Julia Giehl Zart. Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Orientador Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Coorientadora

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1 Análise Comparativa de Modelos Analíticos sob o mesmo Cenário de Simulação para Perfis de Descargas Variáveis considerando as Funções Desempenhadas por um Smartphone Julia Giehl Zart Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul Unijuí, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática. Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Orientador Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Coorientadora Ijuí, RS, Brasil c Julia Giehl Zart, Março, 2017

2 Análise Comparativa de Modelos Analíticos sob o mesmo Cenário de Simulação para Perfis de Descargas Variáveis considerando as Funções Desempenhadas por um Smartphone Julia Giehl Zart Dissertação de Mestrado apresentada em Março, 2017 Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Orientador Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Coorientadora Fabricia Carneiro Roos Frantz, Dsc. Componente da Banca Carlos Amaral Hölbig, Dsc. Componente da Banca Ijuí, RS, Brasil, Março, 2017 ii

3 Apri que os sonhos transformam a vida numa grande aventura. Eles não determinam o lugar aonde você vai chegar, mas produzem força necessária para arrancá-lo do lugar em que você está. (Augusto Cury) iii

4 Agradecimentos Aos meus pais, Ronald e Vania, por embarcarem nessa caminhada comigo, sempre acreditando na minha capacidade e me concedo todo o apoio necessário. Ao meu namorado, Gustavo, pela compreensão nos momentos de angústia, cansaço e ausência. Pelo incansável incentivo e amor. Aos meus professores orientadores, Paulo e Airam, pelos ensinamentos, orientações e dedicação à profissão. Aos colegas do GAIC, por tornarem a pesquisa menos solitária. Em especial, ao amigo que trago desde a faculdade, Douglas, pelas diversas dúvidas saciadas e auxílio durante esta caminhada. Que essa parceria nunca acabe. À Unijuí e ao GAIC, pela estrutura física oferecida. À CAPES pelo aporte financeiro recebido, o qual possibilitou a realização desta pesquisa. iv

5 Resumo A procura por dispositivos móveis tem aumentado significativamente nos últimos anos, devido à praticidade que eles oferecem ao cotidiano dos usuários, tais como, mobilidade, comodidade e fácil acesso à comunicação e à rede sem fio. Contudo, a utilização destes dispositivos depe do tempo de vida das baterias que os alimentam, so este tempo finito, necessitando a cada período de uso uma recarga. Desta forma, conhecer o tempo pelo qual a bateria consegue fornecer energia ao dispositivo sem a necessidade de conexão a uma fonte de energia externa tem sido de fundamental importância no desenvolvimento de dispositivos móveis. Uma maneira de realizar esta predição é através do uso de modelos matemáticos que descrevem o processo de descarga das baterias a partir de suas características físicas reais, ou de um conjunto de dados obtidos em ensaios experimentais. Neste contexto, será apresentado um estudo sobre os modelos analíticos Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estida, cinético de Manwell-McGowan e, o modelo de difusão de Rakhmatov e Vrudhula utilizados para predizer o tempo de vida de bateria que alimentam dispositivos móveis. A classe de modelos analíticos foi escolhida, pois utiliza um conjunto reduzido de equações para calcular o tempo de vida da bateria, possui menos parâmetros para serem estimados quando comparado aos demais modelos matemáticos, e apresenta simulação computacionalmente flexível e eficiente. Estes modelos são analisados e validados a partir de ensaios reais, objetivando verificar através de uma análise comparativa qual o modelo analítico é mais acurado para a predição do tempo de vida de baterias de Lítio Íon Polímero (LiPo), considerando o mesmo cenário de simulação, e utilizando perfis de descarga constantes e variáveis, baseadas em um conjunto de operações rotineiras realizadas em um telefone celular do tipo smartphone. Os resultados simulados são comparados com os resultados experimentais obtidos a partir de uma plataforma de testes, verificando que o modelo analítico de difusão de Rakhmatov e Vrudhula é o mais acurado no que se refere à predição do tempo de vida de baterias do tipo LiPo. Palavras-chave: baterias, modelos analíticos, modelagem matemática, tempo de vida. v

6 Abstract The search for mobile devices has increased significantly in the last years, due to the practice they offer to the daily of the users, such as mobility, convenience and easy access to the communication and wireless network. However, the utilization of these devices deps on the lifetime of the batteries supplies it. Since this time is finite, there is necessary a periodical recharge. Therefore, to know the time by which a battery can provide energy to the device without the necessity of connection to an external power source has been of fundamental importance in the development of mobile devices. A way to accomplish this prediction is through the use of mathematical models that describe the process of batteries discharge from their real physical characteristic or a data set obtained from experiments. In this context, the present work introduces a study about analytics models Linear Model, Peukert s law, extension of Peukert s law, Kinetic Battery Model of Manwell and McGowan and, Diffusion Model of Rakhmatov and Vrudhula used to predict the lifetime of a mobile device s battery. This work chooses a class of analytical models with a reduced set of equations to estimate the batteries lifetime, has fewer parameters to be estimated when compared to other mathematical models and introduces a computationally flexible and efficient simulation. These models are analyzed and validated by real tests, objectifying to verify through comparative analysis which analytical model is more accurate in a matter of life prediction of Lithium Ion Polymer s batteries. The analysis considers the same simulation scenario and utilizes constant and variable discharge profiles based on a set of routine operations accomplish on a smartphone s cell phone. To validate the method this work compares the simulated results with the experimental results obtained from a test s platform, verifying that the analytical model of Rakhmatov and Vrudhula diffusion is the most accurate to predict the lifetime of LiPo s batteries. Keywords: battery, analytical models, mathematical modeling, lifetime. vi

7 Lista de Abreviaturas A Ampère Ah Ampère-hora AR Modelo AutoRregressivo ARX Modelo AutoRregressivo com entradas externas ARMAX Modelo AutoRregressivo com MédiA móvel e entradas externas BJ Box Jenkins DCEEng Departamento de Ciências Exatas e Engenharias EDO Equação Diferencial Ordinária EDP s Equações Diferenciais Parciais ES Erro de Saída G ganho GAIC Grupo de Automação Industrial e Controle h hora KiBaM Modelo Cinético de Bateria (Kinetic Battery Model) Li Lítio vii

8 Li-Ion Lítio Íon LiPo Lítio Íon Polímero LSI Laboratório de Sensores Inteligentes ma miliampère mah miliampère-hora mamin miliampère-minuto min minutos MQ Mínimos Quadrados Ni-Cd Níquel-Cádmio Ni-MH Níquel-Metal-Hidreto OLS Ordinary Least Squares Pb-Ácido Chumbo-Ácido PI Proporcional Integral RV Rakhmatov e Vrudhula Unijuí Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul V Volt Wh Watt-hora viii

9 Lista de Símbolos α parâmetro que representa a capacidade da bateria no Modelo RV β parâmetro que representa a não linearidade da bateria no Modelo RV ω comprimento do eletrólito da bateria A área da superfície do eletrodo a parâmetro que representa a capacidade da bateria e deverá ser estimado para o cálculo da Lei de Peukert b parâmetro que deverá ser estimado, para o cálculo da Lei de Peukert e Lei de Peukert Estida, relacionado ao tipo de bateria C capacidade da bateria C concentração inicial de espécies eletroativas para o Modelo RV C(x, t) função concentração de espécies eletroativas do Modelo RV C i parâmetro que representa a capacidade inicial da bateria e deverá ser estimado para o cálculo do modelo Linear C 1 parâmetro que representa o coeficiente de ajuste não linear e deverá ser estimado para o cálculo da Lei de Peukert Estida C 2 parâmetro que representa a capacidade da bateria e deverá ser estimado para o cálculo da Lei de Peukert Estida ix

10 c fração da capacidade total disponível da bateria do Modelo KiBaM D constante de difusão F constante de Faraday h 1 altura da fonte de carga disponível do Modelo KiBaM h 2 altura da fonte de carga limitada do Modelo KiBaM I corrente constante de descarga I est corrente de estimação I val corrente de validação I k corrente, onde k = 0,..., n e k N i(t) corrente de descarga J(x, t) fluxo de espécies eletroativas k razão de fluxo de carga entre as fontes de carga do Modelo KiBaM k constante relacionada com a taxa de vazão de fluxo de carga entre as fontes de carga do Modelo KiBaM L tempo de vida da bateria L est tempo de vida de vida experimental médio utilizado para estimação L sim tempo de vida simulado pelo modelo L val tempo de vida experimental médio utilizado para validação L em tempo de vida experimental médio x

11 t d tempo de duração da corrente aplicada t k tempo, onde k = 0,..., n e k N U(t) - função degrau v número de elétrons envolvidos na reação eletroquímica y 0 quantidade total de carga do Modelo KiBaM y 1 quantidade de carga da fonte disponível do Modelo KiBaM y 1 (0) quantidade de carga disponível em t = 0 do Modelo KiBaM y 2 quantidade de carga da fonte limitada do Modelo KiBaM y 2 (0) quantidade de carga limitada em t = 0 do Modelo KiBaM xi

12 Lista de Tabelas 4.1 Dados utilizados para a estimação dos parâmetros dos modelos Dados utilizados para a validação dos modelos Correntes de descarga de acordo com as tarefas executadas Perfil I - P Perfil II - P Perfil III - P Perfil IV - P Perfil V - P Perfil VI - P Perfil VII - P Perfil VIII - P Dados utilizados para validação dos modelos analíticos considerando descargas variáveis Validação do modelo Linear para correntes de descargas constantes Validação do modelo Linear para correntes de descargas variáveis Validação da Lei de Peukert para correntes de descargas constantes Validação da Lei de Peukert para correntes de descargas variáveis Resultado das simulações do modelo Lei de Peukert Estida para descargas constantes Validação da Lei de Peukert Estida para correntes de descargas variáveis Validação do modelo KiBaM para correntes de descargas constantes Validação do modelo KiBaM para correntes de descargas variáveis Validação do modelo RV para correntes de descargas constantes Validação do modelo RV para correntes de descargas variáveis Análise comparativa entre os modelos para descargas constantes Análise comparativa entre os modelos para descargas variáveis

13 Lista de Figuras 2.1 Esquema de uma célula eletroquímica [23] Diferentes estados de operação de uma bateria [47] Densidade de energia e ano de implantação comercial das tecnologias de baterias, adaptado de [3] Esquema básico funcional para todos os tipos de modelos elétricos [23] Esquema do modelo híbrido proposto por Kim [25] Degraus representativos de perfil de descarga com correntes variáveis [42] Representação do modelo KiBaM [24] Plataforma de testes Interface de gerenciamento Carregamento externo Corrente (ma) vs. Tempo de Vida (min) Corrente (ma) vs. Capacidade (mamin) Tempo de Vida (min) vs. Capacidade (mamin) Degraus demonstrativos do perfil P Degraus demonstrativos do perfil P Degraus demonstrativos do perfil P Degraus demonstrativos do perfil P Degraus demonstrativos do perfil P Degraus demonstrativos do perfil P Degraus demonstrativos do perfil P Degraus demonstrativos do perfil P Validação do modelo Linear para correntes de descargas constantes Validação do modelo Linear para correntes de descargas variáveis Validação da Lei de Peukert para correntes de descargas constantes Validação da modelo Lei de Peukert para correntes de descargas variáveis Simulação do modelo Lei de Peukert Estido para descargas constantes. 70 1

14 Lista de Figuras Validação da Lei de Peukert Estida para correntes de descargas variáveis Validação do modelo KiBaM para correntes de descargas constantes Validação do modelo KiBaM para correntes de descargas variáveis Validação do modelo RV para correntes de descargas constantes Validação do modelo RV para correntes de descargas variáveis Análise comparativa para correntes de descargas constantes Análise comparativa para correntes de descargas variáveis

15 Sumário 1 Apresentação da Dissertação Introdução Motivação Objetivos da Dissertação Objetivo Geral Objetivos Específicos Contribuições Estrutura do Documento Revisão Bibliográfica Introdução Baterias Características das Baterias Nível de Cutoff Tempo de Vida Capacidade da Bateria Efeitos Não Lineares Efeito de Recuperação Efeito da Taxa de Capacidade Tipos de Baterias Baterias de Níquel-Cádmio Baterias de Chumbo-Ácido Baterias de Níquel Metal-Hidreto Baterias de Lítio-Íon Baterias Alcalinas Recarregáveis Baterias de Lítio Íon Polímero Modelos Matemáticos de Baterias Modelos Eletroquímicos Modelos Elétricos

16 Sumário Modelos Estocásticos Modelos Analíticos Modelos via Identificação de Sistemas Modelos Híbridos Resumo do Capítulo Modelagem Matemática Introdução Modelos Matemáticos Modelo Linear Lei de Peukert Lei de Peukert Estida Modelo KiBaM Modelo de Rakhmatov e Vrudhula Resumo do Capítulo Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos Introdução Descrição da Plataforma de Testes Obtenção dos Dados na Plataforma de Testes Metodologia para a Coleta de Dados Apresentação dos Dados Metodologia para a Estimação dos Parâmetros dos Modelos Método dos Mínimos Quadrados Estimação dos Parâmetros dos Modelos Matemáticos Resumo do Capítulo Resultados das Simulações e Análises Introdução Metodologia Adotada para a Validação dos Modelos Validação do Modelo Linear Validação para Correntes de Descargas Constantes Validação para Correntes de Descargas Variáveis Validação da Lei de Peukert Validação para Corrente de Descargas Constantes Validação para Correntes de Descargas Variáveis Validação da Lei de Peukert Estida Validação para Correntes de Descargas Constantes

17 Sumário Validação para Correntes de Descargas Variáveis Validação do Modelo KiBaM Validação para Correntes de Descargas Constantes Validação para Correntes de Descargas Variáveis Validação do Modelo RV Validação para Correntes de Descargas Constantes Validação para Correntes de Descargas Variáveis Análise Comparativa entre os Modelos Análise Comparativa para Correntes de Descargas Constantes Análise Comparativa para Correntes de Descargas Variáveis Resumo do Capítulo Conclusões e Trabalhos Futuros 81 Referências Bibliográficas 84 A M-file: Modelo Linear 89 B M-file: Lei de Peukert 91 C M-file: Lei de Peukert Estida 94 D M-file: Modelo KiBaM 97 E M-file: Modelo RV 100 F M-file: Validação dos Modelos 103 G Publicações Relacionadas a Dissertação 110 G.1 Artigos Aceitos em Eventos

18 Capítulo 1 Apresentação da Dissertação 1.1 Introdução A utilização de dispositivos móveis, tais como, celulares, smartphones, notebooks e tablets, vem cresco a cada ano. Este crescimento, em grande parte, é devido à mobilidade e praticidade que os dispositivos móveis oferecem ao cotidiano do usuário, visto que são alimentados por uma bateria recarregável, de forma que não necessitam estar permanentemente conectados a uma fonte de energia fixa. Entretanto, destaca-se que a bateria possui capacidade finita, necessitando ser recarregada a cada intervalo de tempo, assim, o tempo de operacionalidade de um dispositivo móvel depe do tempo de vida da bateria que o alimenta. Dando ênfase à telefonia móvel, há alguns anos, os celulares apenas permitiam a troca de mensagens curtas de texto e a realização de ligações. Rapidamente, viu-se a possibilidade desses dispositivos realizarem inúmeras funcionalidades. Hoje, além das operações básicas, um smartphone permite ao usuário baixar aplicativos, jogar diversos jogos, tirar fotos, escutar música, e estar constantemente conectado à internet através de uma rede de dados móveis, dentre outras opções. Assim, com o aumento das funcionalidades disponíveis, e com as telas coloridas que os mesmos possuem, há um significativo aumento do consumo de energia, o que resulta em um menor tempo de vida das baterias. Desta maneira, para desenvolver baterias que suportem maior demanda de energia, e consequentemente dispositivos móveis que agradem os usuários, com maior capacidade energética e que tolere períodos mais longos sem a necessidade de carregamento externo, é imprescindível realizar estudos acerca das baterias. Desta forma, no intuito de aperfeiçoar as baterias, tornando-as cada vez menores, mais leves, com melhor desempenho e durabilidade, é de vital importância possuir um método capaz de predizer tanto o tempo de vida da bateria, quanto o comportamento dinâmico do processo de descarga. Uma maneira de realizar essa predição é através de experimentos 6

19 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 7 físicos, porém, depo das características da aplicação, esta é uma opção economicamente inviável, em razão do alto custo de implementação e gerenciamento. Outra forma de realizar essa predição é através de modelos matemáticos que simulam o processo de descarga das baterias a partir de suas características físicas reais, ou de um conjunto de dados obtidos de ensaios experimentais, auxiliando no projeto de desenvolvimento de novas baterias. Diversos modelos matemáticos de baterias foram desenvolvidos e aprimorados nos últimos anos, dentre eles citam-se, os modelos eletroquímicos [11, 23], elétricos [20, 23], estocásticos [6, 7], analíticos [23, 42], via identificação de sistemas [1, 30, 45] e, híbridos [17, 25, 27], cada um com suas características e níveis de complexidade. Inserido nesse contexto, o Grupo de Automação Industrial e Controle (GAIC), da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (Unijuí), com o intuito de verificar qual é o modelo matemático mais apropriado para simular e predizer o comportamento dinâmico de descarga de baterias, realiza estudos, implementações e proposições de novos modelos para a predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis, os quais serão descritos no decorrer deste trabalho. A partir de dados experimentais obtidos do processo de descarga de baterias em uma plataforma de testes, desenvolvida pelo GAIC, Schneider [48] realizou uma análise comparativa dos três principais modelos analíticos, o modelo Linear, a Lei de Peukert e o modelo de difusão de Rakhmatov e Vrudhula (i.e., modelo RV), este último considerado de alta acurácia pela literatura técnica, so que os resultados das simulações computacionais dos modelos foram comparados com os dados experimentais adquiridos da plataforma de testes. Em outro estudo, Oliveira [39] apresentou uma comparação de duas metodologias baseadas no método dos Mínimos Quadrados (MQ) utilizado para a estimação dos parâmetros, validando os três modelos para correntes de descargas constantes e variáveis. Na sequência, uma metodologia para a estimação dos parâmetros do modelo RV, baseada no método da procura em rede melhorado foi proposta por Silva [49]. Mais recente, Freitas [18] realizou o estudo, simulação e análise dos modelos Lei de Peukert, cinético de Manwell e McGowan (KiBaM) e RV, propondo melhorias referente a acurácia dos mesmos, so sua principal contribuição a Extensão à Lei de Peukert que apresentou resultados mais acurados que o modelo original, tanto para perfis de descargas constantes, como para perfis de descargas variáveis. Os modelos elétricos foram estudados por Porciuncula [41] e Brondani [2], onde em seus trabalhos foi comparado os resultados das simulações do modelo Battery, com o modelo para Predizer Runtime e Características V-I (i.e., tensão e corrente), assim como com dados experimentais adquiridos através da plataforma de testes. Já nos trabalhos desenvolvidos por Romio [45], Machado [30] e Kühn [26], foi realizada a modelagem ma-

