GRASP: EFEITO DA INDEPENDÊNCIA DAS SOLUÇÕES INICIAIS NA OTIMIZAÇÃO DO CORTE UNIDIMENSIONAL EUCLYDES VIEIRA NETO

Transcrição

1 i GRASP: EFEITO DA INDEPENDÊNCIA DAS SOLUÇÕES INICIAIS NA OTIMIZAÇÃO DO CORTE UNIDIMENSIONAL EUCLYDES VIEIRA NETO Tese apresentada ao Centro de Ciências e Tecnologia, da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como parte das exigências para obtenção de título de Doutor em Ciências de Engenharia na área de concentração de Engenharia de Produção. Orientador: Geraldo Galdino de Paula Junior, D. Sc. UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE UENF CAMPOS DOS GOYTACAZES RJ ABRIL 2004

2 ii GRASP: EFEITO DA INDEPENDÊNCIA DAS SOLUÇÕES INICIAIS NA OTIMIZAÇÃO DO CORTE UNIDIMENSIONAL EUCLYDES VIEIRA NETO Tese apresentada ao Centro de Ciências e Tecnologia, da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como parte das exigências para obtenção de título de Doutor em Ciências de Engenharia na área de concentração de Engenharia de Produção. Aprovada em 27 de abril de 2004 Comissão Examinadora Prof. Geraldo Galdino de Paula Junior, D. Sc. UENF (Presidente) José Arica Ramon Chavez, D.Sc. - UENF José Elias Cláudio Arroyo, D. Sc. UCAM-Campos Rodrigo Tavares Nogueira, D. Sc. Estácio de Sá

3 iii Só uma coisa torna um sonho impossível: o medo de fracassar. (autor desconhecido)

4 iv DEDICATÓRIA A minha esposa Sônia e aos meus filhos Pedro e Daniel.

5 v AGRADECIMENTO Aos professores do Laboratório de Engenharia de Produção da UENF, pelos importantes conceitos passados. Aos amigos mestrandos, doutorandos e funcionários do LEPROD da UENF, pela amizade e apoio. Aos amigos Rodrigo Nogueira e Leonardo Povoa, pela importante troca de informações, pelo incentivo e pela amizade sincera que se tornou muito mais sólida durante toda a jornada. Ao Thiago Ribeiro pela grande ajuda na fase final deste trabalho. Ao professor David Maurício, por suas importantes informações ainda no período do meu mestrado que, foram fundamentais para que eu seguisse esta linha de pesquisa. Ao meu orientador e amigo, professor Geraldo Galdino, pela sua compreensão, incentivo e relevantes informações que foram decisivas para o desenvolvimento deste trabalho. incentivo. Aos meus pais, sogros, irmãos e sobrinhos pelo apoio e palavras de A minha esposa e meus filhos, pela compreensão de ter que passar muitos e muitos finais de semana sem sair de casa, porque eu tinha que trabalhar na minha tese e pelo incentivo nos momentos difíceis deste trabalho. A FENORTE pelo apoio financeiro durante o período do doutorado. A Deus que iluminou meu caminho durante toda esta caminhada, mostrando sua presença em muitos momentos difíceis.

6 vi RESUMO Esta tese apresenta um estudo sobre a metaheurística GRASP no problema do corte unidimensional e tem como objetivo avaliar a independência entre as soluções finais e as soluções iniciais construídas assim como a influência do parâmetro α de aleatoriedade nas soluções finais. Desenvolveram-se três algoritmos: um GRASP tradicional e dois deles baseados em GRASP com filtro, com diferentes procedimentos de busca local. Os algoritmos foram bem testados computacionalmente através de instâncias geradas aleatoriamente e de instâncias práticas retiradas da indústria. Os resultados obtidos foram superiores aos resultados da heurística FFD aplicada nas mesmas instâncias. Palavras chave: GRASP, corte unidimensional, esquema de corte, metaheurística.

7 vii ABSTRACT This thesis presents a study about GRASP meta-heuristics in the one-dimensional cutting stock problem. The main objective is to verify the independency between the final solutions and the generated initial solutions as well as the influence of the randomness α parameter in the final solutions. Three algorithms were developed: a traditional GRAS and two of them based on GRASP with filter, with different local search procedures. The algorithms were computationally well tested through the use of random generated instances and some common industrial instances. The good outcomes were superior to the ones obtained by the FFD heuristics applied to the same instances. Keywords: one-dimensional cutting, GRASP, metaheuristic, pattern cut.

8 viii SUMÁRIO 1 Introdução Classificação dos Problemas de Corte e Empacotamento Dimensionalidade Problema Unidimensional Problema 1,5 Dimensional Problema Bidimensional Problema 2,5 Dimensional Problema Tridimensional Problema Multidimensional Medidas Quantitativas Formato do Objeto Forma Orientação Sortimento Disponibilidade Restrição de Padrão Restrição de Alocação Objetivos Variabilidade da Informação Combinação dos Tipos Dimensionalidade Tipo de Alocação

9 ix Sortimento de Objetos Sortimento dos Itens O Problema do Corte Unidimensional Definição de Termos Definição do Problema Estratégias para Solução GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure) Definições Procedimento GRASP Ler Instância Critério de Parada Procedimento de Construção da Solução Procedimento Melhorar Solução Procedimento de Registrar a Melhor Solução Escrever a Solução A GRASP no Problema do Corte Unidimensional Generalidades Procedimento para Construir Soluções Heurística FFD para o Problema do Corte Unidimensional Algoritmo do Procedimento para Construir Soluções Iniciais O Parâmetro α na Construção da Solução Inicial Metodologia Discussão Resultados Procedimento de Melhoria (Busca Local) O Algoritmo do Procedimento de Melhoria da Solução... 53

10 x 5.4 Registrar Melhor Solução Algoritmo GRASP para o Corte Unidimensional Testes Computacionais da GRASP Metodologia Algoritmos Propostos Algoritmo ALG HB Metodologia do ALG HB Testes Computacionais Algoritmo ALG HB Metodologia do ALG HB Testes Computacionais Conclusões e Sugestões Referências Bibliográficas Apêndice 1: Resultados dos testes da variação do parâmetro α Apêndice 2: Exemplo da saída de dados pelo ALG HB Apêndice 3: Instâncias práticas testadas

