Econometria Espacial Aula 2: Matrizes de pesos espaciais

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1 Econometria Espacial Aula 2: André Luis Squarize Chagas 16 de março de 2016

2 Agenda Agenda Agenda Escolha da matriz W Matrizes endógenas

3 Matrizes de vizinhança Critérios usuais de vizinhança são distância ou contiguidade. Contiguidade refere-se à posição de uma unidade no espaço relativa a todas as demais. Medidas de contiguidade levam em conta o tamanho e a posição da fronteira entre duas localidades distintas. Um critério de vizinhança usando a contiguidade seria chamar de vizinhas localidades que obedeçam ao critério de contiguidade e não-vizinhas as que não o satisfaçam.

4 Matrizes de vizinhança No critério de distância, consideram-se vizinhos aquelas localidades que se encontram a uma distância máxima pré-estabelecida Pode-se ainda considerar o inverso da distância e atribuir pesos de vizinhança proporcionais à distância inversa. Outros critérios de vizinhança Fluxo de comércio Distância ponderada por fatores qualidade da estrada tamanho populacional etc.

5 Matrizes de vizinhança Considere a figura a seguir Figura: Regiões fictícias Nessa representação pode-se estabelecer as relações de vizinhança por contiguidade, entre as várias regiões. Assim, a região R1 tem por vizinho apenas a região R2; A Região R2 tem por vizinhos as regiões R1 e R3; E assim por diante

6 Matrizes de vizinhança Pode-se representar essas relações de vizinhança em uma matriz de vizinhança C = R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R R R R R R R (1)

7 Matrizes de vizinhança Algumas características importantes da matriz de vizinhança Atribui-se zero para a própria região uma região não é vizinha de si mesma Atribui-se zero para regiões que não são vizinhas Atribui-se números diferentes de zero para regiões vizinhas no critério de contiguidade, atribui-se 1 para vizinhos e 0 para não vizinhos em outros critérios, os valores para vizinhos podem ser diferentes de 1

8 Matrizes de vizinhança Considere essa outra figura Figura: regiões fictícias

9 Matrizes de vizinhança Nesse caso, outros critérios de vizinhança podem ser estabelecidos Contiguidade linear define c rs = 1 para todas aquelas localidades s que possuem fronteira comum, de tamanho significativamente maior que 0, à direita ou à esquerda de r (região de interesse); e c rs = 0 para as demais localidades. No nosso exemplo, para a região 1, teríamos todos os elementos c 1s = 0, para s = 1,..., 5 C = Figura: regiões fictícias R1 R2 R3 R4 R5 R R R R R

10 Matrizes de vizinhança Contiguidade rook define c rs = 1 para todas aquelas localidades s que possuem fronteira comum, de tamanho significativamente maior que zero, à leste, oeste, norte ou sul de r (região de interesse); e c rs = 0 para as demais localidades. No nosso exemplo, para a região 1, teríamos todos os elementos c 1s = 0, para s = 1,..., 5 C = Figura: regiões fictícias R1 R2 R3 R4 R5 R R R R R

11 Matrizes de vizinhança Contiguidade bishop define c rs = 1 para todas aquelas localidades s que possuem um vértice comum a r (região de interesse); e c rs = 0 para as demais localidades. No nosso exemplo, apenas as regiões 2 e 3 têm vértice comum Figura: regiões fictícias C = R1 R2 R3 R4 R5 R R R R R

12 Matrizes de vizinhança Contiguidade queen define c rs = 1 para todas aquelas localidades s que possuam fronteira ou vértice comum a r (região de interesse); e c rs = 0 para as demais localidades. combina a contiguidade rook com a bishop Figura: regiões fictícias C = R1 R2 R3 R4 R5 R R R R R

13 Matrizes de vizinhança Outras matrizes de vizinhança matrizes binárias matrizes de distância máxima número máximo de vizinhos (k-nearest vizinhos) matrizes bloco diagonais, onde cada bloco representa um grupo de unidades espaciais que interagem entre si, mas não com outras unidades de outros grupos graus de vizinhança distância inversa c rs = 1/drs, θ com d rs a distância entre as localidades r e s e θ > 0. distância econômica fluxo de comércio tempo de deslocamento número de ligações telefônicas tamanho da fronteira comum

14 Algumas restrições precisam ser impostas à matriz de vizinhança no caso de modelos econométricos. Essas condições asseguram a estacionariedade de processos espaciais autoregressivos. Em geral, a padronização da matriz de vizinhança assegura essas restrições. Diferentes critérios de padronização são encontrados na literatura de econometria espacial. Entre as mais utilizadas encontram-se: Padronização pelo somatório da linha Padronização pelo máximo autovalor Outras padronizações

