso d líe ) - co utlzção do tervlo fecdo [ - r + r] e vez do tervlo [ -λ +λ ] etão utlzdo - coclu-se que covergêc é ufore e [ r + r] sedo-o ortto té e qulquer sucouto deste tervlo coo é o cso do tervlo K. O resultdo d líe ) do teore recedete ode ser elordo qudo u ou s s etreddes ± λ do tervlo de covergêc solut se otos de covergêc sles d sére de otêcs. A deostrção do teore segute que trt dest questão ressuõe utlzção d desguldde de Ael que ssos resetr. Ddos os úeros res (... ) te-se segute guldde: ( - ). + ( - 3 ). ( + ) + 9

100 + ( 3-4 ). ( ) ( - 0 ). ( ). Co efeto coo rcel geérc do rero ero é guldde fc deostrd se se rovr que os teros co o segudo ero so recsete. Or o segudo ero rer rcel ode fgur é ( - + ). ( ) e e tods s rcels segutes fgur sere ; etão o coefcete de o segudo ero é recsete coo se reted deostrr. ( ) A rtr d guldde otd vos estelecer desguldde de Ael. Qudo os... se úeros ão egtvos decrescetes ou se... 0 sedo k tl que k + k k oté-se rtr d guldde revete deostrd : ( - ). + ( - 3 ) ( 3-4 ) ( - 0 ) ( ). k ou se k que é desguldde de Ael utlzr deostrção do teore segute. Ad tedo e vst fcltr deostrção do eso teore ote-se revete que se sére de otêcs +.( ) ) Covergr uforeete e qulquer tervlo fecdo [ +λ] cotdo e ]-λ +λ] tl é sufcete r grtr resectv covergêc ufore e qulquer tervlo ltdo e fecdo cotdo este últo tervlo. Co efeto qulquer tervlo K ltdo e fecdo cotdo e ] -λ +λ] está té cotdo e certo [ +λ] co -λ < < +λ e suost covergêc ufore d sére e [ +λ] lc covergêc ufore e qulquer sucouto deste tervlo coo é o cso do tervlo K ; ) Do eso odo se dt sére covergr uforeete e qulquer tervlo fecdo [-λ ] cotdo e [-λ +λ[ tl é sufcete r grtr resectv covergêc ufore e qulquer tervlo ltdo e fecdo cotdo este últo tervlo. 93

101 Teore 9 : Dd sére de otêcs e R +.( ) se I 0 o seu tervlo de covergêc solut d sére. Sedo I 0 ] -λ +λ [ : ) Se sére de otêcs for slesete covergete e + λ etão é uforeete covergete e qulquer tervlo ltdo e fecdo cotdo o tervlo ] -λ +λ ] ; ) Se sére de otêcs for slesete covergete e - λ etão é uforeete covergete e qulquer tervlo ltdo e fecdo cotdo e [ -λ +λ [ ; c) Se sére de otêcs for slesete covergete e - λ e e +λ etão é uforeete covergete e [ -λ +λ ] Deostrção : ) Cosdere-se o tervlo ] + λ] e veos que este tervlo covergêc é ufore. Fzedo ε [ ] λ te-se r < + λ ε ε... ε... > 0. Coo or ótese sére de otêcs é covergete r +λ etão ddo u qulquer δ > 0 este u orde δ tl que r > > δ + λ + < δ / + λ λ + < δ /... + λ λ λ < δ /. Utlzdo desguldde de Ael odeos os escrever r > > δ + λ + ε λ + ε λ ε (δ /). ε + < δ ou se susttudo os ε elos resectvos vlores + ( ) ( ) ( ) < δ r qulquer ] + λ]. De cordo co o teore 4 ode os coclur-se que sére de otêcs é uforeete covergete e ] +λ ]. A frção d líe ) do eucdo rov-se gor edtete. Nos teros ds cosderções que edtete recede o eucdo do teore strá rovr que covergêc é ufore e qulquer tervlo fecdo [ +λ] cotdo e ] -λ +λ] : or sedo < +λ o tervlo [ +λ] está cotdo o tervlo de covergêc ufore ] + λ] e coclusão é edt ; cso se te - λ < te-se 94

102 covergêc ufore o tervlo [ ] [or ser u tervlo ltdo e fecdo cotdo o tervlo de covergêc solut - ver teore 8 líe ) -] e té o tervlo ] + λ] fclete se cocludo que covergêc é té ufore e [ +λ] [ ] ] + λ]. ) A deostrção é seelte à d líe ) coeçdo-se or rovr que covergêc é ufore o tervlo [ - λ [ o que se cosegue fzedo ε [ ] λ r - λ < e utlzdo desguldde de Ael tl coo se fez líe ). c) O resultdo é cosequêc edt do deostrdo s líes terores : covergêc é ufore e [ +λ] - líe ) - e o tervlo [-λ ] - líe ) - logo té o é e [ -λ +λ ] [-λ ] [ +λ]. Por u questão de sstetzção odeos reur u só eucdo os resultdos estelecdos os teores 8 e 9. Teore 0 : Dd sére de otêcs e R +.( ) se I o resectvo tervlo de covergêc (sles ou solut). A sére de otêcs é uforeete covergete e qulquer tervlo ltdo e fecdo cotdo e I Deostrção : Reresetdo or I 0 o tervlo de covergêc solut d sére de otêcs ) Se for I I 0 o teore 8 ssegur coclusão; ) Se o tervlo I clur qulquer ds resectvs etreddes (ou s) coo otos de covergêc sles d sére de otêcs o teore 9 ssegur gulete coclusão. A rtr do teore 0 e tedo e cot o coroláro do teore 7 odeos ortto eucr + Teore : Dd sére de otêcs.( ) resectvo tervlo de covergêc fução rel de vrável rel + é cotíu o tervlo I ode é defd Deostrção : A sére de fuções f().( ) e reresetdo or I o 95

103 +.( ) coverge oto oto o tervlo I r fução + f ().( ) e or outro ldo o teore 0 ssegur que covergêc é ufore e qulquer tervlo ltdo e fecdo cotdo e I. Ddo u qulquer c I três csos se ode dr : ) O oto c ertece o teror de I e esse cso ertece o teror de certo tervlo K ltdo e fecdo cotdo e I. A covergêc ufore d sére e K grte cotudde de f () e K (coroláro do teore 7) logo f () é cotíu e c ; ) Cso se c + λ sére é uforeete covergete o tervlo [ +λ] sedo etão f () cotíu esse tervlo e ortto cotíu à esquerd e + λ ; c) Cso se c λ sére é uforeete covergete o tervlo [-λ ] sedo etão f () cotíu esse tervlo e ortto cotíu à dret e λ. O que tecede é sufcete r grtr cotudde de f ().( ) tervlo I ode sére coverge. + o A cotudde lterl d fução so d sére s etreddes do tervlo de covergêc (qudo eles sére covr) será dte utlzd r ustfcr o lrgeto d vldde de u desevolveto e sére u ou s s etreddes do tervlo de covergêc d sére rtr d resectv vldde o teror do tervlo. Ass dtdo que + g().( ) r ] - λ + λ [ suo-se or eelo que sére coverge té r + λ. Reresetdo so d sére de otêcs or f ( ) est fução é cotíu o tervlo ] - λ + λ ] e ortto l + λ 0 + f () f ( + λ).( λ ) cso fução g() se defd e + λ e cotíu à esquerd este oto te-se or ser f () g() e ] - λ + λ [ g( + λ ) l + λ 0 g() l + λ 0 ; + f () f ( + λ).( λ ) + ss se cocludo que o desevolveto g().( ) vle gulete r + λ. Idêtcs cosderções são válds qudo sére coverge té r - λ e fução desevolvd g() é cotíu à dret este oto. 96

104 5. Dervção e rtvção tero tero Se + F ( ) u sére de fuções res de vrável rel tods defds e certo tervlo ão degeerdo I e ts que r todo o I sére coverge e te or so F(). Adt-se que s fuções F () são derváves o tervlo I e reresetese or f () s resectvs dervds. E tudo o que segue desgreos + F ( ) or sére ds rtvs e + f ( ) or sére ds dervds. Sedo coo se dsse F() + F ( ) e I oderá oter-se dervd de F() esse tervlo dervdo sére tero tero coo se fosse u so ordár? Por outrs lvrs de F() + F ( ) r I oderá deduzr-se f () F () + f ( ) r I e que f () F ()? E gerl resost é egtv s vos ver o teore segute que verfcds certs codções se ode oter u resost ostv à questão foruld. Teore : A dervd de F() + F ( ) o tervlo I (ode evdeteete se suõe est sére covergete) ode oter-se dervdo ess sére tero tero desde que esse tervlo sére ds dervds se uforeete covergete Deostrção : Toe-se u qulquer c I e reresete-se or S () so dos reros teros d sére + F ( ). Co > te-se S () - S (c) S () - S (c) + [ F + () + + F () - F + (c) - - F (c)] e coo F + () + + F () dte dervd ft e todos os otos do tervlo I (é u so ordár de fuções derváves) o teore de Lgrge erte escrever r 97

105 c e I S () - S (c) S () - S (c) + ( - c).[ f + (*) + + f (*)] co * etre c e. Fzedo guldde teror + (co fo) oté-se F () - F (c) S () - S (c) + ( - c). α () e que r c α () l [ f + (*) + + f (*)] + F( ) F( c) S( ) + S( c) c. Coo sére ds dervds é or ótese uforeete covergete o tervlo I etão qulquer que se δ > 0 este u orde (δ ) eclusvete deedete de δ tl que > > (δ ) I f + () + + f () < δ /3 dode se tr ssdo o lte qudo + (co fo) > (δ ) I α () δ /3 ; e té reresetdo or f () so d sére ds dervds e or s () so dos reros teros dest sére > (δ ) I f () - s () δ /3. Notdo gor que S () s () r cd te-se S( ) S( c) s () + β () co l β () 0 ; c ortto r o δ > 0 terorete fdo este u ε > 0 tl que V ε (c) I β () < δ /3. A guldde otd qudo se defu α () erte gor escrever sucessvete r I c I F( ) F( c) ( c). α ( ) c S ( ) S ( c ) c s () + β () F( ) F( c) c F( ) F( c) c s () + β () + α () f (c) - f (c) + s () + β () + α (). Fdo gor u rtculr k > (δ ) te-se r V ε (c) I k 98

106 F ( ) F ( c ) c - f (c) s k () f (c) + β k () + α k () < δ /3 + δ /3 +δ /3 δ o que rov ser F( ) F( c) l c c I F (c) f (c) + f ( c ) + F ( c ) devedo otr-se or forç d codção I que qudo c se u ds etreddes do tervlo I dervd ecotrd é u dervd lterl. Devdo à rtrredde do c I cosderdo deostrção te-se ortto F () f () + f ( ) + F ( ) qulquer que se I. Trt-se segudete d questão d rtvção tero tero de u sére de fuções (coo se fosse u so). Cosdere-se que sére + f ( ) é uforeete covergete o tervlo I de etreddes fts <. Se F () rtculres rtvs dos teros f () dquel sére. Vos ostrr e rero lugr que sére + F ( ) (sére ds rtvs) sedo covergete e certo c I é uforeete covergete o tervlo I. Teore 3 : Sedo + f ( ) uforeete covergete e co so f () o tervlo I de etreddes (fts) < e sedo F () rtculres rtvs dos teros f () dquel sére se sére + F ( ) for covergete e certo c I etão el será uforeete covergete e I Deostrção : Fdo u δ > 0 este u orde (δ ) tl que s > r > (δ ) I f r+ () + + f s () < δ /.(-) ddo que or ótese sére + f ( ) é uforeete covergete o tervlo I. Por outro ldo dd covergêc de + F ( c) este u orde (δ ) tl que s > r > (δ ) F r+ (c) + + F s (c) < δ /. 99

107 Atededo gor à segud guldde utlzd deostrção do teore fzedo el s e r te-se S s () S s (c) S r () - S r (c) + ( - c).[ f r+ (*) + + f s (*)] co * etre c e dode result ou d S s () - S r () S s (c) - S r (c) + - c. f r+ (*) + + f s (*) F r+ () + + F s () F r+ (c) + + F s (c) + Todo (δ ) Má { (δ ) (δ )} te-se etão + - c. f r+ (*) + + f s (*). s > r > (δ ) I F r+ () + + F s () < δ / + - c.δ /.(-) δ / + ( - ).δ /.(-) δ o que trduz covergêc ufore de + F ( ) o tervlo I. O teore recedete cougdo co o teore erte gor deostrr o segute Teore 4 : Se sére + f ( ) for uforeete covergete o tervlo ltdo I oté-se u rtv de f () + f ( ) esse tervlo rtvdo sére tero tero desde que se te o cuddo de tor r cd tero f () u rtv F () de odo que sére ds rtvs + F ( ) se covergete e certo oto c I. Adcolete sére ds rtvs otd coo se dcou é té uforeete covergete o tervlo I Deostrção : Pelo teore 3 sére + F ( ) costruíd coo se refere o eucdo é uforeete covergete o tervlo I. Reresetdo or F() resectv so o teore grte or su vez que F () + F ( ) + f ( ) f () 00

108 orque or ótese sére ds dervds + f ( ) é uforeete covergete e I. Logo or defção de rtv F() + F ( ) é u rtv de f () + f ( ) o tervlo I. O teore está deostrdo. O teore recedete dte o segute coroláro: Coroláro : Se sére + f ( ) for uforeete covergete e qulquer tervlo fecdo cotdo o tervlo I (gor ltdo ou ão) oté-se u rtv de f () + f ( ) esse tervlo I rtvdo sére tero tero desde que se te o cuddo de tor r cd tero f () u rtv F () de odo que sére ds rtvs + F ( ) se covergete e certo oto c I Deostrção : Note-se e rero lugr que sére ds rtvs + F ( ) é elo teore teror uforeete covergete e qulquer tervlo [ ] cotdo e I e o qul erteç c. Coo qulquer I sere se ode clur u tervlo [ ] cotdo e I e o qul erteç o oto c coclu-se que sére + F ( ) é covergete e qulquer I ; desgdo or F() resectv so o teore teror grte que est fução é u rtv de f () + f ( ) e qulquer tervlo fecdo cotdo e I e o qul c erteç. Portto F () f () e todos os otos I ou se F() é u rtv de f () + f ( ) o tervlo I coo se quer rovr. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE : U for sles de grtr os cuddos ter rtvção de séres tero tero ou se grtr que sére ds rtvs é covergete e certo oto do tervlo de rtvção é tor rtvs que se ule e certo c I ; rocededo dess for oté-se u sére ds rtvs segurete covergete r c ddo que r esse vlor de os resectvos teros são todos ulos. 6. Dervção e rtvção tero tero ds séres de otêcs Os resultdos do oto teror ode evdeteete lcr-se às séres de otêcs. 0

109 Cosdere-se s dus segutes séres de otêcs +.( ) (sére ds rtvs) e +..( ) (sére ds dervds) e reresete-se or I e J os resectvos tervlos de covergêc. Vos estelecer lgus orttes relções etre os os tervlos : ) E rero lugr te-se J I. Todo c J se for c te-se ovete c I. Cso se c > sére ds dervds é uforeete covergete o tervlo [ c] e sére ds rtvs é covergete r. O teore 3 grte etão que sére ds rtvs é uforeete covergete e [ c] logo é covergete r c. No cso de ser c < o eso rgueto se lc gor o tervlo [c ]. E qulquer dos csos sére ds rtvs coverge r c ou se c I. Fc ss rovd desed clusão. Dqu result logo que se J ] - + [ té I ] - + [. E se I [ ] té J [ ]. ) Toe-se gor u oto c INT. I. A sére ds rtvs coverge solutete r c e vos ostrr que té sére ds dervds coverge solutete r c. São ossíves três óteses: c c > e c <. No cso de ser c coclusão é óv. Pr os outros dos csos te-se : º Cso : Sedo c > te-se c + r co r > 0. Fe-se > 0 sufceteete equeo de for que c + + r + INT. I o que é sere ossível or ser c oto teror de I. Note-se gor que s séres + ( r + ) e + são s solutete covergetes orque são otds ultlcdo or / todos os teros ds séres que result d sére ds rtvs fzedo el resectvete c + + r + e c + r. Etão or forç d desguldde r ( r + ) r ( r + ) + r té coverge solutete sére + ( r + ) r +.. ( r ) +.. ( r ) co 0 < r < r < r + (lcção do teore de Lgrge). Fzedo sére ds dervds c + r oté-se sére +.. r cuos teros são ordos 0

110 e ódulo elos corresodetes teros d sére +.. ( r ) que vos ser solutete covergete. Tl é sufcete r grtr covergêc solut d sére ds dervds r c >. º Cso : Sedo c < te-se c + ( c) > e clro que té c INT. I. Etão sére ds dervds coverge solutete r c + ( c). Notdo que às séres +..( c ) e +.. ( c ) corresode es sére dos ódulos coclu-se que sére ds dervds é solutete covergete r c <. c) Coo cosequêc de ) s INT. I J dode result que se J [ ] té I [ ] e d INT. (INT. I ) INT. I INT. J. Coo cosequêc de ) or seu ldo s INT. J INT. I. Te-se etão INT. I INT. J ou se os tervlos I e J dfere qudo uto elo fcto de u ou s s etreddes ertecere u e ão outro. Poré coo J I s etreddes de J qudo le erteç ertece té I. E coclusão : ) Se I ]- + [ te-se J ]- + [ e versete ; té I [ ] se e só se J [ ] ; ) No cso e que I e J se ltdos s etreddes ± λ de u são ectete s do outro sedo que se ts etreddes ertece J té ertece I ; 3) E coleeto de ) refr-se ossldde de u ou s s etreddes do tervlo I (de covergêc d sére ds rtvs) ão ertecere o tervlo J de covergêc d sére ds dervds coo cotece co sére + (/ ). que coverge r [- [ equto que corresodete sére ds dervds + ão coverge r -. As cosderções recedetes e o teore erte coclur que F() +.( ) F () f () +..( ) qulquer que se ertecete o tervlo J de covergêc d sére ds dervds orque qulquer oto deste tervlo se ode clur u tervlo de covergêc ufore d sére ds dervds. Ou se qulquer sére de otêcs ode ser dervd 03

111 tero tero o teror do seu tervlo de covergêc e evetulete s resectvs etreddes (dervds lters) cso ests erteç o tervlo de covergêc d sére ds dervds. Veos gor o cso d rtvção tero tero ds séres de otêcs. Dd sére de otêcs +.( ) se J o resectvo tervlo de covergêc. Pr cd J sére te or so f () +.( ) ; coo est sére é uforeete covergete e qulquer tervlo fecdo cotdo e J o coroláro do teore 4 erte oter segute rtv de f () e J : F() + ( ) + + sedo est sére otd or rtvção tero tero d sére dd todo rtvs que se ul e. 7. Alcção o cálculo de so de séres U lcção teresste d teor eost terorete cosste oteção d so de u sére fordo or dervção ou rtvção lgu equção que ert deterr. Veos lgus eelos: ) Vos clculr so d sére + ( + ) que é covergete r < <. Reresetdo or s() so d sére te-se que fução S() + ( + ) rtv de s() o tervlo ]- [ e do eso odo F() + + é u rtv de S() té o tervlo ]- [. Etão r < < é u S() F ().( ) + ( ) ( ) s() + ( ).( ( + ) S () ss se otedo so d sére dd. ) +.( ( ) 4 ).( ) ( ) 3 04

112 ) Vos e segud clculr so d sére + + ( ) que é covergete o tervlo [ 3 [. Reresetdo or S() so d sére te-se or dervção 0 + tero tero + S () ( ) 0 ( ) 3 r < < 3. Dqu result or rtvção S() + + ( ) - log ( 3 ) + k r ] 3 [ 0 + co k costte deterr. Todo result S() - log ( 3 ) + k dode se tr k 0 or ser S() - log ( 3 ) 0. Te-se ortto S() + + ( ) - log ( 3 ) r ] 3 [. 0 + Nos teros ds cosderções fets logo segur o teore covergêc e d sére cu so se retede clculr e cotudde de g() - log ( 3 ) o eso oto erte coclur que S() + + ( ) - log ( 3 ) r [ 3 [ ) Pr terr vos clculr so d sére ol α α α + ( ). + ( ). + L + ( ). + L ou + ( ). e que α α ( α ) L ( α + ) α ( ) e ( 0 )! e o râetro α { 0 3 }. Note-se que r α tero ão egtvo os coefcetes ( α ) são ulos r > α e etão sére reduz-se u so ordár e se-se el fórul do óo de Newto que α α α α α ). + ( ). + + ( α ). ( + ) + ( L R. Pr vlores do râetro α { 0 3 } te-se efectvete u sére co ftos teros sgfctvos coduzdo o resectvo estudo os segutes resultdos (ver eercíco 5 ) do Cítulo V do Volue I ) : - Co α > 0 sére é solutete covergete e [- ] ; - Co - < α < 0 sére é solutete covergete e ] - [ e slesete covergete e ; - Co α - sére é solutete covergete e ] - [. Pr deterr so d sére reresete-se or f () resectv so r vlores - < <. Te-se etão r estes vlores de α 05

113 06 f () L L ) ( ). ( ). ( α α α +. ) ( α dode se tr or dervção tero tero f () L L ) ).( ( ). ( ) ( α α α + )..( α +. ) (. α α e dqu result. f () +. ) (. α α ; sodo tero tero est sére co teror oté-se sucessvete ( + ). f () ) (. ) (. α α α ) (. ) (. α α α [ ] ) ( ) (. α α α ; coo ) ( ) ( ) ( α α α + oté-se ( + ). f () + +. ) (. α α α. +. ) ( α α. f (). A guldde otd erte coclur que o tervlo ] - [ α α α α α ) ( ) (. ) (. ) (. ) ( ) ( ) ( f f f 0 ) ( ) ( ) (. ) ( + + α + α f f ou se frcção cu dervd se cou é costte o tervlo ]- [ ; ortto o seu vlor ode ser deterdo fzedo or eelo 0 α α ) ( ) ( (0) 0) ( (0) f f f + + dode se tr f () +. ) ( α ( + ) α r - < < Nos teros ds cosderções fets logo segur o teore o resultdo otdo vle d: ) Pr - e qudo se α > 0 ; ) Pr qudo se - < α < 0.

114 8. Itegrção de séres tero tero As séres de fuções res de vrável rel que se uforeete covergetes u tervlo [ ] ode ser tegrds tero tero cso s fuções que são teros d sére se ltds e tegráves quele tervlo. É o que se estelece o teore segute: Teore 5 : Sedo f () fuções ltds e tegráves e [ ] e sedo sére f ( ) uforeete covergete quele tervlo etão f ( ) d f ( ) d Deostrção : Veos e rero lugr que f () f ( ) é u fução ltd o tervlo [ ]. Fdo δ covergêc ufore d sére grte estêc de u orde tl que Dqu result r qulquer [ ] f ( ) - f() < [ ]. f ( ) - < f () < f ( ) + e coo fução () f ( ) é ltd o tervlo e cus (or ser so ordár de fuções ltds o tervlo) coclu-se se dfculdde que f () é gul-ete ltd esse tervlo. Veos gor que f () é tegrável e [ ]. A tegrldde de cd f () equvle o fcto de o couto X dos otos de descotudde de f () e [ ] ter edd à Leesgue ul. Ddo que uão de u fdde uerável de coutos co edd à Leesgue ul é d u couto co edd à Leesgue ul e coo or outro ldo covergêc ufore d sére lc cotudde d resectv so os otos do couto B [ ] - U X coclu-se se dfculdde que f () é tegrável o tervlo [ ]. Flete roveos guldde do eucdo. Ddo δ > 0 este u orde (δ ) tl que Etão [ ] > (δ ) f ( ) - f() < δ /(-). 07

115 f ( ) d [ f() - f ( ) ] d + f ( ) d [ f() - f ( ) ] d + f ( ) d dode result f ( ) d - f ( ) d [ f() - f ( ) ] d. Or sedo g() u fução tegrável e [ ] coclu-se se dfculdde que té g() é tegrável esse tervlo e que Alcdo este resultdo te-se g ( ) d g ( ) d. f ( ) d - f ( ) d f() - f ( ) d < < δ /( ) d δ r > (δ ). Isto sgfc que f ( ) d l f ( ) d ou se tededo que f () f ( ) e cosderdo defção de so de u sére coo queríos rovr. f ( ) d f ( ) d O teore que c de ser deostrdo dte o segute coroláro reltvo à ossldde de erutr s oerções de tegrção e de ssge o lte: Coroláro : Sedo s fuções u () ltds e tegráves e sedo sucessão u () uforeete covergete e [ ] etão l u ( ) d l u ( ) d Deostrção : Defdo f () u () e f () u () - u - () ( ) sére de fuções f ( ) ecotr-se s codções do eucdo do teore coo se verfc se dfculdde. Alcdo o teore est sére de fuções ceg-se quse edtete à coclusão desed. 08

116 9. Eercícos - Estude covergêc ufore ds segutes sucessões os coutos dcdos: ) u () e B ] - [ e e R ; + ) v () ( + ) + e R ; ( + ) c) w () e [ + [ ; + d) z () + + e [ 0 + [. + * - Cosdere que r cd N f () é u fução rel de vrável rel defd e crescete o tervlo [ ]. Adt que sucessão f () coverge oto oto e [ ] r cert fução f () cotíu esse eso tervlo. Posto sto ) Prove que fução lte f () é té crescete o tervlo [ ] ; ) Prove que covergêc de f () r f () é ufore e [ ] rocededo sucessvete coo se dc: ) E rero lugr ostre que sedo [ ] tl que l α etão l f ( ) f (α) ; ) Adt e segud que covergêc ode ão ser ufore e tedo e cot o resultdo otdo e ) deduz dí u cotrdção. 3 - Sedo u () e v () sucessões de fuções res tods co doío e certo couto A (qulquer) ostre que ) Se u () e v () coverge uforeete r resectvete u() e v() o couto B A etão u () + v () coverge uforeete r u() + v() o eso couto B ; ) Se u () e v () coverge uforeete r resectvete u() e v() o couto B A e ests fuções lte são ltds etão u (). v () coverge uforeete r u(). v() o eso couto B ; c) Atrvés de u eelo e reltvete o deostrdo líe ) ostre que codção de s fuções lte sere ltds ão ode ser eld so e de covergêc oder ão ser ufore. 4 - Estude covergêc ufore ds segutes séres res os coutos dcdos: 09

117 ) ) c) d) ( ). ( + ) ( + ) e R ; e [- ] ; ( ) e [ 3] ; ( + )( + ) ( ). + e [-/ ]. 5 - Justfque que so d sére + 0 é u fução cotíu o tervlo ]- [. 6 - Mostre que so d sére rel + 0 ( + ) ão é fução cotíu e 0. Que coclusão se ode trr quto à covergêc ufore d sére o tervlo [-/ /]? Justfque. 7 - Cosdere sucessão de fuções res de vrável rel f () +. se ( ). ) Mostre que l f () + fução cotíu e R ; ) Mostre que o etto sucessão ão é uforeete covergete e R ; c) A cougção dos resultdos otdos e ) e ) será cotível co o dsosto o teore 3? Justfque. 8 - A sére. se ( ) covergete r todo o R ode ser dervd tero tero e R? Justfque Cosdere sére ( ). co + e l R. ) Mostre que se trt de u sére solut e uforeete covergete o tervlo [- ] ; ) Verfque que sére

118 que se oté rtvdo tero tero sére dd é covergete r ; c) Fce o resultdo estelecdo e ) que coclusões ode trr : ) Sore covergêc ufore d sére ds rtvs o tervlo [- ]? ) Sore o fcto de so S() d sére ds rtvs ser u rtv de + s() ( ).? 0 - Suodo que o tervlo de covergêc solut d sére. é ] -λ λ[ e que sére coverge r λ oderá grtr-se que sére + + té coverge qudo λ? Reresetdo or s() e S() resectvete s sos d sére ds dervds e ds rtvs oderá frr--se que S e ( λ ) s(λ)? Justfque. - Dd sére r < 0. ( e e ) ostre que é covergete e clcule su so - Cosdere sére se ( ) + cos ( ) ) Mostre que é covergete r qulquer R ;. ) Desgdo or f () resectv so ostre que f() é u fução cotíu e R ; c) Reresete or u sére u ossível rtv de f() e ]- + [. 3 - Cosdere sére u ( ) e que u () se u () se ( ) se ( ) ( ) ) Mostre que se trt de u sére covergete e clcule su so S() ; ) Mostre que sére ds dervds coverge r 0 e que S (0) u ( 0). Que coclusão ode trr deste fcto? 4 - Cosdere sére ( + )..

119 ) Mostre que é covergete o tervlo ]- [ ; ) Mostre que S(0) é u ío reltvo de S() clculdo S (0) e S (0) rtr ds séres que rereset S () e S () ; c) Detere so S() d sére dd. 5 - Sedo f () ostre que f () é rtvável e R e detere 4 + rtv que se ul r 0 defdo- or eo de u sére. 6 - Justfque que r > -.( + ). ( + ) 7 - Deostr-se teor ds séres de Fourer que r 0 π cos ( ) 3 6 π + π A rtr deste resultdo. ) Clcule ( ) e ; ( ) *) Mostre que ( ) + ( ) 3 π 3 / Clcule s sos ds segutes séres os resectvos tervlos de covergêc : ) e) ( ) ; ). ; c). ; d) ( ) ( + ) ( ) ; U fução rel de vrável rel co doío e A R dz-se lítc o oto teror do seu doío se e só se este u ε > 0 tl que : f().( ) V ε (). Posto sto

120 ) Prove que f () / e que g() e são lítcs e qulquer oto dos resectvos doíos ; ) Prove que se u fução lítc orge te dervds uls de tods s ordes orge etão fução e cus é costte e cert vzç d orge. 0 - Cosdere segute sucessão de fuções : f () 0. ( ) + 0.( ) < / / < < + / + / <. ) Mostre que l f ( ) d l f ( ) d ; 0 0 ) Que coclusão ode trr sore evetul covergêc ufore de f () o tervlo [0 ]? - Dd sucessão f () e ) Mostre que l f ( ) d l f ( ) d ; 0 0 ) Que coclusão ode trr sore evetul covergêc ufore de f () o tervlo [ 0 ]? - Clcule o segute tegrl ustfcdo revete ossldde de tegrção tero tero: ( + ) d. 3 - Clcule co erro ão sueror 0000 o tegrl e d. 4* - Sedo u () 3... e u() fuções tegráves o tervlo [ ] cosdere que l [ ( ) ( )] u ( ) d. u u d 0. Prove que l u ( ) d 3

121 RESPOSTAS: - ) Uforeete covergete e B ] - [ e ão uforeete covergete e R ; ) Uforeete covergete ; c) Uforeete covergete se > 0 ão uforeete covergete se 0 ; d) Uforeete covergete. 3 - c) Por eelo s s sucessões f () e g () são uforeete 3 + covergetes o tervlo ] 0 [ e o etto o eso ão cotece co o resectvo roduto. 4 - São tods uforeete covergetes os coutos dcdos co eceção d líe ). 6 - Não é uforeete covergete o tervlo. 7 - c) S orque o teore 3 dá u codção sufcete de cotudde e ão u codção ecessár. 8 - Não orque sére ds dervds ão é covergete e R. 9 - c) ) É uforeete covergete ; ) S() é u rtv de s(). 0 - Pode orque segud sére oté-se rtvdo rer tero tero e est é uforeete covergete e [0 λ] e or su vez sére ds rtvs coverge e 0 ; te-se S e ( λ ) s(λ) orque S() é u rtv de s() o tervlo ] -λ λ]. - log e. e se ( ) cos ( ) - c) F() ) S() 0 R ; ) A sére ds dervds ão é uforeete covergete e qulquer tervlo que erteç zero. 4 - ) S (0) 0 e S (0) 6 ; c) S() 3 4 (- < < ). ( ) rc tg ( / ) 5 - F(). 7 - ) π /6 π / e π / ) - log ( - ) r - < ; ) ( ) r - < < ; + c) r - < < ; d) log 3 ( ) r 0 < < ; e). log - + r 0 < e r ) A sucessão f () ão coverge uforeete o tervlo [0 ]. - ) A sucessão f () ão coverge uforeete o tervlo [0 ]. 4

122 - π /

123 CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE. Sére de Tlor e de Mc-Lur Se f () u fução rel de vrável rel co doío A e se u oto teror desse doío. Suo-se que fução dte dervds fts de tods s ordes e e costru-se sére de otêcs f ( ) + ( ). f ( ) + ( ) ( ) ( ) f "( ) + L + f ( )! ( )! + L ou se + ( ) ( ) f ( ) ( )! (0) covecodo-se est ult reresetção que f ( ) f ( ). A est sére c-se sére de Tlor de f () co orge e ; qudo se 0 sére + ( )! desg-se or sére de Mc-Lur. f ( ) (0) Veos lgus eelos. ) A sére + +! + 3 3! + L + + ( )! L ou + ( )! é sére de Mc-Lur de f () e os r est fução te-se f (0) f (0) f (0) f ( -) (0) e 0 ) Pr f () / costru-se sére de Tlor co orge e. Atededo que f ( -) () ( ) oté-se sére ( ) + ( ).( ) + ( )!! ou se ( )! ( 3 ) ( ) + L + ( ) ( )! + ( )! L 6

124 ( ) + ( ) ( ) + L + ( ) + L 3 ou d + ( ). ( ). Nos dos eelos resetdos so d sére de Tlor cocde co f () r cd ertecete os resectvos tervlos de covergêc: + ( )! e ] - + [ + ( ). ( ) + ( ) ] 0 [. Ne sere oré ss cotece. A sére de Tlor oderá ser covergete r certo vlor 0 e resectv so ão cocdr co f ( 0 ). Por eelo fução f () e 0 / 0 0 te dervds de tods s ordes uls orge ; sére de Mc-Lur é etão u sére co os teros todos ulos cu so ão cocde evdeteete co o vlor d fução r os vlores de 0. Estud-se segudete u teore que dá s codções r que u fução se so d resectv sére de Tlor (de Mc-Lur) r os vlores de que fç covergete. Teore : A codção ecessár e sufcete r que sére de Tlor de f () co orge e suost covergete e certo 0 te or so f ( 0 ) é que r 0 o resto d fórul de Tlor de orde - de f () co orge e ted r zero Deostrção : Cosderdo fórul de Tlor de orde r f () co orge e ( ) ( ) f ( ) f ( ) + ( ). f ( ) + L + f ( ) + r ( ) ( )! vê-se que rte olol ou se f ( ) r ( ) cocde co so dos reros teros d sére e Tlor de f () co orge e. Suodo que sére de Tlor coverge r 0 ter-se-á f ( 0 ) f ( ) + ( 0 ). f ( ) ( 0 ) ( ) + L + f ( ) + ( )! L 7

125 se e só se f ( 0 ) l [ f ( 0 ) r - ( 0 ) ] o que equvle ter-se l r - ( 0 ) 0 coo se quer rovr. N rátc lcção drect d codção do teore r vergur sore evetul guldde etre f () e so d resectv sére de Tlor é orlete vável. Este o etto u codção sufcete que erte coclur co fcldde sore verfcção de tl guldde e utos csos de teresse. É do que trt o teore segute : Teore : Sedo f () () M. L r 0 co M e L costtes e certo tervlo I cotdo o tervlo de covergêc d sére de Tlor e que orge d sére erteç etão f () é quele tervlo so d su sére de Tlor Deostrção : Ns codções do eucdo o resto d fórul de Tlor ode escrever-se for de Lgrge : ( ) ( ) r ( ) f ( *)! co * estrtete coreeddo etre e. Etão r 0 e r qulquer 0 I r 0 ( ) * 0 M. ( 0 ( 0 ) f ( 0 ) M L.!! Coo l k /! 0 qulquer que se k result l M.( 0. L)! 0. L )! dode l r - ( 0 ) 0 ou d l r - ( 0 ) 0. Este últo resultdo grte de cordo co o teore f ( 0 ) f ( ) + ( 0 ). f ( ) ( 0 ) ( ) + L + f ( ) + ( )! qulquer que se 0 I coo se quer rovr. Veos dos eelo de lcção. ) Sedo f () cos te-se f (0) f (0) 0 f (0) - f (0) 0 f (4) etc. ou se L f (-) 0 ( 3 ) e f () (- ) ( 3 ). 8

126 A sére de Mc-Lur r f () cos é etão (deos de eldos os teros ulos o que equvle ssocr cd tero ulo co o tero sgfctvo edtete teror) :! + 4 4! L + ( ) + ( )! L ou + ( ) ( )!. O tervlo de covergêc dest sére é ] - + [ e coo qulquer ds sucessvs dervds de f () cos ssue sere u ds fors ± se ou ± cos te- -se f () () esse tervlo r. Logo r qulquer ] - + [ te-se cos + ) De odo seelte se oter ( ). ( )! se + ( ) ( )! ] - + [. N rátc e grde úero de csos o desevolveto e sére de Tlor (Mc- -Lur) te de fzer-se or rocessos s eedtos. É que oteção de u eressão gerl r s sucessvs dervds de odo ter-se u eressão gerl r os teros d sére é orlete rtcável. E or outro ldo o estudo do coorteto do resto r ser ode é váldo o desevolveto e sere ode fzer-se co slcdde deseável. Vereos o oto segute téccs de desevolveto e sére de Tlor (Mc- -Lur) que se se ossldde de dervr e rtvr tero tero s séres de otêcs.. Téccs de desevolveto e sére. - Itrodução Vos rero covecor u solog que será útl o que segue. Dd fução f () reresetreos or f (k) () co k 0 3 su dervd de orde k covecodo-se que dervd de orde 0 é rór fução f (0) () f () f () () f () f () () f () etc.. Cosdere-se gor fução S() +.( ) defd o tervlo de covergêc d sére de otêcs. Est fução dte dervds de tods s ordes o teror desse tervlo s qus ode ser otds or dervção sucessv d sére tero tero. 9

127 Rere-se que todos os teros d sére são fuções do to f (). ( ) co costte rel e tero ão egtvo. Sedo 0 f () (costte) te-se f () f (0) (). (0!) f () () f () ()... 0 ; sedo te-se f () f (0) () f () () f () ()... f ( - ) () 0 f () (). (!) f (+) () f (+) () f (+3) () Alcdo estes resultdos os teros d sére de otêcs + S() o tervlo de covergêc oté-se.( ) de so ( ) S ( ). (!) ( ) S ( ). (!) ( ) S ( ). (!) sedo que S (k) () 0 r k { }. Costrudo sére de Tlor co orge e r fução S() + elção dos evetus teros ulos.( ) oté-se ós ( )! (!) + ( )! (!) + ( ) (!) 3 + L ou se ós slfcção que é sére orgl. Isto é 3 ). ( ) +. ( ) +. ( 3 + L Teore 3 : Qulquer sére de otêcs e é sére de Tlor co orge e d su rór so. - Oteção rátc do desevolveto O teore estuddo e. utete co ossldde de dervr e rtvr tero tero s séres de otêcs erte oter de for eedt desevolv- 0

128 etos e sére de Tlor e utos csos de teresse rátco. Os csos tícos de lcção dest técc são os segutes : º Cso : Desevolver f () e sére de Tlor co orge e sedo que fução dte coo rtv cert fução F() que se se ser defd or u sére de otêcs e o resectvo tervlo de covergêc I. Neste cso de F() + tero.( ) r I result or dervção tero f () +.. ( ) elo eos r INT. I odedo est guldde rologr-se às etreddes do tervlo cso els se covergete sére ds dervds [e lterlete cotíu fução f ()]. º Cso : Desevolver f () e sére de Tlor co orge e sedo que f () é defd or u sére de otêcs e o resectvo tervlo de covergêc J. Neste cso de f () +.( ) r J result or rtvção tero tero f () k ( ) elo eos r J + co k costte deterr. Pr deterr costte de rtvção k st fzer e os os eros sdo k f (). Te-se ortto f () f () ( ) elo eos r J + odedo est guldde rologr-se às etreddes de J cso els se covergete sére ds rtvs [e lterlete cotíu fução f () ] Pr lustrr ests téccs de desevolveto e sére reset-se dos eelos : ) Pr desevolver e sére de Mc-Lur fução f () ( ) st otr que est fução dte coo rtv F () e que est fução ode ser desevolvd el sére geoétrc

129 F () L L - < <. Etão or dervção tero tero f () ) ( ). ( 3 L L r - < <. ) Pr desevolver e sére de Tlor co orge e fução f () log ( + ) st otr que f () ) / ( / ) ( + + ) ( ) ( ) ( L r < ou se r ] - 3 [. Te-se etão or rtvção log ( + ) k + +. ) ( ) ( elo eos r ] - 3 [ co k costte deterr. Fzedo e os os eros s k log e etão log ( + ) log + +. ) ( ) ( vledo guldde té r 3 or ser r esse vlor de covergete sére e cotíu fução f () log ( + ).

130 3. Eercícos - Escrev s séres de Mc-Lur r s fuções: ) se ; ) cos. Estuddo o coorteto do resto d fórul de Mc-Lur ostre que cd u ds fuções é so d corresodete sére o resectvo tervlo de covergêc. - Dd fução f () rc tg ) Mostre or dução que dervd de orde é dd or f () () ( - )!. cos (rc tg ). se [. (rc tg + π /)] ; ) Escrev sére de Mc-Lur e ostre que so dest sére é o vlor d fução o resectvo tervlo de covergêc. 3 - Escrev sére de Tlor (co orge e π ) r se ( ) e ostre que tl sére te or so fução o tervlo ] - + [. 4 - Cosdere fução ) Mostre que f (0) 0 ; f () / e ) Mostre or dução que dervd de orde os otos 0 te or eressão gerl f () () A B + + L + α β λ L e / co A B... L α β... λ costtes e deduz dí que f () (0) 0 r ; c) Costru sére de Mc-Lur r f () e ostre que eor est sére se covergete o tervlo ] - + [ es r 0 su so é gul o vlor de f (). 5 - Desevolv e sére de Mc-Lur s fuções segutes dcdo os tervlos ode são váldos os desevolvetos: ) log ( + 3) ; ) ( ) 3 ; c) ( )( ) ; d) se. cos ; 3

131 e) + ; f) f () rc tg 0 0 ; g) se ; ) + + ; ) log ( + ) ; ) log ( ) ; k) ( )( ) ; l) + ( ) 3 ; ) log ( + + ) ; ) log ( + ) ; o) log ( + + ) ; ) ; q) rc tg + ; r) + log ( + ). 6 - Desevolv e sére de Tlor co orge e s fuções segutes dcdo os tervlos ode são váldos os desevolvetos: ) ; ) e ; c). log ; d) ( + ) ; e) -. ( - ) ; f). 7 Detere o tero gerl do desevolveto e sére de Mc-Lur d fução. 4 + e rovete o resultdo r clculr (5) (0). 8 - Desevolv segudo s otêcs de - s segutes fuções e dque os tervlos ode são váldos os desevolvetos: ). / ; ) 4 ( + ). 9 - Desevolv segudo s otêcs de / s segutes fuções e dque os coutos ode são váldos os desevolvetos: ) + ; ) ( )( ). 0 - Desevolv segudo s otêcs de rc se fução f (). rc se e dque o couto ode é váldo o desevolveto. - Desevolv segudo s otêcs de log fução. log e dque r que vlores de é váldo o desevolveto. 4

132 - Desevolv segudo s otêcs de vlores de é váldo o desevolveto. + fução e dque r que RESPOSTAS: - ) ( ) ) ( ) - ) ( ) 3 - ( ) ( )! ( )! ( )! ) log 3 + ( ). 3 e ] - + [ ; e ] - + [. e [- ]. ( π ) e ] - + [. r -3 < 3 ; ) ( / ).( + ).( + ). r - < < ; c) 0 +. r - < < ; + 0 d) ( ) ( + )!. + r R ; 0 e) + + f) ( ) ( ). ( )!.!. ( )! + r - ; g) ( ) ( + )!. + r R ; 0 r - ; 3 / r ) ( ) co r - < < ; 0 ( 3 ) / r + + ) ( ). r -/ < / ; 0 + ) log k) r - < ; + 0 ( + ) r - < < ; l) ( + ) 0 r - < < ; ) L L r - ;

133 + ) ( ). r - ; L. ( ) + o) + ( ) r - ;!..( + ) ) + ( ). r - < < ; + q) π/4 + ( ). r - ; 0 + r) [ ] 0 + ( ) / L /( ). r - < <. 6 - ) ( ).( ) r 0 < < ; ) 0 c) ( ) + ( ) d) 4 ( ).( ) e!.( ) 0 r 0 ; + + ( ) ( ) r - < < 3 ; + + e) ( ). ( + ). ( ) r 0 < < ; f) 0 + ( ) O tero gerl é ( 4 / + ). / 8 - ) ( ) ) 9 - ) [ ] ( ). ( )! ( ).!. ( )! r R ; r 0. ( 0... ) e (5) (0) 05 / 6. + ( ) + ( / ).. ( ) r 0 < < ; 0 0 ( ). ( ) ( ) r - < < 3. + ( ) ( / ) r < - ou > ; ) ( ). ( / ) r < - ou >. 0 - ( ). 0 ( rc se ) ( )! + r -. - log + 0! r > r > -/. 6

134 CAPITULO V NOÇÕES TOPOLÓGICAS E SUCESSÕES EM R. Dstâcs e vzçs Ddo u esço vectorl E sore o coro R dos úeros res c-se or qulquer lcção de E e R + {0} que verfque s segutes roreddes: P: 0 0 ; P: λ. λ. co qulquer λ R ; P3: + +. A rtr de u or defd e E ode defr-se u dstâc etre dos vectores e fzedo d( ) - e rtr ds roreddes d or otê-se de edto s segutes : P4: d( ) 0 ; P5: d( ) d( ) (setr); P6: d( ) d( z ) + d( z ) (desguldde trgulr). Ests roreddes d dstâc etre vectores de E são forlete s ess que s dcds r o cso d dstâc d( ) - etre úeros res qudo for estudds s oções toológcs e R. Tl sgfc que ode defr-se u esço vectorl ordo oções toológcs dêtcs às resetds r o cso de R sedo que or ds roreddes etão estudds cotu válds este cso s gerl. No que se segue vos restrgr o osso estudo o cso do esço vectorl R { (... ) : R... } sore R coeçdo or defr este esço or Euclde. É ossível defr e R u fdde de outrs ors odedo rovr-se que este esço tods s ors são toologcete equvletes o setdo de ser dferete desevolver í o estudo d toolog todo coo se qulquer dels. 7

135 É fácl ver que or Euclde verfc efectvete s roreddes P P e P3 que for dcds r s ors e gerl. Co efeto ) Pr o cso de P te-se ) Pr cso de P te-se λ (λ. ) λ. λ.. c) Pr deostrr verfcção de P3 rov-se rero desguldde de Cuc. Sedo 0... te-se co qulquer R ( + ) ( ). + ( ). + ( ) 0 ; Or r que o tróo do segudo gru otdo se ão egtvo r qulquer R deverá ser 4.( dode result desguldde de Cuc : ) - 4. ( ). ( ) 0.. Co est desguldde ode gor rovr-se que or Euclde verfc P3 : + ( + ) + ( + ) + + ( + ) ( + ) + ( + ) + + ( + ) ( + ) e de + ( + ) result flete desguldde de P3. À or Euclde corresode segute dstâc etre vectores R : d( ) - ( ) (Dstâc Euclde) 8

136 A terretção geoétrc d dstâc Euclde é uto sles os csos de R e R 3. Fdo o lo ou o esço ordáro u sste de eos coordedos dstâc d( ) é o coreto do segeto de rect cus etreddes são os otos X e Y de coordeds ( ) e ( ) ou ( 3 ) e ( 3 ) resectvete os csos ou 3. N fgur segute rereset-se grfcete u stução rtculr corresodete o cso : Y X Pelo teore de Ptágors vê-se que d( ) ) + ( ) ( Coreto do segeto XY. N fgur segute rereset-se grfcete u stução rtculr corresodete o cso 3 : 3 3 Y X Z X Z Te-se reresetdo or C (X Z ) C (X Z ) C(ZY ) e C (X Y ) resectvete os coretos dos segetos X Z X Z X Y e ZY C (X Z ) ) + ( ) ( C (X Z ) C (Z Y ) 3 3 [C (X Y )] [C (X Z )] + [C (Z Y )] ( ) + ( ) + ( 3 3 ) 9

