DAFIS/DAQBI - PPGFCET. Sistemas Complexos. [ M.S. Freitas / UTFPR ] Prof. Mário Sérgio Freitas, Dr. - UTFPR/DAFIS.

Transcrição

1 DAFIS/DAQBI - PPGFCET Sistemas Complexos Prof. Mário Sérgio Freitas, Dr. - UTFPR/DAFIS msergio58@gmail.com [ M.S. Freitas / UTFPR ]

2 Ementa 0 INTRODUÇÃO 1 REDES BOOLEANAS E AUTÔMATOS CELULARES 2 AUTOSSIMILARIDADE E GEOMETRIA FRACTAL 3 EQUAÇÕES A DIFERENÇAS FINITAS ( MAPAS ) 4 MAPAS BIDIMENSIONAIS 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS BIDIMENSIONAIS texto-base: D.Kaplan, L.Glass Understanding Nonlinear Dynamics (Springer, N.Y, 1995).

3 [ M.S. Freitas / UTFPR ] CAP 2 AUTO-SIMILARIDADE E GEOMETRIA FRACTAL

4 2.1. Fatores de Escala, Algoritmos Recursivos e Exemplos de Fractais ex: descrição computacional de uma árvore * diversas alternativas a) conjunto completo dos elementos y x [ M.S. Freitas / UTFPR ]

5 b) forma aproximada da envoltória espacial [ M.S. Freitas / UTFPR ] [ Guilmar Silva, Sem título Litogravura, 50x70cm (1985) Solar do Barão, Curitiba, Jun. 2009]

6 [ M.S. Freitas / UTFPR ] c) relação recursiva (auto-similaridade) pouca informação de entrada modelo estruturalmente realista [fig. 3.1] e [fig. 3.2]

7 geometria auto-similar: uma parte se parece com o todo * objetos reais auto-similares: engendrados por processos recursivos? * exemplos na natureza: samambaia brócolis sistema de brônquios... [ ]

8 * mais exemplos na natureza: contorno de nuvens, estrutura de pedras, vórtices em fluidos, litorais [ M.S. Freitas / UTFPR] ]

9 * mais exemplos na natureza: contorno de nuvens, estrutura de pedras, vórtices em fluidos, litorais [ M.S. Freitas / UTFPR ]

10 escavações alveolares devidas à erosão pela chuva (Vila Velha, PR, 2008) [ M.S. Freitas / UTFPR ]

11 contribuição da estudante Francelli K. Coradin (2007, CPGEI, fase 2)

12

13

14 [ M.S. Freitas / UTFPR ] Qual o tamanho real desta estrutura?

15 [ M.S. Freitas / UTFPR ]

16 [ M.S. Freitas / UTFPR ] Europa de leste, 8/3/2006

17 [ M.S. Freitas / UTFPR ] [ M.S. Freitas / UTFPR ] Qual o tamanho real desta estrutura?

18 [ M.S. Freitas / UTFPR ] Nazca, Peru, 23/7/2013

19 * exemplos na área tecnológica: imagem com retro-alimentação num tubo de raios catódicos

20 antenas para banda larga miniaturizadas adesão de nanopartículas em substratos rugosos [ T.S. Chow - J. Phys: Cond. Matter 15, n2 (2003) L83-L87 ] modelos de tráfego de informação em servidores Web [C.M. Pedroso - tese de doutorado, UTFPR/CPGEI, 2006]

21 * objetos com dimensão fracionária: fractais * geometria fractal: associada a tipos de comportamento dinâmico * fractais exatos: objetos matemáticos gerados por algoritmos recursivos exemplos: a) Conjunto de Cantor ( poeira de pontos ) [fig. 3.3] * algoritmo recursivo: t=0: segmento de reta de comprimento 1 t=1: 2 cópias com comprimento 1/3 cada t=2: repete o processo para as 2 cópias (resultam 4 cópias com comprimento 1/9 cada) t=3: repete o processo para as 4 cópias... profundidade da recursão ( maior t usado ) fractal perfeito ( t ) [fig 3.4]

22 b) Cesta de Serpienski [fig. 3.5] c) Curva de Koch [fig. 3.6] d) Ilha de Koch ( snowflake ) * perímetro infinito delimitando uma área finita! * seres vivos: otimização da razão área/volume [ Peak & Frame, Chaos under Control, p 104] Ilha de Koch: faça você mesmo! (arame moldado) UTFPR, 2007 e) Esponja de Menger [fig. adicional] [ Stewart, Does God Play Dice?, p 303]

23 Esponja de Menger * faça você mesmo! material: cartões dobrados (66048) altura: 140 cm peso: 70kgf tempo de trabalho: 9 anos [ ]