20 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 8 temática do tempo de vida de baterias utilizando modelos autorregressivos, via teoria de Identificação de Sistemas, comparando os resultados das simulações também com os dados experimentais obtidos da plataforma de testes. Recentemente, Duarte [13], Fransozi [17] e Kussiak [27] apresentaram estudos e aplicações de modelos híbridos, provenientes da união do modelo KiBaM e do modelo RV, com o modelo elétrico para Predizer Runtime e Características de V-I, com bons resultados em acurácia. Desta forma, buscando dar continuidade aos estudos realizados no GAIC, neste trabalho é realizada uma análise comparativa entre os modelos analíticos: Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estida, KiBaM, e RV, considerando o mesmo cenário de simulação. Ou seja, para todos os modelos é aplicado os mesmos perfis de descarga obtidos a partir de ensaios experimentais na plataforma de testes utilizando baterias de Lítio Íon Polímero (LiPo), a implementação computacional é executada considerando o mesmo método de estimação de parâmetros, assim como, a estrutura dos algoritmos segue o mesmo padrão. As simulações dos modelos são realizadas no software de computação algébrica e numérica MatLab [34], que é um software de alto desempenho voltado para cálculo numérico. A validação dos modelos é efetuada comparando os resultados simulados com os dados experimentais obtidos da plataforma de testes, considerando perfis de correntes de descargas constantes e variáveis, estas últimas baseadas nas principais funcionalidades de um smartphone, com o propósito de verificar qual modelo analítico realiza a predição do tempo de vida de baterias de forma mais acurada. O restante deste capítulo está organizado da seguinte forma. Na Seção 1.2 é apresentada a motivação. Na Seção 1.3 são apresentados os objetivos geral e específicos. Na Seção 1.4 são apresentadas as contribuições deste trabalho. E, na Seção 1.5, é apresentada a organização deste documento. 1.2 Motivação Os dispositivos móveis são utilizados nas mais diversas áreas, e para inúmeras atividades, seja de trabalho ou lazer, tornando-se essencial na rotina do ser humano. Desta maneira, pelo fato de oferecerem mobilidade ao usuário, permitindo o acesso a informações em qualquer lugar e momento, os dispositivos estão cada vez mais incorporados ao cotidiano das pessoas, tornando-se indispensável para as atividades do dia-a-dia. So estes dispositivos depentes do tempo de vida das baterias que os alimentam, torna-se importante definir um método que permita predizer o tempo de vida das baterias, e consequentemente quanto tempo o dispositivo conseguirá manter-se operacional, a fim de ser possível aprimorar estes aparelhos, no que se refere ao design e desempenho, adequando-os às exigências dos usuários.

21 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 9 Neste contexto, este trabalho motiva-se, principalmente em contribuir, através da modelagem matemática, com os projetistas de baterias e dispositivos móveis, na busca pela melhoria destes aparelhos em termos de eficiência energética, a fim de que os dispositivos móveis suportem um longo período de tempo sem a necessidade de recarga. Desta forma, o presente trabalho objetiva investigar, a partir de uma análise comparativa, qual o modelo analítico é mais indicado para predizer o tempo de vida de uma bateria que alimenta um dispositivo móvel, com boa acurácia e fácil implementação computacional. 1.3 Objetivos da Dissertação Nesta seção são apresentados os objetivos deste trabalho. Para facilitar a compreensão, encontram-se divididos em Objetivo Geral e Objetivos Específicos, os quais são detalhados na sequência Objetivo Geral Este trabalho tem como objetivo geral o estudo e aplicação dos principais modelos analíticos da literatura técnica, para a predição do tempo de vida de baterias de LiPo, utilizadas em telefones celulares, considerando o mesmo cenário de simulação, a fim de realizar uma análise comparativa entre eles e verificar qual desses modelos é mais simples, acurado e de fácil implementação Objetivos Específicos Visando atingir o objetivo geral deste trabalho, alguns objetivos específicos são propostos: Realizar uma revisão bibliográfica das características e propriedades das baterias e dos modelos matemáticos, mencionados na literatura, que descrevem o processo de descarga de uma bateria e, consequentemente, predizem o seu tempo de vida; Estudar os modelos analíticos de baterias presentes na literatura técnica; Obter a partir de ensaios em laboratório um conjunto de dados experimentais para a estimação dos parâmetros e outro para validação dos modelos selecionados; Implementar os modelos selecionados utilizando o software de computação algébrica e numérica MatLab; Realizar a estimação dos parâmetros dos modelos implementados;

22 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 10 Realizar a validação dos modelos, comparando os resultados simulados com os dados obtidos experimentalmente da plataforma de testes; e, Comparar e concluir, a partir dos resultados obtidos através da validação e análise do erro médio, qual o modelo analítico que melhor realiza a predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis. 1.4 Contribuições Nesta dissertação são introduzidas contribuições para a realização da predição do tempo de vida de dispositivos móveis que são alimentados por baterias. Estas contribuições são listadas a seguir: 1. Estudo e aplicação dos principais modelos analíticos da literatura técnica utilizados na predição do tempo de vida de baterias de LiPo, que são: Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estida, KiBaM, e RV; 2. Simulação e validação destes modelos analíticos considerando tanto perfis de correntes de descargas constantes, como perfis de correntes de descargas variáveis, essas mensuradas a partir das funcionalidades desempenhadas por um celular do tipo smartphone; e, 3. Análise comparativa destes modelos considerando o mesmo cenário de simulação, e os dados experimentais obtidos de uma plataforma de testes. 1.5 Estrutura do Documento O presente trabalho organiza-se conforme a estrutura apresentada a seguir. No Capítulo 2 é realizada uma revisão bibliográfica a respeito das baterias utilizadas em dispositivos móveis. São abordadas as principais características e propriedades de uma bateria, os tipos de baterias, assim como, são expostos alguns modelos matemáticos, encontrados na literatura, que simulam o processo de descarga das baterias, com a intenção de obter informações sobre o contexto em que este trabalho está inserido. No Capítulo 3 são descritos os modelos analíticos utilizados nesta dissertação. A saber, o modelo Linear, a Lei de Peukert, a Lei de Peukert Estida, o modelo RV e o modelo KiBaM, dando ênfase as suas equações. No Capítulo 4 é apresentada a plataforma de testes, bem como, a metodologia adotada para a coleta dos dados experimentais adquiridos durante o descarregamento das baterias. A partir da obtenção dos dados é definida uma metodologia para a estimação

23 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 11 dos parâmetros empíricos presentes nos modelos analíticos estudados, utilizando o método dos MQ, tipo não linear. No Capítulo 5 é realizada a validação dos modelos analíticos, a partir da comparação dos resultados obtidos nas simulações computacionais com os resultados experimentais provenientes da plataforma de testes. Além disto, ao final deste capítulo, é apresentada uma análise comparativa entre todos os modelos com o intuito de verificar qual é o modelo mais acurado em questão de predição do tempo de vida de baterias. No Capítulo 6 são apresentadas as conclusões deste estudo e possíveis trabalhos futuros.

24 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 2.1 Introdução Neste capítulo é apresentada uma revisão bibliográfica do estado da arte de baterias. Inicialmente, são expostos alguns conceitos básicos, propriedades e características, assim como, os efeitos não lineares presentes em um processo de descarga. Em seguida é abordado as diferentes tecnologias de baterias desenvolvidas no decorrer dos anos. E, por fim, são detalhados os principais modelos matemáticos, presentes na literatura técnica, utilizados para a predição do tempo de vida de baterias que alimentam dispositivos móveis. O restante deste capítulo está organizado como segue. Na Seção 2.2 são descritos os conceitos básicos e os elementos estruturais referentes às baterias. Na Seção 2.3 são apresentadas as principais propriedades e características das baterias. Na Seção 2.4 são expostos os efeitos não lineares existentes em um processo de descarga e que afetam o tempo de vida da bateria. Na Seção 2.5 são abordados alguns tipos de baterias disponíveis comercialmente. Na Seção 2.6 são apresentados os principais modelos matemáticos referenciados na literatura técnica, que representam a descarga de uma bateria. Na Seção 2.7 é apresentado um resumo do capítulo. 2.2 Baterias Baterias são dispositivos que convertem a energia química armazenada em energia elétrica através de uma reação eletroquímica de oxirredução presente no processo de descarga. Em baterias recarregáveis, esta reação é reversível, pois quando descarregada, pode ser carregada novamente mediante conexão a uma fonte de energia. No processo de carregamento a reação ocorre de forma inversa, a energia elétrica é convertida em energia química [8, 21, 50]. 12

25 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 13 As baterias eletroquímicas são a tecnologia de armazenamento portátil de energia mais antiga e mais utilizada, que tem como função fornecer energia ao sistema. São constituídas por uma ou mais células eletroquímicas ligadas em série, paralelo, ou através de combinação de ambas [21, 23]. A célula eletroquímica de uma bateria, conforme apresentada na Figura 2.1, é formada por três elementos principais. So, dois eletrodos, que são condutores metálicos por onde uma corrente elétrica entra ou sai do sistema, o ânodo que possui polaridade negativa, e o cátodo, que possui polaridade positiva, e um eletrólito, que é um condutor iônico sólido, líquido ou gasoso, que proporciona o meio físico para a transferência de carga, e separa os dois eletrodos [23, 24, 46, 47]. Figura 2.1: Esquema de uma célula eletroquímica [23]. Em um processo de descarga (i.e., consumo de energia), ocorre no ânodo uma reação de oxidação, e este libera elétrons para o sistema, enquanto o cátodo recebe elétrons do sistema a partir de uma reação de redução. Como os elétrons são originados por reações eletroquímicas que ocorrem na bateria, são chamados de espécies eletroativas [23, 47]. As reações eletroquímicas que ocorrem no interior de uma bateria produzem duas importantes propriedades: a tensão, que é a diferença entre os potenciais de oxidação e redução dos materiais ativos dos cátodos e ânodos, e é medida em volts (V), so que, esses potenciais depem dos materiais dos eletrodos e do tipo de eletrólito utilizado. E a capacidade, que é a quantidade total de corrente por unidade de tempo que uma bateria é capaz de fornecer, so desta forma, uma grandeza variável, e é normalmente medida em ampère-hora (Ah). O produto destas duas grandezas fornece a quantidade de energia armazenada na bateria, medida em watt-hora (Wh) [23, 46, 48]. Em uma bateria ideal, a tensão permanece constante em todo o processo de descarga, tornando-se nula quando não houver mais carga a ser transferida entre o ânodo e o cátodo (i.e., bateria descarregada). Teoricamente, considerando uma corrente de descarga

26 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 14 constante, uma bateria de 60 Ah, fornece ao sistema 60 ampère (A) por 1 hora (h) ou, 20 A por 3 h. Neste caso, a capacidade é constante durante todo o processo de descarga e toda a energia armazenada é utilizada. Porém, em casos reais, a descarga não é constante, a capacidade é diminuída para altas correntes, e estão presentes durante o processo de descarga alguns efeitos não lineares que influenciam diretamente na capacidade da bateria e no seu tempo de vida e por isso devem ser considerados. A seguir são descritas algumas características das baterias e os seus efeitos não lineares. 2.3 Características das Baterias A distinção entre os tipos de baterias ocorre, principalmente, pelo material que as compõem, e pela demanda que as mesmas atem. So que, as mesmas possuem determinadas características que influenciam no comportamento durante o processo de descarga. Nesta seção são descritas algumas características importantes referentes as baterias, assim como alguns conceitos necessários para a compreensão do seu funcionamento Nível de Cutoff O nível de cutoff é definido como o limite mínimo de carga em que a bateria consegue gerar uma tensão suficiente para o dispositivo manter-se em funcionamento. Durante o processo de descarga, ao ser atingido este valor, a bateria não se encontra completamente descarregada, mas inapta de fornecer energia ao dispositivo móvel, devido à impossibilidade de ocorrer as reações eletroquímicas responsáveis pelo fornecimento de energia [47, 48] Tempo de Vida O tempo de vida está relacionado ao nível de cutoff, pois indica o tempo, normalmente em horas, que a bateria leva para atingir a quantidade mínima de energia necessária para manter o dispositivo operacional. Comumente, o tempo de vida é confundido com a vida útil da bateria. Contudo, a vida útil está relacionada ao número de ciclos de carga/descarga que a bateria consegue realizar, conservando mais de 80% da capacidade original [42, 45] Capacidade da Bateria A capacidade de uma bateria é a quantidade de carga elétrica armazenada [25], e pode ser estabelecida de três formas diferentes: a capacidade teórica, que representa a capacidade total de energia que pode ser extraída da bateria na prática; a capacidade

27 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 15 padrão, que representa a quantidade de energia que pode ser extraída sob condições especificadas pelo fabricante; e, a capacidade atual, que representa a quantidade de energia extraída quando uma determinada corrente é utilizada para descarregá-la. A capacidade atual pode exceder a capacidade padrão, mas nunca a capacidade teórica [28]. 2.4 Efeitos Não Lineares Na modelagem matemática, há dois efeitos não lineares que ocorrem durante a descarga de uma bateria que precisam ser considerados, o efeito de recuperação e o efeito da taxa de capacidade, pois afetam o tempo de vida e a quantidade de energia que pode ser entregue pela bateria, to menor ou maior influência depo do tipo de bateria. A seguir estes dois efeitos não lineares são descritos Efeito de Recuperação Em períodos onde a corrente de descarga é reduzida significativamente ou torna-se nula, ocorre a relaxação. Neste momento, ocorre uma reorganização de maneira uniforme dos elétrons ainda disponíveis no eletrólito [24, 28]. Isso gera o efeito de recuperação, que é um aumento da capacidade da bateria, e consequentemente do seu tempo de vida, visto que uma maior quantidade de carga ficará disponível, antes que o dispositivo atinja o nível de cutoff. Este efeito é melhor observado quando a corrente de descarga é variável no tempo. Diferentemente das descargas constantes, onde não é tão perceptível, pois a bateria não possui tempo para recuperar-se [13]. Na Figura 2.2 é apresentado o efeito de recuperação ao longo do processo de descarga de uma bateria, à direita observam-se os elétrons e à esquerda o eletrodo da bateria. Inicialmente, percebe-se que a bateria está completamente carregada (Figura 2.2(A)) e a concentração de espécies eletroativas é constante por todo comprimento do eletrólito (ω). Quando inicia o processo de descarga (Figura 2.2(B)), as reações eletroquímicas reduzem as espécies eletroativas próximas ao eletrodo. No entanto, ao ocorrer o período de relaxação, os elétrons remanescentes se reorganizam de maneira uniforme (Figura 2.2(C)), reequilibrando o sistema e aumentando assim a concentração de espécies eletroativas no eletrodo (Figura 2.2(D)). Desta maneira, é ampliada a capacidade da bateria em fornecer energia ao sistema, o que caracteriza o efeito de recuperação. Cabe salientar que a capacidade recuperada sempre será inferior à quantidade de capacidade inicial [48]. O efeito de recuperação pode se repetir durante todo o processo de descarga, até que a bateria atinja um limite inferior de carga, denominado nível de cutoff, interrompo assim as reações eletroquímicas, pois mesmo que ainda haja espécies eletroativas no eletrólito, a bateria é considerada descarregada (Figura 2.2(E)).

28 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 16 Figura 2.2: Diferentes estados de operação de uma bateria [47] Efeito da Taxa de Capacidade O efeito da taxa de capacidade sofre influência do efeito de recuperação, e depe da capacidade atual da bateria e da intensidade da corrente de descarga aplicada. Em altas correntes de descarga, a capacidade efetiva da bateria é reduzida, visto que, não há tempo suficiente para a reorganização dos elétrons no eletrólito (i.e., efeito de recuperação). Desta forma a capacidade e o tempo de vida da bateria são reduzidos, pois há uma quantidade maior de carga sem ser utilizada pelo sistema. Em correntes variáveis, a capacidade efetiva da bateria é elevada, pois há alternância de correntes altas e baixas, ou até mesmo pode ocorrer um período sem corrente, e assim é possível acontecer o efeito de recuperação, elevando a quantidade de carga disponível na superfície do eletrodo. Neste sentido, quanto maior a quantidade de elétrons presentes no eletrólito no momento em que há redução da corrente de descarga, ou esta fica nula, mais carga será possível recuperar, e consequentemente estará disponível na superfície do eletrodo para ser utilizada pelo sistema [23, 48].

