Deslocamentos Isométricos em Espaços de Banach. Fernando Dallapé Madeira

Transcrição

1 Deslocamentos Isométricos em Espaços de Banach Fernando Dallapé Madeira Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Matemática Programa: Matemática Orientador: Prof. Dr. Elói Medina Galego Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro da CAPES e do CNPq São Paulo, Agosto de 2014

2

3 Deslocamentos Isométricos em Espaços de Banach Esta versão da dissertação contém as correções e alterações sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho, realizada em 15/08/2014. Uma cópia da versão original está disponível no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. Comissão Julgadora: Prof. Dr. Elói Medina Galego (orientador) - USP Prof. Dr. Antonio Roberto Silva - UFRJ Prof. Dr. Raymundo Luiz de Alencar - ITA

4

5 Agradecimentos Agradeço sobretudo à Deus, por me dar saúde e oportunidades para chegar nesse momento tão feliz da minha vida. Agradeço ao meu orientador por ser sempre muito atencioso e por estar envolvido com esse trabalho até o fim. Graças à ele, estou muito mais maduro e autônomo para ampliar meu conhecimento. Agradeço aos meus queridos pais, Sônia e Victor, por serem pessoas tão amáveis e carinhosas e não terem medido esforços para me apoiar nessa conquista. Agradeço à minha companheira de sempre, Angélica Turaça, por me dar muitas demonstrações de que a vida é bela e graciosa. Esse anjo me inspira todos os dias a mudar e ser cada vez melhor. Agradeço ao meu irmão pelos momentos divertidos e alegres, esses permitiram um equilíbrio diante de toda seriedade que este trabalho demandou. Agradeço aos meus amigos Anderson, Antonio, Artur, Renan Marcel, Renan Sanches, Romenig, Sheldon, Silmara e Thiago. Agradeço aos professores Antonio Roberto Silva e Raymundo Luiz de Alencar por terem aceitado fazer parte da banca avaliadora e por suas observações, sugestões e correções. Agradeço ao CNPq e à CAPES pelo apoio financeiro. i

6 Resumo MADEIRA, F. D. Deslocamentos Isométricos em Espaços de Banach f. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, Neste trabalho, estudamos a existência de deslocamentos isométricos 1 no produto de espaços de Banach, munido tanto com a norma. como com a norma. 1. Em alguns casos, assumimos que pelo menos um dos espaços envolvidos no produto é estritamente convexo e isso deu origem a resultados interessantes. Ainda, exploramos os deslocamentos isométricos em C(X), mostrando como classificá-los de acordo com dois tipos. Palavras-chave: deslocamentos isométricos, deslocamentos isométricos no espaço produto, deslocamentos isométricos em C(X), deslocamentos reversos, existência de deslocamentos em espaços de Banach. 1 Os termos deslocamento isométrico e deslocamento reverso foram traduzidos do inglês, respectivamente, dos termos isometric shift e backward shift. ii

7 Abstract MADEIRA, F. D. Deslocamentos Isométricos em Espaços de Banach f. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, In this work, we study the existence of isometric shifts on the product of Banach spaces, equipped with the norms. or. 1. In some cases, we assume that at least one of these spaces on the product is strictly convex and obtain interesting results. Besides, we explore isometric shifts on C(X), showing how to sort them on two groups. Keywords: Isometric shifts, isometric shifts on the product of Banach spaces, isometric shifts on C(X), backward shifts, existence of isometric shifts on Banach spaces. iii

8 Sumário Notação Introdução v vi 1 Preliminares Topologia - Conceitos e resultados básicos Axiomas de separação Redes Compactificações de um espaço topológico Noções de Álgebra Noções de Análise Funcional Deslocamentos isométricos em c X Introdução Definição e algumas propriedades elementares dos deslocamentos isométricos Construção de deslocamentos isométricos Deslocamentos isométricos em c X Deslocamentos isométricos em E 1 F Introdução Definições e resultados básicos Espaços sem deslocamentos isométricos Deslocamentos reversos em Espaços de Banach Deslocamentos isométricos em C(X) Introdução Isometrias em C(X) Classificação dos deslocamentos isométricos em C(X) Estudo dos deslocamentos isométricos tipo I Estudo dos deslocamentos isométricos tipo II Referências Bibliográficas 73 iv

9 Notação N K o conjunto dos números inteiros estritamente positivos os corpos R ou C X um espaço vetorial normado sobre K (exceto no Capítulo 4) l c o espaço de Banach das sequências em K que são limitadas o espaço de Banach das sequências em K que são convergentes c 0 o espaço de Banach das sequências em K que convergem para 0 [v 1, v 2,..., v n ] o subespaço gerado pelas combinações lineares dos vetores v 1, v 2,..., v n Kv B X S X X X M X Y X Y o subespaço [v] a bola unitária fechada de um espaço normado X a esfera unitária de um espaço normado X o espaço vetorial normado dos funcionais lineares e contínuos em X o espaço quociente de X por um subespaço M o espaço vetorial produto de dois espaços vetoriais normados X e Y o espaço produto munido com a norma. X 1 Y o espaço produto munido com a norma. 1 Re (z) a parte real de um número complexo z Im (z) T KerT ImT a parte imaginária de um número complexo z uma transformação linear o núcleo de uma tranformação linear T a imagem de uma tranformação linear T Particularmente, para p R, 1 p < : l p o espaço de Banach das sequências (x n ) n em K, tais que j=1 x j p < Exclusivamente no Capítulo 4: X C(X) βx um espaço topológico compacto e Hausdorff o espaço das funções contínuas em X e com valores em K o compactificado de Stone-Cech de X v

10 Introdução Neste trabalho, estudaremos uma classe de operadores definidos em espaços de Banach, os deslocamentos isométricos. Esses operadores vem sendo explorados nas pesquisas e, em quase todos artigos que tratam do assunto, identificamos uma questão em comum. Essa questão diz respeito a existência de deslocamentos isométricos em determinados espaços de Banach. O primeiro matemático a dar uma definição geral de deslocamentos em espaços de Banach foi R. Crownover, em um artigo publicado no ano de Essa definição não apenas abrangia isometrias, mas outros operadores contínuos e injetores. Esses deslocamentos são muitas vezes citados como deslocamentos de Crownover ou deslocamentos clássicos. Em 1988, outro importante matemático, Holub, publicou um artigo sobre deslocamentos. Nesse artigo, Holub reformulou e criou definições de deslocamentos, como por exemplo a noção de deslocamento reverso. Essa abordagem do assunto na década de 80 deu ênfase também para os deslocamentos isométricos, nosso objeto de estudo neste trabalho. Muitas questões e conjecturas foram feitas, principalmente, focadas na possibilidade de construção de deslocamentos isométricos em espaços de Banach dados. Recentemente, no artigo da referência [5], Pei-Kee Lin explorou a existência de deslocamentos isométricos no produto de dois espaços de Banach, considerado com a norma.. Nesse artigo, é nítido que quando os espaços envolvidos no produto são estritamente convexos, tiramos fortes conclusões a respeito dos deslocamentos isométricos e isso nos dá uma sensação de controle ou domínio sobre o estudo. A segunda parte do artigo é pautada no estudo de espaços da forma c X, sendo X um espaço de Banach qualquer e c o espaço das sequências convergentes. Ainda no artigo, o autor deixou o seguinte problema em aberto: Questão 1. O espaço produto c c 0 admite um deslocamento isométrico quando considerado como R-espaço vetorial? No Capítulo 2, responderemos a questão 1 no caso complexo, tal como foi feito em [3]. Seguindo a referência [5], dedicaremos nossa atenção para os espaços c X, particularmente quando X for estritamente convexo. Nesse caso, notaremos algumas propriedades e consequências da hipótese de c X admitir ao menos um deslocamento isométrico. Ainda apresentaremos um teorema capaz de gerar exemplos de deslocamentos, na medida em que traz condições suficientes para c X admitir um deslocamento isométrico. No Capítulo 3, estudaremos o espaço produto munido com a norma. 1. Devemos ter em mente que os deslocamentos isométricos são operadores que preservam a norma, portanto este caso demanda um tratamento particular. Nosso interesse, nesse capítulo, será estudar especificamente o produto de espaços estritamente convexos - estabelecendo, quando possível, vi

