UMA PITADA DE PASSEIOS ALEATÓRIOS

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1 UMA PITADA DE PASSEIOS ALEATÓRIOS RENATO JACOB GAVA 1. Introdução Suponha que um jogador entre num cassino com 0 reais em dinheiro para apostar. Assuma que ele participe de um jogo que consiste de apostas independentes e que em cada aposta de 1 real ou ele ganhe um real com probabilidade p ou perca um real com probabilidade 1 p. Se a fortuna do cassino for de 100 reais e o jogador apostar indefinidamente, isto é, apostar até ficar sem dinheiro ou até obter 10 reais, perguntase: qual é probabilidade de que o jogador vença a disputa. Conhecido como a ruína do jogador, este problema pode ser visto como um passeio aleatório. Outra questão interessante a seu respeito tem a ver com o tempo de duração do jogo. Teria ele probabilidade positiva de durar para sempre? Agora pensemos em outro problema. Imagine uma eleição para representante discente de uma turma e suponha os votos válidos sejam 100. Suponha que o candidato A obtenha 60 votos e que o candidato B obtenha 40 votos. Dada a diferença significativa de votos entre A e B, pergunta-se qual é a probabilidade de que A lidere a apuração do início ao fim. Considerando todas as trajetórias de apuração equiprováveis, podemos responder a esta questão usando coeficientes binomiais e o príncipio da reflexão, ferramenta importante no estudo de passeios aleatórios. Estes são dois exemplos de processos estocásticos que podem ser estudados a partir da teoria de passeios aleatórios. Em geral, podemos ver um passeio aleatório como a posição de uma partícula ao longo do tempo. A cada instante de tempo n {0, 1,...} a partícula realiza um salto aleatório de acordo com uma determinada distribuição. Portanto, a posição S n da partícula no instante n será uma soma de variáveis aleatórias (v.a. s); na maior parte de nossos exemplos as v.a. s serão independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.). Podemos encontrar aplicações da teoria de passeios aleatórios em diversas áreas do conhecimento tais como estatística, física, economia, computação e biologia. Nestas notas limartar-nos-emos aos passeios aleatórios simples, ou seja, aos passeios cujos saltos tem tamanho um. Estas curtas notas estão baseadas nas obras [1,, 3]. Nelas o leitor interessado encontrará

2 RENATO JACOB GAVA muitos mais exemplos e aplicações de passeios aletários, além do desenvolvimento bastante mais amplo da teoria acerca do assunto. Vale salientar, por fim, que o tema passeios aleatórios é atualmente objeto de pesquisas acadêmicas mundo afora, tanto em matemática como em física.. Definição e resultados elementares Definição.1. Seja {X n } n 1 uma de v.a. s i.i.d. com P(X n = 1) = p e P(X n = 1) = q para todo n 1, com p + q = 1. Sejam S 0 = c e n S n = c + X i, n 1. i=1 A sequência de v.a. s {S n, n 0} é chamada de passeio aleatório simples (PAS). Quando p = 1/ na definição.1 dizemos que o PAS é simétrico (PASS). Quando p 1/, chamamo-lo de assimétrico (PASA). É fácil ver que na dinâmica da ruína do jogador o capital acumulado pelo jogador ao longo das apostas pode ser visto como um passeio aleatório simples. Nesse caso, a variável aleatória X i representa o ganho do jogador na i-ésima jogada. Exemplo.. Defina S 0 = i, i > 0 e { 0, se Sn = 0 S n+1 = S n + X n+1, se S n > 0, onde {X n } n 1 é uma sequência de v.a. s i.i.d. com P(X n = 1) = p e P(X n = 1) = q para todo n 1. Aqui temos um passeio aleatório com barreira absorvente na origem. Exemplo.3. Considere o espaço de estados {0, 1,, d} e variáveis aleatórias independentes entre si tais que P(X n+1 = 1) = p e P(X n+1 = 1) = q; se S n {1,,..., d 1} P(X n+1 = 1) = p e P(X n+1 = 0) = q; se S n = 0 P(X n+1 = 0) = p e P(X n+1 = 1) = q; se S n = d. Temos neste caso um passeio aleatório com barreiras de retenção. Exemplo.4. Seja (X n, n 1) uma coleção de variáveis aleatórias independentes tais que P(X n+1 = 1) = λ n P(X n+1 = 1) = µ n, onde λ n + µ n = 1. Temos um passeio aleatório não homogêneo. Exemplo.5. Considere uma partícula realizando um passeio aleatório sobre os vértices do quadrado {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Ponha