11 xi LISTA DE TABELAS 1 Percentual de melhores soluções com variação do parâmetro α Soluções com a GRASP variando o parâmetro α segundo iterações Soluções das instâncias práticas do grupo BG1 pela GRASP Soluções das instâncias práticas do grupo BG2 pela GRASP Soluções das instâncias práticas do grupo BG3 pela GRASP Soluções das instâncias práticas do grupo BG4 pela GRASP Soluções das instâncias práticas do grupo BG1 pelo ALG HB Soluções das instâncias práticas do grupo BG2 pelo ALG HB Soluções das instâncias práticas do grupo BG3 pelo ALG HB Soluções das instâncias práticas do grupo BG4 pelo ALG HB Soluções das instâncias práticas do grupo BG1 pelo ALG HB Soluções das instâncias práticas do grupo BG2 pelo ALG HB Soluções das instâncias práticas do grupo BG3 pelo ALG HB Soluções das instâncias práticas do grupo BG4 pelo ALG HB Comparativo das perdas percentuais das instâncias do grupo BG Comparativo das perdas percentuais das instâncias do grupo BG Comparativo das perdas percentuais das instâncias do grupo BG Comparativo das perdas percentuais das instâncias do grupo BG Diferenças percentuais entre ALG_HB2 e Simplex Arredondado... 81

12 xii LISTA DE FIGURAS 1 Problema do corte Problema do corte unidimensional de uma barra Problema do corte 1,5 dimensional de uma bobina de aço Problema do corte bidimensional de uma placa Problema do empacotamento 2,5 dimensional Problema do empacotamento tridimensional Exemplo de um problema de corte unidimensional A heurística na solução de um problema A metaheurística GRASP na solução de um problema Idéia básica da metaheurística GRASP Pseudo código da metaheurística GRASP Parâmetro α Critério para o Gerador de Instâncias Desempenho da construção de soluções GRASP Distribuição de melhores soluções para Instâncias com m= Distribuição de melhores soluções para Instâncias com m= Distribuição de melhores soluções para Instâncias com m= Distribuição de melhores soluções para Instâncias com m= Solução inicial de uma instância Gráfico comparativo de soluções das instâncias do grupo BG Gráfico comparativo de soluções das instâncias do grupo BG Gráfico comparativo de soluções das instâncias do grupo BG Gráfico comparativo de soluções das instâncias do grupo BG

13 13 1 INTRODUÇÃO Durante muitos anos, as teorias e métodos desenvolvidos por matemáticos e cientistas foram arquivados em livros e periódicos especializados e muito pouco foi absorvido pelo setor empresarial. Felizmente, contudo, essa situação vem se alterando. É cada vez maior o número de companhias que adotam modelos de otimização em sua rotina, diminuindo seus custos e, por conseguinte, aumentando os lucros. Além do mais, com a onda crescente de privatizações nos diversos setores da sociedade, a concorrência se fortifica e a sobrevivência dos negócios começa a depender seriamente do desempenho de cada um com relação aos demais. Quem estiver mais bem preparado irá, sem dúvida alguma, suplantar os adversários. É muito comum que algumas empresas não tenham consciência de que certas tarefas são passíveis de otimização. Esta colocação se agrava principalmente nas pequenas e médias empresas pelo seu nível de formação gerencial, uma vez que muitas destas surgiram de ex-empregados que, por terem um grande conhecimento prático do processo produtivo em que estavam envolvidos, partiram para montar suas próprias empresas. Observa-se também que processos de produção altamente ineficientes poderiam ser melhorados significativamente, mas continuam a promover prejuízos que passam despercebidos porque, afinal de contas, "não se mexe em time que está ganhando". Ter prejuízo não significa somente terminar o mês com um caixa negativo. Significa também terminar o mês com um lucro líquido de R$ ,00 sem se dar conta de que o lucro poderia ter sido de R$ ,00, caso os recursos fossem administrados de forma mais adequada. Esse tipo de comportamento é bastante freqüente e precisa ser mudado. O Planejamento e Controle da Produção (PCP) é o sistema de gerenciamento de uma empresa responsável pela aquisição da matéria prima e transformação da mesma até a entrega de um produto acabado. A estrutura

14 14 hierárquica de um sistema PCP pode ser dividida em três níveis de planejamento distintos: estratégico, tático e operacional (ARAÚJO; ARENALES, 2000). O planejamento estratégico está relacionado a níveis de decisão de metas globais de uma empresa e às políticas adequadas para atingi-las, ou seja, objetivos a longo prazo. Já o planejamento tático é responsável pela implementação do planejamento estratégico, em que são tomadas decisões a médio prazo, utilizando-se eficientemente os recursos disponíveis. Por fim, planejamento operacional trata das decisões da rotina do processo de produção de uma empresa, em que são tomadas decisões de curto prazo com o objetivo de executar os planos acima definidos. Cortar unidades menores de unidades maiores ou empacotar unidades menores dentro de unidades maiores podem ser considerados problemas duais. Estes problemas pertencem a uma noção mais geral, denominada Problemas de Corte e Empacotamento, em que Dickhoff (1990) sugeriu a utilização de uma notação reduzida para facilitar a identificação dos diversos casos. A figura 1 apresenta um exemplo de um problema de corte unidimensional, onde unidades menores (itens) figura 1b, devem ser cortadas de unidades maiores, (barras) figura 1a, de maneira a otimizar certos objetivos. A solução deste problema depende de uma otimização combinatória. Figura 1: Problema do corte

