INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA

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1 INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/10

2 3 - INDUÇÃO E RECURSÃO 3.1) Indução Matemática 3.2) Indução Forte 3.3) Definições Recursivas 3.4) Indução Estrutural 3.5) Algoritmos Recursivos Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.2/10

3 INDUÇÃO ESTRUTURAL É comum usarmos alguma forma de indução para provar resultados sobre conjuntos definidos recursivamente. Exemplo (1/3): Mostre que o conjunto S definido por: passo básico: 3 S passo indutivo: se x S e y S, então x + y S é o conjunto dos inteiros positivos que são múltiplos de 3. Solução: Seja A o conjunto dos inteiros positivos divisíveis por 3. Queremos provar que A = S, ou seja: A S e S A Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.3/10

4 INDUÇÃO ESTRUTURAL Exemplo (2/3): S: definição recursiva (3 S, x + y S) A: inteiros positivos divisíveis por 3 Solução: Provando (por indução) que A S: (devemos provar que todo inteiro positivo divisível por 3 S) Seja P (n) : 3n S. Passo básico: vale, pois 3 1 = 3 está em S Passo indutivo: P (k) é V, ou seja, 3k S Uma vez que 3 S, pelo passo recursivo da definição de S: 3k + 3 = 3(k + 1) também está em S. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.4/10

5 INDUÇÃO ESTRUTURAL Exemplo (3/3): S: definição recursiva (3 S, x + y S) A: inteiros positivos divisíveis por 3 Solução: Provando que S A: o passo básico da definição especifica que 3 S uma vez que 3 = 3 1, todos os elementos especificados neste passo são divisíveis por 3 agora precisamos mostrar que os inteiros gerados usando a 2 a parte da definição de S estão sempre em A: isto consiste em mostrar que x + y A sempre que x e y são elementos de S que estão em A ora, se x e y estão em A, segue que 3 x e 3 y, o que significa que 3 x + y. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.5/10

6 INDUÇÃO ESTRUTURAL No ex. anterior, utilizamos indução matemática sobre os inteiros positivos e uma definição recursiva para provar um resultado sobre um conjunto definido recursivamente. Também podemos usar uma forma mais conveniente de indução: Uma prova por indução estrutural consiste de duas partes: passo básico: mostrar que o resultado vale para todos os elementos especificados no passo básico da definição recursiva passo recursivo: mostrar que, se o resultado é V para cada elemento usado para construir novos elementos no passo recursivo da definição, o resultado vale para estes novos elementos Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.6/10

7 INDUÇÃO ESTRUTURAL A validade da indução estrutural segue do princípio da indução matemática: seja P (n): o resultado é V para todos os elementos do conjunto que são gerados por n ou menos aplicações das regras no passo recursivo de uma definição recursiva o passo básico da indução estrutural corresponde a P (0) o passo indutivo mostra que, se assumimos que P (k) é V, então P (k + 1) é V juntos, eles provam que vale: n P (n) Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.7/10

8 Pode ser usada para mostrar que todos os elementos de um conjunto construído recursivamente possuem uma propriedade em particular. Vamos usar indução estrutural para provar resultados sobre Fórmulas Bem Formadas e strings. Em cada caso, temos que executar o passo básico e o passo recursivo adequados. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.8/10

9 Nota: FBFs para formatos de proposições compostas: envolvem V, F e: variáveis proposicionais operadores do conjunto: {,,,, }. e são definidas como: Passo básico: V, F, e p (uma variável proposicional), são fórmulas bem formadas. Passo recursivo: se E e F já são fórmulas bem formadas, então também o serão: ( E), (E F ), (E F ), (E F ), e (E F ) Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.9/10

10 Indução estrutural para provas de resultados sobre FBFs: Passo básico: mostrar que o resultado é V para V, F, e p (uma variável proposicional). Passo recursivo: mostrar que, se o resultado é V para as proposições compostas p e q, ele também é V para: ( p), (p q), (p q), (p q), e (p q) Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.10/10

11 Exemplo (1/2): mostre que toda FBF para proposições compostas contém o mesmo número de parênteses à esquerda e à direita. Solução: Passo básico: as fórmulas V, F, e p não contém parênteses portanto: mesmo número de parênteses à esquerda e à direita Passo recursivo: assuma que p e q são FBFs contendo mesmo número de parênteses à esquerda e à direita ou seja, se l é o número de parênteses à esquerda e r é o número de parênteses à direita então: l p = l q e r p = r q Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.11/10

12 Exemplo (2/2): mostre que toda FBF para proposições compostas contém o mesmo número de parênteses à esquerda e à direita. Solução: Passo recursivo: assuma que: l p = r p e l q = r q precisamos mostrar que contém o mesmo nro de parênteses: ( p), (p q), (p q), (p q), e (p q) número de parênteses à esquerda: em ( p): l p + 1 nos demais: l p + l q + 1 número de parênteses à direita: em ( p): r p + 1 nos demais: r p + r q + 1 uma vez que l p = r p e l q = r q, estes números são iguais Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.12/10

13 Suponha que P (w) é uma função proposicional sobre o conjunto das strings w Σ. Para usar indução estrutural para provar que P (w) vale para todas as strings w Σ, os passos são: passo básico: mostre que P (λ) é V passo recursivo: assuma que P (w) é V, onde w Σ mostre que, se x Σ, então P (wx) também deve ser verdadeira. Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.13/10

14 Exemplo (1/3): use indução estrutural para mostrar que l(xy) = l(x) + l(y), onde x e y pertencem a Σ ( strings sobre Σ ). Nota: vamos basear a prova nas definições: Conjunto Σ : Passo básico: λ Σ Passo recursivo: se w Σ e x Σ, então wx Σ Comprimento de uma string: l(λ) = 0; se w Σ e x Σ: l(wx) = l(w) + 1 Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.14/10

15 Exemplo (2/3): use indução estrutural para mostrar que l(xy) = l(x) + l(y), onde x, y Σ Seja P (y) a afirmação: l(xy) = l(x) + l(y), sempre que x Σ Passo básico: consiste em mostrar que P (λ) é V ou seja, devemos mostrar que l(xλ) = l(x) + l(λ), x Σ P (λ) é V, pois: l(xλ) = l(x) = l(x) + 0 = l(x) + l(λ), para toda string x Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.15/10

16 Exemplo (3/3): use indução estrutural para mostrar que l(xy) = l(x) + l(y), onde x, y Σ Passo recursivo: consiste em assumir que P (z) é V e mostrar que isto implica que P (za) é V sempre que a Σ ou seja, devemos mostrar que l(xza) = l(x) + l(za), a Σ Pela definição recursiva de l(w), temos: l(xza) = l(xz) + 1 e l(za) = l(z) + 1 mas, pela hipótese indutiva: l(xz) = l(x) + l(z) concluímos que: l(xza) = l(x) + l(z) + 1 = l(x) + l(za) Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.16/10