PROPOSTAS PARA O PROBLEMA DE ESTRATIFICAÇÃO EM AMOSTRAS CONSIDERANDO ALOCAÇÃO PROPORCIONAL

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1 XXXVIII SIMPÓSIO BRASIEIRO DE PESQISA OPERACIOA a 5/9/6 Goiânia, GO PROPOSTAS PARA O PROBEMA DE ESTRATIFICAÇÃO EM AMOSTRAS COSIDERADO AOCAÇÃO PROPORCIOA José André de M. Brito IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística Diretoria de Pesquisas - DPE Coordenação de Métodos e Qualidade COMEQ britom@ibge.gov.br Flávio Marcelo Tavares Montenegro IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística Diretoria de Pesquisas - DPE Coordenação de Métodos e Qualidade COMEQ fmontenegro@ibge.gov.br elson Maculan COPPE/FRJ Programa de Engenaria de Sistemas e Computação maculan@cos.ufrj.br Rosemary Vallejo Azevedo IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística Diretoria de Pesquisas - DPE Coordenação de Métodos e Qualidade COMEQ rvallejo@ibge.gov.br RESMO Este trabalo relata novas propostas metodológicas para a resolução do problema de estratificação em amostras. ma vez definida uma população de tamano, uma amostra de tamano n e um número de estratos, deve-se determinar quais observações da população estão associadas a cada um dos estratos de forma a minimizar a soma das variâncias dos estimadores em cada estrato. Para a resolução deste problema, é proposta uma formulação de programação inteira e um algoritmo baseado nas metaeurísticas GRASP e VS. Resultados computacionais obtidos a partir de um conjunto de dados reais são apresentados e discutidos. PAAVRAS CHAVE: Amostragem, Estratificação, Programação Inteira ABSTRACT Tis work reports new metodological purposes for te stratification problem in survey samples. In tis problem, from a predefined population of size, a sample of size n and a number of strata we must to determine, wic population observations are associated to wic stratum in suc a way to minimize te sum of te estimator variances at eac stratum. To solve tis problem we propose an integer programming formulation and an algoritm based on GRASP and VS metaeuristics. Computational results for a real data set are presented and discussed. KEYWORDS: Sampling, Stratification, Integer Programming [ 68 ]

2 XXXVIII SIMPÓSIO BRASIEIRO DE PESQISA OPERACIOA a 5/9/6 Goiânia, GO. Introdução as últimas décadas, tem-se observado uma crescente necessidade de produzir quadros instantâneos da realidade, estudada em vários segmentos da população a partir da aplicação de pesquisas tais como: volume de audiência de diferentes programas de televisão e rádio e de leitura de jornais e revistas; levantamento de características de uma população, etc. Em vista dessa necessidade, e das limitações financeiras e/ou operacionais para atendê-la, o levantamento de informações por amostragem constitui uma ferramenta indispensável, pois permite a obtenção de informações a respeito de valores populacionais desconecidos por meio da observação de apenas uma parte (amostra) dos elementos do universo de estudo (população). Os elementos de uma população são as unidades de observação e análise determinadas pelos objetivos do levantamento. Do ponto de vista matemático, a população é definida como um conjunto de elementos que possuem pelo menos uma característica em comum. a prática, compreende um agregado de elementos, que deve ser definido em termos de sua localização no espaço e no tempo. De acordo com as características da população em estudo, das restrições de orçamento e do grau de precisão das informações que se deseje obter a partir da amostra, podemos considerar vários esquemas de amostragem (Cocran, 977 e Bolfarine e Bussab, 5) tais como: Amostragem Aleatória Simples, Amostragem de Conglomerados, Amostragem Sistemática e Amostragem Estratificada. Este trabalo concentra-se, em particular, no estudo da Amostragem Estratificada, sendo propostas novas metodologias de resolução do problema de estratificação em amostras. Tal problema consiste em dividir uma população de tamano em um conjunto de populações, camadas de estratos. A construção destes estratos é efetuada levando em