Notas de aula - Ton Marar

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1 Notas de aula - Ton Marar (ton@icmcuspbr) Coordenadas polares no plano, cônicas e o estudo da equação geral do segundo grau em duas variáveis As coordenadas dos pontos P = (x, y) de uma circunferência de raio r e centro na origem O do sistema de coordenadas cartesianas S = {O, x, y} verificam x = r cos(θ) e y = r sen(θ), sendo θ o ângulo entre o vetor OP e o eixo de coordenadas Ox Variando-se o raio r R + podemos preencher todo o plano Assim, cada ponto do plano é um ponto de alguma circunferência de centro em O e uma nova forma de descrever algebricamente os pontos do plano se apresenta P y P x O P O Sistema de coordenadas polares no plano Dado um ponto O e uma flecha com origem em O, a cada ponto P de um plano contendo a flecha ficam associados dois números ρ e θ, assim obtidos: ρ = OP e θ é o ângulo entre a flecha e o vetor OP, medido no sentido anti-horário O ponto O é chamado pólo e a flecha fixada é chamada eixo polar O conjunto {pólo, eixo polar} é chamado sistema de coordenadas polares no plano Os números ρ e θ são chamados raio vetor e argumento, respectivamente O par (ρ, θ) é denominado coordenadas polares do ponto P Escrevemos P = (ρ, θ), embora algumas redundâncias ocorram, pois diversos pares de coordenadas polares ficam associados a um mesmo ponto Observações: 1) Variando o argumento θ no intervalo [0, 2π) e o raio vetor ρ R +, fica associado a cada ponto do plano um único par ordenado (ρ, θ), exceto para o pólo que tem coordenadas polares (0, θ), qualquer que seja θ 2) Alguns adotam que tanto θ como ρ podem assumir qualquer valor real, porém é necessário interpretação apropriada Qualquer valor pode ser interpretado como argumento de um ponto P do plano desde que se reduza ou aumente o seu valor por múltiplos de 2π, de modo a obter 0 θ < 2π Exemplos: (ρ, 9π) = (ρ, π); (ρ, 4 4 π) = (ρ, 5π ); (ρ, π) = (ρ, π) 3 3 Qualquer valor pode ser interpretado como raio vetor de um ponto P do plano, porém se este valor for negativo, troca-se o sinal e acrescenta-se ou reduz-se o argumento de π Exemplos: ( 1, π) = (1, 5π); ( 2, 4 4 π) = (2, 2π); ( 3, π) = (3, 4π) ) Nas primeiras experiências com os sistemas de coordenadas cartesianas, considerase o plano reticulado por pares de retas perpendiculares, umas paralelas ao eixo dos x s (y = 2, 1, 0, 1, 2, ) e as outras paralelas ao eixo dos y s (x = 2, 1, 0, 1, 2, ), formando uma malha de modo a facilitar a localização dos 1

2 2 pontos no plano Analogamente, no sistema de coordenadas polares usa-se a malha constituida de círculos concêntricos (ρ = 1, 2, ), com centro no pólo e segmentos radiais partindo do pólo (θ = π 6, π 4, π 3, π 2, ) 1 Relacionamento entre coordenadas cartesianas e polares no plano Sobrepondo-se um sistema de coordenadas cartesianas S = {O, x, y} ao sistema de coordenadas polares S = {O, eixopolar}, de modo que o semi-eixo positivo dos x s coincida com o eixo polar, obtém-se as seguintes transformações entre as coordenadas polares e cartesianas de um mesmo ponto P : y O ρ θ x P { x = ρ cos(θ) y = ρ sen(θ) { ρ 2 = x 2 + y 2 tg (θ) = y x, x 0 Esses sistemas fornecem as transformações das coordenadas do sistema S para S e do sistema S para S, respectivamente Os pontos de coordenadas (ρ, π ) e (ρ, 3π ) têm coordenadas cartesianas com abscissa 2 2 x = 0 Funções em coordenadas polares ρ= f( θ) O Expressões da forma ρ = f(θ) são denominadas funções em coordenadas polares O traçado de seu gráfico pode ser feito de maneira primitiva, como no caso de coordenadas cartesianas y = f(x) Em outras palavras, após localizar alguns pontos (ρ, θ) que verificam a igualdade ρ = f(θ) o gráfico é obtido interpolando-se os pontos localizados no sistema de coordenadas 1 π 2, π 3, π 4, π 6 ; e o π 5?

