MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS PATO BRANCO Tecnólogia em Manutenção Industrial

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1 1 1.0 FUNÇOES HOFFMANN ( 2002, p.2), função é uma regra que associa a cada objeto em um conjunto A a um objeto de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B é chamado de contradomínio. Exemplo: CUNHA(1990, p.75) Sejam os conjuntos X= {1,2,3,5} e Y={7,8,9,11,13} e f:x Y a função: f={(1,7)(2,8)(3,9)(5,11)} onde cada elemento de X ocupa a primeira posição em um e somente um par ordenado. X={1,2,3,5} é o domínio da função f Y={ 7,8,9,11,13} é o contradomínio da função f. I m = {7,8,9,11} é o conjunto imagem da função f. Para indicar que f é uma função de X em Y, pode se usar as seguintes notações: X f Y, X Y ou f : x f ( x) Em y =f(x), lê se: y é uma função de x, isto é, a variável y depende da variável x através de uma lei f conhecida, ou y é a imagem de x pela f. Onde: x variavel independente ou argumento de f y variavel dependente, imagem ou valor de f f lei que transforma x em y, ou espelho que forma a imagem de x.

2 2 1.1 Exercicios 1) CUNHA(1990, p.90) Sendo f(x)=x 2 x, ache f( 1), f(2), f(k) e f(1/x) 2) Sendo f (x)= x x+1 para x 1 ache f( 2), f(1/t) e f(x+h) com x+h 1 3) Dada a função f(x)=x 3, ache f (x+δ x), f (x+δ x) f ( x) e f ( x+δ x) f (x) Δ x 4) HOFFMANN ( 2002, p.3) O custo total em $ para fabricar n unidades de um certo produto é dado pela função C(n)=n 3 30n n+200. a) Determine o custo de fabricação de 10 unidades do produto. R: 3200 b) Determine o custo de fabricação da 10 a unidade do produto. R:201 5) Calcule os valores indicados da função dada: a)f(x)= 3x 2 +5x 2; f(0), f( 2), f(1). 3se t< 5 t +1 se 5 t 5; b) f t = t se t> 5 f 6,f 5,f 16 6) Especifique o domínio das funções a) f(x)=x 3 3x 2 +2x+5 b) g x = x2 5 x+ 2 c) y= x 5 d) f t = t+ 1 t 2 t Composição de função HOFFMANN ( 2002, p.4), dadas as funções f(u) e g(x),a composição f(g(x)) é a função formada de x substituindo u por g(x) na expressão de f(u). 7) Determine a função composta f(g(x)) para f(u) =u 2 +3u+1 e g(x)=x+1 8) Determine f(x 1) para f (x)=3x x +5 9) Se f (x)= 5 +4( x 2)3, x 2 determine as funções g(u) e h(x) para que f(x)=g(h(x))

3 Uma aplicação de função composta 10)HOFFMANN ( 2002, p.6)os ambientalistas estimam que em certa cidade a concentração média de monóxido de carbono no ar durante o dia será de c(p)=0,5p+1 partes por milhão quando sua população for de o mil habitantes. Um estudo demográfico indica que a população da cidade dentro de de t anos será de p(t)= 10 +0,1t 2 mil habitantes. a) determine a concentração média de monóxido de carbono no ar durante o dia em função do tempo. resposta: 6+0,05t 2 b) daqui a quanto tempo a concentração de monóxido de carbono atingirá o valor de 6,8 partes por milhão? resposta: t=4 11) Determine a função composta f(g(x)): a) f(u)= u 2 + 4, g(x)= 1 x b) f(u) =3u 2 +2u 6, g(x)= x+2 c) f u = u+ 1, g(x)=x ) Determine as funçoes compostas f(g(x)) e g(f(x)) e os valores de x ( se existirem) para os quais f(g(x))= g(f(x)). a) f x =x 2 1, g x = 1 x b) f x = 2 x,g x =x 2 +x 1 c) f x = 2x 1,g x =1 3x Outras aplicações 13) Custo de fabricação. Suponha que o custo total em reais para fabricar n unidades de um certo produto seja dado pela função C n =n 3 30n 2 400n 500. a) determine o custo de fabricação de 20 unidades. b) determine o custo de fabricação de 20 a unidades. 14) Variação de temperatura. Suponha que t horas depois de meia noite em Miami seja C t = t2 4t 10 grauscelsius. 6 a) qual é a temperatura as duas horas da manha? b) qual é a variação de temperatura das 6 horas da tarde (t=18) até as 9 horas da noite(t=21)?