11 comparações com os resultados do capítulo 2. Seguindo o que está feito em [3], mostraremos que um deslocamento isométrico definido no espaço produto é fatorável e sua imagem é um subespaço retangular. Além disso, mostraremos que, para 1 < p q <, os espaços l p l q e l p 1 l q não admitem deslocamentos isométricos. Na última seção, definiremos os deslocamentos reversos e mostraremos como esses operadores estão relacionados aos deslocamentos isométricos. Para saber mais sobre os deslocamentos reversos, podemos consultar [7]. No Capítulo 4, estudaremos os deslocamentos isométricos no espaço C(X), sendo X um espaço topológico compacto e Hausdorff. A importância de explorar os deslocamentos em C(X) está em buscar mais exemplos sobre esses operadores e, também, exemplos de espaços que não os admitem. Iniciaremos o capítulo 4 enunciando e demonstrando um importante teorema, o qual pode ser visto em [8]. Com a ajuda desse teorema, construiremos funções induzidas por uma isometria definida em C(X), as quais possibilitam descrevê-la. Após apresentar esse teorema, trataremos de como classificar um deslocamento isométrico definido em C(X) segundo dois tipos. Feito isso, partiremos para o estudo de cada um dos tipos, dando diversos exemplos. Antes de tudo, o Capítulo 1 tem o objetivo de trazer alguns conhecimentos que serão fundamentais para compreensão deste trabalho. vii

12 Capítulo 1 Preliminares 1.1 Topologia - Conceitos e resultados básicos As noções de topologia presentes nesta seção serão fundamentais para entender o capítulo 4. Inicialmente, apresentaremos alguns axiomas de separação e enunciaremos o Lema de Urysohn. Depois disso, definiremos o que é uma rede e veremos alguns resultados básicos. Por fim, trataremos das compactificações de Alexandroff e Stone-Cech Axiomas de separação Definição 1. (Axiomas de Separação)([2], pg.36) Seja (X, τ) um espaço topológico. Dizemos que: S1) (X, τ) é T 1 se para cada x, y X com x y existem U x, U y τ tais que U x {x, y} = {x} e U y {x, y} = {y}; S2) (X, τ) é T 2, ou Hausdorff, se para cada x, y X com x y existem U x, U y τ tais que x U x, y U y e U x U y = ; S3) (X, τ) é T 3 se para cada F X fechado e para todo x X tal que x F existem U, V τ tais que F U, x V e U V = ; S4) (X, τ) é T 3 1 se para cada F X fechado e para todo x X tal que x F existe uma 2 função contínua f : X [0, 1] satisfazendo f(x) = 0 e f(t) = 1, para todo t F ; S5) (X, τ) é T 4 se para cada par de conjuntos fechados e disjuntos A, B X existem U, V τ tais que A U, B V e U V = ; S6) (X, τ) é um espaço de Tychonoff se (X, τ) é T 2 e T S7) (X, τ) é normal se (X, τ) é T 1 e T 4. Teorema 1. ([2], pg.125) Todo espaço topológico compacto e Hausdorff é normal. No Capítulo 4, o Lema de Urysohn será usado várias vezes, principalmente na demonstração por absurdo. Logo é muito importante conhecer esse enunciado com clareza. 1

13 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 2 Teorema 2. (Lema de Urysohn)([2], pg.41) Seja X um espaço topológico normal, isto é, um espaço topológico T 1 e T 4. Para cada par de conjuntos fechados e disjuntos A e B, existe uma função contínua f : X [0, 1] de maneira que f(x) = 0, para todo x A e f(y) = 1, para todo y B Redes Definição 2. Um conjunto não vazio D é dirigido se existir uma relação em D, satisfazendo (1) α α, para todo α D; (2) Para todos α,β,γ D, se α β e β γ, então α γ; (3) Para cada par α,β de elementos em D, existe γ α,β em D tal que α γ α,β e β γ α,β. Definição 3. Sejam X um conjunto e D um conjunto dirigido. Uma rede em X é uma função definida da seguinte forma: f : D X. O conjunto D é chamado de conjunto índice para a rede f. Observação 1. Para α D, dizemos que f(α) é o α-ésimo termo de f. Analogamente à forma como denotamos as sequências, é usual representar o α-ésimo termo de f por x α. A rede f também pode ser denotada por (x α ) α D. Definição 4. Seja (x α ) α D uma rede em um espaço topológico X e seja x um elemento de X. Dizemos que (x α ) α D converge para x se, para todo aberto U contendo x, existe α U D tal que x α U para qualquer α D, tal que α U α. Nesse caso x é chamado de limite de (x α ) α D e usamos a notação x α x ou lim x α = x. α Proposição 1. ([1], pg.145) Um espaço topológico é Hausdorff se, e somente se, vale a unicidade do limite para cada rede convergente em X. Proposição 2. ([1], pg.146) Seja S um subconjunto de um espaço topológico X e seja x um elemento de X. Então x S se, e somente se, existe uma rede de elementos de S convergindo para x. Proposição 3. ([1],pg.146) Um subconjunto S de um espaço topológico X é fechado se,e somente se, S contém os limites de todas redes convergentes, cujos elementos elementos estão em S. Proposição 4. ([1],pg.146) Sejam X e Y espaços topológicos e seja f : X Y uma função de X em Y. (a) A função f é contínua em x 0 X se, e somente se, f(x α ) f(x 0 ) para toda rede (x α ) α D convergindo para x 0 ; (b) A função f é contínua em X se, e somente se, para todo x X e para toda rede (x α ) α D convergindo para x, temos f(x α ) f(x).