conta uma variável de estratificação X, também camada de variável de tamano, cujas observações são conecidas para todas as unidades da população. Assim, o estrato será definido pelas observações de X que sejam menores ou iguais a um valor b, o estrato ( =,..., ) será definido pelas observações de X que estejam no intervalo ( b, b ], onde b < b <... < b são os limites desses estratos, e o estrato pelas observações maiores do que b. O problema de estratificação consiste, então, em determinar os limites b < b <... < b <... < b de forma a minimizar a soma das variâncias nos estratos, considerando uma variável de estudo Y que seja correlacionada com a variável X. Com a finalidade de obter soluções ótimas ou de boa qualidade para esse problema, serão apresentados neste trabalo uma formulação de programação inteira (-) (Wolsey, 998) e um algoritmo baseado nas metaeurísticas GRASP e VS (Resende, 4 e Mladenovic, 999). a seção seguinte, são apresentados de forma concisa os principais conceitos de amostragem estratificada, com a finalidade de auxiliar o entendimento do problema de estratificação e da nova metodologia proposta. a seção 3, apresenta-se o problema de estratificação e uma rápida descrição das metodologias existentes na literatura. a seção 4, é apresentada uma nova proposta de metodologia para a resolução do problema. Como conclusão do trabalo, apresenta-se um conjunto de resultados computacionais obtidos a partir da utilização de dados reais.. Conceitos Básicos sobre Amostragem Estratificada a amostragem estratificada, uma população com unidades é dividida em subpopulações com,,...,,..., unidades, respectivamente, camadas de estratos. Essas subpopulações não se superpõem e, juntas, abrangem a totalidade da população, de tal modo que =. (.) Para que sejam obtidos todos os proveitos da estratificação, os valores de devem ser conecidos. Depois de definidos os estratos, a partir do conecimento de uma ou mais [ 683 ]

3 XXXVIII SIMPÓSIO BRASIEIRO DE PESQISA OPERACIOA a 5/9/6 Goiânia, GO características da população, seleciona-se uma amostra em cada um deles, sendo as seleções feitas de maneira independente em cada um dos estratos. Os tamanos das amostras dentro dos estratos são denotados por n, n,..., n,..., n, respectivamente. A estratificação é uma técnica bastante utilizada (Silva, ), tendo em vista que: () produz um erro de estimação menor do que aquele produzido a partir de uma amostra aleatória simples de mesmo tamano (Bolfarine e Bussab, 5), sendo esse erro tanto menor quanto mais omogêneos forem os valores das variáveis de interesse dentro de cada estrato; () é desejável que a amostra mantena a composição da população segundo algumas características básicas; (3) pode-se utilizar a estratificação para espalar a amostra sobre toda a população, de modo que a amostra obtida seja representativa de grupos previamente identificados na população. De forma a facilitar o entendimento do problema de estratificação, apresenta-se a seguir a notação básica associada à Amostragem estratificada: - úmero total de unidades da população - úmero total de unidades da população em cada estrato, considerando os estratos n - úmero total de unidades na amostra n - úmero de unidades na amostra selecionada no -ésimo estrato Y - Valor associado à variável de interesse Y, para a i-ésima unidade do -ésimo estrato, na Y i Y = S população i i= = - Valor médio de Y na população do -ésimo estrato (.) y = = y. Y - Total de Y na população considerando todos os estratos (.3) i= ( y i Y 3. O Problema de Estratificação ) - Medida da variância de Y na população do -ésimo estrato (.4) Considere uma população de pesquisa identificada pelo conjunto finito e ordenado de rótulos, representando todas as unidades elementares de interesse, denotado por =,,..., i,..., }, e sejam: Y a variável de interesse na pesquisa, a partir da qual serão calculadas estimativas, e X a variável de tamano (Azevedo, 4) usada para a estratificação. Seja Y = y, y,..., y } um vetor populacional associado à variável Y e X = x, x,..., x } o vetor populacional gerado pela variável auxiliar X, tal que, sem perda de generalidade, se supõe que x x... x. Supona, ainda, que a população seja dividida em conjuntos disjuntos e exaustivos, denotados por,,...,,...,. Assim, a união destes conjuntos ou estratos corresponde à população completa, isto é,... =. Denota-se por, conforme a seção, o total de unidades da população em cada estrato e por n o número de unidades a serem selecionadas na amostra dentro de cada estrato, =,,...,. Algumas dessas definições, incluindo o tamano acumulado da amostra nos estratos, M = j, =,,...,, j= estão esquematizadas na Tabela, apresentada a seguir. [ 684 ]