15 A matriz de pesos espaciais W é uma matriz não-negativa de constantes conhecidas. Os elementos da diagonal são fixados em zero por hipótese, uma vez que nenhuma unidade espacial pode ser vizinha de si própria. A matriz (I n δw) é não singular I n é a matriz identidade de ordem n e δ representa um parâmetro autoregressivo a ser estimado. Caso a matriz W seja simétrica, então (I n δw) será nãosingular, uma vez que δ estará no interior de (1/ω min, 1/ω max ), onde ω min representa o menor (ou seja, o mais negativo) autovalor de W e ω max, o maior autovalor.

16 Se W é padronizado, o intervalo se torna (1/ω min, 1), pois o maior autovalor de W é igual a 1, nessa situação. Caso W seja uma matriz padronizada assimétrica, pode ter autovalores complexos. LeSage e Pace (2009) mostram que, nesse caso, δ estará contido no intervalo (1/r min, 1), onde r denota a parte real do menor autor valor de W.

17 Adicionalmente, deve valer: (a) as somas de linhas e colunas das matrizes W e (I n δw) (antes da padronização de W) devem ser uniformemente limitadas em valor absoluto, na medida em que n tende ao infinito, ou (b) a soma das linhas e colunas de W (antes de sua padronização) não devem divergir para o infinito a uma taxa igual ou maior que a taxa de crescimento do tamanho da amostra, n. A primeira condição decorre de Keleijian e Prucha (1998 e 1999) e a segunda de Lee (2004).

18 As duas condições limitam a correlação na cross-section, entre as unidades, ou seja, na media em que a distância entre duas unidades aumenta, a correlação entre elas converge a zero. Quando a matriz de pesos espaciais é uma matriz de contiguidade binária de ordem p e p é pequeno, (a) está satisfeito. Nessa situação, normalmente, nenhuma unidade tem mais do que um número limitado (k) de vizinhos, então (b) também é satisfeita

19 Por outro lado, quando a matriz de pesos espaciais é do tipo distância inversa, (a) pode não ser satisfeita Para ver isso, considere o seguinte caso: Um infinito número de unidades espaciais é arranjado linearmente Seja a distância ao primeiro vizinho à esquerda e à direita igual a d; ao segundo vizinho à esquerda e à direita igual a 2d, e assim por diante Quando W é uma matriz de distância inversa, e os elementos fora da diagonal principal são iguais a 1/d ij, onde d ij é a distância entre duas unidades espaciais i e j, então cada linha soma 2 (1/d + 1/2d + 1/3d + ), representando uma série de soma não finita

20 Essa é uma das razões pelas quais algumas aplicações introduzem um cut-off point, d, tal que se d ij > d, w ij = 0. Uma outra possibilidade é padronizar os pesos obtidos pela aplicação da distância inversa, dividindo-os pelo número de observações. Como [2 (1/d + 1/2d + 1/3d + )]/n 0, quando n, a condição (b) é satisfeita nesse caso Portanto, mesmo uma matriz de distância inversa sem um cut-off point não necessariamente precisa ser excluída de estudos empíricos por razões de consistência

21 No entanto, uma matriz de distância inversa é difícil de tratar por outros motivos, levando a problemas numéricos ou resultados inesperados em aplicações empíricas. Isto ocorre porque o número de unidades na amostra geralmente não vai para o infinito, mas é finito. Ocorre também porque a matriz de pesos espaciais deixa de ser uma matriz esparsa, levando a problemas computacionais.

22 Outra situação ocorre quando todas as unidades cross-section são vizinhas e são dados pesos iguais. Nesse caso, todos os elementos fora da diagonal principal são w ij = 1. Portanto, as linhas e colunas somam (n 1) Essa soma diverge para o infinito quando n Adicionalmente, (n 1)/n 1 quando n, ao invés de zero. Portanto, essa matriz não satisfaz nem (a) e nem (b)

23 Uma alternativa é considerar uma matriz de interações de grupo (Case, 1991) Suponha que há G grupos e que há ng unidades em cada grupo. Seja wij /(n G 1) se a unidade i e j estão no mesmo grupo, e zero caso contrário. Se n e G tendem ao infinito, com no mínimo duas unidades em cada grupo, ou se o número de unidades em cada grupo não tende ao infinito mais rápido (ou igual) ao número de grupos, a condição (b) é restaurada (Lee, 2007).

