Problema de Convecção/Difusão Unidimensional

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1 Problema de onvecção/difusão Unidimensional P. J. Oliveira Departamento de Engenharia Electromecânica, Universidade da Beira Interior, 6200 ovilhã (Novembro 2002) Introdução Neste pequeno relatório é apresentado um programa em FORTRAN que permite resolver problemas unidimensionais de convecção e difusão, contendo possivelmente um termo fonte. Esse termo fonte pode ser definido como um conjunto de variações lineares, em vários troços ao longo da direcção da coordenada %. O intuito é ilustrar o desempenho numérico de dois dos esquemas de discretização mais simples que se usam para aproximar os termos convectivos da equação de transporte: o esquema de diferenças centrais (DS) e o esquema de diferenças de montante (ou " upwind", UDS). Formulação do problema A equação diferencial de partida é: d d < y : ] 7] 8% d% % onde representa uma variável genérica (poderia ser a temperatura, por exemplo). O termo da esquerda, multiplicado pela velocidade < é o termo convectivo, o 1º termo da direita, multiplicado pelo coeficiente difusivo :, é o termo difusivo, e o último é o termo fonte. O comprimento do domínio de cálculo segundo a coordenada % (designado por 3 ) foi adimensionalizado, de forma que % varia de 0 a (ou seja, 3y). O número de Péclet que caracteriza a razão entre efeitos convectivos e difusivos é definido como Pe y<3«:, sendo o único parâmetro adimensional independente do problema (nota: o coeficiente de difusão foi dividido pela massa volúmica, isto é : y!«). O comprimento total, de a, está dividido em 3 troços (podiam-se ter usado mais divisões) e os valores de 7 e 8 usados na definição do termo fonte são dados para cada troço. No problema considerado neste relatório não foi incluído o termo fonte, isto é, todos os 7 e 8 serão nulos. As condições fronteira são do tipo de Dirichlet (valores de impostos): -1-

2 para %y¼ y; para %y¼ y, implicando que a própria variável incógnita Este problema tem uma solução analítica fácil de obter: % y e e Pe %^ Pe ^ se encontra também normalizada. que vai permitir verificar os resultados numéricos e calcular a ordem de convergência das aproximações numéricas empregues na discretização. Discretização e Método Numérico A discretização do problema é baseada no método dos volumes finitos. A equação diferencial é integrada num volume de controlo centrado num ponto 7, com vizinhos a "este", (segundo direcção ]%) e "oeste" > (segundo direcção ^% ). A represetanção da primeira derivada no termo difusivo faz-se recorrendo a um perfil de variação linear. Para o termo convectivo, implementam-se 3 esquemas de diferenças: centrais, "upwind" e híbridas. A malha é do tipo A, ou seja são definidos inicialmente os nós da malha (equidistantes), e de seguida são colocadas as faces dos volumes de controlo, a meia distância entre os nós. A malha é uniforme, sendo 5; o número total de nós (incluindo os dois sobre as fronteiras); deste modo o número de subdivisões do domínio de cálculo será 5y5;^e o espaçamento da malha é calculado como % y «5. Para uma malha tipo A o número de volumes de controlo interiores é 5* y 5; ^. A equação discretizada terá a forma padrão usual: y ] ] : 7 7,, > > onde o coeficiente central é dado pela soma dos coeficientes vizinhos (não há contribuição da fonte): : 7 y ] 7, > e o termo fonte é: : y 7] 8 % 7 % 7 sendo calculado para cada troço., -2-

3 A definição dos coeficientes depende do esquema de diferenças. Assim, para diferenças centrais (DS) fica: y + ^, y + ] > $ - -$ onde o "fluxo" difusivo (melhor dito, conductância difusiva) tem a definição + :«% (, e o "fluxo" ou caudal mássico é - y <( (aqui y, e a área das faces é unitária, (y). Para diferenças "upwind" (UDS) os coeficientes são: y + ^-, ^ ] > y + $ ]-$ onde qualquer fluxo se pode separar numa parte positiva e noutra negativa como ] ^ ^ ] - y - ]-, onde - Min -, e - Max -,. Por fim, as diferenças híbridas (HDS) aparecem como uma mistura de diferenças centrais (para OPe O ) e "upwind" sem difusão física (para OPe O{). O coeficiente "Este", por exemplo, fica: -, y + ^ se ^ Pe ^ y ^- se Pe { ou Pe z ^ A definição do número de Péclet local calculado na face é Pe y - «+. O programa em linguagem FORTRAN é dado em anexo, sendo de fácil compreensão. É basicamente constituido por três partes. Numa parte inicial são definidas algumas das variáveis. O input do programa é constituído pelas seguintes variáveis, que são lidas directamente do écran: 0:*/,4,: tipo de esquema de diferenças a ser usado (1- diferenças centrais; 2- diferenças upwind; 3- diferenças híbridas) 5: número total de nós da malha (poderá ser 11, 21, 41, 81, etc) (corresponde ao 5; ) Pe: número de Péclet global. Na segunda parte são calculados os coeficientes da equação discretizada e introduzidas as condições fronteira. Finalmente, na terceira parte é chamada a subrotina TDMA, -3-

