Avaliação de Algoritmos de Estimativa de Pose para Reconstrução 3D e Realidade Aumentada

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1 Avaliação de Algoritmos de Estimativa de Pose para Reconstrução 3D e Realidade Aumentada Vinícius Miranda César 1, Thiago Farias 1, Samuel Macedo 1, Judith Kelner 1, Ismael Santos 2 1 Centro de Informática da UFPE: {vinicius,mouse,svmm,jk}@gprtufpebr 2 CENPES-Petrobras: ismaelh@petrobrascombr Resumo Estimativa de poses de câmera é uma área amplamente estudada em visão computacional e fotogrametria pela comunidade científica, possuindo diversas aplicações, principalmente em reconstrução 3D e realidade aumentada Devido à grande quantidade de algoritmos existentes na literatura e à ausência de estudos comparativos destes algoritmos em reconstrução 3D, a proposta deste artigo é avaliar os algoritmos de estimativa de pose de câmera (DLT, PNP, POSIT e EPnP) no contexto de reconstrução 3D offline por vídeo Dentro deste contexto, este trabalho fará uma análise standalone para algoritmos robustos utilizando algumas métricas propostas pelos autores Resultados preliminares e as conclusões obtidas nesta pesquisa também serão apresentadas Index Terms visão computacional; avaliação; estimativa; pose; reconstrução 3D; I INTRODUÇÃO O cálculo de estimativas de pose é um problema de visão computacional que consiste em descobrir uma transformação P que projeta um conjunto de pontos tridimensionais X i em suas respectivas coordenadas bidimensionais x i A matriz P é uma transformação composta de parâmetros intrínsecos (distância focal, skew, ponto principal, etc) e extrínsecos (a pose) da câmera A pose, por sua vez, é composta por uma rotação e uma translação Esse problema também é conhecido por PnP [3] (Perspective-n-Point) Este problema é recorrente na área de visão computacional, fotogrametria e reconstrução 3D Ele é utilizado em diversas aplicações no campo da robótica e do rastreamento de objetos Uma instância direta da aplicação em rastreamento de objetos e reconstrução 3D é a subárea de realidade aumentada sem marcadores, uma vez que essa estimativa permite saber de qual ponto de vista está sendo capturado o mundo real, permitindo a adição de novos objetos à cena Reconstrução 3D a partir de imagens (conjunto de fotos ou um vídeo) demanda um conhecimento multidisciplinar que engloba diversas áreas como: processamento de imagem, visão computacional, geometria, álgebra linear, otimização de sistemas não lineares, entre outras O pipeline de reconstrução 3D por vídeo pode ser dividido em três fases: a primeira fase consiste no processamento do vídeo para a detecção de pontos de interesse (features) no rastreamento destes pontos nos frames subsequentes O conjunto das features rastreadas em todos os frames será utilizado como entrada para a próxima etapa do pipeline Na etapa seguinte, as features são processadas e a partir deste processamento são selecionados dois frames, chamados keyframes Estes keyframes são utilizados como base para a reconstrução 3D inicial, composta de um conjunto de pontos 3D e duas poses, dentre as quais a primeira é tida como identidade - nenhuma rotação em nenhum dos eixos e translação na origem Essas poses são obtidas através do cálculo da matriz fundamental e não são produzidas por algoritmos de estimativa de pose Na terceira e última etapa, são avaliados os frames restantes para se obter a pose da câmera em cada instante do vídeo utilizando um algoritmo de estimativa de pose O cálculo de pose desta etapa, através de um algoritmo de estimativa de pose específico, recebe como entrada a correlação entre as features (pontos 2D) e seus pontos 3D respectivos calculados na segunda fase Dessa forma é possível reconstruir toda a cena ao longo do vídeo Isto faz a estimativa de pose um dos principais subprodutos da reconstrução 3D No pipelilne de reconstrução 3D, ao se utilizar dados de cenas reais, ocorre normalmente uma introdução acumulativa de erros a cada etapa executada, principalmente na aquisição das features, em que pode haver muito ruído causado por condições de iluminação e pelo sensor da câmera Tais fatores podem gerar imprecisão e falso