29 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica Tipos de Baterias Para ater a crescente demanda de dispositivos portáteis, os fabricantes de baterias procuram aprimorá-las quanto a capacidade, dimensão e peso. Nesta seção, são descritas as diferentes tecnologias de baterias recarregáveis desenvolvidas ao longo do tempo, assim como as suas principais características. Na Figura 2.3 é apresentado um gráfico que relaciona o ano de implementação comercial dos principais tipos de baterias recarregáveis com as suas respectivas densidades de energia máxima e mínima. Destaca-se que, para os ensaios experimentais realizados neste estudo são utilizadas baterias de dispositivos móveis do tipo LiPo, que são a tecnologia em ascensão para a fabricação de baterias. Figura 2.3: Densidade de energia e ano de implantação comercial das tecnologias de baterias, adaptado de [3] Baterias de Níquel-Cádmio So o primeiro modelo desenvolvido de baterias recarregáveis, durante anos as baterias de Níquel-Cádmio (Ni-Cd) foram a única opção para utilização em dispositivos móveis. Como vantagens, há o baixo custo de fabricação, a possibilidade de serem empregadas em operações de altas taxas de descarga, o bom desempenho apresentado em baixas temperaturas e o alto número de ciclos carga/descarga, podo chegar até a mil ciclos se mantida adequadamente. Em contrapartida, este tipo de bateria utiliza o cádmio em sua composição que é prejudicial, tanto para o meio ambiente como para a saúde, e apresenta o efeito memória, conhecido como vício, ou seja, é necessário o descarregamento

30 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 18 total da bateria para o carregamento, e esta recarga deve ser completa para a utilização do dispositivo. Por estes motivos, e devido à sua baixa densidade de energia, e a elevada taxa de autodescarga, nos últimos anos, este tipo de bateria vem perdo espaço para as novas tecnologias, mais eficientes e menos tóxicas [28, 48, 53] Baterias de Chumbo-Ácido As baterias de Chumbo-Ácido (Pb-Ácido) foram implantadas comercialmente em 1970 e são compostas por eletrodos de chumbo e dióxido de chumbo, mergulhadas em um eletrólito líquido com uma solução de ácido sulfúrico e água. Este tipo de bateria é uma tecnologia barata, so comum em veículos automotores, pois o processo de fabricação é simples. São capazes de taxas elevadas de descarga e, possuem baixa taxa de autodescarga, autodescarregando em um ano a mesma quantidade de energia que uma bateria de Ni-Cd autodescarrega em três meses. Em contrapartida, não são muito eficientes em relação a peso/energia e possuem algumas preocupações ambientais e de segurança em relação ao vazamento em acidentes, especialmente com o eletrólito e o teor de chumbo [3, 13] Baterias de Níquel Metal-Hidreto As baterias de Níquel-Metal-Hidreto (Ni-MH), inicialmente muito utilizadas em notebooks, apresentam características operacionais semelhantes as baterias de Ni-Cd, mas possuem aproximadamente densidade de energia 40% superior. Estas baterias são mais caras, possuem um ciclo de vida curto, requerem um tempo de carga mais longo que as baterias de Ni-Cd, e são ineficiente em altas correntes de descarga. Devido a estes fatos, estas baterias estão entrando em desuso, havo a sua substituição por outros tipos de baterias. Porém como vantagem, apresentam o efeito memória de forma moderada e não contém metais tóxicos [3, 28] Baterias de Lítio-Íon O Lítio (Li) é entre os metais conhecidos, o mais leve e possui o melhor potencial eletroquímico. As baterias de Lítio Íon (Li-Ion) utilizam como ânodo o Lítio, que apresenta uma imensa capacidade energética. Desta forma, as baterias de Li-Ion possuem densidade de energia consideravelmente superior e um longo ciclo de vida, aproximadamente o dobro que as baterias de Ni-MH e o triplo que as de Ni-Cd. Além disso, as baterias de Li-Ion ocupam pouco espaço, apresentam bom desempenho em altas temperaturas, possuem taxa de autodescarga inferior as baterias de Ni-Cd e Ni-MH, e não contam com o efeito memória, desta forma elas não viciam, so assim, atualmente é a mais utilizada em smartphones, tablets e notebooks. Porém, este tipo de bateria é mais cara quando

31 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 19 comparada às outras baterias, o custo de fabricação é cerca de 40% maior que as de Ni- Cd, ao longo do tempo apresentam perda de desempenho e necessitam cuidados a fim de evitar acidentes em virtude do eletrólito ser altamente inflamável [3, 28, 30] Baterias Alcalinas Recarregáveis As baterias alcalinas recarregáveis foram desenvolvidas em substituição as baterias alcalinas descartáveis, por terem um baixo custo. Contudo, sua densidade de energia e seu ciclo de vida são comprometidos após algumas descargas. Ainda que a densidade de energia inicial das baterias alcalinas reutilizáveis é superior a de Ni-Cd, após 10 ciclos, nota-se uma redução de 50% desta densidade, e após 50 ciclos, restará apenas 25% da sua densidade inicial. Este tipo de bateria não contém metais tóxicos e são mais adequadas para utilização em rádios portáteis, lanternas e brinquedos [3, 28] Baterias de Lítio Íon Polímero A tecnologia mais recente de baterias para a utilização em dispositivos móveis, a bateria de Lítio Íon Polímero (LiPo), apresenta características e desempenho semelhante às baterias de Li-Ion, so sua vantagem a resistência a sobrecarga e a espessura ultrafina, menos de 1 milímetro, o que contribui na portabilidade dos dispositivos móveis, pois estas baterias são leves, finas e podem ser de diferentes formatos. Entretanto, ainda apresentam um alto custo de fabricação, densidade de energia menor do que as baterias de Li-Ion e problemas quanto ao gerenciamento da temperatura interna. O diferencial deste tipo de bateria em relação as de Li-Ion, é referente ao eletrólito utilizado. As baterias de LiPo possuem um eletrólito sólido, o que inibe os riscos de explosões, enquanto as bateria de Li-Ion utilizam sais líquidos como eletrólito [3, 17, 48]. 2.6 Modelos Matemáticos de Baterias Ao longo do tempo, diferentes modelos matemáticos que capturam as características reais de operação da bateria, e consequentemente descrevem o seu tempo de vida, foram desenvolvidos e aprimorados. Cada modelo possui um grau de complexidade, alguns descrevem as principais propriedades da bateria de forma mais abstrata, enquanto outros descrevem detalhadamente, ou os processos físicos, ou os processos elétricos que ocorrem durante a descarga, so que há modelos mais acurados que outros. Esses modelos matemáticos de baterias podem auxiliar os projetistas de dispositivos móveis, visto que permitem a análise do comportamento de descarga da bateria em várias condições de

32 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 20 carga e descarga. A seguir são apresentados os principais modelos matemáticos de baterias presentes na literatura técnica Modelos Eletroquímicos Os modelos eletroquímicos capturam os dois efeitos não lineares que influenciam no tempo de vida da bateria (i.e., o efeito de recuperação e o efeito da taxa de capacidade). E são baseados nos processos químicos que ocorrem no interior da bateria durante a descarga, que são descritos detalhadamente, necessitando assim a informação de uma grande quantidade de parâmetros empíricos da bateria (em torno de 50) que devem ser definidos pelo usuário. Por esse motivo, esses modelos são considerados muito acurados, so referência em substituição a testes experimentais na literatura técnica. Mas sua descrição minuciosa torna-os muito complexos e de difícil implementação [23, 28]. Doyle, Fuller e Newmann [11] desenvolveram um dos modelos eletroquímicos mais acurado da literatura, formado por um sistema de seis Equações Diferenciais Parciais (EDP s) não lineares, para baterias de Li-Ion e LiPo. A resolução dessas equações fornece a tensão e a corrente em função do tempo, as fases de potencial no eletrólito e no eletrodo, a concentração de sal, a taxa de reação e a densidade de corrente no eletrólito, em função do tempo e da posição na célula [11, 19, 23]. O programa computacional Fortran Dualfoil [12], que se encontra gratuitamente para download na internet, utiliza este modelo para simular baterias de Li-Ion. Esse simulador computa as variações de todas as propriedades da bateria ao longo do tempo para determinado perfil de descarga definido pelo usuário, indicando ao final do processo, a partir dos dados de saída, o tempo de vida da bateria. A grande dificuldade, é que além do perfil de descarga, o usuário deve ter um conhecimento detalhado da bateria que está so modelada, devido à necessidade de configurar mais de cinquenta parâmetros relacionados à bateria, como, espessura dos eletrodos, a concentração inicial de sal no eletrólito e a capacidade global de calor. Por esses motivos, o programa possui alto nível de acurácia, so constantemente utilizado na comparação com outros modelos da literatura, em substituição dos dados experimentais [23, 28] Modelos Elétricos Também denominados de modelos de circuitos elétricos, estes modelos descrevem a bateria na forma de circuito, utilizando a combinação de componentes elétricos como, fontes, resistores, capacitores e indutores [5]. Tais modelos tem a capacidade de incluir tanto descargas constantes como variáveis, e são capazes de modelar a taxa de capacidade e os efeitos térmicos da bateria, mas nenhum dos modelos elétricos conhecidos considera

33 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 21 o efeito de recuperação [25, 28]. Na literatura existem vários modelos elétricos capazes de predizer o tempo de vida das baterias, so que existem três categorias básicas; modelos baseados em Thevenin, em Impedância e em Runtime. Dentre esses, destacam-se o modelo para Predizer Runtime e Características V-I, e o modelo Battery [2, 41]. A acurácia dos modelos elétricos para predizer o tempo de vida de baterias, situa-se entre a acurácia dos modelos analíticos e dos modelos eletroquímicos (i.e., entre 1% e 5%) [5]. Os modelos elétricos tem como vantagem a simulação de fácil entimento e o custo reduzido quando comparados aos modelos eletroquímicos. So que a maioria das simulações é baseada no modelo SPICE (i.e., um programa de simulação), de uma rede acoplada para representar a bateria [51]. Um dos primeiros modelos elétricos foi desenvolvido por Hagemann [20], que usou circuitos simples PSpice para simular baterias de Ni-Cd, Pb-Ácido e alcalinas. A estrutura geral dos modelos elétricos para os diferentes tipos de baterias é a mesma (cf. Figura 2.4), ou seja: um capacitor representa a capacidade da bateria, uma taxa de descarga normalizadora determina a perda da capacidade da bateria em altas correntes de descargas, um circuito representa o consumo da capacidade da bateria, uma tabela de pesquisa compara a tensão versus o estado de carga, e um resistor representa a resistência da bateria. So necessárias pequenas mudanças para um determinado tipo de célula específica para completar o modelo [2, 23, 39]. Figura 2.4: Esquema básico funcional para todos os tipos de modelos elétricos [23]. Em estudos realizados por Porciuncula [41] e Brondani [2] foram avaliados os modelos elétricos, buscando obter um modelo elétrico para a predição do tempo de vida de baterias, acurado e de fácil implementação. Os resultados das simulações computacionais do modelo Battery, foram comparados com o modelo para Predizer Runtime e Característica V-I de uma bateria, considerado de alta acurácia pela literatura técnica, e com os dados

34 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 22 experimentais obtidos através da plataforma de testes. O modelo elétrico Battery está presente na ferramenta computacional MatLab/Simulink, e é de fácil implementação no que se refere a extração de seus parâmetros de configuração, visto que, estes podem ser obtidos a partir de uma única curva real de descarga da bateria, em conjunto com os dados do datasheet. 1 Em [41] foi considerado as baterias de Li-Ion, modelo BL-5F e de LiPo, modelo PL C, assim como descargas constantes e variáveis e os parâmetros foram obtidos através do datasheet da bateria. Já no trabalho de [2] foram estudadas apenas as baterias de LiPo considerando descargas constantes, so proposto um Algoritmo Genético para a estimação dos parâmetros do modelo. Os resultados encontrados nos trabalhos para o modelo Battery foram satisfatórios, visto que o erro médio encontrado foi inferior a 5% para a predição do tempo de vida das baterias utilizadas Modelos Estocásticos Estes modelos descrevem a bateria de forma mais abstrata que os modelos eletroquímicos e elétricos, podo incluir tanto descargas constantes como variáveis. A descarga e o efeito de recuperação são descritos como processos estocásticos, ou seja, aleatórios [23, 40]. Nos modelos estocásticos a bateria é representada por um número finito de unidades de carga e o comportamento de descarga é modelado utilizando um processo transitório estocástico no tempo discreto. A medida que o processo evolui ao longo do tempo, esse é dividido em uma sequência de intervalos iguais, e o estado da bateria é controlado pelo número de unidades de carga restantes. Em cada intervalo de tempo, a corrente média de descarga é medida e usada para determinar o número de unidade de carga consumida. Se essa média for diferente de zero, o número de unidades de carga drenada é obtido através de uma tabela de pesquisa ou de um gráfico que contém dados das taxas de capacidades. No entanto, se em um intervalo não ocorreu descarga, a bateria recupera um certo número de unidades de carga (i.e., efeito de recuperação). O número exato de unidades de cargas recuperadas é modelado a partir de uma função exponencial decrescente de densidade de probabilidade, que é baseada no estado da carga da bateria e nos coeficientes, que depem da bateria utilizada, assim como das características de descarga [28, 39]. Entre 1999 e 2001 Chiasserini e Rao [6,7,24] desenvolveram os primeiros modelos matemáticos de baterias estocásticos baseados na modelagem da bateria em tempo discreto, utilizando cadeias de Markov. A principal propriedade investigada por eles é o ganho (G), obtido por uma descarga pulsante em relação a uma descarga constante, desta forma ele pode aumentar quando a carga é reduzida, devido a maior probabilidade de recuperar. 1 O datasheet apresenta resumidamente os dados e características técnicas da bateria.

35 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 23 Os resultados apresentados a partir de estudos do modelo estocástico de Chiasserini e Rao possuem um desvio máximo de 4%, com um erro médio de 1% quando comparados aos modelos eletroquímicos. Esses resultados indicam que o modelo estocástico possui uma boa descrição do comportamento da bateria, principalmente para descargas variáveis. Porém, este modelo possui limitações, visto que somente é considerado o efeito de recuperação da bateria [24, 41]. Em 2005 Chiasserini e Rao [11, 24], propuseram um modelo matemático de bateria estocástico, novamente utilizando a cadeia de Markov no tempo discreto, baseado no modelo analítico cinético (KiBaM) que foi proposto por Manwell e McGowan [23]. Como o modelo KiBaM foi originalmente desenvolvido para modelar bateria de Pb-Ácido, foram necessárias algumas modificações no modelo estocástico cinético (KiBaM Modificado) para ser utilizado para modelar uma bateria de Ni-MH. Os resultados das simulações mostram que o modelo KiBaM Modificado é bastante acurado para predizer o tempo de vida da bateria, pois foi encontrado um erro máximo de 2, 65% para as simulações [23,48] Modelos Analíticos Os modelos analíticos utilizam expressões analíticas para calcular a capacidade real e o tempo de vida da bateria, utilizando os valores obtidos a partir das correntes de descarga, caraterísticas do ambiente operacional e propriedades físicas da bateria [28]. Da mesma forma que os modelos estocásticos, os modelos analíticos descrevem o comportamento da bateria de forma abstrata. Como as principais propriedades da bateria são modeladas utilizando um conjunto reduzido de equações, e possuem uma menor quantidade de parâmetros para serem estimados, este tipo de modelo torna-se mais fácil de implementar computacionalmente, quando comparados aos modelos eletroquímicos e elétricos [23, 24, 48]. So possível alguns destes modelos capturar o efeito de taxa de capacidade e o efeito de recuperação que ocorrem em um processo de descarga, eles podem ser utilizados para simular o descarregamento de baterias com cargas constantes e cargas variáveis. Estes são computacionalmente versáteis e eficientes, exigindo avaliação de expressões analíticas, e podem ser facilmente configurados para diferentes tipos de baterias [23, 24, 28]. Considerado pela literatura técnica o modelo analítico mais simples para a predição do tempo de vida de baterias, o modelo Linear [23, 24, 47] não considera os efeitos não lineares que ocorrem na bateria durante a descarga, visto que a bateria é tratada como um recipiente linear de corrente. Outro modelo também considerado simples é a Lei de Peukert [23, 32, 42] que considera apenas uma das propriedades não lineares. Ou seja, captura apenas a relação não linear entre o tempo de vida da bateria e a taxa de descarga, mas não considera o efeito de recuperação, que influencia diretamente no tempo de vida

36 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 24 da bateria. Há também os modelos analíticos considerados mais complexos, formulados a partir de Equações Diferencias, que são capazes de capturar as não linearidades do processo de descarga. O primeiro é o modelo Cinético de Manwell e McGowan, do original em inglês, Kinetic Battery Model (KiBaM), que é de fácil entimento e implementação computacional [24, 31, 48]. Esse modelo foi inicialmente desenvolvido para modelar baterias de Pb-Ácido e utiliza um processo cinético químico que ocorre no interior da bateria em seu fundamento, ou seja, estuda a velocidade das reações químicas dos processos e os fatores que as influenciam. Outro modelo analítico que captura os dois efeitos não lineares (i.e., o efeito de recuperação e a taxa de descarga), é o modelo analítico de difusão de Rakhmatov-Vrudhula (modelo RV) [42, 43], baseado na difusão dos íons no eletrólito, ele foi desenvolvido para predizer o tempo de vida de uma bateria por Rakhmatov e Vrudhula em 2001, e descreve a evolução unidimensional da concentração das espécies eletroativas no eletrólito a partir de uma corrente de descarga constante, ou variável. Este modelo é descrito pelas Leis de Fick [10, 42, 43] através de um sistema de EDP s com condições de contorno de segunda espécie, e possui dois parâmetros que precisam ser estimados através de alguma técnica de estimação considerando os dados experimentais da bateria estudada. Por ser capaz de capturar os efeitos não lineares que ocorrem durante o processo de descarga da bateria, e que afetam diretamente sua capacidade e seu tempo de vida, é considerado de alta acurácia pela literatura técnica. Em [42] Rakhmatov e Vrudhula compararam o seu modelo com o programa de simulação Dualfoil, que tem seus resultados como valores de referência visto que possui alta acurácia. Para correntes contínuas o modelo RV prediz o tempo de vida de baterias com um erro médio de 3%, e para correntes variáveis apresenta um erro médio próximo de 1%. Schneider [48] realizou uma análise comparativa dos três principais modelos analíticos para a predição do tempo de vida de baterias, o modelo Linear, a Lei de Peukert e o modelo RV. Os resultados encontrados nas simulações foram comparados com os dados obtidos a partir de uma plataforma de testes, considerando uma bateria de Li-Ion, modelo BL-5F e correntes de descarga constantes no tempo. A partir da análise desses resultados, [48] verificou que o modelo Linear apresentou resultados insatisfatórios, visto que o erro médio foi de 22, 06%. A Lei de Peukert e o modelo RV obtiveram resultados médios de erro muito próximos e satisfatórios, so 1, 96% e 1, 05%, respectivamente. Da mesma forma, em seu estudo, Oliveira [39] comparou os mesmos modelos também para bateria de Li-Ion, modelo BL-5F, todavia, considerou duas metodologias para a estimação dos parâmetros dos modelos, uma baseada no método dos Mínimos Quadrados e outra baseada no método de Gauss, utilizando correntes de descargas variáveis e um

