Modelagem Matemática do Tempo de Vida de Baterias utilizando Modelos Analíticos. Vanessa Pansera

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1 Modelagem Matemática do Tempo de Vida de Baterias utilizando Modelos Analíticos Vanessa Pansera Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul Unijuí, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática. Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Orientadora Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Coorientador Ijuí, RS, Brasil c Vanessa Pansera, Março, 2018

2 Modelagem Matemática do Tempo de Vida de Baterias utilizando Modelos Analíticos Vanessa Pansera Dissertação de Mestrado apresentada em Março, 2018 Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Orientadora Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Coorientador Cristiano Roberto Cervi, Dsc. Componente da Banca Mauricio de Campos, Dsc. Componente da Banca Ijuí, RS, Brasil, Março, 2018 ii

3 A tarefa não é tanto ver aquilo que ninguém viu, mas pensar o que ninguém ainda pensou sobre aquilo que todo mundo vê. (Arthur Schopenhauer) iii

4 iv

5 Agradecimentos A Deus, pela vida, por me rodear de pessoas especiais, por possibilitar diversas conquistas, e agora mais uma delas, e pela paz proporcionada nos momentos turbilhonantes. À minha mãe, pai, irmão, vó e madrinha, Marinês, Valdo, Fernando, Teresa e Gracimeri, pelo amor e apoio recebidos e por acreditarem em mim. Ao meu amor, Albeneir, por iluminar minha vida, por ser também meu amigo, companheiro e sempre me apoiar, acreditar em mim e estar próximo, mesmo na distância. Aos meus professores, Airam e Paulo, pelas orientações, ensinamentos e paciência. Aos demais professores, pelos conhecimentos que me apresentaram, todos contribuíram para meu crescimento nesta trajetória. Ao meu amigo, Odenis, pela amizade enorme e verdadeira, que trazemos desde a graduação e que pretendo levar para o resto da vida. Às amigas, Maiara e Nelize, pela companhia e amizade. Aos colegas e amigos, Douglas e Leonardo, por estarem sempre disponíveis quando precisei de auxílio e pela amizade. A todos os meus colegas do GAIC e do mestrado, pela companhia e amizade, com vocês a pesquisa se tornou mais agradável. Às secretárias, Geni e Sibeli, pela atenção e disposição. À UNIJUÍ e ao GAIC, pela estrutura física disponibilizada e aporte nanceiro recebido. v

6 Resumo A utilidade, comodidade e facilidade presentes no uso de dispositivos eletrônicos móveis, como celulares, tablets e notebooks, fez com que o mercado destes aparelhos expandisse. Além das vantagens citadas, estes dispositivos também fornecem aos seus usuários a possibilidade de mobilidade durante seu uso, pois são alimentados por baterias recarregáveis. Deste modo, a funcionalidade destes aparelhos está diretamente ligada a suas baterias, o que torna importante o estudo do tempo de vida das mesmas. Uma alternativa para tal estudo é o emprego da modelagem matemática. Na literatura técnica há várias categorias de modelos matemáticos utilizados para realizar essa predição, entre eles estão os modelos analíticos, que são caracterizados por equações fundamentadas em leis físicas ou empíricas, possuem compreensão e implementações computacionais acessíveis, além de serem considerados de boa acurácia, podendo ser adaptados a diferentes tipos de baterias. Neste sentido, a presente pesquisa tem por objetivo avaliar cinco modelos analíticos, o modelo Linear, a Lei de Peukert, a Lei de Peukert Estendida, o modelo Ki- BaM e o modelo de Rakhmatov e Vrudhula, utilizando a teoria Estatística, estabelecendo critérios e considerando diferentes conjuntos de dados para a estimação dos parâmetros empíricos dos modelos. Critérios para a validação também foram estabelecidos. Além disto, investigou-se qual a metodologia mais indicada para a estimação dos parâmetros do modelo KiBaM, e qual a medida de tendência central é mais adequada para determinar a imprecisão nal dos modelos a partir dos erros obtidos para os pers de descarga utilizados na validação. Para validar os modelos, os tempos de vida simulados foram comparados com os tempos de vida obtidos de uma plataforma de teste, considerando oito baterias novas de Lítio Íon Polímero (Li-Po) modelo PL C. Por m, é observado que a Lei de Peukert e o modelo de Rakhmatov e Vrudhula possuem maior acurácia que os demais quando seus parâmetros empíricos são estimados pelo método dos Mínimos Quadrados não linear, observa-se também que os modelos obtiveram melhores resultados quando seus parâmetros empíricos foram estimados com conjuntos de 4 e 6 dados, e que todos os modelos apresentaram boa acurácia, pois todos os erros foram inferiores a 5%. Palavras-chave: bateria, tempo de vida, modelagem matemática, modelos analíticos, análise estatística. vi

7 Abstract The utility, convenience and ease of using mobile electronic devices, such as mobile phones, tablets and notebooks, has made the market for these devices expand. In addition to advantages cited, these devices also provide users with mobility during their use as they are powered by rechargeable batteries. In this way, the functionality of the devices is directly connected to their batteries, the study of the batteries lifetime is important. An alternative is the use of mathematical modeling. In the technical literature there are several categories of mathematical models used to perform the prediction of battery lifetime, among them are the analytical models, which are characterized by equations based on physical or empirical laws, have accessible computational comprehension and implementations, besides being considered of good accuracy and can be adapted to dierent batteries types. In this sense, this research aims to evaluate ve analytical models: the Linear model, the Peukert Law, the Extended Peukert Law, the KiBaM model and the Rakhmatov and Vrudhula model, using Statistical theory, establishing criteria and considering dierent sets of data for the estimation of the empirical parameters of the models. In addition, the most suitable methodology for estimating the parameters of the KiBaM model and which measure of central tendency is more adequate to determine the nal imprecision of the models from the errors obtained for the discharge proles used in the validation are investigated. To validate the models, the simulated lifetimes were compared with the experimental lifetimes obtained from a test platform of eight new Lithium Polymer (Li-Po) series PL C batteries. Finally, it was noticed that the Peukert and Rakhmatov and Vrudhula Law models had higher accuracy than the others when the non-linear Least Squares (MQs) method was used in the estimation, so that the models obtained the best results when they had their parameters estimated with 4 or 6 experimental data, it is also emphasized that all the models presented good indices of accuracy. Keywords: battery, lifetime, mathematical modeling, analytical models, statistical analysis. vii

8 Lista de Abreviaturas A Ampère Ah Ampère-hora ANOVA Análise de Variância (ANalysis Of VAriance) AR Modelo AutoRregressivo ARMAX Modelo AutoRregressivo com MédiA móvel e entradas externas ARX Modelo AutoRregressivo com entradas externas As Ampère-segundo BJ Box Jenkins CV coeciente de variação DCEEng Departamento de Ciências Exatas e Engenharia EDO Equação Diferencial Ordinária EDP Equação Diferencial Parcial ES Erro de Saída GAIC Grupo de Automação Industrial e Controle KiBaM Modelo Cinético de Bateria (Kinetic Battery Model ) viii

9 Li-Ion Lítio Íon Li-Po Lítio Íon Polímero LSI Laboratório de Sensores Inteligentes ma miliampère mah miliampère-hora mamin miliampère-minuto min minuto MQs Mínimos Quadrados NARMAX AutoRregressivo com MédiAs móveis e entradas externas Não linear NARX AutoRregressivo com entradas externas Não linear Ni-Cd Níquel-Cádmio Ni-MH Níquel Metal-Hidreto RV Rakhmatov e Vrudhula UNIJUÍ Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul V Volt ix

10 Lista de Símbolos α parâmetro relacionado à capacidade da bateria no modelo de Rakhmatov e Vrudhula α nível de signicância de testes estatísticos β parâmetro relacionado ao comportamento não linear da bateria no modelo de Rakhmatov e Vrudhula µ média aritmética considerada na função densidade de uma distribuição normal ρ decaimento da concentração de espécies eletroativas σ 2 desvio padrão considerado na função densidade de uma distribuição normal a parâmetro relacionado à capacidade da bateria no modelo Lei de Peukert a n i+1 constantes geradas a partir da média, variância e covariância das estatísticas de uma amostra de tamanho n de uma distribuição normal reduzida N(0, 1) A área da superfície do eletrodo b coeciente de Peukert, parâmetro da Lei de Peukert e da Lei de Peukert Estendida C capacidade da bateria c parâmetro do modelo KiBaM que representa a fração da capacidade total da bateria que corresponde à capacidade disponível C 1 coeciente de ajuste não linear na Lei de Peukert Estendida, parâmetro que deverá ser estimado x

11 C 2 capacidade análoga a capacidade física da bateria na Lei de Peukert Estendida, parâmetro que deverá ser estimado C i parâmetro relacionado à capacidade inicial da bateria no modelo Linear C concentração inicial de espécies eletroativas C(x, t) concentração de espécies eletroativas D constante de difusão Dm desvio médio Dp desvio padrão E co erros considerando valores outliers na validação E so erros desconsiderando valores outliers na validação F constante de Faraday F calc estatística calculada para a realização da ANOVA F tab estatística tabelada para a realização da ANOVA GL trat grau de liberdade dos tratamentos GL res grau de liberdade do resíduo H 0 hipótese nula H 1 hipótese alternativa h 1 (t) altura da fonte de carga disponível h 2 (t) altura da fonte de carga limitada xi

12 I corrente constante de descarga I k amplitude de pulsos de descarga i(t) corrente de descarga J(x, t) uxo de espécies eletroativas k número de tratamentos, ou amostras, considerados para a realização de testes estatísticos k uxo entre as fontes de carga do modelo KiBaM k constante relacionada com o uxo entre as fontes de carga do modelo KiBaM, parâmetro que deverá ser estimado L tempo de vida da bateria L exp tempo de vida experimental para uma corrente de descarga LI limite inferior do intervalo utilizado para encontrar valores outliers LS limite superior do intervalo utilizado para encontrar valores outliers L sim tempo de vida simulado para uma corrente de descarga L Kib Tempos de vida simulados do modelo KiBaM L P euk Tempos de vida simulados da Lei de Peukert L P Est Tempos de vida simulados da Lei de Peukert Estendida L Linear Tempos de vida simulados do modelo Linear L RV Tempos de vida simulados do modelo de Rakhmatov e Vrudhula xii

13 m número de repetições de cada tratamento utilizado na realização de testes estatísticos m i número de repetições do tratamento i M g média geométrica M h média harmônica M p média ponderada M q média quadrática n número de elementos de uma amostra ou população N dimensão de uma amostra global n i dimensão (ou número de elementos) da amostra i X N(µ, σ 2 ) amostra/população com distribuição normal p i peso de cada um dos elementos considerados para o cálculo da média ponderada p-valor nível descritivo de um teste estatístico q amplitude studentizada para o teste Tukey QM res quadrado médio do resíduo QM trat quadrado médio dos tratamentos SQ res soma de quadrados do resíduo SQ tot soma de quadrados total SQ trat soma de quadrados dos tratamentos xiii

14 SOC estado de carga t d tempo de duração da corrente de descarga aplicada t k tempo de descarga T V exp tempo de vida experimental T V em tempo de vida experimental médio U(t) função degrau v quantidade de elétrons envolvidos na reação química na superfície do eletrodo V ar variância w comprimento do eletrodo W c estatística calculada para a realização do teste de Levene W cal estatística calculada para a realização do teste de Shapiro-Wilk W tab estatística tabelada para a realização do teste de Shapiro-Wilk x média aritmética x i média aritmética do tratamento ou amostra i x i elementos de uma amostra ou população X i valores das variáveis dispostos em ordem crescente x ij variável resposta medida na repetição j do tratamento i y 0 parâmetro relacionado à capacidade total da bateria no modelo KiBaM y 1 (t) capacidade disponível da bateria xiv