3 3 Expressões algébricas envolvendo as coordenadas ρ e θ, mesmo que não se possa explicitar uma dessas coordenadas, serão denominadas equações de curvas em coordenadas polares Algumas vezes, transformando a expressão algébrica de coordenadas polares para cartesianas, ou vice-versa, pode ser útil no traçado das curvas Exemplos Nos exemplos 1 e 2 abaixo, a transformação para coordenadas cartesianas facilita o traçado 1) ρ = 3 sen(θ) Multiplicando-se por ρ ambos os lados da igualdade obtemos ρ 2 = 3ρsen(θ) A identificação da curva em coordenadas cartesianas, x 2 + y 2 = 3y é mais fácil De fato, completando-se quadrados, podemos escrever x 2 + (y 3 2 )2 9 = 0 Portanto, 4 a curva é uma circunferência de centro no ponto de coordenadas cartesianas (0, 3) 2 e raio 3 2 3/2 3 3/2 3 2) ρ cos(θ) = 3 é a reta, em coordenadas cartesianas, x = 3 Nos três exemplos abaixo, passar para coordenadas cartesianas não facilita o traçado 3) ρ = θ é a espiral de Arquimedes (fig1(a)) 4) ρ = 1 sen(θ) é a cardióide (fig1(b)) 5) ρ = sen(2θ) é a rosácea de quatro pétalas (fig1(c)) (a) (b) (c) Figura 1 Note que ρ = sen(θ) é a circunferência dada em coordenadas cartesianas pela equação x 2 + (y )2 = 1 Enquanto ρ = 1 sen(θ) é a cardióide Portanto, os 4 gráficos em coordenadas polares não seguem as regras de translação de gráficos do caso cartesiano Exercícios Traçar ρ = cos(2θ), ρ = sen(3θ), ρ = 1 + cos(2θ), ρ = 1 + cos(4θ) Se k N é par, ρ = sen(kθ) é a rosácea de 2k pétalas Se k é impar, ρ = sen(kθ) é a rosácea de k pétalas O mesmo vale para ρ = cos(kθ) De fato, as rosáceas ρ = sen(kθ) e ρ = cos(kθ) diferem apenas por uma rotação

4 4 O exemplo a seguir mostra que a transfomação de coordenadas cartesianas para polares pode facilitar o traçado da curva A lemniscata 2 É o lugar geométrico dos pontos P de um plano π cujo produto das distâncias a dois pontos fixados, F 1 π e F 2 π, é constante e igual a (d(f 1, F 2 )/2) 2 Equação cartesiana Para obtermos uma equação simples da lemniscata em coordenadas cartesianas, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas {O, x, y} adequado Neste caso, tomando-se o eixo 0x contendo o segmento F 1 F 2 e o eixo 0y passando pelo ponto médio de F 1 F 2, obtemos, F 1 = ( a, 0), F 2 = (a, 0), e assim d(f 1, F 2 ) = 2a Seja P = (x, y) um ponto da lemniscata Exprimindo em coordenadas a expressão que define os pontos da lemniscata, d(p, F 1 )d(p, F 2 ) = (d(f 1, F 2 )/2) 2, obtemos a equação cartesiana ((x + a)2 + y 2 ) ((x a) 2 + y 2 ) = a 2 Por meio de algumas operações simplificaremos essa equação Inicialmente, para eliminarmos os radicais, elevamos ao quadrado ambos os membros, obtendo ((x + a) 2 + y 2 )((x a) 2 + y 2 ) = a 4 Simplificando, chega-se à expressão (x 2 + y 2 ) 2 2a 2 (x 2 y 2 ) = 0 O traçado dos pontos (x, y) que verificam essa equação não é nada fácil de se obter Equação polar Fixando o sistema de coordenadas polares com pólo na origem O e eixo polar coincidindo com o semi-eixo positivo dos x s, temos x = ρ cos(θ) e y = ρ sen(θ) Substituindo na equação cartesiana da lemniscata, obtemos: (ρ 2 ) 2 2a 2 (ρ 2 cos 2 (θ) ρ 2 sin 2 θ)) = 0 Simplificando, obtemos a equação polar da lemniscata ρ 2 2a 2 cos(2θ) = 0 Agora sim, é mais fácil traçar a curva Localizando alguns dos pontos (ρ, θ) que verificam a equação polar e interpolando obtém-se o traçado F F 1 2 F ρ F 1 2 As curvas definidas como o lugar geométrico dos pontos P de um plano π cujo produto das distâncias a dois pontos fixados, F 1 π e F 2 π, é constante são chamadas ovais de Cassini A lemniscata é um caso particular dessas ovais 2 Do dicionário Aurélio lemniscata [Do lat lemniscata, ornada de fitas; a sua forma, um 8, lembra um laço de fitas] Substantivo feminino 1Geom Lugar geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a dois pontos fixos desse plano são constantes O dicionário está errado Quem poderia imaginar - um dicionário errado O erro já foi comunicado aos editores que insistem em não corrigir nas novas edições