37 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 25 novo conjunto de correntes de descargas constantes. Neste estudo, o modelo RV obteve os melhores resultados, com um erro médio de 5, 71% para correntes de descargas constantes, e 6, 35% para correntes de descargas variáveis. Dando continuidade aos estudos dos modelos analíticos, Freitas [18] estudou, analisou e validou três modelos analíticos considerando perfis de descargas constantes, a Lei de Peukert, so que para este modelo também foi considerado um conjunto de perfis de descargas variáveis, o modelo KiBaM e o modelo RV, e propôs melhorias a cada modelo, com novas metodologias de resolução. Os resultados das simulações computacionais foram comparados com os dados obtidos de uma plataforma de testes, considerando baterias do tipo LiPo, modelo PL C. A grande contribuição deste trabalho é a proposição de uma extensão à Lei de Peukert, que apresentou resultados satisfatórios com acurácia próxima do modelo RV, to um erro médio de 1, 07% para descargas constantes, enquanto o modelo original baseado na Lei de Peukert obteve um erro médio de 1, 41%. Em descargas variáveis, novamente o modelo proposto apresentou melhor desempenho quando comparado ao original, so os erros médios obtidos de 2, 57% e 2, 79%, respectivamente. Cita-se também o trabalho desenvolvido por Silva [49], no qual é apresentada a proposição de um novo método de estimação dos parâmetros do modelo RV, chamado método da Procura em Rede Melhorado, e encontrado resultados satisfatórios com fácil implementação. Este método possui simplicidade na implementação do algoritmo, pois é necessário apenas conhecer a função objetivo para encontrar os parâmetros necessários, necessitando somente dos dados de entrada e saída do processo de descarga da bateria. Destaca-se que no próximo capítulo, os modelos analíticos que são utilizados nesta dissertação para a realização de uma análise comparativa com experimentos reais, objetivando verificar qual destes modelos é o mais acurado para a predição do tempo de vida de baterias que alimentam dispositivos móveis considerando o mesmo cenário de simulação, são abordados com maior detalhamento, especialmente no que se refere as equações que os descrevem Modelos via Identificação de Sistemas A modelagem via Identificação de Sistemas é uma técnica alternativa utilizada na literatura para construir modelos matemáticos de sistemas dinâmicos. A partir destes modelos busca-se representar determinadas características relacionadas à causa (i.e., entrada) e ao efeito (i.e., saída) de um conjunto de dados, sem necessidade de relacioná-los com as leis físicas presentes no processo, apenas utiliza-se dados observados do sistema, e algum conhecimento prévio desejado [1]. Há duas formas para a construção de modelos matemáticos na Identificação de Sistemas. A primeira é a modelagem caixa-preta ou modelagem empírica, onde não há um

38 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 26 conhecimento prévio do sistema a ser modelado, so conhecidos e utilizados apenas os dados de entrada e saída do processo durante a identificação, obtidos a partir de uma plataforma de testes, ou de um processo real. Nota-se que não existe nenhuma relação entre a estrutura matemática utilizada com a física do processo. E a modelagem caixacinza, onde além dos dados de entrada e saída, existe um conhecimento prévio do sistema a ser modelado, o tipo de informação auxiliar e a forma com que se utiliza esta informação depe do modelo que se está trabalhando. Com isto, esta categoria de modelos encontra-se entre a modelagem pela física do processo (i.e., caixa-branca) e a identificação caixa-preta [1, 30, 45]. Em estudos desenvolvidos por Romio [45] e Machado [30] foi realizado a predição do tempo de vida de baterias considerando estruturas de modelos paramétricas lineares, mais especificamente, os modelos AutoRregresivo com entradas externas (ARX), AutoRregressivo com MédiA móvel e entradas externas (ARMAX), Erro de Saída (ES) e Box Jenkins (BJ), via teoria de Identificação de Sistemas. A escolha destes modelos ocorreu pelo fato de serem considerados simples e de fácil implementação, necessitando de pouco ou nenhum conhecimento prévio do processo que se quer modelar, e, por não existir na literatura técnica pesquisas relacionadas a predição do tempo de vida de baterias que utilizam esta teoria. Os resultados das simulações computacionais realizadas na ferramenta computacional MatLab, através da biblioteca de Identificação de Sistemas (i.e., Ident Toolbox) [35], foram comparados com o modelo RV e com dados experimentais, obtidos a partir de uma plataforma de testes, considerando uma bateria de Li-Ion, modelo BL-5F. Em [45] os modelos estudados foram validados, e o modelo ARX apresentou melhor acurácia para a predição do tempo de vida de baterias em tempo discreto, apresentando um erro médio de 3, 39%. Em [30] também foram validados os modelos citados anteriormente, acrescentando o modelo AutoRregressivo (AR), que permite a análise do sistema a partir do descarregamento da bateria, so necessário somente os dados de saída. O modelo AR apresentou o melhor desempenho em tempo discreto, to um erro médio de 0, 72% quando comparado aos demais, e aos dados extraídos através da plataforma de testes. Nos dois trabalhos, o modelo estudado que obteve melhor desempenho foi convertido para o domínio de tempo contínuo através do uso de discretizadores, objetivando maior aproximação com a realidade, onde foi obtido um erro médio de 7, 39% em [45] e 3, 39% em [30]. A diferença do comportamento do modelo em tempo discreto e contínuo, ocorre pelo fato de que no processo de conversão para o tempo contínuo, algumas informações do modelos são perdidas, o que prejudica a acurácia do modelo. Destaca-se também o trabalho de Kühn [26], onde foi estudado qual a melhor ordem dos modelos a partir de duas metodologias, o Método da Exaustão e o Método da

39 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 27 AutoCorrelação e AutoCorrelação Parcial. Os modelos ARX, ARMAX, ES e BJ foram implementados, validados e avaliados para diferentes ordens pré-selecionas aleatoriamente em função do número de dados. Através da análise dos resultados, constatou-se que o modelo ARX de ordem 3 apresentou o menor erro, 0, 39%, através do Método da Exaustão. Contudo, cabe salientar que foram necessárias 56 simulações para a determinação das equações dos modelos, e mais 56 processos de validação para encontrar este resultado, o que demonstra que este método tem um alto custo de implementação computacional, tornando o processo demorado para o usuário. Desta maneira, conclui-se que a metodologia da análise da autocorrelação para a determinação da ordem dos modelos, é mais prática e possui um menor custo computacional, determinando que os modelos de ordem 2, do tipo ARX, são os mais acurados. So então, o modelo ARX, de ordem 2, o mais indicado para descrever o tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis, visto que este possui equações mais fáceis de manipular e apresentou um erro de 0, 52% Modelos Híbridos Os modelos híbridos são uma nova categoria de modelos matemáticos para a predição do tempo de vida de baterias, os quais têm como vantagem a possibilidade de unir dois ou mais tipos de modelos existentes, buscando diminuir as desvantagens particulares, visto que utilizam o que cada modelo possui de melhor. Kim [25] propôs um modelo híbrido, apresentado na Figura 2.5, a partir da união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Caracteristica V-I de uma bateria e do modelo analítico KiBaM. O modelo KiBaM consegue capturar os efeitos não lineares da bateria, como o efeito de recuperação e o efeito da taxa de capacidade, enquanto o modelo elétrico é capaz de capturar as características dinâmicas do circuito da bateria, e a resposta da tensão de forma acurada. Desta forma, o modelo híbrido em questão pode prever com precisão o tempo de vida da bateria para diferentes descargas e cargas em condições reais, so eficaz para a modelagem de todos os tipos de baterias eletroquímicas [13, 25]. Uma descrição detalhada das equações do modelo híbrido pode ser encontrada em [25]. Duarte [13] realizou um estudo e a aplicação do modelo híbrido proposto por [25] para baterias de Li-Ion, modelo BL-5F, considerando correntes de descargas constantes. Dando continuidade a este estudo, Franzosi [17] estudou dois modelos híbridos da literatura, o primeiro modelo formado pela união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I de uma bateria e do modelo KiBaM [25], e o segundo modelo formado a partir da união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I de uma bateria com o modelo analítico RV [55]. Nos dois trabalhos, os modelos foram implementados na ferramenta computacional MatLab/Simulink, e os resultados das simulações foram comparados com os resultados experimentais obtidos da plataforma de teste

40 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 28 Figura 2.5: Esquema do modelo híbrido proposto por Kim [25]. e com os resultados obtidos do modelo RV, devido ao fato deste ser considerado pela literatura técnica como um dos modelos analíticos mais acurados. O que diferencia ambos os estudos é o conjunto de perfis de descargas e o tipo de bateria usada, dado que [17] usou baterias de LiPo, modelo PL C. Como resultados, em [13] o modelo híbrido estudado apresentou um erro médio de 3,91%. Em [17] o primeiro modelo obteve um erro médio de 2,41% enquanto o segundo modelo apresentou um erro médio de 1,12%, so considerados resultados satisfatórios para a predição do tempo de vida de baterias. Com o intuito de tornar o processo de simulação mais realista, Kussiak [27] realizou a modelagem matemática dos dois modelos híbridos estudados por [17] considerando correntes de descarga variáveis baseadas em um conjunto de operações rotineiras realizadas em um telefone celular do tipo smartphone. Os modelos híbridos foram implementados na ferramenta computacional MatLab/Simulink e os resultados das simulações foram comparados com os resultados obtidos do modelo RV e com os dados experimentais obtidos a partir de uma plataforma de testes utilizando baterias de LiPo, modelo PL C. Os erros médios alcançados foram, 2, 87% para o modelo formado pela união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I de uma bateria e do modelo KiBaM, e 2, 09% para o modelo formado a partir da união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I de uma bateria com o modelo analítico RV. A partir dos resultados encontrados, concluiu-se que tais modelos híbridos apresentam bom desempenho no que se refere à predição do tempo de vida de baterias considerando correntes de descarga variáveis, além de serem capazes de descrever satisfatoriamente as características elétricas e analíticas de um processo de descarga de uma bateria. 2.7 Resumo do Capítulo Neste capítulo inicialmente é apresentada uma revisão bibliográfica referente às baterias utilizadas em dispositivos móveis, suas propriedades e principais características não lineares, tais como o efeito de recuperação e o efeito da taxa de capacidade, presentes no

41 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 29 processo de descarga e que influenciam na predição do seu tempo de vida. Em seguida são detalhadas algumas das tecnologias de baterias recarregáveis e, abordados os principais modelos matemáticos de baterias referenciados na literatura técnica, tais como, os modelos eletroquímicos [11, 23], elétricos [2, 20, 23], estocásticos [7, 23], analíticos [18, 23, 42, 44], via Identificação de Sistemas [1, 30, 45] e híbridos [13, 17, 25], com suas características e especificidades. No próximo capítulo são descritos o modelo Linear, a Lei de Peukert, a Lei de Peukert Estida, o modelo RV e, o modelo KiBaM, juntamente com as respectivas equações, em função de comporem o conjunto de modelos analíticos utilizados nesta dissertação para a análise comparativa considerando o mesmo ambiente de experimentação e simulação, visando concluir qual modelo analítico realiza a predição do tempo de vida de baterias de LiPo com maior acurácia so de fácil implementação para o usuário.

42 Capítulo 3 Modelagem Matemática 3.1 Introdução A modelagem matemática consiste na representação matemática de um sistema, utilizando como base o levantamento e a interpretação de dados, e as observações de um sistema real, ou de um sistema experimental. O emprego de modelos matemáticos possibilita tomadas de decisões, explicações e interpretações dos fenômenos estudados, forneco a previsão de situações futuras ou passadas [22]. Desta forma, pode-se definir a modelagem matemática como a arte de descrever matematicamente um fenômeno real por meio de equações matemáticas, e a partir do auxílio de software computacionais, realizar a análise dos dados de saída de cada modelo. Neste capítulo são descritos os modelos matemáticos analíticos utilizados nesta dissertação para a análise comparativa de modelos matemáticos de baterias do tipo LiPo que alimentam dispositivos móveis, considerando o mesmo cenário de simulação. Na Seção 3.2 são descritos os modelos analíticos, assim como as suas equações, os modelos são, o modelo Linear, a Lei de Peukert, a versão estida da Lei de Peukert, o modelo KiBaM e o modelo RV. Esta classe de modelos foi escolhida pois utiliza um conjunto reduzido de equações para calcular o tempo de vida da bateria, possui menos parâmetros para serem estimados quando comparado aos demais modelos matemáticos, e apresenta simulação computacionalmente versátil e eficiente. Na Seção 3.3 é apresentado um resumo do capítulo. 3.2 Modelos Matemáticos Nesta seção são expostos os cinco modelos analíticos considerados nesta dissertação para a comparação do erro médio percentual de cada modelo analisado, obtido através da média dos erros relativos entre tempo de vida simulado e experimental de baterias de LiPo, 30

43 Capítulo 3. Modelagem Matemática 31 utilizadas em dispositivos móveis, considerando o mesmo ambiente de experimentação e simulação. Visto que, um dos passos mais importantes para o desenvolvimento de novas baterias, mais leves, menores, com melhor desempenho e durabilidade, é estabelecer modelos matemáticos que permitam simular o comportamento da bateria, possibilitando a interpretação de possíveis problemas relacionados Modelo Linear O modelo Linear [23, 24, 47] é considerado pela literatura técnica o mais simples dos modelos analíticos e de fácil implementação. Este modelo não considera os efeitos não lineares que ocorrem na bateria durante a descarga, visto que a bateria é tratada como um recipiente linear de corrente. A capacidade restante (C) de uma bateria, neste modelo é dada pela equação C = C i I t d (3.1) onde: C i é o único parâmetro a determinar, so a capacidade inicial da bateria, I é a corrente constante de descarga durante a operação, e t d é o tempo de duração da corrente aplicada. Quando a capacidade residual for zero, ou seja, C = 0, tem-se o tempo de vida da bateria. Desta forma o tempo de duração da corrente de descarga equivale ao tempo de vida da bateria, ou seja, t d = L. Tem-se então, a seguinte equação C i I L = 0. (3.2) Logo, o tempo de vida (L) de uma bateria para descargas constantes através do modelo Linear é obtido através da equação L = C i I. (3.3) Em perfis de descargas variáveis, o tempo total de descarga é dividido em vários períodos aproximados, de correntes constantes por partes, conforme a Figura 3.1. qual observa-se que do tempo t 0 ao tempo t 1, a corrente que age no sistema é a corrente inicial, representada por I 0. Já durante o período de tempo t 1 ao tempo t 2, a corrente I 1 atua no sistema. Desta forma, as correntes são alternadas até que a bateria não consiga mais fornecer energia ao sistema. Logo, para correntes de descargas variáveis, seguindo a metodologia utilizada por Rakhmatov e Vrudhula [42], utiliza-se uma função aproximada para i(t), denominada de função escada de n degraus, Na

44 Capítulo 3. Modelagem Matemática 32 Figura 3.1: Degraus representativos de perfil de descarga com correntes variáveis [42]. n i(t) = I k 1 [U(t t k 1 ) U(t t k )] (3.4) k=1 onde: I k é a corrente constante de cada degrau, ou seja, I k 1 é a corrente de descarga durante o período k 1, e U(t) é a função degrau, na qual { 1 se t 0 U(t) = 0 se t < 0. Por conseguinte, a corrente de descarga (I) é substituída pela média das correntes até um tempo t = L. Assim o tempo de vida de uma bateria, a partir do modelo Linear, para perfis variáveis, é dado pela seguinte equação L = C [ i n k=1 I k 1(t k t k 1 ) ] (3.5) onde: I k é a corrente de descarga, t k é o tempo inicial da corrente de descarga, t k 1 é o tempo final da corrente utilizada e, C i é o mesmo parâmetro estimado na equação (3.3) que está relacionado a capacidade inicial da bateria. Para n = 1 a equação (3.5) resume-se a equação (3.3). L Lei de Peukert A Lei de Peukert é um modelo simples e intuitivo que considera somente uma das características não lineares, ou seja, captura apenas a relação não linear entre o tempo de vida da bateria e a taxa de descarga (i.e., efeito da taxa de capacidade), e não considera o efeito de recuperação. Conforme a Lei de Peukert, o tempo de vida (L) de uma bateria