15 y 1 (0) capacidade disponível inicial da bateria y 2 (t) capacidade limitada da bateria y 2 (0) capacidade limitada inicial da bateria Z variável utilizada para a obtenção de uma distribuição Normal Padrão Z média de Z i na amostra global no teste de Levene Z i média da amostra Z i na amostra i no teste de Levene xv

16 Lista de Tabelas 5.1 Dados Experimentais Limites Inferiores e Superiores para Identicar Valores Outliers Valores de W cal para o teste de Shapiro-Wilk Análise de variância dos tempos de vida experimentais Resultados do teste Tukey Conjunto 1: 4 pers de descarga para a estimação dos parâmetros dos modelos Conjunto 2: 5 pers de descarga para a estimação dos parâmetros dos modelos Conjunto 3: 6 pers de descarga para a estimação dos parâmetros dos modelos Pers para a validação com valores outliers Pers para a validação sem valores outliers Validação do modelo Linear considerando valores outliers Validação da Lei de Peukert considerando valores outliers Validação da Lei de Peukert Estendida considerando valores outliers Validação do modelo KiBaM considerando valores outliers Validação do modelo de Rakhmatov e Vrudhula considerando valores outliers Validação do modelo Linear sem valores outliers Validação da Lei de Peukert sem valores outliers Validação da Lei de Peukert Estendida sem valores outliers Validação do modelo KiBaM sem valores outliers Validação do modelo de Rakhmatov e Vrudhula sem valores outliers Análise comparativa entre os modelos Validação do modelo KiBaM com valores outliers e a metodologia de Kim para a estimação de parâmetros Validação do modelo KiBaM sem valores outliers e a metodologia de Kim para a estimação de parâmetros

17 Lista de Tabelas Análise comparativa dos erros do modelo KiBaM considerando a metodologia de estimação de parâmetros MQs não linear e a metodologia de Kim Análise comparativa entre os modelos

18 Lista de Figuras 2.1 Célula eletroquímica, adaptada de [18] Efeito de recuperação em uma bateria, adaptado de [45] Conguração básica de um modelo elétrico [18] Aproximação de correntes de descarga variáveis através de pulsos [18, 43] Modelo analítico KiBaM [30, 54] Ilustração de uma distribuição de dados normal [29] Probabilidades em uma distribuição normal [41] Fonte responsável por carregar as baterias Plataforma responsável pelo descarregamento das baterias Ilustração da imagem interativa gerada pelo software MatLab com o resultado da aplicação do teste Tukey

19 Sumário 1 Apresentação da Dissertação Introdução Motivação Objetivos da Dissertação Objetivo Geral Objetivos Especícos Contribuições Estrutura do Documento Revisão Bibliográca Introdução Baterias Denições referentes às Baterias Nível de Cuto Tempo de Vida Capacidade Efeitos Não Lineares Efeito de Recuperação Efeito da Taxa de Capacidade Tipos de Baterias Baterias de Níquel-Cádmio Baterias de Chumbo-Ácido Baterias de Níquel Metal-Hidreto Baterias de Lítio-Íon Baterias de Lítio Íon Polímero Categorias de Modelos Matemáticos Modelos Eletroquímicos Modelos Elétricos Modelos Estocásticos

20 Sumário Modelos Analíticos Modelos via Teoria de Identicação de Sistemas Modelos Híbridos Resumo do Capítulo Modelagem Matemática Introdução Modelos Matemáticos Modelo Linear Lei de Peukert Lei de Peukert Estendida Modelo KiBaM Modelo de Rakhmatov e Vrudhula Resumo do Capítulo Teoria Estatística Introdução Medidas de Tendência Central ou de Posição Medidas de Dispersão Dados Outliers Modelos de Distribuição de Probabilidades Distribuição Normal Abordagens Estatísticas quanto à Distribuição dos Dados: análise paramétrica e não paramétrica Testes de Hipótese Análise de Variância (ANOVA) Teste de Levene Teste de Shapiro-Wilk Testes de Comparação de Médias Teste Tukey Resumo do Capítulo Dados Experimentais e Análises Estatísticas Introdução Coleta dos Dados Experimentais Plataforma de Testes Metodologia para a Obtenção dos Dados Apresentação dos Dados

21 Sumário Identicação dos Dados Outliers das Amostras Reconhecimento das Igualdades e Diferenças Estatísticas entre os Pers de Descarga Aplicação da Análise de Variância Aplicação do Teste de Levene Aplicação do Teste de Shapiro-Wilk Resultados da ANOVA Aplicação do Teste Tukey Resumo do Capítulo Estimação dos Parâmetros dos Modelos Introdução Metodologias para a Estimação dos Parâmetros Resultados das Estimações de Parâmetros Resumo do Capítulo Resultados das Simulações e Análises Introdução Pers de Validação e Metodologia Adotada Validação e Análise comparativa entre os Modelos Análise comparativa entre os modelos Validação do modelo KiBaM e nova análise comparativa entre os modelos Nova análise comparativa entre os modelos Resumo do Capítulo Conclusões e Trabalhos Futuros 75 Referências Bibliográcas 77 A Publicações Relacionadas à Dissertação 83 A.1 Artigos Aceitos em Eventos

22 Capítulo 1 Apresentação da Dissertação 1.1 Introdução O uso de dispositivos eletrônicos portáteis, como celulares, tablets e notebooks, tem aumentado exponencialmente nos últimos anos. Isto ocorre devido a suas diversas funcionalidades, como a possibilidade de executar aplicativos, tirar fotos, gravar vídeos, acessar internet, além da possibilidade de realizar tarefas básicas, como efetuar ligações e enviar mensagens de texto, tudo de maneira cômoda, rápida e prática. Outra vantagem destes aparelhos é o fato de serem alimentados por fontes de energia portáteis, ou seja, baterias, que permitem a mobilidade durante seu uso. Entretanto, estas baterias possuem quantidades nitas de carga, sendo necessária sua recarga através de uma fonte de energia, após determinados períodos de tempo de uso do dispositivo. Além disto, as diversas funcionalidades presentes nos aparelhos contribuem para o aumento do consumo de energia das baterias, fazendo assim com que seu tempo de descarga, também chamado de tempo de vida, seja reduzido. Neste sentido, é importante o conhecimento de ferramentas que realizam a predição do tempo de vida de baterias, objetivando vericar por quanto tempo o dispositivo eletrônico poderá car em funcionamento sem a necessidade de conectá-lo a uma fonte de energia. Para a realização dessas predições, uma possibilidade é o uso de experimentos físicos, entretanto, essa alternativa é pouco viável devido ao alto custo de planejamento, implementação e gestão [13]. Outra opção para o estudo do tempo de vida de baterias é a utilização de modelos matemáticos, que é uma alternativa bastante útil, visto que a partir de um conjunto reduzido de dados experimentais e de características físicas das baterias é possível modelar o seu comportamento de descarga e consequentemente predizer seu tempo de vida. Na literatura técnica são encontradas seis categorias de modelos matemáticos que são utilizados para a predição do tempo de vida de baterias: os eletroquímicos [18, 23], os 5

23 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 6 elétricos [3, 4, 18], os estocásticos [18, 23], os analíticos [14, 19, 30, 43], os via teoria de identicação de sistemas [28, 46], e os híbridos [16, 20, 55]. Neste contexto, destaca-se que o Grupo de Automação Industrial e Controle (GAIC) da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ) tem desenvolvido diversas pesquisas relacionadas à predição do tempo de vida de baterias através do uso desses modelos matemáticos. Além disto, também foi desenvolvida uma plataforma de testes para a coleta de dados de descargas de baterias, a m de possibilitar a validação dos modelos. Os trabalhos desenvolvidos contemplam as categorias dos modelos elétricos, analíticos, via identicação de sistemas e híbridos. Quanto aos modelos elétricos, pode-se citar as pesquisas de Porciuncula [42], Brondani [3] e Wottrich [53]. Quanto aos modelos via identicação de sistemas, os trabalhos de Romio [46], Machado [28] e Kuhn [21]. Considerando os modelos híbridos, as pesquisas de Duarte [8], Fransozi [11], Kusiak [22] e Gomes [17]. E por m, relacionados à categoria dos modelos analíticos, que são o objeto de estudo desta dissertação, estão os trabalhos de Schneider [48], Oliveira [39], Silva [49], Freitas [13] e Zart [54]. Considerando os modelos analíticos, Schneider [48] aplicou e validou os modelos Linear, Lei de Peukert, e de Rakhmatov e Vrudhula (i.e., RV) considerando baterias de Lítio-Íon (Li-Ion) a partir de dados experimentais de correntes de descarga constantes obtidos de uma plataforma de testes, observando que o modelo RV é o mais acurado. Em seguida, Oliveira [39] comparou duas metodologias para a estimação dos parâmetros dos modelos analíticos estudados por Schneider, o método dos Mínimos Quadrados e o método de Gauss, para a validação dos modelos utilizou correntes de descarga constantes e variáveis em suas análises, observando também que o modelo RV é o mais acurado. Mais tarde, Silva [49] propôs um método para a estimação dos parâmetros do modelo RV, denominado Método da Procura em Rede Melhorado, que é uma extensão do Método Procura em Rede Modicado, obtendo bons resultados de acurácia. Freitas [13], por sua vez, sugeriu uma nova solução para modelo Kinetic Battery Model (KiBaM), através do método de variação de parâmetros, e para o modelo RV utilizando o método de Fourier, além disso propôs uma extensão para a Lei de Peukert, a qual foi denominada Lei de Peukert Estendida, encontrando bons resultados de acurácia para todos os modelos aplicados. Por m, Zart [54] realizou uma análise comparativa entre os modelos analíticos Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estendida, KiBaM e RV, sob o mesmo cenário de simulação, utilizando correntes de descarga constantes e variáveis. Entretanto, em sua pesquisa, Zart encontrou resultados inesperados, como o fato do modelo KiBaM, por exemplo, apresentar resultados inferiores ao modelo Linear, sendo que o modelo KiBaM é desenvolvido através de um sistema de equações diferenciais ordinárias e possui uma modelagem física, que considera diversos fatores da descarga de uma bateria, enquanto o modelo Linear é um modelo

24 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 7 empírico, bastante simples, que sequer considera os principais efeitos não lineares de um processo de descarga. Neste sentido, visando dar continuidade às pesquisas desenvolvidas no GAIC, e ao trabalho de Zart [54], o objetivo principal dessa dissertação é realizar uma análise comparativa entre os modelos analíticos Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estendida, KiBaM e RV, com o diferencial de utilizar a teoria Estatística nos estudos, ampliando signicativamente os recursos para a análise dos dados experimentais e os resultados para a estimação dos parâmetros empíricos e validação dos modelos, assim como a análise comparativa, de maneira ampla, segura e conável. As simulações dos modelos são realizadas no software de computação algébrica e numérica MatLab, a validação dos modelos é efetuada comparando os resultados simulados com os dados experimentais obtidos da plataforma de testes, considerando pers de correntes de descargas constantes de baterias de Lítio Íon Polímero (Li-Po), com o propósito de vericar qual modelo analítico realiza a predição do tempo de vida de baterias de forma mais acurada. O restante deste capítulo está organizado como segue. Na Seção 1.2 é apresentada a motivação desta pesquisa. Na Seção 1.3 são apresentados os objetivos geral e especícos. Na Seção 1.4 são descritas as contribuições e, por m, na Seção 1.5 é apresentada a estrutura deste documento. 1.2 Motivação Os dispositivos eletrônicos móveis possuem bastante utilidade no cotidiano das pessoas, devido principalmente aos diversos recursos que oferecem, de forma prática e fácil, além da questão da mobilidade, que permite ao usuário a utilização do aparelho em qualquer lugar. Entretanto, esta mobilidade é limitada e dependente da capacidade da bateria. Neste sentido, é importante o estudo do comportamento de descarga da mesma, bem como, de seu tempo de vida, e um recurso disponível na literatura é a modelagem matemática. Nesse contexto, essa pesquisa ter por motivação contribuir com o estudo do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis, apresentando diversos recursos para a análise de modelos matemáticos presentes na literatura técnica, a m de avaliá-los com segurança, sendo possível indicar os que apresentam maior eciência ao realizar a modelagem em questão. 1.3 Objetivos da Dissertação Nesta seção, é apresentado o objetivo geral deste trabalho, bem como, os objetivos especícos para a realização do objetivo geral.