15 15 O corte é uma fase de grande importância dentro da maioria dos processos de fabricação nos segmentos metal-mecânica, cartonagem, construção civil, móveis, entre outros, pois esta fase é o início do processo e, com um bom planejamento dos cortes, consegue-se reduzir o nível de aparas (perdas de matéria prima), bem como, em alguns casos, otimizar as próximas fases de produção. Problemas de natureza combinatória na área de corte e empacotamento têm sido atacados e resolvidos por algoritmos, desde os artigos seminais de Dantzig (1957) e Gilmore e Gomory (1961). Nos últimos 47 anos, diversos de artigos foram publicados na literatura especializada, como pode ser visto nas pesquisas bibliográficas de Golden (1976), Hinxman (1980), Coffman, Garey e Johnson (1984), Sweeney e Paternoster (1992), Dowsland e Dowsland (1992) e Dyckhoff e Finke (1992). Durante a conferência EURO/TIMS em Paris em 1988 foi fundado o Special Interest Group on Cutting and Packing (2002), com o objetivo de reunir e difundir os trabalhos desta área. O SICUP tem promovido encontros científicos específicos para problemas de corte e empacotamento e tem circulado boletins semestrais entre seus membros, divulgando o estado-da-arte nesta área. Um fato que tem motivado tantos autores na pesquisa dos problemas de corte e empacotamento é a intratabilidade desses problemas do ponto de vista computacional. Sabe-se que, via de regra, tais problemas são membros da classe NP-difícil (GAREY; JOHSON, 1979). Algoritmos exatos para solução da grande maioria dos problemas de corte e empacotamento necessitam normalmente de um tempo computacional proibitivo, o que inibe sua aplicação em situações práticas, mesmo para problemas considerados pequenos. As abordagens de resolução, na grande maioria das vezes, baseiam-se em um conhecimento específico das particularidades que são explorados no estudo de cada caso, o que justifica em parte a grande quantidade de métodos heurísticos encontrados na literatura. O uso de heurísticas tem sido a opção preferida na prática para a obtenção de soluções viáveis para esses problemas. Não existe um método que gere soluções gerais e eficientes para todos os problemas de corte devido, principalmente, à complexidade computacional dos

16 16 algoritmos e à diversidade de casos em que os problemas podem aparecer. É importante então criar métodos para gerar solução de problemas específicos. Nas últimas décadas, surgiram vários métodos enquadrados como metaheurísticas, para solução de diversos problemas altamente combinatórios. Alguns dos mais amplamente divulgados são: Simulating Annealing (KIRKPATRICK, 1983); Busca Tabu (GLOVER, 1996); GRASP (FEO, 1995); Busca em Vizinhança Variável (HANSEN; MLADENOVIC, 1997), Algoritmos Genéticos (HOLLAND, 1973) e Colônia de Formigas (COSTA; HERTZ, 1997; TAILLARD, 1999). A GRASP (greedy randomized adaptive search procedures) por sua característica de construção de soluções independentes foi a grande motivação do desenvolvimento desta pesquisa, que teve como objetivo avançar nos estudos de Vieira Neto (1999), que estudou a fase de construção das soluções iniciais para o problema do corte unidimensional aplicando esta metodologia. Ainda como motivação, foi a verificação, segundo o levantamento bibliográfico sobre as aplicações da GRASP, de que não existe nenhum estudo além de Vieira Neto (1999) a respeito da GRASP aplicada ao problema do corte unidimensional, o que caracteriza a originalidade desta pesquisa. Isto pode ser confirmado em Festa e Resende (2004). Considerando como hipótese principal da tese que, entre várias soluções iniciais diferentes (com valor da função objetivo igual ou não) para o mesmo problema do corte, nem sempre a melhor solução inicial submetida a um tratamento de melhoria resulta em uma solução melhor final. Desta maneira, foi executada esta pesquisa experimental para verificar o comportamento da metaheurística GRASP, para comprovação desta hipótese. Os objetivos desta tese foram: identificar os fatores que influenciam na qualidade da solução de problemas do corte unidimensional; desenvolver um procedimento de busca local para a melhoria das soluções iniciais construídas e propor dois algoritmos utilizando a GRASP como base deste algoritmo, levando em consideração o esforço computacional demandado para o processamento da

17 17 solução, uma vez que o mercado é muito dinâmico no que se refere às ofertas de matéria prima e às alterações de projetos. Cabe lembrar que, além da motivação teórica, o tema focalizado é de interesse estratégico nacional, pois os problemas em consideração ocorrem em larga escala em contextos industriais, onde se buscam aperfeiçoamentos que possam melhorar a produtividade e a qualidade dos processos ou dos produtos. Por se buscar soluções com baixo custo computacional e de grande simplicidade na aplicabilidade, insere-se a pequena e média empresa na utilização desta tecnologia. Vários problemas, muitas vezes abordados sob outra forma na literatura especializada, mantêm uma estreita relação com os problemas de corte e empacotamento, ampliando ainda mais o interesse neste tópico. Como exemplo de tais problemas temos o carregamento de veículos, a programação de rotas de veículos, navios e aviões, a alocação de tarefas, o balanceamento de linha de montagem, a adequação do orçamento/capital, programação de multiprocessadores, alocação de memória computacional, problemas de leiaute e outros. Nestes problemas, os objetos e itens têm uma métrica diferente, isto é, em vez de terem dimensões espaciais como comprimento, largura e profundidade, podem ter dimensões não espaciais como tempo, peso, memória etc. Para organização desta tese é apresentada, no capítulo 2, a classificação dos Problemas de Corte e Empacotamento para que se tenha uma visão mais geral sobres estes problemas. No capítulo 3, serão dadas algumas definições do problema do corte unidimensional, que é o foco principal desta tese, apresentando o modelo matemático e algumas estratégias de solução. No capítulo 4, será conceituada a metaheurística GRASP. O capítulo 5, aborda a GRASP aplicada ao problema do corte unidimensional, apresentando resultados do estudo sobre a influência do fator de aleatoriedade na qualidade da solução, bem como serão apresentados resultados computacionais dos testes com e sem o procedimento de melhoria. No capítulo 6, serão discutidos dois algoritmos propostos desenvolvidos neste estudo, apresentando os resultados dos testes computacionais. Finalizando com capítulo 7, que apresenta algumas conclusões e sugestões com relação à pesquisa.

