Modelação de conceitos económicos em programação matemática. Matemática e Aplicações

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1 Modelação de conceitos económicos em programação matemática Maria Mafalda de Lancastre e Távora Ceyrat Dissertação para a obtenção do Grau de Mestre em Matemática e Aplicações Orientadores: Prof. Doutor Carlos José Santos Alves Prof. Doutor José Rui de Matos Figueira Júri Presidente: Orientador: Vogal: Prof. a Doutora Adélia da Costa Sequeira dos Ramos Silva Prof. Doutor José Rui de Matos Figueira Prof. a Doutora Ana Leonor Mestre Vicente Silvestre dezembro 2015

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3 Resumo Nesta tese analisa-se a escolha e a combinação de funções multi-objetivo num problema de programação matemática. O estudo baseia-se no artigo de J.N.Hooker e H.P.Williams [18], pretendendo dar resposta a uma questão deixada em aberto em [18], relativamente a um problema de distribuição de recursos escassos em saúde para certas classes de pacientes. O objetivo consiste em analisar a escolha de uma nova função de equidade e modelar duas funções combinadas, uma de utilidades e outra de equidade. Existem várias definições de equidade, assim como várias abordagens e modelações, e o seu inverso pode ser visto como uma questão de iniquidade. Neste caso, queremos encontrar a combinação que maximiza o problema de otimização. Considera- se a programação matemática linear e alguns métodos de resolução de um problema multiobjetivo. Mostramos como a escolha de uma função objetivo mais adequada ao problema de distribuição de recursos, assim como de um método para a resolução de um problema PLIM alternativo, permitem alargar o leque de possíveis soluções e encontrar melhores resultados. Palavras Chave: Programação matemática, Programação multi-objetivo, Modelos de otimização iii

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5 Abstract In this work we analyze the choice and the combination of multi-objective functions in a mathematical programming problem. The study is motivated and based on the article Combining Equity and Utilitarianism in a Mathematical Programming Model of J.N.Hooker and H.P.Williams [18]. The goal is to model two combined functions in the mathematical programming problem: the utility function and the equity function. There are many definitions of equity, as well as approaches and models to this concept, and the inverse can be seen as an inequality problem. Here, we search the combination that maximizes the optimization problem. Addressing a question raised by Hooker and Williams in [18], we analyze the choice of a new equity function for the problem of healthcare policy in allocating scarce resources to classes of patients. It is shown that the choice of a more appropriate function as well as the choice of an alternative MILP resolution method, allows extending the range of possible solutions and lead to better results for this problem. Keywords: Mathematical programming, Multi-objective programing, Optimization models v

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7 Agradecimentos Agradeço ao Professor Carlos José Santos Alves e ao Professor José Rui de Matos Figueira, pelo seu apoio, dedicação e disponibilidade na orientação assim como na revisão deste trabalho. Agradeço ao Instituto Superior Técnico, pelos conhecimentos que adquiri e que me permitiram concluir a dissertação e à Professora Ana Leonor Silvestre pela sua ajuda na adaptação e planeamento do mestrado. Por último quero agradecer também à minha família e aos meus amigos pelo apoio e incentivo, e em especial à minha mãe, ao meu pai, aos meus irmãos e ao Manuel Catarino por estarem presentes ao longo do meu percurso académico. vii

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9 Conteúdo Resumo iii Abstract v Lista de Tabelas xiii 1 Introdução Objetivos da dissertação Estrutura e metodologia Conceitos e definições Programação matemática Programação linear Programação linear inteira mista (PLIM) Softwares usados para resolver problemas de programação lineares inteira mista Programação não linear Programação linear multi-objetivo Otimização de problemas multi-objetivo Objectivos max min Conclusão A matemática na economia Introdução O modelo de Hooker e Willimas Exemplos de modelos equitativos e comparação com os utilitaristas Negociação de Nash Solução igualitarista Exemplos de modelos de iniquidade e comparação com os utilitaristas Índice de Atkinson Índice de Gini O índice de Theil Modelos utilitaristas Conclusão ix

10 4 Modelo alternativo Introdução Modelo inicial Alterações no modelo Modelo generalizado Análise dos dados Implementação do modelo PLIM do artigo Resultados Abordagem estatística Gráficos resultantes Conclusões Conclusões 47 6 Apêndice Teoremas provados no artigo de J.N.Hooker e H.P. Williams x

11 Lista de Figuras 2.1 Ótimos globais e locais da função não linear Função da negociação de Nash com u 0 = 0 e u 0 = Corte do gráfico tridimensional da função da negociação de Nash com u 0 = 0 e u 0 = Combinação da função da negociação de Nash com a função utilitarista Corte do gráfico tridimensional da função da negociação de Nash com a função utilitarista Exemplo de uma função igualitarista Exemplo de uma função combinada de igualdade com utilidade Função de Atkinson com ɛ = 1 e com ɛ Função de Atkinson com ɛ = Função de Atkinson com ɛ Corte do gráfico tridimensional da função de Atkinson com ɛ = 1 e com ɛ Função do índice de Gini Combinação do índice de Gini com a função utilitarista Índice de Theill Corte do gráfico tridimensional da função do índice de Theill Combinação do índice de Theil com o utilitarismo Corte do gráfico tridimensional da função do índice de Theil com o utilitarismo Resultados do modelo Resultados do modelo Resultados do modelo com variação na variável M Resultados do modelo com variação na variável M Resultados do modelo sem a variável M Resultados do modelo com variação nas variáveis c i Simulação 1 e Simulação 3 e Simulação 5 e Simulação 7 e Simulação 9 e Simulação 11 e xi

12 4.13 Simulação 13 e Simulação 15 e Simulação 17 e Simulação 19 e Simulação 21 e Simulação 23 e Simulação 25 e Simulação 27 e Simulação 29 e xii

13 Lista de Tabelas 2.1 Condições necessárias Dados do exemplo da saúde Resultados das simulações Resultados das simulações CPU xiii

