1 Gabarito da Lista 1

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1 1 Gabarito da Lista Questão Letra a) Diz-se que um mercado é eficiente se seu preço é a esperança dos dividendos futuros, trazido a valor presente, usando toda a informação disponível. Pode-se dividir a eficicência em fraca, semiforte e forte de acordno com a informação que se considera para a formação do preço. A efiniência fraca requer apenas que as informações de preços passados sejam usadas. A semi-forte requer que toda a informação disponível publicamente seja aplicada e a eficiência forte considera a informação pública e privada (como aconteceria se exisitissem insiders) Letra b) Não, pois se todos conhecem todas as informações disponíveis, estas já estariam refletidas no preço Letra c) Diferença no preço de ações negociadas em mercados diferentes mas que tem o fluxo de caixa proporcional como no caso das açõe da Shell e da Royal Dutch Letra d) Esta frase está de acordo com a hipótese de mercados eficicientes, ou seja, que toda informação já está refletida no preço. No entanto, evidências empíricas de under-reaction contradizem esta afirmação. Por exemplo, constatou-se no mercado americano que os preços das ações de empresas com resultados positivos tendem a continuar crescer por um certo tempo. Ou seja, o preço continua a mudar, mesmo sem informação relevante nova. Um outro exemplo seria a inclusão da ação em algum índice. Em geral, esta inclusão não é causada por informação nova sobre os fundamentos da empresa (de modo mais preciso, o evento que levou a empresa a ser incluida no índice, como uma maior liquidez, pode ter ocorrido meses antes da sua inclusão). No entanto, verifica-se em alguns mercados que a inclusão ou a exclusão no índice tem impacto no preço. 1

2 1. Questão a) Overreaction: Ações perdedoras no longo prazo se tornam vencedoras no longo prazo e vice-versa. Um exemplo é o ordenamento das ações com base no desempenho dos três anos anteriores e formando uma carteira com 35 ações vencedoras e 35 ações perdedoras. Podemos definir este efeito também como: P (r t = bom z t 1 = bom, z t = bom,..., z t j = bom) < < P (r t = bom z t 1 = ruim, z t = ruim,..., z t j = ruim) Onde z t i são informações relevantes para a formação do preço do ativo. É como se os ativos com um histórico de crescimento fizessem as pessoas acreditar que este crescimento continuará sem levar em conta a possibilidades deste histórico ter ocorrido por obra do acaso. Underreaction (Momentum): É o efeito inverso ao overreaction, porém a formação de carteira se utiliza de horizontes de tempo mais curto. Jagadeesh e Titman (1993) acham este fenômeno selecionando carteiras olhando os preços em até um ano. Uma outra forma de definir seria P (r t = bom z t 1 = bom) > P (r t = bom z t 1 = ruim) Deste modo, pode-se interpretar como sendo uma demora para o preço absorver completamente a informação nova. Informação que não diz respeito aos fundamentos implicar mudança: A definição vem da própria frase (quando escrita de maneira clara). Um exemplo é a inclusão de ações no índice S&P 500. de preço Carteiras Value: Todas são estratégias que geram anomalias no sentido de gerar retornos em excesso. Um exemplo são as carteiras formadas por book-to-market. b) A evidência favorável seria achar o valor de α próximo de r f (1 β p ). Inversamente, seria uma evidência desfavorável se achássemos valores significativamente diferentes de r f (1 β p ). c) Pela teoria da eficiência dos mercados, todas as informações já estariam refletidas no preço. Deste modo, os retornos ajustados ao risco deveria ser não previsível. Uma forma de verificar esta afirmação seria fazer o teste da raiz unitária. Neste caso, poderia ser feito o teste de Dick-Fuller que usaria uma regressão do tipo 1.3 Questão 3 P t = a + δp t 1 + e t Letra a) Para achar a demanda de um indivíduo devemos maximizar a função abaixo arg z max{e[ e (γ)w ]} s.a.