4 XXXVIII SIMPÓSIO BRASIEIRO DE PESQISA OPERACIOA a 5/9/6 Goiânia, GO Tabela Visualização do Processo de Estratificação Estrato Tamano da População Tamano Acumulado Rótulos no Estrato Dados da Variável Auxiliar no Estrato M = =,,..., } x,..., x } M + M M = = M +,..., },..., x } M x M + M M = M + = M +,..., M },..., x } x M + M M = M + = M +,..., M },..., x } Assim, a amostra é identificada a partir dos conjuntos, x M + M =,,...,, que contém as unidades que estão em cada estrato e são tais que = i : xi b} =,,..., M}, = i : b < xi b} = M +,..., M }, =,3,..., e = i : b < xi} = M +,..., M }, onde b < b <... < b <... < b denotam os pontos de corte que delimitam os estratos na população. ma vez determinados os valores b < b <... < b <... < b, é retirada uma amostra de dentro de cada um dos estratos. Deve-se ainda destacar que as observações (componentes) repetidas associadas ao vetor populacional X devem, obrigatoriamente, pertencer a um mesmo estrato. A partir dos tamanos de amostra n e da população, definidos em cada um dos estratos e considerando uma certa variável de interesse Y, pode-se então escrever o estimador de total Y^ (Bolfarine e Bussab, 5) considerando a seguinte expressão: ^ n Y = y (3.) k = n k= O problema de estratificação consiste, então, em determinar os limites b < b <... < b <... < b de forma a minimizar a variância de Y^, Observe-se que e y ^ v( Y ) = = S. n y n.( ) (3.) S são definidas em função dos limites dos estratos, enquanto que o total n é fixado previamente. Os valores dos tamanos de amostra n, em cada um dos estratos, podem ser definidos considerando uma das expressões abaixo: n. n.. S y (3.3) n = (3.4) n =. S A expressão (3.3) está associada à camada alocação proporcional e a expressão (3.4) está associada à alocação de eyman ( Cocran, 977 e Bolfarine e Bussab, 5). Caso seja efetuada a substituição dos valores de n em (3.) pela expressão (3.3), tem-se: = = ^ n v( Y ) =.( ). S y (3.5) n y [ 685 ]

5 XXXVIII SIMPÓSIO BRASIEIRO DE PESQISA OPERACIOA a 5/9/6 Goiânia, GO O problema de estratificação foi estudado inicialmente por Dalenius (95) sob a ipótese n de que os fatores de correção eram desprezíveis, ou seja: ( ),. Sob essa ipótese, o problema se resumia a encontrar limites b < b <... < b que minimizassem a variância aproximada do estimador de total, considerando a alocação de eyman. Convém observar que obter um mínimo global para a variância expressa acima, considerando alocação proporcional ou alocação de eyman, é um problema de difícil resolução tanto analítica quanto computacional, pois S y é uma função não linear dos valores b,..., b - e o número de possibilidades diferentes de escola desses valores (para 4 observações distintas, >, e ao menos duas observações em cada estrato para evitar indeterminação em (.4) ) é, no mínimo, igual ao número de combinações de ( / ) tomados (-) a (-): / C. Como conseqüência disso, vários métodos aproximados têm sido sugeridos. m método bastante conecido é o da regra de Dalenius-Hodges (959). Este método consiste em aproximar a distribuição dos dados da variável de estratificação X na população por um istograma com muitas classes, o que implica em adotar a ipótese de que a variável de estratificação é uniformemente distribuída (Cocran, 977) dentro de cada classe. Com isto, o problema tem solução simples com a aplicação da Regra da Distribuição Cumulativa da Raiz da Freqüência, ou regra de Dalenius-Hodges, cuja descrição pode ser encontrada em Cocran (977) (capítulo 5). Em estudos mais recentes, avallée e Hidiroglou (998) empregaram um plano amostral usando estratificação de eyman para uma população com variável de tamano assimétrica. O método procura encontrar os limites de estratificação fixando o número de estratos e o nível de precisão desejado para estimar o total da característica de interesse, de tal modo que o tamano n da amostra seja mínimo. o trabalo desenvolvido por Hedlin (), é considerada a delimitação dos estratos de forma tal que a variância do estimador de total da variável de estudo, dada pela expressão (.), seja mínima, considerando n e pré-determinados e o emprego da alocação de eyman na distribuição da amostra nos estratos a serem amostrados. Sigman e Monsour (995) comentam que a alocação de eyman é apenas aproximadamente ótima. A razão disto é que n deve ser um número inteiro e, na alocação de eyman, isto normalmente não ocorre (Brito, 5). 4. Metodologia Proposta 4. Introdução Conforme já observado, as metodologias existentes na literatura normalmente fornecem apenas soluções viáveis, não necessariamente ótimas, seja qual for o método de alocação aplicado ao problema de estratificação. a tentativa de fornecer soluções de melor qualidade ou até mesmo ótimas, serão apresentadas, nesta seção, propostas alternativas para a resolução deste problema de estratificação, considerando a alocação proporcional. Inicialmente, foi desenvolvida uma formulação de programação inteira, que obtém a variância mínima (expressão 3.5) considerando como restrições o tamano de amostra pré-determinado e o número de estratos pré-fixado (restrições utilizadas no trabalo de Hedlin ()). Além dessa formulação, é apresentado nesta seção um algoritmo baseado nas metaeurísticas GRASP e VS. Para a resolução do problema, seja através da formulação de programação inteira ou da aplicação dos algoritmos eurísticos, são realizadas algumas transformações nos dados de entrada fornecidos. Tendo em vista que as observações X estão em ordem crescente, é possível agrupá-las considerando-se apenas seus valores distintos. Ou seja, tem-se K valores distintos de X, reunidos em um conjunto Q = q, q,..., qk }, que são os possíveis limites para a estratificação da população. [ 686 ]

6 XXXVIII SIMPÓSIO BRASIEIRO DE PESQISA OPERACIOA a 5/9/6 Goiânia, GO Considerando, por exemplo, = 9, = e X = (,4,4,8,,,,5,5), obtém-se Q =,4,8,,5) = ( q, q, q, q, ) Q = 5 = K e I =,,3,4,5 }, onde I é o conjunto ( 3 4 q5 de índices associados aos elementos de Q. Definindo = i xi q3, xi X } e = i q3 < xi q5, xi X }, tem-se a tabela a seguir: Estrato Tamano da População 4 = 5 Tabela Ilustração do Exemplo Tamano Rótulos no Dados de Acumulado Estrato X Índices do Conjunto I = M = 4 =,,...,4} x,..., x4},,3 } M = = 5,...,9} x,..., } 4,5} 5 x9 Obs: I representa o conjunto de índices associados aos elementos do conjunto Q. Analogamente, para estratos e K limites, deve-se escoler limites q k a partir deq. Considerando uma população de tamano, que será dividida em estratos, e os valores ordenados de X, ficam assim definidos os conjuntos Q e I. A solução do problema consistirá, então, em determinar quais limites q k serão selecionados do conjunto Q (ou quais índices serão selecionados do conjunto I ), de forma a obter a menor variância possível considerando a expressão (3.5). 4. Formulação de Programação Inteira A seguir, é apresentada a formulação de programação inteira proposta para o problema de estratificação, considerando a alocação proporcional. K K (P.I.) min = i= j= i+ z ij. v ij s.a. K K zij = i= j= i+.( j i + ) = K (4.) K K i= j= zij =, =,..., (4.) K K i= j= K ( ) j= K i= ik j = z (4.3) z = (4.4) K K + j. zij + = i. zij, =,..., (4.5) i= j= a formulação acima, z ij é uma variável binária que assume valor quando as observações de i até j, associadas ao conjunto I, definem um estrato e zero caso contrário. A restrição (4.) garante que a soma do número de índices do conjunto I associados a cada um dos estratos deve ser igual a K, o que é equivalente a garantir que o total populacional distribuído nos [ 687 ]