3 UMA PITADA DE PASSEIOS ALEATÓRIOS 3 a = (x a, y a ), b = (x b, y b ) e considere {S n } n 0 o seguinte PAS sobre os vértices do quadrado P(S n+1 = b S n = a) = 1, se x a x b + y a y b = 1 P(S n+1 = b S n = a) = 0, caso contrário. Aqui a cada passo a partícula escolhe saltar para um dos vértices vizinhos com a mesma probabilidade. Exercício.6. Nas condições do exemplo anterior, calcule o tempo médio que o PAS leva para atingir o vértice (1, 1) saindo de (0, 0). Definição.7. Sejam n m dois inteiros positivos. Sejam r e s dois inteiros. Um caminho de (n, s) a (m, t) é uma sequência de pontos {(i, s i )} n i m tal que s n = s. s m = t e s i s i+1 = 1 para n i m. Teorema.8. Sejam k e n 0 inteiros. Se n + k for par, então ( ) n P(S n = k) = p n+k n k (1 p) Demonstração. Considere uma realização do passeio aleatório de (0, 0) a (n, s). Sejam r o número de passos positivos e s o número de passos negativos. Observe que r + s = n e r s = k. ( Resolvendo ) esse n sistema linear, temos r = n+k e s = n k, ou seja, há caminhos que conectam (0, 0) a (n, k). Como cada caminho possui a mesma probabilidade de ocorrer, obtemos ( ) n P(S n = k) = p n+k n k (1 p). Proposição.9 (Princípio da reflexão). Sejam r e s inteiros positivos. Então o número de caminhos que vão de (0, r) a (n, s) e tocam o eixo x é igual ao número de caminhos de (0, r) a (n, s). Demonstração. Omitida. Proposição.10. Sejam 0 < s < n inteiros com n + s par. O número de caminhos de (0, 0) a (n, s) com s 0 = 0, s 1 >, s > 0,..., s n 1 > 0 e s n = s é ( n 1 1 ) ( ) n 1 = s n ( ) n Demonstração. Estamos interessados apenas nos caminhos que permanecem no primeiro quadrante. Para tanto, observe que o primeiro passo tem de ser para cima. Assim, contemos o número de caminhos de (1, 1) a (n, s). Considerando r o número de passos positivos e t o número de passos negativos,

4 4 RENATO JACOB GAVA temos que r + t = n 1 e r t = s 1. A resolução do sistema linear nos dá r = n + s 1 e s = n s ( ) n 1, ou seja, há caminhos 1 que conectam (1, 1) a (n, s). Agora temos de subtrair desse número os caminhos que vão de (1, 1) a (n, s) e tocam o eixo x. Observemos que para todo caminho que vai de (1, 1) a (n, s) e toca o eixo x, pelo princípio da reflexão, há um caminho que vai de (1, 1) a (n, s), isto é, temos de subtrair os caminhos que vão de (1, 1) a (n, s), que são ( ) n 1. Portanto, o número de caminhos que vão de (0, 0) a (n, s) e permanecem no primeiro quadrante é dado por ( ) ( ) n 1 n 1. 1 Exercício.11. Mostre que ( ) ( ) n 1 n 1 = s ( ) n 1 n Exemplo.1. Considere a hipotética eleição discente da introdução. Se o candidato A obteve 60 e o candidato B 40 votos, para obter a probabilidade de que A lidere a apuração eleitoral do início ao fim temos de contar o número de caminhos que vão de (0, 0) a (100, 0) e não tocam o eixo x e dividir pelo número de caminhos que vão (0, 0) a (100, 0), ou seja, ( 99 ) ( 99 ) 59 ( ) = = 1 5. Exemplo.13. Suponha que numa eleição após a contagem dos votos o candidato A tenha obtido a votos e o candidato B, b votos, com a > b. Qual é a probabilidade de que o candidato A tenha liderado a contagem de votos do início ao fim? O teorema anterior nos diz que esta probabilidade é a b a + b. Exercício.14. Calcule o número de caminhos que vão de a = (x a, y a ) a b = (x b, y b ) e não tocam o eixo y = c, ou seja, s 0 = y a, s n = y b e s i > c para i = 1,..., n 1, para i) a = (0, 0), b = (1, 6) e c = 0; ii) a = (0, 0), b = (11, 5) e c = 1; iii) a = (0, 1), b = (16, 7) e c = 0;