24 3.2. Dimensão Fracionária * dimensão euclideana: número de coordenadas necessárias para posicionar um ponto no objeto OBJETO DIMENSÃO EUCLIDEANA PONTO 0 SEGMENTO DE RETA 1 RETÂNGULO PLANO 2 CUBO MACIÇO ( inteiros ) * objeto auto-similar gerado recursivamente: : aresta no passo n / aresta no passo n+1 N: número de cópias no passo n+1 / número de cópias no passo n D: dimensão fractal D log N log

25 * definição de dimensão fractal: abrange os objetos euclideanos! OBJETO N D SEGMENTO DE RETA QUADRADO PREENCHIDO CONJUNTO DE CANTOR CESTA DE SIERPIENSKI FLOCO DE NEVE DE KOCH ESPONJA DE MENGER exemplo para aula prática: bolas de papel amassado [ Peak & Frame, Chaos under Control, p 104] * diâmetro de cada bola: d * massa de cada bola: m relação entre m e d (experimental): m = k. d 2,5 * k: constante de proporcionalidade lei de potência : invariante de escala

26 DIMENSÃO POR CONTAGEM DE CAIXAS dado um objeto pronto qual o valor de D? procedimento geométrico: * recobrir o objeto com caixas de aresta 0 (cubos, quadrados ou segmentos de reta) * contar o número de caixas necessárias N = N ( 0 ) * fazer 1 = ( 0 / 2 ) * contar N ( 1 )... recursivamente... função por pontos N = N ( ) expressão teórica: N( ) k D procedimento prático: D log log N( N( i i i 1 i 1 ) )

27 exemplo: atrator caótico de um mapa bidimensional ( mapa de Ikeda ) x i +1 = (x i cos t i y i sen t i ) y i +1 = 0.7 (x i sen t i + y i cos t i ) atenção: t não é o tempo, é só uma variável auxiliar: t i = 0.4 [ 6 / ( 1 + x i2 + y i2 )] * imagem do objeto auto-similar (para outro parâmetro): * sistema real: laser numa cavidade em anel * auto-similaridade [fig. adicional] caixas com 0 = 0.08 N ( 0 ) = 43 caixas com 1 = 0.04 N ( 1 ) = 110 caixas com 2 = 0.02 N ( 2 ) = 250 [fig. pg. 116 (esquerda)] [fig. pg. 116 (meio)] [fig. pg. 116 (direita)] * levando na fórmula: tende para D 1,2 * menor valor de depende da resolução da figura

28 3.3. Auto-Similaridade Estatística as partes são, em média, similares ao todo exs: * fractais na natureza ( costas litorâneas, árvores, etc ) * fractais matemáticos ( gerados por processo determinístico caótico ) ( gerados com adição de números aleatórios ) AUTO-SIMILARIDADE NO TEMPO * exemplo determinístico: saída caótica de um mapa unidimensional x t +1 = x t + x t2 (mod 1) diagrama de 1 o retorno: [fig. pg. 118] série temporal: [fig. pg. 119] mostra invariância de escala!

29 * exemplo estocástico: saída de um gerador de números aleatórios série temporal: [fig. pg. 120] * exemplo observado na natureza: registro dos batimentos cardíacos série temporal [fig. pg. 121] todos mostram invariância de escala! espectro de um sinal auto-similar no tempo: ruído 1/f energias aproximadamente iguais nos intervalos 0.1 Hz < f < 1 Hz 1 Hz < f < 10 Hz 10 Hz < f < 100 Hz 100 Hz < f < 1 khz...

30 fenômenos que respeitam esta distribuição: * tempos de chegada de pacotes de informação (telefonia, Internet) * ruído intrínseco em semicondutores * densidade do tráfego de automóveis urbano * nível de cheias em rios * ritmos biológicos, etc Fractais e Comportamento Dinâmico fractal objeto geométrico auto-similar caos evolução temporal imprevisível de uma variável os dois conceitos são intimamente relacionados

31 James Yorke ( ) * caracterização do termo Caos c/ Tien-Yien Li (1975) * método de controle ativo OGY c/ E. Ott e C. Grebogi (1990) [ ]

32 Benoit Mandelbrot ( ) * criação do termo fractal (1975) [ ]

33 exemplos (em sistemas não-lineares): * jogo fractal ou jogo do caos * autômatos celulares * passeio aleatório e movimento browniano * escape para infinito * fronteiras de bacia fractais * agregação e percolação, etc

34 JOGO FRACTAL dinâmica discreta com elemento aleatório algoritmo (entrada aleatória: lance de um dado) * triângulo equilátero ABC * condição inicial: 0 (qualquer ponto tomado dentro do triângulo) * lança-se o dado para selecionar um vértice 1 ou 2 A ; 3 ou 4 B ; 5 ou 6 C * ponto 1: ponto médio entre 0 e o vértice sorteado * lança-se o dado novamente * ponto 2: ponto médio entre 1 e o novo vértice sorteado... resultados (ex 2; 6; 1;...): 3 lances [fig. 3.7]