25 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação Objetivo Geral Realizar a modelagem matemática envolvendo cinco modelos analíticos utilizados para a predição do tempo de vida de baterias, i.e., Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estendida, KiBaM, e de Rakhmatov e Vrudhula, ampliando os recursos para a estimação e validação dos modelos, fazendo uso da Teoria Estatística, a m de confrontar a ecácia de cada modelo em relação aos demais de maneira ampla, segura e conável Objetivos Especícos Realizar uma revisão bibliográca a m de conhecer os modelos de baterias existentes e suas características, assim como as categorias de modelos matemáticos utilizados para a predição do tempo de vida de baterias; Estudar os modelos analíticos Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estendida, KiBaM e RV; Determinar os critérios estatísticos para utilizar no tratamento dos dados e na análise comparativa dos modelos; Obter os dados experimentais, a m de analisá-los sob a ótica da Estatística e, posteriormente, utilizá-los na estimação dos parâmetros empíricos, assim como, na validação dos modelos analíticos em questão; Utilizar diferentes quantidades de dados na estimação dos parâmetros, vericando o efeito destes conjuntos de estimação sobre o erro nal de cada modelo; Analisar as características dos erros obtidos na validação de cada modelo, a m de utilizar a medida de tendência central mais indicada para determinar a imprecisão dos modelos em cada caso; Apresentar os resultados obtidos, bem como as conclusões oriundas desta pesquisa. 1.4 Contribuições As contribuições desta dissertação para o estudo do tempo de vida de baterias, através dos modelos matemáticos analíticos Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estendida, KiBaM, e de Rakhmatov e Vrudhula, são: 1. Identicação de valores outliers 1 entre tempos de vida experimentais de um perl de descarga; 1 Outliers são valores que apresentam discrepância quando comparados aos demais dados de um mesmo conjunto. Na estatística experimental, outliers podem ser oriundos de erros na coleta de dados [52].

26 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 9 2. Vericação da existência de distribuição normal entre os tempos de vida experimentais de pers de descarga, utilizando o teste de hipótese de Shapiro-Wilk; 3. Vericação da normalidade dos erros de validação de modelos analíticos, também utilizando o teste de Shapiro-Wilk, a m de utilizar a medida de tendência central adequada para representar os erros nais dos modelos; 4. Identicação de igualdades e diferenças estatísticas entre pers de descarga constantes, através da aplicação da Análise de Variância e do uso do teste Tukey, após o teste ANOVA ter seus critérios de aplicação satisfeitos; 5. Investigação da metodologia mais adequada para a estimação dos parâmetros do modelo KiBaM; 6. Validação dos modelos frente a diferentes quantidades de dados na estimação; 7. Análise dos erros dos modelos considerando pers de descarga com e sem valores outliers na validação. 1.5 Estrutura do Documento Esta dissertação apresenta a seguinte estrutura. No Capítulo 2 é apresentada uma revisão bibliográca acerca de baterias, suas características, conceitos relacionados, os principais efeitos não lineares que podem inuenciar a capacidade utilizada durante um processo de descarga, os tipos de baterias existentes e as categorias de modelos matemáticos utilizados na predição do tempo de vida de baterias. No Capítulo 3 são apresentados os cinco modelos analíticos analisados neste trabalho, ou seja, o modelo Linear, a Lei de Peukert, a Lei de Peukert Estendida, o modelo KiBaM e o modelo de Rakhmatov e Vrudhula, conjuntamente com suas equações e soluções algébricas. No Capítulo 4 é abordada a teoria Estatística utilizada neste trabalho, de modo que, além dos recursos empregados, também são apresentados os contextos dos mesmos na Estatística. No Capítulo 5 são apresentados os dados experimentais obtidos, bem como os resultados das análises estatísticas realizadas sobre eles. No Capítulo 6 são apresentados a estimação dos parâmetros empíricos dos modelos e os valores obtidos para os mesmos após a aplicação dos métodos de estimação. No Capítulo 7 são apresentados as validações dos modelos, assim como os resultados obtidos e as análises comparativas realizadas.

27 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 10 Por m, no Capítulo 8, são apresentadas as conclusões desta dissertação e a indicação de trabalhos futuros.

28 Capítulo 2 Revisão Bibliográca 2.1 Introdução Neste capítulo é apresentada uma revisão bibliográca que permite uma visão mais ampla acerca de questões referentes a baterias, tais como, composição, conceitos, tipos presentes no mercado, e os efeitos não lineares envolvidos em um processo de descarga. Também é realizada uma exposição sobre as categorias de modelos presentes na literatura técnica para realizar a predição do tempo de vida de baterias. Neste sentido, este capítulo está organizado como segue. Na Seção 2.2 há uma explicação referente ao conceito de baterias. Na Seção 2.3 são apresentadas algumas denições relacionadas às baterias, tais como: nível de cuto, tempo de vida e capacidade. Na Seção 2.4 são descritos os dois principais efeitos não lineares que ocorrem em um processo de descarga, são eles: o efeito de recuperação e o efeito da taxa de capacidade. Na Seção 2.5 são expostos os cinco principais tipos de baterias existentes no mercado. Na Seção 2.6 são apresentadas as seis categorias de modelos matemáticos presentes na literatura para a modelagem do tempo de vida de baterias. E, por m, na Seção 2.7 há um resumo do capítulo. 2.2 Baterias Baterias são dispositivos compostos por células eletroquímicas, que convertem energia química em energia elétrica, conectadas em série ou em paralelo, ou através de uma combinação de ambas [2,3,13,45]. Elas fornecem energia para diferentes tipos de sistemas. Uma célula eletroquímica é formada por dois condutores, um positivo (cátodo), e outro negativo (ânodo), e um eletrólito (Figura 2.1). A partir de reações no interior da célula, os elétrons se movem, na forma de íons, do ânodo para o cátodo, através do eletrólito, gerando corrente elétrica para o sistema que 11

29 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 12 Figura 2.1: Célula eletroquímica, adaptada de [18]. será alimentado. A diferença entre os potenciais elétricos gerados pelos eletrodos é o que determina a tensão da bateria, expressa em volts (V) [13, 18, 19]. Quanto à capacidade da bateria, que indica a quantidade de carga armazenada na mesma, espera-se que seja utilizada integralmente independentemente da corrente de descarga utilizada. Contudo, na prática isto não acontece, pois quanto maior for a corrente de descarga, menor será a capacidade da bateria, podendo haver desperdício de energia. Este fenômeno acontece devido aos efeitos não lineares presentes na descarga [18, 19, 26], os quais serão apresentados na Seção Denições referentes às Baterias Para o estudo do tempo de vida de baterias, é necessária a compreensão de algumas denições, que são apresentadas a seguir Nível de Cuto O nível de cuto de uma bateria é a quantidade mínima de carga disponível para manter um dispositivo em funcionamento, ou seja, ao atingir este nível, a bateria é considerada descarregada [45]. Entretanto, isto não signica que a bateria não possua carga alguma, ela apenas não possui energia suciente para manter o dispositivo em atividade Tempo de Vida O tempo de vida de uma bateria corresponde ao tempo decorrido durante um processo de descarga, ocorre entre o nível máximo inicial de carga que a bateria possui, até seu

30 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 13 nível mínimo de carga (cuto ) Capacidade A capacidade da bateria indica a quantidade de carga armazenada na mesma. A capacidade nominal ou teórica representa a quantidade máxima de energia que a bateria pode disponibilizar [23]. Exemplicando, a partir de uma bateria de capacidade nominal de 800 mah é possível extrair 800 ma (ou 0, 8 A) durante uma hora. A capacidade teórica pode ser aproveitada em sua totalidade ou pode haver desperdício de energia durante o processo de descarga. Isto dependerá, principalmente, do impacto dos efeitos não lineares (cf. Seção 2.4) [18]. 2.4 Efeitos Não Lineares Em um processo de descarga podem acontecer efeitos não lineares que impactam na capacidade da bateria. Os dois principais efeitos são o efeito de recuperação e o efeito da taxa de capacidade Efeito de Recuperação O efeito de recuperação corresponde à reorganização dos elétrons na bateria quando ocorre um período de relaxação, ou seja, quando a corrente de descarga é baixa ou nula. Este processo de reorganização faz com que a capacidade da bateria seja melhor aproveitada [18, 23, 26]. Uma ilustração deste efeito não linear pode ser observada na Figura 2.2. Na Figura 2.2(a) observa-se que a bateria está completamente carregada; na Figura 2.2(b) ocorre um descarregamento; após, na Figura 2.2(c), há um momento de relaxação, e os elétrons se reorganizam ocorrendo então o efeito de recuperação. Após isto, a bateria pode seguir descarregando e o efeito de recuperação pode acontecer mais vezes se houver outros períodos de relaxação, assim até atingir o nível de cuto (cf. Figura 2.2(d)). Na Figura 2.2(d) é possível observar que ainda há elétrons no interior da bateria, mas que, por estarem desorganizados, não conseguem mais fornecer energia ao dispositivo. Desta maneira, se não houver momento de relaxação ou de diminuição da taxa de descarga, os elétrons que são fornecidos para o sistema (representados na posição x = 0 da Figura 2.2(b)) tendem a se esgotar, cessando as reações eletroquímicas presentes no interior da bateria, mesmo ainda havendo carga que poderia ter sido disponibilizada. Logo, correntes de descarga baixas ou variantes no tempo tendem a aproveitar melhor a capacidade de uma bateria.