5 UMA PITADA DE PASSEIOS ALEATÓRIOS 5 iv) a = (0, 1), b = (16, 9) e c = ; v) a = (0, 1), b = (16, 10) e c = ; Considerando todos os caminhos de a a b equiprováveis, calcule a probabilidade de que um caminho que parte de a e toca b não toque a reta y = c. 3. O problema da ruína do jogador Agora voltamos nossa atenção para o problema da ruína do jogador descrito na introdução. Podemos identificar o a dinâmica da ruína do jogador com um passeio aleatório simples com dois pontos absorventes. De modo geral, suponha que a fortuna inicial do jogador seja i e que ele joga até atingir a fortuna de N ou 0 reais, 0 < i < N. A cada aposta ele ganha um real com probabilidade p ou perde um real com probabilidade q. Assim, seja S n a fortuna do jogador após n rodadas. Temos que S 0 = i e que n S n = i + X j, onde {X j } j 1 são v.a. s i.i.d. com P(X j = 1) = p, P(X j = 1) = q e p + q = 1. Para encontrar a probabilidade de que o jogador quebre a banca, seja P i a probabilidade de que o jogador eventualmente atinja N. Condicionando no valor do primeiro passo, obtemos Em seguida, observe que o que implica que j=1 P i = P i+1 p + P i 1 q para i {1,... N 1}. pp i + qp i = P i+1 p + P i 1 q, P i+1 P i = q p (P i P i 1 ). Fazendo a indução em i e aplicando a condição inicial P 0 = 0, temos P i+1 P i = ( q ) i(p1 P 0 ) = ( q ) ip1. p p Usemos esse resultado para obter uma expressão para a seguinte soma telescópica Isto é, i 1 P i P 1 = j=1 (P j+1 P j ) = P 1 (q p + ( q p 1 (q/p) i P P i = 1 1 q/p, se p q P 1 i, se p = q ) (q ) i 1 ) p

6 6 RENATO JACOB GAVA Usando a condição inicial P N = 1, obtemos P 1 = Assim, concluímos que (1) P i = 1 (q/p) 1 (q/p) N, se p q 1 N, se p = q 1 (q/p) i 1 (q/p), se p q N. i N, se p = q Exemplo 3.1. Suponha que a fortuna do jogador seja de 5 reais, que p = 0, 6, q = 0, 4 e que ele deseje obter um lucro de 10 reais. Assim, N = 15 e a fórmula (1) nos dá P 5 = 1 (/3)5 0, (/3) 15 Suponha agora que nosso jogador é ambicioso e quer ganhar muito dinheiro com suas apostas. O que ocorre com sua probabilidade de vitória quando N? Tomando o limite em (1) temos { 1 (q/p) lim P i = i, se p > q N 0, se p q. Ou seja, se sua chance de sucesso p a cada rodada for p 1/, então perderá a disputa com probabilidade 1. Se p > 1/, ele tem probabilidade positiva de enriquecer ilimitadamente. Exemplo 3.. Usando os parâmetros do Exemplo 3.1, isto é, p = 0, 6, q = 0, 4 e i = 5, obtemos lim P 5 = 1 (/3) 5 0, 868. N A fim de encontrar o tempo médio de duração do jogo precisamos da definição e do teorema que seguem. Definição 3.3 (Tempo de parada). Seja {X n } n 1 uma seqüência de v.a. independentes. Uma v.a. τ é chamada de tempo de parada para esta seqüência se o evento {τ = n} é independente de X i para todo i n + 1. No caso de um passeio aleatório o tempo de primeira passagem é um exemplo de tempo de parada. Intuitivamente, observando a realização de X 1,..., X n sabemos se o evento {τ = n} ocorre ou não, ou seja, a ocorrência de {τ = n} não depende de X n+1, X n+,... Exemplo 3.4. Considere {S n } n 0 o PAS definido na seção anterior. Defina T = max{n 1; S n = 0}

7 UMA PITADA DE PASSEIOS ALEATÓRIOS 7 T é o tempo de última passagem do passeio pelo sítio 0. T não é tempo de parada, já que o evento {τ = 5} dependente de X i para todo i 6. Teorema 3.5 (Equação de Wald). Seja {X n } n 1 uma sequência de v.a. s i.i.d. inteiras com E( X i ) < e seja τ um tempo de parada para {X n } n 1 com E(τ) <, então τ E( X i ) = E(τ)E(X 1 ). i=1 Agora usemos a equação de Wald para obter uma fórmula para o tempo médio de duração do jogo. Seja τ = min{n 1; S n = 0 ou S n = N} Observe que τ é um tempo de parada e assuma que E(τ) < (ver Exercício 3.6). Analisemos o caso em que p q. Temos que (q/p) τ i (q/p) N 0, com prob. S τ = i + X j = 1 (q/p) N 1 (q/p) j=1 i. N, com prob. 1 (q/p) N Pela equação de Wald, o que implica que () E(S τ ) = N 1 (q/p)i = i + (p 1)E(τ), 1 (q/p) N E(τ) = i 1 p N 1 p 1 (q/p) i 1 (q/p). N Exercício 3.6. Para obter a expressão assumimos que E(τ) <. A partir da definição do problema da ruína do jogador, prove que E(τ) < para todo p (0, 1). Exercício 3.7. Considere p = q = 1/. Seja D i o tempo médio de duração do jogo dado que a fortuna inicial do jogador é i {1,,... N 1}. i) Mostre que (3) D i = 1 D i D i ii) Quais são as condições iniciais D 0 e D N? iii) Mostre que i(n i) é solução de (3). Exercício 3.8. Um jogador faz uma série de apostas de um real. Ele decide parar de apostar assim que ganhar R$40 ou quer perder R$10. Calcule a probabilidade de ruína do jogador e o número de apostas até que o jogo acabe se i) p = q = 1/ e e ii) se p = 9/19 e q = 10/19.

