Análise Comparativa do Nível de Acurácia de Modelos Híbridos Utilizados para Predizer o Tempo de Vida de Baterias. Odenis Alessi

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1 Análise Comparativa do Nível de Acurácia de Modelos Híbridos Utilizados para Predizer o Tempo de Vida de Baterias Odenis Alessi Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul Unijuí, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática. Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Orientadora Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Coorientador Ijuí, RS, Brasil c Odenis Alessi, Março, 2018

2 Análise Comparativa do Nível de Acurácia de Modelos Híbridos Utilizados para Predizer o Tempo de Vida de Baterias Odenis Alessi Dissertação de Mestrado apresentada em Março, 2018 Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Orientadora Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Coorientador Mauricio de Campos, Dsc. Componente da Banca Cristiano Roberto Cervi, Dsc. Componente da Banca Ijuí, RS, Brasil, Março, 2018 ii

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4 Agradecimentos A Deus, pela proteção e por permitir a conclusão desta jornada. Aos meus pais, Belarmo e Nelci e a minha irmã Simone, que nunca mediram esforços para que eu pudesse concretizar este sonho. Obrigado por tudo e principalmente pelo apoio. Amo vocês. A Professora Airam, que prontificou-se em ser minha orientadora após a saída do meu primeiro orientador, demonstrando estar sempre preocupada com meu aprendizado e desenvolvimento da pesquisa. Agradeço pela confiança, pela paciência, pelas orientações e pelos inúmeros ensinamentos. Você juntamente com o Professor e coorientador Paulo, são meus exemplos de profissionais e pessoas. A minha colega e amiga Vanessa com quem tenho uma amizade e carinho imensuráveis. Obrigado pela amizade, pela companhia, conversas, desabafos, ajudas e pelos inúmeros momentos felizes que compartilhamos juntos. Amizade como a nossa vale ouro! De mesma maneira a minha colega e amiga Nelize, obrigado pela amizade que se iniciou no mestrado e por todas as experiências e situações compartilhadas. Aos demais colegas do mestrado, a nossa turma simplesmente foi incrível. Aos colegas doutorandos, Douglas, Luana e Marcia que sempre demonstraram-se dispostos a ajudar e aconselhar. Aos demais professores do mestrado que contribuíram para minha formação. À Unijuí e ao GAIC, pela estrutura e laboratórios. ii

5 Resumo O desenvolvimento tecnológico permite que diferentes dispositivos eletrônicos sejam capazes de executar cada vez mais um número maior de tarefas. Dentre estes dispositivos estão os dispositivos móveis, que pela utilização de uma bateria, agregam mobilidade e comodidade na execução de diferentes serviços, otimizando o tempo do usuário. Desta forma, o funcionamento do dispositivo está ligado diretamente ao tempo de vida da bateria, nesse contexto é importante o estudo acerca do desempenho e do comportamento da bateria frente a diferentes cenários de descarga. A predição do tempo de vida de baterias pode ser realizada através da modelagem matemática, que permite realizar a simulação de um processo de descarga real através de modelos matemáticos. Estes modelos são classificados em categorias: os modelos eletroquímicos, os modelos elétricos, os modelos analíticos, os modelos estocásticos, os modelos via teoria de identificação de sistemas e os modelos híbridos. Este trabalho é realizado utilizando a categoria de modelos híbridos. Estes modelos são constituídos através da união de pelo menos dois modelos pertencentes a categorias diferentes, conseguindo agregar as vantagens dos modelos utilizados nesta união. Neste sentido, o objetivo deste trabalho é realizar a modelagem matemática do tempo de vida de baterias utilizando os modelos híbridos encontrados na literatura técnica, realizando uma análise comparativa entre o nível de acurácia dos mesmos. São usados perfis de descarga constantes e os dados experimentais são obtidos de uma plataforma de testes, considerando baterias de Lítio Íon Polímero. Nos dados experimentais é realizado um tratamento estatístico, a fim de identificar a presença de valores outliers e médias experimentais diferentes estatisiticamente. As simulações computacionais são realizadas no software MatLab e as validações dos modelos híbridos ocorre através da comparação dos resultados das simulações com os dados obtidos da plataforma de testes. Após as validações, constatou-se que todos os modelos híbridos utilizados neste trabalho são acurados, apresentando erro médio inferior a 5%, independente da presença de valores outliers. Por fim, comparando os valores dos erros, é concluído que o modelo híbrido proposto por Zhang é o modelo mais acurado, seguido pelo modelo híbrido de Kim e de Gomes. Também foi possível observar que os menores erros foram encontrados na presença de valores outliers. Palavras-chave: modelos híbridos, análise comparativa, baterias, outliers, médias estatisticamente diferentes. iii