31 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 14 Figura 2.2: Efeito de recuperação em uma bateria, adaptado de [45] Efeito da Taxa de Capacidade Ao contrário do efeito de recuperação, o efeito da taxa de capacidade acontece sob altas correntes de descarga. Como não há a reorganização dos elétrons em correntes de descarga de alta magnitude, a capacidade da bateria tende a ser reduzida, havendo uma sobra de energia não aproveitada pelo dispositivo. A esta relação entre um perl de descarga alto e a capacidade da bateria, dá-se o nome de efeito da taxa de capacidade [18, 23]. 2.5 Tipos de Baterias As baterias possuem diversas aplicações, neste sentido, há diversos tipos de baterias no mercado. Nesta seção são apresentados os principais tipos encontrados na literatura Baterias de Níquel-Cádmio Nas baterias de Níquel-Cádmio (Ni-Cd), o cátodo é feito de hidróxido de níquel; o ânodo, de cádmio; e o eletrólito é uma solução de hidróxido de potássio, sendo que sua quantidade pode ser reduzida ao mínimo, pois não sofre nenhuma mudança química. A tensão elétrica média destas baterias é de aproximadamente 1, 2 V [2]. A bateria de Ni-Cd foi uma das primeiras baterias utilizadas em eletrônicos portáteis, entretanto, nas últimas décadas, perdeu espaço no mercado devido a sua baixa densidade de energia e alta toxidade. Por outro lado, como vantagens desta bateria, pode-se citar seu baixo custo e sua capacidade para suportar altas taxas de descarga [23], além de

32 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 15 ser possível utilizá-las em temperaturas extremas, sob condições em que há vibrações ou em aplicações que tenham longos períodos de inatividade, o que faz com que possam ser utilizadas para a iluminação em vagões ferroviários, rádios portáteis militares, dentre outros [2] Baterias de Chumbo-Ácido As baterias de Chumbo-Ácido são amplamente utilizadas em veículos, desempenham sua função de forma conável e têm uma tensão comparativamente alta, de cerca de 2 V por célula [24]. Nestas baterias, o ânodo tem um chumbo esponjoso como material ativo, enquanto o cátodo tem um material ativo de dióxido de chumbo. Os eletrodos são imersos em um eletrólito de ácido sulfúrico diluído. Os principais materiais constituintes neste tipo de bateria (chumbo, ácido sulfúrico e um recipiente de plástico) não são caros, o que consequentemente faz com que a bateria não tenha custo elevado. Uma das características mais notáveis da bateria de chumboácido é sua resistência interna extremamente baixa. Isto signica que a queda na tensão é pequena à medida que a corrente é extraída [24] Baterias de Níquel Metal-Hidreto As baterias de Níquel Metal-Hidreto (Ni-MH) são as baterias popularmente conhecidas como pilhas recarregáveis, e têm aplicação principalmente em telefones sem o e câmeras digitais. Estas baterias possuem maior densidade de energia quando comparadas às baterias de Ni-Cd (cerca de duas vezes). Entretanto, não possuem eciência sob altas taxas de descarga, possuem menor ciclo de vida e maior custo [23] Baterias de Lítio-Íon As baterias de Lítio-Íon (Li-Ion) possuem grande densidade de energia, alta potência, vida útil longa (cerca de duas vezes mais que as baterias de Ni-MH) e, por isso, começaram a ser amplamente utilizadas em dispositivos eletrônicos móveis, como celulares e notebooks, apesar de seu custo ser superior às baterias de Ni-MH e serem mais sensíveis a diferentes taxas de descarga. Além disso, devido à vida útil mais extensa, não representam grande risco ao meio ambiente [23, 27, 50].

33 Capítulo 2. Revisão Bibliográca Baterias de Lítio Íon Polímero Baterias de Lítio Íon Polímero (Li-Po) possuem em seu eletrólito uma combinação de polímero com gel. O polímero pode ser à base de fosfato, de manganês ou de cobalto. Estas baterias podem ser fabricadas ultra-nas e exíveis, o que permite tornar os aparelhos eletrônicos portáteis mais leves. Quanto ao desempenho, são semelhantes às baterias de Li-Ion, sendo, porém, mais densas quando comparadas com uma bateria de Li-Ion de mesmo tamanho [11, 23, 28]. Para a realização desta pesquisa, foi utilizado este tipo de bateria. 2.6 Categorias de Modelos Matemáticos Nesta seção, são apresentadas as seis categorias de modelos matemáticos presentes na literatura técnica, utilizados para a predição do tempo de vida de baterias usadas em dispositivos móveis, sendo eles: os eletroquímicos, os elétricos, os estocásticos, os analíticos, os via teoria de identicação de sistemas e os híbridos Modelos Eletroquímicos Os modelos eletroquímicos visam representar, com detalhes, os processos químicos que acontecem no interior da bateria. Estes modelos consideram, além dos processos eletroquímicos, os processos termodinâmicos e a construção física das baterias [18, 23]. Isto faz com que eles sejam bastante éis ao que está sendo modelado; portanto, faz com que possuam alta acurácia. Em contrapartida, os modelos eletroquímicos acabam por ser complexos e de difícil manipulação. Por exemplo, há modelos eletroquímicos com um conjunto de seis equações diferenciais ordinárias (EDOs) não lineares acopladas [18], sendo necessário estimar mais de 50 parâmetros referentes às baterias para ser possível simular o modelo. Além disso, modelos eletroquímicos normalmente são construídos para determinados tipos de baterias, não tendo aplicação mais abrangente ou generalizada [23] Modelos Elétricos Modelos elétricos representam a descarga de baterias associando-as a circuitos elétricos. Dentre os modelos que se destacam na literatura técnica, estão o modelo Battery [3] e o modelo para Predizer Runtime e Características V-I (i.e., tensão e corrente) de uma bateria [3, 4, 13]. Basicamente, nestes modelos, a capacidade da bateria está relacionada a um capacitor, a capacidade perdida quando há altas correntes de descarga está relacionada a um nor-

34 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 17 malizador de taxa de descarga, a resistência da bateria está associada a um resistor, e a tensão versus o estado da carga estão relacionadas a uma tabela de pesquisa [18]. Modelos elétricos também são capazes de levar em consideração, em sua modelagem, o número de ciclos de uma bateria (quantidade de vezes em que ela é carregada e descarregada), sua resistência interna e suas características térmicas [23]. Na Figura 2.3, é possível observar uma conguração básica para modelos elétricos, sendo que é possível, com pequenas mudanças, completar o modelo para células de bateria especícas [18]. Figura 2.3: Conguração básica de um modelo elétrico [18] Modelos Estocásticos Modelos estocásticos descrevem as baterias de maneira abstrata, na qual a descarga e o efeito de recuperação são descritos de maneira estocástica (ou probabilística) [18]. Estes modelos são precisos devido ao fato de considerarem características das baterias em seu processo de modelagem. Nos modelos estocásticos, a capacidade da bateria é representada por um número nito de unidades de carga e o comportamento de descarga é modelado utilizando um processo estocástico transiente discreto no tempo [23]. Nestes modelos, conforme o processo estocástico evolui ao longo do tempo, as unidades que representam a carga da bateria são monitoradas e, de acordo com a taxa média da corrente de descarga, unidades podem ser acrescentadas ou eliminadas, conforme o que é indicado em uma tabela (ou em um gráco). Se a taxa média da corrente de descarga for

35 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 18 baixa, então o modelo adiciona unidades de carga para a bateria (efeito de recuperação), levando em consideração uma função de densidade probabilística de forma exponencial decrescente que, por sua vez, considera o estado da carga (SOC) e coecientes referentes ao tipo de bateria que está sendo modelado [23]. Neste sentido, modelos estocásticos são capazes de modelar descargas variáveis, levando em consideração os efeitos não lineares presentes em uma descarga Modelos Analíticos Modelos analíticos recebem este nome por serem constituídos de equações. Estas equações podem ser simples, como a que descreve o modelo Linear [13, 18, 54], que não considera os efeitos não lineares presentes em um processo de descarga; como podem ser mais complexas, como as que descrevem o modelo de Rakhmatov e Vrudhula [43], que é formado por um sistema de Equações Diferenciais Parciais (EDPs) e considera os principais efeitos não lineares da descarga de uma bateria. Os modelos analíticos possuem maior abstração em relação aos modelos eletroquímicos e elétricos, e devido a serem formados apenas por equações, possuem fácil compreensão e implementação computacional [18]. Inclusive, possuem exibilidade para se adaptar a diferentes tipos de baterias, sendo considerados de boa acurácia. Devido a isto, foram escolhidos modelos desta categoria para serem analisados nesta pesquisa. Na Seção 3.2, os modelos analíticos já citados nesta seção (i.e., Linear, e de Rakhmatov e Vrudhula), assim como outros modelos analíticos (Lei de Peukert, Lei de Peukert Estendida e KiBaM), serão descritos com maior riqueza de detalhes Modelos via Teoria de Identicação de Sistemas Modelos via teoria de identicação de sistemas visam relacionar as causas (variáveis de entrada) e os efeitos (variáveis de saída) presentes em um sistema dinâmico. Para o desenvolvimento destes modelos, é utilizada a modelagem caixa preta ou a modelagem caixa cinza [13, 28]. A modelagem caixa preta considera apenas as variáveis de entrada e de saída do sistema, sem levar em consideração qualquer lei física ou química que possa governar o fenômeno a ser modelado. E a modelagem caixa cinza, além de considerar as variáveis de entrada e de saída, também considera algumas características físicas ou químicas do fenômeno [1]. Dentre os tipos de modelos presentes na teoria de identicação de sistemas, estão os paramétricos lineares, os paramétricos não lineares e os modelos não paramétricos. Conforme Machado [28], dentre os modelos paramétricos lineares é possível citar: o AutoRregressivo (AR), o AutoRregressivo com entradas externas (ARX), o AutoRregressivo

36 Capítulo 2. Revisão Bibliográca 19 com MédiAs móveis e entradas externas (ARMAX), o de Erro na Saída (ES) e o Box Jenkins (BJ). Dentre os modelos paramétricos não lineares, estão: o AutoRregressivo com entradas externas Não linear (NARX) e o modelo AutoRregressivo com MédiAs móveis e entradas externas Não linear (NARMAX). E, em relação aos modelos não paramétricos, pode-se citar o modelo de Análise Espectral. Machado [28] e Romio [46] desenvolveram estudos em que utilizaram a teoria de identi- cação de sistemas na modelagem do tempo de vida de baterias. Os trabalhos envolveram modelos pertencentes à estrutura de modelos paramétricos lineares, do tipo ARX. Romio chegou a obter, com seu modelo, acurácia superior ao modelo de Rakhmatov e Vrudhula, que é considerado de alta acurácia pela literatura técnica [18, 46] Modelos Híbridos Os modelos híbridos são constituídos pela junção de pelo menos dois modelos matemáticos. Sua vantagem consiste em poder juntar as qualidades de diferentes modelos em um só. Kim [20], Zhang [55] e Gomes [16] desenvolveram modelos híbridos combinando o modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I com modelos analíticos. Kim relacionou o modelo KiBaM com o modelo Runtime, Zhang relacionou o modelo de Rakhmatov e Vrudhula com o modelo Runtime, e Gomes relacionou o modelo Lei de Peukert Estendida com o modelo Runtime. A relevância destes estudos consiste em unir em apenas um modelo as vantagens do modelo elétrico (capacidade de capturar as características dinâmicas da bateria, como respostas transientes e tensão em circuito aberto) e a vantagem dos modelos analíticos (considerar os efeitos não lineares presentes na descarga de uma bateria). 2.7 Resumo do Capítulo Neste capítulo foram apresentadas questões importantes para a compreensão de conceitos utilizados nesta pesquisa, como o de bateria, o de nível de cuto, o de tempo de vida e o de capacidade, assim como os efeitos de recuperação e da taxa de capacidade. Também foram apresentados diferentes tipos de baterias presentes no mercado e as diferentes categorias de modelos matemáticos presentes na literatura técnica para a modelagem matemática do tempo de vida. Concomitantemente, foi apresentando o tipo de bateria e a categoria de modelo que são objetos de estudo desta dissertação, ou seja, as baterias de Lítio Íon Polímero e os modelos analíticos.

