Lista de Exercícios 2

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1 FGV RJ / EPGE Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Gerenciamento de Investimentos Professor: Marcos Antonio C. da Silveira Lista de Exercícios 2 Orientação: Recomenda-se fortemente a formação de grupos para discussão da lista. No entanto, cada aluno deve ser capaz de resolvê-la individualmente A lista aborda diretamente as prinicipais questões examinadas no curso. Desta forma, sua solução deve ser feita paralelamente ao estudo da matéria. A lista é uma boa orientação para os exames Prazo de entrega: dia do primeiro exame Questão 1: Suponhauminvestidoralocandosuariquezaentreumativocomriscoeoutro ativosemrisco. Suponhaqueoretornobrutodecurtoprazodoativocomriscoélognormal. a) O retorno da riqueza no curto prazo herda esta propriedade? b) Se não, como esta variável pode ser aproximada por uma distribuição lognormal? c) Derive expressões aproximadas para o trade-off retorno-variância enfrentado pelo investidor no curto prazo. Questão 2: Suponha também no exercício acima retornos serialmente IID e utilidade da riqueza especificada como função potência. a) O retorno de longo prazo da riqueza é aproximadamente lognormal? b) Derive expressões aproximadas para o trade-off retorno-variância enfrentado pelo investidor no longo prazo? 1

2 Questão 3: Suponha um investidor com horizonte de um período que resolve o seguinte problema de alocação de portifólio entre um ativo com risco e outro ativo sem risco: max α t E t [U(W t+1 )] onde sujeito à restrição orçamentária: U(W t+1 )= W 1 γ t+1 1 γ W t+1 = (1+R p,t+1 ) W t R p,t+1 = α t R t+1 +(1 α t ) R f,t+1 = R f,t+1 + α t (R t+1 R f,t+1 ) onde: W t : riqueza do investidor em t α t : participação (%) da riqueza investida no ativo com risco R t+1 : retorno líquido do ativo com risco R f,t+1 : retorno líquido do ativo sem risco R p,t+1 : retorno líquido do portifólio a) Sob que condições a análise de média-variância de Markowitch é exatamente um caso particular deste problema de alocação de portifólio? Estas condições são realistas? b) Que condições consistentes com a evidência empírica tornam a análise de média-variância aproximadamente compatível com o problema de decisão acima? Neste caso, como este problema é aproximado e qual a solução de portifólio? c) Determine o coeficiente de aversão relativa ao risco do investidor. Que condição precisa satisfazer para garantir avessão ao risco? Qual o efeito da renda inicial W t sobre a alocação ótima? Explique d) Qual o efeito de cada um destes parâmetros sobre a alocação ótima? prêmio de risco do ativo com risco variância do retorno do ativo com risco grau de aversão ao risco do investidor. 2

3 Questão 4: Considere um investidor de longo prazo que precisa decidir como alocar sua riqueza inicial entre dois ativos: um sem risco e outro com risco. O investidor enfrenta o seguinte problema de decisão de portifólio: com γ>0, sujeito à restrição orçamentária max E t α Kt " # W 1 γ t+k 1 γ α Kt (α t,α t+1,..., α t+k 1 ) W t+k = (1+R pk,t+k ) W t 1+R pk,t+k (1 + R p,t+1 )(1+R p,t+2 )... (1 + R p,t+k ) R p,t+k = R f,t+1 + α t+k 1 (R t+k R f,t+k ), k =1, 2,..., K Suponha que os retornos de curto prazo são lognormais e serialmente IID (oportunidades de investimento constantes no tempo). a) Se existe possibilidade.de rebalanceamento de portifólio no curto prazo, demonstre rigorosamente que a alocação de portifólio deste investidor permanece constante no tempo e é igual a alocação do investidor de curto prazo. Sugestão: faça isto respondendo as três perguntas abaixo em sequência: Porqueaalocaçãoótimadeportifólionãovariaestocasticamenteaolongodotempo? Porque a alocação ótima de portifólio permanece constante no tempo? Porque a alocação ótima de portifólio é míope? b) Suponha agora que não existe possibilidade de rebalanceamento de portifólio no curto prazo. Como a alocação ótima neste caso difere da alocação ótima da questão anterior. Justifique. 3