casamento das features, sendo necessário que as estimativas de poses sejam robustas a erros como os comentados previamente, e que assim possam evitar seu acúmulo à medida que os frames são reconstruídos Existe na literatura uma gama de algoritmos que se propõem a resolver esse problema através de diversas abordagens Algumas buscam a solução algébrica através de um sistema linear, como o DLT[5], outros utilizam um argumento geométrico para descobrir a pose, como o POSIT[2], PNP[16] e EPNP[10] Diante dos desafios expostos e da grande variedade de algoritmos, constatou-se que as avaliações existentes não são adequadas para reconstrução 3D, como também não exploram a maioria dos algoritmos existentes, além de não realizarem análises estatísticas robustas Uma prática comum, bastante adotada em reconstrução 3D através de vídeo para lidar com o problema do acúmulo de erros é a utilização de um técnica conhecida como SBA (Sparse Bundle Adjustment) Portanto, foi adicionada uma quarta etapa ao final do pipeline de reconstrução com o objetivo de realizar uma minimização do erro global O SBA recebe como entrada pontos 2D, pontos 3D e poses geradas na reconstrução e realizará a minimização iterativamente Essa técnica produz resultados muito bons e consegue geralmente

2 tornar as poses mais precisas Porém, a adição desta etapa traz consigo dois fatores negativos: alto custo computacional da ordem de O(N 3 ) e a impossibilidade de se utilizar a reconstrução em tempo real devido a necessidade da obtenção de um resultado preciso Mais detalhes podem ser encontrados em [11] Este trabalho foca na avaliação estatística robusta dos principais algoritmos de estimativa de pose, utilizando métricas de precisão inerentes ao pipeline de reconstrução 3D offline por vídeo Desta forma, o tempo não será considerado, mas sim a proximidade da pose estimada em relação à pose real sem a contribuição do SBA Os algoritmos selecionados foram o DLT[5], PNP[16], POSIT[2] e EPnP[10] A análise será baseada numa metodologia estatística proposta em [13] Este artigo é estruturado como descrito a seguir Na Seção II são apresentados os principais algoritmos de estimativa de pose presentes na literatura e algumas análises prévias Em seguida, na Seção III será descrita a avaliação dos algoritmos e as métricas utilizadas Os resultados da aplicação de tal metodologia aos algoritmos serão descritos na Seção IV Por fim, na Seção V será apresentado um breve fechamento e comentários sobre trabalhos futuros II ESTADO DA ARTE As primeiras tentativas de resolução do problema de estimativa de pose de câmeras datam do ano de 1841, como citado em [7] Uma das primeiras soluções para o problema utilizava um conjunto de 3 correspondências de pontos 2D e 3D Em 1981, Fischler e Bolles[4] introduziram o termo P3P para descrever este problema e provou a existência de mais de uma solução possível, além de propor outra forma de resolvêlo utilizando as raízes de um polinômio de quarto grau Sendo conhecido os parâmetros intrínsecos da câmera, é possível saber o ângulo θ dos raios disparados do centro de projeção em direção aos pontos 2D na imagem [8], x i e x j Estes raios interceptam os respectivos pontos 3D, X i e X j, sendo possível assim aplicar a lei dos cossenos para cada par de correspondências, onde C é o centro da câmera: X i X j = l 2 i + l 2 j 2l i l j cos θ (1) tal que l i = C X i e l j = C X j Aplicando este raciocínio a cada par de pontos 3D, são obtidas três equações Fischler reduziu essas três equações a um polinômio do quarto grau na forma a 1 x 4 + a 2 x 3 + a 3 x 2 + a 4 x + a 5 = 0 (2) cuja solução permite que se encontre quatro possíveis centros de câmera Em [16] foi proposta uma solução para 4 (P4P), 5(P5P) e n(pnp) pontos, gerando então uma solução única, eliminando a redundância de poses A idéia consiste em obter um conjunto de polinômios da forma da Equação (2) formando o sistema linear a (1) 1 a (1) 2 a (1) 3 a (1) 4 a (1) 5 a (n) 1 a (n) 2 a (n) 3 a (n) 4 a (n) 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = At = 0 (3) Se n 5 o sistema será sobredeterminado e pode ser resolvido através de qualquer método de solução de sistemas lineares