Exame de Seleção PEB - Candidatos de Ciências da Saúde - 01/12/2017

Transcrição

1 1 Programa de Engenharia Biomédica Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós Graduação e Pesquisa de Engenharia - COPPE Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ Observações importantes: 1 A prova possui 10 questões. 2 Duração da prova: 4 (quatro) horas. 3 Consulta a dicionários e o uso de calculadoras não são permitidos. 4 Mostre o desenvolvimento de cada questão. 5 Use o verso das folhas se necessário. 6 Peça folhas para rascunho se for necessário. 7 Escreva seu nome em todas as folhas Questões Total Notas

2 2 1. Sendo e o número neperiano, ou de Euler ( 2,718), e i o número imaginário, e sabendo-se que e i = cos( ) + i sen( ), chega-se à expressão: i i e e cos( ), (1) 2 que permite calcular o cosseno de qualquer ângulo, mesmo que imaginário. É interessante o fato de que ângulos imaginários possuem cossenos (e senos) fora do tradicional intervalo entre 1 e 1. Assim, calcule os dois ângulos imaginários cujo cosseno vale 2. Dica: sabendo que é imaginário, denote-o como = i na expressão (1), de modo a obter a função exponencial com potências puramente reais, e defina x = e para obter uma equação do 2 o grau em função de x. A resposta pode ser deixada sob a forma de logaritmo neperiano (na base e).

3 3 2. Um baralho é constituído de cartas marcadas com 1, 2 ou 3 figuras idênticas. As figuras podem ter uma dentre três possíveis cores, um dentre três possíveis preenchimentos, e uma dentre três possíveis formas. Quantas cartas diferentes, no total, pode haver nesse baralho?

4 4 3. Próximo à cidade de São Paulo, mais precisamente em Guarulhos, existe um lugar no qual, ao longo de um ano, 0 o é o menor valor do ângulo compreendido entre a ponta superior de uma haste esta perfeitamente vertical, de espessura desprezível e fincada no solo plano e a ponta da sombra dela projetada pelo Sol durante o dia, e cerca de 46 o é o maior valor desse ângulo quando medido às 12h00, hora local. a) Qual é a latitude desse local? b) Em que hora diurna local, aproximadamente, a sombra pode atingir 0 o?

5 5 4. Um octógono perfeito de lados iguais está inscrito num círculo de diâmetro D. Calcule sua área.

6 6 5. O movimento da LUA em redor da TERRA, denominado LUNAÇÃO tem um período de cerca 28 dias. Todos sabemos que o dia terráqueo, que representa o período de rotação da TERRA em relação a seu próprio eixo, dura 24 horas. Ao observarmos a LUA em suas diversas fases por noites sucessivas, vemos que a cada noite, a LUA demora mais a surgir no céu e a se por no horizonte. PERGUNTA: quanto tempo, em minutos, a cada dia, a LUA se atrasa a se por no horizonte?

7 7 6. Encontre todos os valores de x no intervalo (0; 2π) que satisfaçam a equação 1 cos 2x 2

8 8 7. Encontre todos os valores de x que satisfaçam: 7x 1 2x 5

9 9 8. Simplifique: p 1 2 p 1 x x 2

10 10 9. Se a reta que passa pelos pontos a ;1 e (5; 8) é paralela à reta que passa pelos pontos (4; 9) e a 2;1, qual é o valor de a?

11 Encontre as soluções para x, y e z que satisfaçam: 2x y z 4 3x y 2z 1 x 2y 3z 5