7 XXXVIII SIMPÓSIO BRASIEIRO DE PESQISA OPERACIOA a 5/9/6 Goiânia, GO estratos será igual a = =. A restrição (4.) garante que cada estrato é definido por exatamente um conjunto de observações de i até j (onde i, j I). A restrição (4.3) garante que o estrato começa com a observação associada ao menor índice do conjunto I e a restrição (4.4) garante que o estrato termina com a observação associada ao maior índice de I. Por fim, a restrição (4.5) garante que o índice (selecionado de I ) da primeira observação que define o estrato + deve ser igual ao índice da última observação que define o estrato, acrescido de uma unidade. n a função objetivo, as constantes v ij estão associadas à expressão ( ). S y, n = onde é o número de observações de X que estão no intervalo definido pelos índices de i até j do conjunto I e S y é a variância das observações de Y correspondentes às observações de X que pertencem ao intervalo definido de i até j ( i, j I). 4.3 Algoritmo para o Problema de Estratificação 4.3. Introdução Deve-se observar que, na formulação apresentada na seção 4., o número de variáveis é da ordem de.k. Dessa forma, dependendo do número de valores do conjunto Q (ou I ), pode ser necessário resolver um problema com milares de variáveis, tornando inviável a aplicação prática da formulação. Face a esta dificuldade, será apresentado, nesta seção, um algoritmo baseado nas metaeurísticas GRASP e VS. A partir da aplicação deste algoritmo, á a expectativa de se obter soluções viáveis (de boa qualidade) em um tempo computacional bastante reduzido. Além disso, estas soluções viáveis podem ser utilizadas como soluções iniciais para a formulação de programação inteira da seção 4.. Com o intuito de facilitar o entendimento do algoritmo proposto para o problema de estratificação, será feita uma breve exposição das metaeurísticas GRASP e VS GRASP O GRASP (Greedy Randomized Adaptive Searc Procedure) é um método (Resende, 4) que consiste de uma fase de construção, na qual uma solução viável x é construída iterativamente, seguida de uma fase de busca local, que visa melorar a solução obtida na fase de construção. Em cada passo da fase de construção, é definida uma lista de candidatos ( C ) que contém elementos que podem ser adicionados à solução. ma função gulosa g é aplicada em cada um dos elementos da lista de candidatos, e estes são classificados de acordo com os valores dessa função. O elemento melor classificado é adicionado à solução. Após essa operação, a lista de candidatos é atualizada, provocando a mudança dos valores obtidos após nova aplicação da função gulosa. O processo é repetido até que C =. ma forma de possibilitar uma maior variabilidade nas soluções obtidas consiste em definir uma lista de candidatos restrita ( CR ), formada pelos melores elementos avaliados na C através da função g, quais sejam, aqueles que quando incorporados à solução parcial x produzem um acréscimo mínimo (no caso de um problema de minimização). Este processo representa o aspecto guloso do GRASP, pois é disponibilizado apenas um subconjunto dos melores elementos a serem incorporados na solução. Em Resende (4), tem-se dois esquemas de construção da CR : (i) um inteiro p é fixado e os p melores candidatos, ordenados na C segundo algum critério, são selecionados para compor a CR. (ii) A cada iteração da fase de construção, denotamos respectivamente por g e [ 688 ]

8 XXXVIII SIMPÓSIO BRASIEIRO DE PESQISA OPERACIOA a 5/9/6 Goiânia, GO g o menor e o maior acréscimo provocados pela inserção de um elemento t C na solução, segundo a função gulosa g (.). A partir da utilização desta função e dos valores g e g, definimos CR = t C g( t) g + α ( g g)}, onde α [,]. este trabalo, utiliza-se este segundo esquema de construção da CR, a partir da qual um valor é escolido aleatoriamente. a segunda fase, de busca local, á uma tentativa de melora da solução inicial x obtida na primeira fase, tendo em vista que esta solução não é necessariamente uma solução ótima para o problema. A busca local consiste na substituição da solução x pela melor solução x ' ' encontrada na vizinança de