O que tem sido pesquisado em transmatemática no HCTE Tiago S. dos Reis Doutorando HCTE/UFRJ Professor IFRJ - Volta Redonda

Transcrição

1 O que tem sido pesquisado em transmatemática no HCTE Tiago S. dos eis Doutorando HCTE/UFJ Professor IFJ - Volta edonda tiago.reis@ifrj.edu.br esumo: O doutoramento deste autor tem como tema a transmatemática, matemática que permite a divisão por zero. Neste texto fazemos uma síntese de alguns tópicos que têm sido pesquisados até o presente momento. A transmatemática teve início com a proposta dos números transreais por parte de James Anderson. O transreais são uma extensão dos números reais na qual a divisão por zero é permitida. Neste texto, comentamos nossa proposta de fundamentação dos transreais a partir dos reais. Fundamentação esta que demonstra a consistência dos números transreais e sua aritmética. Comentamos a extensão do cálculo real a um cálculo transreal, a concepção dos números transcomplexos e o uso da aritmética transreal no estudo de lógicas não-clássicas. Palavras-chave: Transmatemática; Números Transreais; Números Transcomplexos; Transcálculo. 1. Introdução O conjunto dos números transreais consiste em = ;, e 0, onde = se, e só se, = e = para algum positivo. Desta forma, os números transreais são formados pelos números reais adicionados de, e. Este novo conjunto numérico, que permite a divisão por zero, foi proposto pelo cientista da computação James Anderson. Anderson define =, = e Φ = e os chama, respectivamente, de menos infinito, infinito e nullity (ANDESON, 2005). Não nos alongaremos na apresentação dos transreais, pois uma introdução a estes novos números já foi feita em (GOMIDE, 2012) e (EIS et al, 2013). A seguir, fazemos um breve resumo de alguns tópicos pesquisados durante o doutoramento

2 deste autor, no HCTE, sobre a transmatemática - matemática que permite a divisão por zero. 2. Algumas pesquisas em transmatemática 2.1 Fundamentação dos números transreais Em (EIS e GOMIDE, 2014) propomos uma construção do conjunto dos números transreais a partir dos números reais. James Anderson introduziu os transreais de forma intuitiva e axiomática. Anderson et al (2007) apresentam uma lista de trinta e dois axiomas que estabelecem a aritmética e a ordem dos números transreais. Do ponto de vista formalista, não há problema na apresentação de James Anderson, uma vez que seus axiomas não apresentaram inconsistências e os próprios autores de (Anderson et al, 2007) afirmam ter uma máquina de prova que estabelece a consistência dos axiomas da aritmética transreal. Entretanto, do ponto de vista construtivista, paira uma dúvida. Os números transreais "existem" de fato? Existe algum modelo sobre os números reais que contemple a aritmética transreal? Algum significado pode ser dado à divisão por zero? Observe que, com seus axiomas, Anderson estabelece um sistema que contém a divisão por zero, entretanto ele não dá uma definição, nem um sentido, a esta operação. Em (EIS e GOMIDE, 2014) fazemos uma construção do conjunto dos números transreais a partir dos números reais. Desta forma, os números transreais e sua aritmética e ordem ficam estabelecidos, não apenas de forma axiomática, mas de forma construtiva. Assim, a consistência dos transreais fica fundamentada na consistência dos reais. E, além disso, esta construção dá um significado, ainda que analítico, não necessariamente contextual, à divisão por zero. A seguir fazemos um breve resumo do exposto no texto citado. No conjunto = {(, );,, 0} definimos a seguinte relação: (, )~(, ) se, e só se, existe tal que = e =. E mostramos que ~ é uma relação de equivalência, isto é, ~ satisfaz as propriedades, para todos (, ), (, ), (, ) : (reflexiva) (, )~(, ), (simétrica) (, )~(, ) (, )~(, ) e (transitiva) (, )~(, ) e (, )~(, ) (, )~(, ). Em seguida, denotando por [, ] a classe de equivalência do par (, ), mostramos que o conjunto quociente de com respeito a ~, /~, isto é, o conjunto de todas as classes de equivalência, é formado pelas classes do tipo [, 1] onde e, apenas,

