Capítulo XII PROCESSOS E MODELOS DE CRESCIMENTO FRACTAL SUMÁRIO

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1 Capítulo XII PROCESSOS E MODELOS DE CRESCIMENTO FRACTAL SUMÁRIO RESUMO Introdução Modelos de crescimento Deposição Balística (Chuva de balas): Agregação Balística sobre uma Semente Agregação Balística sobre uma Faixa Modelo de Eden sobre uma Semente (Crescimento nas fronteiras) Modelo de Eden com Ruído Reduzido Modelo de Eden sobre uma Faixa Difusão Limitada a Agregação...10 DLA (Agregação Limitada a Difusão- Movimento Browniano - Random Walk): Automato Celular Caminho Aleatório

2 Crescimento por Percolação de Sítio de uma Rede Modelo Epidêmico Labirintos de Moles Enclustramento de clusters Referências bibliográficas

3 Capítulo XII PROCESSOS E MODELOS DE CRESCIMENTO FRACTAL RESUMO Introdução Neste capítulo, descreveremos alguns modelos estatísticos (não-determinísticos) extraídos da Mecânica Estatística que, nos últimos anos, tiveram grande aplicação pelo sucesso na descrição de fenômenos aleatórios próprios dos sistemas desordenados ou fenômenos críticos. Grande parte destes modelos, conhecidos como modelo de crescimento fractal estão sendo extensivamente estudados pelos cientistas tanto das ciências básicas como aplicadas no decorrer dos últimos anos. Estes modelos, pela aleatoriedade envolvida no processo de simulação e característica fractal, estão mais próximos da representação de muitos fenômenos naturais como a formação de cristais de gelo, eletrodeposição, fenômeno fingering, formação de nuvens, sedimentação, fraturas e outros, comparados com os modelos clássicos ou determinísticos, baseados na geometria euclidiana. Assim, 3

4 começaremos descrevendo a teoria da geometria fractal, sua diferença em relação a geometria euclidiana e como os fractais descrevem melhor os fenômenos naturais. Logo em seguida, discutiremos o fenômeno fingering viscoso e capilar em hidrodinâmica, suas características físicas e importância prática. Finalmente nos concentraremos na descrição do modelo particular de crescimento, da teoria de percolação ordinária, da percolação por invasão e as modificações introduzidas para simular o fenômeno fingering em solos que chamaremos de invasão modificada. Existem vários processos de crescimento fractal cada um deles definido por uma dinâmica própria de crescimento. Para cada tipo de crescimento existe um modelo segundo a dinâmica de agregaão das partícuals. os quais são: a) Agregação Balística, b) Modelo de Eden c) Agregação Limitada por Difusão (DLA) d) Epidêmico e) Modelo de Labirinto f) Modelo de Encrustamento de clusters. A solidificação de uma forma geral é regida pela dinâmica do modelo de Agregação Limitada por Difusão (DLA). E o crescimento dendrítico como é um processo de solidificação, também pertence a classe das agregações limitada por difusão. No DLA a difusão das partículas se dá por meio de um processo de caminho aleatório (random walk) Modelos de crescimento Deposição Balística (Chuva de balas): Aplicação: Crescimento em Fase Vapor (CDVF) 4

5 Figura Agregação Balística sobre uma Semente Neste modelo as particulas se movem ao longo de uma trajetória retilínea até elas encontrarem o agregado de crescimento e colam-se a sua superfície irreversivelmente. Este tipo de cinética é típica de situações experimentais quando molélculas se movem em um vapor de baixa densidade. Portanto, a agregação balística pode ser útil para a interpretação tecnológica de importantes processos tais como: deposição de vapor sobre substratos frios. Duas versões básicas deste modelo tem sido consideradas. No primeiro caso as partículas movem-se ao longo de linha retas aleatoriamente orientadas, enquanto no segundo tipo de modelo, as trajetórias são assumidas serem paralelas. Em adição a geometria do substrato pode também afetar os resultados e, produzir uma agregação sobre uma simples semente (Figura - ) e sobre uma superfície. 5

6 Figura Agregação balística sobre uma semente Agregação Balística sobre uma Faixa Figura Agregação balística sobre uma superfície. 6

7 Modelo de Eden sobre uma Semente (Crescimento nas fronteiras) Este modelo foi proposto em 1961 por Eden em uma tentativa para descrever crescimento de tumores. Um sítio sobre uma rede (por exemplo quadrada) é aleatoriamente escolhido e ocupado. Os sítios vizinhos vazios mais próximos (NN) do sitio ocupado são rotulados como sítios de crescimento. No próximo passo, um sítio de crescimento é aleatoriamente escolhido e ocupado. Os NN dos mais novo sítio ocupado sao acrescentados a lista de sitio de crescimentos. Este processo de crescimento é repetido várias milhares de vezes até que nós temos um grande cluster de sítios ocupados (veja Figura - 2). Existem três variantes deste modelo dependendo de como nós escolhemos um sítio de crescimento. Olhando para a Figura - 2. nós vemos que a escolha de sítios de crescimento será diferente, dependendo se, se escolhe aleatoriamente (i) qualquer sitio da superfície externa (ii) um vizinho vazio de um sitio da superfície interna aleatoriamente escolhido, ou (iii) qualquer sítio vazio ligado a fronteira. Cada uma destas definições levanos a distribuições de probabilidades ligeiramente diferentes para as configurações geradas, então enfatizando-se a necessidade das regras serem precisamente definidas, dizendo-nos ambos quando e onde crescem. Afortunadamente, neste modelo, todos a três variantes dãonos os mesmo resultado, sabidamente que o cluster gerado é compacto. Figura Algoritmo gráfico do Modelo de Eden sobre uma semente. 7

