MAE116 NOÇÕES DE ESTATÍSTICA. Aula Correlação e Regressão. Autoria de Profª. Carmen Diva Saldiva de André Prof. Gilberto Alvarenga Paula

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1 MAE116 NOÇÕES DE ESTATÍSTICA Aula Autoria de Profª. Carmen Diva Saldiva de André Prof. Gilberto Alvarenga Paula Data 25 de agosto de 2005

2 Índice Analítico Índice Analítico Objetivo da aula...2 Estudo da relação entre variáveis...2 Diagrama de dispersão...2 Coeficiente de correlação linear...3 Reta ajustada...8 Resíduos...11 Apêndice Página 1 de 1

3 Objetivo da aula O OBJETIVO DA AULA é estudar a relação entre duas variáveis quantitativas. Veja alguns exemplos: Idade e altura das crianças; Tempo de prática de esportes e ritmo cardíaco; Tempo de estudo e nota na prova; Taxa de desemprego e taxa de criminalidade; e Expectativa de vida e taxa de analfabetismo. Estudo da relação entre variáveis Investigar a presença ou ausência de relação linear sob dois pontos de vista: a) Quantificando a força dessa relação: correlação. b) Explicitando a forma dessa relação: regressão. Diagrama de dispersão O DIAGRAMA DE DISPERSÃO é uma representação gráfica das duas variáveis quantitativas. Exemplo 01: nota da prova e tempo de estudo As variáveis são: X - tempo de estudo (em horas) Y - nota da prova A seguir, os pares de observações (Xi, Yi): Tempo Nota 3,0 4,5 7,0 6,5 2,0 3,7 1,5 4,0 12,0 9,3 Como fazer no Minitab? coluna C1 - valores de Y; e Página 2 de 2

4 coluna C2 - valores de X. MTB > plot C1*C2 Coeficiente de correlação linear O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR é definido como: Como fazer no Minitab? coluna C1 - variável X; e coluna C2 - variável Y. MTB > corr C1 C2 Propriedades do coeficiente de correlação linear Uma propriedade muito importante é a que segue: -1 r 1 Página 3 de 3

5 Classificação da correlação r = 1, correlação linear positiva e perfeita r = -1, correlação linear negativa e perfeita r = 0, inexistência de correlação linear MAE116 Noções de Estatística Gráficos - exemplos da classificação da correlação Exemplo para r = 1: Exemplo para r = -1: Exemplo para 0 < r < 1: Página 4 de 4

6 Exemplo para -1 < r < 0: Exemplo para r = 0: Página 5 de 5

7 Outro exemplo para r = 0: Exemplo 02: criminalidade e analfabetismo Considere as duas variáveis abaixo observadas em 50 estados norte-americanos( veja dados no Apêndice) Y - taxa de criminalidade X - taxa de analfabetismo Diagrama de dispersão Na figura a seguir, temos o diagrama de dispersão de X e Y e podemos notar que, conforme aumenta a taxa de analfabetismo, a taxa de criminalidade tende a aumentar. Nota-se também uma tendência linear. Página 6 de 6

8 28 Cálculo da correlação Os seguintes dados já são conhecidos: média de Y = 7,38 e SY = 3,692 média de X = 1,17 e Sx = 0,609 somatório de XiYi = 509,12 Portanto, podemos calcular a correlação entre X e Y: Exemplo 03: expectativa de vida e analfabetismo Considere as duas variáveis abaixo observadas em 50 estados norte-americanos( veja os dados no A- pêndice): Y - expectativa de vida; e X - taxa de analfabetismo. Diagrama de dispersão Na figura a seguir, temos o diagrama de dispersão de X e Y e podemos notar que, conforme aumenta a taxa de analfabetismo, a expectativa de vida tende a diminuir. Nota-se também uma tendência linear. Página 7 de 7

9 11 28 Cálculo da correlação Os seguintes dados já são conhecidos: média de Y = 70,88 e SY = 1,342 média de X = 1,17 e Sx = 0,609 somatório de XiYi = 4122,8 Portanto, podemos calcular a correlação entre X e Y: Reta ajustada A equação geral da reta ajustada é a seguinte: O que são a e b? a - intercepto b - inclinação Interpretação Para cada aumento de uma unidade em X, temos um aumento de b unidades em Y. Página 8 de 8

