Telmo Egmar Camilo Deifeld. Sobre a Análise e os Processos Construtivos das Estruturas Tensegrity

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1 Telmo Egmar Camilo Deifeld Sobre a Análise e os Processos Construtivos das Estruturas Tensegrity Texto apresentado à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de Doutor em Engenharia. Área de concentração: Engenharia de Estruturas Orientador: Prof. Dr. Ruy Marcelo de Oliveira Pauletti São Paulo 2005

2 Telmo Egmar Camilo Deifeld Sobre a Análise e os Processos Construtivos das Estruturas Tensegrity Texto apresentado à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de Doutor em Engenharia. Área de concentração: Engenharia de Estruturas Orientador: Prof. Dr. Ruy Marcelo de Oliveira Pauletti São Paulo 2005

3 S U M Á R I O LISTA DE FIGURAS... III LISTA DOS PRINCIPAIS SÍMBOLOS...VI RESUMO...VIII ABSTRACT...I INTRODUÇÃO ESTADO DA ARTE ORIGEM DOS TENSEGRITY APLICAÇÕES EM OUTRAS ÁREAS Nas artes Na biomecânica Na robótica Na engenharia aeroespacial Mastros Antenas refletoras DEFINIÇÃO DE TENSEGRITY NO CAMPO DA ENGENHARIA ESTRUTURAL OBRAS MAIS RELEVANTES JÁ REALIADAS ESTUDOS DAS ESTRUTURAS TENSEGRITY Tensegrity e o conceito de estabilidade Mecanismos infinitesimais Métodos de busca da forma PROCESSOS DE MONTAGEM Processo de montagem utilizado por Geiger Processo de montagem utilizado por Terry Simulação numérica da montagem do Georgia Dome FERRAMENTAS MATEMÁTICAS POSTO DE UMA MATRI ESPAÇO NULO DE UMA MATRI MATRI POSITIVA DEFINIDA MÉTODO DE NEWTON ELEMENTO DE TRELIÇA GEOMETRICAMENTE EATO Matriz de rigidez do elemento de treliça ESPECIALIAÇÕES DO ELEMENTO DE TRELIÇA Elemento "atuador" Elemento de densidade de força... 51

4 II 2.7 ELEMENTO DE CABO IDEAL (SEM ATRITO) MÉTODOS DE BUSCA DA FORMA MÉTODOS DE BUSCA DA FORMA APLICADOS AOS TENSEGRITY Métodos cinemáticos Soluções analíticas Programação não-linear Relaxação dinâmica Métodos estáticos Soluções analíticas Método das densidades de forças Método da minimização da energia Redução de coordenadas PROPOSTA DE UM MÉTODO PARA A BUSCA DA FORMA Exemplos de aplicação do método COMPARAÇÃO DO MÉTODO PROPOSTO COM OUTROS MÉTODOS SIMULAÇÕES NUMÉRICAS MONTAGEM DE ESTRUTURAS TENSEGRITY Tensegrity simplex Domo de cabos tensegrity Descrição da estrutura Simulação da montagem EFEITOS DE PROTENSÃO NÃO-SINCRONIADA ANÁLISE DE UM DOMO TENSEGRITY CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 93

5 III LISTA DE FIGURAS Figura 1 Esculturas de Snelson: (a) -column, (b) Needle Tower e (c) Needle Tower II Figura 2 Monument à la Forme Futile Figura 3 Esculturas de Snelson... 8 Figura 4 Monumento à Forma Fútil II Figura 5 Citoesqueleto Figura 6 Algumas formas da utilização de tensegrity em robôs Figura 7 Montagem do modelo reduzido de um mastro tensegrity, em oito estágios Figura 8 Antena refletora AstroMesh TM Figura 9 Antena refletora tensegrity: modelos numérico (a) e físico (b) Figura 10 Domo de cabos ancorado em um anel tensegrity e detalhe do anel tensegrity Figura 11 Olympic Gymnastics Arena Figura 12 Redbird Arena Figura 13 Tropicana Field Figura 14 Amagi Dome Figura 15 Georgia Dome Figura 16 Taoyuan Sports Arena Figura 17 Crown Coliseum Figura 18 Projeto estrutural da cobertura do La Plata Stadium Figura 19 Ilustração do processo de montagem de domo de cabos tensegrity utilizado por Geiger. 34 Figura 20 Ilustração do processo de montagem de domo de cabos tensegrity utilizado por Terry Figura 21 Montagem do Georgia Dome Figura 22 Elemento finito, indicando-se a correspondência entre a numeração local do elemento e a numeração global do sistema reticulado Figura 23 Elemento de cabo escorregando por uma polia (elemento de cabo ideal ) Figura 24 Prisma com base triangular (tensegrity Twist) Figura 25 Prisma com base quadrada Figura 26 Prisma com base hexagonal Figura 27 Prisma com base triangular: (a) posicionamento inicial dos cabos e barras para a montagem vista de topo, (b) processo de montagem, e (c) módulo já montado Figura 28 Prisma com base hexagonal: (a) posicionamento inicial dos cabos e barras para a montagem vista de topo, e (b) processo de montagem Figura 29 Tetraedro truncado: (a) posicionamento inicial dos cabos e barras para a montagem vista de topo, (b) processo de montagem, e (c) módulo já montado Figura 30 (a) Processo de montagem do Monument à la Forme Futile, (b) o posicionamento inicial dos cabos e barras para a montagem vista de topo, e (c) uma foto da escultura