4 4 Resposta: 7,5 graus 15) Psicologia experimental. Para estudar a rapidez com que os animais aprendem, um estudante de psicologia executou um experimento no qual um rato teve que percorrer várias vezes um labirinto. Suponha que o tempo necessário para o rato encontrar a saída do labirinto na n ésima tentativa seja dado aproximadamente por: f n =3 12 n minutos. a) qual é o domínio desta função? b) para que valores de n a função f(n) tem significado no contexto desse experimento? c) quanto tempo o rato levou para encontrar a saida do labirinto na terceira tentativa? d) em que tentativa o rato conseguiu encontrar a saida pela primeira vez em 4 minutos ou menos? e) de acordo com a função f dada, o que acontece com o tempo necessário para que o rato encontre a saída do labirinto quando o numero de tentativas aumenta? o rato conseguirá, depois de um certo numero de tentativas, encontrar a saída em menos de 3 minutos? 16) Um estudo de eficiencia no turno da manhã mostra que a média, um operário que chega no trabalho as 8 horas terá montado f (x)= x 3 +6x 2 +15x aparelhos de TV x horas depois. a) quantos aparelhos um operario já montou, me média, as 10 h da manhã? b)quantos aparelhos um operário monta, em média, entre 9h e 10 h da manhã? 1.2.3GRAFICO DE UMA FUNÇAO Os gráficos tem impacto visual e também mostram informações que podem não ser evidentes em descrições verbais ou algébricas. O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x,y), onde x é o domínio de f e y=f(x), ou seja todos os pontos da forma (x, f(x)). Como esboçar o gráfico de uma função f pelo método da plotagem de pontos escolha um conjunto necessário de números x pertencentes ao dominio de f e faça

5 5 uma tabela de valores de y= f(x). plote os pontos (x,y). ligue os pontos através de um curva suave. 17) Faça o gráfico da função dada, mostrando todas as intersecções com os eixos x e y. a) f(x)=x b) f x =x 3 x 1 sex 0 c) f(x)=2 3x d) f x = x+ 1 sex> 0 e) f x = 6x 2 13x 5 18) Determine os pontos de intersecção ( se existirem) entre as curvas e desenhe os graficos correspondentes. a) y= 3x+5 e y = x+3 b) y=x 3 6x 2 ey= x 2 19) custo de fabricação. Um fabricante pode produzir gravadores por um custo de $ 40 a unidade. Estima se que se os gravadores forem vendidos por x $ a unidade, os consumidores comprarão 120 x gravadores por mês. Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço, faça um gráfico desta função e use o gráfico para estimar o preco ótimo de venda. R: 80 $ é o preço ótimo. 20) microbiologia. Uma célula esférica de raio r tem volume V= 4pir 3 e uma superficie 3 S= 4pir 2. Expresse V em função de S. Se S é multiplicada por 2, o que acontece com V? Funções Lineares é uma função que varia a uma taxa constante em relação a variável independente. o gráfico de uma função linear é uma reta. a equação de uma função linear pode ser escrita na forma y=mx+b onde m e b são constantes. inclinação de uma reta não vertical : Dy Dx = y 2 y 1 x 2 x 1 21) Determine a inclinação ( se possível) da reta que passa pelos pontos dados: a) (2; 3) e (0;4) b) ( 1;2) e (2 ;5) c) (2;0) e (0;2)