Os algoritmos até agora descritos utilizam o tetraedro formado entre o centro de projeção da câmera e três pontos 3D da cena para definir restrições e calcular os parâmetros da câmera Outra abordagem geométrica para resolver o problema de estimativa de pose foi elaborada por DeMenthon em [2] Sua estratégia, conhecida por perspectiva fraca (weak perspective), considera que a imagem formada pelos pontos 2D é uma projeção ortográfica dos pontos 3D a menos de um fator de escala (SOP - scaled orthographic projection) e assim é possível obter uma translação e rotação inicial para a pose Em seguida, iterativamente, é minimizada a distância entre a projeção dos pontos 3D pela pose da iteração atual e os pontos 2D observados Outro algoritmo é o EPnP proposto em [10] por Lepetit em 2009 Sua abordagem consiste na transformação das coordenadas dos n pontos 3D como uma média ponderada de quatro pontos representativos Assim, o problema é reduzido, estimando então a câmera em relação a esses quatro pontos, o que pode ser feito com custo linear expressando essas coordenadas como média ponderada dos autovalores de uma matriz e resolvendo um número fixo de polinômios de quarto grau O DLT (Direct Linear Transformation), também muito utilizado na literatura, foi proposto inicialmente em [5] e aperfeiçoado em [8] Ele é um dos algoritmos mais simples e consiste em resolver um sistema linear cuja solução é a matriz de projeção da câmera Dado um conjunto de correspondências 2D-3D xi Xi em coordenadas homogêneas, busca-se uma matriz P 3 4 que satisfaça x i = P X i Expandindo as equações, é obtido um sistema Ap = 0, no qual A é uma matriz 2n 12, em que n é o número de correspondências e p é um vetor coluna obtido pela concatenação transposta das linhas da matriz P A solução pode ser calculada por meio do método SVD (Decomposição de Valores Singulares) e é independente de escala Encontrada a matriz de projeção, esta é decomposta no produto de três matrizes: matriz de calibração com os parâmetros intrínsecos, matriz de rotação e a matriz 3 4 [I C], na qual I é a matriz identidade 3 3 concatenado com o centro da câmera C em coordenadas euclidianas Uma estratégia que permite um melhor resultado para esse algoritmo é a normalização dos pontos na entrada afim de obter uma estabilidade numérica para aplicar o SVD [8] Além desses algoritmos, existem outros que necessitam uma pose inicial e se propõem a refinar o resultado, como descrito em [6] e pelo método CPC proposto em [1] Diante dessa variedade de algoritmos na literatura, surgiram trabalhos

3 objetivando uma análise comparativa entre eles Daniel Grest em [6] fez um estudo avaliando os algoritmos DLT, POSIT e CPC Os algoritmos foram submetidos a testes, variando o número de pontos, a quantidade de ruído, a forma dos pontos e a proximidade dos pontos em relação à câmera Foram discutidas também nesse trabalho as diferentes implementações do POSIT e estimativas iniciais para o CPC Na conclusão, os autores relataram que o algoritmo mais eficiente foi o CPC e o pior resultado foi obtido pelo DLT A métrica utilizada para a comparação entre os algoritmos foi o erro de reprojeção Maiores detalhes sobre o erro de reprojeção encontram-se em [8] III METODOLOGIA DE AVALIAÇÃO Para utilização da metodologia de avaliação standalone de algoritmos robustos, dois requisitos básicos são o gabarito (ground truth) e o conjunto de vetores produzidos pelo algoritmo o qual se deseja avaliar, nesse caso, as poses Como as poses são compostas por um vetor de translação e uma matriz de rotação, pode-se formar um vetor de doze elementos Mas devido à matriz de rotação ter apenas 3 graus de liberdade, é possível trabalhar com apenas um vetor de 6 elementos Entretanto, ainda é possível associar a rotação a uma única medida, considerando que uma forma de expressar rotações é por meio de um eixo e um ângulo (notação eixo-ângulo) Então, pode-se adotar como uma medida que representa o quanto a pose se desviou do gabarito o ângulo relativo à rotação mínima em relação a um eixo arbitrário que transforma a pose estimada no ground truth Calcular uma medida de erro para a translação não é tão simples, pois a