O QUE TEM SIDO PESQUISADO EM TRANSMATEMÁTICA NO HCTE

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1 O QUE TEM SIDO PESQUISADO EM TRANSMATEMÁTICA NO HCTE Tiago S. dos Reis Doutorando HCTE/UFRJ Professor IFRJ - Volta Redonda tiago.reis@ifrj.edu.br RESUMO: O doutoramento deste autor tem como tema a transmatemática, matemática que permite a divisão por zero. Neste texto fazemos uma síntese de alguns tópicos que têm sido pesquisados até o presente momento. A transmatemática teve início com a proposta dos números transreais por parte de James Anderson. O transreais são uma extensão dos números reais na qual a divisão por zero é permitida. Neste texto, comentamos nossa proposta de fundamentação dos transreais a partir dos reais. Fundamentação esta que demonstra a consistência dos números transreais e sua aritmética. Comentamos a extensão do cálculo real a um cálculo transreal, a concepção dos números transcomplexos e o uso da aritmética transreal no estudo de lógicas não-clássicas. PALAVRAS-CHAVE: Transmatemática; Números Transreais; Números Transcomplexos; Transcálculo. 1. Introdução O conjunto dos números transreais consiste em R T = x ; x, y R e y 0, y onde x y = w z se, e só se, x = αw e y = αz para algum α R positivo. Desta forma, os números transreais são formados pelos números reais adicionados de 1 0, 1 0 e 0 0. Este novo conjunto numérico, que permite a divisão por zero, foi proposto pelo cientista da computação James Anderson. Anderson define = 1 0, = 1 0 e Φ = 0 0 e os chama, respectivamente, de menos infinito, infinito e nullity (ANDERSON, 2005). Não nos alongaremos na apresentação dos transreais, pois uma introdução a estes novos números já foi feita em (GOMIDE, 2012) e (REIS et al, 2013). A seguir, fazemos um breve resumo de alguns tópicos pesquisados durante o doutoramento deste autor, no HCTE, sobre a transmatemática - matemática que permite a divisão por zero.

2 2. Algumas pesquisas em transmatemática 2.1 Fundamentação dos números transreais Em (REIS e GOMIDE, 2014) propomos uma construção do conjunto dos números transreais a partir dos números reais. James Anderson introduziu os transreais de forma intuitiva e axiomática. Anderson et al (2007) apresentam uma lista de trinta e dois axiomas que estabelecem a aritmética e a ordem dos números transreais. Do ponto de vista formalista, não há problema na apresentação de James Anderson, uma vez que seus axiomas não apresentaram inconsistências e os próprios autores de (Anderson et al, 2007) afirmam ter uma máquina de prova que estabelece a consistência dos axiomas da aritmética transreal. Entretanto, do ponto de vista construtivista, paira uma dúvida. Os números transreais "existem" de fato? Existe algum modelo sobre os números reais que contemple a aritmética transreal? Algum significado pode ser dado à divisão por zero? Observe que, com seus axiomas, Anderson estabelece um sistema que contém a divisão por zero, entretanto ele não dá uma definição, nem um sentido, a esta operação. Em (REIS e GOMIDE, 2014) fazemos uma construção do conjunto dos números transreais a partir dos números reais. Desta forma, os números transreais e sua aritmética e ordem ficam estabelecidos, não apenas de forma axiomática, mas de forma construtiva. Assim, a consistência dos transreais fica fundamentada na consistência dos reais. E, além disso, esta construção dá um significado, ainda que analítico, não necessariamente contextual, à divisão por zero. A seguir fazemos um breve resumo do exposto no texto citado. No conjunto T = x, y ; x, y R, y 0 definimos a seguinte relação: x, y ~(w, z) se, e só se, existe α R + tal que x = αw e y = αz. E mostramos que ~ é uma relação de equivalência, isto é, ~ satisfaz as propriedades, para todos x, y, w, z, u, v T: (reflexiva) x, y ~(x, y), (simétrica) x, y ~(w, z) w, z ~(x, y) e (transitiva) x, y ~(w, z) e w, z ~ u, v x, y ~(u, v). Em seguida, denotando por [x, y] a classe de equivalência do par (x, y), mostramos que o conjunto quociente de T com respeito a ~, T/~, isto é, o conjunto de todas as classes de equivalência, é formado pelas classes do tipo [t, 1] onde t R e, apenas, mais três classes: 1,0, [1,0] e [1,0]. Isto é, T/~ = t, 1 ; t R { 1,0, 1,0, [1,0]}. Continuando, definimos em T/~ as