3 W = (W 1 zp 1 ) + zv onde v tem distribuição normal N(F, σ ε) Note que e (γ)w é uma variável aleatória com distribuição lognormal. Deste modo: Por fim: E[ e (γ)w ] = exp{e[ (γ)w ] + 1 V ar( (γ)w )} E[ (γ)w ] = E{ (γ)[(w 1 zp 1 ) + zv]} = (γ)[(w 1 zp 1 ) + zf ] V ar( (γ)w ) = 4γ V ar(w ) = 4γ z σ ε E[ e (γ)w ] = exp{ (γ)[(w 1 zp 1 ) + zf ] + 1 4γ z σ ε} Podemos simplificar a tarefa de maximizar a função acima. Note que maximizar E[ e (γ)w ] é o mesmo que minimizar E[e (γ)w ]. Transformações estritamente crescente da função objetivo não alteram a ordenação (por exemplo, f(x) > f(y) ln f(x) > ln g(x)) e portanto deixam o arg min inalterado. Deste modo arg z min{e[e (γ)w ]} = arg z min{ln(e[e (γ)w ])} = arg z min{ln exp{ (γ)e[w ] + 1 4γ V ar(w )} = arg z min{ (γ)[e t W ] + 1 4γ V ar(w )} = arg z max{(γ)[e t W ] 1 4γ V ar(w )} = arg z max{(γ)[(w 1 zp 1 ) + zf ] 1 4γ z σ ε} A última igualdade segue da troca de sinais. Este novo problema é equivalente ao anterior, porém pe muito mais fácil de revolver, bastando aplicar a condição de primeira ordem. Obseve que a condição de segunda ordem é satisfeita pois a função objetivo é côncava - para ver isto basta derivar duas vezes e notar que o resultado é sempre negativo e igual a 4λ σε. L = γ[(w 1 zp 1 ) + zf ] 1 4γ z σ ε d dz L = 0 (C.P.O.) d dz L = γ(f p 1) 4γ σεz = 0 z = γ(f p 1) 4γ σ ε = (F p 1) γσ ε Esta é a demanda de um indivíduo. Como os agentes são iguais, a demanda agregada é igual a demanda individual vezes o número de indivíduos. Para achar o preço basta igualar a demanda agregada com a oferta agregada. Esta última é fixa e igual a Q. Assim: 3

4 nz = Q γσε = Q nf np 1 = Qγσ ε nf + np 1 = Qγσε np 1 = Qγσε + nf p 1 = F Qγσ ε/n 1.3. Letra b) O prêmio de risco é Qγσε/n. Ela depende de: Quantidade ofertada Q : Dado que a oferta é fixa, quanto maior a oferta menor deverá ser o preço para que o mercado a absorva. Aversão ao risco γ: Quanto maior aversão ao risco do agente, maior deve ser o preço para que os indivíduos absorvam a oferta. Variância do ativo σε: Quanto maior a variância, mais os indivíduos evitam este ativo pois são avessos ao risco (γ > 0). Assim, exigem um preço menor para absorver a oferta. O número de indivíduos: Dado que o ativo paga, em média, mais do que o ativo livre de risco (F > r = 0), sempre há uma demanda por parte dos agente (isto é um resultado da teoria microeconomica). Além disto, os agentes demandam apenas olhando os fundamentos do ativo (a distribuição de seu payoff) e seu preço. Portanto, quanto mais indíviduos, menor será o preço necessário para o mercado absorver a oferta Letra c) Os Noise Traders percebem a esperança do ativo de maneira diferente. O problema é o mesmo que a da letra a, exceto que devemos trocar F por F + θ. Assim, a demanda deste novo agente é: Agora, a demanda agregada é: Igualando a oferta: z n = (F + θ p 1) γσ ε γσ ε + (F + θ p 1) γσ ε γσ ε + (F + θ p 1) γσ ε = Q n(f p 1 ) (F + θ p 1 ) = Qγσ ε (n + 1)F θ + (n + 1)p 1 = Qγσε (n + 1)p 1 = Qγσε θ + (n + 1)F 4

5 p 1 = F Qγσ ε θ n + 1 Uma primeira mudança é que há mais um agente para absorver a oferta (isto é refletido na mudança de n para n + 1), o que força a diminuição de preço. Mas o fator mais relevantes é que a presença do noise trader faz com que o preço seja maior caso ele seja otimisa (θ > 0). Ou seja, se ele é otimista, sua demanda é maior que as dos agentes racionais. Isto leva a uma maior demanda agregada, o que faz pressão para aumentar os preços Letra d) O retorno (líquido) de um ativo é definido como: r t+1 = p t+1 + D t+1 p t 1 Onde p denota preços e D, dividendos. No caso do ativo acima, ele não pode ser revendido. Portanto p t+1 = 0 e D t+1 = v. Sendo assim, o retorno esperado é: E(r ) = F F Qγσ ε θ 1 = F F + Qγσ ε θ F Qγσ ε θ = Qγσ ε θ F Qγσ ε θ Assim, para θ < Qγσ ε teremos um retorno positivo. No entanto, isto não significa bater o mercado pois este retorno médio positivo reflete apenas o ganho em carregar risco. (note que o retorno pode ser negativo e, portanto, este ativo não domina estritamente o ativo livre de risco). 5