24 Matriz linha padronizada / coluna padronizada Transformação row-standartization da matriz de vizinhança: linhas somam um. Como todos os elementos da matriz de vizinhança são positivos, essa normalização assegura que a matriz W terá pesos entre 0 e 1. Uma alternativa, pouco utilizada, é normalizar pelo somatório da coluna Os elementos da coluna, de uma matriz de vizinhança, representam o impacto de uma unidade particular em todas as outras unidades Já os elementos da linha, representam o impacto de todas as outras unidades em uma unidade particular Consequentemente, a normalização na linha tende a equalizar o impacto de todas as outras unidades em uma particular, ao passo que a normalização na coluna equaliza o impacto de cada unidade particular em todas as outras

25 Matriz linha padronizada Considere o caso do nosso primeiro exemplo C = R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R R R R R R R A padronização pela linha fica W = R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R R2 1/2 0 1/ R3 0 1/2 0 1/ R /2 0 1/2 0 0 R /2 0 1/2 0 R /2 0 1/2 R (2)

26 Matriz linha padronizada Embora a padronização na linha seja muito usual nos trabalhos aplicados, ela não é isenta de crítica Keleijian e Prucha (2010) mostram que a normalização dos elementos de uma matriz de pesos espaciais por um fator diferente para cada linha, em oposição a um único fator, pode conduzir a má especificação do modelo Este problema ocorre especialmente quando a matriz de distância inversa é linha padronizada, porque sua interpretação econômica em termos de decaimento proporcional à distância deixa de ser válido (Anselin 1988).

27 Matriz linha padronizada Há no mínimo duas razões para isso. A primeira de todas é que ao normalizar pela linha, uma matriz de distância inversa pode se tornar assimétrica e, como consequência, o impacto da unidade i na unidade j não será o mesmo impacto da unidade j na unidade i. A segunda razão é que regiões centrais e regiões remotas podem terminar com o mesmo peso, após a padronização pela linha, independente de sua localização relativa.

28 Matriz linha padronizada O seguinte exemplo ilustra esse segundo caso (Elhorst, 2014): Considere duas unidades espaciais, ambas com dois vizinhos. Ademais, uma das localidades é central e a outra unidade, remota. A distância da primeira unidade para seus vizinhos é d, enquanto que a distância da segunda unidade para os seus vizinhos é um múltiplo de d. Apesar dessa diferença na localização, as entradas na matriz de distância inversa descrevendo o arranjo espacial das unidades da amostra será 1/2 em ambos os casos, desde que a matriz de pesos espacial seja linha padronizada.

29 Padronização pelo maior autovalor Denote por W 0 a matriz de pesos espaciais antes da normalização: Elhorst (2001) e Keleijian e Prucha (2010) sugerem uma padronização em que cada elemento de W 0 seja dividido pelo seu maior autovalor, r 0,max (em que r representa o maior autovalor, ou a parte real do maior autovalor, para o caso de matrizes assimétricas, com autovalores complexos). Ou seja W = 1 r 0,max W 0

30 Padronização pelo maior autovalor Essa padronização assegura que os autovalores de W 0 serão divididas por r 0,max, portanto, o maior autovalor de W será igual a 1, (r max = 1), como no caso de uma matriz linha padronizada No entanto, essa padronização não assegura que o menor autovalor após a padronização seja o mesmo de uma matriz linha padronizada Caso a matriz W 0 seja simétrica, essa padronização assegurará que W também seja simétrica. Caso W 0 seja uma matriz de pesos proporcionais à distância inversa entre duas unidades i e j, essa operação assegura que unidades com pesos maiores antes da padronização permanecerão com pesos maiores após a padronização.

31 Outras padronizações Outra possível transformação, proposta por Ord(1975): Tome D, uma matriz diagonal contendo a soma das linhas da matriz W 0 em sua diagonal principal. Considere a transformação W = D 1/2 W 0 D 1/2 Essa padronização resulta em uma matriz simétrica, com autovalores iguais aos de uma matriz linha padronizada. Ademais, essa matriz também mantém a proporcionalidade entre os elementos de W com respeito a W 0. Como essa matriz assegura que os autovalores de W e W 0 serão iguais, LeSage e Pace (2009) recomendam a aplicação da matriz W 0 para fins de construção das variáveis independentes (caso de um modelo SDM, por exemplo) e a aplicação de W para o cálculo do coeficiente espacial (ρ, por exemplo), sobretudo em um modelo de máxima verossimilhança.