3 operações aritméticas, (adição) x, y + w, z = 2x, y, se x, y = w, z xz + wy, yz, se x, y w, z, (multiplicação) x, y w, z = [xw, yz], (simétrico) x, y = [ x, y], (recíproco) x, y 1 = y, x, se x 0 y, x, se x < 0, (subtração) x, y w, z = x, y + ( w, z ) e (divisão) x, y w, z = x, y w, z 1 e mostramos que estas operações estão bem definidas. Definimos a relação de ordem: x, y < w, z se, e só se, x, y = [ 1,0] e w, z = [1,0] ou, se, xz < wy. Então, demonstramos que o conjunto { t, 1 ; t R} é um corpo ordenado completo, logo uma cópia do conjunto dos números reais. Desta forma, passamos a denotar { t, 1 ; t R} por R e t, 1 simplesmente por t. Além disso, denotamos = 1,0, = 1,0 e Φ = 0,0. Finalmente, todos os axiomas de James Anderson são demonstrados como teoremas da construção acima descrita. 2.2 Cálculo transreal Em (ANDERSON e REIS, 2014) nós comentamos as vantagens da utilização dos números transreais na aritmética IEEE e estendemos a teoria dos limites e continuidade às funções transreais. O padrão IEEE 754 da aritmética do ponto flutuante é amplamente utilizado na computação. Ele é baseado nos números reais e é feito total, isto é, permite qualquer operação aritmética, adicionando um infinito positivo, um infinito negativo, um zero negativo, e muitos estados de Not-a-Number (NaN) (ANDERSON, 2014). Nós ilustramos a função tangente transreal e estendemos os limites reais a limites transreais. A partir desta sólida fundamentação, afirmamos que existem três erros de categoria no padrão IEEE 754. Em primeiro lugar, a alegação de que os infinitos IEEE são os limites da aritmética real confunde processos de limite com aritmética. Em segundo lugar, a defesa do zero negativo da IEEE confunde o limite de uma função com o valor de uma função. E por último, a definição dos NaNs da IEEE confunde indefinido com não-ordenado. Em seguida, nós estendemos a teoria dos limites e continuidade às funções transreais. Iniciamos propondo uma topologia para o conjunto dos números transreais. Definimos que um subconjunto de R T é aberto em R T se, e só se, é interseção finita de uniões de conjuntos dos tipos a, b,, b, (a, ] e {Φ}, onde a, b R, e mostramos que, de fato, estes subconjuntos formam uma topologia em

