Geometria das Conexões

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1 Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática Curso de Pós-graduação em Matemática Dissertação de Mestrado Geometria das Conexões Carla Lopes Dias Salvador-Bahia Dezembro 2004

2 Geometria das Conexões Carla Lopes Dias Dissertação apresentada ao Colegiado do Curso de Pós- Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obtenção do Título de Mestre em Matemática. Banca examinadora: Prof. Dr. Marco Antônio Nogueira Fernandes (Orientador) Prof. Dr. Luiz Antonio Barrera San Martin Prof. Dr a Rita de Cássia de Jesus Silva

3 Dias, C. A GEOMETRIA DAS CONEXÕES / Carla Lopes Dias. Salvador-Ba, Orientador: Dr. Marco Antônio Nogueira Fernandes (UFBA). Dissertação de Mestrado apresentada ao curso de Pós-graduacão em Matemática da UFBA, 30 páginas. Palavras-Chave: Conexão afim, conexão Riemanniana, fibrado, levantamento de caminhos.

4 A meus pais, irmãos e Oscar.

5 Nunca pense em desistir, não/ te aconselho a prosseguir/ o tempo voa, rapaz/ pegue seu sonho, rapaz/ a melhor hora e o momento é você quem faz/ recito poesias/ palavras de um rei: faça por onde que eu te ajudarei. Cidade Negra.

6 Agradecimentos A minha mãe, que sempre me apoiou e incentivou os meus estudos. Aos meus irmãos, que me incentivaram carinhosamente encorajando-me a prosseguir e dando-me forças para vencer cada etapa e a meu pai, que infelizmente não pode estar presente neste momento tão importante da minha vida. À professora Rita de Cássia, pela sua paciência e amizade, além de uma singular habilidade de dizer as palavras certas, nos momentos certos, promovendo sempre força e motivação. Ao professor Marco Antônio Nogueira Fernandes pela orientação e apoio, não só durante esta fase, mas em todo percurso. À todos os professores responsáveis por esta jornada e em especial, aos professores: Enaldo Vergasta, Ézio, Isaac Lázaro, José Fernandes, José Nelson, Armando, Vilton Pinheiro, Carlos Bahiano, todos da Universidade Federal da Bahia, os quais estiveram sempre dispostos a ajudar. Aos grandes amigos: Fabiana Laranjeiras, Gabriela Góes, José Alves e Mariana Pinheiro. As amigas de sempre: Ana Carolina, Ana Emília, Ana Maria e Carina Lima. Aos amigos de curso, pelos esclarecimentos e contribuições de informações durante o curso de pós-graduação. Ao LEMA, em especial as professoras: Elinalva, Ednalva, Graça Passos, Silvia Velloso, Verlane, Cristiana e Eliana Prates, pelos seus conhecimentos e auxílio que me fez crescer tanto na vida acadêmica quanto na pessoal. Gostaria também de agradecer a todos os colegas e funcionários do Instituto de Matemática e aos professores: Luiz Antonio Barrera San Martin que compôs minha banca examinadora e que verificou com tanto zelo esta dissertação. Um agradecimento especial ao Professor Paulo Ruffino pela ajuda na correção final. E a CAPES pelo apoio financeiro. vi

7 Introdução A Geometria Riemanniana surgiu a partir de uma desenvolvimento natural da geometria das superfícies do R 3. Muitos dos resultados sobre superfícies foram obtidos por Gauss no trabalho intitulado: Disquisitiones Investigations of Curved Surfaces. Nele, Gauss definiu uma forma quadrática chamada primeira forma fundamental a qual nos permite calcular os comprimentos de linhas sobre a superfície, achar as geodésicas e calcular a curvatura gaussiana - tudo isso sem considerar o espaço onde a superfície se encontra. Em suma, Gauss mostrou como estudar a geometria da superfície operando exclusivamente sobre a própria superfície. Em 1854, Riemann em sua conferência On the Hypotheses which lie at the Foundatios of Geometry, generalizou as idéias de Gauss. Usando uma linguagem intuitiva, sem definições precisas nem demonstrações cuidadosas, Riemann introduziu o que hoje chamamos uma variedade de dimensão n (um objeto que generaliza a noção de superfície para qualquer dimensão e sem menção a um espaço ambiente) e postulou que uma geometria era um modo de medir comprimentos em uma tal variedade. Para cada ponto desta, ele impôs uma distância (métrica) e examinou a noção de curvatura. A audaciosa concepção de Riemann não foi bem entendida em sua época, e só lentamente se desenvolveu o que hoje chamamos Geometria Riemanniana. O conceito formal de variedade só apareceu em 1913 devido a H. Weyl. Dois pontos importantes no desenvolvimento da Geometria Riemanniana foi a Teoria da Relatividade (1916) que é completamente baseada nas idéias de Riemann e o teorema de Whitney (1935) que prova o seguinte: Toda variedade diferenciável de dimensão n pode ser imersa no R 2n 1 e mergulhada no R 2n. Este resultado mostra que variedades podem ser tratadas do ponto de vista intrínseco ou extrínseco, conforme desejarmos.