14 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 3 Definição 5. Um subconjunto J de um conjunto dirigido I é cofinal em I se para cada α I, existe β α J de modo que α β α. Definição 6. Suponhamos que X seja um conjunto, I seja um conjunto dirigido e suponhamos que f : I X seja uma rede. Além disso, suponhamos que J seja um conjunto dirigido e g : J I seja uma função de maneira que (1) Para todos β 1, β 2 J, se β 1 β 2, então g(β 1 ) g(β 2 ) em I; (2) g(j) é cofinal em I. Então a rede f g : J X é chamada subrede de f. Proposição 5. ([1],pg.150) Seja D um conjunto dirigido e (x α ) α D uma rede em um conjunto X. (a) A rede (x α ) α D é subrede de si mesma; (b) Toda subrede de (x α ) α D é uma rede em X; (c) Toda subrede de uma subrede de (x α ) α D é também uma subrede de (x α ) α D ; (d) Se X é um espaço topológico e (x α ) α D converge para um elemento x X, então toda subrede de (x α ) α D converge para x; (e) Se X é um espaço topológico e existe um elemento x X tal que toda subrede de (x α ) α D tem uma subrede convergindo para x, então x α x. Proposição 6. ([1],pg.152) Um subconjunto S de um espaço topológico X é compacto se, e somente se, toda rede em S admite uma subrede convergente com limite em S. Essas noções sobre redes são mais do que suficientes para entender este trabalho, mas podemos encontrar exemplos e mais resultados interessantes em [1] Compactificações de um espaço topológico Nesta subseção, veremos dois casos especiais de compactificação. Sejam (X, τ) um espaço topológico não compacto e = {X}. Logo não é um elemento do conjunto X. Vamos considerar τ = τ {A { } : A P(X) e X \ A é fechado e compacto em X}. Definimos X = X { }, é simples verificar que (X, τ ) é um espaço topológico e que X é denso em X. Com essa notação, enunciaremos o próximo teorema e a próxima definição. Teorema 3. (Alexandroff) ([11], pg.150) O espaço topológico X é compacto e tem X como subespaço topológico. Além disso, X é Hausdorff se, e somente se, X é localmente compacto e Hausdorff. Definição 7. O espaço topológico X é chamado de compactificado de Alexandroff de X, ou ainda, compactificação de um ponto do espaço X.

15 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 4 Ainda na referência [11], nas páginas 151, 152 e 153, prova-se a existência do compactificado de Stone-Cech. A seguir, vamos defini-lo. Definição 8. Seja X um espaço de Tychonoff, isto é, um espaço topológico T 2 e T 3 1. Seja 2 Y um espaço topológico compacto, Hausdorff e que tenha X como subespaço topológico denso. Dizemos que Y é um compactificado de Stone-Cech para X se, para todo K compacto, Hausdorff e para toda função contínua f : X K, existe g : Y K contínua e que estende f. 1.2 Noções de Álgebra Nesta seção, vamos trabalhar com a noção de independência sobre os racionais e obter algumas propriedades algébricas que serão fundamentais para uma construção no segundo capítulo. Essas propriedades encontram-se em [3], na seção de preliminares. Antes de iniciarmos, vamos definir alguns conceitos básicos. Definição 9. Seja G = {y 1, y 2,..., y n } um conjunto finito de números reais. Dizemos que G é independente sobre os racionais se, para todos inteiros k 1, k 2,..., k n, k n+1 que satisfizerem k 1 y 1 + k 2 y k n y n = k n+1, tivermos k 1 = k 2 =... = k n = k n+1 = 0. Essa definição trata apenas de subconjuntos finitos de R, daí vem a necessidade de enunciar outra definição. Definição 10. Seja H um conjunto qualquer de números reais. Dizemos que H é independente sobre os racionais se cada subconjunto finito de H é independente sobre os racionais. Em [4], página exemplo 65, demonstra-se o seguinte resultado: Proposição 7. Seja {y 1, y 2,..., y n } um conjunto finito de números reais, que seja independente sobre os racionais. Sejam x 1, x 2,..., x n números reais e ε > 0 dado. Então existem inteiros k, m 1, m 2,..., m n tais que x i ky i m i < ε, para todo i = 1, 2,..., n. Através da proposição 7, vamos demonstrar a próxima proposição. Proposição 8. Sejam z 1, z 2,..., z n números complexos com valor absoluto 1. Vamos supor que z t = e 2πiyt, para cada t {1, 2,..., n}. Além disso, suponhamos que o conjunto {y 1, y 2,..., y n } seja independente sobre os racionais. Assim, dados u 1, u 2,..., u n números complexos com valor absoluto 1 e ε > 0, existe um inteiro k tal que u t z k t < ε, para todo t = 1, 2,..., n.

16 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 5 Demonstração. Consideremos S = {z C : z = 1}. Sabemos que a função f : R S x e 2πix é contínua e sobrejetora. Tomemos ε > 0 e u 1, u 2,..., u n S de maneira arbitrária. Existem x 1, x 2,..., x n R tais que u t = f(x t ), para cada t = 1, 2,..., n. Pela continuidade de f nos pontos x 1, x 2,..., x n, existe δ > 0 tal que, para todo x R, se x x t < δ, então f(x) f(x t ) < ε, para cada t {1, 2,..., n}. Pela proposição 7, existem inteiros k, m 1, m 2,..., m n tais que x t ky t m t < δ, para todo t = 1, 2,..., n. Para cada t {1, 2,..., n}, vale: f(x t ) f(ky t + m t ) = e 2πixt e 2πikyt e 2πimt = = u t (e 2πiyt ) k = = u t z k t Portanto, para cada t {1, 2,..., n}, temos u t z k t < ε e isso conclui a demonstração. Seja z um número complexo de módulo 1. Vamos escrevê-lo na forma z = e 2πiy, com 0 y < 1, daí dizemos que y é o argumento de z e denotamos y = arg(z). Vamos continuar a usar a notação da proposição 8 e utilizar S para denotar o conjunto dos números complexos de módulo 1. Para n Z positivo, consideremos S n = {(z 1, z 2,..., z n ) : z t S, para todo t = 1, 2,..., n}. Consideremos ainda, a função d : S n S n R +, dada por: d ((z 1, z 2,..., z n ), (w 1, w 2,..., w n )) = sup { z t w t : t = 1, 2,..., n}. Essa função define uma métrica e uma topologia para S n. Tendo isso em mente e a proposição 8, é imediato verificar o próximo resultado. Proposição 9. Sejam n um inteiro positivo e z 1, z 2,..., z n números complexos de módulo 1. Suponhamos que o conjunto {arg(z 1 ), arg(z 2 ),..., arg(z n )} seja independente sobre os racionais. Então o conjunto é denso em S n. H = { } (z1 k, z2 k,..., zn) k : k Z

17 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 6 O próximo resultado decorre das proposições 7 e 9. Proposição 10. Sejam n um inteiro positivo e z 1, z 2,..., z n números complexos de módulo 1. Suponhamos que o conjunto {arg(z 1 ), arg(z 2 ),..., arg(z n )} seja independente sobre os racionais. Então o conjunto H = { } (z1 k, z2 k,..., zn) k : k = 1, 2,... é denso em S n. Assim, dados (x 1, x 2,..., x n ) S n, ε > 0 e um inteiro k 0, existe um inteiro k > k 0 de modo que x t z k t < ε, para todo t = 1, 2,..., n. Demonstração. Vamos assumir arg(z t ) = y t, para cada t = 1, 2,..., n. Para demonstrarmos que H é denso em S n, basta provarmos que H é denso em { (z k 1, zk 2,..., zk n) : k Z } e usar a proposição 9. Então, consideremos (z l 1, zl 2,..., zl n), com l < 0 e ε > 0 dados. Pela continuidade da função exponencial, existe δ > 0 de maneira que, para todo x R, se x < δ, então e 2πix 1 < ε. (1.1) Pela proposição 7, existem k, m 1, m 2, m..., m t inteiros tais que δ 4 l ky t m t < δ, para todo t = 1, 2,..., n. 8 l E obviamente k 0 na relação acima. Assim, para cada t {1, 2,..., n}, valem δ 8 δ 4 < k l y t m t l < δ 8 δ 4 δ 4 δ 8 < k l y t + m t l < δ 4 + δ 8 Dessa forma, por (1.1) segue que Portanto, temos e 2πi( k) l yt 1 < ε e z k l t 1 < ε e e 2πik l yt 1 z k l < ε, para todo t = 1, 2,..., n. t 1 < ε, para todo t = 1, 2,..., n. Como zt l = 1, para todo t {1, 2,..., n}, concluímos que Isso significa que z k l +l t zt l < ε e z k l +l t zt l < ε, para todo t {1, 2,..., n}. d ((z k l +l 1, z k l +l 2,..., zn k l +l ), (z1, l z2, l..., zn)) l < ε e d ((z k l +l 1, z k l +l 2,..., z k l +l n ), (z l 1, z l 2,..., z l n)) < ε.