3 mais três classes: [ 1,0], [1,0] e [1,0]. Isto é, /~ = {[, 1]; } {[ 1,0], [1,0], [1,0]}. Continuando, definimos em /~ as operações aritméticas, (adição) [, ] + [, ] = [2, ], se [, ] = [, ] [ +, ], se [, ] [, ], (multiplicação) [, ] [, ] = [, ], (simétrico) [, ] = [, ], (recíproco) [, ] = [, ], se 0 [, ], se < 0, (subtração) [, ] [, ] = [, ] + ( [, ]) e (divisão) [, ] [, ] = [, ] [, ] e mostramos que estas operações estão bem definidas. Definimos a relação de ordem: [, ] < [, ] se, e só se, [, ] = [ 1,0] e [, ] = [1,0] ou, se, <. Então, demonstramos que o conjunto {[, 1]; } é um corpo ordenado completo, logo uma cópia do conjunto dos números reais. Desta forma, passamos a denotar {[, 1]; } por e [, 1] simplesmente por. Além disso, denotamos = [ 1,0], = [1,0] e Φ = [0,0]. Finalmente, todos os axiomas de James Anderson são demonstrados como teoremas da construção acima descrita. 2.2 Cálculo transreal Em (ANDESON e EIS, 2014) nós comentamos as vantagens da utilização dos números transreais na aritmética IEEE e estendemos a teoria dos limites e continuidade às funções transreais. O padrão IEEE 754 da aritmética do ponto flutuante é amplamente utilizado na computação. Ele é baseado nos números reais e é feito total, isto é, permite qualquer operação aritmética, adicionando um infinito positivo, um infinito negativo, um zero negativo, e muitos estados de Not-a-Number (NaN) (ANDESON, 2014). Nós ilustramos a função tangente transreal e estendemos os limites reais a limites transreais. A partir desta sólida fundamentação, afirmamos que existem três erros de categoria no padrão IEEE 754. Em primeiro lugar, a alegação de que os infinitos IEEE são os limites da aritmética real confunde processos de limite com aritmética. Em segundo lugar, a defesa do zero negativo da IEEE confunde o limite de uma função com o valor de uma função. E por último, a definição dos NaNs da IEEE confunde indefinido com não-ordenado. Em seguida, nós estendemos a teoria dos limites e continuidade às funções transreais. Iniciamos propondo uma topologia para o conjunto dos números transreais. Definimos que um subconjunto de é aberto em se, e só se, é

4 interseção finita de uniões de conjuntos dos tipos (, ), [, ), (, ] e {Φ}, onde,, e mostramos que, de fato, estes subconjuntos formam uma topologia em. Sabendo que é um espaço topológico, mostramos que é um espaço de Hausdorff, separável, desconexo e compacto. Além disso, a topologia de concorda com a topologia de. Mostramos que os limites de sequências na topologia transreal concordam com os limites na topologia real. Por exemplo, lim = no sentido transreal se, e só se, lim = no sentido usual, com a diferença de que, em, é um número definido e não apenas um símbolo de divergência. Em seguida, demonstramos, numa versão transreal, alguns teoremas sobre sequências. Como, por exemplo: toda sequência monótona de números transreais é convergente; toda sequência de números transreais possui uma subsequência convergente e o Teorema do Sanduíche. Finalmente, mostramos que limite e continuidade transreais de uma função concordam com limite e continuidade usuais. Desta forma, propomos vantagens teóricas e práticas da transmatemática. Em particular, argumentamos que a implementação do cálculo transreal na aritmética do trans-ponto-flutuante estenderia a cobertura, precisão e confiabilidade de quase todos os programas de computador que exploram o cálculo. Em (EIS e ANDESON, 2014a) nós damos continuidade ao cálculo transreal iniciado no texto citado no parágrafo anterior. Nós estendemos a derivada real à derivada transreal. Isto continua a demonstrar que o cálculo transreal contém o cálculo real e opera em singularidades onde o cálculo real falha. Por isso os programas de computador que dependem de derivadas computacionais - como aqueles usados em aplicações científicas, de engenharia e financeiras - são estendidos para operar em singularidades. Isto faz o software, que calcula derivadas, mais eficiente e mais confiável. Também estendemos as integrais do domínio real ao domínio transreal. Iniciamos definindo a derivada no sentido transreal em um ponto real pela derivada usual neste ponto, isto é, se então ( ) = ( ), a derivada nos pontos infinitos por ( ) = lim ( ) e ( ) = lim ( ) e a derivada em nullity por (Φ) = Φ. Com essa definição, vale, por exemplo, que a derivada da função exponencial 1 é a própria função exponencial em, assim como já 1 Para a definição da função exponencial nos transreais veja (ANDESON 2007).

5 sabemos ser em. Lembramos que a derivada usual em é definida como uma taxa de variação - como o limite de uma variação relativa - isto é, ( ) = lim ( ) ( ). Observe que, a princípio, a definição dada acima de ( ) não segue o mesmo caminho. Entretanto, nós mostramos que a definição ( ) = lim sentido: : caso ( ) pode ser vista como uma taxa de variação, no seguinte é derivável em se, e só se, existe lim ( ) = lim ( ) ( ), onde, por definição, lim ( ) ( ). E neste ( ) ( ) = se, e só se, dada uma vizinhança de, existe uma vizinhança de tal que (, ) sempre que e, { }. Em seguida, definimos uma integral no sentido transreal e mostramos que esta integral transreal concorda com a integral usual. Isto é, demonstramos que: Sendo, e : [, ] uma função limitada, segue que é iemann integrável se, e só se é integrável no sentido transreal; e neste caso ( ) = ( ). Além disso, mostramos que uma integral imprópria é absolutamente convergente, isto é, a integral ( ) é convergente se, e só se, ( ) = existe. E neste caso, ( ) = ( ). Ainda, como exemplo de integrais transreais, mostramos que ( ) =, e qualquer função. ( ) = ( ) = ( ) = Φ para todos 2.3 Números transcomplexos Estabelecemos o conjunto dos números transcomplexos e sua aritmética. Uma construção geométrica dos transcomplexos foi dada em (ANDESON, 2011). Em (EIS e ANDESON, 2014b), simplificamos o plano transcomplexo e construímos o conjunto dos números transcomplexos a partir dos números complexos. Assim, os números transcomplexos e sua aritmética surgem como consequências desta construção e não por um desenvolvimento axiomático ou geométrico. Isto simplifica a aritmética transcomplexa, em comparação ao tratamento anterior, mas mantém a totalidade de modo que cada operação aritmética pode ser aplicada a quaisquer números transcomplexos que o resultado é um número transcomplexo. Em

