Teoria de Galois. Ana Cristina Vieira. Sandra Mara Alves Jorge. Verão MAT/UFMG

Transcrição

1 Teoria de Galois Ana Cristina Vieira Sandra Mara Alves Jorge Verão MAT/UFMG

2 Histórico Ana Cristina Vieira Graduação: UFF Mestrado: UnB Doutorado: UnB Sandra Mara Alves Jorge Graduação: UFJF Mestrado: UFMG Doutorado: UFMG

3 Évariste Galois França - 25 de outubro de 1811/31 de maio de 1832 Contato com a Matemática: Com doze anos, Galois foi para a escola no Liceu de Louis-le-Grand. Lá não encontrou nenhum curso de matemática. Somente aos dezesseis anos pôde fazer seu primeiro curso de matemática e com dezessete anos publicou seu primeiro trabalho nos Annales de Gergonne. Decepção: Foi reprovado duas vezes no exame de admissão para a École Polytechnique, os seus modos rudes e a falta de explicações na prova oral fizeram com que sua admissão fosse recusada. Progresso: Com dezessete anos, submeteu dois trabalhos de pesquisa à Academia de Ciências. Cauchy ficou muito impressionado com o trabalho do jovem e o julgou capaz de participar na competição pelo Grande Prêmio de Matemática da Academia. Para isso, os dois trabalhos teriam que ser reapresentados na forma de uma única tese.

4 Suicídio: Em julho de 1829, um jesuíta, contrário as idéias republicanas do pai de Évariste, começou uma campanha para depô-lo. Escreveu uma série de versos vulgares ridicularizando membros da comunidade e os assinou com o nome do velho Galois que não pode suportar a vergonha e se suicidou. Nova decepção: Galois voltou a Paris e juntou seus dois trabalhos num só e os enviou para o secretário da Academia, Joseph Fourrier. O trabalho de Galois não apresentava uma solução para os problemas do quinto grau, mas oferecia uma visão tão brilhante que Cauchy, o considerava como o provável vencedor. Mas o trabalho não ganhou o prêmio e nem foi oficialmente inscrito. Fourrier morrera algumas semanas antes da data da decisão dos juizes, e embora um maço de trabalhos tivesse sido entregue ao comitê, o de Galois não estava entre eles. O trabalho nunca foi encontrado e a injustiça foi registrada por um jornalista francês. Prisão: Em dezembro de 1830, o gênio contrariado tentou se tornar um rebelde profissional alistando-se na Artilharia da Guarda Nacional, acusado de conspiração Galois foi preso. Ficou na prisão durante um mês e mergulhou num estado de depressão, tentando suicídio. Em março de 1832, um mês antes do final da sentença, irrompeu uma epidemia de cólera em Paris e os prisioneiros foram libertados.

5 Romance: Galois envolveu-se com uma mulher misteriosa, chamada Stéphanie-Félice Poterine du Motel. Stephanie já estava comprometida com um cidadão um dos melhores atiradores da França e que descobriu a infidelidade de sua noiva. Furioso, não hesitou em desafiar Galois para um duelo ao raiar do dia. Na noite anterior ao confronto, que ele acreditava ser a última oportunidade que teria para registrar suas idéias no papel, ele escreveu cartas para os amigos explicando as circunstâncias. Teorema: Um de seus maiores temores era de que sua pesquisa, rejeitada pela Academia, se perdesse para sempre. Em uma tentativa desesperada de conseguir reconhecimento, ele trabalhou a noite toda, escrevendo o teorema que, acreditava, explicaria o enigma da equação do quinto grau. No final da noite, quando seus cálculos estavam completos, ele escreveu uma carta explicativa ao seu amigo Auguste Chevalier, pedindo que, caso morresse, aquelas páginas fossem enviadas aos grandes matemáticos da Europa.