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15 Capítulo 1 Introdução Os modelos matemáticos começaram a aparecer na economia por volta do século XVIII. Com a revolução industrial surge a necessidade de compreender e prever alterações económicas, nomeadamente, o comportamento de agentes, questões de distribuições de bens e serviços, impostos, tarifas a atribuir e a melhoria de processos industriais. A economia rege-se principalmente por análises estatísticas de comportamentos e situações passadas, derivadas de modelos, de modo a compreender reacções e poder realizar previsões [6]. A programação matemática é um suporte na modelação de problemas reais desde que os modelos escolhidos estejam não só bem adaptados como também sejam consistentes. Caso contrário, pode levar a análises erradas com conclusões que não se adaptam às situações. Mesmo após a escolha e implementação de um método específico, que descreve certas propriedades da situação em estudo é construtivo analisar o comportamento de modelos alternativos para o mesmo problema. 1.1 Objetivos da dissertação Nesta dissertação pretende-se apresentar uma análise e fazer a implementação de modelos de programação matemática para o problema de distribuição de recursos tratado no artigo de J.N.Hooker e H.P.Williams Combining Equity and Utilitarianism in a Mathematical Programming Model [18]. São realizadas duas abordagens com diferentes objetivos. Em primeiro lugar, procura-se aprofundar e acrescentar valor ao artigo e identificar objetivos para um trabalho futuro, conforme sugerido pelos autores de [18]. Além disso, implementa-se um novo modelo de programação matemática e um novo método para a sua resolução, como abordagem alternativa ao modelo de Hooker e Williams. O modelo e o método alternativos são sugeridos no âmbito de uma resolução mais eficiente do problema. Realiza-se uma análise estatística sobre os resultados obtidos com esta nova abordagem. A ferramenta usada para a formulação do novo modelo, e implementação do novo método, é o programa CPLEX. Este é um trabalho complementar, com o objetivo de enriquecer o trabalho já realizado no artigo mencionado. 1

16 1.2 Estrutura e metodologia A dissertação incide na análise do modelo de programação matemática apresentado por J.N.Hooker e H.P.Williams em [18] e na combinação de uma função de equidade com uma função de utilidade adequadas, seguidas por uma investigação sobre possíveis modelos alternativos para um problema de distribuição de recursos. O que se segue divide-se em três capítulos de desenvolvimento com a estrutura que a seguir se descreve. O Capítulo 2 consiste num levantamento dos conceitos e definições matemáticas referentes à programação linear e métodos de otimização que auxiliarão o estudo em causa. No terceiro capítulo, faz-se uma enumeração de várias funções de equidade como possíveis substitutas da função usada em [18], entre elas a solução clássica da negociação de Nash e a solução igualitarista. Apresentam-se ainda alguns modelos iniquidade tais como o índice de Atkinson, o índice de Gini e o índice de Theil. O capítulo termina com uma análise de modelos utilitaristas. Este capítulo visa preparar o capítulo seguinte, ilustrando o problema para o caso de duas pessoas. Por último, no Capítulo 4, considera-se a formulação matemática do problema para o caso de n pessoas. Apresenta-se um modelo alternativo, com a sugestão de uma nova função de equidade, mais adequada para a resolução do problema da distribuição de recursos em saúde. Usando o programa CPLEX, realizase uma série de simulações com os dados fornecidos em [18]. Segue-se uma análise comparativa dos resultados dos dois modelos testados e as conclusões obtidas neste estudo. 2

17 Capítulo 2 Conceitos e definições Neste capítulo faz-se uma revisão de conceitos importantes em Programação Matemática de problemas lineares e não lineares. Começa-se por uma breve explicação da programação matemática e das suas variantes - programação linear, linear inteira mista, não linear - e métodos de linearização de problemas com múltiplos objetivos. A seguir, faz-se a descrição do método usado na dissertação para a otimização de problemas multi-objetivo. 2.1 Programação matemática A programação matemática é frequentemente usada na modelação de problemas de Engenharia, Economia, Gestão, Biologia e outras ciências. Os modelos de programação matemática têm presente o conceito de otimização (maximização ou minimização) de um ou múltiplos objetivos ( ver [19]). Na resolução de um problema multi-objetivo usam-se técnicas, tais como a programação por objetivo, o método lexicográfico, a otimização min max, a combinação linear por pesos e o método da restrição - ɛ [9] Programação linear A programação linear, regra geral, é o caso mais simples de resolver em programação matemática. Um problema de programação linear é descrito por funções lineares das variáveis de decisão. O problema geral pode ser expresso da seguinte forma (cf. [13]): maximizar n j=1 c jx j sujeito a: n j=1 a ijx j b i, i = 1,..., m (2.1) x j 0, j = 1,..., n, ou adicionando as variáveis de folga, x n+1,..., x n+i,..., x n+m : 3

18 maximizar n j=1 c jx j sujeito a: n j=1 a ijx j + x n+i = b i, i = 1,..., m x j 0, j = 1,..., n (2.2) x n+i 0, i = 1,..., m onde b i e a ij são restrições fixas e x i as variáveis de decisão. Um problema de programação linear que não se encontre nesta forma pode ser convertido através de modelos de linearização para, a partir daí, se aplicar os métodos de resolução correntes em funções lineares. As funções lineares têm propriedades desejadas como a convexidade. Estas propriedades podem ser encontradas no livro de Luenberger (2008) Linear and Nonlinear Programming [25] Programação linear inteira mista (PLIM) A programação linear inteira mista é um caso particular de programação matemática. Um problema de programação linear inteira pode tomar várias formas, entre elas a programação linear inteira mista (PLIM), a programação linear inteira pura (PLIP) e a programação linear inteira binária (PLIB). A formulação padrão da programação linear inteira mista é representada e definida da forma (cf. [13]): max x,y,z {ct x + d T y + v T z : Ax + Dy + Ez b, x R n1 +, y Z n2 +, z {0, 1} n3 } (2.3) onde n 1 é a dimensão do espaço vetorial das variáveis reais, n 2 é a dimensão do espaço vetorial das variáveis inteiras e n 3 é o número de variáveis binárias, A R m n1, D R m n2, E R m n3, e b R m. Definição Considere-se o conjunto de desigualdades lineares e de variáveis contínuas e inteiras da forma: Ax + Dy + Ez b, x R n1 +, y Z n2 +, (2.4) z {0, 1} n3. Diz-se que a desigualdade é uma formulação PLIM para um conjunto Z R n1 se a projeção de (2.4) nas variáveis x é exatamente Z. Ou seja, se x Z se e só se existirem y Z n2 e z Z n3 tais que (x, y, z) satisfaz (2.4) [27]. Definição A relaxação contínua é uma técnica de modelação que no caso do problema (2.4) consiste em eliminar as restrições de integralidade y Z n2 +, z {0, 1} n3 de modo a que as variáveis y e z possam assumir valores em R n2 + e [0, 1] por exemplo, mantendo a mesma função objetivo do problema PLIM [27]. 4