45 Capítulo 3. Modelagem Matemática 33 para descargas constantes é dado pela expressão L = a I b (3.6) onde: I é a corrente de descarga, a e b são parâmetros que precisam ser estimados a partir de dados experimentais, e variam conforme o tipo de bateria utilizada. O ideal é que o valor de a seja igual à capacidade da bateria, e b, que é o coeficiente de Peukert, seja igual a 1. Porém, na prática, normalmente a possui um valor próximo ao da capacidade da bateria, e b um valor maior que 1. So que para a maioria das baterias, b possui valores entre 1, 2 e 1, 7 [48]. Para correntes de descargas variáveis, conforme Rakhmatov e Vrudhula [42,44], na Lei de Peukert a corrente de descarga (I) é substituída pela média das correntes ao longo do tempo no intervalo de [0, L], dada por [ n k=1 I = I ] k 1(t k t k 1 ). (3.7) L Assim o tempo de vida de uma bateria a partir da Lei de Peukert, considerando corrente de descargas variáveis é dada por L = a [ n k=1 I k 1(t k t k 1 ) ] b (3.8) onde: I k é a corrente de descarga, t k é o tempo inicial da corrente de descarga, t k 1 é o tempo final da corrente utilizada e, a e b são os mesmos parâmetros estimados para o modelo da equação (3.6). Para n = 1 a equação (3.8) resume-se a equação (3.6), que é o modelo original da Lei de Peukert [42]. L Lei de Peukert Estida Visando diminuir o erro médio apresentado pela Lei de Peukert, Freitas [18] utilizou a minimização funcional por comparação das derivadas de 1 a e 2 a ordem da equação (3.6), em relação ao tempo, onde é possível estabelecer uma relação funcional f : I L. Da equação (3.6), foi evidenciado I à esquerda, obto-se I = ( a L)1 b. (3.9) Calculando a derivada de 1 a encontra-se ordem da equação (3.9), em função do tempo (L), di dl = ( a L)1 b bl LdI dl = ( a L)1 b b (3.10)

46 Capítulo 3. Modelagem Matemática 34 e, substituindo a equação (3.9) na equação (3.10), obtém-se L di dl I b = 0. (3.11) Correlatamente, calculando a derivada de 2 a ordem da equação (3.9), em função do tempo (L), obtém-se d 2 I dl 2 = ( a L)1 b (b + 1) b 2 L 2 L 2 d2 I dl 2 = e, substituindo a equação (3.9) na equação (3.12), obtém-se Comparando as equações (3.11) e (3.13), ( a L)1 b (b + 1) b 2 (3.12) L 2 d2 I I(b + 1) = 0. (3.13) dl2 b 2 L di dl I b = d2 I I(b + 1) L2 (3.14) dl2 b 2 L 2 d2 I dl 2 + L di dl = Ib b 2 + I b 2 I b (3.15) L 2 d2 I dl 2 + L di dl = I b 2 (3.16) L 2 d2 I dl 2 + L di dl I b 2 = 0 (3.17) chega-se a uma Equação Diferencial Ordinária (EDO), 2 a ordem, de Euler-Cauchy [15]. Dado que, L equivale ao tempo de vida da bateria, tem-se que L > 0, obtém-se então a solução fazo I = L r di dl = rlr 1 d2 I dl 2 = r(r 1)Lr 2 (3.18) e, substituindo a equação (3.18) na equação (3.17), obtém-se que após ser desenvolvida resulta em L 2 [r(r 1)L r 2 ] + L(rL r 1 ) Lr b 2 = 0 (3.19) r 2 1 = 0, (3.20) b2 que é a equação característica da EDO apresentada na equação (3.17), cuja solução é

47 Capítulo 3. Modelagem Matemática 35 Assim, a solução geral da EDO (3.17) é dada por r = ± 1 b. (3.21) I = C 1 L 1 b + C2 L 1 b. (3.22) Como L > 0, então L 1 b obtém-se > 0. Desta forma multiplica-se a equação (3.22) por L 1 b, e IL 1 b = C 1 (L 1 b Por simplificação, adota-se que ) 2 ( ) 2 + C2 C 1 L 1 1 b IL b + C 2 = 0. (3.23) Então tem-se que y = L 1 b. (3.24) C 1 y 2 Iy + C 2 = 0. (3.25) Que é uma equação do 2 grau completa, onde a solução pode ser encontrada através da fórmula de Bhaskara [9], Retornando para a substituição y = L 1 b y = I ± I 2 4C 1 C 2 2C 1. (3.26) L 1 b = I ± I 2 4C 1 C 2 2C 1 (3.27) b L = I ± I 2 4C 1 C 2 2C 1. (3.28) Convenientemente, adotando-se o sinal negativo para o termo anterior a raiz quadrada, obtém-se a relação funcional do modelo estido a partir da Lei de Peukert [18], considerando correntes de descargas constantes, dado por ( ) b I I2 4C 1 C 2 L =, (3.29) 2C 1 onde: C 1 é o coeficiente de ajuste não linear, C 2 é a capacidade análoga a capacidade física da bateria, e b é o coeficiente de Peukert, so os parâmetros a determinar a partir de um conjunto de dados experimentais.

48 Capítulo 3. Modelagem Matemática 36 A generalização da Lei de Peukert Estida para correntes de descargas variáveis (i.e., equação (3.7)) é descrita por L = [ n k=1 I k 1(t k t k 1 ) L ] [ n 2C 1 k=1 I k 1(t k t k 1 ) L ] 2 4C1 C 2 b, (3.30) onde: I k é o valor da corrente de descarga; e, C 1, C 2 e b são os mesmo parâmetros estimados para o modelo da equação (3.29). Além disso, da mesma forma que na Lei de Peukert original, quando n = 1 a equação (3.30) se reduz a equação (3.29) Modelo KiBaM Desenvolvido com a finalidade de modelar os processos químicos que ocorrem em baterias de Pb-Ácido, o modelo analítico Cinético de Manwell e McGowan - Kinetic Battery Model (KiBaM) é capaz de capturar os dois efeitos não lineares descritos na Seção 2.4 (i.e., efeito de recuperação e efeito da taxa de capacidade), assim como utiliza a cinética do processo químico que ocorre no interior da bateria em seu fundamento, ou seja, estuda a velocidade das reações químicas dos processos e os fatores que as influenciam. O modelo KiBaM, distribui a carga da bateria em duas fontes: a fonte de carga disponível e a fonte de carga limitada, conforme pode ser observado na Figura 3.2. Figura 3.2: Representação do modelo KiBaM [24]. Verifica-se que uma fração c da capacidade total é distribuída na fonte de carga disponível, e uma fração 1 c é distribuída na fonte de carga limitada. A fonte de carga disponível fornece elétrons diretamente a corrente i(t), enquanto a fonte de carga limitada concede elétrons somente a fonte de carga disponível. E o parâmetro k é a razão de fluxo de carga entre as fontes [17, 31].

49 Capítulo 3. Modelagem Matemática 37 A altura das duas fontes de cargas é dada por e h 1 = y 1 c (3.31) h 2 = y 2 1 c, (3.32) onde: h 1 e h 2 são, respectivamente, a altura da fonte de carga disponível e limitada, y 1 é a quantidade de carga disponível, y 2 a quantidade carga limitada, e c é uma fração da capacidade total. No momento em que é aplicada uma corrente de descarga na bateria, a fonte de carga disponível, fornece elétrons para o sistema, desta forma, a altura desta fonte diminui, o que faz com que a diferença entre as alturas h 1 (t) e h 2 (t) aumente. Contudo, quando a corrente de descarga torna-se nula, a carga da fonte limitada flui para a fonte de carga disponível até que as alturas h 1 (t) e h 2 (t) se igualem novamente. Desta maneira, em períodos de relaxação, está presente o efeito de recuperação, onde uma maior quantidade de carga fica disponível para o sistema, o que consequentemente aumenta o tempo de vida da bateria. O efeito da taxa de capacidade também é considerado neste modelo, pois, a partir de uma corrente de descarga alta, a fonte da carga disponível será rapidamente reduzida, refletindo em um tempo menor para a fonte limitada fornecer elétrons para a fonte disponível, so reduzida assim a capacidade da bateria, pois restará mais carga sem ser utilizada na fonte limitada [23, 24]. A variação de cargas em ambas as fontes é dada pelo sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO s) dy 1 dt = i(t) + k(h 2 h 1 ) dy 2 dt = k(h 2 h 1 ), (3.33) (3.34) onde: k é a razão do fluxo de carga entre as duas fontes e i(t) é a corrente de descarga. Por simplificação algébrica, uma taxa constante k é definida como k = k c(1 c). (3.35) Para resolução do modelo KiBaM, assumindo um valor de corrente constante, ou seja, i(t) = I, conforme sugerem Manwell e McGowan [31], inicialmente, substitui-se as equações (3.31), (3.32) e (3.35) nas equações (3.33) e (3.34), obto-se o seguinte sistema de EDO s

50 Capítulo 3. Modelagem Matemática 38 dy 1 dt = I k (1 c)y 1 + k cy 2 dy 2 dt = k (1 c)y 1 k cy 2. (3.36) (3.37) Aplica-se, então, o método da Transformada de Laplace e suas definições [52], no sistema de EDO s representado pelas equações (3.36) e (3.37), obto-se após manipulações matemáticas, os seguintes resultados e onde: y 1 (t) = y 1 (0)e k t + (y 0k c I)(1 e k t ) k Ic(k t 1 + e k t ) k (3.38) y 2 (t) = y 2 (0)e k t + y 0 (1 c)(1 e k t ) I(1 c)[k t 1 + e k t ] k, (3.39) y 1 (0) = cy 0 (3.40) e y 2 (0) = (1 c)y 0 (3.41) que são, respectivamente, a quantidade de carga disponível e limitada em t = 0 (i.e., condição inicial) e, y 0 é a capacidade total da bateria, que é considerada descarregada quando não há mais carga na fonte de carga disponível (y 1 = 0) Modelo de Rakhmatov e Vrudhula O modelo RV captura tanto o efeito da taxa de capacidade como o efeito de recuperação, so considerado de alta acurácia pela literatura técnica [42]. Este modelo é baseado na difusão de íons no eletrólito e descreve a evolução unidimensional da concentração das espécies eletroativas no eletrólito a partir das Leis de Fick [10] através de um sistema de EDP s, dado por C(x, t) J(x, t) = D x C(x, t) t = D 2 C(x, t) x 2, (3.42) (3.43) onde: J(x, t) é o fluxo das espécies eletroativas em função do tempo t e de uma distância x do eletrodo, D é a constante de difusão, e C(x, t) é a concentração de espécies eletroativas no tempo t [0, L] e na distância x [0, w].

51 Capítulo 3. Modelagem Matemática 39 Neste modelo, os processos químicos que ocorrem em ambos os eletrodos são considerados idênticos, desta forma em uma bateria completamente carregada, a concentração de espécies eletroativas é constante através do comprimento do eletrólito, tem-se então a seguinte condição inicial onde: C é a concentração inicial de espécies eletroativas. C(x, 0) = C, (3.44) Conforme a Lei de Faraday [14], o fluxo de espécies eletroativas em uma extremidade do eletrodo (x = 0) é proporcional à corrente de descarga aplicada, e na outra extremidade (x = w) é nulo. Assim, para descarga de uma corrente i(t) e tempo 0 < t <, tem-se como condições de fronteira e C(x, t) x C(x, t) x = x=0 i(t) vf AD (3.45) = 0, (3.46) x=w onde: A é a área da superfície do eletrodo, F é a constante de Faraday 1 e v é o número de elétrons envolvidos na reação química na superfície do eletrodo. Aplicando-se o método da Transformada de Laplace e suas definições [52] e, utilizando a condição inicial e as condições de fronteira, tem-se uma solução analítica para o sistema de EDP s [42, 44], dada por C(0, t) = C 1 vf A πd t 0 i(τ) t τ m= Dividindo a equação (3.47) pela condição inicial C e considerando ρ(t) = 1 e w2 m 2 D(t τ) dτ. (3.47) C(0, t) C, (3.48) a fração de decaimento da concentração de espécies eletroativas na fronteira x = 0, a equação (3.47) torna-se ρ(t) = 1 vf A πdc t 0 i(τ) t τ [1 + 2 m=1 e w2 m 2 D(t τ) ]dτ. (3.49) 1 A constante de Faraday é uma constante física fundamental que representa a carga molar elementar. Atualmente, o Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia (NIST) recoma para a constante de Faraday o valor de 96485,33289 C mol 1 [14, 37].

52 Capítulo 3. Modelagem Matemática 40 Considerando β = w D (3.50) o parâmetro que está relacionado ao comportamento não linear da bateria e α = vf A πdc ρ(l) (3.51) o parâmetro que está relacionado com a capacidade da bateria. So t = L o tempo de vida da bateria, a partir da equação (3.49) obtém-se a expressão geral que relaciona o tempo de vida L da bateria e a corrente de descarga com os parâmetros α e β, dada por α = L 0 i(τ) L τ dτ + 2 m=1 L 0 i(τ) L τ e β2 m 2 (L τ) dτ. (3.52) Para perfis de descargas constantes, ou seja, i(t) = I, conforme Rakhmatov e Vrudhula [42], tem-se que α = 2I L m=1 e β2 m 2 L π 1 + πe β2 m 2 L 1 + π L β 2 m 2 onde: α e β são os parâmetros estimados a partir de dados experimentais. (3.53) E para perfis com correntes variáveis, conforme Rakhmatov e Vrudhula [42], considerase a função escada apresentada na equação (3.4), como uma aproximação da corrente i(t). Substituindo a equação (3.4) na equação (3.52), obtém-se α = [ n tk I k 1 k=1 t k 1 dτ L τ + 2 m=1 tk t k 1 e β2 m 2 L τ ] dτ. (3.54) L τ Resolvo as integrais da equação (3.54) [39], obtém-se a solução deste modelo para descargas variáveis, que expressa uma relação entre o tempo de vida L da bateria e a carga variável i(t) que é aproximada por uma função de n degraus no intervalo [0, L], e é dada por onde α = n 2I k 1 A(L, t k, t k 1, β) (3.55) k=1

53 Capítulo 3. Modelagem Matemática 41 A(L, t k, t k 1, β) = 10 πe β2 m 2 L t k e β2 m 2 L t L t k 1 k 1 m=1 π π L t k 1 β 2 m 2 10 πe β2 m 2 L t k (e β2 m 2 L t L t k k ). (3.56) m=1 π π L t k β 2 m 2 Salienta-se que da mesma forma que os modelos citados anteriormente, para n = 1 a equação (3.55) resume-se a equação (3.53). 3.3 Resumo do Capítulo A descrição do processo de descarga de baterias, empregando a modelagem matemática, permite a predição do tempo de vida a partir da simulação de sistemas semelhantes ao real. Ao longo dos anos, diferentes modelos matemáticos de baterias são desenvolvidos. Dentre eles, encontram-se os modelos analíticos, que descrevem a bateria de uma forma abstrata, so computacionalmente eficientes e flexíveis, requero avaliação de expressões analíticas, que podem ser configuradas para diferentes tipos de baterias. Neste trabalho, optou-se pelo estudo e aplicação de cinco modelos que pertencem a esta categoria com a finalidade de verificar as respectivas acurácias através de uma análise comparativa entre os modelos e os dados experimentais. O primeiro modelo, denominado de Linear, é considerado o modelo analítico mais simples e não captura os efeitos não lineares presentes no processo de descarga. O segundo modelo, denominado de Lei de Peukert, proposta pelo engenheiro alemão Wilhelm Peukert em 1897, descreve a relação que existe entre a vida útil e a taxa de descarga da bateria, considerando apenas o efeito da taxa de capacidade. O terceiro modelo, denominado de Lei de Peukert Estida, proposta por Freitas, foi desenvolvido procurando melhorar a acurácia do modelo Lei de Peukert original. O quarto modelo, denominado de modelo KiBaM, foi desenvolvido com a finalidade de modelar os processos químicos de baterias de Pb-Ácido, utilizando a cinética, e, captura os efeitos não lineares, tais como, o efeito de recuperação e o efeito da taxa de capacidade. O quinto modelo, denominado de modelo RV, descreve o processo de difusão de espécies eletroativas com base nas Leis de Fick, e é considerado um modelo de alta acurácia, conforme a literatura técnica, pois assim como o modelo KiBaM, considera os efeitos não lineares presentes no processo de descarga. Para a simulação, os modelos são implementados na ferramenta computacional MatLab, através de arquivos no formato M-file, conforme os Apêndices A até F, considerando tanto correntes de descarga constantes como variáveis. No próximo capítulo é apresentada

54 Capítulo 3. Modelagem Matemática 42 a metodologia utilizada na estimação dos parâmetros dos modelos.

55 Capítulo 4 Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 4.1 Introdução Na descrição dos modelos analíticos apresentados no capítulo anterior, observa-se que os mesmos possuem parâmetros empíricos que necessitam ser estimados. O processo de estimação de parâmetros de um modelo matemático ocorre a partir do conhecimento de um conjunto de dados experimentais e da definição de uma metodologia para a estimação dos parâmetros. Neste capítulo, inicialmente, é apresentada uma descrição da plataforma de testes, na qual é realizado os ensaios experimentais com baterias de LiPo. Em seguida, descreve-se o critério adotado para a coleta dos dados experimentais e apresenta-se os dados obtidos nos processos de descarga das baterias. Destaca-se que os resultados experimentais são divididos em dois conjuntos distintos, o primeiro é utilizado para a estimação dos parâmetros dos modelos analíticos, e o segundo para a simulação e validação dos modelos. Por fim, é realizada a estimação dos parâmetros dos modelos considerando a aplicação do método do MQ. Este capítulo está dividido como segue. Na Seção 4.2 é realizada a descrição da plataforma de testes utilizada para a obtenção dos dados experimentais. Na Seção 4.3 é apresentada a metodologia adotada para a coleta desses dados experimentais, assim como os dados obtidos. Na Seção 4.4 é exposta a metodologia utilizada para a estimação dos parâmetros dos modelos analíticos. Na Seção 4.5 é apresentado um resumo do capítulo. 43