6 Reconhecimento: Passou-se uma década antes que os trabalhos de Galois fossem reconhecidos. Uma cópia chegou às mãos de Joseph Liouville em Liouville passou meses tentando interpretar seu significado. Finalmente ele editou os artigos e os publicou no prestigioso Journal de Mathematiques Pures e Appliquées. A resposta dos outros matemáticos foi imediata e impressionante. Galois tinha de fato formulado uma completa explicação de como se poderia obter soluções para equações do quinto grau. Primeiro Galois classificara todas as equações em dois tipos: que podiam ser solucionadas e as que não podiam. Além disso, Galois examinou as equações de grau mais alto do que cinco,podendo identificar as que tinham soluções. Era uma das obrasprimas da matemática do século XIX, criada por um de seus mais trágicos heróis.

7 Grupos Corpos (G, ) é um grupo se G e : G G G (i)(a b) c = a (b c), a, b, c G (associatividade) (ii) e G tal que a e = e a, a G (existência de elemento neutro) (iii) a G, b G tal que a b = b a = e (existência de inversos) Se a b = b a ( é comutativa) então G é grupo abeliano. (K, +, ) é um corpo se K e + : K K K : K K K (i) (K, +) é grupo abeliano (i) (K, ) é grupo abeliano (iii) a (b + c) = a b + a c, a, b, c K ( é distributiva com relação a +)

8 Exemplos 1. (Z, +) é um grupo abeliano infinito. 2. (Z, +, ) não é um corpo mas Q, R e C são corpos infinitos. 3. (M 2 2 (R), +) é grupo abeliano infinito. 4. GL 2 (R) = { A M 2 2 (R) deta 0 } é grupo não abeliano. 5. Z n = {[0], [1],, [n 1]} (onde [a] é uma classe de restos módulo n) com as operações [a]+[b] = [a+b] e [a] [b] = [a b] em Z n. Temos (Z n, +) é um grupo abeliano finito. Mas, (Z n, ) é grupo se, e somente, se n = p é primo 6. Sim(X) = { f : X X f bijetora }, X, com operação de composição de funções é o grupo de permutações de X, em geral não abeliano. Caso X = {1, 2,..., n}, n 2 denotamos Sim(X) por S n e o denominamos grupo simétrico de grau n.

9 Subgrupos Um subgrupo de um grupo G pode ser definido como um subconjunto não vazio H de G que ainda é um grupo com a mesma operação definida em G. Exemplos: (1) Obviamente, Z é subgrupo de Q, Q é subgrupo de R, etc. ( ) a b (2) O conjunto das matrizes é um subgrupo 0 d de GL 2 (R) = { A M 2 2 (R) deta 0 }. Um subgrupo notável de GL 2 (R) é SL 2 (R) = { A M 2 2 (R) deta = 1 }. (3) Dado um subconjunto = X G, definimos o subgrupo de G gerado por X, denotado por X, como a intersecção de todos os subgrupos de G que contém X. Observamos que X = { x ±1 1 x±1 2...x±1 s x i X, s 0 }, onde interpretamos a expressão com s = 0 como sendo 1. Se X = {x} (conjunto unitário) então X = x é o subgrupo cíclico de G gerado pelo elemento x. O grupo G é dito cíclico se existe g G tal que G = g. Por exemplo, Z é um grupo cíclico (gerado por 1).

10 Teorema de Lagrange Seja G um grupo finito e denote por G o número de elementos de G (ordem de G). O teorema de Lagrange (1770) garante que se H é um subgrupo de G então H divide G. a H b (mod H) ab 1 H (é uma relação de equivalência em G). Ha = { ha h H } dita uma classe lateral (à direita) de H em G. Se N g = gn, para todo g em G, dizemos que N é um subgrupo normal de G. Um grupo que não possui subgrupos normais próprios não triviais é dito um grupo simples. Se N é subgrupo normal de G então o conjunto G/N = { Na a G } é um grupo com a operação Na.Nb = Nab, a, b G dito grupo quociente de G por N.