18 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 7 Evidentemente (z k l +l 1, z k l +l 2,..., zn k l +l ) H ou (z k l +l 1, z k l +l 2,..., zn k l +l ) H, assim o caso l < 0 está feito. Notemos que se (z1 l, zl 2,..., zl n) S n e l > 0, então (z1 l, zl 2,..., zl n) H e não há nada para fazer. O caso l = 0 não precisa ser feito, pois o ponto (z 0 1, z0 2,..., z0 n) não é isolado em S n. Assim, concluímos que H é denso em S n. O restante do enunciado segue imediatamente do fato de H ser denso em S n, pois dado (x 1, x 2,..., x n ) S n, cada vizinhança desse ponto contém uma infinidade de pontos de H. Proposição 11. Sejam n > 0, um inteiro positivo e {y 1, y 2,..., y n } um conjunto de números reais independente sobre os racionais. Vamos ainda definir, z t = e 2πiyt para cada t {1, 2,..., n}. Daí, dados x 1, x 2,..., x n C \ {0}, ε > 0 e um inteiro k 0, existe k N, k > k 0 tal que x t x t z k < ε, para todo t = 1, 2,..., n. t Demonstração. Consideremos M = sup { x 1, x 2,..., x n } > 0. Pela proposição 10, existe um natural k > k 0 de maneira que Portanto, para cada t {1, 2,..., n}, temos Logo, k é o natural procurado. x t x t zk t < ε, para todo t = 1, 2,..., n. M x t x t zt k = x t zt k zt k x t xt zt k = zt k x t z k = t xt zt k x t = = x t 1 zk t x t x t < ε < x t M ε. Notemos que, na proposição 11, se para algum t {1, 2,..., n} tivéssemos x t = 0, a tese seria válida da mesma forma. De fato, se x t = 0, qualquer k N satisfaz x t x t z k < ε. Por isso, decorre da proposição 11 o seguinte corolário: Corolário 1. Sejam n > 0, um inteiro positivo e {y 1, y 2,..., y n } um conjunto de números reais independente sobre os racionais. Com isso, vamos definir z t = e 2πiyt para cada t {1, 2,..., n}. Daí, dados x 1, x 2,..., x n C, ε > 0 e um inteiro k 0, existe k N, k > k 0 tal que x t x t z k < ε, para todo t = 1, 2,..., n. t t O corolário 1 é necessário para compreensão do teorema 11. Além disso, é importante ter me mente a seguinte ideia.

19 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 8 Observação 1. No capítulo 2, admitiremos a existência de um conjunto infinito (enumerável) de números reais que seja independente sobre os racionais. Notemos que a existência desse conjunto é garantida pelo fato de R ser um Q-espaço vetorial de dimensão infinita. Essa última afirmação é uma simples consequência do conjunto dos reais ser não-enumerável. 1.3 Noções de Análise Funcional Nesta seção, vamos tratar de alguns conceitos da Análise Funcional que serão importantes para entendermos este trabalho. Todos espaços vetoriais serão considerados sobre um corpo K, sendo K = R ou K = C. Nos capítulos 2 e 3, a noção de espaço normado estritamente convexo será usada diversas vezes. Então é muito conveniente tratarmos desse conceito com bastante cuidado. Definição 11. Seja (X,. ) um espaço vetorial normado. Dizemos que (X,. ) é estritamente convexo se para todos x, y X tais que x y e x = y = 1, tivermos x + y 2 < 1. Existem outras alternativas para definir espaços normados estritamente convexos. Por exemplo, a proposição a seguir revela uma condição equivalente a definição. Proposição 12. Seja (X,. ) um espaço normado estritamente convexo. Sejam x, y X pontos distintos tais que x = y = 1. Então para todo λ R ]0, 1[ temos λx + (1 λ)y < 1. Demonstração. Notemos que para λ = 1 2, o resultado é exatamente o que diz a definição de espaço normado estritamente convexo e não há nada a fazer. Diante disso, precisamos estudar apenas os dois casos que seguem: Primeiro Caso. Suponhamos que λ ] 0; 1 2[. Nesse caso notemos que λx + (1 λ)y = λx + y λy = λx + λy + y 2λy = = ( ) x + y 2λ + (1 2λ)y 2 ( ) x + y 2λ + 2 (1 2λ)y < < 2λ + 1 2λ = 1. Na última desigualdade usamos que X é estritamente convexo.

20 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 9 Segundo Caso. Suponhamos que λ ] 1 2 ; 1[. Nesse caso notemos que λx + (1 λ)y = λx + y λy = x + y λx λy x + 2λx = = ( ) x + y 2 (1 λ) + (2λ 1) x 2 ( ) x + y 2 (1 λ) + 2 (2λ 1) x < < 2 (1 λ) + (2λ 1) = 1. Novamente, na última desigualdade usamos que X é estritamente convexo. Com todos os casos estudados, provamos a tese. Usando somente a definição de espaços estritamente convexos demonstraremos as duas próximas proposições. Proposição 13. Seja (X,. ) um espaço vetorial normado estritamente convexo sobre um corpo K. Então, para todos x, y X tais que x + y = x + y, existe α 0 tal que x = αy ou y = αx. Demonstração. Sejam x e y satisfazendo x + y = x + y. Se x = 0 ou y = 0, basta tomar α = 0 e acabou. Suponhamos x 0 e y 0, sem perda de generalidade suponhamos ainda que 0 < y x. Consideremos α = x y 1, assim: α x + α y = α x + y = αx + αy = αx + αy + x x = x + αy + (α 1)x x + αy + (α 1) x x + α y + (α 1) x = α x + α y. Donde concluímos que x + αy + (α 1) x = α x + α y, e assim x + αy = x + α y. Agora vamos dividir cada um dos lados da última equação por x : Tínhamos α = x y, e daí segue que x x + x x + αy x = 1 + α y x y y = 2, isso é o mesmo que x x + y y 2 = 1. Por fim usamos que X é estritamente convexo e concluímos da última iguladade que donde segue a tese. x x = y y,

21 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 10 Proposição 14. Seja (X,. ) um espaço normado estritamente convexo sobre um corpo K. Para todos x, y X distintos e não nulos, temos Demonstração. Se x = y = c, temos x + y 2 < max { x, y }. x c = y c = 1. Pelo fato de X ser estritamente convexo, concluímos que então x + y 2c < 1, x + y 2 < c = max { x, y }. Resta-nos, então, apenas o caso em que x y, sem perda de generalidade suponhamos c = x > y. Nesse caso: Com isso, x + y 2c x 2c + y 2c < 1. x + y 2 < c = max { x, y }. Ao estudarmos todos os possíveis casos, temos a tese. Corolário 2. Seja (X,. ) um espaço normado estritamente convexo sobre um corpo K. Não existem x, y X não nulos tais que x x + αy, α K, α = 1. Demonstração. Suponhamos, por absurdo, que existem x, y X nas condições do enunciado e satisfazendo a desigualdade acima. Então: x x y e x x + y. Por essas desigualdades fica evidente que x + y 0 e x y 0. Além disso, por valer y 0, segue que x + y x y. Notemos que x = (x + y) + (x y) 2 Uma contradição. Provamos a tese pela redução ao absurdo. prop. 14 < max { x + y, x y } x. As demonstrações dos dois teoremas a seguir se encontram em [12], esses resultados nos darão suporte para demonstrar um importante resultado sobre os espaços l p. Teorema 4. Para quaisquer x, y l p com 2 p < e q = p p 1, temos