reconstrução 3D é obtida com uma escala arbitrária, o que impede a comparação direta através de uma medida de erro entre o ground truth e as poses-produto da reconstrução Para realizar essa comparação, foi utilizado o coeficiente linear de Pearson (CLP) [9], também conhecido como Normalized Cross Correlation (NCC), que é uma medida de correlação entre vetores independentes de escala Dado um par de vetores X 1,, X n e Y 1,, Y n independentes e independentes entre si, o CLP é calculado como n k=1 r = (X k X)(Y k Y ) ( n k=1 (X k X) 2 )( n k=1 (Y k Y ) 2 ) n k=1 X k n k=1 X k em que X = n e Y = n O CLP é um estimador bastante conhecido na literatura, eficaz, de fácil implementação e interpretação, porém possui algumas limitações A principal delas é que a relação entre os vetores tem que ser linear - o que para esta metodologia é irrelevante, pois como o objetivo é comparar soluções que sejam semelhantes ao ground truth, o gráfico formado por abscissas e ordenadas a partir dos dois vetores em questão deverá resultar o mais próximo de uma reta com 45 o de angulação Outra limitação é que o CLP leva em conta as médias dos vetores Neste caso se a distribuição dos vetores foi assimétrica ou com caudas muito pesadas, a média pode ser inconsistente e por isso o valor de r pode não ser adequado Mais uma (4) desvantagem é que tornando as coordenadas de translação independentes, é possível a existência de casos em que mesmo a correlação sendo boa, os caminhos serão diferentes, como no caso em que os caminhos são retas, porém uma é mais inclinada que a outra Devido a limitação imposta na avaliação da translação da pose, será proposta outra métrica para ser usada em conjunto com as demais durante a análise O que impede as translações sejam comparadas através de uma distância euclidiana é o fator de escala que diferencia o ground truth das poses reconstruídas Para corrigir tal fator, todas as poses reconstruídas serão transformadas em uma escala aproximada do ground truth de forma que a soma das distâncias das poses seja mínima, ou seja, sendo k o fator de escala aplicado às poses reconstruídas, {t i } o conjunto de translações das poses do ground truth e { t i } o conjunto de translações das n poses reconstruídas, temos que k = arg min α n t i α t i (5) i=1 A solução para k não é trivial, mas pode ser encontrada de forma aproximada considerando a equação 6 n k = arg min t i α t i 2 (6) α i=1 e aplicando um algoritmo de minimização não linear para obter um k mínimo Descoberto o valor da escala, a medida de erro para a translação é computada como a média das distâncias entre as poses correspondentes do ground truth e da reconstrução Essa medida de erro só é válida para comparar poses originadas pelo mesmo ground truth, já que ela é dependente da escala do ground truth Uma vantagem de se calcular o erro através do ângulo de rotação e da distância euclidiana sobre o CLP é que podem ser analisados erros no decorrer dos frames do vídeo, possibilitando uma visualização detalhada dos erros através de gráficos Para cada coordenada de translação (x i, y i, z i ) são formados vetores (x 1,, x n ), (y 1,, y n ), (z 1,, z n ), em que n é o total de poses, para o ground truth e para as poses-produto da reconstrução Calculando o CLP de cada coordenada de translação entre o ground truth e as poses-produtos, é possível obter três medidas que caracterizam a correlação entre os dois caminhos de câmera Após escolhidas as métricas (ângulo para rotação, coeficiente de Pearson e distância média para a translação), foi gerado um ground truth das poses de câmera, onde a câmera sintética considerada tem como distância focal 1400 pixels As imagens geradas possuem uma resolução de e um ponto central (400, 300) em pixels Uma vez definida a câmera sintética que gera o cenário de testes, foram calculadas 60 poses de câmera com variação aleatória na distância entre poses, mas todas a uma distância fixa do modelo 3D A rotação foi estipulada de forma que a câmera apontasse sempre para o centro do objeto A trajetória