8 2 Outro extraordinário avanço para a Geometria aconteceu quando Levi-Civita (1917) interpretou o cálculo do tensor de Ricci como uma descrição analítica de um conceito que ele chamou de transporte paralelo. No R n, isto corresponde a mover um vetor para um ponto qualquer ao longo de uma curva, mantendo sua direção e seu módulo. Neste trabalho estudaremos a relação entre o transporte paralelo e três estruturas geométricas: a conexão afim, a conexão Riemanniana e a conexão em um fibrado principal. A conexão afim foi definida primeiro por Christoffel (1869) sendo um conjunto de símbolos { k ij} ou Γ k ij associados a um sistema de coordenadas sobre a variedade. O ponto de vista moderno é devido a Koszul. No caso de superfícies em R 3 existe um conceito equivalente, chamado derivada covariante, que pode ser descrito como segue. Consideremos S R 3 uma superfície regular, c : I S e V : I R 3 um campo de vetores tangentes a S ao longo de c. Em geral, o vetor dv (t) não pertence ao plano tangente dt T c(t) S, por isso considera-se o vetor obtido ao projetar ortogonalmente sobre T c(t) S, que se denota por DV (t). Este vetor se denomina a derivada covariante de V em c(t), e sua importância dt está no fato que a derivada covariante é um conceito intrínseco da superfície, pois só depende da 1 a forma fundamental. Seguindo esta linha, dizemos que um campo de vetores V é paralelo se dv dt 0. É interessante mencionar que apesar de usarmos o conceito de derivada covariante para definir o paralelismo, historicamente não foi isso que aconteceu. Em termos de superfície podemos construir geometricamente o transporte paralelo como segue. Considere a família de planos tangentes a S ao longo de c. Esta família determina uma superfície chamada a envolvente da família de planos tangentes a S ao longo de c. Em uma vizinhança de c, a envolvente é uma superfície regular Σ a qual é tangente a S ao longo de c e tem curvatura gaussiana identicamente nula. O teorema de Minding diz que uma superfície com curvatura gaussiana igual a zero é isométrica a um plano. E uma vez que o paralelismo é uma isometria, para obtermos o transporte paralelo de um vetor ao longo de uma vizinhança de c, tomamos o transporte paralelo usual no plano e o trazemos para Σ.

9 3 Em seu trabalho, Riemann deixou claro que o conceito fundamental em geometria é o que hoje em dia denominamos métrica Riemanniana. Esta possibilita definir o comprimento de uma curva e a área de uma região contidas em uma variedade. Podemos adicionar uma métrica a qualquer variedade usando a partição da unidade. Uma variedade Riemanniana é uma variedade diferenciável provida de uma métrica. Por volta de 1956 o matemático americano John Nash provou que: Toda variedade Riemanniana pode ser mergulhada isometricamente em algum R n. Isto significa que toda variedade Riemanniana pode ser visualizada como uma subvariedade do espaço euclidiano. O Lema Fundamental da Geometria Riemanniana (Levi-Civita) afirma que a escolha de uma métrica determina unicamente uma conexão afim associada a ela chamada a conexão Riemanniana. E neste caso, como mostraremos, o transporte paralelo é uma isometria. A importância do transporte paralelo foi percebida por Cartan (1928) que elaborou uma teoria completamente diferente: o método do referencial móvel. Porém esta teoria só é facilmente entendida quando usamos o operador que historicamente apareceu muito depois, por volta de A idéia básica da teoria de Cartan é expressar os resultados em termos de campos de vetores arbitrários e não apenas dos naturais X i = / x i. O livro The Theory of Groups of Lie (1946) de Chevalley ajudou no entendimento dos conceitos e notações dando um efeito notável a situação corrente. Mas a compreensão total do trabalho só foi obtida quando surgiu a noção de conexão em fibrados formulada por volta de 1950 por Ehresmann. Um fibrado principal pode ser visto localmente como o produto de duas variedades diferenciáveis sendo uma delas um grupo de Lie que age sobre uma outra. Esta estrutura de produto local legitima o uso da propriedade de levantamento de caminhos da Topologia. E sob o ponto de vista geométrico determinar uma conexão em um fibrado equivale a determinar uma única direção para o levantamento. Temos, então que, em um fibrado, a estrutura de transporte paralelo é substituída pela propriedade de levantamento único de caminhos. A seguir descreveremos o conteúdo de cada capítulo desta dissertação. No Capítulo 1 citaremos algumas definições, notações e resultados da Geometria Riemanniana. Definiremos um fibrado principal a partir de um exemplo: o fibrado do referenciais. Pretendemos com isso obter resultados mais rapidamente e facilmente e assim desenvolver nossa intuição geométrica.

10 4 No Capítulo 2 apresentaremos a conexão afim e o transporte paralelo e mostraremos que esses dois conceitos são equivalentes. No Capítulo 3 definiremos uma métrica Riemanniana sobre uma variedade diferenciável. Veremos que toda métrica Riemanniana dá origem a uma conexão afim chamada conexão Riemanniana e neste caso o transporte paralelo é uma isometria. No Capítulo 4 retornaremos ao método usado no início e mostraremos que a noção de transporte paralelo em uma variedade é equivalente a propriedade de levantamento único de caminhos equivariante no fibrado dos referenciais. Definiremos uma conexão em um fibrado principal e provaremos que ela também é equivalente a propriedade de levantamento único de caminhos.