6 IV Figura 31 Domo de cabos tensegrity (espessuras aumentadas 6x) Figura 32 Modelo para a simulação com vistas (a) inclinada e (b) lateral e combinação de elementos de cabos e VIL para a aplicação das forças de protensão (c) e (d) Figura 33 Montagem do domo em 5 estágios: magnitude dos deslocamentos ( m ), em relação a configuração de referência. As forças normais nos cabos externos são 2,21kN, 9,75 kn, 14,00 kn ; 16,50 kn e 75,00 kn de cima para baixo Figura 34 Configuração próxima à configuração inicial de montagem do domo Figura 35 Montagem do domo em quatro estágios: as cores mostram a magnitude dos deslocamentos (m), para os dois casos de não-sincronia de protensão Figura 36 Magnitude dos deslocamentos horizontais (m) na configuração final, para os dois casos de não-sincronia de protensão: (a) domo completo e (b) apenas do mastro volante central Figura 37 Magnitude dos esforços normais (N) no anel de tração interno, na configuração final, para os três casos de protensão considerados Figura 38 Magnitude dos esforços normais (N) no anel de tração externo, na configuração final, para os três casos de protensão considerados Figura 39 Magnitude dos deslocamentos verticais (m) no anel interno de tração, na configuração final, para os três casos de protensão considerados Figura 40 Magnitude dos deslocamentos verticais (m) no anel externo de tração, na configuração final, para os três casos de protensão considerados Figura 41 Magnitude dos esforços normais (N) nos mastros volantes que formam o círculo interno, na configuração final, para os três casos de protensão considerados Figura 42 Magnitude dos esforços normais (N) nos mastros volantes que formam o círculo externo, na configuração final, para os três casos de protensão considerados Figura 43 Magnitude dos esforços normais (N) nos cabos superiores internos e intermediários, na configuração final, para os três casos de protensão considerados Figura 44 Representação esquemática da variação das forças normais agindo nos cabos superiores, na configuração final, para os dois casos de protensão não-sincronizada. As cores vermelha e azul representam as maiores variações positivas e negativas, respectivamente Figura 45 Domo de cabos tensegrity ancorado em anel treliçado: (a) esquema de modelagem visto em perspectiva e (b) vista lateral Figura 46 Deslocamentos da estrutura considerando: (a) primeiro carregamento, (b) segundo carregamento, (c) terceiro carregamento e (d) quarto carregamento Figura 47 Distribuição da forças normais nos elementos do domo tensegrity e anel de compressão: (a) primeiro, (b) segundo, (c) terceiro e (d) quarto carregamentos Figura 48 Primeiros modos de flambagem do anel treliçado: (a) 1 o modo ( λ = 2, 22), (b) 2 o e 3 o modos ( λ = 4,10 e λ = 4,37), (c) 4 o modo ( λ = 5,90) e (d) 5 o modo ( 6,90) λ =..89

7 V

8 VI LISTA DOS PRINCIPAIS SÍMBOLOS Escalares A Área da seção transversal de um elemento E Módulo de elasticidade longitudinal N Esforço interno agindo em um elemento 0 N b d el el l Esforço interno agindo em um elemento na configuração inicial Número de barras da estrutura Densidade de força do elemento el -ésimo elemento de uma estrutura el -ésimo elemento de uma estrutura Comprimento de um elemento na configuração corrente r l m n nel σ Comprimento indeformado (ou de referência) de um elemento Número de mecanismos da estrutura ou número de linhas de uma matriz Número de nós da estrutura ou número de colunas de uma matriz Número de elementos de uma estrutura Número de estados e auto-tensão (retesamento) da estrutura Vetores p Vetor que armazena as forças internas que atuam nos nós de um elemento N Vetor que armazena os esforços internos que atuam nos elementos de uma estrutura P U u v x Vetor que armazena as forças internas que atuam nos nós de uma estrutura Vetor coluna que armazena os deslocamentos nodais dos elementos de uma estrutura Vetor coluna que armazena as coordenadas cartesianas dos elementos de uma estrutura Vetor que armazena os deslocamentos nodais de um elemento Versor de um elemento Vetor que armazena as coordenadas cartesianas de um elemento estrutural Matrizes C Operador geométrico ou matriz diagonal que armazena os coeficientes de amortecimento artificial F I n Vetor que armazena as forças externos que atuam nos nós de uma estrutura Matriz identidade de ordem n

9 VII K e K g Matriz de rigidez elástica de uma estrutura Matriz de rigidez geométrica de uma estrutura K ext Matriz de rigidez externa de uma estrutura K t M k e k g k t Matriz de rigidez tangente de uma estrutura Matriz diagonal que armazena as massas artificiais concentradas Matriz de rigidez elástica de um elemento Matriz de rigidez geométrica de um elemento Matriz de rigidez tangente de um elemento

10 VIII RESUMO Neste trabalho, inicialmente, apresenta-se o surgimento das estruturas tensegrity, destacando-se o contexto e as pessoas envolvidas, relaciona-se aplicações destas estruturas em outras áreas, discute-se as definições apresentadas no contexto da engenharia de estrutura, relatam-se as principais obras estruturais já realizadas, resumem-se alguns estudos relacionados com este sistema estrutural e abordam-se os métodos construtivos utilizados na montagem destas estruturas. Posteriormente, revê-se alguns conceitos matemáticos necessários para a melhor compreensão do texto e apresentam-se as formulações dos elementos de treliça e duas de suas especializações e de cabo ideal. A seguir, faz-se uma revisão dos métodos de busca da forma encontrados na bibliografia e propõe-se um novo método, o qual é comparado com dois dos métodos mais usados. Na seqüência, sugere-se uma metodologia para a simulação numérica de um dos métodos de montagem de estruturas tensegrity, aplicando-a a uma série de módulos básicos e a um domo de cabos tensegrity. Estuda-se, ainda, o comportamento estrutural deste domo, submetido a carregamentos estáticos de vento. Finalmente, apresentam-se as conclusões e discutem-se os passos a serem seguidos na continuação deste trabalho.

11 I ABSTRACT Initially this work shows the appearance of the structures tensegrity, it stands out the context and the involved people, it links applications of these structures in other areas, it discussed the definitions presented in the context of the structure engineering and it summarized some studies related with this structural system, with the objective of writing him, and tells the main structural works already accomplished. Later it is reviewed some necessary mathematical concepts for the best understanding of these structures, it comes the formulation of the truss element, two of their specializations and slide cable, very maids along this work. To proceed, it is made a review of the methods of form-finding and it intends a new method, which is compared with two of the methods more used, the one of the density of the forces and the one of the dynamic relaxation. Later the constructive methods are approached used in the assembly of these structures and a methodology is described for the numeric simulation of one of these methods. This methodology is applied to a series of basic modules tensegrity and to a cable dome tensegrity. The structural behavior of this dome submitted to static load of wind is studied. Finally, the steps to be followed to extend this work are discussed.