19 No que se segue, designamos por conv(z) de um conjunto discreto Z o conjunto de todas as combinações convexas dos seus pontos ( Z = p): conv(z) = { p λ i z i : i=1 p λ i = 1, λ i 0, i = 1,..., p}. i=1 Definição Uma formulação PLIM do conjunto Z R n1 + é uma formulação afinada se, e só se, a projeção nas variáveis x da sua relaxação contínua for exatamente conv(z) [27] Softwares usados para resolver problemas de programação lineares inteira mista Os problemas PLIM podem ser resolvidos através de software atualmente desenvolvidos. Hillier e Lieberman[17] referem exemplos como o Excel, LINGO/LINDO, e MPL/CPLEX os quais incluem um algoritmo para a resolução de modelos puros ou mistos, uns mais complexos que outros, da programação inteira binária, assim como algoritmos para resolver modelos de programação inteira gerais (pura ou mista) onde as variáveis são inteiras mas não binárias. Nesta dissertação irá ser usado o programa CPLEX da IBM Programação não linear A programação não linear é muito comum nos casos práticos. Em geral, é composta por uma função objetivo, restrições gerais e variáveis, onde pelo menos uma função é não linear a qual pode ser a função objetivo ou uma das restrições [7]. Nestes problemas o ótimo não está restrito aos pontos extremos, o que torna difícil distinguir o ótimo global do ótimo local. A programação não linear pode aparecer em diversos formatos não existindo um único algoritmo para resolver todos os casos [17]. De forma geral, o problema de programação não linear está em encontrar x = (x 1, x 2,..., x n ) tal que: max f(x) sujeito a: g i (x) b i, para i = 1, 2,..., n (2.5) onde f(x) e g(x) são funções com n variáveis de decisão. Geometricamente, problemas não lineares comportam-se de forma diferente dos lineares. Nestes problemas uma solução ótima local não é necessariamente o ótimo global. Definição (Máximo global e Máximo local). Seja x = (x 1, x 2,..., x n ) uma solução dentro da região admissível para um problema de maximização com a função objetivo f(x). x é: Um máximo global se f(x) f(y) para qualquer ponto y = (y 1, y 2,..., y n ) dentro da região admissível; Um máximo local se f(x) f(y) para qualquer ponto y = (y 1, y 2,..., y n ) dentro da região admissível suficientemente perto de x. Ou seja, se existir um número ɛ > 0 tal que, sempre que cada variável 5

20 y j esteja entre: x j ɛ y j x j + ɛ e y na região admissível, então f(x) f(y). Figura 2.1: Ótimos globais e locais da função não linear Na figura 2.1 os pontos a vermelho são os ótimos globais e os pontos a azul são os ótimos locais. O caso mais simples de otimização não linear tem apenas uma função objetivo não linear sem restrições e envolve uma única variável. Onde a função f(x) a ser maximizada é côncava. As condições necessárias para uma solução particular x = x ser ótima (máximo global), são: f = ( f x 1, f x 2,..., f x n ) = 0 em x = x (2.6) Assume-se que a função objetivo f(x) é diferenciável, ou seja, possui um gradiente f(x) a cada ponto x. Não existe um algoritmo que resolva todos os problemas específicos da programação não linear, contudo, certos casos podem ser resolvidos ao criar hipóteses sobre as funções não lineares [17]. As condições necessárias para o ótimo variam com o tipo de problema: Problema com uma variável sem restrições Problema com multiplas variáveis sem restrições: Problema com restrições gerais: f x = 0 f x j = 0, (j = 1, 2,..., n) condições Karush-Kuhn-Tucker Tabela 2.1: Condições necessárias As condições suficientes que consideramos são a da convexidade de g i (x), i = 1,..., m e a concavidade de f(x). Considerando o problema de encontrar o mínimo ou o máximo da função f(x), sujeita à restrição de x satisfazer todas as seguinte equações: 6

21 g 1 (x) = b 1 g 2 (x) = b 2.. (2.7). g m (x) = b m, onde m < n. Um método clássico de resolução deste problema é o método dos multiplicadores de Lagrange. O processo começa com a formulação da função de Lagrange [17]: m h(x, λ) = f(x) λ i [g i (x) b i ], (2.8) onde as variáveis λ = (λ 1, λ 2,..., λ m ) são os multiplicadores de Lagrange. De notar que para os valores admissíveis de x, i=1 g i (x) b i = 0, para todo o i, (2.9) então h(x, λ) = f(x). Assim, pode ser mostrado que se (x, λ) = (x, λ ) for um mínimo local ou global, ou um máximo local ou global da função sem restrições h(x, λ), então x é o ponto crítico correspondente ao problema original (ponto onde gradiente iguala a zero). Como resultado, o método reduz-se à análise de h(x, λ) pelo processo de análise de funções sem restrições da Tabela 2.1. Assim, as derivadas parciais m + n tomaram o valor de zero h x j h λ j = f x j m i=1 λ i gi x j = 0, para j = 1, 2,..., n = g i (x) + b i = 0, para i = 1, 2,..., m (2.10) os pontos críticos são obtidos ao resolver a equações para (x, λ). Verifica-se que as últimas m equações são equivalentes às restrições no problema original, assim apenas soluções dentro da região admissível são consideradas. Após a análise para identificar o mínimo ou o máximo global de h( ), o valor resultante de x é a solução desejada do problema original. As condições para o caso geral são as condições de Karush-Kuhn-Tucker (condições KKT). O seu resultado está incorporado no seguinte teorema: Teorema Assume-se que f(x), g 1 (x), g 2 (x),..., g m (x) são funções diferenciáveis que satisfazem certas condições de regularidade. Então: x = (x 1,..., x n) pode ser a solução ótima para o problema de programação não linear apenas se existirem m números λ 1, λ 2,..., λ m tal que todas as seguintes condições de KKT sejam satisfeitas: 7