37 Capítulo 3 Modelagem Matemática 3.1 Introdução A modelagem matemática é uma área do conhecimento que tem por objetivo descrever sistemas reais a m de predizer o seu comportamento futuro. Ela é empregada em diversos campos da ciência, tais como, física, química, biologia, economia e engenharias. Neste sentido, destaca-se que uma de suas aplicações consiste na predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis. Dentre as categorias de modelos matemáticos existentes na literatura técnica para a predição do tempo de vida de baterias, estão os modelos analíticos, que possuem fácil compreensão e implementação computacional, e menos parâmetros para serem estimados, além de apresentarem boa acurácia, podendo ser empregados e adaptados em diversos tipos de baterias. O restante deste capítulo está organizado como segue. Na Seção 3.2 são apresentados os modelos analíticos, assim como as suas equações, os modelos são, o modelo Linear, a Lei de Peukert, a Lei de Peukert Estendida, o modelo KiBaM e o modelo RV. Na Seção 3.3 é apresentado um resumo do capítulo. 3.2 Modelos Matemáticos Nesta seção são descritos os cinco modelos analíticos: Linear, Lei de Peukert, Lei de Peukert Estendida, KiBaM, e RV. Tais modelos compõem o conjunto de modelos analíticos aplicados nesta dissertação para a predição do tempo de vida de baterias de Li-Po, utilizadas em dispositivos móveis. 20

38 Capítulo 3. Modelagem Matemática Modelo Linear O modelo Linear é o modelo mais simples dentre os analíticos. A modelagem do tempo de vida de uma bateria é feita considerando-se uma descarga ideal, deste modo, este modelo não contempla os efeitos não lineares presentes em uma descarga [18, 19, 54]. O modelo é deduzido a partir de C = C i It d, (3.1) em que: C é a capacidade restante na bateria, C i é a capacidade inicial (único parâmetro empírico do modelo a ser estimado), I é a corrente de descarga constante, e t d é o tempo de duração da corrente aplicada. Após a bateria ser descarregada, a variável C será nula e t d será igual ao tempo de vida L da bateria. Desta maneira, substituindo as igualdades C = 0 e t d = L na equação (3.1), obtém-se L = C i I, (3.2) que é a equação que representa o modelo Linear, na qual L é o tempo de vida da bateria dependente da capacidade inicial e da taxa de descarga [54]. Para simular o modelo Linear utilizando pers de descargas variáveis utiliza-se a metodologia de [43], na qual os pers variáveis são aproximados através de funções pulso de amplitude I k, com k = 0, 1,..., n, conforme pode ser observado na Figura 3.1. Figura 3.1: Aproximação de correntes de descarga variáveis através de pulsos [18, 43]. Considerando a função degrau U(t) U(t) = { 0, se t < 0 1, se t 0, (3.3)

39 Capítulo 3. Modelagem Matemática 22 a corrente de descarga aproximada i(t) que é representada pelos pulsos pode ser calculada através da equação n i(t) = I k 1 [U(t t k 1 ) U(t t k )], (3.4) k=1 em que: U(t t k 1 ) e U(t t k ) são funções degrau deslocadas que, quando subtraídas e multiplicadas pela amplitude I k 1, determinam as funções pulso da Figura 3.1. Assim, para a aplicação do modelo Linear considerando correntes de descarga variáveis, a corrente I é substituída na equação (3.2) pela média ponderada dos pulsos representados pela equação (3.4), que aproximam as descargas variáveis, e o modelo é dado por L = C [ i n k=1 I k 1(t k t k 1 ) ]. (3.5) L Lei de Peukert Na Lei de Peukert [13,18,19,23] é considerado apenas um efeito não linear na descarga de uma bateria (o efeito da taxa de capacidade). Este modelo é descrito pela equação L = a I b, (3.6) em que: a e b são os parâmetros empíricos a serem estimados e representam, respectivamente, a capacidade da bateria e o coeciente de Peukert, L é o tempo de vida, e I é a corrente de descarga. Idealmente, b deve ser igual a 1 e a deve ser o valor exato da capacidade da bateria, entretanto, b normalmente possui valor maior que 1 e a é um valor aproximado da capacidade da bateria [48]. Para simular a Lei de Peukert com correntes de descarga variáveis, o processo é análogo ao adotado no modelo Linear, as correntes de descarga variáveis são aproximadas por pulsos e substitui-se I, na equação (3.6), pela média ponderada dos pulsos obtendo-se L = a [ n k=1 I k 1(t k t k 1 ) ] b. (3.7) L Lei de Peukert Estendida Freitas [14], em seu trabalho, utilizou a minimização funcional por comparação de derivadas de 1 a e 2 a ordem da equação (3.6), a m de aprimorar e melhorar a acurácia do modelo original Lei de Peukert, obtendo a Lei de Peukert Estendida, que também contempla o efeito não linear da taxa de capacidade em sua modelagem.

40 Capítulo 3. Modelagem Matemática 23 Para estender o modelo [13, 14, 54], Freitas, na equação (3.6), evidenciou I à esquerda I = ( a L ) 1 b. (3.8) Em seguida, calculou a derivada de 1 a ordem de (3.8), em relação a L, obtendo di dl = 1 ( a ) 1 b, (3.9) bl L e multiplicou ambos os membros da equação (3.9) por L, e considerando ( a L ) 1 b = I, obteve L di dl = I b L di dl I b = 0. (3.10) Para determinar a derivada de 2 a ordem, foi realizada a derivada da equação (3.9) d 2 I dl = 1 ( a ) 1 b + 1 ( a ) 1 b, (3.11) 2 bl 2 L L 2 b 2 L na sequência, substituindo (3.8) em (3.11) e multiplicando ambos os membros de (3.11) por L 2, obteve-se e, por m, e, L 2 d2 I dl 2 = I b + I b 2 L2 d2 I dl 2 = Ib + I b 2 (3.12) L 2 d2 I dl 2 I b + 1 b 2 = 0. (3.13) Seguindo os cálculos de Freitas, comparando as equações (3.10) e (3.13), tem-se L di dl I b = d2 I L2 dl I b b 2 L 2 d2 I dl 2 + L di dl = I b + I b + 1 b 2, (3.14) L 2 d2 I dl + L di 2 dl = I b + I b + I b d2 I 2 L2 dl + L di 2 dl I = 0. (3.15) b2 A equação (3.15) é uma equação diferencial ordinária de Cauchy-Euller. Logo, pode-se resolvê-la considerando a substituição L = e x x = ln(l), (3.16) da qual é possível obter di dl = 1 di L dx (3.17)

41 Capítulo 3. Modelagem Matemática 24 e em d 2 I dl = 1 [ ] d 2 I 2 L 2 dx I(x). (3.18) 2 Substituindo (3.17) e (3.18) em (3.15) e realizando as simplicações cabíveis, chega-se cuja equação característica é d 2 I dx I = 0, (3.19) 2 b2 m 2 1 b 2 = 0 m = ±1 b (3.20) e a solução é dada por I(x) = C 1 e 1 b x + C 2 e 1 b x. (3.21) Voltando à variável independente L, substitui-se (3.16) em (3.21) e, aplicando propriedades dos logaritmos, tem-se Como L > 0, L 1 b L 1 b, obtém-se I(L) = C 1 L 1 b + C2 L 1 b. (3.22) > 0, assim, multiplicando ambos os membros da equação (3.22) por IL 1 b = C1 (L 1 b Por simplicação, substituindo L 1 b dada por cuja solução é ) 2 ( ) 2 + C2 C 1 L 1 1 b IL b + C2 = 0. (3.23) = y em (3.23), obtém-se uma equação de 2 grau, C 1 y 2 Iy + C 2 = 0, (3.24) y = I ± I 2 4C 1 C 2 L 1 I ± I2 4C 1 C 2 b =, (3.25) 2C 1 2C 1 em que o sinal à esquerda do radical é adotado convenientemente [13]. Assim, o modelo Lei de Peukert Estendida desenvolvido por Freitas [14], para correntes de descarga constantes, é dado por ( ) b I I2 4C 1 C 2 L =, (3.26) 2C 1 em que: C 1 é o coeciente de ajuste não linear, C 2 é a capacidade análoga à capacidade física da bateria e b é o coeciente de Peukert, sendo estes os três parâmetros empíricos a serem estimados a partir de dados experimentais. L e I são os mesmos denidos nos outros modelos, isto é, tempo de vida e corrente, respectivamente. Para correntes de descargas variáveis, de modo análogo aos modelos anteriores, substitui-

42 Capítulo 3. Modelagem Matemática 25 se I em (3.26) pela média ponderada das aproximações por pulsos das correntes variáveis, do tempo 0 até L [14, 43, 44]. Assim, obtém-se o modelo L = n k=1 I k 1(t k t k 1 ) L [ n k=1 I k 1(t k t k 1 ) L 2C 1 ] 2 4C1 C 2 b. (3.27) Modelo KiBaM O modelo cinético de bateria de Manwell e McGowan [30] (Kinetic Battery Model/KiBaM) foi desenvolvido a m de modelar os processos químicos presentes em baterias de chumbo-ácido. Este modelo considera a carga da bateria distribuída em duas fontes: a fonte de carga disponível e a fonte de carga limitada. Observa-se que uma fração c da capacidade total é distribuída na fonte de carga disponível, e uma fração 1 c é distribuída na fonte de carga limitada. Este modelo pode ser descrito a partir da Figura 3.2, em que: Figura 3.2: Modelo analítico KiBaM [30, 54]. y 1 (t) é a carga disponível da bateria na fonte 1, y 2 (t) é a carga limitada na fonte 2, h 1 (t) e h 2 (t) são as alturas das fontes. Durante a descarga da bateria, y 2 (t) fornece elétrons para y 1 (t) e esta, por sua vez, fornece energia à corrente i(t) que alimenta o sistema/dispositivo. Assim, k é o uxo entre as cargas disponível e limitada. A bateria é considerada descarregada quando a carga disponível se torna nula, ou seja, y 1 (t) = 0. Sempre que há um período de relaxação, ou seja, um período em que a corrente de descarga é reduzida signicativamente ou anulada, a carga da fonte limitada ui para a fonte de carga disponível até que as alturas h 1 (t) e h 2 (t) sejam novamente iguais, fazendo com que o sistema tenha mais carga disponível, este processo é conhecido por efeito de recuperação. Em contraponto, se a corrente de descarga for mantida alta, a fonte da carga disponível será rapidamente reduzida, de modo que não haverá tempo para a carga

43 Capítulo 3. Modelagem Matemática 26 da fonte limitada uir para a disponível, sendo reduzida assim a capacidade da bateria, podendo a bateria atingir seu nível de cuto (i.e., y 1 (t) = 0) antes de y 2 (t) fornecer toda a sua capacidade para y 1 (t). Neste sentido, percebe-se o efeito da taxa de capacidade também sendo contemplado pelo modelo KiBaM. Para a realização da modelagem [11,30], faz-se o seguinte balanço de massa no sistema { dy1 (t) dt dy 2 (t) dt = i(t) + k(h 2 (t) h 1 (t)) = k(h 2 (t) h 1 (t)). (3.28) tem-se e Como as cargas y 1 (t) e y 2 (t) são representadas por y 1 (t) = ch 1 (t) e y 2 (t) = (1 c)h 2 (t), h 1 (t) = y 1(t) c Por simplicação, adota-se uma constante k, em que (3.29) h 2 (t) = y 2(t) 1 c. (3.30) k = k c(1 c). (3.31) Então, substituindo as equações (3.29), (3.30) e (3.31) nas equações do sistema (3.28), e considerando a corrente de descarga i(t) uma corrente de descarga constante I, a variação entre as cargas y 1 (t) e y 2 (t) é dada pelo seguinte sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) { dy1 (t) dt dy 2 (t) dt = I k (1 c)y 1 (t) + k cy 2 (t) = k (1 c)y 1 (t) k cy 2 (t), (3.32) com condições iniciais y 1 (0) = cy 0 e y 2 (0) = (1 c)y 0, em que y 0 é a carga total presente na bateria. Aplicando a Transformada de Laplace e suas denições [37,56] no sistema de equações (3.32), encontra-se { sy1 (s) y 1 (0) = I + s k cy 2 (s) k (1 c)y 1 (s) sy 2 (s) y 2 (0) = k cy 2 (s) + k (1 c)y 1 (s). (3.33) Reorganizando os termos das EDOs, de modo que Y 1 (s) que no primeiro membro de cada equação, o sistema (3.33) torna-se { [s + k (1 c)]y 1 (s) = I s + k cy 2 (s) + y 1 (0) k (1 c)y 1 (s) = sy 2 (s) y 2 (0) + k cy 2 (s). (3.34)