12 1 Introdução Ao observar-se o desenvolvimento das estruturas ao longo do tempo, verifica-se que o aumento da eficiência das mesmas só foi possível com o domínio das técnicas de construir, com descobrimento de novos materiais e com o surgimento de novos sistemas estruturais. Se a análise se detiver nos períodos de maior uso de um determinado material, constatar-se-á que a medida em que se adquire o conhecimento, qualitativo e quantitativo, da resistência desse material, constroem-se estruturas mais altas e esbeltas [1]. Em outras palavras, têm-se estruturas de menor peso por área construída. A busca pela utilização de novos materiais tem-se mostrado importante na solução de problemas da engenharia estrutural. Um novo material pode substituir materiais já usados em um determinado sistema construtivo, ou pode identificar-se como o material mais usado em um novo sistema estrutural. O descobrimento dos metais como material de construção, por exemplo, possibilitou não somente a construção de estruturas aço (ou ferro fundido, como inicialmente) como a utilização do aço no concreto armado e, posteriormente, com a melhora da qualidade do aço, a efetivação do concreto protendido como um novo sistema construtivo. No entanto, às vezes, é difícil dissociar a utilização de novos materiais do desenvolvimento de novos sistemas estruturais. Um exemplo, é o desenvolvimento das estruturas de membrana como um sistema construtivo moderno e atraente o que é recente pois, segundo Pauletti [2], "manifestações relevantes requerem materiais, técnicas de construção e teorias sofisticadas, disponíveis desde há apenas um século ou mesmo desde há

13 2 poucas décadas, no caso dos materiais sintéticos, dos cabos de aço de alta resistência e das simulações computacionais necessárias ao projeto". Desta forma pode-se afirmar que ao longo da história da engenharia estrutural, através do uso mais racional dos materiais, aliado às melhorias nas técnicas de construir, com descoberta de novos materiais e pelo desenvolvimento de novos sistemas estruturais, busca-se a maior leveza das estruturas. Neste sentido destacam-se os sistemas estruturais retesados, pois têm como características intrínsecas a leveza e a capacidade de vencer grandes vãos, distinguindo-se pela simplicidade dos seus elementos estruturais e pela rapidez de montagem. As estruturas que compõem este sistema, as estruturas retesadas, ou tensoestruturas, como são mais conhecidas isto é, estruturas que têm rigidez dependente, basicamente, do estado de tensão, têm suas origens nas mais remotas tendas, que acompanham o homem desde os primórdios da civilização. O peso específico destas estruturas pode ser, grosso modo, até duas ordens de grandeza menor do que o das estruturas convencionais de concreto armado. Em contrapartida as vantagens do baixo peso próprio, têm como críticos os carregamentos devido à ação do vento, principalmente os efeitos de instabilidades aeroelásticas [2]. As estruturas tensegrity são classificadas como estruturas retesadas, pois são estruturas cuja existência depende da aplicação de um campo equilibrado de tensões, existindo uma clara dependência entre a geometria assumida e a protensão aplicada, onde a forma inicial da estrutura é obtida em uma etapa conhecida por busca da forma. São estruturas reticuladas, articuladas, formadas por elementos submetidos à tração (cabos) e a compressão ou, mais precisamente, flexo-compressão (barras). Por estas características elas constituem, também, um subgrupo dos sistemas espaciais reticulados. Este trabalho apresenta, no primeiro capítulo, o estado da arte das estruturas tensegrity: discorre-se sobre a origem deste sistema estrutural; mostra-se como os tensegrity podem ser aplicados em outras áreas do conhecimento; faz-se uma discussão sobre as definições de estruturas tensegrity encontradas na literatura; relatam-se as principais obras realizadas com esse sistema estrutural; relata-se, de forma sucinta, os estudos desenvolvidos até o presente momento

14 3 no campo das estruturas tensegrity 1 e descrevem-se os métodos de montagem utilizados nas principais obras estruturais. No segundo capítulo são apresentados, de forma sucinta, alguns conceitos matemáticos necessários para a compreensão do texto (como a definição de posto e de espaço nulo de uma matriz), o método de Newton e formulações de elementos matriciais usados nas análises numéricas (elemento de treliça e duas de suas especializações: o elemento atuador e o elemento de densidade de força e do elemento de cabo ideal). No terceiro capítulo, discorre-se sobre os métodos de busca da forma aplicados às estruturas tensegrity encontrados na literatura, apresenta-se uma proposta para o processo de busca da forma, aplicando-a a busca da forma equilibrada de alguns módulos básicos tensegrity, e faz-se uma comparação do método proposto com dois dos métodos mais usados o da densidade de força e o da relaxação dinâmica. No quarto capítulo apresenta-se uma metodologia para a simulação numérica da montagem das estruturas tensegrity, seguindo-se um dos métodos descritos, usando como exemplos de aplicação uma série de módulos básicos tensegrity e um domo de cabos tensegrity 2. Posteriormente, simula-se numericamente o comportamento estrutural deste domo submetido a cargas estáticas correspondentes a ação de ventos. Quatro casos de carregamento são considerados: o primeiro consiste do retesamento do domo; o segundo corresponde à ação de uma carga de vento atuando em toda a superfície do domo, succionando-o; o terceiro contempla o caso da ação da mesma carga considerada no segundo carregamento, no entanto agindo sobre apenas uma metade da superfície do domo e o quarto e último carregamento considera a ação do vento succionando uma metade do domo e comprimindo outra metade, 1 A citação de estudos desenvolvidos, mesmo que não tenham ligação direta com o tema apresentado no decorrer desta tese, se deve por entender-se como uma necessidade mostrar a amplitude dos conhecimentos necessários para a melhor compreensão desse sistema estrutural e a existência de fatores importantes não abordados no texto. Esta necessidade é justificada por tratar-se de um dos primeiros, se não o primeiro, trabalhos sobre estruturas tensegrity desenvolvidos no Brasil, em nível de pós-graduação. 2 Nesta tese, a simulação da montagem do domo não contempla o efeito do atrito que surge quando cabos escorregam sobre nós da estrutura.