11 Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo apresentaremos as principais definições e as notações que serão usadas ao longo do texto, as variedades consideradas serão sempre diferenciáveis, de Hausdorff e com base enumerável. A palavra diferenciável significará de classe C. Primeiro algumas notações: M: variedade diferenciável de dimensão n; T p M: espaço tangente a M no ponto p M; X (M): o espaço vetorial de todos os campos de vetores diferenciáveis em M; C (M): conjunto das funções reais diferenciáveis em M. Listaremos agora algumas definições e resultados básicos da Geometria Riemanniana. Sejam M e N variedades diferenciáveis, possivelmente de dimensões diferentes e f uma aplicação (de um conjunto aberto) de M em N. Sejam (U, φ) e (V, ψ) parametrizações para M e N em p e f(p) respectivamente. Então f é dita diferenciável em p, se ψ f φ 1 é diferenciável em φ(p). Uma curva em M é uma aplicação diferenciável α : I M, onde I R é um intevalo aberto. O vetor tangente a α em t = t 0 será indicado por α(t 0 ). Com frequência consideraremos curvas com domínio compacto. Neste caso um vetor tangente a α em um extremo é o vetor 5

12 6 tangente a qualquer extensão diferenciável de α em um aberto contendo o compacto. Uma curva integral de um campo de vetores X é uma curva α para qual α(t) = X α(t) para todo t. O teorema de existência e unicidade das equações diferenciais ordinárias garante que para todo p M, um campo de vetores X tem uma curva integral α definida em algum intervalo ( ɛ, ɛ) com α(0) = p. E é única no sentido que se β : ( δ, δ) M também é uma curva integral de X com β(0) = p, então α(t) = β(t) para todo t ( ɛ, ɛ) ( δ, δ). Para X e Y em X (M), o campo de vetores chamado de colchete de Lie de X e Y, é definido por [X, Y ] p f = X p (Y f) Y p (Xf), f C (M). Um campo de vetores ao longo de uma curva α : I M é uma aplicação Y que associa a cada t I um vetor Y α(t) em T α(t) M tal que para toda f C (M), t Y α(t) f é uma função real diferenciável em I. Uma métrica Riemanniana, para M é uma correspondência que associa a cada ponto p M um produto interno, p (isto é, uma forma bilinear simétrica, positiva definida) no espaço tangente T p M, que é diferenciável no seguinte sentido: para quaisquer campos de vetores diferenciáveis X e Y em M, a função p X p, Y p p de M em R é diferenciável. Destacamos as próximas definições por elas serem fundamentais para o último capítulo. 1.1 Definição. Um grupo de Lie é uma variedade G com uma estrutura de grupo de tal modo que as aplicações: são diferenciáveis. G G G e G G (x, y) x y x x 1

13 7 Decorre imediatamente da definição que, num grupo de Lie G, as aplicações L g : G G e R g : G G h gh h hg, são difeomorfismos, para cada g G. Estas aplicações são chamadas respectivamente translação à esquerda por g e translação à direita por g. Indicaremos por e o elemento identidade de G. Existem muitos exemplos de grupos de Lie, mas um, pelo seu papel de destaque para a compreensão do conceito de fibrado, nos interessa em particular. Passaremos a decrevê-lo. 1.1 Exemplo (Grupo linear geral). Seja G = Gl(n, R) o grupo das matrizes reais n n não singulares. Podemos identificar G com um aberto em R n2 via a aplicação determinante por: Portanto, G é uma n 2 -variedade. G = {A M n R; det(a) 0} Além disso, a estrutura de grupo é consistente com a estrutura diferenciável: as funções (A, B) AB de G G em G e B B 1 de G em G são aplicações diferenciáveis entre variedades. Considerando G como um subconjunto de R n2, as funções coordenadas de R n2 fornecem coordenadas locais para G em uma vizinhança para qualquer A G. As coordenadas de AB (ou B 1 ) são somas de produtos das coordenadas de A e B (ou funções racionais apenas das coordenadas de B), portanto todas as derivadas parciais destas aplicações existem e são contínuas. Assim G é um grupo de Lie. Passaremos a tratar agora das ações livres de um grupo de Lie sobre uma variedade.

14 8 1.2 Definição. Considere G um grupo de Lie, P uma variedade e uma aplicação de P G em P (denotada por (p, g) p g ). Dizemos que G age em P pela direita (via esta aplicação) se: (i) a aplicação R g : P P definida por R g (b) = b g é um difeomorfismo para todo g G. (ii) (b g ) h = b gh, para todos b P e g, h G. Dizemos que G age livremente se b g = b,para algum b P, então g = e. Dois pontos a e b em P são ditos equivalentes sob (a ação de) G se a = b g, para algum g G. Um exemplo importante de uma ação livre de um grupo de Lie sobre uma variedade é a ação de G = Gl(n, R) sobre a variedade L(M) chamada fibrado dos referenciais, as quais passaremos a descrever. 1.2 Exemplo (Fibrado dos referenciais). Um referencial em M é um ponto p M (chamado a origem do referencial) juntamente com uma base para T p M. Seja L(M) a coleção de todos os referenciais em M: L(M) = {(p, X 1,..., X n ); p M e {X i } é uma base para T p M} L(M) é chamado de fibrado dos referenciais de M. Vamos munir L(M) de uma estrutura diferenciável. Seja π : L(M) M dada por π[(p, X 1,..., X n )] = p Sejam (U γ, φ γ ) uma parametrização para M e V γ = π 1 (U γ ), isto é, Para qualquer ponto p em U γ V γ = {(p, X 1,..., X n ) L(M) / p U γ }, { x 1 p,..., x n p } é uma base para T p M. Uma vez que dadas duas bases de um espaço vetorial (no nosso caso T p M) diferem por uma matriz não singular, dado qualquer referencial (p, X 1,..., X n ), existe uma matriz A = [a ij ] em Gl(n, R) tal que A leva { x i p } em X i, ou seja,