x, atribuindo-se, em seguida, o valor de x a x e reiniciando a busca na vizinança do valor atualizado de x, até que um critério de parada seja satisfeito. Os procedimentos de construção e busca local descritos são, então, repetidos até que um critério de parada seja satisfeito. Ao final de todo o processo, é escolida a melor solução obtida VS O enfoque explorado pela metaeurística VS (Variable eigborood Searc), proposta por enad Mladenovic (999), está baseado em uma troca sistemática de estruturas de vizinança associadas a um algoritmo de busca local. De maneira geral, uma vizinança V ( x ) de uma solução x é um conjunto de soluções que podem ser obtidas a partir de x através da inserção, mudança de posição ou remoção de um elemento de x. Diferentemente de outras metaeurísticas, o VS não segue uma trajetória, mas explora, uma a uma, vizinanças previamente definidas e distantes daquela associada à solução x de forma a obter soluções melores. Ou seja, utiliza-se um conjunto finito de vizinanças V k ( k =,..., kmax ) previamente selecionadas, sendo V k ( x ) o conjunto de soluções na k-ésima vizinança de x. ' o algoritmo VS básico, seleciona-se aleatoriamente uma solução x Vk ( x ) e submete-se esta solução a uma busca local. Se a busca fracassar na obtenção de uma solução melor que x, incrementa-se a ordem da vizinança corrente. Ou seja, é explorada uma solução em outra vizinança V k + ( x ). Caso contrário, se a busca local encontrar uma solução melor do que a solução x na vizinança V k, atualiza-se a solução e a ordem da vizinança volta a ser Algoritmo Proposto O algoritmo GRASP proposto para este problema e apresentado a seguir, de forma simplificada, fornece, na fase de construção (Figura ), uma solução viável S que contém os índices de I que serão utilizados para definir os limites dos estratos. o primeiro passo do algoritmo, é definida a lista de candidatos C a partir dos índices do conjunto I (vide seção 3.) e, no passo, são definidas as variáveis (contadores) utilizadas no algoritmo. o passo 3, tem-se a condição de parada do algoritmo. o passo 5, são calculados todos valores de g ( j). Cada um de tais valores está associado à variância das observações de Y que estão compreendidas entre i e j no estrato. o passo 6, define-se a lista de candidatos restrita ( CR ), considerando a menor variância g e a maior variância g. o passo 7, é selecionado um índice t (associado ao conjunto I ) da CR, definindo quais observações de X pertencem ao estrato. o passo 8, tem-se a inclusão deste índice na solução S e, no passo 9, é atualizada a lista de candidatos C. [ 689 ]

9 XXXVIII SIMPÓSIO BRASIEIRO DE PESQISA OPERACIOA a 5/9/6 Goiânia, GO ma vez que selecionado um índice t da CR, os índices de,..., t não podem ser considerados para a definição do próximo estrato. Por conseguinte, deve-se trabalar com C = i +,..., K i + > t}. Ao final da construção, S terá os valores associados aos pontos de corte nos estratos ( S = i, i,..., i } ). Assim, o º estrato será definido pelas observações de até i, o º estrato pelas observações de i + até i, e assim por diante até o último estrato, definido pelas observações de i até K. a fase de busca local (Figura ), é desenvolvido um algoritmo baseado na metaeurística VS. Inicialmente, é efetuada uma pequena perturbação em um S (passo 4): a partir de S = i, i,..., i }, seleciona-se um índice i de S e define-se S ( i, i,..., i = i +,..., i }. Em seguida, considerando S, é calculada a variância para as = = ( i, i,..., i = i + k,..., i = ( soluções definidas em S } e S i, i,..., i = i k,..., i }, tomando-se a solução de menor variância entre S e S (passos 5 e 6). Caso este valor seja menor que o valor da variância de S, define-se uma nova solução (limite de estratos) fazendo '' S = S e k =. Caso contrário, incrementa-se o valor de k e define-se a solução como sendo igual à solução anterior. () Defina C,,3,..., i, i +,..., K} = (Índices de I associados a Q ) () Defina S = }, =, i = (3) Enquanto C } Faça (4) Faça = + (contador do número de estratos) (5) Para j = i + Até K ( *( )) Faça Calcule ( j), j (6) Defina CR = t C g( t) g + α ( g g)} (7) Selecione aleatoriamente um índice t CR (8) Defina S = S t (9) Se ( < ) Então Defina C = i +,..., K i + > t} Senão Defina C = } Fim-Se () Faça i = t + () Fim-Enquanto Figura Algoritmo para Estratificação Fase de Construção g ( i I) [ 69 ]