4 da câmera foi direcionada para se movimentar como apresentado na Figura 1, obtendo-se assim um cenário adequado para o rastreamento das features Figura 1 Gabarito (ground truth) utilizado nos experimetos O modelo presente no cenário foi obtido sinteticamente a partir da nuvem de pontos 3D do modelo Bunny disponível no repositório de Stanford [17] Cada matriz de câmera gerada foi aplicada ao modelo, e assim, calculada a projeção 2D referente a cada pose de câmera, gerando 60 imagens respectivas As correspondências das features entre essas imagens foram computadas a partir de um processo de reconstrução 3D similar ao descrito em [15] Considerando que esse conjunto de dados é sintético, não são capturados os ruídos inerentes às imagens reais, como imprecisões no cálculo de pontos 2D e erro na computação das correspondências entre os pontos em diferentes imagens Para simular um ambiente real, foi inserido um ruído gaussiano nas coordenadas dos pontos 2D e foram gerados dois conjuntos de dados nos quais os erros seguem uma distribuição normal com desvio padrão de 1 e 2 pixels Também foram adicionados aleatoriamente no conjunto de dados 20% de pontos caracterizados como outliers No processo de reconstrução, quando é iniciada a etapa do cálculo de pose, o conjunto de correspondências contém um ruído associado, além da presença de outliers, que devem ser filtrados antes do início do cálculo da pose A idéia consiste em um algoritmo de avaliação de hipótese afim de se obter uma pose que seja coerente com a maior parte dos pontos Nesta avaliação de hipóteses são identificados os outliers do conjunto e estes podem ser descartados no cálculo da pose que será realizado apenas com inliers O primeiro algoritmo com essa proposta foi o RANSAC e foi idealizado juntamente com o P3P por Fischler em [3] Nos testes realizados neste trabalho foi utilizada uma variação do RANSAC chamada LMedS (Least Median of Squares) [18] IV SIMULAÇÃO E RESULTADOS Após a geração do ground truth, cada entrada é submetida a um framework de reconstrução 3D para que as poses sejam geradas e avaliadas Em algumas entradas sintéticas, os erros gerados de acordo com a distribuição gaussiana são grandes o suficiente para invalidar a reconstrução em sua fase inicial ou durante as estimativas de pose, caso o algoritmo utilizado cause grande acúmulo de erros Nos experimentos realizados, utilizou-se a biblioteca OpenCV para implementar o PNP e o POSIT O EPnP utilizado neste trabalho foi a implementação de referência disponibilizada pelo autor O resultado dos experimentos é mostrado na Tabela I Dentre as mil entradas utilizadas, 40% não foram reconstruídas quando considerou-se o ruído de 10 pixel e metade não foram reconstruídas com o ruído de 20 pixels Grande parte das entradas não reconstruídas ocorreu devido ao acúmulo de erros das etapas da estimativa da matriz epipolar e da estimativa de pose O algoritmo DLT apresentou os piores resultados gerando menos reconstruções Para avaliar as poses com CLP, foi estabelecido um limiar de 95%, ou seja, foram contabilizadas apenas a porcentagem de poses em que houve 95% ou mais de correlação nos três eixos de translação Como observado na Tabela I, o EPnP obteve melhor resultado, porém muito próximo do POSIT O PNP obteve a menor correlação Em relação à distância média aproximada e o ângulo das poses entre as amostras e o ground truth, mais uma vez o EPnP conseguiu maior precisão que o POSIT, além de possuir menor desvio padrão, apresentando um comportamento estável O PNP e o DLT se mostraram mais uma vez os menos eficientes, com o PNP apresentando os piores resultados O DLT é o algoritmo mais simples dentre todos os demais e consiste apenas na resolução de um sistema linear sobredeterminado Mesmo assim o DLT foi mais preciso que o PNP, mesmo sendo este último mais complexo Na Figura 3, é possível perceber que o caminho criado pelo PNP em grande parte é mais suave que o DLT e aparenta ser mais coerente Em contrapartida o PNP errou poses de forma que elas ficassem com a translação simetricamente oposta ao centróide dos pontos 3D, como ilustrado na Figura 2 Então, é possível que a imprecisão do PNP seja devido a poucas poses inválidas, mas que atingiram muito o cálculo da média ao invés do que ocorre com as poses sinuosas do DLT O