15 9 X i = j a ij x j p Definiremos uma parametrização para L(M) sendo o par (V γ, φ γ ), onde φ γ : V γ R n+n2 dada por φ[(p, X 1,..., X n )] = (x 1 (p),..., x n (p), a 11,..., a nn ). Se V γ V δ, temos = ( φ δ φ 1 γ = ( φ δ φ 1 γ = φ δ ( φ 1 γ φ δ φ 1 γ (x 1,..., x n, a 11, a 12,..., a nn ) = (x 1,..., x n ), dφ 1 (a 11, a 12,..., a 1n ),..., dφ 1 γ (a n1, a n2,..., a nn ) ) = (x 1,..., x n ), ( dφ δ dφ 1 γ γ ) (a11, a 12,..., a 1n ),..., ( ) dφ δ dφ 1 γ (an1, a n2,..., a nn ) ) = (x 1,..., x n ), d ( ) φ δ φ 1 (a11, a 12,..., a 1n ),..., d ( ) φ δ φ 1 (an1, a n2,..., a nn ) ) e então φ δ γ φ 1 γ é uma aplicação diferenciável de φ γ (V γ V δ ) em φ δ (V γ V δ ). γ Com as cartas dadas, L(M) é uma variedade diferenciável de dimensão n + n 2. Agora uma ação livre de G sobre L(M) é dada pela aplicação Φ : L(M) G L(M) ( Φ((p, X 1,..., X n ), A) = p, a j1 X j,..., j j a jn X j ) onde A = [a ij ] G Para b L(M) escreveremos b A no lugar de Φ(b, A). É fácil ver que para todo b L(M), (b A ) B = b AB, A, B em G e b A = b se, e só se, A é a matriz identidade de G.

16 10 seguir. L(M) é um tipo especial de fibrado, chamado fibrado principal, o qual definiremos a 1.3 Definição. Um fibrado principal (P, M, G) consiste de duas variedades P (o espaço total ou espaço fibrado ) e M(o espaço base), um grupo de Lie G (o grupo estrutural), e uma aplicação diferenciável π : P M tal que: (i) G age livremente em P. (ii) M é o espaço quociente de P sob a ação de G, de forma que π(b) = π(a) se e só se a e b são equivalentes sob a ação de G. (iii) P é localmente trivial, isto é: Para cada p M existe uma vizinhança U de p e um difeomorfismo ψπ 1 (U) U G da forma : ψ(b) = (π(b), F U (b)) onde F U satisfaz F U (b g ) = F U (b)g. Para p M, π 1 (p) é chamada a fibra sobre p. As fibras são difeomorfas a G, via a aplicação: b : G π 1 (π(b)) P definida por b(g) = R g b. Observe que P é localmente o produto de M e G, mas em geral, P não precisa ser difeomorfa a M G (Em geral, L(M) M Gl(n, R)).

17 Exemplo (Fibrado Principal Trivial). Sejam P = M G, π : M G M a projeção da primeira coordenada, e uma ação de G em P dada por (p, a) b = (p, ab). Neste caso a aplicação t é a identidade e (M G, M, G) é um fibrado principal. 1.4 Exemplo (Fibrado canônico C sobre CP n ). Sejam P = C n+1 {0} (o (n+1)-espaço complexo menos a origem) e G = C. O n-espaço projetivo complexo CP n é definido da seguinte forma: dizemos que para z 1 e z 2 em P, z 1 z 2 se existe λ G tal que z 1 = λz 2. Então o conjunto CP n das - classes de equivalência de P é uma 2n- variedades e (C n+1 {0}, CP n, C ) é um fibrado principal. 1.5 Exemplo (Espaços de Recobrimento). Sejam P o espaço de recobrimento universal para M, π : P M a aplicação de recobrimento, e G o grupo da transformações de recobrimento (com a toplogia discreta). O que fizemos acima foi a partir de um exemplo (fibrado dos referenciais) chegar a um conceito (fibrado principal), pretendemos com isso obter resultados mais rapidamente e facilmente. E assim esperamos desenvolver suficientemente a intuição geométrica para que, mais tarde (no capítulo 4), as generalizações e definições pareçam naturais.

18 Capítulo 2 Geometria de uma conexão afim Neste capítulo apresentaremos a primeira estrutura geométrica: a conexão afim. Esta nos permite derivar um campo de vetores sobre uma variedade em relação a um outro. Veremos que os conceitos de conexão afim e de transporte paralelo ao longo de curvas podem ser obtidos um do outro via equações diferenciais. 2.1 Definição. Uma conexão afim é uma aplicação: : X (M) X (M) X (M) (X, Y ) X Y que satisfaz as seguintes propriedades: (i) X+Y Z = X Z + Y Z; (ii) fx Y = f X Y ; (iii) X (Y + Z) = X Y + X Z; (iv) X (fy ) = f X Y + (Xf)Y. É importante notar que dada uma variedade existem muitas conexões afins, do ponto de vista geométrico isso quer dizer que um espaço pode ter diferentes geometrias sobre ele. Diremos que um campo de vetores Y é um campo de vetores paralelo ao longo de α se α(t) Y = 0 para todo t I. 12