32 Matrizes de vizinhança relações de vizinhança de ordem superior: vizinhos dos vizinhos W 2 = W W = (3) W 3 = W 2 W = (4)

33 Escolha da matriz W Escolha da matriz W Um ponto de crítica aos modelos espaciais baseia-se no fato de que a matriz W não é estimada, mas necessita ser especificada Não há problema nessa especificação se Há suficiente garantias que os pesos espaciais são exógenos Há suficiente motivação teórica para a matriz adotada

34 Escolha da matriz W Escolha da matriz W Assumindo que o primeiro ponto é satisfeito, o que ainda é muito usual nos estudos aplicados é investigar a robustez dos resultados frente diferentes matrizes W Um erro comum, é comparar apenas os resultados dos parâmetros β e θ em modelos SAR ou SDM Essa comparação não faz sentido, na medida em que são os feitos marginais que são relevantes Para captar esse ponto, pense em duas matrizes de pesos espaciais em que uma é linha normalizada e que a outra é obtida multiplicando-se a primeira por 1/2 É esperado que o parâmetro espacial da segunda estimativa seja duas vezes maior que o da primeira, mas os efeitos marginais serão os mesmos, em ambos os casos

35 Escolha da matriz W Escolha da matriz W Stakhovych e Bijimol (2009), em um estudo de Monte Carlo, encontram que um procedimento de seleção matrizes baseado em algum critério de goodness-of-fit aumentam a probabilidade de encontrar a verdadeira especificação Nesse caso, se um modelo espacial é estimado com S diferentes matrizes espaciais e o valor da log-verossimilhança de cada modelo é calculada, então o modelo que exibe a maior verossimilhança tem a maior probabilidade de ser o modelo correto Esse critério equivale à minimização de algum critério de informação, como AIC ou BIC, por exemplo

36 Escolha da matriz W Escolha da matriz W Harris et al (2011) criticam a abordagem empírica para seleção de matrizes espaciais No entanto, os resultados de Stakhovych e Bijimol (2009) sugerem que essas críticas são mais aplicadas apenas nos casos em que os parâmetros espaciais ρ ou λ são próximos de zero No entanto, a seleção incorreta de modelos nesse caso não gera maiores consequências sobre os efeitos marginais, tendo em vista a magnitude dos coeficientes A seleção incorreta do modelo e da matriz de pesos espaciais é menos problemática no caso de parâmetros espaciais muito grandes

37 Escolha da matriz W Escolha da matriz W Corrado e Fingleton (2012) advogam uso de mais teoria nos modelos de econometria espacial, especialmente relacionados a escolha de W. Nesse caso, exige-se uma estrutura teórica a priori, que sugira a melhor especificação do modelo econométrico, espacial ou não Para muitos casos, no entanto, é exatamente essa estrutura que se procura estudar

38 Matrizes endógenas Qu e Lee, 2015 O modelo Z n = X 2n Γ + ɛ n (5) onde X 2n é n k 2, Γ é k s p 2, ɛ n é n p 2 e Z n é n p 2 W n = (w ij,n ) é uma matriz n n, não negativa, com zeros na diagonal principal Cada elemento é construído a partir de Z n : w ij,n = h ij (Z n, ρ ij ) para i, j = 1,, n; i j h( ) é uma função limitada Por exemplo,: wij,n = 1/ z i,n z j,n, com um limite, tal que w ij,n = c e0 se z i,n z j,n < d e0, com c e0 e d e0.

39 Matrizes endógenas O modelo Y n = λw n Y n + X 1n β + V n (6) onde Y n é n 1, X 1n é n k 1, λ e β são escalares A endogeneidade do modelo decorre do fato que v i,n e ɛ i,n têm distribuição (v i,n, ɛ i,n ) iid(0, Σ vɛ ), onde ( σ 2 Σ vɛ = v σ vɛ ) é positiva definida, σv 2 é uma variância σ vɛ Σ ɛ escalar, a covariância σ vɛ = (σ vɛ1,, σ vɛp2 ) é um vetor p 2 -dimensional, Σ ɛ é uma matriz p 2 p 2. Se σ vɛ = 0, então W é exógena