4 Questão 5: Numa economia com um ativo com risco e outro sem risco, um investidor de longo prazo escolhe seu plano de consumo e alocação de portifólio de forma a maximizar a função de utilidade intertemporal E t X k=0 δi U (C t+k ) com 0 <δ<1, tal que a utilidade do período é dada por U (C t+k )= C1 γ t+k 1 γ com γ>0, sujeito à restrição orçamentária intertemporal W t+k =(1+R p,t+k )(W t+k 1 C t+k 1 ); k =0, 1, 2, 3, 4,... (1) onde W t+k e C t+k são a riqueza e o consumo em t+k, enquanto o retorno do portifólio R p,t+k entret+k-1et+kédadopor R p,t+k = R f,t+k + α t+k 1 (R t+k R f,t+k ); k =0, 1, 2, 3, 4,... (2) onde R t+k e R f,t+k são os retornos dos ativos com risco e sem risco e α t+k 1 éaproporçãoda riqueza investida no ativo com risco em t+k-1. Supondo que o consumo C t+k e o retorno bruto do ativo com risco 1+R t+k têm uma distribuição conjunta lognormal, pode-se demonstrar que a escolha ótima satisfaz às condições marginais loglinearizadas: E t [ c t+1 ] = δ γ + 1 γ r f,t+1 + γ 2 σ2 ct (3) onde E t [r t+1 ] r f,t+1 + σ2 t 2 = γcov t (r t+1, c t+1 ) (4) c t+1 c t+1 c t r t+1 ln {1+R t+1 } ; r f,t+1 ln {1+R f,t+1 } ; c t ln C t σ 2 t Var t [r t+1 ] σ 2 ct Var t [c t+1 ] a) As equações (3) e (4) acima são derivadas a partir de que condição marginal de otimização? Qual a intuição por trás desta condição? b) Explique intuitivamente o efeito de um aumento no fator de desconto subjetivo δ edataxa de juros r f,t+1 sobre a poupança. c) Qual o coeficiente de aversão relativa ao risco e a elasticidade intertemporal de substituição? d) Que parâmetro determina o impacto do preço relativo do consumo futuro (em termos de consumo presente) sobre a transferência intertemporal de recursos? É razoável que este parâmetro cumpra esta função no modelo? 4

5 e) Use os resultados acima para comentar a seguinte afirmação: "O retorno das ações é bem mais volátil que o da caderneta de poupança (ativo livre de risco), razão pela qual o mercado demanda um retorno esperado relativamente mais elevado das ações". f) Suponha um ativo financeiro que ofereça retornos reais mais elevados quando a economia entra em recessão e retornos mais baixos quando a economia entra em recessão. Como deve se comportar o prêmio de risco deste ativo? g) Supondo constantes os segundos momentos (variâncias e covariâncias) do retornos dos ativos e do consumo, use os resultados acima para explicar o efeito de um aumento do grau de aversão ao risco do mercado sobre o prêmio de risco das ações h) Explique intuitivamente como e porque um aumento na variância do consumo futuro σ 2 ct afeta a taxa esperada de crescimento do consumo. Como este efeito se relaciona com a poupança precaucionária? 5

6 Questão 6: Numa economia com um ativo com risco e outro sem risco, um investidor de longo prazo escolhe seu plano de consumo e alocação de portifólio de forma a maximizar a função de utilidade intertemporal Epstein-Zin U t = n(1 δ)c 1 γ θ t θ 1 γ 1 1, ψ + δe t U 1 γ t+1 1 o θ 1 γ θ, sujeito à restrição orçamentária intertemporal (ROI) tal que W t+k =(1+R p,t+k )(W t+k 1 C t+k 1 ); k =0, 1, 2, 3,... R p,t+k = R f,t+k + α t+k 1 (R t+k R f,t+k ); k =0, 1, 2, 3,... onde todas as variáveis estão definidas como na pergunta anterior. Supondo que o consumo e o retorno bruto do ativo com risco têm uma distribuição conjunta lognormal, pode-se demonstrar que a escolha ótima satisfa às condições marginais loglinearizadas: E t [r t+1 ] r f,t+1 + σ2 t 2 E t [ c t+1 ] = ψ ln δ + ψe t [r p,t+1 ]+ θ 2ψ Var t [ c t+1 ψr p,t+1 ] (5) = Cov t (r t+1, c t+1 ) ψ θ 1 γ 1 1 ψ +(1 θ)cov t (r t+1,r p,t+1 ) (6) (a) Que parâmetro do modelo determina o tamanho do efeito de um aumento na taxa esperada de retorno dos ativos financeiros sobre a poupança corrente. Intuitivamente, como este parâmetro se relaciona com a preferência do investidor por suavização intertemporal de consumo? (b) Que parâmetro do modelo é mais determinante na decisão de alocação de portifólio do investidor? Justifique sua resposta. (c) Existe alguma razão econômica para os parâmetros das perguntas (a) e (b) estarem relacionados. Justifique sua resposta esclarecendo as funções destes parâmetros no modelo. (d) Derive as condições marginais (5) e (6) no caso particular da função potência. (e) Porque a utilidade intertemporal com função potência é menos apropriada que a função Epstein-Zin para descrever as preferências do investidor. (e) Diante da desaceleração do nível de atividade da economia norte-americana, o FED decide reduzir a taxa de juros básica da economia. Supondo que o prêmio de risco dos ativos com risco permanece constante no tempo, explique a racionalidade desta medida com base nos resultados acima. O que os parâmetros das perguntas (a) e (b) informam quanto à eficiência desta medida de política econômica? 6