8 Figura Modelo de Eden sem redução de ruido 8

9 Modelo de Eden com Ruído Reduzido Figura Modelo de Eden com redução de ruido Modelo de Eden sobre uma Faixa O mesmo modelo descrito acima também pode ser simulado sobre uma superfície plana conforme mostra a Figura - 9

10 Figura Modelo de Eden sobre uma superfície Difusão Limitada a Agregação DLA (Agregação Limitada a Difusão- Movimento Browniano - Random Walk): O modelo de crescimento DLA foi proposto por Witten e Sander, sendo um exemplo de como movimentos totalmente aleatórios podem dar lugar a belos clusters autosimilares. Começa-se com uma rede quadrada e ocupa-se um sítio com uma particula semente. Uma outra partícula é então abandonada a partir de um perímetro de um grande círculo cujo centro do círculo coincide com a partícula semente. As particulas executam um caminho aleatório até elas também deixarem o círculo ou atingir um sítio vizinho de uma partícula semente. No caso anterior esta torna-se uma parte do cluster em crescimento. Este processo é repetida várias milhares de vezes até um grande cluster ser formado. Contudo, o processo de crescimento é deceptivamnte simples, este da lugar a estruturas auto-similares ramificadas ( Figura - ). A razao crucial para a riqueza da forma gerada aqui vem do fato 10

11 que o regra de crescimento é não local. Deve-se enfatizar contudo que a não localidade não é uma condição necessária par produzir tais lusters ramificados auto-similares. Figura Algoritmo gráfico do DLA sobre uma semente. Figura Modelo de crescimento DLA (Agregação Limitada a Difusão) 11

12 Automato Celular Automato celular foi originalmente introduzido por Von Neumann e Ulam em 1948 como uma idealização da auto-reprodução biológica, e são exemplos de sistemas dinamicos discretos que podem ser simulados com precisão sobre um computador digital. Figura Automato celular, simulando nuvens. Uma automato celular pode ser pensado com quadrados coloridos (as células). Cada célula varia sua cor até um instante de um relógio de acordo a uma regra baseada na presente configuração (microestado) da células em sua vizinhança. Mais formalmente, o automato celular são idealizações matematicas de sistemas dinâmicos em que o espaço e tempo são discretos e as quantidades de interesse tem um conjunto finito de valores discretos que são atualizados de acordo com uma regra local. 12

13 Caminho Aleatório O caminho aleatório basea-se na descrição da trajetoria de uma partícula que se move aleatoriamente de forma análoga ao movimento browniano. Figura Trajetória descrita por uma partícula executando um caminho aleatório Crescimento por Percolação de Sítio de uma Rede Figura Estrutura formada pela percolação de sitios de uma rede. 13

14 Modelo Epidêmico Como no modelo de Eden, nós iniciamos com uma unica semente e consideramos todos os seus sítios vizinhos como uma parte da superfície vivente. Então nós aleatoriamente escolhemos um sítio da superfície vivente e fazemos o seguinte: a) ocupamos o sítio com probabilidade p e fazemos todos estes novos vizinhos parte de uma superfície vivente ou b) matamos o sito superficial para sempre com probabilidade 1 - p. Sobre uma rede quadrada este modelo pode ser usado para descrever o crescimento de epidemias. Por exemplo, na plantação de árvores localizadas regularmente (rede quadrada) os sítios mortos corresponderiam a imunizar arvores e as viver outras que podem transmitir a doença. O parâmetro básico neste modelo é a probabilidade p. Pela variação de p nós podemos obter estruturas de vários tipos. A Figura 2. mostra a sorte de lusters que nós podemos obter para pc = (pc na percolação crítica sobre uma rede quadrada). Note que estes clusters são auto-similares, possuindo buracos de todos os tamanhos. Até agora nós descrevemos somente modelos que iniciam-se com uma única semente. Muitos modelos tem sido propostos que iniciam com varias sementes e portanto dão lugar a múltiplos clusters. Nos discutiremos brevemente dois deles Labirintos de Moles Varias sementes (chamada moles) são aleatoriamente colocadas sobre uma rede. A cada passo de tempo um mole é aleatoriamente escolhido e movido para um sítio vizinho aleatório. Os traços deixados pelos caminhos aleatórios destes moles definem os clusters então formados. Os clusters crescem e mergulham, formando várias estruturas complicadas até acrescentar muitos clusters finitos um cluster infinito ( varrendo toda a rede) é formada (veja Figura ). Ao mesmo tempo que este cluster infinito aparece, ele é auto-similar na estrutura, possuindo buracos de todos os tamanhos. 14

15 Enclustramento de clusters Este modelo foi primeiro proposto por Kolb, Julian e Botet e Meakin. Particulas são colocadas aleatoriamente sobre uma rede e em todo passo de tempo são movidas ao redor aleatoriamente. se duas partículas tornam-se vizinhos mais próximos elas unem-se e então tornam-se um sitio de dois clusters e assim sucessivamente. Neste modelo, ambas as partículas e clusters movem-se aleatoriamente até a maioria delas agregarem-se, então formando grandes e grandes estruturas auto-similares (veja Figura - s2) A massa do sistema permanece constante ao longo de todo o processo de crescimento, e estruturas auto-similares aparecem a partir de um rearranjo aleatório de uma configuração inicialmente aleatória das partículas do sistema Referências bibliográficas 15