CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - OPERAÇÕES

Transcrição

1 Definição N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, } Obs: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, } Representação na reta Ex: Observe a reta numérica. O A B C D E 0 Escreva que ponto representa: a) o número 4 b) o número 1 c) o número 9 d) o número 11 e) o número 6 f) o número 0 Operações com números naturais 1. Adição Considere dois números naturais a e b. A soma de a e b, denotada por a + b, é o número que se obtém, na reta numérica, deslocando a de b unidades para direita. Ex1: = 5; = 17; = 240 Ex2: Calcule: a) b) Desigualdades Considere dois números naturais a e b. Se a aparece antes de b na reta numérica, ou seja, à esquerda de b, escrevemos a < b (a menor que b) ou b > a (b maior que a). Ex: 2 < 4 ou 4 > 2; 3 < 10 ou 10 > 3. Ex: Observe a reta numérica em que a, b e c representam números naturais correspondentes aos pontos A, B e C. Quais das sentenças a seguir são verdadeiras? a) a > 6 d) c > b b) b > 6 e) c < a c) 6 < c f) b > a Obs1: Dados dois naturais a e b, uma e somente uma das três possibilidades ocorre: (tricotomia) Ex: 5 < 7; 8 = 8; 4 > 3 A B C a 6 b c a < b (a menor que b) a = b (a igual a b) a > b (a maior que b) Obs2: Se a < b e b < c, então a < c. Ex3: São Paulo, Rio de Janeiro, Brasília, Fortaleza e Belo Horizonte são as seis cidades mais populosas do Brasil. Determine a população das cidades de São Paulo e de Brasília, sabendo que São Paulo possui habitantes a mais que o Rio de Janeiro e que Brasília possui habitantes a mais que Fortaleza. Cidade População Rio de Janeiro Salvador Fortaleza Belo Horizonte Ex4: Determine a soma de todos os números de três algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 1, 2 e 3. Obs3: 1. O símbolo significa menor ou igual. Ex: 5 9; O símbolo significa maior ou igual. Ex: 10 7; 6 6

2 Ex5: Quando Guilherme nasceu, o pai dele tinha 35 anos. Atualmente, Guilherme tem 11 anos. Determine a soma das idades de Guilherme e de seu pai hoje. Ex5: Criptografia é a arte de escrever em caracteres secretos ou palavras de uma escrita que não é compreendida por todos. Decifre o criptograma abaixo sabendo que cada letra indica um algarismo, que letras iguais representam algarismos iguais e que letras diferentes representam algarismos diferentes. 3A76 CBA1 1C9B 1.1 Propriedades da adição: I. a, b N a + b N (fechamento) II. a + b = b + a (comutativa) III. a + 0 = a (elemento neutro) IV. (a + b) + c = a + (b + c) (associativa) V. a < b a + c < b + c VI. a < b e c < d a + c < b + d 2. Subtração Considere dois números naturais a e b, com b a. A diferença entre a e b, denotada por a b, é o número que se obtém, na reta numérica, deslocando a de b unidades para esquerda. Ex1: 8 3 = 5; 10 4 = 6; 9 7 = 2 Ex2: Calcule: a) b) Obs1: a + b = c a = c b Obs2: Sucessor Dado um número natural n, dizemos que n + 1 é o sucessor de n. Ex: a) o sucessor de 3 é 4 b) o sucessor de 100 é 101 Obs3: Antecessor Dado um número natural n 0, dizemos que n 1 é o antecessor de n. Ex: a) o antecessor de 10 é 9 b) o antecessor de 56 é 55 Obs4: Números consecutivos Dois ou mais números em sequência imediata na reta numérica são chamados de consecutivos. Ex: a) 5 e 6 são consecutivos; b) 101, 102, 103 e 104 são consecutivos; c) n, n + 1 e n + 2, (n N) são consecutivos. Obs5: Quantidade de números naturais Obs: a b = (a c) (b c) Ex3: Calcule: a) b) Considere dois números naturais a e b, com a < b. I. De a até b existem b a + 1 números naturais. II. Entre a e b existem b a 1 números naturais Ex01: a) Quantos números naturais existem de 10 a 32? Ex4: O Brasil terminou o ano de 2011 com o sexto maior produto interno bruto (PIB) do mundo, o equivalente a milhões de dólares. O Reino Unido, com milhões de dólares, ocupou a sétima posição, determine, em milhões de dólares, a diferença entre esses dois valores. b) Quantos números naturais existem entre 25 e 130? Ex02: Para escrever de 1 até 250 quantos algarismos utilizamos?