10 Cálculo de a e b Podemos calcular a e b da seguinte maneira: MAE116 Noções de Estatística Como fazer no Minitab? coluna C1 - variável Y; e coluna C2 - variável X. MTB > regress C1 1 C2 Exemplo 02: criminalidade e analfabetismo A reta ajustada para este exemplo é: - valor predito para a taxa de criminalidade X - taxa de analfabetismo Interpretação Para um aumento de uma unidade na taxa do analfabetismo, a taxa de criminalidade aumenta, em média, 4,257 unidades. Gráfico da reta ajustada 28 Exemplo 03: expectativa de vida e analfabetismo Página 9 de 9

11 A reta ajustada para este exemplo é: - valor predito para a expectativa de vida X - taxa de analfabetismo Interpretação Para um aumento de uma unidade na taxa do analfabetismo, a expectativa de vida aumenta, em média, 1,296 unidades. Gráfico da reta ajustada Exemplo 04: consumo de cerveja e temperatura Considere as seguintes variáveis: Y - consumo de cerveja em um dia (em 100 litros); e X - temperatura máxima (em ºC). Estas variáveis foram observadas em nove localidades com as mesmas características demográficas e sócio-econômicas. A seguir, veja a tabela com os dados amostrais. Dados amostrais Os dados amostrais do exemplo são: Temperatura Consumo Página 10 de 10

12 Coeficiente de correlação A correlação entre X e Y é r = 0,962. Reta ajustada A reta ajustada para este exemplo é: Gráfico da reta ajustada O gráfico da reta ajustada aparece a seguir: Resíduos RESÍDUO é a diferença entre o valor observado o valor ajustado pela reta, isto é, Y -. Para verificar a adequação do ajuste deve-se construir o gráfico dos resíduos padronizados: R/SR. Se os pontos estiverem distribuídos dentro do intervalo [-2,2], é uma indicação que o modelo está bem ajustado. Exemplo 2: gráfico de resíduos padronizados Página 11 de 11

13 28 39 Análise do gráfico de resíduos padronizados Nota-se duas observações fora do intervalo [-2,2], uma acima do valor 2 (#28) e outra um pouco abaixo do valor -2 (#39). Tais observações são denominadas pontos aberrantes. (veja os dados no Apêndice). Espera-se menos de 5% dos resíduos fora do intervalo [-2.2] Agora vamos eliminar a observação #28 (Nevada) Correlação com todos r = 0,702 Correlação sem Nevada r = 0,748 Variação: 6,55% Nova equação: Y = 1, ,526X Exemplo 3: gráfico de resíduos padronizados Página 12 de 12

14 Análise do gráfico de resíduos padronizados Neste exemplo nota-se também duas observações fora do intervalo [-2,2], uma bem acima do valor 2 (#11) e outra abaixo do valor -2 (#28).(vide dados) Agora quais serão os resultados eliminando-se as observações #11 (Hawaii) e #28 (Nevada)? Correlação com todos os estados r = -0,590 Correlação sem Nevada e Hawaii r = -0,797 Variação: 35,08% Nova equação: Y = 72,680-1,557X Uso do Minitab Para construir o gráfico de resíduos no Minitab, seguir no menu a seqüência abaixo: Stat Regression Graphs Residual for plots Standardized Residuals plots residuals x order Página 13 de 13

15 Apêndice MAE116 Noções de Estatística Obs. Estado Tanalf-70 Exvida-70 Tcrime-75 Obs. Estado Tanalf-70 Exvida-70 Tcrime-75 1 Alabama Montana Alaska Nebraska Arizona Nevada Arkansas New-Hampshire California New-Jersey Colorado New-Mexico Connecticut New-York Delaware North-Carolina Florida North-Dakota Georgia Ohio Hawaii Oklahoma Idaho Oregon Illinois Pennsylvania Indiana Rhode-Island Iowa South-Carolina Kansas South-Dakota Kentucky Tennessee Louisiana Texas Maine Utah Maryland Vermont Massachusetts Virginia Michigan Washington Minnesota West-Virginia Mississippi Wisconsin Missouri Wyoming Página 14 de 14