4 que permite resolver directamente o sistema de equações, a solução é escrita para um ficheiro de dados, e o erro é escrito no écran. Este erro é calculado como: 5; 1 y + ^ % + 5; i=1 onde é a solução numérica no nó, e % a solução teórica em %. Resultados As figuras seguintes apresentam alguns resultados para o caso Pe y (convecção preponderante relativamente à difusão), obtidos com os esquemas de diferenças centrais (DS) e "upwind" (UDS), utilizando várias malhas sucessivamente refinadas. Malha 5 % Pe Tabela 1. As malhas computacionais utilizadas omeçou-se com uma malha com 5y10 subdivisões ( 5;y), portanto com espaçamento %y, (uniforme), a que corresponde um número de Péclet local de Pe y< %«: y Pe «5*y. As malhas seguintes foram obtidas por duplicação do número de subdivisões, de forma a se reduzir progressivamente o erro de discretização resultante. Utilizou-se 5 y,,, e. As características da várias malhas são dadas na Tabela 1. Na Figura 1 são apresentados os resultados obtidos com o esquema de diferenças centrais (DS) para a representação dos fluxos convectivos. Neste esquema o fluxo convectivo numa face "este" (por exemplo) é obtido de 1 y -, onde o caudal mássico é dado por - y " ( (a área da face é ( y em aplicações unidimensionais) e o valor de na face é aproximado por interpolação linear y ] «. omo foi visto na apresentação da disciplina, os coeficientes da 7, equação tornam-se negativos quando o número de Péclet local é superior a, em valor absoluto. Isso vai acontecer para as primeiras duas malhas, e é especialmente notório para a malha com 5yque apresenta um resultado numérico altamente oscilatório. No entanto, quando a malha é refinada as oscilações desaparecem (os coeficientes das equações discretizadas ficam positivos, uma vez que Pe z) e as previsões com o esquema DS convergem rapidamente para a solução teórica. Na Figura 1 é difícil distinguir a variação de obtida na malha com 5ye a curva analítica. A malha 2-4-

5 ainda apresenta uma oscilação no penúltimo nó, o que se compreende pois o número de Péclet local para esta malha é ainda superior a 2. Figura 1. Resultados com o esquema de diferenças centrais e comparação com a variação teórica. Figura 2. Resultados com o esquema de diferenças "upwind" e comparação com a variação teórica. Quanto ao esquema "upwind", cujas previsões obtidas nas mesmas três malhas (com 5 y, e ) são apresentadas na Fig. 2, não sofre do problema de oscilações das diferenças centrais, mas mostra uma convergência para a solução analítica muito lenta. Seria necessário uma malha com um número muito elevado de nós para se conseguir a mesma precisão do esquema DS na malha 5y. A Figura 2 torna desta forma -5-

6 clara a questão da "difusão numérica" de que o esquema "upwind" padece. omo nota positiva relativamente ao esquema "upwind" aponta-se o facto de que a solução é sempre "fisicamente realista", mesmo nas malhas mais grosseiras. A Figura 3 mostra uma comparação dos resultados numéricos obtidos com os dois esquemas, diferenças centrais e "upwind", numa mesma malha com 80 subdivisões. Não é possível distinguir na figura a solução numérica correspondente ao esquema DS da solução teórica, enquanto a solução numérica do esquema UDS ainda apresenta uma discrepânica visível, mesmo para um número de nós tão elevado. As diferenças ocorrem sobretudo na zona de %{,, onde o gradient de é muito elevado. Figura 3. omparação entre os resultados numéricos obtidos com diferenças centrais e "upwind" na malha com 5 y e a curva teórica. Finalmente, as Figuras 4 e 5 mostram a variação do erro (que neste caso pode ser calculado exactamente) com o número de nós da malha e com o seu espaçamento %. Da Figura 4 é notório como o erro do esquema de diferenças centrais decai muito mais rapidamente do que o erro do esquema "upwind", sendo também bastante menor (cerca de uma ordem de grandeza), excepto nas malhas mais grosseiras. Na primeira malha, com 5y, o erro do DS é superior ao do UDS porque nessa malha ocorrem as oscilações já observadas na Figura 1; a existência de oscilações indica que a resolução da malha não é adequada (a malha é demasiado grosseira) e por isso não deve ser sequer considerada. É possível ainda, da Figura 4, verificar que uma solução obtida com o esquema "upwind" só apresenta erro menor que a solução com o esquema de diferenças centrais na malha 5yquando o número de nós é superior a. A ordem de convergência (com refinamento de malha) dos métodos de discretização pode ser obtida através dum gráfico em escala logarítmica, mostrando a evolução do -6-