6 6 22) Determine a inclinação e as intersecções da reta dada e desenhe o gráfico relacionado. a) y=3x b) 2x 4y=12 23) Escreva uma equação para a reta : a) passando pelo ponto (2;0) com inclinação 1; b) passando pelo ponto ( 1;2) com inclinação 2/3. 24) custo de produção. O custo total de fabricação de um produto é composto por um custo fixo de $ 5000 e um custo variável de $ 60 por unidade. Expresse o custo total do numero de unidades produzidas e desenhe o gráfico relacionado. 25) nutrição. Cada 30 g do alimento I contém 3 g de carboidratos e 2 g de proteinas; cada 30 g do alimento II contem 5 g de carboidratos e 3 g de proteínas. Quando x g do alimento I são misturados com y g do alimento II, o alimento composto contém exatamente 73 g de carboidratos e 46 g de proteínas. a) explique por que existem 3x+5y g de carboidratos no alimento composto e por que devemos ter 3x +5y =73. Escreva uma equação semelhante para o teor de proteinas do alimento composto. Desenhe os gráficos das duas equações. b) quais são as coordenadas do ponto de intersecção dos dois gráficos do item (a)? o que significa esse ponto de intersecção? 26) HOFFMANN ( 2002, p.32) Um industrial compra $20000,00 em equipamentos que sofrem uma depreciação linear a qual reduz seu valor a $ 1000,00 após 10 anos. a) expresse o valor dos equipamentos em função do tempo e desenhe o grafico relacionado. b)determine o valor dos equipamentos após 4 anos.

7 MODELOS MATEMÁTICOS Uma representação real matemática de um situação real recebe o nome de modelo matemático. 27) Cercando um terreno. Um fazendeiro deseja cercar um pasto retangular usando 1000 m de cerca. Se um dos lados mais compridos do pasto fica na margem de um rio ( portanto não precisa de cerca), expresse a área do pasto em função da largura. Calcule o valor da largura para que a área seja máxima. respostas: 250 e ) Cercando um parque. O departamento de parques e jardins de uma prefeitura pretende construir um parque retangular com uma área de 3600 m 2. O parque será cercado. Expresse o comprimento de cerca em função do comprimento de um dos lados do parque, desenhe o gráfico relacionado e estime as dimensões do parque para que o comprimento da cerca seja o menor possível. 29)embalagem. Uma lata de refrigerante, de forma cilíndrica, deve ter um volume de 300 ml. Expresse a área superficial da lata em função do raio da tampa. 30) variação de temperatura. A taxa que a temperatura de um corpo varia é proporcional a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio externo. Expresse essa taxa em função da temperatura do corpo, supondo que a temperatura do meio externo é To. resposta: y =k T c T 0 31) HOFFMANN ( 2002, p.32) O valor de um certo livro raro duplica a cada 10 anos. Em 1900, o livro valia $100. a) Quanto valia em 1930? Em 1990? E no ano 2000? 32) lucros e perdas. Durante o verão, um grupo de estudantes constrói caiaques em uma garagem adaptada. O preço do aluguel da garagem é de $ 1500 para o verão inteiro e os materiais necessários para construir um caiaques custam $ 125. Os caiaques são vendidos por $ 275 cada um. a) quantos caiaques os estudantes precisam vender para não ter prejuízo?

8 8 b) quantos caiaques os estudantes precisam vender para ter $ 1000 de lucro? respostas: 10 e FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS HOFFMANN (2002, p ) FUNÇÃO EXPONENCIAL : se b é um numero positivo diferente de 1 ( b>0, b ǂ 1), existe uma função chamada função exponencial de base b, definida como: f x =b x para qualquer numero real x O número e ( NEPERIANO) = lim n 1 1 n n, calcule para n=10, 50,... n f n = 1 1 n n na calculadora : e x JUROS COMPOSTOS : se P reais são investidos a uma taxa anual de juros r ( expressa em forma decimal) e os juros são capitalizados k vezes por ano, o montante B(t) após t anos é B t =P o 1 1 kt k JUROS COMPOSTOS CONTINUAMENTE : Se P reais são investidos a uma taxa anual de juros r ( expressa em forma decimal ) e os juros são capitalizados continuamente, o montante B(t) após t anos é dado por : B t =P o e rt

9 9 33)A quantia de $ 1000 é investida a uma taxa anual de juros de 6%. Determine o montante após 10 anos, se os juros forem capitalizados: a) trimestralmente b) mensalmente c)diariamente d) continuamente a) solução : B t =P 1 r kt k respostas: 1814,02;1819,40 ;1822,03;1822,12 P=1000 r=0,06 k=4 vezes ao ano t=10 anos VALOR ATUAL : o valor atual B(t) reais em t anos investidos a uma taxa r de juros capitalizados k vezes ao ano é dado por B t =P o 1 r k kt isolando P o =B t 1 r k kt 34) Sue acabou de passar no vestibular. Quando se formar, daqui a 4 anos, gostaria de fazer uma viagem `a Europa que, de acordo com os seus cálculos, custará $ Determine a quantia que deve investir a juros anuais de 7% para conseguir dinheiro suficiente para a viagem se os juros forem capitalizados : a) trimestralmente solução : B=5000 t=4 anos e r=0,07 B t =P 1 r kt k B t =P e rt b) continuamente respostas: 3788,08 ; 3788, DECAIMENTO E CRESCIMENTO EXPONENCIAL B t =P e rt 35) Os biólogos observam que, em condições ideais, o numero de bactérias em uma cultura cresce exponencialmente. Suponha que existam inicialmente 2000 bactérias em certa cultura e que 6000 bactérias estejam presentes 20 minutos depois. Quantas bactérias estarão presentes depois de 1 hora? resposta: bactérias solução: 6000=2000e 20r r=ln(3)/20 B(60)=2000 e 60r