3 3. Multiplicação Considere dois números naturais a e b. O produto de a por b, denotado por a b, é definido por: Ex4: Um satélite percorre uma órbita de 575km a cada minuto. Quantos quilômetros ele percorre em 1 hora? a b = b + b + + b 1 b = b a parcelas, se a > 1 0 b = 0 Ex1: 3 5 = = 15; 1 3 = 3; 0 2 = 0 Obs: 1. a b = a b = ab 2. 2 a = 2 a = 2a = 2 3 Ex5: Em um estacionamento, os carros ficam em disposição retangular com 12 linhas e 13 colunas. No momento e que houver 68 carros estacionados, ainda haverá vagas para quantos? 3.1 Propriedades da multiplicação I. a, b N a b N (fechamento) II. a b = b a (comutativa) III. a 1 = a (elemento neutro) IV. (a b) c = a (b c) (associativa) V. a (b + c) = a b + a c (distributiva) Obs: 1. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd 2. (b + c)a = ba + ca 3. ab = 0 a = 0 ou b = 0 Ex6: A distância da casa de Marquinhos até sua escola é de 380 metros. Quantos metros ele percorre para ir à escola e voltar de segunda a sexta-feira? Ex2: Sabendo que a b = 15, determine: a) b a b) 1 a b c) a (b 4) d) a (b + 1) a Ex3: Calcule: a) Obs1: Número par Um número natural a é par quando a = 2k, k N. Ex: a) 6 é par pois 6 = 2 3 b) 20 é par pois 20 = 2 10 c) Se n é par então n, n + 2, n + 4, é uma sequência de pares consecutivos Obs2: Número ímpar Um número natural a é ímpar quando a = 2k + 1, k N. b) Ex: a) 7 é ímpar pois 7= b) 43 é ímpar pois 43= c) Se n é ímpar então n, n + 2, n + 4, é uma sequência de ímpares consecutivos 4. Divisão Considere dois números naturais a e b com b 0. A divisão de a por b, denotada por a: b, consiste em obter dois números naturais q e r tais que a = b q + r, com 0 r < b Os números a, b, q e r são chamados, respectivamente, dividendo, divisor, quociente e resto.

4 Ex: Efetue as divisões: a) 7: 2 Obs1: Na divisão de a por b, quando r = 0, dizemos que a divisão é exata. Obs2: Quando se multiplicam (ou se dividem) o dividendo e o divisor por um número diferente de zero, o quociente não se altera, mas o resto fica multiplicado (ou dividido) por esse número. Obs3: Na divisão de a por b, os possíveis restos são: 0, 1, 2,, b 1. b) 1458: 7 5. Potenciação Considere dois números naturais a e n, com 2. Definimos: Ex01: Calcule: a n = a a a a 1 = a n vezes a 0 = 1, (a 0) c) 1.017: 5 a) 3 4 e) 3 1 b) 4 3 f) 1 n c) 2 5 g) 0 2 d) 7 0 h) Propriedades da potenciação d) 4.418: 4 I. a n a m = a n+m II. a n : a m = a n m III. (a n ) m = a n m IV. (a b) n = a n b n Ex02: Reduza a uma só potência, aplicando as propriedades da potenciação: e) 2.834: 15 a) b) c) 9 10 : 9 6 d) a 2 a 7 a 2 e) ( ): 5 3 f) 1.218: 6 f) (3 2 ) 5 g) (a 4 ) 2 h) (7 1 ) 9 Ex03: Sendo = 2 a, determine o valor de a.

5 Ex04: Calcule o valor da soma (2 2 ) 3 Expressões numéricas Ex: Calcule o valor de cada uma das expressões numéricas: a) {20 [6 + (4 + 1) 2] + 1} 3 Ex05: Se a = 3 2 e b = a 2, então o valor do produto ab é igual a: a) 3 6 b) 3 8 c) 9 6 d) 9 8 b) {5 2 [(5 + 3) 2] 1 2 } 5 Ex06: Qual dos números a seguir é o maior: 3 45, 9 20, 27 14, ou 81 12? 6. Radiciação Considere três naturais a, b e n, com n 0. Definimos: n a = b b n = a c) 12: ( ) Ex01: Calcule: a) 25 f) 1 3 b) 8 4 c) 16 3 d) e) 10 3 g) 27 h) i) 32 3 j) 16

