Outro olhar minucioso na estrutura de covariância de modelos espaciais

Transcrição

1 Outro olhar minucioso na estrutura de covariância de modelos espaciais Renato Martins Assunção Elias Teixeira Krainski Guido del Piño 14 de março de 2007

2 Variação espacial discreta washington:main montana north dakota minnesota maine oregon idaho south dakota wisconsin michigan:south new vermont hampshire wyoming new york:main iowa massachusetts:main nebraska connecticut rhode island pennsylvania illinoisindiana ohio new jersey nevada utah colorado maryland delaware kansas missouri west virginia california kentucky virginia:main oklahoma tennesseenorth carolina:main arkansas arizona new mexico south carolina mississippi alabama georgia texas louisiana florida Mapa de 48 estados dos EUA

3 Matriz de adjacência A

4 2 3 1 Matriz de adjacência A Matriz ponderada W: Linhas somam 1 e não é simétrica

5 Suponha o vetor aleatório Y

6 Suponha o vetor aleatório Y yi é o valor observado na área i

7 Suponha o vetor aleatório Y yi é o valor observado na área i Média do vetor é µ = (0,...,0)

8 Suponha o vetor aleatório Y yi é o valor observado na área i Média do vetor é µ = (0,...,0) O interesse é modelar a estrutura de correlação espacial

9 Suponha o vetor aleatório Y yi é o valor observado na área i Média do vetor é µ = (0,...,0) O interesse é modelar a estrutura de correlação espacial Σ é a matriz de covariância

10 Suponha o vetor aleatório Y yi é o valor observado na área i Média do vetor é µ = (0,...,0) O interesse é modelar a estrutura de correlação espacial Σ é a matriz de covariância O que é Σ?

11 Dois modelos para Σ

12 Dois modelos para Σ Modelo SAR

13 Dois modelos para Σ Modelo SAR AutoRegressivo: valor da área i depende de seus vizinhos

14 Dois modelos para Σ Modelo SAR AutoRegressivo: valor da área i depende de seus vizinhos Simultâneo: sistema de n equações simultâneas

15 Dois modelos para Σ Modelo SAR AutoRegressivo: valor da área i depende de seus vizinhos Simultâneo: sistema de n equações simultâneas Modelo CAR

16 Dois modelos para Σ Modelo SAR AutoRegressivo: valor da área i depende de seus vizinhos Simultâneo: sistema de n equações simultâneas Modelo CAR AutoRegressivo: como antes

17 Dois modelos para Σ Modelo SAR AutoRegressivo: valor da área i depende de seus vizinhos Simultâneo: sistema de n equações simultâneas Modelo CAR AutoRegressivo: como antes Condicional: sistema de n distibuições condicionais

18 Especificações O modelo SAR z 1 = ρ s j viz 1 w ijz j + ǫ 1 z 2 = ρ s j viz 2 w ijz j + ǫ 2. =. z n = ρ s j viz n w ijz j + ǫ n (1)

19 Especificações O modelo SAR z 1 = ρ s j viz 1 w ijz j + ǫ 1 z 2 = ρ s j viz 2 w ijz j + ǫ 2. =. z n = ρ s j viz n w ijz j + ǫ n (1) O modelo SAR z 1 viz de 1 N(ρ c j viz 1 w ijz j, κ 2 1 ) z 2 viz de 2 N(ρ c j viz 2 w ijz j, κ 2 2 ). =. z n viz de n N(ρ c j viz n w ijz j, κ 2 n) (2)

20 Forma matricial

21 Forma matricial Modelo SAR: Z n 1 = ρ s W n nz + ǫ, (3) onde ǫ i N(0,τ 2 i )

22 Forma matricial Modelo SAR: Z n 1 = ρ s W n nz + ǫ, (3) onde ǫ i N(0,τ 2 i ) Modelo CAR: Não tem

23 Forma matricial Modelo SAR: Z n 1 = ρ s W n nz + ǫ, (3) onde ǫ i N(0,τ 2 i ) Modelo CAR: Não tem Distribuição conjunta Modelo SAR: Z N(0,(I ρw) 1 T(I ρw) 1 ) (4)

24 Forma matricial Modelo SAR: Z n 1 = ρ s W n nz + ǫ, (3) onde ǫ i N(0,τ 2 i ) Modelo CAR: Não tem Distribuição conjunta Modelo SAR: Z N(0,(I ρw) 1 T(I ρw) 1 ) (4) Modelo CAR: Z N(0,(I ρw) 1 K)

25 Correlações entre vizinhos: CAR (esquerda) e SAR (direita) rho rho

26 Correlações entre alguns vizinhos: CAR (esquerda) e SAR (direita) rho rho

27 Relação de Σ com ρ ρ > 0 ρ < 0 Corr(yi, y j ) cresce se ρ cresce Corr(yi, y j ) não tem posto constante a medida que ρ cresce Corr(yi, y j ) pode ficar > 0 se ρ fica + negativo Corr(yi, y j ) pode tender a +1 se ρ fica muito negativo!

28 Aproximação

29 Aproximação Temos que (I ρw) 1 = I + ρw + ρ 2 W I + ρw + ρ 2 W ρ p W p (5)

30 Aproximação Temos que (I ρw) 1 = I + ρw + ρ 2 W I + ρw + ρ 2 W ρ p W p (5) Lembrando que Σ(CAR) = (I ρw) 1 K (6) e Σ(SAR) = (I ρw) 1 T(I ρw) 1 (7)

31 Correlações entre vizinhos - CAR Exata rho Grau rho Grau rho Grau rho Grau rho Grau rho Nota-se que para ordem 1 é linear, pois (I ρw) 1 I + ρw

32 Correlações entre vizinhos - SAR Exata rho Grau rho Grau rho Grau rho Grau rho Grau rho Nota-se que para SAR a aproximação é melhor

33 Passeio aleatório em grafos

34 Passeio aleatório em grafos Conside um passeio aleatório pelas regiões do mapa

35 Passeio aleatório em grafos Conside um passeio aleatório pelas regiões do mapa A probabilidade de mudar de i para qualquer estado vizinho é 1/(n o vizi)

36 Passeio aleatório em grafos Conside um passeio aleatório pelas regiões do mapa A probabilidade de mudar de i para qualquer estado vizinho é 1/(n o vizi) O elemento (i,j) de W k é a probabilidade de ir de i para j em k passos

37 Passeio aleatório em grafos Conside um passeio aleatório pelas regiões do mapa A probabilidade de mudar de i para qualquer estado vizinho é 1/(n o vizi) O elemento (i,j) de W k é a probabilidade de ir de i para j em k passos Convergência de W k

38 Passeio aleatório em grafos Conside um passeio aleatório pelas regiões do mapa A probabilidade de mudar de i para qualquer estado vizinho é 1/(n o vizi) O elemento (i,j) de W k é a probabilidade de ir de i para j em k passos Convergência de W k O segundo maior autovalor em módulo da matriz W está associado á convergencia

39 Exemplos... grafo1 grafo2 grafo3 grafo4 grafo5 grafo grafo 1 grafo 2 grafo grafo 4 grafo 5 grafo

40 Alguns grafos de microregiões nos EUA e gráfico de dispersão entre o 1 o e 2 o autovetores iowa oklahoma texas eigen of W eigen of W eigen of W Iowa Oklahoma Texas