56 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos Descrição da Plataforma de Testes A coleta dos dados experimentais, proveniente do descarregamento de baterias de LiPo, é realizada através de uma plataforma de testes, conforme Figura 4.1, desenvolvida pelo GAIC, no Laboratório de Sensores Inteligentes (LSI), localizado no Departamento de Ciências Exatas e Engenharias (DCEEng) da Unijuí. Esta plataforma permite capturar as curvas e as características de um processo real de descarga de uma bateria, obto informações instantâneas, tais como: corrente, tensão e duração da descarga. A interface de gerenciamento da plataforma experimental, conforme Figura 4.2, permite uma rápida configuração para a realização dos testes experimentais e possibilita realizar até quatro descargas concomitantemente, armazenando as informações de cada uma em arquivos separados, facilitando a consulta dos dados. Ressalta-se que a referida plataforma é constituída por três partes básicas: software (sistema de controle), hardware (circuito) e, baterias [36, 48]. Figura 4.1: Plataforma de testes. O software, desenvolvido na linguagem de programação C++, possui uma interface intuitiva para a informação dos parâmetros das baterias, e é responsável pelo envio das configurações do tipo de descarga a qual a bateria vai ser submetida para o hardware, tornando possível a obtenção dos resultados gerados pelos testes. Após o preenchimento dos dados solicitados (e.g., valor da corrente e tipo de descarga) na interface, o software administra o controle da descarga aplicada nas baterias. Além disso, o software possui recursos de proteção da bateria no caso de problemas no sistema, e também possibilita salvar as imagens dos gráficos gerados a partir das descargas no formato bitmap e os relatórios da operação realizada em formato texto [13, 38]. O hardware é responsável por realizar a comunicação com o computador e a administração dos módulos de sensoriamento e controle de descarga. É composto por três placas

57 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 45 Figura 4.2: Interface de gerenciamento. eletrônicas, so que em uma delas, está localizado um microcontrolador que possui a função de efetuar a aquisição de informações como, tensão e corrente, e também tem a função de controlar a precisão da corrente de descarga aplicada na bateria, requisitada pelo software, através do uso de um algoritmo de controle Proporcional Integral (PI) [13, 38]. Destaca-se que durante um experimento, em caso de falhas na comunicação serial entre o hardware e o software, ou quando a curva de tensão da bateria simulada pela plataforma atingir o nível de cutoff configurado no software, a plataforma para de operar imediatamente [41]. 4.3 Obtenção dos Dados na Plataforma de Testes Uma etapa importante no desenvolvimento deste estudo é a obtenção dos dados experimentais, visto que são fundamentais para a realização da simulação computacional. Neste sentido, buscou-se obter os dados experimentais referentes a descarga (I) e ao tempo de vida (L) de uma bateria de LiPo, utilizando a plataforma de testes mencionada. Nesta seção, primeiramente, é descrita a metodologia adotada para a aquisição dos dados experimentais da plataforma de testes. Em seguida os dados utilizados neste estudo são apresentados. Os perfis de correntes constantes são expostos a partir da sua divisão em dois conjuntos. O primeiro, é utilizado para a estimação dos parâmetros dos modelos analíticos, e o segundo conjunto para a validação dos modelos. Posteriormente, são apresentados os perfis de descargas variáveis, baseados nas principais funcionalidades executadas em um telefone celular do tipo smartphone, assim como é apresentado o tempo de vida de cada perfil obtido a partir da plataforma de testes, utilizados para a validação

58 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 46 dos modelos considerando correntes de descargas variáveis Metodologia para a Coleta de Dados Para a realização da coleta dos dados experimentais, necessários para estimar os parâmetros, validar e comparar os modelos analíticos, considerando o mesmo cenário de simulação, é adotado um padrão único em todos os experimentos, com o intuito de reduzir qualquer alteração no resultado final dos testes [17]. Inicialmente, as baterias são conectadas a uma fonte de carregamento externa, conforme Figura 4.3, so submetidas a um processo de carga completo, até atingirem o valor máximo de carga, neste caso, quando atingirem a tensão máxima de 4, 2 V. A metodologia utilizada no carregamento consiste em aplicar uma carga lenta e constante, correspondo a 20% da capacidade nominal de cada bateria [29], com isso, a carga aplicada é de 160 miliampère (ma). Ao alcançar o valor máximo, é efetuada a desconexão da bateria da fonte de carga, e posteriormente, conectadas à plataforma para iniciar o processo de descarga. Figura 4.3: Carregamento externo. Com as baterias totalmente carregadas e conectadas na plataforma de testes, é necessário configurar alguns parâmetros relacionados a bateria, na interface da plataforma, antes de iniciar o processo de descarregamento, tais como: (i) tipo de bateria: LiPo; (ii) tensão nominal: 3, 7 V; (iii) capacidade nominal: 800 miliampère-hora (mah); (iv) corrente de descarga; (v) tensão de cutoff: 2, 7 V. O tempo de duração do processo de

59 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 47 descarga é o tempo em que a bateria demora para atingir a tensão de cutoff. No momento em que esta tensão é alcançada, o software para de enviar as informações da descarga e assim obtém-se o tempo de vida da bateria. Após cada descarga, a bateria é submetida novamente a um carregamento adotando a metodologia descrita anteriormente. As correntes de descarga, utilizadas na realização dos testes experimentais, variam entre 10 ma e 800 ma, abrango correntes baixas, médias e altas a fim de compreer os diferentes níveis de descarga, e incluem perfis de correntes de descargas constantes e variáveis, que são apresentadas a seguir. Para cada perfil, os ensaios experimentais são repetidos oito vezes, objetivando a obtenção de uma amostragem estatística satisfatória para o tempo de vida da bateria [26]. Destaca-se que nos experimentos realizados para este trabalho foram utilizadas oito baterias novas de LiPo, modelo PL C Apresentação dos Dados Nesta seção são apresentados os dados extraídos da plataforma de testes e utilizados para a estimação dos parâmetros e validação dos modelos, considerando correntes de descargas constantes e variáveis. So que, para esta última, primeiramente, é explicitado cada um dos oito perfis utilizados nos testes experimentais que são baseados em um conjunto de operações rotineiras realizadas em um telefone celular do tipo smartphone. Perfis de Corrente de Descargas Constantes O conjunto de dados utilizado para a estimação dos parâmetros dos modelos é composto por 4 perfis de descargas constantes, enquanto o conjunto de dados para a validação dos modelos compree 16 perfis de descargas constantes. Ressalta-se que, seguindo a metodologia adotada em [42], perfis de descargas constantes são suficientes para a estimação dos parâmetros dos modelos que descrevem o comportamento das baterias tanto para correntes de descargas constantes, quanto para correntes de descargas variáveis. Observa-se que nenhuma corrente de descarga aplicada se repete nos dois conjuntos, com o intuito de evitar resultados tenciosos. Além disso, destaca-se também, que ambos os conjuntos contêm correntes baixas, médias e altas, dentro dos limites mínimo e máximo oferecidos pela bateria utilizada. Na Tabela 4.1, I est representa o perfil da corrente de descarga constante, em ma, e L est representa o tempo de vida experimental médio, em minutos, dos dados utilizados para a estimação dos parâmetros dos modelos. Já na Tabela 4.2, I val representa o perfil da corrente descarga constante, em ma, e L val representa o tempo de vida experimental médio, em minutos, utilizados para a validação dos modelos. E em ambas as tabelas, L ej, é o tempo de vida experimental, em minutos, e 1 j 8 é o número de experimentos realizados.

60 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 48 Tabela 4.1: Dados utilizados para a estimação dos parâmetros dos modelos. I est L e1 L e2 L e3 L e4 L e5 L e6 L e7 L e8 Lest ,06 607,28 626,98 599,75 586,90 652,15 582,58 606,78 606, ,48 159,63 145,22 168,08 165,87 171,35 175,63 165,10 165, ,28 98,67 91,68 97,54 101,72 86,11 82,90 98,18 94, ,35 69,00 71,68 67,78 71,63 57,18 53,42 68,73 65,97 Tabela 4.2: Dados utilizados para a validação dos modelos. I val L e1 L e2 L e3 L e4 L e5 L e6 L e7 L e8 Lval ,07 980,42 860,43 922,15 920,43 993,96 931,38 950,08 940, ,71 474,42 460,45 466,30 470,75 459,03 445,53 486,62 465, ,02 311,72 302,97 307,58 345,03 297,62 279,48 305,38 304, ,20 219,18 213,95 236,18 218,83 235,70 239,72 228,12 227, ,23 173,47 167,72 188,93 182,78 190,15 193,12 184,65 184, ,15 148,23 142,28 156,65 157,58 140,68 138,83 155,37 149, ,53 137,71 139,57 131,23 133,43 123,65 118,67 132,97 130, ,55 117,75 121,52 115,78 118,80 107,90 101,90 117,50 114, ,45 105,05 109,60 103,15 106,82 89,80 87,28 103,15 100, ,98 93,93 97,11 92,68 96,70 83,13 78,65 90,45 90, ,77 85,06 88,77 82,48 87,46 72,67 68,90 84,42 81, ,10 77,98 81,31 76,15 80,57 65,50 62,68 76,25 74, ,05 71,67 74,67 70,03 74,13 59,42 55,90 70,38 68, ,90 66,37 69,48 64,73 69,76 54,73 51,85 65,28 63, ,12 50,20 47,06 60,87 61,32 61,72 64,42 59,72 58, ,10 46,32 42,50 56,92 57,30 57,78 60,07 56,13 54,64 A seguir são apresentados em gráficos o comportamento da descarga da bateria considerando os conjuntos de dados apresentados respectivamente nas Tabelas 4.1 e 4.2. Na Figura 4.4 são mostrados os dados de estimação de parâmetros e de validação dos modelos, para cada perfil de corrente aplicada, verifica-se que a medida que a corrente de descarga aumenta, o tempo de vida da bateria diminui, assim, correntes de descargas baixas possibilitam um maior tempo de vida das baterias. Na Figura 4.5 é apresentada a capacidade da bateria para cada perfil de corrente de descarga aplicada, também considerando os dados de estimação de parâmetros e de validação dos modelos. Percebe-se que, conforme aumenta a corrente de descarga aplicada, menor é a capacidade fornecida ao sistema pela bateria. E, na Figura 4.6 é apresentada a capacidade fornecida em função do tempo de vida, na qual é possível observar que a capacidade é diretamente proporcional ao tempo de vida da bateria.

61 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 49 Figura 4.4: Corrente (ma) vs. Tempo de Vida (min). Figura 4.5: Corrente (ma) vs. Capacidade (mamin). Perfis de Correntes de Descargas Variáveis A partir de uma série de medições experimentais [27] utilizando um smartphone, foram mensuradas as correntes variáveis em função das principais tarefas executadas pelo dispositivo. O valor destas correntes são apresentados na Tabela 4.3. A partir destes valores, são formados os perfis de descarga realísticos, utilizados nos

62 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 50 Figura 4.6: Tempo de Vida (min) vs. Capacidade (mamin). Tabela 4.3: Correntes de descarga de acordo com as tarefas executadas. Corrente (ma) Descrição das Tarefas 10 Em Stand by 40 Tela ligada e uso do aparelho com brilho mínimo 40 Acesso a jogos do aparelho 50 Uso da calculadora 70 Tela ligada e uso do aparelho com brilho máximo 70 Escrever SMS 80 Uso da câmera 90 Gravação de áudio 100 Ligação normal 100 Visualização de imagens 100 Ouvir música no volume mínimo 150 Ligação em viva voz 200 Ouvir música no volume máximo 200 Acesso à internet 200 Uso do alarme 230 Ouvir música no rádio (volume máximo) testes experimentais deste trabalho, que diferem entre si, no que se refere ao valor da corrente aplicada e ao tempo de atuação. A descrição dos oito perfis utilizados, assim como a ilustração de cada degrau representativo é realizada a seguir. O Perfil I (P1), descrito pela Tabela 4.4 e representado pelos degraus da Figura 4.7 é composto por correntes relativamente baixas, so que a maior delas é de 200 ma, que corresponde ao acesso à internet. Neste perfil foi desconsiderado o brilho na tela em todas as tarefas executadas, e há presente momentos de relaxação (Stand by), onde o efeito de recuperação atua no processo de descarga. Os tempos de duração de cada corrente de

63 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 51 descarga são de 5 minutos, mudando para 10 minutos somente na última tarefa. Tabela 4.4: Perfil I - P1. Corrente (ma) Tempo (min) Tarefa Ligação normal 10 5 Stand by Ligação em viva voz 10 5 Stand by Visualização de imagens 10 5 Stand by Acesso à internet Figura 4.7: Degraus demonstrativos do perfil P1. O Perfil II (P2), exposto na Tabela 4.5 e na Figura 4.8, tem como corrente mais alta 270 ma, representado pelo acesso à internet considerando o brilho na tela em todas as funções desempenhadas pelo smartphone. O tempo de duração de cada corrente de descarga varia de 5 à 30 minutos, so maiores que do perfil anterior. Destaca-se que neste perfil também há períodos de relaxação.

64 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 52 Tabela 4.5: Perfil II - P2. Corrente (ma) Tempo (min) Tarefa Ligação normal Acesso à internet Stand by Enviar SMS Ouvir música no rádio (volume máximo) Stand by Acesso à internet Figura 4.8: Degraus demonstrativos do perfil P2. Da mesma forma que o perfil anterior, o Perfil III (P3), também possui sua maior corrente de descarga de 270 ma, representado pelo uso do alarme e o acesso à internet considerando o brilho na tela. O tempo de duração de cada corrente de descarga neste perfil, que pode ser observado na Tabela 4.6 e na Figura 4.9, são baixos, variando no tempo de aplicação entre 5, 10 e 15 minutos. Ressalta-se que, os três perfis apresentados são considerados realísticos, visto que são formados a partir de correntes de descargas que representam as funções aplicadas em um smarthphone e executadas pelo usuário, o que aproxima a simulação de um processo real. Contudo, como pode ser observado na Tabela 4.3, as correntes de descarga que representam uma tarefa realizada no smarthphone são baixas. Desta forma, procurando observar o comportamento dos modelos analíticos, também sob a atuação de correntes médias e altas, são criados alguns perfis aleatórios de correntes variáveis [27], que são apresentados a baixo.

65 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 53 Tabela 4.6: Perfil III - P3. Corrente (ma) Tempo (min) Tarefa Alarme Stand by Uso da calculadora Ligação normal Stand by Acesso à Internet Visualização de imagens Figura 4.9: Degraus demonstrativos do perfil P3. O Perfil IV (P4), descrito na Tabela 4.7 e representado pelos degraus da Figura 4.10, é composto por correntes médias, so que a mais alta atinge o valor de 550 ma e a mais baixa o valor de 50 ma, e os tempos de duração das correntes variam entre 5, 10 e 15 minutos. Tabela 4.7: Perfil IV - P4. Corrente (ma) Tempo (min) Já no Perfil V (P5), presente na Tabela 4.8 e na Figura 4.11, há a presença de correntes de descarga altas, atingindo o valor máximo de 750 ma e o mínimo de 100 ma, com o

66 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 54 Figura 4.10: Degraus demonstrativos do perfil P4. tempo de cada corrente variando entre 5 e 10 minutos. Tabela 4.8: Perfil V - P5. Corrente (ma) Tempo (min) O Perfil VI (P6), descrito na Tabela 4.9 e na Figura 4.12, inicia com uma corrente de descarga de 100 ma, e aumenta 100 ma a cada corrente, até atingir o valor final de 700 ma. So, desta forma, um perfil de descargas crescente, onde todas correntes atuam durante 10 minutos. Ao contrário do P6, o Perfil VII (P7), inicia com uma corrente de descarga de 700 ma e diminui gradativamente com intervalos de 100 ma, até atingir o valor final de 100 ma, so totalmente decrescente. Este perfil pode ser observado na Tabela 4.10 e nos degraus representativos da Figura 4.12, onde o tempo de duração de cada corrente também é de 10 minutos. Por fim, o Perfil VIII (P8), exposto na Tabela 4.11, e o seus degraus ilustrados na Figura 4.14, é baseado no P1, contudo as correntes de descarga tem seu valor duplicado e o tempo de duração de cada uma é reduzido pela metade, com exceção dos períodos de

67 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 55 Figura 4.11: Degraus demonstrativos do perfil P5. Tabela 4.9: Perfil VI - P6. Corrente (ma) Tempo (min) Tabela 4.10: Perfil VII - P7. Corrente (ma) Tempo (min) relaxação, que não são modificados, essa metodologia é adotada com o intuito de manter igual as capacidades dos Perfis P1 e P8. Ressalta-se que, em todos os perfis descritos, as correntes se repetem continuamente até que a bateria atinja o nível de cutoff. Diferentemente das descargas constantes, estes oito perfis possuem variação ao longo do tempo, de forma que os efeitos não lineares ficam

68 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 56 Figura 4.12: Degraus demonstrativos do perfil P6. Figura 4.13: Degraus demonstrativos do perfil P7. mais presentes, e como consequência, o processo de descarga torna-se mais próximo ao perfil utilizado pelo usuário em um smartphone. Os resultados dos tempos de vida experimentais, extraídos da plataforma de testes e utilizados para a validação dos modelos analíticos considerando os perfis de correntes de descargas variáveis apresentados anteriormente, encontram-se na Tabela 4.12, na qual

69 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 57 Tabela 4.11: Perfil VIII - P8. Corrente (ma) Tempo (min) 200 2, , , Figura 4.14: Degraus demonstrativos do perfil P8. para cada perfil de descarga (P1-P8), L ej, é o tempo de vida experimental, em minutos, 1 j 8 é o número de experimentos realizados, e L val, o tempo de vida experimental médio obtido, em minutos. Tabela 4.12: Dados utilizados para validação dos modelos analíticos considerando descargas variáveis. Perfil L e1 L e2 L e3 L e4 L e5 L e6 L e7 L e8 Lval P1 463,82 512,02 470,10 490,26 463,34 494,11 470,92 473,21 479,72 P2 265,40 263,62 321,46 264,57 263,88 319,27 270,51 310,88 284,95 P3 340,23 330,51 318,87 313,82 304,17 333,61 331,01 303,93 322,02 P4 146,54 147,69 156,14 149,16 146,81 148,49 147,99 152,29 149,39 P5 143,69 144,91 143,97 145,70 139,97 139,97 136,55 139,36 141,76 P6 135,51 133,50 125,57 124,69 124,24 122,69 120,00 126,81 126,63 P7 99,22 105,74 99,94 97,01 95,99 99,22 93,32 97,73 98,52 P8 327,50 352,53 326,29 327,56 326,04 319,96 311,78 301,75 324,17