18 18 2 CLASSIFICAÇÃO DOS PROBLEMAS DE CORTE E EMPACOTAMENTO O Problema do Corte pertence a uma noção mais geral, denominada problemas de corte e empacotamento. Em função da grande diversidade de situações da vida real com relação a estes problemas, pesquisadores dos diversos campos de conhecimento, tais como engenharia, ciências da computação, matemática, economia entre outros, têm se dedicado ao estudo destes problemas. Estes estudos originaram diversas variantes do problema, conhecidos na literatura por diversos nomes tais como problema do corte de estoque (cutting stock problem), problema do empacotamento (bin packing problem), problema do carregamento (loading problem), problema da mochila (knapsack problem), etc. Com o objetivo de sistematizar estes estudos, Dyckhoff (1990) apresentou uma efetiva comparação dos problemas de corte e empacotamento e sugeriu a utilização de uma notação reduzida para identificar com mais objetividade os diversos casos. A estrutura lógica básica dos problemas de corte e empacotamento tem as seguintes características: a) Existem dois grupos básicos de dados, onde os elementos definem objetos geométricos de uma ou mais dimensões. O grupo de dados com dimensões e quantidades disponíveis dos objetos grandes, tratados simplesmente por objetos (para o problema do corte é a matéria prima), e o outro grupo que define as dimensões e quantidades requisitadas dos objetos pequenos (que serão tratados por itens); b) O processo de corte ou empacotamento, resulta combinações dos itens dentro dos objetos. Cada combinação de itens dentro de um objeto será tratado como um esquema ou padrão. Um ou mais esquemas definem uma solução de um problema. A classificação, apresentada a seguir, baseado em Dyckhoff e Finke (1992), procura estabelecer critérios suficientemente gerais para abranger toda diversidade

19 19 de casos. A partir disto, algumas associações entre classes do problema e métodos de solução são discutidas. 2.1 DIMENSIONALIDADE A mais importante característica é a dimensionalidade pois esta define as dimensões necessárias para se identificar a geometria dos esquemas de corte. Podemos classificar cinco tipos de problemas segundo as dimensões elementares: a) unidimensional; b) 1.5 dimensional; c) bidimensional; d) 2.5 dimensional; e) tridimensional; f) multidimensional Problema unidimensional No problema unidimensional, a única dimensão relevante para a solução é o comprimento. A figura 2 mostra um esquema de corte de um objeto, com seção transversal constante, que foi cortado em itens, onde neste origino-se uma apara que será tratada por perda. Se ao contrário tivermos alguns itens que devem ser escolhidos para preencher um certo comprimento, teremos um problema de empacotamento unidimensional. Figura 2: Problema do corte unidimensional de uma barra Problema 1,5 dimensional No caso do corte 1,5 dimensional, duas dimensões do objeto são relevantes para a solução; porém, uma delas é variável. A figura 3 mostra um exemplo de uma

20 20 bobina de lâmina de aço para produção de placas. O objetivo é utilizar o menor comprimento da bobina para atender à demanda. Figura 3: Problema do corte 1,5 dimensional de uma bobina de aço Problema bidimensional Para o problema do corte bidimensional, duas dimensões do objeto são relevantes para a solução. Neste caso estas dimensões são fixas para cada tipo de objeto. A figura 4 mostra um exemplo de uma placa retangular com espessura constante, que deverá ser cortada em placas menores. Figura 4: Problema do corte bidimensional de uma placa Problema 2,5 dimensional No caso do corte 2,5 dimensional, três dimensões do objeto são relevantes para a solução, porém, uma delas é variável, conforme figura 5. Como exemplo, poderia considerar um contêiner com largura e altura fixas e comprimento suficiente para acomodar um volume de carga, o objetivo seria determinar o comprimento necessário para carregar toda esta carga. Esta abordagem pode ser útil para arranjar em um único contêiner blocos de carga com destinos diferentes.

21 21 Figura 5: Problema do empacotamento 2,5 dimensional Problema tridimensional No problema tridimensional, as três dimensões são relevantes para a solução. Trata-se de arranjar itens espaciais, dentro de objetos tridimensionais maiores. A figura 6 mostra um exemplo de um problema tridimensional como carregamento de contêineres. Figura 6: Problema do empacotamento tridimensional Problema multidimensional O problema é n-dimensional ou multidimensional, quando n dimensões (n>3) são relevantes no processo. Exemplo: empacotamento de caixas de comida em fornos para cozimento (neste caso, o tempo de cozimento representa a quarta dimensão). 2.2 MEDIDAS QUANTITATIVAS. Refere-se ao número de objetos e itens. Este número de objetos pode ser representado de duas maneiras:

22 22 - Números discretos ou inteiros. - Números contínuos ou fracionários. No caso dos inteiros ou discretos, são contados os números de objetos a serem utilizados: são os casos dos problemas unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais. No caso dos contínuos ou fracionários, a quantidade do objeto é medida: são os casos dos problemas 1,5 dimensional e 2,5 dimensional. 2.3 FORMATO DO OBJETO. Tão importante quanto a dimensionalidade, é a forma geométrica e a orientação do objeto e do item Forma As formas podem ser regulares e irregulares, apesar da maioria das pesquisas serem sobre formas regulares (HERZ, 1972), existe uma grande aplicação no que diz respeito a formas irregulares (ALBANO; SAPUPPO, 1980) Orientação Existem três casos referentes à orientação dos objetos: qualquer orientação é permitida, rotação somente de 90 graus e orientação fixa. No caso desta tese, qualquer orientação é permitida pois, no corte unidimensional, o importante é o comprimento dos objetos a serem cortados. 2.4 SORTIMENTO. Indica o número de formas e figuras distintas encontradas no problema tanto para os objetos como para os itens. No caso, por exemplo, do corte bidimensional na indústria de artefatos de metal, é comum os objetos possuírem formas retangulares, enquanto os itens possuírem formas variadas (retângulos, círculos).

23 DISPONIBILIDADE. Esta característica refere-se aos objetos e itens. Aqui três considerações podem ser feitas: a) limitação ou não das quantidades dos objetos e itens. No nosso caso a quantidade de objetos (barra padrão) será considerada ilimitada, ou seja, será utilizada a quantidade necessária de barras padrão para atender a uma demanda finita; b) a seqüência em que os objetos serão utilizados é outra característica que deve-se levar em consideração (MORABITO; ARENALES, 1997), no caso de veículos, por exemplo, a seqüência do carregamento está vinculada aos locais e roteiro das entregas. Para o nosso caso, o importante é que todos os itens tenham sua demanda atendida; c) a data da utilização dos objetos deverá ser considerada nos casos em que a utilização de um objeto está condicionada ao objeto utilizado anteriormente. Nesta tese, a ordem dos cortes dos objetos não é importante, por se considerar que a utilização dos itens só se dará após o término da ordem de produção. 2.6 RESTRIÇÃO DE PADRÃO OU ESQUEMA. Na geração dos padrões, algumas restrições devem ser observadas porque em alguns casos podem influir na utilização deste ou daquele item naquele padrão. Quatro importantes grupos de restrição de padrão são distinguidos, como segue: a) a distância entre os itens ou entre cortes são freqüentemente importantes. Como exemplo pode-se citar o carregamento de contêineres ou cortes em madeiras. Para esta dissertação, esta restrição estará presente dependendo do processo do corte. No caso em que, ao executar o corte, ocorra perda de matéria prima pelo objeto cortador, ou seja, espessura da lâmina de serra, nestes casos soma-se ao comprimento das barras a espessura da lâmina;