35 100, 1000, 5000 lances [fig. 3.8] * para infinitos lances: é construída uma cesta de Serpienski! * uma regra simples gera um objeto complexo! * conjunto final: quase independe da seqüência de lances é o atrator do sistema dinâmico explicação lógica: * o sistema é, em parte, determinístico * a cada lance t: divide-se o triângulo em 3 t regiões possíveis

36 ponto 0: 1 região (triângulo inteiro) ponto 1: 3 regiões resultados: A, B ou C ponto 2: 9 regiões resultados (1 o e 2 o lances) AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC ponto 3: 27 regiões 1 o, 2 o e 3 o lances AAA, AAB, AAC, ABA, etc... [fig. 3.9] aplicação importante: pode revelar correlações! (análise de séries temporais) * séries totalmente aleatórias * séries determinísticas caóticas * séries mistas

37 . ruído 1/f [fig. adicional a] movimento browniano [fig. adicional b] mapa logístico com a=3.999 [fig. adicional c] seqüência de bases do DNA p/ amilase [fig. adicional d] [ Peak & Frame, Chaos under Control, p 222] Iniciação Científica na UTFPR (PIBIC-JR) Fractal Formation in the Circular Chaos Game: a topological investigation IJBC - artigo publicado em 2010, v20, n3 (A.L. Gama e M.S.T. Freitas)

38 PASSEIO ALEATÓRIO difusão: processo físico em escala molecular deslocamentos aleatórios devidos a colisões não envolve gasto de energia persiste enquanto há diferença de concentração [ ]

39 movimento browniano [R. Brown, 1827] modelo: * passos de mesmo comprimento * direção e sentido aleatórios investiga-se: para a população de partículas: * distribuição espacial em função do tempo ex: distribuição gaussiana para cada partícula * deslocamento total médio em função do tempo ex: 2 dimensões, 500 passos [fig. pg. 127] * lei de potência observada: d MED = k. t 1/2 ou d MED = k. t ( 4 - ) / 2 ; = 3

40 * para passos de comprimentos também aleatórios continua auto-similar (expoente ½, outro k) caminhada intencional : d MED = k. t = k. t ( 4 - ) / 2 ; = 2 [fig. pg. 127] passeio de Lévy : d MED = k. t ( 4 - ) / 2 ; 2 < < 3 * comprimento dos passos: lei de potência * eventualmente, pode haver passos muito longos * prazo longo ou curto: diferentes estimativas ESCAPE PARA INFINITO *para muitos sistemas dinâmicos: a variável diverge para infinito *isso depende da condição inicial *condições iniciais que não divergem: podem formar um fractal (ex: conjunto de Cantor) [fig. 3.12]; [fig. 3.13]

41 FRONTEIRAS DE BACIA FRACTAIS sistemas dinâmicos multiestáveis: dois ou mais atratores coexistentes (periódicos ou caóticos) * para cada atrator: conjunto de condições iniciais BACIA DE ATRAÇÃO * pontos de fronteira entre duas bacias formam um conjunto fractal exemplos: pêndulo amortecido e forçado resolução de z 4 1 = 0 pelo método de Newton sistema ótico de 4 esferas - ( espalhamento caótico D. Sweet et al, Nature 399, 315 (1999)

42 CONJUNTO DE MANDELBROT variável complexa ( z t = a t + b t i ) equação a diferenças: z t +1 = z t2 + c sendo c = x + y i para cada par (x,y) no plano: inicia-se com z 0 = 0 se z divergir para infinito ponto em preto se z não divergir ponto em branco * estrutura de uma couve-flor: coincidência?

43 CRESCIMENTO FRACTAL, AGREGAÇÃO E PERCOLAÇÃO exemplos: deposição eletrolítica de metais colônias de microorganismos difusão em líquidos imiscíveis, etc padrões podem ser simulados por algoritmos muito simples! Modelo de Eden: [M. Eden, 1961] rede quadrada t = 0 inicia com uma primeira célula t = 1 outra célula é acrescentada aleatoriamente (4 posições) t = 2 uma terceira célula (6 posições), etc [fig. pg. 137]; [fig. pg. 138] * para grande t: a fronteira do conjunto é fractal!

44 Agregação limitada por difusão ( D.L.A. ) [Witten e Sander, 1981] também supõe uma partícula-semente outras partículas são distribuídas e sofrem difusão aleatória quando tocam na semente, são agregadas [figs. pg. 140] [ ] Percolação: * transição de fase (ponto crítico perfeitamente definido) * as ramificações se aglutinam formam uma massa única [Stewart, Does God Play Dice?, p.308]

45 [ M.S. Freitas / UTFPR ]... continua (CAPs 4 e 5)