10 XXXVIII SIMPÓSIO BRASIEIRO DE PESQISA OPERACIOA a 5/9/6 Goiânia, GO () Para t = Até Faça () Defina = 5. Resultados Computacionais k e k max = K / (3) Enquanto ( k kmax ) Faça i de S = i, i,..., i, i } e (4) Selecione aleatoriamente um índice defina S = ( i, i,..., i = i +,..., i } (perturbação) ' '' (5) A partir de S, defina S = ( i, i,..., i = i + k,..., i } e '' S = ( i, i,..., i = i k,..., i } '' '' '' (6) Defina S considerando a menor a variância f entre S e S '' ' (7) Se ( S ) f ( S ) (8) Defina Senão (9) k = k + () Fim-Se () Fim-Enquanto () Fim-Para f < Então '' S = S e k = Figura Algoritmo para Estratificação Fase de Busca ocal 5. Introdução A presente seção contém os resultados computacionais associados a um conjunto de instâncias para as quais foi utilizada a formulação e aplicado o algoritmo GRASP. Tais instâncias foram obtidas a partir dos dados da PAM (Produção Agrícola Municipal de 99-4), uma pesquisa produzida pelo IBGE. Os dados podem ser obtidos na Internet acessando o banco de dados SIDRA (ttp:// A partir da PAM, foram escolidas 7 unidades da federação (RJ, SP, CE, PR, SC, MG e BA), e em cada uma destas unidades foram selecionadas as variáveis área colida e quantidade produzida por município, considerando a cultura de milo. Estas variáveis correspondem, respectivamente, à variável de estratificação X à variável de estudo Y. Estas informações foram utilizadas como dados de entrada tanto para a formulação quanto para o algoritmo GRASP. Para a implementação da formulação foi utilizado o software de otimização IGO (versão 7.) e, no caso do algoritmo GRASP, foi utilizada a linguagem de programação Delpi Resultados A seguir, apresenta-se um conjunto de tabelas com informações sobre as instâncias usadas para a aplicação e análise da formulação e do algoritmo GRASP propostos neste trabalo. A Tabela 3 apresenta, para cada unidade da federação (F), informações relativas ao número de municípios, à área total colida (em ectares) e a quantidade total produzida (em toneladas). as tabelas 4 a 7 seguintes, são apresentadas informações relativas aos resultados da formulação e do algoritmo GRASP, considerando quantidades de estratos iguais a 3, 4, 5 e 8. Os resultados e tempos de computação obtidos são referentes ao processamento em microcomputador IBM-PC, com processador Pentium IV (.8 Mz) e 5 MB de memória. estas tabelas, n representa o tamano da amostra selecionada e que será distribuída nos estratos, considerando a alocação proporcional, VF representa o valor da função objetivo da formulação (variância total nos estratos) e T representa o tempo de execução da formulação em segundos. As duas colunas seguintes estão respectivamente associadas ao número de variáveis binárias e ao de restrições da formulação. Completando os cabeçalos das tabelas, VA representa o valor da função objetivo do algoritmo GRASP e T representa seu respectivo tempo de [ 69 ]

11 XXXVIII SIMPÓSIO BRASIEIRO DE PESQISA OPERACIOA a 5/9/6 Goiânia, GO execução. Cabe ainda observar que foi utilizado um algoritmo GRASP com filtro, ou seja, com múltiplas repetições (independentes) da fase de construção (Resende, 5), tendo sido fixado em o número de filtros (repetições da cada fase de construção), enquanto que o número total de iterações completas do algoritmo GRASP foi fixado em. Analisando as tabelas a seguir, pode-se fazer as seguintes considerações: Tanto a formulação de programação inteira quanto o algoritmo GRASP produziram soluções ótimas para a maioria dos problemas. As soluções finais fornecidas pelo algoritmo GRASP foram sempre iguais às soluções exatas, obtidas pela aplicação da formulação, e sempre melores que aquelas obtidas via formulação quando o processamento desta alcançava o limite máximo de tempo de computação, fixado em doze oras. Para o conjunto