24 24 b) a alocação dos itens em relação ao objeto, como por exemplo, o carregamento de itens frágeis. Em nosso caso isto não é relevante; c) o número de vezes que o mesmo item pode ser repetido em um padrão, por exemplo, carregamento de cestas de alimentos. Também não é relevante em nosso caso pois, para este trabalho, o importante é atender à demanda. d) o tipo e número de cortes permitidos, por exemplo, em cortes de chapas por guilhotina, o número de estágios de corte pode ser uma restrição pois isto implica em um novo ajuste da máquina, o que pode ser oneroso. Não consideraremos este item, pois o ajuste das máquinas, para o corte unidimensional, é relativamente simples na maioria dos casos. 2.7 RESTRIÇÃO DE ALOCAÇÃO Na geração dos padrões de corte ou empacotamento, surgem restrições com relação aos objetos e itens, no que diz respeito à disponibilidade dos mesmos. Podem-se citar as seguintes restrições: a) a determinação de que tanto os objetos como os itens devem ser todos utilizados ou somente uma parte deles. Podemos destacar como um dos mais estudados o problema da mochila, onde todos os objetos serão utilizados e apenas uma parte dos itens será. No caso do problema do corte e do empacotamento, a situação se inverte, todos os objetos pequenos devem ser utilizados e apenas uma parte dos objetos grandes disponíveis serão; b) a determinação se a solução do problema será executada em um ou mais estágios, muito utilizado no corte bidimensional (GILMORE; GOMORY, 1965; HERZ, 1972 ). O corte unidimensional referido nesta dissertação é executado em apenas um estágio; c) a ordem de utilização dos padrões pode ser uma restrição em alguns casos, como também restrições tecnológicas a respeito do número de vezes que ocorrem padrões diferentes ou iguais;

25 25 d) restrições de natureza dinâmica ou estática. No caso de dinâmica (off line), os itens uma vez selecionados, podem ser re-alocados em outro objeto, e no processo estático (on line) os itens vão sendo selecionados em função da sua chegada, uma vez selecionados não pode ser alterada a sua alocação. Nesta tese será considerado o caso dinâmico. O processo de produção do corte só será iniciado após a geração de todos os padrões de corte que satisfaçam a demanda. 2.8 OBJETIVOS. O objetivo do problema do corte e empacotamento pode ser tratado por diversos critérios como, por exemplo: a) minimizar espaços não utilizados nos padrões gerados, como no caso do corte unidimensional, minimizar as perdas de matéria prima; b) minimizar a quantidade de objetos utilizados; c) minimizar o número de padrões diferentes; item; d) maximizar lucro, neste caso atribui-se um determinado valor para cada e) ainda podem-se considerar situações em que mais de um objetivo deve ser considerado (WÄSCHER, 1990). 2.9 VARIABILIDADE DA INFORMAÇÃO. A característica da variabilidade dos dados é relevante em relação ao problema do corte e empacotamento. Os objetos podem ser precisos (perfis metálicos para produção de esquadrias, tubos hidráulicos para plantas de processos) ou permitir pequenas variações de dimensões (vergalhões para armaduras na construção civil). As falhas de medições na prática também podem ocasionar variabilidade dos dados.

26 COMBINAÇÃO DOS TIPOS Dyckhoff (1990) apresentou uma tipologia baseada na estrutura lógica dos problemas de corte e empacotamento. O objetivo é unificar os diferentes usos na literatura e concentrar as pesquisas futuras sobre tipos de problemas definidos. A importância de definir estes tipos está no fato de que estas características têm um impacto decisivo sobre a escolha e a complexidade dos métodos de solução. Foram selecionadas quatro características principais, subdivididas nos seguintes tipos (representados pelos símbolos que estão entre parênteses): Dimensionalidade (1) Unidimensional. (2) Bidimensional. (3) Tridimensional. (N) N dimensional com N > Tipo de Alocação (B) Todos os objetos e uma seleção de itens. (V) Uma seleção de objetos e todos itens Sortimento de Objetos (O) Um objeto. ( I ) Objetos de Formatos idênticos. (D) Objetos de Formatos diferentes Sortimento de itens (F) Poucos itens de tamanhos diferentes

27 27 (M) Muitos itens de tamanhos diferentes. (R) Muitas unidades de poucos itens de tamanhos diferentes. (C) Itens congruentes. Formatos congruentes são figuras geométricas de mesma forma e tamanho, diferindo no máximo na orientação desta em relação ao objeto maior. Consolidando o que foi abordado neste capítulo, e definindo a codificação de Dyckhoff (1990), a dimensão do problema é o primeiro tipo a ser definido e tem importância fundamental devido à dificuldade envolvida pela geometria. A forma de alocação vem em seguida e é representada pelo símbolo V para seleção de objetos, ou B para seleção de itens. O sortimento dos objetos é subdividido em três tipos: o símbolo O indica um único objeto (por exemplo, o problema da mochila). O símbolo I indica que todas os objetos são iguais. O símbolo D indica que os objetos têm tamanhos diferentes. O sortimento dos itens é dividido em quatro tipos. O símbolo F indica poucas unidades de poucos itens (por exemplo, o carregamento de veículos com cerca de 10 itens). O símbolo M indica que há muitas unidades de muitos itens (por exemplo, o empacotamento de caixas com centenas de peças de vários itens). O símbolo R indica que há muitas unidades de poucos itens (por exemplo, o problema do corte unidimensional com milhares de peças e menos de 50 itens). E finalmente o símbolo C que indica que todos os itens são iguais (por exemplo, o problema do carregamento de paletes do produtor). Combinando estes tipos de características se obtêm 96 diferentes tipos de problemas de corte e empacotamento, abreviadamente denotados pela quádrupla. Qualquer ausência de um dos símbolos na quádrupla significa que qualquer uma das possibilidades é viável. O quadro1 descreve alguns problemas classificados por Dyckhoff (1990).