6 particular, a divisão por zero é permitida. Nossa construção estabelece a consistência das aritméticas transcomplexa e transreal e estabelece as relações de inclusão esperadas entre os conjuntos dos transcomplexos, complexos, transreais e reais. Nós mostramos como representar números transcomplexos em coordenadas polares e ilustramos diversas formas de se efetuar as operações aritméticas entre os transcomplexos. Discutimos, ainda, algumas das vantagens que as transaritméticas têm sobre suas homólogas parciais. 2.4 Lógica transreal Em (ANDESON e GOMIDE, 2014) os autores propõem a utilização dos números transreais na modelagem de uma lógica paraconsistente. Lógicas paraconsistentes são lógicas não-clássicas que permitem a existência de sentenças contraditórios. Os autores introduzem o princípio metalógico de monotonia que é uma maneira de se fazer lógica paraconsistente. Ainda, propõem uma semântica que contém os valores clássicos de verdade e falsidade, valores fuzzy de graus de veracidade, um valor de dialetheia - que é o valor de contradição, de uma proposição tanto falsa quanto verdadeira - e um valor gap - que é o valor de uma proposição que carece de informação de verdade. Prosseguindo, os autores definem os conectivos lógicos em termos de funções transreais bem definidas e mostram como o conjunto de todos os mundos possíveis pode ser representado em um espaço transreal. 3. eferências Bibliográficas ANDESON, J. A. D. W. Perspex machine II: Visualisation. Vision Geometry XIII Proceedings of the SPIE, v. 5675, p , ANDESON, J. A. D. W. Perspex machine IX: Transreal analysis. Vision Geometry XV Proceedings of the SPIE, v. 6499, p. 1-12, ANDESON, J. A. D. W. Trans-floating-point arithmetic removes nine quadrillion redundancies from 64-bit IEEE 754 floating-point arithmetic. In: INTENATIONAL CONFEENCE ON COMPUTE SCIENCE AND APPLICATIONS, San Francisco. Anais... International Association of Engineers. No prelo.

7 ANDESON, J. A. D. W. Evolutionary and revolutionary effects of transcomputation. In: 2 IMA Conference on Mathematics in Defence, Institute of Mathematics and its Applications, ANDESON, J. A. D. W.; VÖLKE, N.; ADAMS A. A. Perspex Machine VIII: Axioms of transreal arithmetic. Vision Geometry XV Proceedings of the SPIE. v. 6499, p , ANDESON, J. A. D. W.; GOMIDE, W. Transreal arithmetic as a consistent basis for paraconsistent logics. In: INTENATIONAL CONFEENCE ON COMPUTE SCIENCE AND APPLICATIONS, San Francisco. Anais... International Association of Engineers. No prelo. ANDESON, J. A. D. W.; EIS, T. S. dos. Transreal limits expose category errors in IEEE 754 floating-point arithmetic and in mathematics. In: INTENATIONAL CONFEENCE ON COMPUTE SCIENCE AND APPLICATIONS, San Francisco. Anais... International Association of Engineers. No prelo. GOMIDE, W. Uma breve apresentação dos números transreais e uma sugestão de aplicação em filosofia: o espaço lógico de Wittgenstein. In: SCIENTIAUM HISTOIA: V CONGESSO DE HISTÓIA DAS CIÊNCIAS DA TÉCNICAS E EPISTEMOLOGIA, io de Janeiro. Anais... Universidade Federal do io de Janeiro, EIS, T. S. dos; ANDESON, J. A. D. W. Transdifferential and transintegral calculus. In: INTENATIONAL CONFEENCE ON COMPUTE SCIENCE AND APPLICATIONS, 2014a. San Francisco. Anais... International Association of Engineers. No prelo. EIS, T. S. dos; ANDESON, J. A. D. W. Construction of the transcomplex numbers from the complex numbers. In: INTENATIONAL CONFEENCE ON COMPUTE SCIENCE AND APPLICATIONS, 2014b. San Francisco. Anais... International Association of Engineers. No prelo.

8 EIS, T. S. dos; GOMIDE, W. Construction of the transreal numbers. Disponível em: < Acesso em: 28 de jul EIS, T. S. dos; GOMIDE, W; KUBUSLY,. Números transreais: mais uma etapa na história dos números. In: SCIENTIAUM HISTOIA: VI CONGESSO DE HISTÓIA DAS CIÊNCIAS DA TÉCNICAS E EPISTEMOLOGIA, io de Janeiro. Anais... Universidade Federal do io de Janeiro, 2013.