Aula demonstrativa Apresentação... 2 PORCENTAGEM... 3 Relação das questões comentadas Gabaritos... 27

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1 Aula demonstrativa Apresentação... 2 PORCENTAGEM... 3 Relação das questões comentadas Gabaritos

2 Apresentação Olá, pessoal! Tudo bem com vocês? Vamos sair na frente e começar a preparação para o futuro concurso para Técnico da CGU. Esta é a aula demonstrativa do curso de Matemática em teoria e exercícios para este concurso. Para quem ainda não me conhece, meu nome é Guilherme Neves. Sou professor de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira, Estatística e Física. Sou autor do livro Raciocínio Lógico Essencial (Editora Campus). Posso afirmar em alto e bom tom que ensinar é a minha predileção. Comecei a dar aulas para concursos em Recife, quando tinha apenas 17 anos (mesmo antes de começar o meu curso de Bacharelado em Matemática na UFPE). Vamos seguir o seguinte cronograma para cobrir o conteúdo do último edital publicado. Aula Demonstrativa - Data Prevista: 15/03/ Porcentagem. Aula 01 - Data Prevista: 04/04/ Razão e proporção. Regra de três: simples e composta. Aula 02 - Data Prevista: 11/04/ Análise combinatória. Aula 03 - Data Prevista: 18/04/ Probabilidade Aula 04 - Data Prevista: 25/04/ Conjuntos: definição, operações. 2. Números: naturais, inteiros, racionais e reais. 3. Adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. 4. Divisibilidade: Mínimo Múltiplo comum e Máximo Divisor Comum. 5. Números fracionários e números decimais, dízimas periódicas. Aula 05 - Data Prevista: 02/05/ Equações do 1 grau. Aula 06 - Data Prevista: 09/05/ Média aritmética simples e ponderada. 8. Juros 2

3 PORCENTAGEM As razões de denominador 100 são chamadas taxas percentuais, razões centesimais, percentagem ou porcentagem. Em geral, podemos trocar o denominador 100 pelo símbolo % (por cento). Ou seja, p 100 = p% Podemos expressar as porcentagens sob a forma decimal (taxa unitária). Para obter a taxa unitária, basta dividir o numerador por Percentual de um valor 80% = = 0,8 47% = = 0,47 100% = = 1 280% = = 2,8 Para calcular x% de um valor, basta multiplicar o valor pelo número x/100. Exemplo: Calcular 30% de % de 500 = = Exemplo: Calcular 20% de 30% de 40% de Neste caso, podemos simplificar as frações. 20/100 pode ser simplificado por 20, tornando-se 1/5. 30/100 pode ser simplificado por 10, tornando-se 3/10. 40/100 pode ser simplificado por 20, tornando-se 2/5. 3

4 = = 24 Portanto, 20% de 30% de 40% de é igual a 24. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DA CGU 2 Transformação de uma fração ordinária em taxa percentual Este tópico é importante, pois quando queremos expressar algum crescimento ou desconto, sempre o fazemos em termos percentuais. Para transformar uma fração ordinária qualquer em taxa percentual, basta multiplicá-la por 100%. Exemplo: Transformar a fração 5/2 em taxa percentual. 5 2 = % = 2 2 % = 250% Exemplo: Transformar a fração 3/8 em taxa percentual. 3 8 = % = % = 37, 5% 8 Exemplo: Transformar o número 0,4 em forma de taxa percentual. 0, 4 = 0, 4 100% = 40% Lembre-se que para multiplicar um número decimal por 100 basta deslocar a vírgula duas casas decimais para a direita. Se não houver casas decimais, então deveremos adicionar zeros a direita. É comum querermos saber qual é a participação percentual de uma parte do todo. Por exemplo, imagine que em um grupo de 300 pessoas, 120 são homens. Como calculamos a participação percentual dos homens? Ora, basta dividir a parte pelo todo. E para transformar o resultado em porcentagem, devemos multiplicar o resultado por 100% % = 40% 300 4

5 Isto significa que 40% das 300 pessoas são homens. 3 Variação Percentual MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DA CGU i) Imagine a seguinte situação. Você pretende comprar um computador que custa R$ 1.500,00. Como bom comprador, pergunta ao vendedor se existe algum tipo de ajudinha se você efetuar o pagamento em dinheiro vivo. O vendedor então informa que se o pagamento for feito assim, haverá um desconto de R$ 300,00. Ou seja, você pagará apenas R$ 1.200,00. Ótimo negócio...!! ii) Imagine agora outra situação. Você pretende comprar um automóvel no valor de R$ ,00. Como bom comprador, pergunta ao vendedor se existe algum tipo de ajudinha se você efetuar o pagamento em dinheiro vivo. O vendedor então informa que se o pagamento for feito assim, haverá um desconto de R$ 300,00. Ou seja, você pagará apenas R$ ,00. Ótimo negócio!? Em valores absolutos, o desconto do valor do computador foi igual ao desconto do valor do automóvel. Qual dos dois descontos foi mais significativo em relação ao valor inicial do objeto? Obviamente um desconto de R$ 300,00 em um produto que custa R$ 1.500,00 é bem mais representativo do que um desconto de R$ 300,00 em um produto que custa R$ ,00. Pois bem, a maneira de comparar esses descontos é a chamada variação percentual. Definição A razão entre a diferença de valores (valor final menos o valor inicial) e o preço inicial, expressa em forma de porcentagem, é chamada variação percentual. Generalizemos: Considere um objeto com valor inicial V!"!#!$% na data 0 e valor final V!"#!" em uma data futura t. A variação percentual dessa grandeza entre as datas consideradas é o número i (expresso em porcentagem) dado por: Voltemos aos nossos exemplos: i) V!"!#!$% = 1.500,00 e V!"#$% = 1.200,00 Assim, a taxa percentual é: i = i = V!"#$% V!"!#!$% V!"!#!$% = Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que multiplicar a fração por 100%. 5

6 i = = % = 20% MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DA CGU ii) V!!"#"$% = ,00 e V!"#$% = ,00 Assim, a taxa percentual é: i = = Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que multiplicar a fração por 100%. i = = % = 0,375% Observe que o desconto no pagamento do computador foi de 20% e o desconto no pagamento do carro foi de apenas 0,375%. Apesar de os valores absolutos dos descontos terem sido iguais, percentualmente a diferença foi gritante. Atenção! Se i > 0, a taxa percentual é de crescimento. Se i < 0, o módulo da taxa percentual é de decrescimento (desconto). Exemplo: Guilherme decidiu comprar uma televisão no valor de R$ 1.200,00. Esperou o seu salário entrar no início do mês, para que ficasse mais folgado. Quando então foi à loja efetuar o pagamento, soube que o preço da televisão tinha subido para R$ 1.500,00. Qual foi o percentual de aumento no preço da televisão? i = V!"#$% V!"!#!$% = = 300 V!"!#!$% = % = 25% Portanto, o aumento foi de 25%. Vamos comparar o que aconteceu no caso do computador e no caso da televisão. i) O computador custava R$ 1.500,00 e sofreu um desconto de 20%. Assim, o valor pago foi de R$ 1.200,00. 6

7 ii) A televisão custava R$ 1.200,00 e sofreu um aumento de 25%. Assim, o valor pago foi de R$ 1.500,00. 4 Variações percentuais sucessivas Suponha que uma mercadoria recebeu um desconto de 30%. Se você fosse pagar essa mercadoria sem o desconto, você iria desembolsar 100%. Porém, com o desconto concedido, você irá pagar 100% - 30% = 70%. Assim, para calcular o valor após o desconto, devemos multiplicar o valor original por 70%=70/100. Em geral, ao diminuir p%, para calcular o valor final, devemos multiplicar por 100% - p%. Da mesma forma, para aumentar p% de certo valor, devemos multiplicá-lo por 100% + p%. Por exemplo, se uma mercadoria aumenta 20%, você irá pagar 100% + 20% = 120%. Exemplo: Uma mercadoria custa R$ 300,00. Em uma primeira ocasião, sofreu um aumento de 40%. Dois meses depois, a loja anunciou uma liquidação e a mercadoria sofreu um desconto de 25%. Qual o valor final da mercadoria? Qual a variação percentual acumulada? Quando a mercadoria sofre um aumento de 40%, o cliente além de ter que pagar os 100% (valor da mercadoria) terá que pagar os 40% de aumento. Pagará, portanto, 140% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria, após o aumento, vale: 140% de R$300,00 = = 420 reais. 100 A mercadoria (que agora vale R$ 420,00) sofre um desconto de 25%. Você não pagará o valor total da mercadoria (100%), já que foi concedido um desconto. O cliente pagará 100% - 25% = 75% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria, após o desconto, vale: 75% de R$ 420,00 = = R$ 315, Portanto, o valor final da mercadoria é igual a R$ 315,00. Poderíamos ter efetuado este cálculo de uma maneira mais objetiva. Toma-se o valor da mercadoria e multiplica-se pelas taxas de aumentos e de descontos. Assim, 7

8 V!"#$% = = 315 reais. 100 MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DA CGU Inicialmente a mercadoria valia R$ 300,00 e após as variações seu valor é de R$ 315,00. Ou seja: A taxa de variação acumulada é de: V!!"#"$% = 300 e V!"#$% = 315 i = V!"#$% V!"!#!$% = V!"!#!$% 300 i = = % = 5% 300 Assim, o aumento de 40% seguido do desconto de 25% equivale a um único aumento de 5%. Vamos agora resolver algumas questões para sedimentar os conhecimentos. 1. (Agente Executivo SUSEP 2006/ESAF) Um indivíduo tinha uma dívida de R$ 1.200,00 três meses atrás. Considerando que o valor dessa dívida hoje é R$ 1.440,00, calcule a porcentagem de aumento da dívida no período. a) 12% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30% Para qualquer questão em que precisemos calcular o aumento ou desconto percentual, dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte fórmula: Valor inicial: R$ 1200,00 Valor final: R$ 1440,00 i = V!"#$% V!"!#!$% V!"!#!$% Diferença entre os valores: R$ 1440,00 R$ 1200,00 = R$ 240,00. Letra C i = % = % = 20% 8

9 2. (ESAF-AFC/CGU-2004) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa sequência de visitas, ficou: a) exatamente igual b) 5% maior c) 5% menor d) 10% menor e) 10% maior Suponha que Alice tinha 100 kg antes das mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. Se ela perdeu 20% de peso, então para calcular o peso que ela ficou após essa mudança, devemos multiplicar o valor original por 100% - 20% = 80% = 80/100. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Se ela ganhou 20% de peso, para calcular o seu peso final, devemos multiplicar o valor por 100% + 20% = 120% = 120/100. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Se ela perdeu 25% de peso, devemos multiplicar o valor do peso por 100% - 25% = 75% = 75/100. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. Devemos multiplicar por 100% + 25% = 125% = 125/100. Assim, o peso final de Alice será calculado da seguinte maneira: Seu peso final será: = 90 kg 100 Então, já que Alice possuía 100 kg, ficou com um peso 10% menor. 9

10 Letra D 3. (Fiscal do trabalho 2003/ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: a) 50 b) 10 c) 20 d) 40 e) 70 : Na clínica temos 10 gatos. 90% destes agem como gatos e 10% agem como cães. Logo: Nove gatos agem como gatos e um gato age como cão. Vamos considerar que há x cães na clínica. Destes, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Logo: 0,9x cães agem com cães e 0,1x cães agem como gatos Em resumo, temos: Nove gatos e 0, 1x cães agem como gatos. Um gato e 0,9x cães agem como cães. Há 10 gatos e x cães. Desta forma, o total de animais é igual a 10 + x. Sabemos pelo enunciado que 20% dos animais desta clínica agem como gatos. Assim: 20% dos animais agem como gatos 20% de 10 + x = 9 + 0,1x 0, x = 9 + 0,1x 2 + 0,2x = 9 + 0,1x 0,2x 0,1x = 9 2 0,1x = 7 10

11 x = 7 0,1 = 70 MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DA CGU Há 70 cães. Letra E 4. (AFT 2010/ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de ciências humanas e os outros 44% estudam em cursos da área de ciências exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da universidade estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na universidade, qual a proporc ão dos alunos que estudam matemática ou física entre os alunos que estudam em cursos de ciências exatas? a) 20,00%. b) 21,67%. c) 25,00%. d) 11,00%. e) 33,33%. Vamos imaginar, sem perda de generalidade, que a universidade possua 100 estudantes. Pelo enunciado, sabemos que 56 alunos são da área de ciências humanas, 44 alunos estudam em cursos da área de ciências exatas. Sabemos ainda que 5 alunos estudam matemática e 6 alunos estudam física. Assim, a quantidade de alunos que estuda matemática ou física é igual a 5+6=11. O problema pede a proporção dos alunos que estudam matemática ou física ENTRE OS ALUNOS QUE ESTUDAM EM CURSOS DE CIÊNCIAS EXATAS. Lembra que para calcular a participação percentual devemos dividir a parte pelo todo? Pois bem, neste caso devemos dividir 11 (alunos que estudam matemática ou física) por 44 (alunos da área de ciências exatas). Observe que ele não pede a participação percentual em relação a todos os estudantes da universidade. É por isso que devemos dividir por 44 e não por 100. Letra C % = 1 100% = 25% 4 11

12 5. (SMF-RJ 2010/ESAF) Em uma determinada cidade, 25% dos automóveis são da marca A e 50% dos automóveis são da marca B. Ademais, 30% dos automóveis da marca A são pretos e 20% dos automóveis da marca B também são pretos. Dado que só existem automóveis pretos da marca A e da marca B, qual a percentagem de carros nesta cidade que são pretos? a) 17,5% b) 23,33% c) 7,5% d) 22,75% e) 50% Vamos imaginar que existam automóveis nesta cidade. Vinte e cinco por cento são da marca A, ou seja, 250 são da marca A. Trinta por cento dos carros da marca A são pretos = 75 automóveis pretos da marca A 100 Cinquenta por cento são da marca B, ou seja, 500 automóveis são da marca B. Vinte por cento dos automóveis da marca B são pretos = 100 automóveis pretos da marca B 100 O total de automóveis pretos é 175. Como o total de automóveis na cidade é 1.000, então a porcentagem de carros pretos é Letra A % = 17,5% (Agente Executivo SUSEP 2006/ESAF) Em um concurso, de cada 100 candidatos, 60 eram mulheres e 40 homens. Considerando que a porcentagem de aprovação entre os candidatos mulheres foi de 20% e entre os homens foi de 15%, calcule a porcentagem de aprovação em geral entre os candidatos, independentemente do sexo. a) 15% b) 17% c) 18% d) 19% e) 20% 12

13 Supondo que são 100 pessoas, temos 60 mulheres e 40 homens. Vinte por cento das mulheres foram aprovadas = 12 mulheres aprovadas 100 Quinze por cento dos homens foram aprovados = 6 homens aprovados. 100 O total de pessoas aprovadas é igual a 12+6=18. Como o total de pessoas é 100, então o percentual de aprovados é igual a 18/100 (parte dividido pelo todo), ou seja, 18%. Letra C 7. (SMF-RJ 2010/ESAF) O PIB de um país que entrou em recessão no fim de 2008 tinha crescido 10% no primeiro trimestre de 2008, 5% no segundo trimestre, tinha ficado estável no terceiro trimestre e tinha caído 10% no último trimestre daquele ano. Calcule a taxa de crescimento do PIB desse País, em a) 1,25%. b) 5%. c) 4,58%. d) 3,95%. e) -5%. Para calcularmos a taxa de crescimento, vamos atribuir um valor qualquer ao PIB no início de Digamos que este valor inicial seja 100. Quando o PIB cresce 10% no primeiro trimestre, devemos multiplicar o seu valor por 100%+10% = 110% = 110/100. Quando o PIB cresce 5% no segundo trimestre, devemos multiplicar o seu valor por 100% + 5% = 105%. Se o PIB fica estável no terceiro trimestre, não precisamos multiplicar por número algum, ou seja, devemos multiplicar por 100% + 0% = 100% = 100/100 = 1. Multiplicar por 1 não altera o resultado, então não precisamos incluir este número na operação. No último trimestre o PIB caiu 10%, ou seja, devemos multiplicá-lo por 100% - 10% = 90% = 90/100. Assim, o PIB no final de 2008 será igual a: 13

14 = 103,95 MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DA CGU Se o PIB no início de 2008 era 100 e no final o PIB era de 103,95, então houve um aumento de 3,95%. Letra D 8. (AFT 2010/ESAF) Em um grupo de pessoas, há 20 mulheres e 30 homens, sendo que 20 pessoas estão usando óculos e 36 pessoas estão usando calc a jeans. Sabe-se que, nesse grupo, i) há 20% menos mulheres com calc a jeans que homens com calc a jeans, ii) há três vezes mais homens com óculos que mulheres com óculos, e iii) metade dos homens de calc a jeans estão usando óculos. Qual a porcentagem de pessoas no grupo que são homens que estão usando óculos mas não estão usando calc a jeans? a) 5%. b) 10%. c) 12%. d) 20%. e) 18%. Há muitas informações no enunciado. Vamos analisar cada uma delas separadamente e ir montando as equações correspondentes. i) há 20% menos mulheres com calça jeans que homens com calça jeans Digamos que haja m j mulheres com calça jeans e h j homens com calça jeans. Sabemos que existem 36 pessoas com calça jeans, ou seja, h! + m! = 36. Como há 20% menos mulheres com calça jeans que homens com calça jeans, então m! é igual a h! multiplicado por 100% - 20% = 80% = 0,8. m! = 0,8h! Vamos substituir esta expressão na equação h! + m! = 36. h! + 0,8h! = 36 1,8h! = 36 h! = 20 Consequentemente, m! = 16. Resumindo: há 20 homens com calça jeans e 16 mulheres com calça jeans. ii) há três vezes mais homens com óculos que mulheres com óculos. 14

15 O enunciado ainda afirma que há 20 pessoas com óculos. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DA CGU Vamos considerar que a quantidade de mulheres com óculos é m! e a quantidade de homens com óculos é h!. m! + h! = 20 A quantidade de homens com óculos é o triplo da quantidade de mulheres com óculos, ou seja, h! = 3m!. Substituindo na equação acima, temos: m! + 3m! = 20 4m! = 20 m! = 5 Consequentemente, a quantidadade de homens com óculos é igual a 15, ou seja, h! = 15. iii) metade dos homens de calça jeans estão usando óculos. E o problema pergunta: Qual a porcentagem de pessoas no grupo que são homens que estão usando óculos mas não estão usando calc a jeans? Sabemos que há 20 homens de calça jeans. Metade deles usam óculos, ou seja, há 10 homens de calça jeans usando óculos. Como há 15 homens de óculos, 5 homens usam óculos, mas não usam calça jeans. Como o total de pessoas no grupo é 50, então a porcentagem pedida é 5/50 = 0,1 = 10%. Letra B 9. (ANA 2009/ESAF) Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% de águas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Logo abaixo desse ponto desemboca um afluente, que tem um volume d água 30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de águas claras, que não se misturam nem entre si nem com as do rio principal. Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios terão logo após se encontrarem. a) 41% b) 35% c) 45% d) 49% e) 55% 15

16 Vamos supor que, para cada 1 litro de água do rio principal, temos 700 ml de água do afluente (pois este tem volume 30% menor). No rio principal, neste volume de 1 L, temos: 200 ml de águas turvas (20% de 1 L) 800 ml de águas claras (80% de 1 L) No afluente, dos 700 ml de água, temos: 490 ml de águas turvas (70% de 700 ml) 210 ml de águas claras (30% de 700 ml) Somando tudo, temos um volume de ml (rio principal + rio afluente). Deste total, são 690 ml de águas turvas ( ). Assim, o percentual de águas turvas fica: Letra A % 40,58% (TFC-CGU 2008/ESAF) Uma pequena cidade possui habitantes, dos quais 40% são produtores rurais e 60% são do sexo masculino. Sabe-se que 40% das mulheres são produtoras rurais. Desse modo, o número de habitantes do sexo masculino e que são produtores rurais é igual a: a) 1750 b) 2200 c) 3600 d) 6000 e) % dos habitantes são produtores rurais. 40% de = = produtores rurais % dos habitantes são do sexo masculino = homens 100 Ora, como há habitantes dos quais são homens, então são mulheres. Sabe-se que 40% das mulheres são produtoras rurais. 16

17 40% das mulheres = 40% de = = São mulheres produtoras rurais. Vamos montar uma tabela para detalhar bem a situação: O total de produtores rurais é igual a Como são mulheres, então se tem um total de = produtores rurais do sexo masculino. Não há alternativa compatível e a questão foi anulada pela ESAF. 11. (SEFAZ-SP 2009/ESAF) A e B são os lados de um retângulo I. Ao se aumentar o lado A em 20% e reduzir-se o lado B em 20% obtem-se o retângulo II. Se, ao invés disso, se aumentar o lado B em 20% e diminuir-se o lado A em 20%, tem-se o retângulo III. Pode-se afirmar que: a) os três retângulos têm a mesma área. b) o retângulo III tem a maior área. c) o retângulo II tem a maior área. d) o retângulo I tem a maior área. e) os retângulos II e III têm uma área igual, maior que a do retângulo I. Vamos considerar que o retângulo I tem lados A=10 e B=100. Assim, a sua área é igual a 10x100= Ao se aumentar o lado A em 20% e reduzir-se o lado B em 20% obtem-se o reta ngulo II. Assim, os lados do retângulo II são iguais a 12 e 80. Sua área é igual a 12x80=960. Se, ao invés disso, se aumentar o lado B em 20% e diminuir-se o lado A em 20%, tem-se o reta ngulo III. Assim, os lados do retângulo III são iguais a 120 e 8. Sua área é igual a 120x8 = 960. Letra D 12. (ATA-MF 2009/ESAF) Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações? a) 40% b) 33% 17

18 c) 57% d) 50% e) 25% Vamos ver um exemplo mais simples para você entender. Imagine que em um grupo de pessoas, 40% são homens e 80% são mulheres. Isso é possível? Não! Por quê? Ora, porque a soma total tem que ser 100%, e como não há elementos comuns entre os homens e as mulheres, essa situação é impossível. Agora imagine que em um grupo de pessoas, 40% gostam de Matemática e 80% gostam de física. Essa situação é possível!! Por que agora é possível? Porque deve existir um grupo de pessoas que gosta das duas matérias. Quando somamos 40% com 80%, obtemos 120%. Essa porcentagem que passou de 100% é justamente o grupo que gosta das duas matérias, no caso, 20%. Voltemos ao enunciado. 1/4 dos participantes são graduados em matemática: 1/4 = 25% (Matemática) 2/5 dos participantes são graduados em geologia: 2/5 = 40% (Geologia) 1/3 dos participantes são graduados em economia: 1/3 = 33,33% (Economia). Esse valor é aproximado. Não tem problema, o enunciado pediu um valor aproximado. 1/4 dos participantes são graduados em biologia: 1/4 = 25% (Biologia) 1/3 dos participantes são graduados em química: 1/3 = 33,33% (Química) Somando as porcentagens, obtemos: 156,66%. Então a porcentagem de pessoas que possuem duas graduações é igual a 56,66%. Letra C 13. (AFRFB 2009/ESAF) Em uma repartic ão, 3/5 do total dos funcionários são concursados, 1/3 do total dos funcionários são mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 do total dos funcionários dessa repartic ão. Assim, qual entre as opc ões abaixo, é o valor mais próximo da porcentagem do total dos funcionários dessa repartic ão que são homens não concursados? a) 21% b) 19% c) 42% d) 56% e) 32% 18

19 Vamos atribuir valores. Para não trabalharmos com números decimais, vamos pegar um número que seja múltiplo de 3, 4 e 5. Vamos supor que a repartição tem 60 pessoas. 3/5 dos funcionários são concursados. São 36 concursados = /3 do total de funcionários são mulheres = 20 3 São 20 mulheres. Consequentemente, o número de homens é 40, de modo que o total de pessoas seja 60. 1/4 dos funcionários são mulheres concursadas = 15 4 São 15 mulheres concursadas. Já sabemos que o total de concursados é 36. Assim, o número de homens concursados é = 21. Como temos 40 homens e, destes, 21 são concursados, então 19 homens não são concursados. O percentual de homens não concursados, em relação ao total de funcionários, é: Letra E % 31,67% (SMF-RJ 2010/ESAF) O álcool X o GL tem X% de frac ão em volume composto por álcool etílico e o restante por água. Sendo assim, 750 ml de uma mistura em volumes iguais de álcool 96 o GL e álcool 70 o GL são, por sua vez, misturados com 250 ml de álcool com frac ão em volume desconhecida, resultando em um litro de álcool 76 o GL. Calcule a frac ão em volume desconhecida desses 250 ml de álcool. 19

20 a) 46% b) 50% c) 55% d) 76% e) 83% O que significa um álcool 96 o GL? Significa que 96% do seu volume é composto por álcool etílico e o restante de água. Temos uma mistura de 750 ml em volumes iguais de álcool 96 o GL e álcool 70 o GL. Ou seja, temos 375 ml de álcool 96 o GL e 375 ml de álcool 70 o GL. A quantidade de álcool etílico é: 96% de % de = ,5 = 622, Concluímos que dos 750 ml da mistura, temos 622,50 ml de álcool etílico. O restante é água. Vamos misturar estes 750 ml com 250 ml de um outro álcool com frac ão em volume desconhecida. Teremos como resultado uma mistura (750ml+250ml = ml) de álcool 76 o GL. Isto quer dizer que 76% da mistura de 1.000ml será de álcool etílico. A quantidade de álcool etílico na mistura é igual a: 76% de 1.000ml = = 760 ml 100 Como já tínhamos 622,50 ml de álcool etílico, então a quantidade de álcool etílico correspondente ao terceiro álcool é igual a ,50 = 137,50 ml. Ora, o terceiro álcool tem um total de 250 ml, dos quais 137,50 ml são de álcool etílico. A porcentagem de álcool puro é igual a: 137, % = 55% Lembre-se que para calcular o percentual devemos dividir a parte pelo todo. Letra C 20