28 28 Quadro 1: Problemas Semelhantes e sua Classificação Problema Classe Mochila clássico 1/B/O/ Mochila multidimensional /B/O/ Carregamento de Paletes 2/B/O/C Carregamento de veículos 1/V/I/F ou 1/V/I/M Carregamento de contêineres 3/V/I/ ou 3/B/O/ Bin packing clássico 1/V/I/M Bin packing dual 1/B/O/M Bin packing bidimensional 2/V/D/M Empacotamento em faixa 2/V/O/M Empacotamento em altura 3/V/O/M Corte de estoque unidimensional 1/V/I/R Corte de estoque bidimensional 2/V/I/R Corte de estoque generalizado 1/ / /, 2/ / / ou 3 / / / Linha de montagem 1/V/I/M Alocação de tarefas em multiprocessador 1/V/I/M Alocação de memória 1/V/I/M Planejamento de investimentos multiperiódicos N/B/O A classificação de DYCKHOFF e FINKE (1992) para o problema a que daremos ênfase nesta tese é 1/V/I/R, o que significa que é unidimensional (1), a atribuição se dá entre uma seleção de objetos (barra padrão em estoque) e todas as peças (demanda dos itens) (V), todos os objetos são idênticos (I) e temos muitas peças de relativamente poucos itens (R).

29 29 3 O PROBLEMA DO CORTE UNIDIMENSIONAL 3.1 DEFINIÇÃO DE TERMOS Para a melhor leitura desta tese, é importante definir alguns termos de forma a não gerar dúvidas sobre o significado dos mesmos. Barra padrão Barra estoque com comprimento comercial (matéria prima), tratada até agora por objetos grandes. Item Barra demanda com comprimento definido pelo projeto. Peças Quantidade de determinado item. Esquema de corte Arranjo de itens em uma barra padrão. Solução para um problema Conjunto de esquemas de corte. 3.2 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA A figura 7 ilustra um problema de corte unidimensional, onde se tem um número ilimitado de barras padrão em estoque, de comprimento 100 e o objetivo é cortar estas em várias barras menores de comprimento que variam de 5 a 46. Estes dois grupos, o de barras em estoque e os de barras demanda são os dados básicos do problema de corte. O resultado será esquemas de corte que satisfaçam os objetivos. Barras Padrão em estoque 100 Ordem de produção Solução Esquemas de corte Figura 7: Exemplo de um problema de corte unidimensional Perda

30 30 Considera-se, então, um estoque de barras padrão de comprimento L, sem limitação no número de peças disponíveis. O problema será cortá-las de maneira que o pedido de d i barras (item) demanda de comprimento l i (i = 1, 2,..., m) seja atendida, minimizando o número de barras padrão utilizadas. Portanto, se houver perda em cada barra padrão cortada, estaremos minimizando a perda total. Uma formulação para o problema seria então: n x j j= 1 minimizar z = Sujeito a: n j = 1 a ij x j = d i (i = 1, 2,..., m) x j 0 e inteiro j (j = 1, 2,..., n) Sendo: x j = número de vezes que o esquema de corte j é executado. a ij = número de vezes que o item i será cortado no esquema de corte j. d i = demanda do item i. m = é o número de itens. n = é o número de esquemas de corte viáveis. Considerando a integridade das variáveis, este problema é NP-Completo (GAREY; JOHSON, 1979). 3.3 ESTRATÉGIAS DE SOLUÇÃO Existe uma vasta literatura, que apresenta várias propostas para solução do problema do corte. Não é o objetivo neste estudo analisar estas propostas, o que se pretende é dar uma breve explanação sobre alguns dos artigos encontrados na literatura. Podem-se dividir as abordagens em três categorias: algoritmos exatos, algoritmos aproximativos e métodos heurísticos. Os algoritmos exatos conduzem à solução ótima, porém os conhecidos têm complexidade de tempo exponencial, o que

31 31 resulta em um custo computacional muito alto para problemas de médio e grande porte. Alguns dos trabalhos podem ser vistos em: Diegel (1988); Mota (1989), Vance et al (1994) e Vanderbeck (1999). Os algoritmos aproximativos encontram uma solução em tempo polinomial que se aproxima da solução ótima e possuem uma garantia de desempenho. Tal garantia, no caso de desempenho absoluto, é uma constante tal que, no caso de problemas de minimização, a razão entre o valor da solução encontrada pelo algoritmo e o valor de uma solução ótima, para qualquer instância do problema, é no máximo o valor desta constante. Alguns dos trabalhos podem ser vistos em: Johnson et al (1974); Coffman et al (1980); Karmakar e Karp (1982); Aloise e Maculan (1991), Os métodos heurísticos se propõem a achar uma boa solução em tempo aceitável, mas não proporcionam uma garantia de qualidade desta solução com relação à solução ótima. Uma tendência recente é resolver o problema com o uso de metaheurísticas e algoritmos híbridos. Alguns dos trabalhos podem ser vistos em: Gilmore e Gomory (1961), Stadtler (1990), Wäscher e Gau (1996), Rocha (1997), Schwerin e Wascher (1997), Bortfeldt e Gehring (1997), Cintra (1998) e Vieira Neto (1999). Fazendo uma breve revisão da literatura de alguns de artigos citados nas pesquisas sobre o problema de corte e empacotamento, pode-se citar o de Gilmore e Gomory (1961; 1963) que abordam problemas relacionados a corte e empacotamento de materiais. Realizando experiências com a otimização do corte de bobinas de tecido, conseguiram implementar um algoritmo bastante eficiente, mesmo utilizando computadores e meios de armazenamento bem aquém dos atuais. A utilização do problema da mochila para a geração de colunas. São dos artigos mais citados entre as referências bibliográficas desta área da pesquisa. Jardim-Campos e Maculan (1988) apresentam um estudo mais detalhado sobre o corte de bobinas, neste caso de papel. São levados em conta os problemas reais relativos ao processo de fabricação. Além do tratamento dado ao problema do corte de estoque com geração de colunas, são abordados também os problemas de