19 Lema. Um campo de vetores Y = j f j( / x j ) ao longo de uma curva α é paralelo se, e somente se, Y satisfaz o sistema de n equações diferenciais d(f k α) dt + i,j (f j α) dα i dt Γk ij α = 0, k = 1,..., n Prova. Se Y = j f j( / x j ), então α(t) Y = 0 se, e somente se, P i α ix i j f j X j = 0 α i Xi f j X j = 0 i j α i Xi f j X j = 0 i,j α i (f j Xi X j + X i (f j )X j ) = 0 i,j Trocando j por k na primeira soma i,j ( α i f j Xi X j + α i X i (f j )X j ) = 0 [ α i X i (f j )X j + i,j k α i X i (f j )X j + [ i,j i,j α i X i (f j )X j + i,j i,k [ α i X i (f j )X j + i i,j k k ] α i f j Γ k ijx k ] α i f j Γ k ijx k [ ] α i f j Γ k ijx k k = 0 = 0. = 0 ] α i f j Γ k ijx k X k = 0. Avaliando o lado esquerdo em x k [ α i X i (f k ) + i j α i f j Γ k ij ] = 0. Portanto d(f k α) dt + i,j f j α i Γ k ij = 0, k = 1,..., n d(f k α) dt + i,j (f j α) dα i dt Γk ij α = 0, k = 1,..., n

20 14 Os próximos dois teoremas são essenciais para o último capítulo. O primeiro é um teorema de existência. 2.3 Teorema. Sejam α uma curva em M e p = α(0). Para cada X p T p M, existe um único campo de vetores Y definido ao longo de α tal que Y é paralelo ao longo de α e X p = Y p. Prova. Inicialmente suponha que α(i) esteja contida numa vizinhança coordenada U de α(0). Podemos escrever x(α(t)) = (α 1 (t),..., α n (t)) e α(t) = i (dα i /dt)( / x i ). Podemos também escrever / xi / x j = k Γ k ij( / x k ) e só se, para as n 3 funções Γ k ij C (U). Temos então que Y = j f j( / x j ) será paralelo se, d(f k α) dt + i,j (f j α) dα i dt Γk ij α = 0, k = 1,..., n ( ) for válida. Mas ( ) é um sistema linear de equações diferenciais ordinárias e sujeito a condição que os f k α(0) são dados pelas componentes de X p, teremos (f k α)(t) para todo t I. Portanto existe um único campo de vetores Y com as propriedades desejadas. Para provar o caso geral observe que, por compacidade, α(i) M pode ser coberto por um n o finito de vizinhanças coordenadas, em cada uma das quais Y pode ser definido, pelo que foi provado acima. Pela unicidade, as definições coincidem nas interseções não vazias, o que permite definir Y para I. Os Γ k ij usados nesta prova são os clássicos símbolos de Christofell.

21 Definição. Um isomorfismo τ α(t) : T α(0) M T α(t) M, tal que para todo X α(0) T α(0) M, temos (i) a aplicação t τ α(t) X α(0) é diferenciável e (ii) para toda A Gl(n, R), τ α(t) (AX α(0) ) = A(τ α(t) X α(0) ) é chamado transporte paralelo ao longo de α. Nota: Se x 1,..., x n formam um sistema de coordenadas em uma vizinhança de α(t 0 ), podemos escrever τ α(t) (X α(0) ) = i a i (t) x i α(t) para t em uma vizinhança de t 0, onde os a i s são funções reais. Dizer que t τ α(t) X α(0) é diferenciável significa que os a i s são diferenciáveis nesta vizinhança. Retornando a campo de vetores paralelos ao longo de α e a notação do teorema anterior, considere a seguinte aplicação τ α(t) : T α(0) M T α(t) M τ α(t) (X p ) = Y α(t) Veremos a seguir que esta aplicação é de fato um transporte paralelo ao longo de α. 2.5 Teorema. τ α(t) é um isomorfismo de T α(0) M em T α(t) M. Prova. Sejam Y α(t) e W α(t) em T α(t) M tais que Y α(t) = τ α(t) (Y p ) e W α(t) = τ α(t) (W p ). Podemos escrever onde f k α é solução da EDO Y α(t) = k (f k α)(t) / x j, d(f k α) dt + i,j (f j α) dα i dt Γk ij α = 0

22 16 com a condição inicial de f k α(0). Analogamente temos que W α(t) = k (g k α)(t) / x j, onde g k α é solução da EDO: d(g k α) dt + i,j (g j α) dα i dt Γk ij α = 0 com a condição inicial de g k α(0). Então o sistema d(h k α) dt + i,j (h j α) dα i dt Γk ij α = 0 h k α(0) = f k α(0) + g k α(0) tem como única solução h j α(t) = (f j + g j )(α(t)) = f j α(t) + g j α(t). E uma vez que f k α(0) + g k α(0) é dada pelas coordenadas de Y p + W p, concluímos que τ α(t) (Y p + W p ) = k (f k + g k )(α(t)) / x j = k (f k α(t)) / x j + k (g k α(t)) / x j = Y α(t) + W α(t) Analogamente podemos provar que τ α(t) (λy p ) = λy α(t) Pelo teorema 2.3 τ α é injetiva e sua inversa é o transporte paralelo ao longo da porção de α de t a 0. Portanto τ α é um isomorfismo. Usando transporte paralelo podemos comparar os espaços tangentes em dois pontos quaisquer de M que possam ser ligados por uma curva α. Explicitamente, podemos definir Π α(t 1) α(t 0 ) = τ α(t 1 ) τ 1 α(t 0 ) : T α(t 0 )M T α(t1 )M que é claramente um isomorfismo e, em geral, depende de α. Esta possibilidade de comparação entre espaços tangentes em pontos diferentes é que deu origem ao termo conexão. O transporte paralelo τ α é definido em termos de, mas podemos fazer o contrário. De fato, o teorema a seguir diz que o transporte paralelo é apenas uma versão global de conexão afim.