15 4 com a mesma intensidade de pressão dos casos anteriores. A ação do peso próprio é considerada em todos os carregamentos. No sexto capítulo apresentam-se as considerações finais e sugestões para trabalho futuros.

16 5 1 Estado da arte Ao estudar-se a história da engenharia em geral, busca-se a definição de uma data, de uma obra marcante (a primeira ou a maior estrutura de um sistema estrutural, ou construída com um determinado material). Esta busca, no entanto, muitas vezes, ofusca o que é de fato importante, ou seja, a crítica dos conceitos e procedimentos de projeto. Segundo Deifeld [3], é difícil afirmar quando as estruturas tensegrity surgiram e quem teria sido o precursor deste sistema estrutural. Pode-se citar alguns fatos e pessoas que contribuíram grandemente para o desenvolvimento inicial e divulgação destas estruturas, mas nenhuma delas pode ser apontada, de forma convicta, como o marco inicial. 1.1 Origem dos tensegrity Se por um lado é difícil definir um marco inicial para as estruturas tensegrity, por outro pode-se afirmar que Richard Buckminster Füller foi um dos grandes mentores deste sistema estrutural. Ele tinha uma certa preferência por estruturas nas quais os elementos atuam ou somente tracionados ou somente comprimidos. Esta predilecção foi responsável, pelo menos em parte, pela sua criação mais conhecida, o domo deodésico. A invenção do domo geodésico, por sua vez, foi propulsora para o convite que Füller recebeu para ser o professor de um curso de verão no Black Mountain College (Asheville, North Carolina,USA) em 1948, onde montou, junto com seus alunos, o primeiro protótipo de um domo geodésico. A experiência durou pouco, pois, devido às dificuldades de montagem, o domo ficou em pé apenas por alguns minutos.

17 6 Nesta turma estava Kenneth Snelson, aluno que desenvolveu um estudo de modelos para esculturas envolvendo os conceitos transmitidos por Füller [4]. Snelson criou uma série de esculturas formadas por fios contínuos separados por estroncas descontínuas, usando o que ele denominou de compressão flutuante, como a -column (1948), esquematizada na Figura 1(a). Em 1968, construiu uma escultura em forma de torre, medindo 18,2mx6mx6m, a qual ficou conhecida como Needle Tower (Figura 1(b)), e posteriormente, em 1969, montou outra torre com 30m de altura ("Needle Tower II") [5]. Outro marco das estruturas tensegrity foi a escultura construída próximo a Rambouillet, na França, conhecida como Monument à la Forme Futile (Figura 2). Foram estas algumas das obras que mais divulgaram o comportamento das estruturas tensegrity. (a) (b) (c) Figura 1 Esculturas de Snelson 3 : (a) -column, (b) Needle Tower e (c) Needle Tower II 4. Figura 2 Monument à la Forme Futile 5. 3 Extraídas de e 4 A Needle Tower faz parte do acervo do Kröller Müller Museum, Otterlo - Holland e a Needle Tower II pertence ao Hirshhorn Museum & Sculpture Garden, Washington, DC, USA. 5 Extraída de [6].

18 7 Richard Buckminster Füller e Kenneth Snelson disputaram a autoria das estruturas tensegrity, como pode ser visto na carta de Snelson para R. Motro [4], embora Snelson tenha afirmado que o princípio que mantinha suas esculturas em pé não tivesse aplicação prática na engenharia estrutural. Independente da disputa, sabe-se que houve contribuição de ambos para o surgimento e desenvolvimento deste novo sistema estrutural. Por outro lado, Emmerich [7] apud [8], atribuiu o surgimento deste sistema ao trabalho do escultor Johansen, em Em 1962 Richard Buckminster Füller patenteou o sistema nos EUA. Ao mesmo tempo, segundo Kahla [8], o fez David Georges Emmerich, na França. Ainda que as estruturas tensegrity tenham surgido como manifestação artística, sem intenção de aplicação na engenharia estrutural, e que uma obra tão qualificada para exemplificar o comportamento que apresentam tenha sido relacionada com a futilidade, elas têm se mostrado como um sistema estrutural confiável e vêm despertando o interesse de pesquisadores e projetistas. Füller parece ter percebido isto, pois ele declarou, logo no primeiro parágrafo da sua patente sobre tensegrity, que o sistema tem aplicação a estruturas especiais que com vãos livres poderiam abrigar uma cidade inteira [9]. 1.2 Aplicações em outras áreas O princípio que rege o comportamento estrutural das esculturas criadas por Snelson e das estruturas de Füller tem aplicação em outras áreas do saber além da engenharia de estruturas. Citam-se as artes, a biomecânica, a robótica e a engenharia aeroespacial Nas artes Depois daquelas primeiras invenções artísticas de Kenneth Snelson muitas outras esculturas foram criadas usando um conjunto de elementos comprimidos isolados entre si envolvidos por uma rede de elementos tracionados. A escultura mostrada anteriormente na Figura 2 é um exemplo destas manifestações artísticas. Snelson continuou seu trabalho como escultor e hoje museus e colecionadores de vários países do mundo exibem esculturas suas que

19 8 contemplam o conceito de estruturas tensegrity. Algumas destas esculturas estão reunidas na Figura 3. (a) Northwood 1969 (b) Easy Landing 1977 (c) B-Tree 1981 (d) Mozart I 1982 (e) Dragon 2000 (f) Rainbow Arch 2001 Figura 3 Esculturas de Snelson 6. Mais recentemente, Pauletti, Titotto e Deifeld construíram uma escultura (Figura 4) a partir de um módulo tensegrity, um prisma com base triangular conhecido na literatura como tensegrity Twist, ao qual introduziram uma membrana, que insinua-se entre as suas barras sem, no entanto, tocá-las. Denominaram-na Monumento a Forma Fútil II, título dado em consideração ao Monument à la Forme Futile. Figura 4 Monumento à Forma Fútil II. 6 Extraídas de

