Lentes Gravitacionais em Cosmologia e Astrofísica. X Escola do CBPF

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1 Lentes Gravitacionais em Cosmologia e Astrofísica X Escola do CBPF 21 de Julho de 2015 Lista de Exercícios 3 Além da simetria axial: reescalonamento de coordenadas, perturbações externas e lentes elípticas 1. Equação da lente em forma adimensional Mostre que d β/d θ = d x/d y. Ao trabalhar com coordenadas adimensionais, suponha que ao invés de escolher ξ 0 ( ξ = ξ 0 x), foi escolhido ξ 0 tal que ξ = ξ 0 x. Dado que a distribuição superficial de massa deve ter o mesmo valor independentemente da escolha das coordenadas, i.e. Σ(ξ 0 x) = Σ(ξ 0 x ), mostre que as funções de lenteamento têm que ser escalonadas seguindo: ϕ( x ) = ( ξ0 ξ 0 ) 2 ϕ( x) (1) α( x ) = ξ 0 α( x) (2) ξ 0 [κ( x ), γ i ( x )] = ( ) ξ 2 0 [κ( x), γ i ( x)]. (3) ξ 0 2. Perturbações externas Calcule a magnificação para a esfera isotérmica suavizada (com potencial Ψ = x 2 + x 2 c) com perturbação de cisalhamento externo. 1

2 3. Cáusticas e curvas críticas com perturbações externas Escolha um modelo de distribuição de matéria com simetria axial. Adicione perturbações externas. Obtenha a forma das cáusticas e curvas críticas nesse caso. Sugestão: O caso da esfera isotérmica não singular com perturbações externas é discutido em detalhes na seção 3.4 de Peter Schneider, Introduction to Gravitational Lensing and Cosmology, in 33 rd Saas Fee Advanced Course, Gravitational Lensing (disponível para download em peter/saasfee.html). Veja também a seção B.3.3 do curso Strong Gravitational Lensing para outras discuções sobre lentes sem simetria axial. 4. Potencial elíptico Obtenha a distribuição de massa superficial para o caso do perfil pseudoelíptico (ou seja, potencial elíptico). A distribuição de matéria derivada possui simetria elíptica (ou seja, κ(x) = const. sobre elipses)? Para baixas excentricidades, a distribuição é elíptica? Sugestão, calcule κ(x) e obtenha a forma dos contornos de isovalores de κ(x). Essa curva depende de X? Para algum perfil específico (a sua escolha), faça um gráfico das curvas de isodensidade, para diversos valores da elipticidade e. Sugestão: utilize uma generalização elíptica do potencial da esfera isotérmica não singular dado por Ψ(θ 1, θ 2 ) = D ds D s 4π σ2 [ ] v θ 2 c 2 c + (1 ɛ)θ1 2 + (1 + ɛ)θ2 2 1/2. (4) 5. Cáusticas e curvas críticas com potencial elíptico Para um potencial com simetria axial a sua escolha, escreva-o de forma a representar um potencial elítptico (Ψ = const. sobre elipses). A partir desse potencial, obtenha as formas das cáusticas e das curvas críticas. Dica: Obtenha a expressão (analítica) da equação para as cáusticas (a partir dos zeros dos auto-valores da jacobiana de transformação de coordenadas) e utilize algum programa para fazer os gráficos. Para obter as curvas, talvez você precise inverter numericamente a equação da lentes. Faça isso utilizando o seu programa preferido (Mathematica, Maple, etc.) ou a linguagem de programação que preferir. Além dos gráficos, apresente o programa/código utilizado. 2

3 6. Cáusticas e curvas críticas com o gravlens Utilize o gravlens para obter as cáusticas e curvas críticas de um potencial elíptico a sua escolha. Faça o mesmo para uma distribuição com densidade superficial elíptica. Observação: se preferir, use outro programa. 7. Modelo de galáxia elíptica Uma boa descrição da distribuição de matéria em uma galáxia elíptica é proporcionada por uma elipse isotérmica não singular, cuja distribuição de densidade superficial é dada por Σ(θ 1, θ 2 ) = Σ 0. (5) [θc 2 + (1 ɛ)θ1 2 + (1 + ɛ)θ2] 2 1/2 O potencial correspondente a essa distribuição de matéria pode ser obtido analiticamente, mas a expressão é bastante complicada. Já no caso de uma distribuição de elipse isotérmica singular (θ c = 0) o problema é mais facilmente tratável. Mostre que o ângulo de deflexão e a magnificação são dados por α 1 = 8πGΣ [ ] 0 2ɛ cos φ 2ɛc 2 tan 1, (1 ɛ cos 2φ) 1/2 α 2 = 8πGΣ [ ] 0 2ɛ sin φ 2ɛc 2 tanh 1, (1 ɛ cos 2φ) 1/2 µ 1 8πGΣ 0 = 1, (6) c 2 (θ1 2 + θ2) 2 1/2 (1 ɛ cos 2φ) 1/2 onde φ é o ângulo polar correspondendo ao vetor θ (θ 1, θ 2 ). Obtenha as cáusticas a curvas críticas nesse caso. Referências: o manual do gravlens possui uma boa lista de referências com resultados analíticos para vários perfis de densidade superficial. Para o modelo isotérmico elíptico recomendamos ver o artigo de Kormann, Schneider & Bartelmann, 1994 (A&A 284, 285). Dica: Em alguns casos é mais conveniente utilizar coordenadas polares (x, φ) em vez das coordenadas cartesianas (x 1, x 2 ). Neste caso, as derivadas parciais i / x i podem ser expressas em função das derivadas 3

