Referências Bibliográficas

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5 Apêndice Funcionamento Qualitativo PFC2D A.1. Lei de força-deslocamento A força de contato partícula-partícula e partícula-parede ocorre só num ponto, que usa a abordagem de discos macios. Para o contato partícula-partícula, uma força adicional e momento proveniente da deformação do material cimentante representada por uma ligação paralela (parallel bond) também pode atuar em cada partícula (Fig. A-1). Esta secção só descreve o cálculo da força de contato proveniente do contato num ponto; o cálculo de ligação paralela (parallelbond) é referido em A.3. Modelos de cimentação. A lei de força-deslocamento opera em um contato e pode ser descrita em termos do ponto de contato,, sobre um plano de contato e definida por um vetor unitário normal,. Para o contato partícula-partícula (Fig. 3-1a), o vetor normal é dirigido ao longo da linha entre os centros das partículas, para o contato partícula-parede (Fig. 3-1b), o vetor normal é dirigido ao longo da linha que define a distância mais curta entre o centro da partícula e a parede. A sobreposição indica o deslocamento relativo de contato na direção normal é dada por: = +,, Em que é o raio da partícula φ. (í í) (í ) (A.1) A localização do ponto de contato é dada por = + 1 2, (í í) + 1 2, (í ) (A.2)

6 82 O vetor da força de contato pode ser decomposto em duas direções, um vetor normal e um componente cisalhante com relação ao plano de contato como: = + (A.3) Em que e denotam o componente do vetor normal e cisalhante, respetivamente. Figura A-1. Comportamento da forca-deslocamento do sistema de grão - cimento (modificado de Itasca,2008). O vetor normal da força de contato é calculado por: = (A.4) Em que é a rigidez normal [força / deslocamento] no contato. O movimento relativo do contato, ou a velocidade de contato Vi (que é definido como a velocidade da partícula B em relação à partícula A, no ponto de contato para o contato partícula-partícula, e é definida como a velocidade da parede em relação à partícula no ponto de contato para o contato partícula-parede) é dada por: V =x x

7 83 =x + e ω x x x + e ω x x (A.5) A velocidade de contato é resolvida em componentes normais e cisalhantes com relação ao plano de contato. Estes componentes são designados por e para as componentes normais e de cisalhamento respectivamente, o componente cisalhante da velocidade de contato pode ser escrita como: = = (A.6) O componente cisalhante do incremento do deslocamento cisalhante que ocorre num intervalo do tempo, t (timestep), é calculado como: Δ = Δ (A.7) e é usada para calcular o incrememto de força elástica cisalhante Δ = (A.8) em que é denotado como a rigidez ao cisalhamento no contato (forca/deslocamento). A nova força de contato cisalhante é encontrada integrando o antigo vetor de força cisalhante existente no início do instante temporal (timestep) com o componente cisalhante do incremento da força cisalhante como: = + Δ. (A.9) A nova força cisalhante de contato não deve ser maior do que a resistência de contato de cisalhante que é designado como. e µ é o coeficiente de fricção no contato. As forças normal e cisalhante do contato são determinadas pela fórmula (A.4) e (A.8), e adicionados à força e momento resultante existente das duas partículas em contato. A.2. Lei do movimento O movimento de uma partícula rígida é determinado pela força resultante e os vetores momento agindo sobre ele, e pode ser expressa em termos do movimento

8 84 de translação e o movimento de rotação da partícula. O movimento de translação do centro de massa é descrito pela sua posição,, velocidade e aceleração,, o movimento de rotação das partículas é apresentado em termos da sua velocidade angular, e aceleração angular,. A equação para o movimento de translação é calculada sob a forma do vetor: =( ) ( çã) (A.10) Em que Fi é a força resultante, m é a massa total da partícula e indica o vetor de aceleração da força do corpo (por exemplo, a gravidade). Para uma partícula esférica de raio R, a equação para o movimento de rotação pode ser escrito como: = = 2 5 ( çã) (A.11) As equações de movimento de translação (A.9) e movimento de rotação (A.10) são integradas usando um procedimento de diferenças finitas centradas envolvendo um intervalo de tempo (timestep). A.3. Modelos de cimentação Os modelos de contato no PFC2D permitem que as partículas sejam ligadas umas às outras nos pontos de contato, criando assim uma espécie de cimentação. Dois modelos de contato estão disponíveis no programa, os quais podem ser vistos como uma cola nos pontos de contato de uma seção transversal circular. O modelo de conexões por contato (contact bonds) somente transmite forças entre partículas, enquanto que no modelo de conexões paralelas (parallel bonds) pode ser transmitido também momento. A força total e o momento associado com a ligação paralela são denotados por e, com a convenção de que esta força e momento representam a ação de ligação sobre a esfera B da Figura A-2. Cada um destes vetores pode ser formado pelos componentes normal e cisalhante com relação ao plano de contato como: = +

9 85 = + (A.12) Em que, e, são os componentes dos vetores normal e de cisalhamento, respectivamente. e são inicializados a 0 quando a ligação é formada. Cada subsequente deslocamento relativo e incremento de rotação no contato resulta em um incremento da força elástica e momento que é adicionado com os valores atuais. O incremento da forca elástica ocorrendo ao longo de um instante temporal de t é calculado por: Δ = Δ Δ = Δ (A.13) com Δ = Δ e os incrementos de momento por: Δ = Δ Δ = Δ (A.14) Com Δ = Δ Sendo a velocidade do contato dada pela equação (A.5), é a área do disco de ligação, o momento polar de inércia do disco de seção transversal, e I é o momento de inércia do disco de secção transversal em referencia ao eixo que passa pelo ponto de contato e na direção de Δ = = 1 2 (A.15) A resistência máxima de tensão e máxima resistência cisalhante agindo sobre a ligação pode ser calculada como: = + = + (A.16)

10 86 Em que,, são definidos pela equação (A.15). Se a resistência máxima de tensão do cimento (ligação paralela) excede a resistência normal ( ), ou a resistência máxima de cisalhamento da ligação paralela excede a resistência de cisalhamento ( ), então a ligação paralela rompe. Figura A-2. Ligação paralela (Parallel bond) apresentado como um cilindro de material cimentável (Modificado de Itasca,2008).