Educação Matemática MATEMÁTICA LICENCIATURA. Professora Andréa Cardoso

Transcrição

1 Educação Matemática MATEMÁTICA LICENCIATURA Professora Andréa Cardoso

2 OBJETIVO DA AULA: Valorizar a linguagem matemática na resolução de problemas científicos e sociais 2

3 UNIDADE I: EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E ENSINO Origem da Álgebra: Resolução de Equações 3

4 Na Europa, o ocidente toma conhecimento da matemática árabe, muito superior ao conhecimento europeu. 4

5 Afirmação que estabelece igualdade entre duas expressões matemáticas. Mesma raiz latina das palavras igual e igualdade. Tem papel fundamental na Ciência. Consequentemente, na construção do mundo moderno. Revelam os segredos da natureza. Então, muda o curso da história. Equação 5

6 Telecomu nicações As Equações de Maxwell James Maxwell ( ) Matemático escocês Michel Faraday ( ) Físico e químico inglês 6

7 Ciência busca o estabelecimento de correlações entre fatos, conceitos e ideias. Equações como linguagem, para resolver problemas. Técnicas para encontrar valores para a incógnita. Tipos de Equações Algébricas Exponen ciais Diferenciais ax 2 + b = 0 e x + 3x = 1 d 2 x dt 2 + ω2 x = 0 Equação cos x + x 2 cos 3x = 5 Trigono métricas 7

8 Os egípcios resolviam pela técnica do número falso, para resolver problemas que recaiam em equações do tipo ax = b Os povos mesopotâmicos já resolviam equações quadráticas. Resolução de Equações Contribuição Grega Uso de geometria e proporções. Os Elementos Entidades iguais a uma terceira são iguais entre si. Se a iguais somam-se ou subtraem-se iguais, os resultados permanecem iguais. A parte é menor que o todo Iguais multiplicados ou divididos por iguais continuam iguais. 8

9 Lilavati e Vija-Ganita: Qual é o número que, multiplicado por 5, aumenta depois 9, se divide por 6, se multiplica por si mesmo, se acrescenta a 19 e, depois de extraída a raiz quadrada, diminui 2, se divide por 4 e dá 2? (Bhaskara) Texto se divide por 4 e dá 2 Operação 2 4 = 8 diminui = 10 depois de extraída a raiz quadrada 10 2 = 100 se acrescenta a = 81 se multiplica por si mesmo 81 = 9 se divide por = 54 aumenta depois = 45 Indía: regra da inversão multiplicado por 5 45: 5 = 9 9

10 A incógnita aparece apenas submetida às operações aritméticas: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira e radiciação. Exemplos: Algébricas ax 2 + b = 0 Não algébricas x 3 + 2x = e x ax 2 + bx + c = 0 cos x + x 2 cos 3x = 5 x 3 + 8x = 64 x 2 = 4 + x 3 mx 5 + 7x 3 + k = 8 arctg x = π 4 Caso Particular de Interesse: Equações Polinomiais a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 Equações Algébricas com n N e a i R 10

11 Produto de práticas compartilhas com diversas civilizações no contexto do império árabe. Álgebra como Classificação e resolução de equações. Equações Al-jabr Al-muqabala Al-Khwarizmi Resolução de equações lineares e quadráticas O livro da Restauração e do Balanceamento Traduziu Os Elementos para o árabe. (±800 d.c.) A Álgebra árabe 11

12 Al-Khowarizmi reduziu as equações lineares e quadráticas em seis tipos: 1. Quadrados iguais a raízes. 2. Quadrados iguais a números. 3. Raízes iguais a números. 4. Quadrados e número iguais a raiz. ax 2 = bx ax 2 =c bx =c ax 2 + c = bx 5. Quadrados e raízes iguais a número. ax 2 + bx =c 6. Raízes e números iguais a quadrados. bx + c = ax 2 Classificação Árabe das Equações 12

13 Raízes (jidhr) x Quadrados (mal) x 2 Al-jabr Qual é o quadrado que combinado com 10 de suas raízes é igual a 39 unidades? A forma de resolver este tipo de equação é tomar metade das raízes. As raízes diante de nós são 10. Portanto tomai 5 Simbologia atual x x = = 5 que multiplicado por si mesmo dá = 25 um total que você vai adicionar a 39 resultando em = 64 Tendo tomado a raiz desta que é 8 64 = 8 Subtrair metade das raízes deixando 3 x = 8 5 = 3 13

14 Sridhara (Índia, século XI) Reduz o grau da equação, extraindo raízes quadradas, para resolver qualquer equação polinomial do segundo grau. Consequências: Equações podem ter mais do que uma solução, na época positivas (é claro!). Em alguns casos, a aplicação do método conduzia a uma coisa misteriosa. A regra hindu para resolução de Equações Quadráticas ax 2 + bx + c = 0 Em notação moderna, o método hindu de resolução x = b ± b2 4ac 2a O método aplicado a x 2 + 2x + 5 = 0 Produz raiz quadrada de um número negativo 14

15 Resolução da Cúbica Omar Khayyam, Império Persa, século XI. Poeta, matemático e astrônomo. Participou da a reforma do calendário Persa, que ficou mais realístico que o calendário Juliano utilizado na Europa. Construiu numerosas tabelas astronômicas. Enumerou 14 diferentes tipos de equações cúbicas, pois não considerava números negativos. Seus tratados de Álgebra que foram difundidos na Europa durante a Idade Média, refere-se a outros trabalhos seus que, por infelicidade, estão hoje perdidos. 15

16 Álgebra de natureza geométrica, resolveu equações lineares e quadráticas por métodos que estão presentes na Geometria de Euclides. Descobriu um método para resolução de equações cúbicas, por meio da intersecção de cônicas, pelo menos em parte, este método já havia sido descrito por outros autores. Álgebra de Omar Khayyam 16

17 A solução de uma equação cúbica do tipo ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 Pode ser vista como a interseção de duas cônicas. ax x 2 + b a x = c a d ax parábola hipérbole Resolução de Equações Cúbicas 17

18 Resolução geométrica de uma cúbica se dá pela intersecção de duas curvas cônicas, construídas no mesmo plano cartesiano. Até o século XVI, as cúbicas eram classificadas de acordo com a posição do termo quadrático, linear e numérico. Cada tipo demandava um método específico Método de Khayyam 18

19 Retórica Sincopada Simbólica Escrita com palavras, sem uso de símbolos. al Khwarizmi,Bagdá, séc.viii. Euclides-Alexandria, 300 a.c. Potência mais lado dobrado mais três é igual a 0 Fases da Álgebra Abreviações e alguns símbolos para facilitar a escrita. Diofanto Alexandria,200 a.c. Δ γ αςβ ሶ Mγ Extenso uso de símbolos. Viete & Descartes Europa, séc. XVII. x quad+x2 + 3 é igual 0 x 2 + 2x + 3 = 0 19

20 A tradução das obras árabes para o latim, trouxeram além dos métodos algébricos e aritméticos, o desenvolvimento da simbologia. A raiz Jidhr (coisa) Radix (raiz) R (letra r) O desenvolvimento da simbologia ocorre principalmente na Itália, Alemanha, Inglaterra e França. Os símbolos da Álgebra 20

21 François Viète ( ), advogado francês conhecido com O pai da Álgebra, foi substituindo aos poucos substituindo as palavras por símbolos nas equações. Introduziu os sinais ( + ) mais e ( - ) menos, a palavra in para multiplicação. Um passo importante foi representar os coeficientes junto às incógnitas por consoantes. Viète B in A é igual a C Os símbolos da Álgebra Simbologia atual ax = b B in A área + C in A é igual a 0 ax 2 + bx = 0 21

22 A Álgebra simbólica foi completada por René Descartes ( ) que: Introduziu o sinal (=) criado por Robert Recorde ( ) e substituiu o sinal in por ( ) para multiplicação; Criou a notação de expoentes que usamos até hoje; Usou as primeiras letras do alfabeto para os coeficientes; E as últimas letras para representarem as incógnitas. B in A área + C in A + D é igual a 0 Os símbolos da Álgebra ax 2 + bx + c = 0 22

23 Para evitar a tediosa repetição destas palavras: é igual a: vou estabelecer como frequentemente faço no trabalho, um par de paralelas, ou linhas gêmeas de mesmo comprimento: =====, porque não pode haver 2 coisas mais iguais. (Robert Recorde, The Whetstone, 1557) Os símbolos da Álgebra 23

24 GARBI, G. O romance das equações algébricas GUELLI, O. Equação: o idioma da álgebra. Contando a história da matemática. São Paulo: Ática, ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da matemática. Rio de Janeiro: SBM, Referências 24

25 1. Como era a Álgebra da Antiguidade e da Idade Média? 2. Qual a contribuição de hindus, árabes e europeus em relação ao desenvolvimento da Álgebra? 3. O que é uma cúbica? Como era resolvida? 4. Qual a importância da simbologia para o desenvolvimento da Álgebra? Atividade Aula 17 25