4 R T. Sabendo que R T é um espaço topológico, mostramos que R T é um espaço de Hausdorff, separável, desconexo e compacto. Além disso, a topologia de R T concorda com a topologia de R. Mostramos que os limites de sequências na topologia transreal concordam com os limites na topologia real. Por exemplo, lim n x n = no sentido transreal se, e só se, lim n x n = no sentido usual, com a diferença de que, em R T, é um número definido e não apenas um símbolo de divergência. Em seguida, demonstramos, numa versão transreal, alguns teoremas sobre sequências. Como, por exemplo: toda sequência monótona de números transreais é convergente; toda sequência de números transreais possui uma subsequência convergente e o Teorema do Sanduíche. Finalmente, mostramos que limite e continuidade transreais de uma função concordam com limite e continuidade usuais. Desta forma, propomos vantagens teóricas e práticas da transmatemática. Em particular, argumentamos que a implementação do cálculo transreal na aritmética do trans-ponto-flutuante estenderia a cobertura, precisão e confiabilidade de quase todos os programas de computador que exploram o cálculo. Em (REIS e ANDERSON, 2014a) nós damos continuidade ao cálculo transreal iniciado no texto citado no parágrafo anterior. Nós estendemos a derivada real à derivada transreal. Isto continua a demonstrar que o cálculo transreal contém o cálculo real e opera em singularidades onde o cálculo real falha. Por isso os programas de computador que dependem de derivadas computacionais - como aqueles usados em aplicações científicas, de engenharia e financeiras - são estendidos para operar em singularidades. Isto faz o software, que calcula derivadas, mais eficiente e mais confiável. Também estendemos as integrais do domínio real ao domínio transreal. Iniciamos definindo a derivada no sentido transreal em um ponto real pela derivada usual neste ponto, isto é, se x R então f R T x = f (x), a derivada nos pontos infinitos por f R T = lim x f (x) e f R T = lim x f (x) e a derivada em nullity por f R T (Φ) = Φ. Com essa definição, vale, por exemplo, que a derivada da função exponencial 1 é a própria função exponencial em R T, assim como já sabemos ser em R. Lembramos que a derivada usual em R é definida como uma 1 Para a definição da função exponencial nos transreais veja (ANDERSON 2007).

5 taxa de variação - como o limite de uma variação relativa - isto é, f x = lim y x. Observe que, a princípio, a definição dada acima de f y x R T não segue o mesmo caminho. Entretanto, nós mostramos que a definição f R T = lim x f (x) pode ser vista como uma taxa de variação, no seguinte sentido: f: R T R T é derivável em se, e só se, existe limx y caso f R T = limx y y x y x. E neste, onde, por definição, limx = L R T se, e y y x só se, dada uma vizinhança V de L, existe uma vizinhança U de x 0 tal que f x, y V sempre que x y e x, y U {x 0 }. Em seguida, definimos uma integral no sentido transreal e mostramos que esta integral transreal concorda com a integral usual. Isto é, demonstramos que: Sendo a, b R e f: a, b R uma função limitada, segue que f é Riemann integrável se, e só se f é integrável no sentido transreal; e neste caso b b f x dx = f x dx. Além disso, mostramos que uma integral R T a a imprópria é absolutamente convergente, isto é, a integral f x dx é convergente se, e só se, f x dx = existe. E neste caso, f x dx = f x dx. Ainda, R T R T como exemplo de integrais transreais, mostramos que Φ b f x dx = f x dx = f x dx = f x dx = Φ para todos R T R T R T a R T Φ a, b R T e qualquer função f. 2.3 Números transcomplexos Estabelecemos o conjunto dos números transcomplexos e sua aritmética. Uma construção geométrica dos transcomplexos foi dada em (ANDERSON, 2011). Em (REIS e ANDERSON, 2014b), simplificamos o plano transcomplexo e construímos o conjunto dos números transcomplexos a partir dos números complexos. Assim, os números transcomplexos e sua aritmética surgem como consequências desta construção e não por um desenvolvimento axiomático ou geométrico. Isto simplifica a aritmética transcomplexa, em comparação ao tratamento anterior, mas mantém a totalidade de modo que cada operação aritmética pode ser aplicada a quaisquer números transcomplexos que o resultado é um número transcomplexo. Em particular, a divisão por zero é permitida. Nossa construção estabelece a