22 1. f x j m i=1 λ i gi x j 2. g i (x ) b i 0 para j = 1, 2,..., m = 0, em x = x, para j = 1, 2,..., n 3. λ i [g i (x ) b i ] = 0 para j = 1, 2,..., m 4. λ i 0 para j = 1, 2,..., m A condição 3 pode ser combinada com a 2 de modo a serem expressas na forma equivalente: (2,3) g i (x ) b i = 0 (ou 0 se λ i = 0), para i = 1, 2,..., m De notar que satisfazer estas condições não garante que a solução seja ótima, é necessário adicionar as condições de convexidade para obter tal garantia [17]. Corolário Assume-se que f(x) é uma função convexa e que g 1 (x), g 2 (x),..., g m (x) são funções convexas (i.e., é um problema de programação convexa), onde todas estas funções satisfazem as condições de regularidade. Então x = (x 1, x 2,..., x n) é uma solução ótima se, e só se, todas as condições do teorema forem satisfeitas [17] Programação linear multi-objetivo Na programação linear podem existir problemas multi-objetivo. Existem diversas técnicas de modelação e estratégias de solução que podem ser aplicadas a tais problemas. O modelo de programação linear multi-objetivo toma a forma (cf. [13]): maximizar z 1 = c 1 x. maximizar z l = c l x. (2.11) maximizar z k = c k x sujeito a: Ax b, x 0 onde R n é o espaço de decisão, n é o número de variáveis de decisão, k é o número de objetivos e R k é o espaço de desempenho. Definição A X = {x R n : Ax b, x 0} chama-se região admissível no espaço de decisão e a Z = {z R k : z 1 = c 1T x,..., z k = c kt x, x X} chama-se a região admissível no espaço de desempenho. Introduzimos ainda as seguintes definições: Definição (Dominância). Seja z, z R k dois vetores de desempenho. Então z domina z se, e só se, z z e z z. (i.e., z l z l para todo o l e z l > z l para pelos menos um l ). Definição (Dominância forte). Seja z, z R k dois vetores de desempenho. Então z domina fortemente z se, e só se, z > z e z z (i.e., z l > z l para todo o l ). 8

23 Definição (Vetor de desempenho não dominado). Seja z Z. Então z é não dominado se, e só se, não existir outro z Z tal que z z e z z. Caso contrário, z é um vetor de desempenho dominado. Denota-se por N o conjunto dos vetores de desempenho não dominados. Definição (Conjunto de dominância). Seja x X e C o cone polar semi positivo gerado pelos gradientes das k funções objetivo definido por: C = {x R n : C x 0, C x 0} {0 R n }. O conjunto de dominância no ponto x é definido por: D x = { x} C Definição (Vetores suportados e não dominados). O vetor z Z é um vetor de desempenho suportado e não dominado se, e só se, z N e z fr(z ), ou seja, pertence à fronteira de Z Definição (Vetores não suportados e não dominados). O vetor z Z é um vetor de desempenho não suportado e não dominado se, e só se, z N e z int(z ), ou seja, pertence ao interior de Z. Definição (Vetores não dominados e suportados no extremo). Seja z N um vetor de desempenho suportado e não dominado. Então z é um vetor de desempenho não dominado e suportado no extremo se for um ponto no extremo de Z. Caso contrário, z é suportado mas não no extremo. Quando se considera um problema multi-objetivo, o conceito de ótimo é substituído pelo conceito de eficiência. Definição (Ponto (solução) eficiente). Um ponto (solução) x X é eficiente se e só se não existir outro x X tal que C T x C T x e C T x C T x. Caso contrário, x é ineficiente. Uma solução eficiente pode ser caracterizada da seguinte forma: Teorema A solução x é eficiente se, e só se, D x X = { x}. Definição (Conjunto de Pareto-ótimo global). O conjunto de soluções não dominadas da região admissível Z é o conjunto de Pareto-ótimo global. [10] Definição (Conjunto de Pareto-ótimo local). Se para cada z num conjunto Z não existir uma solução z (na vizinhança de z tal que z z ɛ, onde ɛ é um número pequeno e positivo) que domina qualquer elemento do conjunto Z, então as soluções pertencentes ao conjunto de Z constituem um conjunto de Pareto-ótimo local. [10] Otimização de problemas multi-objetivo Nesta dissertação aplica-se um método de otimização combinatória de um problema bi-objetivo. método empregue é o da restrição ɛ em seguida enunciado. O 9

24 Método da restrição - ɛ O método da restrição - ɛ é uma das técnicas aplicadas à otimização e resolução de um problema multiobjetivo. Este método permite resolver problemas com restrições ao transformar um dos objetivos numa restrição, tomando a forma (cf. [13]): maximizar z 1 sujeito a: n j=1 a ijx i b i, i = 1,..., m z 1 = n j=1 c jx j, j = 1,..., n z 2 = n j=1 d jx j, j = 1,..., n (2.12) z 2 ɛ x j {0, 1} É de grande utilidade para descobrir todas as soluções possíveis incluindo as soluções dominadas, dando às partes interessadas uma maior variedade de escolhas pois a escolha ótima para um certo indivíduo pode-se encontrar neste leque e não ser necessariamente a solução ótima eficiente do problema. À medida que o número de objetivos aumenta, as trocas tornam-se complexas e dificilmente quantificáveis. Os requisitos para uma estratégia de modelação de problemas multi-objetivo são os de permitir, e conseguir, que a formulação de um problema natural seja fielmente expressa com a capacidade de resolução do problema e da introdução de preferências no problema modelado [16]. Se algumas das funções, ou restrições, entrarem em conflito, a solução do problema deixa de ser única. A otimização multi-objetivo está relacionada com a capacidade de gerar e selecionar pontos com soluções de Pareto. O método da restrição - ɛ ultrapassa alguns problemas de convexidade presentes em outros métodos. Esta abordagem permite identificar um número de soluções de Pareto num conjunto não convexo. Um problema neste método é, contudo, a escolha certa de ɛ de modo a garantir uma solução admissível. O método é resolvido por um algoritmo onde o parâmetro ɛ assume valores da função objetivo que não podem ser excedidos. O método começa por minimizar uma das funções objetivo, considerando os outros objetivos como restrições limitadas pelos valores de ɛ. Ao variar os valores de ɛ são obtidas as soluções do problema [9] Objectivos max min Existem situações em que a função objetivo é do tipo: maximizar (minimo i a ijx j ) sujeito às convencionais restrições lineares (2.13) o que pode ser convertido numa forma de programação linear ao introduzir uma variável z que represente o objetivo acima. Em adição às restrições originais, expressa-se o modelo transformado como: 10