70 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos Metodologia para a Estimação dos Parâmetros dos Modelos Em termos gerais, os métodos de estimação de parâmetros fazem a associação entre a realidade física de um conjunto de observações e a concepção abstrata de um modelo [48]. Nesta seção é apresentado o método de estimação de parâmetros dos Mínimos Quadrados (MQ), utilizado nesta dissertação para estimar os parâmetros dos cinco modelos analíticos considerados neste estudo, já descritos no Capítulo 3. A estimação de parâmetros tem como objetivo encontrar valores de parâmetros de um modelo matemático que representa um determinado fenômeno. Para isso, utiliza-se um conjunto de dados que são obtidos de um processo real ou a partir da utilização de simuladores. Ressalta-se que a metodologia adotada para a estimação dos parâmetros e simulação dos modelos segue o mesmo padrão para todos os modelos, e é fundamentada na metodologia utilizada por [42] em seu estudo Método dos Mínimos Quadrados O método dos MQ ou OLS (Ordinary Least Squares), desenvolvido por Johann Carl Friedrich Gauss ( ) e, posteriormente, generalizado por Pierre-Simon Laplace ( ), foi originalmente elaborado para auxiliar a determinar órbitas de cometas e planetas e aplica-se atualmente em diversas áreas da ciência e tecnologia [4, 39]. O MQ é um método de otimização que procura encontrar o valor ótimo dos parâmetros para um determinado conjunto de dados, através da minimização da soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados experimentais (i.e., resíduos) [1]. Este método é dito linear quando a resolução de suas equações normais é possível através do uso da álgebra linear. Entretanto, muitos problemas não podem ser resolvidos linearmente, como a estimação dos parâmetros dos modelos utilizados neste trabalho. Neste caso, a técnica mais empregada é a linearização do problema, so então, o método dos MQ chamado não linear. Uma formulação mais geral do método dos MQ, para problemas não lineares, pode ser expressa conforme segue [16]. Seja y uma função de k parâmetros que deseja-se ajustar y i = y(x i, a 1, a 2,, a k ), (4.1) considera-se a k = a k,0 + a k, (4.2) onde: x i são os valores de entrada, y i são os valores de saída e, a k,0 é uma aproximação

71 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 59 (i.e., chute inicial) de a k, com a hipótese de que a k a k,0. Então, pode-se linearizar a equação (4.1), e obtém-se y i = y(x i, a 1, a 2,, a k ) + y a 1 a 1 an=an,0 + y a a y a a n n, (4.3) an=an,0 an=an,0 observa-se que as derivadas são calculadas para todos os valores de a n = a n,0, para n tal que 1 n k. Entretanto, considera-se que y i,0 = y(x i,0, a 1,0, a 2,0,, a k,0 ), (4.4) e y i a n = y i a n, (4.5) a n a n a0 an=an,0 pode-se reescrever a equação (4.3) como y i = y i,0 + k y i a j, (4.6) a j a0 j=1 onde: o subscrito i significa calculado no ponto x i. Como função objetivo tem-se, para o método dos MQ linear, S t (yi o y i ) 2, (4.7) i=1 pode-se, então, de modo análogo calcular o valor de S para o método dos MQ não linear, substituindo a equação (4.6) na equação (4.7). Logo, obtém-se a expressão S ( t yi o y i,0 i=1 ) k y 2 i a j, (4.8) a j a0 onde: yi o é o valor de saída observado. Minimizando a equação (4.8), em relação a a m, para m tal que 1 m k S ( a m ) = 0 ( t yi o y i,0 i=1 j=1 j=1 ) k y ( ) i yi a j = 0, (4.9) a j ( a m ) a0 so que, aplicando as devidas simplificações a equação pode ser escrita em notação de

72 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 60 colchetes por k [ ] [ y y a j = (y o y 0 ) ( a m ) ( a j ) j=1 e, em notação matricial por [ [ [ y y a 1 y y a 2. y a k a 1 ] [ a 1 ] [ y a 1 y a 2 ] [ y y a 1 a k ] y a 2 ] y a 2. ] y a 2 [ [.... [ ] y y a 1 a k ] y y a 2 a k y a k ] y a k y ( a m ) [ a 1 (y o y 0 ) y [ a 2 (y = o y 0 ) y.. [ a k (y o y 0 ) y ], (4.10) a 1 ] a 2 ] a k ]. (4.11) A equação (4.11) está implementada no software de computação algébrica e numérica MatLab, através da função de otimização lsqnonlin [33] Estimação dos Parâmetros dos Modelos Matemáticos Nesta seção são apresentados os parâmetros estimados para os modelos utilizados nesta dissertação para a realização da análise comparativa considerando o mesmo cenário de simulação. A estimação foi realizada através do método dos MQ não linear descrito na seção anterior e a partir da implementação de rotinas M-file no MatLab, conforme os Apêndices A até F, seguindo a metodologia descrita, que é adotada também por Rakhmatov e Vrudhula em seus trabalhos [42, 44]. A partir do conjunto de dados experimentais para estimação, descritos na Tabela 4.1, a estimação do parâmetro do modelo Linear, foi realizada utilizando a equação (3.3). Nela foram substituídos os valores de corrente (I) e tempo de vida (L), e aplicando-se o método dos MQ não linear (cf. Apêndice A), o parâmetro obtido é: C i = Para o modelo Lei de Peukert, foi utilizada a equação (3.6), substituindo-se os valores de corrente (I) e tempo de vida (L), e aplicando-se o método dos MQ não linear (cf. Apêndice B), os parâmetros encontrados são: a = 46692; e, b = 1, Já para a Lei de Peukert Estida, foi utilizada a equação (3.22), substituindo-se os valores de corrente (I) e tempo de vida (L), e aplicando-se o método dos MQ não linear (cf. Apêndice C), os parâmetros encontrados são: C 1 = 0, 0036; C 2 = 40651; e, b = 1, Para o modelo KiBaM, da equação (3.38), considerando y 1 (t) = 0 e t = L, e isolando I, obtém-se a equação que relaciona a corrente de descarga com os demais parâmetros. Substituindo-se os valores de corrente (I) e tempo de vida (L) na equação, e aplicando-se o método dos MQ não linear (cf. Apêndice D), os parâmetros encontrados são: y 0 = 45801; c = 6, ; e, k = O outro parâmetros necessário, é obtido substituindo na equação (3.40) os parâmetros c e y 0 já encontrados, so obtido y 1 (0) = 0,

73 Capítulo 4. Apresentação dos Dados e Estimação dos Parâmetros dos Modelos 61 Para o modelo RV, foi realizada a estimação dos parâmetros a partir da equação (3.53), substituindo-se os valores de corrente (I) e tempo de vida (L), e aplicando-se o método dos MQ não linear (cf. Apêndice E), os parâmetros encontrados são: α = 29867; e, β = 2, Resumo do Capítulo Neste capítulo, inicialmente, é apresentada a descrição da plataforma de testes desenvolvida pelo GAIC, a qual é utilizada para a obtenção dos dados experimentais aplicados neste estudo. Para os experimentos realizados neste trabalho foram utilizadas 8 baterias novas do tipo LiPo, modelo PL C. Posteriormente, é descrita a metodologia adotada para a coleta de dados da plataforma. A bateria é carregada com uma fonte externa, até atingir a tensão máxima de 4,2 V. Então, a bateria é conectada à plataforma para iniciar o processo de descarga. Na sequência do capítulo é realizada a apresentação dos dados experimentais obtidos, tanto para descargas constantes como para variáveis. Destaca-se que os perfis de correntes variáveis são baseados em um conjunto de operações rotineiras realizadas em um telefone celular do tipo smartphone. Com a obtenção dos dados experimentais dois conjuntos são apresentados, um para a estimação dos parâmetros dos modelos e o outro para a validação dos modelos, ambos contemplando perfis de descargas baixas, médias e altas, dentro dos limites mínimo e máximo oferecido pela bateria utilizada. Por fim, é realizada a estimação dos parâmetros dos modelos analíticos avaliados neste trabalho. No próximo capítulo são expostos os resultados das simulações, assim como uma análise comparativa entre os modelos com o desígnio de verificar qual possui melhor acurácia quando dada as mesmas condições de comparação (i.e., mesmo cenário de simulação).

74 Capítulo 5 Resultados das Simulações e Análises 5.1 Introdução Neste capítulo são apresentadas as validações dos modelos matemáticos estudados, confrontando os resultados encontrados a partir das simulações dos modelos com os dados experimentais obtidos na plataforma de testes, considerando o mesmo ambiente de simulação e correntes de descargas constantes e variáveis. Para as simulações computacionais dos modelos matemáticos, os mesmo são implementados na ferramenta computacional MatLab e são utilizados os parâmetros estimados no capítulo anterior. Posteriormente é realizada uma análise comparativa entre os modelos, objetivando encontrar qual modelo analítico é mais adequado para a predição do tempo de vida de baterias de LiPo, que alimentam dispositivos móveis. Como um modelo matemático dificilmente descreve todas as características de um sistema real, o mesmo pode ser considerado válido quando representar as características fundamentais do sistema que será modelado de forma satisfatória com uma boa acúracia [17]. O restante deste capítulo está organizado como segue. Na Seção 5.2 é apresentada a metodologia adotada para a validação dos modelos analíticos analisados neste estudo. Na Seção 5.3 é realizada a validação do modelo Linear em relação aos dados experimentais. Na Seção 5.4 é efetuada a validação do modelo Lei de Peukert em relação aos dados experimentais. Na Seção 5.5 é realizada a validação do modelo Lei de Peukert Estida em relação aos dados experimentais. Na Seção 5.6 é executada a validação do modelo KiBaM em relação aos dados experimentais. Na Seção 5.7 é efetuada a validação do modelo RV, último modelo considerado nesta dissertação, em relação aos dados experimentais. Na Seção 5.8 é apresentada uma análise comparativa entre os resultados dos cinco modelos analíticos. E, por fim, na Seção 5.9 é exposto um resumo do capítulo. 62

75 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises Metodologia Adotada para a Validação dos Modelos A metodologia utilizada para a validação dos modelos é composta pelas seguintes etapas: (i) estimação dos parâmetros empíricos, a partir dos dados experimentais, descritos no Capítulo 4; (ii) simulação dos modelos no MatLab considerando os parâmetros estimados (cf. Apêndices A até F); (iii) cálculo do tempo de vida das bateria para cada corrente de descarga aplicada; (iv) comparação do tempo de vida simulado pelo modelo (L sim ) com o tempo de vida experimental médio ( L val ) [30]. A diferença entre o tempo de vida experimental médio e o tempo de vida calculado pelo modelo para cada perfil de descarga é obtido através do erro relativo percentual, denominado erro, e é dado pela equação: Erro = 100 L val L sim L val (5.1) onde: L val é o tempo de vida experimental médio e L sim é o tempo de vida calculado pelo modelo. O erro médio de cada modelo é dado pela média aritmética dos erros encontrados para cada perfil de descarga. Como já mencionado, ressalta-se que, para a validação dos modelos, é utilizado um conjunto de dados distinto do utilizado para a estimação dos parâmetros. Faz-se uso, então, do conjunto de dados apresentado na Tabela 4.2, para correntes de descargas constantes e dos dados apresentados na Tabela 4.12, para correntes de descargas variáveis, presentes no capítulo Validação do Modelo Linear Nesta seção são apresentados os resultados encontrados a partir das simulações do modelo Linear, implementado na ferramenta computacional MatLab (cf. Apêndice A), tanto para correntes de descarga constantes, quanto para correntes de descarga variáveis. Para a validação do modelo é utilizado o parâmetro estimado no capítulo anterior, C i = Validação para Correntes de Descargas Constantes Com o objetivo de validar o modelo, os resultados encontrados nas simulações são comparados com os resultados experimentais, obtidos através da plataforma de testes. Na Tabela 5.1 são descritos, para cada corrente de descarga (I val ), o tempo de vida experimental médio obtido da plataforma de testes ( L val ), e os resultados do tempo de

76 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises 64 vida simulado pelo modelo (L sim ). Para cada simulação realizada, é calculado o erro para o tempo de vida apresentado pelo modelo em relação aos dados experimentais, assim como o erro médio do modelo. Tabela 5.1: Validação do modelo Linear para correntes de descargas constantes. Dados de Validação Linear I val (ma) Lval (min) L sim (min) Erro (%) ,37 909,80 3, ,98 454,90 2, ,10 303,30 0, ,99 227,50 0, ,01 182,00 1, ,47 151,70 1, ,47 130,00 0, ,59 113,80 0, ,91 101,10 0, ,58 91,00 0, ,69 82,80 1, ,69 75,90 1, ,41 70,00 2, ,51 65,00 2, ,68 60,70 3, ,64 56,90 4,14 Erro Médio (%) = 1,60 Figura 5.1: Validação do modelo Linear para correntes de descargas constantes. A partir da análise da Figura 5.1, na qual são apresentados os resultados das simula-

77 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises 65 ções do modelo Linear juntamente com os resultados obtidos experimentalmente, nota-se que à medida que a corrente de descarga aplicada aumenta, o tempo de vida da bateria diminui. Observa-se também que o modelo descreve satisfatoriamente os dados experimentais, visto que a curva de simulação está próxima dos dados experimentais. O erro médio apresentando pelo modelo Linear é de 1, 60%, so considerado acurado, dado que a literatura técnica afirma que o erro máximo aceitável, para que um modelo seja considerado acurado é de 5% [54] Validação para Correntes de Descargas Variáveis As simulações computacionais do modelo Linear, considerando correntes de descargas variáveis, são realizadas a partir da utilização do mesmo parâmetro empírico usado para a validação de correntes de descargas constantes, pois conforme [42], para fins de estimação somente as descargas constantes já seriam suficientes, e portanto estes parâmetros podem ser utilizados nas simulações para qualquer tipo de corrente de descarga. A partir do uso da ferramenta computacional MatLab foram simulados os tempos de vida da bateria para os oito perfis (P1-P8) de descarga (cf. Tabela 4.12), e os resultados destas simulações são apresentados na Tabela 5.2 e na Figura 5.2. Tabela 5.2: Validação do modelo Linear para correntes de descargas variáveis. Dados de Validação Linear Perfil (ma) Lval (min) L sim (min) Erro (%) P1 479,72 473,50 1,30 P2 284,95 266,70 6,40 P3 322,02 317,00 1,56 P4 149,39 149,60 0,14 P5 141,76 144,50 1,93 P6 126,63 124,20 1,92 P7 98,52 99,00 0,49 P8 324,17 326,80 0,81 Erro Médio (%) = 1,82 Da mesma forma que para correntes de descargas constantes, na Tabela 5.2 são comparados os tempos simulados pelo modelo (L sim ) para cada perfil de descarga variável com os tempos obtidos a partir da plataforma de teste ( L val ), objetivando determinar o erro para cada perfil de descarga, a fim de verificar se o modelo analisado consegue ter uma boa predição do tempo de vida de uma bateria. Nesta comparação, verifica-se que a maior diferença entre os tempos ocorreu no Perfil P2, onde o erro máximo encontrado foi de 6, 40%, e o menor erro obtido é dado pelo Perfil P4, so de 0, 14%. O erro médio apresentado pelo modelo Linear para os perfis estudados, é de 1, 82%, so considerado satisfatório.

78 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises 66 Figura 5.2: Validação do modelo Linear para correntes de descargas variáveis. 5.4 Validação da Lei de Peukert Nesta seção são apresentados os resultados obtidos a partir das simulações da Lei de Peukert, utilizando correntes de descarga constantes e variáveis, e a implementação realizada na ferramenta computacional MatLab (cf. Apêndice B). Para a validação do modelo é utilizado os parâmetros estimados no capítulo anterior, a = 46692; e, b = 1, Validação para Corrente de Descargas Constantes Para a validação da Lei de Peukert, os tempos obtidos a partir das simulações computacionais são comparados com os tempos coletados através da plataforma de teste, para assim verificar a acurácia deste modelo para a predição do tempo de vida de baterias. Analisando a Tabela 5.3 e a Figura 5.3, nas quais são descritos, para cada corrente de descarga (I val ), o tempo de vida experimental médio ( L val ) obtido a partir da plataforma de testes, os resultados do tempo de vida simulado pelo modelo (L sim ), e o erro obtido entre tempo de vida simulado e tempo de vida experimental para cada corrente de descarga aplicada. Verifica-se que a Lei de Peukert descreve satisfatoriamente os dados experimentais, apresentando um erro médio de 1, 31%.