6 d) 12: (3 4) + (3 2 1) 2 h) {2 [7 ( ): 5]: 4} 2 e) {2 + [(3 1) (3 + 3)]: 4} i) ( ) j) ( ) 3 : ( ) f) 4 + {8 + 2 [3 + ( ): 8]} l) {[5 3 ( )] 20 ( : 2 4 )} g) {[(20: 10 2) + 5]: 3} + 2 3

7 EXERCÍCIOS 01. A soma de três parcelas é A primeira parcela é 4319 e a segunda Determine a terceira parcela. 05. (UEL) Considere todos os números naturais A que divididos por 29 deixam um resto igual ao quociente. Se 0 < A < 120, quantos valores A pode assumir? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) Ao fazer uma cocada coloquei 200 gramas de açúcar. Experimentei e não gostei. Coloquei mais 100 gramas. Experimentei novamente e ainda não estava bom. Coloquei então mais 350 gramas de açúcar. A cocada ficou gostosa, mais muito doce. Na última vez, deveria ter colocado apenas 250 gramas. a) Quantos gramas de açúcar coloquei no total? b) Quantos gramas coloquei a mais? 06. (UFRJ) Determine um número natural cujo produto por 9 seja um número natural composto apenas pelo algarismo (UFPE) A figura abaixo ilustra uma operação correta de adição, onde as parcelas e a soma estão expressas no sistema de numeração decimal e x, y e z são dígitos entre 0 e 9. Quanto vale x + y + z? a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 2 8 x 3 y z (UFRJ) Em uma divisão cujo divisor é 29, temos o quociente igual a 15. Sabendo-se que o resto desta divisão é o maior possível, podemos afirmar que seu dividendo é igual a a) 797 b) 407 c) 391 d) 435 e) (UFPE) Considere um número com três dígitos, abc, representado no sistema de numeração decimal e com a > c e c 0. Faça a diferença entre abc e o número obtido de abc permutando os dígitos a e c. Em seguida, permute o dígito das unidades com o das centenas da diferença e adicione o valor encontrado à diferença. Qual o valor da soma? a) 1089 b) 1098 c) 1890 d) 1809 e) (EEAR) Determinar o número de algarismos necessários para escrever os números ímpares de 5 a 175 inclusos. a) 114 b) 124 c) 125 d) Quantos algarismos são necessários para numerar as 180 páginas de um livro? a) 430 b) 431 c) 432 d) 433 e) Qual o número de algarismos necessários para escrever todos os números naturais de 57 a 1130? a) 3000 b) 3249 c) 3310 d) 4901 e) 4122

8 11. Para numerar as páginas de um livro, foram usados 816 algarismos. Determine quantas páginas tem esse livro. a) 300 b) 302 c) 304 d) 306 e) (FUVEST) Um estudante terminou um trabalho que tinha n páginas. Para numerar todas essas páginas, iniciando com a página 1, ele escreveu 270 algarismos. Então o valor de n é: a) 99 b) 112 c) 126 d) 148 e) (FUVEST) Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtrairmos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) (FUVEST-modificada) Se x e y são dois naturais consecutivos, qual dos números abaixo é necessariamente um natural ímpar? a) 2x + 3y b) 3x + 2y c) xy + 1 d) 2xy + 2 e) x + y (UNESP) Um número natural n, quando dividido por 7, deixa resto 5. Qual será o resto na divisão de n 2 + n por 7? a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) (PUC) Um número natural primo é formado por 2 algarismos não nulos. Se, entre esses algarismos, colocarmos um zero, o número ficará aumentado em 360 unidades. Dessa forma, a soma desses dois algarismos pode ser: a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) (PUC) Na divisão do número 206 por um natural n, obtêm-se quociente q e resto 60. Quantos pares de valores (n, q) satisfazem as condições dadas? a) um b) dois c) três d) quatro e) mais de quatro 18. (ENEM) A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro deles cabem 23 Netunos. Revista Veja. Ano 41, nº 26, 25 jun (adaptado) Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro de Júpiter? a) 406 b) 1334 c) 4002 d) 9338 e) (ENEM) Jogar baralho é um atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma um monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que formam o monte é: a) 21 b) 24 c) 26 d) 28 e) (ENEM) Nos shopping centers costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por cada período de tempo de uso dos jogos. Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe um certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques. Suponha que o período de uso de um brinquedo em certo shopping custa R$3,00 e que uma bicicleta custa tíquetes. Para uma criança que recebe 20 tíquetes por período de tempo que joga, o valor, em reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é: a) 153 b) 460 c) 1218 d) e) 3.066