8 8 RENATO JACOB GAVA 4. Recorrência e trasiência Nesta seção voltamos a lidar com o PAS {S n } n 0, definido no início da Seção, e assumiremos sem perda de generalidade que S 0 = 0. Estudaremos brevemente a recorrência e a transiência do PAS em Z e sua dependência em relação ao parâmetro p. Considere a seguinte v.a definida por T i = min{n 1; S n = i}. Observe que T i é um tempo de parada. Definição 4.1. Dizemos que o PAS é recorrente se P(T i < ) = 1. Se P(T i < ) < 1, dizemos que o PAS é transiente. Intuitivamente, recorrência significa que o passeio visitará o sítio i em algum momento, o que por sua vez implica que o sítio i será visitado infinitas vezes. Transiência significa que há probabilidade positiva de o passeio nunca visitar o sítio i, o que por sua vez implica que o sítio i será visitado um número finito de vezes ao longo do tempo. Teorema 4.. Para o PAS em Z, as seguintes afirmações são equivalentes: i) P(T 0 < ) = 1 ii) P(S n = 0) = Demonstração. Omitida. Introduza agora o número de visitas V 0 ao sítio 0 ao longo do tempo. Note que (4) V 0 = Então E(V 0 ) = E( I {S}) = 1 {S} E(I {S}) = onde I {S} é uma variável indicadora, isto é, { 1, se Sn = 0 I {S} = 0, se S n 0. P(S n = 0), Se P(S n = 0) <, podemos afirmar diretamente de (4) que P(V 0 < ) = 1, justicando a intuição de que a transiência do sítio 0 significa que ele é visitado finitas vezes ao longo do processo. Exercício 4.3. Seja X uma v.a. inteira não-negativa. Mostre que E(X) = i 1 P(X i) e que E(X) < implica P(X < ) = 1. Teorema 4.4. O PAS em Z é recorrente se e somente se p = q = 1/.

9 UMA PITADA DE PASSEIOS ALEATÓRIOS 9 Demonstração. Basta analisar o sítio 0, já que o modelo é invariante por translação. Usemos o Teorema 4. e mostremos que P(S n = 0) = se e só se p = q = 1/. É fácil ver que o retorno ao sítio 0 ocorre apenas num número par de passos. Usando os resultados da Seção obtemos ( ) n P(S n = 0) = p n q n. n O próximo passo da prova requer o uso da fórmula de Stirling. A fórmula de Stirling nos garante que onde o símbolo significa que lim n n! πnn n e n n! = 1. πnnn e n Aplicando a fórmula de Stirling ao coeficiente ( ) n n obtemos que ( ) n n, n πn o que implica que (5) P(S n = 0) (4pq)n πn. Agora analisemos (5) em função de p. Se p q, temos 4pq < 1. Logo existe n 0 inteiro tal que se n n 0 o que implica que P(S n = 0) (4pq)n π, P(S n = 0) <, ou seja, chegamos à conclusão de que o sítio 0 é transiente se p q. Por outro lado, se p = q = 1/, temos 4pq = 1. Então P(S n = 0) 1 πn, mas disso resulta que P(S n = 0) =, e a recorrência do sítio 0 está provada.

10 10 RENATO JACOB GAVA Apresentamos abaixo mais uma aplicação da equação de Wald para o PASS. Exemplo 4.5. Considere um PASS com p > 1. O número esperado de passos até o passeio alcançar a posição k, k > 0 é E(τ) = k p 1 Observe que E X 1 = 1 < e que, no instante τ, τ j=1 X j = k com probabilidade 1, o que implica τ E( X j ) = k j=1 Como E(X 1 ) = p 1, obtemos o resultado através da equação de Wald. Exercício 4.6. Use a fórmula de Stirling para demonstrar que ( ) n n. n πn Exercício 4.7. Demonstre passo a passo que se p = q = 1/, então P(S n = 0) =. Referências [1] W. Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications, Wiley, New York,1966. [] S.H. Ross, Introduction to Probability Models, Academic Press, New York, 010. [3] R. Schinazi, Classical and Spatial Stochastic Processes with Applications to Biology, Birkhauser, New York, 010. UFSCAR - Departamento de Estatística. Rodovia Washington Luiz, Km 35, CEP , São Carlos, Brasil gava@ufscar.br