EPnP obteve o melhor resultado em todas as métricas avaliadas aparentando ser o mais preciso dentre os quatro algoritmos avaliados Entretanto, vale ressaltar que sua diferença com o POSIT é muito pequena, a ponto de ser considerada desprezível se analisados os intervalos de confiança Se considerarmos um intervalo de confiança de 95% para ambos os algoritmos, verifica-se que o POSIT tem sua média do erro de translação entre 409 e 438, enquanto o EPnP obtém intervalo entre 405 e 422, utilizando em ambos os casos um ruído de 1 pixel É perceptível uma grande intersecção entre os intervalos de ambos os algoritmos e podemos considerálos como equivalentes Tal comportamento se mantém para o intervalo de rotação (note-se que os exemplos anteriores foram para a translação) e mesmo quando considerado um ruído de 2 pixels, pois o desvio padrão é maior Grande parte dos caminhos de câmera reconstruídos por ambos os algoritmos se mostraram similares ao ground truth, mostrado na Figura

5 Figura 2 Caminho de câmera reconstruído pelo PNP pose Figura 3 Caminho de câmera reconstruído pelo DLT 1 Embora os testes não acentuem diferenças significativas de precisão entre o POSIT e EPnP, existe outro fator que deve ser levado em consideração: o EPnP é um algoritmo de custo linear e oferece precisão tão boa quanto o POSIT que é iterativo Isto é uma vantagem do EPnP em diversas aplicações e com o custo computacional reduzido para uma etapa adicional de refinamento, por exemplo realizando uma minimização do erro de reprojeção com o algoritmo Levenberg-Marquardt[14] Na Figura 4 é possível observar a distância média aproximada da translação e na Figura 5 o ângulo médio da rotação entre as poses reconstruídas e o ground truth em cada frame Na primeira pose, o erro é sempre nulo porque esta será sempre a pose canônica (translação na origem e sem rotação) por convenção No oitavo frame, o erro se torna igual para todos os algoritmos, pois esta pose é estimada no cálculo da matriz epipolar na segunda fase do pipeline de reconstrução Por isso, esta pose é igual em todos os caminhos de câmera reconstruídos Nos gráficos, é perceptível a proximidade entre o POSIT e o EPnP Apenas a partir do frame 40 o EPnP obtém uma diferença mais significativa O PNP mantém seu erro sempre alto e muito irregular caracterizando uma má estimativa de V CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS No contexto de reconstrução 3D, a estimativa de pose é indispensável e exige uma grande precisão e robustez, devido principalmente ao acúmulo de erros por se tratar de um processo iterativo Tal aspecto estimulou a elaboração de um conjunto de experimentos para que fosse possível avaliar alguns dos algoritmos presentes na literatura: DLT, PNP, POSIT e EPnPPortando, três métricas foram escolhidas: o coeficiente linear de Pearson aplicado aos três eixos da translação, a distância mínima média das poses e o ângulo entre as poses Após os experimentos, todas as métricas apontaram o PNP como o algoritmo menos preciso, mostrando baixas taxas de acerto e, apesar da estimativa de pose ser visualmente coerente, a translação se apresenta simetricamente oposta ao centroide dos pontos 3D O DLT obteve os caminhos de câmera mais sinuosos e incoerentes além de causar acúmulo de erros de forma que menos amostras foram reconstruídas Os algoritmos com melhores resultados foram o EPnP e o POSIT, sendo o segundo menos preciso do que o primeiro Tal diferença se mostra irrelevante quando analisado o intervalo de confiança do experimento, o que os tornam estatisticamente equivalentes O EPnP oferece ainda uma vantagem em relação ao POSIT por ser um algoritmo de custo linear ao passo que o POSIT é iterativo É interessante estender essa pesquisa para obter conclusões mais detalhadas sobre estes algoritmos de estimativa de pose de câmera e outros não abordados neste texto A geração de novos ground truths explorando outras dificuldades desses algoritmos como cenas com pontos muito próximos ou distantes da câmera Outra avaliação consideraria a combinação destes algoritmos com outros, utilizando os algoritmos avaliados com outros que fazem uso de uma estimativa inicial, como [12] e