de problemas analisados, é mais interessante utilizar o algoritmo GRASP, pois este produz soluções ótimas ou viáveis em um tempo de processamento, em geral, bem menor do que o exigido pela formulação. Isto ocorre, em especial, quando são considerados problemas de dimensão maior, quando os tempos de computação usando o algoritmo GRASP (sempre inferiores a 4 segundos) cegam a ser três ou quatro ordens de grandeza menores. Embora o algoritmo GRASP tena fornecido soluções ótimas para a maioria das instâncias apresentadas neste trabalo, isto não pode ser tomado como uma regra geral. Ou seja, em especial para instâncias de médio e grande porte, a solução obtida pode ser apenas viável. A tabela 7 vem a confirmar a consideração feita no início da seção Isto é, para instâncias que impliquem em um razoável número de variáveis - (. ou mais), a formulação de programação inteira pode fornecer soluções apenas viáveis ou até mesmo não fornecer soluções. ma possível explicação para o bom desempeno do algoritmo GRASP, no caso das instâncias consideradas, está associada à própria dimensão dos problemas e à utilização do procedimento de filtro (Resende, 4), na fase de construção do GRASP, em combinação com o uso do algoritmo VS na fase de busca local. Tabela 3 Informações Gerais F () úmero de Municípios (X) Área Colida (ectares) (Y) Quantidade Produzida (toneladas) BA MG PR RJ CE SC SP Tabela 4 Resultados para 3 Estratos F n VF T (s) Variáveis Restrições VA T (s) BA,483E ,483E+ 6 MG,69585E ,69585E+ 33 PR,98857E ,98857E+ 4 CE 4,6978E ,6978E+9 3 RJ 5,587493E+7.79,587493E+7 7 SC 5 6,76374E ,76374E+ 6 SP 5 5,588634E ,588633E+ 4 Tabela 5 Resultados para 4 Estratos F n VF T (s) Variáveis Restrições VA T (s) BA,98947E ,98947E+ MG 5 7,46634E ,46634E+ 8 PR,7567E ,7567E+ 38 CE 5,6644E ,6644E+9 RJ 8 9,9464E ,9464E+6 6 SC 6 3,9374E ,9374E+ 3 SP 8,867E ,867E+ 34 [ 69 ]

12 XXXVIII SIMPÓSIO BRASIEIRO DE PESQISA OPERACIOA a 5/9/6 Goiânia, GO Bibliografia Tabela 6 Resultados para 5 Estratos F n VF T (s) Variáveis Restrições VA T (s) BA 3,967E ,967E+ 37 MG 3 3,9477E ,9477E+ 6 PR 5,33366E ,33366E+ 3 CE 6 7,766E ,766E+8 9 RJ 8,635E ,635E+6 4 SC 7,365E ,365E+ SP,9594E ,9594E+ 3 Tabela 7 Resultados para 8 Estratos F n VF T (s) Variáveis Restrições VA T (s) BA 5,53E ,53E+ 4 MG* 35,9657E ,9657E+ 9 PR* 8 7,74498E ,74498E+ 5 CE 8 4,64337E ,64337E+8 5 RJ 4,8688E ,8688E+6 4 SC* 8,46835E ,46835E+ SP* 5 7,7444E ,68784E+9 6 *VF corresponde à melor solução viável obtida em oras. Azevedo,R. V. (4). Estudo Comparativo de Métodos de Estratificação Ótima de Populações Assimétricas. Dissertação de Mestrado. IBGE/ECE. Brito, J.A.M. (5). ma Formulação de Programação Inteira para o Problema de Alocação Ótima em Amostras Estratificadas. Anais do XXXVI Simpósio de Pesquisa Operacional SOBRAPO. Gramado, RS. Bolfarine, H. e Bussab, Wilton O. (5). Elementos de Amostragem. ABE Projeto Fiser. Editora Edgard Blücer. Cocran, Willian G. (977). Sampling Tecniques. Tird Edition ew York, Jon Wiley. Dalenius, T. (95). Te Problem of Optimum Stratification in Special Type of Design. Skandinavisk Aktuarietidskrift, 35, 6-7. Dalenius, T. e Hodges, J.. Jr (959). Minimum variance stratification. Skandinavisk Aktuarietidskrift, 54, 88-. Hedlin, D. (). A Procedure for Stratification by an Extended Ekman Rule. Journal of Official Statistics, 6 (), 5-9. avallée P. e Hidiroglou M. A (998). On te Stratification of Skewed Populations. Survey Metodology (Statistics Canada.), 4 (), Mladenovic, enad e Hansen, Pierre (999), Variable neigborood searc: Principles and applications, European Journal of Operational Researc,, pp Resende, M.G.C e Sousa, J.P (4). Metaeuristics : Computer Decision-Making. Kluwer Academic Publisers. Sigman, R. e Monsour, R. S. Selecting Samples from ist Frames of Business. In: COX, B. G. et al. (Ed.). Business Survey Metods, ew York: Wiley, 995. p Silva, ilza unes da (). Amostragem Probabilística: m Curso Introdutório. Editora da niversidade de São Paulo. Wolsey,. A. (998). Integer Programming. Series in Discrete Matematics and Optimization. Wiley-Interscience, ew York. [ 693 ]