25 maximizar z sujeito a: z j a ijx j para todo o i (2.14) As novas restrições garantem que z será maior ou igual a cada j a ijx j para todo o i. De forma similar, o problema é também resolvido como maximin. Contudo, um problema maximax ou minimin, devido às propriedades das suas funções objetivo, não pode ser transformado e resolvido com um problema de programação linear [15] Conclusão A programação matemática pode estar dividida entre um único objetivo e multi-objetivos. Estes podem ser lineares ou não lineares. Um dos métodos usados em problemas com multi-objetivos é o método da restrição - ɛ. Existem softwares que ajudam na implementação e resolução de problemas com grandes dimensões, diversas funções e variáveis, entre eles o CPLEX. Os modelos analisados no próximo capítulo são os propostos por Hooker e Williams [18] para a resolução do problema da distribuição de recursos em saúde, com o propósito de decidir se estes devem ser distribuídos equitativamente ou de modo a maximizar a utilidade. Assim realizar-se-á o levantamento de modelos de equidade, iniquidade e utilitaristas, os quais serão usados na análise da otimização do problema nos capítulos seguintes. No próximo capítulo estes modelos serão implementados como alternativa aos usados por Hooker e Williams seguindo uma sugestão dos próprios autores. 11

26 Capítulo 3 A matemática na economia 3.1 Introdução Um dos objetivos desta dissertação consiste na modelação de duas funções combinadas: a função de utilidade com a função de equidade. Neste capítulo abordam-se as questões deixadas em aberto pelos autores. Hooker e Williams sugerem, como seguimento do seu trabalho [18], a escolha de uma nova função de equidade, alternativa à definição Rawlsiana utilizada. Fica em aberto a oportunidade de contribuir para o trabalho realizado por Hooker e Williams de uma maneira construtiva. Assim serão criadas as novas funções de acordo com os objetivos enumerados. Será usado o programa Mathematica para a representação gráfica das novas funções sugeridas pelos autores no problema para duas pessoas. Os modelos de equidade e de iniquidade em análise são: Modelos de equidade: - A Negociação de Nash: os problemas de negociação analisam como dois indivíduos devem cooperar quando a ausência de cooperação leva a resultados com soluções ineficientes, é um problema de seleção de equilíbrio. No caso da negociação de Nash é imposto que a solução satisfaça certos axiomas como a invariância na escala, otimalidade de Pareto, alternativas independentes e simetria; - A Solução igualitarista: como na Negociação de Nash, este é um problema de negociação mais próxima das ideias de John Rawls. Não tem a condição de invariância na escala e tem a condição da monotonia; Modelos de iniquidade: - O índice de Atkinson: é uma medição de rendimentos não equitativos, determina que parte da distribuição contribuiu mais para a iniquidade observada; - O índice de Gini: é uma medida de dispersão estatística que representa a distribuição dos rendimentos de um grupo de indivíduos; - O índice de Theil: é uma estatística usada para medir a iniquidade económica. É a entropia maxima dos dados menos a estropia observada. Também pode ser visto como uma medida de re- 12

27 dundância, falta de diversidade, isolamento, segregação. 3.2 O modelo de Hooker e Willimas Hooker e Williams discutem o problema da combinação dos objetivos conflituosos da equidade e do utilitarismo nas políticas sociais, num único modelo de programação matemática. A definição de equidade usada por eles é a de Rawls, maximizar a utilidade mínima dos indivíduos ou de uma classe de indivíduos. À medida que a disparidade das utilidades aumenta, o objetivo torna-se progressivamente utilitarista. A criação de um modelo de programação linear inteira mista (PLIM), de acordo com os autores, levanta questões técnicas devido à não convexidade da função objetivo e do hipografo, na sua forma inicial, não ser representável de forma PLIM. Contudo, mostram uma formulação sucinta e afinada, na medida em que a relaxação do problema de programação linear [27] corresponde ao fecho convexo do conjunto de soluções admissíveis. O problema consiste numa população de indivíduos (ou classe de indivíduos) e na atribuição das utilidades por esses indivíduos u 1,..., u n. O objetivo combinado é, por um lado, o de maximizar a utilidade do pior, max min{u i }, caso não tire demasiados recursos a outros e, por outro lado, o de maximizar a soma de todas as utilidades. No caso para n = 2, o ponto de viragem ocorre quando a inequação exceder u 1 u 2, a função objetivo torna-se numa função utilitarista: u 1 + u 2. Uma das principais questões com que J.N.Hooker e H.P. Williams se depararam é o nível a que definem a variável. Esta é uma situação de juízo e provavelmente um ponto de desacordo, segundo os mesmos. Contudo, uma vez definido, maximizar a função de bem estar social permite que a mesma política seja aplicada sempre que seja feita uma decisão orçamental. Hooker e Williams escrevem a combinação linear dos objetivos utilitaristas e Rawlsianos: i u i + α min i {u i } mais fácil de modelar uma vez que é côncava. O parâmetro α permite transformar a combinação linear numa função contínua, contudo, para Hooker e Williams tal é difícil de justificar. Antes de enunciar o caso geral, os autores focam-se na formulação do modelo para o caso de duas pessoas, definindo o parâmetro α com o valor de 2. Assim, o problema fica: max z sujeito a : 2 min{u 1, u 2 } + se u 1 u 2 z u 1 + u 2 caso contrário (3.1) u 1, u