23 Teorema. Determinar uma conexão afim em uma variedade M é equivalente a determinar para cada curva α um transporte paralelo. Prova. Vimos no teorema anterior que toda conexão afim dá origem a um transporte paralelo. Se temos um transporte paralelo, então dados X e Y X (M), seja α uma curva integral de X p com α(0) = p e α(0) = X p. Então definimos ( X Y )(p) = lim t t 0 1 (τ 1 α(t) Y α(t) Y p ) Sejam V 1,..., V n campos de vetores paralelos ao longo de α os quais são L.I. em α(0), e assim em todos os pontos de α. Seja Y α(t) = i γ i (t)v i (t) Então 1 ( ) lim τ 1 t 0 α(t) t Y α(t) Y p [ ] 1 = lim γ i (t)τ 1 t 0 α(t) t V i(t) γ i (0)V i (0) i=1 [ ] 1 = lim t 0 t i=1 = [ γi (t) γ i (0) lim t 0 t i=1 = dγ i (0) V i (0) dt i=1 = X Y (p). γ i (t)v i (0) γ i (0)V i (0) ] V i (0) Devido ao teorema anterior, podemos dizer que o transporte paralelo é uma estrutura geométrica. Vamos usar esta interpretação de estrutura geométrica para motivar a definição de uma conexão em um fibrado principal no último capítulo.

24 Capítulo 3 Geometria de uma conexão Riemanniana Neste capítulo adicionaremos a uma variedade M uma estrutura, a métrica Riemanniana, que torna M um espaço métrico. A especificação de uma métrica não é unicamente determinada, contudo uma tal métrica tem automaticamente uma única conexão associada a ela. Uma variedade diferenciável M provida de uma métrica Riemanniana é chamada var iedade Riemanniana. Podemos adicionar uma métrica Riemanniana a qualquer variedade diferenciável usando a partição da unidade. A seguir definiremos uma conexão em uma variedade Riemanniana determinando o produto interno de Xp Y e Z p para todos campos de vetores X, Y e Z em todos os pontos p M. 3.1 Definição. Uma conexão Riemanniana ou Levi-Civita em uma variedade Riemanniana M é definida pela expressão abaixo 2 Xp Y, Z p p = X p Y, Z p + Y p X, Z p Z p X, Y p + [X, Y ] p, Z p p + [Z, X] p, Y p p + [Z, Y ] p, X p p para todos X, Y, Z X (M) e p M 18

25 19 Em uma vizinhança U de p M denote por X i o campo de vetores / x i. Então [X i, X j ] = 0 e a expressão anterior torna-se 2 Xi X j, X k = X i X j, X k + X j X k, X i + X k X i, X j em U. Pode-se mostrar que satisfaz a condição para ser uma conexão afim. Esta escolha de é parcialmente justificada pelo seguinte teorema. 3.2 Teorema. Lema Fundamental da Geometria Riemanniana A conexão definida acima é a única conexão em M satisfazendo (i) X Y, Z = X Y, Z + Y, X Z. (ii) [X, Y ] = X Y Y X para todos X, Y, Z X (M). Prova. Considere as equações (1) 2 X Y, Z = X Y, Z + Y X, Z Z X, Y + [X, Y ], Z + [Z, X], Y + [Z, Y ], X (2) 2 X Z, Y = X Y, Z + Z X, Y Y X, Z + [X, Z], Y + [Y, X], Z + [Y, Z], X Somando (1) e (2), obtemos 2 X Y, Z + 2 X Z, Y = 2X Y, Z Portanto (i) é satisfeita. E para mostrar (ii) considere (3) 2 Y X, Z = Y X, Z + X Y, Z Z Y, X + [Y, X], Z + [Z, Y ], X + [Z, X], Y De (1) e (3), temos 2 X Y, Z 2 Y X, Z = [X, Y ], Z [Y, X], Z = 2 [X, Y ], Z

26 20 Portanto X Y, Z Y X, Z = [X, Y ], Z E assim X Y, Z Y X = [X, Y ] Uma conexão afim satisfazendo (i) é chamada uma conexão compatível com a métrica. Ela expressa a derivada direcional da métrica em termos da conexão afim, mas isto tem mais significado. Vimos no capítulo anterior que o operador transporte paralelo é uma parte crítica da geometria de uma conexão. Sendo uma métrica Riemanniana nada mais que um produto interno, temos que o operador mais compatível com a métrica Riemanniana é uma isometria, isto é, a aplicação τ : T p M T q M tal que τ (X p ), τ (Y p ) q = X p, Y p p. Portanto uma conexão afim natural em uma variedade Riemanniana deve ter a propriedade que o transporte paralelo é uma isometria. A próxima proposição nos diz que este é de fato o caso para uma conexão Riemanniana. 3.3 Teorema. O transporte paralelo é uma isometria se, e somente se, é compatível com a métrica. Prova. Suponha que é compatível com a métrica e seja α uma curva em M. Para Y e Z em T α(0) M, denote por Y t e Z t seus transportes paralelos, τ α(t) Y e τ α(t) Z respectivamente, em α(t). Temos α(t) Y, Z = α(t) Y, Z + Y, α(t) Z = 0 pois Y e Z são paralelos ao longo de α. Daí 0 = α(t) Y, Z = d dt Y t, Z t α(t) e então Y t, Z t α(t) é constante. Em outras palavras Portanto τ α(t) é uma isometria. Y t, Z t α(t) = Y, Z α(0)

