O JOGO DA VIDA 1. INTRODUÇÃO

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1 484 O JOGO DA VIDA Paulo Sérgio Matias Júnior (Uni-FACEF) Amaury Carlos Silveira Moura (Uni-FACEF) Thales Freitas da Costa (Uni-FACEF) Orientador: Prof. Dr. Antônio Carlos da Silva Filho (Uni-FACEF) 1. INTRODUÇÃO Os autômatos celulares foram originalmente introduzidos por von Neumann e Ulam em 1948 e são exemplos de sistemas dinâmicos discretos que podem ser simulados exatamente no computador. Um autômato celular pode ser visualizado como um tabuleiro de xadrez, onde cada casa pode assumir diferentes cores dependendo do estado em que se encontra. Este estado é determinado por leis que indicam o estado subseqüente de cada casa baseado no estado atual da casa e de suas vizinhanças. Um dos autômatos celulares mais intrigantes foi inventado em 197 pelo matemático John Conway e recebeu o nome de Jogo da Vida. Atribui-se o valor 1 (também chamada viva ) ou (também chamada morta ) a cada célula. Lembrando que cada célula tem oito vizinhos imediatos, determina-se a soma dos valores das oito células vizinhas. As regras para este jogo são bastante simples: (a) uma célula viva permanece viva se a soma for igual a 2 ou 3; (b) uma célula morta passará a ser viva somente se a soma for igual a 3. O Jogo da Vida é um exemplo de uma máquina de calcular universal. 2. MATERIAIS E MÉTODOS Os autômatos estão sendo modelados no computador, usando o programa Matlab. Este trabalho investigará os diferentes padrões que emergem para o autômato em função das condições iniciais para cada célula. Variaremos a probabilidade p de ocupação de células vivas entre e 1 e analisaremos os vários comportamentos resultantes para o sistema. 484

2 48 3. RESULTADOS Os resultados ainda são parciais. Os programas já estão praticamente finalizados. Um primeiro objetivo é verificar se, dada uma probabilidade de ocupação, p, os estados finais resultantes da dinâmica do sistema irão depender ou não das condições iniciais. 1 Rede 3 x Probabilidade Inicial de Ocupação = 1% Porcentagem média final de ocupação = 1,98% Fig. 1. Rede 3x3 com Probabilidade inicial de ocupação = 1%. Resultado para 1 condições iniciais diferentes, com 3 atualizações para cada uma. 1 Rede 3 x Probabilidade Inicial de Ocupação = 2% Porcentagem média final de ocupação = 3,66% Fig. 2. Rede 3x3 com Probabilidade inicial de ocupação = 2%. Resultado para 1 condições iniciais diferentes, com 3 atualizações para cada uma. 48

3 486 1 Rede 3 x Probabilidade Inicial de Ocupação = 3% Porcentagem média final de ocupação = 3,29% Fig. 3. Rede 3x3 com Probabilidade inicial de ocupação = 3%. Resultado para 1 condições iniciais diferentes, com 3 atualizações para cada uma. 1 Rede 3 x Probabilidade Inicial de Ocupação = 4% Porcentagem média final de ocupação = 3,72% Fig. 4. Rede 3x3 com Probabilidade inicial de ocupação = 4%. Resultado para 1 condições iniciais diferentes, com 3 atualizações para cada uma. 486

4 487 1 Rede 3 x Probabilidade Inicial de Ocupação = % Porcentagem média final de ocupação = 3,92% Fig.. Rede 3x3 com Probabilidade inicial de ocupação = 6%. Resultado para 1 condições iniciais diferentes, com 3 atualizações para cada uma. 1 Rede 3 x Probabilidade Inicial de Ocupação = 6% Porcentagem média final de ocupação = 3,12% Fig. 6. Rede 3x3 com Probabilidade inicial de ocupação = 6%. Resultado para 1 condições iniciais diferentes, com 3 atualizações para cada uma. 487

5 488 1 Rede 3 x Probabilidade Inicial de Ocupação = 7% Porcentagem média final de ocupação = 1,9% Fig. 7. Rede 3x3 com Probabilidade inicial de ocupação = 7%. Resultado para 1 condições iniciais diferentes, com 3 atualizações para cada uma. 1 Rede 3 x Probabilidade Inicial de Ocupação = 8% Porcentagem média final de ocupação =,23% Fig. 8. Rede 3x3 com Probabilidade inicial de ocupação = 8%. Resultado para 1 condições iniciais diferentes, com 3 atualizações para cada uma. 488

6 489 1 Rede 3 x Probabilidade Inicial de Ocupação = 9% Porcentagem média final de ocupação =,% Fig. 9. Rede 3x3 com Probabilidade inicial de ocupação = 9%. Resultado para 1 condições iniciais diferentes, com 3 atualizações para cada uma. Rede 3 x Probabilidade Inicial de Ocupação de 1% a 9% Porcentagem média final de ocupação para cada probabilidade inicial 1 Redes com 3 gerações cada (para cada probabilidade) 4 porcentagem media de ocupação probabilidade : 1 Fig. 1. Rede 3x3 com Probabilidade inicial de ocupação de 1% a 9%. Resultado para a média de 1 condições iniciais diferentes, com 3 atualizações para cada uma. 489

7 49 Rede 3 x Probabilidade Inicial de Ocupação de 1% a 1% Porcentagem média final de ocupação para cada probabilidade inicial 1 Redes com 3 gerações cada (para cada probabilidade) 4 probabilidade final de ocupação Fig. 11. Rede 3x3 com Probabilidade inicial de ocupação de 1% a 1%. Resultado para a média de 1 condições iniciais diferentes, com 3 atualizações para cada uma. 1 Rede 1 x Probabilidade Inicial de Ocupação = 1% Porcentagem média final de ocupação = 2,7% Fig. 12. Rede 1x1 com Probabilidade inicial de ocupação = 1%. Resultado para 1 condições iniciais diferentes, com 3 atualizações para cada uma. 4 ANÁLISE E CONCLUSÃO O trabalho está em andamento, mas já pudemos obter alguns resultados preliminares. Numa rede 3x3 com condições fechadas de contorno, a maioria das 49

8 491 probabilidades de ocupação dos sítios com configurações iniciais aleatórias leva a uma ocupação final entre 3% e 4%. BIBLIOGRAFIA WOLFRAM, S. A New Kind of Science, Wolfram Media, Inc., 22. L.R. EMMENDORFER, L. R., RODRIGUES, l. A. D. Um modelo de Autômatos Celulares para o Espalhamento Geográfico de Epidemias. Tendências em Matemática Aplicada e Computacional, v.2, p. 73-8,