28 3.3 Exemplos de modelos equitativos e comparação com os utilitaristas Para a substituição da função de equidade Rawlsiana foram propostas em [18] outras funções de equidade. De seguida analisam-se duas dessas funções, a função da negociação de Nash e a função da solução igualitarista. Definição (Equidade). A equidade na economia é o tratamento justo entre os indivíduos Negociação de Nash A solução de negociação de Nash é a maximização do produto de Nash [2] : arg max u>u 0 ΠN i=1(u i u 0 i ) (3.2) onde o arg max ui f(u i ) := {u i u j : f(u j ) f(u i )}, i = 1,.., n e j = 1,.., m. Após o requisito mínimo ser satisfeito para todos os indivíduos, os recursos restantes são distribuídos de acordo com as condições de cada indivíduo. A otimização do problema (2) é equivalente à seguinte otimização: arg max u>u 0 N log(u i u 0 i ). (3.3) Ao aplicar esta função ao problema para duas pessoas, obtém-se uma função da seguinte forma: i=1 argmax u>u 0(log(u 1 u 0 1) + log(u 2 u 0 1)). (3.4) Para o caso de u 0 = 0, quando a utilidade alcançada no ponto de desacordo é zero e u 0 = 1, a utilidade alcançada no ponto de desacordo é um, a função fica: Figura 3.1: Função da negociação de Nash com u 0 = 0 e u 0 = 1 14

29 O corte do gráfico tridimensional da função da negociação de Nash para as variáveis u 1 e u 2 : Figura 3.2: Corte do gráfico tridimensional da função da negociação de Nash com u 0 = 0 e u 0 = 1 Ao combinar o modelo utilitarista com a negociação de Nash obtém-se a maximização de z sujeito a: z log(u 1 u 0 1) + log(u 2 u 0 1) se u 1 u 2 e u > u 0 u 1 + u 2 se u 1 u 2 > (3.5) graficamente: Figura 3.3: Combinação da função da negociação de Nash com a função utilitarista O corte do gráfico tridimensional da função para as variáveis u 1 e u 2 : Figura 3.4: Corte do gráfico tridimensional da função da negociação de Nash com a função utilitarista Neste modelo, a variável equidade é expressa em termos de resultados da utilidade dos indivíduos e não em montantes físicos recebidos. As utilidades u i para os indivíduos estão definidas de acordo com 15

30 a percepção de utilidade de cada um. A diferença deste modelo, para o usado no artigo, está no objetivo de maximizar a soma dos produtos das diferenças da utilidade de cada indivíduo para a utilidade mínima do conjunto de indivíduos. Deste modo, verificam-se variações crescentes e quando estas atingem uma diferença de u 1 u 2, a função passa a ser puramente utilitarista. A equidade passa a ser definida em termos dos resultados do bem estar da utilidade dos indivíduos e não em níveis de satisfação como os medidos na função Rawlsiana [29] Solução igualitarista A solução igualitarista é o ponto na região admissível onde o conjunto de todos os indivíduos atingem um aumento da utilidade máxima igual com respeito ao ponto de desacordo (cf. [2]): alternativamente pode ser formulada como max min: max{u > u 0 u i u 0 i = u j u 0 j, i, j N} (3.6) φ(u, u 0 ) = arg max u U min(u 1 u 0 1,..., u n u 0 n) (3.7) onde U é o conjunto de todas as utilidades. De acordo com as condições da definição da solução igualitarista [2], a utilidade para um indivíduo j, pode ser descrita como: no problema de duas pessoas tem-se: u j = u 1 u u 0 j, j N (3.8) graficamente: u 2 = u 1 u u 0 2 (3.9) Figura 3.5: Exemplo de uma função igualitarista Como foi feito em (3.5), combinada-se a solução igualitarista com o modelo utilitarista. Ao atingir uma diferença de u 1 u 2, a função a torna-se puramente utilitarista. Ficando assim o novo modelo a maximizar z sujeito a: 16

31 z u 1 u u 0 2 u 1 + u 2 se u 1 u 2 se u 1 u 2 > (3.10) graficamente: Figura 3.6: Exemplo de uma função combinada de igualdade com utilidade O modelo com a solução igualitarista permite analisar o ponto onde todos os indivíduos atingem um igual aumento da utilidade máxima com respeito ao ponto de desacordo [2]. A desvantagem está na especificidade deste modelo, tornando-o pouco adaptável. Como na negociação de Nash, estes resultados são medidos em níveis de bem estar. 3.4 Exemplos de modelos de iniquidade e comparação com os utilitaristas Os modelos de iniquidade existentes estão presentes nas análises económicas de problemas atuais. A escolha do modelo de iniquidade adequado exige uma análise mais detalhada do que a escolha do modelo de equidade. Na ausência de um critério claro, a escolha baseia-se usualmente por conveniência, familiaridade, fundamentos metodológicos ou nos axiomas da iniquidade [1]. Definição (Iniquidade). A iniquidade na economia é o tratamento injusto entre os indivíduos Índice de Atkinson O índice de Atkinson é uma das medidas de iniquidade mais referenciadas [3]. Este índice permite a variação da sensibilidade das iniquidades nas diferentes partes da distribuição dos rendimentos através de um parâmetro de sensibilidade ɛ, conhecido como parâmetro de aversão à iniquidade, o qual pode variar entre 0, quando o indivíduo é indiferente à natureza da distribuição dos rendimentos dado que a distribuição é equitativa, e infinito, quando o indivíduo está preocupado apenas com a posição do rendimento do grupo que possuí menores rendimentos. O índice de Atkinson está diretamente relacionado com a classe aditiva das funções de bem estar social: 17