20 Na biomecânica Segundo Ingber [10], o mesmo princípio que estabiliza as estruturas tensegrity é aplicado essencialmente na estruturação do corpo humano, em todas as suas escalas. No nível macroscópico, a forma do corpo é garantida pelo equilíbrio entre as forças de compressão que agem no esqueleto e as forças de tração dos músculos, tendões e ligamentos. No outro extremo da escala, as proteínas e outras moléculas estabilizam-se também pelo mesmo princípio. Assim como os homens, os animais apresentam um sistema músculo-esqueleto com o mesmo princípio dos tensegrity altamente bem sucedido. Os gatos podem saltar vários metros de altura sem causar danos a sua estrutura e as chitas (leopardos de caça da Índia) atingem velocidades máximas superiores a 95 km/h. Estas marcas são possíveis graças à presença de elementos tracionados em seus sistemas músculo-esqueleto [11] constituído por elementos comprimidos (ossos) conectadas por uma rede altamente redundante de elementos tracionados (tendões e músculos). Os elementos tracionados mantêm a integridade da forma e armazenam energia, tornando possível resistir a grandes impactos, saltar, correr, etc. A seguir apresentam-se, de forma sucinta, os princípios de uma estrutura tensegrity no nível celular. Um dos modelos teóricos mais conhecidos de representação de uma célula viva 7 envolve modelos mecânicos que tratam o citoesqueleto 8 como uma estrutura passiva [13]. Em 1993, Donald Ingber [14] apud [13] supôs que o citoesqueleto responde a estímulos mecânicos externos de forma ativa e muito 7 Células eucarióticas, mais precisamente. 8 A capacidade que as células eucarióticas possuem de adotar uma variedade de formas e de executar movimentos coordenados e direcionados depende de uma rede complexa de filamentos de proteínas que se estendem por todo citoplasma. Essa rede é chamada de citoesqueleto embora seja, ao contrário de um esqueleto ósseo, uma estrutura altamente dinâmica que se reorganiza continuamente sempre que a célula altera a forma, se divide ou responde ao seu ambiente. De fato, o citoesqueleto poderia ser denominado "citomusculatura", pois ele é o responsável direto por movimentos tais como os deslocamentos das células sobre um substrato e a contração muscular. Ele também fornece a infraestrutura necessária para movimentos intracelulares, tais como o transporte de organelas de um lugar a outro no citoplasma e a segregação dos cromossomos na mitose. Os filamentos estruturais do citoesqueleto - microtubulos, microfilamentos e filamentos intermediários - são constituídos essencialmente por moléculas protéicas - tubulina, actina e uma mistura de várias proteínas diferentes, respectivamente. O citoesqueleto forma um arcabouço interno para o grande volume do citoplasma, sustentando-o da mesma forma que uma estrutura sustenta um prédio [12].

21 10 semelhante ao comportamento estrutural de módulos tensegrity. Corrobora com esta suposição, o fato de haver uma clara ligação entre a forma assumida pela célula e as tensões nela atuantes (Figura 5). Muitos artigos 9 foram publicados posteriormente mostrando vantagens, desvantagens, limitações e avanços alcançados com estudos motivados pela suposição de Ingber, dentre os quais destaca-se o trabalho de Volokh & Vilnay [20], onde simulou-se numericamente o comportamento do citoesqueleto usando o conceito de estrutura tensegrity. Concluiu-se que a simulação confirma a suposição de Ingber, além de apontar um comportamento da célula não observado diretamente nos experimentos até então: a perda de rigidez quando as tensões são reduzidas. Entretanto, segundo os autores, alguns resultados experimentais recentes podem prontamente ser explicados através deste comportamento. Esta observação contribui para o entendimento do citoesqueleto como um módulo tensegrity. (a) (b) Figura 5 Citoesqueleto. (a) Filamento de actina (um dos componentes do citoesqueleto) de um condrócito (célula de cartilagem) articular bovino, marcado com Fluoresceína. 10 (b) Actina (em vermelho) e microtúbulo (em verde) aumentado 63x. Observa-se a tubulina originada a partir do centrossomo (centro de organização de microtúbulos) e envolvendo o núcleo. A actina está localizada próximo à membrana plasmática Dentre outros, pode-se citar, trabalhos do próprio Ingber [15,16], de Stamenovic [17] e de Wendling [18,19]. 10 Extraída 11 Extraída de

22 11 O modelo tensegrity sugere que a estrutura do citoesqueleto pode sofrer mudanças causadas pela ação de forças externas transmitidas ao interior da célula através de pontos específicos da superfície celular (receptores de membrana). Esta é uma descoberta importante, pois muitas enzimas e outras substâncias que controlam a síntese protéica, a conversão de energia e o crescimento celular podem ficar imobilizados fisicamente no citoesqueleto. Desta forma, mudanças geométricas e mecânicas no citoesqueleto poderiam afetar reações bioquímicas e até mesmo alterar a ativação de genes e a elaboração de proteínas [10]. O nível hierarquicamente superior à célula é a formação dos tecidos, que são criados pela junção de várias células através da matriz extracelular. Uma propriedade interessante dos tecidos é a forma como eles respondem a estímulos mecânicos externos. Ao puxar a própria pele, por exemplo, sente-se que ela aumenta a resistência à medida que é mais solicitada. Muitos tipos diferentes de tecidos, como músculos, cartilagens, vasos sangüíneos assim como a pele apresentam um comportamento conhecido como enrijecimento linear. Este comportamento é, na linguagem estrutural, expresso por rigidez dependente, basicamente, do estado de tensão, o que nos remete às estruturas retesadas e, conseqüentemente, aos tensegrity. A interpretação da célula como uma estrutura tensegrity chamou a atenção da NASA (National Aeronautics and Space Administration) [21], pois o estudo pode ser aplicado na compreensão do seu comportamento quando submetida à ação da microgravidade [22]. Observou-se que astronautas submetidos a vôos espaciais por longo tempo sofrem reestruturação óssea. A matriz óssea é estruturada em linhas de tração e compressão, traçadas com o objetivo de responder, de forma inteligente, a ação do campo gravitacional atuante na superfície terrestre. Se a intensidade do campo gravitacional é alterada, o traçado das linhas de tração e compressão precisa ser modificado. Sabe-se que as células vivas internas aos ossos são responsáveis pela remodelagem óssea. Isso significa que estas células são capazes de sentir a variação gravitacional e responder da forma mais eficiente possível: realocando a matriz celular (pondo