137 [d( )] dode result C (X Y ) d( ) coo se quer ostrr. Voltdo o cso gerl de R r u ddo R de ro ε > 0 o couto defe-se coo su vzç V ε ( ) { : R d( ) - < ε} sedo quse edts s segutes roreddes : P7: ε < δ V ε ( ) V δ ( ) P8: I V ε ( ) { } ε > 0 Te-se d que P9: ε > 0 : V ε ( ) V ε ( ) Deostrção : Todo ε (/3). - se certo c ertecesse s s vzçs ter-se- - - c + c - < ε + ε (/3). - dode resultr (/3). - < 0 desguldde ovete ossível. Está deostrdo o resultdo desedo. Pr terr refr-se que e R e R 3 s vzçs tê terretções geoétrcs teresstes. No cso de R sedo ( ) vzç V ε ( ) é o teror de u círculo de cetro o oto de coordeds ( ) e ro ε : V ε ( ) No cso de R 3 sedo ( 3 ) vzç V ε ( ) é o teror de u esfer de cetro o oto de coordeds ( 3 ) e ro ε : 30

138 3 V ε ( ). Cocetos toológcos áscos Tl coo o cso de R defe-se e segud os cocetos toológcos s orttes. As defções são dds ectete os esos teros que o cso á estuddo do coro R. Ass: ) Dz-se que R é oto teror de u couto A R se e só se este u cert V ε ( ) cotd o couto A. O couto dos otos terores de u couto A desg-se or teror do couto e rereset-se or INT A odedo evdeteete ser INT A (d org que u ddo couto te otos terores). ) Dz-se que R é oto frotero de u couto A R se e só se e qulquer V ε ( ) este otos do couto A e otos do coleetr de A. O couto dos otos froteros de u couto A desg-se or froter do couto e rereset-se or FRONT A odedo evdeteete ser FRONT A. c) Dz-se que R é oto eteror o couto A R se e só se este u cert V ε ( ) cotd o coleetr do couto A. O couto dos otos eterores o couto A desg-se or eteror do couto e rereset-se or EXT A odedo evdeteete ser EXT A. d) Dz-se que R é oto de cuulção de u couto A R se e só se e qulquer V ε ( ) este elo eos u oto de A dstto de. O couto dos otos de cuulção de A c-se dervdo de A e rereset-se or A odedo evdeteete ser A. e) C-se derêc ou feco do couto A à uão do seu teror co su froter ou se Ad A INT A FRONT A. Eceto o cso de A ser vzo tese sere Ad A. f) U couto A R dz-se erto se e só se cocde co o seu teror ou se A INT A. Ddo que e qulquer cso (A erto ou ão) sere se te INT A A r rovr que A é erto strá rovr que A INT A. 3

139 g) U couto A R dz-se fecdo se e só se cocde co su derêc ou se se e só se A Ad A INT A FRONT A. A rtr destes cocetos áscos odeos eucr tl coo e R u sére de roreddes sedo s deostrções forlete s ess coo se oderá corovr cordo o teto que se segue co o teto corresodete reltvo às oções toológcs e R do Volue I. P0 : INT A FRONT A EXT A R Deostrção: É evdete dds s defções de teror froter e eteror de u couto ; qulquer oto de esço reset u e u só ds defções ) ) ou c). P : EXT A INT A Deostrção: É té evdete ddo que u oto EXT A se e só se este u V ε ( ) cotd o coleetr de A e tl equvle ter-se INT A. P : FRONT A FRONT A Deostrção: Bst teder à defção: FRONT A se e só se e qulquer V ε ( ) este otos de A e otos de A o que equvle ser FRONT A. P3 : Se A B etão A B Deostrção : Todo A te-se que e qulquer vzç de este elo eos u oto de A dstto de e ortto ddo ter-se A B té este elo eos u oto de B dstto desse eso ou se B. P4 : ( A B ) A B Deostrção : Por ser A (A B) e B (A B) roredde P3 grte que A (A B) e B (A B) o que lc clusão A B (A B) fltdo ortto rovr clusão cotrár r se oder cosderr rovd guldde do eucdo. Proveos etão que (A B) A B. Devereos rovr que (A B) A B s o cso resete tor-se s fácl rovr lcção equvlete A B (A B). 3

140 Pr tl cosdere-se A B ou se A e B ; este etão u V ε ( ) se otos de A r lé do róro e este u outr V δ ( ) se otos de B r lé do róro ; todo θ í {ε δ } e V θ ( ) ão se ecotr otos e de A e de B r lé do róro ; etão este u vzç de se otos de A B r lé do róro ou se (A B) coo se quer rovr. P5 : As vzçs V ε ( ) são coutos ertos Deostrção : Ddo V ε ( ) te-se d( ) < ε. Todo δ ε d( ) > 0 veos que V δ ( ) V ε ( ). Co efeto usdo s roreddes P5 e P6 V δ ( ) d( ) < δ ε d( ) d( ) + d( ) < ε d( ) < ε V ε ( ). Por defção de oto teror coclu-se ss que INT V ε ( ) ou se V ε ( ) INT V ε ( ) o que ceg r grtr guldde V ε ( ) INT V ε ( ). E coclusão V ε ( ) é u couto erto coo se quer rovr. P6 : Sedo A u couto qulquer INT A é u couto erto Deostrção : Bst rovr que INT A INT (INT A) os tl ceg r grtr que INT A INT (INT A) ou se que INT A é u couto erto. Pr tl oteos que A B INT A INT B lcção que é rtcete evdete e cu ustfcção se de o cuddo do letor. Etão INT A V ε ( ) : V ε ( ) A V ε ( ) : INT V ε ( ) INT A Coo o couto V ε ( ) é erto (ver roredde P5) te-se INT V ε ( ) V ε () e ortto INT A V ε ( ) : V ε ( ) INT A INT (INT A ) ou se INT A INT (INT A) coo se quer rovr. P7 : Ad A A A 33

141 Deostrção : Ddo Ad A oderá ser A ou A. Se for A tereos A A. Se for A o oto ão ode ser teror do couto A logo ecessrete FRONT A e etão e qulquer V ε ( ) este elo eos u oto do couto A que ão ode ser o róro ddo estros cosderr o cso A ; etão or defção de oto de cuulção A ou se té este cso se te A A. E coclusão: Ad A A A. Pr rovr clusão cotrár toe-se A A e veos que gulete Ad A. Se for A te-se evdeteete Ad A. Se for A ecessrete A logo e qulquer V ε ( ) este o oto que ertece o coleetr do couto A e elo eos u oto do couto A ou se FRONT A e ortto té este cso Ad A. P8 : O couto A é fecdo se e só se A A Deostrção : Sedo A fecdo etão or defção A Ad A A A dode result A A. Por outro ldo sedo A A te-se Ad A A A A ou se o couto A é fecdo. P9 : O dervdo e derêc ou feco de u qulquer couto A são coutos fecdos Deostrção : Veos rero o cso do dervdo. Pel roredde P8 st rovr que (A ) A. Ddo (A ) e qulquer V ε ( ) este elo eos u oto ertecete o couto A. Por ser A or seu ldo e qulquer V δ ( ) este u z ertecete o couto A. Todo e rtculr δ í { ε d( ) ; d( ) } result d( z ) < δ ε - d( ) ou se d( z ) d( z ) + d( ) < ε ss se cocludo que z V ε ( ). Se se rovr que z fc rovdo que e V ε ( ) - qulquer - este sere elo eos u z ertecete o couto A ou se fc rovdo que A ss se deostrdo clusão (A ) A ou se que A é fecdo. Or tededo à defção do rtculr δ cosderdo result δ d( ) d( z ) + d( z ) ; e ddo que d( z ) d( z ) < δ s d( z ) > 0 ou se z. Veos gor que té derêc ou feco de u couto A é sere u couto fecdo. Ddo que Ad A A A (ver roredde P7) e tededo à guldde estelecd roredde P4 te-se cosderdo clusão á rovd (A ) A [Ad A] ( A A ) A (A ) A A A Ad A o que erte coclur que o couto Ad A é u couto fecdo. 34

142 P0 : U couto A é fecdo se e só se o seu coleetr A for erto. U couto A é erto se e só se o seu coleetr A for fecdo. Deostrção : Adt-se que A é fecdo e deostre-se que A é erto. Todo A este u vzç desse se eu oto de A : co efeto se e qulquer vzç do oto estsse elo eos u oto do couto A tl oto ão oder ser o róro (orque ertece o coleetr de A) e etão oder coclur-se que o oto er oto de cuulção de A ; s coo o couto A é fecdo or ótese tl oto ertecer etão o couto A (lere-se que ser A fecdo equvle A A ) e ão A coo se dtu clete. Or se este u vzç de se eu oto de A tl sgfc que ess vzç está cotd o coleetr de A ou se este u V ε ( ) A ss se rovdo que A V ε ( ) : V ε ( ) A INT A sgfcdo est lcção que A INT A ou d que A é u couto erto. Adt-se gor que A é erto e deostre-se que etão A é fecdo ou se deostre-se que A A. Todo A te-se A e ddo que or ótese A é erto este u vzç de cotd o couto A o que lc que esse oto ão ode ser oto de cuulção de A. Provou-se etão que A A equvledo est lcção ser A A. Está deostrdo o que se reted. Pr rovr que o couto A é erto se e só se A for fecdo (segud rte d roredde) st otr que el rer rte d roredde o couto B A será fecdo se e só se B A for erto. P : A uão de u qulquer úero de coutos ertos é u couto erto. A tersecção de u qulquer úero de coutos fecdos é u couto fecdo. Deostrção : Se A α coutos ertos e úero fto ou fto. Pr rovr que uão dos A α é erto tereos de rovr que U A INT ( U A ). Or ddo u qulquer U A te-se que esse oto ertece elo eos α α u dos A α ; coo esse A α que o oto ertece é u couto erto estrá u V ε ( ) cotd e A α e ortto ess es vzç estrá cotd e U A ou se o oto ertecerá INT ( U A ). Fc ss rovd α α clusão desed sto é fc rovdo que uão dos ertos A α é gulete u couto erto. α α α α α α 35

143 Quto à tersecção de u úero qulquer de coutos fecdos F α ote-se que I F U F (ª le de De Morg) α α α α e que os coutos F α são ertos (coleetres de coutos fecdos). Pel rer rte d roredde á deostrd coclu-se que o couto I F é erto e ortto o resectvo couto coleetr I F é fecdo. P : A tersecção de u úero fto de coutos ertos é u couto erto. A reuão de u úero fto de coutos fecdos é u couto fecdo. Deostrção : Veos e rero lugr o cso d reuão de u úero fto de coutos fecdos. Bstrá cosderr o cso de dos coutos os or dução ft odereos fclete ssr o cso de s de dos coutos (s e úero fto). Sedo F e G coutos fecdos te-se usdo s roreddes P4 e P8 (F G) F G F G o que rov que uão de F e G é té u couto fecdo. Veos gor o cso d tersecção de dos coutos ertos (r s de dos s e úero fto rocede-se or dução). Sedo A e B coutos ertos te- -se que A e B são fecdos e ortto A B é fecdo; etão o coleetr de A B que é recsete A B é erto. α α α α Covrá esclrecer que reuão de u fdde de coutos fecdos ode ão ser u couto fecdo e do eso odo tersecção de u fdde de coutos ertos ode ão ser u couto erto. É fácl ecotrr eelos que ostr ess ossldde. A este roósto roredde segute é elucdtv: P3 : Qulquer couto fecdo é tersecção de u fdde uerável de coutos ertos. Qulquer couto erto é uão de u fdde uerável de coutos fecdos. Deostrção: Veos e rero lugr o cso de u couto fecdo F. Co r úero rcol ostvo def-se os coutos I r { : F tl que d( ) < r } que coo vereos de segud são todos ertos. Co efeto ddo u I r estrá u F tl que d( ) < r. Fdo ε r d( ) > 0 rov-se que V ε ( ) I r ; de fcto sedo V ε ( ) te-se d( ) < ε r - d( ) dode result 36

144 ou se I r. d( ) d( ) + d( ) < r Flt rovr que tersecção dos coutos ertos I r é gul o couto fecdo F devedo otr-se que os coutos I r são e fdde uerável (são ttos qutos os rcos ostvos que á seos sere e fdde uerável). Pr tl oteos que: ) O couto F está cotdo e qulquer I r tl resultdo edtete do odo coo se defe os coutos I r ; ) De ) result logo que F I ; I r r Q + c) Note-se gor que sedo F te-se F e coo F é u couto erto ( ddo que F é fecdo) este u V ε ( ) cotd e F ou se ess V ε ( ) ão á otos do couto F ; etão sedo r u rcol ostvo eor que ε eu oto F é tl que d( ) < r < ε cso cotráro esse ser u oto de F ertecete V ε ( ) o que á vos ão ser ossível; s etão or defção dos coutos I r te-se que o oto que vos cosderdo ão ertece os I r co rcos r < ε ; e coclusão o que equvle ser I r Q + F I r F ; I r Q + I r d) As clusões deostrds e ) e e c) erte coclur que I guldde que se reted deostrr. + r Q I r F O cso de u couto erto A é gor edto: o coleetr de A é fecdo logo é tersecção de u fdde uerável de coutos ertos coo cou de deostrr-se. Ms etão o couto A será reuão de u fdde uerável de coleetres de coutos ertos (ª le de De Morg); ou se o couto A será reuão de u fdde uerável de coutos fecdos (ddo que os coleetres dos ertos são fecdos). P4 : A codção ecessár e sufcete r que se oto de cuulção de u couto A é que e qulquer vzç desse oto se ecotre ftos otos de A Deostrção : A codção é ovete sufcete: se e cd vzç do oto se ecotrre ftos otos do couto ecotr-se elo eos u oto do couto e ortto or defção trt-se de u oto de cuulção do couto e cus. 37

145 Veos que codção é gulete ecessár. Adt-se que é oto de cuulção do couto A. Se e cert V ε ( ) es se ecotrre ftos otos do couto se... k os otos de A dsttos de que se ecotr quel vzç. Fdo gor δ Mí { d( ) ; d( ) ;... ; d( k ) } > 0 vê-se de edto que e V δ ( ) ão este otos do couto A r lé evetulete do róro : co efeto se lgu ertecesse o couto A e gulete V δ ( ) ter-se- d( ) < δ < ε e ortto esse ertecer gulete V ε ( ) ; o oto referdo ser etão u dos (... k) o que orgr ser d( ) δ ddo o odo coo se defu o vlor δ. Ms se e V δ ( ) ão este otos do couto A r lé evetulete do róro coclu-se que o oto ão ode ser oto de cuulção do couto A. Ceg-se ss u cotrdção: se toros u oto de cuulção de u couto A e dtros estêc de u vzç desse oto ode es u úero fto de otos do couto coclu-se que tl oto ão ode ser oto de cuulção desse couto. Tl sgfc que sedo oto de cuulção de A etão ecessrete e qulquer vzç desse oto este ftos otos do couto. Coroláro : Os coutos ftos ão dte otos de cuulção Coroláro : É codção ecessár de estêc de otos de cuulção de u couto que este se u couto fto. 3. Coutos ltdos U couto A R dz-se ltdo se e só se este u úero rel k > 0 tl que k qulquer que se A. Tê-se roreddes seeltes às estudds r os sucoutos ltdos de R : P5 : U couto A R é ltdo se e só se este u R e u ε > 0 tl que A V ε ( ). Deostrção : A codção é ecessár. Se A R é ltdo este u k > 0 tl que k qulquer que se A. Etão todo ε k e sedo 0 o vector ulo te-se A V ε ( 0 ). A codção é gulete sufcete os de A V ε ( ) result fclete k qulquer que se A co k ε + : de fcto r A te-se V ε ( ) ou se - < ε ; e clro que < ε + k. 38

146 P6 : A uão de u úero fto de coutos ltdos é u couto ltdo Deostrção : Se A... k coutos ltdos. Por defção r cd couto A este u rel k > 0 tl que k qulquer que se A. Pssdo cosderr A A A... A k se k á k ; coclu-se co fc-ldde que k qulquer que se A ou se o couto A é gulete ltdo. P7 : A tersecção de coutos ltdos (e qulquer úero) é u couto ltdo. Deostrção: Bst otr que o sucouto de u couto ltdo é gulete ltdo e que tersecção de coutos é sere u sucouto de qulquer u deles. P8 : O dervdo e o feco de u couto ltdo são coutos ltdos Deostrção : Bst fzer deostrção r o dervdo orque sedo o dervdo ltdo coo o feco (ou derêc) é uão do couto co o seu dervdo ele é gulete ltdo (roredde P6). Se A ltdo e veos etão que A é gulete ltdo. Se V ε ( ) vzç que coté A e veos etão que A V ε ( ) o que rovrá ser A gulete ltdo. Ddo u qulquer A te-se que e V ε ( ) este elo eos u ε que ertece A logo té V ε ( ) ; etão or ser ε ertecete V ε ( ) e V ε ( ) te-se que d( ) d( ε ) + d( ε ) < ε ou se V ε ( ) ; e coclusão A V ε ( ) coo se quer rovr. 4. Potos róros e R Pels ess rzões que s otds r o cso de R oedete or geerldde e slcdde de certos teores o âto d teor dos ltes é usul cosderr r lé dos eleetos de R os cdos otos róros. No cso resete c-se oto róro (... ) qudo elo eos u ds coordeds for u dos síolos + ou -. As vzçs dos otos róros defe-se coo segue: V ε ( ) { (... ) : - < ε se R ; > /ε se + ; 39

147 < - /ε se - }. Por eelo V ε ( + ) { ( ) : - ε < < + ε > /ε } couto que corresode geoetrcete fgur l que segur se rereset : V ε ( + ) /ε - ε + ε Co est trução de vzçs defe-se gor se qulquer dfculdde o coceto de oto de cuulção róro s e qulquer cso o dervdo de u couto ão se clue os evetus otos róros de cuulção. A defção é segute: dz-se que (... ) co elo eos u dos fto (+ ou - ) é oto róro de cuulção de X se só se e qulquer V ε ( ) se ecotr elo eos u oto X. 40

148 5. Sucessões e R 5. - Geerlddes U sucessão de vectores de R é u lcção de N e R. O vector u que corresode o turl é o rero tero d sucessão ; o vector u que corresode o turl é o segudo tero d sucessão ; e gerl o vector u que corresode o turl é o -éso tero gerl ou d tero de orde d sucessão. Os teros de u sucessão dsõe-se or orde crescete dos resectvos ídces (or orde crescete dos turs que corresode) : u u... u.... A cd tero u (u u... u ) corresode s coordeds res u co elo que sucessão de tero gerl u fc erfetete coecd se fore coecds s sucessões de res de teros gers u. Ass o esço R 3 sucessão de tero gerl u ( z ) fc erfetete coecd se coeceros s eressões lítcs dos teros gers ds três sucessões res e z : or eelo + + z ( ). + + ( + / ) No desevolveto d teor desee el sgfctvo o cdo couto dos teros de u sucessão. Trt-se do couto U { : N : u } couto que deededo d sucessão ode ser fto ou fto uerável tl coo o cso ds sucessões res. U sucessão u (u u... u ) de vectores de R dz-se ltd se e só se for ltdo o couto U dos seus teros o que equvle estr u rel k > 0 tl que u k r 3. Fclete se coclu que sedo u ltd são té ltds s sucessões res u u... u e versete. Co efeto coo u u se u for sucessão ltd té o serão s sucessões u ; versete se se tver u k ( ) ter-se-á u k k + k k + L + ( 3 ) Coceto de lte. Teores fudets Dz-se que l u u (vector de R ou oto róro) se só se : ε > 0 ε : > ε u V ε (u ). Us-se qu letr r desgr orde do tero gerl d sucessão r evtr cofusões co o úero de desões do esço. Poré sere que se este cosderr u desão e cocreto r o esço (or eelo os csos do R ou R 3 ) retoreos o uso tul d letr r desgr orde do tero gerl d sucessão 4

149 Sedo u vector de R codção u V ε (u ) ode escrever-se u u < ε. Sedo or outro ldo u (u u u ) oto róro codção u V ε (u ) equvle à verfcção cout ds segutes codções u u < ε r os u res u > /ε r os u + u < -/ε r os u -. As sucessões co lte ertecete R dze-se covergetes. O cálculo do lte de u sucessão e R ão oferece qulquer dfculdde os reduz--se o cálculo dos ltes ds sucessões res cuos teros gers são s coordeds do tero gerl dquel os teros do teore segute: Teore : Sedo u (u u... u ) u sucessão e R te-se l u u (u u u ) se e só se l u u l u u... l u u Deostrção : Cosder-se serdete dos csos cosote (u u u ) se u vector de R ou u oto róro. º Cso : O oto (u u u ) R. Neste cso ) Se l (u u... u ) (u u u ) etão qulquer que se ε > 0 este u orde ε tl que r > ε se te ( u u ) + ( u u ) + + ( u u ) L < ε ; etão rtr d es orde te-se u u < ε u u < ε... u u < ε o que rov ser l u u l u u... l u u. ) Iversete se l u u l u u... l u u etão qulquer que se ε > 0 este ordes ε ε... ε rtr ds qus se te resectve-te u u < ε / u u < ε /... u u < ε / ; qudrdo e sodo oté-se r > ε Má { ε ε... ε } 4

150 ( u u ) + ( u u ) + + ( u u ) L < ε o que ostr ser l (u u... u ) (u u u ). º Cso : O oto (u u u ) é u oto róro. Neste cso ) Se l (u u... u ) (u u u ) etão qulquer que se ε > 0 este u orde ε tl que r > ε se te u u < ε r os u res u > /ε r os u + u < -/ε r os u -. sedo ortto l u u l u u... l u u. ) Iversete se l u u l u u... l u u etão qulquer que se ε > 0 este ordes ε ε... ε rtr ds qus se te resectve-te u u < ε r os u res u > /ε r os u + u < -/ε r os u -. sedo ortto l (u u... u ) (u u u ). Veos três eelos de lcção. ) Te-se ) Te-se l [/ /(+) e ] ( 0 0 ) l [ /(+)] ( + / ) (oto róro) 3) Não este o l [(-) /(+)] orque sucessão rel (-) ão te lte Estud-se segudete lgus teores orttes sore ltes. 43

151 Teore : Sedo l lte) u u e v u ão ode ter-se l u v (ucdde do Deostrção : Co v u é ossível escoledo ε > 0 sufceteete equeo ter dus vzçs V ε (u ) e V ε ( v ) se eleetos cous (dsuts). Or sedo l u u te-se u V ε (u ) de cert orde e dte ão odedo ortto ter-se u V ε ( v ) de cert orde e dte ou se ão ode ter-se l Teore 3 : Sucessão co lte ertecete R é ltd u v. Deostrção : Se l u u R te-se de cert orde e dte u u <. Fzedo k Má { u u u u u u } te-se u u k ( 3 ). Portto u u u + u u u + u k* k + u r 3 o que ostr ser ltd sucessão u. Nos teores segutes tervé u codção ortte verfcd or certs sucessões. U sucessão de vectores de R verfc codção de Cuc se e só se ε > 0 ε : > > ε u - u < ε. Prov-se co fcldde que s sucessões covergetes verfc codção de Cuc. Teore 4 : Sedo l Cuc Deostrção : Por ser l u u R etão sucessão u verfc codção de u u R te-se ε > 0 ε : > ε u - u < ε /. Cosderdo > > ε teos etão u - u u - u + u - u u - u + u - u < ε / + ε / ε fcdo ss rovdo que sucessão verfc codção de Cuc. No teore segute vos ver que versete se u sucessão verfc codção de Cuc. etão te coo lte certo vector de R. 44

152 Teore 5 : Se u verfc codção de Cuc etão este certo vector u R tl que l u u Deostrção : A verfcção or rte d sucessão u (u u... u ) d codção ε > 0 ε : > > ε u - u < ε. lc que cd u ds sucessões res coordeds u ( ) verfc codção ε > 0 ε : > > ε u u < ε orque u u u - u tl sgfcdo que esss sucessões res verfc codção de Cuc s qus ortto tê ltes res l u u l u u... l u u De cordo co o teore tl grte que l u u (u u u ). Os teores que segur se deostr relco o coceto de lte de u sucessão co lgus oções toológcs á estudds. Teore 6 : Sedo A R codção ecessár e sufcete r que ( R ou róro ) se oto de cuulção de A é que est est u sucessão u de eleetos de A co ftos teros dsttos de tl que l Deostrção : A codção é ecessár. Sedo oto de cuulção de A e qulquer V ε ( ) este elo eos u u ε ertecete A. Todo etão ε / te-se que e V / ( ) este u u ertecete o couto A. Veos que se te l u : ddo u qulquer ε > 0 te-se r > ε (co cert orde ε ) que / < ε e ortto > ε u V / ( ) [ V / ( ) V ε ( ) ] u V ε ( ) ss se cocludo que l u. A codção é sufcete. Se este u sucessão teros dsttos de tl que l u u de eleetos de A co ftos u veos que é oto de cuulção de A. Dd u qulquer V ε ( ) el se ecotr todos os teros dte (or ser l u de cert orde e u ) e ortto ddo ver ftos teros d sucessão 45

153 dsttos de el se ecotr elo eos u eleeto de A dstto de logo é oto de cuulção do couto A coo se reted rovr. Teore 7 : U vector é derete de u couto A R sucessão u de eleetos de A tl que l u se e só se este u Deostrção : Se Ad A A A ou A ou A. No rero cso sucessão de tero gerl u A te or lte o oto ; o segudo cso ou se se A o teore 6 grte que este u sucessão u de eleetos de A que te or lte o oto. Iversete se este u sucessão u de eleetos de A que te or lte o oto ds dus u: ou os teros d sucessão são todos gus de cert orde e dte e etão A ; ou á ftos teros u dsttos de e etão elo teore 6 te-se A ; e qulquer dos csos Ad A A A. Teore 8 : U couto A R é fecdo se e só se qulquer que se sucessão u de eleetos de A tedo coo lte certo vector de R esse lte ertece o couto A Deostrção : Se A é fecdo etão A Ad A. Se eleetos de A tl que l Ad A logo ertece A. u u qulquer sucessão de u ( R ) ; etão elo teore 7 esse ertece Iversete se r qulquer sucessão u de eleetos de A co lte e R esse lte ertece A etão A Ad A (ou se A é fecdo). Bst rovr que Ad A A orque clusão cotrár é sere verdder. Or ddo u qulquer Ad A o teore 7 grte estêc de u sucessão u de eleetos de A e co lte l u e ortto or ótese A. Fc ss rovd clusão desed Sultes. Teores fudets Dá-se o oe de susucessão d sucessão u u... u... qulquer sucessão uα uα... uα... e que os α costtue u sucessão estrtete crescete de úeros turs. Clro que se l u u té l u orque se rtr de cert orde ε se te u V ε (u ) rtr dess es orde te-se u α té V ε (u ) orque > ε α > ε. Note-se que est roredde é váld eso o cso s gerl e que α é u sucessão de úeros turs ão ecessrete crescete desde que l α + : co efeto sedo ε orde rtr d qul se te u V ε (u ) e sedo k ε orde rtr d qul se te α > ε u α 46

154 result que > k ε α > ε u. u α V ε (u ) ss se cocludo que l u α Os ltes ds susucessões de u sucessão de c-se sultes d sucessão orgl. O teore segute te grde utldde rátc deterção dos sultes de u sucessão : Teore 9 : Dd sucessão fto : u cosdere-se s segutes susucessões e úero uα uα... uα... co lte α uβ uβ... uβ... co lte β. uω uω... uω... co lte ω e dt-se que cd tero u d sucessão está u e u só ds susucessões cosderds. Nesss codções eu λ α β ω ode ser sulte de u ou se sucessão es dte os sultes α β ω Deostrção : Ddo λ α β ω fe-se ε > 0 sufceteete equeo de tl for que vzç V ε (λ ) ão te otos e cou co eu ds vzçs V ε (α ) V ε (β ) V ε (ω ). Todos os teros de eceto qudo u α uto u úero fto deles ertece V ε (α ) ; todos os teros de u β eceto qudo uto u úero fto deles ertece V ε (β ) ; etc. Coo s susucessões são e úero fto e els se ecotr todos os teros de u ode coclur-se que qudo uto es u úero fto de teros u oderão ertecer V ε (λ ) o que eclu ossldde de λ ser sulte d sucessão. Estud-se segudete lgus orttes teores evolvedo o coceto de sulte. Teore 0 : Qulquer sucessão co lte (vector de R ou róro) u de vectores de R dte u susucessão Deostrção : Vos usr o étodo de dução teátc lcdo sore o úero de desões do esço. Pr o teore é verddero os esse cso trt-se de u sucessão de úeros res r os qus á seos estr sere u sulte fto ou fto. u α 47

155 Adt-se o teore verddero r k (ótese de dução) e veos que é té verddero r k +. Dd sucessão u (u u... u k u k+ : ) de vectores de R k+ * sucessão u (u u... u k ) de vectores de R k dte u * susucessão co lte (ótese de dução) ; se u α ( u α u u α... kα ) * susucessão e cus e u ( u u... u k ) o resectvo lte (vector de R k ou róro). A sucessão rel uk+ : α ode ão ter lte s dte or certo u susucessão co lte (fto ou fto) ; se uk+ : β ess susucessão e u k+ o resectvo lte. Ddo que os β são lgus dos α u β ( u * β u u β... k β ) é u susucessão de u α ( u u... u ) e ortto * α α kα etão l u β l ( u l * u β l * * u α u u u... ) ; ( β u β... u k β u k : β + ) ( u u... u k u k ). u k + estdo ortto u susucessão de R k ou róro). u β d sucessão orgl u que te lte (vector São coroláros edtos deste teore os segutes: u de vectores de R dte u susuces- Coroláro : Qulquer sucessão ltd são u α co certo lte vector de R Deostrção : O teore teror grte estêc de u susucessão co lte vector de R ou róro. Ms sedo ltd sucessão são té ltds s sucessões res sus coordeds s qus ortto ão dte sultes ftos. Nesss codções sucessão de vectores u ão ode dtr qulquer sulte róro orque tl equvler que elo eos u ds sucessões res coordeds tvesse lte fto. Coroláro : Sedo A R u couto ltdo e fto este elo eos u vector R que é oto de cuulção de A (Teore de Bolzo-Weerstrss) Deostrção : Co eleetos do couto fto A é ossível costrur u sucessão u de teros todos dsttos; clro que se trt de u sucessão ltd (o couto dos seus teros está cotdo o couto ltdo A) e dte ortto u sulte l u α ertecete R (coroláro ). O teore 6 grte etão que é oto de cuulção do couto A 48

156 Teore : Pr que u certo ( R ou róro) se sulte de u suces-são u de vectores de R é ecessáro e sufcete que r qulquer V ε ( ) e qulquer tero est u tero k > tl que u k V ε ( ) Deostrção : A codção é evdeteete ecessár. Veos que é gulete sufcete. Suodo codção verfcd def-se susucessão u α de u el segute codção: α 0 e α é o eor tero or que α - que fz u α V / ( ). Coo / < ε rtr de cert orde ε te-se u α V / ( ) V ε ( ) rtr dess es orde ou se l u α logo é sulte de u. Teore : A codção ecessár e sufcete r que u sucessão de R te lte é que ão dt dos sultes dsttos. u de vectores Deostrção : Que codção é ecessár fcou deostrdo s cosderções que edtete recede o coceto de sulte. Coo se vu etão se l u u té l u α u qulquer que se susucessão u α. Veos que codção é té sufcete. Adt-se etão que u (vector de R ou róro) é o úco sulte d sucessão u. Cso sucessão u ão tvesse u coo lte etão estr u certo ε > 0 tl que u V ε (u ) r ftos vlores de se eles or orde crescete α α... α... ; corresodete susucessão u α ão oder evdeteete ter u coo lte e coo sulte s dtr u sulte (elo teore 0) o qul ser ss dstto de u ; este sulte ser té u sulte d sucessão cl u cotrrdo-se ss ótese ssud de u ser o úco sulte dest sucessão. Teore 3 : O couto S dos sultes vectores de R de u sucessão couto fecdo u é u Deostrção : Podeos suor que S os o cso de S ser vzo é ovete fecdo. Pr rovr que S é fecdo strá rovr que S S. Ddo u S e qulquer V ε (u ) este elo eos u uε u ertecete S or defção de oto de cuulção. Clro que esse u ε or ertecer S será lte de u cert susucessão u α de u. Fzedo δ ε - d( u ε u ) > 0 te-se que todos os teros de u α se ecotr e V δ ( u ε ) de cert orde ε e dte; etão ddo u qulquer tero st escoler 0 verfcr α > e 0 > ε r se ter co k α >

157 d( u k u ) d( u k u ε ) + d( u ε u ) < δ + d( u ε u ) ε ou se u k V ε (u ) ; tl sgfc de cordo co o teore que o oto u é sulte d sucessão u ou se u S. Ass se rov que S S ou se que o couto S é fecdo. 50

158 6. Eercícos - E R e def-se r (... ) Má {... } ) Mostre que e defe ors e R ; ) Escrev s eressões ds corresodetes dstâcs e R ; c) No cso terrete geoetrcete d ( ) e d ( ) ; d) No cso terrete geoetrcete s vzçs corresodetes às dus dstâcs d líe teror. - Detere o teror froter o eteror o dervdo e derêc ou feco de cd u dos segutes sucoutos de R : ) A { ( ) : + 0 e 0 } ; ) B { ( ) : + < } ; c) C { ( ) : ( N ) e 0 + } ; + d) D { ( ) : + ( N ) } ; e) E Q e que Q desg o couto dos úeros rcos ; f) F { ( ) : 0 < /π e se (/) }. 3 - Clcule os ltes (róros ou róros) ds segutes sucessões e R 3 : ) [ ( + ) log( + ) ] ; + 3 ) ( + ) ; c) ( u v ) e que ( u v ) é solução do sste: v + u ( + ) v u

159 4 - Clcule os sultes ds segutes sucessões : ) u ( ) ( ) ; ) [ s e ( π / ) c o s ( π / ) c o s ( π )] u ; π c) u ( ). c o s ( π / ) t g π + ( ) Cosdere os segutes sucoutos de R : B {( ) : ( ) R + / } ( N ) ) Justfque que os coutos B são fecdos ; e e segud dg ustf- ) Justfque que (0 0) é oto de cuulção de B U B cdo se o couto B é ou ão fecdo. 6 - Detere derêc do couto A { (/ /) : N }. 7 - Dê eelo de u couto B R cu froter se dstt d froter do resectvo teror. 8 - Sedo A {( ) : ( ) R + / }( N ) detere l A ustfque que este couto é erto e dque resectv froter. 9 - Sedo A {( ) : ( ) R (- ). + / }( N ) utlze u rguetção geoétrc r deterr o teror froter e o dervdo do couto A l A. 0 - Sedo A {( ) : ( ) R / - < }( N ) ) Utlze u rguetção geoétrc r deterr o teror froter e o dervdo do couto A l A ; ) Dg ustfcdo se o couto A é ou ão erto ; c) Dg ustfcdo se o couto A é ou ão fecdo. 5

160 RESPOSTAS - ) INT A {( ) : + < > 0 > 0 } FRONT A {( ) : + 0 < < } { ( 0) : 0 } {(0 ) : 0 } EXT A R - A A Ad A A ; ) INT B B FRONT B {( ) : + } EXT B R - {( ) : + } B Ad B {( ) : + } ; c) INT C FRONT C C {(/ ) : -/ / } EXT C R - [ C {(/ ) : -/ / }] C Ad C C {(/ ) : -/ / } ; d) INT D FRONT D D { () } EXT D R - [ D { () }] D { () } Ad D D { () } ; e) INT E FRONT E R EXT E E Ad E R ; f) INT F FRONT F F {(0 ) : - } EXT F R - [F {(0 ) : - }] F Ad F F {(0 ) : - }. 3 - ) (/ e /3 ) ; ) (0 ) ; c) (/3 0). 4 - ) ( -/) e (- /) ; ) (0 ) (0 - ) ( 0 -) e (- 0 -) ; c) ( + ) (- + ) e (0 - ). 5 - ) B Não é fecdo. 6 - Ad A A {(/ 0) : N } {(0 /) : N } {(0 0)}. 7 - B {( ) : + } {( )}. 8 - FRONT (l A ) {(0 0)}. 9 - INT A {( ) : < } {( ) : < - } FRONT A {( ) : 0 } {( ) : - 0 } A {( ) : } {( ) : - }. 0 - ) INT A {( ) : 0 < - < } FRONT A {( ) : } {( ) : } A {( ) : 0 - }. ) É erto ; c) Não é fecdo. 53

161 CAPITULO VI LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES EM R. Geerlddes O coceto gerl de fução e outros ssocdos for á estuddos qudo se trtou d teor dos coutos. Fo gulete estuddo co lgu detle o cso rtculr ds fuções res de vrável rel (fuções co doío cotdo e R e tedo té R coo couto de cegd). No resete cítulo estud-se os ltes e cotudde ds fuções co doío cotdo e R e tedo R coo couto de cegd ds qus s fuções res de vrável rel são u cso rtculr. Nos otos segutes serão fets lgus cosderções rtculres sore s fuções que serão oecto de estudo este cítulo sore o oto de vst dos ltes e cotudde.. - Fuções res de vrável vectorl -desol U fução rel de vrável vectorl - desol ssoc cd vector (... ) A R u úero rel f ( ) f (... ) ou se trt-se de u fução f de A R e R. Coo vrável (vectorl) deedete (... ) é u éulo ordedo de vráves res... é usul cr ests fuções fuções res de vráves res e vez de fuções res de vrável vectorl -desol. Tl coo o cso ds fuções res de vrável rel á estudds terorete o cálculo dos vlores f ( ) ou f (... ) que fução f de A R e R ssoc cd vector (... ) A fz-se usulete utlzdo u eressão lítc ou eso dverss eressões lítcs válds cd u dels u cert rte do doío d fução. São eelos ) A fução f de R 3 e R que cd ( 3 ) R 3 ssoc o úero rel f ( 3 ) + ( - 3 ) ; ) A fução g de A {( ) : 0 0 } e R que cd ( ) A ssoc o úero rel z g( ) + ; c) A fução de A {(u v) : u + v } e R que cd (u v) A ssoc o úero rel z (u v) u + v u + v < u u + v. 54

162 São qu terete lcáves s cosderções fets o cso ds fuções res de vrável rel sore coveêc de ão cofudr doío d fução co doío d eressão lítc utlzd r clculr os vlores que fução fz corresoder os otos do resectvo doío. Ass coo o cso ds fuções res de vrável rel é té usul eor correcto dzer fução f (... )... co doío A... e vez de fução f de A R e R que cd (... ) A ssoc o úero rel f ( ) f (... ) odedo eso otr-se referêc elíct o doío d fução cso e que se suetede que fução é defd e todo o doío d eressão lítc utlzd r clculr os vlores f ( ). Co é té ossível reresetção gráfc d fução f ( ). Tl reresetção oté-se o esço ordáro fdo u sste de eos coordedos e reresetdo os otos de coordeds [ z f ( )] r todos os ( ) ertecetes o doío d fução coo se lustr fgur segute : z z PP P O A Not : O oto P te coordeds [ z f ( )]. Qudo o oto ( ) ercorre o doío A (couto do lo O) o oto P do esço ercorre suerfíce soredo que é ss ge d fução.. - Fuções vectors -desos de vrável rel Trt-se de fuções cuo doío é u certo sucouto de R e cuo couto de cegd é o couto R. U fução f de A R e R ssoc cd A 55

163 R u vector de R (... ) f (). A corresodêc que cd A ssoc u oto (... ) de R ode ser cosderd coo u sste de fuções res de vrável rel f f... f e que fução f ssoc cd A -és coorded de (... ). Veos u eelo. A fução que cd t R ssoc o oto ( ) tl que t + e -3t - é u fução f de R e R odedo cosderr-se coo o sste ds dus segutes fuções res de vrável rel: f de R e R que cd t R ssoc t + ; f de R e R que cd t R ssoc -3t -. U cso rtculr ortte deste to de fuções é quele e que o doío é u certo tervlo I R. Ests fuções são usds r reresetr lítcete (reresetção rétrc) curvs o esço R eseclete o lo ( ) e o esço ordáro ( 3). Ass or eelo o cso do lo o sste de fuções res de vrável rel t + 3t s co doío e R rereset retrcete u rect o lo: qudo t (o râetro) ercorre o doío R ge do oto ( ) (t + -3t - ) o lo ercorre rect que ss elos otos ( -) e ( 3-5) ou se rect de equção 3 ; es rect oder té ser reresetd rétrcete or outros sstes de fuções res de vrável rel or eelo t 3 t. Outro eelo. U crcuferêc o lo co cetro o oto () e ro gul r cu equção se se ser ( ) + ( ) r ode ser reresetd rétrcete elo segute sste de fuções res de vrável rel 56

164 + r. cos t + r. se t s co doío e [0 π [ ; co efeto é fácl verfcr que u oto ( 0 0 ) do lo ertece à crcuferêc referd se e só se este u t 0 [0 π [ tl que + r. cos t 0 e + r. se t 0. Não ostte se utlze os sstes de fuções res de vrável rel co doío cou e certo tervlo I de úeros res ou se s fuções f de I R e R r reresetr retrcete s curvs o esço R eseclete o lo ( ) e o esço ordáro ( 3) ão é rzoável cr curv qulquer couto de otos que se gerdo e R or u tl sste de fuções se que ests se o certs restrções. De fcto ddo lerdde solut quto à escol ds fuções e cus ode-se cegr curvs e estrs coo é o cso e R d curv co reresetção rétrc dd or t t rcol t rrcol curv ess costtuíd (ver gráfco) or todos os otos d rect vertcl r co orded rcol e d or todos os otos d rect vertcl s co orded rrcol : r s No ío r se flr e curv õe-se cotudde ds fuções rétrcs s eso ss d se te u coceto de curv uto geeroso. Por eelo é ossível defr dus fuções cotíus e certo tervlo de úeros res ϕ (t) e θ (t) de tl odo que o couto dos otos ( ) gerdo or esss fuções qudo t ercorre o tervlo doío se u qudrdo (curv de Peo). Trt- -se de u curv e zrr que desfdo o que o o seso e tução dze ser u curv ss or todos os otos de u qudrdo coo se fosse u fo trsfordo e tecdo..3 - Fuções vectors -desos de vrável vectorl -desol Trt-se de fuções cuo doío é u certo sucouto de R e cuo couto de cegd é o couto R. U fução f de A R e R ssoc cd vector 57

165 (... ) A R u certo vector de R (... ) f ( ) f (... ). A fução que cd A ssoc u oto (... ) de R ode cosderr-se coo u sste de corresodêcs ou fuções res de vráves res f f... f e que fução f ssoc cd A - és coorded de (... ) ou se f (... ) f (... )... f(... ). Veos u eelo. A fução f que cd ( ) {( ) : 0 0 } ssoc o oto (z z z 3 ) tl que z - z + e z 3 é u fução de A {( ) : 0 0 } R e R 3 odedo ser cosderd coo u sste de três fuções cd u dels de dus vráves res: z f( ) z f ( ) + z3 f3( ).. Defção de lte de u fução u oto Cosdere-se o cso gerl de u fução f de A R e R e se u oto de cuulção de A (oto de cuulção róro ou róro ertecete ou ão o couto). As defções de lte de f ( ) e segudo Hee e segudo Cuc são forlete s ess que for resetds r s fuções res de vrável rel. Ass segudo Hee : l f ( ) A l l f ( ) odedo est defção ser u vector de R ou u oto róro. Segudo Cuc : l f ( ) δ > 0 ε ε (δ ) > 0 : V ε ( ) [A - { }] f ( ) V δ ( ) odedo té gor ser u vector de R ou u oto róro. Nest defção deve otr-se que s vzçs V ε ( ) e V δ ( ) são resectvete sucoutos de R e de R. Tl coo o cso ds fuções res de vrável rel odeos rovr equvlêc de s s defções : 58

166 Teore : As dus defções de lte segudo Hee e segudo Cuc são equvletes Deostrção : ) Suodo que l f ( ) segudo Cuc cosdere-se u qulquer sucessão de teros ertecetes o doío A d fução tl que e l. Fdo u qulquer δ > 0 detere-se o corresodete ε > 0 co o qul se verfc codção que trduz defção de Cuc. Co esse ε detere-se orde rtr d qul V ε ( ) ; rtr dess orde te-se que V ε ( ) [A - { }] o que lc ser f ( ) V δ ( ) fcdo ss rovdo que l f ( ). E coclusão: te-se l f ( ) segudo Hee. ) Suodo gor que l f ( ) segudo Hee dtos or surdo que tl ão suced segudo defção de Cuc. Estr etão u rtculr δ > 0 r o qul co qulquer ε > 0 sere se ecotrr u ε V ε ( ) [A - { }] tl que f ( ε ) V δ ( ). Todo ε / r... estr vectores V / () [A - { }] ts que f ( ) V δ ( ). Clro que os ertecer A ser dsttos de e l ; o etto coo f ( ) V δ ( ) r todo o ão ser l f ( ) cotrrdo-se ss ótese de ser l f ( ) segudo Hee. 3 - Codção ecessár e sufcete r estêc de lte ertecete R Pode deostrr-se co fcldde u codção ecessár e sufcete r que l f ( ) R. Trt-se de u codção seelte à codção ecessár e sufcete de covergêc de u sucessão (codção de Cuc). Teore : Sedo f ( ) u fução co doío e A R e u oto de cuulção de A (vector de R ou oto róro) codção ecessár sufcete r que l f ( ) R é que δ > 0 ε ε (δ ) > 0 : " V ε ( ) [A - { }] f ( ) f ( " ) < δ Deostrção : ) A codção é ecessár. Sedo cordo co defção de Cuc l f ( ) R etão de δ > 0 ε ε (δ ) > 0 : V ε ( ) [A - { }] f ( ) - < δ /. Todo etão qusquer " V ε ( ) [A - { }] te-se 59

167 f ( ) f ( " ) f ( verfcdo-se ortto codção do eucdo ) f ( " ) < δ / + δ / δ ) A codção é sufcete. Suo-se verfcd codção do eucdo. Cosdere-se u qulquer sucessão de teros A tl que e l. Ddo u δ > 0 cosdere-se o corresodete ε ε (δ ) cu estêc é ssegurd el codção do eucdo (suostete verfcd). De cert orde ε(δ) e dte te-se V ε ( ) e ortto co > > ε(δ) te-se V ε ( ) [A - { }] o que lc f( ) f ( ) < δ (el codção do eucdo). Ms tl trduz recsete covergêc d sucessão f ( ). Se l f ( ) R e ve-os que r qulquer outr sucessão * s * codções de té se te l f ( ) o que de cordo co defção de Hee ostrrá que l f ( ) R * : r qulquer outr sucessão * * s ess codções que estrá l f ( ) ; e coo ertece * V ε ( ) [A - { }] rtr de cert orde te-se f ( ) - f ( ) < δ dode * result ssdo o lte que - δ ; devdo à rtrredde de δ te-se * o que co-let deostrção. * 4 Sultes Dd fução f ( ) co doío e A R se B A e u oto de cuulção (vector de R ou oto róro) do doío A e té do couto B. Reresetdo or f B () restrção de f ( ) o couto B cso est l f () esse lte c-se sulte d fução e reltvo o couto B. Té se us o síolo l f () r reresetr o sulte e reltvo o couto B. B Coclu-se se dfculdde que cso est l f () co esse lte cocde todos os sultes de f ( ) e orque co B A codção que defe lte segudo Cuc δ > 0 ε ε (δ ) > 0 : V ε ( ) [A - { }] f ( ) V δ ( ) lc codção que defe segudo Cuc o sulte reltvo o couto B δ > 0 ε ε (δ ) > 0 : V ε ( ) [B - { }] f ( ) V δ ( ). B 60

168 Dqu result que estdo e sultes dsttos r fução est ão ode ter lte o referdo oto. O teore segute te utldde rátc deterção dos ossíves sultes de u fução u oto. Teore 3 : Dd fução f ( ) co doío e A sedo u oto de cuulção de A (vector de R ou oto róro) e sedo B B B k coutos e úero fto dos dos dsutos ts que B B B k A dt-se que é oto de cuulção de cd u dos B e que este os sultes λ d fução e reltvos cd u dos referdos B. Nesss codções eu λ dstto de todos os λ ode ser sulte d fução e Deostrção : Se λ dstto de todos os λ. Nesss codções é ossível fr δ > 0 sufceteete equeo de for que vzç V δ ( λ ) ão te otos e cou co eu ds vzçs V δ ( λ ) k. Coo cd λ é or ótese sulte de f ( ) e reltvete o resectvo B este vlores ε > 0 ts que V ε ( ) [B - { }] f ( ) V δ ( λ ) ( k ). Co ε M {ε ε ε k } > 0 te-se etão or ser B B B k A V ε ( ) [A - { }] f ( ) U k V δ ( λ ) f ( ) V δ ( λ ). Pode gor ver-se co fcldde que λ ão ode ser sulte de f ( ) e reltvo certo couto B A de que se oto de cuulção. Se o fosse r o δ > 0 fdo c coo r qulquer outro estr u ε* ostvo tl que V ε* ( ) [B - { }] f ( ) V δ ( λ ) e etão r vectores B - { } ertecetes à s estret ds vzçs V ε ( ) e V ε* ( ) e ts vectores este or ser oto de cuulção de B terse- sulteete f ( ) V δ ( λ ) e f ( ) V δ ( λ ) o que é festete surdo. O teore recedete ão é váldo se os coutos B evolvdos fore e úero fto fldo deostrção este cso orque etão d grte que se M {ε ε ε k } > 0 e tl é essecl r vldde do rgueto resetdo. 6