32 W = 1 n f(u i ), (3.11) N i=1 pois a expressão mostra que o bem estar social é representado pela utilidade média. A forma da função f, de acordo com Atkinson, é a seguinte: f(u i ) = 1 1 ɛ u1 ɛ i ɛ 1 log u i ɛ = 1 u i ɛ = 0, caso utilitarista (3.12) Assim, o modelo depende do valor ɛ que representa um juízo de valor. Graficamente: Figura 3.7: Função de Atkinson com ɛ = 1 e com ɛ 1 À medida que ɛ aumenta, atribui-se um peso maior a aumentos, em rendimentos baixos, na produção do bem estar social. Significa que a função do bem estar social deve ter W < 0, isto é, deve ser côncava. Graficamente quando o índice é mais baixo, a distribuição do rendimento é mais equitativa. O índice de Atkinson é mais eficiente quando usado num problema de comparação entre conjuntos ou grupos. O índice tem como desvantagem o facto de ser pouco intuitivo [23]. Combinando o caso equitativo com o caso utilitarista: z log u i se u 1 u 2 e ɛ = 1, i = 1, ɛ u1 ɛ i se u 1 u 2 e ɛ 1, i = 1, 2 u i se u 1 u 2 >, i = 1, 2. (3.13) Graficamente: 18

33 Figura 3.8: Função de Atkinson com ɛ = 1 Quando ɛ 1: Figura 3.9: Função de Atkinson com ɛ 1 O corte do gráfico tridimensional da função para as variáveis u 1 e u 2 : Figura 3.10: Corte do gráfico tridimensional da função de Atkinson com ɛ = 1 e com ɛ 1 19

34 3.4.2 Índice de Gini O índice de Gini é uma medida de dispersão estatística representativa da distribuição do rendimento [1]. Foi desenvolvido por um estatístico e sociólogo italiano, Corrado Gini, e publicado num artigo em 1912 [14]. Este índice mede a iniquidade entre os valores de uma distribuição de frequências, como por exemplo, níveis de rendimento. Está analiticamente relacionado com as funções de bem estar social, é uma medida de iniquidade complexa e um índice sintético[11]: G = n n i=1 j=1 u i u j n 2 2µ (3.14) onde µ = n i=1 ui n. Para o caso n = 2, o modelo fica: G = 2 2 i=1 j=1 u i u j 2 2 2µ = ( u 1 u 2 + u 1 u 1 + u 2 u 2 + u 2 u 1 ) 8µ = ( u 1 u 2 ). (3.15) 4µ Graficamente: Figura 3.11: Função do índice de Gini Combinando com a função de maximização de utilidade: z ( u 1 u 2 ) 4µ se u 1 u 2 u 1 + u 2 se u 1 u 2 > (3.16) Os resultados obtidos são: 20

35 Figura 3.12: Combinação do índice de Gini com a função utilitarista A caraterística do índice de Gini reside no facto de dar informações sobre a distribuição do rendimento e não sobre as caraterísticas da distribuição do rendimento, como localização e formato. É um bom indicador para uma análise geral de um problema com uma grande população. A representação gráfica pode ser também comparada através do tempo, é simples de calcular e interpretar [23]. Contudo o coeficiente sofre pela desvantagem de ser afetado pelo valor da média, medida através de uma origem arbitrária [22], e não permite comparações entre e dentro de grupos O índice de Theil O índice de Theil é o índice adequado para dados com um grau de agregação com hierarquia. Toma a forma (cf. [1]): T = 1 n n i=1 ( u i µ ) log(u i µ ) (3.17) onde n é o número de indivíduos de uma população, u i é o rendimento do indivíduo i e µ é o rendimento médio da população. No caso do problema de duas pessoas: onde µ = u1+u2 2. Gráficamente obtém-se: T = 1 2 (u 1 µ ) log(u 1 µ ) (u 2 µ ) log(u 2 µ ) (3.18) Figura 3.13: Índice de Theill O corte do gráfico tridimensional da função para as variáveis u 1 e u 2 : Quando a função se anula cada indivíduo tem o mesmo rendimento, é o caso de igualdade perfeita. A função nos extremos opostos representa a situação de iniquidade máxima. 21

36 Figura 3.14: Corte do gráfico tridimensional da função do índice de Theill Combinando o índice de Theil com o modelo utilitarista obtém-se: z 1 2 ( u1 µ u ) log( u1 u 1 + u 2 µ ) + ( 1 2 ) ( u2 µ se u 1 u 2 > ) log( u2 µ ) se u 1 u 2 (3.19) Figura 3.15: Combinação do índice de Theil com o utilitarismo O corte do gráfico tridimensional da função para as variáveis u 1 e u 2 : Figura 3.16: Corte do gráfico tridimensional da função do índice de Theil com o utilitarismo O índice de Theil é uma escolha recomendada na medida que tem uma estrutura bastante flexível [1]. É também uma ferramenta adequada para dados com uma certa hierarquia, pois pode ser realizada para diversos componentes, dividindo a análise em grupos. Contudo, apresenta uma grande desvantagem, os seus valores nem sempre são comparáveis através de diferentes unidades. É complexo para calcular e interpretar, difere bastante quando a distribuição varia sem ter em conta a variação na distribuição dos valores [23]. 22

37 3.4.4 Modelos utilitaristas No seu trabalho, Hooker e Williams utilizam o modelo utilitarista combinado com a função de equidade. Nesta dissertação também será empregue a mesma função. Segue-se uma breve referência ao modelo de utilidade. Funções de utilidade A função representativa da utilidade usada na programação matemática é a de Nicholas Bernoulli (1713) [4], proposta pelo mesmo e mais tarde resolvida por Daniel Bernoulli (1738). A teoria da utilidade esperada está presente em análises de escolhas com risco e possíveis resultados multi dimensionais. A formulação mais conhecida das funções de utilidade é a utilidade aditiva de Von Neumann-Morgenstern [28], que consiste na aplicação da utilidade esperada de Bernoulli. O seu método de comparação envolve a consideração de probabilidades. Se um indivíduo consegue escolher entre vários eventos aleatórios, então é possível compara-los aditivamente. A função de utilidade esperada depende de quatro axiomas [28], plenitude, transitividade, convexidade ou continuidade e independência: Axioma (Plenitude). Para quaisquer dois eventos aleatórios x e y, uma das situações ocorre: x y, y x, ou x y A plenitude assume que um indivíduo tem as suas preferências bem definidas. Axioma (Transitividade). Se x y e y z, então x z. A transitividade assume que as preferências são consistentes entre três opções quaisquer. Axioma (Convexidade / Continuidade). Se x y z, então existe uma probabilidade p [0, 1] tal que px + (1 p)z y. A continuidade assume que existe um ponto entre estar melhor que e estar pior que com uma dada opção no meio. Um axioma alternativo à continuidade, e que não envolve uma equidade precisa, é a propriedade Arquimediana: Axioma (Propriedade Arquimediana). Se x y z, então existe uma probabilidade ɛ (0, 1) tal que (1 ɛ)x + ɛz y ɛx + (1 ɛ)z. Qualquer separação nas preferências pode ser mantida sob um pequeno desvio nas probabilidades. Axioma ( Independência). Se x y, então para qualquer z e p (0, 1], px+(1 p)z py+(1 p)z. A independência das alternativas irrelevantes assume que uma preferência se mantém independentemente da possibilidade de outro resultado. Teorema Para qualquer agente racional que satisfaça os quatro axiomas, existe uma função u que atribui a cada resultado A um número real u(a) tal que para cada dois eventos aleatórios: x y se, e só se, E(u(x)) < E(u(y)) 23

