A forma canônica de Jordan e aplicações. 2 Resultados. 2.1 Triangularização. Marcos Alves dos Santos e José Carlos Corrêa Eidam(Orientador)

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1 A forma canônica de Jordan e aplicações Marcos Alves dos Santos e José Carlos Corrêa Eidam(Orientador) Universidade de São Paulo (USP), Brasil marcos.santos@usp.br Universidade de São Paulo (USP), Brasil zeca@ime.usp.br 2.1 Triangularização Para muitas aplicações não é estritamente necessário utilizarmos a forma canônica de Jordan de um operador; a forma triangular é suficiente. Vamos descrever os fatos mais relevantes relacionados ao assunto. 1 Introdução Neste trabalho, construiremos a forma canônica de Jordan de um operador linear em um espaço vetorial de dimensão finita. Isto consiste em decompor o operador como soma de um operador diagonalizável e de um operador nilpotente, sob certas hipóteses. Esta decomposição tem muitas aplicações no estudo da estrutura do operador. Também estudaremos o problema de triangularização de um operador linear, que, se por um lado não fornece um resultado tão sólido como o da forma canônica, por outro é de fácil aplicação. E finalizaremos a exposição com algumas aplicações. 2 Resultados Suporemos que V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo F = R ou C. O espaço de operadores lineares em V será denotado por L (V). Os polinômios minimal e característico de T serão denotados respectivamente por q T (x) e p T (x). Vamos enunciar o principal teorema utilizado em nosso trabalho. Teorema 2.1 (Decomposição Primária) Seja T L (V) um operador linear sobre o espaço vetorial V de dimensão finita sobre o corpo F. Seja q T = p 1 r1... p k r k o polinômio minimal de T, onde os p i s são polinômios distintos, irredutíveis e unitários sobre F e os r i s são inteiros positivos. Então são verdadeiras as seguintes afirmações: 1. V = W 1... W k, onde W i = kerp i (T) ri, i = 1,...,k; 2. Cada W i é invariante por T; 3. Se T i é o operador induzido sobre W i por T, então o polinômio minimal de T i é p ri i. Trataremos inicialmente do problema de triangularização de operadores e, posteriormente, estudaremos a existência da forma canônica de Jordan. de V. Definição 2.2 Um operador linear T L (V) é dito triangularizável se admite uma base em relação à qual sua matriz é triangular. Não é difícil verificar que um operador é triangularizável se e só se admite subespaços invariantes = V V 1... V n = V, com dim V j = j, j =, 1,...,n. O próximo resultado classifica os operadores triangularizáveis. Teorema 2.3 Seja T L (V) um operador linear sobre um espaço vetorial V sobre um corpo F. Então T é triangularizável se e só se os autovalores de T pertencem em F. Demonstração: Se T é triangularizável, obviamente os autovalores de T pertencem a F, pois os autovalores de uma matriz triangular são os elementos de sua diagonal. Para a recíproca, usaremos o princípio de indução. Claramente o teorema vale quando dimv = 1. Suponhamos que valha também para espaços de dimensão n 1. Como T e T t têm 1 polinômio característico iguais, T t tem todos os autovalores em F. Logo, existe um subespaço W invariante por T t com dim W = 1. Seja V n 1 o subespaço, de V, anulado por W. Vemos que dim V n 1 = n 1 e V n 1 é invariante por T, portanto podemos considerar o operador T 1 = T Vn 1. Pela hipótese de indução, existem subespaços V 1... V n 1, com dimv j = j, invariantes por T 1 e, portanto, invariantes por T. Logo, T é triangularizável. Observação 2.4 É interessante observar na prova do teorema 2.3 que, dada uma ordenação λ 1,...,λ n dos autovalores de T (respeitando suas multiplicidades), é possível obter uma base de V em relação à qual a matriz de T tem λ 1,...,λ n, nesta ordem, ao longo da diagonal. O próximo resultado mostra que, embora possam existir operadores lineares sem autovetores, sempre é possível obter subespaços invariantes nãotriviais de dimensão baixa. 1 Denotamos por T t L (V ) o operador definido por (T t φ)(u) = φ(tu), u V, φ V, onde V denota o espaço dual 281