27 21 Suponha que τ α(t) é uma isometria para uma curva α qualquer e seja X p em T p M. Para verificar (i) em p, seja α uma curva qualquer com α(0) = p e α(0) = X p. Ambos os lados de (i) dependem de Y e Z ao longo de α. Primeiro consideraremos o caso que Y e Z são campos de vetores paralelos ao longo de α. Então X p Y, Z = α(0) Y, Z = d dt Yα(t), Z α(t) α(t) = 0 0 uma vez que Y, Z é constante ao longo de α. Temos então que o lado esquerdo de (i) é zero. E o lado direito (i) também é igual a zero pois Xp Y = 0 e Xp Z = 0. Logo, neste caso, é compatível com a métrica. Agora consideraremos o caso que Y e Z são campos de vetores arbitrários. Seja {X i } uma base ortonormal para T p M e denote por {X i (t)} seu transporte paralelo ao longo de α(t). Uma vez que transporte paralelo é uma isometria, {X i (t)} é uma base ortonormal para T α(t) M. Os campos de vetores diferenciáveis Y e Z ao longo de α podem ser expressos Y α(t) = i a i (t)x i (t) e Z α(t) = i b i (t)x i (t) onde os a i s e b i s são diferenciáveis. Então e Xp Y, Z p X p Y, Z = α(0) Y, Z = d dt Yα(t), Z α(t) α(t) t=0 = d dt a i (t)x i (t), t=0 i j = d dt a i (t)b i (t) t=0 p + Y p, Xp Z p = i b j (t)x j (t) α(t) [ a i (0) Xp X i + da ] i dt X i, b j (0)X j i t=0 j p + a i (0)X i, [ b j (0) Xp X j + db j ] dt X j i j t=0 p

28 22 Xp Y, Z p p + Y p, Xp Z p = i da i dt X i, t=0 j + a i (0)X i, i j b j (0)X j db j dt p X j 0 p porque Xp X i = 0. Desde que {X i } é base ortonormal, isto é igual a: que é X p Y, Z i dα i dt b i (0) + a i (0) db i 0 dt 0

29 Capítulo 4 Geometria de uma conexão em um fibrado principal Neste capítulo apresentamos nossa última estrutura geométrica: a conexão em um fibrado principal. Vimos no capítulo 2 que o conceito de conexão afim leva naturalmente ao conceito de transporte paralelo de vetores ao longo de uma curva. Veremos agora que em um fibrado principal a noção de transporte paralelo é equivalente a propriedade de levantamento único de caminhos. Começaremos descrevendo as noções básicas de um levantamento de caminhos no fibrado dos referenciais. 4.1 Definição. Dizemos que uma curva α : I L(M) é um levantamento de α (α : I M) se π α = α. Para cada b π 1 (α(0)), α b é chamada um levantamento em b se juntamente α(0) = b. 4.2 Definição. Dizemos que uma família de levantamentos α em b é equivariante se satisfaz: α b g(t) = [ α b (t)] g, t I A condição acima significa que o levantamento de α em b g é o levantamento de α em b sofrendo a ação de g em cada ponto. 23

30 24 O próximo teorema diz que a estrutura geométrica em M de transporte paralelo é precisamente a mesma que a de levantamento único de caminhos equivariante de curvas em M para curvas em L(M) com pontos iniciais específicos. 4.3 Teorema. Determinar um transporte paralelo τ α ao longo de cada curva α é equivalente a determinar para cada curva α e cada b π 1 (α(0)) um único levantamento equivariante α b de α em b. Prova. Escrevendo b = (α(0), X 1,..., X n ) π 1 (α(0)), a correspondência é dada por τ α(t) ( i c i X i ) = i c i Y i (α(t)) α b (t) = (α(t), Y 1 (α(t)),..., Y n (α(t))) Supondo que cada curva α tem um único levantamento horizontal α b em b, α b (t) tem a forma da direita, onde {Y i (α(t))} é uma base para T α(t) M. Então definimos τ α pela expressão da esquerda. É fácil checar que τ α é independente da escolha de b e que τ α é um isomorfismo. Reciprocamente, dada τ α(t) para cada curva α, α é definida pelo lado direito. Certamente α b é um levantamento de α em b uma vez que τ α(0) é a identidade em T α(0) M. A equivariância segue da definição de transporte paralelo. 4.4 Definição. Se b é um ponto no espaço fibrado P, o conjunto V b = {X T b P π (X) = 0} é chamado subespaço vertical em b. Veja que a fibra π 1 (p) é uma subvariedade cujo espaço tangente em cada ponto b é o subespaço vertical V b.