22 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 11 (a) 2 ( x p + y p ) x + y p + x y p 2 p 1 ( x p + y p ) ; (b) 2 ( x p + y p ) q 1 x + y q + x y q. Teorema 5. Para quaisquer x, y l p com 1 < p 2 e q = p p 1, temos (c) 2 p 1 ( x p + y p ) x + y p + x y p 2 ( x p + y p ) ; (d) x + y q + x y q 2 ( x p + y p ) q 1. Utilizando os teoremas 4 e 5 e a própria definição para espaços estritamente convexos, vamos demonstrar o próximo teorema. Teorema 6. O espaço l p, 1 < p <, com a norma usual é estritamente convexo. Demonstração. Suponhamos x, y l p, satisfazendo Vamos analisar dois casos separadamente: x = y = x + y 2 = 1. Primeiro Caso: p 2. Pelo teorema 4 (a), temos: x + y p + x y p 2 p 1.2 = 2 p. Dividindo-se ambos os membros dessa equação por 2 p concluímos que Por x + y 2 = 1, devemos ter x + y 2 p + x y 2 x y 2 = 0, p 1. daí segue que x = y e isso conclui a demonstração neste caso. Segundo Caso: 1 < p 2. Pelo teorema 5 (d), temos: x + y q + x y q 2 q 1.2 = 2 q. Dividindo-se ambos os membros dessa equação por 2 q concluímos que x + y 2 q + x y 2 q 1. Analogamente ao primeiro caso, concluímos que x = y. Isso conclui a demonstração do teorema, basta termos em mente a definição de espaços estritamente convexos.

23 Capítulo 2 Deslocamentos isométricos em c X 2.1 Introdução Neste capítulo, definiremos os deslocamentos isométricos em espaços de Banach quaisquer. Apesar da generalidade, estudá-los-emos, quase exclusivamente, em espaços da forma c X, sendo X um espaço de Banach arbitrário e c o espaço das sequências convergentes. Os lemas 3 e 4 e o teorema 10 descrevem um deslocamento isométrico definido em c X, quando X for estritamente convexo. Esse último teorema mostra que a restrição do operador a c é um novo deslocamento isométrico. Os teoremas 8 e 9 são geradores de exemplos de deslocamentos em c X, após demonstrálos, daremos uma noção de como esses resultados podem ser úteis. A questão 1, apresentada na introdução da dissertação, está relacionada ao teorema 11, o qual é uma resposta para o problema no caso complexo. O caso real não foi resolvido neste trabalho e permanece em aberto. A menos de menção contrária, consideraremos todo espaço vetorial arbitrário de dimensão infinita sobre um corpo K, sendo K = R ou K = C. O espaço produto estará sempre munido com a norma., a qual será explicada na próxima seção. 2.2 Definição e algumas propriedades elementares dos deslocamentos isométricos Nesta seção, vamos conhecer a definição de deslocamento isométrico e ver alguns resultados básicos. Esses resultados tratam do espaço produto entre dois espaços de Banach estritamente convexos, munido com a norma.. Antes de apresentar a definição, vamos a um exemplo - talvez seja o exemplo mais conhecido de deslocamento em espaços de Banach. Exemplo 1. Seja T o operador definido por (c 0,. ) T (c 0,. ) e pela relação: T ((a 1, a 2,..., a n,...)) = (0, a 1, a 2,..., a n,...). 12

24 CAPÍTULO 2. DESLOCAMENTOS ISOMÉTRICOS EM C X 13 Nesse exemplo, verificamos sem dificuldades que T é uma isometria, o espaço vetorial ImT tem codimensão 1 e vale n=1 T n (X) = {0}. Nossa intenção, a seguir, é generalizar operadores que satisfazem a essas propriedades. Definição 12. Seja X um espaço de Banach real ou complexo. Um operador T em X é chamado de deslocamento isométrico se satisfizer: (1) T é uma isometria; (2) O subespaço ImT tem codimensão 1; (3) n=1 T n (X) = {0}. Vamos observar outros casos notáveis: Exemplo 2. Seja p R tal que 1 p. Seja T o operador dado por T : l p l p (a 1, a 2,..., a n,...) (0, a 1, a 2,..., a n,...) Vamos omitir a verificação de que T é um deslocamento isométrico, pois tal como no exemplo 1, é uma tarefa simples. Antes de prosseguir, precisamos estar familiarizados com a norma., definida no espaço produto. Sejam (X,. X ) e (Y,. Y ) dois espaços de Banach. O espaço produto será representado por X Y. Consideremos a função. : X Y R +, dada por: (x, y) = sup { x X, y Y }, para todos x X e y Y. Podemos notar que. define uma norma em X Y, tornando (X Y,. ) um espaço de Banach, o qual pode ser também denotado por X Y. Nesse caso, dizemos que o espaço produto está munido com a norma.. Agora, vejamos alguns resultados básicos que podem ser encontrados em [5]. Lema 1. Sejam X e Y dois espaços normados estritamente convexos. Seja T uma isometria de X Y em X Y, então T (X) Y ou T (X) X. Demonstração. Suponhamos que o lema não seja verdadeiro. Então existem x, x X de maneira que: T ((x, 0)) = (α 1, β 1 ), T ((x, 0)) = (α 2, β 2 ), com α 1 0 e β 2 0. Daí existe x X tal que T ((x, 0)) = (x 1, y 1 ) com x 1 0 e y 1 0, a saber x = x ou x = x ou x = x + x (ao menos uma dessas possibilidades satisfaz o que afirmamos). Sem perder generalidade, podemos supor que x 1 X y 1 Y, daí como T é isometria segue que x X = (x, 0) = T (x, 0) = (x 1, y 1 ) = x 1 X.