6 Abstract Technological development allows different electronic devices to perform a greater number of tasks. Among these devices are the mobile devices, which by the use of a battery, add mobility and convenience in the execution of different services, optimizing the user s time. In this way, the device operation is directly connected to the battery life, in this context it is important to study the performance and behavior of the battery against different download scenarios. The battery lifetime prediction can be performed through mathematical modeling, which allows the simulation of a real discharge process through mathematical models. These models are classified into categories: electrochemical models, electric models, analytical models, stochastic models, models via system identification theory and hybrid models. This work is carried out using the category of hybrid models, that are which are constituted from the union of at least two models belonging to different categories, being able to aggregate the advantages of each one. In this sense, the work objective is to perform the mathematical modeling of battery lifetime using the hybrid models found in the technical literature, performing a comparative analysis between the accuracy level them. Constant discharge profiles are used and experimental data are obtained from a test platform, considering Lithium Polymer batteries. In the experimental data a statistical treatment is performed in order to identify the presence of outliers values, and statistically different experimental means. The computational simulations are performed in the MatLab software and the validations of the hybrid models are performed by comparing the results of the simulations with the data obtained from the test platform. After the validations, it was verified that all the hybrid models used in this work are accurate, with an average error of less than 5 %, regardless of the presence of outliers values. Finally, comparing the errors values, it is concluded that the hybrid model proposed by Zhang is the most accurate model, followed by the hybrid model of Kim and Gomes. It was also possible to observe that the smallest errors were found in the outliers presence. Keywords: hybrid models, comparative analysis, batteries, outliers, statistically different means. iv

7 Lista de Abreviaturas A Ampère Ah Ampère-hora ANOVA Analysis of Variance As Ampère-segundo AR Modelo AutoRregressivo ARX Modelo AutoRregressivo com entradas externas ARMAX Modelo AutoRregressivo com Média móvel e entradas externas BJ Box Jenkins DCEEng Departamento de Ciências Exatas e Engenharias DP Desvio Padrão EDOs Equações Diferenciais Ordinárias EDPs Equações Diferenciais Parciais ES Erro de Saída GAIC Grupo de Automação Industrial e Controle GPS Global Positioning System v

8 KiBaM Kinetic Battery Model Li-Ion Lítio Íon Li-Po Lítio Íon Polímero LSI Laboratório de Sensores Inteligentes ma miliampère mamin miliamèpere por minuto MatLab Matrix Laboratory min minutos MQ Mínimos Quadrados NARMAX Modelos Não linear AutoRegressivo com Médias e entradas externas NARX Modelo Não linear AutoRegressivo com entradas externas NiCd Níquel Cádmio NiMH Níquel Metal Hidreto NR Newton - Raphson PbA Chumbo Ácido RV Rakhmatov e Vrudhula SOC State of Charge SQE Soma dos Quadrados dos Erros vi

9 SQF Somo dos Quadrados do Fator t tempo UNIJUÍ Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul V Volts V-I Tensão e Corrente vii

10 Lista de Símbolos α - parâmetro que representa a capacidade da bateria no Modelo Analítico de Rakhmatov- Vrudhula β - parâmetro que representa a não linearidade da bateria no Modelo Analítico de Rakhmatov-Vrudhula δ - diferença de altura entre as duas fontes (h 2 h 1 ) do Modelo Analítico Kinetic Battery Model τ L - capacitância transiente de longa duração τ S - capacitância transiente de curta duração a i - constante gerada a partir da média, variância e covariância A - área da superfície do eletrodo no modelo RV a 0,..., a 5 - parâmetros a serem estimados no Modelo Elétrico para Predizer Runtime e Características V-I nos modelos híbridos b - coeficiente de Peukert b 0,..., b 5 - parâmetros a serem estimados no Modelo Elétrico para Predizer Runtime e Características V-I nos modelos híbridos C - capacidade total da bateria C - concentração inicial de espécies eletroativas no modelo RV viii