o CPC [1], e também considerando os algoritmos de minimização de erro como Levenberg-Marquardt [14] Finalmente seria interessante avaliar o impacto do SBA na precisão dos algoritmos Esta pesquisa foi desenvolvida no projeto TechPetro, financiado pela Petrobras e pela FINEP, na rede RPCMod A pesquisa aperfeiçoou a estimativa de pose no módulo do projeto destinado a reconstrução 3D de objetos e estruturas pertencentes a Petrobrás Os experimentos realizados mostraram o aumento na qualidade das reconstruções REFERÊNCIAS [1] Helder Araújo, Rodrigo L Carceroni, and Christopher M Brown A fully projective formulation to improve the accuracy of lowe s poseestimation algorithm Computer Vision and Image Understanding, 70(2): , 1998 [2] Daniel DeMenthon and Larry S Davis Model-based object pose in 25 lines of code In Proceedings of the Second European Conference on Computer Vision, ECCV 92, pages , London, UK, 1992 Springer-Verlag [3] Martin A Fischler and Robert C Bolles Random sample consensus: a paradigm for model fitting with applications to image analysis and automated cartography, pages Morgan Kaufmann Publishers Inc, 1987

6 Tabela I RESULTADOS OBTIDOS DOS EXPERIMENTOS DLT PNP POSIT EPnP Ruído(pixel) Avaliados(%) CLC (95%) Translação 1008± ± ± ± ± ± ± ±32 Rotação 595± ± ± ± ± ± ± ±245 (a) Ruído de 1 pixel (b) Ruído de 2 pixels Figura 4 Distância média entre as poses recontruídas e do ground truth a cada frame (a) Ruído de 1 pixel (b) Ruído de 2 pixels Figura 5 Erro em ângulo entre as poses recontruídas e do ground truth a cada frame [4] Martin A Fischler and Robert C Bolles Readings in computer vision: issues, problems, principles, and paradigms chapter Random sample consensus: a paradigm for model fitting with applications to image analysis and automated cartography, pages Morgan Kaufmann Publishers Inc, San Francisco, CA, USA, 1987 [5] S Ganapathy Decomposition of transformation matrices for robot vision In Robotics and Automation Proceedings 1984 IEEE International Conference on, volume 1, pages , mar 1984 [6] Daniel Grest, Thomas Petersen, and Volker Krüger A comparison of iterative 2d-3d pose estimation methods for real-time applications In Proceedings of the 16th Scandinavian Conference on Image Analysis, SCIA 09, pages , Berlin, Heidelberg, 2009 Springer-Verlag [7] RM Haralick, D Lee, K Ottenburg, and M Nolle Analysis and solutions of the three point perspective pose estimation problem In Computer Vision and Pattern Recognition, 1991 Proceedings CVPR 91, IEEE Computer Society Conference on, pages , jun 1991 [8] R I Hartley and A Zisserman Multiple View Geometry in Computer Vision Cambridge University Press, ISBN: , second edition, 2004 [9] M Hollander and DA Wolfe Nonparametric Statistical Methods Wiley Series in Probability and Statistics, 1999 [10] Vincent Lepetit, Francesc Moreno-Noguer, and Pascal Fua Epnp: An accurate o(n) solution to the pnp problem Int J Comput Vision, 81: , February 2009 [11] MI A Lourakis and AA Argyros SBA: A Software Package for Generic Sparse Bundle Adjustment ACM Trans Math Software, 36(1):1 30, 2009 [12] Chien-Ping Lu, Gregory D Hager, and Eric Mjolsness Fast and globally convergent pose estimation from video images IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell, 22: , June 2000 [13] S V M Macedo, T S M C Farias, J C B O Lima, J Kelner, and E Albuquerque Towards a standalone methodology for robust algorithms evaluation: A case study in 3d reconstruction In Proceedings of Conference on Graphics, Patterns and Images (SIBGRAPI 11), Sep 2011 [14] Donald W Marquardt An algorithm for Least-Squares estimation of nonlinear parameters SIAM Journal on Applied Mathematics, 11(2): , 1963 [15] Marc Pollefeys Self-calibration and metric 3D reconstruction from uncalibrated image sequences PhD thesis, ESAT-PSI, 1999 [16] Long Quan and Zhongdan Lan Linear n-point camera pose determination IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell, 21: , August 1999 [17] Repositório The stanford 3d scanning repository preprint (2003), available at [18] P J Rousseeuw and A M Leroy Robust regression and outlier detection John Wiley & Sons, Inc, New York, NY, USA, 1987