5 5 Ovais de Cassini têm a aparência de certas fatias da superfície de um tóro (donut) Curvas obtidas como fatias de um cone são definidas de modo análogo à lemniscata Cônicas 1) Elipse 3 É o lugar geométrico dos pontos P de um plano π cuja soma das distâncias a dois pontos fixados, F 1 π e F 2 π, é uma constante Essa constante, que indicaremos por 2a, tem que ser maior que a distância d(f 1, F 2 ) entre os pontos F 1 e F 2 Em outras palavras, d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a Equação cartesiana da elipse Para obtermos uma equação simples em coordenadas cartesianas para os pontos da elipse, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em π, S = {O, x, y} no qual F 1 = ( c, 0), F 2 = (c, 0) e P = (x, y) Em outras palavras, o eixo Ox contém os 3 Do dicionário Aurélio (neste caso o dicionário está certo!) elipse [Do gr élleipsis, omissão, pelo lat ellipse] Substantivo feminino 1E Ling Omissão deliberada de palavra(s) que se subentende(m), com o intuito de assegurar a economia da expressão 3Geom Lugar geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a dois pontos fixos desse plano têm soma constante; interseção de um cone circular reto com um plano que faz com o eixo do cone um ângulo maior que o do vértice

6 6 pontos F 1 e F 2 e o eixo Oy passa pelo ponto médio do segmento F 1 F 2 de comprimento 2c Seja 2a, com a > c uma constante positiva Assim, uma equação cartesiana da elipse é obtida exprimindo d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a em coordenadas: (x + c)2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a Isto é, (x + c)2 + y 2 = (x c) 2 + y 2 + 2a Elevando-se ao quadrado ambos os lados, obtemos: (x + c) 2 + y 2 = 4a 2 4a (x c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 Ou seja, (x + c) 2 + y 2 4a 2 (x c) 2 y 2 = 4a (x c) 2 + y 2 Elevando-se ao quadrado ambos os lados, obtemos: ((x + c) 2 + y 2 4a 2 (x c) 2 y 2 ) 2 = 16a 2 ((x c) 2 + y 2 ) Simplificando, (4cx 4a 2 ) 2 = 16a 2 ((x c) 2 + y 2 ) Isto é, (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) Como a > c, o número a 2 c 2 é positivo e portanto pode ser considerado como o quadrado de algum número, digamos b Assim, pondo b 2 = a 2 c 2, obtemos x 2 a + y2 2 b = 1 2 O sistema de coordenadas foi escolhido de modo a fornecer uma equação bem simplificada da curva Esta equação é denominada equação reduzida da elipse centro b F 1 F 2 -a -c c a eixo menor -b eixo maior Os pontos F 1 e F 2 são denominados focos da elipse A origem O, ponto médio do segmento focal F 1 F 2 é chamado centro Os pontos V 1 = (a, 0), V 2 = ( a, 0), V 3 = (0, b) e V 4 = (0, b) são chamados vértices O segmento V 1 V 2, que contém os focos, é chamado eixo maior O segmento V 3 V 4 é chamado eixo menor Os segmentos OV 1 e OV 3 são chamados semi-eixo maior e semi-eixo menor, respectivamente Exemplo 1: A elipse com focos F 1 e F 2 cujas coordenadas no sistema S = {O, x, y} são F 1 = ( 2, 0) e F 2 = (2, 0) e medida do semi-eixo maior igual a 3 tem equação 5x 2 + 9y 2 45 = 0

7 7 De fato, temos c = 2, a = 3 e portanto b 2 = a 2 c 2 = 5 Assim, a equação da elipse é: x y2 5 = 1 Ou seja, 5x 2 + 9y 2 45 = 0 Exemplo 2: A elipse com focos F 1 e F 2 cujas coordenadas no sistema S = {O, x, y} são F 1 = (1, 1) S e F 2 = (3, 1) S e medida do semi-eixo maior igual a 2 tem equação 3x 2 + 4y 2 12x 8y + 4 = 0 y y y y P F 1 F 2 O x k O x x O h x Figura 2 De fato, neste exemplo a = 2, c = 1 e portanto b 2 = a 2 c 2 = 3 Assim, no sistema de coordenadas S = {O, x, y }, sendo O = (2, 1) S o ponto médio do segmento focal e os eixos O x e O y paralelos aos eixos Ox e Oy respectivamente, a elipse tem equação reduzida x y 2 3 = 1 Sobrepondo os dois sistemas de coordenadas, como na figura 2, nota-se que as coordenadas (x, y) de um ponto P no sistema {0, x, y} se relacionam com as coordenadas (x, y ) do mesmo ponto P no sistema {0, x, y } da seguinte forma: x = x 2 e y = y 1 Substituindo na equação reduzida, obtemos: (x 2) (y 1)2 3 = 1 Ou seja, 3(x 2) 2 +4(y 1) 2 = 12, que é o mesmo que 3x 2 +4y 2 12x 8y +4 = 0 Observação: No exemplo acima, a equação da elipse no sistema de coordenadas S é 3x 2 + 4y 2 12 = 0 enquanto, a mesma elipse, no sistema S, tem equação 3x 2 + 4y 2 12x 8y + 4 = 0 Note que os coeficientes dos termos do segundo grau das duas equações são idênticos enquanto os coeficientes dos termos do primeiro grau e termos constantes são diferentes A transformação do sistema de coordenadas S para o sistema S, e vice-versa, é chamada translação do sistema de coordenadas Se O = (h, k) S, vide figura 2, então as translações do sistema S = {O, x, y} para o sistema S = {O, x, y } e vice-versa, são dadas pelas transformações: { x = x h y = y k { x = x + h y = y + k