9 21. Tio Patinhas distribuiu 300 selos entre seus três sobrinhos, Luizinho, Huguinho e Zezinho, de modo que Huguinho recebeu 20 selos a mais do que Luizinho, e Zezinho recebeu 80 selos a mais do que Huguinho. Quantos selos cada um recebeu? 25. (UNESP) A soma de n números naturais é igual a Se a cada um deles acrescentarmos 20 e somarmos os resultados assim obtidos, a nova soma será Determine o número n de parcelas. 22. (ENEM) Um paciente precisa ser submetido a um tratamento, sob orientação médica, com determinado medicamento. Há cinco possibilidades de medicação, variando a dosagem e o intervalo de ingestão do medicamento. As opções apresentadas são: A: um comprimido de 400 mg, de 3 em 3 horas, durante 1 semana; B: um comprimido de 400 mg, de 4 em 4 horas, durante 10 dias; C: um comprimido de 400 mg, de 6 em 6 horas, durante 2 semanas; D: um comprimido de 500 mg, de 8 em 8 horas, durante 10 dias; E: um comprimido de 500 mg, de 12 em 12 horas, durante 2 semanas. Para evitar efeitos colaterais e intoxicação, a recomendação é que a quantidade total de massa da medicação ingerida, em miligramas, seja a menor possível. Seguindo a recomendação, deve ser escolhida a opção a) A b) B c) C d) D e) E 23. (MACK) Ao preço de R$ 30,00 por caixa, uma fábrica de sorvete vende 400 caixas por semana. Cada vez que essa fábrica reduz o preço da caixa em R$ 1,00, a venda semanal aumenta em 20 caixas. Se a fábrica vender cada caixa por R$ 25,00, sua receita semanal será de a) R$ ,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ , (UEL) Seja o número natural ab, onde a e b são algarismos das dezenas e das unidades, respectivamente. Invertendo-se a posição dos algarismos a e b, obtém-se um número que excede ab em 27 unidades. Se a + b é um quadrado perfeito, então b é igual a: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) (UECE) Sejam n 1 e n 2 números naturais, sendo n 1 n 2 = 18. Se o quociente e o resto da divisão de n 1 por n 2 são, respectivamente, 5 e 2, então n 1 n 2 é igual a: a) 82 b) 84 c) 86 d) (CESGRANRIO) O resto da divisão do natural n por 12 é igual a 7. O resto da divisão de n por 4 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) (UFRJ) Determine os números naturais maiores do que zero que, divididos por 8, apresentam resto igual ao dobro do quociente. 24. (UNICAMP-modificada) Um número natural de três algarismos termina em 7. Se este último algarismo for colocado antes dos outros dois, o novo número assim formado excede de 21 o dobro do número original. Qual é o número inicial? 30. Em uma divisão, o quociente é 87, o divisor é 6 e o resto é o maior possível. Calcule o dividendo.

10 31. Determine: a) três números consecutivos cuja soma é 78. b) três números pares e consecutivos cuja soma é 114. c) três números ímpares e consecutivos cuja soma é (PUC) Se a e b são números naturais diferentes de zero, quantos naturais são maiores que ab e menores que a(b + 1)? a) nenhum b) um c) a 1 d) b 1 e) a + b O número de algarismos do produto a) 17 b) 18 c) 26 d) 34 e) é igual a: 38. (UNICAMP) A divisão de um certo número natural N por 1994 deixa resto 148. Calcule o resto da divisão de N pelo mesmo número (OBM) Qual dos números a seguir é o maior? a) 3 45 b) 9 20 c) d) e) O número de dígitos de é: a) 97 b) 98 c) 99 d) 100 e) O algarismo das unidades de é igual a: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) Para os naturais a e b, definimos a * b = a b + b a. Se 2 * x = 100, então o valor de x é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) (FATEC) Se a#b = a + b + a e a&b = b + a + b, então o valor de (3&4)#5 é: a) 27 b) 36 c) 60 d) 72 e) (CESCEA) Se m e n são números naturais e n m s(n), onde s(n) é o sucessor de n, então é sempre verdade que: a) m = n ou m = s(n) b) n < m c) m < n d) m > n + 1 e) m = n e n = s(n) 41. (UFRJ) Um número natural deixa resto 3, quando dividido por 7, e resto 5, quando dividido por 6. Qual o resto da divisão desse número por 42?