11 Subcorpos Um subcorpo de um corpo K pode ser definido como um subconjunto não vazio F de K que ainda é um corpo com as mesmas operações definidas em K (neste caso, K é dito ser uma extensão de F ). Exemplos: (1) R é subcorpo de C. (2) Q é subcorpo de Q( 2) = {a + b 2 a, b Q}. (3) Em geral, Q( p) = {a + b p a, b Q} onde p é um primo, é uma extensão de Q. Questão: Podemos identificar as extensões Q( 2) e Q( 3) de Q?

12 Isomorfismos de Corpos Uma aplicacão ψ : K L entre dois corpos K e L é dita um homomorfismo se ψ(a + b) = ψ(a) + ψ(b) e ψ(a.b) = ψ(a).ψ(b) para todo a, b K. Se um homomorfismo ψ for bijetor, dizemos que ψ é um isomorfismo de K em L e denotamos por K = L. Um isomorfismo ψ : K K é dito um automorfismo de K. Exemplos: (1) Considerando o corpo K = temos K = R. {( a 0 0 a ) } a R, (2) Considerando o corpo R R com as operações (a, b)+ (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc), temos R R = C. (3) ϕ : Q( 2) Q( 2) tal que ϕ(a + b 2) = a b 2 é um automorfismo. Agora, responda a questão...

13 F -automorfismos Note que ϕ : Q( 2) Q( 2) definida por ϕ(a + b 2) = a b 2 é tal que ϕ(c) = c, c Q. Também temos que φ : C C definida por φ(a + bi) = a bi é um automorfismo tal que φ(c) = c, c R. Se K é uma extensão de F e ψ : K K é um automorfismo que fixa pontualmente os elementos de F (isto é, ψ(c) = c, c F ) então dizemos que ψ é um F -automorfismo de K. Denotamos por Gal F K o conjunto de todos os F - automorfismos de K. Gal F K é um grupo sob a operação de composição de funções dito grupo de Galois de K sobre F. Exemplo: Gal R C = {Id, φ}.

14 O grupo Gal F K e raízes de polinômios F [x] Anel dos polinômios na indeterminada x com coeficientes no corpo F Dado um elemento u F é uma raiz de um polinômio f(x) = α 0 + α 1 x + + α n x n em F [x], se a função polinomial induzida f : F F se anula em u, ou seja, α 0 + α 1 u + + α n u n = 0. Teorema: Seja f(x) um polinômio não constante em F [x]. Então existe uma extensão K de F que contém uma raiz de f(x). Teorema: Seja K uma extensão de F e f(x) F [x]. Se u K é uma raiz de f(x) e ψ Gal F K então ψ(u) também é uma raiz de f(x).

15 Corpos intermediários Se K é uma extensão de F e L é um corpo tal que F L K então L é dito um corpo intermediário da extensão. Exemplos: (1) R é um corpo intermediário da extensão C de Q. (2) Q( 2) = {a + b 2 a, b Q} é um corpo intermediário da extensão R de Q. Teorema: Seja K uma extensão de F e seja H um subgrupo de Gal F K. Considere E H = {a K σ(a) = a, para todo σ H}. Então, E H é um corpo intermediário da extensão. E H é dito o corpo fixado do subgrupo H.

16 Exemplos Já vimos que Gal R C = {Id, φ}, onde φ(a + bi) = a bi. Portanto, os únicos subgrupos de G = Gal R C são G e H = {Id}. Deste modo, E H = C e E G = R. Apesar do exemplo anterior, não é sempre verdade que para G = Gal F K temos E G = F (quer dizer, o corpo fixado por Gal F K nem sempre é F ). Exemplo: Considere a extensão de Q: Q( 3 2) = {a + b c( 3 2) 2 a, b, c Q}. Note que todo elemento do grupo de Galois de Q( 3 2) sobre Q deve levar 3 2 em uma raiz de f(x) = x 3 2. Mas 3 2 é a única raiz real de f(x). Assim, se σ Gal Q Q( 3 2) então σ( 3 2) = 3 2 e com isso, σ(u) = u para todo u Q( 3 2), ou seja, Gal Q Q( 3 2) = {Id}. Logo, o corpo fixado de Gal Q Q( 3 2) é Q( 3 2).