25 CAPÍTULO 2. DESLOCAMENTOS ISOMÉTRICOS EM C X 14 Consideremos y Y, y 0 qualquer. Digamos que T ((0, y)) = (x 2, y 2 ), como T é isometria temos x 2 0 ou y 2 0. Devemos tratar, separadamente, os dois casos que seguem: Primeiro Caso. Suponhamos que x 2 X y 2 Y. Então, por ser T uma isometria, segue que y Y = T (0, y) = (x 2, y 2 ) = x 2 X. Neste caso podemos assumir y Y x X, caso isso não seja verdade basta trocar o y tomado inicialmente por x y 2 y. Note que para todo θ K, θ = 1, temos: x 1 X = x X = (x, θy) = T (x, θy) x 1 + θx 2 X. Uma contradição com o corolário 2, pois X é estritamente convexo, x 1 0 e x 2 0. Segundo Caso. Suponhamos que y 2 Y x 2 X. Então, por ser T uma isometria, segue que y Y = y 2 Y. Neste caso podemos assumir y Y x X, caso isso não seja verdade basta trocar o y tomado inicialmente por 2 x y y. Note que para todo θ K, θ = 1, temos: y 2 Y = y Y = (x, θy) = T (x, θy) y 1 + θy 2 Y. Uma contradição com o corolário 2, pois Y é estritamente convexo, y 1 0 e y 2 0. Assim provamos o lema pela redução ao absurdo. O teorema 7 é útil para concluir que alguns espaços não admitem deslocamentos isométricos. Faremos esse tipo de uso do teorema 7 no capítulo 3. Teorema 7. Sejam X e Y dois espaços de Banach estritamente convexos. Se X Y admitir um deslocamento isométrico, então X é isometricamente isomorfo a Y e X admite um deslocamento isométrico. Demonstração. Suponhamos que X Y admite um deslocamento isométrico T. Pelo lema 1, devemos ter T (X) X ou T (X) Y. Vejamos que T (X) X não acontece: Vamos admitir que T (X) X. Pelo lema 1, vale T (Y ) X ou T (Y ) Y, mas ImT tem codimensão 1 e Y é um subespaço de X Y e de dimensão infinita, logo devemos ter T (Y ) Y. Agora notemos que, sendo T um operador de codimensão 1, entre T X : X X e T Y : Y Y, uma deve ser sobrejetora e a outra deve ter codimensão 1. Sem perder generalidade, suponhamos T X : X X sobrejetora. Portanto X T n (X Y ). n=1 Isso contradiz o fato de que T é um deslocamento isométrico. Assim sabemos que necessariamente T (X) Y. Por analogia ao raciocínio acima, segue que T (Y ) X. Novamente vem a ideia que entre T X : X Y e T Y : Y X, uma deve ser sobrejetora e a outra deve ter codimensão 1. De qualquer maneira já temos que X é isometricamente isomorfo a Y.

26 CAPÍTULO 2. DESLOCAMENTOS ISOMÉTRICOS EM C X 15 Suponhamos, sem perda de generalidade que T X : X Y é sobrejetora. Vejamos que (T 2 ) X é um deslocamento isométrico em X. Sabemos que (T 2 ) X = T Y T X, logo (T 2 ) X é uma isometria. Como ImT Y X, segue que Im(T 2 ) X X. Vamos provar que Im(T 2 ) X é um subespaço em X, de codimensão 1. Consideremos (x 1, 0) X \ Im(T 2 ) X, vejamos que (x 1, 0) ImT. De fato, se (x 1, 0) = T (x 2, y 2 ), como T (x 2, 0) Y e T é isometria, segue que x 2 = 0. Logo (x 1, 0) = T (0, y 2 ). Mas T X : X Y é sobrejetora e assim (x 1, 0) Im(T 2 ) X, contra nossa hipótese. Portanto (x 1, 0) ImT. Sabemos que (x 1, 0) ImT e T é um operador de codimensão 1, isso implica que X Y = K(x 1, 0) ImT. Logo, para todo x X, existem λ x K e (α x, β x ) X Y tais que (x, 0) = λ x (x 1, 0) + T (α x, β x ). Como T (α x, 0) Y e T é uma isometria, segue que α x = 0. Então (x, 0) = λ x (x 1, 0) + T (0, β x ) e, por T X : X Y ser sobrejetora, (0, β x ) ImT X. Segue que ((x, 0) λ x (x 1, 0)) Im(T 2 ) X e com isso provamos que X = K(x 1, 0) Im(T 2 ) X. Pela generalidade envolvida, podemos concluir que Im(T 2 ) X é um subespaço de codimensão 1. Resta-nos apenas demonstrar que n=1 Im((T 2 ) X ) n = {0}, isso segue diretamente do fato que: ImT ImT 2... ImT n... Com isso, provamos que (T 2 ) X é um deslocamento isométrico em X. Como Y é isometricamente isomorfo a X, concluímos que Y também admite um deslocamento isométrico. 2.3 Construção de deslocamentos isométricos Esta seção é dedicada a construção de deslocamentos isométricos no espaço produto, munido com a norma.. Com os teoremas 8 e 9, seremos capazes de construir exemplos bem interessantes de deslocamentos em c X, como é o caso do exemplo 4. Todos os resultados e exemplos presentes nesta seção podem ser vistos em [5]. O exemplo 3 abrirá espaço para enunciar esses dois teoremas. Exemplo 3. Seja X um espaço de Banach e S uma isometria sobrejetora de X em X. Seja x um elemento da bola unitária de X. Definimos T S,x : c X c X ((a n ) n, x) ((b n ) n, S(x))

27 CAPÍTULO 2. DESLOCAMENTOS ISOMÉTRICOS EM C X 16 de modo que: b n = { x (x), se n = 1 a n, se n > 1 Obviamente T S,x é uma aplicação linear, vejamos que T S,x é uma isometria. De fato, para ((a n ) n, x) c X qualquer, temos: T S,x ((a n ) n ), x) = sup { S(x), (b n ) n c } = sup { S(x), x (x), (a n ) n c } = = sup { x, x (x), (a n ) n c } = sup { x, (a n ) n c } = ((a n ) n ), x). Acima, usamos que S(x) = x e x (x) x. Logo T S,x é uma isometria. Agora, mostremos que T S,x Assim, é evidente que T S,x é um operador de codimensão 1. Notemos que: ImT S,x = { ((a n ) n, y) : a 1 = x (S 1 (y)) } (2.1) não é sobrejetora. Suponhamos ((b n ) n, z) c X, de modo que ((b n ) n, z) ImT S,x. Então já sabemos que b 1 x (S 1 (z)), dado qualquer ((c n ) n, w) c X, consideremos λ = c 1 x (S 1 (w)) b 1 x (S 1 (z)). Pela igualdade (2.1), verificamos que ((c n ) n, w) λ((b n ) n, z) ImT S,x. Assim, provamos que T S,x é um operador de codimensão 1. Observação 2. No exemplo 3, é evidente que T S,x (c 0 X) c 0 X. Além disso, concluímos que T S,x é um deslocamento isométrico em c X se, e somente se, n=1 T S,x n (c X) = {0}. Teorema 8. Seja X um espaço de Banach e S uma isometria sobrejetora de X em X. Seja x um elemento da bola unitária de X. Então T S,x é um deslocamento isométrico em c X se, e somente se, para cada x X, a existência do limite implica que x = 0. lim n x (S n (x)), Demonstração. Vamos provar primeiro que para cada k N, vale: Se ((a n ) n, x) ImT k S,x, então a j = x ( S j (x) ), para todo j {1, 2,..., k}. Façamos isso através de uma indução em k. operador. Vamos supor que: Para k = 1, o resultado segue da definição do Se ((a n ) n, x) ImT k S,x, então a j = x ( S j (x) ), j {1, 2,..., k}, para algum k N arbitrário e consideremos ((a n ) n, x) ImT k+1 S,x. Então existe ((b n ) n, y) ( ) c X tal que ((a n ) n, x) = T k+1 S,x (((b n ) n, y)) = T S,x TS,x k (((b n) n, y)). Seja ((c n ) n, w) =