44 Capítulo 3. Modelagem Matemática 27 Multiplicando a primeira equação do sistema (3.34) por k (1 c), e a segunda por [s + k (1 c)], e somando ambas, é possível eliminar Y 1 (s), obtendo I s k (1 c) k cy 2 (s)k (1 c) k (1 c)y 1 (0) + (s + k k c)sy 2 (s) y 2 (0)(s + k k c) + (s + k k c)k cy 2 (s) = 0. (3.35) Reorganizando os termos de modo que os que contém Y 2 (s) quem no primeiro membro, e realizando manipulações algébricas, tem-se ( s 2 k s)y 2 (s) = I s k (1 c) y 2 (0)s y 2 (0)k + y 2 (0)k c k (1 c)y 1 (0). (3.36) Dividindo ambos os membros da equação por ( s 2 k s) e multiplicando o segundo membro por s, com o objetivo de obter denominador comum, tem-se s Y 2 (s) = Ik (1 c) + y 2 (0)s 2 + y 2 (0)k s y 2 (0)k cs + k (1 c)y1(0)s, (3.37) s 2 (s + k ) colocando y 2 (0)k s em evidência, Y 2 (s) = Ik (1 c) + y 2 (0)s 2 + y 2 (0)k s(1 c) + k s(1 c)y 1 (0), (3.38) s 2 (s + k ) e, em seguida, evidenciando k s(1 c), tem-se Considerando que Y 2 (s) = Ik (1 c) + y 2 (0)s 2 + [y 1 (0) + y 2 (0)]k s(1 c). (3.39) s 2 (s + k ) a equação (3.39) pode ser reescrita como y 1 (0) + y 2 (0) = y 0, (3.40) Y 2 (s) = Ik (1 c) + y 2 (0)s 2 + y 0 k s(1 c). (3.41) s 2 (s + k ) Utilizando a técnica de frações parciais em (3.41), chega-se à equação Y 2 (s) = y 0k (1 c) + I(1 c) k s I(1 c) s 2 + y 2(0) s + k + ( y 0k )(1 c) I(1 c) (s + k )k. (3.42) E aplicando a Transformada Inversa de Laplace em (3.42), obtém-se a seguinte solução

45 Capítulo 3. Modelagem Matemática 28 para y 2 (t) y 2 (t) = y 0k (1 c) + I(1 c) k e, após algumas manipulações algébricas, I(1 c)t + y 2 (0)e k t + ( y 0k (1 c) I(1 c))e k t k, (3.43) y 2 (t) = (1 c)(y 0k + I)(1 e k t ) k I(1 c)t + y 2 (0)e k t. (3.44) Para encontrar y 1 (t), é necessário substituir a equação (3.44) na segunda equação do sistema (3.32), obtendo-se, assim, y 2 (0)( k )e k t + y 0 (1 c)k e k t I(1 c)(k k e k t ) k = k cy 2 (0)e k t k cy 0 (1 c)(1 e k t ) + k ci(1 c)(k t 1 + e k t ) k + k (1 c)y 1. (3.45) Evidenciando y 1 (t) à esquerda da igualdade, a equação torna-se y 1 (t) = y 0 e k t I(1 e k t ) + cy k 0 (1 e k t ) ci(k t 1 + e k t ) k y 2(0)e k t 1 c + cy 2(0)e k t, 1 c (3.46) e, manipulando algebricamente, por e y 1 (t) = y 0 e k t + (1 e k t ) ( I + cy 0k ) k ci(k t 1 + e k t ) k y 2 (0)e k t. (3.47) Assim, substituindo (3.40) em (3.47), obtém-se a seguinte solução para y 1 (t) y 1 (t) = y 1 (0)e k t + (1 e k t ) ( I + cy 0k ) k ci(k t 1 + e k t ) k. (3.48) Portanto, as soluções y 1 (t) e y 2 (t) para o modelo KiBaM são dadas, respectivamente, y 1 (t) = y 1 (0)e k t + (1 e k t ) ( I + cy 0k ) k ci(k t 1 + e k t ) k (3.49) y 2 (t) = y 2 (0)e k t I(1 c)t + (1 c)(y 0k + I)(1 e k t ) k. (3.50) Neste modelo, os parâmetros empíricos a serem estimados para realizar as simulações são k, c e y 0.

46 Capítulo 3. Modelagem Matemática Modelo de Rakhmatov e Vrudhula O modelo de Rakhmatov e Vrudhula (RV) [43], para modelar o tempo de vida de uma bateria, baseia-se na difusão de íons e descreve a evolução unidimensional da concentração das espécies eletroativas no eletrólito, levando em consideração as Leis de Fick [6,13]. Ele é desenvolvido a partir das Equações Diferenciais Parciais (EDPs) descritas a seguir { J(x, t) = D C(x,t) x = D 2 C(x,t) C(x,t) t x 2, (3.51) com condição inicial C(x, 0) = C, em que C é a concentração inicial de espécies eletroativas, J(x, t) é o uxo destas espécies, as variáveis independentes t [0, L] e x [0, w] representam respectivamente o tempo e uma posição no eletrodo, D é a constante de difusão, e C(x, t) é a concentração de espécies eletroativas. Considerando a Lei de Faraday [9, 11, 13, 54], o uxo de espécies eletroativas em uma extremidade do eletrodo (x = 0) é proporcional à corrente de descarga aplicada, ou seja, J(0, t)vaf = i(t), (3.52) logo, J(0, t) = i(t) vaf, (3.53) em que: F é a constante de Faraday, A é a área da superfície do eletrodo, e v é a quantidade de elétrons envolvidos na reação química na superfície do eletrodo. Considerando a primeira equação do sistema (3.51) em x = 0 e substituindo (3.53) na mesma, tem-se a seguinte condição de fronteira C(x, t) (0, t) = i(t) x vf AD. (3.54) E, ainda segundo a Lei de Faraday, na outra extremidade do eletrodo (x = w), o uxo é nulo. Deste modo, obtem-se também a condição de fronteira C(x, t) (w, t) = 0. (3.55) x Para a resolução do modelo RV [11], aplica-se a Transformada de Laplace na segunda equação de (3.51), mudando seu domínio de t para s, obtendo sc(x, s) C(x, 0) = D 2 C(x, s) x 2. (3.56) Substituindo a condição inicial C(x, 0) = C em (3.56) e dividindo-a por D, tem-se a

47 Capítulo 3. Modelagem Matemática 30 seguinte EDO de 2 a ordem não-homogênea cuja solução é C s D C = C D, (3.57) C(x, s) = k 1 e ( s D x) + k 2 e ( s D x) + C s. (3.58) Para obter k 1 e k 2, deriva-se (3.58) em relação a x: C(x, s) x = k 1 s D e( s D x) k 2 s D e( s D x), (3.59) e aplica-se Transformada de Laplace nas condições de fronteira (3.54) e (3.55): C(0, s) x = i(s) vf AD, (3.60) C(w, s) x Substituindo (3.60) e (3.61) em (3.59), obtém-se o sistema = 0. (3.61) { k1 s D k 2 s D = i(s) vf AD k 1 s D e( s D w) k 2 s D e( s D w) = 0, (3.62) Multiplicando a primeira equação de (3.62) por e ( s D w) e somando ambas as equações deste sistema, pode-se encontrar k 2 : k 2 = i(s) D vf AD s e ( s D w) e ( s D w) e (. (3.63) s w) D Em seguida, para encontrar k 1, substitui-se (3.63) na primeira equação de (3.62) e, após algumas manipulações algébricas, tem-se k 1 = ( i(s) 1 vf AD e ( s D w) e ( s D w) e ( s D w) ) D s. (3.64) Deste modo, substituindo (3.63) e (3.64) em (3.58), encontra-se a solução particular

48 Capítulo 3. Modelagem Matemática 31 de (3.57) C(x, s) = ( i(s) 1 vf AD + i(s) vf AD D s e ( s D w) e ( s D w) e ( s D w) e ( s D w) e ( s D w) e ( s D w) e( s ) D s e( s D x) + D x) + C s. (3.65) Entretanto, como existe interesse apenas na concentração de espécies eletroativas na superfície do eletrodo [11, 39], ou seja, em x = 0, tem-se torna C(0, s) = C s + Colocando em evidência o fator C(0, s) = C s + ( i(s) 1 vf AD e com algumas manipulações algébricas, ( Como C(0, s) = C s + e ( sd w) ( sd w) +e e ( sd w) ( sd w) e ) + i(s) vf AD i(s) D vf AD s i(s) ( D 1 vf AD s e ( s D w) e ( s D w) e ( s D w) D s ) D s + e ( s D w) e ( s D w) e (. s D w) (3.66) e juntando os termos semelhantes, (3.66) se 2e ( s D w) e ( s D w) e ( s D w) i(s) D (e ( s vf AD s ( 1) D w) + e ( s = cotgh ( s D w), D w) e ( s D w) e ( s D w) ) ), (3.67). (3.68) C(0, s) = C s i(s) ( ) D s vf AD s cotgh D w. (3.69) Para transformar C(0, s) para o domínio de t, aplica-se a Transformada Inversa de Laplace e a denição de convolução em (3.69), obtendo [54] C(0, t) = C 1 F Av πd t 0 i(τ) t τ m= e ( w2 m 2 D(t τ) ) dτ. (3.70) Na sequência, considerando o decaimento ρ da concentração de espécies eletroativas ρ(t) = 1 C(0, t) C, (3.71)

49 Capítulo 3. Modelagem Matemática 32 e dividindo (3.70) por C, tem-se ρ(t) = 1 F AvC πd t 0 i(τ) t τ [1 + 2 m=1 e ( w2 m 2 D(t τ) ) ]dτ. (3.72) Considerando, ainda, t igual ao tempo de vida L da bateria em (3.72), distribuindo o fator i(τ) t τ e utilizando um teorema do Cálculo Diferencial e Integral que diz que a integral de uma soma pode ser escrita como uma soma de integrais, tem-se ρ(l) = 1 F AvC πd L 0 i(τ) L τ + 2 m=1 L 0 i(τ) L τ e ( w2 m 2 D(L τ) ) dτ. (3.73) Para seguir a modelagem, considera-se os parâmetros empíricos β e α [43]. Sendo que β está relacionado ao comportamento não linear da bateria, contemplando o efeito de recuperação e o efeito da taxa de capacidade, e α está relacionado à capacidade da bateria [11]. Ambos são dados, respectivamente, por β = w D (3.74) e α = vf A πdc ρ(l). (3.75) Deste modo, substituindo (3.74) e (3.75) em (3.73), tem-se a equação geral que relaciona o tempo de vida da bateria, a corrente de descarga e os parâmetros α e β, dada por tem-se α = L 0 i(τ) L τ dτ + 2 m=1 L 0 i(τ) L τ e ( β2 m 2 L τ ) dτ. (3.76) Quando i(t) = I, ou seja, quando a corrente de descarga é considerada constante, α = 2I L m=1 e ( β2 m 2 L ) π 1 + πe ( β2 m 2 L ) 1 + π L β 2 m 2. (3.77) Para correntes de descargas variáveis, substitui-se a equação (3.4) na equação (3.76) e obtém-se α = [ n tk I k 1 k=1 t k 1 dτ L τ + 2 m=1 tk t k 1 ] e ( β2 m 2 L τ ) dτ. (3.78) L τ Resolvendo as integrais de (3.78), obtém-se a seguinte solução do modelo RV para

50 Capítulo 3. Modelagem Matemática 33 correntes de descargas variáveis [39, 43, 54] α = n 2I k 1 A(L, t k, t k 1, β), (3.79) k=1 em que: A(L, t k, t k 1, β) = L t k L t k m=1 10 m=1 e ( β 2 m 2 ) L t k 1 e ( β2 m 2 L t ) k πe ( β 2 m 2 ) L t k 1 π π L t k 1 β 2 m 2 πe ( β 2 m 2 ) L t k π π L t k β 2 m 2. (3.80) 3.3 Resumo do Capítulo Neste capítulo foram apresentados os modelos matemáticos utilizados nesta pesquisa. O modelo Linear, como o próprio nome sugere, possui uma equação linear para a modelagem do tempo de vida de baterias e não considera os efeitos não lineares de um processo de descarga. A Lei de Peukert, por sua vez, contempla o efeito da taxa de capacidade em sua modelagem e é caracterizada por uma equação não linear. A Lei de Peukert Estendida é uma extensão à Lei de Peukert, foi obtida através da minimização por comparação de derivadas da Lei original e também considera o efeito da taxa de capacidade em sua modelagem. O modelo KiBaM é um modelo físico que está fundamentado no balanço de massa entre as cargas disponível e limitada de uma bateria, é desenvolvido a partir de um sistema de equações diferenciais ordinárias e contempla em sua modelagem o efeito de recuperação e o efeito da taxa de capacidade. Por m, o modelo de Rakhmatov e Vrudhula baseia-se no processo de difusão de espécies eletroativas, sua modelagem acontece através de um sistema de equações diferenciais parciais e, assim como o modelo KiBaM, também é um modelo físico e considera os dois principais efeitos não lineares presentes em um processo de descarga, além de ser considerado de alta acurácia pela literatura técnica.