7 erro com o espaçamento da malha (a dimensão da discretização). Isto é feito na Figura 5; a inclinação das curvas na zona onde estas apresentam um decaimento "linear" (linear na representação logarítmica utilizada), designada como zona assimptótica, dá essa ordem de convergência. Da Figura 5 é notório que o erro do esquema DS decai com inclinação 2 a partir da 2ª malha ( 5y), enquanto para o UDS a inclinação só parece estabilizar a partir da 4ª malha ( 5y), sendo aproximadamente igual a 1. Assim fica mostrado a partir dum exemplo prático que o esquema de diferenças centrais é de segunda ordem e que o esquema "upwind" é de primeira ordem: as ordens de convergência "observadas" correspondem às "teóricas" (o que nem sempre acontece). Figura 4. Variação do erro global com o número de subdivisões da malha. Figura 5. onvergência dos resultados numéricos com o refinamento de malha: diminuição assimptótica do erro global para os dois esquemas (diferenças centrais e " upwind") com a diminuição do espaçamento da malha. -7-

8 ANEXO - LISTAGEM DO PROGRAMA PROGRAM SOURE RESOLVER EQ. ONVEÇÃO/DIFUSÃO, OM TERMO FONTE LINEAR EM X U*d(PHI)/dx=D*d2(PHI)/dx2 + (a+b*x) PARAMETER(NMAX=10000) DIMENSION S(NMAX),PHI(NMAX),AE(NMAX),AW(NMAX) OPEN(10,FILE='SOURE.DAT') *** 1ª PARTE **** DEFINIR VARIÁVEIS U=1. PRINT *,' DAR ESQUEMA: 1-DS; 2-UDS; 3-HYB ' READ(*,*) ISHEME PRINT *,' DAR: N (EX: 11, 21, 41,...) ' READ(*,*) N NOTA: MALHA TIPO A (N: NÚMERO TOTAL DE PONTOS) DX=1./FLOAT(N-1) NM=N-1 NM2=N-2 LER PELET GLOBAL PRINT *,' DAR: PE' READ(*,*) PE D=U/PE PEDX=U*DX/D PRINT *,' NUMERO PELET DA MALHA=',PEDX PHI(1)=0.0 PHI(N)=1.0 DEFINIR TERMO FONTE A1=0. B1=0. A2=0. B2=0.0 X1=0.3 X2=0.4 c A1=10. c B1=-50. c A2=-20. c B2=50. *** 2ª PARTE *** PREPARAR OEFIIENTES -8-

9 X=0. DO I=2,NM X=X+DX IF(X.LE.X1) THEN A=A1 B=B1 ELSE IF(X.LE.X2) THEN A=A2 B=B2 ELSE A=0.0 B=0.0 END IF S(I)=(A+B*X)*DX DS IF(ISHEME.EQ.1) THEN AE(I)=D/DX-U/2. AW(I)=D/DX+U/2. UDS ELSE IF(ISHEME.EQ.2 ) THEN AE(I)=D/DX AW(I)=D/DX+U HYBRID ELSE IF(ISHEME.EQ.3 ) THEN IF(PEDX.LE.2.) THEN AE(I)=D/DX-U/2. AW(I)=D/DX+U/2. ELSE AE(I)=0.0 AW(I)=U END IF END IF AP=AE(I)+AW(I) ONDIÇÕES FRONTEIRA IF(I.EQ.2) THEN S(I)=S(I)+AW(I)*PHI(I-1) AW(I)=0.0 END IF IF(I.EQ.NM) THEN S(I)=S(I)+AE(I)*PHI(I+1) AE(I)=0.0 END IF PREPARAR OEFIIENTES PARA O TDMA (divididos por AP) -9-

10 S(I)=S(I)/AP AE(I)=AE(I)/AP AW(I)=AW(I)/AP END DO *** 3ª PARTE **** RESOLVER SISTEMA E ESREVER RESULTADOS RESOLVER SISTEMA TRIDIAGONAL DE EQUAÇÕES LINEARES ALL TDMA(PHI,AE,AW,S,2,NM,NM2) ESREVER SOLUÇÃO NUMÉRIA E TEÓRIA PARA FIHEIRO DADOS X=0. Y=0. ER=0.0 DO I=1,N Nota: solução teórica sem fontes Y=(1.-EXP(PE*X))/(1.-EXP(PE)) ER=ER+ABS(PHI(I)-Y) WRITE(10,*) X,PHI(I),Y X=X+DX END DO calcular e escrever para o écran o erro global (norma L1) ER=ER/FLOAT(N) PRINT *,' ERRO =',ER STOP END ******************************************************************* TO SOLVE TRI-DIAGONAL SYSTEMS: PHI(i) = AS(i).PHI(i-1) + AN(i).PHI(i+1) + SU(i) SUBROUTINE TDMA(PHI,AN,AS,SU,I1,IE,N) PARAMETER(NMAX=10000) DIMENSION A(0:NMAX),(0:NMAX) DIMENSION PHI(N), AN(N),AS(N),SU(N) IA=I1-1 A(IA)=0.0 (IA)=0.0 DO 1 I=I1,IE DEN=1./(1.-AS(I)*A(I-1)) A(I)=AN(I)*DEN (I)=(AS(I)*(I-1)+SU(I))*DEN 1 ONTINUE DO 2 II=I1,IE I=IE-II+I1-10-

11 PHI(I)=PHI(I+1)*A(I)+(I) 2 ONTINUE RETURN END -11-