2 Teorema 2.5 Todo operador linear T L (V) sobre um espaço vetorial V de dimensão finita possui um subespaço invariante de dimensão 1 ou 2. Demonstração: Este teorema é evidente no caso em que V é complexo. Podemos, portanto, supor que V seja real. Seja q T = p 1... p k o polinômio minimal de T, onde cada p j é um polinômio mônico, irredutível de grau 1 ou 2. Como q T (T) =, algum p i (T) não é inversível. Logo, existe v tal que p i (T)v =. Chamemos p i de p. Se o grau de p é 1, obviamente, v é um autovetor. Suponhamos que o grau de p seja 2, digamos p(x) = x 2 bx c, com b,c R. Como p(t)v = (T 2 bt c)v = então T(Tv) = T 2 (v) = bt(v) + cv e, portanto, span {v, T(v)} é invariante por T. Além disso, {v, T(v)} é linearmente independente, pois se Tv = λv, então T 2 v = λ 2 v. Assim, = p(t)v = T 2 v btv cv = (λ 2 bλ c)v e, portanto, λ é raiz de p. Isto é uma contradição, pois p é irredutível de grau 2 e, portanto, não possui raiz real. Logo, span {v,t(v)} é invariante por T de dimensão 2. A fim de extender alguns resultados válidos inicialmente para espaços complexos para o caso real, precisamos da seguinte definição. Definição 2.6 Dado um espaço vetorial real V, uma complexificação de V é um espaço vetorial complexo V C que contém V como subespaço real e tem a propriedade de que todo operador linear real T : V W, onde W é um espaço vetorial complexo, admite uma única extensão linear complexa a V C. Não é difícil verificar que todas as complexificações de V são únicas a menos de isomorfismo. Dado um espaço vetorial complexo W, é possível considerá-lo como um espaço real; basta restringir a multiplicação escalar para R. É fácil ver que a dimensão de W como espaço real é o dobro de sua dimensão como espaço complexo. Um resultado útil envolvendo bases e complexificações será enunciado a seguir. Lema 2.7 Se V é um espaço vetorial complexo e B 1 = {v 1,...,v n } é uma base complexa de V então B 2 = {v 1,iv 1,...,v n,iv n } é uma base real de V. Em particular, se T é um operador linear em V cuja matriz em relação a B 1 é (c ij ) n n então a matriz de T em relação a B 2 é a matriz (2n) (2n) A A 1n.. A n1... A nn, onde cada A ij é um bloco 2 2 da forma e c ij = a ij + ib ij, para 1 i,j n. ( ) aij b ij b ij a ij Vamos extender o teorema 2.3 para operadores que não necessariamente têm todos os seus autovalores em F. Para isto, daremos uma definição. Definição 2.8 Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita. Um operador linear T L (V) é semi-triangularizável quando existe uma base de V na qual sua matriz é da forma A 1 A m, (1) onde os primeiros k blocos são 1 1, os restantes são blocos 2 2 da forma ( ) a b b a, com a,b R; e são nulos os elementos abaixo destes blocos. Podemos agora enunciar o resultado que generaliza o teorema 2.3 para o caso real. Teorema 2.9 Se V é um espaço vetorial real de dimensão finita, então todo operador linear T L (V) é semi-triangularizável. Demonstração: Seja q T = q 1 q 2 o polinômio minimal de T, onde q 1 tem somente raízes reais, λ 1,...,λ m, e q 2 tem somente raízes complexas, µ 1,µ 1,...,µ n,µ n. O teorema 2.1 nos fornece uma decomposição V = V 1 V 2 onde os operadores T 1 = T V1 e T 2 = T V2 têm λ 1,...,λ m e µ 1,µ 1,...,µ n, µ n como autovalores, respectivamente. Pelo teorema 2.3, T 1 é triangularizável. Considere T C 2 L (V C 2 ) o operador complexificado de T 2. Pelo mesmo teorema, T 2C é triangularizável. Além disso, podemos obter uma base B = {u 1 + iv 1,u 1 iv 1,...,u n + iv n, u n iv n } de V2 C tal que a matriz de T2 C com relação a B tem µ 1,µ 1,...,µ n,µ n ao longo da diagonal, nesta ordem. Não é difícil ver que B = {u 1,v 1,...,u n,v n } é base de V e a matriz de T 2 nesta base é ( α1 β 1 β 1 α 1 ) ( αn β n β n α n ), (2) onde µ j = α j + iβ j, j = 1,...,n. Portanto, T é semi-triangularizável. Vamos fazer uma aplicação simples do teorema 2.9. Definição 2.1 Uma estrutura complexa em um espaço vetorial real V é um operador linear J L (V) tal que J 2 = I. 282