32 32 seqüenciamento, relaxação lagrangeana e otimização não diferenciável (utilizando o método dos subgradientes) aplicados ao problema. Apesar de proporem algoritmos para a resolução do problema, não apresentam resultados concretos ou comparativos do uso desses métodos. Mota (1989) em seu trabalho propõe um estudo para otimizar as perdas em cortes de barras de aço na construção civil, baseado em modelos de otimização linear. Apresenta um eficiente algoritmo exato para geração e otimização de planos de corte, usando técnicas tipo branch-and-bound com regras de eliminação de ramificações considerando somente planos viáveis. Um sistema interativo foi desenvolvido em linguagem de programação Fortran. Apresenta um estudo de caso. Stadtler (1990), em seu artigo, desenvolveu um procedimento para solução do problema do corte para uma empresa de fornecimento de perfis de alumínio. Apresenta um algoritmo combinando a geração de colunas e programação linear para buscar a solução relaxada, complementado por uma heurística de arredondamento baseado em branch and bound. São feitas comparações com o FFD usando casos reais de teste, bem como aos resultados apresentados por outros autores. Goulimis (1990), refere-se a solução de certas classes de problemas de corte. O trabalho também é baseado em enumerar os possíveis padrões de corte, resolvendo o problema inteiro, associando uma combinação de planos de corte e branch-and-bound. O programa resultante foi implementado para um problema de corte unidimensional em uma grande indústria de tábuas, onde gerou uma economia média de 2,5% em sua produção, em comparação com programas anteriormente utilizados. O relatório técnico de Falkenauer (1994) dá ênfase em particular ao problema do bin-packing. O algoritmo final apresentado é um híbrido, constituindo de um algoritmo genético modificado para tratar de problemas específicos de agrupamento, complementado por um algoritmo de otimização local descrito por Martello e Toth (1990). São feitos testes comparativos com o algoritmo de Martello e Toth.

33 33 O algoritmo proposto por Vance et al (1994), aborda o caso especial do problema, chamado de problema de corte de estoque unidimensional binário, onde a demanda de cada item é exatamente 1. É utilizado um algoritmo para geração de colunas e o branch-and-bound para obter soluções inteiras ótimas. A solução inicial é obtida através do algoritmo FFD (Frist Fit Decreasing). O artigo de Reeves (1996) trata a solução dos problemas empacotamento com a utilização de algoritmos genéticos, onde são descritos esquemas de mapeamento de cromossomos próprios para a resolução destes problemas. São apresentados algoritmos híbridos, unindo algoritmos genéticos com os algoritmos Next Fit, First Fit e Best Fit. São apresentados resultados satisfatórios para problemas pequenos. Schwerin e Wäscher (1997) apresentam um gerador de instâncias para o problema Bin Packing, o qual é sugerido ser usado para a avaliação empírica dos métodos de solução exata e heurística. Alguns experimentos numéricos também são executados com o FFD a fim de identificar difíceis classes de problemas do Bin- Packing. Rocha (1997), apresenta algoritmos eficientes para a otimização do corte de barras, levando em conta tanto problemas reais que aparecem dentro das indústrias como também a utilização de recursos computacionais disponíveis. São discutidos várias formas de resolução do problema, tanto métodos considerados tradicionais e heurísticas rápidas, como também por métodos heurísticos mais modernos, como Algoritmos Genéticos. É estudada a viabilidade ou não, de se obter uma solução realmente ótima para o problema. Cintra (1998), trata o problema do corte unidimensional, formulando-o como um problema de programação linear inteira onde propõe um algoritmo híbrido, baseado no método de geração de colunas e num algoritmo exato. Os resultados obtidos na resolução de um expressivo número de instâncias práticas e instâncias geradas aleatoriamente são analisados, indicando o desempenho do algoritmo híbrido e suas variações.

34 34 4 GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure) 4.1 DEFINIÇÕES Em função do grau de dificuldade dos problemas de programação inteira, que os torna computacionalmente intratáveis quando se trata de problemas de médio e grande porte, tem-se desenvolvido diversos algoritmos heurísticos de baixo custo computacional com a finalidade de achar boas soluções, não necessariamente ótimas. Entretanto, dada uma instância de um problema, quando este é resolvido por uma heurística gulosa, somente uma solução é obtida (figura 8) que poderá ser ou não ótima. INSTÂNCIA HEURÍSTICA SOLUÇÃO X Figura 8: A heurística na solução de um problema Dentro do princípio de que quanto mais soluções viáveis diferentes são conhecidas para uma mesma instância, maior será a probabilidade de se achar a solução ótima ou então pelo menos se aproximar mais desta. Esta é a idéia da metaheurística GRASP (figura 5). SOLUÇÃO X 1 INSTÂNCIA GRASP SOLUÇÃO X 2 SOLUÇAO X n Figura 9: A metaheurística GRASP na solução de um problema A metodologia GRASP foi desenvolvida por Feo e Resende (1989) e tem sido utilizada para solução de diversos tipos de problemas. Um excelente

35 35 levantamento bibliográfico sobre esta metodologia pode ser visto em Festa e Resende (2004). A idéia básica desta metodologia é: a) o critério guloso da heurística é relaxado de forma a obter um conjunto de possibilidades para a construção do conjunto solução; b) a escolha aleatória de uma decisão desde o conjunto de possibilidades. 4.2 PROCEDIMENTO GRASP A metodologia GRASP para construir uma solução (FEO; RESENDE, 1995), ao invés de considerar apenas um candidato disponível para a escolha, ela cria um conjunto de candidatos, que será escolhido aleatoriamente, desta maneira ela pode construir várias soluções diferentes e aplicar um procedimento de busca local com o objetivo de melhorar cada uma destas soluções iniciais. Os principais fatores que influenciam o desempenho do método e que podem ser considerados parâmetros para um procedimento GRASP são: a) a função gulosa, a qual define a qualidade dos elementos incluídos na lista restrita e das soluções iniciais construídas, influenciando assim no desempenho do procedimento de busca local; b) a estrutura de vizinhança e o procedimento de busca local, que definem o espaço de soluções (em função da solução inicial) a ser explorado e a maneira como esta exploração é feita; c) a cardinalidade da lista restrita de candidatos, os quais definem juntamente com a função gulosa, o modo como as soluções iniciais são construídas e a aleatoriedade do método. Na figura 10, podem-se observar os procedimentos principais da metaheurística GRASP.