51 Capítulo 4 Teoria Estatística 4.1 Introdução A teoria Estatística é uma grande aliada para o estudo de populações de diversas naturezas, visto que é possível realizar análises sobre informações coletadas de uma amostra da população que se deseja investigar, e através da análise estatística inferir para toda a população os resultados referentes à amostra. Os dados para a análise estatística podem ser obtidos de duas maneiras: através da observação ou através da experimentação. Quando obtidos através da experimentação, o que é testado chama-se fator de tratamento (por exemplo, pers de descarga), e os tipos de tratamento são chamados de níveis do fator, ou simplesmente de tratamentos, (por exemplo, as correntes de descarga, 100 ma, 150 ma, etc). A variável resposta, ou variável aleatória, é a grandeza que é contada ou medida ao m do experimento. A variável aleatória pode ser discreta (obtida através de contagem) ou contínua (obtida através de medição). Nesta pesquisa, foram utilizados diversos recursos da Estatística, tendo em vista as vantagens no uso desta teoria. Neste sentido, este capítulo está organizado da seguinte forma. Na Seção 4.2 há uma abordagem acerca de medidas de tendência central, e na Seção 4.3 acerca de medidas de dispersão. Na Seção 4.4 é abordado o conceito de valor outlier, bem como, o critério para sua identicação. Na Seção 4.5 são citados alguns modelos de distribuição de probabilidades, com ênfase no modelo Normal. Na Seção 4.6 são apresentadas duas abordagens estatísticas que podem ser utilizadas considerando a distribuição dos dados, sendo elas a análise paramétrica e a análise não paramétrica. Na Seção 4.7, inicialmente há uma explicação sobre testes de hipótese e, posteriormente, são tratados três testes que foram utilizados nesta pesquisa, são eles: a Análise de Variância, o teste de Levene e o teste de Shapiro-Wilk. Na Seção 4.8 há uma abordagem a respeito de testes de comparação de médias e em seguida é descrito o teste Tukey, que também foi 34

52 Capítulo 4. Teoria Estatística 35 utilizado nesta pesquisa. Por m, na Seção 4.9, é apresentado um resumo deste capítulo. 4.2 Medidas de Tendência Central ou de Posição Considerando um conjunto de dados, é necessário encontrar um valor que caracteriza as informações de forma geral. Este valor representa a tendência central dos demais. Na literatura, há diversas medidas de tendência central, que são: média aritmética, média ponderada, média geométrica, média harmônica, média quadrática, mediana e moda. A seguir, estão descritas cada uma das medidas citadas [29, 36, 41], de modo que em todas, x i representa cada um dos n elementos que são tratados. A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada, por isto, muitas vezes é chamada apenas de média, sendo dada por x = n i=1 x i. (4.1) n A média ponderada é utilizada quando os elementos possuem pesos diferentes, e é calculada por M p = em que: p i são os respectivos pesos dos elementos x i. n i=1 x ip i n i=1 p, (4.2) i A média geométrica normalmente é utilizada para encontrar a média de taxas, e é obtida através da equação M g = n n x i. (4.3) A média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos dos valores, pode ser utilizada, por exemplo, para realizar a média entre velocidades, e é dada por M h = i=1 n n i=1 1. (4.4) x i A média quadrática é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos elementos x i, logo, pode ser calculada através da equação Mq = n i=1 x2 i n. (4.5) A mediana é o valor (ou dado) central da sequência crescente dos elementos, ou seja, é a que divide o grupo em duas partes iguais. Caso o número de elementos seja par, a mediana é dada pela média aritmética dos dois valores centrais. E, por m, a moda é o elemento que possui maior frequência no grupo. Caso haja dois

53 Capítulo 4. Teoria Estatística 36 elementos se sobressaindo aos demais, com a mesma frequência, diz-se que o conjunto de dados é bimodal; se forem três, trimodal, e assim por diante. E se não houver qualquer elemento com maior frequência que outro, diz-se que o grupo é amodal. 4.3 Medidas de Dispersão Tão importante quanto encontrar a tendência central de um conjunto de dados, é saber o quão as informações estão dispersas entre si. Para isto, são usadas medidas de dispersão ou variabilidade, sendo que as principais delas são: amplitude total, desvio médio, desvio padrão, variância e coeciente de variação, que estão descritas a seguir [29, 41]. A amplitude total corresponde à diferença entre o maior e o menor elemento da amostra. O desvio médio é dado por Dm = n i=1 x i x, (4.6) n em que: x i é cada um dos n valores da amostra e x é a média aritmética das informações, observa-se que no cálculo do desvio padrão, da variância e do coeciente de variação, estes elementos possuem o mesmo signicado. O desvio padrão é obtido através de Dp = n i=1 (x i x) 2 n 1 (4.7) e possui larga aplicação na estatística [41, 52]. A variância é calculada através do quadrado do desvio padrão, sendo assim, dada por V ar = n i=1 (x i x) 2. (4.8) n 1 O Coeciente de Variação (ou CV ) é calculado através da equação CV = 100 Dp x. (4.9) O CV é uma razão percentual que não é inuenciada pela magnitude dos valores e não possui unidade de medida, sendo a medida de dispersão mais indicada para comparar a variabilidade de distintos conjuntos de dados. Além disto, através do CV é possível vericar o nível de dispersão entre os elementos e, desta maneira, concluir a respeito da precisão de um experimento. Se o CV for menor que 10%, há baixa dispersão de dados; se estiver entre 10% e 20%, há média dispersão; entre 20% e 30%, ocorre alta dispersão e,

54 Capítulo 4. Teoria Estatística 37 por m, caso seja maior que 30% é considerado que há uma dispersão muito alta [7, 15]. Quanto menor for o CV, mais baixa será a dispersão dos dados e portanto mais conável será o experimento. 4.4 Dados Outliers A estatística experimental não está imune a erros, pois na coleta de dados é possível que ocorra falhas na medição da variável aleatória. Neste sentido, é importante realizar uma análise para encontrar possíveis valores outliers, ou seja, valores discrepantes que podem ser oriundos de erros na coleta de dados. Conforme Volpato e Barreto [52], um critério para encontrar estes valores consiste em estabelecer um intervalo, em que o limite inferior é dado por LI = x 1, 96Dp (4.10) e o limite superior por LS = x + 1, 96Dp, (4.11) em que: x e Dp são a média aritmética e o desvio padrão dos valores, respectivamente. O valor experimental que for menor que o limite inferior, ou maior que o limite superior, ou seja, que não pertencer a este intervalo, é considerado um valor outlier. 4.5 Modelos de Distribuição de Probabilidades Os dados obtidos de uma amostra podem indicar que tipo de distribuição tem os dados da população. Existem distribuições discretas de dados e distribuições contínuas [41]. Dentre as discretas, pode-se citar: a distribuição de Bernoulli, a distribuição binomial, a distribuição hipergeométrica, a distribuição multinomial e a distribuição de Poisson; e dentre as contínuas: a distribuição uniforme e a distribuição normal. A distribuição normal está descrita com maiores detalhes na próxima seção, visto que possui grande importância, pois normalmente é um dos critérios para a realização de diversos testes estatísticos Distribuição Normal A distribuição normal ou gaussiana é uma distribuição teórica para dados, em que as informações seguem a função densidade dada por f(x) = 1 σ 2π e (x µ) 2 2σ 2, (4.12)

55 Capítulo 4. Teoria Estatística 38 para < x <, em que: µ e σ 2 são, respectivamente, a média aritmética e o desvio padrão dos valores [29, 36, 41]. Uma representação desta distribuição pode ser observada na Figura 4.1. Figura 4.1: Ilustração de uma distribuição de dados normal [29]. A função dada na equação (4.12) foi desenvolvida, de forma independente, por De Moivre, Laplace e Gauss, devido ao último, recebeu a denominação gaussiana [36, 41]. A denotação da densidade normal pode ser dada por X N(µ, σ 2 ). Para o cálculo de probabilidades para variáveis contínuas, considerando uma distribuição normal, deve-se resolver uma integral denida da função de densidade normal no intervalo desejado [29], isto é, P (a X b) = b a 1 σ 2π e (x µ) 2 2σ 2 dx. (4.13) A solução desta integral pode ser obtida através de métodos numéricos, entretanto, teria que ser resolvida para cada par de µ e σ 2 obtenção de uma distribuição normal padronizada. desejado, neste sentido, fez-se útil a Para isto, pode ser denida uma variável aleatória Z da seguinte maneira Z = X µ, (4.14) σ a partir da qual é possível obter uma distribuição normal com µ = 0 e σ = 1. Esta transformação não afeta a normalidade, deste modo, Z terá distribuição N(0, 1), sendo chamada de Normal Padrão ou Reduzida [29], podendo ser observada na Figura 4.2.