8 8 Quase sempre, por meio de translação adequada os coeficientes dos termos lineares de equações do segundo grau em duas variáveis podem ser eliminados, reduzindo a forma da equação Isso será estudado no próximo capítulo Exemplo 3: A elipse com focos F 1 e F 2 cujas coordenadas no sistema S = {O, x, y} são F 1 = ( 4, 3) S e F 2 = (4, 3) S e medida do semi-eixo maior igual a 6 tem equação 20x 2 24xy + 27y = 0 y y -4 3 O 4 F 1 F 2-3 x x y y O P x x Figura 3 De fato, consideremos o sistema de coordenadas cartesianas S = {O, x, y } de tal modo que o eixo de coordenadas Ox contenha os focos F 1 e F 2 Assim, F 1 = ( 5, 0) S e F 2 = (5, 0) S Neste sistema a equação da elipse possui a forma reduzida (note que c = 5, a = 6 e portanto b 2 = a 2 c 2 = 11): x y 2 11 = 1 Sobrepondo os dois sistemas de coordenadas, como na figura 3, nota-se que as coordenadas (x, y) de um ponto P no sistema {0, x, y} se relacionam com as coordenadas (x, y ) do mesmo ponto P no sistema {0, x, y } da seguinte forma: x = 4 5 x 3 5 y e y = 3 5 x y Ou de outra forma: x = 4 5 x y e y = 3 5 x y Substituindo na equação reduzida, vem que: 11( 4 5 x y)2 + 36( 3 5 x y)2 = 396 Simplificando obtemos a equação da elipe: 20x 2 24xy + 27y = 0 Observação: No exemplo acima, a equação da elipse no sistema de coordenadas S é 11x y = 0 enquanto, a mesma elipse, no sistema S, tem equação 20x 2 24xy + 27y = 0 Note que os coeficientes dos termos do segundo grau das duas equações são diferentes enquanto os coeficientes dos termos do primeiro grau e termos constantes são idênticos A transformação do sistema de coordenadas S para o sistema S, e vice-versa, é chamada rotação do sistema de coordenadas Se θ é o ângulo de rotação então as transforma cões do sistema S = {O, x, y} para o sistema S = {O, x, y } e vice-versa, são dadas pelas relações: { x = x cos(θ) + y sen(θ) y = x sen(θ) + y cos(θ) { x = x cos(θ) y sen(θ) y = x sen(θ) + y cos(θ)