36 36 Início Ler (instância); Processo Enquanto (critério de parada não for satisfeito) fazer Início - Procedimento construir solução; - Procedimento melhorar solução; - Procedimento registrar melhor solução; Saída Escrever (melhor solução). Figura 10: Idéia básica da metaheurística GRASP Ler (instância). Entrada de dados, inclusive o parâmetro α, que é o parâmetro de relaxação do critério guloso Critério de Parada. A cada iteração, a GRASP apresenta uma solução e, para que isso não ocorra infinitamente, poderíamos considerar um dos seguintes critérios: - Tempo de processamento. - Condição de otimalidade. - Número de iterações. O critério de parada na condição de otimalidade para um problema combinatório pode não ser trivial, pois esta solução na maioria dos casos não se conhece. O critério número de iterações é o mais usual na literatura.

37 Procedimento de Construção da Solução A fase de construção é responsável pela denominação do método, já que é nela que aparecem as características marcantes da GRASP: o método guloso (greedy), a aleatoriedade (randomized) e a adaptação da função gulosa (adaptive). Esta fase é iterativa, já que a cada passo é adicionado à solução um novo elemento, até que se tenha uma solução completa e válida. Cada rodada dentro de uma iteração é composta por três subfases: a) construção da Lista Restrita de Candidatos (LRC), a qual contém um conjunto reduzido de elementos candidatos a pertencer à solução, definidos de acordo com uma função gulosa e mecanismos de restrição; b) escolha aleatória do elemento na LRC e inclusão de elemento na solução; c) adaptação ou recálculo da função gulosa para os elementos ainda não pertencentes à solução. É um procedimento que consiste em construir uma solução gulosa e aleatória. Dado um problema de otimização combinatória, consideremos: Função gulosa f S (x i ) Critério guloso melhor { f S (x i ) : i N } Onde N é o conjunto de índices das variáveis não tratadas e S é o conjunto solução. Consideramos como o melhor de um conjunto ao maior ou menor valor dos elementos deste conjunto, dependendo do problema. Na figura 11, podemos observar os principais procedimentos da metaheurística GRASP.

38 38 Início Ler (instância, α, n); Faça N := { 1, 2,..., n }; Faça S:= ; Processo Enquanto ( N ) fazer Início β := melhor { f s (x i ) : i N } R := { i N : αβ f (x i ) β } K := Randon ( R ) Se ( S { K } é viável ) então Início S := S { K }; Adaptar f s Fim Fim; Saída Escrever ( S ); Figura 11: Pseudo código da metaheurística GRASP A figura 12 mostra que o parâmetro α é o responsável por tornar a solução construída mais ou menos aleatória. α = 0 critério totalmente aleatório α = 1 critério totalmente guloso 0 < α < 1 guloso + aleatório Figura 12: Parâmetro α ordinalidade. O valor de β é o valor dado pela função gulosa, chamado de restrição de

39 39 O conjunto R é o conjunto de candidatos, também chamado de lista de candidatos restritos (LRC), que é gerado aplicando o parâmetro α ao valor β, delineando-se assim um intervalo: R := { i N : αβ f s (x i ) β } A instrução K := Randon ( R ), indica que a escolha de um dos candidatos do conjunto R denotado por K seja aleatório. A componente probabilística da GRASP é caracterizada pela escolha aleatória de um dos candidatos da lista de candidatos restrita, mas não necessariamente os do topo da lista. Essa técnica de escolha permite diferentes soluções a serem obtidas a cada interação GRASP, reduzindo a probabilidade de ótimos locais. Caso o candidato K seja viável, ele é incluído no conjunto solução. Algumas vezes a função gulosa é sensível ou é influenciada pelo conjunto solução. Daí a necessidade de adaptar ou atualizar a função gulosa a cada vez que o conjunto solução é atualizado. Isto é considerado no procedimento citado na instrução adaptar f s Procedimento Melhorar Solução Como a solução gerada pelo procedimento acima descrito não garante otimalidade, é quase sempre vantajoso acrescentar um algoritmo de busca local, na tentativa de melhorar cada solução construída Procedimento de Registrar a Melhor Solução Neste procedimento, compara-se a solução da iteração anterior com a da interação atual, descartando-se a pior, registrando-se a outra solução Escrever a Solução. Atendido o critério de parada, escreve-se a melhor das soluções, finalizando então o processamento.

40 40 5 A GRASP NO PROBLEMA DO CORTE UNIDIMENSIONAL 5.1 GENERALIDADES O problema do corte unidimensional tem sido estudado, como já relatado anteriormente, por muitos autores, que desenvolveram e aplicaram diversos métodos para solução deste problema. Procurou-se então aplicar o método GRASP ao problema, com o intuito de observar também o seu comportamento diante de diversas instâncias, uma vez que após levantamento bibliográfico sobre as contribuições relativas a metaheurística GRASP, nada foi encontrado relacionado ao problema do corte unidimensional, o que caracteriza a originalidade desta pesquisa. 5.2 PROCEDIMENTO PARA CONSTRUIR SOLUÇÕES O algoritmo guloso que foi escolhido para o procedimento de construção das soluções iniciais da GRASP foi o FFD (First Fit Decreasing). Esta escolha foi decidida por este ser um algoritmo simples, que apresenta resultados bem satisfatórios, obtendo perdas médias na ordem de 10% (ROCHA, 1997). Pode ser implementado facilmente sendo sua complexidade O(n log n), onde n é o número total de barras a serem cortadas, o que leva a processamento extremamente rápido de uma solução. Em alguns trabalhos é utilizado como partida para buscas de melhorias, ou então fazendo parte de algoritmos híbridos (CINTRA, 1998) Heurística FFD para o problema do corte unidimensional O princípio do FFD é também chamado método serralheiro, nome dado por ser um método executado dentro das fábricas mesmo por aqueles profissionais que não têm informações científicas e que fazem o uso do bom senso para tomada de decisões. Consiste na ordenação de forma não crescente dos comprimentos dos itens (barras demanda) a serem cortados, iniciando assim o primeiro esquema de corte, tendo como objetivo, cortar sempre o maior item com a demanda ainda não atendida, caso este tenha o comprimento menor do que a sobra ou perda da barra padrão resultante do corte anterior. No caso, em que esta sobra seja menor que a