79 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises 67 Tabela 5.3: Validação da Lei de Peukert para correntes de descargas constantes. Dados de Validação Peukert I val (ma) Lval (min) L sim (min) Erro (%) ,37 912,70 2, ,98 454,50 2, ,10 302,30 0, ,99 226,40 0, ,01 180,90 1, ,47 150,60 0, ,47 129,00 1, ,59 112,80 1, ,91 100,20 0, ,58 90,10 0, ,69 81,90 0, ,69 75,00 0, ,41 69,20 1, ,51 64,20 1, ,68 59,90 2, ,64 56,20 2,86 Erro Médio (%) = 1,31 Figura 5.3: Validação da Lei de Peukert para correntes de descargas constantes Validação para Correntes de Descargas Variáveis Ao contrário das descargas constantes, as descargas variáveis possuem variações ao longo do tempo, assim, os efeitos não lineares têm maior presença e, por consequência, o processo de descarga torna-se mais fiel ao perfil de utilização de um usuário. Cabe

80 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises 68 relembrar que o modelo em questão captura apenas um dos efeitos não lineares (i.e., efeito da taxa de descarga). As simulações realizadas na ferramenta computacional MatLab resultaram nos tempos de vida de cada perfil, conforme pode ser observado na Tabela 5.4. Tabela 5.4: Validação da Lei de Peukert para correntes de descargas variáveis. Dados de Validação Peukert Perfil (ma) Lval (min) L sim (min) Erro (%) P1 479,72 473,40 1,32 P2 284,95 266,00 6,65 P3 322,02 316,20 1,81 P4 149,39 149,00 0,26 P5 141,76 143,70 1,37 P6 126,63 123,60 2,39 P7 98,52 98,10 0,42 P8 324,17 326,50 0,72 Erro Médio (%) = 1,87 Figura 5.4: Validação da modelo Lei de Peukert para correntes de descargas variáveis. A partir da análise da Tabela 5.4 e da Figura 5.4, que apresentam os resultados das simulações do modelo (L sim ) e os dados experimentais ( L val ), observa-se que o maior erro apresentado pelo modelo é de 6, 65%, dado pelo Perfil P2. Em contrapartida, o Perfil P4 apresenta um erro de apenas 0, 26%. Com um erro médio de 1, 87%, a Lei de Peukert descreve satisfatoriamente os dados experimentais.

81 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises Validação da Lei de Peukert Estida Nesta seção são apresentados os resultados encontrados a partir das simulações da Lei de Peukert Estida, que também foi implementada na ferramenta computacional MatLab (cf. Apêndice C). Para a validação deste modelo, tanto para correntes de descargas constantes como para correntes de descargas variáveis, é utilizado os parâmetros estimados no capítulo anterior, C 1 = 0, 0036; C 2 = 40651; e, b = 1, Validação para Correntes de Descargas Constantes Com o intuito de validar o modelo e verificar sua acurácia, os tempos de vida simulados pelo modelo (L sim ) são comparados com os tempos de vida experimentais ( L val ) (cf. Tabela 5.5). Para cada simulação realizada é calculado o erro obtido para o tempo de vida calculado pelo modelo em relação aos dados experimentais, assim como o erro médio do modelo. A partir da análise da Figura 5.5, nota-se que o modelo descreve satisfatoriamente os dados experimentais, visto que a curva de simulação está próxima dos dados experimentais. Confirmando os estudos de [18], a Lei de Peukert Estida obteve vantagem em termos de acurácia quando comparada a Lei de Peukert, apresentando um erro médio de 1, 15%. Tabela 5.5: Resultado das simulações do modelo Lei de Peukert Estida para descargas constantes. Dados de Validação Peukert Estido I val (ma) Lval (min) L sim (min) Erro (%) ,37 892,50 5, ,98 457,80 1, ,10 304,90 0, ,99 227,90 0, ,01 181,70 1, ,47 150,90 0, ,47 129,00 1, ,59 112,60 1, ,91 99,80 1, ,58 89,60 1, ,69 81,30 0, ,69 74,40 0, ,41 68,60 0, ,51 63,60 0, ,68 59,30 1, ,64 55,50 1,57 Erro Médio (%) = 1,15

82 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises 70 Figura 5.5: Simulação do modelo Lei de Peukert Estido para descargas constantes Validação para Correntes de Descargas Variáveis Para as simulações da Lei de Peukert Estida considerando correntes de descargas variáveis, considera-se os mesmos parâmetros utilizados para as simulações das correntes de descargas constantes. Os tempos obtidos nas simulações através da ferramenta computacional MatLab são apresentados na Tabela 5.6 e na Figura 5.6, nas quais pode-se observar que o modelo obteve um erro mínimo de apenas 0, 19% no Perfil P4. No entanto, o Perfil P2 apresentou um erro de 6, 19%, so o maior erro apresentado pelo modelo. Como erro médio, na utilização de correntes de descargas variáveis, a Lei de Peukert Estida obteve 1, 77%, so considerado um modelo acurado. Tabela 5.6: Validação da Lei de Peukert Estida para correntes de descargas variáveis. Dados de Validação Peukert Estido Perfil (ma) Lval (min) L sim (min) Erro (%) P1 479,72 474,80 1,03 P2 284,95 267,30 6,19 P3 322,02 318,60 1,06 P4 149,39 149,10 0,19 P5 141,76 143,90 1,51 P6 126,63 123,50 2,47 P7 98,52 97,80 0,73 P8 324,17 327,40 1,00 Erro Médio (%) = 1,77

83 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises 71 Figura 5.6: Validação da Lei de Peukert Estida para correntes de descargas variáveis. 5.6 Validação do Modelo KiBaM Nesta seção são apresentados os resultados encontrados a partir das simulações do modelo KiBaM, implementado na ferramenta computacional MatLab (cf. Apêndice D), considerando correntes de descargas constantes e variáveis. Os parâmetros encontrados para este modelo, e utilizado em sua validação, são: y 0 = 45801; c = 6, ; k = ; e, y 1 (0) = 0, Validação para Correntes de Descargas Constantes Os resultados obtidos nas simulações do modelo KiBaM para correntes de descargas constantes são comparados com um conjunto de dados experimentais obtidos da plataforma de testes, conforme Tabela 5.7, na qual são descritos, para cada corrente de descarga (I val ), o tempo de vida experimental médio ( L val ), e os resultados do tempo de vida simulados pelo modelo (L sim ). O modelo prediz satisfatoriamente o tempo de vida de baterias (cf. Figura 5.7), apresentando um erro médio de apenas 0, 99%. Destaca-se que no perfil de 700 ma encontra-se o erro mínimo apresentado pelo modelo KiBaM, so praticamente desprezível, visto que o erro foi de 0,01 minutos (i.e., 0, 02%).

84 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises 72 Tabela 5.7: Validação do modelo KiBaM para correntes de descargas constantes. Dados de Validação KiBaM I val (ma) Lval (min) L sim (min) Erro (%) ,37 914,10 2, ,98 456,10 2, ,10 303,40 0, ,99 227,10 0, ,01 181,30 1, ,47 150,80 0, ,47 129,00 1, ,59 112,60 1, ,91 99,90 1, ,58 89,70 0, ,69 81,40 0, ,69 74,40 0, ,41 68,60 0, ,51 63,50 0, ,68 59,20 0, ,64 55,30 1,21 Erro Médio (%) = 0,99 Figura 5.7: Validação do modelo KiBaM para correntes de descargas constantes Validação para Correntes de Descargas Variáveis Os resultados obtidos pelo modelo KiBaM para correntes de descargas variáveis podem ser observados na Tabela 5.8 e na Figura 5.8, que apresentam a comparação entre tempo de vida simulado pelo modelo (L sim ) e os dados experimentais ( L val ). O modelo descreve

85 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises 73 de forma satisfatória os dados experimentais, dado que seu erro médio é de 1, 97%. Mais uma vez o maior erro apresentado pelo modelo encontra-se no Perfil P2 (i.e., 6, 69%), e o menor erro do modelo é de 0, 44%, que ocorre no Perfil P8. Tabela 5.8: Validação do modelo KiBaM para correntes de descargas variáveis. Dados de Validação KiBaM Perfil (ma) Lval (min) L sim (min) Erro (%) P1 479,72 473,10 1,38 P2 284,95 265,90 6,69 P3 322,02 316,90 1,59 P4 149,39 148,20 0,80 P5 141,76 143,20 1,02 P6 126,63 122,80 3,02 P7 98,52 97,70 0,83 P8 324,17 325,60 0,44 Erro Médio (%) = 1,97 Figura 5.8: Validação do modelo KiBaM para correntes de descargas variáveis. 5.7 Validação do Modelo RV Nesta seção são apresentados os resultados obtidos a partir das simulações do modelo RV, implementado na ferramenta computacional MatLab (cf. Apêndice E). Para a validação do modelo, considerando correntes de descargas constantes e variáveis, é utilizado os parâmetros estimados no capítulo anterior, α = 29867; e, β = 2, 7614.

86 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises Validação para Correntes de Descargas Constantes Para a validação do modelo RV, os resultados encontrados nas simulações do modelo (L sim ) são comparados com os resultados coletados da plataforma de teste ( L val ) (cf. Tabela 5.9), para assim verificar a sua acurácia para a predição do tempo de vida de baterias. Para cada corrente de descarga, é calculado o erro obtido entre o tempo de vida calculado pelo modelo e os dados experimentais. Cabe lembrar que o modelo RV é considerado, pela literatura técnica, um modelo de alta acurácia [18, 39, 48, 49]. Conforme observa-se na Figura 5.9, a qual apresenta os resultados das simulações do modelo, juntamente com os resultados experimentais, constata-se que o modelo descreve satisfatoriamente os dados experimentais, e apresenta um erro mínimo quase nulo (i.e., 0, 01%) na corrente de 100 ma. Também foi calculado o erro médio encontrado pelo modelo na utilização de correntes de descargas constantes, so obtido um erro de 0, 99%. Tabela 5.9: Validação do modelo RV para correntes de descargas constantes. Dados de Validação RV I val (ma) Lval (min) L sim (min) Erro (%) ,37 995,90 5, ,98 466,00 0, ,10 306,20 0, ,99 228,40 0, ,01 182,10 1, ,47 151,30 1, ,47 129,30 0, ,59 112,80 1, ,91 100,00 0, ,58 89,80 0, ,69 81,40 0, ,69 74,40 0, ,41 68,50 0, ,51 63,40 0, ,68 59,00 0, ,64 55,20 1,02 Erro Médio (%) = 0, Validação para Correntes de Descargas Variáveis Na Tabela 5.10 são apresentados os tempos simulados pelo modelo (L sim ) para os oito perfis de descargas variáveis. Estes tempos foram comparados com os tempos obtidos pela plataforma de teste ( L val ), objetivando determinar o erro para cada perfil de descarga, a fim de verificar se o modelo analisado consegue ter uma boa predição do tempo de vida de uma bateria. Nesta comparação a maior diferença entre os tempos também ocorreu

87 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises 75 Figura 5.9: Validação do modelo RV para correntes de descargas constantes. no Perfil P2, como nos modelos anteriores, onde o erro máximo encontrado foi de 6, 33%. Já o erro mínimo encontrado foi de 0, 38%, dado pelo perfil P1. Para perfis de correntes variáveis, o modelo RV também descreve satisfatoriamente os dados experimentais, conforme pode ser observado na Tabela 5.10 e na Figura 5.10, com um erro médio de 1, 75%. Tabela 5.10: Validação do modelo RV para correntes de descargas variáveis. Dados de Validação RV Perfil (ma) Lval (min) L sim (min) Erro (%) P1 479,72 477,90 0,38 P2 284,95 266,90 6,33 P3 322,02 319,40 0,81 P4 149,39 148,20 0,80 P5 141,76 143,40 1,16 P6 126,63 122,80 3,02 P7 98,52 97,80 0,73 P8 324,17 326,60 0,75 Erro Médio (%) = 1, Análise Comparativa entre os Modelos Objetivando determinar o modelo matemático analítico que apresenta os melhores resultados na predição do tempo de vida de bateria de LiPo, considerando o mesmo conjunto

88 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises 76 Figura 5.10: Validação do modelo RV para correntes de descargas variáveis. de dados experimentais, tanto para correntes de descargas constantes, quanto para correntes de descargas variáveis, o mesmo método de estimação de parâmetros (i.e., MQ), e o mesmo padrão na estrutura dos algoritmos implementados na ferramenta computacional MatLab (i.e., mesmo cenário de simulação), optou-se pela construção de novas tabelas, nas quais estão presentes os cinco modelos analisados neste estudo Análise Comparativa para Correntes de Descargas Constantes Na Tabela 5.11 é apresentado o erro médio obtido por cada modelo considerando correntes de descargas constantes, e na Figura 5.11 está relacionado o tempo de vida obtido para cada modelo, com o tempo de vida experimental médio da bateria, obtido a partir da plataforma de testes (i.e., Dados). Tabela 5.11: Análise comparativa entre os modelos para descargas constantes. Modelos Erro Médio Linear 1,60 Peukert 1,31 Peukert Estentido 1,15 KiBaM 0,99 RV 0,99

89 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises 77 Figura 5.11: Análise comparativa para correntes de descargas constantes. Conforme pode ser observado, o modelo Linear apresentou um erro médio de 1, 60% em relação aos dados experimentais, so o menos acurado desta análise. Já a Lei de Peukert obteve um erro médio de 1, 31%, enquanto a sua Extensão alcançou um erro médio de apenas 1, 15%. Por fim, os modelos KiBaM e RV apresentaram um erro médio igual e menor que 1% para correntes de descargas constantes (i.e., 0, 99%). Cabe ressaltar que estes resultados já eram esperados, devido ao fato dos dois últimos modelos mencionados consideraram os efeitos não lineares que ocorrem em um processo de descarga, o efeito da taxa de capacidade e o efeito de recuperação, e também por serem modelos baseados nas leis físicas do processo e descritos por um conjuto de Equações Diferenciais. A Lei de Peukert e a Lei de Peukert Estida, capturam apenas o efeito da taxa de capacidade, mas também apresentam bons resultados considerando que são modelos mais empíricos e intuitivos. O modelo Linear desconsidera tais efeitos. Analisando os respectivos erros médios, conclui-se que os modelos RV e KiBaM são os mais acurados para predizer o tempo de vida de baterias de LiPo, para as mesmas condições de simulação, comparação e correntes de descargas constantes. Porém, considerando as equações que descrevem cada modelo, em questão de simplicidade ao usuário, constata-se que a Lei de Peukert Estida é a mais indicada, visto que apresentou uma diferença de apenas 0, 16% dos modelos mais acurados, mas sua complexidade algébrica é bem inferior a do modelo RV e KiBaM. Cabe destacar que os cinco modelo analisados neste estudo predizem de forma satisfatória os dados experimentais, podo ser empregados na predição do tempo de vida de baterias de dispositivos móveis, pois o erro médio

90 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises 78 de todos foi menor que 2%, e a literatura considera valores inferiores a 5% como de boa precisão [54] Análise Comparativa para Correntes de Descargas Variáveis Na utilização de dispositivos móveis, dificilmente a bateria irá sofrer um descarregamento constante durante todo o processo de descarga. Nesse contexto surge a necessidade de validar os modelos matemáticos utilizando correntes de descargas variáveis, com o objetivo de aproximar o processo de simulação da realidade do usuário. Neste sentido, é realizada a análise comparativa considerando os perfis de correntes de descargas variáveis, baseados nas principais funcionalidades de um smartphone, que pode ser verificada na Tabela 5.12 que contém o erro médio obtido por cada modelo, e através da Figura 5.12 onde está relacionado o tempo de vida obtido para cada modelo, com o tempo de vida experimental médio da bateria, obtido a partir da plataforma de testes (i.e., Dados). Tabela 5.12: Análise comparativa entre os modelos para descargas variáveis. Modelos Erro Médio Linear 1,82 Peukert 1,87 Peukert Estentido 1,77 KiBaM 1,97 RV 1,75 Através da análise da Figura 5.12 verifica-se que a maior diferença entre tempo de vida simulado pelo modelo e o tempo de vida experimental médio (i.e., dados) ocorre no Perfil P2, que é o perfil que apresenta correntes de descarga relativamente baixas, so a máxima de 270 ma e o tempo de duração de cada atividade é bastante alternado e longo quando comparado com os demais perfis, neste caso os efeitos não lineares que ocorrem em um processo de descarga estão mais presentes. Já o menor erro, está entre os perfis P1, P4 e P8. Conforme pode ser observado na Tabela 5.12, considerando o erro médio de cada modelo, o modelo analítico mais acurado desta comparação é o RV, com um erro médio de 1, 75%. Posteriormente, tem-se a Lei de Peukert Estida, que obteve um erro médio de 1, 77%. Na sequência, o terceiro modelo mais acurado considerando descargas variáveis e o mesmo cenário de simulação é o Linear, com um erro médio de 1, 82%. Dando continuidade, tem-se a Lei de Peukert, com 1, 87% de erro médio. E por fim, o modelo menos acurado desta comparação, o modelo KiBaM, que obteve um erro médio de 1, 97% quanto comparado aos dados experimentais.

91 Capítulo 5. Resultados das Simulações e Análises 79 Figura 5.12: Análise comparativa para correntes de descargas variáveis. Apesar de todos os modelos predizerem de forma satisfatória os dados experimentais, pois o erro médio máximo foi menor que 2%, e a literatura considera valores inferiores a 5% como de boa precisão [54], não era esperado que os modelos classificassem nessa ordem de acurácia. Pois considerando a revisão bibliográfica, os modelos que consideram os efeitos não lineares devem ser os mais acurados, visto que em momentos de relaxação, que estão presentes nos perfis variáveis, é possível capturar o processo de reorganização dos elétrons. Desta forma, acreditava-se que o modelo Linear seria o menos acurado desta comparação, visto que é o único modelo que não considera nenhum efeito não linear. Através deste resultado, conclui-se que o modelo RV é o mais indicado para predizer o tempo de vida de baterias considerando descargas variáveis, confirmando os estudos que dizem que este modelo é de alta acurácia [18, 39]. Na sequência, com uma diferença de acurácia mínima (i.e., 0, 02%), tem-se então, a Lei de Peukert Estida, que possui equações mais simples quando comparado ao modelo RV, so também indicado para predizer o tempo de vida de baterias considerando descargas variáveis. 5.9 Resumo do Capítulo Este capítulo é destinado à validação dos modelos e a realização de uma análise comparativa entre os mesmos. Inicialmente, os modelos são simulados considerando os parâmetros estimados no Capítulo 4. Em seguida, os valores do tempo de vida obtidos nas simulações são comparados com o tempo de vida experimental, a fim de determinar a