40 Matrizes endógenas Adicionalmente: E(v i,n ɛ i,n ) = ɛ i,n δ e Var(v i,n ɛ i,n ) = σε 2 Estas hipóteses conduzem a δσ 1 ε σ vε e σε 2 = σv 2 σ vεσ 1 ε σ vε. Seja ε = V n ɛ n δ, então a sua média condicional em ɛ n é zero e sua variância condicional é σεi 2 n e, portanto o modelo pode ser escrito como: Y n = λw n Y n + X 1n β + (Z n X 2n Γ)δ + ε n (7) com E(ε i,n ɛ i,n ) = 0 e E(ε 2 i,n ɛ i,n) = σ 2 ε Portanto, (Z n X 2n Γ) pode ser interpretada como uma variável de controle da endogeneidade de W n

41 Matrizes endógenas Estimação por 2SIV O modelo pode ser estimado em dois estágios, com variáveis instrumentais no 1 o estágio: Primeiro estágio estima-se por OLS obtendo-se os parâmetros Z n = X 2n Γ + ɛ n (8) ˆΓ = (X 2nX 2n ) 1 X 2nZ n (9)

42 Matrizes endógenas Estimação por 2SIV No segundo estágio, utiliza-se o parâmetro estimado para substituir em (7) Y n = λw n Y n + X 1n β + (Z n X 2nˆΓ)δ + ˆε n (10) onde ˆε n = ε n + X 2n (ˆΓ Γ)δ = ε n + P n ɛ n δ, onde P n = X 2n (X 2n X 2n) 1 x 2n Como Z n X 2nˆΓ = Pn Z n = Pn ɛ n, com Pn = I n P n, então com κ = (λ β δ ) Y n = (W n Y n, X 1n, P n Z n )κ + (ε n + P n ɛ n δ) (11)

43 Matrizes endógenas Estimação por G2SIV Como o erro composto desse modelo é Π n = σ 2 ε0 I n + δ 0 Σ ɛ0δ 0 P n, o modelo pode ser estimado de forma generalizada (G2SIV): ˆκ G = [(W n Y n, X 1n, P n Z n ) Π 1 n Q nπ 1 n (W n Y n, X 1n, P n Z n ) Π 1 n Q n (Q nπ 1 Q n ) 1 (W n Y n, X 1n, P n Z n )] 1 Q n (Q nπ 1 n Q n ) 1 Q nπ 1 n Y n (12) n

44 Matrizes endógenas Estimação por FG2SIV Como Π inclui termos desconhecidos, os parâmetros só podem ser estimados de maneira factível Na prática usar Xn, W n X n, W n Z n, etc. como IV para obter ˆκ de maneira consistente Em seguida, usar G n (ˆλ)X n, G n (ˆλ)Z n, X n ez n, com G n (ˆλ) = W n (I n ˆλW n ) 1, como novos IVs e substituindo ˆΠ = ˆσ εi 2 n + ˆδ ˆΣɛˆδPn, onde ˆΣ ɛ = 1 n Z np n Z n e ˆσ ε 2 = 1 n (Y n ˆλW n Y n X 1n ˆβ P n Z nˆδ) (Y n ˆλW n Y n X 1n ˆβ P n Z nˆδ), no lugar de Π n para obter o FG2SIV.

45 Matrizes endógenas Estimação por QMLE A equação de máxima verossimilhança pode ser escrita como ln L n = n ln(2π) n 2 ln Σ vɛ + ln S n (λ) 1 2 [(S n(λ)yn X 1n β), (vec(z n X 2n Γ)) ] ( ) (Σ 1 Sn (λ)y vɛ I n ) n X 1n β vec(z n x 2n Γ) (13)

46 Matrizes endógenas Estimação por QMLE ou ainda ln L n (θ) = n ln(2π) n 2 ln σ2 ε + ln S n (λ) n 2 ln Σ ɛ 1 2 n i=1 (z i,n x 2,in Γ)Σ 1 ɛ (z i,n Γ x 2,in ) 1 2σ 2 ε [S n (λ)y n X 1n β (Z n X 2n Γ)δ] [S n (λ)y n X 1n β (Z n X 2n Γ)δ] (14) onde θ = (λ, β, vec(γ), σε, 2 α, δ ), com α sendo um vetor coluna J-dimensional de elementos em Σ ɛ, δ = Σ 1 ɛ σ vɛ e σε 2 = σv 2 σ v,ɛσ 1 ɛ σ vɛ O estimador QMLE, ˆθ = arg max θ Θ ln L n (θ). Uma condição necessária é que ln L N(ˆθ) θ = 0

47 Matrizes endógenas Econometria Espacial Aula 2: André Luis Squarize Chagas 16 de março de 2016