56 Capítulo 4. Teoria Estatística 39 Figura 4.2: Probabilidades em uma distribuição normal [41]. A partir desta transformação, conforme pode ser observado, é possível vericar as seguintes probabilidades [41]: no intervalo [µ σ, µ + σ], ou simplesmente [ 1, 1], estão 68, 2% dos dados; no intervalo [µ 2σ, µ + 2σ], ou simplesmente [ 2, 2], estão 95, 4% dos dados; no intervalo [µ 3σ, µ + 3σ], ou simplesmente [ 3, 3], estão 99, 7% dos dados. 4.6 Abordagens Estatísticas quanto à Distribuição dos Dados: análise paramétrica e não paramétrica Na Estatística, a análise dos dados pode ser paramétrica ou não paramétrica. A abordagem paramétrica é adotada se os dados possuírem distribuição conhecida [10]. Cada teste tem critérios especícos, mas normalmente são critérios para a análise paramétrica que os dados apresentem distribuição normal e homogeneidade de variâncias [52]. De maneira geral, os testes paramétricos também exigem que os dados sejam de natureza quantitativa. Por outro lado, se os dados não possuírem distribuição conhecida ou, na maioria dos casos, se for vericado que não têm distribuição normal, o tipo de análise indicada é a não paramétrica. Os testes desta categoria também são conhecidos como testes livres

57 Capítulo 4. Teoria Estatística 40 de distribuição e podem ser aplicados a dados nominais e ordinais também [10]. E, ao contrário dos testes paramétricos, não costumam apresentar exigências para sua utilização. Cabe acrescentar que apesar da análise não paramétrica não apresentar condições e poder ser aplicada a qualquer situação, as análises paramétricas são mais robustas e ecientes, por isto, sempre se busca realizá-las em preferência às não paramétricas [10]. 4.7 Testes de Hipótese Testes de hipótese são testes estatísticos capazes de aceitar ou rejeitar hipóteses préformuladas para um conjunto amostral, sendo possível, a partir daí, inferir seus resultados para a população de que a amostra é oriunda. Em cada teste, deve ser denido um nível de signicância α que indica a probabilidade de erro em rejeitar a hipótese pré-formulada sendo ela verdadeira, ou seja, o erro máximo que o teste pode assumir. Esta hipótese pré-formulada é chamada de hipótese nula e pode ser representada por H 0, e a rejeição de H 0 gera uma hipótese alternativa representada por H 1. Como resultado de um teste de hipótese, pode-se obter a probabilidade de signicância ou nível descritivo do teste, também chamado de p-valor, que indica a probabilidade de erro ao rejeitar a hipótese nula, desta maneira, se o p-valor for menor que o nível de signicância estabelecido, pode-se rejeitar com segurança a hipótese nula [29, 36]. Os testes de hipótese podem ser paramétricos ou não paramétricos. No desenvolvimento desta pesquisa, foram utilizados três testes de hipótese paramétricos: a Análise de Variância (ANOVA), o teste de Levene e o teste de Shapiro-Wilk, que são abordados a seguir Análise de Variância (ANOVA) A ANOVA é um teste de hipótese paramétrico, que tem como objetivo vericar se as médias de diferentes níveis de um fator de tratamento possuem alguma diferença estatística entre si [10]. Para determinar sua estatística F calc, inicialmente deve-se calcular a soma de quadrados total SQ tot, a soma de quadrados dos tratamentos SQ trat e a soma de quadrados do resíduo SQ res, dadas, respectivamente, por SQ tot = k m (x ij x) 2, (4.15) i=1 j=1 k SQ trat = m i (x i x) 2, (4.16) i=1 SQ res = SQ tot SQ trat, (4.17)

58 Capítulo 4. Teoria Estatística 41 de modo que 1 i k e 1 j m, em que k é o número de tratamentos e m é o número de repetições de cada tratamento, x ij é a variável resposta medida na repetição j do tratamento i, x i é a média aritmética do tratamento i, m i é o número de repetições do tratamento i, e x é a média aritmética de todas as variáveis respostas obtidas [29,36]. Em seguida, deve-se determinar o quadrado médio dos tratamentos QM trat e o quadrado médio do resíduo QM res, que são determinados através da razão entre suas respectivas somas de quadrados e graus de liberdade. Cabe acrescentar que o grau de liberdade dos tratamentos é dado por GL trat = k 1 (4.18) e o grau de liberdade do resíduo por GL res = k(m 1). (4.19) Por m, a estatística F calc é dada por F calc = QM trat QM res. (4.20) A hipótese nula deste teste é a armação de que os tratamentos possuem médias iguais estatisticamente [10]. Para vericá-la, deve-se comparar a estatística F calc com uma estatística tabelada F tab que depende do grau de liberdade dos tratamentos, do grau de liberdade dos resíduos e do nível de signicância α do teste. Se F calc > F tab devese rejeitar a hipótese nula, concluindo que as médias dos tratamentos não são iguais estatisticamente, ou seja, pelo menos duas médias são diferentes estatisticamente entre si. A ANOVA também pode ser aplicada através do software MatLab, com o uso da função anova1 [35], que fornece o valor descritivo, ou p-valor, do teste. Como já mencionado, a ANOVA é um teste de hipótese paramétrico, desta maneira, possui critérios para sua utilização, que são: os dados possuírem distribuição normal, terem homogeneidade de variâncias e as amostras serem independentes [10]. A independência pode ser vericada pelo pesquisador e, quanto aos outros critérios, podem ser utilizados dois testes de hipótese para vericação: o teste de Levene para vericar a homogeneidade de variâncias e o teste de Shapiro-Wilk para vericar a normalidade das amostras.

59 Capítulo 4. Teoria Estatística Teste de Levene O teste de Levene visa constatar se diferentes tipos de tratamento possuem homogeneidade de variâncias ou não [10]. Sua estatística é calculada por W c = N k k k 1. i=1 n i(z i Z) 2 k nj i=1 j=1 (Z ij Z i ), (4.21) 2 em que: n i é a dimensão de cada uma das k amostras, N é a dimensão da amostra global, x ij é a observação j da amostra i, x i é a média da amostra i, Z i é a média da amostra Z i na amostra i, Z é a média de Z i na amostra global e Z ij = x ij x i [10]. A estatística W c deve ser comparada, então, com uma estatística tabelada que considera o nível de signicância α escolhido e outras características dos dados em questão, como, por exemplo, seus graus de liberdade. Se o valor calculado for menor que o tabelado, aceita-se a hipótese nula de que as variâncias são homogêneas. Este teste pode ser implementado no software MatLab através da função levenes presente na sua plataforma online [31]. Esta função apresenta como resposta o p-valor, que se for menor que o nível de signicância estabelecido indica que a hipótese nula, de que as variâncias possuem homogeneidade, deve ser rejeitada Teste de Shapiro-Wilk Para analisar se um conjunto de dados possui distribuição normal ou não, há dois testes de hipótese mais utilizados: o de Kolmogorov-Smirnov e o de Shapiro-Wilk. Nesta pesquisa, foi utilizado o teste de Shapiro-Wilk, pois é o mais indicado para amostras pequenas (até 30 dados em cada amostra), visto que há 8 dados em cada uma das amostras analisadas neste estudo (cf. Seção 5.2.3) [10]. A estatística do teste de Shapiro-Wilk é dada por W cal = b 2 n i=1 (X i x) 2, (4.22) em que: n é o número de repetições (dados) de cada amostra, X i são os valores das variáveis dispostos em ordem crescente, x é a média das variáveis x, e b é dado por n/2 b = a n i+1 (X n i+1 X i ), (4.23) i=1 em que: a n i+1 são as constantes geradas a partir da média, variância e covariância das estatísticas de uma amostra de tamanho n de uma distribuição normal reduzida N(0, 1) [10].

60 Capítulo 4. Teoria Estatística 43 Para aceitar ou rejeitar a hipótese nula H 0 que arma que os dados possuem distribuição normal, deve-se comparar o valor W cal com o valor tabelado W tab, sendo este determinado a partir do nível de signicância desejado e do tamanho n da amostra. Se W cal > W tab aceita-se a hipótese nula, que arma que os dados têm distribuição normal. 4.8 Testes de Comparação de Médias Testes de hipótese como a ANOVA são capazes de vericar se há ou não alguma diferença estatística entre diferentes tratamentos, entretanto, não indicam quais são os pers iguais ou diferentes entre si. Para isto, utiliza-se testes de comparação de médias, eles podem ser utilizados após testes de hipótese como a ANOVA, o teste de Kruskal- Wallis ou de Friedman [52]. Os testes que podem ser aplicados após a ANOVA são: Tukey, Tukey-Kramer, Duncan, Scheé, Bonferroni, dentre outros. Nesta pesquisa, optou-se pelo teste Tukey, visto que este apresenta resultados detalhados quanto às diferenças e igualdades estatísticas entre os tratamentos e é o mais indicado para amostras balanceadas, ou seja, com o mesmo número de repetições, se adequando aos dados experimentais utilizados nesta pesquisa (cf. Seção 5.2.3) [5, 52]. Na seção a seguir, este teste é apresentado com mais detalhes Teste Tukey O teste Tukey utiliza valores críticos da amplitude studentizada, denotada por q e, como já mencionado, é o mais indicado para amostras balanceadas [5]. Duas médias x a e x b, com 1 a k e 1 b k, sendo k o número de tratamentos, serão diferentes estatisticamente se satiszerem a desigualdade x a x b > q k,glres,α QMres m, (4.24) em que: α, GL res, QM res e m são os mesmos denidos para a ANOVA (cf. Seção 4.7.1) [5]. Este teste pode ser realizado através da aplicação sucessiva das funções anova1 e multcompare no software MatLab [33, 35]. 4.9 Resumo do Capítulo Neste capítulo, inicialmente são apresentadas as principais medidas de tendência central e de dispersão, que são amplamente utilizadas na teoria Estatística, sendo que uma de suas aplicações consiste na identicação de valores outliers em um conjunto de dados.

61 Capítulo 4. Teoria Estatística 44 Também são descritas as distribuições teóricas que os dados de uma pesquisa podem seguir. A distribuição normal é tratada com mais detalhes, visto que, em diversas situações, é um importante critério para denir se o tipo de análise utilizada será a paramétrica ou a não paramétrica. Sendo que para a análise paramérica é necessário conhecer a distribuição dos dados, já a análise não paramétrica não apresenta critérios para sua utilização, entretanto, é menos indicada que a primeira, pois testes paramétricos são mais robustos e ecientes. Também são apresentados os testes de hipótese de Levene e de Shapiro-Wilk, que podem ser utilizados para vericar duas condições de utilização da Análise de Variância. Quanto ao teste de comparação de médias a ser utilizado posteriormente à aplicação da ANOVA, percebeu-se que o mais adequado para os dados desta pesquisa seria o teste Tukey, visto que é o mais indicado para amostras balanceadas, ou seja, amostras com o mesmo número de repetições.

62 Capítulo 5 Dados Experimentais e Análises Estatísticas 5.1 Introdução Para possibilitar a modelagem matemática do tempo de vida de baterias do tipo Li- Po, através dos modelos analíticos apresentados no Capítulo 3, Seção 3.2, é necessária a obtenção de dados experimentais do tempo de vida de baterias. Os dados são obtidos de uma plataforma de testes, especialmente construída para essa nalidade. Após a obtenção dos dados é realizada uma análise estatística utilizando os conceitos apresentados no Capítulo 4, objetivando identicar quais dados são estatisticamente diferentes, para posteriormente separá-los em dois conjuntos, para a realização da estimação e validação dos modelos de maneira correta e segura. Neste sentido, este capítulo está organizado da seguinte forma. Na Seção 5.2 estão apresentadas as questões referentes à coleta dos dados experimentais, tais como: a plataforma de testes, a fonte de energia utilizada, a metodologia de coleta de dados, e a apresentação dos tempos de vida experimentais. Na Seção 5.3 é realizada uma análise de cada um dos pers de descarga a m de encontrar possíveis valores outliers. Na Seção 5.4 são aplicados os testes para identicar quais os pers são estatisticamente diferentes. E, por m, na Seção 5.5 é apresentado um resumo deste capítulo. 5.2 Coleta dos Dados Experimentais Plataforma de Testes Para a obtenção dos dados experimentais foi utilizada uma fonte de energia (Figura 5.1) para carregar as baterias e uma plataforma de testes (Figura 5.2) para descarregá-las 45

63 Capítulo 5. Dados Experimentais e Análises Estatísticas 46 e armazenar as informações das descargas. Ambas (fonte e plataforma) estão localizadas no Laboratório de Sensores Inteligentes (LSI) do GAIC, no Departamento de Ciências Exatas e Engenharia (DCEEng) da UNIJUÍ. Figura 5.1: Fonte responsável por carregar as baterias. Figura 5.2: Plataforma responsável pelo descarregamento das baterias. A plataforma de descarga foi desenvolvida por integrantes do GAIC, sendo constituída, basicamente, pelo hardware, pelas baterias e pelo sistema de controle (software ), que