23 12 seus materiais constituintes onde são necessários e retirando de onde são subutilizados). No entanto, a sensibilidade à ação de forças mecânicas (como a resultante da ação do campo gravitacional) não é uma propriedade exclusiva de células ósseas, mas sim de todas as células vivas. Quando os organismos são expostos à microgravidade, sofrem uma diminuição aguda das tensões internas como conseqüência das variações na estrutura e nos mecanismos no nível celular. A importância dos tensegrity neste estudo está na capacidade de permitir uma compreensão da energia mecânica em componentes moleculares específicos e integrar as partes ao todo, ou seja, ajustando o comportamento celular à resposta dos tecidos, dos órgãos e, conseqüentemente, do organismo [10] Na robótica O primeiro trabalho a propôr a utilização dos tensegrity na robótica foi apresentado por Aldrich et al., em 2003 [23]. Na visão dos autores a utilização dos tensegrity tem muito a contribuir com a forma como os sistemas de controle são projetados, controlados e utilizados abrindo caminho para uma nova tecnologia comparada aos projetos tradicionais de robôs. A Figura 6 ilustra algumas formas de utilização de tensegrity em robôs. Figura 6 Algumas formas da utilização de tensegrity em robôs Extraídas de [23].

24 13 Baseado no trabalho de Aldrich et al., Paul et al. [24] estudaram o projeto mecânico da locomoção de robôs, no qual as pernas são formadas por módulos tensegrity. Eles enfatizaram que a utilização dos tensegrity no contexto da locomoção de robôs assemelha-se à arquitetura estrutural de sistemas biológicos que mostram habilidade na locomoção. Devido a esta equivalência arquitetônica, sugerem os autores, é provável que as estruturas tensegrity possam permitir que os robôs demonstrem alguma tolerância à falha, pois os organismos biológicos que se locomovem apresentam um elevado grau de tolerância à falha na produção das formas de locomoção. Insetos, quadrúpedes, e mesmo seres humanos, podem continuar andando com um ou mais de seus membros de locomoção danificadas. Eles apresentam uma variedade de formas de movimentos que compensam às várias condições possíveis de danos físicos. Os robôs modernos, entretanto, não apresentam esta capacidade e seu desempenho locomotor é geralmente catastroficamente afetado por uma falha do atuador. Uma fonte deste problema encontra-se na filosofia de projeto mecânico que governou a produção de robôs no passado. Usualmente a locomoção dos robôs é projetada baseada em uma série de barras rígidas conectadas por peças articuladoras gerenciadas por um atuador elétrico, hidráulico ou pneumático. Não obstante, cada junção é geralmente responsável por um único grau de liberdade e, se falhar, não há nenhuma outra unidade que possa fazer sua função [24]. Considerando que em um módulo tensegrity um atuador pode afetar múltiplos graus de liberdade, e que um único grau de liberdade pode ser afetado por múltiplos atuadores, a utilização dos tensegrity pode tornar a locomoção de robôs menos susceptível a falhas, pois os robôs tensegrity podem apresentar múltiplas formas de locomoção. Algumas vantagens da utilização dos tensegrity na locomoção de robôs são: a) a falha de um atuador pode ser compensada pela ação de outro, pois a atuação em um nó produz movimento em posições múltiplas, com movimentos com um certo grau de acoplamento; b) pequeno número de atuadores pode causar uma forma de locomoção global; c) redução de peso próprio; d) melhor absorção de impactos; e também e) baixo volume de estocagem, pois os tensegrity podem

25 14 ser facilmente montados e desmontados. A maior desvantagem é a não adequação a movimentos de alta precisão, pois para se obter maior mobilidade as forças de protensão não podem ser muito elevadas. Outra desvantagem é a maior complexidade de programação dos movimentos, advinda justamente da vantagem de que um atuador produz movimentos em posições múltiplas, com movimentos acoplados [24]. Alguns trabalhos estão sendo desenvolvidos e muitos outros ainda serão necessários para o uso racional dos tensegrity na robótica. No entanto, as perspectivas são boas. Duas questões importantes que necessitam de resposta podem ser já apontadas: a primeira diz respeito a melhor morfologia a ser utilizada em cada caso e a segunda está relacionada ao nível de protensão adequado a ser aplicada ao sistema [24] Na engenharia aeroespacial O compartimento de carga do lançador espacial da NASA tem um diâmetro de 4,6 m e comprimento de 18,3 m e o lançador Ariane-5 da Arianespace e da ESA (European Space Agency) tem diâmetro de 4,56 m e aproximadamente 11 m de comprimento [25]. Por estas dimensões serem reduzidas, alguns componentes da nave espacial têm de ser dobrados para caber no compartimento de carga do lançador e ser desdobrados quando a nave estiver em órbita. Na indústria aeroespacial há três principais tipos de estruturas que podem ser montadas no espaço: mastros, antenas e painéis solares. Os mastros são usados, principalmente, para separar instrumentos eletrônicos, com o intuito de reduzir a interferência, ou para suportar outras estruturas. As antenas são usadas para a comunicação dos satélites com a terra e para a observação da terra e estudos astronômicos. Os painéis solares são necessários para captação de energia para instrumentos a bordo de um satélite ou da uma nave [26]. A utilização dos tensegrity na engenharia aeroespacial une, necessariamente, as características das estruturas tensegrity com as das estruturas pantográficas.

26 Mastros Mastros podem ser divididos em quatro grupos: os tubulares de parede fina, os telescópicos, os helicoidais e os treliçados [26]. Com relação ao uso dos tensegrity, uma etapa crucial do projeto é a criação dos mecanismos que permitem um processo de montagem e desmontagem confiável. Tibert & Pellegrino [27] apresentaram uma proposta envolvendo uma dobradiça de travamento automático. A análise estrutural mostrou que os mastros são relativamente rígidos axialmente, mas apresentam flexibilidade relativamente alta. A pouca rigidez à flexão deve-se ao fato que os mastros tensegrity não têm longarinas contínuas. A maneira natural de aumentar a rigidez estrutural é considerar barras conectadas, mas então algumas outras características também desejáveis, como a alta capacidade de compactação na desmontagem, podem ser perdidas. A Figura 7 ilustra a montagem de um modelo físico do mastro tensegrity estudado por Tibert & Pellegrino. Figura 7 Montagem do modelo reduzido de um mastro tensegrity, em oito estágios Antenas refletoras As antenas refletoras podem ser divididas, basicamente, em três categorias: as de malha, as de superfície sólida e as infláveis [26]. Em 1990 a Astro Aeroespacial Corporation desenvolveu uma antena refletora de malha baseada no conceito de treliça de cabos a AstroMesh TM (Figura 8). Duas redes triangulares parabólicas espelhadas são unidas a um anel treliçado. Este conjunto é retesado por cabos conectados a nós espelhados nas duas redes. A malha refletora de radiofreqüência (RF) é unida à parte traseira da rede frontal. A antena é montada pelo encurtamento do cabo contínuo que forma as 13 Extraída de [27].