6 consistência das aritméticas transcomplexa e transreal e estabelece as relações de inclusão esperadas entre os conjuntos dos transcomplexos, complexos, transreais e reais. Nós mostramos como representar números transcomplexos em coordenadas polares e ilustramos diversas formas de se efetuar as operações aritméticas entre os transcomplexos. Discutimos, ainda, algumas das vantagens que as transaritméticas têm sobre suas homólogas parciais. 2.4 Lógica transreal Em (ANDERSON e GOMIDE, 2014) os autores propõem a utilização dos números transreais na modelagem de uma lógica paraconsistente. Lógicas paraconsistentes são lógicas não-clássicas que permitem a existência de sentenças contraditórios. Os autores introduzem o princípio metalógico de monotonia que é uma maneira de se fazer lógica paraconsistente. Ainda, propõem uma semântica que contém os valores clássicos de verdade e falsidade, valores fuzzy de graus de veracidade, um valor de dialetheia - que é o valor de contradição, de uma proposição tanto falsa quanto verdadeira - e um valor gap - que é o valor de uma proposição que carece de informação de verdade. Prosseguindo, os autores definem os conectivos lógicos em termos de funções transreais bem definidas e mostram como o conjunto de todos os mundos possíveis pode ser representado em um espaço transreal. REFERÊNCIAS ANDERSON, J. A. D. W. Perspex machine II: Visualisation. Vision Geometry XIII Proceedings of the SPIE, v. 5675, p , ANDERSON, J. A. D. W. Perspex machine IX: Transreal analysis. Vision Geometry XV Proceedings of the SPIE, v. 6499, p. 1-12, ANDERSON, J. A. D. W. Trans-floating-point arithmetic removes nine quadrillion redundancies from 64-bit IEEE 754 floating-point arithmetic. In: INTERNATIONAL CONFERENCE ON COMPUTER SCIENCE AND APPLICATIONS, San Francisco. Anais... International Association of Engineers. No prelo. ANDERSON, J. A. D. W. Evolutionary and revolutionary effects of transcomputation. In: 2 IMA Conference on Mathematics in Defence, Institute of Mathematics and its Applications, 2011.

7 ANDERSON, J. A. D. W.; VÖLKER, N.; ADAMS A. A. Perspex Machine VIII: Axioms of transreal arithmetic. Vision Geometry XV Proceedings of the SPIE. v. 6499, p , ANDERSON, J. A. D. W.; GOMIDE, W. Transreal arithmetic as a consistent basis for paraconsistent logics. In: INTERNATIONAL CONFERENCE ON COMPUTER SCIENCE AND APPLICATIONS, San Francisco. Anais... International Association of Engineers. No prelo. ANDERSON, J. A. D. W.; REIS, T. S. dos. Transreal limits expose category errors in IEEE 754 floating-point arithmetic and in mathematics. In: INTERNATIONAL CONFERENCE ON COMPUTER SCIENCE AND APPLICATIONS, San Francisco. Anais... International Association of Engineers. No prelo. GOMIDE, W. Uma breve apresentação dos números transreais e uma sugestão de aplicação em filosofia: o espaço lógico de Wittgenstein. In: SCIENTIARUM HISTORIA: V CONGRESSO DE HISTÓRIA DAS CIÊNCIAS DA TÉCNICAS E EPISTEMOLOGIA, Rio de Janeiro. Anais... Universidade Federal do Rio de Janeiro, REIS, T. S. dos; ANDERSON, J. A. D. W. Transdifferential and transintegral calculus. In: INTERNATIONAL CONFERENCE ON COMPUTER SCIENCE AND APPLICATIONS, 2014a. San Francisco. Anais... International Association of Engineers. No prelo. REIS, T. S. dos; ANDERSON, J. A. D. W. Construction of the transcomplex numbers from the complex numbers. In: INTERNATIONAL CONFERENCE ON COMPUTER SCIENCE AND APPLICATIONS, 2014b. San Francisco. Anais... International Association of Engineers. No prelo. REIS, T. S. dos; GOMIDE, W. Construction of the transreal numbers. Disponível em: < Acesso em: 28 de jul REIS, T. S. dos; GOMIDE, W; KUBRUSLY, R. Números transreais: mais uma etapa na história dos números. In: SCIENTIARUM HISTORIA: VI CONGRESSO DE HISTÓRIA DAS CIÊNCIAS DA TÉCNICAS E EPISTEMOLOGIA, Rio de Janeiro. Anais... Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2013.