3 Não é difícil verificar que um espaço vetorial real de dimensão finita admite estrutura complexa se e só se sua dimensão é par. Neste caso, é possível definir uma estrutura de espaço vetorial complexo em V mantendo a mesma definição para soma de vetores e definindo o produto escalar por (α + iβ)u = αu + βju para α, β R e u V. O espaço V munido desta estrutura será denotado por (V,J). Se B C = {u 1,...,u n } (V,J) é uma base (complexa) de (V, J), não é difícil verificar que B = {u 1,...,u n,ju 1,...,Ju n } é uma base de V. Em particular, dim V = 2n, onde n = dim(v, J). A matriz de J na base B é ( ) I, I onde cada bloco é de tamanho n. Vemos que um operador T L (V) pertence a L (V,J) se e só se TJ = JT. A próxima proposição será útil nas aplicações. Proposição 2.11 Dado um operador linear sobre um espaço vetorial real V de dimensão par, existe uma estrutura complexa J que comuta com T. Demonstração: Pelo teorema 2.9, existe uma base de V em relação à qual a matriz de T é da forma (2), onde µ j = α j + iβ j, j = 1,...,n são os autovalores de T. Considere J o operador linear cuja matriz nesta mesma base é ( ) 1 1. ( ) 1 1 Obviamente, J 2 = I e J comuta com T. 2.2 Forma canônica de Jordan Vamos agora construir a forma canônica de Jordan de um operador linear. Para isso, é necessário estudar primeiramente a estrutura de um operador nilpotente. Definição 2.12 Um operador linear T L (V) é dito nilpotente quando se tem T k = para algum k N. O índice de um operador nilpotente é o menor número k N tal que T k =. Se T L (V) é um operador nilpotente de índice k, então existe v tal que T k 1 v mas T k v =. Não é difícil ver que {v, Tv,,T k 1 v} é linearmente independente. Em particular, k não excede a dimensão de V e se T é nilpotente de índice k = dimv então existe uma base de V na qual a matriz de T é da forma 1 1 1, (3) onde os termos não indicados são nulos. Mesmo quando o índice de nilpotência de T não coincide com a dimensão de V, podemos dar uma descrição bastante simples do operador T. Para isso, daremos uma definição. Definição 2.13 Dado um operador linear T L (V), um subespaço vetorial W V é dito cíclico quando existe um vetor w W tal que T k w = e é uma base de W. {w,tw,...,t k 1 w} (4) O próximo resultado classifica totalmente os operadores nilpotentes. Teorema 2.14 Seja T L (V) um operador nilpotente de índice k sobre o espaço vetorial V de dimensão finita. Existem inteiros k = k 1 k 2... k r >, tais que V = V 1... V r, onde cada V j é um subespaço cíclico de dimensão k j. Considerando em cada V j uma base como em (4), temos que a matriz de T com relação à reunião destas bases é formada por blocos do tipo (3) de tamanhos k 1,...,k r dispostos ao longo da diagonal. Podemos agora construir facilmente a forma de Jordan de um operador linear. De fato, dado T L (V), suponhamos que o polinômio minimal r1 r q T = p 1 p k k de T, seja dado por um produto de fatores lineares p i = x λ i. Pelo teorema 2.1, V = W 1... W k, (5) onde W i = ker(t λ i I) ri. Considere o operador diagonalizável D = λ 1 P λ k P k onde P i é a projeção de V sobre W i relativamente à decomposição (5) e N = T D. Como I = P P k e T = TP TP k então N = (T λ 1 )P (T λ k )P k e ND = DN. É fácil ver que N r = (T λ 1 ) r P (T λ k ) r P k ; em particular, se r r i, para todo i, então N r =, ou seja, N é nilpotente. Assim, existe uma base de V na qual a matriz de T está na forma canônica de Jordan, isto é, é triangular inferior, sua diagonal é formada por autovalores que se repetem consecutivamente conforme suas multiplicidades algébricas e os elementos imediatamente abaixo da diagonal são 283