7 Questão 7: Considere o investidor de longo prazo do cap.3, Campbell & Viceira. Suponha que existem apenas dois ativos: um ativo sem risco e outro com risco. Loglinarizando a restrição orçamentária do investidor deste longo prazo, chega-se à expressão: hx i c t w t = E t j=1 ρk (r p,t+j c t+j ) + ρk (7) 1 ρ Um pouco mais de álgebra e chegamos à expressão: A z } { c t+1 E t [c t+1 ] = B z } { (E t+1 E t )[r p,t+1 ] (8) C z hx } { i z hx } { i + (E t+1 E t ) j=1 ρj r p,t+1+j (E t+1 E t ) j=1 ρj c t+1+j D a) Com base no resultado (7), quais as contrapartidas de um aumento no consumo corrente c t, supondo fixa a riqueza corrente w t? b) Explique a intuição econômica por trás da equação (8), enfatizando o impacto de seus componentes (B), (C) e (D) sobre o choque no consumo. Questão 8: Seja o problema de decisão de portifólio da Questão 6. Pode-se então substituir o resultado (5) na restrição intertemporal (7), chegando ao resultado z hx } { i c t w t =(1 ψ) E t j=1 ρj r p,t+j + A ρ (k µ) 1 ρ (9) Novamente, um pouco mais de álgebra e chega-se à expressão: z hx } { i c t+1 E t [c t+1 ]=r p,t+1 E t [r p,t+1 ]+(1 ψ)(e t+1 E t ) j=1 ρj r p,t+1+j A (10) a) Interprete o termo (A) nas duas equações acima b) Explique intuitivamente de que forma o parâmetro ψ afeta o impacto de um aumento no termo (A) sobre o consumo corrente na eq.(9) e sobre o choque no consumo na eq.(10) 7

8 Questão 9: SejaoproblemadedecisãodeportifóliodaQuestão6. Comonocap.3Campbell&Viceira, suponha que as mudanças nas oportunidades de investimento decorrem unicamente de flutuações na taxa de juros livre de risco. Neste caso, a regra ótima de portifólio do investidor é dada pela equação ˆα t = A z } { 1 E t [r t+1 ] r f,t+1 + σ2 t 2 γ σ 2 t z } hx { µ ii Covt hr t+1, (E t+1 E t ) j=1 ρj r f,t+1+j γ B σ 2 t (11) onde ˆα t é a proporção ótima alocada no ativo com risco. Considere γ>1. a) Derive o resultado (11) a partir da substituição da eq. (10) na eq. (6). b) Interprete os componentes (A) e (B) da demanda ótima pelo ativo com risco. c)acovariâncianaeq. (11)mostracomooretornodoativoc/riscovariacomaexpectativa das oportunidade de investimento da economia. Explique porque a demanda ótima pelo ativo com risco é maior ou menor que a demanda míope nos seguintes casos: investidor muito avesso ao risco (γ >1) eretornor t+1 correlacionado positivamente com oportunidades de investimento investidor muito avesso ao risco (γ >1) eretornor t+1 correlacionado negativamente com oportunidades de investimento investidor pouco avesso ao risco (0 <γ<1) eretornor t+1 correlacionado positivamente com oportunidades de investimento investidor pouco avesso ao risco (0 <γ<1) e retorno r t+1 correlacionado negativamente com oportunidades de investimento d) Suponha que o prêmio de risco de curto prazo é negativo. Neste caso, porque a demanda total ótima do investidor de longo prazo pelo ativo com risco poderia ser ainda positiva? e) Explique o impacto de um aumento no parâmetro γ sobre os componentes (A) e (B). f) Que condições são suficientesp/queademandaótimasejasempreigualàdemandamíope? g) Suponha que o ativo com risco é o dólar. Um investidor de longo prazo muito avesso ao risco deve manter uma posição em dólar maior ou menor que a demanda míope? Dica: o que acontece com a taxa de câmbio quando o mercado revê para cima sua expectativa quanto à trajetória da taxa de juros doméstica? h) O que acontece quando γ?. Seja um investidor alocando sua riqueza entre um ativo livre de risco no curto prazo e uma perpetuidade. Prove que um investidor de longo prazo extremamente avesso ao risco aloca toda sua riqueza na perpetuidade. 8