38 onde E(u(x)) denota o o valor esperado de u em x onde : E(u(x)) = p 1 u(a 1 ) p n u(a n ) U = i p i A i Teorema (Utilidade Esperada, von Neumann e Morgenstern 1974). Uma função de utilidade U : P R é uma funções de utilidade esperada se existirem números de (u 1,..., u n ) para cada um dos N resultados (x 1,..., x n ) tal que para cada p P, U(p) = n i=1 p i u i [24] Proposição (Proposição). Supondo que U : P R é uma representação da utilidade esperada da relação de preferências em P. Então V : P R é uma representação da utilidade esperada de se e só se existirem escalares a e b > 0 tal que V (p) = a + bu(p) para todo o p P. Demonstração (Demonstração). Supondo que U é uma representação da utilidade esperada de, e U(p) = i p iu i. Supondo V = a + bu. Porque b > 0, se U(p ) U(p), então V (p ) V (p), e V também representa. Assim, V tem uma forma de utilidade esperada pois, se definir-se v i = a + bu i para todo o i = 1,...n, tem-se: n n n V (p) = a + bu(p) = a + b p i u i = p i (a + bu i ) = p i v i i=1 i=1 i=1 ( ) Supondo que V é uma representação de utilidade esperada de. Seja p, p P as lotarias tal que p p p para todo o p P. (Existe uma melhor e uma pior lotaria porque é assumido que o número de lotarias é finito). Se p p, então U e V são constantes sobre P e o resultado é trivial. Assume-se assim p p. Então dado p P, existe um λ p [0, 1] tal que: então: U(p) = λ p U(p) + (1 λ p )U(p). agora, porque p λ p p + (1 λ p )p, tem-se: λ p = U(p) U(p) U(p) U(p). definindo : V (p) = V (λ p p + (1 λ p )p) = λ p V (p) + (1 λ p )V (p). a = V (p) U(p)beb = é fácil de verificar que V (p) = a + bu(p) [24]. V (p) V (p) U(p) U(p). 24

39 3.5 Conclusão A economia recorre a teoremas matemáticos para validar conceitos e descreve problemas usando técnicas de álgebra matricial, cálculo diferencial e integral e equações diferenciais, entre outros. Uma das vantagem que surge desta abordagem é o facto de se formularem as relações teóricas com rigor, generalização e simplicidade [6]. Na resolução de problemas de otimização, por vezes, ao contrário de se escolher uma das medidas de equidade ou de iniquidade, especifica-se uma função de bem estar social e deriva-se uma função de equidade ou de iniquidade aproximada. Estes modelos são apenas alguns de entre as muitas possibilidades existentes. Segundo Hooker e Williams, o estudo e adaptação da função de equidade usada no seu artigo é uma escolha entre diversas opções, outras poderiam ter sido feitas. Esta escolha depende dos conhecimentos de cada um e de como cada pessoa interpreta e decide representar o seu modelo equitativo. Depende também do exemplo onde se aplica o modelo pois as funções são principalmente feitas para se adaptarem, cada uma, a uma área de eleição. Deste modo, conclui-se que a função adequada para a abordagem que se segue, a alteração do modelo de Hooker e Williams, é uma função de equidade adaptada ao problema da distribuição de recursos na área da saúde. O capítulo seguinte explora os resultados originados pela substituição da função Rawlsiana. 25

40 Capítulo 4 Modelo alternativo 4.1 Introdução Após a análise realizada nos capítulos anteriores, aplicam-se agora os conhecimentos ganhos. Em análise está o artigo de J.N.Hooker e H.P.Williams [18]. Neste capítulo é realizada uma breve introdução e explicação do modelo usado no artigo, destacando os resultados obtidos no mesmo. Um novo modelo é então sugerido, alternativamente ao usado por Hooker e Williams assim como um novo método para a linearização e resolução do problema. Procede-se às transformações consideradas necessárias no modelo para a aplicação do novo método, o método da restrição - ɛ, ao exemplo da distribuição dos recursos na saúde. O algoritmo do novo modelo é implementado no programa CPLEX, seguido de uma análise dos resultados obtidos. 4.2 Modelo inicial Hooker e Williams formulam um modelo PLIM para o problema de duas pessoas já referido: max z sujeito a : 2 min{u 1, u 2 } + se u 1 u 2 z u 1 + u 2 caso contrário (4.1) u 1, u 2 0 Usando a definição de Jeroslow ([20],[21]) para que o problema seja representado de forma PLIM, o seu hipografo deve ser a união de um número finito de poliedros com as mesmas direções de recessão. Se o poliedro não tiver as mesmas direções de recessão, então adicionam algumas restrições para igualar os cones de recessão. Assim definem o hipografo de (4.1) como a união dos dois poliedros definidos respetivamente por dois conjuntos disjuntos: {z 2u 1 +δ; z 2u 2 + ; u 1, u 2 0} e {z u 1 +u 2 ; u 1, u 2 0}. O primeiro conjunto corresponde ao caso max min e o segundo ao caso utilitariano. Os cones 26