4 parciais x / x e φ / φ como 1 = cos φ x 1 x sin φ φ (7) 2 = sin φ x + 1 x cos φ φ (8) 8. Defasagem temporal gravitacional: A passagem do tempo é alterada na presença do campo gravitacional. Como conseqüência, ao passar pelo campo gravitacional da lente, a luz da fonte acaba levando um tempo maior para chegar ao observador, comparado com o que levaria se não houvesse lente 1. Mostre que, na aproximação de campo fraco, a defasagem é dada por δt grav = 2 c 3 zs ϕ(z)dz := 2 ψ, (9) z O c3 onde ϕ é o campo gravitacional da lente e ψ é o potencial gravitacional projetado. Dica: escreva o elemento de linha ds 2 na aproximação de campo fraco e utilize o fato de que a luz se propaga por geodésicas nulas. Escolha o eixo z na direção obervador-fonte (OS). Calcule o intervalo de tempo que a luz leva para se propagar de S até O e compare com o intervalo sem a presença da lente. O intervalo levando em conta ϕ pode ser obtido de forma aproximada integrando-se sobre uma trajetória não perturbada, com o mesmo parâmetro de impacto da trajetória real. Ou seja, cacula-se a integral ao longo da linha de visada da imagem. Esse procedimento é conhecido como aproximação de Born e é uma excelente aproximação em casos reais. 1 Também há outro atraso (que será discutido no próximo exercício) devido ao fato da trajetória de luz ser maior, por causa do desvio. Neste exercício estamos interessados apenas no atraso gravitacional. 4

5 9. Enuncie a lei do senos para as geometrias esférica (2-esfera) e hiperbólica (plano hiperbólico) para um raio de curvatura arbitrário R (R := 1/ k ). Mostre que no limite R recupera-se o caso euclideano. 10. Desvio temporal geométrico Utilizando as expressões do item acima, mostre que a diferença de comprimento entre a trajetória não perturbada da luz e a trajetória real devida ao desvio gravitacional é dada aproximadamente por δl = D OSD OL 2D LS ( θ β) 2. (10) Desse modo, o atraso temporal devido à diferença do caminho percorrido pela luz é dado por δt geom = δl/c. 11. Princípio de Fermat Em primeira aproximação, a diferença entre o tempo que a luz levaria para percorrer o caminho não perturbado entre fonte e lente e o tempo levado na presença da lente será dado por δt L = δt geom + δt grav. Note que esses desvios temporais são gerados nas proximidades da lente. No entanto, para distâncias cosmológicas (ou altas velocidades relativas), é preciso levar em conta também a dilatação temporal de Lorentz. No caso cosmológico, os intervalos de tempo na lente e no observador são relacionados por δ to /δ tl = a O /a L = (1 + z L ) (onde a é o fator de escala do Universo). Desse modo, o desvio temporal total será dado por 2 δt = (1 + z L )δt L = (1 + z L ) D OSD OL cd LS ( 1 2 ( θ β) 2 Ψ). (11) Mostre que a condição θ (δt) = 0 leva à equação da lente. Pense na relação desse resultado com o princípio de Fermat. A formulação em termos do desvio temporal (ou potencial de Fermat) é extremamente útil para compreender muitos resultados do fenômeno de lente gravitacional. Como uma aplicação, vejam o (brevíssimo) artigo de Burke (Astrophysical Journal Letters, vol. 224, p. 1, ano 1981). 2 Lembrando que Ψ = 2 c 2 D LS D OS D OL ψ. 5

6 Além disso, para fontes com variabilidade, os desvios temporais (entre diferentes imagens) são mensuráveis e podem fornecer informações sobre a lente e a geometria do Universo. 12. Lenteamento por múltiplos planos Obtenha a função de desvio temporal no caso de múltiplos planos de deflexão. A partir desse resultado, obtenha a equação da lente nesse caso. Esses resultados são importantes para lentes não localizadas, como a estrutura em grande escala do Universo, em especial no regime fraco do lenteamento. Dica: siga o procedimento de PLW p. 75 e obtenha as equações (3.92) e ( ). Veja também Seitz & Schneider, 1992 e Superfícies de desvio temporal e multiplicidade das imagens Faça gráficos da superfície de desvio temporal para modelos com simetria circular e modelos não circularmente simétricos a sua escolha (sugestão, adicione um cisalhamento externo ). Inclua tanto curvas de nível de δt (isócronas), quanto a curva 3D δt(x 1, x 2 ), como, por exemplo em Mollerach & Roulet (p. 44). Escolha posições das fontes de modo a obter diferentes multiplicidades das imagens, evidenciando onde estão os mínimos, máximos e pontos de sela (ver, por exemplo, SEF p ). Além dos gráficos, envie os códigos utilizados para fazê-los. 14. Encontre um artigo recente sobre a determinação do parâmetro de Hubble através de lentes gravitacionais e discuta os resultados. Referências Mollerach, S, Roulet, E, Gravitational Lensing and Microlensing, World Scientific, Singapore. Petters A.,O., Levine H., Wambsganss J., 2001, Singularity Theory and Gravitational Lensing. Birkhäuser, Boston Meneghetti, M., Introduction to Gravitational Lensing, lecture notes. Disponívdl em massimo/pico/teaching.htm 6