4 iguais a ou 1; os demais elementos são nulos. Não é difícil verificar que a decomposição T = D + N, com D diagonalizável, N nilpotente e DN = N D é única. Resumindo, temos: Teorema 2.15 (Forma canônica de Jordan) Se o polinômio minimal de T tem todas as suas raízes em F então T = D + N, com D diagonalizável, N nilpotente e DN = ND. Além disso, esta decomposição é única. Dito de outra maneira: existe uma base de V em relação à qual a matriz de T é da forma λ 1 ε 1 ε n 1 λ n, (6) onde λ 1,...,λ m F, são os autovalores de T, repetidos de acordo com sua multiplicidade, ε j = ou 1, j = 1,...,n e os termos não indicados são nulos. A matriz (6) é chamada de forma canônica de Jordan de T. Vamos agora generalizar o teorema 2.15 para o caso em que T não necessariamente possui seus autovalores em F. Para isso, suponhamos que V é um espaço real, T L (V) é um operador linear e mantenhamos a notação do teorema 2.9. Pelo teorema 2.15, V 1, V2 C admitem bases B 1,B 2 em relação às quais as matrizes de T 1 e T2 C são da forma (6), respectivamente. Os elementos da diagonal da matriz de T2 C em relação à B 2 são os autovalores complexos µ 1,...,µ n, µ 1,...,µ n de T, repetidos de acordo com suas multiplicidades. Pelo mesmo processo utilizado no teorema 2.9, podemos obter, a partir de B 2, uma base de V 2 em relação à qual a matriz de T 2 tem a forma A 1 B 1 B n 1 A n, (7) ( αj β onde os blocos A j são da forma j β j α j ), com µ j = α j + iβ j, j = 1,...,n, os blocos B i são da forma ( ε ε ), ε = ou 1, e os demais elementos são nulos. Portanto, está provado o seguinte teorema. Teorema 2.16 (Forma canônica real) Se V é um espaço vetorial real então todo operador linear em V admite uma base em relação à qual a matriz de T é da forma ( A B ), onde A é da forma (6), B é da forma (7), λ 1,...,λ n são os autovalores reais de T e µ 1,...,µ n, µ 1,...,µ n são os autovalores complexos de T. 3 Aplicações Nesta seção, mostraremos aplicações da forma triangular e da forma canônica de Jordan de um operador linear. 3.1 Teorema de Cayley-Hamilton Este teorema afirma que todo operador linear é anulado pelo seu polinômio característico. Mostraremos este fato usando a forma triangular. Teorema 3.1 Seja V um espaço vetorial sobre um corpo F. Se o operador linear T L (V) possui todos os seus autovalores em F e p T é o polinômio característico de T então p T (T) =. Demonstração: Se T possui todos seus autovalores em F, então, pelo teorema 2.3, existe uma base B = {v 1,...,v n } de V tal que os subespaços V j = span {v 1,...,v j }, j = 1,...,n são invariantes. Se λ 1,...,λ n são os autovalores de T então p T (λ) = ( 1) n (λ λ 1 )... (λ λ n ). Pela invariância de V j e pela forma triangular, temos que Tv j = λ j v j + u j 1, onde u j 1 V j 1. Em particular, (T λ j I)v j = u j 1 V j 1, logo S j = (T λ j I) leva V j em V j 1 para j = 1,...,n. Como p T (T) = S 1... S n, temos p T (T) =. Teorema 3.2 (Cayley-Hamilton) Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre F. Se p T é o polinômio característico de T L (V) então p T (T) =. Demonstração: Caso F = C, o resultado é imediato pelo teorema 3.1. Caso F = R, consideremos a complexificação V C de V e o operador complexificado T C L (V C ). Evidentemente, p T C = p T, e sabemos, pelo teorema 3.1 que = p T C(T C ) = p T (T C ) = p T (T) C. Logo, p T (T) =. 3.2 Autovalores de p(t) Ainda usando triangularização, mostraremos um fato interessante que relaciona os autovalores de um operador linear T com os autovalores dos operadores p(t), onde p é um polinômio qualquer. Proposição 3.3 Seja T L (V). Se Σ(T) denota o conjunto dos autovalores de T, então, para todo polinômio p sobre F, Σ(p(T)) = p(σ(t)). Demonstração: Suponhamos primeiramente F = C. Se λ 1,...,λ n C são os autovalores de T repetidos de acordo com sua multiplicidade, então, pelo teorema 2.3 existe uma base de V em relação à qual a matriz de T é da forma triangular, 284