11 C 1 - Coeficiente de ajuste não linear na Lei de Peukert Estendida C 2 - Capacidade análoga a capacidade física da bateria na Lei de Peukert Estendida Capacity - capacidade nominal da bateria C available - capacidade disponível da bateria C Capacity - capacidade total da bateria C initial - capacidade inicial da bateria C max - capacidade máxima da bateria C transient - capacitância transiente C transient_l - capacitância transiente de longa duração C transient_s - capacitância transiente de curta duração C unavailable (t) - capacidade indisponível da bateria c - fração da capacidade total disponível da bateria do Modelo Analítico Kinetic Battery Model c 0,..., a 2 - parâmetros a serem estimados no Modelo Elétrico para Predizer Runtime e Características V-I nos modelos híbridos D - constante de difusão do modelo RV d 0,..., d 2 - parâmetros a serem estimados no Modelo Elétrico para Predizer Runtime e Características V-I nos modelos híbridos e 0,..., e 2 - parâmetros que necessitam ser estimados no Modelo Elétrico para Predizer Runtime e Características V-I nos modelos híbridos dms - diferença mínima significativa ix

12 ɛ - erro F - constante de Faraday f 0,..., f 2 - parâmetros que necessitam ser estimados no Modelo Elétrico para Predizer Runtime e Características V-I e nos modelos híbridos f 1 (cicle) - fator de correção dependente do número de ciclos f 2 (temp) - fator de correção dependente da temperatura F call - valor calculado pelo teste da ANOVA H 0 - hipótese nula do teste estatístico H 1 - hipótese alternativa do teste estatístico h 1 - altura da carga na fonte de carga disponível no Kinetic Battery Model h 2 - altura da carga na fonte de carga limitada no Kinetic Battery Model I - corrente constante de descarga I batt - corrente elétrica da bateria i cell - corrente de descarga I k - corrente, onde k = 0,..., n e k N i(t) - corrente de descarga k - razão de fluxo de carga entre as fontes de carga do Kinetic Battery Model k - constante relacionada com a taxa de vazão de fluxo de carga entre as fontes de carga do Kinetic Battery Model x

13 λ - raiz de um intervalo dado L - tempo de vida da bateria L i - Limite inferior L s - Limite superior l(t) - carga total consumida pelo sistema µ k - médias das populações no teste da ANOVA n k - número de observações da amostra N - número de repetições p valor - probabilidade de se obter uma estatística de teste igual ou mais estrema que aquela observada na amostra q - valor tabelado para o teste Tukey dependente do número de tratamentos e do grau de liberdade QMRes - quadrado médio do resíduo do teste Tukey r - número de repetições das amostras para o teste Tukey R self discharge - resistência de auto-descarga R series - resistência em série R transient - resistência transiente R transient_l - resistência transiente de longa duração R transient_s - resistência transiente de curta duração SOC - estado de carga xi

14 SOC initial - estado de carga inicial T V e j - tempo de vida experimental T V ex - tempo de vida experimental médio T V exout - tempo de vida experimental médio calculado sem valores outliers T V sim - tempo de vida simulado t d - tempo de duração da corrente de descarga do Modelo Híbrido para descargas variáveis no tempo t k - tempo, onde k = 0,..., n e k N t r - tempo de descanço da corrente de descarga do modelo Modelo Híbrido para descargas variáveis no tempo U(τ) - função degrau v - número de elétrons envolvidos na reação eletroquímica no modelo RV u(t) - capacidade indisponível V batt - tensão da bateria V cell - tensão V m - média aritmética do grupo V OC - tensão de circuito aberto V SOC - tensão inicial V transient - tensão transiente xii