9 9 Por meio de rotação adequada o coeficiente do termo misto xy da equação do segundo grau em duas variáveis pode ser eliminado, reduzindo a forma da equação Isso será estudado no próximo capítulo Equação polar da elipse Para obtermos uma equação polar simplificada da elipse, fixamos o sistema de coordenadas polares S = {F 2, Ox}, ou seja, pólo em F 2 e eixo polar coincidindo como eixo dos x s no sentido oposto 4 θ Ḟ 2 d+c={ d θ c cos(θ) Com essa escolha, a relação entre as coordenadas cartesianas e polares é dada por: x = c ρ cos(θ) e y = ρ sen(θ), 0 θ < 2π Substituindo na equação (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ), obtemos: (a 2 c 2 )(c 2 2cρ cos(θ) + ρ 2 cos 2 (θ)) + a 2 ρ 2 sen 2 (θ) = a 4 a 2 c 2 Expandindo, a 2 c 2 2a 2 cρ cos(θ) +a 2 ρ 2 cos 2 (θ) c 4 + 2c 3 ρ cos(θ) c 2 ρ 2 cos 2 (θ) + a 2 ρ 2 sen 2 (θ) = a 4 a 2 c 2 Simplificando, 2a 2 cρ cos(θ) + a 2 ρ 2 (cos 2 (θ) + sen 2 (θ)) + 2c 3 ρ cos(θ) c 2 ρ 2 cos 2 (θ) = (a 2 c 2 ) 2 Ou seja, cρ cos(θ)( 2a 2 + 2c 2 cρ cos(θ)) + a 2 ρ 2 = (a 2 c 2 ) 2 Portanto, a 2 ρ 2 = (a 2 c 2 ) 2 + 2(a 2 c 2 )cρ cos(θ) + (cρ cos(θ)) 2 Isto é, a 2 ρ 2 = ((a 2 c 2 ) + cρ cos(θ)) 2 Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros 5, devemos ter, aρ = ((a 2 c 2 ) + cρ cos(θ)) Assim, ρ = a2 c 2 a c cos(θ) = b 2 a c cos(θ), 0 θ < 2π Pondo e = c/a, a equação polar da elipse torna-se: ρ = a ec 1 e cos(θ), 0 θ < 2π 4 esta escolha, pouco natural, é importante para uma certa unificação deste exemplo com os dois exemplos seguintes 5 Para qualquer valor to argumento, (a 2 c 2 )+cρ cos(θ) > 0 De fato, a > c e quando cos(θ) < 0, isto é, π/2 < θ 3π/2, ρ cos(θ) varia entre 0 e ρcos(π) = (a c)( 1) Portanto, o valor mínimo de (a 2 c 2 ) + cρ cos(θ) é a 2 c 2 + c((a c)( 1)) = a 2 ac > 0

10 10 Note que quando θ = 0, ρ = a + c e quando θ = π, ρ = a c O número e = c/a é chamado excentricidade da elipse Note que 0 < e < 1 Fixado o número a, quanto menor for a excentricidade (desvio ou afastamento do centro), menor será o valor de c e portanto os focos da elipse estarão mais próximos do centro da elipse pequena excentricidade grande 2) Hipérbole 6 É o lugar geométrico dos pontos P de um plano π cuja diferença das distâncias a dois pontos fixados, F 1 π e F 2 π, é uma constante Essa constante, indicamos por 2a, é menor que a distância d(f 1, F 2 ) entre os pontos F 1 e F 2 Em outras palavras, d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a Equação cartesiana Para obtermos uma equação simples em coordenadas cartesianas para os pontos da elipse, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em π, S = {O, x, y} no qual F 1 = ( c, 0), F 2 = (c, 0) e P = (x, y) Em outras palavras, o eixo Ox contém os pontos F 1 e F 2 e o eixo Oy passa pelo ponto médio do segmento F 1 F 2 Para obtermos uma equação em coordenadas cartesianas dos pontos da hipérbole, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em π, S = {O, x, y} no qual F 1 = ( c, 0), F 2 = (c, 0) e P = (x, y) Seja 2a uma constante positiva, com a < c Assim, a equação cartesiana da hipérbole é obtida da expressão d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a Vamos assumir que (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 > 0 A análise do caso contrário é análoga 6 Do dicionário Aurélio hipérbole [Do gr hyperbolé, pelo lat hyperbole] Substantivo feminino 1E Ling Figura que engrandece ou diminui exageradamente a verdade das coisas; exageração, auxese 2Geom Lugar geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a dois pontos fixos desse plano têm diferença constante; interseção de um cone circular reto com um plano que faz com o eixo do cone um ângulo menor que o do vértice Com uma escolha adequada das coordenadas cartesianas x e y, sua equação pode ser simplificada a (x 2 /a 2 ) (y 2 /b 2 ) = 1, onde a e b são constantes

11 11 Assim, P = (x, y) é um ponto da hipérbole se, somente se, (x + c)2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = 2a Ou seja, (x + c)2 + y 2 = (x c) 2 + y 2 + 2a Elevando-se ambos os membros ao quadrado, (x + c) 2 + y 2 = 4a 2 + 4a (x c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 Isto é, (x + c) 2 + y 2 4a 2 (x c) 2 y 2 = 4a (x c) 2 + y 2 Novamente elevando-se ao quadrado, ((x + c) 2 + y 2 4a 2 (x c) 2 y 2 ) 2 = 16a 2 ((x c) 2 + y 2 ) Simplificando, (4cx 4a 2 ) 2 = 16a 2 ((x c) 2 + y 2 ) Ou seja, (c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 = a 2 (c 2 a 2 ) Como a < c, o número c 2 a 2 é positivo e portanto pode ser considerado como o quadrado de algum número, digamos b Assim, pondo b 2 = c 2 a 2, obtemos x 2 a y2 2 b = 1 2 Note que o sistema de coordenadas foi escolhido de modo a fornecer uma equação bem simplificada da curva Esta equação é denominada equação reduzida da hipérbole y -a a F c F 1 2 -c x assíntotas As retas y = bx e y = b x são chamadas assíntotas da hipérbole a a Os pontos V 1 = ( a, 0) e V 2 = (a, 0) são chamados vértices da hipérbole Os pontos F 1 e F 2 são denominados focos da hipérbole A origem O, ponto médio do segmento focal F 1 F 2 é chamado centro O segmento V 1 V 2 é chamado eixo transverso O segmento V 3 V 4, onde V 3 = (0, b) e V 4 = (0, b) é chamado eixo conjugado Exemplo: Vamos obter a equação da hipérbole cujas retas assíntotas são y = x 1 e y = x + 5 e eixo transverso igual a 2 Temos que a = 1 As retas assíntotas cruzam no ponto O de coordenadas (3, 2) No sistema de coordenadas S = {O, x, y } as equações das assíntotas são y = ±x Assim, b/a = 1 e portanto b = 1 Logo, no sistema S a hipérbole tem equação x 2 y 2 = 1 Note que o sistema S é o transladado do sistema S = {O, x, y} para