27 16 diagonais do anel treliçado, tem diâmetro de 12,25 m e pesa 55 kg. Na configuração desmontada, o diâmetro e a altura são de 1,3 e 3,8 m, respectivamente. A última aplicação da AstroMesh TM no espaço foi no satélite de telecomunicação Thuraya, lançado em 5 de dezembro de 2000 [26]. Figura 8 Antena refletora AstroMesh TM 14. Para pequenos satélites pode-se construir uma antena semelhante a AstroMesh TM, usando uma estrutura tensegrity ao invés do anel treliçado (Figura 9). As vantagens de usar um módulo tensegrity é a maior simplicidade da estrutura da antena e a sensível diminuição do número de elementos comprimidos [28,29]. (a) (b) Figura 9 Antena refletora tensegrity: modelos numérico (a) 15 e físico (b) Definição de tensegrity no campo da engenharia estrutural O termo tensegrity uma contração de tensional integrity foi criado por Richard Buckminster Füller [30, p. 372] para descrever o princípio estrutural em que a forma da estrutura é garantida pela interação entre uma rede contínua de cabos tracionados e um conjunto de elementos comprimidos. Para Füller, 14 Extraída de [26]. 15 Extraída de [28]. 16 Extraída de [29].

28 17 tensegrity é como uma ilha de compressão flutuando em um mar de tração. No entanto, esta descrição é insuficiente para expor todas as peculiaridades, possibilidades e limitações que caracterizam um sistema estrutural. Por esta razão, posteriormente, vários autores propuseram outras definições na tentativa de elucidar que estruturas poderiam ser classificadas como tensegrity. Pugh [31], em 1976, descreveu sistema tensegrity como um conjunto de elementos descontínuos comprimidos interagindo com um conjunto contínuo de elementos tracionados que definem um volume estável no espaço. O autor prefere usar os termos componentes tracionados e componentes comprimidos ao invés de cabos e estroncas (ou barras), pois os componentes tracionados não são necessariamente cabos, assim com os componentes comprimidos podem não ser barras. Mas nota-se algo ainda mais abrangente: o autor não emprega na definição o termo estrutura. Na época as maiores aplicações dos tensegrity ainda eram as esculturas. Segundo Wang [32], as idéias fundamentais que caracterizavam uma estrutura tensegrity, até o início da década de 90, poderiam sem resumidas em: (a) compostas por elementos comprimidos (estroncas) e tracionados (cabos); (b) elementos comprimidos são descontínuos e elementos tracionados formam um conjunto contínuo; e (c) auto-equilibradas 17. Destacam-se, nas características acima citadas, a descontinuidade dos elementos comprimidos e a necessidade do auto-equilíbrio da estrutura. No entanto, a caracterização ou não de estruturas que transmitem esforços diretamente entre os elementos comprimidos, ou que necessitem um sistema de ancoragem portanto não auto-equilibradas como tensegrity ainda não é consenso entre pesquisadores e projetistas. Em 1992 Motro [33] apud [32] sugeriram a alteração do item (b) para estruturas articuladas. Com a alteração a transmissão de esforços diretamente entre elementos comprimidos é aceita, no entanto o auto-equilíbrio da estrutura é ainda necessário. No referido artigo, Motro definiu sistema tensegrity como estruturas espaciais reticuladas compostas por membros retilíneos, barras e cabos que definem um volume estável no espaço pelo efeito do equilíbrio entre tração e compressão. 17 Nesta tese o uso do termo estrutura auto-equilibrada está condicionado a desconsideração da ação do peso-próprio.

29 18 Wang [32] considera que estruturas não auto-equilibradas, como os domos de cabos, são uma extensão do conceito tensegrity. Para o autor, estruturas tensegrity podem ser definidas por: (i) redes de cabos auto-equilibradas nas quais um sistema contínuo de cabos é retesado por um sistema descontinuo de estroncas; ou (ii) composta de módulos tensegrity simplex 18. Em (i) estão inclusos todas as formas (módulos) básicas de tensegrity e os domos de cabos, sem considerar, portanto, estruturas nas quais esforços são transmitidos diretamente entre elementos comprimidos. Todavia, em (ii) esta transmissão de esforços é aceita. Em 1996, Motro [34] apud [33] apresentou uma nova versão da definição de tensegrity: "Sistemas tensegrity são sistemas reticulados espaciais em um estado de auto-tensão. Todos seus componentes são retilíneos e de comprimentos equivalentes. Elementos tracionados (cabos) não têm rigidez na compressão e constituem um conjunto contínuo, elementos comprimidos (estroncas) não têm rigidez a tração e constituem um conjunto descontínuo". Nesta versão, ignorando-se as imprecisões de linguagem técnica 19, considerase apenas estruturas auto-equilibradas e aquelas em que não há transmissão de esforços diretamente entre elementos comprimidos. Mais recentemente Motro [35] apud [36] descreveu tensegrity como um "sistema em um estado de auto-tensão estável, incluindo um conjunto descontínuo de componentes comprimidos dentro de um conjunto contínuo de componentes tracionados". Com esta definição Motro reafirma sua posição de não considerar como tensegrity estruturas que não sejam auto-equilibradas, nem tampouco aceitar que a definição de tensegrity contemple estruturas que transferem forças diretamente entre elementos comprimidos. Irving Oppenheim & William Williams [37] não apresentaram uma definição propriamente dita, mas destacaram aspectos que ressaltam, de forma apropriada, características deste sistema estrutural ao afirmar que estruturas tensegrity necessitam de um processo para encontrar uma forma inicial 18 Módulos tensegrity formados por relativamente poucos elementos, normalmente gerados a partir de poliedros convexos. 19 Os elementos tracionados (cabos) não oferecem rigidez à flexão, e por isso não suportam a compressão, pois a carga crítica de flambagem é insignificante.