169 Se s codções do teore recedete os λ fore todos gus ou se se tveros λ λ λ k µ te-se que r cd δ > 0 este ε > 0 ts que V ε ( ) [B - { }] f ( ) V δ ( µ ) ( k ). Co ε M {ε ε ε k } > 0 te-se etão or ser B B B k A V ε ( ) [A - { }] f ( ) V δ ( µ ). Dqu se tr que l f () µ. Pode os eucr-se o segute Teore 4 : Dd fução f ( ) co doío e A sedo u oto de cuulção de A (vector de R ou oto róro) e sedo B B B k coutos e úero fto dos dos dsutos ts que B B B k A dt-se que é oto de cuulção de cd u dos B que este os sultes λ d fução e reltvos cd u dos referdos B e que ts sultes são todos gus certo µ. Nesss codções l f () µ Refr-se que tl coo o cso do teore 3 o teore recedete ão é váldo se os coutos B evolvdos fore e úero fto fldo deostrção este cso orque etão d grte que se M {ε ε ε k } > 0 e tl é essecl r vldde do rgueto resetdo. 5. Regrs de cálculo de ltes 5. - Cso ds fuções de A R e R As regrs áscs de cálculo de ltes de fuções são á coecds r o cso ds fuções res de vrável rel. Pr s fuções de A R e R (fuções res de vráves res ) s regrs de cálculo são ectete s ess co s ess coveções reltvs os ltes ftos e co os esos csos de deterção. Co efeto té gor defção de Hee erte-os trsferr r o cálculo de ltes ds fuções res de vráves res s regrs reltvs o cálculo de ltes de sucessões. A título erete eelfctvo veos fudetção d regr reltv o lte do roduto de fuções. 6

170 Dds s fuções f ( ) e g ( ) se oto de cuulção dos resectvos doíos e dt-se que este os ltes θ l f () e µ l g() co θ e µ res ou ftos. Cosdere-se fução roduto ( ) f ( ). g ( ) cuo doío é fordo elos vectores cous os doíos ds fuções fctores e dt-se que é gulete oto de cuulção do doío de ( ). Etão dd u qulquer sucessão de teros ertecetes o doío de ( ) tl que e l te-se l f ( ) θ e l g ( ) µ (defção de lte segudo Hee) ; te-se ortto el regr do lte do roduto de sucessões l ( ) θ. µ co s coveções segutes θ. (± ) ± (θ > 0) θ. (± ) (θ < 0) (± ). µ ± ( µ > 0) (± ). µ ( µ < 0) (+ ). (+ ) (- ). (- ) + e (+ ). (- ) (- ). (+ ) - e co os csos de deterção 0. (± ) e (± ). 0. Te-se etão de ovo el defção de Hee l () l [ f ( ). g( ) ] θ. µ [ l f (). l g() ] co s coveções e csos de deterção c ecodos. As regrs de cálculo cougds co s oservções que se segue erte clculr os ltes ou ostrr que estes ão este e grde úero de csos rátcos. ª OBSERVAÇÃO : Sedo ( ) e ( ) coclu-se fclete que r s fuções ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) se te l ϕ ( ) l ( ) ( ) u sucessão de vecto- stdo r tl otr que sedo res de R l l ( ) ( ) l ( ) 63

171 e teder à defção de lte segudo Hee. Est oservção sugere susttução do síolo l f () or este outro l M f ( L ) elctdo este ovo síolo que o lte ode deterr-se rtr d eressão lítc que defe fução otdo que l e lcdo s regrs de cálculo de ltes que for c referds coo sedo s ess ds sucessões res. Por eelo l ( ) () l /. ª OBSERVAÇÃO : Pr o cso ds fuções res de vráves res ( ) surge co frequêc eso e eelos sles stuções de deterção que escode relete csos de estêc de lte. Nestes csos dá frequeteete os resultdos rocurr oter sultes dsttos r fução e ss coclur el ão estêc de lte. Algus eelos udrão ver o que ode e o que ão ode coclur-se co est técc. Eelo : A lcção d regr do quocete r clculr l + l ( ) (0) + 0 coduz u deterção do to 0/0. Veos que o lte ão este ddo ver sultes dsttos r fução o oto ( 0). Rere-se e rero lugr que fução te coo doío A {( ) : - } ou se todos os otos de R co eceção dos studos sore rect de equção. O oto ( 0) ode se retede clculr o lte ão ertece o doío A d fução s é oto de cuulção sedo ortto legl deterr o lte d fução esse oto ou rovr su estêc. Cosdere-se os coutos B {( ) :. ( - ) } co o râetro. Clro que B A r todos os e clro que ( 0) é oto de cuulção de tos os B. A stução é lustrd o gráfco segute ode se rereset o oto ( 0) rect dos otos ( ) que ão são do doío d fução e lgus dos coutos B : 64

172 65 B B - - B 0 Te-se cosderdo u B geérco ( ) : ).( 0 0 ) ( l l l B elo que deededo o resultdo do vlor do râetro fução dte sultes dsttos o oto ( 0) ão tedo ortto lte esse oto. Eelo : No cso do cálculo de ) ( ) ( 0 (0) ) ( + + l l lcção d regr do quocete té coduz u deterção 0/0. Ms tetdo reetr os cálculos do eelo teror co os esos sucoutos B do doío A {( ) : - } d fução oter-se- sere 0 ).( ) ( ) ( 0 0 ) ( l l l B d se odedo coclur. Ms strá cosderr B {( ) : } r se oter ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( l l l B ss se otedo u sulte dstto de u á terorete otdo o que erte coclur que fução ão te lte o oto ( 0)

173 Eelo 3 : No cso do cálculo de l ) (00) + l ( de ovo se oté u deterção 0/0 s este cso cotrrete os dos terores o lte este e é ulo De fcto 0 + ( ) + elo que r cd δ > 0 este ε δ tl que ( ) < ε ( ) (0 0) δ + ss se cocludo que l l ( ) (00) Neste cso ser vã tod tettv de ecotrr sultes dsttos r fução ostrdo o resete eelo que questão de cr o lte ou rovr su estêc ode ser s colcd que qulo que os dos reros eelos ode sugerr. 3ª OBSERVAÇÃO : U outr técc or vezes usd r rovr que ão este lte cosste o cálculo dos cdos ltes sucessvos ou reterdos de que trtreos segur. Se f ( ) f (... ) u fução de A R e R e cosdere-se u oto (... ) de cuulção (róro ou róro) do resectvo doío. Agrue-se s vráves (e s coordeds do oto ) u r ordedo de locos coo se dc : º Bloco : α ( α α... α ) α ( α α... α ) r r º Bloco : β ( β β... β ) β ( β β... β ) ; s s cd u ds vráves (e ds coordeds ) fgur u e es u dos dos locos. Reresete-se or A β R -s o couto dos otos α r os qus β é oto de cuulção do doío d vrável β e este fto l f (... ) β β 66

174 e dt-se que f β ( α ) de cuo doío A β α é oto de cuulção de A β. Este lte é etão u fução α é oto de cuulção. Cso est l f β ( α ) este lte c-se dulo lte sucessvo ou reterdo α α de f ( ) e e rereset-se elo síolo l α α l β β f (... ). Coo rtção ds vráves de f u r ordedo de locos se ode fzer de dverss ers são coceíves dversos dulos ltes sucessvos de u fução u oto lgus dos qus ode evetulete ão estr. De odo seelte se ode troduzr o coceto de trlo lte sucessvo. Pr tl gru-se s vráves (e s coordeds do oto ) u tero ordedo de locos α β η ( α β η ). Reresete-se or A η o couto dos otos ( α β ) r os qus η é oto de cuulção do doío d vrável η e este fto l f (... ) η η e dt-se que ( α β ) é oto de cuulção de A η. Este lte é etão u fução f η ( α β ) de cuo doío A η ( α β ) é oto de cuulção. O dulo lte sucessvo l α α l β β f η ( α β ) cso est desg-se or trlo lte sucessvo ou reterdo de f ( ) e e rereset-se elo síolo l α α l β β l η η f (... ). Tl coo o cso do dulo lte sucessvo rtção ds vráves u tero ordedo ode fzer-se de dverss ers sedo ortto coceíves dversos trlos lte sucessvos lgus dos qus ode evetulete ão estr. Por u rocesso de recorrêc seelte o utlzdo r defr trlo lte sucessvo ode defr-se quádrulo lte sucessvo e e gerl lte sucessvo de qulquer ultlcdde que se cotível co o úero de vráves (ão se ode or eelo defr lte sucessvo quádrulo qudo fução te es três vráves!) Veos lgus eelos. 67

175 Eelo : Cosdere-se fução f ( z) 3 z + + z co doío A {( z) : + + z 0 } e o oto (0 0 0). Te-se: ) ϕ () l 0 z 0 3 z + + z 0 0 l 0 ϕ () 0 l 0 l 0 z 0 3 z + + z 0 ; ) ϕ ( z) l 0 3 z + + z + z z 0 l ϕ ( z) - 0 z 0 l 0 z 0 l 0 3 z + + z - ; c) ϕ ( ) l z 0 3 z + + z 3 + ( + 0 ) θ () l 0 l 0 θ () 0 ϕ ( ) l l 0 l 0 l z 0 3 z + + z 0. Eelo : Cosdere-se fução f ( )

176 co doío A {( ) : 0 } e o oto (0 ). Te-se: l 0 l Eelo 3 : Cosdere-se fução f( ). se (/) cuo doío é o couto A {( ) : 0 } e o oto (0 0). Fclete se coclu que l 0 l 0. se (/) 0 e o etto ão este l 0 l 0. se (/) orque fução ϕ () l 0 o etto ddo que. se (/).. se (/) só é defd r 0. Rere-se que l 0 0. se (/) 0 O teore segute erte utlzr os ltes sucessvos r rovr que u fução ão te lte u oto. Teore 5 : Estdo l sucessvo de f e desde que est cocde co k. f ( ) k róro ou róro qulquer lte Deostrção : Cosderreos es o cso do dulo lte sucessvo vledo dêtco rgueto o cso do lte sucessvo de qulquer ultlcdde. Cosdere-se etão rtção ( α β ) ds coordeds de e corresodete rtção ( α β ) ds coordeds de. Te-se co R e co ε* ε / α V ε* ( α ) β V ε* ( β ) V ε ( ) o eso se verfcdo co oto róro. De l f ( ) k result usdo defção de Cuc que fdo δ > 0 rtrrete equeo este ε ε (δ ) tl que se [V ε ( ) - { }] A etão 69

177 f ( ) V δ (k) ] δ + δ [ ] δ [ ] δ [ k k k fto / + k + / k. Qudo r u ddo o lte f β ( α ) l β β ) [ k - δ k + δ ] se k fto ; ) [ /δ + [ se k + ; c) ] - -/δ ] se k -. α [V ε* ( α ) - { }] A β fzeos teder f ( ) cso est ertece : β r β E etão cso est λ l α α f β ( α ) l α α l β β f ( ) te-se té: ) k - δ λ k + δ se k for fto ; ) λ /δ se k + ; c) λ -/δ se k -. Devdo à rtrredde do δ > 0 fdo te-se ecessrete λ k e todos os csos quto o vlor de k coo se quer deostrr. Eelo 4 : ) Pr rovr que ão este l st otr que l 0 l 0 + e l 0 l ) Pr rovr que ão este l 0 0 z + z + + z st otr que l 0 l 0 l z + z + + z e l 0 l 0 z + z + + z -. Pr terr cové oservr que d evetul estêc e guldde de todos os ltes sucessvos d se ode ferr quto à estêc de lte d fução o oto. Aes d oteção de ltes sucessvos dsttos se coclu que fução ão te lte. Deve té oservr-se que elo fcto de ão estre lgus dos ltes sucessvos ão se ode coclur el estêc de lte r fução. 70

178 5. Cso ds fuções de A R e R Coo se vu terorete u fução f de A R e R (... ) A R u certo vector de R ssoc cd vector (... ) f ( ) [ f ( ) f ( )... f ( ) ] odedo cosderr-se coo u sste de fuções res de vráves res f( ) f (... ) f ( ) f (... ) K f ( ) f (... ) e que fução f ( ) ssoc cd (... ) A -és coorded de (... ) f ( ). De cordo co defção de Hee te-se l f ( ) A l l f ( ) e coo l f ( ) [ l f ( ) l f ( )... l f ( )] fclete se coclu que l f ( ) l f ( ) ( ) odedo ss r s fuções f de A R e R reduzr-se o cálculo de l f () o cálculo dos ltes l f () cd u deles reltvo u fução rel de vráves res questão á trtd e 5.. Nd s é ecessáro crescetr reset-do-se es os segutes eelos: ) Sedo f ( ) [ + /( + )] u fução de R e R 3 te-se or eelo l f ( ) [ l + l l /( + )] ( 5 - /5 ) ; ) Sedo f ( z) [ + + z ( + z) /( + z )] u fução co doío o couto A {( z) : -z } R 3 ão este o resectvo lte o oto ( ) u vez que ão este o lte 7

179 l ( + z) /( + z ). 0 0 z 0 6. Cotudde otul Se f ( ) u fução de A R e R se e só se e A. Dz-se que f ( ) é cotíu e ou se se e só se δ > 0 ε ε (δ ) : V ε ( ) A f ( ) V δ [ f( )] δ > 0 ε ε (δ ) : - < ε A f ( ) - f ( ) < δ. Qudo A ão se oto de cuulção de A ( esse cso dz-se que é oto soldo do doío d fução) este sere cert vzç de e que o úco oto de A que í se ecotr é o róro ; ortto este cso codção que defe cotudde de f ( ) e é sere verfcd. Qudo A se oto de cuulção de A codção que defe cotudde de f ( ) e equvle ser l f () f ( ). Co u rgueto seelte o utlzdo qudo se deostrou equvlêc ds defções de lte de Hee e Cuc ode coclur-se que A (oto soldo ou ão) é oto de cotudde d fução f ( ) se e só se r qulquer sucessão de eleetos de A que te or lte o rel corresodete sucessão f ( ) tver or lte f ( ). Qudo se fução f ( ) ode coo vos cosderr-se coo u sste de fuções f ( ) res de vráves res e fclete se coclu que cotu-dde de f ( ) e equvle à cotudde esse eso oto ds fuções f ( ). Co efeto or ser f ( ) - f ( ) f ( ) - f ( ) cotudde de f ( ) e lc cotudde d cd u ds f ( ) o eso oto; ver-sete sedo tods s fuções f ( ) cotíus e te-se δ > 0 ε ε (δ ) : - < ε A f ( ) - f ( ) < δ /. ( ) e ortto co ε gul o eor dos ε te-se δ > 0 ε ε (δ ) : - < ε A f ( ) - f ( ) < δ / ( ) 7

180 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) < δ fcdo ss ustfcd cotudde de f ( ) e. O teore segute grte cotudde d fução coost z [ f o g] ( ) rtr d cotudde ds fuções g( ) e z f ( ). Teore 6 : Adt-se que fução g( ) de A R e R é cotíu e certo oto A e que fução z f ( ) de B g(a) R e R é cotíu o oto corresodete g( ) B. Etão fução coost [ f o g] ( ) é cotíu e Deostrção: A cotudde de f ( ) e g( ) e de g( ) e trduz-se resectvete or ) δ > 0 η η (δ ) : V η ( ) g(a) f ( ) V δ [ f ( )] ) η > 0 ε ε (η ) : V ε ( ) A g( ) V η [ g( )] Etão ddo δ > 0 deter-se η η (δ ) el codção ) e rtr deste deter-se ε ε (η ) ε [η (δ )] el codção ); clro que etão co o ε e η ss deterdos V ε ( ) A g( ) V η [ g( )] g( ) V η [ g( )] g(a) f [ g( )] V δ [ f ( )] f [ g( )] V δ { f [ g( )] } ss se rovdo cotudde de [ f o g] ( ) e. Eor o teore recedete te sdo eucdo r o cso B g(a) - doío de f ( ) cocdete co o cotrdoío de g( ) - ele dt-se co fcldde o cso d coosção de fuções e que B g(a) e B g(a). De fcto restrgdo o doío de g( ) o couto A 0 de todos os A que fze g( ) B restrgdo o doío de f ( ) o couto g(a 0 ) e tededo que cotudde de g( ) e se té qudo se restrge o doío d fução o eso cotecedo quto à cotudde de f ( ) e o teore é lcável à fução coost z f [ g( )] defd e A Descotuddes Dd fução f ( ) de A R e R cosdere-se Ad A A A. Coo á seos fução é cotíu e os segutes csos : ) A e A ( é oto soldo do doío) ; ) A A e l f () f ( ). 73

181 A fução dz-se descotíu e os segutes csos : ) A A e l f () ou ão este ou estdo é dstto de f ( ) ; ) A A e l f () ou ão este ou estdo é róro. Há d outro cso ossível : A A e l f () este e R. Neste cso fução f ( ) dz-se quse cotíu e o setdo de que é ossível lrgdo o doío d fução e defdo f ( ) l f () oter u fução cotíu. 8. Cotudde u couto. Proreddes esecs ds fuções cotíus 8. - Defção de fução cotíu u couto A defção de cotudde u couto é seelte à que fo dd r o cso ds fuções res de vrável rel. Dd fução f ( )de A R e R el dz-se cotíu o seu doío se e só se for cotíu e todos os A. Por outro ldo f ( ) dz-se cotíu o couto B A se e só se restrção de f ( ) B for cotíu e todos os B. Estud-se segudete lgus roreddes esecs ds fuções cotíus e coutos esecs. Ests roreddes são geerlzções de dêtcs roreddes estudds r s fuções res de vrável rel Geerlzção do Teore de Cuc Coeão or rcos A geerlzção do teore de Cuc o cso ds fuções co doío cotdo o esço R ressuõe defção d coeão or rcos r os sucoutos de u esço R. Se g(t) u fução de I [ ] R e R e dt-se resectv cotudde esse tervlo. Ao couto C { : g(t) t } c-se rco de curv de etreddes g() e g(). A fução g(t) corresode u sste de fuções res de vrável rel cd u ds qus dá u ds coordeds de e fução de t g (t) g (t) g (t) sedo que cotudde de g(t) equvle coo seos à cotudde de cd u ds g (t) o eso tervlo. As fuções g (t) g (t) g (t) que org- s coordeds do oto C corresodete cd vlor de t [ ] c-se fuções rétrcs do rco C. Nos csos ou 3 os rcos de curv ode reresetr-se geoetrcete o lo ou o esço ordáro fdo u sste de eos coordedos. Ass or 74

182 eelo co s fuções rétrcs cos t e se t co t [0 π/] te- -se o rco de curv C {( ) : cos t se t 0 t π/} R que fclete se costt ser reresetdo o lo or u rco de círculo de cetro orge e ro utáro sedo que s resectvs etreddes são os otos ( 0) e (0 ) : P( ) t 0 Not : A vrável rel t rereset o âgulo reresetdo fgur e r cd vlor de t do tervlo [0 π/] te-se o oto de coordeds cos t e se t do rco de círculo reresetdo. Qudo t ercorre o resectvo tervlo de vrção o oto P( ) descreve o referdo rco de círculo. Refr-se que o eso rco de curv ode e gerl ser reresetdo retrcete de dferetes odos. Por eelo o cso do rco de círculo c cosderdo odeos etre outrs cosderr s dus segutes ltertvs de reresetção r-étrc: t t t c o s ( e ) ( 0 t ) ou t s e ( e ) ( 0 t log ) Tos esecs de rcos de curv e R são os segetos e s olgos. Ddos dos vectores R e R c-se segeto de etreddes e o rco de curv S( ) { : + t.( - ) 0 t } sedo s fuções rétrcs corresodetes + t.( - ) + t.( ) + t.( ) e que os e são resectvete s coordeds dos vectores e. Note-se que segeto S( ) dte d etre outrs s segutes reresetções rétrcs : + (t k).( - ) k t k + e que k é u qulquer rel fo. 75

183 Nos csos e 3 reresetção geoétrc dos segetos coduz segetos de rect coo se lustr o fgur segute (corresodete o cso 3 ) : 3 S( ) 3 Veos gor o coceto de olgol. Ddos os vectores orde e e úero fto c-se olgol de vértces orde) o rco de curv P( k segute fução cotíu de [0 k-] e R : k or est (or est ) reresetdo retrcete el k g(t) + t.( ) + ( t ).( 3 ) K k + ( t k + ).( k 0 t < t < k t k k ) Notdo que o rero ro d fução rereset o segeto S( ) eurgdo d resectv etredde fl o segudo ro d fução rereset o segeto S( 3 ) eurgdo d resectv etredde fl etc. fclete se coclu que olgol P( k ) é uão dos segetos S( ) S( 3 ) etc.. N fgur segute rereset-se geoetrcete u olgol o esço R : 4 3 Este eelo serve d r ostrr que ordeção dos vértces é relevte os clrete se vê que P( 3 4 ) P( 4 3 ). 76

184 Co o coceto de rco de curv ode gor defr-se o coceto de couto coeo or rcos. U couto A R dz-se coeo or rcos se e só se qusquer que se os vectores A este u rco de curv C de etreddes esses vectores que está cotdo e A sto é este u fução cotíu g(t) de I [ ] R e R tl que ) g() e g() ; ) C { : g(t) t } A. O cso s sles de coutos coeos or rcos são os coutos coeos or segetos: o couto A dz-se coeo or segetos (ou couto coveo) se e só se qusquer que se os vectores A o segeto S( ) está cotdo e A. É gulete sles s s gerl que o teror o cso de coutos coeos or olgos : o couto A dz-se coeo or olgos se e só se qusquer que se os vectores A este u olgol P( ) cotd e A. N fgur segute rereset-se geoetrcete (o cso de R ) qutro stuções r lustrr os cocetos recedetes (coutos soredo) : k Cso : Couto coeo or segetos Cso : Couto coeo or olgos Cso 3 : Couto coeo or rcos s ão or olgos Cso 4 : Couto ão coeo or rcos No cso uto esecl de é fácl ver que u couto A R é coeo or rcos se e só se for u tervlo. Co efeto ) Se I R for u tervlo ddos qusquer res < desse tervlo te-se que o segeto S( ) {: + t.( - ) 0 t } [ ] I sedo ortto o tervlo I coeo or segetos ; ) Se A R for coeo or rcos ddos qusquer res < desse couto este u fução rel de vrável rel g(t) co t [t 0 t ] cotíu esse tervlo tl 77

185 que: ) g(t 0 ) e g(t ) ; ) C { : g(t) t 0 t t } A. Etão ddo u qulquer c coreeddo etre e ( < c < ) o teore de Cuc estuddo r fuções res de vrável rel grte que este u t* ] t 0 t [ tl que c g(t*). Result etão que c C e ortto c A ss se cocludo que ddos dos qus-quer res < do couto A (coeo or rcos) qulquer rel etre e ertece té A o que lc ser A u tervlo 8.. Teore de Cuc Pode gor eucr-se e deostrr-se o teore de Cuc geerlzção de u resultdo á estuddo r s fuções res de vrável rel Teore 7 : Se f ( ) fução de A R e R dt-se que fução é cotíu e B A e que B é coeo or rcos. Etão o couto trsfordo de B or f ou se f (B) { : f ( ) B} R é gulete coeo or rcos Deostrção : Cosdere-se dos qusquer vectores u v f (B) e se e vectores de B ts que u f ( ) e v f ( ) sedo que ts vectores este or defção do couto f (B). Por ser B coeo or rcos este u fução cotíu g(t) de I [ ] R e R tl que ) g() e g() ; ) C { : g(t) t } B. Etão fução coost (t) f [g(t)] é té fução cotíu de I [ ] R e R (devdo à cotudde de f e de g ) tl que : ) u f [g()] e v f [g()] ; ) C* { : f [g(t)] t } f (B) resultdo ) de t g(t) C g(t) B f [g(t)] f (B) Fc ss rovdo que f (B) é gulete coeo or rcos coo se reted. Do teore teror result os segutes coroláros : Coroláro : Sedo f ( ) fução de A R e R dt-se que fução é cotíu e B A e que B é coeo or rcos. Etão o couto trsfordo de B or f ou se f (B) { : f ( ) B} é u tervlo Deostrção : Result edtete do teore cosderdo que e R os coutos coeos são es os tervlos. 78

186 Coroláro : Sedo f ( ) fução de A R e R dt-se que fução é cotíu e B A e que este couto é coeo or rcos. Etão fução ão ud de sl e B se se ulr Deostrção: O trsfordo de B el fução é u tervlo (coroláro ). Se fução ud de sl e B o tervlo f (B) ertece u vlor ostvo e u vlor egtvo logo 0 f (B). Este etão u 0 B tl que f ( 0 ) 0 coo se quer ostrr Fuções cotíus u couto ltdo e fecdo Pr s fuções f ( ) de A R e R cotíus u couto B A ltdo e fecdo te-se u resultdo seelte o á estuddo r s fuções res de vrável rel. Teore 8 : Sedo f ( ) fução de A R e R cotíu o couto B A ltdo e fecdo etão o couto f (B) { : f ( ) B} R é gulete ltdo e fecdo Deostrção : ) Veos e rero lugr que f (B) é ltdo. Se f (B) ão fosse u couto ltdo etão r... estr sere u B tl que f ( ) > e ser etão l f ( ) +. A sucessão ltd dtr u susucessão α co lte λ B (ddo B ser fecdo) ; ser etão l f ( α ) f ( λ ) devdo à cotudde de f ( ) e λ ; s etão f ( ) ser u sucessão ltd (or ter lte e R ) ou se ter-se- f ( ) k co certo k R o que é cotível co coclusão sur de se ter l f ( ) +. ) Veos gor que f (B ) é u couto fecdo. Se f ( ) u qulquer sucessão de vectores de f (B ) co lte R. Se se rovr que f (B) tl será sufcete r grtr que f (B) é fecdo. A sucessão ltd dte u su-sucessão α co lte λ B (ddo B ser fecdo) ; e etão l f ( α ) f ( λ ) de-vdo à cotudde de f ( ) e λ ; te-se etão que f ( λ ) ou se f (B) coo se reted rovr. Coroláro : Sedo f ( ) fução de A R e R cotíu o couto B A ltdo e fecdo etão f ( ) dte e B ío e áo solutos Deostrção: Result de edto do teore. O couto f (B) R é ltdo e fecdo dtdo or sso áo e ío sedo estes o áo e ío solutos d fução o couto B. α α 79

187 9. Cotudde d fução vers Tl coo r s fuções res de vrável rel té gor o fcto de u fução f ( ) de A R e R ser cotíu e ectv o seu doío A ão é sufcete r grtr que resectv fução vers f - se cotíu o seu doío f (A). No etto Teore 9 : Sedo f ( ) cotíu e ectv o couto ltdo e fecdo A etão resectv vers f - é té cotíu e f (A) Deostrção : Toe-se u qulquer f (A) ou se f ( ) co certo A. Se f ( ) u sucessão (qulquer) de eleetos de f (A) tl que l. Veos que l f - ( ) f - ( ) o que rovrá ser f cotíu e f (A) e ortto dd rtrredde desse fcrá rovd cotudde de f - e f (A). Coo os teros ertece A e este couto é ltdo e fecdo sucessão é ltd e vos ver que te lte cocdete co. Pr tl rovreos que ess sucessão ão dte eu sulte dstto de. Cosdere-se etão u qulquer susucessão que te lte se ele λ ; te-se que λ A ( or α ser A fecdo) e devdo à cotudde de f ( ) s l f ( α ) f ( λ ) f ( ) sedo segud guldde ssegurd or ser f ( α ) susucessão de f ( ) que or ótese tede r f ( ). Dd ectvdde de f ( ) guldde f ( λ ) f ( ) lc λ o que erte coclur que todos os sultes d sucessão cocde co dode result ser l. Ms ddo que f - ( reted rovr. ) e f - ( ) tl sgfc ser l f - ( ) f - ( ) coo e 0. Cotudde ufore. Teore de Hee Ctor Relereos o coceto de fução cotíu u couto. Dd fução f ( ) de A R e R e sedo B A f é cotíu e B B δ > 0 ε ε ( δ ) : : V ε ( ) B f ( ) V δ [f ( )] ou e teros de dstâcs f é cotíu e B B δ > 0 ε ε ( δ ) : 80

188 : d ( ) < ε e B d [f ( ) f ( )] f ( ) f ( ) < δ. Refr-se que defção recedete o vlor ε dcdo deede e gerl do δ > 0 fdo e do oto B que se está cosderr. Cso se ossível deterr r cd δ > 0 u ε ε (δ ) só deedete de δ que ssegure r todos os otos B d ( ) < ε (δ ) e B d [f ( ) f ( )] f ( ) f ( ) < δ fução dz-se uforeete cotíu o couto B ou se f é uforeete cotíu e B δ > 0 ε ε (δ ) : : < ε e B f ( ) f ( ) < δ ou d for equvlete s usul f é uforeete cotíu e B δ > 0 ε ε (δ ) : : " < ε e " B f ( ) f ( " ) < δ. O teore segute é frequeteete útl r estudr evetul cotudde ufore de u fução u couto. Teore 0 : A fução f ( ) de A R e R é uforeete cotíu o couto B A se e só se qusquer que se s sucessões " e de otos do couto B ts que l d ( ) 0 té l d [ f ( ) f ( )] 0 " Deostrção : Suo-se f ( ) uforeete cotíu e B e se e dus sucessões de otos do couto B ts que l d ( " ) 0. Ddo u qulquer δ > 0 este ε ε (δ ) tl que " " d ( " ) < ε e " B d [f ( ) f ( " )] < δ ; coo de cert orde e dte d ( ) < ε te-se rtr d es orde d [ f ( ) f ( )] < δ o que rov ser l d [ f ( ) f ( )] 0. " " " Iversete dt-se que r qusquer 0 se te té l d [ f ( ) f ( é uforeete cotíu o couto. " " B ts que l d ( " ) )] 0. Veos que etão fução f ( ) 8

189 Se or surdo tl ão cotecesse ver u δ 0 reltvete o qul r qulquer ε > 0 estr otos B ts que ε " ε d ( ε " ε ) < ε e d [ f ( ) f ( )] δ 0 ; ε " ε cosderdo etão ε / estr otos " B ts que d ( " ) < / e d [ f ( ) f ( )] δ 0 " sedo etão l d ( " ) 0 se que e corresodêc se tvesse l d [ f ( ) f ( )] 0 o que ser cotráro à ótese dtd clete. Logo f ( ) deverá ser uforeete cotíu e B coo se quer rovr. " Eor e gerl u fução oss ser cotíu u couto se que í se uforeete cotíu vos estudr o teore de Hee-Ctor ode se grte que u fução cotíu u couto ltdo e fecdo é sere uforeete cotíu esse couto. Teore : Sedo f ( ) fução de A R e R cotíu o couto ltdo e fecdo B A etão f ( ) é uforeete cotíu e B (Hee-Ctor) Deostrção : Se f ( ) cotíu o couto ltdo e fecdo B e cosdere-se or surdo que ão é uforeete cotíu esse couto. Estr etão certo δ > 0 tl que qulquer que fosse ε > 0 sere ver otos " ε ε B de odo ser d ( ε " ε ) < ε e d [ f ( ) f ( )] δ ε " ε E rtculr co ε / estr otos " B ts que d ( ) < / e d [ f ( ) f ( )] δ. " " 8

190 Coo sucessão vê-se co fcldde que l α d ( é ltd este u su susucessão α α " ) Por outro ldo l f ( α ) l f ( e B dqu resultdo l d [ f ( ) f ( α α α α α " α < /α l co lte B e " α " ) f ( ) devdo à cotudde de f ( ) " )] l f ( ) f ( α " ) 0 α e cotrdção co codção d [ f ( ) f ( )] δ que dever ser verfcd r todo o turl N. " - Noção de cotrcção. Teore do oto fo Dd fução f ( ) de A R e R dz-se que se trt de u fução cotíu segudo Lsctz o couto B A se e só se este u rel c > 0 tl que f ( ) f ( " ) c. " qusquer que se " B. É uto fácl de rovr que sedo f ( ) u fução cotíu segudo Lsctz o couto B é í uforeete cotíu ão sedo oré vers verdder. Dd fução f ( ) de A R e R tl fução dz-se u cotrcção se e só se: ) f (A) A R ; ) A fução verfc codção de Lsctz co 0 < c < o doío A ou se este c ] 0[ tl que " A f ( ) f ( " ) c. ". O teore segute coecdo e Aálse Mteátc or teore do oto fo é ortte e dverss lcções: Teore : Se fução f de A R e R for u cotrcção e A for u couto fecdo etão equção f ( ) te u e u só solução e A Deostrção : Cosdere-se u oto rtráro 0 A e costru-se segute sucessão de otos de A : f ( 0 ) f ( )... f ( )

191 Coo f é u cotrcção te-se (co certo c ] 0 [ ) : - f ( ) - f ( 0 ) c f ( ) - f ( ) c. - c. - 0 e e gerl r c Etão co > ( c - + c c ). - 0 c c - 0. Por ser 0 < c < te-se que sucessão rel de tero gerl u c tede r zero e ortto - c c - 0 < ε de cert orde ε e dte ou se r > > ε te-se segute desguldde: - < ε. Tl sgfc que sucessão verfc codção de Cuc; ortto este l e clro que A (or ser A u couto fecdo). Por ser f ( ) e f fução cotíu e (ote-se que sedo f fução cotíu segudo Lsctz o couto A é uforeete cotíu logo cotíu e qulquer oto ertecete esse couto) te-se f ( ) ou se o oto l do couto A é u solução d equção f ( ). Pr coclur que o oto otdo terorete é úc solução e A d equção f ( ) cosdere-se u evetul solução ltertv A ; te-se f ( ) f ( ) - f ( ) - f ( ) c. - ( - c). - 0 ; or ser - c > 0 result - 0 o que lc - 0 ou se. 84

192 . Eercícos - Utlze defção de lte segudo Cuc r ostrr que ) l 0 ; ) l Dd fução f de R e R tl que e os coutos f ( ) 3 rcol ou rcol.( ) e rrcos A {( ) : Q Q } e B {( ) : R - Q R - Q } ) Utlze defção de lte segudo Hee r deterr os sultes d fução o oto de coordeds reltvos os coutos A e B ; ) Pr ( ) R e que codções este lte d fução o oto e cus? Justfque. 3 - Cosdere fução f ( ). ( + ) - e o oto (00). ) Clcule os sultes de f o oto ddo reltvos os coutos M {( ) : 0} N {( ) : 3 0} e R {( ) : - > 0} ; ) Detere o couto S dos sultes (róros ou róros) d fução o oto ddo; c) Fce os resultdos ds líes terores que ode frr sore estêc do lte d fução o oto e cus? Justfque. 4 - Cosdere fução f ( ) e clcule os resectvos sultes o oto de coordeds 0 reltvos os segutes sucoutos: ) Rect de equções rétrcs t t ; ) Curv de equções rétrcs t t Cosdere segute fução 85

193 f ( z) + + z ) Utlze os coutos A α {( z) : 0 t z α (t ) + } (α 0) r ostrr que qulquer rel dferete de zero é sulte d fução o oto (0 ) ; ) Mostre que té 0 + e - são sultes d fução o eso oto. 6 - Detere o râetro rel α de odo que segute fução te lte o oto ( ) : + α 0 0 e f ( ). + α outros ( ) Cosdere segute fução f ( ) ( ) 4 4. ) Mostre que este e são gus os ltes sucessvos d fução orge ; ) Mostre que fução ão te lte orge. 8 - Clcule os segutes ltes ou rove su estêc : ) l 0 0 d) l + + z g) l 0 0 se ; ) l 0 0 z + + z ; e) l 5 + ( ) z + z 0 ; ) l z 0 + z + z + + ; c) l 0 0 ; f) l. 0. se (/) ; +. ; 9 - Clculdo os ltes sucessvos ostre que ão este ) l ; ) l 0 ( ) ( ) +. 86

194 0 - Estude estêc de l Mostre que ão este l z 0 z + ( ) + z + z clculdo os ossíves ltes sucessvos té ecotrr dos que se dsttos. - Cosdere fução f ( ) [se (/) / se (/)] co doío o segute sucouto de R : A {( ) : 0 0}. Detere o couto dos sultes (róros ou róros) d fução o oto de coordeds Estude cotudde d segute fução orge f ( ) / estuddo té cotudde ds fuções rcs f ( 0) e f (0 ) resectvete e 0 e O eso que o eercíco teror r fução f ( ) Detere os otos de descotudde ds segutes fuções res de dus vráves res. e 0 ) f ( ) + 0 ; ) f ( ) ( ). se (/). 6 - Estude cotudde ds segutes fuções os coutos dcdos: ) f ( ) ( ) ± 0 ± e R e B {( ) : ± } ; 87

195 + + z 0 0 z 0 ) f ( z) z < 0 0 z 0 + z outros ( z ) e B {( z) : 0 0 z 0} e R Justfque estêc de ío e áo soluto d fução f ( ) e B {( ) : + }. 8 - Se f fução de A [0 π [ e R tl que f ( t ) (cos t se t). ) Mostre que f (A) B {( ) : + } ; ) Mostre que f é cotíu e A ; c) Mostre que este fução vers f de B e R tl que d) Clcule f ( 0) ; f ( ) t : t [0 π [ cos t se t ; e) Clcule os sultes segutes l f ( ) e l 0 ( ) B 0 0 ( ) B f ( ) e que B 0 {( ) : ( ) B > 0} e B {( ) : ( ) B 0} ; f) Utlze os resultdos ds líes terores r ostrr que eor f se cotíu e A su vers ão é cotíu e B f (A). 9 - Estude cotudde ufore ds segutes fuções os coutos dcdos: ) f ( ) / e A {( ) : > 0} e B {( ) : 0 < < < }; ) f ( z) e B {( z) : + + z }. + + z 88

196 0 - Co fução f ( ) + e o couto B {( ) : 0 0 } r ostrr que u fução ode ser uforeete cotíu u couto se que í verfque codção de Lsctz. - Cosdere-se fução f de R e R tl que f ( ) ( ). ) Detere s soluções d equção f ( ) ( ) ; ) A fução f ( ) oderá ser u cotrcção? Justfque. RESPOSTAS : - ) Sulte reltvo A 3 e sulte reltvo B 0 ; ) Este lte r fução o oto ( ) se e só se 0 ou ±. 3 - ) Sultes: reltvo M /3 ; reltvo N /4 ; e reltvo R + ; ) S R {- + } ; c) A fução ão te lte o oto (0 0). 4 - ) 0 ; ) α / ) Não este ; ) 0 ; c) 0 ; d) Não este ; e) Não este ; f) / ; g) Não este ; ) / Não este. - S {(u v w) : - u v ± - w }. 3 - A fução ão é cotíu orge. As fuções rcs f ( 0) e f (0 ) são cotíus resectvete e 0 e A fução ão é cotíu orge fução rcl f ( 0) ão é cotíu e 0 e fução rcl f (0 ) é cotíu e ) Todos os otos (0 ) co R e d os otos ( ) co dferete de 0 e de ; ) Todos os otos (0 ) co eceção de (0 ) e (0 3). 6 - ) Não cotíu e R cotíu e B ; ) Cotíu e B ão cotíu e R Fução cotíu o couto ltdo e fecdo B. 8 - d) 0 ; e) Sulte e relção B 0 0 e sulte e relção B π. 9 - ) Não é uforeete cotíu e A s é uforeete cotíu e B ; ) É uforeete cotíu. 89

197 - ) (0 ) ( 0) (0 0) e ( ) ; ) Não ode ser u cotrcção orque o teore do oto fo grtr esse cso que equção f ( ) ( ) ter u e u só solução. 90

198 CAPITULO VII DERIVAÇÃO E DIFERENCIAÇÃO EM R. Dervds rcs de fuções res de vráves res Se f ( ) f (... ) u fução de A R e R e cosdere-se u oto (... ) A. Fdo cosdere-se fução rcl ϕ ( ) f (... ) e dt-se que é defd e cert vzç ] - ε + ε [. Cso est ft dervd d fução rcl ϕ ( ) e ϕ ( + ) ϕ ( ) ϕ ( ) l 0 l f ( + L ) f ( L ) 0 o resectvo vlor é dervd rcl de f ( ) e relção o oto e rereset-se or qulquer dos síolos f ( ) f [ ] ( ) ou f ( ) D odedo evdeteete solog sere que se coveete evdecr s coordeds susttur-se or (... ). Se evetulete fução rcl ϕ ( ) es for defd e cert se-vzç de só ode defr-se u ds dervds lters dest fução (dret ou esquerd cofore os csos) e etão é este o vlor que se to r dervd rcl de f ( ) e relção o oto. A defção de dervd rcl de f ( ) e relção qulquer outr vrável o oto é álog : f l f ( L + L ) f ( L L ) ( ) 0 cso este lte est fto ; clro que tl coo dervd rcl e relção té gor são utlzds s segutes sologs ltertvs f f ( ) ( ) ou [ D f ] ( ). 9

199 Se fução f (... ) tver dervd rcl e relção e todos os otos do couto X A c-se fução dervd rcl de f ( ) e relção à fução que cd X ssoc f ( ); est fução é usulete reresetd or f f ou D f. Coo defção de cd f ( L ) são tds costtes s vráves co (ou se o crésco te uls tods s sus coordeds à eceção de ) s dervds rcs ode ser otds els regrs usus de dervção ds fuções res de vrável rel. Ass or eelo f 3 + z f ( z) 3 + z - f 3 + z. fz Cso fução f ( L ) dt or su vez dervds rcs e relção os otos do couto X X A etão f ( ) será segud dervd rcl de f ( ) e relção às vráves e (or est orde). Pr seguds dervds rcs us-se os síolos f f ou D f co rtculrdde de r sere usdos f e vez de f D f f e vez de D e vez de f. f A rtr ds seguds dervds rcs ode defr-se s dervds rcs de tercer orde f α 3 f α 3 ou D f α sedo otção slfcd - edte o uso de eoetes sólcos r s vráves de dervção - qudo dus ou s dervções cosecutvs se fets e relção à es vrável coo se eelfc: 3 f e vez de 3 f 9

200 3 f 3 e vez de 3 f Etc.. A rtr ds tercers dervds rcs ode defr-se s qurts dervds rcs e ss or dte coquto vão sedo ossíves s sucessvs dervções. Deve otr-se que e rcío dervd rcl de cert orde e relção certs vráves deede d ordeção dests. Ou se te-se or eelo 3 f 3 f orque o rero síolo rereset tercer dervd d fução f ( ) rero e relção deos e relção e flete e relção de ovo equto que o segudo síolo rereset tercer dervd de f ( ) dus vezes seguds e relção e deos e relção. Ou se s dus tercers dervds e cofroto etr s ess vráves de dervção o eso úero de vezes s or orde dvers; e e ts csos s dervds e cus ão são ecessrete gus questão que dte será retod.. Dervds segudo vectores r fuções res de vráves res Se f ( ) f (... ) u fução de A R e R e cosdere-se u oto (... ) INT A. Sedo u (u u... u ) u vector ão ulo de R c-se dervd de f ( ) o oto segudo o vector u o lte (cso est): f u ( ) l f ( + t. u ) f ( ) t 0 t f( + tu. + tu. L + tu. ) f( L ) l t t 0. Qudo e rtculr u ( ) te-se que f u u ( ) f ( ) ; r o vector u ( ) te-se f ( ) f ( ); e ss sucessvete r os resttes vectores d segute se de R : {( ) ( )... ( )}. Note-se que tl coo é ossível estêc de dervd rcl e relção lgus ds vráves se que est e relção outrs té s gerlete ode estr dervds u oto segudo certos vectores e ão estre segudo outros. 93

201 Veos or eelo o cso d fução f ( ) ; te-se r o oto (0 0) e segudo u vector ão ulo u ( u u ) f u ( 00 ) l f (. t u t. u ) f ( 00 ) f (. t u t u l. ) t t t 0 t 0 l tu.. tu. 0 u 0 t 0 t 3 l tu. o ~ este u u 0 0 t 0 t ss se cocludo que f u ( 0 0 ) só este (e é ul) segudo vectores u ( u u ) ts que u 0. Ddo o vector ão ulo u o vector vers u u c-se versor de u e é u óvo que vers u. A dervd de f ( ) o oto segudo o vector vers u ou se fvers u ( ) cso est c-se dervd e drgd segudo drecção do vector u. Te-se f vers u ( ) f ( + f ( + t. vers u) f ( ) l l t 0 t t 0 f ( + t u ) f ( ) u l t 0 u t u t u t u ) f ( ) f ( + t *. u) f ( ) l u t* 0 t * fu ( ) u ou se: dervd e drgd segudo drecção do vector u é gul o roduto do verso d or do vector u el dervd d fução e segudo o vector u. 3. Dferecldde de fuções res de vráves res 94

202 Se f ( ) f (... ) u fução de A R e R e cosdere-se u oto (... ) INT A (oto teror do doío d fução). Dz-se que f ( )é dferecável o oto se e só se este u δ > 0 tl que co < δ f ( + ) f ( ) k +. ε ( ) e que k R (... ) e l ε ( ) 0. 0 Cso f ( ) se dferecável e (... ) INT A dus coclusões são edts: ) A fução é cotíu e orque fzedo 0 o segudo ero d guldde que ere dferecldde se oté de edto l f ( + ) f ( ) 0 guldde que trduz cotudde de f ( ) e ; ) As costtes k que fgur o segudo ero d guldde ode fclete ser terretdos coo s dervds rcs f ( ) cu estêc fc ortto ssegurd e cso de dferecldde : co efeto todo or eelo ( ) guldde que ere dferecldde oté-se f ( +... ) - f (... ) k. +. ε ( ) dode result r 0 ou d f ( + L ) f ( L ) k + ε ( ) f ( ) l 0 l 0 [ k f ( + L ) f ( L ) + ε ( )] k + 0 k ss se cocludo que k f ( ) coo se reted ostrr ; e do eso odo se ode coclur quto às resttes dervds rcs d fução o oto. 95

203 Note-se que o etto cotudde d fução o oto e cus e couto co estêc ds sus dervds rcs esse eso oto ão é sufcete r grtr dferecldde coo ostr o segute eelo. A fução f ( ) 0 0 é cotíu e dte dervds rcs o oto (0 0) : f ( 00 ) l f ( 0) f ( 0 0) 0 f ( 00 ) l f ( 0 k ) f ( 0 0) k k 0 l 0 l k k k 0 ; o etto fução ão é dferecável orge orque de f ( k) - f (0 0). + k. + + k. ε ( k) tr-se ε ( k) f ( k) k + k k + k + k e vê-se co fcldde que l ε ( k) ão é ulo. 0 k 0 Sedo f ( ) dferecável e (oto teror do doío d fução) te-se f ( + ) f ( ) f ( ). +. ε ( ) e eressão f ( ). o vector ou se co l ε ( ) 0 0 recee o oe de dferecl de f ( )e segudo [ df] ( ) f ( ). f ( ). costtudo u roção - eos de u ftéso de orde sueror - d dfereç f ( + ) f ( ). 96

204 Qudo f ( ) se dferecável e todos os otos de u erto A dferecl d fução u oto geérco A segudo o vector rereset--se or [ df] ( ) f ( ). f ( ). odedo d usr-se segute reresetção trcl [ df] ( ) [ f ( ) f ( ) f ( ) ] T L L. [ ] f ( ). H T e que H [ L ] rereset u trz colu (trsost de u trz l) cuos eleetos são s coordeds do vector. A trz l f ( ) [ f ( ) f ( ) f ( ) ] L desg-se or grdete d fução f ( ). Pr u fução dferecável u oto teror do resectvo doío te-se o segute Teore : Sedo f ( ) dferecável e (oto teror do doío d fução) e sedo u 0 te-se f u ( ) f ( ). u [ df] ( ) u ou se dervd e segudo o vector u cocde co dferecl d fução o eso oto segudo o eso vector u Deostrção : Pel dferecldde de f ( ) e te-se co certo δ > 0 e r < δ f ( + ) f ( ) f ( ). +. ε ( ) co ε ( 0 ) l ε ( ) 0 0 Todo t. u co t < δ / u oté-se f ( + t. u) f ( ) t. f ( ). u + t. u. ε ( t. u) co l ε ( t. u) 0. Etão co 0 < t < δ / u result t 0 97