12 12 y y 2 3 x x assíntotas o ponto O = (h, k) = (3, 2) Assim, x = x 3 e y = y 2 Portanto, a equação da hipérbole é x 2 y 2 6x 4y + 12 = 0 Equação polar Para obtermos uma equação polar simplificada da hipérbole, consideramos o sistema de coordenadas polares S = {F 2, Ox}, ou seja, polo em F 2 e eixo polar coincidindo como eixo dos x s no sentido oposto, exatamente como fizemos no exemplo anterior De fato vamos obter a equação polar de apenas um dos ramos da hipérbole Neste caso, o argumento θ deve variar no setor definido pelas assíntotas Em outras palavras, φ π < θ < π φ, sendo φ tal que tg(φ) = b ; ou seja, φ é a inclinação da a reta assíntota 7 θ F 2 x c θ ramos da hipérbole assíntotas Aqui também a escolha do sistema polar S fornece as seguintes relações: x = c ρ cos(θ) e y = ρ sen(θ) Substituindo na equação (c 2 a 2 )x 2 a 2 y 2 = a 2 (c 2 a 2 ), obtemos: (c 2 a 2 )(c 2 2cρ cos(θ) + ρ 2 cos 2 (θ)) a 2 ρ 2 sen 2 (θ) = a 2 c 2 a 4 Expandindo, c 4 2c 3 ρ cos(θ)+c 2 ρ 2 cos 2 (θ) a 2 c 2 +2a 2 cρ cos(θ) a 2 ρ 2 cos 2 (θ)) a 2 ρ 2 sen 2 (θ) = a 2 c 2 a 4 Ou seja, (c 2 a 2 ) 2 2(c 2 a 2 )cρ cos(θ) + c 2 ρ 2 cos 2 (θ) a 2 ρ 2 = 0 Portanto, a 2 ρ 2 = ((c 2 a 2 ) cρ cos(θ)) 2 7 admitindo valores negativos para ρ e variando θ no intervalo (π φ, π + φ) obtemos o traçado do outro ramo da hipérbole

13 13 Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, e sabendo que (c 2 a 2 ) cρ cos(θ) > 0, obtemos: aρ = (c 2 a 2 ) cρ cos(θ)) Ou seja, ρ = c2 a 2 a + c cos(θ) = b 2 a + c cos(θ), φ π < θ < π φ8 Pondo e = c/a, obtemos: ec a ρ = 1 + e cos(θ), φ π < θ < π φ O número e = c/a é chamado excentricidade da hipérbole Note que e > 1 Fixado 0 número a, quanto maior for a excentricidade (desvio ou afastamento do centro), maior será o valor de c e portanto os focos da hipérbole estarão mais afastados do centro da hipérbole excentricidade pequena grande 3) Parábola 9 É o lugar geométrico dos pontos P de um plano π equidistantes a um ponto fixado F π e uma reta fixada r π, F / r Em outras palavras, d(p, F) = d(p, r) r 8 b No exemplo anterior obtivemos para a elipse a equação polar : ρ = 2 a c cos(θ), 0 θ < 2π Mudando a variação do argumento de 0 θ < 2π para π θ < π, a equação polar da elipse b torna-se: ρ = 2 a+c cos(θ), π θ < π 9 Do dicionário Aurélio parábola [Do lat parabola gr parabolé] Substantivo feminino 1Narração alegórica na qual o conjunto de elementos evoca, por comparação, outras realidades de ordem superior 2Geom Lugar geomtrico plano dos pontos equidistantes de um ponto fixo e de uma reta fixa de um plano