11 42. Se o resultado de é escrito na notação decimal, a soma dos algarismos deste número é: a) 219 b) 444 c) 432 d) 453 e) (URCA-CE) João e Paulo são irmãos. Quando João nasceu, o pai deles, Eduardo, tinha 21 anos. Quatro anos depois do nascimento de João, nasceu Paulo. Se hoje a soma das idades de João e de Paulo é 50 anos, a idade de Eduardo, hoje, é: a) 42 b) 44 c) 46 d) 48 e) Se a 2b = 5 então 2a 6b 4 é igual a: a) 26 b) 246 c) 242 d) 125 e) O resto de uma divisão é 6, e o divisor tem um só algarismo. Então, os possíveis divisores são: a) 7 e 8 b) 7, 8 e 9 c) 6, 7, 8 e 9 d) 7, 8, 9 e 10 e) 6, 7, 8, 9 e Considere as afirmativas: (1) Se x N então x 0 0 x é igual a zero (2) Se x = 2 e y = 3 então x y x é igual a 64 (3) Se 5 x = 2 então 5 x + 2 é igual a 50 (4) Se a = 2 x+2 então 8 x é igual a 64a 3 Então podemos afirmar que: a) todas são verdadeiras b) apenas uma é falsa c) duas são falsas d) apenas uma é verdadeira e) todas são falsas 45. Calcule a diferença y x, de forma que o número 2 x y possa ser expresso como uma potência de base 39. a) 4 b) 8 c) 9 d) 10 e) (Colégio Naval) Se x = 7 200, y = e z = , pode-se afirmar que: a) x < y < z b) x < z < y c) y < x < z d) y < z < x e) z < x < y 49. O número tem 2008 algarismos. Qual é a menor quantidade de algarismos que devem ser apagados, de modo que a soma dos algarismos que restarem seja 2008? a) 390 b) 391 c) 392 d) 393 e) Esmeralda foi escrevendo os quadrados dos números naturais positivos um em seguida ao outro forando o número e parou quando chegou ao centésimo algarismo. Qual foi o último algarismo que ela escreveu? a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) Um certo número natural positivo, quando dividido por 15 dá resto 7. Qual é a soma dos restos das divisões desse número por 3 e por 5? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) (EPCAR) Considere a = 11 50, b = e c = e assinale a alternativa correta. a) c < a < b b) c < b < a c) a < b < c d) a < c < b

12 53. Caio gastou todo o dinheiro que tinha no bolso em quatro lojas. Em cada uma gastou um real a mais do que a metade do que tinha ao entrar na loja. Quanto dinheiro Caio tinha ao entrar na primeira loja? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) (ITA) Deseja-se trocar uma moeda de 25 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos. Então, o número de diferentes maneiras em que a moeda de 25 centavos pode ser trocada é igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) Se multiplicarmos todos os naturais menores que 2011 que não são múltiplos de 5, qual será o algarismo das unidades do número obtido? a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) Felipe começa a escrever números naturais em uma folha de papel muito grande, uma linha após a outra, como mostrado a seguir: 59. Qual é o algarismo da ordem das unidades simples do numeral correspondente ao produto da multiplicação escrito com os algarismos do Sistema Decimal de Numeração? a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 e) Considerando que Filipe mantenha o padrão adotado em todas as linhas, determine quantos números naturais ele escreverá na 50ª linha? a) 98 b) 99 c) 100 d) 101 e) Sônia Calculou a média aritmética de dois números de dois algarismos e obteve 98. Qual é a diferença entre esses números? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) um número maior que Qual o valor da expressão numérica: a) 2 b) 3 c) 8 d) 6 e) 11 [ (2 4 8) 2] [2 2 (3 2)] GABARITO a) 650 gramas; b) 100 gramas 03. A 04. E 05. D A 08. D 09. C 10. C 11. E 12. C 13. C 14. C 15. D 16. B 17. B 18. B 19. B 20. D , 80 e 160 selos 22. E 23. C D 27. D 28. D , 20, a) 25, 26, 27 b) 36, 38, 40, c) 17, 19, B 33. E 34. C 35. E 36. E 37. C A 40. A B 43. B 44. D 45. B 46. C 47. D 48. B 49. C 50. A 51. B 52. A 53. C 54. C 55. B 56. B 57. D 58. D 59. C