205 f ( + t. u) f ( ) t f ( ). u + t. u. ε ( t. u ) t e ssdo o lte qudo t 0 e os os eros result edtete f u ( ) f ( ). u [ df] ( ) u coo se quer rovr. Coo coetáro o teore que c de ser deostrdo covrá referr que ode estr f u ( ) se que fução se dferecável e esse cso est dervd ode ser dstt do vlor ddo el eressão do eucdo do teore. É o que cotece co fução + 0 3/ f ( ) ( + ) 0 0 o oto (0 0). Pr u ( ) te-se or outro ldo f u ( 0 0 ) l f ( t t ) t t 0 0 l t 0 t 4 3/ ( t ). t 4 ; sedo ortto f ( 0 0 ) l f ( 0) 0 0 f ( 0 0 ) l f ( 0 k ) 0 k f u ( 0 0 ) k f ( 0 0 ). + f ( 0 0 ) Codção sufcete de dferecldde O teore segute dá u codção sufcete de dferecldde de u fução u oto teror do resectvo doío. Teore : Sedo f ( ) u fução de A R e R e INT A se este fts s dervds rcs f e e lé dsso se - desss dervds rcs este fts e cert V δ ( ) e são cotíus o oto etão f ( ) é dferecável esse oto 98

206 Deostrção : Adt-se r fcltr otção que s - dervds que se refere o eucdo são f f 3... f. Est suosção e d du geerldde d deostrção orque cso s - dervds e cus ão se s reltvs às vrá-ves 3... odeos sere or reordeção coveete ds vráves recoduzr tl cso à stução suost. Noteos e rero lugr que sedo (... ) (... ) e < δ etão co ertecete o tervlo de etreddes + te-se que u vez que ( ) V δ ( ) L + + ( ) L L L 0 < δ E ote-se d que o resultdo teror é váldo r 3. Psse-se gor rorete à deostrção do teore. Devdo à estêc e V δ ( ) ds dervds rcs f f 3... f recorredo o resultdo sur e suodo que < δ te-se ϕ ( ) f ( ) é regulr o tervlo de etreddes e + ; ϕ 3 ( 3 ) f ( ) é regulr o tervlo de etreddes 3 e ;... ϕ ( ) f ( ) é regulr o tervlo de etreddes e +. D estêc de dervd rcl f ( ) oté-se guldde ) f ( ) - f ( 3... ). [ f ( ) + ε ( )] co l 0 ε ( ) 0. Alcdo segur o teore de Lgrge às fuções res de vrável rel ϕ ( ) ϕ 3 ( 3 )... ϕ ( ) que vos sere regulres os tervlos dcdos e tededo d à cotudde e ds dervds f f 3... f otê-se s segutes - gulddes : 99

207 ) f ( ) - f ( ) 3. f ( + + θ. L ) (0 < θ < ). [ f ( ) ( ) ] + ε co l ε ( ) 0 ; 0 0 3) f ( ) - f ( ) f ( θ. L ) (0 < θ 3 < ) 3. [ f 3 ( ) 3( 3) ] + ε co l ε 3 ( 3 ) 0 ;... ) f ( ) - f ( ) 3 3. f ( L + + θ. ) (0 < θ < ). [ f ( ) ( ) ] + ε co l 0 ε ( ) 0. Sodo ero ero s gulddes ) )... ) oté-se ós s slfcções efectur o rero ero f ( ) - f (... ) f ( ). + [. ε ( ) +. ε ( ) + +. ε ( )] co f ( ). +. ε ( ) L L ε ( ). ε ( ) +. ε ( ) + L +. ε ( L ) ( 0 ) Atededo à guldde otd strá rovr que l ε ( ) 0 r fcr deostrdo que f ( ) é dferecável o oto. Or tedo e cot que oté-se 0 00

208 ε ( ) ε ( ) + ε ( ) ε (... ) ou d l [ ε ( ) + ε ( ) ε (... ) ] 0 l ε ( ) 0 l ε ( ) 0. 0 O teore que c de ser deostrdo dte os segutes coroláros os qus evolve oção de fução de clsse C r u erto. Dz-se que f ( ) é de clsse C r o erto A se e só se dte dervds rcs cotíus té à orde r e todos os otos do couto erto A. Posto sto te-se : Coroláro : Qulquer fução de clsse C o erto A é dferecável e todos os otos de A Deostrção : Ddo qulquer A INT. A (A é erto) este u vzç V δ ( ) A e cuos otos s dervds rcs d fução são cotíus. Verfc-se ss or or de rzão s óteses do teore reltvete o oto cosderdo e ss fução é dferecável esse oto. Coroláro : Qulquer fução de clsse C r o erto A é dferecável e te dervds rcs té à orde r - dferecáves e todos os otos do couto A Deostrção : Quer fução quer s sus dervds rcs té à orde r - dte rers dervds rcs cotíus o erto A ou se são de clsse C esse erto. Logo elo coroláro são dferecáves e todos os otos de A. 5. Dervção rcl e dferecldde de fuções de A R e R O eosto terorete ode geerlzr-se se dfculdde o cso ds fuções vectors de vrável vectorl ou se fuções de A R e R. E rero lugr veos o coceto de dervd rcl. Sedo T f f ( ) f ( ) L f ( ) ( ) [ ] u fução de A R e R (que coo se se ode ser reresetd or u trz colu de fuções de A R e R ) defe-se 0

209 f ( ) l f ( L + L ) f ( L L ) 0 cso o lte est fto. Note-se que gor o uerdor d rzão creetl é dfereç de dos vectores de R e que ortto o lte e cus este se e só se estre os ltes f ( ) l f ( L + L ) f ( L L ) 0... cd u corresodete u ds coordeds de f ( ) e R. Por outrs lvrs estrá f ( ) se e só se estre s dervds rcs f ( ) ds fuções res de vráves res f ( ) e e cso de estêc f ( ) será u vector de R cus coordeds são recsete s dervds rcs (e relção à vrável e cus) ds coordeds f ( ) e. Mtrclete se reresetros os vectores de R els trzes colus ds resectvs coordeds odeos etão reresetr f ( ) do segute odo: f T ( ) [ f ( ) f f ( ) L ( ) ]. A oção de dervd u oto R segudo u vector ão ulo u R ode té geerlzr-se se qulquer dfculdde r o cso ds fuções de A R e R : f u ( ) l f ( + t. u ) f ( ) t t 0 e tl coo o cso ds dervds rcs coclu-se que f u ( ) este se e só se estre s dervds e segudo o vector u ds fuções res de vráves res f ( ) e e cso de estêc f u ( ) será u vector de R cus coordeds são recsete s dervds e segudo o vector u ds coordeds f ( ): f u ( ) [ T fu( ) f u( ) L f u( ) ]. Veos flete geerlzção d oção de fução dferecável. ( ) [ ] Sedo f f( ) f( ) L f ( ) u fução de A R e R e u oto teror do doío A d fução dz-se que f ( ) é dferecável o oto T 0

210 se e só se este u trsforção ler T de R e R tl que r certo δ > 0) f ( + ) f ( ) T( ) +. ε ( ) co l ε ( ) 0. 0 < δ (co A T( ) c-se dferecl d fução f ( ) e segudo o vector ou se [ df] ( e sedo ) T( ). Sedo T [ k ] trz que rereset trsforção T T H [ ] L e E [ ε ( ) ε ( ) ε ( )] T L s trzes colus que rereset resectvete os vectores e ε ( ) guldde vectorl que trduz dferecldde de f ( ) e ode escrever-se do segute odo: [ f( + ) f( ) f( + ) f( ) f( + ) f( ) ] T. H +. E L T k k L k k k L k L k k L k. M +. ε ( ) ε ( ) M ε ( ) equvledo or su vez codção l ε ( ) 0 ser 0 l ε ( ) l ε ( ) l ε ( ) A otção trcl erte edtete coclur que dferecldde de f ( ) e equvle à verfcção cout ds segutes codções: f ( + ) f ( ) k. +. ε ( ) co l ε ( ) ; 03

211 ou se equvle à dferecldde cout e ds fuções res de vráves res f ( ) coordeds de f ( ). Est coclusão erte or su vez detfcr os eleetos k d trz T : sedo ortto k f ( ) (... ;... ) f ( ) f ( ) L f ( ) f ( ) f ( ) L f ( ) T L f ( ) f ( ) L f ( ) trz que se desg or Mtrz Jco de f ( ) - ou do sste de fuções f ( ) - o oto. Por outro ldo e otção trcl dferecl de f ( ) e ode reresetr-se coo segue: [ df] ( ) f ( ) f ( ) L f ( ) f ( ) f ( ) L f ( ) L f ( ) f ( ) L f ( ). M [ df] [ df] [ df ] ( ) ( ) M ( ) [ df ( ) df ( ) df ( ) ] [ ] [ ] [ ] L. T Flete tedo e teção o dsosto o teore coclu-se que e cso de dferecldde de f ( ) e f u ( ) [ T fu( ) f u( ) L f u( ) ] [ ] T [ d f] ( ) [ d f ] ( ) L [ d f ] ( ) [ f ] () u u u d u. 6. Dferecldde de u fução coost Vos gor estudr u teore que dá regr de dferecção d fução coost e coo coroláro regr de dervção rcl d fução coost. Este teore geerlz regr de dervção á coecd r coosção de fuções res de vrável rel cso á estuddo terorete. 04

212 Teore 3 : Sedo g( ) [ g ( ) g ( ) g ( ) ] T fução de A R e R e w f ( ) u fução de B R e R dt-se que g( ) é dferecável e certo oto INT. A e que f ( ) é té dferecável o oto corresodete g( )que se suõe ser oto teror do doío B d fução f ( ). Etão é té oto teror do doío d fução coost f o g est fução é dfere-cável esse oto e te-se [ d ( f og) ] ( ) f ( ). gα ( ).. α α Deostrção : Devdo à cotudde de g( ) e (or se trtr de fução dferecável esse oto) te-se: δ > 0 ε ε (δ ) : V ε ( ) A g( ) V δ ( ). Coo or ótese é oto teror do doío B d fução f ( ) e é oto teror do doío A de g( ) ode tor-se δ sufceteete equeo de for que V δ ( ) B e o ε ε (δ ) cu estêc é ssegurd el codção de cotudde té sufceteete equeo de for que V ε ( ) A ; e etão r ts δ e ε codção que defe cotudde de g( )e erte escrever V ε ( ) g( ) V δ ( ) B ou se fução coost [ fog] ( ) f[ g( ) ] é defd r todo o V ε ( ) o que rov ser oto teror do doío de [ fog] ( ). E tudo o que se segue cosderreos sere (se ecessdde de qulquer eção elíct) que o crésco verfc codção < ε co o vlor ε referdo terorete. Tl grtrá que + ertece o doío d fução g( ) e d fução coost [ fog] ( ) f[ g( ) ] ou se g( + ) ertece o doío d fução f ( ). Veos etão que [ fog] ( ) é dferecável o oto e o eso teo que resectv dferecl é dd el eressão do eucdo. Sedo k [k k k ] T g( + ) g( ) [ g + ) g ( ) g + ) g ( ) g ( + ) g ( ) ) ] T ( ( te-se tededo à dferecldde de w f ( ) e [ ( + )] [ ( )] f[ g( ) k ] f[ g( ) ] f g f g α α + f ( + k ) f ( ) f ( ). k + k. ε ( k ) α 05

213 co l ε ( k k 0 ) 0. Ms dferecldde de g( ) e equvle à dferecldde de cd u ds fuções α gα () esse eso oto ou se k α g ( + ) g ( ) gα ( ). +. ε α ( ) α α co l ε ( ) 0. Susttudo os k α o segudo ero d guldde que dá 0 α dferecldde de w f ( ) e te-se: [ ( )] [ ( )] f g + f g f ( ). g ( ).. ε ( ) k. ε ( k ) α α + α + α f ( ). gα ( ). +. f ( ). ε ( ) k. ε ( k ) α α α + α α f ( ). gα ( ). +. ε ( ) α α co ε ( ) α f α * k ( ). ε α ( ) + ε ( k ) ( 0 ) devedo otr-se que eressão que defe ε ( ) k g( + ) g( ) ou se ε ( ) é efectvete fução es de. Se se rovr que l ε ( ) 0 fcrá rovdo que fução coost w f[ g( ) ] é dferecável e e o eso teo que Vsvelete ( ) ( ) α [ ] d f og l 0 α elo que strá rovr que f ( ). g ( ). α α α f ( ). ε ( ) 0 α. 0 l 0 k ε ( k ) 0. Te-se r α 06

214 07 ) (.. ) ( ) ( ) ( + + g g g k k α α α α α α ε ) (.. ) ( + g α α ε dode result k α ) (. ) ( + g α α ε ) ( ) ( + g α α ε orque L. Etão + g k k ) ( ) ( α α α α α ε ou d ) (. ) ( ) ( ) ( k g k k ε ε ε α α α + e coo 0 k g g ( ) ( ) + 0 (devdo à cotudde de g ( ) e ) orção otd erte fclete coclur que ) ( 0 k k l ε 0 coo se reted rovr. O teore 3 dte dos coroláros orttes. O rero é edto e dá regr de dervção d fução coost. O segudo geerlz o teore o cso e que f ( ) é u fução w f ( ) de B R e R. Coroláro : Suosts s óteses do teore 3 te-se g o f ) ( g f α α α ( ). Deostrção : Result edtete d eressão otd o teore 3 r [ ] d f og ( ) ( ). Ates de ssros o segudo coroláro veos lgus oservções o coroláro :

215 () Se s óteses do teore 3 fore verfcds reltvete todos os otos de certo erto cotdo o doío A d fução g( ) guldde teror ode escreverse u oto geérco desse erto: ( f o g) f α α g( ) g α (... ). () Por outro ldo se s óteses do teore 3 fore verfcds els rers dervds rcs f e or g( ) reltvete todos os otos de certo erto α cotdo o doío A d fução g( ) e lé dsso est últ fução dtr seguds dervds rcs s seguds dervds rcs d fução coost ode oter-se or dervção d eressão que dá s resectvs rers dervds. Co efeto cd rcel dess eressão f α g( ) g ode etão dervr-se el regr do roduto utlzdo o cálculo d dervd do rero fctor de ovo regr de dervção de u fução coost. E do eso odo se ode rguetr quto o cálculo ds dervds rcs de orde sueror. (c) Se e rtculr g( ) é fução de A R e R e w f () é fução de B R e R e suosts verfcds s óteses do teore 3 te-se w d w d. g( ) Ad s e rtculr se g() é fução de A R e R e w f () é fução de B R e R e suosts verfcds s óteses do teore 3 te-se d w d w d d d. d g( ) (d) Voltdo o cso gerl covrá oservr r terr que r ser ossível clculr s dervds rcs d fução coost f o g el regr resetd ótese d dferecldde de g ão é essecl stdo suor estêc ds resectvs dervds rcs (e evdeteete dtr dferecldde de f ). Co efeto se g for es fução de u vrável - ou se fução de A R e R - estêc de dervd dest fução e equvle à su dferecldde e ortto o teore 3 é drectete lcável este cso ; cso g se fução ds vráves... o cálculo de cd dervd rcl de f o g está evolvd es u ds vráves deedetes d fução g e ortto elo rgueto teror regr decorrete do teore 3 é gulete lcável (cotudo este cso ão fc ssegurd dferecldde d fução coost s es estêc de dervds rcs). α Veos flete o coroláro. 08

216 Coroláro : Sedo g( ) [ g ( ) g ( ) g ( ) ] T u fução de A R e R e w f ( ) [ f ( ) f ( ) f ( ) ] T u fução de B R e R dt-se que g( ) é dferecável e certo oto INT. A e que f ( ) é dferecável o oto g( )que se suõe ser oto teror do doío B d fução f ( ). Etão é té oto teror do doío d fução coost f o g est fução é dferecável esse oto e te-se [ d ( f og) ] ( ) ( T f T g ) H e que T f é trz Jco de w f ( ) tod e T g é trz Jco de g( ) tod e e H [ ] T. Deostrção : Verfcds s óteses do coroláro cd u ds coordeds f [ g ( )] ( ) d fução coost f [ g( )] [ f [ g( )] f [ g( )] f [ g( )] ] T result d coosção de w f ( ) co g( ) e ecotr-se s codções do teore 3. Coclu-se ortto que é oto teror do doío ds fuções coosts f [ g( )] e ss esse oto é té oto teror do doío d fução coost f [ g( )] ; lé dsso e d de cordo co o teore 3 cd u ds fuções coosts coordeds f [ g( )] é dferecável o oto logo o eso se ss co fução coost f [ g( )]. De cordo co o coroláro te-se r [ g( ] f ) f α g α α ( ). Or est dervd rcl é o eleeto d l e colu d trz Jco de f [ g( )] e o coroláro fc deostrdo se se rovr que tl dervd é roduto d l d trz T f el colu d trz T g. Atededo que s trzes T f e T g são f ( ) f ( ) ( ) L f g ( ) L g ( ) K f ( ) f ( ) f ( ) g ( ) L g ( ) L L L f ( ) f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) L L ( Mtrz T f ) ( Mtrz T g ) L L L g g g ( ) ( ) ( ) coclusão é edt. 09

217 7. Fuções oogées Se f ( ) u fução de A R e R e cosdere-se u sucouto B A tl que B λ > 0 λ. B. Nesss codções fução f ( )dz-se ostvete oogée de gru α o couto B se e só se B λ > 0 f ( λ. ) f ( λ λ L λ ) λ α. f ( ) λ α. f ( L ). O eoete α desg-se or gru de oogeedde odedo ser ostvo egtvo ou ulo. Se s codções recedetes quto o couto B e à fução f ( ) fore verfcds r todos os vlores λ 0 e ão es r λ > 0 fl-se etão de oogeedde e setdo restrto. Fce às defções resetds é evdete que u fução oogée e setdo restrto é té ostvete oogée o eso couto (co o eso gru de oogeedde) s vers ão é verdder. Eelos: ) A fução f ( ) ( ) 4 + é oogée de gru 3 e setdo restrto o couto B {( ) : } ddo que co λ 0 e ( ) B f (λ λ ) ( λ λ ) 4 + λ 3 4 ( + ) λ 3 f ( ). λ λ ) A fução f ( z) z é ostvete oogée de gru (s ão oogée e setdo restrto) e R 3 dedo-se verfcção coo eercíco. Areset-se segudete qutro roreddes eleetres ds fuções oogées dedo-se s deostrções coo eercíco. Nos eucdos fl-se es de fuções oogées orque ts eucdos são váldos (co es deostrção) r os dos cocetos de oogeedde resetdos. P : A so de fuções oogées do eso gru u couto é d u fução oogée do eso gru o eso couto 0

218 P : O roduto de fuções oogées u couto é d u fução oogée o eso couto sedo o resectvo gru de oogeedde gul à so dos grus de oogeedde dos fctores P3 : Sedo f ( ) e g( ) fuções oogées o couto B e ão se uldo e B fução g( ) etão f ( )/ g( ) é té oogée e B sedo o resectvo gru de oogeedde gul à dfereç dos grus de oogeedde de f ( ) e g( ) P4 : Sedo f fução f gru de oogeedde ( ) oogée de gru α o couto B e sedo defd esse couto β ( ) etão est últ é té oogée e B sedo α.β o resectvo Dus roreddes dcos são estudds segudete. As resectvs deostrções são resetds r o cso ds fuções oogées e setdo restrto s dtse se qulquer dfculdde r o cso ds fuções ostvete oogées. P5 : Sedo f ( ) oogée de gru α o couto erto B e estdo dervd rcl f e todos os otos do couto B etão tl dervd rcl é oogée de gru α - o eso couto ( ) u fução s codções do eucdo e fe-se u Deostrção : Se f qulquer vlor λ 0. Por forç d oogeedde dtd r f todos os otos (... ) B f (λ λ... λ ) λ α. f (... ). Dervdo os os eros e relção oté-se ( ) te-se r f ( λ λ L λ ) λ α. f ( L ). Notdo gor que fução f (λ λ... λ... λ ) cosderd coo fução de se ode oter fzedo coosção d fução rel de vrável rel ϕ () f (λ λ... λ - λ +... λ ) co fução rel de vrável rel λ te-se el regr de dervção de u fução coost (reltv o cso d coosção de dus fuções res de vrável rel) f ( λ λ L λ ) ϕ (λ ). λ λ. f ( λ λ L λ L λ )

219 devedo otr-se que f ( λ λ L λ L λ ) ão rereset dervd de f (λ λ... λ... λ ) e relção s s dervd de f ( ) reltvete o oto (λ λ... λ... λ ). Etão deverá ser dode result flete λ. f ( λ λ L λ ) λ α. f ( L ) f ( λ λ L λ ) λ α -. f ( L ) r todos os otos (... ) B qulquer que se o vlor λ 0 o que trduz oogeedde de gru α - d fução f ( L ) o couto B. P6 : Sedo f ( ) oogée de gru α e dferecável o couto erto B verfcse esse couto detdde (Idetdde de Euler). f ( ) +. f ( ) + L +. f ( ) α. f ( ) Deostrção : Por ótese te-se r B e λ 0 f (λ λ... λ ) λ α. f (... ). Etão r cd B dervdo e relção λ s fuções de os os eros (utlzdo o rero ero regr de dervção de u fução coost) teos. f ( λ ) +. f ( λ ) + L +. f ( λ ) α. λ α-. f ( ) e fzedo est guldde λ s detdde do eucdo. A roredde segute ostr que verfcção d detdde de Euler u erto B tl que B λ > 0 λ. B coutete co dferecldde d fução e B grte que fução é ostvete oogée esse couto. ( ) fução dferecável o erto B couto verfcr codção P7 : Sedo f B λ > 0 λ. B se f fução é ostvete oogée esse couto ( )verfc detdde de Euler e B etão Deostrção: Se B e def-se segute fução de λ r λ > 0 :

220 g(λ) f ( λ ) - λ α. f ( ) e que α é o râetro rel do segudo ero d detdde de Euler que or ótese se verfc. Dervdo oté-se usdo regr de dervção de u fução coost g (λ). f ( λ ) α. λ α. f ( ) e etão λ. g (λ) λ. f ( λ ) α. λ α. f ( ). Ddo verfcr-se detdde de Euler e B te-se λ. g (λ) α. f ( λ ) α. λ α. f ( ) α. g(λ). α.[ f ( λ ) λ α. f ( ) ] Fzedo gor θ (λ) g(λ)/λ α co λ > 0 e dervdo oté-se α α θ (λ) g( λ ). λ α. λ. g( λ ) g( λ ). λ α. g( λ ) 0 α λ λ α + sedo ortto θ (λ) costte o tervlo ] 0 + [. E coo θ () g() 0 coclu-se que θ (λ) 0 o tervlo ] 0 + [. D decorre que co λ > 0 g(λ) 0 ; tededo à defção de g(λ) result flete g(λ) f ( λ ) - λ α. f ( ) 0 ou se f ( λ ) λ α. f ( ) r λ > 0. Fc ss rovdo que f ( ) é ostvete oogée o couto B. 8. Teore dos créscos ftos 3

221 Areset-se segudete dus geerlzções do teore dos créscos ftos (teore de Lgrge) á estuddo r o cso ds fuções res de vrável rel. Teore 4 : Sedo f ( ) u fução de A R e R estdo s resectvs dervds rcs e todos os otos V ε ( ) e sedo u vector tl que < ε te-se : f ( + ) f ( ). f ( + θ. L ) + +. f ( + + θ. 3 L ) f ( + + L + + θ. ) co 0 < θ < 0 < θ <... 0 < θ < (ª Versão do teore de Lgrge) Deostrção : Devdo à estêc vzç V ε ( ) ds dervds rcs f f... f e suodo que < ε u rguetção seelte à utlzd rte cl d deostrção do teore erte coclur que : ϕ ( ) f (... ) é regulr o tervlo de etreddes e + ϕ ( ) f ( +... ) é regulr o tervlo de etreddes e +... ϕ ( ) f ( ) é regulr o tervlo de etreddes e +. Alcdo o teore de Lgrge às fuções ϕ ( ) ϕ ( )... ϕ ( ) os tervlos dcdos te-se: f ( +... ) - f (... ). f ( + θ. L ) f ( ) - f ( +... ). f ( + + θ. 3 L )... f ( ) - f ( ). f ( + + L + + θ. ) co 0 < θ < 0 < θ <... 0 < θ <. Sodo ero ero s gulddes otds result logo ós s slfcções efectur o rero ero guldde do eucdo. 4

222 O teore recedete dte coo coroláro segute codção sufcete de cotudde de u fução f ( ) de A R e R : Coroláro : Sedo f ( ) u fução de A R e R e INT. A se este fts e são ltds e V ε ( ) s dervds rcs ( ) etão f ( ) é cotíu e. Deostrção : Sedo M u orte de ( ) e V ε ( ) guldde tese do teore 4 erte escrever r < ε f f f ( + ) f ( ). M +. M + L +. M e est desguldde erte logo coclur que l f ( + ) f ( ) ou se fução f ( ) é cotíu e. 0 Cové otr que s óteses do coroláro recedete ode ser lgerds se que cotudde de f ( ) e se fectd: Coroláro * : Sedo f ( ) u fução de A R e R e INT. A se - ds dervds rcs f ( ) este fts e são ltds e V ε ( ) e outr dervd rcl este ft o oto etão f ( ) é cotíu e. Deostrção: Adt-se se erd de geerldde e es r fcltr otção que s dervds rcs ( ) ( 3 ) são ltds e V ε ( ) e que f f ( ) este ft. Se rer ds gulddes que se so ordedete r deostrr o teore 4 for susttuíd or. f ( +... ) - f (... ) f ( ) + α ( ) co l α ( ) 0 oté-se ós so orded u guldde cuo segudo 0 ero ode ser ordo de for álog o que se fez deostrção do coroláro teror cocludo-se tl coo etão que f ( ) é cotíu e. 5

223 Teore 5 : Sedo f ( ) u fução de A R e R dferecável e todos os otos V ε ( ) e sedo u vector tl que < ε te-se : f ( + ) f ( ) f ( + θ. ). (ª Versão do teore de Lgrge) co 0 < θ < Deostrção : Co < ε def-se fução ulr g(t) f ( + t. ) r 0 t. Clro que este g (t) o tervlo [0 ] odedo est dervd clculr-se el regr de dervção de u fução coost: g (t) f ( + t. ). Alcdo o teore de Lgrge à fução rel de vrável rel g(t) o tervlo [0 ] te-se g() - g(0) g (θ ) co 0 < θ < ou se coo se quer rovr. f ( + ) f ( ) f ( + θ. ).. co 0 < θ < Note-se que segud versão do teore de Lgrge (teore 5) te óteses s egetes - ege-se dferecldde de f ( ) e cert vzç V ε ( ) equto que rer versão (teore 4) st estêc ds dervds rcs d fução ess vzç - s e cotrrtd guldde otd é s sles evolvedo es u úco vlor de θ e sedo s dervds rcs tods tods o eso oto. 9. Iguldde ds dervds sts Estud-se segudete codções que grte guldde de dus dervds rcs d es orde que es dfr el ordeção ds vráves de dervção. Coeç-se elo cso de u fução f ( ) de A R e R estuddo codções que grt guldde f " ( ) f " ( ) ; ss-se deos o cso gerl de u fução f ( ) de A R e R cosderdo dervds rcs de qulquer orde sueror ou gul à segud. O segute teore é fudetl : Teore 6 : Sedo f ( ) u fução de A R e R e ( ) INT. A dt-se que s dervds rcs f ( ) e f ( ) este e cert V ε ( ) A e que são s dferecáves e ( ). Te-se etão que f " ( ) f " ( ) (Heffter - Youg) 6

224 Deostrção : Rere-se e rero lugr que estêc de f " ( )e f " ( ) fc ssegurd elo fcto de f ( ) e f ( ) sere or ótese dferecáves o oto ( ). Psseos etão deostrr guldde do teore. Devdo à estêc de f ( )e f ( )e V ε ( ) cosderdo u vector ão u-lo ( ) R tl que. < ε fução ϕ () f ( + ) - f ( ) é regulr o tervlo de etreddes e + e fução ψ () f ( + ) - f ( ) é regulr o tervlo de etreddes e +. Te-se etão elo teore d Lgrge reltvo fuções de u vrável ( ) [ f ( + + ) - f ( + )] - [ f ( + ) - f ( )] ϕ ( + ) - ϕ (). ϕ ( + θ. ). [ f ( +. + ) f ( +. ) ] θ θ. { [ f ( +. + ) f ( ) ] [ f ( +. ) f ( ) ] } θ θ co 0 < θ <. A dferecldde de f ( ) e ( ) erte cotur slfcr eressão otd r ( ) : " " ( ).{[ θ.. f ( ). f ( ) ( θ. ). ε ( θ. )] " + + " [ θ.. f ( ) ( θ. ). ε*( θ. )]} f ( ) +.. ε ( θ. ).. θ. ε*( θ. 0) co 0 < θ < e l ε ( θ. ) l ε *( θ. 0) 0. Te-se etão ( ) 0 0. ε ( θ. ) θ. ε*( θ. 0 ) f " [ ] ( ) + guldde rtr d qul se oté ssdo o lte qudo 0 l 0 ( ) f " ( ) + 0 f " ( ). Retodo de ovo () s usdo gor fução ψ () r slfcr resectv eressão oté-se: 7

225 ( ) [ f ( + + ) - f ( + )] - [ f ( + ) - f ( )] [ f ( + + ) - f ( + )] - [ f ( + ) - f ( )] ψ ( + ) - ψ (). ψ ( + θ. ). [ f ( + +. ) f ( +. ) ] θ θ. { [ f ( + +. ) f( ) ] [ f( +. ) f ( ) ] } θ θ co 0 < θ <. A dferecldde de f ( ) e ( ) erte cotur slfcr eressão otd r ( ) cegdo-se : " ( ). f ( ) +.. ε ( θ. ).. θ. ε*( 0 θ. ) co 0 < θ < e l ε ( θ. ) l ε *( 0 θ. ) 0. E rtr dest guldde 0 coclu-se se dfculdde que 0 l 0 ( ) f " ( ) + 0 f " ( ). Te-se etão l 0 ( ) f " ( ) e l 0 ( ) f " ( ) dode se tr guldde f " ( ) f " ( ) que se reted estelecer. O teore recedete dte o segute coroláro: Coroláro : Sedo f (... ) u fução de A R e R e sedo (... ) INT. A dt-se que este s dervds rcs f ( )... e cert V ε ( ) A e que são dferecáves e. Te-se etão f " α β " ( ) f ( ) α β... (α β ) β α Deostrção : Se erd de geerldde ode ssur-se que α < β. Cosdere-se etão fução que se oté de f (... ) fzedo r α β dedo ortto lvres coo vráves es α e β ; oté-se ss fução 8

226 g( α β ) f (... α... β... ) defd o couto A 0 {( α β ) : (... α... β... ) A } R. Fclete se costt que g( α β ) verfc s óteses do teore 6 reltvete o oto ( α β ) : ) E rero lugr ( α β ) é oto teror de A 0. Co efeto V ε ( α β ) A 0 co o eso ε que fz V ε ( ) A : ( α β ) V ε ( α β ) ( α α ) + ( β β ) < ε (... α... β... ) V ε ( ) (... α... β... ) A ( α β ) A 0. ) E segudo lugr s dervds rcs g ( α β ) f α ( L α L β L ) α g ( α β ) f β ( L α L β L ) β este e V ε ( α β ) orque coo vos ( α β ) V ε ( α β ) (... α... β... ) V ε ( ). c) Flete g ( α β ) e g α ( α β ) são dferecáves e ( α β ) devdo à β suost dferecldde de f ( ) e : g ( + + ) g ( ) α α α β β α β α α α β β α β f ( L + L + L ) f ( L L L ) α " " α β α β α β. f ( ) +. f ( ) + ( 0 L L L 0). ε ( ) α α α β. g" ( ) +. g" ( ) + ( ). ε ( ) α α β β α β α β α α α β α 9

227 co l ( ) 0 ; e do eso odo quto à dferecldde d fução ε α β α 0 0 β g ( ) α β. β Etão or sere verfcds el fução g( α β ) de A 0 R e R s óteses do teore 6 reltvete o oto ( α β ) INT. A 0 te-se ou se f " α β " g" ( ) α β α β g" ( ) β α α β ( ) f ( ) coo se reted rovr. β α A rtr do coroláro rov-se co fcldde que: Coroláro : Sedo f (... ) u fução de A R e R de clsse C e " " certo erto B A te-se esse erto f( ) f ( ) qusquer que se... ( ) Deostrção : Nos teros do coroláro do teore s rers dervds rcs de f ( ) são dferecáves e todos os otos do couto erto B. Verfc-se os reltvete todos os otos desse erto s óteses do coroláro o que ustfc tese deostrr. Coroláro 3 : Sedo f (... ) u fução de A R e R de clsse C r e certo erto B A (r ) cocde esse erto tods s dervds d es orde { 3... r} que es dfr el ordeção ds vráves de dervção Deostrção : Veos e rero lugr que o erto B é ossível trocr dus vráves de dervção cosecutvs qudo orde de dervção se r. Dd dervd ( ) f λ s α β δ t ( r ) dt-se que tes de se dervr e relção α se efectu dervções : ( ) ( ) " f λ... s α β δ.... t α β δ... t ( ) Por ser - r - te-se que f λ... é de clsse C o erto B (dte s dervds rcs cotíus té à segud orde) e ortto elo coroláro te-se esse erto ( ) [ f ] λ... s 0

228 ( ) f λ s α β δ t ( ) [ f ] λ... s " α β ( ) δ... t ( ) [ f ] λ... s " β α ( ) δ... t ( ) f λ s β α δ t. A rtr do resultdo que c de estelecer-se (ossldde de trocr dus vráves de dervção cosecutvs) ode coclur-se que qulquer dervd que se ote de ( ) f λ s α β δ t ( r ) or erutção ds vráves de dervção cocde co est o erto B. Co efeto qulquer erutção de λ... s α β δ... t se ode oter edte u úero fto de trocs de vráves cosecutvs e coo vos qulquer dests trocs té lterd dervd e B. O coroláro está coletete deostrdo. Os resultdos dos coroláro e 3 ode oter-se coo coroláros de u teore ltertvo o teore 6. Trt-se do teore de Scwrtz que dses dferecldde ds rers dervds rcs de f ( ) s e cotrrtd ege estêc de u ds seguds dervds sts e cert vzç do oto ( ) e cotudde dest esse oto. A deostrção do teore de Scwrtz ve fcltd rovdo rero u teore ulr devdo LLorete : Teore 7 : Sedo f ( ) u fução de A R e R e ( ) INT. A dt-se que s dervds rcs f ( ) e f ( ) este e cert vzç V η ( ) A. Sedo or outro ldo ( k) [ f ( + + k) - f ( + k )] - [ f ( + ) - f ( )] dt-se que este fto l 0 k 0 ( k ). k λ. Te-se etão que f " ( ) f " ( ) λ (LLorete)

229 Deostrção : Te-se que ( k) é defdo r vlores ão ulos e k ts que ( ) k < η. Ddo δ > 0 este u ε* ε*(δ ) < η tl que ( k) ( k ) + k < ε* λ - δ / < < λ + δ /. k ( k ) e vrtude de ser or ótese l λ. Co ε ε* / te-se etão. k 0 k 0 0 < < ε 0 < k < ε ( k ) + k < ε. ε* ( k) λ - δ / < < λ + δ /. k Mtedo k fo (0 < k < ε ) e fzedo 0 oté-se l 0 ( k ). k l f ( + + k ) f ( + k ). k 0 0 l f ( + ) f ( ). k f ( + k ) f ( ) k e vrtude de f ( )estr e V η ( ). Ms r cd k tl que 0 < k < ε λ - δ / < ( k ). k < λ + δ / λ - δ / l 0 ( k). k λ + δ / ou se λ - δ < f ( + k) f ( ) k < λ + δ ss se cocludo or defção de lte que este f " ( ) l k 0 f ( + k) f ( ) k λ. Se e ltertv tveros fo (0 < < ε ) e fzedo k 0 oté-se l k 0 ( k). k l f ( + + k ) f ( + ). k k 0 k 0 l f ( + k ) f ( ). k

230 f ( + ) f ( ) e té gor r cd tl que 0 < < ε λ - δ < λ - δ / f ( + ) f ( ) λ + δ / < λ + δ ss se cocludo or defção de lte que este f " ( ) l 0 f ( + ) f ( ) λ. Te-se etão f " ( ) f " ( ) λ coo se quer rovr. Psseos gor à deostrção do teore de Scwrtz. Teore 8 : Sedo f ( ) u fução de A R e R e ( ) INT. A dt-se que s dervds rcs f ( )f ( ) e f " ( ) este e cert vzç V η ( ) A e que lé dsso f " ( )é cotíu e ( ). Etão este f " ( ) f " ( ) (Scwrtz) Deostrção : De < η / e k < η / result ( k ) < η. Cosderdo etão < η / e k < η / fução ϕ () f ( + k) - f ( ) é regulr o tervlo de etreddes e + e ortto ( k) [ f ( + + k) - f ( + k )] - [ f ( + ) - f ( )] [ f ( + + k) - f ( + ) ] - [ f ( + k ) - f ( )] ϕ ( + ) - ϕ (). ϕ ( + θ. ).[ f ( + θ. + k) f ( + θ. ) ] co 0 < θ <. Notdo gor que co < η / e k < η / fução ψ () f ( + θ. ) é regulr o tervlo de etreddes e + k orque or ótese f " ( ) este e V η ( ) oté-se lcdo de ovo o teore de Lgrge " ( k). k. f ( + θ. + θ. k) 3

231 co 0 < θ < e 0 < θ < ; dqu result co e k ão ulos ( k). k f " ( + θ. + θ. k ) e devdo à cotudde de f " ( ) e ( ) l 0 k 0 ( k). k l 0 k 0 f " ( + θ. + θ. k ) f " ( ) elo que os teros do teore 7 este e são gus s seguds dervds f " ( ) e f " ( ). O teore de Scwrtz está deostrdo. Covrá oservr que o eucdo do teore de Swrtz s óteses reltvs f " ( ) - estêc e cert V η ( ) e cotudde e ( ) - ode ser susttuíds or dêtcs óteses reltvs f " ( ) grtdo etão o teore estêc de f " ( ) f " ( ). A deostrção dt-se co fcldde este cso o que se de coo eercíco. O coroláro (e rtr dele o coroláro 3) do teore 6 ode co fcldde ser deduzdo do teore de Scwrtz. Dd fução f (... ) de A R e R suo-se que é de clsse C e certo erto B A. Nesss codções ddo u qulquer (... ) B INT. B este u V η ( ) qul s rers e seguds dervds rcs de f (... ) são fuções cotíus. Etão fução ϕ ( α β ) f (... α... β... ) dte dervds rcs de rer e segud ordes cotíus e V η ( α β ) o que à luz do teore 8 é s que sufcete r grtr que ϕ " α β ( α β ) " " ϕ " β α ( α β ) ou se f ( ) f α β β ( ). Coo o oto cosderdo é α " " u oto rtráro de B INT. B ode coclur-se que f ( ) f α β β ( )o α erto B. 4

232 0. Eercícos - Dd fução g( ) clcule s sus dervds rcs de rer orde orge. - Clcule s fuções dervds rcs de rer orde r s segutes fuções dcdo os resectvos doíos: ) f ( ) ( / ). se ( ) 0 0 ; ) f ( ) + ; c) f ( ). 3 - Verfque que fução f ( ) te dervds rcs e todo o seu doío s ão é cotíu orge. 4 - Cosdere fução f ( ) ( - - ) 3/ co doío D {( ) : + }. Estude estêc ds dervds rcs de rer orde os otos froteros de D dcdo e que otos de D ão se ode defr lgu dquels dervds. 5 - Clcule s fuções dervds rcs de rer e segud ordes r cd u ds segutes fuções: ) z e. e. se ( ) ; ) z ( + + u). log ( u) Detere e or for que s dervds de s s fuções z. e e z. e + verfque relção z z z + z Detere s dervds rcs de rer e segud ordes r s segutes fuções : ) u ; ) v e z. 5

233 8 - Dd fução f ( ) dque segudo que vectores este dervd orge e clcule o resectvo vlor. 9 - O eso que o eercíco teror r fução 0 - Mostre que fução f ( ) f ( ) dte dervd orge segudo qulquer vector (e rtculr te dervds rcs) e clcule-. Mostre que o etto ão é cotíu orge. Que oderá coclur sore dferecldde d fução orge? Justfque. - O eso que o eercíco teror r fução f ( ) 5 ( ) ( 0 0) 8 ( ) Usdo defção estude dferecldde orge r s segutes fuções: ) f ( ) π ( + ). se + 0 ; ) f ( ) / ; c) f ( )

234 3 - Mostre que fução d líe ) do eercíco teror te dervds rcs ão cotíus orge e o etto é í dferecável. Este eelo ostr que codção sufcete de dferecldde estudd ão é codção ecessár. 4 - Escrev s eressões d dferecl ds segutes fuções os otos dcdos: ) f ( ) + e ( ) ; + ) f ( z) + z e ( z) co z > ; z c) f ( ) e ( ) co > Utlze codção sufcete de dferecldde r rovr que fução f ( ) ( ). ( ) > 0 é dferecável e qulquer ( ). Escrev eressão d dferecl. 6 - Cosdere segute fução de R e R 3 f ( ) ) Detere trz Jco de f ( ) ; ) Escrev for trcl eressão d dferecl d fução u oto geérco ( ). 7 - O eso que o eercíco teror r fução f (t) t t + t suost defd o tervlo erto ] 0 [. 8 - Utlze regr de dervção de u fução coost r clculr dz / dt suodo que z + e que cos t se t. 9 - Utlze regr de dervção de u fução coost r clculr 7

235 w u w v e w s suodo que w e +. e + z e que u + v + s s - v e z s. 0 - Se fução f (u v w) é dferecável o oto (- -z z-) rove que co F( z) f (- -z z-) se verfc guldde F F F z - Sedo f ( ) + + e g(u v w) u + v + w u + v + w clcule trvés de u roduto trcl trz Jco d fução coost f o g. - O eso que o eercíco teror cosderdo + + z f ( z) z e g(u v) u + v u v u v. 3 - Cosdere fução f ( ) 53 /. 4/ 3 + ( + ) Todo t e t costru fução F(t) f (t t) e clcule F (0) drectete e or terédo d regr de dervção de u fução coost. Que ode coclur dos dferetes resultdos otdos? 4 - Cosdere fução se 0 f ( ) se 0. Todo t e t costru fução F(t) f (t t ) e clcule F (0) drectete e or terédo d regr de dervção de u fução coost. Verfque que os resultdos são gus e que esr dsso ão se cure s codções e que se fr lcção d regr de dervção de u fução coost. Que coclusão ode dí trr? 8

236 5 - Mostre que s fuções segutes são oogées detere o resectvo gru de oogeedde e verfque detdde de Euler: ) f ( ) + ; ) f ( ) log ( + ). c) f ( ) k. /. / + + z ; d) f ( z)... z E cd u dos csos dque se fução é es ostvete oogée ou oogée e setdo restrto. 6 - Estude oogeedde de ; f ( z) + α. β z 3α. β e A {( z) : > 0 > 0 z > 0} fzedo dscussão e fução dos râetros α e β : - Recorredo drectete à defção ; e - Cofrdo s coclusões el utlzção d detdde de Euler. 7 - Sedo g(u v) dferecável e (/ z/) co 0 rove que fução f ( z). g(/ z/) verfc detdde. f +. f + z. fz. f. Iterrete este resultdo e teros de oogeedde. 8* - Se f (... ) u fução dferecável e certo oto teror do resectvo doío. Se T o couto dos vlores de t que verfc guldde f (t t... t ) t α. f (... ) co α deedete de t. Prove que se T dte coo oto de cuulção etão. f ( L ) α. f(... ). 9 - Sedo f ( ). cos t e t detere el regr de dervção de u fução coost s segud e tercer dervds d fução F(t) f (t t) Suodo que f (u v) dte dervds rcs dferecáves clcule r fução F( ) f (se se ) s resectvs dervds rcs de rer e segud ordes. 3 - Cosderdo os otos ( ) e ( + + k) escrev fórul dos créscos ftos r fução z + e cd u ds dus versões estudds (co u só θ 9

237 e co vlores θ e θ ). E cd u ds versões detere o vlor θ ou os vlores θ e θ e fução de e k. 3 - O eso que o eercíco teror cosderdo fução z log + log e os otos ( ) e ( + + ) Utlze fórul dos créscos ftos r ostrr que r vlores grdes de ( se ) π π ( ) π cos. SUGESTÃO : Alque fórul dos créscos ftos f ( ). se o oto (π π ) e fç k -π /. 34* - Se f ( ) u fução de A R e R e dt que A é erto e coveo. Adt que f ( )é dferecável e A e que s dervds rcs d fução são glolete ltds esse couto: A f ( ) M... e que cd M é u costte. Mostre que e ts codções fução f ( ) stsfz codção de Lsctz o erto A Alque fórul dos créscos ftos z + co os otos (3 ) e (3 + + k) e todo e k coveetes clcule u vlor rodo r O eso que o eercíco teror cosderdo z e + e e os otos (00) e ( k) clculdo u vlor rodo r e 00 + e Dd fução f ( ) se ( ) ( 00 ) clcule f " ( 00 ) e ostre que f ( ) este ft r qulquer ( ). Mostre que o etto f " ( 0 0 ) ão este e vestgue qus ds óteses do teore de Heffter-Youg ão se verfc Dd fução 30

238 f ( ) + log > 0 0 ostre que f " ( ) é cotíu e R e que o etto ão este f " ( 00 ). Ivestgue qus ds óteses do teore de Scwrtz ão se verfc Clcule e verfque que são dstts s dervds f " ( 00 ) e f " ( 0 0 ) d fução f ( ) 3 ( ). se ( ) ( 00 ) Ivestgue qus ds óteses do teore de Heffter-Youg ão se verfc Sedo o erto A f f ( ) + f e dtdo que f ( ) é de clsse C e A rove que f f f. 4 - Co f ( ) f ( ) f ( ) e dtdo detdde ds dervds sts de segud orde ostre que f f f f f ( ). 4 - Sedo f ( ) oogée de gru α e sedo dferecáves s resectvs dervds rcs ostre que " " ". f +. f +. f α. (α - ). f. 43* - Se f ( ) é oogée de gru - ( tero ostvo) e se fução for de clsse C ostre que 0 C f 0. 3

239 44 - Ddo u erto A cosdere s segutes defções : ) A fução f dz-se de clsse C 0 e A se e só se é cotíu e todos os otos do couto ; ) A fução f dz-se de clsse C r ( r... ) e A se e só se dte dervds rcs cotíus té à orde r e todos os otos do couto ; 3) A fução f dz-se de clsse C e A se e só se dte dervds rcs cotíus de tods s ordes e todos os otos do couto ; 4) A fução f dz-se de clsse D 0 e A se e só se é dferecável e todos os otos do couto ; 5) A fução f dz-se de clsse D r ( r... ) e A se e só se dte dervds rcs té à orde r dferecáves e todos os otos do couto ; 6) A fução f dz-se de clsse D e A se e só se dte dervds rcs de tods s ordes dferecáves e todos os otos do couto. Posto sto rove que : ) C 0 C C C e D 0 D D D ; ) C r D r C r + ; c) C D. RESPOSTAS : - g ( 0 0) g ( 0 0) 0. 3

240 . cos ( ) se ( ) - ) f 0 ( ) 0 ( ) ( 0 0) ; ( 0 ) cos f ( ) 0 ( ) 0 { } Doío de f Doío de f {( ) : 0 } {( 0 0 ) ; ( 0 ) } R ; ) f ( ) 0 0 ( ± 5)/ f ( ) 0 0 ( ± 5)/ Doío de f f {( ) : } {( ) : ( ± 5)/ } {(0 0)} ; c) f ( ) 0 0 f ( ) 0 0 Doío de f Doío de f {( ) : } {(0 0)}. 4 - Se ( ) FRONT. D ão ertecer o eo dos ou dos f ( ) e f ( ) são dervds lters de f ( ) e f ( ) resectvete e e coo se dc: f ( ) f ( ) ( ) do º Qudrte... Dervd à esquerd Dervd à esquerd ( ) do º Qudrte... Dervd à dret Dervd à esquerd ( ) do 3º Qudrte... Dervd à dret Dervd à dret ( ) do 4º Qudrte... Dervd à esquerd Dervd à dret As eressões de f ( ) e f ( ) são e qulquer dos csos f ( ) - 3. ( - - ) / e f ( ) - 3. ( - - ) /. Se ( ) FRONT. D ertecer o eo dos ou dos te-se: - E ( 0) só este f ( 0 ) 0 (dervd lterl esquerd) ; - E (0 ) só este f ( 0 ) 0 (dervd lterl esquerd) ; 33