15 V transientl - tensão transiente de longa duração V transients - tensão transiente de curta duração w - tamanho do eletrodo no modelo RV W call - valor calculado pelo teste de Shapiro-Wilk W t - valor tabelado para o teste de Shapiro-Wilk x - posição no eletrodo no modelo RV X i - média da amostra i para o teste de Levene Ȳ i - média de cada amostra para o teste de Shapiro-Wilk Ȳ - média global para o teste de Shapiro-Wilk y 0 - capacidade total no modelo cinético de bateria y 1 (0) - quantidade de carga disponível inicial no Kinetic Battery Model y 2 (0) - quantidade de carga indisponível inicial no Kinetic Battery Model y 1 (t) - Fonte de carga disponível no Kinetic Battery Model y 2 (t) - Fonte de carga limitada no Kinetic Battery Model Z ij - diferença absoluta entre X ij e X i com X ij sendo a observação j na amostra i para o teste de Levene Z eqq - impedância interna da bateria xiii

16 Lista de Tabelas 4.1 Dados experimentais Perfis de descarga que apresentaram valores Outliers Resultados da aplicação do teste de Shapiro-Wilk Resultados da aplicação do teste de comparação de médias (Teste Tukey) Dados utilizados para a estimação dos parâmetros dos modelos híbridos Dados utilizados para a validação dos modelos híbridos Capacidades disponíveis e indisponíveis para os perfis utilizados na estimação de parâmetros Parâmetros da parte elétrica do modelo [31] Validação do modelo híbrido de Kim considerando valores com outlier Validação do modelo híbrido de Kim considerando valores sem outlier Validação do modelo híbrido de Zhang considerando valores com outlier Validação do modelo híbrido de Zhang considerando valores sem outlier Validação do modelo híbrido de Gomes considerando valores com outlier Validação do modelo híbrido de Gomes considerando valores sem outlier Análise comparativa entre os erros dos modelos híbridos com os valores outliers Análise comparativa entre os erros dos modelos híbridos sem os valores outliers

17 Lista de Figuras 2.1 Esquema de uma célula eletroquímica [14] Efeito de recuperação de uma bateria [25] Ilustração do Modelo Elétrico para Predizer Runtime e Características V-I de uma bateria [5] Representação do modelo analítico KiBaM [18] Esquema do Modelo Híbrido de Kim [15] Esquema do Modelo Híbrido de Zhang [11] Esquema do Modelo Híbrido de Gomes [13] Plataforma de Testes do GAIC Perfil de descarga (ma) x Tempo de vida (min) Perfil de descarga (ma) x Capacidade (mamin) Curva de uma distribuição normal de dados [30] Corrente x Capacidade Corrente x Capacidade Estimação dos parâmetros do modelo analítico Lei de Peukert Estendida Decaimento da tensão para o perfil de descarga de 275 ma Decaimento da tensão para o perfil de descarga de 475 ma Decaimento da tensão para o perfil de descarga de 150 ma

18 Sumário 1 Apresentação da Dissertação Introdução Motivação Objetivos da Dissertação Objetivo Geral Objetivos Específicos Contribuições Estrutura do Documento Revisão Bibliográfica Introdução Baterias Definições das Baterias Nível de Cutoff Tempo de Vida Estado de Carga Propriedades das Baterias Capacidade da Bateria Tensão Efeitos Não Lineares Efeito de Recuperação Efeito da Taxa de Capacidade Tipos de Baterias Baterias de Níquel-Cádmio Baterias de Chumbo-Ácido Baterias de Níquel Metal-Hidreto Baterias Alcalinas Recarregáveis Baterias de Lítio-Íon Baterias de Lítio-Íon Polímero