5 com λ 1,...,λ n ao longo da diagonal. Dado um polinômio p sobre F, a matriz de p(t) em relação à mesma base tem p(λ 1 ),...,p(λ n ) ao longo da diagonal e portanto, estes são os autovalores de p(t), repetidos de acordo com sua multiplicidade. Tratemos agora o caso real. Sejam λ 1,...,λ k R, µ 1, µ 1,...,µ l, µ l C os autovalores de T, repetidos de acordo com sua multiplicidade. Pelo teorema 2.9, existe uma base de V em relação à qual a matriz de T é da forma (1). Em particular, a matriz de p(t) é da forma p(a 1 ) p(a m ), Caso A j = (λ j ) seja um bloco 1 1, obviamente, p(a j ) = (p(λ ( j )), logo, p(λ j ) é autovalor de p(t). αj β Caso A j = j β j α j ), com α j = Re (µ j ) e β j = Im(µ j ), então ( ) Re p(µj ) Im p(µ p(a j ) = j ), Im p(µ j ) Re p(µ j ) e, portanto, os demais autovalores de p(t) são da forma p(µ 1 ),...,p(µ l ). Como corolário simples da proposição anterior, temos o seguinte. Corolário 3.4 Dado T L (V), temos tr(p(t)) = n p(λ j ), j=1 para todo polinômio sobre F, onde λ 1,...,λ n são os autovalores de T repetidos de acordo com a multiplicidade. O corolário 3.4 tem algumas conseqüências interessantes. Por exemplo, se p(x) = x 3 e (a ij ) é a matriz de T em relação à alguma base de V, então n i,j,k=1 a ij a jk a ki = 3.3 Raízes m-ésimas n λ 3 j. j=1 Finalmente, utilizaremos a forma de Jordan para obter raízes m-ésimas de operadores lineares. Teorema 3.5 Seja T L (V) e m um inteiro positivo. Vamos assumir que x = é uma raiz de q T (x) de multiplicidade no máximo 1. Então são verdadeiras as seguintes afirmações: 1. Se todos os autovalores de T pertencem a F então existe S L (V) tal que S m = T e ST = TS; 2. Se F = R e m é ímpar então existe S L (V) tal que S m = T e ST = TS; 3. Se F = R, m é par e T não possui autovalores reais negativos, então existe S L (V) tal que S m = T e ST = TS. Demonstração: Escrevamos q T (x) = x l q(x), com l = ou l = 1. Caso l =, o operador T é inversível. Caso l = 1, pelo teorema da decomposição primária existe uma decomposição V = ker T Z, com Z = kerq(t), tal que o polinômio minimal de T Z é q(x). Obviamente, T Z é inversível e, portanto, podemos supor, sem perda de generalidade, que o próprio operador T é inversível. Pondo α = 1/m, consideremos a série binomial onde ( α ) = 1 e ( α n ) = (1 + x) α = ( α n )x n, (8) n= α(α 1) (α n + 1) n! para n 1. A expressão (8) é convergente se x < 1, mas pensando x como uma indeterminada, esta equação corresponde simplesmente a uma infinidade de relações entre os números ( α n ), a saber, ( n= ( α n )x n ) m = 1 + x. Se T = λi + N com λ e N nilpotente, podemos obter, via série binomial, um operador R L (V) tal que R m = I + λ 1 N. Como N é nilpotente, então R é, de fato, um polinômio em N. Em particular, R comuta com N e, escolhendo µ F tal que µ m = λ, temos que o operador S = µr é tal que S m = T e ST = TS. Vamos agora dividir a prova em três partes, de acordo com as hipóteses do enunciado. 1. Usando a forma canônica de Jordan, obtemos uma decomposição V = W 1... W k de V tal que cada subespaço é invariante por T e T é da forma λi + N, λ, em cada um dos W j. Usando a argumentação do parágrafo anterior e a invariância dos W j, construímos um operador S L (V) tal que S m = T e ST = TS. 2. Sejam λ 1,...,λ k R os autovalores reais e µ 1,µ 1,...,µ l, µ l C os autovalores complexos de T, repetidos de acordo com a multiplicidade. Podemos, como no teorema 2.9, obter uma decomposição V = V 1 V 2 onde os operadores T 1 = T V1 e T 2 = T V2 têm λ 1,...,λ m e µ 1,µ 1,...,µ n,µ n como autovalores, respectivamente. Como os autovalores de T 1 são reais, pelo ítem anterior existe um operador S 1 em V 1 tal que S m 1 = T 1 e S 1 T 1 = T 1 S 1., 285

6 Pela proposição 2.11, existe uma estrutura complexa J L (V 2 ) que comuta com T 2. Denotando por W o espaço complexo (V 2,J), temos que T 2 L (W) e, portanto, pelo primeiro ítem, existe S 2 L (W) tal que S m 2 = T 2 e S 2 T 2 = T 2 S 2. Definindo S como S 1 em V 1 e S 2 em V 2, temos o operador procurado. 3. Basta repetir a prova do ítem anterior, observando que, como T não possui autovalores reais negativos, o operador S 1 construído em V 1 é bem-definido, pois m é par. Observação 3.6 É possível obter unicidade no teorema anterior desde que suponhamos que, tanto T quanto S são operadores auto-adjuntos positivos, com relação a algum produto interno fixado em V. Referências [1] Lima, E., Álgebra Linear, Projeto Euclides, IMPA, [2] Hoffmann, K., Kunze, R., Álgebra Linear, Polígono,