28 CAPÍTULO 2. DESLOCAMENTOS ISOMÉTRICOS EM C X 17 TS,x k (((b n) n, y)). Portanto ((a n ) n, x) = T S,x (((c n ) n, w)) e ((c n ) n, w) ImTS,x k. Aplicando a hipótese de indução para ((c n ) n, w), concluímos que c j = x (S j (w)), para cada j {1, 2,..., k}. Pela definição do operador T S,x, sabemos que a 1 = x (w), a 2 = c 1 = x (S 1 (w)), a 3 = c 2 = x (S 2 (w)),..., a k+1 = c k = x (S k (w)). Por fim, notemos que x = S(w), logo w = S 1 (x). Substituindo esse fato nas igualdades acima, acarreta que a j = x (S j (x)) para todo j {1, 2,..., k, k + 1}, então o resultado vale para k + 1 e está provado por indução. Vejamos agora que vale a recíproca do resultado - se ((a n ) n, x) c X é tal que a j = x (S j (x)), j {1, 2,..., k}, então ((a n ) n, x) ImT k S,x. Para tal, basta definir ((b n) n, y) c X da seguinte forma: y = S k (x), b 1 = a k+1, b 2 = a k+2,..., b l = a k+l, l N. Uma fácil verificação mostra que ((a n ) n, x) = T k S,x ((b n) n, y) e assim vale também a recíproca. Dessa forma, consideremos ((a n ) n, x) c X. Provamos que, para todo k N, vale ((a n ) n, x) ImT k S,x se, e somente se, a j = x (S j (x)) para todo j {1, 2,..., k}. (2.2) Queremos provar agora que T S,x é um deslocamento isométrico em c X se, e somente se, a existência do limite lim n x (S n (x)), implica que x = 0. Vamos assumir que a existência do limite lim n x (S n (x)), implica que x = 0. Notemos que, se ((a n ) n, x) n=1 T S,x n (c X), o resultado (2.2) diz que a n = x (S n (x)), n N. Mas (a n ) n c, logo existe o limite lim n a n. Então o limite lim n x (S n (x)) existe. Logo, pelo que assumimos, x = 0. Assim temos a n = x (S n (0)) = 0, para todo n N. Com isso ((a n ) n, x) = ((0) n, 0). Através da generalidade e da observação 2, concluímos que T S,x é um deslocamento isométrico. Por outro lado, vamos assumir que T S,x é um deslocamento isométrico em c X e supor a existência do limite lim n x (S n (x)). Para todo n, k N seja a n k = x (S n k (x)). Portanto (a n k ) k c para cada n N. Pela definição de T S,x, vem que T n S,x ((an k ) k, S n (x)) = ((a 1 k 1 ) k, x), para todo n N. Assim ((a 1 k 1 ) k, x) n=1 T n S,x (c X), mas como T S,x é um deslocamento isométrico, devemos ter x = 0 e isso conclui a prova. O teorema a seguir pode ser demonstrado de maneira análoga ao teorema 8, basta ter em mente a observação 2. Dessa maneira, enunciaremos o próximo teorema sem o demonstrar.

29 CAPÍTULO 2. DESLOCAMENTOS ISOMÉTRICOS EM C X 18 Teorema 9. Seja X um espaço de Banach e S uma isometria sobrejetora de X em X. Seja x um elemento da bola unitária de X. Então T S,x é um deslocamento isométrico em c 0 X se, e somente se, para cada x X, quando necessariamente temos x = 0. lim n x (S n (x)) = 0, O próximo lema ajudará no exemplo 4. Esse lema é um resultado bem simples de topologia. A notação C n indica o espaço produto C n, munido com a norma.. Lema 2. Existe um conjunto A (1) A é enumerável; (2) z = 1, para todo z A; C n satisfazendo as seguintes condições: n=1 (3) Dados quaisquer n N e w C n com w = 1, existe z A C n de modo que w z < 1 6. Demonstração. Vamos fixar n N e considerar r = 1 6. Evidentemente a família F = {B (z; r) : z C n e z = 1} é uma cobertura por abertos do conjunto {z C n : z = 1}. Como esse conjunto é compacto, admite uma subcobertura finita. Logo existe {B (z 1 ; r), B (z 2 ; r),..., B (z l ; r)} F de modo que l {z C n : z = 1} B (z j ; r). Consideremos A n = {z 1, z 2,..., z l }. Ao fazer esse raciocínio para todo n N, construímos um conjunto A = A n. n N j=1 É fácil ver que esse conjunto satisfaz (1), (2) e (3). Observação 3. Vamos enumerar o conjunto A do lema 2: A = {z k : k N}. Com isso, podemos exigir também que o conjunto A satisfaça a seguinte condição: (4) Para dois naturais k 1, k 2 quaisquer de modo que k 1 k 2, z k1 C n e z k2 C m, temos n m. Por fim, encerramos esta seção com uma aplicação dos teoremas 8 e 9.

30 CAPÍTULO 2. DESLOCAMENTOS ISOMÉTRICOS EM C X 19 Exemplo 4. Consideremos o espaço de Banach X = l 1 (Z) sobre o corpo K = C. Seja S a isometria definida por : S : X X (x n ) (y n ) com y n = x n 1, para todo n N. Através da definição observamos que, para um k N arbitrário, valem: i) S k ((x n )) = (y n ) com y n = x n k, para todo n N; ii) S k ((x n )) = (y n ) com y n = x n+k, para todo n N. Consideremos A = {z k : k N}, um conjunto como no enunciado do lema 2 e de acordo com a observação 3. Vamos definir (d n ) n l (Z) da seguinte forma: d n = 0, para cada n 0. Suponhamos z 1 = (a 1, a 2,..., a j ) C j, definimos d i = a i para todo i {1, 2,..., j}. Suponhamos N < 0 o menor índice para o qual d n está definido e que o processo acima foi repetido para z 1, z 2,..., z k (k vezes). Daí, se z k+1 = (b 1, b 2,..., b l ) C l, fazemos: d N i = b i para todo i {1, 2,..., l}. Temos assim (d n ) n l (Z) definido por indução. Observemos que d n 1 e (d n ) n pode ser identificado com x l 1 (Z) da seguinte forma: x ((a n ) n ) = n Z a n d n C, para todo (a n ) n l 1 (Z). Sabemos ainda que esse funcional satisfaz x X 1. Vamos mostrar que, para todo x X e para todo N N, existem N 1, N 2 naturais tais que N 1 > N, N 2 > N e: R ( x (S N 1 (x)) ) x 1 2 x 1 2 R ( x (S N 2 (x)) ). (2.3) Vamos mostrar apenas que x 1 2 R ( x (S N 2 (x)) ) e comentar como obter a outra desigualdade. Sendo assim, considere x = (x n ) X, x 0 e N N arbitrários. Seja ε = x 1 6 > 0. Segue que existe F Z finito de modo que x n x n < ε. (2.4) n F n Z Notemos ainda que, todo conjunto F de inteiros tal que F F, satisfaz x n x n < ε. n F n Z Por esse motivo, podemos supor F = {c, c 1,..., c l} Z finito satisfazendo (2.4), para algum natural l. Podemos supor, sem perder generalidade, que todo índice n Z dos d n s correspondentes aos z k s C l+1, verifica c n > N. Vejamos que se isso não acontece, existe t N, t > l, tal que