31 25 O fato de π 1 (U) ser difeomorfo (via t) a U G permite que qualquer caminho na base de um fibrado seja levantado para o espaço total. De fato, se α é uma curva em U e h uma função de U em G então α(t) = t 1 (α(t), h α(t)) é um levantamento de α. A questão é que o levantamento poderia se mover ao longo da fibra ou mudar de fibra. Fixaremos, então, uma única direção para o levantamento, definindo uma conexão em um fibrado principal. de M. A partir de agora denotaremos por ξ um fibrado principal (P, M, G) e por n a dimensão 4.5 Definição. Uma conexão H em ξ é uma aplicação que associa a cada b P um subespaço n-dimensional H b T b P, chamado o subespaço horizontal em b, tal que para cada b, (i) T b P = V b H b (ii) (R g ) H b = H b g, g G (iii) Se h : T b P H b é a projeção e X é um campo de vetores em P, então hx é também um campo de vetores em P (Esta é a condição de diferenciabilidade em H). Um vetor X T b P é chamado de vertical (resp. horizontal) se está em V b (resp. H b ). Uma vez que π (X) = 0 se, e só se, X é vertical, temos que a restrição de π a qualquer subespaço horizontal H b é injetiva, portanto um isomorfismo (por dimensão) de H b sobre T p M. 4.6 Teorema. Determinar uma conexão em ξ é equivalente a determinar para cada curva α em M um único levantamento equivariante de caminhos em P satisfazendo a seguinte condição: Se α e β são curvas em M tais que α(0) = β(0) = p e α(0) = β(0) então α(0) = β(0) Prova. Suponha que uma conexão H é dada em ξ e seja α uma curva simples em M (para uma prova sem essa suposição sobre α, ver [1] ). Para cada b π 1 (α(t)), seja X b o único vetor horizontal em b, o qual se projeta sobre α(t). Estes vetores podem ser estendidos a um campo X em P que em cada ponto está no

32 26 subespaço horizontal. Agora para b π 1 (α(0)), seja α b a (única) curva integral de X tal que α(0) = b. Observe que α b está definida em [0, t 0 ) para algum t 0. Mas α b pode ser definida em todo I = [0, 1]. Para isto, tome um levantamento β definido em uma vizinhança de t 0 (basta considerarmos β a curva integral de X com uma condição inicial qualquer). Escolha t 1 < t 0 de modo que β esteja ] g. definida em todo t 1 e então tome g G tal que α(t 1 ) = [ β(t1 ) Estendemos α além de t0 fazendo α(t) = R g β(t). Obtemos, assim, uma curva diferenciável α b que se projeta sobre α e cujos vetores tangentes são horizontais. Temos (R g ) ( α b (t)) = α b g(t) [ α b (t)] g = R g ( α b (t)) = α b g(t) pela nossa construção e da segunda condição para H. Agora suponha que temos um único levantamento de caminhos. Para definir H b para b P, sejam α 1,..., α n curvas em M tais que α i (0) = p = π(b) e { α i (0)} formam uma base para T p M. (Os α i s podem ser tomados sendo curvas integrais em uma base para T p M). Seja α i o levantamento de α i em b. Defina H b sendo o espaço gerado por { α i (0)}. Mostraremos que H b é a imagem de uma aplicação linear de T p M em T b P, e portanto um espaço vetorial. Para isso considere k : T p M T b P v kv = i a i αi (0), v = i a i α i (0) Em virtude da condição inicial temos que k está bem definida.

33 27 Para λ R, temos ( ) k(λv) = k λ a i α i (0) = k i E para v, w T p M, segue ( ) λa i α i (0) = i i λa i αi (0) = λ a i αi (0) = λk(v) i k(v+w) = k( i a i α i (0)+ i b i α i (0)) = k ( i (a i + b i ) α i (0)) = i a i α i (0)+ i b i α i (0) = k(v) + k(w) Portanto k é linear e k(t p M) = H b, logo H b é um subespaço linear de dimensão dim(m) = n. Veja que π k α i (0) = π αi (0) = π αi (0) = α i (0) Assim π Hb é a inversa de k, e então k é um isomorfismo (sobre sua imagem). Portanto, dim(h b ) = n. Se π (H b ) = T p M então π (T b P ) = T p M e já vimos que dim(h b ) = n, logo dim(t b P ) = dim(ker(π )) + dim(im(π )) = dim(v b ) + dim(t p M) = dim(v b ) + dim(h b ) Veja que V b e H b são disjuntos, logo dim(v b H b ) = dim(v b ) + dim(h b ), segue então que T b P e V b H b são isomorfos, daí T b P = V b H b

34 28 Temos que (R g ) (H b ) = H b g, pois (R g ) ( α i (0)) = R g α i (0) (R g ) (H b ) H b g E uma vez que (R g ) é injetiva e dim(h b ) = dim(h b g), temos (R g ) (H b ) = H b g H b é independente da escolha dos α i s. Suponha que β 1,..., β n sejam também curvas em M tais que { β i (0)} forma uma base para T p M. Logo existe A = [a ij ] Gl(n, R) tal que β i (0) = j a ij α j (0) Daí ( ( β i (0) = k βi (0)) = k j a ij α j (0) ) = j a ij k ( α j (0)) = j a ij αj (0) e uma vez que { α j (0)} gera H b temos que { βi (0)} também gera H b.

35 Referências Bibliográficas [1] Bishop, R. L., Crittenden, R. J. Geometry of Manifolds (1964), Academic Press, New York. [2] Carmo, M. do Geometria Riemanniana (1979), IMPA (Projeto Euclides), 2 a. edição, Rio de Janeiro. [3] Hicks, N. Notes on Differential Geometry (1965), Van Nostrand, Princeton. [4] Kobayashi, S. and Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry vol I e II (1963 e 1969), Interscience, New York. [5] Lima, E. L. Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento (1999), IMPA (Projeto Euclides), 2 a. edição, Rio de Janeiro. [6] Millman, R. S., Stehney, A. K. The Geometry of Connections (1973), American Mathematical Monthly, vol 80, [7] Poor, W. A. Differential Geometric Structures (1981), McGraw-Hill Book Company. [8] Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry vol I e II (1979), 3 a. edição, Publish or Perish, Inc. 29

36 Universidade Federal da Bahia-UFBa Instituto de Matemática/Depto. de Matemática Campus de Ondina, Av. Adhemar de Barros s/n, CEP: