Matemática Elementos de Aritmética e Álgebra

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2 Matemática Elementos de Aritmética e Álgebra Felipe Vieira Rafael Aleixo de Carvalho i

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4 Sumário Prefácio v 1 Estrutura do livro v 2 Pré-requisitos vii 3 Os autores vii 1 Introdução 1 2 Números naturais Construção de N Operações em N Adição Multiplicação Subtração Princípio de Indução Princípio da Boa Ordem Números inteiros Construção de Z a partir de N Operações em Z Adição Multiplicação Subtração Relação de ordem Princípio do Menor Inteiro Algoritmo da Divisão Sistema de numeração em outras bases Adição Multiplicação Subtração iii

5 Sumário Tabela de tabuada em outras bases Divisibilidade e números primos Múltiplos e divisores Números primos Teorema Fundamental da Aritmética Máximo divisor comum Mínimo múltiplo comum Equações diofantinas Congruências Critérios de divisibilidade Números racionais Construção de Q a partir de Z Operações em Q Adição Multiplicação Subtração Divisão Relação de ordem Números reais Existência de números que não são racionais Potenciação e radiciação Progressões aritméticas Progressões geométricas Representação decimal Equações polinomiais Inequações polinomiais A Relações 259 B Construção do conjunto dos números inteiros 265 C Construção do conjunto dos números racionais 269 D Construção do conjunto dos números reais 273 Referências Bibliográficas 279 Índice Remissivo 281 iv

6 Prefácio Este material foi inspirado na ementa e nas notas de aula da disciplina Elementos de Aritmética e Álgebra, que consta na primeira fase do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Santa Catarina, campus Blumenau. 1 Estrutura do livro A apresentação do conteúdo deste livro teve como base os livros que constam na bibliografia. Seguimos a construção dos conjuntos mais simples aos mais complicados iniciando, obviamente, com o conjunto dos números naturais e suas operações de adição e multiplicação. Através da comparação de números naturais definimos, também, a subtração. Terminamos com uma breve introdução ao Princípio de Indução e com a demonstração de um importante resultado, chamado Princípio da Boa Ordem, que apresenta propriedades sobre subconjuntos de números naturais. No capítulo seguinte passamos ao conjunto dos números inteiros, movidos pela vontade de subtrair quaisquer dois números. Após discutir algumas propriedades dessa nova operação, estudaremos as propriedades da relação de ordem menor ou igual. Análogo ao Princípio da Boa Ordem, apresentamos uma propriedade sobre subconjuntos dos números inteiros, conhecida como o Princípio do Menor Inteiro. Por fim, discutimos o Algoritmo de Euclides e fazemos um breve relato das operações com números escritos em outras bases. Na sequência, analisamos muitas das consequências do Algoritmo de Euclides como, por exemplo, a divisibilidade e a multiplicidade no conjunto dos números inteiros, além de conhecermos o que são números primos. Também apresentamos o Teorema Fundamental da Aritmética v

7 Prefácio e, com ele, o cálculo do máximo divisor comum e do mínimo múltiplo comum entre números inteiros. Posteriormente, estudaremos algumas equações simples, as equações diofantinas, além das congruências e de alguns critérios de divisibilidade No Capítulo 5 estudamos o conjunto dos números racionais, norteados pela vontade de dividir. Após analisar suas propriedades e operações, retomaremos a relação de ordem, analisando como comparar seus elementos, as frações. Por fim, seguimos para o conjunto dos números reais, pois descobriremos que existem números que não podem ser escritos na forma de uma fração. Com isso, estudaremos o conceito de raiz de um número, as progressões aritméticas e as geométricas. Também veremos como escrever frações como números decimais e vice-versa e, para terminar, resolveremos equações e inequações polinomiais. O foco, aqui, é ensinar o leitor a calcular. Operar números inteiros, racionais, resolver equações e inequações, calcular potências e raízes, trabalhar com números decimais, entre outros. Por isso, há muitos exemplos resolvidos e volumosas listas de exercícios ao final de cada seção. Além disso, apresentamos muitas demonstrações, porém, a maioria delas é curta e simples. Algumas demonstrações são maiores e mais complicadas, porém necessárias para uma obra auto-contida. Aliás, para aqueles que querem algo a mais, este livro possui quatro apêndices. São apresentadas de maneira formal as relações (de ordem e de equivalência), assim como as construções do conjunto dos números inteiros e do conjunto dos números racionais. Também apresentamos a construção dos números reais através do Postulado de Dedekind. Em especial, este livro possui as biografias de grandes matemáticos que foram importantes para a teoria. Essas biografias foram todas retiradas do grande trabalho de J. J. O Connor e E. F. Robertson, chamado MacTutor History of Mathematics, da University of St. Andrews, Scotland, disponível em Muitas imagens foram também retiradas desse trabalho e, aquelas que não foram, estão com a fonte detalhada na própria legenda. Alguns exercícios foram criados e outros foram retirados dos livros da bibliografia. Também foram utilizadas questões das provas da Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM). A OBM é uma realização conjunta do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) e da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Sua primeira edição foi realizada em Por fim, há questões da ORM/SC. A ORM é a Olimpíada Regional vi

8 2. Pré-requisitos de Matemática de Santa Catarina, que acontece neste estado desde Esta olimpíada é um projeto de extensão do Departamento de Matemática da UFSC, com a participação dos alunos bolsistas do PET Matemática e de outros alunos voluntários do curso de Matemática da UFSC, com o apoio da Pró-Reitoria de Extensão (PROEX) e do IMPA. Maiores informações sobre este projeto podem ser acessadas no site 2 Pré-requisitos Não há pré-requisitos para a leitura dos capítulos regulares deste livro, todo conteúdo necessário para lê-lo está aqui contido. Caso o leitor se interesse pelos apêndices, a leitura do Apêndice D exige um conhecimento prévio da teoria de corpos (que pode ser obtido em [18]). 3 Os autores Os autores são professores adjuntos do Departamento de Matemática da UFSC - Universidade Federal de Santa Catarina, campus Blumenau. Felipe Vieira é bacharel em Matemática e Computação Científica na UFSC, onde também obteve o grau de Mestre em Matemática, com ênfase em Análise. Em 2013 concluiu seu doutorado em Matemática pela Westfälische Wilhelms-Universität Münster (WWU Münster), na Alemanha. Além disso, já foi coordenador do curso de Licenciatura em Matemática da UFSC Blumenau. Rafael Aleixo de Carvalho estudou na Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) onde obteve o bacharelado em Matemática e o mestrado e doutorado em Matemática Aplicada. vii

9 viii Prefácio

10 Capítulo 1 Introdução Número é um dos primeiros conceitos matemáticos assimilados pela humanidade, apesar de, naquela época, não estar ainda bem definido. Seu surgimento é acompanhado dos procedimentos de contagem e seus primeiros indícios têm mais de 35 mil anos. Atualmente, o mais antigo instrumento matemático aceito é o osso de Lebombo, um pedaço de osso de um babuíno encontrado no sul da África, mais especificamente nos Montes Libombos, entre a África do Sul e a Suazilândia. Esse instrumento é datado de 35 mil anos a.c. e possui 29 entalhes marcando, supostamente, o calendário lunar. Figura 1.1: Osso de Lebombo. Fonte: mat0703/pez/civilizaçãoafricana2.htm. Outro importante instrumento matemático da antiguidade é o osso de Ishango. Datado de mais de 20 mil anos é, também, um pedaço de osso de um babuíno. Foi encontrado na atual divisa entre Uganda e Congo e apresenta operações de adição, números ímpares e números primos. Está em exposição no Instituto Real Belga de Ciências Naturais, em Bruxelas. 1

11 Introdução Figura 1.2: Osso de Ishango. Fonte: Passou-se muito tempo para iniciar-se a utilização de símbolos especiais, ou algarismos, para se representar os números. Os primeiros símbolos que representam números surgem no norte da China, Egito, Mesopotâmia (atual Iraque) e norte da Índia. A necessidade da utilização de símbolos para representar números ocorre por conta da agricultura, pecuária e do comércio, pois tudo deveria ser anotado e controlado e, em última instância, contado. Como exemplo, temos a bem conhecida história do pastor de ovelhas que, pela manhã, ao liberar as ovelhas para as pastagens, coletava uma pedra para cada ovelha que possuía. Já ao recolher as ovelhas, ele largava uma pedra para cada ovelha que entrava. Se sobravam pedras em suas mãos, então faltavam ovelhas. Esta história representa uma simples comparação entre conjuntos, o conjunto de pedras corresponde ao conjunto de ovelhas. Isso indica que, há muito tempo, já se sabia que para realizar a contagem, pode-se utilizar a mesma representação para uma mesma quantidade de pedras, ovelhas, pessoas, ou de qualquer coisa que se queira representar ou contar. Mais tarde, porém, tornou-se necessário contar quantidades maiores: população, fortunas, produção, etc. Portanto, a humanidade teve que encontrar formas de expressar quantidades de maneira sistemática, que pudesse ser facilmente estendida, que é chamada de notação posicional ou sistema de numeração posicional. Nela, a posição dos algarismos que aparecem na representação de 2

12 um dado número é tão importante quanto o próprio algarismo. Nós utilizamos a base dez, ou seja, cada algarismo está, na verdade, multiplicando uma potência do número dez, correspondente à sua posição na representação do número em questão. Por exemplo, embora os números 322 e 232 utilizem os mesmos algarismos, eles representam quantidades diferentes, pois a posição do 3 difere nessas duas quantidades. No primeiro, o 3 está, na verdade, multiplicando 100 e, na segunda, multiplicando 10. Assim, quanto mais à esquerda está o algarismo, maior é a potência de dez que ele multiplica. Esse sistema de numeração é o chamado sistema indo-arábico e é o sistema de numeração mais utilizado na atualidade. Porém, os sistemas de numeração posicional são mais gerais que o sistema indo-arábico. Em um sistema de numeração genérico, um algarismo é, na verdade, um símbolo básico que, ao ser utilizado na escrita de algum número qualquer, estará multiplicando alguma potência do elemento da base. Essa potência determina a posição de cada símbolo básico no sistema de numeração (na Seção 3.5 estudaremos sistemas de numeração em bases diferentes de 10). Há importantes modelos que utilizaram tais ideias, que surgiram de forma independente. Os Egípcios (3 mil a.c.) apresentavam os números de forma parecida com a nossa, sabiam somar números, possuíam símbolos especiais para 1, 10, 100, 1000, 10000, e mas não tinham um símbolo para o zero. Figura 1.3: Símbolos da numeração egípcia. Os egípcios também já sabiam multiplicar e se preocupavam com problemas matemáticos complexos como, por exemplo, o cálculo de áreas para o cultivo de grãos ou, ainda, o cálculo do diâmetro da Terra, entre outros. Dois famosos achados dessa civilização contêm muitos dos tais problemas, mais especificamente 110, e suas respectivas soluções: o papiro de Rhind e o papiro de Moscou. O papiro de Rhind apresenta uma rica descrição do nível da matemática egípcia antiga, apesar de apresentar problemas não tão difícies. 3

13 Introdução O problema 79, cuja interpretação é um pouco imprecisa, pode ser identificada como uma análise de progressões geométricas com quociente 7 (na Seção 6.4 estudaremos estas progressões). Esse problema levou o historiador da matemática Moritz Cantor, em 1907, a dar uma interpretação mais realista, apresentando o mesmo como um precursor de um problema famoso da idade média. O problema pode ser enunciado como: há sete senhoras idosas na estrada de Roma. Cada senhora tem sete mulas; cada mula transporta sete sacos; cada saco contém sete pães; com cada pão há sete facas; para cada faca há sete bainhas. Entre mulheres, mulas, sacos, pães, facas e bainhas, quantos estão na estrada de Roma? Figura 1.4: Papiro de Rhind. Na mesma época, os Babilônios (3 mil a.c.) também utilizavam o sistema posicional: base dez para números menores que 60, e base 60 para números maiores que 60. Assim dizemos que o sistema de numeração dos babilônios é um sistema misto. Até hoje utiliza-se a 4

14 base 60 para a contagem de tempo, de coordenadas geográficas e para a medição de ângulos. Os babilônios já possuíam um símbolo para representar o zero e sabiam multiplicar grandes números. Mas esse símbolo zero era um zero parcial no sentido que era utilizado para representar potências ausentes de 60 dentro do número e nunca ao final. De fato, um zero verdadeiro é utilizado nos dois sentidos. Cabe ressaltar que a matemática egípcia não alcançou o mesmo nível da matemática babilônica, fato esse que segundo estudos se deve ao mais avançado desenvolvimento babilônico na época. Posteriormente, tivemos os Gregos (600 a.c.), que utilizavam 27 letras e acentos para representar os números. Utilizando 4 dessas letras e acentos, representavam até o número dez mil. Figura 1.5: Símbolos da numeração grega. (a) Entre 1 e 9 (b) Entre 10 e 90 (c) Entre 100 e 900 Na Grécia também estudavam-se as propriedades dos números, multiplicidade, divisores e números primos (as estudaremos nas Seções 4.1 e 4.2), como pode-se conferir na obra Os Elementos de Euclides [14] (300 a.c.). É importante mencionar que muito de seu conteúdo deve-se 5

15 Introdução à escola Pitagórica (500 a.c.). Na mesma época os Cambojanos (600 a.c.) já utilizavam um símbolo matemático para o número zero, mais parecido com o atual. Pouco tempo depois vieram os Chineses e os Japoneses (300 a.c.), que utilizavam um sistema de numeração vertical com um total de 18 símbolos para representar os seguintes números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 100, 1000 e A seguir, apresentamos a representação de alguns desses números. O símbolo que representa o não está nesta figura, mas tinha a forma de um escorpião. Figura 1.6: Símbolos da numeração chinesa Talvez o texto mais importante chinês, escrito durante a disnatia Han, é o Nove Capítulos sobre a Arte da Matemática, que apresenta uma síntese do conhecimento matemático dessa civilização até aquele momento. Em seu primeiro capítulo, apresentam-se problemas relacionados à agrimensura e, ao longo desse texto, é apresentada uma estimativa para a área de um círculo tomando π = 3. No período pós-han estimativas mais precisas para π foram apresentadas. Na sequência surgiram os Romanos (1 d.c.), que utilizavam o sis- 6

16 tema posicional com os algarismos sendo, na verdade, as letras I, V, X, L, C, D, M que representavam 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000, respectivamente. Para usá-las, não se pode colocar o mesmo símbolo mais de três vezes seguidas e, uma barra horizontal em cima de um símbolo, representa multiplicação por mil. Esse sistema é, hoje em dia, ainda utilizado para nos referirmos a reis (Alexandre III, da Macedônia, também conhecido como Alexandre, o Grande), papas (João Paulo II) e à quantidade de vezes que um evento foi realizado (XXXII Jogos Olímpicos de Verão, em Tóquio, 2020). Porém, esse método de representação possui uma desvantagem: muitos símbolos são necessários para representar números pequenos, como, por exemplo: 38 = XXXV III ou 343 = CCCXLIII. De forma independente, os Maias (400 d.c.) utilizavam um sistema posicional vertical através do uso de pontos e traços. Os maias também já possuíam um símbolo para o número zero, mas a origem do seu sistema de numeração é desconhecida. Esse sistema é essencialmente vigesimal (base 20), ou seja, o algarismo da direita está multiplicando 1 e o próximo multiplica 20, de modo análogo à nossa base 10. Mas o terceiro algarismo multiplica 18 20, o quarto e assim por diante. Assim, se utilizássemos nossos símbolos no sistema maia, teríamos 8473 = 8 ( ) + 4 (18 20) + 7 (20) + 3 (1). Na verdade, esse sistema de numeração era difundido entre os sacerdotes maias. Acredita-se que o uso do como base (a partir do terceiro algarismo) deve-se ao ano maia ter = 360 dias. Há indícios de que a população utilizava um sistema vigesimal puro, onde cada algarismo multiplica somente potências de 20, porém tal fato não sobreviveu nos documentos escritos, remanescentes da rica cultura maia. 7

17 Introdução Figura 1.7: Sistema de numeração maia. Os primórdios dos símbolos que utilizamos hoje surgiram na Índia, mas são conhecidos como arábicos pois foram os Árabes que os difundiram por volta de 800 d.c.. E foi nesta época que o zero deixou de ser apenas um caractere, para ser utilizado como um elemento que tinha valor, que podia ser operado. Na verdade, quem descreveu os símbolos parecidos com os atuais foi o persa al-khwarizmi, que os atribuiu aos Indianos (700 d.c.). A palavra algarismo deriva de seu nome, e a palavra álgebra deriva de um de seus livros, chamado al-kitab al-mukhtaṣar fi ḥisab al-jabr wa-l-muqabala. Muhammad ibn Musa al-khwarizmi Muhammad ibn Musa al-khwarizmi (Bagdá, 780 d.c d.c.) foi um acadêmico persa, especializado em matemática, astronomia e geografia. Escreveu um importante tratado chamado, em latim, Algoritmi de numero Indorum, onde ele apresenta os algarismos num sistema posicional, incluindo o zero. A padronização final dos símbolos foi resultado da invenção da im- 8

18 prensa, em torno de 1500 d.c.. Nos séculos XVI e XVII o estudo de equações foi aprofundado e foi concebida a ideia de número complexo. No século XVIII, as séries surgiram e auxiliaram muitos matemáticos a entender melhor os números irracionais (como o π). A partir do século XIX começou-se a estudar estruturas algébricas, ou seja, conjuntos equipados com operações que satisfazem certas condições: semigrupos, grupos, anéis, etc. E finalmente, desde 1950, surge o interesse no estudo dos números, principalmente os números primos, dentre outros motivos, por conta do crescente uso da criptografia, seja por motivos militares, seja por conta da transferência de dados sigilosos através da internet. 9

19 10 Introdução

20 Capítulo 2 Números naturais O conjunto dos números naturais é o conjunto numérico mais simples entre todos que estudaremos neste livro. Os números naturais estão ligados de forma ingênua ao conceito de contagem. Os primeiros estudos abstratos sobre o que hoje chamamos de números naturais foram desenvolvidos de forma independente pelos Chineses e Gregos no século VI, e pelos Indianos no século VII. Porém, somente no século XIX é que o conceito formal de número natural foi desenvolvido através de uma formulação axiomática precisa. Como veremos mais adiante, esse conjunto forma a base para a construção de conjuntos numéricos mais sofisticados. Neste capítulo exploramos a definição axiomática do conjunto dos números naturais, estudamos as operações usuais definidas nesse conjunto e, também, apresentamos um estudo mais detalhado sobre o Princípio de Indução e sua forma equivalente, o Princípio da Boa Ordem. 2.1 Construção de N A formulação axiomática do conjunto dos números naturais foi dada por Giuseppe Peano em 1889, época em que já se conhecia o conceito de zero, número natural e sucessor. A estrutura elaborada por Peano teve, como princípio, o fato dos números naturais poderem ser ordenados de forma que cada elemento tem um sucessor, a partir do zero. Assim, cinco axiomas formam a base da estrutura dos números naturais. São conhecidos como Axiomas de Peano, ou Postulados de Peano. 11

21 Números naturais Axioma 1: Zero é um número natural. Axioma 2: Se a é um número natural então o sucessor de a também é um número natural. Axioma 3: Zero não é sucessor de nenhum número natural. Axioma 4: Se dois números naturais têm sucessores iguais, então eles próprios são iguais. Axioma 5: Se uma coleção S de números naturais contém o zero e também o sucessor de todo elemento de S, então S é o conjunto de todos os naturais. Giuseppe Peano Giuseppe Peano (Cuneo, 27 de agosto de 1858 Turim, 20 de abril de 1932) foi um matemático italiano. Ele foi um dos fundadores da lógica matemática e da teoria dos conjuntos, para as quais ele também contribuiu bastante na notação. Peano também fez considerável contribuição à teoria de equações diferenciais ordinárias. Para representar o conjunto dos números naturais, utilizamos o símbolo N e para representar o zero, o símbolo 0. O sucessor de um número natural a é representado por a +. Podemos reescrever os axiomas numa forma simbólica mais compacta e, para tal, denotamos para significar a palavra e. Axioma 1: 0 N. Axioma 2: a N a + N. Axioma 3: a N, a + 0. Axioma 4: a, b N, a + = b + a = b. Axioma 5: (S N) (0 S) ( a S a + S) S = N. 12

22 2.1. Construção de N Após a invenção da imprensa se fez necessária uma uniformização, em termos de simbologia apropriada, dos objetos que são utilizados na escrita, entre eles os algarismos. Assim, definimos que: N = {0, 1, 2, 3... }, N = {1, 2, 3... } este último chamado de conjunto dos números naturais não nulos. Observação 2.1: Há controvérsias a respeito do número 0 ser natural ou não. Em seu livro [33], o próprio Giuseppe Peano não considerou o 0 como primeiro número natural, mas o 1. Em outra publicação, porém, Peano utiliza o conjunto N contendo o 0. Para todos os efeitos, nesse livro os naturais começam no número 0. Observação 2.2: Perceba que o conjunto dos números naturais não tem fim, ou seja, dado qualquer número natural, o próximo sempre estará lá. Isso significa que, de forma intuitiva, N é um conjunto infinito (a demonstração formal deste fato foge ao escopo deste livro). É muito comum, em ciências naturais, estudar um fenômeno atráves de vários experimentos para assim se formular uma lei geral. Em matemática este procedimento é inteiramente inadequado, apesar de ser útil na formulação de conjecturas. Dentre todos os axiomas de Peano, o mais famoso é o quinto axioma pois oferece uma importante ferramenta de demonstração em matemática, conhecida como Princípio de Indução (que será estudado na Seção 2.3). A demonstração por indução dá o suporte teórico para demonstrar se uma quantidade grande, em geral infinita, de propriedades, é válida. No conjunto dos números naturais há dois subconjuntos de extrema importância histórica, a saber, o subconjunto dos números pares e o subconjunto dos números ímpares. Os números naturais que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8 são ditos números pares e, aqueles que terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9, são ditos números ímpares. Os números naturais estão em nosso dia a dia e nem percebemos. A seguir, apresentamos alguns fatos de nosso cotidiano e como os números naturais são usados para representá-los. 13

23 Números naturais Tabela 2.1: Usos dos números naturais Item Átomos em uma molécula de água Dureza do diamante na escala de Mohs Frequência da nota Lá no violão (Hz) Quantidade Municípios brasileiros 5570 Fios de cabelo na cabeça de um jovem de 25 anos Tamanho geográfico da Amazônia (km 2 ) Habitantes do planeta Terra Átomos no universo Googol (1 com 80 zeros) (1 com 100 zeros) Nesta seção vimos como construir o conjunto N dos números naturais de forma axiomática através dos chamados axiomas de Peano. Porém, não vimos ainda como definir as operações em N, esse é o objetivo da próxima seção. Exercícios da Seção : Pesquise sobre: a) Papiro de Rhind. 14

24 2.1. Construção de N b) Papiro de Moscou. c) Elementos de Euclides. d) Números romanos. e) O persa al-khwarizmi. f) Osso de Lebombo. g) Osso de Ishango. h) Khmer numerals. i) Número capicua, ou número palíndromo. j) Número ordinal. k) Número aleph. 2.2: Quantos números naturais existem de 3 até 1531? 2.3: Quantos elementos há no conjunto {2, 6, 10,..., 554, 558}? 2.4: Qual o próximo termo da sequência 1, 121, 12321, ,? 2.5: Qual o próximo termo da sequência 2, 7, 3, 8, 4, 9,? 2.6: Qual o próximo termo da sequência 2.7: Considere a sequência 2, 34, 56,? 7, 61, 52, 43, 34, 25, 16. Como seria a sequência, seguindo esse mesmo padrão, iniciando com o número 9? 15

25 Números naturais 2.8: Quantos algarismos são utilizados para escrever todos os números de 0 até 999? 2.9: Considere o número Qual seu 2019 algarismo? 2.10: Considere o número Qual seu 2000 algarismo? : Defina números figurados e dê exemplos. 2.12: Qual conjunto é criado ao se considerar apenas os Axiomas de Peano 2, 3 e 4? 2.13: Qual conjunto é criado ao se considerar apenas os Axiomas de Peano 1, 2 e 4? 2.14: Qual conjunto é criado ao se considerar apenas os Axiomas de Peano 1, 3 e 4? 2.15: Desenhe n círculos de forma aleatória no plano. Mostre que é possível pintar todas as regiões com apenas duas cores, de tal forma que regiões com fronteira comum tenham cores diferentes (duas regiões têm fronteira em comum se, tal fronteira, tem mais de um ponto). 2.16: (37 a OBM ) Dizemos que dois anos coincidem se têm a mesma quantidade de dias e os dias da semana de todos os seus dias coincidem. O ano de 2015 coincide com 2009; qual é o próximo ano que coincide com 2015? Cuidado com os anos bissextos! 2.17: (38 a OBM ) Num país imaginário vivem somente duas espécies de pessoas: os honestos, que sempre dizem a verdade e os mentirosos, que só dizem mentira. Numa fila de 2016 pessoas da ilha, o primeiro da fila diz que todos atrás dele são mentirosos e todas as demais pessoas da fila dizem que quem está imediatamente à sua frente é mentiroso. Quantas pessoas mentirosas estão nessa fila? 16

26 2.1. Construção de N 2.18: (38 a OBM ) O ano de 2016 é sabadoso, pois há cinco meses com cinco sábados. Qual será o próximo ano sabadoso? 2.19: (35 a OBM ) Rita escreve a sequência formada por números de três algarismos não nulos a seguir: 123, 234, 345,..., 789, 891, 912, 123, 234,.... Qual é o 2013 termo dessa sequência? 2.20: (33 a OBM ) Uma data curiosa é o dia 11/11/11, pois o dia, mês e dois últimos dígitos do ano são iguais. Esse padrão também aconteceu em 10/10/10. Quantos dias há desde 10/10/10 até 11/11/11, incluindo essas datas? 2.21: (35 a OBM ) Em uma prova de múltipla escolha, Júlia acertou 100 das 128 questões possíveis. Ela verificou que a maior quantidade de questões consecutivas que ela acertou é N. Qual é o valor mínimo para N? 2.22: (28 a OBM ) Os números de 1 a 99 são escritos lado a lado: Então aplicamos a seguinte operação: apagamos os algarismos que aparecem nas posições pares, obtendo Repetindo essa operação mais 4 vezes, quantos algarismos irão sobrar? 2.23: (37 a OBM ) Há um grupo de 2015 pessoas sentadas ao redor de uma praça circular. Cada uma delas é honesta, sempre dizendo a verdade, ou então desonesta, sempre dizendo mentira. Cada uma delas faz a seguinte afirmação: Um de meus vizinhos (à esquerda ou à direita, tanto faz) é honesto, mas o outro vizinho é desonesto. Qual é o número de pessoas honestas no grupo? 2.24: (27 a OBM ) Natasha é supersticiosa e, ao numerar as 200 páginas de seu diário, começou do 1 mas pulou todos os números nos quais os algarismos 1 e 3 aparecem juntos, em qualquer ordem. Por exemplo, os números 31 e 137 não aparecem no diário, porém 103 aparece. Qual foi o número que Natasha escreveu na última página do seu diário? 17

27 Números naturais 2.2 Operações em N Em matemática, o estudo de um conjunto por si só pode ser realizado. Porém, quando munimos um conjunto de estruturas algébricas, isto é, operações matemáticas entre seus elementos, muitas propriedades, ditas algébricas, surgem de forma natural. Nesta seção, estudaremos as definições e as propriedades das operações de adição e de multiplicação em N. Essas operações são ditas binárias, pois dados dois elementos quaisquer em N, podemos operá-los e o resultado também está em N. Por fim, analisaremos cuidadosamente a subtração em N pois, o resultado dessa operação entre dois números naturais nem sempre é um número natural. Por conta disso, a subtração em N é dita operação binária parcial Adição Definição 2.1: Dados a, b N definimos: { a + 0 = a = 0 + a a + b + = (a + b) + = a + + b. Isto é, fixado a N: a) Se c = 0, então a + c = a. b) Se c 0, então existe b N tal que c = b +. Assim a + c = a + b + = (a + b) +. Os termos a e b são ditos somandos ou parcelas, e o resultado da operação é chamada de soma. Com esta definição, e a = (a + 0) + = a + N a + (0 + ) + = (a ) + = (a + ) + N. Note que, dado b N temos que b = {(0 + ) } para um número finito de sucessores de 0. Então a + b = a + (0 + ) = (a + ) N. 18

28 2.2. Operações em N Portanto, a + b está definido para todo a, b N, isto é, a cada dois números naturais a e b, associamos um outro número a + b N. Pela definição de adição de dois naturais, temos: = = (0 + 0) + = = ( ) + = (0 + ) + (0 + ) = ((0 + ) + + 0) + = ((0 + ) + ) +. Indique por 1 o sucessor de 0, ou seja, 1 = 0 +. Então, para todo a N, temos a + = a + 1 = 1 + a. Seguindo a notação, (0 + ) + = 1 + = 2 ((0 + ) + ) + = (1 + ) + = 2 + = 3 (((0 + ) + ) + ) + = ((1 + ) + ) + = (2 + ) + = 3 + = 4. Podemos, portanto, escrever o conjunto dos números naturais da seguinte forma N = {0, 0 +, (0 + ) +,...} = {0, 1, 2,...}. Assim, utilizando o conceito de sucessor, conseguimos somar quaisquer dois números naturais (embora isso possa demandar bastante trabalho!). Exemplo 2.1: Temos a) = = (1 + 0) + = 1 + = 2. b) = = (2 + 0) + = 2 + = 3. 19

29 Números naturais c) = = (3 + 1) + = ( ) + = [(3 + 0) + ] + = (3 + ) + = 4 + = 5. Existem cinco propriedades básicas que a adição satisfaz no conjunto dos números naturais. Sejam a, b, c N. (A1) Associatividade da adição: (A2) Comutatividade da adição: a + (b + c) = (a + b) + c. a + b = b + a. (A3) Existência do elemento neutro da adição: (A4) Cancelamento da adição: a + 0 = 0 + a = a. a + b = a + c b = c b + a = c + a b = c. (A5) Anulamento: a + b = 0 a = b = 0. Observação 2.3: A propriedade (A3) não garante apenas a existência do elemento neutro da adição, mas também que ele é único. Com efeito, suponha que o conjunto tenha dois elementos neutros 0 e o. Como, 0 é elemento neutro, então o = o + 0. Por outro lado, como o é elemento neutro, então 0 = o + 0. Portanto 0 = o, que demonstra a unicidade do elemento neutro da adição. É interessante perceber que utilizamos essas propriedades a todo momento, com o intuito de facilitar a adição de grandes números. Exemplo 2.2: Note que = ( ) + ( ) (A1) = (A2) = (A1) = ( ) + ( ) + (5 + 2) = =

30 2.2. Operações em N Multiplicação Definição 2.2: Dados a, b N definimos a 0 = 0 = 0 a a b + = a b + a a + b = a b + b. Em outras palavras, fixado a N: a) Se c = 0, então a c = 0. b) Se c 0, então c = b + = b + 1, para algum b N, e a c = a (b + 1) = a b + a. Os números multiplicados são chamados de fatores e o resultado denomina-se produto. Exemplo 2.3: Temos a) 2 3 = = = = = = 3+3 = 6. b) 2 5 = = (1 + 1) 5 = = (0 + 1) = = = 10. Sejam a, b, c N. Na multiplicação valem as seguintes quatro propriedades básicas. (M1) Associatividade da multiplicação: a (b c) = (a b) c. (M2) Comutatividade da multiplicação: a b = b a. (M3) Existência do elemento neutro da multiplicação: a 1 = 1 a = a. (M4) Cancelamento da multiplicação: Se a 0: a b = a c b = c b a = c a b = c. 21

31 Números naturais Observação 2.4: Assim como na adição, demonstra-se que o elemento neutro da multiplicação é único. Encorajamos o leitor a demonstrar tal fato. A propriedade do cancelamento nos permite demonstrar que, dados a, b N, se a b = 0 então a = 0 ou b = 0. Com efeito, se a = 0 tal fato está demonstrado. Agora, se a 0, então a b = 0 = a 0 e, por (M4), concluímos que b = 0. Essa propriedade significa que o conjunto dos números naturais não possui divisores de zero. Note que essa demonstração é puramente algébrica: nela utilizamos letras para representar elementos genéricos dentro do conjunto dos números naturais. Tal método de demonstração é utilizado seguidamente na área matemática chamada álgebra abstrata, da qual umas das maiores contribuidoras foi Emmy Amalie Noether. Emmy Amalie Noether Emmy Amalie Noether (Erlangen, 23 de março de 1882 Bryn Mawr, 14 de abril de 1935) foi uma matemática alemã, além de ser professora de inglês e francês. É uma das maiores matemáticas da história, principalmente por sua contribuição na álgebra, em especial no estudo de ideais de aneis. Há uma cratera na Lua com seu nome. Esse último resultado também está demonstrado no próximo capítulo, sobre os números inteiros, na Proposição 3.4. Por fim, há uma importante propriedade que relaciona a adição e a multiplicação. Sejam a, b, c N. (D) Distributividade: (a + b) c = a c + b c a (b + c) = a b + a c. 22

32 2.2. Operações em N Exemplo 2.4: (3 + 2) 2 = = 3 (1 + 1) + 2 (1 + 1) = = 3 (0 + 1) (0 + 1) + 2 = = = 10. Definição 2.3: Considere a N e n N. Denotamos o número natural a n, chamado a n-ésima potência de a, como sendo o número a n = } a a {{ a }. n vezes Dizemos, também, que n é a potência de a n. Observação 2.5: Por convenção, um número natural não nulo elevado a zero, sempre resulta em 1, ou seja, para todo a N, a 0 = 1. Já 0 0 não está definido. Exemplo 2.5: Temos a) 5 3 = = 125. b) 10 6 = = c) 4 0 = 1. e Imediatamente, dados a, b N e n, m N, seguem que: a n a m = } a a {{ a } n vezes (ab) n = (ab) (ab) (ab) }{{} n vezes a a a }{{} m vezes = } a a {{ a } n vezes = a } a {{ a } = a n+m n+m vezes b } b {{ } b = a n b n. n vezes Mais detalhes sobre as propriedades das potências serão estudadas na Seção 6.2. No cotidiano utilizamos maneiras mais rápidas de somar e multiplicar números, e isso vem da maneira visualmente fácil na qual escrevemos os números: na base dez, isto é, escrevemos os números naturais em função das potências de 10. Nesta base, a representação do número é a mesma que a quantidade que o próprio número representa. 23

33 Números naturais Exemplo 2.6: Note que 524 = = = Também é importante notar que utilizando apenas dez algarismos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} conseguimos escrever qualquer número, não importa de qual tamanho. Ou seja, não é necessário considerar outros símbolos como um algarismo. De maneira geral, se abcd representa um número de quatro algarismos a, b, c, d, então: abcd = a b c d = (abcd) 10. Tal representação é chamada representação polinomial do número em questão na base 10 (na Seção 3.5, estudamos representações de números nas demais bases). Exemplo 2.7: Veja que = = (780934) 10. Assim, sabendo como somar esses dez algarismos e conhecendo a distributividade (D), podemos realizar a adição de quaisquer números naturais de forma rápida. Exemplo 2.8: Temos = = = (3 + 2) (1 + 6) 10 0 = = 357. Esta conta pode ser representada de forma compacta, com a soma sendo realizada verticalmente:

34 2.2. Operações em N Exemplo 2.9: Vamos repetir o processo para realizarmos a seguinte adição = ( ) + ( ) = = ( ). Note que há um problema em 11 10, pois 11 não é um algarismo permitido na base 10. Portanto devemos desconstruir essa parcela: ( ) = (10 + 1) = = = (8 + 1) = = 916. (2.1) Perceba que esta desconstrução é o vai um que se utiliza na forma reduzida de fazer a adição: Utilizando a representação polinomial dos fatores, podemos também realizar a multiplicação de forma mais ágil, novamente bastando conhecermos o produto entre os dez algarismos (de 0 a 9). Considere o exemplo a seguir (aplicaremos a mesma desconstrução de (2.1)). 25

35 Números naturais Exemplo 2.10: Segue que = ( ) ( ) = = = = = = = = = = = = Novamente a desconstrução é o vai um. Em sua forma compacta, temos o seguinte: Também é importante mencionar que as propriedades da adição e da multiplicação nos permitem operar números de maneiras diferentes. Exemplo 2.11: Temos e também (7 + 2) 4 = = = 36 (7 + 2) 4 = 9 4 = 36. Note que, a definição de multiplicação e suas propriedades concordam com o que já conhecemos desde nossa tenra infância. Mas, outra operação em N poderia ter sido definida de forma diferente. Se assim fosse, deveríamos nos perguntar, quais propriedades esta operação apresenta. Vejamos um exemplo e, a partir de agora, quando não houver ambiguidade, denotaremos a b apenas por ab. 26

36 2.2. Operações em N Exemplo 2.12: Dados a, b N defina a operação a b = 3a + 2b. Note que essa operação não é associativa: (1 2) 1 = ( ) 1 = = = 17 1 (2 1) = 1 ( ) = = = 19. Também não é comutativa pois: 1 0 = = = = 2. Não possui elemento neutro, pois não há único b N tal que a b = a, a N: a b = a 3a + 2b = a b = a. Por fim, vale a propriedade do cancelamento: a b = a c 3a + 2b = 3a + 2c 2b = 2c b = c b a = c a 3b + 2a = 3c + 2a 3b = 3c b = c. Agora, vamos definir o conceito de fatorial de um número natural a. O fatorial é muito utilizado em matemática, principalmente em análise combinatória, mais especificamente no estudo de arranjos e permutações. Portanto, vale a pena conhecermos este conceito um pouco melhor. Definição 2.4: Dado n N, o fatorial de n, denotado n!, é o produto de todos os números naturais não nulos menores ou iguais a n. Por convenção, 0! = 1. Exemplo 2.13: Segue que 7! = = O fatorial também pode ser calculado recursivamente, a! = a (a 1) (a 2) = a (a 1)! Esta metodologia simplifica certos cálculos envolvendo fatoriais. 27

37 Números naturais Exemplo 2.14: Suponha que você queira guardar 8 cadernos em 8 gavetas. Vamos descobrir de quantas maneiras podemos fazer essa organização. Você terá 8 gavetas disponíveis para guardar o primeiro caderno, 7 gavetas para guardar o segundo (pois o primeiro já ocupou uma gaveta), 6 gavetas para o terceiro e, assim sucessivamente, até possuir 1 única gaveta para o último caderno. Logo, a quantidade de maneiras distintas de guardar os 8 cadernos é = 8!. De maneira geral, existem n! maneiras distintas de se escolher n objetos. Observação 2.6: Há 52! maneiras distintas de se embaralhar um baralho de 52 cartas. Esse número é, aproximadamente Para ilustrarmos o quão grande ele é, façamos o seguinte exercício: posicione-se em cima da linha do Equador e, a cada um bilhão de anos, dê um passo. Quando completar a volta na Terra, retire uma gota de água do Oceano Pacífico. Recomece a andar e, a cada volta completa na Terra, retire uma gota do oceano. Quando você retirar a última gota, coloque uma folha de papel no chão. Encha novamente o Pacífico de água e recomece a andar, colocando novamente uma folha de papel sobre aquela já posta a cada vez que você esvaziá-lo completamente. Repita o processo até que essa pilha de papel alcance o sol. Daí, guarde as folhas e recomece o processo mais uma vez. Na verdade, mais três mil vezes! Quando você acabar, terão se passado, aproximadamente, 52! segundos. Essa conta, mais detalhada, além de outros exemplos, podem ser conferidos em Subtração No conjunto dos números naturais não é possível subtrair quaisquer dois números, afinal, o resultado pode não estar em N. Assim apenas consideramos a subtração a b quando temos a certeza que o resultado estará no conjunto dos números naturais. Para isso, é necessário comparar números. 28

38 2.2. Operações em N Definição 2.5: Dados a, b N dizemos que a é menor ou igual a b quando existe c N tal que a + c = b. Simbolicamente a b c N : a + c = b. De forma análoga, definimos quando que a é menor que b : a < b d N : a + d = b. Definição 2.6: Dados a, b N, tais que a b, definimos b a como sendo o natural c, tal que a + c = b. Exemplo 2.15: Vimos no Exemplo 2.2 que = Assim e = = 765. Sabendo subtrair números com apenas um algarismo, podemos subtrair quaisquer números grandes. Exemplo 2.16: Supondo que , vamos calcular Dessa forma, queremos encontrar um número de três algarismos a, b e c, que satisfaça 539 = abc. Ou seja, queremos que: = a b c 10 0 = (1 + a) (2 + b) (8 + c) 10 0 e, portanto, precisamos que os termos que acompanham as mesmas potências de dez sejam iguais, ou seja 5 = 1 + a 3 = 2 + b 9 = 8 + c. Assim, é fácil concluir que a = 4, b = 1 e c = 1. Logo =

39 Números naturais Observação 2.7: É fácil notar que o exemplo anterior pode ser reescrito na seguinte forma: = (5 1) (3 2) (9 8) 10 0 = = 411. Ou, ainda, na forma vertical Exemplo 2.17: Agora vejamos como calcular , pois afinal, este último possui mais algarismos em sua representação. Primeiramente, perceba que = 172 que é maior do que 148. Dessa forma, o resultado terá menos de três algarismos. Assim, procuramos um número de dois algarismos a e b tal que ou seja, tal que 148 = 72 + ab = a b 10 0 = (7 + a) (2 + b) Como não temos parcelas 10 2 nessa última expressão, transformaremos em , ou seja, emprestaremos uma parcela de 10 2 para 10 1 : = Logo, queremos resolver Assim, = = (7 + a) (2 + b) { 14 = 7 + a 8 = 2 + b que implica a = 7 e b = 6. Portanto =

40 2.2. Operações em N Observação 2.8: O exemplo anterior pode ser re-escrito da seguinte forma: = ( 72) = (4 7) (8 2) 10 0 = (4 7) (8 2) 10 0 = ( ) (8 2) 10 0 = = 76. O processo de tomar uma parcela emprestada também aparece na conta compacta No Capítulo 3, Seção 3.2.3, em que estudaremos o conjunto dos números inteiros, analisaremos a subtração em maiores detalhes. Exercícios da Seção : Pesquise sobre: a) Grupoide. b) Semigrupo. c) Superfatorial. d) Hiperfatorial. e) Duplo fatorial. f) Coeficiente binomial. g) Função gama. h) Fórmula de Stirling. 31

41 Números naturais 2.26: Dê a representação polinomial dos números: a) 320. c) b) d) : Resolva: a) ( )14. b) (21( ) + 2) + 21( ( )). c) 3(21( ) + 2) d) ( (34( )) + 8) + 2. e) 1 + ((2 + 3)4 + 5(6 + 7)8)9. f) g) h) ( )390. i) j) 13(2 + 1( ) + 29) k) ( (134( )) + 181) l) (12 + (( ) (61 + 7)8)9) m) n) 32 + ( ). o) ( )791. p)

42 2.2. Operações em N 2.28: Demonstre que o elemento neutro da adição é único. 2.29: Quais são as cinco propriedades satisfeitas pela adição em N? 2.30: Qual a soma de todos números naturais de 2 algarismos? E de 3 algarismos? 2.31: Encontre todos os números naturais iguais à soma dos fatoriais dos seus algarismos. 2.32: Demonstre que o elemento neutro da multiplicação é único. 2.33: Quais são as quatro propriedades satisfeitas pela multiplicação em N? 2.34: Calcule 10!, 17! e 9!. 2.35: Calcule 9! 8!. 2.36: Dados a, b N defina uma nova operação a b = a + 2b. Essa operação é associativa? É comutativa? Possui elemento neutro? Vale a propriedade do cancelamento? E a propriedade do anulamento? 2.37: Dados a, b N defina uma nova operação a b = ab + 2. Essa operação é associativa? É comutativa? Possui elemento neutro? Vale a propriedade do cancelamento? E a propriedade do anulamento? 2.38: Dados a, b N defina uma nova operação a b = (1 + a)b. Essa operação é associativa? É comutativa? Possui elemento neutro? Vale a propriedade do cancelamento? E a propriedade do anulamento? 2.39: Como funciona a subtração em N? 33

43 Números naturais 2.40: Calcule 12! (132 10!). 2.41: Calcule 8! 4! 4!. 2.42: Calcule 6! 5! 5! 5! 5! 5! 5!. 2.43: Calcule ( ) ( ). 2.44: Como você definiria a divisão em N? Seria possível dividir qualquer número natural por qualquer outro número natural? Há exceções? 2.45: (23 a OBM ) Considere dois números naturais, cada um com três algarismos diferentes. O maior número só tem algarismos pares e o menor só algarismos ímpares. Qual a maior diferença possível entre eles? 2.46: (33 a OBM ) A soma de todos números naturais ímpares até 2011 (incluindo 2011) menos a soma de todos números naturais pares até 2011 é quanto? 2.47: (23 a OBM ) Joana escreve a sequência de números naturais 1, 6, 11 etc., onde cada número, com exceção do primeiro, é igual ao anterior mais cinco. Joana para quando encontra o primeiro número de 3 algarismos. Que número é esse? 2.48: (30 a OBM ) Quantos números pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares? 2.49: (27 a OBM ) Na imagem a seguir, figuras com mesma forma representam objetos de mesma massa. Quantos quadrados são necessários para que a última balança fique em equilíbrio? 2.50: (36 a OBM ) O imparial de n é igual ao produto de todos os naturais ímpares menores ou iguais a n. Quais são os três últimos algarismos do imparial de 2014? 34

44 2.2. Operações em N 2.51: (ORM/SC N1) Quantos são os números (escritos no sistema decimal de numeração) com três algarismos distintos, com a propriedade de que os algarismos a das centenas e b das dezenas satisfazem a relação a b = 1? 2.52: (29 a OBM ) Esmeralda comprou seis discos de ferro para usar num aparelho de ginástica. Esses discos têm massas 1, 2, 3, 4, 5 e 6 quilogramas, respectivamente. Esmeralda pode combiná-los e obter outras massas, como por exemplo: 1 disco de 2 kg + 1 disco de 6 kg = 8 kg. Qual a maior quantidade de massas diferentes que Esmeralda pode obter? 2.53: (24 a OBM ) Nas casas de um tabuleiro 8 8 foram escritos números naturais não nulos de forma que a diferença entre números escritos em casas vizinhas (quadrados com um lado comum) é 1. Sabese que numa das casas está escrito 17 e, em outra, está escrito 3. Calcule a soma dos números escritos nas duas diagonais do tabuleiro. 2.54: (24 a OBM ) O primeiro número de uma seqüência é 7. O próximo é obtido da seguinte maneira: calculamos o quadrado do número anterior 7 2 = 49 e a seguir efetuamos a soma de seus algarismos e adicionamos 1, isto é, o segundo número é = 14. Repetimos este processo, obtendo 14 2 = 196 e o terceiro número da seqüência é = 17 e assim sucessivamente. Qual o 2002 elemento desta seqüência? 2.55: (38 a OBM ) Considere a sequência de números 1, 1, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2,... em que escrevemos os numeros de 1 até 1!, de 1 até 2!, de 1 até 3! e assim por diante. Veja que cada posição dessa sequência é ocupada por um número. Por exemplo, na primeira vez que o numero 5 aparece na sequência ele ocupa a posição 8. Determine qual número ocupa a posição : (25 a OBM ) Quantas vezes aparece o algarismo 9 no resultado da operação ? 35

45 Números naturais 2.57: (37 a OBM ) Efetuando todas as operações indicadas na expressão , obtemos um número muito grande. Qual é a soma de todos os algarismos desse número? 2.58: (29 a OBM ) O número N = contém somente os algarismos 0 e 1, de modo que o número de algarismos 0 entre dois algarismos 1 é um ou dois, alternadamente. O número N tem exatamente 101 algarismos. Qual é a soma de todos os algarismos do número N? 2.59: (38 a OBM ) Elevando o numero 2016 ao cubo, obtemos o número , de dez algarismos. Quantos numeros inteiros menores do que 2016 tem como cubo um número de dez algarismos? 2.3 Princípio de Indução O quinto axioma de Peano, além de ser fundamental na axiomatização dos números naturais, é uma importante ferramenta que repetidamente é utilizada para realizar demonstrações em matemática. Dada a sua importância, tal ferramenta recebeu um nome especial: Princípio de Indução, Nesta seção, descrevemos como utilizar esse princípio para realizar demonstrações que envolvam propriedades a respeito de números naturais. Na verdade, o princípio pode ser facilmente generalizado para demonstrar propriedades a respeito de números inteiros. Ainda mais surpreendente é que, com algumas adaptações, pode-se enunciar um princípio que utiliza as mesmas ideias, para demonstrar resultados a respeito dos números reais. Embora Giuseppe Peano tenha realizado a axiomatização do princípio menos de 150 anos atrás, o método já era conhecido há mais de mil anos. Naquela época, uma versão rudimentar desse foi utilizada pelo matemático Al-Karaji em seus estudos de combinatória, especialmente para demonstrar resultados relativos ao cálculo de coeficientes binomiais e ao triângulo de Pascal. 36

46 2.3. Princípio de Indução Abu Al-Karaji Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-husayn Al- Karaji (Bagdá, 13 de abril de ) foi um matemático e engenheiro persa. Em seu tratado Al-Fakhri, estudou construções análogas ao triângulo de Pascal (imagem ao lado), monômios e produtos notáveis. É reconhecido por ser o primeiro matemático a realizar uma demonstração através de um método similar ao Princípio de Indução. Suponha que se quer provar que uma certa afirmação vale para todo número natural maior ou igual a b. Deve-se realizar as seguintes duas etapas. a) Demonstra-se que a afirmação é verdadeira para b. Este fato é chamado de passo base. b) Supõe-se que a afirmação é verdadeira para um natural k b (hipótese de indução) e, partindo disso, prova-se que a afirmação vale para seu sucessor, k + 1. Este fato é chamado de passo de indução. Se b = 0 então a afirmação valerá para todo número natural. Como exemplo da importância desse princípio, vamos demonstrar um resultado, mostrado pelo famoso matemático Gauss quando era um jovem rapaz. Exemplo 2.18: Para todo n N, n = n(n + 1). Denote S N o subconjunto dos números naturais que satisfazem essa propriedade. Como 0 = 0 1 = 0, segue que 0 S. Devemos, agora, mostrar que se k S então k + 1 S, ou seja, partindo de k = k(k + 1) 37

47 Números naturais devemos concluir que k + 2(k + 1) = (k + 1)[(k + 1) + 1] = (k + 1)(k + 2). Assim, temos k + 2(k + 1) = ( k) + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2). Portanto k + 1 S e, assim, k S k + = k + 1 S. Logo, pelo Princípio de Indução, S = N. Com isso, demonstramos que n N, n = n(n + 1). Johann Carl Friedrich Gauss Johann Carl Friedrich Gauss (Braunschweig, 30 de abril de 1777 Göttingen, 23 de fevereiro de 1855) foi um matemático, astrônomo e físico alemão. Contribuiu em diversas áreas da ciência, dentre elas a teoria dos números, estatística, análise matemática, geometria diferencial, geodésia, geofísica, eletroestática, astronomia e ótica. Exemplo 2.19: Para todo n N, (8n 5) = 4n 2 n. Denote S o subconjunto dos números naturais que satisfazem essa propriedade. Observe que S N e 1 S, pois = 3 = , ou seja, quando n = 1, obtemos (8n 5) = 4n 2 n. Mostraremos agora que k S k + 1 S, ou seja, que implica (8k 5) = 4k 2 k (8k 5)+[8(k +1) 5] = 4(k +1) 2 (k +1) = 4k 2 +7k

48 2.3. Princípio de Indução Com efeito, (8k 5) + [8(k + 1) 5] = (4k 2 k) + [8(k + 1) 5] = 4k 2 k + 8k = 4k 2 + 7k + 3 = 4(k + 1) 2 (k + 1). Portanto k + 1 S e, portanto, pelo Princípio de Indução, S = N. Com isso, demonstramos que n N, (8n 5) = 4n 2 n. Observação 2.9: No Exemplo 2.19, a propriedade em questão é válida para todo número natural a partir de 1, pois no passo base demonstramos que 1 S. Já no Exemplo 2.18, a propriedade vale para qualquer natural. O objetivo da próxima subseção é estudar o chamado Princípio da Boa Ordem sobre subconjuntos de N. Porém, para demonstrálo, utiliza-se um resultado auxiliar chamado de Princípio de Indução Completa. No Princípio de Indução, pede-se que a validade de uma propriedade para k N implique sua validade em k + 1. No Princípio de Indução Completa, deve-se provar que a validade de uma propriedade para todos j k implica na validade para k + 1. Proposição 2.1: Seja P (n) uma afirmação que envolva números naturais onde a) P (0) é verdadeira. b) Para todo j N com 0 j k natural, se P (j) é verdade, então P (k + 1) é verdade. Então a propriedade P (n) é válida para todo N. Demonstração: Seja P (n) uma afirmação relativa aos números naturais. Definimos uma outra afirmação relativa aos números naturais, Q(n), que diz: Q(k) é verdadeira se, para todo j k natural, P (j) é verdadeira. Pelo item a), P (0) é verdadeira, portanto Q(0) é verdadeira. Suponha que Q(k) seja verdadeira, portanto, para todo j k natural, P (j) é verdadeira. Assim, pelo item b), P (k + 1) é verdadeira e portanto Q(k + 1) é verdadeira. Logo, pelo Princípio de Indução, 39

49 Números naturais Q(n) é verdadeira para todo natural, que implica na validade de P (n) para todo natural. O mesmo princípio pode ser utilizado para se demonstrar que uma propriedade vale para todos naturais a partir de um certo natural b. Então, podemos sumarizar o Princípio de Indução Completa: suponha que se quer provar que uma certa afirmação vale para todo número natural maior ou igual a b. Deve-se realizar duas etapas: a) Demonstra-se que a afirmação é verdadeira para b. Este fato é chamado de passo base. b) Supõe-se que a afirmação é verdadeira para todo natural j com b j k (hipótese de indução) e, partindo disso, prova-se que a afirmação vale para k +1. Este fato é chamado de passo de indução. Se b = 0 então a afirmação valerá para todo número natural Princípio da Boa Ordem Conhecendo a relação em N e o Princípio de Indução Completa, podemos enunciar um outro importante princípio, que envolve os subconjuntos de N. Antes, vejamos uma importante definição. Definição 2.7: Dizemos que a é o menor elemento de um subconjunto não vazio S de N quando a S e para todo b S vale a b. A seguir enunciaremos e demonstraremos o Princípio da Boa Ordem em N. Para demonstrar este resultado utilizaremos um método chamado demonstração por absurdo, que funciona baseado na lógica. Quando se tem uma sentença verdadeira, tudo que se concluir a partir dela será também verdadeiro. Portanto, qualquer sentença que implica em uma mentira deve ser falsa. É assim que este método de demonstração funciona: suponha verdadeiro algo que desconfia ser falso, e conclua uma mentira óbvia. Assim a suposição inicial é de fato falsa. Teorema 2.1: (Princípio da Boa Ordem) Todo subconjunto não vazio de números naturais possui um menor elemento. Demonstração: Seja S um subconjunto não vazio de N. Suponha, por absurdo, que S não tenha um menor elemento. Seja S C o conjunto complementar de S, isto é: S C = N S = {a N : a / S}. 40

50 2.3. Princípio de Indução Primeiramente, perceba que 0 S C pois, se 0 S então 0 seria o menor elemento de S, afinal, b N, 0 b, pois 0 + b = b. Agora suponha que 0, 1, 2,..., c S C. Perceba que se c+1 estivesse em S, então seria o menor elemento de S, o que é impossível pois estamos assumindo que S não tem um menor elemento. Portanto, c + 1 S C. Logo, pelo Princípio de Indução Completa (Proposição 2.1), S C = N. Isto significa que S =, o conjunto vazio, uma contradição. Assim, S deve ter um menor elemento. Exemplo 2.20: Perceba que: a) Dado A = {2, 3, 4... }, seu menor elemento é 2. b) Se A = {8, 12, 16, }, seu menor elemento é 8. c) Com A = {números naturais com último algarismo 0}, seu menor elemento é 0. As próximas proposições são consequências diretas do Princípio da Boa Ordem em N. Proposição 2.2: Se a N e 0 a 1 então a = 0 ou a = 1. Demonstração: Por absurdo, suponha que existe número natural b entre 0 e 1 que seja diferente destes. Defina o conjunto S = {n N : 0 < n < 1}, que é não vazio já que b S. Como S N, o Princípio da Boa Ordem implica que existe m S tal que m n para todo n S. Por estar em S segue que 0 < m < 1. Ou seja, pela Definição 2.5, existem c 1, c 2 N tais que m = 0 + c 1 1 = m + c 2. Multiplicando estas igualdades por m obtemos m 2 = 0 + c 1 m m = m 2 + c 2 m 41

51 Números naturais e, como c 1 m, c 2 m N, temos 0 < m 2 < m que implica 0 < m 2 < m < 1. Portanto m 2 está em S e é menor que m. Absurdo! Logo não pode existir número natural estritamente entre 0 e 1. Esse resultado pode ser facilmente generalizado. dados a, b N com b a b + 1, então a = b ou a = b + 1. Proposição 2.3: Se a, b N então existe um menor n N tal que b < na. Demonstração: Defina o conjunto Note que S = {k N : b < ka}. 1 < a c N : a = 1 + c ba = b + bc b < ba pois bc N. Portanto, b S e, assim, S e S N. Pelo Princípio da Boa Ordem, existe um menor n S que satisfaz a proposição. Exemplo 2.21: Dados os números 4 e 22, é fácil notar que 6 é o menor natural tal que 22 < 6 4. Exercícios da Seção : Demonstre as seguintes afirmações sobre propriedades dos números naturais. a) Para todo n N, (2n 1) = n 2. 42

52 2.3. Princípio de Indução b) Para todo n N, (1 3 5) + (3 5 7) [(2n 1) (2n + 1) (2n + 3)] = n 2n3 + 8n2 + 7n 2. c) Para todo n N, d) Para todo n N, n! 6 nn. 2n > n. 2.61: A Torre de Hanoi é uma brincadeira matemática que consiste de 3 torres e vários discos de vários tamanhos. Sua configuração inicial consiste de todos os discos empilhados, do maior para o menor, em uma única torre. O objetivo do jogo é transferir essa pilha de discos para a terceira torre, movimentando um disco de cada vez. Mas há uma regra: não é permitido empilhar peças maiores em cima de menores. Quantas jogadas são necessárias para transferir uma pilha de 5 discos? E para transferir n discos? 43

53 Números naturais 2.62: A pizza de Steiner é um problema proposto e resolvido pelo geômetra suíço Jacob Steiner. A pergunta, de forma simples, é: Quantos pedaços de pizza podemos obter fazendo n cortes? A pergunta, de maneira formal, é: Qual o número máximo de regiões definidas por n retas no plano? Para resolver este problema, é crucial que o leitor deduza a fórmula que satisfaça o enunciado. Para isso, partindo de n retas, tente especular sobre como deve ser feita a reta n + 1 para maximizar a quantidade de regiões em que o plano está dividido. 2.63: Qual o significado do Princípio da Boa Ordem? 2.64: Encontre aplicações do Princípio da Boa Ordem. 44

54 Capítulo 3 Números inteiros A primeira civilização a reconhecer e utilizar números negativos foi a civilização Chinesa (200 a.c.). Porém foram os Indianos no século VII, mais especificamente Brahmagupta, que definiram as primeiras regras envolvendo números negativos. Brahmagupta Brahmagupta (598 d.c. 670 d.c.) foi um matemático e astrônomo indiano. Criador de uma fórmula para o cálculo da área de um polígono inscritível (figura ao lado), é reconhecido como o primeiro matemático a sumarizar propriedades sobre os números negativos. Além disso, apresentou propriedades da aritmética do número zero. Com a Europa atravessando a renascença e o desenvolvimento da matemática comercial, os números negativos foram extensivamente utilizados para representar débitos ou prejuízos, enquanto os números positivos para representar receita ou lucro. Mas, ainda, não havia uma formalização e aceitação completas do conceito de número negativo. O mais surpreendente é que, em 1758, um matemático inglês chamado Francis Maseres dizia que os números negativos... darken the very whole doctrines of the equations and make dark of the things which are in their nature excessively obvious and simple 45

55 Números inteiros em tradução livre, os números negativos... obscurecem as muito completas doutrinas das equações e tornam escuras as coisas que são em sua natureza excessivamente óbvias e simples. Somente no século XIX, com a investigação da natureza dos números utilizando princípios lógicos, é que o conceito de número negativo foi finalmente formalizado, ou seja, no mesmo período da formalização dos números naturais através dos axiomas de Peano. Neste capítulo estudaremos como construir o conjunto dos números inteiros, denotado por Z, a partir do conjunto dos números naturais N. Faremos isso de maneira intuitiva, sem muita formalidade. Para os curiosos, a construção formal pode ser conferida no Apêndice B. Ademais, veremos como definir as operações em Z e analisaremos suas propriedades. Nesse conjunto, revisitaremos a relação menor ou igual e demonstraremos um resultado análogo ao Princípio da Boa Ordem, denominado Princípio do Menor Inteiro. Também estudaremos um dos pilares da aritmética, o Algoritmo da Divisão, ou Algoritmo de Euclides. Este algoritmo nos permitirá definir uma nova maneira de relacionar números inteiros. Por fim, apresentaremos o sistema de numeração em bases diferentes de Construção de Z a partir de N No capítulo anterior estudamos o conjunto dos números naturais. Vimos que a operação de subtração neste conjunto não está bem definida, pois nem sempre a subtração entre números naturais resulta em um número natural. Por isso, o anseio de subtrair qualquer par de números nos leva a expandir o conjunto dos números naturais para que esse problema não ocorra. Ao conjunto N acrescentamos todas as diferenças b a que não resultam em um número natural, formando um novo conjunto. Assim, 0 1, 1 2, 2 3,... será representado por 1. Analogamente, 0 2, 1 3, 2 4,... será representado por 2 e, assim, sucessivamente. Dessa forma, dado a N, definiremos a para representar o número 0 a. Adicionando esses novos números ao conjunto N dos números naturais formamos um novo conjunto numérico Z = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... }, 46

56 3.1. Construção de Z a partir de N chamado de conjunto dos números inteiros. Note que, N Z e eles não são iguais, ou seja, N é um subconjunto próprio de Z. Existem, porém, alguns outros importantes subconjuntos de Z. Inteiros não nulos: Z = { 2, 1, 1, 2, 3... }. Inteiros não negativos: Z + = {0, 1, 2, 3... }. Inteiros positivos: Z + = {1, 2, 3... }. Inteiros não positivos: Z = {0, 1, 2, 3... }. Inteiros negativos: Z = { 1, 2, 3... }. É fácil perceber que o conjunto Z é a união dos conjuntos Z, {0} e Z +. Além disso, como esses três conjuntos não possuem elementos em comum, dizemos que Z é a união disjunta deles. A letra Z foi introduzida pelo matemático alemão Edmund Landau, por conta da palavra alemã Zahl, que significa número. É importante reforçar: a partir de agora, o símbolo tem dois usos: para definir alguns números pertencentes ao conjunto dos números inteiros, mas também para indicar a operação de subtração. Edmund Landau Edmund Georg Hermann Landau (Berlim, 14 de fevereiro de 1877 Berlim, 19 de fevereiro de 1938) foi um matemático alemão. Trabalhou nos campos da teoria dos números e análise complexa, especificamente na teoria analítica dos números, na distribuição dos números primos e na teoria de funções analíticas de uma variável. Apresentou, sistematicamente, a teoria analítica dos números em Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Exercícios da Seção : Por qual motivo criamos o conjunto dos números inteiros, Z? 47

57 Números inteiros 3.2: Quais os elementos de Z +? E de Z? 3.3: Qual propriedade a adição satisfaz em Z mas não em N? 3.4: Existe algum número em Z que represente a mesma temperatura em Fahrenheit e em Celsius? 3.5: Quantos números inteiros existem de 11 até 522? 3.6: Quantos elementos há no conjunto { 31, 29,..., 49, 51}? 3.7: Qual o próximo termo da sequência 2, 7, 3, 8, 4, 9,? 3.8: Qual o próximo termo da sequência 3.9: Considere a sequência 1, 23, 45, 67,? 7, 21, 63, 189, 567, Como seria a sequência, seguindo esse mesmo padrão, iniciando com o número -5? 3.10: Qual o próximo termo da sequência 27, 36, 45, 54,? 3.2 Operações em Z Assim como em N, definiremos em Z operações para estudar algumas propriedades algébricas e aritméticas dos números inteiros Adição Todas as operações definidas em N serão estendidas para Z e as propriedades (A1), (A2), (A3) e (A4), também valerão nesse novo contexto. Além disso, por conta da existência dos números negativos, 48

58 3.2. Operações em Z teremos uma propriedade a mais, que denotaremos por (A6) e teremos a perda da propriedade (A5). A nomenclatura permanece: cada termo da adição se chama parcela e o resultado se chama soma. Sejam a, b, c Z. Então valem as seguintes afirmações. (A1) Associatividade da adição: a + (b + c) = (a + b) + c. (A2) Comutatividade da adição: a + b = b + a. (A3) Existência do elemento neutro da adição: a + 0 = 0 + a = a. (A4) Cancelamento da adição: a + b = a + c b = c b + a = c + a b = c. (A6) Existência do elemento oposto da adição: Existe a Z, único, com a + ( a) = 0 = ( a) + a. Em Z não vale a propriedade do anulamento (A5), já que a + b = 0 não necessariamente implica a = b = 0, pois dois opostos somados resulta em zero (A6). Observação 3.1: Note que (A6) não garante apenas a existência, mas também a unicidade do oposto. Assim dado a Z, se para algum b Z sabemos que a + b = 0, então a unicidade em (A6) garante que b = a. Deixamos a demonstração deste fato a cargo do leitor. O próximo exemplo nos mostra como que essas propriedades que acabamos de enunciar nos ajudam a realizar a adição em Z. Exemplo 3.1: Note que a) 7 + ( 5) = (2 + 5) + ( 5) (A1) = 2 + (5 + ( 5)) (A6) = (A3) = 2. 49

59 Números inteiros b) (A3) = (A6) = ( 8) = ( 8) (A6) = 0 + ( 8) (A3) = 8. Observação 3.2: Dado a Z, nem sempre a significa um número negativo. a) Se a é um número positivo então a é de fato negativo. b) Se a é negativo então seu oposto a representa um número positivo. A próxima proposição também é relativa a tomada de opostos em Z. Ela nos diz que o oposto do oposto de um dado número, é o próprio número. Proposição 3.1: Seja a Z. Então ( a) = a. Demonstração: Pela propriedade (A6) temos que a + a = 0. Portanto a é o oposto de a, ou seja, a = ( a). Um último conceito importante que envolve opostos é o de valor absoluto. Definição 3.1: Dado um número inteiro a Z, definimos o valor absoluto de a como { a, se a Z+ a = a, se a Z. Dessa forma, o valor absoluto de um número positivo é ele mesmo, e de um número negativo é seu oposto, que será positivo. 50

60 3.2. Operações em Z Exemplo 3.2: Temos a) 12 = 12. b) 0 = 0. c) 31 = Multiplicação A operação de multiplicação que definimos em N se estende para Z, assim como muitas de suas propriedades. Por isso, ela continuará sendo representada por em Z e, novamente, os números multiplicados são chamados fatores, e o resultado da multiplicação é o produto. Sejam a, b, c Z. Então valem as seguintes propriedades. (M1) Associatividade da multiplicação: a (b c) = (a b) c. (M2) Comutatividade da multiplicação: a b = b a. (M3) Existência do elemento neutro da multiplicação: a 1 = 1 a = a. (M4) Cancelamento da multiplicação: Se a 0: (D) Distributividade: a b = a c b = c b a = c a b = c. (a + b) c = a c + b c a (b + c) = a b + a c. Essas propriedades implicam em algumas proposições importantes. A primeira delas nos ensinará a multiplicar números inteiros por 0 e por 1. 51

61 Números inteiros Proposição 3.2: Seja a Z: a) 0 a = a 0 = 0. b) a ( 1) = ( 1) a = a. Demonstração: Note que em ambos os itens, a primeira igualdade segue por (M 2). Assim, a seguir, realizamos as demonstrações das respectivas segundas igualdades. a) Temos: 0 + a 0 (A3) = a 0 (A3) = a (0 + 0) (D) = a 0 + a 0. Daí, pela propriedade do cancelamento da adição (A4): b) Note que: 0 + a 0 = a 0 + a 0 0 = a 0. ( 1) a (A3) = ( 1) a + 0 (A6) = ( 1) a + a + ( a) (M3) = ( 1) a + 1 a + ( a) (D) = ( 1 + 1) a + ( a) (A6) = 0 a + ( a) a) = 0 + ( a) (A3) = a. Agora, podemos aprender como a multiplicação interage com os opostos em Z. Proposição 3.3: Sejam a, b Z. a) (ab) = ( a)b = a( b). b) ( a)( b) = ab. 52

62 3.2. Operações em Z Demonstração: a) Note que ( a)b P rop.3.2 b) = [( 1)a]b (M1) P rop.3.2 b) = ( 1)(ab) = (ab). A segunda igualdade pode ser demonstrada de forma análoga. b) ( a)( b) a) = [a( b)] a) = [ (ab)] P rop.3.1 = ab. Assim, utilizamos a proposição anterior para trazer a multiplicação de Z para N, onde já sabemos multiplicar. Vejamos, então, alguns exemplos. Exemplo 3.3: Temos a) (( 7) 9) = (7 9) = 63. b) ( 3)( 19) = 3 19 = 57. Por fim demonstramos que, em Z, um produto só é zero quando pelo menos uma das parcelas é zero. Esse fato nos diz que Z não possui divisores de zero. Proposição 3.4: Sejam a, b Z. Se ab = 0 então a = 0 ou b = 0. Demonstração: Se a = 0 o problema estaria resolvido. Então suponha que a 0 e devemos provar que b = 0. Note que ab = 0 = a 0 e então, pela propriedade do cancelamento (M4) e já que a 0, segue que b = Subtração Dados a, b Z definimos a subtração de a por b em Z como a b = a + ( b). Isto é, subtrair b de a é igual a somar a com o oposto de b. Note que a subtração não é associativa pois 3 (5 7) = 5 e (3 5) 7 = 9, que são diferentes, e também não é comutativa pois 2 5 = 3 e 5 2 = 3. 53

63 Números inteiros Por fim, esta operação não possui elemento neutro, afinal o candidato natural seria o 0, porém 0 a = a a, para a Z. Vejamos, agora, algumas propriedades que a subtração satisfaz. Proposição 3.5: Sejam a, b Z. a) (a b) + b = a. b) (a + b) = ( a) + ( b) = a b. c) (a b) = b a. d) a(b c) = ab ac. Demonstração: Vejamos cada item. a) (a b) + b = [a + ( b)] + b (A1) = a + [( b) + b] (A6) = a + 0 (A3) = a. b) A segunda igualdade é apenas a definição de subtração. Para a primeira, note que c) Note que d) Temos (a + b) (a b) P rop.3.2 b) = ( 1)(a + b) (D) = ( 1)a + ( 1)b P rop.3.2 b) = ( a) + ( b). P rop.3.2 b) = ( 1)[a + ( b)] (D) = ( 1)a + ( 1)( b) P rop.3.2 b) = a + [ ( b)] (A2) = [ ( b)] + ( a) P rop.3.1 = b a. a(b c) = a[b + ( c)] (D) P rop.3.3 a) = ab + a( c) = ab + ( ac) = ab ac. 54

64 3.2. Operações em Z Essas propriedades anteriores são utilizadas quando precisamos realizar operações em Z. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 3.4: a) (7 9) + 9 = 7. b) ( 3 1) + 1 = 3. c) (5 + 1) = ( 5) + ( 1) = 5 1 = 6. d) (23 11) = = 12. e) ( 3 1) = 1 ( 3) = = 4. f) 3(2 19) = = 6 57 = 51. g) 4( 3 1) = 4( 3) 4 1 = 12 4 = 16. Exercícios da Seção : Pesquise sobre: a) Princípio da casa dos pombos. b) Paradoxo do hotel de Hilbert. c) Sistema infinito de Dedekind. 3.12: Quantas pessoas devem estar numa sala, para termos a certeza de que 2 delas fazem aniversário no mesmo mês? E para que 3 delas façam aniversário no mesmo mês? 3.13: Uma sala de aula tem 32 estudantes. Mostre que pelo menos 2 estudantes fazem aniversário no mesmo dia (não necessariamente no mesmo mês). 3.14: Dados 8 números naturais não nulos menores ou iguais a 15, explique porque pelo menos três pares deles têm a mesma diferença positiva. 3.15: O termo a, para a Z, é sempre negativo? Explique e exemplifique. 55

65 Números inteiros 3.16: Resolva: a) 93 ( ) b) c) 9 (8 (7 (6 (5 (4 (3 (2 1))))))). d) (78(93 18( ))). e) (22 34) 234( ) 13. f) ( (38 122)). g) ( ). h) ( )( 138) + 393( ). i) j) k) 9 (18 (7 (16 (5 (14 (3 (12 1))))))). l) 3( ) 4(718( ( ))). m) ( ) 1740( ) 103. n) 2902( ( )). o) ( ). p) ( )( 308) + 930( ). q) r) 838( 123) ( ). s)

66 3.2. Operações em Z 3.17: Resolva: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) : Considere É possível trocar os símbolos por + ou, de forma que o resultado seja 0? E 8? E de forma que o resultado seja 7? 3.19: Dados a, b Z defina uma nova operação a b = a b + 4. Essa operação é associativa? É comutativa? Possui elemento neutro? Possui elemento oposto? Vale a propriedade do cancelamento? 3.20: Dados a, b Z defina uma nova operação a b = b + a 1. 57

67 Números inteiros Essa operação é associativa? É comutativa? Possui elemento neutro? Possui elemento oposto? Vale a propriedade do cancelamento? 3.21: Dados a, b Z defina uma nova operação a b = 3 + b a. Essa operação é associativa? É comutativa? Possui elemento neutro? Possui elemento oposto? Vale a propriedade do cancelamento? 3.22: Dados a, b Z defina uma nova operação a b = a 3b. Essa operação é associativa? É comutativa? Possui elemento neutro? Possui elemento oposto? Vale a propriedade do cancelamento? 3.23: (32 a OBM ) Num concurso com 10 questões, cada resposta correta valia 3 pontos, cada resposta errada valia 1 ponto negativo e cada questão não respondida valia 0 ponto. Não houve dois candidatos que apresentassem a mesma nota, feitas as correções. Quantos candidatos no máximo fizeram essa prova? 3.24: (32 a OBM ) Joãozinho tem que fazer uma multiplicação como lição de casa, mas a chuva molhou o caderno dele, borrando alguns algarismos, que estão representados por (cada algarismo borrado pode ser diferente dos outros). Qual é a soma dos algarismos que foram borrados? 3.25: (38 a OBM ) Juca gosta de brincar com um número e a soma dos seus dígitos. Ele decidiu chamar um número inteiro s de sagaz se existe algum número n tal que s é a diferença entre n e a soma dos dígitos de n. Por exemplo, 18 é sagaz, pois ele é igual a 28 (2+8). Existem quantos números sagazes maiores que 1 e menores que 1000? 58

68 3.2. Operações em Z 3.26: (34 a OBM ) Ana, Beto e Carlos inventaram um jogo em que cada um deles joga um dado e registra como ganho (pontos positivos) o dobro dos pontos obtidos no lançamento, ao mesmo tempo em que os outros dois anotam, cada um, esses pontos como dívidas (pontos negativos). O saldo é revisto a cada jogada. Na tabela a seguir foram anotados os lançamentos e pontos de Ana, Beto e Carlos, nesta ordem, e os saldos de seus pontos após cada lançamento, em uma partida de três jogadas. Na última linha vê-se o saldo final de cada um. Em cada nova partida, todos começam com zero ponto. Saldo de A Saldo de B Saldo de C A tira B tira C tira a) Complete a tabela a seguir com os resultados de uma outra partida em que Beto jogou primeiro, Carlos em seguida e Ana por último. Saldo de A Saldo de B Saldo de C b) Na Tabela 1 foram registradas apenas as pontuações dos dados numa partida de seis jogadas. Escreva na Tabela 2 o saldo final de pontos de cada um. Tabela 1 A tira B tira C tira Tabela 2 Saldo de A Saldo de B Saldo de C 59

69 Números inteiros 3.27: (29 a OBM ) Em 1949 o matemático indiano D. R. Kaprekar, inventou um processo conhecido como Operação de Kaprekar. Primeiramente escolha um número de quatro dígitos (não todos iguais), em seguida escreva a diferença entre o maior e o menor número que podem ser formados a partir de uma permutação dos dígitos do número inicial. Repetindo o processo com cada número assim obtido, obtemos uma seqüência. Por exemplo, se o primeiro número for 2007, o segundo será = O terceiro será = Começando com o número 1998, qual será o 2007-ésimo termo da seqüência? 3.3 Relação de ordem O objetivo dessa seção é mostrar que Z é um conjunto bem ordenado, ou seja, que nele conseguimos definir uma maneira coerente e matematicamente interessante de se comparar elementos. Além disso, essa relação se mostrará muito importante no próximo capítulo, onde estudaremos a fatoração de números inteiros e, também, a divisibilidade em Z. Definição 3.2: Dados a, b Z dizemos que a é menor ou igual a b quando b a pertence a Z +. Simbolicamente a b b a Z +. É equivalente à b a ou b é maior ou igual a a, ou a b c Z + : a + c = b, pois basta escolher c = b a. A relação satisfaz quatro propriedades básicas. A demonstração do item c) usa o fato que, como Z + = N, a soma de seus elementos resulta em elementos de Z +. Proposição 3.6: Sejam a, b, c Z. a) Reflexividade: a a. b) Antissimetria: a b, b a a = b. c) Transitividade: a b, b c a c. 60

70 3.3. Relação de ordem d) Totalidade: a b ou b a. Demonstração: a) Note que, a a = 0 Z +. Logo a a. b) Temos a b b a Z +, b a a b Z +. Ou seja, b a = (a b) e seu oposto a b pertencem a Z +. Portanto, b a = 0, que implica a = b. c) Segue: a b b a Z +, b c c b Z +. Daí c a = (c b) + (b a) Z + e, portanto, a c. d) Sejam a, b Z e note que b a Z + ou b a Z. Pela Definição 3.2, o primeiro caso nos diz que a b e, o segundo, que b a. Essas quatro propriedades dizem que a relação em Z define uma relação de ordem total em Z. Dizemos, portanto, que Z é um conjunto bem ordenado. Qualquer relação num dado conjunto que satisfaz os três primeiros itens é dita relação de ordem. Mais definições e resultados que envolvem relações podem ser encontrados no Apêndice A. Vejamos mais algumas propriedades que envolvem a relação de ordem. As demonstrações seguem da definição dessa relação, pois 0 b b 0 = b Z + e também do fato que, como Z + = N, o produto de dois elementos de Z + resulta em um elemento de Z +. Proposição 3.7: Sejam a, b Z. a) 0 a, 0 b 0 ab. 61

71 Números inteiros b) a 0, b 0 0 ab. c) a 0, 0 b ab 0. Demonstração: Vejamos: a) 0 a, 0 b a, b Z + ab Z + 0 ab. b) a 0, b 0 a = 0 a Z + e b = 0 b Z + ab = ( a)( b) Z + 0 ab. c) a 0, 0 b a = 0 a Z + e b Z + 0 ab = ab = ( a)b Z + ab 0. Essa proposição também é conhecida como jogo de sinais ou tabela de sinais, pois nos diz se o produto de inteiros será positivo ou negativo, baseado no sinal de cada fator. Exemplo 3.5: Note que a) b) c) } } 8( 4) } 0 ( 9)( 11) A proposição a seguir nos mostra o que acontece com uma desigualdade quando a operamos com algum número inteiro. 62

72 3.3. Relação de ordem Proposição 3.8: Sejam a, b, c Z. a) a b a + c b + c. b) a b, 0 c ac bc. c) a b, c 0 bc ac. Demonstração: a) Note que a b b a Z +. Como temos b + c (c + a) = b + c c a = b a, a b b a Z + b + c (a + c) Z + a + c b + c. Em particular, tomando c = a, obtemos a b 0 b a. b) Segue: a b a) P rop.3.7 a) 0 b a 0 (b a)c 0 bc ac. Por a), temos então ac bc. c) Muito parecida à demonstração anterior e pelo fato de 0 c: a b a) P rop.3.7 a) 0 b a 0 (b a)( c) 0 bc + ac. Assim, bc ac. Em particular, tomando c = 1 no item c) dessa última proposição, concluímos que a b b a. Também é imediato, tomando b = 0, que a 0 0 a. Vejamos, então, na forma de exemplos, como as propriedades que demonstramos funcionam. 63

73 Números inteiros Exemplo 3.6: Temos a) b) ( 7) 0 + ( 7) c) 4 1 ( 4) d) e) ( 15) 4( 15) f) 5 2 2( 9) ( 5)( 9) g) h) A última proposição que envolve nos diz que podemos relacionar a soma de números que já estejam relacionados. Proposição 3.9: Sejam a, b, c, d Z. Se a b, c d então Demonstração: a + c b + d. a b b a Z +, c d d c Z +. Disso, concluímos que (b + d) (a + c) = (b a) + (d c) Z + e, portanto, a + c b + d. Exemplo 3.7: Temos a) b) } }

74 3.3. Relação de ordem Além da relação menor ou igual, definimos a relação menor. Definição 3.3: Dados a, b inteiros dizemos que a é menor que b quando b a pertence a Z +. Simbolicamente ou ainda a < b b a Z +, a < b c Z + : b = a + c. É importante mencionar que as seguintes propriedades continuam valendo ao se trocar por <: item c) da Proposição 3.6, Proposição 3.7, 3.8 e 3.9. Por fim, demonstramos a seguir uma proposição que vale para < mas não vale para. Proposição 3.10: (Tricotomia em Z) Dado a Z somente uma das seguintes opções ocorre. a) a < 0. b) a = 0. c) 0 < a. Demonstração: Como Z é a união disjunta de Z, {0} e Z +, temos que a Z ou a < 0 ou a Z a = 0 ou a = 0 ou a Z + 0 < a Princípio do Menor Inteiro Na Subseção 2.3.1, descobrimos que todo subconjunto não vazio de N possui um menor elemento. Agora que já sabemos como comparar elementos em Z, podemos nos questionar se o mesmo ocorre neste subconjunto. E a resposta é negativa. Exemplo 3.8: O conjunto A = {números com último algarismo 4} em Z não é limitado inferiormente. Em Z conseguimos um resultado parecido, mas que precisa de algumas hipóteses. Para isso, precisamos de uma definição preliminar. 65

75 Números inteiros Definição 3.4: (Conjunto limitado inferiormente) Seja A um subconjunto de números inteiros. Dizemos que A é limitado inferiormente quando existe inteiro m tal que m a para todo a A. O elemento m, quando existe, é chamado de cota inferior do subconjunto A. Se a cota inferior está no conjunto S, dizemos que m é o menor elemento de S. Observação 3.3: Note que m não precisa estar em A. Por exemplo, 1 é cota inferior de Z +. Exemplo 3.9: O conjunto A = { 3, 2, 1... } é limitado inferiormente por qualquer inteiro menor ou igual a 3. Enunciamos, agora, o Princípio do Menor Inteiro, um importante resultado que nos fornece condições para que um subconjunto de Z possua um menor elemento. Teorema 3.1: (Princípio do Menor Inteiro) Se A é um subconjunto não nulo de Z e A é limitado inferiormente então A possui um menor elemento. Demonstração: Se A está contido no conjunto dos números naturais, o Teorema 2.1 garante o resultado. Suponha, então, que A possui números negativos e, por ser limitado inferiormente, existe um número negativo m tal que m a, a A. Defina o novo conjunto B = {a + ( m) : a A}. Segue que B N e, portanto, possui um menor elemento. Esse menor elemento deve ser da forma n + ( m) e, portanto, temos que n é o menor elemento de A Z. Portanto, se um subconjunto de números inteiros é limitado inferiormente, é possível encontrar um elemento de A que é o menor entre todos os elementos de A. Observe também, que o Princípio da Boa Ordem (Teorema 2.1) é um corolário imediato do Princípio do Menor Inteiro. Exercícios da Seção

76 3.3. Relação de ordem 3.28: Quais são as 4 propriedades que a relação satisfaz em Z? 3.29: Quais itens a seguir são verdadeiros e quais são falsos? a) c) e) ( ) g) < i) k) b) d) < f) h) j) l) ( 19). 3.30: Dados a, b Z defina a seguinte relação: arb a + b é positiva ou 0. Essa relação é reflexiva? Antissimétrica? Transitiva? 3.31: Dados a, b Z defina a seguinte relação: arb a + b = 2. Essa relação é reflexiva? Antissimétrica? Transitiva? 3.32: (38 a OBM ) Determine o menor inteiro positivo n tal que n! é múltiplo de : (36 a OBM ) O conjunto de números {18, 54} tem a seguinte propriedade: a soma dos seus elementos, 72, é igual ao dobro de sua diferença positiva, 36. Quantos conjuntos de dois números inteiros positivos, ambos menores do que 100, possuem esta propriedade? 3.34: (30 a OBM ) Em uma matriz o elemento na linha i e coluna j é o número i + j (as linhas e colunas são numeradas de 1 a 2008). Escolhem-se 2008 elementos desta matriz de modo que não haja dois elementos escolhidos numa mesma linha ou coluna. Os elementos são multiplicados. Qual o menor produto que se pode obter desta forma? 67

77 Números inteiros 3.35: (32 a OBM ) Seja N o menor número inteiro positivo que multiplicado por 33 resulta em um número cujos algarismos são todos iguais a 7. Determine a soma dos algarismos de N. 3.36: (38 a OBM ) O conjunto X está contido em {1, 2, 3,..., 2016} e tem a seguinte propriedade: para todos x, y X com x < y, temos que y + 1 é múltiplo de x. Qual é a quantidade máxima de elementos que X pode ter? 3.4 Algoritmo da Divisão Este assunto é abordado no livro VII de Os Elementos [14] de Euclides (300 a.c.), porém, acredita-se que o algoritmo não tenha sido descoberto por Euclides, mas pelos matemáticos da escola pitagórica. Independentemente, também foi desenvolvido na Índia e na China, no estudo de problemas que surgiram na Astronomia [38]. Euclides de Alexandria Euclides de Alexandria (Alexandria, 325 a.c. Alexandria, 265 a.c.) foi o matemático mais proeminente da antiguidade. Mais conhecido por seu tratado Os Elementos ([14] é uma boa tradução em português), é considerado um dos principais professores de matemática da história, devido à natureza duradoura desse trabalho. Nele, são apresentados os cinco postulados que posteriormente deram início à geometria euclidiana. Enunciemos, agora, o Algoritmo da Divisão em Z, também conhecido como o Algoritmo da Divisão de Euclides ou Algoritmo da Divisão Euclidiana ou, simplesmente, Algoritmo de Euclides. É esse algoritmo que sustenta toda teoria de divisibilidade nos números inteiros. 68

78 3.4. Algoritmo da Divisão Teorema 3.2: (Algoritmo da Divisão em Z) Sejam a, b Z com b 0. Então existe único par de números q, r Z com 0 r < b tais que a = bq + r. Demonstração: Vamos considerar dois casos: b > 0 e b < 0. primeiro caso, consideremos o seguinte conjunto No B = {a bx : x Z, a bx 0}. Note que B é não vazio, pois a b( a ) B: a b( a ) = a + b a a + a 0. Claramente B é limitado inferiormente pelo 0 e, portanto, utilizando o Princípio do Menor Inteiro (Teorema 3.1), B possui um menor elemento, digamos r. Portanto, q Z tal que r = a bq, ou seja, a = bq + r. Vamos mostrar que r < b = b. Se r = b: a = bq + b a = b(q + 1) a b(q + 1) = 0 0 B e, como r é o menor elemento de B, temos r = 0. Disso segue que b = 0, que é um absurdo. Se r > b então σ N tal que r = b + σ, onde 0 < σ < r. Assim b + σ = a bq σ = a b(q + 1) B, que é um absurdo, pois r é o menor elemento de B. Logo, 0 r < b. Mostremos, agora, que q, r são unicamente determinados. Suponha que existam q, r, q, r tais que a = bq + r = b q + r, com 0 r, r < b = b. Desta desigualdade concluímos que 0 r r < b. Daí, bq + r = b q + r b( q q) = r r b q q = r r. Se tivéssemos r r, teríamos q q 1. Então, b b q q = r r < b, absurdo. Portanto r = r e, consequentemente, q = q. No segundo caso (b < 0), basta aplicar o caso anterior para a e b. 69

79 Números inteiros Assim, em Z, dividir a por b significa encontrar q e r que satisfazem o teorema. Há uma nomenclatura específica para esses termos: a é o dividendo, b o divisor, q o quociente e r o resto. Outra informação importante que o último teorema nos traz é que o resto é sempre um número não negativo, mesmo quando o dividendo ou o divisor é um número negativo. Exemplo 3.10: Dados a = 7 e b = 4, segue que Note que de fato 3 < 4. 7 = Exemplo 3.11: Para a = 5 e b = 13, segue que Note que 5 < = Exemplo 3.12: Para a = 55 e b = 4, segue que: Temos 1 < = 4 ( 14) + 1. Exemplo 3.13: Dados a = 67 e b = 5, temos: 67 = ( 5) ( 13) + 2 e 2 < 5. A divisão na sua forma compacta só existe por conta do Algoritmo da Divisão. Por exemplo, se queremos dividir 114 por 7, obtemos 114 = Podemos escrevê-la na forma compacta

80 3.4. Algoritmo da Divisão Nesse caso, o algoritmo foi utilizado duas vezes, a primeira para o 11: 11 = e note que essa equação implica que 110 = e 114 = Daí, repetimos o algoritmo para o 44: 44 = Juntando as duas equações obtemos 114 = = A divisão em sua forma compacta é também chamada de divisão longa, pois é uma ferramenta que facilita a divisão de números grandes. Algumas simplificações deste método se devem à Hipátia de Alexandria. Hipátia de Alexandria Hipátia de Alexandria (Alexandria, 370 d.c. Alexandria, março de 415 d.c.) foi uma matemática e filósofa grega. É conhecida por ter contribuído na astronomia e por ser uma das autoras de uma cópia do livro Os Elementos, de Euclides, que serviu como base para todas as demais versões que temos até hoje. É considerada a primeira matemática da história. Outro uso importante do Algoritmo da Divisão é para separar o conjunto dos números inteiros em subconjuntos. Observação 3.4: Considere o divisor b = 2. Então, ao dividirmos um número inteiro a por 2, só há dois possíveis restos: 0 ou 1. Assim, podemos concluir que a pode ser escrito de uma das seguintes duas formas: a = 2q + 0 ou a = 2q

81 Números inteiros Dessa forma, dividimos o conjunto Z em duas partes disjuntas: o conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares {... 4, 2, 0, 2, 4, 6...} {... 5, 3, 1, 1, 3, 5...}. Observação 3.5: Para o divisor b = 3 temos 3 possíveis restos e, portanto, seguem as três possibilidades para um inteiro a: a = 3q + 0, a = 3q + 1, a = 3q + 2. Com isso podemos separar o conjunto Z em três partes disjuntas, baseado no resto que os números deixam na divisão por 3: resto 0: {... 6, 3, 0, 3...}, resto 1: {... 5, 2, 1, 4...}, resto 2: {... 4, 1, 2, 5...}. Observação 3.6: Generalizando para um divisor b 0 qualquer, todo inteiro a pode ser expresso de uma das b formas a seguir. a = bq + 0, a = bq + 1,. a = bq + (b 1). Apresentamos, a seguir, dois exemplos que mostram como utilizar o Algoritmo da Divisão para resolver alguns problemas matemáticos. Exemplo 3.14: Vamos determinar todos os números naturais que na divisão euclidiana por 7 têm o quociente igual ao dobro do resto. Seja n o tal número procurado. Assim n = 7q + r, 72

82 3.4. Algoritmo da Divisão onde q = 2r e 0 r < 7. Então n = 7 2r + r, que implica n = 15r. Como 0 r < 7, concluímos que n {0, 15, 30, 45, 60, 75, 90}. Exemplo 3.15: Vamos procurar quais números naturais de dois algarismos, quando divididos pela soma de seus algarismos, resulta quociente 4 e resto zero. Seja n o número de dois dígitos procurado. Assim n = 10a + b onde 1 a 9 e 0 b 9 e, portanto, a hipótese implica que: 10a + b = (a + b)4, e daí 2a = b. Com isso temos apenas a {1, 2, 3, 4} (para que b não seja maior que 9) e, então, n {12, 24, 36, 48}. Exercícios da Seção : Pesquise sobre: a) Teorema das quatro cores. b) Funções aritméticas. c) Eudoxo de Cnido. d) Fundamental ausente. 3.38: Faça as seguintes divisões euclidianas. 73

83 Números inteiros a) 34 por 3. c) 75 por 7. e) 101 por 2. g) 21 por 4. i) por 21. k) por 41. b) 3912 por 12. d) 132 por 6. f) 345 por 11. h) por 19. j) 9346 por 15. l) por : Encontre o número natural que, quando dividido por 7, deixa quociente 23 e resto : Encontre números naturais que, quando divididos por 6, deixam quociente igual ao dobro do resto. 3.41: Encontre números naturais que, quando divididos por 12, deixam quociente igual ao triplo do resto. 3.42: Encontre o número natural que, quando dividido por 13, deixa quociente 7 e resto o maior possível. 3.43: Existe número natural que, quando dividido por 6 deixa resto 3 e, quando dividido por 8 deixa resto 5? Se sim, encontre o menor possível. 3.44: Existe número natural que, quando dividido por 8 deixa resto 1 e, quando dividido por 7 deixa resto 6? Se sim, encontre o menor possível. 3.45: Denote por n o maior natural de 4 algarismos que, quando dividido por 3, 5 e 7, deixa resto 2. Qual a soma dos algarismos de n? 3.46: (37 a OBM ) Existem quantos números inteiros positivos n tais que ao dividir 2032 por n temos resto 17? 3.47: (39 a OBM ) O número tem 20 zeros. Qual é a soma dos algarismos do número que obtemos como quociente quando dividimos esse número por 3? 74

84 3.5. Sistema de numeração em outras bases 3.48: (37 a OBM ) Qual é o menor número inteiro positivo que deixa cinco restos diferentes quando dividido por 2, 3, 4, 5 e 6? 3.49: (36 a OBM ) Um conjunto é denominado completamente divisível se para quaisquer elementos a < b temos que a divide b. Um conjunto de inteiros positivos A é completamente divisível e possui 2016 como um de seus elementos. Sabendo que todos os elementos de A são menores que 2 milhões, qual o máximo número de elementos que A pode ter? 3.50: (ORM/SC N1) Encontre o resto da divisão do número } 111. {{ } por algarismos 3.5 Sistema de numeração em outras bases Em nosso dia a dia, utilizamos a base 10 para apresentar os números, porém, é possível utilizar qualquer base maior ou igual a 2 para representá-los. Nesta seção, estudaremos a representação dos números inteiros não negativos em qualquer base, embora haja maneiras de se escrever números negativos e até alguns números reais em bases diferentes de 10 ([2]). O procedimento é simples: fixe uma base 1 < b N. Assim, qualquer número inteiro não positivo a tem uma representação única na forma a = (a r a r 1... a 1 a 0 ) b, que significa onde todos os a i s satisfazem a r b r + a r 1 b r a 1 b 1 + a 0 b 0, 0 a i < b. Por exemplo, para escrever números na base 5 utilizamos apenas 5 algarismos: {0, 1, 2, 3, 4}, e tais algarismos estarão multiplicando 1, 5, 5 2, 5 3 etc. Vamos apresentar, inicialmente, a maneira intuitiva de se escrever 87 na base 5. Primeiramente devemos descobrir qual a maior potência 75

85 Números inteiros de 5 que é menor que 87, neste caso, 5 2 = 25. Além disso, perceba que 25 cabe três vezes em 87. Assim 87 = = Para escrever 12 na base 5, analisamos as potências de 5 menores que 5 2 : 12 = = Analogamente ao que acabamos de fazer, o número 2 é igual a duas vezes 5 0 = 1, ou seja, 2 = 2 1 = Reunindo essas três equações, obtemos 87 = Concluímos, então, que o número 87 é igual à 322 na base 5, que denotamos 87 = (322) 5. Exemplo 3.16: Para representar 131 na base 5, veja que: 131 = = Note que, 5 2 ainda é maior que 6, consequentemente: 6 = = Já que obtemos Logo, 1 = 1 5 0, 131 = = (1011) 5. O modo de transformação de base que acabamos de apresentar funciona sempre e em qualquer base. 76

86 3.5. Sistema de numeração em outras bases Exemplo 3.17: Note que Logo 87 = = = = = = = (10020) 3. Porém note que esse processo pode ser longo e cansativo. Felizmente, o Algoritmo da Divisão (Seção 3.4) nos fornece uma maneira mais prática de aplicar essa transformação: através da divisão sucessiva. Exemplo 3.18: Para escrever 59 na base 3, comece dividindo 59 por 3, e depois sucessivamente faça a divisão de cada novo quociente também por 3, até que o quociente seja zero Aí basta tomar os restos de trás para frente para obter 59 = (2012) 3. O motivo desta tática funcionar pode ser descoberto ao se desconstruir essas contas: 59 = = ( ) = [( ) 3 + 1] = ( ) = = = (2012) 3. É fácil notar que os restos são os algarismos procurados. 77

87 Números inteiros Exemplo 3.19: Para escrever 341 na base 8: Logo 341 = (525) 8. Exemplo 3.20: Para representar 1717 na base 11: Daí De fato = (1321) = = A representação polinomial permite de maneira ainda mais simples aplicar o processo contrário, ou seja, dado um número em uma certa base, podemos facilmente descobrir qual a quantidade que ele representa. Exemplo 3.21: Segue que Logo Exemplo 3.22: Temos (12) 3 = = = = 5. (12) 3 = 5. (1111) 7 = = = =

88 3.5. Sistema de numeração em outras bases Logo (1111) 7 = 400. Assim como é possível fazer a ida e a volta na mesma conta. Exemplo 3.23: Vamos transformar (114) 5 para a base 7: Logo (114) 5 = = = = 34 = = = (114) 5 = (46) 7. Os computadores trabalham em código binário (sistema sim ou não), ou seja, base 2. Utilizam apenas 0 s e 1 s. Exemplo 3.24: Para representar (423) 7 na base 2, temos: (423) 7 = = = = 213 que significa = = = (423) 7 = ( ) 2. Ao se trabalhar com bases maiores que dez, um problema surge: não há uma unicidade a respeito do significado de certas notações. Por exemplo, o número (12) 13 pode representar o número com algarismos 1 e 2, ou o número com um algarismo único 12, já que na base 13 temos os algarismos sendo todos números entre 0 e 12. Para evitar tal problema, se renomeia todos os algarismos maiores ou iguais a dez: 0, 1,..., 9, 10 = a, 11 = b, 12 = c, 13 = d

89 Números inteiros Exemplo 3.25: Vamos descobrir qual quantidade é representada por (13b) 13 : (13b) 13 = b 13 0 = b 1 = = = 219. Logo (13b) 13 = 219. Exemplo 3.26: As representações de 55 e 60 na base 5 são: 55 = = (210) 5, 60 = = (220) 5. Notavelmente a diferença é de uma unidade da parcela que representa a multiplicação por 5. Veremos agora que a operação de números é análoga em qualquer base Adição Considere a adição entre (134) 5 e (11) 5. (134) 5 + (11) 5 = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = = = = = = (200) 5. Somamos separadamente cada algarismo que multiplica o mesmo expoente do número 5. Ao somar 4 e 1, que acompanham 1, obtemos um número que não é um algarismo da base 5. Para resolver este problema 80

90 3.5. Sistema de numeração em outras bases transformamos este número em um algarismo que agora acompanha 5. O mesmo, posteriormente, aconteceu com 5: transformamos 5 5 em Notoriamente, esta soma pode ser compactada no seguinte molde: Exemplo 3.27: Para somar (235) 6 e (452) 6 utilizamos a mesma tática: Exemplo 3.28: A soma de (243) 5 e (431) 5 segue: Portanto, independentemente da base, a adição segue o mesmo princípio que utilizamos para somar números na base Multiplicação Vejamos como funciona a multiplicação. (531) 7 (13) 7 = ( ) ( ) = ( ) + ( ) = = = (7 + 0) = = = (10533) 7. 81

91 Números inteiros Essa multiplicação pode ser feita de forma compacta: Exemplo 3.29: Vamos multiplicar (710) 9 e (88) 9 : Exemplo 3.30: Multipliquemos (710) 9 e (100) 9 : Note que (88) 9 + (1) 9 = (100) 9. Assim é de se esperar que (70180) 9 + (710) 9 = (71000) 9. Logo a forma compacta da multiplicação em qualquer base funciona de modo análogo ao que já se conhece, na base Subtração A ideia é sempre manter algarismos permitidos multiplicando expoentes da base em questão, podendo assim tomar emprestado ou em- 82

92 3.5. Sistema de numeração em outras bases prestar na medida que for necessário. (235) 8 (173) 8 = ( ) ( ) = (2 1) (3 7) (5 3) 8 0 = (3 7) = (3 7) = = (42) 8. Note que (3 7) não é um número natural e, portanto, não é um algarismo permitido. Assim transformamos 1 64 em 8 8 para somar a (3 7) 8. Aquela subtração também funciona na forma compacta, analogamente à subtração da base 10: Exemplo 3.31: A seguir, subtraímos (101) 2 de (1010) 2 : Ou seja, (1010) 2 = 10 é o dobro de (101) 2 = 5. Exemplo 3.32: Segue a subtração (713) 9 (247) 9 : Exemplo 3.33: Apresentamos, agora, a soma, a multiplicação e a subtração dos números (c74) 13 e (999) 13 onde a = 10, b = 11, c = 12: c

93 Números inteiros c a a a a a 13 b 6 13 c a Tabela de tabuada em outras bases Na base 10 a tabela de tabuada, ou tábua de tabuada, é aquela em que se lista todas as possíveis multiplicações entre os algarismos (de 0 a 9). Podemos fazer o mesmo para qualquer base, inclusive montando tábuas de tabuada da soma além da multiplicação. Lembrando que as respostas também devem apresentar apenas algarismos permitidos na respectiva base, seguem 3 exemplos. Adição na base 5: Multiplicação na base 5:

94 3.5. Sistema de numeração em outras bases Multiplicação na base 7: Exercícios da Seção : Escreva: a) 25 na base 2. c) 3546 na base 2. e) 25 na base 3. g) 59 na base 4. i) 2345 na base 4. k) 59 na base 5. m) 25 na base 5. o) na base 5. q) 39 na base 7. s) (342786) 9 na base 8. u) (12312) 5 na base 9. b) 25 na base 12. d) 345 na base 12. f) 1234 na base 12. h) 2342 na base 12. j) na base 12. l) (935) 15 na base 10. n) 132 na base 12. p) 87 na base 12. r) (322) 5 na base 10. t) (322) 5 na base 3. v) (9438) 1 1 na base 4. 85

95 Números inteiros 3.52: Quais itens a seguir são verdadeiros e quais são falsos? a) (123) 4 (221) 3. c) (3166) 8 (3611) 7. e) (16) 9 (444) 5. g) (8888) 9 < (77777) 9. i) (242) 5 (74) 9. k) (454) 7 = (2244) 5. m) (919) 11 > (8883) 9. b) (22) 3 (111) 2. d) (224) 9 < (5255) 7. f) (12121) 3 (1111) 4. h) (2102) 4 (312) 6. j) (276455) 8 (15677) 9. l) (12212) 3 (1231) 4. n) (43234) 5 = (333333) : Sabendo que (640n) 7 (n26) 9 = (4n46) 8, encontre o valor de n. 3.54: Sabendo que (74) b é o quádruplo de (17) b, encontre o valor de b. 3.55: Calcule: a) (123) 4 + (321) 4. c) (166) 7 + (3611) 7. e) (16) 9 + (47456) 9. g) (8888) 9 (77777) 9. i) (242) 5 (74) 9. k) (454) 7 (5246) 7. m) (273564) 8 (15677) 8. o) (12121) 3 (2121) 3. b) (1011) 2 (1000) 2. d) (143) 9 (5255) 9. f) (2222) 3 + (1111) 3. h) (3210) 4 + (123) 4. j) (78247) 9 (1284) 9. l) (878) 9 (545) 9. n) (500) 6 (253) 6. p) (3082) 9 (283) : Considerando 10 = a, 11 = b e 12 = c, calcule: 86

96 3.5. Sistema de numeração em outras bases a) (168) 13 + (361a) 13. c) (123c) 13 + (ba72) 13. e) (ba7) 13 + (323b) 13. g) (108) 13 (9129) 13. i) (242a) 13 (999) 13. k) (1344) 13 (24c) 13. m) (cba0) 13 (979) 13. b) (cb3a) 13 (a3bc) 13. d) (4123) 11 (aaa) 11. f) (33ba) 13 + (94c) 13. h) (bb1) 12 + (234a) 12. j) (aaa) 13 (bbb) 13. l) (11111) 11 (a21a) 11. n) (ababa) 12 (bb9b) : Construa as tabelas de tabuada da adição e da multiplicação da base : Construa as tabelas de tabuada da adição e da multiplicação da base 12 (onde 10 = a e 11 = b). 87

97 88 Números inteiros

98 Capítulo 4 Divisibilidade e números primos O conjunto dos números inteiros apresenta propriedades interessantes e que são objetos de estudo em matemática até hoje. Entre essas propriedades, o conceito de número primo é um dos mais importantes e começou a ser estudado extensivamente na Grécia antiga por Pitágoras (5000 a.c.) e seus discípulos. O objetivo desse capítulo é apresentar muitas dessas tais propriedades, muitas das quais são consequências do Algoritmo da Divisão, apresentado na Seção 3.4. Começaremos com a divisibilidade entre números inteiros para, poteriormente, definir o que são números primos. Com isso, apresentaremos o Teorema Fundamental da Aritmética, que foi crucial para o desenvolvimento do ramo da matemática chamado teoria dos números. Também definiremos os conceitos de máximo divisor comum e de mínimo múltiplo comum entre números e, como aplicação do primeiro, apresentaremos as equações diofantinas, importantíssimas para a resolução de problemas matemáticos práticos. Por fim, traremos o que significa dois números serem congruentes com relação a um dado número natural, além de estudar diversos critérios de divisibilidade. 89

99 4.1 Múltiplos e divisores Divisibilidade e números primos Quando estudamos o Algoritmo da Divisão em Z, vimos que ao se dividir a por b, conseguimos únicos q e r tais que a = bq + r. Nesa seção, estamos interessados em estudar detalhadamente o caso em que r = 0. Segue, assim, a principal definição dessa seção, sobre a divisibilidade entre números inteiros. Definição 4.1: Sejam a, b Z com b 0. Dizemos que b é divisor de a, quando existe n Z tal que a = bn. A notação para dizer que b é divisor de a é b a. Pela definição acima, n também é um divisor de a. Também segue que, quando b é divisor de a, temos b a. Observação 4.1: Note que, de forma análoga, podemos definir a divisibilidade em N. Sejam a, b N com b 0. Dizemos que b é divisor de a quando existe n N tal que a = bn. Exemplo 4.1: Vejamos alguns exemplos. a) O número 48 é divisor de 144 pois 144 = b) Como 42 = 7 6, temos c) Em Z, 15 é divisor de 90 pois 90 = ( 15) ( 6). Pelos exemplos vistos, e ( 15) 90. Quando a divisibilidade não ocorre, denotamos por b a. Por exemplo, 3 8. Simbolicamente temos a, b Z, b a n Z : a = bn. São equivalentes as seguintes sentenças: 90

100 4.1. Múltiplos e divisores a) b é divisor de a b) b divide a c) a é divisível por b d) a é múltiplo de b. Observação 4.2: Façamos uma análise mais cuidadosa do caso em que, nas definições que acabamos de conferir, fosse permitido b = 0. a) Se a 0, temos que a = 0 n nunca acontece. Assim, concluímos que 0 a, a Z. b) Se a = 0, vale 0 0, afinal 0 = 0 n é verdade n Z. Porém, o fato de n poder assumir qualquer valor, não podemos definir o que seria 0 dividido por 0. Vejamos algumas propriedades a respeito da divisibilidade. Proposição 4.1: Sejam a, b, c Z. a) a a. b) b a e a b a = b ou a = b. c) c b e b a c a. Demonstração: a) De fato a = a 1. b) Por definição, a hipótese b a implica que a = bn para algum número inteiro n. Assim como a b implica b = am para algum inteiro m. Então a = amn, e, como a 0, pela propriedade do cancelamento (M4) obtemos 1 = mn. No conjunto dos números inteiros temos, portanto, que n = m = 1 ou n = m = 1. Logo, a = b ou a = b, respectivamente. 91

101 Divisibilidade e números primos c) A hipótese c b significa, por definição, que existe número inteiro n tal que b = cn, assim como b a implica a existência de um número inteiro m tal que a = bm. Daí obtemos a = (cn)m = c(nm) e disto segue que c a. Essa proposição nos diz que a divisibilidade pode ser vista como uma relação a) reflexiva e c) transitiva. Exemplo 4.2: Pelo item c) da proposição anterior, 4 8 e 8 24 implicam que Existem algumas importantes propriedades que a divisibilidade satisfaz, quando relacionada com as operações que vimos em Z. Proposição 4.2: Sejam a, b, c Z. a) c a c ab e cb ab. b) c a e c b c a + b e c a b. c) c a + b e c a c b. Demonstração: a) De c a segue que existe n Z tal que a = cn e, portanto, ab = cbn. Daí, obtemos c ab e cb ab. b) De c a e c b concluímos a existência de n, m Z tais que a = cn e b = cm. Logo a + b = c(n + m) e a b = c(n m) e o resultado segue. c) De c a + b e c a temos n, m Z tais que a + b = cn e a = cm. Logo b = a + b a = c(n m) e, portanto, c b. 92

102 4.1. Múltiplos e divisores Exemplo 4.3: Pela proposição anterior, valem as seguintes implicações. a) (21 2) b) ( 6) (15( 6)) c) } (21 + ( 42)) d) } (30 80) e) } 8 ( ) f) } 2 (4 + 40) Para finalizar esta seção, apresentamos uma definição de terminologia que envolve números inteiros e seus divisores. Definição 4.2: Dado a Z, os números ±1 e ±a são ditos divisores impróprios de a. Se existirem outros divisores, estes serão chamados divisores próprios de a. Exercícios da Seção : Determine o menor número natural de 4 algarismos distintos que seja divisível por : Determine o maior número natural de 5 algarismos distintos que seja divisível por : Defina números perfeitos e dê exemplos. 4.4: Defina números amigos e dê exemplos. 4.5: Determine a b, de tal forma que 42a2841b seja divisível por

103 Divisibilidade e números primos 4.6: É possível um número de 4 algarismos ser múltiplo de 99 e 103? 4.7: Encontre um número de 6 algarismos que seja múltiplo de 4, 5, 7, 9, 11 e : O número é divisível por 2? E por 5? E por 14? Porque? 4.9: Encontre números inteiros positivos n tais que n 8 +1 seja divisível por n : É verdade que se um número é divisível por 4 e 3, então ele é divisível por 12? 4.11: O número x não é divisível por 3. É possível que 2x seja divisível por 3? 4.12: Seja n um número inteiro positivo. Denote S a soma dos seus 7 menores múltiplos, maiores que n. Encontre o menor n tal que S consiste de algarismos todos iguais. 4.13: Mostre que a soma de números pares é par. 4.14: Mostre que a soma de números ímpares é par. 4.15: Mostre que o produto de números ímpares é ímpar. 4.16: Mostre que qualquer número inteiro de 3 algarismos, com os 3 algarismos iguais, é divisível por : (37 a OBM ) Uma urna vermelha contém 20 bolas, numeradas de 1 a 20, e uma urna verde está vazia. a) Maria retira uma bola, mostra seu número para João e a coloca na urna verde; b) João retira da urna vermelha todas as bolas cujos números são divisores do número mostrado por Maria e as coloca na urna verde. Os passos a) e b) são repetidos em sequência, até o momento que o passo b) não pode ser mais realizado. No máximo, quantas bolas poderão ser colocadas na urna verde? 94

104 4.1. Múltiplos e divisores 4.18: (30 a OBM ) Quantos números inteiros maiores que zero e menores que 100 possuem algum divisor cuja soma dos dígitos seja 5? 4.19: (23 a OBM ) Se a n-ésima OBM é realizada em um ano que é divisível por n, dizemos que esse ano é super-olímpico. Por exemplo, o ano 2001, em que está sendo realizada a 23 a OBM, é super-olímpico pois 2001 = é divisível por 23. Determine todos os anos superolímpicos, sabendo que a OBM nunca deixou de ser realizada desde sua primeira edição, em 1979, e supondo que continuará sendo realizada todo ano. 4.20: (31 a OBM ) Determine a quantidade de inteiros de dois algarismos que são divisíveis pelos seus algarismos. 4.21: (37 a OBM ) Qual é o menor inteiro a > 1 para o qual existe n inteiro positivo tal que a 2n 1 é múltiplo de 2015? 4.22: (ORM/SC N3) Mostre que se um número é múltiplo de 3, então a soma dos cubos de seus algarismos também é múltiplo de 3. Encontre um número de 3 algarismos que é igual à soma dos cubos de seus algarismos. 4.23: (27 a OBM ) Seja a um número inteiro positivo tal que a é múltiplo de 5, a + 1 é múltiplo de 7, a + 2 é múltiplo de 9 e a + 3 é múltiplo de 11. Determine o menor valor que a pode assumir. 4.24: (34 a OBM ) Arnaldo pensou em um número de quatro dígitos e desafiou Bernardo a descobrir qual era o número. Para tanto, passou as seguintes três dicas para Bernardo, sendo que exatamente uma das dicas é falsa: dica 1: O número é um cubo perfeito; dica 2: O número é o menor número de quatro dígitos que possui quatro divisores positivos; dica 3: O número é múltiplo de 59. Qual o número pensado por Arnaldo? 4.25: (27 a OBM ) Devido a um defeito de impressão, um livro de 600 páginas apresenta em branco todas as páginas cujos números são múltiplos de 3 ou de 4. Quantas páginas estão impressas? 95

105 Divisibilidade e números primos 4.26: (29 a OBM ) Quantos divisores positivos do número são menores que 2007? 4.27: (30 a OBM ) Numa reunião da comunidade do bairro, cada uma das 125 pessoas presentes recebeu um número diferente, a partir do número 1 até o 125. Em dado momento, foi feita uma lista das pessoas com número par e das pessoas com número múltiplo de 3, que deveriam participar de um projeto. Algumas pessoas reclamaram, dizendo que o seu nome aparecia duas vezes na lista. Quantas pessoas apareceram duas vezes na lista? 4.28: (25 a OBM ) Quantos números inteiros maiores do que e menores do que são múltiplos de 100? 4.2 Números primos Os números primos são estudados há, pelo menos, 2200 anos, pelos gregos. Tais números aparecem no trabalho do importante matemático Eratóstenes de Cirene, que descreveu e utilizou um algoritmo para a determinação de números primos, que hoje é chamado crivo de Eratóstenes. Eratóstenes de Cirene Eratóstenes de Cirene (Cyrene (agora Shahhat), 276 a.c. Alexandria, 194 a.c.) foi um matemático, astrônomo, geógrafo e poeta grego. Lembrado na matemática por seu crivo para determinação de números primos, assim como por sua medição surpreendentemente precisa da circunferência da Terra. Também criou calendários considerando anos bissextos, além de escrever um famoso poema, chamado Hermes. 96

106 4.2. Números primos Seu estudo pertence à teoria dos números, e o interesse nesses números foi renovado, nos dias de hoje, por conta da criptografia utilizada em transmissões de dados, seja para envio de conversas através de aplicativos de forma protegida, seja para o acesso a uma conta bancária. Além disso, são tema de problemas interessantes e curiosos pois, em muitos casos, tais problemas possuem enunciados extremamente simples e de fácil entendimento, porém com demonstrações tremendamente complicadas que permeiam diferentes subáreas da matemática. Um dos mais famosos problemas que envolvem tais números é a Hipótese de Riemann, sendo listada como um dos problemas do milênio. Outro importante matemático que contribuiu significativamente ao estudo dos números primos foi Pierre de Fermat, inclusive conjecturando fórmulas para encontrá-los. Uma de suas conjecturas dizia que 2 n + 1 era sempre um número primo, se n N fosse uma potência de 2. Pierre de Fermat Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 17 de agosto de 1601 Castres, 12 de janeiro de 1665) foi um matemático e advogado francês. É melhor lembrado por seu trabalho na teoria dos números, em particular pelo último teorema de Fermat. Ele escreveu, na margem da tradução de Bachet de Arithmetica de Diofanto: Descobri uma prova verdadeiramente notável mas essa margem é muito pequena para contê-la.. O último teorema de Fermat foi demonstrado em 1994 por Andrew Wiles. Além de Fermat, o grande matemático Leonhard Euler também tentou encontrar fórmulas para números primos. Foi Euler quem derrubou a conjectura de Fermat sobre os números da forma 2 n +1, demonstrando que não era um número primo, afinal, esse número é igual a

107 Divisibilidade e números primos Leonhard Euler Leonhard Euler (Basileia, 15 de abril de 1707 São Petersburgo, 18 de setembro de 1783) foi um matemático e físico suíço. Contribuiu para a geometria, o cálculo, a teoria dos números, a mecânica analítica e introduziu as funções beta e gama, e fatores de integração para equações diferenciais. Estudou a mecânica do contínuo, a teoria lunar com Clairaut, o problema de três corpos, a elasticidade, a acústica, a teoria das ondas da luz, a hidráulica e a música. Implementou a notação f(x) para uma função (1734), e para a base dos logaritmos naturais (1727), i para a raiz quadrada de -1 (1777), π para o número pi, para soma (1755), a notação para diferenças finitas y e 2 y e muitas outras. No início do século XX, muitos importantes avanços foram realizados sobre a distribuição de números primos, ou seja, quantos números primos existem até um dado número natural. Também há trabalhos que estimam a quantidade de números primos gêmeos (que diferem por 2). Muitos resultados nessa área se devem a Hardy e a Ramanujan. Godfrey Harold Hardy Godfrey Harold Hardy (Cranleigh, 7 de fevereiro de 1877 Cambridge, 1 de dezembro de 1947) foi um matemático inglês. Seus interesses abrangiam a análise diofantina, a soma de séries divergentes, a série de Fourier, a função Zeta de Riemann e a distribuição de primos. Foi Hardy quem descobriu a genialidade de Ramanujan em 1913, o trazendo para Cambridge. Eles escreveram cinco trabalhos notáveis. 98

108 4.2. Números primos Hardy e Ramanujan trabalharam juntos e, dentre outros desenvolvimentos, de sua cooperação surgiram os Números taxicab, também conhecidos por Números de Hardy Ramanujan. Srinivasa Aiyangar Ramanujan Srinivasa Aiyangar Ramanujan (Erode, 22 de dezembro de 1887 Kumbakonam, 26 de abril de 1920), foi um brilhante matemático indiano. Ele fez contribuições substanciais para a teoria analítica dos números e para as funções elípticas, frações contínuas e séries infinitas. Trabalhou com séries hipergeométricas, funções elípticas, números de Bernoulli, integrais elípticas e equações funcionais da função zeta. Talvez o seu trabalho mais famoso envolve o número p(n) de partições de um inteiro n. Z. Vejamos, então, o que são números primos, tanto em N quanto em Definição 4.3: Um número natural p é primo quando: a) p 0 e p 1. b) Os únicos divisores de p são 1 e p. Definição 4.4: Um número inteiro p é primo quando p é primo em N. Um número inteiro que não seja primo é chamado de número composto. Para descobrir se um dado número p é primo, temos de testar sua divisibilidade quanto aos números estritamente entre 1 e p. Mas perceba que pelo item c) da Proposição 4.1, é necessário apenas checar sua divisibilidade pelos números primos entre 1 e p. 99

109 Divisibilidade e números primos Esse processo, ou algoritmo, possui um nome especial: é o crivo de Eratóstenes. Além de determinar se um dado número é primo, esse crivo também nos fornecerá todos os números primos entre 1 e aquele número. Seu funcionamento é simples e vamos exemplificá-lo estudando o número 60. Passo 1: Escreva todos números a partir do 2 até o valor escolhido, o Passo 2: Risque todos números que são múltiplos do primeiro primo positivo, o Passo 3: Encontre o próximo número não riscado, que será primo: o 3. Risque todos números que são seus múltiplos Passo 4: Considere o próximo número não riscado, o 5, e risque seus múltiplos. 100

110 4.2. Números primos Passo 5: Tome o próximo número não riscado, o 7, e risque seus múltiplos (e repita esse processo sucessivamente) Ao final do algoritmo, os números que não estão riscados são todos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 e 59. Exemplo 4.4: Assim a) 2, 5 e 37 são primos em N. b) 8 e 33 são compostos em N. c) 2, 19 e 37 são primos em Z. d) 4 e 33 são compostos em Z. Note que os únicos números primos pares em Z são 2 e 2, afinal, todo outro número par possui o 2 como divisor. Apesar de ser extremamente eficaz, o crivo de Eratóstenes é um algoritmo de verificação muito exaustivo. Por esse motivo, veremos agora algumas propriedades que envolvem os números primos e facilitam a checagem quanto à primalidade de um número. 101

111 Divisibilidade e números primos Proposição 4.3: Se a Z com 1 < a, então a admite pelo menos um divisor primo. Demonstração: Defina S = {n N : 1 < n, n a}. Já que S é não vazio (pois contém a) e é um subconjunto de N segue, pelo Princípio da Boa Ordem (Teorema 2.1), que existe mínimo p em S, ou seja, 1 < p n, n S e p a. Por absurdo suponha que p não é primo. Portanto existem números naturais b, c maiores que 1 tais que p = bc. Então temos que b < p e b p que, pelo item c) da Proposição 4.1, implica b a. Disso concluímos que b S e é menor que p, o que é um absurdo. Logo p é primo e divide a. Proposição 4.4: Se a Z, com a > 1, é um número composto, então a é múltiplo de algum primo p tal que p 2 a. Demonstração: Seja a > 1 um inteiro composto. Pela Proposição 4.3, a admite pelo menos um divisor primo. Denote por p o menor primo positivo com tal propriedade e note que p < a. Assim, k Z tal que a = p k e k > 1. Novamente, pela Proposição 4.3, k é múltiplo de um primo positivo q. Como k a e q k, temos q a. Mas, como p é o menor primo que divide a, temos p q. Assim, pelo item b) da Proposição 3.8, p 2 p q a. Assim, para verificar se um dado número é primo, basta checar até o maior número primo cujo quadrado é menor que o número inicial (e perceba que isso aconteceu no crivo de Eratóstenes, onde a checagem dos divisores de 60 ficou completa no número primo 7). Vamos ilustrar esse método de verificação. Exemplo 4.5: Vamos analisar se 101 é primo, realizando as respecti- 102

112 4.2. Números primos vas divisões euclidianas. 101 = não é divisível por 2, 101 = não é divisível por 3, 101 = não é divisível por 5, 101 = não é divisível por 7. Essa análise já nos garante que 101 é um número primo i.e., não precisamos analisar o próximo primo, 11. A explicação é a seguinte: se 101 fosse divisível por 11 então, por ser composto e já que 11 2 = 121 > 101, haveria outro número primo positivo menor que 11 que seria divisor de 101 (pela Proposição 4.4). Mas, como já testamos todos esses e a divisibilidade falhou, o número 101 não pode ser divisível por 11 e nem por qualquer outro primo maior que 11. Logo, 101 é primo. Exemplo 4.6: Vamos descobrir se 389 é um número primo, novamente utilizando o Algoritmo da Divisão. 389 = não é divisível por 2, 389 = não é divisível por 3, 389 = não é divisível por 5, 389 = não é divisível por 7, 389 = não é divisível por 11, 389 = não é divisível por 13, 389 = não é divisível por 17, 389 = não é divisível por 19. O próximo número primo é 23, mas 23 2 = 529 > 389 e, portanto, não precisamos testar. Logo 389 é um número primo. A recíproca do item a) da Proposição 4.2 nem sempre é verdadeira, ou seja, um número pode dividir um produto sem dividir os fatores. Por exemplo, escrevendo 36 = 4 9, temos 6 (4 9) com 6 4 e 6 9. Porém, quando o número que divide o produto é um número primo, esta recíproca é sim verdadeira, como é demonstrado na próxima proposição. 103

113 Divisibilidade e números primos Proposição 4.5: (Lema de Euclides) Sejam a, b, p Z com p primo. Se p divide ab então p divide a ou p divide b. Demonstração: Vamos demonstrar, por absurdo, apenas o caso em que a, b, p N, afinal, para generalizá-lo, basta considerar os seus respectivos valores absolutos. Suponha que a proposição é falsa, ou seja, que existam números primos que dividam o produto de dois números mas que não dividam nenhuma das duas parcelas. Denote por p o menor primo com essa propriedade, ou seja, p ab mas p a e p b. Além disso, seja a também o menor possível associado a esse p com essa propriedade. Primeiramente, note que existe c natural tal que pc = ab. Além disso a < p pois, caso contrário, como p(c b) = (a p)b teríamos a p < a que contradiria a minimalidade de a (já que p b e p a p, visto que este último implicaria que p a). Como a > 1, a Proposição 4.3 garante que há um número primo q tal que q a. Dessa forma, q a < p e q ab e, então, q pc. Como p é o menor primo que divide um produto mas não divide ambos fatores, temos que q deve dividir um dos fatores. Como q p (pois p é primo), temos que q c. Sejam r, s N tais que a = qr e c = qs (e note que r < a). Como a < p temos que r < p e, portanto, p r. Daí, como pc = ab pqs = qrb ps = rb segue que p rb com p r, p b e r < a, o que é um absurdo quanto à minimalidade de a. Dessa forma, não pode existir número natural primo que divida um produto mas não divida pelo menos uma das parcelas. Exemplo 4.7: O número 7 divide o número 70, que pode ser escrito como De fato, conforme a proposição anterior antecipa, 7 divide também o número 14. Os dois próximos teoremas versam sobre a quantidade e a frequência 104

114 4.2. Números primos de números primos. Teorema 4.1: (Teorema de Euclides) O conjunto dos números primos tem infinitos elementos. Demonstração: Suponha por absurdo que o conjunto dos números primos seja finito, ou seja, todos os primos conhecidos estão no conjunto P = {p 1, p 2... p n } com n um número natural não nulo. Note que q = (p 1 p 2... p n )+1 não é divisível por nenhum desses p i pois, se fosse, concluiríamos erroneamente que 1 seria divisível pelo mesmo número primo. Logo q é primo. Além disso, q não está em P, pois é maior que todos os elementos de P. Assim temos um absurdo. Portanto há infinitos números primos tanto em N, quanto em Z. Teorema 4.2: (Deserto de primos) Para qualquer número inteiro n existem n inteiros consecutivos compostos. Demonstração: Esta demonstração se baseia na construção de uma sequência de n números consecutivos compostos. Seja n Z. Considere a sequência (a 1, a 2, a 3,..., a n ) de inteiros dados por: a i = (n + 1)! + (i + 1), onde 1 i n. Note que, como 1 i n, então 2 i + 1 n + 1. Ademais, (n + 1)! é o produto de todos números inteiros entre 2 e n + 1, em particular i + 1 é um destes inteiros. Portanto, (i + 1) divide a i para todo 1 i n. Como (i + 1) a i, segue que cada a i é um número composto. A interpretação desse resultado é: podemos encontrar uma sequência arbitrariamente grande de inteiros consecutivos sem que nenhum destes seja primo, ou seja, existem saltos entre primos tão grandes quanto se queira. O conjunto desses números é chamado deserto de primos. 105

115 Divisibilidade e números primos Exemplo 4.8: Os mil números consecutivos 1001! + 2, 1001! + 3,. 1001! não são primos. Como mencionamos no início dessa seção, muitos matemáticos já tentaram deduzir fórmulas que descrevam números primos. No próximo exemplo, apresentamos um método simples de análise de tais fórmulas. Exemplo 4.9: Vamos provar que, dado um número natural primo p, o número p nunca é primo. Note que os números primos p maiores que 3 são sempre da forma 3k + 1 ou 3k + 2, onde k N, caso contrário p seria múltiplo de 3 e não seria primo. Assim: e (3k + 1) = 9k 2 + 6k = 9k 2 + 6k + 6 = 3(3k 2 + 2k + 2) (3k + 2) = 9k k = 9k k + 9 = 3(3k 2 + 4k + 3) são divisíveis por 3. Logo não são primos. Exercícios da Seção : Pesquise sobre: a) Número de Erdös. b) Teorema do número primo. c) Número de Fermat. 106

116 4.2. Números primos d) Número taxicab. e) Presas, predadores e números primos. f) Problemas do milênio. 4.30: Utilize o crivo de Eratóstenes para determinar todos os primos entre 0 e : Deduza, se possível, um teste de divisibilidade que valha para qualquer número primo p > : Pode um número de três dígitos, sendo o algarismo das unidades maior que o algarismo das dezenas em 1 unidade e o algarismo das dezenas maior que o algarismo das centenas em 1 unidade, ser primo? 4.33: Dados dois primos distintos p e q, quantos divisores em N têm os números pq, p 2 q e p 4 q 4? 4.34: Encontre p sabendo que p, p + 10 e p + 14 são números primos. 4.35: Encontre números x e y que satisfazem x 2 y 2 = : Sabendo que 2 + a e 35 b são divisíveis por 11, prove que a + b também é. 4.37: Dado número inteiro a, explique porque a 2 é sempre da forma 4k ou 4k + 1, para k inteiro. 4.38: Dado um número inteiro a, explique porque a 3 é sempre da forma 9k, 9k + 1 ou 9k + 8, para k inteiro. 4.39: Dado primo p maior que 2, explique porque 37p + 5 nunca é primo. 4.40: Prove que, para todo inteiro positivo a, o número a não é primo. 4.41: Encontre o maior primo que divide (1) 3 + (10) 3 + (100) ( )

117 Divisibilidade e números primos 4.42: (34 a OBM ) Os dois menores números primos da forma n são = 41 e = 149. Qual é o terceiro menor primo dessa forma? 4.43: (31 a OBM ) A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo número inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos. Por exemplo, 18 pode ser representado por 5+13 ou, ainda, por Considerando todas as possíveis representações de 126, qual a maior diferença entre os dois primos que a formam? 4.44: (ORM/SC N2) Mostre que 2016 não pode ser escrito como a soma dos quadrados de dois números primos. 4.45: (ORM/SC N2) Encontre quatro números primos distintos a, b, c e d, com a < b < c < d, tais que: ab + bc + cd = 208 abc + bcd = : (32 a OBM ) Determine todos os números primos m e n tais que 0 < m < n e os três números também sejam primos. 2m + n, m + 2n e m + n Teorema Fundamental da Aritmética Este teorema aparece de forma segmentada nos livros IX e XII da obra Os Elementos [14] de Euclides. Uma versão completa, tanto do enunciado quanto da demonstração, são devidas a Gauss, em Possui vários usos em teoria dos números, principalmente no estudo das funções aritméticas. Uma boa analogia para este teorema é: se toda matéria é formada a partir de átomos, então todo número inteiro é constituído de números primos. 108

118 4.3. Teorema Fundamental da Aritmética Iniciamos nosso estudo sobre o teorema fundamental da aritmética enunciando e demonstrando duas versões desse teorema. Teorema 4.3: (Teorema fundamental da aritmética em N - versão 1) Todo natural 1 < a pode ser representado de maneira única (a menos da ordem) como um produto de fatores primos. Demonstração: Iniciemos a demonstração com a prova da existência de tal fatoração em números primos. Por absurdo, considere que S, o conjunto de todos os números naturais maiores que 1 que não podem ser representados por um produto de fatores primos, seja não vazio. Note que, S N. Portanto, pelo Princípio da Boa Ordem (Teorema 2.1), S tem um menor elemento, digamos b. Note que b > 2, pois 2 é primo e, portanto, admite tal fatoração. Assim, c, d N tais que b = cd. Como c < b e d < c, temos que c, d / S, logo admitem fatoração em primos. Concluímos, então, que b = cd tem fatoração em primos, contradizendo o fato de b ser um elemento de S. Absurdo e, portanto, S =. Agora, passemos a demonstração de unicidade. Vamos denotar por p 1 p 2...p k q 1 q 2...q n duas fatorações de a. Assim p 1 (q 1 q 2...q n ) e, portanto, pela Proposição 4.5 existe um índice l entre 1 e n tal que p 1 q l. Logo, pela definição de números primos, p 1 = q l. Por extensão, para todo 1 j k, existe 1 i n tal que p j q i e, portanto, p j = q i. Devemos, agora, demonstrar que k = n. Para isso, assuma k < n. Sem perda de generalidade, podemos assumir que, p 1 = q 1, p 2 = q 2,..., p k = q k. Neste caso teríamos, q 1 q 2...q k q k+1...q n = p 1 p 2...p k = q 1 q 2...q k, isto, pela propriedade do cancelamento da multiplicação (M 4), implica que q k+1...q n = 1, o que é um absurdo, pois q k+1,..., q n são primos e, consequentemente, maiores que 1. De forma análoga, se assumirmos k > n encontraremos um absurdo. Portanto, k = n e os conjuntos dos p i s e dos q j s têm exatamente os mesmos elementos. 109

119 Divisibilidade e números primos Teorema 4.4: (Teorema fundamental da aritmética em N - versão 2) Para todo natural 1 < a existem números primos p 1 < p 2 <... < p r com r N e α 1, α 2..., α r N tais que de forma única. a = p α1 1 pα pαr r Demonstração: Vamos provar primeiramente a existência de tal decomposição e depois a unicidade. Seja a um número natural qualquer. Se a é primo, o resultado vale. Suponha que não seja e, pela Proposição 4.3, existe primo p 1 que divide a, ou seja, a = p 1 b. Se b é primo, a existência é válida. Se b não é primo, repita o processo para obter a = p 1 p 2 c. Analisando c e repetindo o processo quantas vezes forem necessárias, obtemos a como um produto de números primos a = p 1 p 2... p t com t N. Como alguns desses primos podem ser repetidos, podemos escrever a = p α1 1 pα pαr r com r N, r t, α 1, α 2,..., α r N e p 1 < p 2 <... < p r. Para provar a unicidade dessa decomposição, suponha que a = p α1 1 pα pαr r = q β1 1 qβ qβs s com números primos p 1 < p 2 <... < p r e q 1 < q 2 <... < q s, além de r, s N, α 1, α 2..., α r N e β 1, β 2..., β s N. Vamos supôr, sem perda de generalidade, que r s. Utilizando a Proposição 4.5 podemos concluir que p 1 divide um dos primos q j, que implica que eles são iguais. Sem perda de generalidade, suponha que p 1 = q 1. Daí, pela propriedade do cancelamento do produto (M 4) p α pαr r = q β qβs s. Note que α 1 = β 1 pois, se fossem diferentes, algum outro primo q j com j 1 teria de ser igual a p 1, que implicaria no absurdo q 1 < q j = p 1 = q

120 4.3. Teorema Fundamental da Aritmética Repetindo o processo mais r 1 vezes, segue que p i = q i para todos 0 < i r. Se r = s a unicidade está resolvida. Suponha que não. Então 1 = q βr+1 r+1... qβs s, que obviamente implica num absurdo. Esses teoremas nos garantem que, dado um número natural, podemos fatorá-lo de forma única como um produto de números primos. Essa fatoração pode ser realizada de uma forma compacta vertical. Basicamente, se traça um segmento vertical ao lado do número e se lista do lado direito os fatores primos pelos quais podemos realizar divisões sem deixar resto. No lado esquerdo, listamos os quocientes. Exemplo 4.10: Temos e, portanto, 540 = Exemplo 4.11: Note que logo 342 =

121 Divisibilidade e números primos O Teorema Fundamental da Aritmética também pode ser utilizado para calcular a quantidade de divisores positivos de um número natural dado. Proposição 4.6: O número de divisores positivos de um número natural fatorado a = p α1 1 pα pαr r com os p i s distintos entre si, é (α 1 + 1) (α 2 + 1)... (α r + 1). Demonstração: Todos os divisores de a serão da forma p a1 1 pa par r, com a 1 = 0, 1, 2,..., α 1, a 2 = 0, 1, 2,..., α 2,.. a r = 0, 1, 2,..., α r. Portanto, há α possibilidades de escolher a 1 ; α possibilidades de escolher a 2 ;...; α r +1 possibilidades de escolher a r. Logo, o número total de possibilidades de escolhermos, simultaneamente, um valor para a 1, a 2,..., a r é (α 1 + 1) (α 2 + 1)... (α r + 1). Exemplo 4.12: Vimos no Exemplo 4.11 que 342 = Assim, 342 possui (1 + 1) (2 + 1) (1 + 1) = = 12 divisores positivos. É fácil listar os divisores positivos de um dado número, pois basta permutar os fatores primos de sua fatoração. No caso do 342, temos os seguintes divisores: 1, 2, 3, 19, 2 3, 2 19, 3 19, , 3 2, 2 3 2, e

122 4.3. Teorema Fundamental da Aritmética Exemplo 4.13: Vamos descobrir qual o menor natural a que possui exatamente 8 divisores. Precisamos que a conta apresentada na Proposição 4.6 resulte em 8. Mas note que 8 pode ser escrito apenas de duas formas utilizando naturais maiores que 1: 8 = ou 8 = 4 2. Portanto, como procuramos o menor número com aquela propriedade, utilizamos os menores números primos em N para obter ou ou ainda a = = 30 a = = 24 a = = 54. Como queremos o menor dentre eles, a resposta é 24. Vejamos, agora, a versão do Teorema Fundamental da Aritmética para números inteiros. Teorema 4.5: (Teorema Fundamental da Aritmética em Z) Para todo inteiro a com 1 < a existem números primos positivos p 1 < p 2 <... < p r com r N e α 1, α 2..., α r naturais tais que a = E p α1 1 pα pαr r de forma única a menos da ordem dos fatores primos, onde E = 1 se 0 < a e E = 1 se a < 0. Demonstração: A demonstração é análoga ao caso dos naturais, no Teorema

123 Divisibilidade e números primos Ou seja, fatoramos o valor absoluto do número em questão e, em caso dele ser negativo, multiplicamos a fatoração por 1. Exemplo 4.14: Note que 240 = ( 1) Assim como em N, o teorema anterior também nos fornece uma maneira de contar quantos divisores, positivos ou negativos, um dado número inteiro possui. Proposição 4.7: O número de divisores de um dado número inteiro fatorado a = E p α1 1 pα pαr r com os p i s distintos entre si, é 2(α 1 + 1) (α 2 + 1)... (α r + 1). Demonstração: Segue imediatamente da Proposição 4.6, sabendo que teremos a mesma quantidade de divisores positivos e negativos. Exemplo 4.15: O número 240 = ( 1) possui Eles são: 2 (4 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = = 40 divisores. 1, 2, 3, 5, 2 3, 2 5, 3 5, 2 3 5, 2 2, 2 2 3, 2 2 5, , 2 3, 2 3 3, 2 3 5, , 2 4, 2 4 3, 2 4 5, e todos seus opostos. Na Seção 3.5 aprendemos a escrever números naturais em qualquer base. Nela, podemos notar a importância das potências, ou seja, números na forma a b, com a, b N. A partir da fatoração de um dado número, podemos facilmente descobrir se ele é uma potência. Exemplo 4.16: Vamos fatorar o número 576. Note que 576 = 24 2 e já que 24 = 2 3 3, segue que 576 = (24) 2 = (2 3 3) 2 =

124 4.3. Teorema Fundamental da Aritmética Ou seja, para um número ser um quadrado ele tem, nos expoentes dos números primos da sua fatoração, múltiplos de 2. De forma análoga, um número é um cubo se, e somente se, os expoentes dos primos em sua fatoração são múltiplos de 3, e assim por diante. Exemplo 4.17: Vamos obter o menor inteiro positivo não nulo b tal que 6615 b é um quadrado. Já que 6615 = e precisamos que todas potências dos fatores primos sejam números pares, devemos escolher b de tal forma que, em sua fatoração, tenha potências ímpares em 3 e de 5. Assim, podemos tomar b = 3 5 = 15. Daí 6615 b = = = ( ) 2 = Por fim, resolvemos mais dois exemplos utilizando a fatoração, que acabamos de apresentar. Exemplo 4.18: Se quisermos um número que tenha exatamente 5 números primos em sua fatoração, basta multiplicar quaisquer 5 números primos com quaisquer potências maiores que 0. Assim, para descobrir o menor natural que possui cinco fatores primos distintos em sua fatoração, basta multiplicar os cinco menores números primos: = Exemplo 4.19: O produto de três números consecutivos é sempre divisível por 6. A explicação é a seguinte: certamente há um número par nesse produto (podem haver até dois). Além disso, visto que os números deixam resto 0, 1 ou 2 na divisão por 3, ao tomarmos três números consecutivos, certamente um deles deixa resto 0 e, portanto, é divisível por 3. Dessa forma, em sua fatoração, o produto de três números consecutivos terá, pelo menos, um fator 2 3 ou seja, será divisível por 2 3 = 6. Há importantes resultados, por exemplo devidos a Paul Erdös, que versam sobre a quantidade de fatores primos necessários para a construção de um dado número. 115

125 Divisibilidade e números primos Paul Erdös Paul Erdős (Budapeste, 26 de março de 1913 Varsóvia, 20 de setembro de 1996) foi um matemático húngaro. Suas contribuições foram numerosas e amplas, em combinatória, teoria dos grafos e teoria dos números. Com Selberg, demonstrou o teorema do número primo. Erdős recebeu o Cole Prize da American Mathematical Society em 1951 por seus muitos trabalhos sobre a teoria dos números. Uma das aplicações mais importantes da fatoração é o cálculo do mdc, que veremos na próxima seção. Exercícios da Seção : Determine o menor número inteiro positivo pelo qual devemos multiplicar 6776, de modo que o produto seja um cubo. 4.48: Determine o menor número inteiro positivo pelo qual devemos multiplicar 404, de modo que o produto seja a quinta potência de algum número. 4.49: Se o resto da divisão de um número primo por 3 é 1, mostre que na divisão deste número por 6, o resto também é : Encontre um único número que seja um cubo (terceira potência de outro número), admita 16 divisores positivos e na sua divisão euclidiana por 43 o quociente seja um número primo e o resto seja : Determine r e s para que n = r 7 s tenha exatamente 84 divisores positivos. 4.52: Determine r, s e t para que n = 3 r 5 s 7 t tenha exatamente 105 divisores positivos. 116

126 4.3. Teorema Fundamental da Aritmética 4.53: Teste a primalidade dos seguintes números: a) 523. c) 233. e) 243. g) 777. i) 445. k) b) 137. d) 301. f) 517. h) 337. j) 67. l) : Fatore: a) 679. c) e) 949. g) i) k) b) 856. d) 999. f) h) j) l) : Descubra quantos divisores positivos possuem os seguintes números. a) 423. c) e) 423. g) 112. i) 22. b) 85. d) 99. f) 144. h) j)

127 Divisibilidade e números primos 4.56: Encontre o número natural que possui exatamente 8 divisores positivos, dentre eles 35 e : Encontre os números naturais menores que 1000 que possuem 20 divisores. 4.58: Encontre os números naturais menores que 1000 que possuem mais de 20 divisores. 4.59: Quantos números de dois algarismos possuem uma quantidade par de divisores positivos? E uma quantidade ímpar de divisores positivos? 4.60: (ORM/SC N1) Qual é o expoente de 67 na fatoração em primos do produto dos números inteiros de 1 a 2010? : (33 a OBM ) Dizemos que dois ou mais números são irmãos quando têm exatamente os mesmos fatores primos. Por exemplo, os números 10 = 2 5 e 20 = são irmãos, pois têm 2 e 5 como seus únicos fatores primos. O número 60 tem quantos irmãos menores do que 1000? 4.4 Máximo divisor comum Dados dois números a, b Z estudaremos, nesta seção, o máximo divisor comum entre eles, que é denotado por mdc(a, b). Basicamente, se quer encontrar o maior número que divide esses números simultaneamente. Sua compreensão é importante para construção de frações irredutíveis e também há aplicações na música, em especial no estudo do fundamental ausente. 118

128 4.4. Máximo divisor comum Exemplo 4.20: Considere os números 24 e 52: divisores de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. divisores de 52 : 1, 2, 4, 13, 26, 52, 1, 2, 4, 13, 26, 52. O maior número que aparece nas duas listagens é 4. Portanto o maior divisor comum entre 24 e 52 é 4. Exemplo 4.21: a) Temos mdc(6, 4) = 2 pois b) Também mdc(16, 35) = 1 já que divisores de 4 : 1, 2, 4 divisores de 6 : 1, 2, 3, 6. divisores de 16 : 1, 2, 4, 8, 16 divisores de 35 : 1, 5, 7, 35. Embora o cálculo do mdc seja simples, precisamos de uma definição formal para um estudo mais profundo de suas propriedades. É o que fazemos na definição a seguir. Definição 4.5: Sejam a, b Z não simultaneamente nulos. Então o número 0 < d é o mdc entre a e b, denotado mdc(a, b), quando a) d é divisor de a e de b. b) Se c divide a e b então c divide d. Assim, para a, b Z, temos mdc(a, b) = mdc(b, a) = mdc( a, b ). Observação 4.3: Utilizando os itens dessa definição para a = b = 0, poderia se concluir que mdc(0, 0) = 0. Porém, este resultado é contraintuitivo, pois sempre imaginamos que o mdc entre dois números é o maior divisor de ambos e, todo número natural, é divisor de 0. Exemplo 4.22: Segue que mdc( 16, 35) = mdc(16, 35) = 1. Uma forma de calcularmos o mdc é através da fatoração dos números em questão. Para isso, basta fatorá-los e o mdc será o produto dos fatores comuns. 119

129 Divisibilidade e números primos Exemplo 4.23: Calcule mdc(1500, 525) Portanto mdc(1500, 525) = = 75. Em algumas situações, o cálculo do mdc é trivial. Vejamos duas proposições nesse sentido. Proposição 4.8: Se a, b Z com b a, então mdc(a, b) = b. Demonstração: O maior divisor simultâneo de a e de b é menor ou igual ao módulo de ambos. Como b divide tanto b quanto a, ele é o mdc. Exemplo 4.24: Já que 7 21, vale mdc( 7, 21) = mdc(7, 21) = 7. Proposição 4.9: Se a Z temos mdc(a, 0) = a. Demonstração: Todos números dividem o 0, portanto basta calcular o maior que divide a, ou seja, a. Exemplo 4.25: Temos que mdc(0, 5) = 5. Uma outra forma de se calcular o mdc é através do Algoritmo da Divisão. Apresentamos, a seguir, os dois resultados que embasam esse método para, a seguir, apresentar exemplos que facilitam seu entendimento. 120

130 4.4. Máximo divisor comum Teorema 4.6: (Algoritmo da Divisão para o cálculo do mdc) Considere a, b, q, r N com b 0, 0 r < b e a = bq + r. Então mdc(a, b) = mdc(b, r). Demonstração: Sejam d 1 = mdc(a, b) e d 2 = mdc(b, r). Assim, como d 1 = mdc(a, b), temos d 1 a e d 1 b e, portanto, existem k, m N tais que a = kd 1 e b = md 1. Por outro lado, a = bq + r r = a bq = kd 1 md 1 q = d 1 (k mq) d 1 r. Logo, d 1 é um divisor comum de b e r, mas d 2 = mdc(b, r), assim d 1 d 2. Utilizando argumento análogo, mas partindo de d 2, concluímos que d 2 d 1. Consequentemente, pelo item b) da Proposição 4.1, temos d 1 = d 2, ou seja, mdc(a, b) = mdc(b, r). Importante ressaltar que os restos sempre diminuem, portanto em algum momento este será igual a zero e o processo é finito. Na demonstração do próximo teorema, utilizamos o conceito de divisões sucessivas: basicamente se realiza uma divisão euclidiana e, a partir disso, se faz novas divisões sempre transformando o divisor em dividendo e o resto em divisor. Teorema 4.7: Sejam a, b N. Então, o último resto diferente de zero da sequência de divisões pelo Algoritmo da Divisão para a e b é o máximo divisor comum entre a e b. Demonstração: Considere as seguintes divisões sucessivas: a = bq 1 + r 1 e 0 r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2 e 0 r 2 < r 1, r 1 = r 2 q 3 + r 3 e 0 r 3 < r 2,..... r n 3 = r n 2 q n 1 + r n 1 e 0 r n 1 < r n 2, r n 2 = r n 1 q n e r n =

131 Divisibilidade e números primos Da última linha r n 1 r n 2 e, portanto, mdc(r n 1, r n 2 ) = r n 1 pela Proposição 4.8. Aplicando o Teorema 4.6, concluimos que r n 1 = mdc(r n 1, r n 2 ) = mdc(r n 2, r n 3 ). Aplicando sucessivamente, r n 1 = mdc(a, b). Vejamos como utilizar esses resultados para calcular mdc(128, 82). Exemplo 4.26: Sabemos que mdc(128, 82) = mdc(128, 82). Aplicando sucessivas divisões euclidianas, assim que o resto ser zero, o mdc será o divisor. 128 = = = = = = = Como o resto é zero, concluímos que mdc(128, 82) = mdc(128, 82) = mdc(82, 46) =... = mdc(4, 2) = 2. Exemplo 4.27: Para calcular mdc(53, 48), vejamos as divisões. 53 = = = = = Logo mdc(53, 48) =... = mdc(2, 1) =

132 4.4. Máximo divisor comum Até agora vimos métodos para o cálculo do máximo divisor comum entre dois números. Para calcular o máximo divisor comum entre três ou mais números, basta calcular sucessivamente o mdc dois a dois. Na próxima proposição demostramos tal fato. Proposição 4.10: Sejam a, b, c N. Então mdc (mdc(a, b), c) = mdc(a, b, c) = mdc (a, mdc(b, c)). Demonstração: Considere a, b, c N. Iremos demonstrar a primeira igualdade, a segunda é demonstrada por argumentos análogos. Para isso, sejam d 1 = mdc(a, b, c), d 2 = mdc(a, b) e d 3 = mdc (d 2, c). Queremos mostrar d 1 = d 3. Como d 1 = mdc(a, b, c), então d 1 a, d 1 b e d 1 c. Assim, d 1 é um divisor comum de a e b, logo, pela definição de mdc, d 1 d 2. Ou seja, d 1 é divisor comum de d 2 e c, portanto, d 1 d 3. Por outro lado, como d 3 = mdc (d 2, c), então d 3 d 2 e d 3 c. Também, como d 2 = mdc(a, b), concluímos que, d 2 a e d 2 b. Assim, pelo item c) da Proposição 4.1, d 3 a e d 3 b. Então, d 3 é divisor comum de a, b e c, implicando que d 3 d 1. Logo, d 1 = d 3. Exemplo 4.28: Calcule mdc(96, 42, 58). Como 96 = , 42 = , 12 = , pelo Teorema 4.7, mdc(96, 42) = 6. Agora, calculemos mdc(6, 58): 58 = , 6 = , 4 = Logo mdc(42, 96, 58) = mdc(6, 58) =

133 Divisibilidade e números primos A seguir, seguem algumas propriedades do mdc. Proposição 4.11: Sejam a, p Z com p primo. Assim p a mdc(a, p) = 1. Demonstração: ( ) Note que os únicos divisores positivos de p são 1 e p, e como p não divide a, só é possível mdc(a, p) = 1. ( ) Novamente utilizamos o fato dos únicos divisores positivos de p serem 1 e p. Se o mdc entre a e p é 1 e p > 1, só é possível que p não seja divisor de a. Exemplo 4.29: O número primo 13 não divide o número 100, logo, pela proposição anterior, mdc(13, 100) = 1. Na Seção 4.6 definiremos e estudaremos as equações diofantinas, que aparecem na resolução de problemas matemáticos práticos. O ingrediente inicial para seu entendimento é a Identidade de Bézout, que apresentamos no próximo teorema. Teorema 4.8: (Identidade de Bézout) Sejam a, b Z, não simultaneamente nulos com d = mdc(a, b). Então a equação ax + by = d com x e y variáveis, possui solução em Z. Demonstração: Sejam a, b Z, não simultaneamente nulos. Considere S o conjunto de todas as combinações inteiras positivas de a e b, ou seja: S = {c N c = am + bn, com m, n Z}. Note que S. Com efeito, a > 0 a = a 1 + b 0 a < 0 a = a ( 1) + b 0 b > 0 b = a 0 + b 1 b < 0 b = a 0 + b ( 1) 124

134 4.4. Máximo divisor comum Como a 0 ou b 0, temos a S ou b S, ou seja, S. Logo S N e, pelo Princípio da Boa Ordem (Teorema 2.1), S tem um menor elemento, digamos f. Assim, f = au + bv, para alguns u, v Z. Tome c S. Pelo Algoritmo da Divisão, c = fq + r, 0 r < f. Suponha f z. Então c fq e 0 < r. Mas como c S, m, n Z tais que c = am + bn. Portanto, r = z fq = (am + bn) (au + bv)q = a(m qu) + b(n qv)b. Logo, r S. Porém r < f, que contradiz o fato de f ser o menor elemento de S. Logo, c S temos que f c. Em particular f a e f b, portanto f a e f b. Concluímos, então, que f mdc(a, b). Mas, como mdc(a, b) divide ambos a e b, temos, pelos itens a) e b) da Proposição 4.2, que mdc(a, b) (au + bv), ou seja, mdc(a, b) f. Assim, f = mdc(a, b). Étienne Bézout Étienne Bézout (Nemours, 31 de março de 1730 Basses-Loges, 27 de setembro de 1783) foi um matemático francês. Conhecido pelas obras Cours de mathématiques à l usage des Gardes du Pavillon et de la Marine e Cours complet de mathématiques à l usage de la marine et de l artillerie, publicou muitos artigos em 1779 sobre equações, que foram compilados em Théorie générale des équations algébraiques, que inclui o teorema que acabamos de ver. 125

135 Divisibilidade e números primos Vejamos, na sequência, algumas proposições que são consequências diretas dessa identidade, além de exemplificá-las. Proposição 4.12: Sejam a, b, c Z e d = mdc(a, b). Se b ac então b dc. Demonstração: Como d = mdc(a, b), então, pelo Teorema 4.8 (Identidade de Bézout), existem m, n Z tais que am + bn = d. Como b ac, então existe s Z tal que ac = bs. Multiplicando am + bn = d por c, obtemos acm + bcn = dc, ou seja, bsm + bcn = dc. Portanto, b(sm + cn) = dc que implica b dc. Exemplo 4.30: No Exemplo 4.24, vimos que mdc(7, 21) = 7 e, no item b) Exemplo 4.1, que Como 42 = 21 2 segue que 7 (7 2), ou seja, Proposição 4.13: Sejam a, b, c Z. Se d = mdc(a, b) então d c = mdc(ac, bc). Demonstração: Pelo Teorema 4.8, existem x, y Z tais que ax + by = d. Multiplicando essa equação por c, concluímos que a c x + b c y = d c. Por outro lado, utilizando os itens a) e b) da Proposição 4.2: mdc (a c, b c ) (a c ) ou seja, mdc (a c, b c ) (b c ) mdc (a c, b c ) mdc (a c, b c ) (d c ). Pela definição de mdc, podemos re-escrevê-la como mdc (ac, bc) (d c ). 126 (a c x + b c y),

136 4.4. Máximo divisor comum Agora, d a e d b implicam, pelo item a) da Proposição 4.2, que (d c ) (a c ) e (d c ) (b c ). Disso, temos que (d c ) mdc(ac, bc). Assim, d c = mdc(ac, bc). Exemplo 4.31: De mdc(7, 21) = 7 segue que mdc(35, 105) = mdc(7 5, 21 5) = 7 5 = 35. Proposição 4.14: Sejam a, b Z e d = mdc(a, b) com a = dp e b = dq onde p, q Z. Então mdc(p, q) = 1. Demonstração: Caso 1 < n = mdc(p, q), pela Proposição 4.13 teríamos dn = mdc(dp, dq) = mdc(a, b), que seria uma contradição à hipótese d = mdc(a, b). Exemplo 4.32: Como mdc( 42, 96) = 6 e, já que 42 = 6 ( 7) e 96 = 6 16, segue que mdc( 7, 16) = 1. Proposição 4.15: Sejam a, b, c Z. a) b ac e mdc(a, b) = 1 b c. b) a c, b c e mdc(a, b) = 1 ab c Demonstração: a) Visto que mdc(a, b) = 1, temos, pelo Teorema 4.8, que existem x, y Z tais que ax + by = 1. Multiplicando ambos os lados da igualdade 127

137 Divisibilidade e números primos por c, obtemos acx+bcy = c. Por outro lado, b ac implica que existe n Z tal que ac = bn. Substituindo na igualdade anterior, obtemos bnx + bcy = c b(nx + cy) = c b c. b) Como mdc(a, b) = 1, temos, pelo Teorema 4.8, que x, y Z tais que ax + by = 1. Multiplicando ambos os lados por c, obtemos acx+bcy = c. Ademais, a c e b c implicam que existem m, n Z tais que c = am e c = bn. Substituindo na segunda equação, obtemos abnx + bamy = c ab(nx + my) = c ab c. Exemplo 4.33: a) Já que 10 90, 90 = 3 30 e mdc(10, 3) = 1 então b) Note que 5 60, 3 60 e mdc(5, 3) = 1. Portanto, já que 3 5 = 15, segue que Agora que já conhecemos muitas propriedades sobre o cálculo do mdc entre números inteiros, vejamos como utilizá-los para resolver exemplos matemáticos mais elaborados. Exemplo 4.34: Vamos encontrar todos pares de números naturais cujo produto é 4800 e mdc é 20. Denote os números procurados por a e b. Então ab = 4800, mdc(a, b) = 20. De a = 20p e b = 20q concluímos que mdc(p, q) = 1 pela Proposição 4.14 e, assim: 20p 20q = 4800 pq = 12. Assim procuramos p e q tais que pq = 12 e mdc(p, q) = 1. As possibilidades são (p, q) {(1, 12), (3, 4)} (note que não precisamos considerar os pares (12, 1) e (4, 3), pois obteríamos o mesmo resultado duas vezes). Logo, os pares (a, b) procurados são (20, 240) e (60, 80). 128

138 4.4. Máximo divisor comum Exemplo 4.35: O mdc entre dois números naturais a e 2a + 1 (com a N) é sempre 1. Se a = 1 o resultado é óbvio. Suponha então que 1 < a e note que, fazendo sucessivas divisões, obtemos o seguinte. 2a + 1 = a 2 + 1, a = 1 a + 0. Logo mdc(2a + 1, a) = 1, pelo Teorema 4.7. Exemplo 4.36: Dividindo dois números naturais pelo seu mdc, a soma dos quocientes obtidos é 8. Vamos encontrá-los, sabendo que sua soma é 384. Sejam a e b os números procurados e denote d = mdc(a, b). Assim a = dp e b = dq com mdc(p, q) = 1 e p+q = 8. As únicas possibilidades para (p, q) são (1, 7) e (3, 5). Note também que dp + dq = 384 mas já que p + q = 8 temos d = 48. Portanto (a, b) {(48, 336), (144, 240)}. Exemplo 4.37: Sejam a = , b = e d = 2 r 3 s 5 t. Vamos determinar r, s, t para que mdc(a, b) = d. Já que mdc(a, b) = precisamos de r = 5, s = 0 e t = 2. Exercícios da Seção : Quais são as possibilidades para o mdc entre n e 2n + 4? 4.63: Quais números menores que 30 são relativamente primos com 30? 4.64: Prove que e são relativamente primos. 4.65: Prove que dois números consecutivos são sempre relativamente primos. 129

139 Divisibilidade e números primos 4.66: Mostre que, se o resto da divisão de um inteiro n por 12 é 7, então mdc(12, n 2 ) = : Calcule: a) mdc(234, 2321). c) mdc(232, 4, 132). e) mdc(5465, 321). g) mdc(530, 985). i) mdc(734, 230, 328). b) mdc(7664, 76452, 34). d) mdc(2634, 23219, 903). f) mdc(8454, 3241, 940). h) mdc(952, 2342, 9842). j) mdc(90595, ). 4.68: Confira se os seguintes pares de números são relativamente primos. a) 234 e 232. c) 14 e 777. e) 69 e 134. g) 67 e 22. i) 948 e 949. b) 2394 e d) 753 e 643. f) 363 e 636. h) 55 e j) 449 e : (32 a OBM ) Quanto vale o máximo divisor comum de todos os números que são o produto de cinco ímpares positivos consecutivos? 4.5 Mínimo múltiplo comum Assim como estudamos o maior divisor entre dois ou mais números, queremos definir algum conceito que envolva os múltiplos. Porém não é possível calcular o maior múltiplo comum entre dois números. Portanto, 130

140 4.5. Mínimo múltiplo comum o que fazemos é definir, para a, b Z, o mínimo múltiplo comum, que denotaremos por mmc(a, b). O mmc é o menor número positivo não nulo que é múltiplo de dois ou mais números simultaneamente. Aparecem na natureza juntamente com os números primos no ciclo de vida de insetos que não querem compartilhar o mesmo ambiente, ou no período fértil de presas em relação aos seus predadores. Exemplo 4.38: Vamos encontrar o menor número inteiro não nulo divisível simultaneamente por 12 e 15. Para isso basta listar os múltiplos positivos e procurar o menor que está em ambas listagens: múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72..., múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, Assim o menor múltiplo comum é 60. Assim como para o mdc, precisamos de uma definição formal para o mmc entre números inteiros, para que possamos estudar suas implicações, propriedades e aplicações. Como o único múltiplo de 0 é o próprio 0, definimos que, dado a Z, mmc(a, 0) = 0. Agora, vejamos a definição de mmc para números em Z. Definição 4.6: Sejam a, b Z. Então m N é o mínimo múltiplo comum de a e b quando a) m é múltiplo de a e de b. b) Se c é múltiplo de a e de b então c é múltiplo de m. Notação: m = mmc(a, b). Note que, para a, b Z, temos mmc(a, b) = mmc( a, b ). O mmc entre dois ou mais números é obtido fatorando-os e tomando o produto 131

141 Divisibilidade e números primos dos fatores que aparecem em pelo menos uma das fatorações, com os maiores expoentes possíveis. Assim, garantimos o item b) da Definição 4.6. Exemplo 4.39: Para saber mmc(825, 315), temos: Portanto mmc(825, 315) = = Outra maneira de calcular o mmc entre dois números é através do cálculo prévio do mdc entre eles. A proposição a seguir mostra a relação que há entre o mdc e o mmc. Proposição 4.16: Sejam a, b Z. Então a b = mdc(a, b) mmc(a, b). Demonstração: Se um dos números é o 0, a igualdade é válida pois obtemos 0 = 0. Se ambos a e b são não nulos, este resultado é uma simples consequência da decomposição em fatores primos, dada no Teorema 4.5. Portanto, dados dois números, calculamos o mdc entre eles e, posteriormente, seu mmc através dessa proposição. Exemplo 4.40: Vamos calcular mmc(21, 14). Facilmente concluímos que mdc(21, 14) = 7. Portanto, pela propriedade do cancelamento da multiplicação (M 4): = 7 mmc(21, 14) mmc(21, 14) = 21 2 =

142 4.5. Mínimo múltiplo comum Exemplo 4.41: Analogamente podemos encontrar mmc(65, 26). Primeiramente utilizamos o Algoritmo da Divisão para calcular seu mdc mdc(65, 26) = 13 Logo = 13 mmc(65, 26) mmc(65, 26) = 130. Exemplo 4.42: Por fim, para achar mmc( 20, 74), começamos utilizando o Algoritmo da Divisão para descobrir o valor de mdc(20, 74): Logo mdc( 20, 74) = mdc(20, 74) = 2. Assim = 2 mmc( 20, 74) mmc( 20, 74) = 740. Vejamos, a seguir, algumas proposições que são consequências da Proposição Em particular, nessa primeira, vemos um resultado muito parecido com o obtido na Proposição 4.8, para o cálculo do mdc no caso de um dos elementos dividir o outro. Proposição 4.17: Sejam a, b Z com b 0. Se b a então mmc(a, b) = a. Demonstração: Pela Proposição 4.8 sabemos que mdc(a, b) = b. Portanto a b = mdc(a, b) mmc(a, b) = b mmc(a, b) mmc(a, b) = a. 133

143 Divisibilidade e números primos Exemplo 4.43: Como 17 ( 51), segue que mmc(17, 51) = 51 = 51. Sejam a, b Z e denote d = mdc(a, b) e m = mmc(a, b). Assim, existem p, q inteiros tais que a = dp e b = dq e, pela Proposição 4.14, vale mdc(p, q) = 1. Além disso, como d a e a m, então d m. Nesses termos, temos a seguinte proposição. Proposição 4.18: Nos termos do parágrafo anterior, temos m = a q e m = b p. Demonstração: Segue da Proposição 4.16: a b = mdc(a, b) mmc(a, b) d p b = dm p b = m, a b = mdc(a, b) mmc(a, b) a d q = dm a q = m. Proposição 4.19: Ainda nos termos da proposição anterior, vale a recíproca: se m = mmc(a, b) com m = a q e m = b p então mdc(p, q) = 1. Demonstração: Denote mdc(p, q) = d. Como d p e d q segue que existem c e f inteiros tais que p = dc e q = df. Também, como d m, temos que existe k Z tal que m = dk. Vamos provar que k é múltiplo de a e de b, implicando que m k e portanto d = 1. Note que dk = m = a p = a dc = a d c, dk = m = b q = b df = b d f. Daí k = a c e k = b f, ou seja, k é múltiplo tanto de a quanto de b e, pela definição de mmc, concluímos que m k. Já que dk = m k, só podemos ter d = 1. Exemplo 4.44: Essas duas proposições estão nos apresentando uma relação ainda mais completa entre dois números inteiros, seu mdc e seu 134

144 4.5. Mínimo múltiplo comum mmc. Considere os números inteiros 10 e 14. Não é difícil concluir que seu mdc é 2 e seu mmc é 70. Além disso, perceba que 10 = 2 5 e 14 = 2 7. Também note que 70 = 10 7 e 70 = Já sabemos que um número inteiro é primo quando não possui divisores além de 1, 1, ele mesmo e seu oposto. Agora, definimos o que significa dois números inteiros serem primos entre si, definição esta que está relacionada com o mdc entre esses números. Definição 4.7: Dois números a, b Z são ditos coprimos, ou relativamente primos, ou primos entre si, quando mdc(a, b) = 1. Exemplo 4.45: Os números 16 e 35 são primos entre si. A seguir, uma consequência óbvia a partir da Proposição Proposição 4.20: Se a, b Z são coprimos então mmc(a, b) = a b. Demonstração: Já que a e b são coprimos temos, por definição, que mdc(a, b) = 1. Sabemos, pela Proposição 4.16, que a b = mdc(a, b) mmc(a, b) e, portanto, a b = 1 mmc(a, b). Vejamos como resolver alguns problemas matemáticos que utilizam o mdc e o mmc simultaneamente. Exemplo 4.46: Listemos todos pares de números naturais cujo mdc é 12 e cujo mmc é 240. Sejam a, b os números procurados e, pela Proposição 4.14, sabemos que a = 12p e b = 12q com mdc(p, q) = 1. Daí pela Proposição 4.16: = 12p 12q 20 = pq. 135

145 Divisibilidade e números primos Com isso os possíveis (p, q) são (1, 20) e (4, 5). Portanto os pares de números procurados são (12, 240) e (48, 60). Exemplo 4.47: O mmc(a, b) é 1260 e, ao dividir 1260 por a e b respectivamente, o produto dos quocientes é 90. Vamos encontrar todos pares a, b de números naturais que satisfazem estas condições. Temos 1260 = ap e 1260 = bq com pq = 90 e mdc(p, q) = 1 pela Proposição Assim os possíveis (p, q) são que implica {(1, 90), (2, 45), (5, 18), (9, 10)}, (a, b) {(1260, 14), (630, 28), (252, 70), (140, 126)}. Exercícios da Seção : Dados a = e b = , encontre mdc(a, b) e mmc(a, b). 4.71: Calcule: a) mdc(456, 356) e mmc(456, 356). b) mdc(22, 680) e mmc(22, 680). c) mdc( 532, 22) e mmc( 532, 22). d) mdc(82, 100) e mmc(82, 100). e) mdc(523, 234) e mmc(523, 234). f) mdc( 902, 424) e mmc( 902, 424). g) mdc(44, 356) e mmc(44, 356). h) mdc(46, 356) e mmc(46, 356). 136

146 4.6. Equações diofantinas i) mdc(832, 112) e mmc(832, 112). j) mdc(111, 1111) e mmc(111, 1111). k) mdc(9248, 1231) e mmc(9248, 1231). 4.72: Determine os pares de números cujo produto é 3600 e cujo mmc é : Determine os números naturais n tais que mmc(n, 54) = : Quais são as possibilidades para dois números inteiros que têm mdc e mmc iguais? 4.75: (38 a OBM ) Dona Maria fez uma grande pizza para seus filhos no Dia das Mães, mas não tinha certeza se a visitariam dois, três ou cinco filhos. Ela quer deixar a pizza dividida em pedaços iguais antes da chegada dos filhos e faz questão de que aqueles que vierem comam a mesma quantidade de pizza. Qual é o menor número de pedaços em que ela deve dividir a pizza? 4.6 Equações diofantinas Uma das maneiras mais simples de se associar a matemática com o nosso cotidiano, é através das equações. Basicamente, tranformamos um problema prático, descrito através de palavras, em uma problema matemático, geralmente descrito através de uma equação, ou seja, através de uma igualdade de expressões matemáticas. Existem vários tipos de equações e, na Seção 6.6, estudaremos um desses tipos de equação, chamada equação polinomial. Nesta seção definiremos e aprenderemos como resolver um outro tipo de equação mais simples, porém muito especial, denominada equação diofantina. Como veremos através de alguns exemplos, essas equações se originam no estudo de problemas práticos que envolvem números inteiros. 137

147 Divisibilidade e números primos Uma equação diofantina é uma equação da forma ax + by = c, com a, b Z e c Z e x, y variáveis em Z. Seu nome é uma homenagem ao matemático grego Diofanto de Alexandria, que é considerado o criador da teoria relacionada à essas equações. Diofanto de Alexadria Diofanto de Alexandria (Alexandria, 200 d.c. Alexandria, 284 d.c.) foi um matemático grego. Melhor conhecido por seu Arithmetica, um trabalho em teoria dos números que contém 130 problemas onde se dá soluções numéricas de variadas equações. O método para a solução destas equações seria, mais tarde, conhecido como análise diofantina. Este trabalho se tornou famoso recentemente por sua conexão com o último teorema de Fermat. Nem todas equações diofantinas possuem solução. A Identidade de Bézout (Teorema 4.8) nos fornece uma ferramenta para checar quando que elas possuem solução. Para fins didáticos, segue novamente seu enunciado: Identidade de Bézout: Sejam a, b Z com d = mdc(a, b). Então a equação diofantina ax + by = d possui solução em Z. Exemplo 4.48: Temos a) mdc(13, 4) = 1 e, de fato, 1 = ( 3). b) mdc( 25, 15) = 5 e 5 = ( 25) ( 2) + 15 ( 3). c) Temos mdc(53, 48) = 1 e 1 = 53 ( 19) Para encontrar a solução de uma tal equação, podemos utilizar o 138

148 4.6. Equações diofantinas método das divisões sucessivas. Considere a equação 53x + 48y = 1. Passo 1: Escreva as divisões sucessivas (a cada novo passo, o divisor e o resto se transformam em dividendo e divisor respectivamente): 53 = , 48 = , 5 = , 3 = Passo 2: Isole os restos: 5 = 53 + ( 1) 48, 3 = 48 + ( 9) 5, 2 = 5 + ( 1) 3, 1 = 3 + ( 1) 2. Passo 3: Utilize o passo 2 para fazer substituições de baixo para cima: 1 = 3 + ( 1) 2 = [48 + ( 9) 5] + ( 1)[5 + ( 1) 3] = [48 + ( 9) (53 + ( 1) 48)]+ + ( 1)[(53 + ( 1) 48) + ( 1) (48 + ( 9) 5)] = [ ( 9)] + ( 1)[53 + ( 2) (53 + ( 1) 48)] = ( 19). Assim, x = 19 e y = 21 são soluções da equação 53x + 48y = 1. Dessa forma, fornecemos à identidade de Bézout, uma nova interpretação. Ela não nos ajuda apenas a estudar o mdc entre dois números, mas também se torna condição necessária para se descobrir quando que uma equação diofantina possui solução. E, na verdade, essa identidade pode ser generalizada para obtermos uma condição não apenas necessária, mas também suficiente para que uma equação diofantina possua solução. Proposição 4.21: Sejam a, b, c Z. A equação diofantina ax + by = c 139

149 Divisibilidade e números primos tem solução inteira se, e somente se, mdc(a, b) c. Demonstração: ( ) Sabemos que mdc(a, b) a e mdc(a, b) b. equação possui solução x, y então, pela Proposição 4.2, mdc(a, b) (ax + by) ou seja, mdc(a, b) c. Se a ( ) Já que mdc(a, b) c, temos f Z tal que f mdc(a, b) = c. Assim, basta resolver a equação ax + by = mdc(a, b) e multiplicar a solução por f, pois f (ax + by) = f mdc(a, b) a(fx) + b(fy) = c. Exemplo 4.49: Vamos resolver 48x + 53y = 7. Já sabemos que ( 19) = 1. Assim, multiplicando por 7: 48 (7 21) + 53 (7 ( 19)) = 7 ou seja, a solução é x = 7 21 = 147 e y = 7 ( 19) = 133. Essas equações também surgem ao resolvermos problemas práticos. Exemplo 4.50: Vamos descobrir quantas mesas para 6 pessoas e quantas mesas para 4 pessoas são necessárias para acomodar 90 convidados, de maneira a usar pelo menos uma mesa de cada tipo. Basicamente, procuramos x e y estritamente positivos tais que 6x + 4y = 90. Pela última proposição, a equação possui solução pois mdc(6, 4) = 2 e Utilizando o método das divisões sucessivas podemos resolver 6x + 4y = 2 para obter ( 1) =

150 4.6. Equações diofantinas Multiplicando essa última equação por 45 obtemos ( 45) = 90 e portanto x = 45 e y = 45 resolvem a equação diofantina em questão. Mas o problema permanece, afinal, não se pode considerar 45 mesas! Para encontrar soluções plausíveis para o nosso problema prático, precisamos encontrar todas as soluções da equação diofantina associada e analisar quais delas são pertinentes ao problema. Para isso, escreveremos essas soluções em sua forma paramétrica, através da inclusão de um novo parâmetro. Ou seja, mostraremos que todas soluções de uma dada equação diofantina podem ser escritas na forma { x = x0 + b 1 t y = y 0 a 1 t onde x 0, b 1, y 0, a 1 Z e t é uma variável que varia no conjunto dos números inteiros. Ou seja, variando t, obtemos todas soluções (x, y) da equação diofantina associada. Proposição 4.22: Sejam a, b, c Z e x 0, y 0 uma solução inteira da equação diofantina ax + by = c. Então essa equação possui infinitas soluções inteiras da forma { x = x0 + b 1 t y = y 0 a 1 t (4.1) onde d = mdc(a, b), a = a 1 d, b = b 1 d e t percorre o conjunto dos números inteiros. Demonstração: Como x 0, y 0 é solução de ax + by = c, então ax 0 + by 0 = c. Queremos encontrar outra solução de ax + by = c. Tomando a diferença entre ambas as equações, a(x 0 x) + b(y 0 y) = 0 a(x x 0 ) = b(y 0 y). Isso significa que, a b(y 0 y) e, portanto, pela Proposição 4.12, temos que a d(y 0 y). Logo, para algum t Z, d(y 0 y) = at, ou seja, y = y 0 a 1 t, onde a = a 1 d. 141

151 Divisibilidade e números primos Por outro lado, ad(x x 0 ) = bd(y 0 y) = abt, ou seja, d(x x 0 ) = bt, portanto, x = x 0 + b 1 t, onde b = b 1 d. A solução dada em (4.1) é dita solução geral da equação diofantina ax + by = c. Ilustremos essa proposição retomando o Exemplo Exemplo 4.51: Já foi resolvido obtendo Já que mdc(6, 4) = 2, temos 6x + 4y = ( 45) = = 2 3 a 1 = 3 4 = 2 2 b 1 = 2 e, assim, a solução geral do problema é, t Z: { x = t y = 45 3t. Portanto, variando t em Z, encontramos as infinitas soluções. Como o problema necessita de soluções positivas, somente nos interessam os t tais que x e y resultem simultaneamente em números positivos. Ou seja: Isto implica que 0 < t, 0 < 45 3t. 23 < t, t < 15. Assim, temos que t { 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16} e, portanto, as possíveis soluções são (x, y) {(1, 21), (3, 18), (5, 15), (7, 12), (9, 9), (11, 6), (13, 3)}. 142

152 4.6. Equações diofantinas Exemplo 4.52: Para encontrar a solução geral da equação diofantina 3x + 4y = 20, começamos procurando a solução de 3x + 4y = mdc(3, 4) = 1. Facilmente, concluímos que uma solução particular desta equação é dada por x = 1 e y = 1 pois Multiplicando por 20 temos 3 ( 1) = 1. 3 ( 20) + 4 (20) = 20. Já que 3 = 1 3 e 4 = 1 4 obtemos a 1 = 3 e b 1 = 4 e, portanto, a solução geral é, t Z: { x = t, y = 20 3t. Exemplo 4.53: Agora, vamos encontrar a solução geral da equação diofantina 4x 8y = 24. Primeiramente resolvemos 4x 8y = mdc(4, 8) = 4. Uma solução particular dessa equação é x = 1 e y = 0, afinal = 4. Multiplicando essa igualdade por 6 temos = 24. Já que 4 = 1 4 e 8 = ( 2) 4 obtemos a 1 = 1 e b 1 = 2 e, portanto, a solução geral é, t Z: { x = 6 2t, y = 0 1t = t. 143

153 Divisibilidade e números primos Exemplo 4.54: Vamos escrever 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja divisível por 11. Procuramos inteiros positivos 7x e 11y tais que Começamos resolvendo 7x + 11y = x + 11y = mdc(7, 11) = 1. Uma solução particular é x = 3 e y = 2, afinal Multiplicando-a por 100, obtemos 7 ( 3) = 1. 7 ( 300) = 100. Já que 7 = 7 1 e 11 = 11 1 temos a 1 = 7 e b 1 = 11 e, a solução geral, fica { x = t, y = 200 7t. Procuramos uma solução positiva, assim precisamos: Isto implica que 0 < t, 0 < 200 7t. 27 < t, t < 29. Assim temos t = 28 o que nos leva a 7x = 7 ( ) = 56 e 11y = 11 ( ) = 44. Exercícios da Seção

154 4.6. Equações diofantinas 4.76: Confira quais equações diofantinas a seguir possuem solução. Resolva aquelas solúveis. a) 3x + 5y = 2. c) 11x 7y = 31. e) 2t 2y = 79. g) 8x + 12k = 40. i) 7k 30t = 12. b) 32x 14y = 90. d) 14x + 20y = 12. f) 30x 8y = 3. h) 20x 12y = 5. j) 14y + 20k = : Um canil possui casinhas de cães que comportam 4 cães e outras que comportam 6 cães. Qual o menor número de casinhas que o canil precisa para comportar 50 cães? 4.78: Queremos transportar 120 latas em dois tipos de caixa: uma que comporta 8 latas e outra que comporta 11 latas. Qual o menor número de caixas a se usar para fazer esse transporte? 4.79: Nos carros do tipo A cabem 5 pessoas, nos carros do tipo B cabem 8 pessoas. No mínimo quantos carros são necessários para se fazer uma viagem em um grupo de 75 pessoas utilizando apenas carros dos tipos A e B? 4.80: Uma reação química está balanceada quando o número de átomos de um mesmo elemento é igual tanto do lado direito quanto do lado esquerdo da reação. A seguinte reação representa a formação do ácido sulfúrico: ana 2 S 4 O 6 + bh 2 O 2 cna 2 SO 4 + dh 2 O + eh 2 SO 4. Encontre os valores de a, b, c, d, e para balanceá-la, lembrando que dado um elemento hipotético X, a notação mx n significa m n átomos desse elemento. 4.81: (21 a OBM ) Quantos são os pares (x, y) de inteiros positivos que satisfazem a equação 2x + 3y = 101? 145

155 Divisibilidade e números primos 4.7 Congruências Juntamente com números primos, as congruências foram extremamente importantes para o desenvolvimento da criptografia, que nos permite transmitir dados sigilosos ou acessar contas bancárias pela internet. Sua definição não apresenta fatos novos, ela apenas apresenta uma maneira de se relacionar três números inteiros utilizando a divisibilidade de uma forma especial. Vejamos essa definição. Definição 4.8: Sejam a, b, m Z. Dizemos que a é côngruo a b módulo m quando m divide a b ou, analogamente, quando a b é múltiplo de m. Notação: a b(mod m). Exemplo 4.55: Temos 27 6 = 21 que é múltiplo de 7. Logo 27 6(mod 7). É importante analisar separadamente o que acontece quando m 1. a) Se m = 1 então a b sempre é múltiplo de m. Logo a b(mod 1), a, b Z. b) Se m = 0 então somente 0 é múltiplo de m. Logo a a(mod 0), a Z. c) Se m < 0 então a b é múltiplo de m se, e somente se, a b é múltiplo de m. Ou seja, a b(mod m) a b(mod ( m)). 146

156 4.7. Congruências Assim, trabalharemos somente com congruências módulo m > 1. Exemplo 4.56: Temos 49 1(mod 4), 49 49(mod 4), (mod 4), 49 55(mod 4). A seguir seguem algumas propriedades que envolvem congruências. Proposição 4.23: Seja m Z com 1 < m. Então: a) a a(mod m), a Z. b) a b(mod m) b a(mod m), a, b Z. c) a b(mod m) e b c(mod m) a c(mod m), a, b, c Z. Demonstração: a) Como a a = 0 = 0 m, segue que a a(mod m), a Z. b) Dados a, b Z: a b(mod m) a b = mx, para algum x Z b a = m( x). Logo b a(mod m). c) Dados a, b, c Z: a b(mod m) e b c(mod m) a b = mx e b c = my para x, y Z a c = (a b) + (b c) = my + mx = m(x + y). Portanto a c(mod m), a, b, c Z. 147

157 Divisibilidade e números primos Há uma outra forma de enunciar a proposição anterior. Proposição 4.24: Seja m Z com 1 < m. Então a relação de congruência módulo m em Z é: a) Reflexiva. b) Simétrica. c) Transitiva. Exemplo 4.57: Sabemos que pois = 110 = e que (mod 11) 32 10(mod 11) pois = 22 = Utilizando o item c) da última proposição, concluímos que (mod 11). A próxima proposição nos esclarece a verdadeira importância da congruência. Ela nos mostra que a congruência é mantida quando se opera números previamente congruentes. Na sequência, exemplificamos esses resultados. Proposição 4.25: Sejam a, b, c, d, m Z com 1 < m. Assim, se valem a b(mod m) e c d(mod m), então: a) a + c b + d(mod m); b) a c b d(mod m); c) ac bd(mod m); d) a n b n (mod m), n 1. Demonstração: As hipóteses implicam na existência de e, f Z tais que b a = me e d c = mf. Vejamos cada item: 148

158 4.7. Congruências a) (b + d) (a + c) = (b a) + (d c) = me + mf = m(e + f). Logo a + c b + d(mod m). b) (b d) (a c) = (b a) + (c d) = me mf = m(e f). Assim a c b d(mod m). c) (bd) (ac) = bd + ( ad + ad) ac = (b a)d + (d c)a que é igual a m(ed + fa). Daí ac bd(mod m). d) Como b n a n = (b a)(b n 1 + b n 2 a ba n 2 + a n 1 ), segue que b a divide b n a n e, consequentemente, b n a n também será múltiplo de m. Daí a n b n (mod m), n 1. Exemplo 4.58: É fácil conferir que 15 1(mod 7) e 10 3(mod 7). Pela última proposição, concluímos que: a) (mod 7), ou seja, 25 4(mod 7). b) (mod 7), ou seja, 5 2(mod 7). c) (mod 7), ou seja, 150 3(mod 7). Exemplo 4.59: Utilizando o item d) da última proposição e o fato de 1 9 = 1, temos 49 1(mod 4) (mod 4). A última proposição dessa seção nos mostra que a congruência está intimamente relacionada com o Algoritmo de Euclides. Proposição 4.26: Sejam a, b, m Z com 1 < m. Então a b(mod m) se, e somente se, a e b têm o mesmo resto na divisão por m. Demonstração: Da divisão euclidiana (Seção 3.4) por m, sabemos que a = qm + r e b = pm + s com 0 r < m e 0 s < m. Assim b a = pm + s (qm + r) = m(p q) + (s r). Logo b a é múltiplo de m se, e somente se, s r = 0, ou seja, r = s. 149

159 Divisibilidade e números primos Dessa proposição segue uma consequência natural. Corolário 4.1: Se r é o resto da divisão de b por m então b r(mod m). Além disso, r é o menor número inteiro positivo côngruo a b módulo m. Vejamos um exemplo que esclarece ainda melhor esses resultados. Exemplo 4.60: Temos que 121 = e 401 = portanto, na divisão por 5, os números 121 e 401 têm o mesmo resto. Logo (mod 5). Também, vale que 121 1(mod 5). Os próximos três exemplos mostram como podemos resolver variados problemas, utilizando as definições e proposições que acabamos de apresentar. Exemplo 4.61: Procuremos o resto da divisão de 2 23 por 7. Para tal, queremos encontrar o menor número inteiro r com 0 r 6 tal que 2 23 r(mod 7). Sabemos que 2 3 1(mod 7). Assim utilizando Proposição 4.25 d) com n = 7 obtemos (2 3 ) 7 (1) 7 (mod 7) ou seja, (mod 7). 150

160 4.7. Congruências Já que 2 2 4(mod 7), pelo item c) da mesma proposição concluímos que e, portanto, (mod 7) (mod 7). Já que 4 é menor que 7, o resto procurado é 4. Exemplo 4.62: Agora, para encontrar o resto da divisão de 2 20 por 41, perceba que 2 5 9(mod 41) e, elevando a congruência ao quadrado, implica ou seja Como segue que (2 5 ) 2 ( 9) 2 (mod 41), (mod 41). 81 1(mod 41), (mod 41). Portanto, elevando ao quadrado novamente, que implica Assim, o resto procurado é 1. (2 10 ) 2 ( 1) 2 (mod 41) (mod 41). Exemplo 4.63: Vamos encontrar os possíveis valores de 1 m N tais que (mod m). Procuramos todos 1 < m N que dividem = 252, que são os mesmos que dividem 252. A fatoração de 252 em fatores primos é 252 = Portanto 252 tem (2+1) (2+1) (1+1) = 18 divisores 151

161 Divisibilidade e números primos (Proposição 4.6). Esses divisores são combinações dos produtos de 2 α1, 3 α2 e 7 α3, com α 1 = 0, 1, 2, α 2 = 0, 1, 2 e α 3 = 0, 1. Portanto, m {1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126, 252}. Por fim, um exemplo que combina congruências com equações diofantinas. Exemplo 4.64: Encontre a forma geral das soluções de 7x 100(mod 11). Queremos encontrar todos os x inteiros tais que 7x 100 seja divisível por 11, ou seja, tais que exista y inteiro com 7x 100 = 11y 7x + 11y = 100. No Exemplo 4.54 encontramos sua solução geral, { x = t, y = 200 7t. Assim, a solução geral de 7x 100(mod 11) é x = t, com t Z. Exercícios da Seção : Confira quais congruências são verdadeiras. a) (mod 8). c) (mod 21). e) (mod 23). g) (mod 15). i) (mod 11). b) (mod 3). d) (mod 33). f) (mod 51). h) (mod 12). j) (mod 23). 152

162 4.7. Congruências 4.83: Qual o menor inteiro positivo que é côngruo, módulo 7, ao produto ? 4.84: Encontre o resto das seguintes divisões: a) 2 66 por 3. c) 4 36 por 5. e) 2 73 por 7. g) 5 61 por 3. b) 5 63 por 2. d) 7 75 por 5. f) 3 31 por 7. h) 2 55 por : Encontre o quociente e o resto das seguintes divisões: a) por 3. c) 4 36 por 7. b) por 25. d) por : Determine o resto da divisão de por : Determine o resto da divisão de por : Encontre a forma geral das soluções de 10x 5(mod 12). 4.89: Encontre a forma geral das soluções de 3x 7(mod 19). 4.90: (28 a OBM ) Um certo número inteiro positivo, quando dividido por 15 dá resto 7. Qual é a soma dos restos das divisões desse número por 3 e por 5? 153

163 4.8 Critérios de divisibilidade Divisibilidade e números primos Em muitas situações é necessário saber se um dado número é divisível por outro número (por exemplo na criptografia). Portanto estudaremos e provaremos a validade de alguns critérios de divisibilidade. Na maioria dessas demonstrações utilizaremos a Proposição 4.2: o item a), pelo fato de que, dados a, b Z, b a b ( a) e, também, seu item b). Também podemos, sem perda de generalidade, supôr que os números são positivos, visto que um número e seu oposto são divisíveis pelos mesmos números. Critério da divisibilidade por 2. Proposição 4.27: Um número a Z é divisível por 2 se, e somente se, seu último algarismo é divisível por 2. Demonstração: Note que qualquer número com n algarismos pode ser escrito na base dez na forma Assim a = (a 1 a 2... a n ) 10. a = 10 a 1 a 2... a n 1 + a n = 2 (5 a 1 a 2... a n 1 ) + a n. Portanto, utilizando a Proposição 4.2, a divisibilidade de a seguirá da divisibilidade de a n. Exemplo 4.65: Os números inteiros 1432 e 322 são divisíveis por 2, enquanto os números 67 e não são divisíveis por 2. Critério da divisibilidade por 3. Proposição 4.28: Um número a Z é divisível por 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos é divisível por 3. Demonstração: Seja a = a 1 a 2... a n um número com n algarismos 154

164 4.8. Critérios de divisibilidade a 1, a 2..., a n. Note que a = a 1 a 2... a n = a 1 10 n 1 + a 2 10 n a n 10 0 = a }{{} n 1 a 1 + a }{{... 9 } a a n a n 1 + a n n 2 = 3 33 }{{... 3 } a }{{... 3 } a a n 1 + (a 1 + a a n ). n 1 n 2 Assim, já que o primeiro termo da última linha é divisível por 3, temos que a é divisível por 3 se, e somente se, também é. a 1 + a a n Exemplo 4.66: O número é divisível por 3 pois = 24 e = 6 que é múltiplo de 3. De fato, = Exemplo 4.67: Já o número 9392 não é divisível por 3, já que = 23 e que não é divisível por = 5 Critério da divisibilidade por 5. Proposição 4.29: Um número a Z é divisível por 5 se, e somente se, seu algarismo da direita é 5 ou

165 Divisibilidade e números primos Demonstração: Considere a = a 1 a 2... a n um número com n algarismos a 1, a 2,..., a n e denote k = a 1 a 2... a n 1. Vamos provar que a divisibilidade de a por 5 equivale a a n ser igual a 5 ou 0. Temos Pela Proposição 4.2, item b): a = 10k + a n = 5 (2k) + a n. 5 a 5 5 (2k) + a n 5 a n. Assim, a é divisível por 5 se, e somente se, a n = 5 ou a n = 0. Exemplo 4.68: Pela proposição anterior, os números inteiros e 35 são divisíveis por 5, enquanto os números e não, pois não terminam em 0 nem em 5. Critério da divisibilidade por 7. Proposição 4.30: Um número a Z é divisível por 7 se, e somente se, o dobro do último algarismo subtraído do número inicial sem o último algarismo, é divisível por 7. Demonstração: Considere a = a 1 a 2... a n um número com n algarismos a 1, a 2,..., a n e denote k = a 1 a 2... a n 1. Vamos provar que a divisibilidade de a por 7 equivale a divisibilidade de k 2a n por 7. Temos Daí, utilizando a Proposição 4.5: a = 10k + a n = 7k + (3k + a n ). 7 a 7 5a 7 5 [7k + (3k + a n )] 7 5(3k + a n ) 7 (15k + 5a n ) 7 (14k + 7a n + k 2a n ) 7 (k 2a n ). 156

166 4.8. Critérios de divisibilidade Assim, a é divisível por 7 se, e somente se, k 2a n também é. Exemplo 4.69: a) Vamos descobrir se o número inteiro é divisível por 7. Para isso, precisamos decidir se é divisível por 7. descobrir se = 2046 Aplicando novamente o método, precisamos = 192 é divísivel por 7. Mais uma vez aplicando o método, note que = 15 não é divisível por 7. Portanto o número inicial também não é. b) Vamos analisar a divisibilidade de por 7. Daí = = 245. Mais uma vez aplicando o método: = 14, que é divisível por 7. Portanto o número é divisível por 7. De fato, = Critério da divisibilidade por 11. Dado um número inteiro a = a 1 a 2... a n, a soma alternada de seus algarismos significa a n a n 1 + a n 2 + a 2 a 1 caso a possua uma quantidade par de algarismos, e a n a n 1 + a n 2 a 2 + a 1 caso a possua uma quantidade ímpar de algarismos. 157

167 Divisibilidade e números primos Proposição 4.31: Um número a Z é divisível por 11 se, e somente se, a soma alternada de seus algarismos for divisível por 11. Demonstração: Vamos separar a demonstração em dois casos. Em cada um faremos a demonstração para um número pequeno de algarismos, pois para a demonstração completa basta generalizarmos utilizando o Princípio de Indução (Seção 2.3). Caso 1: a tem uma quantidade par de algarismos. Vamos ilustrar esse caso com um número de 4 algarismos a = a 1 a 2 a 3 a 4. Daí a = 1000a a a 3 + a 4 = (1001a a a 3 ) + [(a 2 + a 4 ) (a 1 + a 3 )] = 11(91a 1 + 9a 2 + a 3 ) + [(a 2 + a 4 ) (a 1 + a 3 )]. Assim, já que o primeiro termo da última linha é divisível por 11, temos que a é divisível por 11 se, e somente se, (a 2 + a 4 ) (a 1 + a 3 ) também é. Caso 2: a tem uma quantidade ímpar de algarismos. Vamos ilustrar esse caso com um número de 5 algarismos, que denotaremos a = a 1 a 2 a 3 a 4 a 5. Daí a = 10000a a a a 4 + a 5 = (9999a a a a 4 ) + [(a 1 + a 3 + a 5 ) (a 2 + a 4 )] = 11(909a a 2 + 9a 3 + a 4 ) + [(a 1 + a 3 + a 5 ) (a 2 + a 4 )]. Assim, já que o primeiro termo da última linha é divisível por 11, temos que a é divisível por 11 se, e somente se, (a 1 +a 3 +a 5 ) (a 2 +a 4 ) também é. Exemplo 4.70: a) Vamos analisar a divisibilidade de por 11: ( ) = = 6. Logo o número não é divisível por

168 4.8. Critérios de divisibilidade b) Para o número , note que ( ) = = 11. Logo o número é divisível por 11, com = Critério da divisibilidade por 13. Proposição 4.32: Um número a Z é divisível por 13 se, e somente se, o quádruplo do último algarismo somado ao número inicial sem o último algarismo, é divisível por 13. Demonstração: Considere a = a 1 a 2... a n um número com n algarismos a 1, a 2..., a n e denote k = a 1 a 2... a n 1. Vamos provar que a divisibilidade de a por 13 equivale a divisibilidade de 4a n + k por 13. Note que Daí a = 10k + a n = 13k + (a n 3k). 13 a 13 4a 13 4 [13k + (a n 3k)] 13 4(a n 3k) 13 (4a n 12k) 13 (4a n 12k + 13k) 13 (4a n + k). Assim, a é divisível por 13 se, e somente se, 4a n + k também é. Exemplo 4.71: Vejamos se é divisível por = Daí =

169 Divisibilidade e números primos Mais uma vez: Novamente e, por fim, = = = 44, que não é divisível por 13. Portanto o número não é divisível por 13. Critério da divisibilidade por 17. Proposição 4.33: Um número a Z é divisível por 17 se, e somente se, o quíntuplo do último algarismo subtraído do número inicial sem o último algarismo, é divisível por 17. Demonstração: Considere a = a 1 a 2... a n um número com n algarismos a 1, a 2..., a n e denote k = a 1 a 2... a n 1. Vamos provar que a divisibilidade de a por 17 equivale a divisibilidade de k 5a n por 17. Note que Daí a = 10k + a n = 17k + (a n 7k). 17 a 17 5a 17 5 [17k + (a n 7k)] 17 5(a n 7k) 17 (5a n 35k) 17 (5a n 35k + 34k) 17 (5a n k) 17 (k 5a n ). Assim, a é divisível por 17 se, e somente se, k 5a n também é. Exemplo 4.72: Vejamos se é divisível por =

170 4.8. Critérios de divisibilidade Daí Novamente e, por fim, = = = 20, que não é divisível por 17. Portanto não é divisível por 17. Critério da divisibilidade por 19. Proposição 4.34: Um número a Z é divisível por 19 se, e somente se, o dobro do último algarismo somado ao número inicial sem o último algarismo, é divisível por 19. Demonstração: Considere a = a 1 a 2... a n um número com n algarismos a 1, a 2..., a n e denote k = a 1 a 2... a n 1. Vamos provar que a divisibilidade de a por 19 equivale a divisibilidade de k + 2a n por 19. Note que Daí a = 10k + a n = 19k + (a n 9k). 19 a 19 2a 19 2 [19k + (a n 9k)] 19 2(a n 9k) 19 (2a n 18k) 19 (2a n 18k + 19k) 19 (2a n + k). Assim, a é divisível por 19 se, e somente se, 2a n + k também é. Exemplo 4.73: Vejamos se é divisível por =

171 Divisibilidade e números primos Daí Mais uma vez: Novamente e, por fim, = = = = 38, que é divisível por 19. Portanto o número é divisível por 19. De fato, temos = Note que, em alguns casos, o critério de divisibilidade envolve somar ou subtrair um múltiplo do último dígito ao número inicial sem o último algarismo, para então checar a divisibilidade. Caso o número remanescente ainda seja muito grande, repete-se o processo. Por fim, caso se queira checar se um número a é divisível por um número composto b, devemos analisar a divisibilidade de a por todas potências dos números primos da fatoração de b. Exercícios da Seção : Teste a divisibilidade dos seguintes números por 3: a) c) e) g) i) k) b) d) f) h) j) l)

172 4.8. Critérios de divisibilidade 4.92: Teste a divisibilidade dos seguintes números por 7: a) c) e) g) i) b) d) f) h) 455. j) : Teste a divisibilidade dos seguintes números por 11: a) c) e) g) b) d) f) h) : Teste a divisibilidade dos seguintes números por 13: a) c) e) g) b) d) f) h) : Teste a divisibilidade dos seguintes números por 17: a) c) e) g) b) d) f) h)