31 CAPÍTULO 2. DESLOCAMENTOS ISOMÉTRICOS EM C X 20 essa afirmação é válida para t. Sabemos que existem w 0, w 1,..., w l C de módulo 1 tais que w i x c i = x c i, para todo i {0, 1,..., l}. Considere (w l, w l 1,..., w 1, w 0 ) C l+1, daí existe m Z, m < 0 tal que (d m l,..., d m 1, d m ) (w l,..., w 1, w 0 ) < 1 6. Pelo que estamos supondo, c m > N. Sejam N 2 = c m > N e S N 2 ((x n )) = (y n ), então y n = x N2 +n, para todo n N. Portanto temos: y m = x c, y m 1 = x c 1,..., y m l = x c l. Temos x (S N 2 (x)) = n Z (d ny n ). Considere I = {n Z : m l n m}, daí: ( ) ( ) x 1 R d n y n = x 1 R d n y n R d n y n A + B, n Z ( ) para A = x 1 R d n y n e B = R d n y n. A = = n I n I n Z\I n Z\I ( ) x 1 R d n y n = x 1 R (d m x c + d m 1 x c d m l x c l ) = n I ( i=l ) ( i=l ) ( i=l ) x 1 R w i x c i + R w i x c i R d m i x c i i=0 i=0 i=0 ( l l x 1 x c i + R x c i (w i d m i )) < < ε i=0 i=0 l x c i ε x 1 = 2ε. i=0 Temos ainda: B = R d n y n n Z\I d n y n n Z\I x y n n Z\I y n = x n < ε. n Z\I n {c,c 1,...,c l} Assim x 1 R ( x (S N 2 (x)) ) A + B < 3ε = x 1 2. Então temos N 2 > N e: x 1 2 R ( x (S N 2 (x)) ). Vejamos uma ideia de como obter R ( x (S N 1 (x)) ) x 1 2 para algum N 1 N, N 1 > N. Sejam x = (x n ) X, x 0 e N N arbitrários. Consideremos ε = x 1 6 > 0 e F =

32 CAPÍTULO 2. DESLOCAMENTOS ISOMÉTRICOS EM C X 21 {c, c 1,..., c l} Z, como em (2.4). Novamente, suponhamos que todo índice n Z dos d n s correspondentes aos z k s C l+1, verifica c n > N. Daí existem w 0, w 1,..., w l C de módulo 1 tais que w i x c i = x c i, para todo i {0, 1,..., l}. Considere (w l, w l 1,..., w 1, w 0 ) C l+1, daí existe m Z, m < 0 tal que (d m l,..., d m 1, d m ) (w l,..., w 1, w 0 ) < 1 6. Daí, seguindo analogamente a primeira parte, obtemos: x 1 R ( x (S N 1 (x)) ) x 1 2, donde tiramos que R ( x (S N 1 (x)) ) x 1 2. Então, provamos as desigualdades em (2.3). Dessa forma para um N N arbitrário, existem N 1, N 2 N, maiores que N, de modo que: 0 x 1 = x 1 2 ( x 1 2 ) R ( x (S N 2 (x)) ) R ( x (S N 1 (x)) ). Notemos que essas desigualdades são estabelecidas para cada x X, apenas variando os naturais N 1 e N 2. Logo se x X e existe lim n x (S n (x)), devemos ter x = 0. Pelos teoremas 8 e 9, c l 1 e c 0 l 1 admitem um deslocamento isométrico. 2.4 Deslocamentos isométricos em c X Nesta seção, descreveremos um deslocamento isométrico em c X, quando X for estritamente convexo. Nesse contexto, o lema 3 não apenas trata de deslocamentos, mas de qualquer isometria. Já o lema 4, explora qualquer isometria cuja imagem tenha codimensão 1. O teorema 10 provará que se T é um deslocamento isométrico definido em c X, então a restrição de T a c é um novo deslocamento isométrico. Esses três resultados podem ser encontrados em [5]. O teorema 11 é uma solução do problema da questão 1, no caso complexo. Após demonstrá-lo, comentaremos sobre seus desdobramentos, os quais envolvem muitos exemplos de deslocamentos. Esse teorema foi estudado em [3]. Lema 3. Seja X um espaço de Banach estritamente convexo e de dimensão infinita e seja Q a projeção natural de c X em X. Suponhamos que T seja uma isometria, definida por T : c X c X. Então: (1) T (c) c; (2) Q T X é uma isometria. Demonstração. Antes de mostrarmos (1), vamos observar alguns fatos. Como X é um espaço de Banach de dimensão infinita, existe x X, x 0 tal que T ((0, x)) = (y 1, x 1 ), com y 1 c 0. De fato, basta tomar {x a, x b } X linearmente independente. Digamos que T ((0, x a )) = (y a, z a ), T ((0, x b )) = (y b, z b ) com y a α e y b β.

33 CAPÍTULO 2. DESLOCAMENTOS ISOMÉTRICOS EM C X 22 Daí para α = 0, tomamos x = x a. Para β = 0, tomamos x = x b e quando α 0 e β 0, tomamos x = x a α β x b. Já que garantimos a existência, fixemos x como acima. Afirmo que x X = x 1 X. Suponhamos, por absurdo, x X x 1 X = ε > 0. Seja y 1 = (a n ) n, logo x X = y 1 c. Considere A = { k N : a k y 1 c ε }. 2 Como y 1 c 0, A deve ser finito. Vamos construir z X, z 0 que satisfaz T ((0, z)) = ((b n ) n, x 3 ) e b k = 0 para todo k A. Para tal, suponhamos A = {k 1, k 2,..., k l }, ou seja, A = l N. Sejam w 1, w 2,..., w l+1 vetores linearmente independentes em X e T (w i ) = ((α i n) n, β i ), para cada i {1, 2,..., l + 1}. Consideremos o seguinte sistema: λ 1 αk λ 2 αk λ l+1 α l+1 k 1 = 0 λ 1 αk λ 2 αk λ l+1 α l+1 k 2 = λ 1 αkl 1 + λ 2 αk 2 l + + λ l+1 α l+1 k l = 0 Esse sistema tem l equações e l + 1 incógnitas, logo admite uma solução não trivial, digamos (δ 1, δ 2,, δ l+1 ). Observe daí que z = l+1 i=1 δ iw i verifica o que gostaríamos. Ainda podemos supor z X ε ε 2, pois se isso não for verdade basta trocar z por Assim, para todo θ K com θ = 1, temos: 2 z z. x + θz X = T (0, x + θz) = ((a n ), x 1 ) + θ((b n ), x 3 ) Notemos que: sup ({ a n : n A} { a n + θb n : n A} { x 1 + θx 3 X }). sup ({ a n : n A}) y 1 c = x X ; Se n A, a n + θb n a n + θb n y 1 c ε 2 + θ z X y 1 c ε 2 + ε 2 = y 1 c = x X, aqui usamos que a n y 1 c ε 2 se n A, θ = 1 e z X ε 2 ; x 1 + θx 3 X x 1 + θ x 3 x 1 + ε 2 x X, lembrando que x X x 1 X = ε. Portanto x + θz X x X para todo θ K de módulo 1, uma contradição com o corolário 2, pois X é estritamente convexo, x 0 e z 0. Provamos então que x X = x 1 X, pela redução ao absurdo. Mostremos (1). Para tal, seja y c, y 0 arbitrário. Seja y = x 2 y y, logo y c x X. Suponhamos T ((y, 0)) = (y 2, x 2 ), daí para todo θ K, θ = 1, temos: x 1 X = x X = (θy, x) = T (θy, x) θx 2 + x 1. Como X é estritamente convexo e x 1 0, pelo corolário 2 segue que x 2 = 0. Daí T (y, 0) = (y 2, 0) c e, por consequência, T (y, 0) c. Pela generalidade no raciocínio acima, provamos (1).