19 Sumário Modelos Matemáticos Modelos Eletroquímicos Modelos Elétricos Modelos Estocásticos Modelos Analíticos Modelos da Teoria de Identificação de Sistemas Modelos Híbridos Resumo do Capítulo Modelagem Matemática Introdução Modelos Matemáticos Modelo Elétrico Para Predizer Runtime e Características V-I Modelo Analítico Kinetic Battery Model (KiBaM) Modelo Analítico de Rakhmatov e Vrudhula Modelo Analítico Lei de Peukert Estendida Modelos Híbridos Modelo Híbrido de Kim Modelo Híbrido de Zhang Modelo Híbrido de Gomes Resumo do Capítulo Estimação dos Parâmetros dos Modelos Híbridos Introdução Descrição da Plataforma de Testes Obtenção dos Dados Experimentais Metodologia para a Coleta de Dados Apresentação dos Dados Análise Estatística dos Dados Identificação de Outliers Identificação de Perfis de Descarga Estatisticamente Diferentes Metodologia para a Estimação dos Parâmetros Estimação dos parâmetros da parte analítica do Modelo Híbrido de Kim Estimação dos parâmetros da parte analítica do Modelo Híbrido de Zhang Estimação dos parâmetros da parte analítica do Modelo Híbrido de Gomes

20 Sumário Estimação dos parâmetros da parte elétrica dos modelos híbridos Resumo do Capítulo Resultados das Simulações e Análises Introdução Metodologia Adotada para a Validação dos Modelos Híbridos Validação do Modelo Híbrido de Kim Validação do Modelo Híbrido de Zhang Validação do Modelo Híbrido de Gomes Análise Comparativa entre os Modelos Híbridos Resumo do Capítulo Conclusões e Trabalhos Futuros 74 Referências Bibliográficas 76 A M-file: Estimação dos Parâmetros da Lei de Peukert Estendida 79 B M-file: Teste de Shapiro-Wilk 80 C M-file: Carregamento dos Parâmetros para as Simulações dos Modelos Híbridos 82 D Publicações Relacionadas a Dissertação 84 D.1 Artigos Aceitos em Eventos

21 Capítulo 1 Apresentação da Dissertação 1.1 Introdução O avanço tecnológico que a indústria eletrônica alcançou nos últimos anos possibilitou a criação de inúmeros dispositivos eletrônicos com as mais variadas finalidades. Dentre esses aparelhos estão os chamados dispositivos móveis, tais como, celulares, câmeras, GPS, que independente da funcionalidade, possuem em comum a presença de uma bateria como fonte de energia. Nestes dispositivos, o tempo que a bateria demora para descarregar, na maioria das vezes, define o tempo que o usuário do dispositivo poderá utilizá-lo sem a necessidade de conectá-lo a uma fonte fixa de energia. Desta forma, torna-se importante o estudo das características e modelos das baterias para a identificação dos fatores que influenciam no processo de descarga, como também no comportamento da bateria frente a diferentes cenários que este processo pode apresentar. A partir disso, é possível contribuir com o desenvolvimento e melhoramento das baterias para que as mesmas sejam mais duráveis, leves e finas, possuam maior capacidade de energia correspondendo assim, as mais diferentes aplicações. Uma importante ferramenta que pode auxiliar no estudo do tempo de vida de baterias é a modelagem matemática, que através de diferentes modelos simula um processo de descarga real, como também, captura características não lineares importantes do seu funcionamento. Dentre os modelos matemáticos presentes na literatura, destacam-se os modelos eletroquímicos [7, 14], os modelos elétricos [5, 14], os modelos estocásticos [23], os modelos analíticos [32], os modelos via teoria de identificação de sistemas, [17, 24] e os modelos híbridos [13, 15, 33]. O objeto de estudo deste trabalho é a classe de modelos híbridos, sendo estes constituídos a partir da união de dois ou mais modelos matemáticos que apresentam características diferentes [16]. Dessa forma, merecem destaque, pois podem agregar simultaneamente as vantagens dos modelos utilizados na sua constituição, e assim, possibilitar simulações acuradas, fornecendo um número maior de informações do 5