21 15. (ATRFB 2009/ESAF) Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano passou de R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, com relac ão a esse período, pode-se afirmar que: a) O dolar se desvalorizou 25% em relac ão ao real. b) O real se valorizou 20% em relac ão ao dólar. c) O real se valorizou 25% em relac ão ao dólar. d) O real se desvalorizou 20% em relac ão ao dólar. e) O real se desvalorizou 25% em relac ão ao dólar. Inicialmente um dólar custava R$ 2,50 e no final custava R$ 2,00. A variação percentual do dólar é igual a: i = 2,00 2,50 2,50 i = V!"#$% V!"!#!$% V!"!"!#$ = 0,50 2,50 Isto significa que o dólar desvalorizou 20%. 100% = 20% A questão deu o valor de 1 dólar. Disse que inicialmente, US$1,00 = R$ 2,50 e que no final US$1,00 = R$ 2,00. E qual é o valor de R$ 1,00? Ora, se US$1,00 = R$ 2,50, então R$1,00 = US$!!,!" = US$0,40. Se você tiver dificuldade em fazer esta operação, faça uma regra de três: Real Dólar 2, x Multiplicando cruzado, temos: 2,50x = 1 x = 1 2,50 = 0,40 Ou seja, no início do período, 1 real correspondia a 40 centavos de dólar. 21

22 No final do período, temos que US$1,00 = R$ 2,00, ou seja, R$1,00 = US$!,!!!,!! = US$ 0,50. Poderíamos novamente ter feito uma regra de três. Real Dólar 2, x 2,00x = 1 x = 1 2,00 = 0,50 Isto significa que, no fim do período, 1 real correspondia a 50 centavos de dólar. Concluímos que o real se valorizou. E valorizou quantos por cento? O real se valorizou 25%. Letra C i = 0,50 0,40 0,40 i = V!"#$% V!"!#!$% V!"!#!$% = 0,10 100% = +25% 0,40 Observe que os percentuais não são iguais. Dizemos que uma desvalorização de 20% do dólar equivale a uma valorização de 25% do real. Isto ocorre porque, em cada caso, a base de cálculo para definição do percentual é diferente. No caso do dólar, a base de cálculo era o valor maior (2,50). No caso do real, a base de cálculo era o valor menor (0,40). 22

23 Relação das questões comentadas 16. (Agente Executivo SUSEP 2006/ESAF) Um indivíduo tinha uma dívida de R$ 1.200,00 três meses atrás. Considerando que o valor dessa dívida hoje é R$ 1.440,00, calcule a porcentagem de aumento da dívida no período. a) 12% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30% 17. (ESAF-AFC/CGU-2004) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa sequência de visitas, ficou: a) exatamente igual b) 5% maior c) 5% menor d) 10% menor e) 10% maior 18. (Fiscal do trabalho 2003/ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: a) 50 b) 10 c) 20 d) 40 e) (AFT 2010/ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de cie ncias humanas e os outros 44% estudam em cursos da 23

24 área de ciências exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da universidade estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na universidade, qual a proporc ão dos alunos que estudam matemática ou física entre os alunos que estudam em cursos de ciências exatas? a) 20,00%. b) 21,67%. c) 25,00%. d) 11,00%. e) 33,33%. 20. (SMF-RJ 2010/ESAF) Em uma determinada cidade, 25% dos automóveis são da marca A e 50% dos automóveis são da marca B. Ademais, 30% dos automóveis da marca A são pretos e 20% dos automóveis da marca B também são pretos. Dado que só existem automóveis pretos da marca A e da marca B, qual a percentagem de carros nesta cidade que são pretos? a) 17,5% b) 23,33% c) 7,5% d) 22,75% e) 50% 21. (Agente Executivo SUSEP 2006/ESAF) Em um concurso, de cada 100 candidatos, 60 eram mulheres e 40 homens. Considerando que a porcentagem de aprovação entre os candidatos mulheres foi de 20% e entre os homens foi de 15%, calcule a porcentagem de aprovação em geral entre os candidatos, independentemente do sexo. a) 15% b) 17% c) 18% d) 19% e) 20% 22. (SMF-RJ 2010/ESAF) O PIB de um país que entrou em recessão no fim de 2008 tinha crescido 10% no primeiro trimestre de 2008, 5% no segundo trimestre, tinha ficado estável no terceiro trimestre e tinha caído 10% no último trimestre daquele ano. Calcule a taxa de crescimento do PIB desse País, em a) 1,25%. b) 5%. c) 4,58%. d) 3,95%. e) -5%. 24