10 10 36) Uma quantia de $ 1000 é investida a uma taxa anual de juros de 7%. Calcule o montante após 10 anos se os juros forem capitalizados: a) anualmente b) trimestralmente c) mensalmente d) continuamente respostas: 1967,15; 2001,60;2009,66;2013,75 37) Os dados a seguir foram compilados por um pesquisador durante os primeiros 10 minutos de um experimento destinado a estudar o crescimento de colonias de bactérias: numero de minutos 0 10 numero de bactérias Supondo que o numero de bactérias aumente exponencialmente, quantas bactérias estarão presentes depois de 30 minutos? R: ) A densidade populacional a x km do centro de uma certa cidade é D x =12 e 0,07 x mil habitantes por km quadrado. a) qual é a densidade populacional no centro da cidade? b) qual é a densidade populacional a 10 km do centro da cidade? R: 12000; FUNÇÕES LOGARÍTMICAS O logarítmo de x na base b é o numero y tal que b y =x, propriedade que se escreve y =lo g b x. Quando a base b é igual a e, o número y tal que e y =x é conhecido como log natural de x, propriedade que indica se : y= ln (x) para x>0 39) Suponha que você tenha investido $ 1000 a juros de 8% capitalizados continuamente e esteja interessado em sabe quanto tempo seu investimento levará para dobrar esse valor. solução: B t =P e rt MEIA VIDA A constante positiva k é uma medida da taxa de decaimento, mas a taxa em geral é

11 11 especificada em termos do t necessário para que a metade da amostra decaia. 40) Mostre que a meia vida de uma substância que decai segundo a equação B t =Pe kt. 41) A massa da certa substância radioativa que resta após t anos é dada por uma função da forma B t =Pe 0,003t. Determine a meia vida da substância. 42) O elemento rádio decai exponencialmente, com meia vida de 1690 anos. Quanto tempo uma amostra de 50 g de rádio leva para se reduzir a 5 gramas? R; 5614,06 43)A pressão do ar f(x) a uma altitude de s metros acima do nível do mar é dada por f s =e 0, s atmosfera. a) a pressão do ar f(s) do lado de fora de um avião é 0,25 atmosfera. A que altitude se encontra o avião? b) um alpinista decide que vai colocar uma máscara de oxigênio quando chegar a uma altitude de 7000 metros. Qual é a pressão atmosférica nessa altitude? 67 44) O isótopo radioativo gálio 67 Ga usado para diagnosticar tumores malignos, tem meia vida de 46,5 horas. Se começarmos com 100 mg do isótopo, quantos mg restarão após 24 horas? Quanto tempo será necessário para que a massa do isótopo se reduza a 25 mg? 45) HOFFMANN ( 2002, p.242) Uma das expressões para calcular a violencia de um terremoto na escala Richter é M = 2 3 log( E ) onde E é a energia liberada pelo terremoto Eo ( em Joules) e Eo=10 4,4 joules é a energia liberada por um pequeno terremoto usando como referencia. a)o terremoto de 1906 em San Francisco liberou uma energia de aproximadamente 5,96x10 16 joules. Qual a violencia deste terremoto na escala Richter? b) Qual foi a energia liberada pelo terremoto de 1993 na India, que atingiu 6,4 na escala Richter?

12 12 REFERENCIAS HOFFMANN.L.D. & BRADLEY.G.L. Cálculo. Um curso moderno e suas aplicações. Editora LTC.7 a edição.2002.rj. CUNHA, Félix da et al. Matemática aplicada. São Paulo: Atlas, p. ISBN