22 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 6 processo de descarga. No Grupo de Automação Industrial e Controle (GAIC), da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), vários trabalhos já foram desenvolvidos envolvendo os modelos híbridos. Primeiramente, Duarte [8] aplicou o modelo híbrido proposto por Kim [15] constituído pela união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I com o modelo analítico Kinetic Battery Model (KiBaM), considerando correntes de descarga constantes e baterias de Lítio-Íon (Li-Íon), encontrando resultados com boa acurácia. Em seguida, Fransozi [11] realizou a modelagem matemática do tempo de vida de baterias aplicando os modelos híbridos desenvolvidos por Kim [15] e Zhang [33], considerando correntes de descarga constantes, sendo o modelo de Zhang caracterizado pela união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I com o modelo analítico de Rakhmatov e Vrudhula. Ainda, Kusiak [16] realizou em seu trabalho a modelagem matemática do tempo de vida de baterias utilizando os mesmos modelos híbridos usados por Fransozi [11], porém considerou nas simulações correntes de descarga variáveis, sendo estas, baseadas nas funcionalidades reais desempenhadas por um telefone celular do tipo smartphone, concluindo que o modelo de Zhang é mais acurado. Mais recentemente, Gomes [13] propôs um novo modelo híbrido a partir da união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I com o modelo analítico Lei de Peukert Estendida [12]. Além desta proposta, Gomes realizou uma análise comparativa entre o modelo proposto e os demais modelos híbridos da literatura, que são o de Kim e o de Zhang [15, 33] considerando correntes de descarga constantes e variáveis. Ao realizar as comparações, Gomes conclui que o modelo proposto em seu trabalho possuiu o melhor nível de acurácia entre os modelos híbridos avaliados. Dos trabalhos citados anteriormente, considerando modelos híbridos, Fransozi [11], Kusiak [16], e Gomes [13] utilizam dados experimentais obtidos a partir de uma plataforma de testes de um dos laboratórios do GAIC, considerando oito baterias de Lítion Íon Polímero (Li-Po). Porém, apesar dos bons resultados, não foi realizado nenhum tratamento estatístico nos dados coletados para a sua utilização na estimação dos parâmetros empíricos ou mesmo no processo de validação dos modelos. Neste sentido, o principal objetivo desta dissertação é realizar uma nova análise comparativa dos modelos híbridos de Kim, Zhang e Gomes a partir de um tratamento estatístico dos dados, assim como, verificar a presença ou não de valores outliers 1, considerando baterias de Li-Po, perfis de descarga constantes, e os dados experimentais obtidos da mesma plataforma de teste. Com isso, busca-se apresentar resultados não tendenciosos e com maior grau de confiabilidade. O restante deste capítulo está organizado como segue: na Seção 1.2, é apresentada 1 Valores outliers são valores discrepantes que não seguem o perfil do grupo de dados ao qual pertence, podendo serem oriundos de falhas ocorridas durante um determinado experimento [30].

23 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 7 a motivação. Na Seção 1.3 é apresentado o objetivo geral da dissertação e os objetivos específicos. Na Seção 1.4 são apresentadas as contribuições deste trabalho. Na Seção 1.5 é apresentada a organização deste documento. 1.2 Motivação Observando o avanço tecnológico que os dispositivos móveis tem alcançado nos últimos anos, principalmente pelos telefones celulares do tipo smartphone, percebe-se que o número de tarefas desenvolvidas por estes dispositivos acompanha este desenvolvimento. Os smartphones vem oferecendo um número maior de serviços a cada novo avanço, aliando funcionalidade, portabilidade e dinamismo aos aparelhos, visando otimizar o tempo do seu usuário. Por outro lado, a medida que são agregadas novas funcionalidades nestes dispositivos, espera-se que o desempenho das baterias seja satisfatório, fornecendo energia ao sistema por uma quantidade de tempo prolongado. Desta forma a presente pesquisa motiva-se em agregar conhecimento científico e contribuir para o desenvolvimento e aprimoramento de recursos para o estudo de tempo de vida das baterias utilizadas em smartphones, por meio da modelagem matemática. Espera-se com isto, ofertar recursos que possam auxiliar projetistas de baterias no desenvolvimento de baterias com tempo de vida prolongado e que correspondam de forma satisfatória as diferentes demandas de mercado. 1.3 Objetivos da Dissertação Nesta seção são apresentados os objetivos deste trabalho. Primeiramente é apresentado o objetivo geral da pesquisa e em seguida os objetivos específicos Objetivo Geral O objetivo geral do presente trabalho é realizar a modelagem matemática do tempo de vida de baterias, através da aplicação de modelos híbridos presentes na literatura técnica, comparando seus níveis de acurácia. Acerca dos dados experimentais é realizado um tratamento estatístico nos mesmos afim de estabelecer critérios para a obtenção de resultados confiáveis Objetivos Específicos Realizar uma revisão bibliográfica das propriedades, tipos e principais características e efeitos não lineares das baterias, assim como dos diferentes modelos matemáticos