241 - E (- 0) só este f ( 0 ) 0 (dervd lterl dret) ; - E (0 -) só este f ( 0 ) 0 (dervd lterl dret). 5 - ) z e. e. [. cos ( ) + se ( ) ] z e. e. [. cos ( ) + se ( ) ] [ ] [ ] z" e. e.. cos ( ) + ( ). se ( ) z" e. e.. cos ( ) + ( ). se ( ) z" z" e. e. ( + + ). cos ( ) + ( ). se ( ) ; [ ] + + u + + u ) z + log ( u) z log ( u) z u + log ( u) u u z" z" z " + u z" u z" u z". u 0 z" u z" u u z" u u. u ) u u u" u" u" u" + 6 ; z z z z ) v z e v z e v z e v" z e z z v" v" ( z + z ) e v" z v" z ( + z ) e z z z v" z e v" z v" z ( + z ) e v" z e. 8 - f u ( 0 0 ) só este e é ul qudo s coordeds de u ( k ) se gus e vlor soluto ( k ). 9 - f u ( 00 ) só este e é ul qudo u ds coordeds de u ( k ) se ul. 0 - f u ( 0 0 ) k / se u ( k ) co 0 f u ( 0 0 ) 0 se u ( 0 k ) e k 0 ; fução ão ode ser dferecável orge cso cotráro ser í cotíu. - f u ( 0 0 ) 0 se u ( k ) co k 0 f u ( 0 0 ) se u ( 0 ) e 0 ; fução ão ode ser dferecável orge cso cotráro ser í cotíu. - ) Dferecável ; ) Não dferecável ; c) Não dferecável. 4 - ) k co crésco d vrável e k crésco d vrável ; + z ) k + θ co k e θ resectvete z z créscos de e z ; c). [ ( log ). ( / ). k] vrável. + co crésco d vrável e k crésco d 34

242 5 - Desgdo or e k resectvete os créscos de e de s eressões edds são - Pr > ( - )( - ). [( - ). + ( - ). k] ; - Pr ) Mtrz Jco ; ) Dferecl + k ( + ) + k k 7 - ) Mtrz Jco t t t t ; ) Dferecl t t t t. 8 - z 4 se t t. 9 - w e u 8 s + u v 8 s + u v w v e 8 s + u v w s 8. e. - Mtrz Jco + 4 u + 4w + 4 w 4u w 4w 4w + u + 4u w + w + 4w e que u + v + w e u + v + w. - Mtrz Jcco 4u + v 4u 3 + v F (0) (drectete) e F (0) 0 (regr de dervção d fução coost) ; 4 oteção de resultdos dferetes erte coclur que f ( ) ão é dferecável orge. 4 - F (0) (drectete) e F (0) (regr de dervção d fução coost) ; ode coclur-se que s codções estudds que grte vldde d regr de dervção de u fução coost ão são codções ecessárs s es sufcetes. 5 - ) Hoogée de gru - e setdo restrto ; ) Hoogée de gru 0 e setdo restrto; c) Postvete oogée de gru ; d) Postvete oogée de gru Pr α -3/ e β 3/ fução é ostvete oogée de gru. 7 - A detdde rovd sgfc que fução f ( ) é ostvete oogée de gru. 9 - F (t) - 4. [ se ( t ) + t. cos ( t )] F (t) - 4. [ 3. cos ( t ) - t. cos ( t )]. 35

243 30 - F f ( se se ). cos F f ( se se ). cos u " " F f se se cos f se se se u ( ). u ( ). F " F " fuv " ( se se ). cos. cos " " F f se se cos f se se se v ( ). v ( ) θ θ θ /. v 3 - θ θ θ log ( + ). log ( + ) (vlor clculdo co θ 0 ) (vlor clculdo co θ 0 ). " 37 - f ( 0 0) 0 ; s rers dervds rcs ão são dferecáves orge f ão é defd e eu vzç d orge f " ( 0 0) 0 e f " ( 0 0) ; s rers dervds rcs ão são dferecáves orge. 36

244 CAPÍTULO VIII DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR FÓRMULA DE TAYLOR E APLICAÇÕES. Dferecs de orde sueror Trtreos es o cso ds fuções de A R e R sedo que o cso gerl ds fuções de A R e R se oté rtr ds resectvs cooetes ou coordeds cd u ds qus é u fução de A R e R. Se f (... ) u fução de A R e R co A couto erto. Sedo f ( ) dferecável e A seos á que r qulquer oto A [ df] ( ) f ( ) f ( ). Adtos dcolete que s rers dervds rcs de f ( ) são dferecáves o erto A - o que e rtculr fc grtdo se f ( ) for de clsse C o erto e cus -. Ass r cd vector R fução [ df] ( ) f ( ) cosderd coo fução de (... ) é dferecável o erto A sedo su dferecl u oto geérco A e segudo u vector k dd or { d[ d f ] } ( ) k f ( ) k f ( ) k reresetdo gulete est eressão dervd de f A e segudo u vector k. Ou se u otção s slfcd ( ) u oto geérco [ ] d f ( ) f ( ) k " k f ( ) k. Qudo se k oté-se e rtculr 37

245 [ ] d f ( ) f ( ) " f ( ) sedo usul este cso segute slfcção de otção: [ ] d f ( ) f " ( ) f ( ) e fldo-se etão de segud dferecl de f ( ) e A segudo o vector ou de segud dervd e A segudo o eso vector. Voltdo à fução f ( ) de A R e R se el dtr dervds rcs té à segud orde dferecáves o erto A - o que e rtculr fc grtdo se f ( ) for de clsse C 3 o erto e cus - odeos defr rtr de [ ] tercer dferecl d fução o oto A segudo o vector : d f ( ) 3 [ d f ] " ( ) f ( ) 3 f ( ) E ss or dte. Se fução f ( ) de A R e R dtr dervds rcs té à orde r - dferecáves o erto A - o que e rtculr fc grtdo se f ( ) for de clsse C r o erto e cus - odeos defr r - és dferecl d fução o oto A segudo o vector : r [ d f ] ( ) f ( r ) ( ) L r r f ( ) L 3 3 r L 3 Tedo e teção s eressões dcds r s sucessvs dferecs (e dervds segudo vectores ) otê-se s segutes relções que dte serão utlzds: r. [ df] λ. ( ) λ.[ df] ( ) ou f λ. ( ) λ. f ( ) [ ] d f λ. ( ) λ [ ]. d f ( ) ou f " λ. " ( ) λ. f ( )... r [ d f ] λ. ( ).[ d f ] ( ) ou f ( r ) ( ) λ r ( r). f ( ) λ r r λ.. E rtculr co λ - oté-se : 38

246 r [ d f ] ( ) ( ).[ d f ] ( ) ou f ( r ) ( ) ( ). ( ) r r f ( ). r r Té e rtculr fzedo ρ e vers (qudo se ρ ρ 0) te-se : r [ d f ] ( ) r [ d f ] ρ.vers ( ) ρ r r. [ d f ] ( ) vers ou d f ( r ) ( ) ρ r ( r ). f ( ). vers. Fórul de Tlor Adt-se que f ( ) te dervds rcs té à orde dferecáves e certo erto A R o que e rtculr fc grtdo se fução for de clsse C + e A. Se A e u vector tl que qulquer que se t [0 ] + t. A. E rtculr se o erto A se ltr ser u vzç de u oto se el V ε ( ) codção recedete cure-se se o vector for tl que < ε coo fclete se verfc. Co A e s codções referds cosdere-se fução g(t) f ( + t. ) r -δ < t < + δ devedo sletr-se que or ser A u couto erto é ossível ecotrr u δ > 0 sufceteete equeo de for ter-se + t. A r -δ < t < + δ. Usdo sucessvete (té à orde +) regr de dervção de u fução coost otê-se se qulquer dfculdde s sucessvs dervds d fução g(t) r -δ < t < + δ : g (t) f ( + t. ). g (t)... + g (k) ( k (t) f ) ( + t. )... " f ( + t. ) f ( t. ). f " ( + t. ) g (+) ( (t) f ) ( + t. ). + 39

247 Escrevedo -és fórul de Mc-Lur co resto de Lgrge r fução g(t) oté-se r cd t ] -δ + δ [ + t t t g(t) g( 0) + t. g( 0) + g "( 0) + L + g ( ) ( 0) + g ( ) ( θ t)!! ( + )! co 0 < θ <. Tedo e cot s eressões otds terorete r s sucessvs dervds de g(t) e fzedo e segud t result f ( + ) f ( ) + f f f ( ) + ( ) + L + ( ) ( ) +!! ( + ) + f ( + θ ) ( + )! co 0 < θ < que é fórul de Tlor co resto de Lgrge r f ( ) co orge e. A vldde dest fórul deede coo vos de fução ter dervds rcs té à orde dferecáves e certo erto A R e de e sere ts que + t. A r t [0 ]. Usdo solog ds dferecs sucessvs fórul recedete ode escrever-se do segute odo: [ ] [ ] ( ) L [ ]!! + + [ ] + f ( + ) f ( ) + d f ( ) + d f + + d f ( ) + ( + )! d f ( θ ) co 0 < θ <. Atededo d às relções que for troduzds rte fl do oto. odeos d resetr segute versão d es fórul qudo se 0 : ρ [ ] vers [ ] f ( + ) f ( ) + ρ. d f ( ) + d f ( ) + L +! vers + ρ + [ d f ] ( ) [ ] ρ + +! vers d f ( + θ ) ( + )! vers co 0 < θ < ρ e vers ρ. No cso rtculr de s dervds rcs de orde + sere cotíus o erto A - ou se se fução f ( ) for de clsse C + e A - fzedo 40

248 ( + ) ( + ) vers vers α () f ( + θ ) f ( ) veos que l α ( ) 0. Co efeto desgdo or ξ s coordeds de vers 0 ou se sedo ξ teos r α () eressão... + L + f L + f L + + ( + θ ) ( ) ξ L ξ + e coo cd rcel deste sotóro tede r zero qudo 0 (devdo à cotudde ds dervds rcs de orde + ) e or outro ldo s coordeds de vers são ltds (or ser vers ) coclu-se se dfculdde que l α ( ) 0. Etão o cso rtculr de f ( ) ser de clsse C + o erto A 0 odeos oter rtr d últ versão d fórul de Tlor co resto de Lgrge ρ [ ] vers [ ] f ( + ) f ( ) + ρ. d f ( ) + d f ( ) + L +! vers + ρ + [ d f ] ( ) [ ] ρ + +! vers d f ( ) + α ( ) ( + )! vers co l α ( ) 0. Est vrte é fórul de Tlor co resto de Peo e v ser 0 utlzd lcção que vos estudr o oto segute. 3. Alcção à deterção dos etretes terores Se f reltvo de f ( ) u fução de A R e R. U oto A dz-se zte ( ) se e só se este u V ε ( ) tl que V ε ( ) A f ( ) f ( ) ; dz-se zte reltvo se e só se este u V ε ( ) tl que V ε ( ) A f ( ) f ( ). 4

249 Os corresodetes vlores f ( ) dze-se etão resectvete áo reltvo e ío reltvo d fução. Geercete os áos e íos reltvos desg-se or etreos reltvos ; os ztes e ztes reltvos desg-se or etretes reltvos. Aos etretes reltvos cotrõe-se os etretes solutos : cso est u A tl que A f ( ) f ( ) dz-se que é u zte soluto e f ( ) é o áo soluto ; cso est u A tl que A f ( ) f ( ) dz-se que é u zte soluto e f ( ) é o ío soluto. Note-se que o áo e ío solutos de u fução f ( ) e A se este são úcos s ode evetulete ser tgdos e s que u oto A. No que se segue estudreos codções ecessárs e sufcetes r que u oto INT. A se etrete (zte ou zte) reltvo de f ( ) o ressuosto de cotudde e INT. A d fução e ds sus dervds rcs té cert orde coveete. A deterção de evetus etretes froteros reltvos ão ode fzer-se elos étodos que vão ser estuddos. Por outro ldo s téccs desevolver o resete cítulo erte es deterção dos etretes reltvos. Só e csos uto esecs será vável deterr co ts téccs os etretes solutos coo or eelo os csos e que elo estudo drecto d fução ou el turez do role seos à ror que queles este ; estes csos os etretes solutos oderão ser deterdos or corção dos vlores d fução os dversos etretes reltvos ddo que é óvo que qulquer etrete soluto é gulete u etrete reltvo. Tedo e cot fcltr eosção ote-se que s codções defdors dos cocetos de zte e zte reltvos terores ode ser resetds do odo segute: ) O oto INT. A é zte reltvo de f ( ) se e só se este u vlor ε > 0 tl que < ε f ( + ) f ( ) ; ) O oto INT. A é zte reltvo de f ( ) se e só se este u vlor ε > 0 tl que < ε f ( + ) f ( ). O teore segute dá u codção ecessár r que u oto INT. A se etrete reltvo de f ( ). Teore : Sedo INT. A etrete reltvo de f ( )e estdo s dervds rcs f ( ) te-se f ( ) 0 (... ) 4

250 Deostrção : Adt-se r fr des que INT. A é zte reltvo. Este etão u ε > 0 tl que < ε f ( + ) f ( ). Todo e rtculr ( ) co 0 < < ε te-se ou se f ( +... ) f (... ) f ( ) l f ( + L ) f ( L ) 0 l f ( + L ) f ( L ) Por outro ldo todo e rtculr ( ) co 0 < < ε te-se dode result f ( -... ) f (... ) ou d f ( L ) f ( L ) f ( + k L ) f ( L ) k 0 0 co k - (-ε < k < 0 ). Oté-se etão f ( ) l f ( + k L ) f ( L ) k k 0 l f ( + k L ) f ( L ) k 0 0. Ms de f ( ) 0 e f ( ) 0 result ecessrete f ( ) 0. Pr s resttes dervds rcs segudo co álogo oter-se- f ( ) f ( ) 0. O cso e que INT. A é zte te deostrção seelte. O teore recedete forece u étodo r deterção dos ossíves etretes terores de f ( ) o ressuosto de estre s rers dervds rcs d fução e todos os otos do teror do resectvo doío. Bst resolver o sste 43

251 f ( L ) f ( L ) L f ( L ) s cógts... sedo cd solução otd u ossível etrete d fução. Cd u ds soluções do sste é qulo que usulete se c u oto de estcordde d fução. Vereos segudete coo recorredo o cálculo ds dferecs de orde sueror e co uílo d fórul de Tlor odeos vergur se u ddo oto de estcordde é ou ão etrete. E tudo o que v segur-se vos dtr que fução é de clsse C r o teror do resectvo doío co r ão feror à or ds ordes ds dferecs sucessvs evolvds os cálculos. Se u oto de estcordde d fução sto é u oto teror do resectvo doío ode se ul s rers dervds rcs. Cso est se orde d rer ds dferecs sucessvs e que ão se ul r todos os vectores (clro que e vrtude de sere uls s rers dervds rcs e ). Etão (-)-és fórul de Tlor co orge o oto e resto de Peo ssue for [ ] ρ f ( + ) f ( ) + d f ( ) + α ( )! vers co l α ( ) 0. 0 Vão cosderr-se serdete os segutes csos: º CASO : A dferecl de orde d fução o oto é ostv r certo u e egtv r certo v. Neste cso vê-se co fcldde que ão ode ser etrete. Co efeto todo β > 0 sufceteete equeo de for que + β. u e + β. v erteç os o doío d fução f ( ) o que sere se cosegue or ser oto teror de tl doío te-se ρ () f ( + β. u ) f ( ) + {[ d f ] ( ) + α ( β. u ) }! ver s u ρ () f ( + β. v) f ( ) + {[ d f ] ( ) + α ( β. v) }! v e r s v 44

252 u vez que v er s (β. u) ver s u e v er s (β. v) ver s v. Ddo que [ d f ] ( ) > 0 u [ d f ] ( ) < 0 v [ d f ] ( ) > 0 v e r s u [ d f ] ( ) < 0 v e r s u l α ( β. u ) + β 0 l α ( β. v) + β 0 0 coclu-se rtr ds gulddes () e () sur co β ] 0 δ [ e δ sufceteete equeo que : f ( + β. u) > f ( ) e f ( + β. v) < f ( ) desgulddes que e couto ão erte que se zte ou zte. Este cso ocorre sere que se ír orque se for [ d f ] u ) 0 [ d f ] () ssur ss cotráros co u e v u [ d f ]( u ) ( ) ( ). [ d f ] u ( ) [ d f ] u (). ( u vez que: te-se Ms ode té suceder co r stdo r tl que se defd for de gru [ d f ] () L f L ( ) L. º CASO : A dferecl de orde d fução o oto te o eso sl r todos os 0 (r tl é ecessáro s ão sufcete que se r). Neste cso á os dos segutes sucsos cosderr: º Sucso : A dferecl de orde o oto é ostv segudo todos os vectores ão ulos ou se referd dferecl é u for defd ostv de gru Te-se r 0 [ ] d f ( ) > 0 e ortto té d f ( ) L f vers L [ ] ( ) ξ L ξ > 0 45

253 e que s coordeds ξ de vers verfc relção ξ + L + ξ. Cosderd coo fução ds coordeds ξ dferecl e cus é u fução cotíu o couto ltdo e fecdo F { (ξ ξ... ξ ) : ξ + L + ξ } dtdo ortto esse couto u ío µ > 0. Teos etão [ ] ρ f ( + ) f ( ) + d f ( ) + α ( ) >! vers ρ! µ α > f ( ) + { + ( )} co l α ( ) 0 e ortto desde que < ε (co certo ε > 0 ) te-se 0 f ( + ) > f ( ). Coclu-se ss que o oto é zte e trt-se evdeteete de u zte e setdo estrcto. º Sucso : A dferecl de orde o oto é egtv segudo todos os vectores ão ulos ou se referd dferecl é u for defd egtv de gru Segudo co seelte o do sucso teror (s todo gor o áo - egtvo - d dferecl) coclu-se que co < ε f ( + ) < f ( ) ou se o oto é zte e setdo estrcto. 3º CASO : A dferecl de orde d fução o oto é u for de gru sedefd (r tl é ecessáro s ão sufcete que se r) Neste cso á os dos segutes sucsos cosderr: 3º Sucso : A dferecl de orde o oto é ostv ou ul segudo todos os vectores estdo oré vectores ão ulos que ul (ou se referd dferecl é u for sedefd ostv de gru ). Os vectores s ão ulos que ul dferecl de orde c-se vectores sgulres. Se u u vector que tor ostv dferecl e cus (á elo eos u vector esss codções orque or ótese dferecl de orde ão é detcete ul) ; rcocdo coo o º CASO coclu-se que co β ] 0 δ [ e δ ostvo sufceteete equeo f ( + β. u) > f ( ) ou se se o oto for etrete só ode ser zte. 46

254 Cosdere-se gor u vector sgulr s e se + k orde d rer ds dferecs de orde sueror que ão se ul r s (ote--se que orde + k oderá deeder do vector sgulr cosderdo). Te-se etão co β > 0 sufceteete equeo de for que + β. s erteç o doío d fução f ( ) + k Se for [ ] + k + k {[ d f ] ( ) α ( β. ) } ρ f ( + β. s) f ( ) + ver s s + s ( + k)! d f s +k ( ) < 0 té [ d f ] () v er s s < 0 e rcocdo do eso odo que o rero cso coclu-se que co β ]0 δ [ e δ sufceteete equeo f ( + β. s) < f ( ) ou se o oto ão ode ser zte (úc ótese e erto coo se vu) ; logo ão ode ser etrete. Oserve-se que est stução se verfc sere que + k se ír orque etão u + k + k d f d f ( ) é egtv e se o vector s é ds dferecs [ ] s ( ) ou [ ] sgulr o eso se ss co - s ; ode oré verfcr-se eso que + k se r. + k Qudo r todos os vectores sgulres s se [ ] s d f ( )> 0 d se ode coclur. Trt-se do cdo cso duvdoso cuo esclreceto org orlete o estudo drecto d fução. 4º Sucso : A dferecl de orde o oto é egtv ou ul segudo todos os vectores estdo oré vectores ão ulos que ul (ou se referd dferecl é u for sedefd egtv de gru ). Procededo coo o sucso teror coclu-se se dfculdde que: - Se r certo vector sgulr s orde + k d rer ds dferecs de orde sueror que ão se ul r s for ír etão o oto ão ode ser etrete ; - O eso cotece qudo + k se r e dferecl e cus se ostv r s ; - Qudo r todos os vectores sgulres s se te [ + k ] coclur trtdo-se de ovo de u cso duvdoso. s d f ( )< 0 d se ode Rere-se que r s fuções f : A R R (ou se fuções res de u vrável rel) te-se s. [ d f ] () f () (). co f () () 0 e etão: 47

255 O ºCASO só ode ocorrer qudo se ír ; O 3ºCASO ão ode ocorrer os co f () () 0 [ d f ] () co 0 ; ão ode ulr-se Pr terr vos resetr lgus eelos de lcção dos resultdos otdos dscussão recedete. ) Pr deterr os etretes de f ( z) z + z resolução do sste f z 0 f z 4 0 fz + 0 erte oter dos otos de estcordde: - z - ; - z -. Or segud dferecl d fução u oto geérco ( z) é for qudrátc [ ] " " " " " z 3 d f ( z) f + f + f + f + f + " " " " z 3 z 3 z 3 z 3 f + f + f + f + z z cu trz (trz Hesse) é H z z

256 Pr o rero oto de estcordde te-se H 4 0 cocludo-se se dfculdde que segud dferecl é o oto e cus u for qudrátc defd. Logo o oto de estcordde e cus ão é etrete. U álse seelte fet r o segudo oto de estcordde lev gulete à coclusão de que ão se trt de u etrete. ) Pr deterr os etretes de resolução do sste f ( ) ( - ) f ( ) f ( ) 4 0 erte oter três otos de estcordde : - ; - ; 0 0. A segud dferecl de f ( ) u oto geérco é u for qudrátc (os créscos e k ds vráves e ) cu trz (trz Hesse) é H. Pr o rero e segudo otos de estcordde te-se H 0 0 e coclu-se se dfculdde que segud dferecl é u for qudrátc egtv. Portto qulquer dos dos otos de estcordde e cus é u zte. Pr o tercero oto de estcordde te-se H 49

257 sedo ortto sedefd ostv segud dferecl. Pr deterr os vectores sgulres escrev-se eressão d segud dferecl o oto de coordeds 0 : d f - 4 k + k ( - k) ; est eressão erte coclur que os vectores sgulres são os vectores d for s ( ) co 0. A eressão d tercer dferecl u oto geérco é d 3 f k 3 cocludo-se ortto que o oto (0 0) é ul segudo qulquer vector sgulr. Pssdo etão à qurt dferecl te-se u oto geérco d 4 f k 4 elo que o oto (0 0) e r u vector sgulr geérco s ( ) te-se d 4 f < 0 ss se cocludo que o oto e álse ão é etrete. 3) Pr deterr os etretes de resolução do sste f ( ) f f erte oter coo úco oto de estcordde o oto de coordeds 0. Nesse oto e segudo u vector geérco ( k) segud dferecl é d f for qudrátc sedefd ostv que se ul r os vectores sgulres s (0 k). Segudo qulquer destes vectores sgulres tercer dferecl orge é ul e qurt dferecl é d 4 f 48 k 4 ou se é u for de gru 4 ostv r qulquer dos ecodos vectores sgulres. Estos ortto o cso duvdoso e só u álse drect d fução oderá esclrecer questão. Notdo que f ( ) ( - ) +. ( - ) ( - ). ( - ) coclu-se que e qulquer vzç d orge fução ssue ss cotráros os é ostv r > > e egtv r > >. Coo f (0 0) 0 cocluse que orge ão ode ser zte e zte: cso fosse zte 50

258 5 dever ter-se f ( ) 0 e cert vzç d orge; cso fosse zte dever ter-se f ( ) 0 e cert vzç d orge. Ter-se resetdo u dgr que resue técc lcr deterção dos etretes terores. Sedo () 0 ) ( 0 ) ( f f K L K () [ ] r r r r r f f d ) ( ) ( L L L ve-se o dgr d ág segute.

259 Resolver o sste () r deterr os otos de estcordde terores do doío d fução Pr cd oto de estcordde deterr rer ds dferecs sucessvs () que ão é detcete ul Não este são tods Este e te orde Este e te orde uls: r ír : - Cso Duvdoso - O oto ão é etrete Est dferecl é Est dferecl é Est dferecl é defd ostv: sedefd defd egtv: - O oto é - - O oto é zte zte É sedefd ostv: deter-se os vectores ão ulos que ul (vectores sgulres) É sedefd egtv: deter-se os vectores ão ulos que ul (vectores sgulres) Pr certo vector sgulr s rer dferecl sucessv de orde sueror que ão se ul te orde ír: - O oto ão é etrete Pr certo vector sgulr s Pr certo vector sgulr s rer dferecl sucessv rer dferecl sucessv de orde sueror que ão de orde sueror que ão se ul te orde r e é e- se ul te orde r e é ogtv: stv: - O oto ão é etrete - O oto ão é etrete Pr todos os vectores sgulres s Pr todos os vectores sgulres s rer dferecl sucessv de rer dferecl sucessv de orde sueror que ão se ul orde sueror que ão se ul te orde r e é ostv: te orde r e é egtv: - Cso Duvdoso - Cso Duvdoso Pr todos os vectores sgulres s s sucessvs dferecs de orde sueror são tods detcete uls: - Cso Duvdoso 5

260 4. Estudo d covedde e cocvdde Coo se se o couto A R dz-se coveo (ou coeo or segetos) se e só se qusquer que se os otos A o couto S( ) { : λ. + µ. λ 0 µ 0 λ + µ } está cotdo e A ou se se e só se o segeto de etreddes os otos e estver cotdo o couto A. As fgurs segutes eelfc u couto coveo e u couto ão coveo e R : B A A é coveo B ão é coveo Sedo A R coveo fução f ( ) de A e R dz-se cove o coveo A se e só se qusquer que se A λ 0 µ 0 e λ + µ f (λ + µ ) λ. f ( ) + µ. f ( ) ; dz-se côcv se e só se λ 0 µ 0 e λ + µ f (λ + µ ) λ. f ( ) + µ. f ( ). O teore segute dá u rer codção ecessár e sufcete de covedde (cocvdde): Teore : A codção ecessár e sufcete r fução f ( ) se cove (côcv) o couto coveo A R é que qusquer que se A fução rel de vrável rel g (λ ) f [λ + (- λ) ] se cove (côcv) o tervlo [0 ] Deostrção : A codção é ecessár. Adtdo f ( ) cove o coveo A cosdere-se fução g (λ ) f [λ + (- λ) ]. Ddos os res λ µ [0 ] se α 0 e β 0 ts que α + β. Te-se etão 53

261 g (α λ + β µ) f [ (α λ + β µ). + (- α λ - β µ). ] f [ (α λ + β µ). + (α + β - α λ - β µ). ] f [ α. (λ + - λ ) + β. (µ + - µ )] f {α. [ λ + ( - λ) ] + β. [ µ + ( - µ) ] } e coo or ser coveo o couto A A λ + ( - λ) A µ + ( - µ) A tr-se el covedde de f ( ) g (α λ + β µ) α. f [ λ + ( - λ) ] + β. f [ µ + ( - µ) ] α. g (λ) + β. g (µ) ss se rovdo covedde d fução g (λ) o tervlo [0 ]. Veos gor que codção é sufcete. Se ddos qusquer A fução g (λ ) f [ λ + (- λ) ] é cove o tervlo [0 ] te-se co λ 0 µ 0 e λ + µ f (λ + µ ) f [ λ + ( - λ) ] g (λ ) g (λ. + µ. 0 ) λ. g() + µ. g(0) λ. f ( ) + µ. f ( ) ss se rovdo que f ( ) é cove e A. Trocdo rguetção recedete o setdo ds desgulddes o teore fc rovdo r o cso d cocvdde. O teore que c de deostrr-se erte deduzr ov codção ecessár e sufcete de covedde (cocvdde) lcável o cso e que f ( ) se de clsse C u coveo erto A. Teore 3 : Sedo f ( ) de clsse C u coveo erto A codção ecessár e sufcete r que fução se cove (côcv) e A é que qulquer que se A segud dferecl [ ] d f ( ) " f ( ). se u for qudrátc defd ou sedefd ostv (egtv) 54

262 Deostrção : A codção é ecessár. Adtdo que f ( ) é cove o coveo erto A cosdere-se u qulquer A e u vzç V ε ( ) cotd e A. Etão todo u qulquer vector de or feror ε te-se + A. Defdo g (λ ) f [λ + ( - λ)( + )] f [ + ( - λ) ] o teore fr que fução rel de vrável rel g(λ) deverá ser cove o tervlo [0 ] ou se " g (λ ) [ + ] f ( λ ).. 0 esse tervlo: co efeto se r lgu vlor λ 0 do tervlo udesse ser g (λ 0 ) < 0 etão devdo à cotudde de g (λ ) resultte do fcto de f ( ) ser de clsse C o erto A teríos que g (λ ) < 0 e lgu sutervlo de [0 ] e g(λ) ser etão côcv (estrtete) esse sutervlo ão odedo ortto ser cove o tervlo totl. De g ( ) 0 result etão [ ] d f ( ) " f ( ). 0 r qulquer tl que < ε. Dqu result que for qudrátc [ ] d f ( ) deverá ser ão egtv r todos os vectores R ; co efeto rtr de qulquer R ode defr-se k α co α sufceteete equeo de odo que k < ε e or ser 0 [ ] coclu-se que té [ ] d f d f ( ) 0. A codção é sufcete. Adtdo que k ( ) α. [ ] d f ( ) [ ] d f ( ) " f ( ). é r cd A u for qudrátc defd ou sedefd ostv se qusquer A e toe-se fução g (λ ) f [ λ + (- λ) ] ; etão " g (λ ) [ ] f λ. + ( λ )..( )( ) 0 55

263 ou se g (λ ) é cove o tervlo [0 ] ; o teore grte etão covedde de f ( ) o erto coveo A. O teore deostr-se d es for (recorredo o teore ) r o cso d cocvdde. O teore teror erte d estudr covedde ou cocvdde de f ( ) u coveo A* que se o feco ou derêc de u certo erto coveo A o qul se verfc s óteses do teore desde que fução se cotíu e A*. De-se deostrção o cuddo do letor sugerdo-se r o efeto que: ) Prove e rero lugr que o feco ou derêc de u couto coveo é d u couto coveo; ) Prove deos que covedde (cocvdde) de f ( ) e A e couto co cotudde d fução derêc ou feco de A lc covedde (cocvdde) d es fução e Ad A. 56

264 5. Eercícos - Escrev rer fórul de Tlor co resto de Lgrge r f ( ). co orge o oto ( ). - O eso que o eercíco teror s r fução f ( ) orge o oto ( 0). + co 3 - Cosderdo fução f ( ) se ( + ) ) Detere u eressão gerl r f ( 3... ; α 0... ) α α u oto geérco ( ). Qul dervd que está e cus qudo se α 0 ou α? ( ) Escrev eressão gerl de f ) ( ) co u ( k) ; u c) Escrev -és fórul de Tlor (resto de Lgrge) r fução f ( ) co orge o oto (0 0) todo coo créscos ds vráves e k. 4 - Cosdere fução f ( ) defd el segute sére f ( ) + ( - ) + ( - ) ( - ) ) Detere o resectvo doío ; ) Detere u eressão gerl r f ( 3... ; α 0... ) α α o oto ( ) ; ( c) Escrev eressão gerl de f ) u ( ) co u ( k) ; d) Escrev -és fórul de Tlor (resto de Lgrge) r fução f ( ) co orge o oto ( ) todo coo créscos ds vráves - e k Detere os etretes e corresodetes etreos r s fuções: ) f ( ) ( - ) ; ) f ( ) ( + ). e ; c) f ( ) ; d) f ( z) z - / - + z. 57

265 6 - Estudr se o oto de coordeds -/4 / e z 0 é ou ão etrete d fução f ( z) z. 7 - Deterr os etretes de f ( z) α + + z fzedo dscussão e fução de α 0. (α 0 ) 8 - Deterr os etretes ds segutes fuções: 3 3 ) f ( 3 ) + ; ) f ( ). log ( + ) ; c) f ( z) + z β ; d) f ( ) e ( + ) ; e) f ( ) ( + ) -. ( - ). Nos csos c) e e) fzer dscussão e fução dos râetros evolvdos. 9 - Detere os etretes e os corresodetes etreos de f ( ) SUGESTÃO : Escrev o rdcdo so for de u costte eos u so de qudrdos. 0 - Detere os etretes e os corresodetes etreos de 3 f ( ) Estude covedde ou cocvdde ds segutes fuções os coutos coveos que se dc: ) f ( z) - e + + z e R 3 ; ) f ( ) + e A {( ) : + 0 } ; c) f ( ). e A {( ) : 0 0} e e B {( ) : 0 0} ; d) f( z).. z e A {( z) : 0 0 z 0 } e e B {( z) : 0 0 z 0}. 58

266 - Se f ( ) u fução de A R e R e dt-se que A é coveo e f ( ) cove e A. Prove sucessvete que: ) Sedo A u zte reltvo de f ( ) etão esse oto é zte soluto d fução ; ) O couto K dos ztes reltvos (logo solutos) de f ( ) é u couto coveo e fução é costte e K ; c) Se INT. A é zte reltvo de f ( ) etão fução é costte e cert V ε ( ) ; d) Se f ( ) te áo soluto este ão ode ser tgdo u oto INT. A eceto o cso trvl de fução ser costte e A. 3* - Se f ( ) u fução de A R e R cove e cert vzç V ε ( ) A e dt-se que se trt de u fução de clsse C e V ε ( ). Prove que se s rers dervds rcs d fução se ul o oto etão este oto é zte reltvo d fução. Euce e deostre u roosção álog r o cso e que f V ε ( ). SUGESTÃO : Utlze fórul de Tlor co resto de Lgrge. ( )se côcv e RESPOSTAS : k k k.( + θ ) - ( + ). + k + ( + ) + + θ k 4.( + θ k). + θ k co 0 < θ <. - k + k k + + k ( + θ + θ k) f 3 - ) α f 3 co 0 < θ <. α se ( + +.π /) ; qudo α 0 dervd e cus é ; qudo α dervd e cus é ( ) f ) ( ) ( + k). se ( + +. π / ) ; u c) se ( + ) + + α 0 ( ) α! ( + ) ( + )! α + se ( α. π / ) + f [.( ) ( ). / ] se θ π co 0 < θ <. ; 59

267 4 - ) Doío {( ) : - < < + R } ; f )!.( - ) - α o oto de coordeds ; α α u ( c) f ) ( )! ( k) ; d) f ( ) + ( ) + ( ) + L + ( ) + co 0 < θ <. θ ( ) ) Os otos de coordeds - e - são ztes e o áo corresodete é gul e os os csos ; o oto de estcordde de coordeds 0 ão é etrete ; ) O oto de coordeds 0 é zte sedo 0 o corresodete ío; o oto de estcordde de coordeds 0 - ão é etrete ; c) O oto de estcordde de coordeds 0 ão é etrete ; d) Os otos de estcordde de coordeds - z - e - z - ão são etretes. 6 - É zte. 7 - Co α 0 o oto de coordeds -/ z 0 é zte se for α < 0 e ão é etrete se for α > ) O oto de coordeds 3 0 é zte ; ) O oto de estcordde de coordeds 0 ão é etrete ; c) O oto de estcordde de coordeds 0 z β ão é etrete qulquer que se o vlor do râetro β ; d) Os otos de estcordde de coordeds 0 e 0 - ão são etretes ; e) Co 0 o oto de estcordde de coordeds 0 ão é etrete e os otos de coordeds ± 0 são ztes (os coduzdo o eso ío) ; co 0 o oto de coordeds 0 é zte. 9 - O oto de coordeds é zte sedo o corresodete áo gul 5 ; os otos de coordeds ± 4 + co ertecete o tervlo [ 5 + 5] são ztes (froteros) todos eles coduzdo o vlor ío gul O oto de estcordde de coordeds /4 / ão é etrete; fução dte coo ztes (froteros) os otos de coordeds ts que coo é o cso etre outros dos otos de coordeds 0 e - 0 todos eles coduzdo o vlor ío gul 0. - ) Côcv ; ) Cove ; c) Côcv e A e e B ; d) Não cove e côcv e qulquer dos coutos ddos. 60

268 CAPÍTULO IX FUNÇÕES DEFINIDAS IMPLICITAMENTE INVERTIBILIDADE. Itrodução Cosdere-se o segute sste de equções (leres ou ão) s + cógts ou se e otção vectorl f ( f( L L ) 0 f ( L L ) 0 () L f ( L L ) 0 ) 0 e que (... ) (... ) e f ( f f... f ). A fução f ( ) e cosequeteete cd u ds sus coordeds f ( ) é defd e certo couto A R + ; or outro ldo s ges dos otos ( ) A dds or cd u ds fuções f ( ) dos reros eros ds equções do sste () são úeros res e ortto s ges desses esos otos dds or f ( ) são vectores de R. Ddo u sste de fuções ds vráves... g( L ) g ( L ) () L g ( L ) ou se u fução g ( ) de A* R e R dz-se que esse sste de fuções é defdo lctete elo sste de equções () o couto A* se e só se ) O oto ( ) co g ( ) ertece o couto A ode se ecotr defd fução f ( ) e ortto té s fuções f ( ) qulquer que se A* ; ) Ao sustturos o sste de equções () os or g ( ) otê-se gulddes verdders qulquer que se A* sto é 6

269 [ L ( L ) L ( L ) ] [ L ( L ) L ( L ) ] f g g f g g L f g g [ L ( L ) L ( L )] são detddes e A* ou d e otção vectorl f [ g( ) ] 0 é u detdde e A*. U cso rtculr frequete s lcções é quele e que ou se u só equção f( ) 0 s cógts res e. Neste cso fução rel de vrável rel g() dz-se defd lctete el equção e certo A* R se e só se ) A* [ g()] ertece o doío de f( ) ; ) A* f [ g()] 0. Outro cso rtculr té frequete s lcções é quele e que > e ou se u só equção f (... ) 0. Neste cso fução rel de vráves res g(... ) dz-se defd lctete el equção e certo A* R se e só se ) (... ) A* [... g (... )] ertece o doío de f (... ) ; ) (... ) A* f [... g (... )] 0. Veos lgus eelos que se equdr estes dos csos rtculres e té do cso gerl: ) A fução + é defd lctete el equção o tervlo A* [ 0 + [. A es equção defe té o eso tervlo fução. ) A fução + é defd lctete e R el equção ( ) ) O sste de equções defe lctete o sste de fuções o tervlo [ 0 + [. 6

270 4) O sste de fuções + é defdo lctete e R elo sste de equções Dervds de fuções defds lctete Adt-se que s fuções g ( ) do sste () são defds lctete elo sste de equções () e certo erto A* R e d que: ) As fuções g ( ) são dferecáves o erto A* ; e ) As fuções f ( ) dos reros eros ds equções do sste () são dferecáves e certo erto A R +. Nests codções ode oter-se relções etre s dervds rcs ds fuções g ( ) u qulquer oto A* e s dervds rcs d fuções f ( ) o oto corresodete [ g( ) A. Co efeto ) Pr qulquer A* te-se ] [ L ( L ) L ( L ) ] [ L ( L ) L ( L ) ] f g g f g g L f g g [ L ( L ) L ( L )] ; ) Dervdo e relção os os eros de cd detdde usdo regr de dervção de u fução coost oté-se: f f L f f g f g f g L + f g f g f g L + f g f g f g L ou d 63

271 f g f g f g f f g f g f g f f g f g f g f L L L L e que s dervds rcs ds fuções f ( ) deve ser tods e ( ) co [ ] g g g g ( ) ( ) ( ) ( ) L ; c) Reltvete os otos A* r os qus ão se ule o deterte Jcoo f f f f f f f f f L L L L o sste costruído e ) erte clculr s dervds rcs g g... g ; d) Do eso odo se ode oter g g... g stdo reetr os ssos ) e c) co dervção de os os eros ds detddes de ) e relção. Ates de resetr dos eelos de lcção d técc terorete descrt cové referr que s fóruls otds r s rers dervds ds fuções g erte or su vez oter s dervds de orde sueror té à orde r stdo r tto dtr dcolete dferecldde ds dervds rcs ds fuções 64

272 f té à orde r -. Est ótese cure-se e rtculr o cso e que s fuções f se de clsse C r o erto A. Veos etão os eelos. ) Adt-se que o sste defe lctete e certo erto A R s fuções dferecáves g ( ) e g ( ). O sste rtr do qul se ode clculr s dervds rcs e oté-se dervdo os os eros ds equções do sste e relção : ou se +. Ddo que / -/ o sste erte oter -/ otedo-se e r todos os otos ( ) A ts que + e + sedo o vlor trur o que fução g ssoc o oto ( ) ode se estão clculr s dervds. 65

273 Do eso odo oder oter-se r -/ 0 e. As fóruls otds r s rers dervds rcs de g e g erte gor (ddo que s fuções do rero ero do sste de equções e cus são de clsse C e R 4 ) clculr s dervds de orde sueror r s ess fuções e todos os otos do erto A ts que -/. Ass or eelo 0.( ).( + ). ( ).( ).( + ). ( ) +.( ).( + ). ( ).( ).( + ) ( ) 3 sedo o vlor trur o que fução g ssoc o oto ( ) ode se estão clculr s dervds. ) Adt-se que equção defe lctete coo fução de ou se g() e certo erto A R e que g () este ft e A. Podeos etão escrever segute guldde dervdo e relção os os eros d detdde que se oter rtr d equção dd fzedo coosção g() : d ( ) 0. d Etão r > 0 e 0 ode oter-se d + 3 d ( )

274 3. Teores de estêc 3. - Cso de u só equção Cosder-se e rero lugr o cso de u só equção coeçdo or estudr o segute: f ( L ) ou f ( ) 0 0 Teore : Ddo o oto ( ) R + dt-se que: ) f ( ) 0 ; ) f ( ) é cotíu e cert V δ ( ) ; 3) f ( ) este ão ul referd V δ ( ). Etão e cert V ε ( ) do oto R r qulquer 0 V ε ( ) este u e u só 0 tl que ( 0 0) Vδ ( ) e f ( 0 0) 0 Deostrção : E tudo o que se segue cosderreos defd e R k or Euclde. Pr elor sstetzção dvdreos deostrção e três líes : ) Note-se e rero lugr que fução ϕ () f ( ) ud de sl e ou se te ss cotráros os tervlos ] - η [ e ] + η[ co certo η > 0 (η δ ). Se ss ão fosse etão r 3... sere se ecotrr vlores ] - / [ e ] + /[ ts que ϕ ( ). ϕ ( ) 0. E coo or ótese ϕ ( ) desguldde teror ode escrever-se f ( ) 0 rtr d [ ϕ ( ) ϕ ( ) ].[ ϕ ( ) ϕ ( ) ] ( ).( ) 0 dode fzedo + resultr [ ϕ ( )] f ( ) 0 cotrrete o ssudo ótese 3). [ f ] ( ) 0 ou se ) Tedo ϕ () f ( ) ss cotráros os tervlos ] - η [ e ] + η[ co certo η > 0 (η δ ) fe-se u qulquer α ] 0 η[ ; te-se ortto f ( α ). f ( + α ) < 0. Coo f ( ) é cotíu V δ ( ) coclu-se que tto f ( α ) coo f ( +α ) são fuções de cotíus e V θ ( ) co θ δ α : st otr que 67

275 V θ ( ) ( ) + ( ± α ) < θ + α δ ( ± α ) V δ ( ). Result etão que ψ ( ) f ( α ). f ( +α ) é u fução de cotíu e V θ ( ). Or ddo que ψ ( ) f ( α ). f ( + α ) < 0 desguldde estede-se os otos vzos de ou se este u ε θ tl que V ε ( ) ψ ( ) f ( α ). f ( +α ) < 0. Est últ desguldde sgfc que ddo u qulquer 0 V ε ( ) fução cotíu f ( 0 ) ud de sl qudo ss de - α r + α ; elo teore de Cuc este etão u certo 0 ] - α + α[ tl que f ( 0 0 ) 0 e clro que ( 0 0) Vδ( ): de fcto - α + α ( 0 ) ( ) ( 0 ) + ( ) < < ε + α < θ + α δ. c) Flt es rovr que r cd 0 V ε ( ) es este u 0 verfcr s codções deseds. Se r u z 0 0 fosse f ( 0 z0 ) 0 e ( 0 z 0 ) V δ( ) coo f ( 0 ) é fução de regulr o tervlo de etreddes 0 e z 0 etão u certo w 0 etre eles coreeddo fr f ( 0 w0) 0 (teore de Rolle) e clro que ( 0 z0 ) V δ( ) sedo ss vold ótese 3) do teore. O teore ulr recedete erte gor rovr que: Teore : Ddo o oto ( ) R + dt-se que: ) f ( ) 0 ; ) f ( ) é cotíu e cert vzç do oto ( ) ; 3) f ( ) este e é ão ul e cert vzç do oto ( ). Etão equção f ( ) 0 defe lctete u fução g ( ) e cert V ε ( ) e são verfcds s segutes roreddes : ) g ( ) ; ) g ( )é fução cotíu e V ε ( ) 68

276 c) g ( ) é úc fução defd lctete el equção f ( ) 0 e V ε ( ) que verfc s roreddes ) e ) ou se e teros s gers se u outr fução ( ) for defd lctete el referd equção e V η ( ) e verfcr s referds roreddes etão os otos cous às dus vzçs tese ( ) g ( ) Deostrção: Se V δ ( ) vzç do oto ( ) ode são verfcds s óteses ) e 3) do eucdo. A estêc de u fução g ( ) defd lctete e cert V ε ( ) el equção f ( ) 0 e verfcr roredde ) d tese decorre edtete do teore. Co efeto o teore grte estêc de cert V ε ( ) tl que cd V ε ( ) corresode u e u só que fz ( ) V δ ( ) e f ( ) 0 ; ou se te-se u fução V ε ( ) g g ( ) : ( ) V δ ( ) e f ( ) 0. E coo or ótese f ( ) 0 te-se ecessrete g ( ). Ates de rossegur co deostrção vsdo rovr cotudde de g ( ) e V ε ( ) record-se qu os segutes sectos d deostrção do teore : - O vlor ε ro d esfer V ε ( ) é tl que ε θ δ α ; - O vlor α é tl que 0 < α < δ ; - Os vlores g ( ) co V ε ( ) ertece todos o teror do tervlo [ - α + α ]. Cosdere-se u qulquer 0 V ε ( ) e se 0 V ε ( ) u qulquer sucessão tl que 0 l 0. Se se rovr que l g( 0 ) g( 0 ) fc rovd cotudde de g ( )e 0 V ε ( ) e dd rtrredde do 0 cosderdo fc té rovd cotudde de g ( )e V ε ( ). Se k l g( 0 α ) u qulquer sulte d sucessão g( 0 ). Clro que - α < g ( 0 α ) < + α - α k + α e vê-se fclete que ( 0 k) V δ ( ): ( 0 k) ( ) ( 0 ) + ( k ) < ε + α δ. Por outro ldo cotudde de f ( ) e V δ ( ) erte trr sucessvete : 69

277 [ 0α ( ] 0α ) 0 l f [ g ] α α f g ( ) e f ( 0 k) guldde que coutete co o fcto de ser ( 0 k) V δ ( ) ssegur que k g( 0 ). Coo qulquer sulte de g( 0 ) é k g( 0 ) coclu-se que l g( 0 ) g( 0 ) coo se reted rovr. Flt gor deostrr roredde c) do eucdo. Cosdere-se u outr fução ( ) defd lctete el equção f ( ) 0 e cert V η ( ) e verfcr s roreddes ) e ) do eucdo ou se ( ) e ( ) cotíu e Vη ( ). Pretedeos deostrr que Cosdere-se os coutos V ε ( ) V η ( ) ( ) g ( ). A 0 { : V ε ( ) V η ( ) ( ) g ( )} A { : V ε ( ) V η ( ) ( ) g ( )}. O couto A é ão vzo orque co ( ) g ( ). Por outro ldo A 0 A e A 0 A V ε ( ) V η ( ). Se for A 0 coo V ε ( ) V η ( ) é u couto coeo ou este u 0 A 0 que é oto de cuulção de A ou este u A que é oto de cuulção de A 0. No rero cso 0 é lte de u cert sucessão de teros A ; devdo à cotudde ds fuções ( ) e g ( ) e 0 te-se g( 0 ) l g( ) l ( ) ( 0 ) e ortto té 0 A ; s sto é ossível orque A 0 A. No segudo cso é lte de u cert sucessão de teros A 0 ; coo A 0 te-se g( ) ( ) e elo teore ddo que [ g( )] é úc solução d equção f ( ) 0 que ertece V δ ( ) deverá ser e coo [ ( )] V δ ( ) [ g( )] V δ ( ) ão ode ter-se l ( ) gul g( ) ; s devdo à cotudde de ( ) e te-se etão 70

278 ( ) l ( ) g( ) o que cotrdz o fcto de ser A. Dests cotrdções result que ecessrete A 0 ou se ( ) g ( ) os otos cous ds vzçs V ε ( ) e V η ( ). Este resultdo cosderdo e rtculr co ε η erte coclur que g ( ) é úc fução defd lctete el equção f ( ) 0 e V ε ( ) que é cotíu ess vzç e tl que g ( ). O teore está coletete deostrdo. Pr lustrr o teore recedete recorredo u reresetção gráfc cosdere-se o cso ou se u equção f ( ) 0 co e vráves res : V δ ( ) - ε + ε Verfcds s óteses do teore equção f( ) 0 defe lctete e certo tervlo ] - ε + ε [ u só fução g() cotíu esse tervlo e cuo gráfco ss elo oto ( ). Refr-se d que o gráfco de g() o tervlo ] - ε + ε [ está terete cotdo e V δ ( ). No teore segute estud-se questão d dferecldde d fução g ( ) que se refere o teore : Teore 3 : Se e relção o oto ( ) R + s óteses ) e 3) do teore fore susttuíds el dferecldde de f ( ) e cert vzç do oto ( ) e ão uleto de f ( ) e cert vzç do eso oto etão fução g ( ) defd lctete el equção f ( ) 0 os teros e co s roreddes do teore é d dferecável V ε ( ) ode é defd Deostrção : Cosdere-se u qulquer V ε ( ) e se α sufceteete equeo de odo que + V ε ( ) desde que < α. A cotudde d fução 7

279 g ( ) grte que co k g( + ) - g( ) se verfc que l k 0 g( ) é defd lctete el equção dd odeos escrever : [ g( ) ] 0 e f [ + g + ] f [ + g + k] f co k g( [ g( )] te-se : 0. Ddo que ( ) ( ) 0 + ) - g( ). Atededo gor à dferecldde de f ( ) o oto [ ] [ ] f + g( ) + k f g( ) f. + f. k + ε. ( k) 0 e que s dervds rcs de f ( ) deve ser tods o oto [ g( ) ] e or outro ldo ε ε ( devedo otr-se que coo k g( e últ álse fução de k) e l 0 k 0 ε 0 + ) - g( ) 0 k 0 e ortto ε é e l ε 0. 0 Co vst ertr o desevolveto d rguetção vos dr u for s coveete à rcel resdul ε. ( k ) : otdo que ( k) + + L + + k + + L + + k coclu-se que este u θ [ 0 ] tl que ( k) θ. + k ; defdo gor ε* ε. θ. k k ε* ε. θ. ( k 0 ) e ε* 0 ( k 0 ) ( 0 ) e ε* 0 ( 0 ) te-se ε. ( k ) ε*. + ε*. k co l 0 ε* l 0 ε* 0. 7

280 Result etão 0 f. + f. k + ε. ( k) ( f + ε* ). + ( f + ε*). k. Fzedo β k f + f. () ultlcdo os os eros dest guldde or f + ε * e otdo que k.( f + ε *) ( f + ε* ). ceg-se β f ε ε. * * β f f + ε f + ε *..( *) * cocludo-se se qulquer dfculdde que l β * 0. Te-se etão 0 β *. f. k + g( + ) g( ) + f f f. ou se () Note-se que de cordo co ótese 3 do teore f ( ) 0 e e ortto f [ g ] V δ ( ) que se este cosderdo. ( ) 0 qulquer que se o oto V ε ( ) 73

281 g( + ) g( ) + f f. β *. co l β * 0 0 o que trduz dferecldde de g ( ) o oto (qulquer) cosderdo que er o que se reted deostrr. A últ guldde d deostrção do teore recedete erte oter eressão d dferecl d fução g ( ) : dg( ) f f e evdeteete s dervds rcs g são dds or [ ] [ ( )] g( ) f g( ) ( ) f g resultdo que coo er de eserr cocde co o que se oté lcdo técc estudd o oto.. Atededo à eressão otd r s dervds rcs de g ( ) e V ε ( ) coclu-se se dfculdde que: ) Se codção de dferecldde de f ( ) se esteder às sus dervds rcs etão s dervds rcs de g ( ) são gulete dferecáves e V ε ( ) e s sus seguds dervds rcs clcul-se rtr ds eressões ds rers usdo regr de dervção de u fução coost. Ms gerlete se fução f ( ) dtr dervds té à orde - dferecáves e V δ ( ) etão té g ( ) dte dervds rcs té à orde - dferecáves e V ε ( ); e s dervds rcs de g ( ) té à orde clcul-se rtr ds eressões d resectvs rers dervds or dervção sucessv lcdo sere regr de dervção de u fução coost. ) Se e rtculr f ( ) for de clsse C e V δ ( ) ou se se f ( ) dtr dervds rcs té à orde cotíus quel vzç s dervds rcs de g ( ) té à orde - cu estêc é ssegurd elo que se dsse e ) - são té cotíus e V ε ( ); or outrs lvrs esss codções fução g ( ) é té de clsse C V ε ( ) e que é defd. 74

282 Por u questão de sstetzção dos resultdos cotdos os teores e 3 eucse o teore segute que s ão é que sítese de todos esses resultdos e ão ecesst ortto de qulquer deostrção. Teore 4 : Ddo o oto ( ) R + dt-se que: ) f ( ) 0 ; ) f ( ) é dferecável e cert vzç do oto ( ) ; 3) f ( ) é ão ul e cert vzç do oto ( ). Etão equção f ( ) 0 defe lctete u fução g ( ) e cert V ε ( ) e são verfcds s segutes roreddes : ) g ( ) ; c) g ( )é fução cotíu e V ε ( ); ) g ( ) é úc fução defd lctete el equção f ( ) 0 e V ε ( ) que verfc s roreddes ) e ) ou se e teros s gers se u outr fução ( ) for defd lctete el referd equção e V η ( ) e verfcr s roreddes ) e ) etão os otos cous às dus vzçs te-se ( ) g ( ); d) g ( ) é té dferecável V ε ( ) ode é defd clculdo-se s resectvs dervds rcs el técc estudd o oto Escusdo será dzer que erece válds reltvete este eucdo s oservções ) e ) fets roósto do teore 3 sore dferecldde e o cálculo ds dervds rcs de orde sueror d fução g ( ) e V ε ( ). Reltvete o eucdo do teore teror cové otr que ótese 3) ou se o ão uleto d dervd rcl f ( ) e cert vzç do oto ( ) fc grtd se e rtculr tl dervd for cotíu e ão ul esse oto. Ass se oté o segute coroláro do teore recedete que v ser o resultdo geerlzr o oto segute r o cso de u sste de equções. Coroláro : Ddo o oto ( ) R + dt-se que: ) f ( ) 0 ; ) f ( ) é dferecável e cert vzç do oto ( ) ; 3) f ( ) é cotíu e ão ul o oto ( ). Etão equção f ( ) 0 defe lctete u fução g ( ) e cert V ε ( ) e são verfcds s segutes roreddes : ) g ( ) ; c) g ( )é fução cotíu e V ε ( ); ) g ( ) é úc fução defd lctete el equção f ( ) 0 e V ε ( ) que verfc s roreddes ) e ) ou se e teros s gers se u outr fução ( ) for defd lctete el referd equção e V η ( ) e 75

283 verfcr s roreddes ) e ) etão os otos cous às dus vzçs te-se ( ) g ( ); d) g ( ) é té dferecável V ε ( ) ode é defd clculdo-se s resectvs dervds rcs el técc estudd o oto Deostrção : A estêc de f ( ) e cert vzç do oto ( ) e su cotudde este oto grte que desguldde f ( ) 0 se verfc gulete r os otos ( ) que erteç cert vzç de ( ). Fc ssegurds s óteses do teore 4 o que erte cosderr rovdo o coroláro. Ates de ssros o oto segute r o estudo de u teore que geerlz o resultdo do coroláro recedete o cso de u sste de equções vos resetr lgus eelos reltvos o cso de u só equção: ) Cosdere-se equção z. e z e o oto de coordeds - 0 e z que é u ds soluções d equção. N vzç dquele oto s recsete e V (- 0 ) verfc-se s óteses do teore 4 : O oto ddo é solução d equção ; A fução f( z) z. e z é dferecável ; z+ + A dervd rcl f ( z + ). e é ão ul. z Etão os teros do teore 4 referd equção defe lctete z coo fução de e de z g( ) e cert V ε (- 0 ) verfcdo est fução s segutes roreddes: O seu gráfco ss elo oto (- 0 ) ; É cotíu e V ε (- 0 ) ; É úc fução defd lctete el equção e V ε (- 0 ) que verfc s dus roreddes terores ; É dferecável e V ε (- 0 ). As dervds rcs d referd fução z g( ) vzç ode é defd ode clculr-se coo se dcou o oto. E coo fução f( z) z. e z dte dervds rcs de tods s ordes dferecáves (e té cotíus) o eso se ss co fução z g( ) vzç ode é defd ; u vez otds s eressões ds rers dervds rcs ode oter-se rtr dels s dervds de orde sueror or dervção sucessv : ) Dervds de rer orde f z z f z ( z + ). e z. e z + + z

284 z z z + z g( ) f z z f z ( z + ). e z. e z + + z + + z z z + z g( ) ; e rtculr ddo que g(- 0) oté-se z 0 / e z 0 /. ) Dervds de segud orde z ( z + ) z ( z + ) z z g( ) z ( z + ) 3 z g( ) z ( z + ) z ( z + ) z z g( ) z ( z + ) 3 z g( ) Etc. ; e rtculr z 0 / 8 z 0 / 8 Etc. c) Dervds de orde sueror à segud Otê-se sucessvete rtr ds seguds se eu dfculdde de rcío que ão se coledde crescete ds eressões que se vão otedo. ) Cosdere-se equção e solução rtculr 3 -. Coo são verfcds s óteses do coroláro do teore 4 equção dd defe lctete coo fução de g() e cert V ε ( 3 ) verfcdo 77

285 est fução tods s roreddes d tese deste coroláro. A oteção d rer dervd dest fução fz-se el técc estudd o oto : f d f d d d f f g( ) ; s dervds de orde sueror d fução ode oter-se or dervção sucessv d eressão otd r rer dervd (ote-se que estêc ds dervds de tods s ordes r fução g é ssegurd elo fcto de fução do rero ero d equção dd dtr dervds rcs de tods s ordes dferecáves) Cso de u sste de equções Cosdere-se gor o cso gerl de u sste de equções f( L L ) f ( L L ) L f ( L L ) ou e otção vectorl f ( ) 0 co ( L ) e ( L ). No que v segur-se rereset-se or D( ) o segute deterte fucol ou Jcoo f f L f D( ) f f L f L f f L f que desee este cso u el seelte o d dervd f ( ) o cso de u só equção estuddo terorete. Vos segudete geerlzr o Teore 4 o cso de u sste de equções. 78

286 Vsdo u elor sstetzção reset-se coo resultdos ulres e révos dos teores que serão deos utlzdos s deostrções susequetes. Por outro ldo s roreddes do sste de fuções defdo lctete serão estudds e teores serdos (u r cd roredde). Pr ssetr des cové referr que s ors cosderr e tod eosção serão sere ors eucldes. Teore 5 : Ddo o oto ( ) R + dt-se que: ) f ( ) 0 ou se f ( ) 0 r ; ) As fuções ( ) são dferecáves e cert vzç do oto ( ); f 3) As dervds rcs f ( ) são cotíus o oto ( ) e o deterte fucol D ( ) f ( ) é ão ulo esse oto sto é D ( ) 0. Etão este u V δ ( ) ode o sste de equções f ( ) 0 ão dte soluções dstts ( ) e ( ) co o eso e. Deostrção : Se V r ( ) vzç e que s fuções f ( ) são dferecáves. Todo ( ) e ( ) ess vzç é fácl coclur el covedde de V r ( ) que co 0 λ os otos [ + λ.( ) ] ertece todos ess es vzç. Cd fução ϕ ( λ ) f [ + λ.( ) ] é etão defd r 0 λ e devdo à dferecldde de f ( ) e V r ( ) regr de dervção d fução coost erte escrever: ϕ ( λ ) f [ + λ.( )]. ( ) 0 λ. Alcdo o teore de Lgrge ϕ ( λ ) e [0 ] te-se co 0 θ () f ( ) f ( ) L Cosderdo gor o deterte B ( ) f [ + θ. ( )]. ( f [.( )] + θ cotudde ds dervds rcs f ( ) o oto ( ) erte coclur que ) 79

287 l B ( ) B ( ) f ( ) D ( ) 0 e dqu result B ( ) 0 r ( ) V s ( ) co certo s < r. Fdo δ s / te-se : ( ) V δ ( ) + < δ s / ( ) V δ ( ) + < δ s / < δ s / e etão + + < s ou se ( ) Vs ( ). Portto co ( ) e ( ) ertecetes V δ ( ) te-se B ( ) 0 ; etão sedo esses ( ) e ( ) soluções do sste f ( ) 0 s gulddes () sur escreve-se coo segue r esses otos: f [ + θ. ( )] L. ( ) 0 e coo B ( ) f [ + θ.( )] 0 o sste oogéeo recedete os só dte solução ul e ortto ecessrete r ou se ( ) ( ). Não ode etão ver e V δ ( ) dus soluções ( ) e ( ) co o eso e r o sste f ( ) 0 tl coo se reted deostrr. Teore 6 : Suosts verfcds s óteses do teore 5 e fdo qulquer δ < δ etão ϕ ( ) f ( ) verfc desguldde ϕ ( ) ϕ ( ) > 0 r co certo ε < V ε ( ) e F( δ ) { : δ } refere tese do teore 5. δ δ. Not : O vlor δ que este eucdo eco é o que se Deostrção : Fdo δ < δ é fácl ver que F δ ) ϕ ( ) > 0. Co ( efeto se certo F ) ulsse ϕ ( ) ter-se- ( δ 80

288 ) ϕ ( ) f ( 0 f ) f ( ) L f ( ) 0 ( e coo ϕ ( ) f ( ) 0 or ser ( ) solução do sste f ( ) 0 ver cotrrete o estelecdo o teore 5 dus soluções deste sste e V δ ( ) ser ( ) e ( ) est últ té ertecete quel vzç u vez que ( ) ( ) ( 0 ) δ < δ. Te-se ortto r qulquer F δ ) ( () ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) > 0 e veos gor que este certo ε < δ δ tl que De fcto V ε ( ) F δ ) ϕ ( ) ϕ ( ) > 0. ( E rero lugr co ε < δ δ se V ε () e F δ ) etão ( ) V δ ( ) os de < ε e δ result + < ε + δ + δ ou d ( ) ( ) < δ. δ δ δ ( E segudo lugr se r η δ δ + ( 3 ) sere estsse Vη ( ( ) e F δ ) ts que ϕ ( ) ϕ ( ) 0 etão escold u susucessão z este couto é ltdo e fecdo] e fzedo α co lte [ ertecete F δ ) or que w α ter-se- ϕ ( w z ) ϕ ( w ) 0 co l z e l ( w dode devdo à cotudde de ϕ e ( ) e ( ) resultr ϕ ( ) ϕ ( ) 0 8

289 o que cotrdz desguldde () sur. O teore está deostrdo. Teore 7 : Suosts verfcds s óteses do teore 5 o sste de equções f ( ) 0 defe lctete u sste de fuções g ( ) ( ) e cert V ε () e te-se d g ( ) ou se e teros vectors g ( ). E r cd V ε ( ) te-se [ g ( )] V δ ( ) co o δ que se refere tese do teore 5. Deostrção : Co vzç V ε ( ) referd tese do teore 6 cosdere-se u rtculr V ε ( ) e tete-se fução de que se oté fdo quele e ϕ ( ) f ( ). A desguldde do teore 6 ou se ϕ ( ) ϕ ( ) > 0 r V ε ( ) e F( δ ) { : δ } ostr que e fução ϕ ( ) ssue eor vlor do que e qulquer F δ ) ; or ϕ ( ) ( fução de sedo cotíu o couto ltdo fecdo { : δ } te í ío soluto e fce o que fcou dto o resectvo zte te que ser oto teror de { : δ }; etão r esse zte g() te-se : () ϕ f K f + f f + L + f f e que s fuções f e s dervds f / deve ser tods o oto [ g ( )]. É fácl costctr que [ g ( )] V δ ( ) co o δ que se refere tese do teore 5 : V ε () < ε < δ δ (ver eucdo do teore 6) g() INT. { : δ } g ( ) < δ dode se tr + g ( ) [ g ( )] ( ) < δ ou se [ g ( )] ( ) < δ. Ms de [ g ( )] V δ ( ) result D [ g ( )] B [ g ( ) g ( )] 0 (ver deostrção do teore 5) 8

290 cocludo-se etão que o sste oogéeo () sur s cógts f f f cuo deterte é D [ g ( )] 0 só dte solução ul eortto f [ g ( )] 0. Vê-se se dfculdde que r cd V ε () á u só zte soluto de ϕ ( ) e { : < δ } codção que é essecl r evtr qulquer gudde defção d fução g() : de fcto se té ( ) g ( ) fosse zte soluto r os se ter [ g ( )] V δ ( ) [ ( )] V δ ( ) f [ g ( )] f [ ( )] 0 o que ser cotr o estelecdo o teore 5. Fc ss costruíd u fução vectorl de vrável vectorl g() sto é u sste de fuções g ( ) ( ) defd e V ε ( ) e que verfc o sste de equções ( ) 0. E clro que r o ío soluto de f ϕ ( ) f ( ) oté-se r [orque ϕ ( ) 0 ] sto é g ( ) ou d sedo -és coorded de g ( ). O teore está deostrdo. Teore 8 : Suosts verfcds s óteses do teore 5 s fuções g ( ) que se refere o teore 7 são cotíus V ε () e que são defds. Deostrção : Se 0 V ε ( ) e cosdere-se u sucessão V ε ( ) tl que l 0. Veos que sucessão corresodete g ( ) te or lte recsete g ) o que grtrá cotudde de g() e ortto de cd u ( 0 ds fuções g ( ) e 0. Pelo teore 7 [ g ( )] V δ ( ) e ortto g ( ) é u sucessão ltd. Se ão tvesse g ) coo lte etão cert susucessão ter lte * 0. 0 ( 0 α 83

291 Coo se vu deostção do teore 7 α g ( α ) < δ < δ dode s * δ < δ. Or r e 3 te-se f ( α α ) 0 dode result el cotudde ds fuções f f ) 0. ( 0 * Ddo que ( 0 0 ) [ 0 g ( 0 )] V δ ( ) se se rovr que o oto ( 0 * ) té ertece V δ ( ) ode coclur-se que se fosse ossível ser * 0 etão e V δ ( ) o sste f ( ) 0 ter soluções dstts ( 0 0 ) e ( 0 * ) cotrrete o estelecdo o teore 5. E tl será sufcete r rovr estêc do sulte * 0 g ( 0 ) e dr coo cocluíd deostrção do teore 8. Or 0 V ε () e coo * δ result 0 < ε < δ δ (ver eucdo do teore 6) 0 + * ( 0 * ) ( ) < δ ou se ( 0 * ) ( ) < δ o que erte coclur que ( 0 * ) V δ ( ). Teore 9 : Suosts verfcds s óteses do teore 5 o sste de fuções g ( ) que se refere o teore 7 é o úco defdo lctete elo sste de equções f ( ) 0 que verfc s roreddes : ) g ( ) ; ) As fuções g ( ) são cotíus e V ε (). Ou se e teros s gers se u outro sste de fuções ( ) for defdo lctete elo eso sste de equções e V η () e verfcr ) ( ) e ) As fuções ( ) são cotíus e V η () etão os otos cous às dus vzçs te-se g ( ) ( ). Deostrção : Se θ Mí {ε η} e def-se os coutos A 0 { : V θ () ( ) g ( ) } e A { : V θ () ( ) g ( ) } e que ) [ ( ) ( ) ] T ( ) e g ) [ g ( ) g ( ) g ] T ( ) ( L ( L. Te-se A orque co g ( ) ( ). Ddo que A 0 A V θ () é u couto coeo e A 0 A se for A 0 só á dus osslddes : ) Ou e A 0 á u oto de cuulção de A ; ) Ou e A á u oto de cuulção de A 0. 84

292 Veos que eu dests ltertvs ode ocorrer dode se coclurá que A 0 ou se A V θ () o que equvle frr que ( ) g ( ) os otos V θ () que é recsete o que se retede deostrr. A ltertv ) ão ode ocorrer. Pos se certo 0 A 0 udesse ser oto de cuulção de A estr u sucessão A tl que l 0. Ms devdo à cotudde ds fuções () e g () o oto 0 A ( ) g ( ) ( 0 ) g ( 0 ) 0 A ; or ão é ossível que 0 A 0 se té ertecete A orque estes dos coutos são dsutos. A ltertv ) té ão ode ocorrer. Se certo 0 A udesse ser oto de cuulção de A 0 estr u sucessão A 0 tl que l 0. Devdo à cotudde d fução () o oto 0 ser etão l ( ) ( 0 ) g ( 0 ) ; s coo [ 0 ( 0 )] [ 0 g ( 0 )] V δ ( ) (ver teore 7) de l [ ( )] [ 0 g ( 0 )] V δ ( ) resultr que r k sufceteete grde [ k g ( k )] V δ ( ) [ k ( k )] V δ ( ) e ( k ) g ( k ). O sste de equções f ( ) 0 ter etão e V δ ( ) dus soluções dstts [ k g ( k )] e [ k ( k )] cotrrete o estelecdo o teore 5. Teore 0: Suosts verfcds s óteses do teore 5 s fuções g ( ) referds o teore 7 são dferecáves vzç V ε ) ( e que são defds. Deostrção : Cosdere-se u qulquer V ε () e se α sufceteete equeo de odo que + V ε () desde que < α. A cotudde ds fuções g ( ) grte que sedo k g ( + ) g ( ) se verfc 0 0 T [ k k k ] 0 l k l L. 85

293 Ddo que o sste de fuções g ( ) é defdo lctete elo sste de equções ( ) 0 odeos escrever f f [ g ( )] 0 e f [ + g ( + )] f [ + g ( ) + k ] 0 r. Atededo gor à dferecldde ds fuções f ( ) o oto [ g ( )] te-se : () f [ + g( ) + k] f [ g( ) ] L f. + f. k + ε ( k ). ( k ) 0 e que s dervds rcs de f ( ) deve ser tods o oto [ g ( )] e or outro ldo l ε ( k ) 0 0 k 0 devedo d otr-se que coo k g ( + ) g ( ) 0 k 0 e ortto ε ( k ) é e últ álse fução de e l ε ( k ) 0. 0 Co vst fcltr o desevolveto d rguetção vos dr for s coveete às rcels resdus ε. ( k ) e que ε ε ( k ). Notdo que ( k ) + L + + k + L + k + L + + k + L + k coclu-se que este u θ [ 0 ] tl que ( k ) θ. + k ; defdo gor r e ε ε. θ. k k ε. θ. δ (se k 0 ) e (se 0 ) e ε 0 (se k 0 ) δ 0 (se 0 ) te-se 86

294 . ε ( k ). ε θ. + k + k.. ε δ co l l δ ε. As gulddes () sur ode etão escrever-se do segute odo: () k k f f.... ε δ (3) k f f. ) (. ) ( ε δ Pode escoler-se ρ α sufceteete equeo de for que co < ρ se te o deterte 0 ddo que + f ε [ g ( )] V δ ( ) D [ g ( )] [ ] ) ( g f f ε (ver deostrção do teore 7) co os sufceteete equeos. E etão r ε < ρ o sste + + f k f. ) (. ) ( L δ ε que se oté rtr ds gulddes (3) ssdo segudo ero o rero sotóro erte oter (4) k ( ). β e que cd β é u frcção cuo deodor é o deterte 0 e cuo uerdor é deterte que dquele se oté susttudo su colu el colu + f ε [ ] T f f f δ δ δ L. Covrá otr que l β 0 ) ( K λ (fto) sedo que este lte é u frcção cuo deodor é o deterte D [ g ( )] [ ] ) ( g f 0 e cuo uerdor é deterte que dquele se oté susttudo su colu el colu 87

295 [ ] T f f f L. Susttudo (4) o últo sotóro de () e ssdo o segudo ero todos os sotóros eceto o segudo oté-se ( < ρ) f k f ).. (.. L β ε δ Este sste erte oter r < ρ k g ( + ) g ( ).. ) ( µ λ K e que ) ( K λ te o sgfcdo ddo c e µ é u frcção cuo deodor é o deterte D [ g ( )] [ ] ) ( g f 0 e cuo uerdor é deterte que dquele se oté susttudo su colu el colu T... β ε δ β ε δ β ε δ L. Clro que l µ 0 0. Fzedo etão µ β ( 0 ) e ( 0 β 0 ) oté-se flete (5) k g ( + ) g ( ) +.. ) ( β λ K e clro que l β 0 0. Note-se que de (5) s (6) g ) ( ) ( K λ 88

296 que é o resultdo que se oté el técc estudd o oto : coo se vu etão est dervd rcl s do sste f g + K f g + L + f g + L + f g f cu resolução dá r dervd (6) u frcção cuo deodor é o deterte D [ g ( )] f [ g ( ) ] 0 e cuo uerdor é deterte que dquele se oté susttudo su colu el colu [ f f f ] T L.. o que corresode recsete λ K ) [ver c o sgfcdo de λ K ) ]. ( ( Coo ltertv à deostrção terorete resetd o teore de estêc e cotudde de u sste de fuções defdo lctete or u sste de equções ode ser deostrdo or lcção do teore do oto fo. Veos rero dos resultdos ulres. Teore : Sedo ( ) [ ( ) ( )... ( )] T u fução de A R + e R dferecável e cert vzç de ( ) tl que ( ) e cus dervds rcs ( ) ( ) são tods uls e cotíus e ( ) etão este ε > 0 e δ > 0 ts que r cd V ε () equção e ( ) te u e u só solução e V δ ( ) ; e este u couto fecdo cotdo e V δ ( ) o qul ertece tods esss soluções. Deostrção : Se V r ( ) vzç e que s fuções ( ) são dferecáves. Sedo ( ) e ( " ) ertecetes V r ( ) e 0 λ etão o oto 89

297 [ ) ".( + λ ] té ertece ess es vzç. Devdo à dferecldde ds ( ) e V r ( ) s fuções ϕ ( λ ) [ ) ".( + λ ] 0 λ ode dervr-se el regr d fução coost : ϕ ( λ ) [ + ) ".( λ ]. ( ) 0 λ. Alcdo o teore de Lgrge ϕ ( λ ) e [0 ] te-se co 0 θ () [ ] + ) " (. ) " (. ) ( ") ( L θ Coo s dervds rcs ) ( são or ótese uls e cotíus e ( ) result [ ] 0 ) ( ) " (. " + l θ. Fdo c ] 0 [ este etão u V s ) ( co certo s < r tl que ( " ) V s ) ( [ ] ) ".( + θ c /. De () result etão el desguldde odulr d so [ ] ". ) " (. ) ( ") ( + θ e r ( " ) V s ) ( te-se ortto ) ( ") ( ) ( ") ( ) ( ") ( [ ] + ". ) " (. θ [ ] + ". ) " (. θ c ". ) / (. c ". ) / ( { } " " ".. ) / ( Má c K c ". c. ". 90

298 Co δ ρ s / 3 te-se : V ρ ( ) < ρ s / 3 F ( δ ) { : δ } " F ( δ ) { : δ } dode result + + δ s / 3 " δ s / 3 " < s o que ovete lc ( " ) V s ( ). Portto r cd V ρ ( ) e " F ( δ ) te-se ( ") ( ) c. " co c revete fdo o tervlo ] 0 [. Toe-se gor θ ρ sufceteete equeo de for que V θ ( ) ( ) ( ) < ( c)δ o que é ossível os ( ) é dferecável e ortto cotíu e ( ). Pr cd V θ ( ) e " F ( δ ) te-se coo vos or ser θ ρ desguldde ( ") ( ) c. " ; or outro ldo se V θ () e F ( δ ) lcdo desguldde recedete co " e ser ( ) ( ) ( ) ( ) oté-se or ( ) ( ) + ( ) ( ) < < c. + ( c)δ cδ + ( c)δ δ ou se té ( ) F ( δ ). Ac de rovr-se que r cd V θ ( ) fução de ( ) é u cotrcção de F ( δ ) e s róro os verfc coo se vu s segutes codções; ) F ( δ ) ( ) F ( δ ) ; ) " F ( δ ) ( ") ( ) c. " co c ] 0 [. Coo R é u esço coleto e F ( δ ) é u couto fecdo o teore do oto fo erte coclur que r cd V θ ( ) equção e ( ) te u e u só solução e F ( δ ). 9

299 Volteos gor u ouco trás o oeto e que se fou o δ e deos e fução dele o θ. Se e vez de δ e θ se fr u η < δ e s dte u ε < θ e cofordde ode-se coclur co es rguetção que fo usd r δ e θ que r cd V ε ( ) equção e ( ) te u e u só solução e F ( η ) { : η } V δ ( ). Dqu result que r cd V ε ( ) : A referd equção e te u solução e V δ ( ) ; A referd equção e te es u solução e V δ ( ) : se r certo de V ε ( ) tvesse dus soluções e V δ ( ) F ( δ ) { : δ } etão coo V ε ( ) V θ ( ) r certo de V θ ( ) ter dus soluções e F ( δ ) o que vos ser ossível; A solução (úc) d referd equção ertece o couto fecdo F ( η ) cotdo e V δ ( ). O teore está deostrdo. Teore : Sedo [ ] T f ( ) [ f ( ) f ( ) f ( )] T u fução de A R e R P u trz qudrd de orde e B ( ) trz Jco de f ( ) etão trz Jco d fução d ( ) P. f ( ) é trz D( ) I P. B ( ) e que I é trz detdde de orde. Deostrção : Sedo P [ β ] te-se r -és coorded de d ( ) : Portto d ( ) β β. f β ( ). d ( ) () δ β. f β co δ. β 0 Or trz D( ) trz Jco de d ( ) é trz ds dervds rcs () e coclu-se de edto que D( ) I P. B ( ) coo se quer rovr. A rtr dos resultdos ulres dos teores e ode deostrr-se teores corresodetes os teores 7 8 e 9 sore estêc cotudde e ucdde do sste de fuções defdo lctete or u sste de equções verfcr s óteses do teore 5. Ass e corresodêc co o teore 7 te-se o segute: 9

300 Teore 3 : Suosts verfcds s óteses do teore 5 o sste de equções f ( ) 0 defe lctete u sste de fuções g ( ) ( ) e cert V ε ( ) e te-se d g ( ) ou se e teros vectors g ( ). E r cd V ε () te-se g ( ) V δ ( ) co o δ deterdo coo o teore ; e este u couto fecdo cotdo e V δ ( ) o qul ertece todos g ( ) corresodetes os V ε (). Deostrção : Se V r ( ) vzç ode s fuções ( ) são dferecáves. Cosdere-se trz P ( ) [ f ( ) ] trz Jco o oto ( ) ds fuções f ( ) cosderds es coo fuções de. Def-se fução ( ) P ( ). f ( ) e que f ( ) [ f ( ) f ( )... f ( )] T e P ( ) é trz vers de P ( ) [ vers este os or ótese do teore o deterte de P ( ) ou se D ( ) f ( ) é ão ulo ]. Veos e segud que ( ) verfc s óteses do teore : É fução dferecável e V r ( ) ; Te-se ( ) P ( ). f ( ) [ ] T os or ótese do teore f ( ) 0 [ ] T ; De cordo co o teore 8 s dervds rcs ( ) são os eleetos d trz H ( ) I P ( ). P ( ) co P ( ) [ f ( )]. Te-se etão que ts dervds são cotíus e ( ) e vê-se que esse oto são tods uls : H ( ) I P ( ). P ( ) I I O e que O é trz ul de orde. Etão elo teore este res ε > 0 e δ > 0 ts que r cd V ε () equção e ( ) te u e u só solução g ( ) V δ ( ) ; e este d u couto fecdo cotdo e V δ ( ) o qul ertece tods esss soluções corresodetes os V ε (). Or sedo 0 [ ] T te-se f 93

301 [ g( ) ] g( ) g( ) P ( ). f [ g( ) ] g( ) P ( ). f [ g( ) ] 0 [ ] T P ( ). P ( ). f [ g( ) ] [ ] T f [ g( ) ] [ ] T 0 sto é g ( ) é defd lctete el equção vectorl f ( ) 0 e V ε () ; dto de outro odo o sste de fuções g ( ) ( ) é defdo lctete elo sste de equções ( ) 0 ( ) referd V ε (). Já se vu terorete que g ( ) V δ ( ) e que este u couto fecdo cotdo e V δ ( ) o qul ertece tods esss soluções corresodetes os V ε (). Flt ortto es r coletr deostrção rovr que g ( ). Por ser coo se vu ( ) qudo se solução (úc) e V δ ( ) d equção ( ) é recsete g ( ). O teore está coletete deostrdo. Veos e segud o teore corresodete o teore 4. Teore 4 : Suosts verfcds s óteses do teore 5 s fuções g ( ) que se refere o teore 3 são cotíus V ε () e que são defds. Deostrção : A deostrção segue v seelte à do teore 8 es co lgus ustetos. Se 0 V ε ( ) e cosdere-se u sucessão V ε ( ) tl que l 0. Veos que sucessão corresodete g ( ) te or lte recsete g ) o que grtrá cotudde de g() e ortto de cd u ( 0 ds fuções g ( ) e 0. Pelo teore 3 g ( ) V δ ( ) e ortto g ) é u sucessão ltd. Se ão tvesse g ) coo lte etão cert susucessão * 0. 0 ( 0 f ( α ter lte Ad elo teore 3 este u couto fecdo F V δ ( ) o qul ertece todos os g () corresodetes os V ε (). Te-se etão or ser g ) F e F fecdo l α * F V δ ( ). Ms el cotudde de f ( ) result ( 94

302 f ( α α ) f [ g ( ) α ] 0 l f ( α α α ) f ( 0 ) 0. Retodo fução ( ) P ( ). f ( ) utlzd deostrção do teore 3 ser etão ) P ( ). f ( 0 ) ( 0 0 ) 0 P ( ). f ( 0 0 ) 0 ( 0 e ss equção vectorl e ( 0 ) ter e V δ ( ) dus soluções dstts g ) e o que ser cotr o estelecdo deostrção do teore 9. 0 ( 0 Portto este o sulte coo se reted rovr. 0 logo g ( ) te or lte 0 g ( 0 ) Flete e corresodêc co o teore 9 te-se: Teore 5 : Suosts verfcds s óteses do teore 5 o sste de fuções g ( ) que se refere o teore 3 é o úco defdo lctete elo sste de equções f ( ) 0 que verfc s roreddes: ) g ( ) ; ) As fuções g ( ) são cotíus e V ε (). Ou se e teros s gers se u outro sste de fuções ( ) for defdo lctete elo eso sste de equções e V η () e verfcr ) ( ) e ) As fuções ( ) são cotíus e V η () etão os otos cous às dus vzçs te-se g ( ) ( ). Deostrção : A deostrção segue v seelte à do teore 9 es co lgeros ustetos. Sedo θ Mí {ε η} cosdere-se tl coo deostrção do teore 9 os coutos A 0 { : V θ () ( ) g ( ) } e A { : V θ () ( ) g ( ) } Tl coo etão coclu-se que se A 0 ds dus u: ) Ou e A 0 á u oto de cuulção de A ótese que logo se descrt usdo o eso rgueto que deostrção do teore 9 ; ) Ou e A á u oto de cuulção de A 0 ótese que vereos de segud té ser ossível. Coclu-se etão que A 0 ou se A V θ () o que equvle frr que ( ) g ( ) os otos V θ (). Flt ss rovr que e A ão ode ver otos de cuulção de A 0. Se certo 0 A udesse ser oto de cuulção de A 0 estr u sucessão A 0 tl que 95

303 l 0. Pel cotudde d fução () o oto 0 ser etão l ( ) ) g ( ) V δ ( ). Portto co k sufceteete grde teros ( 0 0 Ms coo () e g () ( k ) V δ ( ) g ( k ) V δ ( ) e ( k ) g ( k ). são s defds lctete elo sste de equções f ( ) 0 ( ) sto é el equção vectorl f ( ) 0 ser f [ ( ) ] f [ g ( ) ] 0; k k k k co fução ulr do teore 3 ( ) P ( ). f ( ) ter-se- etão [ k ( k ) ] ( k ) P ( ). 0 ( k ) [ k g ( k ) ] g ( k ) P ( ). 0 g ( k ) ou se equção vectorl e ( k ) ter e V δ ( ) dus soluções dstts ( k ) e g ( k ) o que ser cotr o estelecdo deostrção do teore 3. U oservção fl. Se se reteder e teros álogos o teore 0 rovr dferecldde do sste de fuções g() [ g( ) g ( ) K g ( ) ] T cu estêc cotudde e ucdde for deostrds os teores 3 4 e 5 verá que ter o cuddo logo o teore 3 e ssegurr que r todos os V ε () ve ão ulo o deterte D [ g () ] f [ g ( ) desee u el essecl deostrção do teore 0. ] os tl codção Cosegue-se tl desderto cosderdo logo o íco d deostrção do teore 3 que vzç V r ( ) é sufceteete estret r grtr que D ( ) f ( ) 0 r todo o ( ) V r ( ) sedo tl ossível orque s óteses do teore 3 (que são s do teore 5) ssegur cotudde e ão uleto do deterte D ( ) oto ( ). Se ss for recorddo coo se f os vlores δ e ε de cordo co teore te-se δ s / 3 < r / 3 e ε < θ ρ s / 3 < r / 3 ; e ddo que V ε () < ε < r /3 g() V δ ( ) g( ) < δ < r /3 ou d [ g () ] ( ) < r /3 < r dode se tr [ g () ] V r ( ) o que or su vez lc D [ g () ] 0. 96

304 Ter-se o resete oto co resetção de u eelo. Cosdere-se o sste de equções e o oto de coordeds 3. Ddo que este oto é u solução do sste e que s fuções dos reros eros : - São cotíus e dferecáves e cert vzç desse oto; - Tê dervds f ( ) cotíus e cert vzç desse oto ; - O deterte fucol ou Jcoo 3 D ( ) é ão ulo esse oto D ( ) / / / / / 0. Etão o sste ddo defe lctete e cert V ε () u sste de fuções dferecáves g ( ) g ( ) e 3 g 3 ( ). Pr deterr s dervds rcs ds fuções g ( ) ode usr-se técc descrt o oto. Ass or eelo r cr s dervds us-se o sste 3 ( ) + ( ) + ( 3 ) ( ) + + ( ; 97

305 que erte oter s dervds retedds ; e rtculr o oto de coordeds te-se / / / / / / / / 7/4 e logete r e 3. Ddo que s fuções do rero ero do sste são de clsse C té s fuções g ( ) são de clsse C V ε () ode são defds e s resectvs dervds rcs de orde sueror ode clculr-se or dervção sucessv rtr ds eressões que dão s rers dervds (lcdo qudo se ecessáro regr de dervção de u fução coost). 4. Ivertldde locl Cosdere-se o sste de fuções f( L ) f ( L ) () L f ( L ) ou se fução f ( ) de A R e R e dt-se que s fuções f ( ) são cotíus e tê dervds rcs cotíus o couto A suosto erto. No que se segue reresetreos or D ( ) o segute deterte fucol ou Jcoo que or ótese será ão ulo r qulquer vector A e que deseerá u el fudetl o estudo que vos efectur: 98

306 f f L f D ( ) f f L f. L f f L f Reresetdo or B o trsfordo do erto A ddo or f ( ) ou se B { : A tl que f ( )} vos rovr que verfcds s óteses sur o couto B té é erto. Pr tl cosdere-se u oto e se A tl que f ( ). O oto de coordeds é solução do segute sste de equções s cógts : f( L ) 0 f ( L ) 0 (). L f ( L ) 0 Vou qu Coo A e A é erto este u V ε ( ) A qul s fuções f ( ) do sste () são cotíus e tê dervds cotíus. Cosequeteete s fuções dos reros eros do sste () são cotíus e tê dervds rcs cotíus s vráves e qulquer ( ) tl que R e V ε ( ) ; ortto s fuções dos reros eros do sste () são cotíus e tê dervds rcs cotíus e V ε ( ) os ( ) V ε ( ) ( ) + ( V ε ( ). ) < ε Por outro ldo o Jcoo D ( ) ão se ul o oto de coordeds. Etão de cordo co o teore 9 o sste () defe lctete e cert V η ( ) u fução ψ ( ) ou se u sste de fuções ψ ( ) verfcr s roreddes d tese do ecodo teore. Coo ψ ( ) e ψ ( ) é cotíu este u V δ ( ) V η ( ) tl que V δ ( ) ψ ( ) V ε ( ) e ode ver-se fclete que V δ ( ) B o que devdo à rtrredde do B cosderdo ssegur que B é u couto 99

307 erto ; co efeto r qulquer V δ ( ) o oto [ ψ ( )] é solução do sste () ou se f [ ψ ( )] co ψ ( ) V ε ( ) A o que rov ser B ( ver defção do couto B ). Posto sto vos deostrr o segute teore fudetl: Teore 6 : Se s fuções f ( ) do sste () são cotíus e tê dervds cotíus o erto A e lé dsso D( ) 0 e A etão fução f ( ) de A R e R é loclete vertível sto é r cd A este u V ε ( ) ode f ( ) é ectv. Alé dsso o trsfordo de V ε ( ) ddo or f ( ) é u couto erto Deostrção : Pr cd A teos que rovr que este u V ε ( ) tl que Pr tl c d V ε ( ) c d f ( c ) f ( d ). A) Cosdere-se e rero lugr o deterte f L f ϕ ( L ) f L f L e ote-se que fução ϕ ( L ) é defd o couto A A A R R R e to vlores e R : trt-se de u fução rel s vráves res co ( L ) e. Qudo se L A te-se ϕ ( L ) D( ) 0 (or ótese) ; or sedo cotíus s dervds rcs ds fuções f ( ) té ϕ ( L ) será cotíu e A A A e etão desguldde ϕ ( L ) 0 verfcr-se-á r V ε ( ) V ε ( ) V ε ( ) co ε > 0 sufceteete equeo. 300

308 B) N vzç V ε ( ) deterd líe A) toe-se rtrrete c (c c c ) e d (d d d ). Coo V ε ( ) é u couto coveo te-se 0 λ c + λ. ( d - c) V ε ( ). Pr cd te- -se etão regulr o tervlo [ 0 ] e coo ϕ (λ) f [ c + λ. ( d - c )] 0 λ ϕ (λ) [ λ ] f c +.( d c).( d c ) o teore de Lgrge (r fuções res de vrável rel) erte escrever : ou d ϕ () - ϕ (0) [ λ ] f c + *. ( d c). ( d c ) f ( d ) - f ( c ) f ( c* ). ( d c ) co c * c + λ *.( d c) V ε ( ). Etão f( d ) f( c) L f ( d ) f ( c) f ( c* ) L f ( c* ) L f ( c* ) L f ( c* ) d c. L. d c C) Coo trz ds dervds f ( c* ) te deterte gul ϕ ( c* c* L c* ) co c * V ε ( ) deterte que coo vos e A) é ão ulo quel trz é regulr ; etão se for c d lgu ds dfereçs d - c 0 e ão ode ser ortto f ( d ) - f ( c ) f ( d ) - f ( c ) f ( d ) - f ( c ) 0 ou se f ( d ) f ( c ) cso cotráro teríos u sste oogéeo s dfereçs d - c co u solução ão ul o que coo seos ão é ossível qudo trz do sste se regulr. Fc ss rovdo que fução f ( ) é ectv logo vertível e V ε ( ). D) A últ rte do teore result edtete ds cosderções que recede o eucdo. A vzç (esfer ert) V ε ( ) é u couto erto e o seu trsfordo ddo or f ( ) será ortto té erto. 30

309 Ates de ssros o estudo ds roreddes d fução vers oteos que r ou se o cso de u fução rel de vrável rel f() cotudde e o ão uleto de D () f () u tervlo são s do que sufcetes r grtr vertldde d fução o tervlo (vertldde glol e ão es locl). Co efeto do ão uleto e cotudde d dervd o tervlo decorre ooto estrct d fução o tervlo qul é ortto vertível o tervlo. Poré o cso > vle es o teore 6 tl coo fo eucdo ão fcdo de odo lgu ssegurd estêc de vers glol e A eso o cso s sles e que A se u tervlo de R coo ostr o eelo segute : r fução f ( ) de R e R defd or. se. cos s óteses do teore são verfcds o erto A {( ) : > 0} R os se. cos cos. se - 0 r ( ) A ; o etto fução ão é glolete vertível o tervlo A ddo ão ser ectv este tervlo os or eelo f ( π ) f ( 3π ) (0 -). Cotudo suor verfcds s óteses do teore 6 vos gor estudr s roreddes d vers locl cu estêc fc ssegurd elo referdo teore. Ns codções do teore 6 fução f ( ) de A R e R é r cd oto ertecete o erto A vertível e cert vzç V ε ( ) A e o trsfordo B ε ( ) f [V ε ( )] é té u couto erto. A fução vers de f ( ) e V ε ( ) será os fução f ( ) que cd B ε ( ) ssoc o V ε ( ) (úco ) que fz f ( ). Vos etão estudr lgus roreddes dest fução suodo sere que são verfcds s óteses do teore 6. Cosdere-se u rtculr 0 B ε ( ) se 0 f ( 0 ) V ε ( ) e fe-se u V η ( 0 ) V ε ( ) sedo que est clusão é ssegurd co η > 0 30

310 sufceteete equeo elo fcto de V ε ( ) ser u couto erto. Clro que 0 f ( 0 ) elo que o oto ( 0 0 ) é u solução rtculr de - f ( ) 0 ou se do sste de equções f( L ) 0 f ( L ) 0 L f ( L ) 0 e coclu-se co fcldde que este sste verfc e relção àquele oto s óteses do teore 5 elo que tl sste de equções defe lctete e cert V θ ( 0 ) u sste de fuções ψ ( ) ou se u fução ψ ( ) verfcr s roreddes d tese dos teores 7 0. Coo ψ ( ) é cotíu este u V θ* ( 0 ) V θ ( 0 ) tl que e vos ver que: V θ* ( 0 ) ψ ( ) V η ( 0 ) V ε ( ) ) V θ* ( 0 ) B ε ( ). Co efeto V θ* ( 0 ) ψ ( ) V η ( 0 ) V ε ( ) f [ψ ( )] co ψ ( ) V ε ( ) B ε ( ) ; ) E V θ* ( 0 ) te-se ψ ( ) f ( ). Co efeto se r certo vector V θ* ( 0 ) fosse ψ ( ) V ε ( ) f ( ) V ε ( ) e ser f ( ) f ( ) co os ertecetes V ε ( ) o que é ossível or ser f( ) ectv est vzç de. Segudo os teores 7 0 fução ψ ( ) é cotíu e dferecável e V θ* ( 0 ) logo o eso cotece co f rtculr f ( ) ψ ( ) ou se e ( ) é cotíu e dferecável e 0 B ε ( ). E coo o 0 que fo cosderdo ode ser u qulquer odeos coclur que f dferecável e B ε ( ). ( ) é cotíu e 303

311 As dervds rcs ds fuções [ f ] ( ( ) que defe fução vers f ) ode oter-se u u el técc estudd o oto. os tl sste de fuções dferecáves e B ε ( ) é defdo lctete este erto elo sste - f ( ) 0 e r cd B ε ( ) s óteses do teore 6 ceg e sor r grtr os ressuostos e que se se lcção de tl técc : e rtculr ão se ul o Jcoo ds dervds f / tods o oto f ( ). A oservção ds eressões que se ceg r s dervds rcs ds fuções [ f ] ( ) erte d coclur que coo s dervds rcs ds f ( ) são or óteses cotíus e A o eso se ss co quels o erto B ε ( ) e que são defds ; s gerlete se s fuções f ( ) fore de clsse C r o erto A o eso se ss co s [ f ] erto B ε ( ) e que são defds. ( ) o É o etto ossível clculr e loco (de u vez só) s dervds rcs ds f ( ) clculdo trclete Jco de f ( ) fuções [ ] coo segudete se dc: ) A fução coost f o f é fução que cd B ε ( ) ssoc o vector w f [ f ( )] B ε ( ) ou se trt-se d fução defd or w w L w que te coo trz Jco trz detdde. ) Por outro ldo r cd B ε ( ) trz Jco de f o ode oterse coo vos s cosderções susequetes o teore 3 do Cítulo VI fzedo o roduto trcl f L L L L L L [ ] ( ) ( ) f e que or cooddde de otção se fez 304

312 e vez de f e e vez de [ ] f. c) Por defção de trz vers result etão de ) e ) ( ) L L L [ ] f L L L ( ) e etre os detertes Jcoos te-se relção: ( ) L L L [ ] f L L L ( ) gulddes que geerlz o cso > regr de dervção de u fução vers estudd r o cso ds fuções res de vrável rel. E sítese odeos etão eucr : Teore 7 : Verfcds s óteses do teore 6 etão r cd A este u V ε ( ) A ode f ( ) é vertível e resectv vers locl f ( )defd o erto B ε ( ) f [V ε ( )] verfc s segutes roreddes: ) É cotíu e dferecável e B ε ( ) ; ) Te dervds rcs cotíus e B ε ( ) té à es orde que f ( ) e A ; c) Pr cd B ε ( ) trz Jco de f ( ) é vers d trz Jco de f ( ) tod o oto f ( ) O teore recedete erece s segutes oservções : 305

313 ) Verfcds s óteses do teore 6 se f ( ) for glolete vertível o erto A é óvo que s dverss verss locs cu estêc é ssegurd elo teore 6 r cd A cocde tods os ertos B ε ( ) ode são defds co vers glol. Sedo ss são utotcete válds r vers glol s roreddes eucds o teore 7 ; ) Se s óteses do teore 6 fore es verfcds vzç de u ddo oto A fução f ( ) é loclete vertível e cert V ε ( ) verfcdo resectv vers locl s roreddes do eucdo do teore

314 5. Eercícos 5. - Verfque que fução + é defd lctete el equção o tervlo [ 0 + [. Mostre que es equção defe té o eso tervlo fução Mostre que o sste de fuções + u z - u é defdo lctete elo sste de equções. z u se + se z. se. cos u o couto A { ( u) : u 0 } Adt que equção + z + z - e z - c 0 defe lctete vrável z coo fução dferecável de e ou se z g( ) e cert V ε (0 e). Detere costte c sedo que g(0 e) e clcule s dervds rcs de g( ) o oto de coordeds 0 e Ddo o sste de equções se g ( ) g ( ) u sste de dus fuções dferecáves defdo lctete or quele sste de equções e certo erto A R. ) Escrev os sstes de equções que deve ser verfcdos els dervds rcs / e / ; ) Mostre que r / (o que equvle ser - /) os dos sstes d líe teror erte clculr s dervds rcs / e detere s resectvs eressões ; c) Clcule s eressões ds seguds dervds rcs ds fuções g ( ) e g ( ) u oto geérco ( ) A co - / Cosdere o sste de equções. z se + se z se 307

315 e o oto de coordeds z 0. ) Mostre que o sste ddo defe lctete e cert V ε () u úco sste de fuções cotíus g() z () ts que g() e () 0 ; ) Mostre que s fuções g() e () d líe teror dte dervds de tods s ordes e clcule g () e () Mostre que equção defe lctete e cert V ε () u úc fução cotíu g() cuo gráfco ss elo oto ( ) e clcule g () e g () Verfque que o sste v u 0 log ( u v) 0 defe lctete u e v coo fuções de e e que ts fuções são de clsse C e cert V ε ( 0 ). Clcule os vlores de u e v qudo e 0. Clcule d v / o oto de coordeds Se g() u fução defd lctete el equção e certo erto A R + e dt que este ft dervd g () e A. ) Escrev u equção ser verfcd or d / d g () r qulquer A ; ) Deduz rtr d equção d líe teror u eressão r d / d dcdo s codções r s qus é váld eressão otd Cosdere o segute sste de equções e o oto de coordeds 3. ) Mostre que o sste ddo defe lctete e cert V ε ( ) u úco sste de fuções cotíus g ( ) 3 308

316 ts que g ( ) g ( ) g 3 ( ) ; ) Mostre que ts fuções são dferecáves e clcule / o oto de coordeds Cosdere fução de R e R defd elo sste u v 3 ) Verfque que se trt de u fução ectv e R e detere resectv vers ; ) Mostre que o etto o Jcoo se ul os otos (0 ) qulquer que se R ; c) A fução vers oderá ser dferecável os otos de coordeds u 0 v k co k R Cosdere fução de R e R defd elo sste u v ) Detere o Jcoo e ostre que se ul orge; ) A fução dd será vertível e cert vzç d orge? Justfque Cosdere fução de R - { (0 0 )} e R defd elo sste u v + +. ) Mostre que se trt de u fução ectv o seu doío e detere resectv vers ; ) Detere trclete s dervds rcs de rer orde d fução vers o oto de coordeds u v rtr d trz Jco d fução dd. 309

317 5.3 - Cosdere fução de D {(ρ α ) : ρ > 0 0 α < π } R e R defd elo sste ρ. cosα ρ. se α ) Mostre que se trt de u fução ectv e D e detere resectv vers glol ; ) Clcule o deterte Jcoo d fução dd e rtr dele detere o d fução vers Se g() u fução de clsse C e R e tl que g () 0 qulquer que se R. Cosdere e segud fução de R e R defd elo sste z g( ) + g( ) w g( ) g( ). ) Mostre que fução de R e R dd é glolete vertível e detere resectv vers; ) Clcule s dervds rcs / z e / w. RESPOSTAS : c 4 z z e 4 e e ) + e + ; ) ; c) 0.( ).( + ) ( ) 3. 30

318 5.5 - ) g () cos cos () g () - / 7 g () 76 / u v v ( 0). d ( ) d d d + 3 ( ) + r > 0 e ) 7/ ) 3 v u ; c) Não ode. Se o fosse o roduto d resectv trz Jco el trz Jco d fução dd ser trz detdde; s etão trz Jco d fução dd ter vers e o resectvo deterte ão oder ser ulo ) ; ) Não orque ão é ectv e eu vzç d orge ) u u u + v + v v ; ) u 0 v 0. ; v / ; u / ; ) ρ + α rc se + cos + [ 0 π [ ; ) Deterte Jcoo d fução ρ Deterte Jcoo d fução vers ρ +. 3

319 ) g z w g z w + ; ) z g g z w ( ) ( ) ; w g g z w ( ) ( ). 3

320 CAPÍTULO X EXTREMANTES CONDICIONADOS EM R. Itrodução Se f( ) u fução co doío e certo erto A R e todo vlores e R e cosdere-se o role d deterção dos etretes reltvos d restrção dess fução o couto B A e que B é u couto defdo or < equções g( L ) g ( L ) L g( L ) tedo s fuções g ( ) doío e certo erto A 0 R. Fzedo ( ) te-se B { : A 0 g ( ) 0 ( ) } A 0 e clro que r o role resetdo ter setdo deverá ser B A e or or de rzão A A 0. Pr elor esclreceto do que está e cus este cítulo cosdere--se fução f ( ) + cuo doío é o couto A {( ) : + < }. Usdo u técc estudd e cítulo teror seos á deterr os etretes reltvos de f( ) cosderdo fução defd e todo o seu doío sto é se outr restrção quto os vlores ssur els vráves e que ão se decorrete de dever ter-se ( ) A. Cosdere-se oré que se retede deterr os etretes reltvos d fução dd s cosderdo que o doío d fução se restrge o couto B A e que B é o couto dos otos ( ) que verfc equção - 0 ; sto é trt-se de deterr os etretes reltvos d fução suodo que ( ) e vez de vrr lvreete o doío d fução te su vrção restrgd os otos desse doío que verfc equção - 0 (fldo-se etão de 33

321 etretes reltvos codcodos or - 0 ). A fgur segute ode se rereset os coutos A e B é elucdtv: B {( ) : } A Qudo se retede deterr os etretes reltvos de f() so codção está e cus deterção dos etetes d referd fução suodo que o seu doío se restrge os otos do rco de ráol cotdo e A. Voltdo o cso gerl vos estudr questão d deterção dos etretes reltvos d restrção de f( ) o couto B A dtdo coo óteses fudets que serão ssuds e tudo o que se segue se ecessdde de eção elíct: ) A fução f( ) dte o erto A A 0 dervds rcs cotíus elo eos de rer e segud ordes ; ) As fuções g ( ) ( ) dte o erto A A 0 dervds rcs cotíus elo eos de rer e segud ordes.. Prer codção ecessár de etrete Adt-se que o oto ( ) é u etrete reltvo d restrção de f ( ) o couto B A e r ssetr des vos dtr que se trt de u zte ( rguetção dt-se co fcldde o cso do zte). Etão or defção ) Esse oto ertece o couto B A ; e ) Este u ε > 0 tl que Cosdere-se gor trz V ε ( ) B A f ( ) f ( ). 34

322 f f L f g g g L M L g g L g co s dervds evolvds tods o oto ( ). Vos rovr que trz M te s sus + ls lerete deedetes r o que strá rovr que são ulos todos os eores de orde +. Coo + qulquer eor de orde + d trz M se oté surdo est trz - - colus. Cosdere-se se erd de geerldde o eor f f L f + g g L g L g g L g + + e rere-se que se este deterte ão for ulo etão o sste f ( L ) f ( L ) u 0 () g ( L ) 0 L de + equções s + cógts + + u defe lctete u sste de fuções cotíus ( + L u) ( + L u) L + + ( + L u) e cert vzç do oto ( + 0 ) ; e etão todo u oto ( + s) co s egtvo e sufceteete róo de 0 de tl er que esse oto erteç o doío ds fuções e fzedo ( + s) + é evdete que o oto ( + + s) é solução do sste () ; e tededo d que s fuções são cotíus o oto ( + 0 ) é ossível escoler s 0 sufceteete róo de zero e egtvo de for que o oto ( + + ) erteç V ε ( ) e clro que 35

323 f ( L + + L ) f ( L ) s0 g ( L + + L ) 0 L 0 dode or ser s 0 < 0 f ( + + ) < f ( ) e ortto ( ) ão ode ser zte reltvo d restrção d fução f ( ) o couto B A. Etão r que o oto ( ) se zte deverá ser ulo o eor ; r os outros eores de orde + d trz M u rcocío seelte erte coclur que eles tê gulete de ser ulos. A rguetção recedete eor desevolvd r o cso de u zte dt-se co fcldde o cso de zte utlzdo e vez de u s 0 egtvo sufceteete róo de zero u s 0 ostvo té sufceteete róo de zero. Fc ss rovdo que se o oto ( ) for etrete reltvo d restrção d fução f ( ) o couto B A etão trz M te os sus ls lerete deedetes ou se este ultlcdores costtes λ 0 λ λ ão todos ulos ts que λ 0. f ( ) + λ. g ( ) L 0. Por outro ldo coo o etrete ( ) ertece o couto B defdo els equções g ( ) 0 te-se que g ( ) 0 r. E coo os reros eros ds equções do sste λ 0. f ( ) + λ. g ( ) 0 L g ( ) 0 L F são s dervds rcs e d cd fução Lgrge Fλ F ( ; λ 0 λ λ ) λ 0. f ( ) + λ. g ( ) te-se: 36

324 Teore : Sedo ( ) u etrete reltvo d restrção d fução f ( ) o couto B A e que B é o couto defdo els equções g ( ) 0 etão o sste F ( ; λ 0 λ L λ ) 0 L Fλ ( ; λ λ λ ) 0 L 0 L de + equções s ++ cógts λ 0 λ λ cuos F reros eros são s dervds ( ) e ( ) d fução Lgrge te coo solução (λ0 λ λ ) co os λ 0 ão todos ulos O teore recedete erte rátc deterr os ossíves etretes rtr do sste Fλ F λ f g 0. ( ) + λ. ( ) 0 L F g ( ) λ 0 L ; se este sste ão tver soluções ou e tods s ossíves soluções for λ 0 λ λ 0 etão restrção de f ( ) o couto B A ão dte etretes reltvos ; cso est soluções que te lgu λ 0 os corresodetes otos ( ) são ossíves etretes e desg-se or otos de estcordde. Veos lgus eelos de lcção do teore. ) Deterr os otos de estcordde de f ( ) + 3 so codção + ou se os otos de estcordde d restrção de f ( ) o couto {( ) : + }. A rtr d fução Lgrge oté-se o sste F ( ; λ 0 λ ) λ 0. ( + 3 ) + λ. ( + - ) F λ 0 + 3λ 0 + λ + λ F 3λ 0 + λ 0 Fλ + 0 cu resolução se reset segudete : 0 37

325 ( + 3) λ + ( + ) λ ( 3λ 0 + λ ) ( + 3) λ 0 + ( + ) λ 0 0 λ 3λ 0 ; + 0 coo o cso 0 tercer equção fc u guldde ossível odeos rossegur cosderdo es o cso λ - 3 λ 0 ( + 3) λ 0 + ( + )( 3λ 0) 0 ( 3) λ 0 0 λ 3λ 0 λ 3λ λ 0 0 3/ λ 3λ 0 ; + 0 or o cso λ 0 0 segud equção dá té λ 0 e ortto soos levdos soluções do to ( 0 0 ) que or ão resetre elo eos u dos λ 0 ão corresode otos de estcordde ( ) ; rest ortto o cso 3/ que deter co tercer equção -/3 vlores que cougdos co u 0 rtráro dão solução ( λ 0-3 λ 0 3/ - /3). λ 0 Este ortto es u oto de estcordde co coordeds 3/ -/3. ) Deterr os otos de estcordde de f ( ) so codção 3. ss se otedo 0. Te-se F( ; λ 0 λ ) λ 0. ( ) + λ. (. ) 3 4λ 0 + λ 0 λ 0 + λ 3 λ 3 0 4λ 0 + λ 0 0 λ 0 + ( 3 ) λ 0 ( + )( ) 0 4λ 0 + λ 0 λ 0 + ( 3 ) λ 0 ; 0 38

326 cosderdo serdete cd u ds ltertvs otds rtr d tercer equção teos: ) Se 0 rer equção reduz-se 4 λ 0 0 e segud λ 0 ; ortto se for 0 só é ossível ser λ 0 λ 0 dode result que co 0 o oto ( 0 ) ão é oto de estcordde ; se for 0 qusquer λ 0 e λ são ossíves e ortto o sste dte solução (λ 0 λ 0 0) co os λ ão todos ulos ss se cocludo que (0 0) é oto de estcordde. ) Se - s dus rers equções do sste reduze-se 0 4 λ λ 0 e λ λ 0 ; 0 resolvedo o sste fordo or ests dus equções coclu-se que co 0 só é ossível ser λ 0 λ 0 elo que (- ) co 0 ão é oto de estcordde ; co - 0 oté-se o oto de estcordde á ecotrdo e ). c) Flete se - s u coclusão seelte à d líe ) otedo-se de ovo o oto de estcordde á ecotrdo e ). 3. Potos de estcordde sgulres e ão sgulres Os otos de estcordde ode clssfcr-se e sgulres e ão sgulres sedo est dstção ortte coo dte se verá. Coo se dsse ( ) é oto de estcordde se e só se este λ 0 λ λ ão todos ulos ts que (λ 0 λ λ ) é u solução do sste do teore ou se do sste F λ f g 0. ( ) + λ. ( ) 0 L F g ( ) λ 0 L. Vê-se se dfculdde que cd oto de estcordde corresode fts soluções desse sste co lgu λ 0. De fcto se o oto ( ) é oto de estcordde etão o sste oogéeo F ( ; λ f g 0 λ L λ ) λ 0. ( ) + λ. ( ) 0 () L 39

327 de equções s + cógts λ 0 λ λ dte elo eos u solução ão ul e ortto dte u fdde. Ass sedo oto de estcordde este fts soluções (λ 0 λ λ ) co certo λ 0 r o sste do eucdo do teore. Or u oto de estcordde ( ) dz-se ão sgulr se e só se tods s soluções ão uls do sste oogéeo () são ts que λ 0 0 ; dzse sgulr se este soluções ão uls do to (0 λ λ ) r esse eso sste oogéeo. A sgulrdde de u oto de estcordde ( ) ode relcor-se co crcterístc d trz G g ( ) g ( ) L g ( ) g ( ) g ( ) L g ( ) L g ( ) g ( ) L g ( ). Co efeto qulquer solução ão ul d for (0 λ λ ) r o sste oogéeo () corresode solução ão ul (λ λ ) r o sste té oogéeo () F ( ; 0 λ ). g ( ) L λ λ 0 L e versete ; e coo o sste () dte soluções ão uls se e só se su trz (que é trsost d trz G ) tver crcterístc feror odeos frr que o oto de estcordde ( ) é sgulr se e só se trz G tver crcterístc feror ; e evdeteete será ão sgulr se e só se trz G tver crcterístc gul. Veos lgus eelos: ) O oto de estcordde do eelo ) do oto. é ão sgulr. Co efeto coo etão se vu os vlores dos ultlcdores corresodetes o oto de estcordde ecotrdo são λ -3λ 0 co λ 0 rtráro ; or r se ter u dos λ dferete de zero te de ser ecessrete λ 0 0. A es coclusão se tr cosderdo trz G que o cso resete é G [/3 3/ ] e te crcterístc gul ( ). ) O oto de estcordde do eelo ) do oto. é sgulr. Co efeto coo etão se vu os vlores dos ultlcdores corresodetes o oto de estco- 30

328 rdde ecotrdo são λ 0 e λ os rtráros ss se cocludo que o sste do teore dte soluções do to (0 λ 0 0) co λ 0. A es coclusão se tr cosderdo trz G que o cso resete é G [0 0 ] e te crcterístc gul 0 ( ). Reltvete os otos de estcordde ão sgulres é ossível reforulr codção ecessár do teore. Vos efectvete ver que r u oto de estcordde ( ) ão sgulr é ossível ecotrr u e u só solução do to ( λ λ ) r o sste oogéeo () : rtr de u qulquer solução ão ul (λ 0 λ λ ) desse sste oogéeo oté-se ddo que λ 0 0 (/λ 0 ). (λ 0 λ λ ) ( λ /λ 0 λ /λ 0 ) que é d u solução ão ul desse eso sste ; or outro ldo se tl sste oogéeo dtsse dus soluções dstts ( λ λ ) e ( ξ ξ ) co lgu ξ λ dtr té solução ão ul (0 λ - ξ λ - ξ ) e ortto o oto de estcordde ( ) ser sgulr cotrrete o dtdo. Ests cosderções erte ostrr que r os otos de estcordde ão sgulres Teore : Sedo ( ) u oto de estcordde ão sgulr d restrção d fução f ( ) o couto B A e que B é o couto defdo els equções g ( ) 0 etão o sste F ( ; λ L λ ) 0 L Fλ ( ; λ λ ) L 0 L de + equções s + cógts λ λ cuos reros eros são s dervds rcs ( ) e ( ) d fução Lgrge F Fλ F ( ; λ λ ) f ( ) + λ. g ( ) te coo solução (λ λ ) co u úco sste de ultlcdores λ Deostrção : As cosderções que recede o eucdo do teore ostr que sedo ( ) u oto de estcordde ão sgulr este u úco sste de ultlcdores λ λ que fze co que 3

329 ( λ λ ) se solução do sste do eucdo do teore. E coo est solução r o sste do teore corresode solução (λ λ ) r o sste do teore e versete odeos cosderr cocluíd deostrção. A resolução do sste do teore erte oter todos os otos de estcordde ( ) r os qus este ultlcdores λ 0 λ λ ts que ( λ λ ) é solução do sste do teore ; etre esses otos de estcordde ecotr-se segurete todos os ão sgulres (elo dsosto o teore ) s té evetulete lgus sgulres os d ede que r deterdos otos sgulres o sste do teore dt soluções e que se λ 0. N que se segue vos trtr eclusvete do cso dos otos de estcordde ão sgulres uto eor u dos teores estudr se té váldo r certo to de otos sgulres. A sso freos referêc ltur rór. Refr-se roósto que os otos de estcordde ão sgulres se ode oter resolvedo o sste d teore e vergudo e segud elo cálculo d crcterístc d trz G qus os otos otdos que são ão sgulres devedo sere ter-se e teção que etre os otos otdos resolução dquele sste ode ver otos sgulres. 4. Segud codção ecessár de etrete Cosdere-se u oto de estcordde ( ) ão sgulr d restrção d fução f ( ) o couto B A e que B é o couto defdo els equções g ( ) 0. Coo rerção r se estelecer u segud codção ecessár de etrete vos deostrr rero o Teore 3 : Se o oto de estcordde ( ) ão sgulr d restrção d fução f ( ) o couto B A e que B é o couto defdo els equções g ( ) 0 for u etrete etão ddos os vlores ξ ξ ξ ts que g ( ). ξ 0 L este u sste de fuções ( t ) defds e cert vzç ] - ε ε [ d orge co dervds cotíus de rer e segud ordes e ts que g [ ( t) ( t)] 0 ( - ε < t < ε ) (0) e (0) ξ r 3

330 Deostrção : Alé ds fuções g ( ) cosdere-se s - fuções rtrárs g + ( ) g + ( ) g ( ) que te seguds dervds rcs cotíus e cert vzç do oto ( ) e de tl odo que o deterte ] [ g ( ) ( + ; ) se ão ulo. Rere-se que ótese d ão sgulrdde de oto de estcordde evolvdo é fudetl. No cso de se trtr de u oto de estcordde sgulr trz ford els rers ls de ter crcterístc eor que e ortto qulquer escol que se fzesse quto às - fuções g + ( ) ão oder evtr o uleto dquele deterte. Co s fuções g ( ) s s - fuções g + ( ) escolds coo se dcou costru-se o sste ( ; t) g ( ) 0 L r ( ; t) gr ( ) gr ( ) t. g r ( ). ξ 0 r + L. Trt-se de u sste de equções s + cógts t que verfc s segutes roreddes: ) Pr e t 0 o sste é verfcdo ; ) As fuções ( ; t) tê dervds rcs de rer e segud ordes cotíus e cert vzç do oto ( 0 ); c) O deterte fucol / ão se ul o oto de coordeds e t 0 os esse oto ele cocde co o deterte. De cordo co o que seos d teor ds fuções lícts odeos etão coclur que este u sste de fuções ( t ) defds e cert vzç ] - ε ε [ d orge e verfcr s segutes roreddes: - As fuções ( t ) são cotíus e tê dervds rcs cotíus de rer e segud ordes e ] - ε ε [ ; - Fzedo ( t ) s gulddes ( ; t) 0 trsfor-se outrs tts detddes r - ε < t < ε ; - Pr t 0 te-se (0). 33

331 Fc ss rovdo o teore co eceção d rte e que se fr ser (0) ξ. Pr coletr deostrção cosdere-se s detddes que se otê de ( ; t) 0 fzedo ( t ) co - ε < t < ε : [ L ] g ( t) ( t) 0 L gr [ ( t) L ( t) ] gr ( ) t. g r ( ). ξ 0 r + L Por dferecção oté-se r t 0 g ( ). ( 0) 0 L [ ξ ] g ( ). ( 0) 0 r + L r e coo or ótese g ( ). ξ 0 te-se [ ξ ] g ( ). ( 0) 0 L [ ξ ] g ( ). ( 0) 0 r + L r e ddo que o deterte deste sste oogéeo de equções s cógts (0) - ξ (0) - ξ é [ g ] ξ (0) ξ coo fltv deostrr. ( ) 0 te-se ecessrete (0) O teore recedete v ertr estelecer u ov codção ecessár r que u oto de estcordde ão sgulr se etrete. 34

332 Teore 4 : Se o oto de estcordde ( ) ão sgulr d restrção d fução f ( ) o couto B A e que B é o couto defdo els equções g ( ) 0 for u zte (zte) etão segud dferecl o oto d fução que se oté rtr de F ( ; λ λ ) f ( ) + λ. g ( ) ddo os λ os vlores (úcos) que for co solução do sste do eucdo do teore é u for qudrátc defd ou sedefd ostv (egtv) o suesço ds soluções do segute sste oogéeo os créscos : g ( ). 0 L Deostrção : Co os créscos verfcr o sste oogéeo do eucdo se ( t ) - ε < t < ε s fuções cu estêc e roreddes são ssegurds elo teore teror. A fução coost ( t ) f [ ( t ) ( t )] - ε < t < ε te evdeteete u etreo reltvo e t 0. Co efeto sedo u zte teos f ( ) f ( ) r ertecete o eso teo cert V δ ( ) e o couto B ; or r - ε < t < ε te-se g [ ( t ) ( t )] 0 e ortto o oto [ ( t ) ( t )] ertece o couto B ; coo s fuções ( t ) são cotíus e t 0 oto e que ssue os vlores etão r t ertecete cert V η (0) te-se elo que [ ( t ) ( t )] V δ ( ) B t V η (0) ( t ) f [ ( t ) ( t )] f ( ) (0). 35

333 D es for se rov que sedo u zte (t) te u áo reltvo e t 0. Alcdo regr de dervção de u fução coost oté-se ( t ) r [ L ] f ( t) ( t). ( t) r r " ( t ) [ ] r f ( t) L ( t). ( t). ( t) + r r f [ t t ] r t r L r + ( ) ( ). " ( ) ; tededo gor que (0) (ver teore 3) result " ( 0 ) f ( ). r + f ( ). " r( 0) r r r e deverá ter-se ( 0 ) 0 se for zte e ( 0 ) 0 se for zte. Notdo que co o sste (úco) de vlores λ corresodetes o etrete se verfc ser de cordo co o teore r f ( ) + λ. g ( ) 0 result ultlcdo os os eros or (0) e sodo e de (A) " ( ). 0 f ( ) + λ. g ( ). " ( 0 ) 0. Ms de g [ ( t ) ( t )] 0 -ε < t < ε result sucessvete r [ ] g ( t) L ( t). ( t) r r 0 r [ ] g " ( t ) L ( t ). ( t ). ( t ) + r r 36

334 [ ] + g ( t) L ( t). " r ( t) 0 r r e e t 0 g" ( ). r + g ( ). " r ( 0) 0 r r r r ; ultlcdo os os eros dest guldde or λ e sodo e de oté-se λ. g ( ). " r ( 0) λ. g" ( ). r. r r r Etrdo co o este resultdo guldde sur referecd or (A) te-se r " ( ). f ( ). g " ( ). 0 λ r r r ; etão eressão terorete otd r (0) trsfor-se e " ( 0 ) f ( ). r + λ. g" ( ). r r r r r que é recsete segud dferecl que se refere o eucdo. Etão se for zte te-se ( 0 ) 0 e segud dferecl referd o eucdo será ortto ão egtv qusquer que se os verfcr o sste oogéeo té referdo o eucdo; se for zte te-se ( 0 ) 0 e segud dferecl referd será ortto ão egtv qusquer que se os verfcr o eso sste oogéeo. O teore está coletete deostrdo. Pr ostrr que codção do teore recedete ão é ecessár qudo o oto de estcordde e cus se sgulr retoe-se o eelo ) do oto. e que f ( ) e g ( ). 0. Recorde-se que o oto (0 0) é oto de estcordde sgulr verfcdo o sste do teore co λ 0 e λ rtráros. Ass o referdo oto de estcordde verfc o sste do teore co or eelo λ. Co λ segud dferecl que se refere o teore 4 te segute eressão 3 37

335 d F 4 equto o sste oogéeo referdo o eso teore é e é óvo que for qudrátc d F é defd o suesço ds soluções de (que é R ). Se o teore 4 fosse lcável o oto (0 0) ão oder ser e zte e zte d restrção de f ( ) o couto defdo el 3 equção g ( ). 0. No etto verfc-se se dfculdde que tl oto é zte (soluto) d fução o couto e cus. Co efeto ddo que g ( ) ( + ). ( - ) 0 restrção d fução o couto defdo el codção g ( ) 0 ssue os segutes vlores: f ( ) se 0 f ( ) se ± dode result f ( ) f (0 0) 0 qulquer que se ( ) verfcr codção g ( ) Codções sufcetes de etrete Vos segudete estelecer codções sufcetes r que u oto de estcordde ( ) se etrete reltvo d restrção de f ( ) o couto A B e que B é o couto defdo els equções g ( ) 0 codções válds o cso esecl e que o sste do teore te coo solução (λ λ ) co u certo sste de ultlcdores λ. Rere-se que ão se ege que o oto de estcordde e cus se ão sgulr ; st que se otdo or resolução do sste do teore que coo se vu ode té coduzr otos de estcordde sgulres. Coo resultdo ulr que será deos utlzdo deostrção do teore que dá s codções sufcetes de etrete vos rero deostrr que 38

336 Teore 5 : Sedo (λ λ ) u solução do sste do teore cosdere-se segud dferecl d fução de F ( ; λ λ ) f ( ) + λ. g ( ) o oto suodo os λ fdos os vlores que cost dquel solução. Se r qulquer crésco ( ) ( 0 0) tl que g ( ). 0 segud dferecl referd ssue sere u vlor ostvo (egtvo) etão este u V ε ( ) tl que r e ertecetes ess vzç e vlores ão todos ulos e verfcr g ( ). 0 se verfc té d F ( ; λ λ ) > 0 ( < 0) Deostrção : De fcto se s codções do eucdo ão estsse referd V ε ( ) ser etão ossível fr u sucessão ε 0 de odo que r cd se ecotrsse e ertecetes V ε ( ) e créscos ão todos ulos ts que g ( ). 0 Fzedo etão d F ( ; λ λ ) 0. k ser k r e k os créscos k ser té r certo. É clro que r g ( ). k 0 d F ( ; λ λ ) 0. 39

337 Ao fzeros + clro que ε 0 e s sucessão ltd k ( k k ) ode ão ter lte dtdo o etto u susucessão co lte k ( k k ) l kα l ( kα K kα ). Pr qulquer elo eos u ds coordeds te ódulo gul à udde e ss coo só á u úero fto de coordeds u dels te ódulo gul à udde r ftos vlores de elo que os k ão são todos ulos. A cotudde ds rers e seguds dervds rcs ds fuções f g g ertr coclur que co os créscos k k α g ( ). k 0 d F ( ; λ λ ) 0 o que ser cotráro à ótese ssud o eucdo do teore. No cso d segud dferecl e ser egtv deostrção fz-se do eso odo trocdo es o sl ds desgulddes evolvds. O resultdo que c de ser estelecdo v ser utlzdo r deostrr o teore segute ode são dds codções sufcetes de etrete (zte ou zte). Teore 6 : Sedo (λ λ ) u solução do sste do teore cosdere-se segud dferecl d fução de F ( ; λ λ ) f ( ) + λ. g ( ) o oto suodo os λ fdos os vlores que cost dquel solução. Se r qulquer crésco ( ) ( 0 0) tl que g ( ). 0 segud dferecl referd ssue sere u vlor ostvo (egtvo) etão o oto ( ) é u zte (zte) reltvo d restrção d fução f ( ) o couto A B e que B é o couto defdo els equções g ( ) 0 Deostrção : Fz-se deostrção es r o cso corresodete o zte ddo que o rgueto se lc fclete o cso do zte or troc do setdo ds desgulddes evolvds. A fução de 330

338 F ( ; λ λ ) f ( ) + λ. g ( ) é cotíu e te dervds rcs cotíus té à segud orde e cert V δ ( ). Escrevedo segud fórul de Tlor co resto de Lgrge te-se r V δ ( ) F ( ; λ λ ) - F ( ; λ λ ) d F ( ; λ λ ) + +. d F [ + θ. ( - ) ; λ λ ] co certo θ ] 0 [. Notdo gor que F ( ; λ λ ) f ( ) + λ. g ( ) F ( ; λ λ ) f ( ) + λ. g ( ) f ( ) d F ( ; λ λ ) F ( ; λ K λ ). ( ) 0 e que co B g ( ) 0 te-se qulquer que se V δ ( ) B f ( ) - f ( ). d F [ + θ. ( - ) ; λ λ ] 0 < θ <. Escrevedo gor rer fórul de Tlor co resto de Lgrge e V δ ( ) r cd u ds fuções g ( ) g ( ) - g ( ) [ θ ] g +. ( ). ( e otdo que co V δ ( ) B g ( ) g ( ) 0 result ) 0 < θ < [ θ ] g +. ( ). ( ) 0. Rere-se gor que s codções do eucdo é váldo o teore 5 ou se este u V ε ( ) tl que r z e el ertecetes e vlores ão todos ulos e verfcr g ( z ). 0 se verfc d F ( ; λ λ ) > 0. Suodo V ε ( ) V δ ( ) B te-se que z + θ. ( - ) e + θ. ( - ) 33

339 ertece V ε ( ). Alcdo o resultdo teror co ts z e - te-se e cosderdo f ( ) - f ( ). d F [ + θ. ( - ) ; λ λ ]. d F ( ; λ λ ) > 0 desde que (o que equvle ão sere todos ulos os créscos - ) ddo que g ( z ). r. [ θ ] g +. ( ). ( ) 0 Fc ss rovdo que V ε ( ) V δ ( ) B f ( ) f ( ) verfcdo-se guldde es co ou se é zte reltvo estrto d restrção d fução f ( ) o couto A B e que B é defdo els equções g ( ) 0. Os teores 4 e 6 erte esclrecer or dos csos de teresse se u oto de estcordde ão sgulr é ou ão etrete. Se o oto de estcordde é sgulr o cso é s colcdo : o teore 4 ão ode lcrse e o teore 6 só é lcável se o oto de estcordde e questão tver sdo otdo rtr d resolução do sste do teore. N ág segute reset-se u dgr que resue técc utlzr deterção dos etretes codcodos. 33

340 Estudo d ossldde de estêc de otos de estcordde sgulres usdo trz G PODEM EXISTIR : NÃO PODEM EXISTIR : ) Resolver o sste Resolver o sste do do teore ; do teore r de) Estudr se cd u PONTOS NÃO SINGU- terr os otos de dos otos de est- LARES : Clculr os λ de estcordde cordde otdos for que se λ 0 é ou ão sgulr usdo trz G Estudr o sl d ª dferecl referd os teores 4 e 6 o suesço í dcdo PONTOS SINGULARES DEFINIDA POSITIVA : Mzte SATISFAZEM O SISTEMA DO TEOREMA COM λ 0 0 : ) Clculr os λ de for que DEFINIDA NEGATIVA : se λ 0 ; Mzte ) Estudr o sl d ª dferecl referd o teore 6 o suesço í dcdo. INDEFINIDA : Não é etrete DEFINIDA POSITIVA : Mzte SEMIDEFINIDA: Cso Duvdoso DEFINIDA NEGATIVA: Mzte SEMIDEFINIDA OU INDEFINIDA : Cso duvdoso SÓ SATISFAZEM O SISTEMA DO TEOREMA COM λ 0 0 : Cso duvdoso 333

341 6. Codções sufcetes. Técc do deterte orldo 6. - Geerlddes sore fors qudrátcs res Se se reteder fzer u trteto detldo do te (r o que se reete o letor r or ÁLGEBRA LINEAR - Gregóro Luís & Slv Rero ) vos qu resetr u reve resuo ds rcs defções e resultdos. A for qudrátc Q trclete or Q X T A X e que co ode reresetr-se X M X T [ K ] ( Trsost de X ) K K A (Mtrz rel sétrc de orde ). K K A for qudrátc Q X T A X dz-se : Defd ostv se e só se r qulquer X O Q X T A X > 0 ; Defd egtv se e só se r qulquer X O Q X T A X < 0 ; Sedefd ostv se e só se r qulquer X Q X T A X 0 e elo eos r u X O Q X T A X 0 ; Sedefd egtv se e só se r qulquer X Q X T A X 0 e elo eos r u X O Q X T A X 0 ; Idefd se e só se este X e X ts que Q X T A X > 0 e Q X T A X < 0. O crtéro teorcete s sles (que ão o s fácl de lcr rátc) r clssfcção d for qudrátrc Q X T A X se-se o cálculo dos vlores róros d trz sétrc A sto é o cálculo ds rízes (tods res gus ou dferetes) d segute equção olol de gru e λ : λ K λ K K K λ 0. A álse dos ss ds rízes d equção crcterístc erte edtete fzer clssfcção d for qudrátc : 334

342 É defd ostv se e só se tods s rízes d equção crcterístc fore ostvs ; É defd egtv se e só se tods s rízes d equção crcterístc fore egtvs ; É sedefd ostv se e só tods s rízes d equção crcterístc fore ão egtvs e u elo eos ul ; É sedefd egtv se e só tods s rízes d equção crcterístc fore ão ostvs e u elo eos ul ; É defd se e só se equção crcterístc dte elo eos u rz ostv e outr egtv. Do oto de vst rátco clssfcção de u for qudrátc elo sl dos vlores róros d trz A evolve resolução de u equção olol de gru. Pr ultrssr est dfculdde este crtéros sedos o cálculo d cde fudetl de eores rcs do deterte d trz A : clculdos os eores H H H (Cde fudetl de eores rcs ) K K K K te-se : ) A for qudrátc é defd ostv se e só se H > 0 H > 0 H > 0 ; ) A for qudrátc é defd egtv se e só se H < 0 H > 0 (-). H > 0 ; c) Se H 0 e ão se verfc e ) e ) for qudrátc é defd ; d) Se H > 0 H > 0 H - > 0 H 0 for qudrátc é sedefd ostv ; e) Se H < 0 H > 0 (-) -. H - > 0 H 0 for qudrátc é sedefd egtv ; f) Se H 0 e ão se verfc d) ou e) for qudrátc ode ser sedefd ou defd e questão te de esclrecer-se or outr v. No cso d líe f) turez d for qudrátc ode esclrecer-se elo cálculo dos vlores róros d trz A eor est u técc ltertv sed o cálculo ds cdes fudets de eores rcs de tods s trzes que 335

343 oss oter-se rtr de A or troc de ls segud de dêtc troc de colus. Est técc fudet-se o segute teore (ode ver-se deostrção o rtgo Defte d Sedefte Qudrtc Fors d utor de G. Dereu ulcdo orglete e Ecooetrc Vol 0 Pág 95 ) : Teore 7 : Dd for qudrátc Q X T A X co A trz rel sétrc clcule-se s cdes fudets de eores rcs ds! trzes que ode oter-se or erutção dêtc ds ls e colus d trz A : ) Te-se Q X T A X 0 qulquer que se X se e só se são ão egtvos todos os eores rcs referdos ; ) Te-se Q X T A X 0 qulquer que se X se e só se tê o sl de (-) r todos os eores rcs referdos e que r desg orde do eor rcl e cus O teore recedete erte lás esclrecer stução qudo ão se verfque ) ou ) - csos e que coo se dsse for qudrátc é defd ostv ou egtv -. No etto trt-se de u crtéro de dfícl lcção rátc (or oder evolver o cálculo de u grde úero de detertes ) e é referível usr os crtéros eressos e c) d) e e) gurddo o teore coo ltertv o cálculo dos vlores róros qudo que esclrecer stução o cso f). Pr eelfcr lcção do teore cosdere-se for qudrátc 3 3 Q [ 3 ] A cde fudetl de eores rcs d trz A é H H 0 H elo que estos o cso f). Clculdo os vlores róros λ λ λ λ. [ 3 - ( - λ) ] 0 λ 0 λ + 3 > 0 λ - 3 < 0 336

344 coclu-se que for qudrátc e questão é defd. A es coclusão ode trr-se co se o teore 7 : cde fudetl de eores rcs d trz A é coo á vos H H 0 H ; trocdo trz A segud co tercer ls e segud co tercer colus oté-se trz A 3 0 que corresode segute cde fudetl de eores rcs K K - K Tedo e cot os ss de K K e K 3 o teore 7 erte coclur trtr-se de u for qudrátc defd Clssfcção ds fors qudrátcs o couto ds soluções de u sste oogéeo deterdo E certs lcções teress fzer clssfcção de u for qudrátc ão e todo o doío (R ) s s u suesço desse doío ou se o couto ds soluções de u sste oogéeo deterdo. É o que se ss or eelo qudo resolução de u role de etretes codcodos retedeos esclrecer el lcção dos teores 4 e 6 se u ddo oto de estcordde é ou ão zte ou zte. Cosdere-se for qudrátc Q oogéeo deterdo X T A X e o sste + + L L + 0 L + + L + 0 ou se B X O co 337

345 L 0 L B 0 X e O. L L L L 0 Podeos desde logo suor que crcterístc de B é (o que coutete co ótese de o sste ser deterdo lc ser < ) ; se tl crcterístc for r < trz B te - r ls que são coções leres de r ls deedetes e s corresodetes equções do sste são ortto redudtes sto é ode ser elds oteção d solução gerl do sste. A er s drect de clssfcr for qudrátc Q X T A X o couto ds soluções do sste B X O evolve os segutes ssos (ÁLGEBRA LINEAR - Gregóro Luís & Slv Rero) : ) Deterção gerl d solução do sste B X O qul cógts rcs se ere coo fuções leres de - cógts ão rcs ; ) Susttução e Q X T A X ds cógts rcs els resectvs eressões e teros ds - cógts ão rcs ; c) Clssfcção d for qudrátc otd líe teror ós susttução o seu doío (esço R - ) els téccs referds o oto 6.. Pr eelfcr lcção dest técc cosdere-se clssfcção d for qudrátc 3 Q o couto ds soluções do sste oogéeo A solução gerl do sste é qusquer 3. Susttudo e Q s vráves e els sus eressões e teros de 3 e 4 e slfcdo oté-se segute for qudrátc ests últs vráves : 338

346 Q* 3 4 / [ 3 4].. 3. / 4/ 3 4 Ddo que H > 0 H / / 4/ > 0 for qudrátc Q* é defd ostv e ortto for qudrátc cl é defd ostv o suesço ds soluções do sste oogéeo ddo. É ossível estelecer crtéros que erte clssfcr u for qudrátc Q X T A X coo defd ostv ou egtv o couto ds soluções do sste oogéeo deterdo B X O crtéros sedos o estudo dos ss de certos eores rcs de u deterte esecl costruído à cust ds trzes A e B (o cdo deterte orldo ). A utlzção de ts crtéros requer certos cuddos e verfcção rév de certs óteses o que e sere é devdete elctdo resetção lger e slst dest técc que é fet os Aêdces Mteátcos de lgus us de Ecoo ou eso e lgus us de Mteátc r Ecoosts. Meso qudo ão elctete ecodo e tudo o que v segur-se dte- -se que A é u trz qudrd e sétrc de orde e que B é u trz co crcterístc r < (). Vos estudr codções ecessárs e sufcetes r que for qudrátc Q X T A X se defd ostv (egtv) o couto ds soluções do sste oogéeo deterdo B X O. () Qudo se r < odeos elr o sste - r equções redudtes e o role recoduz-se u stução e que ov trz B te crcterístc gul o úero de ls. E rero lugr te-se o segute Teore 8 : Dd for qudrátc Q X T A X te-se : ) Q X T A X > 0 r todos os X O ts que B X O se e só se este u u-ero rel λ tl que K X T [ A + λ B T B] X é defd ostv (o seu doío R ) ; 339

347 ) Q X T A X < 0 r todos os X O ts que B X O se e só se este u úero rel λ tl que K X T [ A + λ B T B] X é defd egtv (o seu doío R ) Deostrção : ) A codção é ecessár. Se Q X T A X > 0 r todos os X O ts que B X O e veos que este u úero rel λ s codções do eucdo. A fução ( X ) T X T A X T X ( B B) X T X T T A X ( X B )( B X ) é defd e cotíu o couto D { X : B X O } R e vos ver que se trt de u fução ord esse couto. Se ão fosse ord estr u sucessão X D ( 3 ) tl que l (X ) + e clro que coo X D X O oderíos etão defr sucessão Y X D 3 X r qul se ter (Y ) (X ) e ortto té l (Y ) +. Por ser Y r 3 sucessão Y dtr u susucessão Y co lte Y O e clro que té l (Yα ) +. Se fosse Y D cotudde de (X) dr l (Yα ) ( Y ) fto ortto dever ser Y D ou se B Y O. Ms coo or ótese ter-se- o uerdor de B Y O Y O Q Y T A Y > 0 α (Y α ) T α Y A Y ( Y B ) ( B Y ) T α T α α teder r Y T A Y > 0 ; r que l (Yα ) + dever ortto T α ( Y B )( B Y T α ) ( X T B T ) ( B X ) 0 r todo o X. teder r zero or vlores egtvos o que é ossível or ser Etão ( X ) te de ser ord e D { X : B X O } coo se quer ostrr. Sedo λ* u orte de ( X ) e D te-se fdo qulquer λ > λ* ( X ) T X T A X T X ( B B) X < λ X D ou se 340

348 K X T A X + λ. X T (B T B) X X T [ A + λ. ( B T B)] X > 0 r qulquer X D ; r X D ou se B X O te-se K X T [ A + λ. ( B T B)] X X T A X + λ. X T (B T B) X X T A X + λ. ( X T B T ) ( B X ) X T A X > 0 or ótese. E coclusão : se Q X T A X > 0 r todos os X O ts que B X O etão este u úero rel λ tl que K X T [ A + λ B T B] X é defd ostv o seu doío R. A codção é sufcete. Se este u rel λ tl que K X T [ A + λ B T B] X é defd ostv o seu doío R etão co X O e B X O te-se e rtculr K X T [ A + λ B T B] X X T A X + λ. X T ( B T B) X X T A X + λ. ( X T B T ) ( B X ) X T A X > 0 ou se Q X T A X > 0 r todos os X O ts que B X O. ) Result edtete de ) otdo que Q X T A X < 0 r todos os X O ts que B X O se e só se Q* X T (- A ) X > 0 r todos os X O ts que B X O. O teore que se segue costtu u resultdo ulr utlzr osterorete. Teore 9 : O deterte A + λ B T B é u olóo e λ cuo tero de s lto gru (evetulete ulo) é (-). A B B O T. λ e que O rereset u trz qudrd de orde co eleetos todos gus zero (trz ul de orde ) Deostrção : No que se segue O rereset u trz co eleetos todos gus zero (trz ul to ) e I trz detdde de orde. Utlzdo técc d ultlcção de trzes or locos oté-se A B T T λ B I O A λ B B λ B I B I O I + T 34

349 devedo sletr-se que tods s trzes evolvds guldde recedete são qudrds de orde +. Todo detertes e os os eros d guldde otd result A B T λ B I O A + λ B B λ B I B I O I T T ; fzedo e segud os desevolvetos de Llce segudo os eores de orde cotdos s rers ls do segudo deterte do rero ero d guldde e segudo os eores de orde cotdos s últs ls do deterte do segudo ero oté-se A B λ B I T (-). A + λ B T B. Or eressão que defe o deterte do rero ero d últ guldde otd os teros de s lto gru e λ rece qudo s últs colus se escole eleetos de λ B T ; so lgérc de ts teros cocde co o deterte A B λ B O T orque este últo é ulo qulquer tero que te coo fctor u eleeto ds últs colus que ão se de λ B T. Etão o deterte A + λ B T B o tero de s lto gru e λ é ortto (-). A B λ B O T (-). A B B O T. λ coo se quer rovr. Estud-se segudete ov codção ecessár e sufcete r que for qudrátc Q X T A X se defd ostv (egtv) o esço ds soluções do sste oogéeo deterdo B X O o ressuosto de ser ão ulo o deterte d sutrz ford elos eleetos cotdos s ls e s rers colus de B (est codção ecessár e sufcete será deos dtd o cso gerl e que crcterístc de B é r o que é erfetete cotível co uldde do deterte d ctd sutrz). Dd u qulquer trz M covecoreos e gerl que : M αβ desg sutrz ford elos eleetos cotdos s α rers ls e β rers colus de M ; 34

350 M α M α α desg sutrz ford elos eleetos cotdos s α rers ls e α rers colus de M ; or outro ldo O α desgrá trz ul qudrd de orde α e I α trz detdde té de orde α. Pr u elor sstetzção d ssuto trtr cosderreos teores serdos r s questões d ecessdde e sufcêc d codção eucr. Teore 0 : Sedo B 0 e Q X T A X > 0 r todos os X O ts que B X O etão (-). A B s s B T s O > 0 r s + + Deostrção : Fe-se u s + + e trz colu X ule- -se s vráves s+ s+. Co este rocedeto for qudrátc orgl trsfor-se e Q* X 0 T A s X 0 e o sste oogéeo e B s X 0 O e que X 0. L s Pr X 0 O tl que B s X 0 O deverá ser Q* X 0 T A s X 0 > 0 os se fosse Q* X 0 T A s X 0 0 todo X 0 0 X L 0 ter-se- B X O e Q X T A X Q* X 0 T A s X 0 0 cotrrete à ótese do teore. Ms se for qudrátc Q* X 0 T A s X 0 é ostv r todos os X 0 O ts que B s X 0 O etão elo teore 8 for qudrátc T T K* [ s s s] X A + λ B B X

351 deverá ser defd ostv o seu doío R s r λ > λ* co certo λ* (ver deostrção do teore 8). Tl lc ser A + λ B B > 0 r λ > λ*. s T s s De cordo co o teore 9 o deterte A + λ B B é u olóo e λ cuo tero de s lto gru é s T s s (-). A B s s B T s O. λ e se o coefcete de λ for ão ulo te de ser ostvo os sedo egtvo o olóo A + λ B B e λ torr-se- egtvo r λ sufceteete s T s s grde e ão oder ortto ser ostvo r todos os vlores λ > λ*. Portto rovreos o teore se rovros que deve ter-se A B s s B T s O 0. Pr tl cosdere-se o segute sste de + s equções s + s cógts s : T As X0 + BsY O Bs X0 O e que X 0 e Y. L L s Trt-se de u sste oogéeo e vos ver que es dte solução ul o que rovrá o que se retede u vez que tl lcrá ser A B s s B T s O 0. Ds rers s equções do sste codesds rer equção trcl tr-se T T T 0 s 0 0 s 0 X A X + X B Y 344

352 e d tededo à segud equção trcl guldde result X0 O os coo vos T 0 s 0 0 X A X ; dest últ Ms se X 0 T sste B s X 0 O B s X 0 O X0 A X0 > 0. O oté-se ovete rtr d rer equção trcl do T Y O ; e coo B 0 lc que crcterístc de é oté-se ecessrete Y O. Etão o sste oogéeo e cus es dte solução ul coo se quer rovr. T s B s Coletd deostrção do teore 0 e tes de ssros o teore segute cové evdecr u rtculrdde relcod co rte fl d deostrção que c de ser resetd. A ótese ssud de ser B 0 T dest-se grtr que é crcterístc d trz co qulquer s + + os esse fcto desee u el essecl o rgueto utlzdo. No etto r o rtculr vlor s ótese B 0 é dsesável o qudro gerl que estos cosderdo de ser crcterístc d T trz B do sste B X O u vez que B T. Ou se sedo Q X T A B X > 0 r todos os X 0 ts que B X O etão B s (-). A B B T O (-). A B B O T > 0 desde que evdeteete se ssu coo teos vdo fzer que trz B te crcterístc o que equvle ão ver equções redudtes o sste oogéeo B X O. Est oservção é ortte e será utlzd s dte. 345

353 A rtr do teore 0 tr-se se dfculdde o Teore : Sedo B 0 e Q X T A X < 0 r todos os X O ts que B X O etão (-) s. A B s s B T s O > 0 r s + + Deostrção : Ns codções do eucdo Q - X T (- A ) X > 0 r todos os X O ts que (- B ) X O [ os B X O (- B ) X O ] e ortto elo teore 0 deverá ser (-). A B s s B O T s > 0 ( s + + ). Coo o deterte recedete te + s colus tods els ultlcds or - te-se etão (-). (-) + s. A B s s B T s O (-) s. A B s s B T s O > 0 r s + + coo se quer rovr. Nos teores segutes rov-se gor sufcêc ds codções ecessárs estelecds os teores 0 e. Teore : Sedo B 0 r que se te Q X T A X > 0 r todos os X O ts que B X O é sufcete ser (-). A B s s B T s O > 0 r s + + Deostrção : Bstrá rovr que o coefcete do tero de s lto gru e λ do deterte (olóo) A + λ B B é ostvo r s orque etão será ossível escoler λ 0 s T s s sufceteete grde or for que s T s s A + λ 0 B B > 0 r todos queles vlores de s ; e coo estes detertes for cde fudetl de eores rcs d trz A + λ 0 B T B tl grtrá que for qudrátc K* X T [ A + λ 0 B T B] X é defd ostv o 346

354 seu doío R o que elo dsosto líe ) do teore 8 ssegurrá que Q X T A X > 0 r todos os X O ts que B X O. Pr s + + o teore 9 ssegur que o coefcete do tero de s lto gru e λ do olóo A + λ B B é s T s s (-). A B s s B T s O o qul or ótese é ostvo. Pr s te-se coo se vu deostrção do teore 9 (-). A + λ B B s T s s A B s s λ B I T s ; eressão que defe o deterte do segudo ero d guldde recedete os teros de s lto gru e λ rece qudo s s ( ) T rers ls se escole eleetos de λ B s ; so lgérc de ts teros cocde co o deterte O B s s λ B I T s O B s s B I T s. λ orque este é ulo qulquer tero que te coo fctor u eleeto ds rers s ls que ão se de T λ B s. No olóo coefcete do tero de s lto gru e λ é ortto A + λ B B o s T s s (-). O B s s B I T s (-) s. I T s B B O s s ustfcdo-se guldde el relzção sore o deterte do rero ero ds segutes oerções sucessvs : ) ultlcção ds rers s ls or - ; ) ultlcção ds últs colus or -; 3) troc de cd u ds últs colus co tods s rers s colus ; 4) troc de cd u ds últs ls co tods s rers s ls. Vos etão estudr o sl deste coefcete cosderdo serdete os csos s e s < : º cso : Qudo se s o deterte que dá o coefcete ode ser clculdo fzedo o desevolveto Llceo segudo os eores de orde cotdos s últs ls otedo-se 347

355 (-) s. I T s B B O s s (-). I B T (-). (-) (+). B. B B > 0 B O T orque or ótese B 0. º Cso : Qudo se s < fços * s * e B * T B s e oteos que trz B * é do to s ou co s ovs otções do to * * ; ote-se d que B * te crcterístc * s orque se fosse ulos todos os detertes de sutrzes de orde s cotds e B * T ser ulos todos os eores de orde s cotdos s rers s colus do deterte B e etão este ser ulo cotrrete à ótese do teore. Cosdere-se etão for qudrátc Q* Y I Y e o sste oogéeo deterdo B * Y O. Trt-se de u for qudrátc clrete defd ostv o esço ds soluções de B * Y O ; tedo e cot oservção serd logo segur à deostrção do teore 0 te-se etão (relere-se que B * te crcterístc *) (-) *. e coo * s * e B * I * B* T B s B* O T * * > 0 ; result flete T * B s (-) s. I T s B B O s s > 0 coo se quer rovr. Deste teore result edtete o Teore 3 : Sedo B 0 r que se te Q X T A X < 0 r todos os X O ts que B X O é sufcete ser r s + + (-) s. A B s s B T s O > 0 Deostrção : Bst otr que 348

356 (-) s. A B s s B T s O (-) + s. A B s s B O T s (-). A B s s B O T s > 0 r s + + resultdo elo teore que Q X T (-A) X > 0 r todos os X O ts que - B X O ; or tl equvle ser Q X T A X < 0 r todos os X O ts que B X O. Pr elor sstetzção odeos reur u só os teores 0 e 3 : Teore 4 : ) Sedo B 0 te-se Q X T A X > 0 r todos os X O ts que B X O se e só se (-). A B s s B T s O > 0 r s + + ; ) Sedo B 0 te-se Q X T A X < 0 r todos os X 0 ts que B X O se e só se (-) s. A B s s B T s O > 0 r s + + N rátc verfcção ds codções ) ou ) do teore recedete fz-se utlzdo O B T s B s A s e vez de A B s s B T s O detertes que fclete se vê sere cocdetes ; o deterte d esquerd é o eor rcl de orde + s d cde fudetl de eores rcs do segute deterte (deterte orldo) : 349

357 O B T B A 0 0 L L 0 L 0 0 L 0 L L L L L L L L L L L L. As codções ) e ) do teore 4 ode etão err-se os segutes teros : ) Sedo B 0 te-se Q X T A X > 0 r todos os X O ts que B X O (for qudrátc defd ostv o esço ds soluções do sste oogéeo B X O ) se e só se os eores rcs de ordes d cde fudetl de eores rcs do deterte orldo tê o sl de (-) ; ) Sedo B 0 te-se Q X T A X < 0 r todos os X O ts que B X O (for qudrátc defd egtv o esço ds soluções do sste oogéeo B X O ) se e só se os eores rcs de ordes d cde fudetl de eores rcs do deterte orldo tê os ss resectvete de (-) + (-) + (-). O rocedeto teror ode dtr-se o cso e que trz B eor de crcterístc te s rers colus deedetes ou se B 0. Trt-se do cso e que qulquer sste de cógts rcs do sste oogéeo B X O clu orgtorete elo eos u ds cógts ssocds colus de B co ídce sueror. Neste cso ode reorder-se s cógts e o eso teo s colus de B e s ls e colus de A que les estão ssocds de odo que ós reordeção for qudrátc Q X T A X X R T A R X R e o sste B R X R O (equvlete o cl) ert lcção d técc terorete descrt (r o que s rers colus d trz reorded B R deve ser deedetes) ; o deterte orldo deverá ser costruído coo se dcou s rtr ds trzes reordeds A R e B R. Qudo crcterístc de B se feror á equções redudtes o sste s qus deve ser elds tes d lcção do étodo. O étodo que c de ser estuddo erte es esclrecer se u for qudrátc é ou ão defd ostv (ou egtv) o esço ds soluções de u sste oogéeo. Cso se coclu que for qudrátc e cus ão é e defd ostv e defd egtv o esço ds soluções do sste ddo 350

358 susste questão de esclrecer se se trt de u for sedefd (ostv ou egtv) ou defd. É ossível desevolver u étodo que erte fzer tl esclreceto co se os detertes orldos que ode costrur-se rtr todos os res de trzes (A P B P ) que oss oter-se resectvete de A or erutção dêtc de ls e colus e de B fzedo es erutção ds sus colus. O cálculo é rotvo eso r vlores odestos de e é referível recorrer o étodo drecto r fzer clssfcção (oteção d solução gerl do sste oogéeo susttução for qudrátc e clssfcção susequete d for qudrátc resultte d susttução). Pr terr est dgressão els téccs de clssfcção de u for qudrátc o esço ds soluções de u sste oogéeo deterdo reset-se segur lgus eelos : ) Clssfcr for qudrátc Q o esço ds soluções do sste Te-se A 0 / 0 / e B / / 0 e coo e B -3 0 ode lcr-se técc do deterte orldo se ecessdde de qulquer reordeção ds colus de B e ds ls e colus de A. O deterte orldo é H / 0 / / / 0 e o úco eor rcl relevte r clssfcção é o de orde 5 (ddo que ). Or H 5 H 8 (de-se o cálculo do deterte o cuddo do letor) ssudo ortto H 5 o sl de (-) 35

359 ss se cocludo que for qudrátc dd é defd ostv o esço ds soluções do sste oogéeo té ddo. ) Clssfcr for qudrátc Q z + + z + z o esço ds soluções de + + z 0. Te-se A e B [ ] 3 e coo e B 0 ão á ecessdde de qulquer reordeção ds colus de B e ds ls e colus de A. O deterte orldo é H 0 3 e os eores rcs relevtes r clssfcção são os de ordes 3 e 4 ( ). Or H 3 0 > 0 e H < 0 tê resectvete os ss de (-) + e (-) 3 - elo que se trt de u for qudrátc defd egtv o esço ds soluções d equção dd. 3) Clssfcr for qudrátc Q z o esço ds soluções de z 0. Te-se e coo e / 0 A / 0 e B [ 0 0 ] 0 0 B 0 teos de reorder s colus de B de odo que rer sse corresoder à cógt rcl ( z ) e e cofordde fzer es reordeção ds ls e colus d trz A : 35

360 B R [ 0 0 ] (troc d rer colu de B co tercer) 0 0 A R 0 / 0 / (troc d rer colu de A co tercer e d rer l de A co tercer). O deterte orldo cosderr é etão H / 0 0 / e os eores rcs relevtes r clssfcção são os de orde 3 e 4 ( ). Or H < 0 e H / 0 0 / -3/4 < 0 tê os o sl de (-) - ss se cocludo que for qudrátc é defd ostv o esço ds soluções de z Deterção de etretes codcodos : eelos Areset-se segudete lgus eelos de deterção de etretes codcodos. Eelo : Deterr os etretes de f( 3 ) codções e Ddo que trz + 3 so s 0 G te crcterístc os evetus otos de estcordde são ão sgulres e ode ortto ser deterdos resolvedo o sste do teore. Pr tl cosdere-se Lgrge 353

361 F( 3 ; λ λ ) 3 rtr d qul se oté o sste do teore + + λ ( - - ) + λ ( ) F + λ + λ 0 F λ λ 0 F 3 3 λ 0 Fλ 0 F 3 0 λ dode se oté u úco oto de estcordde de coordeds / -/ 3 co ultlcdores λ -3/ e λ. Clcule-se gor segud dferecl de F( 3 ; -3/ ) o oto de estcordde otdo: " F 3 " " " " " " F 0 F F 0 F F 0 F 0 " 3 0 F 0 F 3 3 " 3 ss se otedo d F + 3 o esço ds soluções do sste for qudrátc que deve ser clssfcd Or solução gerl deste sste é 3 0 e r os otos ( 0) (0 0 0 ) te-se d F > 0 ; ortto o oto de estcordde e cus é u zte d restrção d fução dd o couto defdo els codções e sedo f (/ -/ ) 3/4 o corresodete ío reltvo. Note-se que clssfcção d for qudrátc d F + 3 o esço ds soluções do sste oder ser feto el técc do deterte orldo. Te-se 354

362 0 0 0 A 0 0 e B 0 0 e coo e B 0 teos de reorder s colus de B de odo que s dus rers sse corresoder dus cógts rcs (or eelo e 3 ) e e corresodêc fzer dêtc reordeção s ls e colus d trz A : 0 B R (troc d segud colu de B co tercer) 0 0 A R (troc d segud colu de A co tercer e d segud l de A co tercer). O deterte orldo cosderr é etão H e o úco eor rcl relevte r clssfcção é o de orde 5 (ddo que ). Or H 5 H (de-se o cálculo do deterte o cuddo do letor) ssudo ortto H 5 o sl de (-) ss se cocludo que for qudrátc dd é defd ostv o esço ds soluções do sste oogéeo e cus. Eelo : Deterr os etretes de f ( z) + - z + z e + 0. Coo r qulquer ( ) R trz so s codções G 0 355

363 te crcterístc os evetus otos de estcordde são ão sgulres e ode ortto ser deterdos resolvedo o sste do teore. Pr tl cosdere-se Lgrge F( z ; λ µ ) + - z + λ ( + z - ) + µ ( + ) rtr d qul se oté o sste do teore : F + λ + µ 0 F + λ + µ 0 Fz z + λ 0 Fλ + z 0 Fµ + 0 do qul se oté u úco oto de estcordde de coordeds -/ / z /4 co ultlcdores λ / e µ -. Pr vergur se se trt de u etrete v estudr-se o sl d segud dferecl d F + o esço ds soluções de A solução gerl deste sste é r qul se verfc ser d F < 0 ( 0 ) elo que o oto de estcordde ecotrdo é u zte. Fc o cuddo do letor oteção dest coclusão el técc do deterte orldo. O eelo que se segue ostr coo técc estudd r deterção dos etretes reltvos codcods ode ser usd o cso e que o couto B e vez de ser defdo es or equções é defdo or equções g ( ) 0 s u certo úero k de equções g α ( ) 0 e u certo úero s de equções g β ( ) 0 odedo evetulete ser 0 k 0 ou s 0. Bst r tl troduzr k vráves ulres u α e s vráves ulres v β o que erte trsforr s equções e equções coo se dc g α ( ) + u α 0 e gβ ( ) - v β 0 ; 356

364 é evdete que se é etrete (zte ou zte) d restrção de f ( ) o couto B R defdo or g ( ) 0 K gα ( ) 0 α + + K + k gβ ( ) 0 β + k + + k + K + k + s etão restrção de ( u v ) f ( ) o couto B* R +k+s defdo els equções g ( ) 0 K gα ( ) + uα 0 α + + K + k gβ ( ) vβ 0 β + k + + k + K + k + s te u etreo e u α ± g α ( ) v β ± g β ( ) e versete. Veos etão u eelo de lcção: Eelo 3 : Deterr os etretes de f ( z) z so s codções + + z 0 0 z 0. Segudo técc dcd vos deterr os etretes d fução so s codções g ( z u v w) z + + z u 0 v 0 z w 0 0. Ddo que trz u 0 0 G v w te crcterístc 4 eceto o cso u v w 0 e coo eu solução do sste codcote ode corresoder esse cso (orque tl lcr que 357

365 z 0 e etão rer equção ser vold) coclu-se que os evetus otos de estcordde são ecessrete ão sgulres. Costru-se etão Lgrge F z + λ ( + + z - ) + λ ( - u ) + λ 3 ( - v ) + + λ 4 ( z - w ) e rtr del o sste + λ + λ 0 ( Eq. ) + λ + λ 3 0 ( Eq. ) 3 + λ + λ 4 0 ( Eq. 3) uλ 0 ( Eq. 4) vλ 3 0 ( Eq. 5) wλ 4 0 ( Eq. 6) + + z 0 ( Eq. 7) u 0 ( Eq. 8) v 0 ( Eq. 9) z w 0 ( Eq. 0) cus equções (4) (5) e (6) org à verfcção de u ds óteses do qudro segute e que os esços e rco sgfc vlores deterr : z u v w λ λ λ 3 λ 4 Hótese Hótese Hótese Hótese Hótese Hótese Hótese Hótese A ótese é ossível orque ão é cotível co s equções (7) (8) (9) e (0). A ótese erte oter co s equções (7) (8) e (9) 0 e z e co equção (3) λ -3/ ; equção () erte deos trr λ 3 / e equção () λ -/ ; flete equção (0) erte oter w ±. 358

366 Alsdo s resttes óteses u or u reece-se o qudro recedete r s óteses que ão se cotíves co lgu ou lgus ds equções do sste : z u v w λ λ λ 3 λ 4 Hótese ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** Hótese ± -3/ -/ / 0 Hótese ± Hótese 4 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** Hótese ± Hótese 6 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** Hótese 7 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** Hótese 8 ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** Hóteses ossíves or cotldde co lgu ou lgus equções do sste Otê-se ss ses otos de estcordde: cd ótese ossível dá dos otos de estcordde e vrtude do dulo sl do vlor de u ds vráves. A sequêc orl orgr gor o estudo do sl d segud dferecl. Podeos o etto evtr rclete este trlo otdo que o role clete foruldo se trt de deterr os etretes de u fução cotíu u couto ltdo e fecdo. Dí decorre estêc de áo e ío solutos d fução o couto defdo els codções ; os corresodetes zte e zte deverão ecotrr-se etre os otos ( z) ds três óteses dcds coo ossíves o qudro recedete. Clculdo etão o vlor f ( z) r esses três otos o or dos três vlores otdos é o áo soluto e o eor é o ío soluto : f (0 0 ) 3 ; f (0 0) ; f ( 0 0) 4. Coclu-se etão que (0 0) é zte soluto e ( 0 0) é zte soluto. Fc etão or estudr ossldde de o oto (0 0 ) ser etrete reltvo ou e teros do role odfcdo co trodução ds vráves ulres u v e w ossldde de os dos otos de estcordde de coordeds 0 z u v 0 w ± sere etretes. Cosderdo coo créscos ds vráves z u v w resectvete segud dferecl cuo sl teress estudr é d F 4 5 devedo est for qudrátc ser clssfcd o esço ds soluções do segute sste oogéeo : 359

367 ± 6 0. A solução gerl deste sste (o esço R 6 ds vráves ) é e 5 qusquer. Or é evdete que co 4 e 5 qusquer d F 4 5 ode tor ss cotráros ou se trt-se de u for qudrátc defd. Portto os otos de estcordde de coordeds 0 z u v 0 w ± ão são etretes e dí decorre que reltvete o role orgl o oto (0 0 ) té ão é etrete (). Ad roósto deste eelo refr-se que o role orgl d deterção dos etretes de f ( z) z so s codções + + z 0 0 z 0 od ter sdo covertdo o role equvlete d deter-ção dos etretes de (u v w) u + v + 3 w so codção u + v + w ; resolvdo este role dos etretes (u v w) ecotrdos ssr-se os etretes do role orgl fzedo u v e z w. () Ddo que fução f ( z) z é cove e té côcv (fução ler) e o couto B defdo els codções + + z 0 0 z 0 é coveo qulquer oto ( c) que se zte (zte) reltvo d restrção d fução o couto B é ecessrete zte (zte) soluto d fução f ( z) esse couto: ver este roósto o eercíco do cítulo VIII ág 59. Or f (0 0 ) 3 equto que o ío e áo solutos d fução f ( z) e B são resectvete e 4 elo que o oto (0 0 ) ão ode ser etrete reltvo sedo ortto dsesável álse fet co segud dferecl. 360

368 8. Eercícos 8. - Verfque que o oto de coordeds 3/ -/3 é u oto de estcordde ão sgulr d restrção d fução f ( ) + 3 o couto B defdo el codção Cosdere fução f ( ) - o couto e o oto (0 0) B. B {( ) : } ) Verfque que o oto ddo é u oto de estcordde sgulr d restrção de f ( ) o couto B ; ) Mostre que o oto e cus é zte soluto d restrção d fução f ( ) o couto B ; c) Mostre que o etto segud dferecl d Lgrge esse oto e co os ultlcdores λ 0 e λ é defd o couto dos otos ( k) que verfc equção g (0 0). + g (0 0). k 0 e que g ( ) - 3. Coo ustfc est ol? Detere os etretes de f ( z) z so s codções + + z 0 0 z 0. Idque té o áo e o ío solutos d fução dd o couto B defdo or quels codções Detere os etretes de f ( ) 3 + so s codções Detere os etretes ds segutes fuções so s codções dcds e cd cso : ) f ( z) z + z + z - co + + z ; ) f ( z) z co + + z + + z z 0 ; c) f ( z) + - α z co + + z α ; d) f ( z) α. β. z γ co + + z k (suodo ostvos os râetros α β γ e k ). 36

369 8.6 - Detere s segutes dstâcs : ) Do oto ( 0) à ráol de equção 4 ; ) Do oto (- -) à rect de equção Etre todos rectâgulos de eríetro cr o de áre á. Etre todos os rectâgulos de áre S cr o de eríetro ío Sedo Q. (q ) /. (q ) /3. (q 3 ) /6 fução de rodução de u eres que utlz três fctores de reços 0 e 3 detere fução de custo d referd eres Detere os etreos solutos de f ( ) o qudrdo B {( ) : } Sedo que áre de u trâgulo de ldos e z é dd or A.( ).( ).( z) ode é o se-eríetro ostre que de todos os trâgulos co u ddo eríetro o equlátero é o de áre á. 8. Sedo f ( ) u fução de A R e R dferecável o oto INT. A dt que f ( ) - grdete d fução o oto - é u vector ão ulo. Assudo defd e R or euclde rove que : ) O áo soluto d dervd drgd de f ( ) e é f ( ) sedo tl vlor ssudo el dervd drgd segudo drecção do grdete. ) O ío soluto d dervd drgd de f ( ) e é f ( ) sedo tl vlor ssudo el dervd drgd segudo drecção do sétrco do grdete. 36

370 RESPOSTAS : 8. - c) Trt-se de u ol erete rete ddo que or ser (0 0) oto de estcordde sgulr codção do teore 4 ão se verfc ecessrete Mzte soluto : oto de coordeds 0 z 0 (o ío soluto é gul ) ; Mzte soluto : oto de coordeds 0 z 0 (o áo soluto é gul 4 ) Mzte : oto de coordeds 0 0 ; Mzte : oto de coordeds ) Mzte : oto de coordeds 7/0 6/0 z -3/0 ; ) Mzte : oto de coordeds z 0 Mzte : oto de coordeds 4/3 0 z /3 ; c) Co α 0 zte : oto de coordeds 0 0 z 0 ; Co α > 0 zte : oto de coordeds 0 0 z α zte : oto de coordeds ± + α α 0 z -/α ; Co α < 0 zte : oto de coordeds 0 0 z α ; d) Mzte : oto de coordeds α k α + β + γ β k α + β + γ γ k z α + β + γ ) ; ) O rectâgulo de áre á é o qudrdo de ldo /. O rectâgulo de eríetro ío é o qudrdo de ldo S C 30. Q Mío soluto : - 40 ; Máo soluto :. 363

371 CAPÍTULO XI DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA FUNCIONAIS. Cocetos áscos Cosdere-se fuções res f ( ) f ( ) f ( ) tods co doío e certo erto A R ode se suõe de clsse C sto é dte-se que s rers dervds rcs ds f ( ) são fuções cotíus o erto A. As fuções e cus dze-se fucolete deedetes e A se e só se este u fução g ( ) de clsse C u erto de R que cote o couto f (A) f (A) f (A) e tl que : {( ) : f (A) f (A) f (A) } ) A fução g te rers dervds rcs ão coutete uls e qulquer dos otos do couto f (A) f (A) f (A) ; ) Qulquer que se A te-se g [ f ( ) f ( ) f ( )] 0. E rtculr se se egr dcolete que fução g se ler sto é g ( ) c + c + + c co os coefcetes c costtes dz-se que s fuções f ( ) são lerete deedetes. Oserve-se que o cso d deedêc ler codção ) d defção equvle ser ão ul elo eos u ds costtes c. Qudo ão estr fução g s codções dcds dz-se que s fuções f ( ) são fucolete deedetes (lerete deedetes o cso de ão estr eu fução ler s codções deseds). 364

372 Evdeteete que deedêc ler de fuções lc resect-v deedêc fucol s recíroc ão é verdder coo ostr o eelo segute. As fuções f ( ) e f ( ) + + são fucolete deedetes o erto A R - {(00)} os vê-se co fcldde que co fução g ( ) + é stsfet resectv defção. Cotudo s ess fuções ão são lerete deedetes ddo ão estre costtes c e c ão s uls e ts que c + c qulquer que se ( ) A : co efeto r 0 e guldde teror ege que c 0 ; r e 0 es guldde ege que c 0.. Teores fudets sore deedêc e deedêc fucos Os teores segutes fclt o estudo d deedêc e deedêc fucos de u sste de fuções. Teore : Dds s fuções res f ( ) f ( ) f ( ) tods de clsse C o erto A R se lgu dels ode err-se s resttes or eelo f ( ) F [ f ( ) f ( )] A co F ( ) de clsse C e certo erto que cote o couto f (A) f (A) etão s fuções dds são fucolete deedetes o erto A Deostrção : Sedo or eelo f ( ) F [ f ( ) f ( )] qulquer que se A st cosderr g ( ) - F ( ) e teder às óteses quto à fução F r se ter el defção deedêc fucol ds fuções f ( ). Teore : Dds s fuções res f ( ) f ( ) f ( ) tods de clsse C o erto A R se fore fucolete deedetes e A etão r qulquer A este u V ε ( ) qul lgu ds f ( ) se f α ( ) se ode err s resttes sto é f α ( ) F[ f ( ) f α - ( ) f α + ( ) f ( )] V ε ( ) e que F é de clsse C e certo erto que coté o couto f [V ε ( )] f α - [V ε ( )] f α + [V ε ( )] f [V ε ( )] 365

373 Deostrção : Verfcds s óteses este u fução g ( ) de clsse C u erto de R que coté o couto f (A) f (A) f (A) s segutes codções : g te dervds rcs ão coutete uls e eu oto do ecodo couto f (A) f (A) f (A) ; e or outro ldo g [ f ( ) f ( ) f ( )] 0 A. Fdo u qulquer A o oto corresodete ( ) co f ( ) r fução g ( ) te u ds sus dervds rcs ão ul. Adtse se erd de geerldde e or coveêc de otção que g ( ) 0 (). Por ser g( ) 0 e g ( ) 0 os teores estuddos o Cítulo I sore fuções defds lctete es que equção g ( ) 0 defe lctete e cert V δ ( ) u úc fução cotíu F ( ) tl que F ( ) e or outro ldo ess fução é de clsse C quel V δ ( ) ; te-se etão r cd ( ) V δ ( ) g[ F ( ) ] 0. Coo s f ( ) são or ótese cotíus este u V θ ( ) A tl que V θ ( ) [ f ( ) f ( )] V δ ( ) e etão r qulquer V θ ( ) ter-se-á g { F[ f ( ) f ( )] f ( ) f ( )} 0 o que ostr ser F[ f ( ) f ( )] defd lctete e V θ ( ) el equção g [ f ( ) f ( )] 0. Ms est últ equção dte coo solução f ( ) e or outro ldo este oto te-se g ( ) 0 ; equção e cus defe etão lctete e cert vzç V η ( ) A u úc fução cotíu ( ) tl que ( ). Or coo vos terorete fução F[ f ( ) f ( )] é té defd lctete el es equção e V θ ( ) é cotíu (coosção de fuções cotíus) e é tl que F[ f ( ) f ( )] ; te-se etão () O rgueto desevolver vle co dtções óvs se o ão uleto se verfcr r qulquer ds dervds rcs d fução g ( ) ( ) F[ f ( ) f ( )] V θ ( ) V η ( ). 366

374 Rere-se gor f ( ) é gulete defd lctete el equção g [ f ( ) f ( )] 0 e A e ortto or or de rzão e V ε ( ) co ε Mí {θ η } ; é té cotíu e tl que f ( ). Deverá ortto ser ( ) F[ f ( ) f ( )] f ( ) V ε ( ) fltdo es rovr r coclur deostrção que F ( ) é de clsse C e certo erto que coté o couto f [V ε ( )] f [V ε ( )]. Vu-se tes que F ( ) é de clsse C o couto erto V δ ( ) ; or f [V ε ( )] f [V ε ( )] V δ ( ) desde que o ε Mí {θ η} se todo sufceteete equeo (devdo à cotudde ds fuções f e ). Reltvete à deostrção que c de ser fet oserve-se d que : ) Sedo g ( ) 0 é f α ( ) que se cosegue err s resttes f ( ) ; ) Pr α dferetes A oderá ser dferete f α ( ) que se ere s resttes f ( ). Teore 3 : Dds s fuções res f ( ) f ( ) f ( ) tods de clsse C o erto A R se fore fucolete deedetes e A etão r qulquer A crcterístc d trz Jco G [ f / ] ( ; ) é feror Deostrção : Verfcds s óteses este u fução g ( ) de clsse C u erto de R que coté o couto f (A) f (A) f (A) s segutes codções : g te dervds rcs ão coutete uls e eu oto do ecodo couto f (A) f (A) f (A) ; e or outro ldo g [ f ( ) f ( ) f ( )] 0 A. Te-se etão r [ ( ) ( ) L ( )] g f f f 0 r todos os otos A. Utlzdo regr de dervção de u fução coost oté-se etão 367

375 g f g f g f + + L + K 0 e que s dervds rcs g / deve ser tods r cd A o oto [ f ( ) f ( )] f (A) f (A). Coo r cd A elo eos u ds g / tods o oto dcdo é ão ul tl sgfc que o sste oogéeo f f f ξ + ξ + L + ξ K 0 de equções s cógts ξ ξ ξ dte (r cd oto A ) soluções ão uls e tl org que crcterístc d trz do sste ou se d trz G [ f / ] te de ser feror coo se reted rovr. Do teore recedete decorre edtete os segutes coroláros: Coroláro : Dds s fuções res f ( ) f ( ) f ( ) tods de clsse C o erto A R se r certo A crcterístc d trz Jco G [ f / ] ( ; ) for gul etão s fuções e cus são fucolete deedetes e A Deostrção : É evdete fce o dsosto o teore 3. Coroláro : Dds s fuções res f ( ) f ( ) f ( ) tods de clsse C o erto A R els são fucolete deedetes se o deterte Jcoo ão se ul detcete e A f / ( ; ) Deostrção : Result edtete do coroláro teror otdo que se 0 r certo A etão r esse crcterístc d trz G [ f / ] ( ; ) é gul. Deostr-se segudete quele que ode ser cosderdo o teore fudetl e tér de deedêc e deedêc fucol. Teore 4 : Dds s fuções res f ( ) f ( ) f ( ) tods de clsse C o erto A R r cd A reresete-se or r( ) crcterístc d trz Jco 368

376 G [ f / ] ( ; ) e se r Má { r( ) : A }. Etão : ) Este etre s fuções f ( ) r que são fucolete deedetes e A ; ) Cd u ds resttes - r fuções f ( ) ere-se s r referds e ) e cert vzç V ε ( ) de cd oto A ode se gul r crcterístc d trz Jco desss r fuções. Deostrção : ) Ns codções do eucdo este u oto 0 tl que trz G [ f / ] 0 te crcterístc r. Est trz ossu etão r ls dee-detes e r s r fuções corresodetes esss ls resectv trz Jco te crcterístc r r 0. Logo segudo o coroláro do teore 3 (todo gor co r o lugr de ) esss r fuções f ( ) são fucolete deedetes o erto A. ) Veos etão que cd u ds resttes - r fuções f ( ) se ode err s r referds e ) e cert V ε ( ) de cd oto A ode se gul r crcterístc d trz Jco desss r fuções. Se erd de geerldde e or coveêc de otção vos dtr que s r fuções fucolete deedetes referds e ) são recsete f ( ) f ( ) f r ( ). Pr elor sstetzção vos dvdr e líes deostrção efectur coeçdo or oter dos resultdos ulres utlzr osterorete. ) Cosdere-se u oto A ode se r crcterístc d trz Jco G r [ f / ] ( r ; ) desss r fuções. Novete se erd de geerldde e or coveêc de otção dtreos que sutrz qudrd de orde r cotd e G r cuo deterte ão se ul e é G r [ f / ] ( r ; r ). Ter-se-á etão G r 0 e e devdo à cotudde ds f / coclu-se que té G r 0 r V θ ( ) A. Ms : ode e v escoler-se θ sufceteete equeo or for que todo s dervds d rer l de G r e V θ ( ) s d segud l e V θ ( ) etc. se té G r 0. Costrudo rtr de G r o deterte 369

377 f L f G r (α ; s) r L L f r f r r f f s r s f α L f α r f α s co α > r e s > r este deterte terá de ser detcete ulo o erto A. Co efeto se r certo 0 A fosse G r (α ; s) 0 trz Jco ds fuções f ( ) f ( ) f ( ) ter crcterístc sueror r e certo 0 A o que ser cotráro à ótese de ser r Má { r( ) : A }. ) Cosdere-se gor o sste f( K r r+ K ) L fr ( K r r+ K ) r 0 0 que dte coo solução ( r ) co f ( ) r r. Coo o deterte Jcoo ds fuções dos reros eros ds equções do sste e relção r e todo e ( r ) cocde co G r todo e tl deterte é ão ulo e ortto o sste defe lctete e cert vzç V δ ( r+ r ) u úco sste de fuções de clsse C ϕ ( r+ K K L ϕ ( + K K r r r r ) ) ts que ϕ ( r+ r ) r r ; o vlor δ suõe-se escoldo sufceteete equeo de for que r todo o se te ( r+ r ) V δ ( r+ r ) [ ϕ ( ) ϕ r ( ) r+ ] V θ ( ) A e que or slfcção ( ) ( r+ r ) sedo tl sere ossível devdo à cotudde ds fuções ϕ. ) Todo ε θ sufceteete equeo de for que r todo o oto V ε ( ) se te 370

378 [ r+ f ( ) f r ( )] V δ ( r+ r ) o que é sere ossível devdo à cotudde ds f ( ) fços e segud * ϕ [ r+ f ( ) f r ( )] r ; o que se dsse rte fl de ) sore escol do vlor δ erte coclur que ( * * r r+ ) V θ ( ). Vos rovr e segud que r todo o V ε ( ) deverá ser *. Co efeto or susttução dos * o sste que defe lctete s fuções ϕ ode oter-se : * * f( K r r+ K ) f( ) L * * fr ( K r r+ K ) fr ( ) 0 0 ; lcdo o teore dos créscos ftos cd u reros eros ds gulddes recedetes oté-se: * * ( ). f ( ) + L + ( r ). f ( ) r r L * * ( ). fr ( r ) + L + ( r r ). fr ( r ) r 0 0 co certos K r V θ ( ). A codção que resdu à escol de θ grte que f ( ) L f ( ) L r r r r f ( ) L f ( ) r r 0 elo que s gulddes otds o lcros o teore dos créscos ftos lc que * * * r r coo se quer rovr. Ou se r todo o V ε ( ) te-se : ϕ [ r+ f ( ) f r ( )] r. v) Cosdere-se gor u fução f α ( ) co α > r e r fç-se coosção ( r+ r ) V δ ( r+ r ) f α [ ϕ ( ) ϕ r ( ) r+ ] 37

379 e que ( ) ( r+ r ). Susttudo est fução coost or f ( ) r r V ε ( ) oté-se fce o resultdo de ) e ortto se rovros que f α ( r r+ ) f α ( ) f α [ ϕ ( ) ϕ r ( ) r+ ] é u fução Φ α ( r ) só dos (costte e relção às vráves r+ ) coclu-se que f α ( ) Φ α [ f ( ) f r ( )] ou se f α ( ) co α > r ode err-se e teros ds fuções f ( ) f r ( ) e V ε ( ). v) Veos etão que fução Φ α ( r+ r ) f α [ ϕ ( ) ϕ r ( ) r+ ] e que ( ) ( r+ r ) é costte e relção às vráves r+ e V δ ( r+ r ) o que coo se dsse o fl de v) coclurá deostrção do teore. O teore dos créscos ftos grte este desderto desde que se Φ α r + Φ α r + Φ α 0 quel vzç. Or s dervds ϕ / s s > r ds fuções ϕ defds lctete elo sste de ) verfc s relções f L f r ϕ f ϕ r f + L + + s ϕ f ϕ r r f r + L + + s r r s s s s 0 0 e or outro ldo Φ α s ϕ f ϕ r + L + + f α α s r s f α s 37

380 devedo e tods s gulddes recedetes s dervds ϕ / s sere tods os otos ( r+ r ) V δ ( r+ r ) e s f / os otos corresodetes [ ϕ ( ) ϕ r ( ) r+ ] V θ ( ) A. Retoe-se gor o deterte G r (α ; s) α α f f f f f f f f f r s r r r r s r s L L L L α cosderdo d líe ) e dcoe-se à últ colu o roduto d rer or ϕ / s o roduto d segud or ϕ / s etc. ss se otedo G r (α ; s) ϕ ϕ ϕ α α α f f f f f f f f f f f f r k k s k r s r r r r k k s k r r s r k k s k r s L L L L ( ) ( ) ( ) α. Cosderdo o deterte teror s dervds ϕ / s e f / tods os otos terorete referdos oté-se : G r (α ; s) α α f f f f f f r r r r r s 0 0 L L L L Φ α Φ α s. f f f f r r r r L L L. 373

381 Or coo vos e ) este deterte deve ser ulo r qulquer A ; e co qulquer te-se o que lc ( r+ r ) V δ ( r+ r ) [ ϕ ( ) ϕ r ( ) r+ ] V θ ( ) A f L f r L L f r f r r 0. Result etão Φ α s 0 ss se cocludo que e ( r+ r ) V δ ( r+ r ) se te Φ α 0 ( s r + ) coo se quer rovr. O teore está s ss coletete deostrdo. Veos dos eelos de lcção do teore teror: ) Pr s fuções defds e R cos + se e se + cos te-se se cos cos se se se - cos cos ão detcete ulo e R deedetes e R. e ortto s fuções dds são fucolete ) Pr s fuções defds e R resectv trz Jco e 3 374

382 4 0 te crcterístc á r Má { r( ) : ( ) R }. Etão dus ds fuções dds são fucolete deedetes e R or eelo coo cotece co e e tercer ( 3 ) ode err-se quels e lgu vzç de cd ( ) R ode se gul dos crcterístc d trz Jco de e. No cso resete cosegue eso err-se fução 3 e teros de e trvés de u relção glolete váld e R e ão es vzç de cd oto s codções dcds : 3 + ( ) R. 3. Dervção de u deterte fucol Cosdere-se o deterte fucol D() f ( ) f ( ) L f ( ) f ( ) f ( ) L f ( ) L f ( ) f ( ) L f ( ) e que cd f () é u fução rel de vrável rel co dervd ft o tervlo I. Vos deduzr u regr que erte oter dervd de D() coo u so de detertes. Coo se se or defção de deterte θ D() ( ). fα ( ). fα ( ). K. fα ( ) e que θ desg o úero de versões d erutção α α α reltvete à erutção rcl. Usdo s regrs de dervção de u so e de u roduto de fuções te-se θ D () ( ). fα ( ). fα ( ). K. fα ( ) + θ + ( ). fα ( ). fα ( ). K. fα ( ) + + θ + ( ). fα ( ). fα ( ). K. fα ( ) e coclu-se edtete que cd u dos sotóros d eressão recedete corresode o vlor de u deterte otdo rtr de D() dervdo cd u ds sus ls ou se 375

383 D () f ( ) f ( ) L f ( ) f ( ) f ( ) L f ( ) L f ( ) f ( ) L f ( ) + f ( ) f ( ) L f ( ) f( ) f( ) L f ( ) + + L f ( ) f ( ) L f ( ) + f ( ) f ( ) L f ( ) f ( ) f ( ) L f ( ) L f ( ) f ( ) L f ( ). Ddo que trsosção de u trz ão lter o vlor do resectvo deterte regr de dervção recedete é té váld qudo lcd or colus. Por eelo sedo D() te-se D () E ltertv dervdo or colus te-se ; 0 D () Se clculros rero D() oté-se D() cofrr ser D () o que erte 4. Estudo esecl d deedêc ler r s fuções res de vrável rel N l do que se vu terorete dds fuções res de vrável rel defds u tervlo [ ] f () f () f () 376

384 dze-se lerete deedetes o tervlo qudo este costtes c c c ão tods uls e ts que qulquer que se [ ]. c. f () + c. f () + + c. f () 0 Dze-se lerete deedetes o cso cotráro. Note-se que r defção de deedêc ler equvle dzer que f () é detcete ul o tervlo [ ]. Tedo e vst resetr lgus teores sore deedêc ler defe-se segudete o cdo deterte Wrosko. Dds fuções res de vrável rel defds o tervlo [ ] f () f () f () suosts derváves o tervlo té à orde - o seu deterte Wrosko é o deterte: W f ( ) f ( ) L f ( ) f ( ) f ( ) L f ( ) L ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) L f ( ). Podeos gor deostrr o teore segute : ( Teore 5 : Sedo o coleeto lgérco de f ) ( ) suodo s f () derváves té à orde etão te-se : o Wrosko W e 0 0 K ( f ) ( ). W W Deostrção : Pr 0 - está e cus so dos rodutos dos eleetos de u l de W elos coleetos lgércos de outr l que coo se se é gul zero. 377

385 Pr - está e cus so dos rodutos dos eleetos d últ l de W elos resectvos coleetos lgércos que coo se se é gul o vlor do deterte (teore de Llce). Veos o cso. Pel regr de dervção de u deterte fu-col tese: W + f ( ) f ( ) L f ( ) f ( ) f ( ) L f ( ) L ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) L f ( ) f ( ) f ( ) L f ( ) " " " f ( ) f ( ) L f ( ) L ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) L f ( ) f ( ) f ( ) L f ( ) f ( ) f ( ) L f ( ) L ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) L f ( ) e co eceção do últo todos os detertes evolvdos dervd de W são ulos (tê dus ls gus). Desevolvedo o últo deterte elo teore de Llce segudo os eleetos d últ l oté-se etão ( W f ) ( ). que é relção que se reted estelecer. Reltvete o teore que c de ser deostrdo cové d otr que ótese de s fuções f () sere derváves té à orde es é ecessár r estelecer relção corresodete o cso. Pr os csos 0 - st dtr dervldde ds fuções té à orde -. Estos gor e codções de deostrr dos teores fudets sore deedêc ler de fuções res de vrável rel. Teore 6 : Se s fuções f () f () suosts derváves té à orde - o tervlo [ ] são lerete deedetes este tervlo etão o deterte Wrosko é detcete ulo o eso tervlo 378

386 Deostrção : D defção c. f () + c. f () + + c. f () 0 e [ ] oté-se or dervção sucessv té r todo o [ ] c. f ( ) + c. f ( ) + L + c. f( ) 0 " " " c. f ( ) + c. f ( ) + L + c. f( ) 0 L ( ) ( ) ( ) c. f ( ) + c. f ( ) + L + c. f ( ) 0. Fordo u sste ler co ests - gulddes s que les deu orge teos r cd [ ] u sste oogéeo s cógts c cuo deterte é recsete o Wrosko W. Pr que o sste oss ser verfcdo co c ão todos ulos ( coo õe o coceto de deedêc ler) deve ter-se ecessrete W 0 r todo o [ ] coo se quer deostrr. Teore 7 : Se o Wrosko W for detcete ulo e [ ] e e eu oto de ] [ se ul sulteete os coleetos lgércos ( ) dos eleetos d su últ l etão s fuções f () f () são lerete deedetes o tervlo [ ] Deostrção : Sedo E os coleetos lgércos dos eleetos d eúlt l de W or u rgueto seelte o usdo deostrção do teore 5 coclu-se que - E e que coo terorete os são os coleetos lgércos dos eleetos d últ l de W. Por outro ldo ddo ão sere sulteete ulos e eu oto ] [ todos os e o eso teo ddo que W 0 o tervlo [ ] coclu-se que r qulquer ] [ W te crcterístc gul -. Note-se e segud que o teore 5 e u resultdo álogo r os coleetos lgércos E erte escrever f( ). + L + f( ). 0 f ( ). + L + f( ). 0 L ( ) ( ) f ( ). + L + f ( ). 0 ( ) ( ) f ( ). + L + f ( ). W 0 e té 379

387 f( ). E + L + f( ). E 0 f ( ). E + L + f( ). E 0 L ( ) ( ) f ( ). E + L + f ( ). E W ( ) ( ) f ( ). E + L + f ( ). E 0 As gulddes terores ostr que ( ) e ( E E E ) 0. são dus soluções do eso sste oogéeo cuo deterte é recsete W. Coo r qulquer ] [ W te crcterístc gul - r esses vlores de o sste oogéeo e cus é deterdo de gru u ; ddo que ( ) é u solução ão ul desse sste qulquer outr solução e rtculr ( E E E ) ode oter-se els relções r qulquer ] [. E β (). Atededo gor que coo vos - E result - β (). r qulquer ] [. Fzedo e segud M + + L + te-se M 0 o tervlo ] [ e etão dode se tr M. β () β ( ). + β ( ). + L + β ( ). L... β () ( M L ) ( + + L + ) M ( M ) M M M. 380

388 Or M. M. M M M M M + β ( ). M M 0 e ] [ ; etão M c (costte o tervlo ] [ ) e clro que s costtes c ão são tods uls (orque o eso cotece co os ). Ms elo teore 5 e rtr dqu s sucessvete f ( ). 0 f ( ). M. c 0 e f ( ). c 0 ( or ser M 0 ) r ] [ co s costtes c ão tods uls. Pel cotudde ds f () e [ ] etão té últ guldde se verfc s etreddes do tervlo ou se f ( ). c 0 r qulquer [ ] co s costtes c ão tods uls. Por outrs lvrs s fuções f () são lerete deedetes e [ ] coo se reted deostrr. 38

389 5. Eercícos 5. - Mostre que s fuções f() se e g() cos são fucolete deedetes o tervlo ]0 π/[. Mostre que o etto são lerete deedetes Estude deedêc fucol e R 3 ds segutes fuções : e Deostre que ão são deedetes s fuções u e v + e dque u relção que s lg Detere crcterístc d trz Jco ds segutes fuções defds e R 3 : u + v + z e w + z - z. Ote u relção etre s fuções Deostre deedêc ler s fuções u + v - e w Cosdere s fuções u e v.. ) Mostre que o resectvo deterte Wrosko é detcete ulo e R e que o etto s fuções dds ão são lerete deedetes e qulquer tervlo que clu orge o seu teror; ) A que se deve est ol reltvete o teore que dá codção sufcete de deedêc ler ) Sedo f () f () f () lerete deedetes e derváves o tervlo [ ] ostre que etão são té lerete deedetes s fuções f () f () f () ; ) Bsedo-se o resultdo d líe teror ostre que sedo s fuções f () f () f () lerete deedetes e derváves té à orde o tervlo ( [ ] etão é ulo o deterte fucol f ) ( ) ( ; ) ; 38

390 c) Utlzdo coo eelo s fuções f () f () e f 3 () + ostre que roosção recíroc de ) ão é verdder ; d) Mostre que ão ostte c) sedo f () f () f () lerete deedetes e [ ] e estdo rtvs F () ds fuções f () esse tervlo etão todo r tods s f () rtvs que se ule u eso c [ ] ests rtculres rtvs são té lerete deedetes o tervlo e cus. 5.8* - Se s fuções u () u () u () são cotíus o terv-lo [ ] fzedo I u ( ) u ( ) d ostre que codção ecessár e sufcete r que s fuções dds se lerete deedetes é que se ule o deterte de Gr : G I I L I I I L I L I I L I 0. Alque este resultdo r ostrr que são lerete deedetes s fuções do eercíco 5.. RESPOSTAS : 5. - São fucolete deedetes : (u + ) v - u A crcterístc é gul. Eelo de relção etre s fuções : w (u - v) ) Deve-se o fcto de os coleetos lgércos dos eleetos d últ l do deterte Wrosko sere todos ulos r

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