173 Divisibilidade e números primos 4.96: Encontre o maior número natural de dois algarismos que é divisor de : Encontre o maior número natural de dois algarismos que é divisor de : Encontre o menor número natural de dois algarismos que é divisor de : Encontre o menor número natural de dois algarismos que é divisor de : Quantos números naturais entre 1 e 500 são divisíveis por 13? E por 17? E por ambos simultaneamente? 4.101: Quantos números de três algarismos são divisíveis simultaneamente por 2 e por 3? 4.102: Quantos números de três algarismos são divisíveis simultaneamente por 2 e por 7? 4.103: Deduza e demonstre um teste de divisibilidade pelo número : Deduza e demonstre um teste de divisibilidade pelo número : (31 a OBM ) Determine o maior inteiro n menor que tal que 2 n + n seja divisível por : (36 a OBM ) A soma de 5 inteiros distintos é 1. A soma dos elementos de cada subconjunto de dois elementos desses 5 é calculada. Qual o número máximo de somas que podem ser divisíveis por 3? 164

174 Capítulo 5 Números racionais Os números naturais e os números inteiros estão ligados ao processo de contagem finita, como por exemplo, 3 maçãs, 25 ovelhas, 100 pessoas. Porém, às vezes, essas quantidades não são suficientes: não podemos dizer que uma pessoa possui 1 metro ou 2 metros, precisamos de mais opções de números que estejam entre 1 e 2. Assim, existem quantidades como o peso, o comprimento e o tempo, que requerem o uso de frações (que são números racionais como veremos a seguir) para serem medidas e apresentadas de maneira concisa e exata. Em achados históricos datados de 1800 a.c., sabemos que os Babilônios e os Egípcios já utilizavam frações. Na antiguidade, porém, foram os Gregos (600 d.c.) que estudaram extensivamente os números racionais. Pitágoras, Eudoxo, Euclides e muitos outros trabalharam com proporções, ou seja, estudando medições de quantidades. Contudo, o trabalho era bastante limitado pelo fato de ser quase inteiramente geométrico. Na Grécia, os números eram representados por segmentos de reta e, as proporções, por pares de segmentos. Os Romanos (1 d.c.) também estudaram as frações, mas não propriciaram avanços significativos. 165

175 Números racionais No século VII os Indianos atualizaram a maneira de apresentar as frações de modo vertical muito parecido ao atual, com um número acima do outro. Mas eles ainda não utilizavam o traço para separá-los, foi por volta do século XI que os Árabes o introduziram. Em 1585, Simon Stevin apresentou a notação decimal, que é uma maneira horizontal de escrever as frações, utilizando algarismos e uma vírgula, se necessário. Por ser simples e intuitiva, tal formato se popularizou e é utilizado constantemente nos dias de hoje, ao descrevermos nossa altura, peso e o preço de mercadorias. Simon Stevin Simon Stevin (Bruges, 1548 Haia, 1620) foi um matemático, engenheiro e físico flamengo (norte da Bélgica). Foi autor de 11 livros e contribuiu significativamente para o estudo da trigonometria, mecânica, arquitetura, teoria musical, geografia, fortificações e navegação. Em 1585, publicou La Theinde, um folheto com um relato elementar e completo de frações decimais, na forma que são utilizadas até hoje. 5.1 Construção de Q a partir de Z Apresentaremos, aqui, a construção e o uso dos números racionais. Veremos, de forma intuitiva, que o conjunto de números inteiros não nos fornece todos os números necessários para um pleno entendimento da matemática. Para a construção formal dos racionais, confira o Apêndice C. Uma fração é a notação encontrada para representar certos números que não são inteiros. Basicamente, considere o seguinte problema: qual número multiplicado por 3 resulta em 1? Esse problema pode ser enunciado da seguinte forma: qual o número x 166

176 5.1. Construção de Q a partir de Z que satisfaz a igualdade 3x = 1? Não há número inteiro que resolva esse problema, afinal, 1 não é múltiplo de 3. Assim, criamos um número que satisfaz essa indagação, o número 1 3, a terça parte de 1 ou, simplesmente, um terço. Ou seja, intuitivamente, definimos as frações como soluções de certas equações (mais detalhes sobre as Equações Polinomiais podem ser conferidas na Seção 6.6). No caso de uma equação genérica bx = a com a, b Z e b 0, a solução é a fração a b, onde chamamos a de numerador e b de denominador. O conjunto destas soluções é chamado conjunto dos números racionais, denotado Q. Simbolicamente { a } Q = b : a, b Z, b 0. A letra Q foi utilizada pela primeira vez para representar esse conjunto por Giuseppe Peano, por conta da palavra italiana quoziente, que significa quociente. Já que os números inteiros podem ser escritos como frações com denominador 1, segue que Z Q e, além disso, a b = 0 a = 0. Com efeito, se a = 0, então b 0 = a, portanto a = 0. b Por outro lado, note que a é a solução de bx = a. Assim, se a = 0 e b b 0, segue que x = 0. Portanto a b = 0. Agora, note que as frações 3 4 e 6 8 resolvem, respectivamente, as 167

177 Números racionais igualdades 4x = 3, 8x = 6. Porém, a primeira igualdade multiplicada por 2 é a segunda igualdade. Ou seja, essas igualdades são equivalentes e devem possuir a mesma solução. Com isso, as respectivas frações solução também serão equivalentes, ou seja, representarão o mesmo número racional. De forma análoga, podemos obter infinitas representações para um mesmo número racional: basta multiplicar o numerador e o denominador pelo mesmo número inteiro não nulo (seria o mesmo que multiplicar uma equação por esse número). Por exemplo 3 7 = ( 6) 3 ( 6) = 9 21 = = Também podemos cancelar fatores comuns do numerador e do denominador. Exemplo 5.1: Note que = = 8 5. Há uma nomenclatura especial para alguns tipos de frações. Fração própria: a b Fração imprópria: a b com a < b naturais não nulos. com b < a naturais não nulos. 168

178 5.1. Construção de Q a partir de Z Fração decimal: Fração aparente: Fração unitária: a b a b com b = 10. com a múltiplo de b. a b com a = 1. O próximo exemplo apresenta como estudar e analisar frações que sejam equivalentes. Exemplo 5.2: Some 7 ao denominador de Vamos determinar quanto se deve somar ao numerador para se obter uma fração equivalente. Procuramos a Z tal que Ou seja, queremos que as equações e 2 14 = 2 + a = 2 + a x = 2 21x = 2 + a tenham a mesma solução. Mas note que, se na segunda equação substituirmos 2 por 14x, obtemos 21x = 14x + a 7x = a 14x = 2a. Mas, como 14x = 2, temos a = 1. Na definição de fração vimos que, ao se multiplicar ambos o numerador e o denominador de uma fração pelo mesmo número inteiro não nulo, a nova fração é equivalente à fração inicial. O próximo exemplo nos mostra que o mesmo não ocorre com a operação de adição. 169

179 Números racionais Exemplo 5.3: Se adicionarmos um mesmo número não nulo ao numerador e ao denominador de 8 12, não é possível obter uma nova fração equivalente à essa. Procuramos a Z tal que 8 12 = 8 + a 12 + a. Ou seja, vamos supôr que temos a mesma solução para as equações 12x = 8, (12 + a)x = 8 + a. Substituindo a segunda equação na primeira, obtemos (12 + a)x = 12x + a ax = a e, portanto, já que a 0, vale x = 1. Daí, concluímos erroneamente que 12 = 8. Absurdo! Logo não há a Z que cumpra as exigências do problema. O exemplo que acabamos de estudar pode ser generalizado: dada uma fração b c com b diferente de c, não é possível obter uma nova fração equivalente à essa adicionando um mesmo número não nulo ao numerador e ao denominador. Já sabemos que, dada uma fração, podemos criar muitas outras que sejam equivalentes àquela. Por isso, a próxima definição nos apresenta o conceito de fração irredutível, que nos dá uma maneira consistente de escolher uma daquelas representações para tais frações equivalentes. Definição 5.1: Um número a b Q é dito irredutível quando mdc(a, b) = 1. Caso contrário, a fração é dita redutível. O próximo teorema nos diz que, partindo de uma fração redutível, é sempre possível obter uma fração irredutível. 170

180 5.1. Construção de Q a partir de Z Teorema 5.1: Todo número racional pode ser expresso na forma a b com mdc(a, b) = 1. Demonstração: Seja uma fração a b com mdc(a, b) = d > 1. Assim, ela é solução da equação bx = a com b = dp e a = dq tais que mdc(p, q) = 1. Ou seja, podemos reescrever a equação como dpx = dq. Pela propriedade do cancelamento (M 4), temos a equação equivalente px = q com mesma solução. Ou seja, a b = p q com mdc(p, q) = 1. Exemplo 5.4: a) A fração 4 10 é redutível, pois mdc(4, 10) = 2. Porém, ela possui uma fração equivalente irredutível: 4 10 = = 2 5. b) Temos que é redutível, com mdc(12, 72) = 12. A fração equivalente irredutível é: = = 1 6. Outro resultado envolvendo frações irredutíveis é o seguinte. Proposição 5.1: Sejam a, b Z com b 0. A fração a b é irredutível a se, e somente se, b a é irredutível. 171

181 Números racionais Demonstração: ( ) Considere a b irredutível, portanto mdc(a, b) = 1. Pela identidade de Bézout, existem x, y Z tais que ax+by = 1. Como x e y são números inteiros, então existe x Z tal que x = x y. Logo ax + by = 1 a x + (b a)y = 1 mdc(a, b a) = 1 a e, assim, b a é irredutível. ( ) Por outro lado, se a b a é irredutível, então existem x, y Z tais que ax + (b a)y = 1, que implica em a(x y) + by = 1, logo mdc(a, b) = 1 e a b é irredutível. Exemplo 5.5: Note que 3 11 é irredutível, afinal ambos são números primos. Pela proposição anterior, = 3 8 também é irredutível. Exercícios da Seção : Pesquise sobre: a) Conjunto parcialmente ordenado. b) Relação entre conjuntos. c) Álgebra relacional. 5.2: Encontre cinco números a Z de modo que esteja, também, em Z. 10a 2a 1 5.3: Encontre três frações equivalentes a 3 8 são os menores possíveis. 5.4: Encontre uma fração equivalente a 3 8 com o denominador seja 55. nas quais os numeradores cuja soma do numerador 172

182 5.2. Operações em Q 5.5: Existe fração equivalente a 1 3 com denominador 10? 5.6: Ache um número racional igual a com o denominador seja 48. cuja soma do numerador 5.7: Qual é a maior fração própria irredutível na qual o denominador é 15? 5.8: Encontre o menor n N tal que as 30 frações sejam irredutíveis. 9 n + 11, 10 n + 12, 11 n + 13,..., 38 n : (ORM/SC N2) Encontre três frações, a b, c d, e f com a, b, c, d, e, f N, iguais respectivamente a 1 2, 3 5, 5, tais que 7 e esta soma s é a menor possível. a + b = c + d = e + f = s 5.10: (37 a OBM ) Determine o número de inteiros positivos n menores que 100 de modo que a fração não seja irredutível. 8n + 5 5n Operações em Q Baseados nas operações em Z, definiremos como somar, multiplicar, subtrair e dividir números racionais. Algumas propriedades serão adaptadas de Z (vide Capítulo 3) e, algumas demonstrações, são consequências imediatas de propriedades de Z. 173

183 Números racionais Adição Definição 5.2: Dados a b, c Q, definimos d a b + c ad + bc =. d bd Essa definição se dá pelo seguinte: sejam as equações que representam, respectivamente, as frações a b e c d : bx = a dy = c. Queremos calcular x + y. Para isso, multiplique a primeira equação por d e a segunda por b: Somando ambas: Exemplo 5.6: Temos bdx = ad bdy = bc. bd(x + y) = ad + bc x + y = ad + bc bd. a) = = que, após uma simplificação, fica = = = b) = = = = c) = = =

184 5.2. Operações em Q Este último exemplo significa que, ao somar frações com mesmo denominador, basta somar os numeradores e manter o denominador. Sejam a b, c d, e f Q. Veremos, agora, que a adição em Q satisfaz as mesmas propriedades básicas que a adição em Z. (A1) Associatividade da adição: ( a c b + d + e ) ( a = f b d) + c + e f. (A2) Comutatividade da adição: a b + c d = c d + a b. (A3) Existência do elemento neutro da adição: (A4) Cancelamento da adição: a b = a b = a b. a b + c d = a b + e f c d = e f c d + a b = e f + a b c d = e f. (A6) Existência do elemento oposto da adição: Existe a b Q, único, tal que a ( b + a ) ( = 0 = a ) + a b b b. O oposto de a b, representado por a b, pode ser representado de variadas formas: a b = a b = a b. Vejamos, a seguir, dois exemplos que utilizam a adição de frações em sua resolução. Além disso, o primeiro deles relaciona as frações com as equações diofantinas (Seção 4.6). 175

185 Números racionais Exemplo 5.7: Vamos encontrar dois racionais de denominadores 5 e 7 com soma Procuramos x, y Z tais que Somando o lado esquerdo, obtemos x 5 + y 7 = x + 5y 35 = Duas frações com mesmo denominador são iguais quando os numeradores são iguais. Logo, temos de resolver a equação diofantina 7x + 5y = 26. Aplicando a Identidade de Bézout (Capítulo 4, Seção 4.6) encontramos x = 52 e y = 78. Assim, os números procurados são 52 5 e Exemplo 5.8: Uma piscina é enchida por duas torneiras. A primeira sozinha a enche em duas horas, enquanto a segunda em cinco horas. Qual fração da piscina é preenchida após uma hora? Para determinar quanto do tanque é enchido após uma hora, note que a primeira torneira enche 1 2 da piscina e a segunda, 1 5. Portanto, juntas, elas enchem = = Multiplicação A definição de multiplicação de frações é mais simples do que a adição. No produto de duas frações, seu numerador será o produto dos numeradores e, seu denominador, o produto dos denominadores. Definição 5.3: Dados a b, c Q, definimos d a b c d = ac bd. 176

186 5.2. Operações em Q Vejamos a motivação dessa definição. Sejam as equações que definem a b e c d : Multiplicando ambas: Exemplo 5.9: Temos bx = a dy = c. bxdy = ac xy = ac bd. a) = = b) = = = O último exemplo nos diz que, ao multiplicar um número inteiro por uma fração, basta multiplicar tal número inteiro pelo numerador da fração. Sejam a b, c d, e f Q. Veremos agora que, em Q, a multiplicação satisfaz as mesmas propriedades que em Z. Além disso, apresentamos uma nova propriedade que explica a importância das frações: em Q, os elementos não nulos passam a possuir um elemento inverso na operação de multiplicação. (M1) Associatividade da multiplicação: ( a c b d e ) ( a = f b c ) e d f. (M2) Comutatividade da multiplicação: a b c d = c d a b. (M3) Existência do elemento neutro da multiplicação: a b 1 1 = a b = 1 1 a b. 177

187 Números racionais (M4) Cancelamento da multiplicação: Se a b 0: a b c d = a b e f c d = e f c d a b = e f a b c d = e f. (M5) Existência do elemento inverso da multiplicação: Em ( a ) 1 Q, existe único tal que b a ( a ) 1 ( a ) 1 b a = 1 = b b b. (D) Distributividade: ( a b d) + c e f = a b e f + c d e f ) ( a c b d + e f = a b c d + a b e f. Duas observações são importantes: primeiro, note que o elemento neutro é, simplesmente, o número 1. Além disso, o elemento inverso de a b é ( a ) 1 b = b a. Exemplo 5.10: O inverso de 3 8 é 8. De fato, temos = = = 1. Vejamos mais dois exemplos que envolvem a multiplicação de frações. Exemplo 5.11: Vamos encontrar um número que, multiplicado por dois quintos, resulta em sete oitavos. Procuramos o número x tal que x 2 5 =

188 5.2. Operações em Q Multiplicando os dois lados da igualdade por 5 2 obtemos x = x = = = Exemplo 5.12: Um tanque contém 750 litros de água e está com seis décimos de sua capacidade. Vamos descobrir a capacidade do tanque. Basicamente temos que a capacidade total x satisfaz 6 10 x = 750. Multiplicando ambos os lados por 10 6, concluímos que x = = = = 1250 l Subtração Assim como em Z, subtrair é simplesmente somar o oposto. Além disso, essa operação não é associativa, comutativa e nem possui elemento neutro. Definição 5.4: Dados a b, c d Q definimos Exemplo 5.13: Temos a b c ad bc =. d bd = = = = A seguir, dois exemplos que apresentam aplicações da subtração entre frações. Exemplo 5.14: Uma quadra tem m de comprimento e m de largura. Vamos determinar quantos metros a mais tem o compri- 179

189 Números racionais mento em relação à largura. Note que ( ) ( ) = = = = = = Exemplo 5.15: Uma peça de malha encolheu 2 15 de seu comprimento ficando com 39 metros. Para determinar seu comprimento, denote-o por C. Logo C 2 15 C = 39. Colocando C em evidência, concluímos que ( 1 2 ) C = ( ) C = C = 39. Multiplicando ambos os lados da igualdade por 15 13, obtemos C = C = C = Portanto o comprimento inicial da peça é 45 m. 180

190 5.2. Operações em Q Divisão Definição 5.5: Dados a b, c d Q definimos a b c d = a b d c = ad bc. Podemos também denotar Exemplo 5.16: Temos a b c d = a a b : c d = b c = = = d. Dizemos que dividir é multiplicar pelo inverso e, em Q, assim como a subtração, a divisão também não é associativa, comutativa e nem possui elemento neutro. Vejamos como utilizar a divisão na resolução de problemas matemáticos. Exemplo 5.17: Uma jarra tem capacidade de dois terços de litro e possui água até a metade. Para determinar quantos mililitros de água ela contém, perceba que a metade de dois terços é = = 1 3. Logo há um terço de litro de água, ou seja, Exemplo 5.18: Para transformar 200 quilômetros por hora em metros por segundo, note que 200 km/h = 200 km 1 h = m s = 2000 m 36 s ml. = 500 m 9 s = m/s. Assim, o que se fez foi multiplicar a velocidade inicial por 10 e depois dividi-la por 36. Assim, obtemos a velocidade em metros por segundo. 181

191 Números racionais Agora, apresentamos dois exemplos que, para ser resolvidos, utilizam tanto a subtração quanto a divisão. Exemplo 5.19: Vamos descobrir o quanto devemos subtrair de 2 3 para se obter a terça parte de 3 5. Queremos encontrar x Q tal que 2 3 x = 1 ( ) 3 = = 1 5, ou seja, somando x e subtraindo 1 5 em ambos os lados: x = = = = Exemplo 5.20: A fortuna de João foi dividida da seguinte forma: Um quinto para seu irmão mais velho. Um sexto do restante para seu irmão mais novo. Partes iguais do restante para cada um de seus 12 filhos. Vamos descobrir qual fração da fortuna recebeu cada filho. Seja F a fortuna. Assim seu irmão mais velho recebeu F 5 e restou F F 5 = 5F F 5 = 4F 5. O irmão mais novo recebeu ( ) 1 4F = 1 4F = 4F 30 = 2F 15. Portanto ainda restam 4F 5 2F 15 = 3 4F 2F 15 = 10F 15 = 2F

192 5.2. Operações em Q Assim cada filho recebeu 1 12 ( 2F 3 ou seja, um dezoito avos da fortuna. ) = 1 2F 12 3 = 2F 36 = F 18, Exercícios da Seção : Resolva: a) b) c) 23 ( ). 2 d) ( ) ( ). 12 e) 9324 ( ) ( 43 3 ) f) g) ( 2 h) ). 25 i) j) :

193 Números racionais k) 48 ( ) : : Um prédio trocou sua caixa de água, que comportava litros de água, por outra três quintos maior. Quanta água cabe nessa nova caixa? 5.13: Para diminuir custos e aumentar seus lucros, uma lanchonete diminuiu em cinco doze avos a quantidade de bacon nos seus sanduíches. Se eram colocados 100 g de bacon em cada sanduíche, quantos gramas de bacon se coloca atualmente? 5.14: Que fração da hora é o minuto? Quantos minutos há em 3 5 de hora? 5.15: Quanto se deve subtrair de cada uma das frações 5 3, 18 13, 7 4, 8 5 respectivamente, para se obter um número inteiro? 5.16: Dados dois números racionais a e b, explique porque é sempre possível encontrar um terceiro racional estritamente entre eles. 5.17: Em uma escola, o 9 ano possui 20 alunos. Hoje, vieram para a aula três quartos deles e, dentre estes, dois quintos sairão mais cedo. Quantos sairão mais cedo? Quantos estão presentes hoje? 5.18: Qual número multiplicado por 1 3 resulta em 3 5? 5.19: Ache dois números racionais de denominadores 3 e 11, cuja diferença é igual a : Em uma fazenda, planta-se arroz em metade da área fértil. Além disso, em outros 1 da área fértil planta-se milho e há apenas pasto nos metros quadrados restantes da área fértil. Sabendo que a área fértil cobre 4 da área total da fazenda, qual a extensão total da área 5 fértil e da fazenda? 5.21: Em uma corrida, quando o 1 colocado cruzou a linha de chegada, o 2 colocado estava 30 metros atrás e, o 3, 39 metros atrás. 184

194 5.2. Operações em Q Quando o 2 colocado completou a corrida, o 3 estava 13 metros atrás dele. Sabendo que os três primeiros colocados correram à velocidade constante, calcule o comprimento da pista. 5.22: Demonstre que a operação de adição no conjunto dos números racionais é comutativa, associativa, possui elemento neutro e possui elemento oposto. a 5.23: Dado um número racional sabemos que seu oposto aditivo é b denotado por por a. Demonstre que, b a b = a b = a b = a b. 5.24: Demonstre que a operação de multiplicação no conjunto dos números racionais é comutativa, associativa, possui elemento neutro e possui elemento inverso. a 5.25: Dado um número racional sabemos que seu inverso multiplicativo é denotado por Demonstre que ( b a ) 1. b ( a b ) 1 = b a. 5.26: Demonstre que a divisão no conjunto dos números racionais não é associativa, não é comutativa e nem possui elemento neutro. 5.27: Encontre três frações cuja soma é 1 mas que, se substituirmos uma delas por 7 6, a nova soma será : (32 a OBM ) Ana começou a descer uma escada no mesmo instante em que Beatriz começou a subi-la. Ana tinha descido 3 4 da escada quando cruzou com Beatriz. No momento em que Ana terminar de descer, que fração da escada Beatriz ainda terá que subir? 5.29: (35 a OBM ) Escrevemos a soma dos recíprocos dos números de 1 a 2013 como a fração irredutível A B, ou seja, = A B 185

195 Números racionais com mdc(a, B) = 1. Qual é o maior valor inteiro de n tal que B é múltiplo de 3 n? 5.30: (38 a OBM ) Qual é o valor da expressão : (31 a OBM ) Se 1 8 de um número é 1 5, quanto vale 5 8 desse número? 5.32: (29 a OBM ) Observe as igualdades a seguir:? = = = A. Qual o valor de A 223 2? 5.3 Relação de ordem Novamente voltamos nossas as atenções para o estudo de relações de ordem, todavia no conjunto dos números racionais. O estudo de conjuntos que possuem uma noção de ordem é recente no mundo matemático, com menos de 200 anos de idade. Seu uso aparece em praticamente todas subáreas da matemática e um de seus usos mais notáveis foi apresentado por George Boole no estudo das álgebras booleanas, que são parte fundamental no surgimento dos computadores. 186

196 5.3. Relação de ordem George Boole George Boole (Lincoln, 2 de novembro de 1815 Ballintemple, 8 de dezembro de 1864) foi um matemático e filósofo britânico. Introduziu a analogia entre símbolos algébricos e aqueles que representam formas lógicas, o que foi o começo da álgebra Booleana, que possui aplicações na computação. Também trabalhou com equações diferenciais, no cálculo de diferenças finitas e em teoria da probabilidade. Foi um dos primeiros a investigar as propriedades básicas dos números, tais como propriedades distributivas. e Note que a b = a b a b = a b e, portanto, qualquer número racional pode ser escrito com denominador positivo. Assim, a partir de agora, redefiniremos { a } Q = b : a, b Z, 0 < b. Dessa forma, definimos os seguintes subconjuntos de Q: Frações positivas: Q + = { a b Q : 0 < ab }. Frações não negativas: Q + = { a b : 0 ab }. 187

197 Números racionais Frações negativas: Q = { a b : ab < 0 }. Frações não positivas: Q = { a b : ab 0 }. Ou seja, um número racional a b, com 0 < b, será positivo quando 0 < a. Além disso essa fração só é zero quando a = 0 e, por último, a fração só será negativa se a < 0. Finalmente, podemos definir como comparar frações. Definição 5.6: Dados a b, c Q com b, d > 0, temos: d a) a b c d quando c d a b Q +. b) a b < c d quando c d a b Q +. Agora, podemos entender facilmente essa relação trazendo-a para Z, afinal: Assim, se 0 < b e 0 < d, temos a b c d c d a b Q + cb ad Q + bd cb ad Z + ad cb. a b c ad cb. d De forma análoga, a b < c ad < cb. d 188

198 5.3. Relação de ordem Exemplo 5.21: Temos pois 3 6 = = , Outra maneira de comparar frações é escrevê-las com o mesmo denominador e simplesmente comparar os numeradores. Repetindo o exemplo anterior, já que 3 4 = = concluímos que a fração de baixo é maior. Muitas propriedades são análogas ao caso dos números inteiros. Iniciamos com uma proposição que nos indica que é uma relação de ordem total também em Q. Proposição 5.2: Sejam a b, c d, e f Q. Valem: a) Reflexividade: a b a b. b) Antissimetria: a b c d a b = c d. c) Transitividade: a b c d, c d e f a b e f. d) Totalidade: a b c d ou c d a b. Demonstração: a) Claramente, a b = a b. Portanto, a b a b. b) Pelas hipóteses, temos ad bc e bc ad, portanto ad = bc e, multiplicando ambos os lados por 1 bd, temos a b = c d. 189

199 Números racionais c) Note que as hipóteses implicam que ad bc e cf ed. Multiplicando a primeira desigualdade por f e a segunda por b, obtemos adf bcf e bcf bed, pois b, f > 0. Logo, adf bed. Como d > 0, então af be. Portanto, a b e f. d) Comparar as duas frações é equivalente a comparar ad com bc. Pela totalidade em Z (Proposição 3.6), o resultado segue. A próxima proposição nos diz o que acontece com uma desigualdade quando operamos ambos os lados por um mesmo número racional. Proposição 5.3: Sejam u, v, w, z Q. Então valem as seguintes afirmações. a) u v u + w u + w. b) u v, 0 w uw vw. c) u v, w 0 vw uw. Demonstração: A demonstração é análoga à Proposição 3.8. Em particular, utilizando duas vezes o item c) dessa proposição com w = 1, temos u v v u. Exemplo 5.22: a) ( 1 2 b) 15 2 ) ( ( 15) 4 ( 3) c) ( 4) ( 5) ( 4) )

200 5.3. Relação de ordem Corolário 5.1: Sejam u, v, w, z Q. Então: a) uv 0 u 0 e 0 v ou 0 u e v 0. b) 0 uv u 0 e v 0 ou 0 u e 0 v. c) u v, w z u + w v + z. Ao se trocar por < em seus enunciados, continuam valendo o item c) da Proposição 5.2, a Proposição 5.3 e o Corolário 5.1. A seguir, seguem mais algumas importantes propriedades relativas a <, que envolvem a divisão em Q. Proposição 5.4: Sejam u, v Q. Então valem: a) 0 < u 0 < 1 u. b) 0 < u < 1 1 < 1 u. c) 0 < u < v 0 < 1 v < 1 u. d) u < v < 0 1 v < 1 u < 0. Demonstração: Sejam u = a b e v = c d e note que 1 u = b a e 1 v = d c. a) 0 < u 0 < ab 0 < 1 u. b) 0 < u < 1 0 < ab e a < b 1 < 1 u. 191

201 Números racionais c) Pelo item a), segue que ambos u 1 e v 1 são positivos. Então pelo item b) da Proposição 5.3: u < v u d) É análoga à demonstração do item c). 1 uv < u 1 uv 1 v < 1 u. No próximo exemplo, apresentamos aplicações dos últimos três itens da proposição anterior. Exemplo 5.23: a) 0 < 1 2 < 1 1 < 2. b) 0 < 5 < 7 0 < 1 7 < 1 5. c) 3 < 1 < < 1 3 < 0 1 < 1 3 < 0. No conjunto Q também vale a tricotomia. Proposição 5.5: (Tricotomia em Q) Dados u, v Q, então somente uma das seguintes opções ocorre. a) u < v. b) u = v. c) v < u. Demonstração: Sejam u = a b e u = c d, com b, d > 0. Pela tricotomia em Z (Proposição 3.10), ou ad = bc, que implica em u = v; ou ad < bc, que implica em u < v; ou bc < ad, que implica em v < u. 192

202 5.3. Relação de ordem Para os conjuntos N e Z valem, respectivamente, os Princípios da Boa Ordem e do Menor Inteiro. Dizemos que Q não é bem ordenado, pois existem subconjuntos de Q não vazios, limitados inferiormente e que não possuem elemento mínimo. Para demonstrar esse fato, começamos com uma importante proposição que nos indica como podemos achar um número racional entre outros dois números racionais dados. Proposição 5.6: Sejam u, v Q. Então u v u u + v 2 v. Demonstração: Considere u v. Assim, pelo item a) da Proposição 5.3, temos 2u u + v e u + v 2v. Como 0 2, temos do item a) da Proposição 5.4 que Assim, segue do item b) da Proposição 5.3 que 2u 1 1 (u + v) 2 2 u u + v 2 e, analogamente, que Logo u + v 2 u u + v 2 u. v. Teorema 5.2: O conjunto Q não é bem ordenado. { a Demonstração: Seja A = b Q : 1 2 < a }. Note que A pois b 1 A e, também, A é limitado inferiormente com 1 2 sendo um limite inferior. Então suponha, por absurdo, que A possui um elemento mínimo, digamos c d. Logo, c d a b 193

203 Números racionais a b A. Como c d A, então 1 2 < c. Assim, pela Proposição 5.6: d ( < 2 + c ) 1 d 2 < c d. Portanto, c d ( c ) ( 1 1 d 2 A e 2 + c ) 1 d 2 < c, que contradiz o fato de d ser o elemento mínimo de A. Podemos interpretar esse teorema da seguinte forma: não existe um número racional que seja o menor entre todos que são maiores que 1 2. Exercícios da Seção : Quais itens, a seguir, são verdadeiros e quais são falsos? a) b) c) e) g) < i) k) 2 3 = 2 3. d) f) < < h) j) 9 2 l) = : Coloque em ordem crescente: 1 3, 4 5, 7 12, 2 3, 11 12, 4 3,

204 5.3. Relação de ordem 5.35: João e Rafael pediram duas pizzas médias. A pizza de João estava dividida em 12 partes e, a de Rafael, em 9 partes. João comeu 7 pedaços e Rafael comeu 5. Quem comeu mais, se as pizzas possuem o mesmo tamanho? 5.36: Qual é a maior fração menor que 2 5 cujo denominador é 8? : Em uma escola, 11 dos alunos estão no primeiro ano, 5 13 no segundo e, o restante, no terceiro. Em qual desses anos há mais alunos? 5.38: Para descobrir a idade com que Diofanto de Alexandria faleceu, resolva o problema que está escrito em sua tumba: Aqui jaz Diofanto. Maravilhosa habilidade. Pela arte da álgebra a lápide nos diz sua idade: Deus deu um sexto da vida como infante, um duodécimo mais como jovem, de barba abundante; e ainda uma sétima parte antes do casamento; em cinco anos nasce-lhe o rebento. Lástima! O filho do mestre e sábio do mundo se vai. Morreu quando da metade da idade final do pai. Quatro anos a mais de estudos consolam-no do pesar; Para então, deixando a terra, também ele alívio encontrar. 5.39: Sejam u, v, w, z Q. Demonstre que: i) u v u + w v + w. ii) u v, 0 w uw vw. iii) u v, w 0 vw uw. iv) u v, w z u + w v + z. v) u v v u. 5.40: Demonstre que: se dois racionais u, v satisfazem u < v < 0, então v 1 < u 1 < : Demonstre que, para todo u Q, vale 0 u u. 195

205 196 Números racionais

206 Capítulo 6 Números reais Neste capítulo estudaremos o conjunto dos números reais de uma forma introdutória. Tal conjunto surge pois há importantes números que aparecem na matemática e não são racionais. O estudo mais detalhado das propriedades do conjunto dos números reais é feito no ramo de matemática chamado análise matemática, principalmente a partir do século XVII na Europa, ao final da renascença. 6.1 Existência de números que não são racionais Todos conjuntos definidos até agora podem ser apresentados em uma forma geométrica altamente intuitiva. Desenhe um ponto e o denote por 0. Horizontalmente à direita, a uma certa distância, marque o seu sucessor; o 1. Mantendo a mesma distância e todos na mesma linha horizontal, podemos marcar os próximos números naturais, 2, 3 e assim sucessivamente:

207 Números reais A partir dessa figura, podemos facilmente desenhar os demais números que resultam no conjunto dos números inteiros: basta desenhá-los para o lado esquerdo do zero, mantendo as distâncias: Para apresentar um racional da forma a, basta marcar o ponto que b representa a medida 1 entre 0 e 1 dividindo o segmento entre 0 e 1 em b b partes. Daí, basta multiplicá-lo por a, obtendo, assim, o ponto a b. Por exemplo, para encontrar o ponto que representa o número 5 3 : = Dessa forma, marcamos todos os racionais nessa horizontal. Porém, essa horizontal não está totalmente preenchida! Ainda não obtemos uma reta sem buracos, pois existem números que não podem ser escritos como frações. É isso que garante o teorema a seguir. Teorema 6.1: Não existe número racional cujo quadrado é 2. Demonstração: Suponha, por absurdo, que exista, ou seja, existe a b Q irredutível (mdc(a, b) = 1) tal que ( a ) 2 = 2. (6.1) b Assim a 2 = 2b 2 e, portanto, 2 a 2. Como 2 é primo segue pela Proposição 4.5 que 2 a. Então a é par e podemos escrever a = 2c com c Z. Substituindo em (6.1), obtemos 4c 2 = 2b 2 2c 2 = b 2, daí 2 b 2 e, repetindo o argumento anterior, temos que b é par. Portanto a fração a b não é irredutível e segue um absurdo. 198

208 6.1. Existência de números que não são racionais Não há um consenso sobre quem criou essa demonstração, mas uma das teorias diz que é devida ao próprio Pitágoras. Pitágoras de Samos Pitágoras de Samos (Samos, 569 a.c. 475 a.c.) foi um filósofo grego. Fundador da escola Pitagórica, uma sociedade que misturava religião com ciência, foi fundamental para o desenvolvimento da matemática, especialmente pelo teorema que leva seu nome. Acredita-se que foi o primeiro matemático a provar que 2 não é um número racional. Tal número será denotado 2 e a conexão com Pitágoras é evidente em sua construção geométrica: considere um triângulo retângulo com os lados menores medindo 1, o terceiro lado mede 2 (pelo Teorema de Pitágoras, que pod ser conferido em [26]): Tais números que não são racionais e, portanto, não estão marcados ainda na nossa horizontal, são ditos números irracionais e, como vimos, seu estudo iniciou-se na escola pitagórica. Outros números além do 2 são irracionais: π, e, n com n Z não sendo um quadrado etc. O primeiro registro das demonstrações da irracionalidade de outros números da forma n, onde n é um número inteiro diferente de 2 que, obviamente, não é um quadrado, datam de mais de 2300 anos atrás, apresentadas pelo matemático Teodoro de Cirene. Infelizmente, não se tem registro de como essas demonstrações fo- 199

209 Números reais ram feitas, mas acredita-se que suas demonstrações eram diferentes da que apresentamos no Teorema 6.1, pois este pode ser facilmente generalizado para qualquer n Z que não seja um quadrado. Teodoro de Cirene Teodoro de Cirene (Cyrene (agora Shahhat), 465 a.c. Cyrene, 398 a.c.) foi um matemático e filósofo grego. Membro da escola pitagórica e conhecido pela espiral que leva seu nome (figura ao lado), apresentou as demonstrações da irracionalidade dos números n, onde n Z não é um quadrado e está entre 2 e 17. Portanto, o conjunto dos números reais, denotado R, é definido como a união do conjunto dos números racionais e do conjunto dos números irracionais. E, dessa forma, em uma representação pictórica, precisamos de uma reta, sem buracos, para representá-lo. Essa representação geométrica do conjunto dos números reais é chamada de reta real e π Da mesma forma que fizemos para os demais conjuntos, também é possível definir as relações e < em R. Dados r, s R, a < b significa intuitivamente que b está à direita de a na reta real. Obviamente, a b quando a < b ou a = b. Consequentemente, é fácil definir alguns imporantes subconjuntos de R. Reais não nulos: R = {r R r 0}. Reais não negativos: R + = {r R 0 r}. 200

210 6.1. Existência de números que não são racionais Reais positivos: R + = {r R 0 < r}. Reais não positivos: R = {r R r 0}. Reais negativos: R = {r R r < 0}. Curiosamente, demorou-se muito tempo para se criar um nome definitivo para o conjunto R. O termo real foi introduzido pelo matemático francês René Descartes para distinguir raízes reais e imaginárias de polinômios. René Descartes René Descartes (La Haye (agora Descartes), 31 de março de 1596 Estocolmo, 11 de fevereiro de 1650) foi um matemático e filósofo francês. Seu trabalho intitulado La Géométrie apresenta aplicações da álgebra na geometria, o que resultou na geometria cartesiana. Também possui importantes resultados na física. Exercícios da Seção : Pesquise sobre: a) Sulba Sutras. b) Robert Recorde. c) Hipótese do continuum. 6.2: Demonstre que 3 é irracional. 6.3: Demonstre que p, com p primo, é irracional. 6.4: A soma de dois números irracionais é irracional? Prove ou dê um contra-exemplo. 201

211 Números reais 6.5: A soma de um número racional com um número irracional é irracional? Prove ou dê um contra-exemplo. 6.6: (27 a OBM ) Dentre treze números reais não nulos há mais números positivos do que negativos. Dentre os = 78 produtos de dois dos treze números, 22 são negativos. Quantos números dentre os treze números dados são negativos? 6.2 Potenciação e radiciação A noção de potência foi usada inicialmente para representar o quadrado de um número. Em seus estudos, Euclides já utilizava tal conceito, como hoje conhecemos. Além disso, os termos ao quadrado e ao cubo são usados dessa forma, pois representam a área de um quadrado e o volume de um cubo, respectivamente. Definição 6.1: Sejam r R e a N. Definimos o número real r a como sendo o número r a = } r r {{ r }. a vezes Não podemos definir 0 0 e, adiante, a Proposição 6.1 nos ensinará a calcular r 0 quando r 0. Exemplo 6.1: Temos a) 3 2 = 3 3 = 9. b) ( ) 3 5 = = = = c) ( 2) 5 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = 32. Podemos também definir potências negativas de números reais não nulos. 202

212 6.2. Potenciação e radiciação Definição 6.2: Sejam r R e a N. Definimos o número real r a como sendo o número r a = 1 r a. Exemplo 6.2: Então a) 3 2 = = = 1 9. b) c) ( ) 3 5 = 1 2 ( 3 8) 2 = ( ) 3 = ( ) 2 = = = 1 = = = Exemplo 6.3: Vamos escrever como uma fração irredutível: (4 8) (4 8) 1 = = = = = = Vejamos algumas propriedades que envolvem a potenciação. 203

213 Números reais Proposição 6.1: Sejam r, s R e a, b N. Então: a) r a r b = r a+b. b) r a s a = (rs) a. c) Se r 0 então r 0 = 1. Demonstração: a) Da definição de potência, temos: r a r b = r } r {{ r } a vezes r r r }{{} b vezes = r } r {{ r } = r a+b. a+b vezes b) Será verdade pois a multiplicação de números reais é comutativa: r a s a = } r r {{ r } a vezes s s s }{{} a vezes c) r 0 = r 1 1 = r 1 r 1 = r 1 r = r r = 1. = } rs rs {{ rs } = (rs) a. a vezes Exemplo 6.4: a) ( 3) 2 ( 3) 4 = ( 3) 2+4 = ( 3) 6 = 729. b) ( ) = 4 ( ) 3 ( ) = = 4 ( 6 4 ) 3 = ( ) 3 3 = = É imediato concluir que essas propriedades valem também para potências negativas. Corolário 6.1: Sejam r, s R e a, b Z tais que, abaixo, não acontece 0 0. Então: a) r a r b = r a+b. b) r a s a = (rs) a. 204

214 6.2. Potenciação e radiciação Observação 6.1: Note que um número real elevado a uma potência par nunca será negativo, basta adaptar a Proposição 3.7 para R. Além disso, podemos ter potências fracionárias, que geram as chamadas raízes (quadradas, cúbicas etc.). Há duas possíveis origens para o símbolo de raiz: da primeira letra da palavra árabe jadhir, ou da primeira letra da palavra latina radix, ambas significando raiz. Começamos definindo potências de frações unitárias, ou seja, aquelas com numerador igual a 1. Definição 6.3: Sejam r R e b N. Definimos o número real r 1 b em dois casos. a) Se b é par, e r é não negativo, r 1 b é o número não negativo b r que satisfaz ( b r ) b = r. b) Se b é ímpar, r 1 b é o número b r que satisfaz ( b r ) b = r. O número b r se lê raiz b-ésima de r. Quando b = 2 escrevemos apenas r. Exemplo 6.5: a) Note que 3 2 = 9. Portanto 9 = 3. b) Já que segue que ( 5 ) 3 = , =

215 Números reais Embora tanto ( 3) 2 quanto 3 2 resultem em 9, definimos 9 como um número não-negativo, ou seja, o número 3. O objetivo dessa restrição é transformar a raiz em uma função. O caso em que b é par e r < 0 não se aplica em nosso contexto. A raiz par de um número negativo resulta em um número do conjunto dos números complexos, denotado por C. Dessa forma, no conjunto dos números reais e para r < 0, só é possível calcular raízes ímpares e, o resultado, também será negativo. Com essas definições, podemos definir potências com expoentes fracionários quaisquer. Definição 6.4: Sejam r R e a b Q. Definimos o número real r a b como sendo, se existir, o número b r a ou ( b r ) a. ( 1 Exemplo 6.6: Vamos calcular 8 ( ) (1 3 = 8 8 ) 2 3. Note que ) 2 = = 1 4. A radiciação satisfaz algumas importantes propriedades. Proposição 6.2: Sejam r, s R e a, b Z. Então: a) a r b r = ( ab r) a+b. b) a r a s = a rs. Demonstração: Temos: a) Note que: ( a r b r ) ) ab = (r 1 1 ab ab a r b = r a 206 r ab b = r b r a = r a+b.

216 6.2. Potenciação e radiciação Ou seja: b) Note que: a ( r b ab r = ) r a+b = ( ab r ) a+b. a r a s = r 1 a s 1 a. Também, já que r 1 a s 1 a que elevado à potência a resulta em rs, segue r 1 a s 1 a = a rs. Um último resultado muito importante é que, para quaisquer r R e b N, temos: b rb = r = { r, se r 0; r, se r < 0. Afinal, pela definição de raiz (Definição 6.3), raízes de ordem par sempre resultam em um número não negativo. Porém, se b é ímpar, segue que b rb = r. Exemplo 6.7: Temos a) = = 5. b) ( 3) 2 = 9 = 3 = ( 3). c) 5 ( 7) 5 = 7. Exercícios da Seção : Calcule ( ).

217 Números reais 6.8: Qual o algarismo das unidades de 6.9: Simplifique: ? a) b) c) d) e) f) g) h) ( ( 4 9 ) 3 ) (10) 1. ( ) 3 ( ) i) j) k) l) ( ) ( 5 5 ) m) ( 3 ) 5 n) 81 o) p) ( 3 5 ) : Com o auxílio de uma calculadora, obtemos 3 = 1, Calcule (1, 7) 2, (1, 73) 2, (1, 732) 2... e perceba que o resultado se aproxima de : Dados números reais r e s, defina r s = r s. Calcule 3 (3 (3 (3 3))). (((3 3) 3) 3) 6.12: Dados números reais r e s, defina r s = r s + r s. Calcule (3x) 2 sabendo que 2 x =

218 6.3. Progressões aritméticas 6.13: Uma tripla pitagórica é um trio de números naturais a, b e c tais que a 2 + b 2 = c 2. Mostre que, para todos m, n N, com n < m, é uma tripla pitagórica. (m 2 n 2, 2mn, m 2 + n 2 ) 6.14: Sem utilizar uma calculadora, estime : Dados a, b Z, mostre que (36a + b)(a + 36b) nunca é uma potência : Quantos números naturais existem entre 73 e 680? 6.17: (31 a OBM ) Encontre todos os inteiros a > 0 e b > 0 tais que 4 3 a = b. 6.18: (27 a OBM ) O número (2 + 2) 3 (3 2) 4 + (2 2) 3 (3 + 2) 4 é inteiro, racional ou irracional? 6.3 Progressões aritméticas No dia a dia, existem grandezas que sofrem variações iguais em períodos de tempo iguais, por exemplo, o custo de uma corrida de táxi, o crescimento de uma árvore e a distância das pegadas de animais. Se listarmos tais valores que essas grandezas assumem ao longo do tempo, teremos uma sequência cujo nome é progressão aritmética. Definição 6.5: Seja a 1, a 2,..., a n,... uma sequência de números reais. Tal sequência é dita uma progressão aritmética (PA) quando, para qualquer n N, a n+1 a n = r. O número real r é denominado razão da PA. O termo a n é chamado termo geral da PA. 209

219 Números reais Assim, uma P A é uma sequência de números reais cuja diferença entre um termo e seu antecessor é sempre constante. Exemplo 6.8: a) A sequência dos números naturais ímpares é uma PA com razão 2. 1, 3, 5, 7..., 2n 1... b) A sequência dada por a n = n, para n = 1, 2, 3..., é 2 uma PA com razão , 2 2, , n 2..., Veremos a seguir duas proposições sobre progressões aritméticas. A primeira, trata da caracterização do termo geral da P A, a n, a partir do primeiro elemento, a 1, e da razão r. Proposição 6.3: Seja a n o termo geral de uma PA de razão r, com primeiro termo a 1. Então, a n = a 1 + (n 1)r. Demonstração: Pela definição de P A temos, Assim, a 2 a 1 = r, a 3 a 2 = r, a n a n 1 = r. a n a 1 = (a n a n 1 ) (a 3 a 2 ) + (a 2 a 1 ) = r + r r. }{{} (n 1) vezes Portanto a n a 1 = (n 1)r, que implica a n = a 1 + (n 1)r.. 210

220 6.3. Progressões aritméticas Exemplo 6.9: a) Vamos descobrir o vigésimo sétimo termo da PA com razão 2 e primeiro termo 54. Segue: a 27 = a 1 + (27 1)r = ( 2) = 2. b) Vamos calcular a razão r da PA cujo centésimo termo é 945 e primeiro termo é 54. Segue: a 100 = a 1 + (100 1)r 945 = r 99r = 891 r = 9. A próxima proposição apresenta uma fórmula para o cálculo da soma dos n primeiros termos da P A. Proposição 6.4: A soma dos n primeiros termos de uma PA com primeiro termo a 1 e n-ésimo termo a n é S n = (a 1 + a n )n 2. Demonstração: Seja, então, uma P A com termos a 1, a 2,..., a n,... e razão r. Denote S n a soma dos n primeiros termos. Assim: S n = a 1 + a a n 1 + a n, S n = a n + a n a 2 + a 1. Somando essas duas igualdades, obtemos 2S n = (a 1 + a n ) + (a 2 + a n 1 ) (a n + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a 1 + r + a n r) (a n + a 1 ) = (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) (a n + a 1 ) = (a 1 + a n )n. Portanto S n = (a 1 + a n )n

221 Números reais Se unirmos as duas últimas proposições, chegamos a uma maneira de calcular a soma dos n primeiros termos de uma P A, através do primeiro termo e da razão: S n = (a 1 + (a 1 + (n 1)r))n 2 = (2a 1 + (n 1)r)n 2. Agora vamos resolver, de forma diferente, a indagação apresentada no Exemplo Exemplo 6.10: Considere a progressão aritmética 1, 2, 3..., n..., cuja razão é 1. Assim a soma dos n primeiros termos é: Logo n = (a 1 + a n )n 2 (1 + n)n = 2 n(n + 1) =. 2 2( n) = n(n + 1). A seguir, estudamos mais alguns exemplos que envolvem essas progressões e as fórmulas apresentadas. Exemplo 6.11: O décimo termo de uma PA vale 23, e o trigésimo quinto termo vale 202. Vamos calcular o primeiro termo e a razão. Vamos denotar o primeiro termo da PA por a 1 e a razão por r. Assim, pela Proposição 6.3: a 1 + 9r = 23 e Assim a r = = a r = a 1 + 9r + 25r = r 212

222 6.3. Progressões aritméticas que implica ou seja, r = 9. Com isso: 25r = 225 a = 23 a 1 = = 104. Exemplo 6.12: Vamos determinar o primeiro termo e a razão da PA em que o vigésimo primeiro termo é 2 e a soma dos 42 termos iniciais é 105. Denote o primeiro termo da PA por a 1 e a razão por r. Assim: a r = 2 a 1 = 2 20r e, calculando a soma em função do primeiro termo e da razão: Então, ou seja, r = 1. Logo, 105 = (2a 1 + (42 1)r) = 2a r. 5 = 2a r = 2(2 20r) + 41r = 4 + r, a 1 = = 18. Assim, a PA tem o primeiro termo igual a 18 e razão 1. Para finalizar, como curiosidade, enunciamos um teorema devido ao matemático alemão Dirichlet. Esse teorema relaciona de forma engenhosa as noções de progressão aritmética e número primo. Teorema 6.2: Sejam a e r números naturais primos entre si. Então, a PA a, a + r, a + 2r,..., a + nr,... possui infinitos termos primos entre seus elementos. A demonstração desse teorema será omitida, pois utiliza as propriedades de certas funções multiplicativas (conhecidas como funções L de Dirichlet) e vários resultados sobre aritmética de números complexos, que estão fora do escopo deste livro. Esse resultado pertence a um ramo da matemática chamado teoria analítica dos números. 213

223 Números reais Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, 13 de fevereiro de 1805 Göttingen, 5 de maio de 1859) foi um matemático alemão, a quem se atribui a moderna definição formal de função. Contribuiu à teoria dos números ao estabelecer critérios de convergência para séries e, em particular, estudar as séries de Fourier. Aplicou as funções analíticas ao cálculo de problemas aritméticos e, na análise matemática, aperfeiçoou a definição e conceito de função. Em mecânica teórica centrou-se no estudo do equilíbrio de sistemas e no conceito de potencial newtoniano. Exercícios da Seção : Em cada progressão aritmética a seguir, encontre o termo a n, a razão e a soma dos n primeiros termos: a) n = 15 na PA: 5, 2, 1, b) n = 23 na PA: 10, 20 3, c) n = 7 na PA: 7, 41 6, 40 6, d) n = 71 na PA: 0, 1 6, 1 3, e) n = 20 na PA: 2 9, 4 9, f) n = 16 na PA: 5 7, 4 7,

224 6.4. Progressões geométricas g) n = 23 na PA: 1 7, 6 7, h) n = 22 na PA: a n = 7 n. i) n = 312 na PA: a n = 8n : Os lados de um triângulo retângulo formam uma PA. Sabendo que o perímetro do triângulo vale 24 m, calcule o comprimento de cada lado. 6.21: Sabendo que o primeiro termo de uma PA é 4 e o vigésimo primeiro termo é 4, calcule a razão da progressão. 6.22: O décimo segundo termo de uma PA vale 52, e o vigésimo quinto termo vale 117. Calcule o primeiro termo e a razão. 6.23: Calcule a soma de todos os múltiplos naturais de 6 que possuem 3 algarismos em sua representação polinomial. 6.24: Calcule a soma dos números naturais menores do que 500, que na divisão por 5 deixam resto : Calcule a soma dos números naturais inferiores a mil que não são múltiplos de : Determine a PA em que o vigésimo termo é 2 e a soma dos 50 termos iniciais é Progressões geométricas As progressões geométicas representam grandezas ou quantidades que variam a uma taxa constante em intervalos fixos ao longo do tempo. A natureza contém muitas aplicações de progressões geométricas, como por exemplo nos girassóis e nos caracóis, mas a aplicação mais conhecida das progressões geométricas se encontra no estudo dos juros com- 215

225 Números reais postos em matemática financeira. Definição 6.6: Seja a 1, a 2,..., a n,... uma sequência de números reais. Esta sequência é dita uma progressão geométrica (PG) quando, para qualquer n N, an+1 a n = q. O número real q é denominado razão da PG. O termo a n é chamado termo geral da PG. Assim, uma P G é uma sequência de números reais cuja divisão entre um termo e seu antecessor é sempre o mesmo número real. Exemplo 6.13: a) A sequência é uma PG com razão 3. 3, 9, 27, 81..., 3n,... b) A sequência definida por a n = ( 2) n com n = 1, 2,..., pode ser vista como 2, 4, 8..., ( 2) n... uma PG com razão 2. Vejamos agora duas proposições que envolvem progressões geométricas. A primeira relaciona o termo geral da P G, a n, ao termo inicial a 1 e à razão q. Proposição 6.5: Considere uma PG de termo inicial a 1 e razão q. Então a n = a 1 q n 1, onde n N. Demonstração: Pela definição de P G, temos a 2 a 1 = q, a 3 a 2 = q,. a n = q. a n 1 216

226 6.4. Progressões geométricas Assim, a n = a n... a3 a2 = q... q q. a 1 a n 1 a 2 a 1 }{{} (n 1) vezes Portanto, temos a n = a 1 q n 1. Exemplo 6.14: É dada uma PG com primeiro termo igual a 2 e razão 1. Assim, seu décimo termo é 2 a 10 = a 1 q 9 = 2 ( ) 9 1 = = Exemplo 6.15: Considere a progressão geométrica 4, 6, 9, Vamos calcular sua razão e o trigésimo termo. Começamos calculando a razão q. termo pelo seu antecessor: Para isso, basta dividir qualquer q = 6 4 = 3 2. Para calcular o trigésimo termo, utilizamos a Proposição 6.5: a 30 = a 1 q 29 = 4 Note que o termo geral a n é a n = a 1 q n 1 = 4 ( ) 29 3 = ( ) n 1 3 = 3n n 3. Na próxima proposição, uma fórmula para a soma dos primeiros n termos da P G é calculada. 217

227 Números reais Proposição 6.6: A soma dos n primeiros termos de uma PG com razão q e primeiro termo a 1 é S n = (1 qn )a 1 1 q. Demonstração: Seja, então, uma P G a 1, a 2..., a n,... com razão q e denote S n a soma dos n primeiros termos. Então: S n = a 1 + a a n 1 + a n, qs n = q(a 1 + a a n 1 + a n ) = a 2 + a a n + a n+1. Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos (1 q)s n = a 1 a n+1 = a 1 a 1 q n = a 1 (1 q n ). Logo S n = (1 qn )a 1 1 q. Foge do escopo deste livro, porém não é difícil concluir o seguinte corolário, baseado na proposição anterior. Corolário 6.2: Se a razão q de uma PG satisfaz 1 < q < 1, então a soma de todos seus termos é a 1 1 q. Exemplo 6.16: Considere a progressão geométrica que pode ser vista como 1 2, 1 4, 1 8,..., 1 2 n,..., 1 2 1, 1 2 2, 1 2 3,..., 1 2 n,..., 218

228 6.4. Progressões geométricas cuja razão é 1. Vamos somar os primeiros 10 termos: 2 ( (1 q 10 )a 1 1 q = = 1 ( ) ) ( = ) 1 2 = A soma de todos os termos, já que a razão está entre 1 e 1, é a 1 1 q = = = 1. Exemplo 6.17: A soma dos oito primeiros termos da PG de razão 3 e primeiro termo igual a 1 é: S 8 = (1 38 ) = = No próximo, e último, exemplo, apresentamos uma maneira diferente de se estudar problemas que envolvem somas de termos de progressões geométricas. Exemplo 6.18: A soma dos oito primeiros termos de uma P G de razão 3 é Vamos calcular o primeiro termo da P G. Denote o i-ésimo termo dessa PG por a i. Assim: 9840 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 = a 1 + a 1 q + a 1 q a 1 q 7 = a 1 ( ). 219

229 Números reais Mas, perceba que, a soma do lado direito da última igualdade é a soma dos primeiros 8 termos da PG com primeiro termo igual a 1 e razão 3. Assim, utilizando o exemplo anterior, obtemos que implica em a 1 = = a Exercícios da Seção : Encontre a razão das progressões geométricas a seguir. Se ela estiver entre 1 e 1, calcule a soma de todos os termos da PG. Caso contrário, calcule a soma dos primeiros 15 termos. a) 2, 2 3, 2 9, 2 27, b) 1, 1, 1 2 2, c) 1, 3, 9, d) 32, 16, 8, 4, e) 31, 1 31, f) 1000, 100, 10, 1, g) 3 3 2, 3 3 4, 3 2, h) 5, 10 3, i) a n = 5 n. j) a n = 7n 11 n. 220

230 6.5. Representação decimal 6.28: O primeiro termo de uma PG é 64 e sua razão é 1 2. Calcule o quinto e o décimo termo desta PG. 6.29: Em uma PG de termos positivos sabe-se que o sétimo termo é o dobro do quinto termo e que o décimo termo vale 96. Calcule a razão e o primeiro termo da progressão. 6.30: A soma de seis termos de uma PG de razão 2 é Qual é o primeiro termo da PG? 6.31: A soma de três números em PG é 19. Subtraindo 1 do primeiro, eles passam a formar uma PA. Calcule esses números. 6.32: Os lados de um triângulo retângulo formam uma PG. Calcule a sua razão. 6.5 Representação decimal Todo número real possui uma representação decimal, isto é, uma representação horizontal que utiliza apenas algarismos e uma vírgula, se necessário. Utilizamos a representação decimal dos números a todo momento, quando compramos algo e precisamos calcular o troco, quando queremos saber nossa altura, nosso peso etc. Sejam a, b {0, 1,..., 9}. A ideia central da representação decimal é: sempre que temos uma fração do tipo a 10, a denotaremos como o b número 0, a. Quando tivermos uma fração do tipo 10, poderemos 2 denotá-la como 0, 0b. Por fim, uma soma do tipo a 10 + b 10 será denotada 2 por 0, ab e assim por diante. Começaremos analisando como escrever frações na forma decimal. Veremos que algumas possuem uma representação decimal finita e, outras, uma representação decimal infinita periódica. O método para determinar ambos os tipos de representação utiliza o Algoritmo da Divisão. 221

231 Números reais Iniciamos com frações que possuem uma representação finita. O método reside na seguinte técnica: sempre que se for realizar uma divisão onde o dividendo seja menor que o divisor, multiplicamos esse dividendo por 10. Para exemplificar, considere a fração Primeiro, como 7 < 25, multiplicamos 7 por 10 e, daí, realizamos a divisão por = Temos, portanto, resto 20. Mais uma vez, multiplique por 10 e realize a divisão por = Obtemos o resto 0 e, isso indica, que o processo terminou. Devemos, agora, realizar algumas substituições. Como = 200: Daí, como 7 10 = 70: Portanto, denotaremos = = = = = = = = 0, Essa conta pode ser compactada no seguinte molde: ,

232 6.5. Representação decimal Ou seja, no primeiro momento em que o resto é menor que o divisor, multiplicamos esse resto por 10 e introduzimos a vírgula no quociente. A partir desse momento, é sempre permitido multiplicar, uma vez, o resto por 10. Exemplo 6.19: A conta ,1 0 4 implica que 138 = 1, Ou seja, se após multiplicar um resto por 10 esse continua menor que o divisor, realizamos a divisão obtendo quociente 0, ou seja, teremos de inserir um número 0 no quociente. No caso dos racionais negativos, basta aplicar o processo para seu módulo e tomar o oposto da representação decimal obtida. Exemplo 6.20: Já que ,7 6 segue que Também vale que 19 = 0, = 0, Para realizar o processo contrário, ou seja, transformar um número decimal com representação finita em uma fração, o processo é simples: 223

233 Números reais o número será uma fração onde o numerador é o próprio número sem a vírgula, e o denominador será da forma 10 n, onde n é a quantidade de casas decimais do número inicial. Exemplo 6.21: Temos 4, 735 = = = Para operar números reais que possuem uma forma decimal finita, veremos duas formas A primeira delas é transformar os respectivos números em frações e operá-las como vimos na Seção 5.2. Exemplo 6.22: Vamos calcular 0, , 0124 transformando-as em frações: 0, , 0124 = = = = = = 0, A segunda forma de operá-los é na forma vertical muito parecida com a que usamos para somar, multiplicar ou subtrair números inteiros. Para somar ou subtrair, fazemos ambos números terem o mesmo número de casas decimais do lado direito da vírgula (adicionando alguns algarismos 0 do lado direito, se necessário), alinhamos as vírgulas de ambos os números e realizamos a operação. Vejamos dois exemplos para a adição. 224

234 6.5. Representação decimal Exemplo 6.23: a) Vamos calcular 0, , 0124: 0, , , 3224 b) Agora, vamos calcular 24, , 1, ou seja, 24, , 100: 24, , , 621 E agora, vejamos três exemplos para a subtração. Exemplo 6.24: a) Vamos calcular 0, 233 0, 03 ou, 0, 233 0, 030: 0, , , b) Agora, 24, 521 3, 1, ou seja, 24, 521 3, 100: 2 4, , , c) Por fim, 3, 713 0, 247: , , , Para multiplicar, não é necessário que ambos números tenham o mesmo número de algarismos no lado direito da vírgula. Fazemos a multiplicação sem considerar as vírgulas e o número de casas decimais do resultado será a soma do número de casas decimais de cada um dos números multiplicados. 225

235 Números reais Exemplo 6.25: Vamos calcular 9, 32 2, 4. Note que o nosso resultado terá 3 casas após a vírgula: 9, 3 2 2, , O princípio envolvido é que essa conta pode ser aberta da seguinte forma: 9, 32 2, 4 = = Ou seja, 9, 32 é um número inteiro dividido por 100 e por isso há 2 casas decimais na sua representação. O número 2, 4 é um inteiro dividido por 10, tendo assim 1 casa decimal em sua representação. Na multiplicação, teremos o produto de números inteiros dividido por 1000, que resultará em 3 casas após a vírgula. Exemplo 6.26: Vamos calcular 0, 1 3, 442: 0, 1 3, , Agora, como já mencionamos, nem todas frações possuem uma representação decimal finita. Vamos tentar transformar 2 3 em um número decimal. 226

236 6.5. Representação decimal , Note que a conta continua repetida e indefinidamente. Nestes casos dizemos que a representação decimal é uma dízima periódica com período 6. Notação: Exemplo 6.27: Temos 2 = 0, , Logo 14 = 1, 27, uma dízima periódica com período Para o processo contrário, utilizaremos o Corolário 6.2 para calcular a soma de todos os termos de uma progressão geométrica de razão entre 0 e 1 (e, portanto, entre 1 e 1). 227

237 Números reais Exemplo 6.28: Note que 0, 5 = 0, = 0 + 0, 5 + 0, , = Assim, essa dízima é a soma dos termos da PG que possui 10 como primeiro termo e 1 10 como razão. Logo 0, 5 = = = Exemplo 6.29: Veja que = = , 2 = 1 + 0, 2 + 0, , = que, novamente, envolve a soma dos termos de uma PG. Neste caso, a 228

238 6.5. Representação decimal PG possui 2 10 como primeiro termo e , 2 = 1 + = como razão. Logo = = Exemplo 6.30: Note que = , 27 = 1, 2 + 0, , = = = = = =

239 Números reais Esse processo se repete sempre: transformaremos a dízima periódica na soma de uma quantidade finita de números com a soma dos termos de uma P G com razão entre 0 e 1. Exemplo 6.31: Temos 0, 12 = 0, , , = = = = = = Para operar dízimas periódicas infinitas, devemos transformá-las em frações. Vamos somar, subtrair e multiplicar as dízimas periódicas que vimos nos últimos dois exemplos. Exemplo 6.32: Note que 1, , 12 = = = Daí 230

240 6.5. Representação decimal , E, portanto, 1, , 12 = 1, 398. Exemplo 6.33: Como e 1, 27 0, 12 = = = , temos que 1, 27 0, 12 = 1, 156. Exemplo 6.34: Por fim, 1, 27 0, 12 = = =

241 Números reais Assim , e concluímos que 1, 27 0, 12 = 0, Podemos descobrir se uma fração possui uma representação finita ou uma representação periódica infinita analisando o denominador da sua forma irredutível. Teorema 6.3: Uma fração irredutível admite representação decimal finita se, e somente se, o denominador possui somente os fatores 2 e 5 na sua fatoração prima. Demonstração: ( ) Seja a b uma fração que tem representação decimal finita. Assim, denotaremos sua forma decimal como f, g onde f = f 1... f k e g = g 1... g l são suas representações na base dez. Note que a ( b = f, g a ) 10l = 10 l (f, g) b 10l a = fg N. b Ou seja, a fração inicial ter uma representação finita implica que o denominador b só tem fatores que podem ser cancelados pelo numerador 10 l a. Como a fração é irredutível, vale mdc(a, b) = 1 e, portanto, o único jeito desse cancelamento acontecer é b tendo fatores em comum com 10 l, ou seja, 2 e

242 6.5. Representação decimal a ( ) Seja agora uma fração 2 k. Assim, como 5l 10 k+l a 2 k 5 l N, é fácil perceber que a 2 k 5 l possui representação decimal finita. Ou seja, uma fração irredutível terá representação infinita periódica quando o denominador possuir pelo menos um fator diferente de 2 e de 5. Também é importante mencionar que há uma maneira trivial de escrever qualquer número racional que tenha uma representação finita, na forma de uma dízima periódica. Para ilustrarmos esse fato, note o seguinte exemplo. Exemplo 6.35: Temos 0, 9 = 0, 9 + 0, , = = = = = 1. Ou seja, basta inserir a repetição de números 9 da maneira adequada. 233

243 Números reais Exemplo 6.36: Analogamente a) 2, 9 = 3. b) 7, 379 = 7, 38. c) 3, 229 = 3, 23. Por fim, aqueles números reais que não podem ser escritos como frações também possuem uma representação decimal, que será infinita e não periódica. Devemos operá-los na sua forma original. Exemplo 6.37: Temos: a) 2 = 1, b) 3 = 1, c) 10 = 3, d) π = 3, Exercícios da Seção : Escreva como uma fração simplificada: a) 0, 132. c) 2, 192. e) 3, 5. g) 21, 412. i) 0, 9. k) 3, 234. b) 2, 93. d) 3, 003. f) 2, 93. h) 9, 211. j) 2, 39. l) 7,

244 6.5. Representação decimal 6.34: Escreva na forma decimal: a) c) e) g) i) k) 2 5. m) : Resolva: b) d) 2 7. f) h) j) l) n) a) 2, 4 + 3, , 11 7, 99. b) 0, 002 3, , 4. c) 3, 1 1, 3 + 5, 55. d) 12, 44 42, 3. e) 0, 1 + 1, 2 + 2, 3. f) 3, , 833. g) 4, 33 8, 44(3, 21 6, 9) 32, 11. h) 9, 9 1, 1. i) 1, 2 3, ,

245 Números reais j) 8, 44(1, , 9). k) 9, 12 4, 22 0, 01. l) 0, 34 3, 45 2, : Em qual situação 1 laranja é mais barata: 6 laranjas por 0, 34 reais ou 8 laranjas por 0, 41 reais? 6.37: Calcule ( ) , , 4 + ( 2) : Determine o último algarismo da expansão decimal do número racional : (21 a OBM ) Qual o 1999 algarismo após a vírgula na representação decimal de 37 4? 6.40: (ORM/SC N2) Qual o menor inteiro n para o qual n n 1 < 0, 01? 6.6 Equações polinomiais Dentre todos problemas matemáticos, talvez os mais antigos e mais comuns envolvam a resolução de equações polinomiais. De fato, a grande maioria das civilizações antigas que contribuíram para o desenvolvimento da matemática têm trabalhos acerca de equações polinomiais, polinômios e suas raízes. 236

246 6.6. Equações polinomiais Mas foi somente a partir do século XV é que soluções gerais e elegantes de certas equações polonomiais foram encontradas. Foi René Descartes quem popularizou o uso de letras do início do alfabeto para representar constantes e do final do alfabeto para representar variáveis, tal qual utilizamos atualmente. Definição 6.7: Um polinômio de uma variável é uma expressão que envolve números, operações e variáveis, sendo que essas últimas só podem estar elevadas a números naturais e não podem estar nos denominadores de frações. Por exemplo: f(x) = x 2 3x + 1, g(y) = y 3 y 2, p(z) = z2 5. As raízes de um polinômio são os números reais que igualam um dado polinômio a zero. Por exemplo, dado f(x) = x + 1, perceba que x = 1 é raiz, afinal, ao calcularmos f(x) em x = 1, obtemos f( 1) = = 0. Definição 6.8: Uma equação polinomial de uma variável é uma igualdade de polinômios de uma mesma variável. Por exemplo: x 2 3x + 1 = 0, y 3 y 2 = 3y 1, z 2 = 1. Note que, na definição de equação polinomial, a igualdade é representada pelo símbolo =. O primeiro uso conhecido deste símbolo, como hoje conhecemos, foi feito pelo matemático inglês Robert Recorde. 237

247 Números reais Robert Recorde Robert Recorde (Tenby, 1510 Londres, 1558) foi um matemático inglês. Escreveu muitos livros didáticos elementares onde introduziu muitas palavras novas em ingês para ser o equivalente aos termos matemáticos em latim e em grego. O símbolo de igual = apareceu em seu livro The Whetstone of Witte publicado em O grau de um polinômio f(x), denotado grau(f), ou de uma equação, é o maior expoente da variável envolvida. Um monômio é um dos termos que aparecem na expressão, que envolve números - chamados coeficientes - e a variável com seu expoente. Esse expoente é chamado o grau do monômio. O que queremos é resolver a equação, ou seja, saber quais valores para a variável tornam tais equações verdadeiras. Tais valores são chamados raízes da equação e para encontrá-las temos de isolar, quando possível, a variável. Observação 6.2: Como a definição de equações polinomiais já sugere, há uma relação muito íntima entre essas e os polinômios. De fato, sempre é possível transformar o problema de encontrar raízes de uma equação para o problema de encontrar raízes de um polinômio: seja uma equação polinomial f(x) = g(x). Assim, encontrar suas raízes é o mesmo que encontrar as raízes do polinômio f(x) g(x). Uma equação polinomial de grau n possui, no máximo, n raízes reais. Vejamos como encontrá-las, dividindo-as de acordo com seu grau. Equação polinomial de grau 1. Para resolver tais equações, devemos isolar a variável envolvida. Para este fim, utilizamos a seguinte propriedade: ao termos uma equação, podemos realizar a mesma operação de soma, subtração, multipli- 238

248 6.6. Equações polinomiais cação ou divisão em ambos lados da equação e a igualdade se mantém. Vejamos, então, como resolvê-las. Exemplo 6.38: Vamos resolver a equação 5x 21 = 2x: 5x 21 = 2x 5x x + 21 = 2x + 2x x + 2x = 21 7x = 21 x = 3. Exemplo 6.39: Seja a equação Vamos encontrar sua raiz. 2x 12 = 3x x 12 = 3x x x = 3x x 2x + 2x 12 = 3x + 2x = 5x = 5x = 5x 43 5 = x x = Equação polinomial de grau 2. Para resolver equações de grau 2, utilizamos o método chamado de completar quadrados, ilustrado a seguir. Exemplo 6.40: Vamos resolver a equação 2x = x x = x x 2 2x = 3 (x 1) 2 1 = 3 (x 1) 2 = 4 x 1 = 4 ou x 1 = 4 x 1 = 2 ou x 1 = 2 x = 3 ou x =

249 Números reais O método consiste em escrever as equações de grau 2 genéricas, do tipo ax 2 + bx + c = 0, no formato (x + α) 2 = β com a, b, c, α, β R. Assim, poderemos isolar x e obter as raízes. No caso em que β > 0, encontramos duas soluções distintas que também denotamos por x = β α e x = β α x = ± β α. Quando β = 0, temos uma única solução x = α. Por fim, o caso β < 0 não será discutido neste livro, pois a equação terá duas soluções distintas no conjunto dos números complexos C. Exemplo 6.41: Vamos encontrar as raízes de 2x 2 = 2x x 2 = 2x x 2 2x = 12 x 2 x = 6 ( x 1 ) = 6 ( x 1 ) 2 = ( x 1 ) 2 = ( x 1 ) 2 = x 1 2 = ± 25 4 x 1 2 = ±5 2 x = ± x = 3 ou x =

250 6.6. Equações polinomiais Existe uma outra maneira de encontrar as soluções de uma equação polinomial de segundo grau, chamada fórmula de Bhaskara. Este método apresenta uma fórmula baseada nos coeficientes da equação para suas raízes. Bhaskara Bhaskara (Vijayapura, 1114 Ujjain, 1185) foi um matemático e astrônomo indiano. Foi autor de grandes trabalhos em álgebra e em astronomia. Os três principais são Lilavati, Bijaganita e Siddhantasiromani. No Brasil, é conhecido pela fórmula de Bhaskara, um método baseado na técnica de completas quadrados que encontra raízes de uma equação polinomial de segundo grau. Veremos, a seguir, que a demonstração da validade dessa fórmula utiliza, na verdade, o método de completar quadrados que acabamos de conhecer para resolver tais equações. Teorema 6.4: (Fórmula de Bhaskara) Sejam a, b, c R e vamos denotar = b 2 4ac. Suponha que 0 e a > 0. Então a equação ax 2 + bx + c = 0 admite duas soluções reais dadas por x = b ±. 2a Se = 0, as duas soluções são, na verdade, iguais. Demonstração: Note que ax 2 + bx + c = ( ) ax 2 b + 2 b2 a 4a + c. 241

251 Números reais Assim, ( ) ax 2 ax 2 b + bx + c = = b2 a 4a c ( ) ax 2 b + 2 = b2 4ac a 4a ( ) ax 2 b + 2 = a 4a ax + b 2 a = ± 4a ax = b 2 a ± 2 a ax = b ± 2 a x = b ±. 2a Algumas observações sobre o resultado anterior devem ser feitas. Primeiramente, a restrição a > 0 não representa nenhuma perda de generalidade na representação de uma equação quadrática pois, caso a < 0, basta multiplicar a equação por 1 e aplicar o resultado anterior. A segunda observação é referente à hipótese 0. Tal hipótese é apenas para assegurar que tenhamos soluções reais. Se relaxarmos esta restrição, então temos, novamente, casos onde as soluções da equação são números complexos. Por fim, temos a, b, c R. Tal hipótese, também pode ser relaxada para permitir o caso a, b, c C, o que também não será analisado neste livro. A Fórmula de Bhaskara nos permite dizer que as equações quadráticas têm solução geral por radicais, ou seja, há uma maneira de encontrar suas raízes realizando operações entre seus coeficientes. 242

252 6.6. Equações polinomiais Equação polinomial de grau maior que 2. Assim como as equações quadráticas, também têm soluções por radicais as equações de grau 3 (método de Cardano - Tartaglia) e grau 4 (método de Ferrari). Por serem nada práticas, esses métodos não serão abordados aqui. O Teorema de Abel-Ruffini garante que equações polinomiais com grau maior ou igual a 5 não têm soluções por radicais. Portanto, outras técnicas são necessárias para encontrar as raízes destas equações, tais como redução de ordem da equação (descrito a seguir) ou a utilização de algoritmos de cálculo numérico para encontrar aproximações para as raízes. Assim, para as equações de grau maior que 2, vamos encontrar cada raiz separadamente. A cada raiz encontrada, conseguiremos diminuir o grau da equação. Repetindo esse processo quantas vezes forem necessárias, chegaremos a equações de grau 2, que já sabemos resolver. Para isso, enunciamos a seguir dois resultados fundamentais. O primeiro é uma generalização do Algoritmo da Divisão (note a similaridade com o Teorema 3.2). Teorema 6.5: (Algoritmo da Divisão para polinômios) Considere dois polinômios com coeficientes reais p(x) e d(x), com d(x) 0. Então, existem polinômios q(x) e r(x) tais que com grau(r) < grau(d). p(x) = d(x)q(x) + r(x) Demonstração: Se p(x) é um polinômio de grau zero ou se o grau de p(x) é menor que o grau de d(x), basta tomar q(x) = 0 e r(x) = p(x). Suponha, então, que o grau de p(x) é maior ou igual ao grau de d(x). Faremos a demonstração pelo Princípio de Indução (Seção 2.3). Seja S = {n N : todo polinômio de grau n satisfaz o teorema}. Note que S N e 0 S pelo caso recém discutido. Suponha que k S, ou seja, se o grau de p(x) é k então existem q(x) e 243

253 Números reais r(x) tais que p(x) = d(x)q(x) + r(x). Vamos provar que o mesmo vale se o grau de p(x) é k + 1. Seja, então, p(x) com grau k + 1. Assim, tome f(x) = p(x) a(x) b(x) d(x) onde a(x) é o monômio de maior grau de p(x) e b(x) é o monômio de maior grau de d(x). Assim, o grau de f(x) é menor que o grau de p(x) pois p(x) e a(x) d(x) têm o mesmo monômio de maior grau. Portanto, b(x) f(x) está em S e existem q(x) e r(x) tais que p(x) a(x) d(x) = f(x) = d(x)q(x) + r(x), b(x) ou seja, p(x) = d(x)q(x) + r(x) + a(x) ( d(x) = d(x) q(x) + a(x) ) + r(x). b(x) b(x) Portanto, k + 1 está em S e, pelo Princípio de Indução, S = N e o Algoritmo da Divisão para polinômios está demonstrado. Esse último teorema nos permite fazer divisões de polinômios utilizando metodologia semelhante ao que foi estudado na Seção 3.4. Exemplo 6.42: Como primeiro exemplo, façamos a divisão do polinômio x 4 + x 3 7x 2 + 9x 1 por x 2 + 3x 2. Inicialmente colocamos os dois polinômios que queremos dividir na seguinte disposição: x 4 + x 3 7x 2 + 9x 1 x 2 + 3x 2 Note que, assim como com números, o dividendo fica à esquerda e o divisor à direita. Agora, olhamos para o primeiro termo do dividendo, neste caso x 4 e para o primeiro termo do divisor, x 2. O primeiro termo do quociente é o monômio que multiplicado pelo primeiro termo do divisor resulta no primeiro termo do dividendo, neste caso x 2. Como x 2 (x 2 +3x 2) = x 4 +3x 3 2x 2, colocamos este termo, multiplicado por 1, abaixo do dividendo inicial. Daí, basta realizar a operação 244

254 6.6. Equações polinomiais entre eles e, assim, encontrar o primeiro resto: x 4 + x 3 7x 2 + 9x 1 x 2 + 3x 2 x 4 3x 3 + 2x 2 x 2 2x 3 5x 2 + 9x Observe que o grau desse resto é maior que o grau do divisor, caracterizando que o algoritmo não está completo. Logo, repetimos o processo, obtendo: x 4 + x 3 7x 2 + 9x 1 x 2 + 3x 2 x 4 3x 3 + 2x 2 x 2 2x 2x 3 5x 2 + 9x 2x 3 + 6x 2 4x x 2 + 5x 1 O grau desse resto é igual ao grau do divisor, portanto, mais uma iteração do algoritmo deve ser aplicada: x 4 + x 3 7x 2 + 9x 1 x 2 + 3x 2 x 4 3x 3 + 2x 2 x 2 2x + 1 2x 3 5x 2 + 9x 2x 3 + 6x 2 4x x 2 + 5x 1 x 2 3x + 2 2x + 1 O algoritmo está completo, pois o grau de 2x + 1 é menor que o grau do divisor x 2 + 3x 2. Portanto, x 4 + x 3 7x 2 + 9x 1 = (x 2 + 3x 2)(x 2 2x + 1) + (2x + 1). 245

255 Números reais Exemplo 6.43: Divida x 3 + 4x 2 + x 6 por x + 2. E, portanto, x 3 + 4x 2 + x 6 x + 2 x 3 2x 2 x 2 + 2x 3 2x 2 + x 2x 2 4x 3x 6 3x + 6 x 3 + 4x 2 + x 6 = (x + 2)(x 2 + 2x 3). 0 Neste caso, em que r(x) = 0, dizemos que x 3 +4x 2 +x 6 é divisível por x + 2. Teorema 6.6: (Teorema de Descartes) Sejam a R e p(x) = 0 uma equação polinomial. Assim, p(a) = 0 se, e somente se, (x a) divide p(x), ou seja, a é raiz da equação polinomial p(x) = 0 se, e somente se, (x a) divide p(x). Demonstração: ( ) Inicialmente, assumamos p(a) = 0. Pelo Algoritmo da Divisão para polinômios, p(x) = (x a)q(x) + r(x), com grau(r) < grau(x a) = 1. Portanto, r é uma constante. Substituindo x = a na expressão, concluímos que r(a) = 0, logo r é o polinômio nulo e, portanto, p(x) = (x a)q(x). (6.2) ( ) Para demonstrar a recíproca, note que como (x a) divide p(x), o Algoritmo da Divisão para polinômios garante a existência de um polinômio q(x) tal que e, assim, p(a) = 0. p(x) = (x a)q(x) 246

256 6.6. Equações polinomiais Exemplo 6.44: Considere a equação polinomial 9x 3 36x x 6 = 0. Note que, 3 é raiz dessa equação polinomial, pois = = 0. Portanto pelo Teorema de Descartes, x 3 divide 9x 3 36x x 6. Para verificar isso, basta aplicar o Algoritmo da Divisão para os polinômios em consideração e notar que o resto da divisão é o polinômio nulo. Com efeito: 9x 3 36x x 6 x 3 9x x 2 9x 2 9x + 2 9x x 9x 2 27x 2x 6 2x + 6 Observação 6.3: O recém visto Teorema de Descartes nos fornece outra informação: sempre que um polinômio de grau n possui n raízes reais, podemos fatorá-lo utilizando o produto de polinômios de grau 1, pois basta repetir, quantas vezes forem necessárias, o processo em (6.2) para q(x). Ou seja, o polinômio pode ser escrito como o produto do coeficiente que acompanha o monômio de maior grau com polinômios de grau 1 da forma (x a), onde a é raiz do polinômio inicial. Voltemos, agora, para a resolução de equações polinomiais de grau maiores ou iguais a 3. Exemplo 6.45: Vamos encontrar os valores de x para os quais vale x 3 = 2x. Ou seja, queremos resolver x 3 2x = 0. Há uma resposta óbvia: x =

257 Números reais Portanto, apresentamos a divisão de x 3 2x por x 0 = x: x 3 2x x 3 2x 2x 0 x x 2 2 Esse resultado foi obtido utilizando o Teorema de Descartes e o Algoritmo da Divisão para polinômios: o primeiro garante que x 0 = x divide x 3 2x, o segundo é utilizado para encontrar o quociente da divisão dos polinômios, ou seja, x 2 2. Dessa forma, x 3 = 2x x 3 2x = 0 (x 0)(x 2 2) = 0. Assim, as raízes do polinômio x 3 2x são as raízes que já foram calculadas (x = 0), juntamente com as raízes de x 2 2. Vamos encontrá-las: x 2 2 = 0 x 2 = 2 x = ± 2. Logo as raízes são x = 0, x = 2 e x = 2. Pela Observação 6.3, podemos escrever x 3 2x = (x 0)(x 2)(x ( 2)) = (x 0)(x 2)(x + 2). Exemplo 6.46: Achemos as raízes de 2x 4 2x 3 14x 2 + 2x Note que x = 0 não é uma raiz. Vamos checar se x = 1 é raiz: 2(1) 4 2(1) 3 14(1) 2 + 2(1) + 12 = = 0.

258 6.6. Equações polinomiais Dividindo 2x 4 2x 3 14x 2 + 2x + 12 por x 1, obtemos: 2x 4 2x 3 14x 2 + 2x + 12 x 1 2x 3 14x 12 2x 4 + 2x 3 14x 2 + 2x 14x 2 14x 12x x 12 0 Logo: (x 1)(2x 3 14x 12) = 0. Agora precisamos calcular as raízes do polinômio 2x 3 14x 12. Novamente há uma raiz óbvia: x = 1. Portanto, através da divisão de polinômios ou simplesmente colocando o polinômio x ( 1) = x + 1 em evidência: 2x 3 14x 12 = 0 (x + 1)(2x 2 2x 12) = 0. Pelo Exemplo 6.41 sabemos que as raízes de 2x 2 2x 12 são x = 3 e x = 2. Logo, as raízes de 2x 4 2x 3 14x 2 + 2x + 12 são Dessa forma, temos x = 1, x = 1, x = 3, x = 2. 2x 4 2x 3 14x 2 + 2x + 12 = 2(x 1)(x + 1)(x 3)(x + 2). Exercícios da Seção : Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras: a) x = 1 é raiz de x 4 x 3 = x 2 x. 249

259 Números reais b) x = 5 é raiz de x 3 + 4x 2 7x 1 = 0. c) x = 3 é raiz de 9x 3 36x x 6 = 0. d) x = 3 2 é raiz de 4x3 + 15x 36 = 0. e) x = 2 é raiz de 4x 4 x 3. f) x = 3 é raiz de x 3 + 5x 2 = 9x g) x = 3 é raiz de x 3 + 5x 2 = 9x : Resolva: a) 35x = x 2. b) 123x 71 = x. c) 3x 2 = 6. d) y 2 = y + 6. e) 12x 5 = 7. f) 5x = 6 x 2. g) 8 3a = a. h) x 3 = 27. i) x 2 = 8. j) z 4 z 2 = 6. k) x 3 = x. l) t 4 = t. m) x 5 + 4x = 5x

260 6.6. Equações polinomiais 6.43: Resolva, sem utilizar a fórmula de Bhaskara: a) x 2 6x + 1 = 0. b) 3x x + 8 = 0. c) x 2 + 9x = 5. d) 11y 2 + 6y 8 = 0. e) 5x = 1 2x 2. f) y y y + 80 = 0. g) x 3 = 1 2x : Resolva, utilizando a fórmula de Bhaskara: a) 4x 2 + 6x + 1 = 0. b) x 2 + 6x + 9 = 0. c) 2x 2 + 6x = 5. d) x 2 + x 6 = : Um taxista cobra R$ 3, 00 como preço fixo inicial mais R$ 0, 80 por quilômetro rodado. Escreva um polinômio que descreva o custo de uma viagem com esse taxista, por quilômetro rodado. Quanto custa uma viagem de 12 quilômetros? 6.46: Calcule (x + 2) 2. Encontre suas raízes. 6.47: Calcule ( )( ) : Calcule (x 4) 3. Encontre suas raízes. 6.49: Calcule ( y + 1 ) (y 3). Encontre suas raízes

261 Números reais 6.50: Considere a equação x 3 + 6x x + m = 0. Determine o valor de m, sabendo que x = 2 é uma de suas raízes. Neste caso, calcule as demais raízes. 6.51: Determine o valor de k na equação x 2 kx + 36 = 0, de modo que uma das raízes seja o quádruplo da outra. 6.52: A equação x 3 + ax 2 + bx + c = 0 admite como raízes os números 1/2, 1/2 e 3. Nessas condições, calcule a soma a + b + c. 6.53: Encontre todos os conjuntos de três números inteiros consecutivos cuja soma é igual ao seu produto. 6.54: Se a equação 6x 3 + kx 2 18x + 9 = 0 tem raízes reais a e a, qual o valor de k? 6.55: (38 a OBM ) Qual equação resolve o problema a seguir: Uma quantidade x de amigos resolveu fazer uma viagem juntos, dividindo igualmente suas despesas, no total de 6000 reais. Entretanto, na última hora, três dos amigos desistiram e cada um dos que foram viajar teve que arcar com uma despesa extra de 100 reais. Quantos amigos eram? 6.56: (36 a OBM ) As raízes da equação x 2 ax + b = 0 são não nulos e são os quadrados das raízes da equação x 2 bx + a = 0. As raízes das equações não são necessariamente reais, mas a e b são reais. Então o valor de a é? 6.7 Inequações polinomiais Nesta última seção, aplicaremos as ferramentas da última seção para resolver comparações entre polinômios. Começamos, então, definindo formalmente tais comparações. Definição 6.9: Uma inequação polinomial de uma variável é uma desigualdade entre polinômios de uma mesma variável. 252

262 6.7. Inequações polinomiais Por exemplo: x 2 3x + 1 < 0, y 3 y 2 3y 5 1, z 2 1, 3x 2 5x 7. 4 Dada uma inequação, seu grau é o maior expoente da variável. Estaremos interessados em resolver tais inequações, isto é, saber quais valores para a variável tornam as respectivas inequações verdadeiras. Inequação polinomial de grau 1. Queremos isolar a variável e, o princípio envolvido, é: ao termos uma inequação, podemos realizar a mesma operação de multiplicação ou divisão por um número positivo, soma ou subtração em ambos lados e a desigualdade se mantém. Ao se multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo, a desigualdade se inverte (conforme os itens b) e c) da Proposição 5.3, que continua valendo no conjunto dos números reais). Exemplo 6.47: Vamos resolver Temos 4x 2 5 7x x 2 5 7x x 2 5 7x x x x x 2 x 2 3 x

263 Números reais Exemplo 6.48: Para resolver a inequação 5x 21 2x, vamos realizar as seguintes operações: 5x 21 2x 5x + 2x x + 2x x 21 x 3. Inequação polinomial de grau maior que 1. Existem várias maneiras gráficas ou analíticas para resolver inequações de grau maior ou igual a 2. Veremos como resolver de forma analítica. Primeiramente, escrevemos a inequação como uma equação, simplesmente trocando o símbolo da desigualdade por =. Daí, devemos encontrar as raízes dessa equação para re-escrever a inequação inicial utilizando um produto de polinômios de grau menor (Observação 6.3). Exemplo 6.49: Vamos resolver x 2 < x + 6. Comece resolvendo x 2 = x + 6 x 2 x 6 = 0. Vimos no Exemplo 6.41 que suas raízes são x = 3 e x = 2. Portanto, retornando à inequação original, escrevemos: x 2 < x + 6 x 2 x 6 < 0 (x 3)(x + 2) < 0. Pelo item a) do Corolário 5.1, adaptado para R, precisamos que: Cada uma das linhas se resume a: x 3 < 0 e x + 2 > 0 ou x 3 > 0 e x + 2 < 0. x < 3 e x > 2, ou seja, 2 < x < 3 ou x > 3 e x < 2, que nunca acontece. Logo a solução da inequação x 2 < x + 6 é 2 < x <

264 6.7. Inequações polinomiais Exemplo 6.50: Vamos resolver 3x x. Para isso, começamos resolvendo 3x 2 24 = 6x, que é equivalente a resolver a equação 3x 2 + 6x 24 = 0. Aplicando algum dos métodos de resolução que vimos na Seção 6.6, encontramos suas raízes x = 2 e x = 4. Assim: 3x x 3x 2 + 6x (x 2 + 2x 8) 0 3(x 2)(x + 4) 0. Portanto, novamente pelo item a) do Corolário 5.1, adaptado para R, precisamos que: Então, segue que: x 2 0 e x ou x 2 0 e x x 2 e x 4, ou seja, 4 x 2 ou x 2 e x 4, que nunca acontece. Logo a solução da inequação 3x x é 4 x 2. Este método pode ser generalizado para resolvermos desigualdades que envolvam a divisão entre polinômios. Exemplo 6.51: Vamos resolver 2x x + 2 O Corolário 5.1 nos diz que, para uma fração ser menor ou igual a zero, precisamos que os sinais do numerador e do denominador sejam diferentes, com o denominador diferente de zero. Assim, vamos dividir a resolução em dois casos: a) 2x 5 0 e 3x + 2 > 0. Assim 2x 5 0 x 5 2 e 3x + 2 > 0 x >

265 Números reais Dessa forma, obtemos b) 2x 5 0 e 3x + 2 < 0. Assim 2 3 < x 5 2. e 2x 5 0 x 5 2 3x + 2 < 0 x < 2 3 que nunca ocorrem simultaneamente. Portanto, a solução é 2 3 < x 5 2. Exercícios da Seção : Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras: a) Em x = 1, temos 7x 4 3x 3 9x 2 x. b) Em x = 2, temos 7x 2 x 3 > 19x 2. c) Em x = 3, temos 3x 2 9x > 0. d) Em x = 2 3, temos 4x3 8x > 12x 2. e) Em x = 7, temos 4 x 3 8x 2 + 4x. f) Em x = π, temos x2 π x + π > 0. g) Em x = 5, temos x3 5 2x x >

266 6.7. Inequações polinomiais 6.58: Resolva: a) 35x x 2. b) 123x 71 > x. c) 3x 2 < 6. d) x 2 x + 6. e) 12x 5 7. f) 8 3x > x. g) x 3 < 27. h) x 2 8. i) x 4 x 2 6. j) x 3 x. k) x 4 x. l) x 5 + 4x < 5x 3. m) 7x x n) x2 4x + 4 2x 1 < 1. o) 1 < x

267 258 Números reais

268 Apêndice A Relações Neste apêndice apresentamos, de forma mais completa e profunda, alguns conceitos que foram trabalhados no decorrer deste livro. Estamos interessados em definir, em especial, dois tipos de relações: relação de ordem e relação de equivalência. Para isso, introduzimos, antes, o conceito de par ordenado. Sabemos que um conjunto é determinado por seus elementos, isto é, {a, b} = {b, a} e a ordem na qual os elementos são listados não faz diferença. Às vezes, entretanto, precisamos distinguir elementos listados em ordem diferente e, daí, precisamos do conceito de par ordenado. Definição A.1: Um par ordenado é uma lista de dois elementos em que a ordem na qual eles aparecem, é relevante. Denotamos o par ordenado com primeiro elemento a e segundo elemento b por (a, b). É possível definir pares ordenados em termos de conjuntos (Exercício A.5), mas esta definição não nos será muito útil. A igualdade de pares ordenados é definida a seguir. Definição A.2: Sejam (a, b) e (c, d) pares ordenados. Assim (a, b) = (c, d) a = c e b = d. 259

269 Relações Observação A.1: Essa definição nos diz que (a, b) (b, a), a menos que a = b. O conceito de par ordenado permite definir uma operação entre conjuntos, denominada produto cartesiano (às vezes referido como produto cruzado ou simplesmente produto) de dois conjuntos. Definição A.3: Sejam A, B conjuntos. O produto cartesiano de A com B, denotado por A B, é o conjunto de todos os pares ordenados com primeiro elemento em A e segundo elemento em B. Em símbolos, A B = {(a, b) : a A e b B}. Por exemplo, se A = {1, 2, 3}, B = {a, b} e C =, temos A B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}, B A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}, A C =. Finalmente, podemos definir o conceito de relação. Definição A.4: Sejam A, B conjuntos. Uma relação R de A em B é um subconjunto de A B. Denotaremos um elemento (a, b) de R simplesmente por arb. Utilizaremos a notação a Rb para dizer que os elementos a e b não estão relacionados por R. Vejamos, agora, alguns exemplos de relações. Exemplo A.1: Seja A o conjunto de todas as pessoas do planeta Terra e, para x, y A, defina xry se, e somente se, y é pai ou mãe de x. Então R é uma relação em A. Os pares ordenados pertencentes a R são da forma (x, pai de x) ou (x, mãe de x). Exemplo A.2: Dados x, y Z, defina xry se, e somente se, x divide y. Então R é uma relação em Z e, pertencem a R, (2, 8), ( 3, 9), (6, 6). Sem dúvidas, uma das relações mais importantes é a relação. 260

270 Exemplo A.3: Esta relação foi definida no Capítulo 3 (Definição 3.2). Dados a, b Z dizemos que a b se, e somente se, b a Z +. Então é uma relação em Z e, pertencem a, (2, 3), ( 5, 2), (7, 7). Existem certas propriedades que uma relação em um conjunto pode satisfazer. Algumas das mais importantes são definidas na sequência. Definição A.5: Seja R uma relação em um conjunto A. Então dizemos que: a) R é reflexiva se, e somente se, a A, ara. b) R é simétrica se, e somente se, a, b A, arb bra. c) R é transitiva se, e somente se, a, b, c A, arb, brc arc. d) R é antissimétrica se, e somente se, a, b A, arb, bra a = b. e) R é irrelexiva se, e somente se, a A, a Ra. f) R é total se, e somente se, a, b A, a b arb ou bra. g) R é assimétrica se, e somente se, a, b A, arb b Ra. Pode ser útil caracterizar algumas destas propriedades de uma maneira informal para que elas não pareçam tão estranhas. Se R é reflexiva tudo em A = R está relacionado a si mesmo, por exemplo, a relação. Se R é uma relação simétrica, então sempre que a estiver relacionada a b devemos ter b relacionada a a, por exemplo, é uma relação simétrica, pois se a b então b a. Um exemplo comum de uma relação transitiva é =, de fato, se a = b e b = c, então a = c. Se R é uma relação antissimétrica então a única forma de termos ambos arb e bra é tendo a = b. Um exemplo para este tipo de relação é pois, quando dois conjuntos A e B satisfazem A B e B A, então A = B. Aliás, é assim que demonstra-se a igualdade de conjuntos. A relação R é irreflexiva se os elementos de A não estão relacionados consigo mesmo, por exemplo, a relação < em Z é irreflexiva. Também, 261

271 Relações R é total se, dados dois elementos distintos em A, o primeiro deve estar relacionado com o segundo ou vice-versa. Um exemplo de uma relação que não é total é em R (tente encontrar dois subconjuntos de R que não estão relacionados). Para a relação assimétrica, pensemos na relação de ser mais velho : se eu sou mais velho que você, então você não é mais velho que eu. Quando uma relação satisfaz, simultaneamente, mais de uma das propriedades listadas, ela recebe nomes especiais. Definição A.6: Seja R uma relação em um conjunto A. a) R é uma relação de equivalência se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. b) R é uma relação ordem parcial se, e somente se, R é reflexiva, transitiva e antissimétrica. c) R é uma relação de ordem total, ou simplesmente, relação de ordem se, e somente se, R é reflexiva, transitiva e antissimétrica e total. d) R é uma relação de ordem parcial estrita se, e somente se, R é irreflexiva e transitiva. Observação A.2: A definição anterior nos inspirou a demonstrar as Proposições 3.6 e 5.2 pois, assim, podemos afirmar que a relação é uma relação de ordem em Z e em Q. Por fim, dada uma relação de equivalência, podemos definir classes de equivalência e conjuntos quociente. Esses últimos são a base da definição formal de Z e de Q, assuntos dos próximos apêndices. Definição A.7: Seja R uma relação de equivalência em um conjunto não vazio A e seja x A. Definimos uma classe de equivalência de x, denotada por x, como x = {y : yrx}. O conjunto quociente de A pela relação R é o conjunto A/R = { x : x A}. 262

272 Exercícios do Apêndice A A.1: Sejam A = {1, 2, 3}, B = {α, β} e C = {a, b}. Liste os elementos de A B, B A, e A C. A.2: Seja A um conjunto não vazio. Mostre que: a) Se R = A A então R é reflexiva, simétrica, transitiva e completa. O que poderia se dizer se R fosse assimétrica ou antissimétrica? b) Se R = então R é simétrica, transitiva, assimétrica, antissimétrica, irreflexiva mas não reflexiva. c) Se R = {(a, a) : a A} então R é uma relação de equivalência e também ántissimétrica mas não assimétrica. A.3: Sejam R, S relações em um conjunto não vazio A. Demonstre ou dê contraexemplos para as seguintes conjecturas: a) R é completa R é reflexiva. b) R é transitiva e irreflexiva R é assimétrica. c) R é reflexiva R não é assimétrica. d) R é assimétrica R não é reflexiva. e) R uma relação de ordem parcial estrita R é antissimétrica e assimétrica. f) R não reflexiva R é irreflexiva. g) R e S simétrica R S simétrica. h) R ou S simétrica R S simétrica. i) R e S simétrica R S simétrica. j) R ou S reflexiva R S reflexiva. k) R e S transitiva R S transitiva. 263

273 Relações l) R e S transitiva R S transitiva. A.4: Dê exemplos (se possível) de relações que sejam: a) Reflexiva e simétrica mas não transitiva. b) Simétrica e transitiva mas não reflexiva. c) Assimétrica mas não antissimétrica. d) Simétrica e antissimétrica. e) Nem reflexiva, nem irreflexiva. A.5: Suponha que tivéssemos definido o par ordenado (a, b) por (a, b) = {{a}, {a, b}}. Mostre que com essa definição temos (a, b) = (c, d) a = c e b = d. A.6: Suponha que tivéssemos definido tripla ordenada como (a, b, c) = ((a, b), c). Mostre que a mesma tem a propriedade de ordenação desejada, isto é: (a, b, c) = (d, e, f) se e somente se a = d, b = e, c = f. 264

274 Apêndice B Construção do conjunto dos números inteiros No Capítulo 3, introduzimos o conjunto dos números inteiros de forma intuitiva, com o desejo de realizar subtrações. Aqui, neste apêndice, vamos realizar a construção formal desse conjunto. O procedimento é o seguinte: definiremos uma relação em N N e provaremos que essa relação é de equivalência. Daí, basta construir o quociente como na Definição A.7, que teremos o conjunto Z. Definição B.1: Dados (a, b), (c, d) N N, defina a relação (a, b) (c, d) a + d = b + c. Observação B.1: A motivação dessa definição é que (a, b) representará o número inteiro a b. Além disso, se c d é igual a a b, então queremos que (a, b) e (c, d) representem o mesmo número inteiro. Teorema B.1: A relação, definida na Definição B.1, é uma relação de equivalência. Demonstração: Precisamos mostrar que valem os itens a), b) e c) da 265

275 Construção do conjunto dos números inteiros Definição A.5. Sejam (a, b), (c, d), (e, f) N N. a) Como a soma em N é comutativa (A2), vale a + b = b + a. Portanto (a, b) (a, b). b) Suponha que (a, b) (c, d). Então a + d = b + c que, reordenadamente, resulta em c + b = d + a. Assim (c, d) (a, b). c) Se (a, b) (c, d) e (c, d) (e, f) temos a + d = b + c e c + f = d + e. Somando ambas equações, obtemos a+d+c+f = b+c+d+e. Pela propriedade do cancelamento da adição (A4), segue que a+f = b+e. Logo (a, b) (e, f). Proposição B.1: Dado (a, b) N N, existe (c, 0) ou (0, d) equivalente a (a, b). Demonstração: Caso 1: Se a < b, tome d = b a. Assim a + d = a + b a = b + 0 e, daí, (a, b) (0, d). Caso 2: Se a b, tome c = a b. Logo e, daí, (a, b) (c, 0). a + 0 = a = b + a b = b + c Dessa forma, uma classe (a, b) qualquer sempre poderá ser representada por um par que possui uma coordenada igual a zero. Assim, poderemos listar as classes de equivalência na seguinte forma:... (0, 2), (0, 1), (0, 0), (1, 0), (2, 0)

276 Definição B.2: Defina Z = N N/. Para termos um conjunto mais conveniente, renomeamos seus elementos:. 2 (0, 2) 1 (0, 1) 0 (0, 0) 1 (1, 0) 2 (2, 0). Dessa forma, o número 3 Z é, na verdade, uma representação do conjunto {(3, 0), (4, 1), (5, 2)...} N N. 267

277 Construção do conjunto dos números inteiros 268

278 Apêndice C Construção do conjunto dos números racionais O Capítulo 5 aborda o conjunto dos números racionais e apenas apresenta a forma intuitiva de sua construção. Vamos fazer neste apêndice sua construção formal. Essa construção segue as mesmas ideias da construção formal de Z, feita no Apêndice B: construiremos uma relação de equivalência em Z Z + e tomaremos seu quociente, obtendo o conjunto Q. Definição C.1: Dados (a, b), (c, d) Z Z +, defina a relação (a, b) (c, d) ad = bc. Observação C.1: O intuito dessa relação é fazer (a, b) representar o a número racional b. Também, quando c d for igual a a b, queremos que (a, b) e (c, d) representem o mesmo número racional. Teorema C.1: A relação, definida na Definição C.1, é uma relação de equivalência. Demonstração: Vamos mostrar que valem os itens a), b) e c) da 269

279 Construção do conjunto dos números racionais Definição A.5. Sejam (a, b), (c, d), (e, f) Z Z +. a) Como o produto em Z é comutativo (M2), segue que ab = ba e, portanto, (a, b) (a, b). b) Suponha que (a, b) (c, d). Logo ad = bc que é o mesmo que cb = da. Assim (c, d) (a, b). c) Por fim, se (a, b) (c, d) e (c, d) (e, f) valem ad = bc e cf = de. Assim, adf = bcf que, pela segunda equação, é igual a bde. Como d 0, pela propriedade do cancelamento da multiplicação (M 4) temos que vale af = be. Logo (a, b) (e, f). Proposição C.1: Dado (a, b) Z Z +, existe (c, d) equivalente a (a, b) com mdc(c, d) = 1. Demonstração: Suponha que mdc(a, b) = d. Assim, pela Proposição 4.14 teremos p, q Z com a = dp, b = dq e mdc(p, q) = 1. Assim, segue que (a, b) (p, q), pois aq = dpq = dqp = bp. Dessa forma, uma classe (a, b) qualquer sempre poderá ser representada por um par formado por números coprimos. Definição C.2: Defina Q = Z Z +/. Para termos um conjunto com uma notação mais intuitiva, renome- 270

280 amos seus elementos para 3 (3, 2) 2 7 ( 7, 4) 4 1 (3, 6) 2. p (p, q), q sempre que mdc(p, q) = 1. Dessa forma, o número 3 2 Q é, originalmente, um representante do conjunto {(3, 2), (6, 4), (9, 6)...} Z Z

281 Construção do conjunto dos números racionais 272

282 Apêndice D Construção do conjunto dos números reais O Capítulo 6 aborda o conjunto dos números reais e apenas faz comentários intuitivos de sua construção geométrica. Neste apêndice, vamos apresentar ao curioso leitor sua construção formal, explorando certos problemas que encontramos no conjunto Q. Para seu pleno entendimento, sugerimos [18] para que o leitor busque definições e propriedades sobre corpos e isomorfismos. Comecemos com algumas definições básicas. Definição D.1: Um corpo K é dito ordenado se existir um conjunto P K tal que a) Se x, y P, então x + y, xy P. b) Para qualquer x P uma, e apenas uma, das seguintes possibilidades ocorre: x P ou x P ou x = 0. Observação D.1: Propositalmente escolhemos a letra P na definição anterior. Basicamente, a intuição é que tal conjunto represente os ele- 273

283 Construção do conjunto dos números reais mentos positivos de um dado corpo K. De fato, Q é um corpo ordenado com P = Q +, ou seja, o conjunto dos números racionais positivos. Uma vez que um corpo K seja ordenado, podemos definir uma relação de ordem em K. Definição D.2: Seja K um corpo ordenado. Dados x, y K, temos: a) x y quando y x P ou x = y. b) x < y quando y x P. A relação é uma relação de ordem total, pois satizfaz as propriedades reflexiva, antissimétrica, transitiva e de totalidade. Observação D.2: Note a semelhança com a Definição 5.6 da relação de ordem no corpo ordenado Q. A relação em um corpo ordenado K nos permite definir o conceito de cota (inferior e superior) de um subconjunto de K. Definição D.3: Seja K um corpo ordenado e A K. a) Um elemento x K é uma cota superior do conjunto A se y x, y A. Caso o conjunto A possua cota superior, dizemos que A é limitado superiormente. b) Um elemento z K é uma cota inferior do conjunto A se z y, y A. Caso o conjunto A possua cota inferior, dizemos que A é limitado inferiormente. Observação D.3: Fato parecido já foi apresentado para Z, na Definição 3.4. Note, porém, que Z não é um corpo. A definição anterior baseia-se no fato de existir uma relação de ordem no conjunto, e não dele ser um corpo. Observação D.4: Nem todos subconjuntos de corpos ordenados têm cotas superior ou inferior. Por exemplo, Z não tem cota inferior e nem superior em Q. 274

284 Os conceitos de cotas inferior e superior são importantes para definir o conceito chave na construção dos números reais, a saber, os conceitos de supremo e ínfimo. Definição D.4: a) Seja K um corpo ordenado e A K limitado superiormente. O supremo do subconjunto A, denotado por sup A é a menor das cotas superiores de A. b) Seja K um corpo ordenado e A K limitado inferiormente. O ínfimo do subconjunto A, denotado por inf A é a maior das cotas inferiores de A. Alternativamente, dizemos que x K é o supremo de A se: a) y x, y A, e b) se z é uma cota superior de A, então x z. Por outro lado, dizemos que x K é o ínfimo de A se: a) x y, y A, e b) se z é uma cota inferior de A, então z x. Exemplo D.1: Considere o conjunto A = {x Q : 0 < x < 1}. Neste conjunto, inf A = 0 e sup A = 1. Esse exemplo nos mostra que não há necessidade do supremo ou ínfimo de um conjunto ser elemento deste conjunto. Quando isso acontece dizemos, também, que inf A é o menor elemento de A e sup A é o maior elemento de A. Exemplo D.2: Considere o conjunto A = {x Q : 0 x 1}. Neste conjunto inf A = 0 é o menor elemento de A e sup A = 1 é o maior elemento de A. Como afirmamos anteriormente, os números reais surgem a partir de certos problemas que encontramos no conjunto Q. Em Q, nem todos os subconjuntos não vazios tem ínfimo. Por exemplo, o conjunto A = {x Q : π < x} 275

285 Construção do conjunto dos números reais não tem ínfimo em Q. A partir dessa consideração, podemos definir o conjunto dos números reais, denotado por R, a partir do chamado Postulado de Dedekind. Postulado de Dedekind: O conjunto R é um corpo ordenado tal que todo subconjunto não vazio de elementos positivos possui um ínfimo. Para sermos mais precisos, esse postulado diz que devemos adicionar elementos ao conjunto Q, para obter um novo conjunto que não possua tais problemas mencionados anteriormente. Além disso, também segue que todos os corpos ordenados que satisfazem esse postulado são isomorfos à R. Ademais, todos os números reais que não são racionais, são ditos irracionais como, por exemplo, o 2 (Teorema 6.1). Julius Wilhelm Richard Dedekind Julius Wilhelm Richard Dedekind (Braunschweig, 06 de outubro de 1831 Braunschweig, 12 de fevereiro de 1916) foi um matemático alemão. Sua maior contribuição para a matemática foi a redefinição de um número irracional através dos Cortes de Dedekind, publicado em Stetigkeit und Irrationale Zahlen. Também contribuiu imensamente no estudo da indução matemática, na definição de conjuntos finitos e infinitos, além do estudo dos corpos dos números algébricos. 276

286 Referências Bibliográficas [1] AABOE, A.: Episódios da História Antiga da Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 3 a ed., [2] ARENALES, S. e A. DAREZZO: Cálculo Numérico: aprendizagem com apoio de software. Cengage Learning, São Paulo, 2 a ed., [3] BOYER, C. B. e U. C. MERZBACH: História da Matemática - Tradução da 3 a Edição Americana. Edgard Blucher, São Paulo, [4] BRANDT, C. F. e M. MORETTI: Aprendizagem do Sistema de Numeração. Editora Prismas, Curitiba, [5] BURTON, D. M.: Teoria Elementar dos Números. LTC, Rio de Janeiro, [6] CARAÇA, B. J.: Os conceitos fundamentais da Matemática. Editora Gradiva, Lisboa, [7] CARRAHER, D. e A. SCHLIEMANN: A compreensão dos conceitos aritméticos. Editora Papirus, Campinas, [8] CARVALHO, N. T. B. e C. S. C. GIMENEZ: Fundamentos de Matemática I. Universidade Aberta do Brasil, Florianópolis, [9] CASTRUCCI, B.: Elementos de teoria dos conjuntos. A. Oshiro - Publicações, São Paulo, [10] CORRY, L.: A Brief History of Numbers. Oxford University Press, [11] COUTINHO, S. C.: Números inteiros e criptografia RSA. IMPA, Rio de Janeiro, [12] DOMINGUES, H. H.: Fundamentos de Aritmética. Editora da UFSC, Florianópolis, [13] ENDLER, O.: Teoria dos números algébricos. IMPA, Rio de Janeiro, [14] EUCLIDES: Os Elementos. Editora UNESP, Tradução de Irineu Bicudo. São Paulo,

287 Referências Bibliográficas [15] EVES, H.: Introdução à História da Matemática. Editora da UNICAMP, Campinas, [16] FEFFERMAN, S.: The Number Systems: Foundations of Algebra and Analysis. AMS Chelsea Publishing Series. American Mathematical Society, [17] FIGUEIREDO, D. G.: Análise I. LTC, Rio de Janeiro, 2 a ed., [18] FRALEIGH, J. B. e V. J. KATZ: A first course in abstract algebra. Pearson Education, [19] GONÇALVES, A.: Introdução à Álgebra. IMPA, Rio de Janeiro, [20] HAZZAN, S.: Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 5 - Combinatória, Probabilidade. Atual Editora, São Paulo, [21] HEFEZ, A.: Elementos de aritmética. Coleção Textos Universitários. IMPA, Rio de Janeiro, [22] IEZZI, G.: Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 6 - Complexos, Polinômios, Equações. Atual Editora, São Paulo, [23] IFRAH, G., D. BELLOS, E. F. HARDING, S. WOOD e I. MONK: The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley, [24] KURTZ, D. C.: Foundations of Abstract Mathematics. McGraw-Hill Book Co., Inc., Singapure, [25] LIMA, E. L., P. C. P. CARVALHO, E. WAGNER e A. C. MORGADO: A Matemática do Ensino Médio, vol. 1. SBM, 2005, ISBN [26] LOOMIS, E. S.: The Pythagorean Proposition. Natl Council of Teachers of (June 1, 1968), Washington, [27] MARTINEZ, F. B., C. G. T. A. MOREIRA, N. C. SALDANHA e E. TENGAN: Teoria dos Números: Um Passeio com Primos e Outros Números Familiares Pelo Mundo Inteiro. IMPA, Rio de Janeiro, 4 a ed., [28] MENDELSON, E.: Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Publications, [29] MENNINGER, K.: Number words and number symbols: a cultural history of numbers. Dover Publications, [30] MORGADO, A. C. e P. C. P. CARVALHO: Matemática Discreta. Coleção PROFMAT. SBM, Rio de Janeiro, 2 a ed., [31] NIVEN, I.: Números: Racionais e Irracionais. SBM, Rio de Janeiro, 1 a ed., [32] ORE, O.: Number theory and its history. Dover Classics of Science and Mathematics. Dover Publications, [33] PEANO, G.: Arithmetices principia, nova methodo exposita. Fratres Bocca. Facsimile of the treatise (Latin), [34] RIBENBOIM, P.: Números Primos - Velhos Mistérios e Novos Recordes. IMPA, Rio de Janeiro, 1 a ed., [35] SANTOS, J. P. O.: Introdução à Teoria dos Números. IMPA, Rio de Janeiro,

288 Referências Bibliográficas [36] SANTOS, J. P. O., M. P. MELLO e I. T. C. MURARI: Introdução à Análise Combinatória. Editora Ciência Moderna, Rio de Janeiro, 4 a ed., [37] SCHEINERMAN, E. R.: Matemática discreta uma introdução - Tradução da 3 a Edição Norte-Americana. Cengage Learning, São Paulo, [38] STILLWELL, J.: Numbers and Geometry. Springer-Verlag New York, New York, [39] WEIL, A.: Number Theory: An approach through history from Hammurapi to Legendre. Birkhäuser Boston,

289 280 Referências Bibliográficas

290 Índice Remissivo Algarismo, 24, 75, 79, 221 Algoritmo da Divisão, 69, 77 para o cálculo do mdc, 121 para polinômios, 243 Associatividade da adição, 20, 49, 175 da multiplicação, 21, 51, 177 Axiomas de Peano, 11 Cancelamento da adição, 20, 49 da multiplicação, 21, 51, 175, 178 Civiizações Gregos, 96 Civilizações Árabes, 8, 166 Babilônios, 4, 165 Cambojanos, 6 Chineses, 6, 11, 45 Egípcios, 3, 165 Gregos, 5, 11, 165 Indianos, 8, 11, 45, 166 Japoneses, 6 Maias, 7 Romanos, 6, 165 Comutatividade da adição, 20, 49, 175 da multiplicação, 21, 51, 177 Congruência, 146 Conjunto limitado inferiormente, 66, 274 superiormente, 274 Cota inferior, 66, 274 superior, 274 Critérios de divisibilidade, 154 por 2, 154 por 3, 154 por 5, 155 por 7, 156 por 11, 157 por 13, 159 por 17, 160 por 19, 161 Demonstração por absurdo, 40 Distributividade, 22, 51, 178 Divisão longa, 71 Divisibilidade, 90 quantidade de divisores, 112, 114 Elemento inverso da multiplicação, 178 Elemento neutro da adição, 20, 49, 51, 175 da multiplicação, 21, 177 Elemento oposto da adição, 49, 175 Equação diofantina, 137 solução geral, 141 Equação polinomial, 236, 237 de grau 1, 238 de grau 2, 239 de grau maior que 2, 243 Fatoração de números, 109, 119 de polinômios, 247 Fração, 166 aparente, 169 decimal,

291 Índice Remissivo imprópria, 168 irredutível, 170, 232 própria, 168 redutível, 170 unitária, 169 Inequação polinomial, 252 de grau 1, 253 de grau maior que 1, 254 Ínfimo, 275 Mínimo múltiplo comum, 130 Máximo divisor comum, 118, 124 Matemáticos Al Karaji, 37 Bhaskara, 241 Brahmagupta, 45 Diofanto de Alexandria, 138 Edmund Landau, 47 Emmy Amalie Noether, 22 Eratóstenes de Cirene, 96 Étienne Bézout, 125 Euclides, 68 George Boole, 187 Giuseppe Peano, 12 Godfrey Harold Hardy, 98 Hipátia, 71 Johann Dirichlet, 214 Johann Gauss, 38 Leonhard Euler, 98 Muhammad al-khwarizmi, 8 Paul Erdös, 116 Pierre de Fermat, 97 Pitágoras de Samos, 199 René Descartes, 201 Richard Dedekind, 276 Robert Recorde, 238 Simon Stevin, 166 Srinivasa Ramanujan, 99 Teodoro de Cirene, 200 Menor elemento, 40 Número primo, 96 crivo de Eratóstenes, 100 deserto de primos, 105 teorema de Euclides, 105 Números complexos, 9, 206, 240, 242 Números coprimos, 135, 270 Números inteiros, 46 adição, 48, 49 construção formal, 265 multiplicação, 51 relação de ordem, 60 subtração, 53 Números irracionais, 199 Números naturais, 12 adição, 18 fatorial, 27 multiplicação, 21 potência, 23 relação de ordem, 29 representação polinomial, 24 subtração, 28 Números racionais, 165 adição, 174 construção formal, 269 divisão, 181 multiplicação, 176 relação de ordem, 186 subtração, 179 Números reais, 197 construção formal, 273 potências, 202 raízes, 205 Par ordenado, 259 Polinômio, 237 Princípio da Boa Ordem, 40 Princípio de Indução, 13, 36, 243 completa, 39 Princípio do Menor Inteiro, 65 Produto cartesiano, 260 Progressão aritmética, 209 geométrica, 215, 227 Relação, 260 antissimétrica, 60, 189, 261 assimétrica, 261 de equivalência, 262 de ordem, 262 de ordem estrita, 262 de ordem parcial, 262 de ordem total, 262 irreflexiva, 261 reflexiva, 60, 92, 148, 189, 261 simétrica, 148, 261 total, 61, 189, 261 transitiva, 60, 92, 148, 189, 261 Representação decimal,

292 Índice Remissivo adição, 224, 230 finita, 222 infinita aleatória, 234 infinita periódica, 227 multiplicação, 225, 230 subtração, 224, 230 Sistemas de numeração, 75 adição, 80 base 10, 23 multiplicação, 81 subtração, 82 tabuada, 84 Supremo, 275 Teorema Fundamental da Aritmética, 108 Tricotomia, 65, 192 Valor absoluto,