30 19 equilibrada, deixam de ser hipostáticas pela ação de um campo de tensões e que a forma somente é encontrada quando a matriz de rigidez estática tem posto 20 menor do que a sua ordem. Outras definições podem ser encontradas na literatura, mas assim como estas, sem uniformidade no que diz respeito ao auto-equilíbrio, nem quanto à transmissão direta de esforços entre elementos comprimidos. No entanto, todas definições podem ser resumidas em dois grupos: a definição restrita, que considera apenas as redes de cabos retesadas auto-equilibradas, nas quais se incluem barras rígidas comprimidas, isoladas entre si, e a definição abrangente, na qual são consideradas também as estruturas que transmitem esforços diretamente entre os elementos comprimidos e as que transferem cargas de retesamento a um sistema de apoios, não sendo, portanto, autoequilibradas [38]. Y Figura 10 Domo de cabos ancorado em um anel tensegrity e detalhe do anel tensegrity. A polêmica envolvendo a definição das estruturas tensegrity atinge as aplicações mais prósperas deste sistema, os domos de cabos, que são ancorados em anéis de compressão, normalmente formados por peça única de concreto ou por treliça de aço. Todavia a discussão é perfunctória, pois é possível definir um anel de compressão formado por módulos tensegrity e ancorar nele o domo de cabos, como mostra a Figura 4. Este arranjo, por mais que não seja tão eficaz como a solução usual pois o anel tensegrity é mais instável, atende ao quesito de estrutura auto-equilibrada. A não consideração dos domos de cabos como estruturas tensegrity assim como qualquer outra estrutura que necessite de um sistema de ancoragem para a transferir cargas 20 Ver definição de posto de uma matriz no item 2.1.

31 20 de retesamento não é justificável, pois na maioria das vezes é possível definir uma estrutura maior auto-equilibrada, que englobe a primeira, respeitando assim ao quesito de auto-equilíbrio. Além do mais, não considerar domos de cabos como estruturas tensegrity seria tirar desta classe as obras mais relevantes já construídas com base nesse sistema estrutural. 1.4 Obras mais relevantes já realizadas Richard Buckminster Füller foi também pioneiro ao definir domos de cabos tensegrity. Para ele, as redes de cabos tracionados deveriam obedecer a um critério de triangulação. Esta restrição, em muitos casos, impedia o uso efetivo deste sistema estrutural. Geiger, em 1984, disse que a triangulação não é uma parte necessária da estrutura de cabos, pois a torna redundante. Ele, então, definiu uma estrutura que não é baseada na triangulação, mas que tem as mesmas propriedades. Na verdade, Geiger desejava criar um sistema estrutural tão econômico quanto uma estrutura de membrana inflada, mas sem a necessidade de um sistema mecânico para derreter a neve ou mesmo para inflar a estrutura. Simplificando a rede de cabos de Füller e fazendo um domo com perfil muito mais baixo e aerodinâmico, Geiger pôde projetar uma estrutura que pesa pouco mais que suas estruturas pneumáticas [38,39]. Os principais domos tensegrity já construídos são as coberturas dos estádios esportivos abaixo descritos. Olympic Gymnastics Arena e Olympic Fencing Arena (Seoul, South Korea 1986) Foram construídos para os Jogos Asiáticos (1986) e os Jogos Olímpicos de Seul (1998), com projetos arquitetônicos de Space Group of Korea (Gymnastics) e Dong Myeong Architects and Planners (Fencing). Suas coberturas, com projeto e execução de David Geiger, constituem as primeiras estruturas a utilizar o sistema tensegrity em grande escala. São dois domos circulares que têm diâmetros de 119,8m e 89,9m, respectivamente cada qual composto por um anel de tração central, um anel periférico de compressão, além de anéis intermediários de tração (todos concêntricos), cabos radiais,

32 21 diagonais intermediárias e mastros volantes 21 (Figura 11). Painéis de membrana cobrem as estruturas, seguindo as superfícies delineadas pelos cabos radiais [33,34,42,43]. Figura 11 Olympic Gymnastics Arena 22. Redbird Arena (Normal, Illinois, USA 1988) Construído na Illinois State University, com projeto arquitetônico de Paul Kennon, tem como cobertura um domo de cabos tensegrity, projetada e executada por David Geiger e David Campbell (Figura 12). Este foi o primeiro domo tensegrity construído em formato oval, medindo 92,6m por 78,0m, com altura total de 24,3m [42,43,44]. Figura 12 Redbird Arena 23. Tropicana Field (Saint Petersburg, Florida, USA 1989) Construído inicialmente para a prática de beisebol, hoje abriga competições de vários esportes. Sua cobertura é um domo de cabos em formato circular, com diâmetro 21 O Olympic Gymnastics Arena tem 3 anéis intermediários de tração, 16 cabos radiais, 48 diagonais intermediárias e 48 mastros volantes enquanto que o Olympic Fencing Arena apresenta 2 anéis intermediários de tração, 16 cabos radiais, 36 diagonais intermediárias e 36 mastros volantes. 22 Extraídas de 23 Extraídas de e

33 22 de 207,3m, também projetada e executada por Geiger. Chamado inicialmente de Florida Suncoast Dome, foi renomeado duas vezes: em 1993 tornou-se ThunderDome e em 1996 assumiu a atual denominação [33,34,42]. Figura 13 Tropicana Field 24. Amagi Dome (Shizuoka, Japan ) Com projeto arquitetônico de Fumitaka Hashimoto e projeto estrutural de SDG (Structurel Design Group) e Tension Strud Dome Structure & Membrane, o Amagi Dome é um domo circular que cobre uma área de 2.982m 2 (diâmetro de 60,6m, aproximadamente). Figura 14 Amagi Dome Extraídas de Fotos extraídas de