14 14 Equação cartesiana Para obtermos uma equação em coordenadas cartesianas, bem simples, dos pontos da parábola, fixamos um sistema de coordenadas cartesianas em π, S = {O, x, y} no qual F = (c, 0), r : x = c e P = (x, y) Assim, a equação cartesiana da parábola é obtida da expressão d(p, F) = d(p, r): (x c)2 + y 2 = x + c Isto é, (x c) 2 + y 2 = (x + c) 2 Simplificando, obtemos y 2 4cx = 0 que é uma equação reduzida, em coordenadas cartesianas, da parábola -c c F F r A reta r é chamada diretriz da parábola O ponto F é chamado foco O ponto V = (0, 0) é chamado vértice A distância do foco ao vértice é chamada parâmetro da parábola O eixo (dos x s) que contém o foco e é perpendicular à reta diretriz é chamado eixo da parábola ou eixo de simetria Exemplo: Considere a parábola gráfico da função y = ax 2 +bx+c Vamos obter as coordenadas do vértice V e foco F Como a 0, podemos escrever y = a(x 2 + bx+ c) a a Completando o quadrado, obtemos y = a((x+ b 2a )2 b2 + c b2 ) Ou seja, y+( c) = 4a 2 a 4a a(x + b 2a )2 Pondo y = y + ( b2 c) e 4a x = x + b a equação fica 2a y = ax 2, portanto na forma reduzida Assim, V = ( b, 4ac) é o vértice da parábola Logo, no 2a b2 4a sistema de coordenadas S = {V, x, y }, onde os eixos V x e V y são paralelos aos eixos Ox e Oy respectivamente, o foco F tem coordenadas F = (0, 1 ) 4a S e portanto, no sistema {O, x, y}, F = ( b, 1 b2 +4ac) 2a 4a y y F V x x Equação polar Para obtermos uma equação polar simplificada da parábola, fixamos o sistema de coordenadas polares S = {F, Ox}, ou seja, polo em F e eixo polar coincidindo como eixo dos x s no sentido oposto Escolhido este sistema polar temos, x = c ρ cos(θ) e y = ρ sen(θ), π < θ < π Substituindo na equação cartesiana y 2 4cx = 0 obtemos:

15 15 ρ 2 sen 2 (θ) 4c(c ρ cos(θ)) = 0 Isto é, ρ 2 ρ 2 cos 2 (θ) 4c 2 + 4cρ cos(θ)) = 0 Ou seja, ρ 2 = (ρ cos(θ) 2c) 2 Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados, e notando que ρ cos(θ) 2c < 0, obtemos: ρ = ρ cos(θ) + 2c, com π < θ < π Portanto, 2c ρ =, π < θ < π, 1 + cos(θ) é uma equação polar da parábola Propriedades unificadoras das cônicas Sob certos pontos de vista, apresentamos três deles abaixo, as cônicas elipse, parábola e hipérbole podem ser entendidas como casos particulares de um mesmo exemplo 1) Pontos no infinito As curvas elipse, hipérbole e parábola, têm equações polares tão semelhantes que sugere uma certa unificação Para ver isso é necessário adicionarmos aos pontos do plano euclidiano π os chamados pontos no infinito 1 1 c b a 1 reta projetiva a b plano projetivo c Um ponto no infinito é a direção de uma reta Uma reta juntamente com o seu ponto no infinito é chamada reta projetiva Retas paralelas têm o mesmo ponto no infinito O plano euclidiano R 2 juntamente com todos os seus pontos no infinito constitui o chamado plano projetivo P 2 No plano projetivo as três curvas, elipse, parábola e hipérbole, são curvas fechadas A hipérbole tem dois pontos no infinito, a parábola um e a elipse nenhum ponto no infinito 10 2) Propriedades ópticas Supondo que as curvas elipse, parábola e hipérbole são refletoras, então um raio de luz que emana de um dos focos reflete por um caminho bem definido (Figura 5) No caso da elipse ele reflete e se dirigi ao outro foco No caso da parábola ele reflete paralelamente ao eixo de simetria da parábola Finalmente, no caso da hipérbole a 10 No estudo da equação geral do segundo grau em duas variáveis Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+ F = 0 verifica-se uma analogia interessante entre esta equação e a equação geral do segundo grau em uma variável ax 2 + bx + c = 0 De fato, o sinal do número = B 2 4AC discrimina as três cônicas; isto é, o fato do conjunto dos pontos (x, y) tais que Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ter dois pontos no infinito, um ponto no infinito ou nenhum ponto no infinito corresponde aos valores de positivo, nulo ou negativo, respectivamente