25 23. (AFT 2010/ESAF) Em um grupo de pessoas, há 20 mulheres e 30 homens, sendo que 20 pessoas estão usando óculos e 36 pessoas estão usando calc a jeans. Sabe-se que, nesse grupo, i) há 20% menos mulheres com calc a jeans que homens com calc a jeans, ii) há treŝ vezes mais homens com óculos que mulheres com óculos, e iii) metade dos homens de calc a jeans estão usando óculos. Qual a porcentagem de pessoas no grupo que são homens que estão usando óculos mas não estão usando calc a jeans? a) 5%. b) 10%. c) 12%. d) 20%. e) 18%. 24. (ANA 2009/ESAF) Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 20% de águas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Logo abaixo desse ponto desemboca um afluente, que tem um volume d água 30% menor que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de águas claras, que não se misturam nem entre si nem com as do rio principal. Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios terão logo após se encontrarem. a) 41% b) 35% c) 45% d) 49% e) 55% 25. (TFC-CGU 2008/ESAF) Uma pequena cidade possui habitantes, dos quais 40% são produtores rurais e 60% são do sexo masculino. Sabe-se que 40% das mulheres são produtoras rurais. Desse modo, o número de habitantes do sexo masculino e que são produtores rurais é igual a: a) 1750 b) 2200 c) 3600 d) 6000 e) (SEFAZ-SP 2009/ESAF) A e B são os lados de um retângulo I. Ao se aumentar o lado A em 20% e reduzir-se o lado B em 20% obtem-se o retângulo II. Se, ao invés disso, se aumentar o lado B em 20% e diminuir-se o lado A em 20%, tem-se o retângulo III. Pode-se afirmar que: a) os três retângulos têm a mesma área. b) o retângulo III tem a maior área. c) o retângulo II tem a maior área. 25

26 d) o retângulo I tem a maior área. e) os retângulos II e III têm uma área igual, maior que a do retângulo I. 27. (ATA-MF 2009/ESAF) Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações? a) 40% b) 33% c) 57% d) 50% e) 25% 28. (AFRFB 2009/ESAF) Em uma repartic ão, 3/5 do total dos funcionários são concursados, 1/3 do total dos funcionários são mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 do total dos funcionários dessa repartic ão. Assim, qual entre as opc ões abaixo, é o valor mais próximo da porcentagem do total dos funcionários dessa repartic ão que são homens não concursados? a) 21% b) 19% c) 42% d) 56% e) 32% 29. (SMF-RJ 2010/ESAF) O álcool X o GL tem X% de frac ão em volume composto por álcool etílico e o restante por água. Sendo assim, 750 ml de uma mistura em volumes iguais de álcool 96 o GL e álcool 70 o GL são, por sua vez, misturados com 250 ml de álcool com frac ão em volume desconhecida, resultando em um litro de álcool 76 o GL. Calcule a frac ão em volume desconhecida desses 250 ml de álcool. a) 46% b) 50% c) 55% d) 76% e) 83% 30. (ATRFB 2009/ESAF) Em um determinado período de tempo, o valor do dólar americano passou de R$ 2,50 no início para R$ 2,00 no fim do período. Assim, com relac ão a esse período, pode-se afirmar que: 26

27 a) O dolar se desvalorizou 25% em relac ão ao real. b) O real se valorizou 20% em relac ão ao dólar. c) O real se valorizou 25% em relac ão ao dólar. d) O real se desvalorizou 20% em relac ão ao dólar. e) O real se desvalorizou 25% em relac ão ao dólar. MATEMÁTICA PARA TÉCNICO DA CGU Gabaritos 01. C 02. D 03. E 04. C 05. A 06. C 07. D 08. B 09. A 10. ANULADA 11. D 12. C 13. E 14. C 15. C 27