16 16 b a a b Figura 4 Elipse, hipérbole e parábola: curvas fechadas em P 2 reflexão se dá na direção da reta determinada pelo ponto onde o raio de luz toca um ramo da hipérbole e pelo foco do outro ramo F F 1 F 2 F F 1 2 Figura 5 Vamos demonstrar essa propriedade no caso da parábola x 2 4cy = 0 A reta tangente à parábola y = 1 4c x2 no ponto P = (x 0, y 0 ) tem inclinação 1 x 2c 0 e portanto equação y y 0 = 1 x 2c 0(x x 0 ); isto é, x 0 x 2cy 1 2 x2 0 = 0 Portanto, essa reta tangente cruza o eixo dos y s no ponto A = (0, 1 4c x2 0 ) Sendo F = (0, c) e sabendo-se que os pontos P da parábola são equidistantes à diretiz (neste caso, y = c) e ao foco, temos d(p, F) = y 0 + c = 1 4c x2 0 + c Logo, d(p, F) = d(a, F) Em outras palavras, o triângulo AP F é isósceles Logo, os ângulos da base, nos vértices A e P são iguais F P A Portanto são iguais os ângulos de incidência e reflexão do raio FP que reflete, em relação à reta tangente, paralelamente ao eixo de simetria da parábola (neste caso, eixo dos y s) 3) Seções cônicas As curvas elipse, parábola e hipérbole são obtidas como interseção de um cone circular reto com um plano De fato, na figura 6 nota-se que as curvas têm muita semelhança com a parábola, elipse e hipérbole Cada caso depende do ângulo que

17 17 parábola elipses hipérboles Figura 6 o plano faz com o eixo do cone e também da posição do plano Por exemplo, se o plano for paralelo a (e não contém) uma das retas geratrizes do cone obtém-se uma curva semelhante à parábola De fato a curva é uma parábola Uma pequena mudança neste plano, de modo que ele deixa de ser paralelo à qualquer uma das geratrizes, e a curva interseção se torna uma hipérbole (se o plano cortar as duas folhas do cone) ou uma elipse (se o plano só corta uma folha do cone) Demonstraremos essa afirmação para o caso da elipse Esferas de Dandelin é o nome da construção em homenagem a Germinal Dandelin ( ) Antes porém, vamos mostrar que a interseção de um cilindro circular reto por um plano π oblíquo ao eixo do cilindro é uma elipse (figura 7(a)) A F 1 P F 2 B (a) (b) Figura 7 Introduzimos na parte superior do cilindro uma esfera de raio igual ao raio do cilindro até tocar o plano π no ponto F 1 Fazemos o mesmo na parte inferior e obtemos o ponto F 2 onde a esfera introduzida tangencia o plano Essas duas esferas têm em comum com o cilindro duas circunferências contidas em planos paralelos Seja P um ponto qualquer da curva interseção do cilindro com o plano π Considere o segmento AB da geratriz do cilindro passando por P Como os segmentos PA e PF 1 são tangentes à esfera superior então eles têm o mesmo comprimento, em outas palavras, d(p, F 1 ) = d(p, A) Analogamente, os segmentos PB e PF 2 têm o mesmo comprimento, isto é, d(p, F 2 ) = d(p, B) Como d(p, A) + d(p, B) = d(a, B)

18 18 é constante, segue-se que d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) é constante Portanto os pontos P da interseção do cilindro com o plano π constituem de fato uma elipse de focos F 1 e F 2 Passemos agora à construção de Dandelin no caso da elipse como seção de um cone circular reto Considere a interseção do cone por um plano π de modo a obter uma curva que se assemelha à elipse (figura 7(b)) O plano corta apenas uma das folhas do cone Vamos demonstrar que existem dois pontos D π e E π tais que qualquer ponto B da curva interseção verifica d(b, D) + d(b, E) é uma constante, isto é, a soma das distâncias de B aos pontos D π e E π é uma constante Teremos portanto que os pontos B constituem uma elipse cujos focos são os pontos D e E De fato, o plano divide a folha do cone em duas partes, uma limitada e a outra não Em cada uma dessas partes introduzimos uma esfera que tangencia o plano e toca o cone ao longo de uma circunferência Essas duas circunferências estão contidas em planos paralelos A esfera de raio menor tangencia o plano num ponto digamos E e a de raio maior no ponto D A geratriz do cone que parte do vértice V e passa pelo ponto B cruza a circunferência da esfera menor no ponto A e a maior no ponto C Como os segmentos BA e BE são ambos tangentes à esfera menor então eles têm o mesmo comprimento O mesmo acontece com os segmentos BC e BD Portanto, qualquer que seja o ponto B na curva obtida da interseção do cone com o plano π, a soma das distâncias de B aos pontos de tangência das esferas com o plano, D e E, é constante e igual ao comprimento do segmento AC, que é constante, qualquer que seja o ponto B, pois as circunferências estão em planos paralelos Logo, o lugar gemétrico dos pontos da curva interseção é de fato uma elipse, com focos D e E