24 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 8 encontrados na literatura técnica para predição do tempo de vida de baterias; Estudar os principais modelos híbridos encontrados na literatura técnica; Obter, a partir de uma plataforma de testes, um conjunto de dados experimentais para a estimação dos parâmetros empíricos e valição dos modelos; Definir uma metodologia para o tratamento estatísitcos dos dados objetivando encontrar um conjunto de dados estatisticamente diferentes; Implementar os modelos híbridos na ferramenta computacional MatLab; Validar os modelos híbridos através da comparação dos resultados simulados com os dados obtidos da plataforma de testes; Realizar a comparação entre os modelos híbridos; e Apresentar as conclusões oriundas das análises comparativas entre os modelos híbridos. 1.4 Contribuições As contribuições desta dissertação são: 1. Utilização e aplicação de conceitos estatísticos a fim de estabelecer critérios que tornem os resultados finais não tendenciosos e com elevado grau de confiabilidade. 2. Análise comparativa entre os modelos híbridos existentes na literatura técnica utilizando perfis de descarga constantes e com diferença estatística significativa. 3. Averiguação da influência de valores outliers nos resultados obtidos com os modelos híbridos. 1.5 Estrutura do Documento Essa dissertação está organizada conforme a estrutura apresentada a seguir. No Capítulo 2 é realizada uma revisão bibliográfica a cerca das baterias, sua composição, funcionamento e algumas definições e efeitos não lineares presentes em um processo de descarga. São apresentados também, os diferentes tipos de baterias já desenvolvidas no mercado e os diferentes tipos de modelos matemáticos de baterias encontrados na literatura técnica.

25 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 9 No Capítulo 3 são detalhados separadamente os modelos matemáticos usados na elaboração dos modelos híbridos utilizados neste trabalho. Após, são apresentados os modelos híbridos de bateria, de Kim [15], Zhang [33] e Gomes [13] assim como suas características e conjunto de equações. No Capítulo 4 é descrita a plataforma de testes utilizada para a obtenção dos dados experimentais, a metodologia adotada para a coleta dos dados durante o processo de descarga e os dados experimentais obtidos. Além disto são apresentados os conceitos estatísticos que serão aplicados nos dados experimentais, visando a verificação da existência de valores outliers e a identificação de perfis de descarga estatisticamente diferentes. Ainda, é apresentada a metodologia adotada para a obtenção dos parâmetros empíricos dos modelos híbridos. No Capítulo 5 são realizadas as validações dos modelos híbridos, a partir da comparação dos resultados simulados pelos modelos com os resultados experimentais obtidos da plataforma de testes. Na sequência, é realizada uma análise comparativa entre os resultados dos modelos híbridos. Por fim, no Capítulo 6, são apresentadas as conclusões da pesquisa e as sugestões de trabalhos futuros.

26 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica 2.1 Introdução Devido ao grande crescimento na utilização de dispositivos móveis, mais especificamente de smarphones, há uma preocupação acerca do desempenho das baterias utilizadas nestes dispositivos. Atualmente, são realizados estudos sobre o tempo de vida das baterias, assim como do seu comportamento, a fim de identificar também, características e efeitos que ocorrem em um processo de descarga, buscando entendê-lo de maneira cada vez mais abrangente. Nesse contexto, nesse capítulo é apresentada uma revisão bibliográfica do estado da arte de baterias. Primeiramente são apresentados alguns conceitos básicos da constituição de uma bateria, seguido por algumas definições referentes as mesmas, as propriedades e efeitos não lineares presentes em um processo de descarga. Em seguida, são descritos os tipos de baterias já desenvolvidos, como também, as categorias de modelos matemáticos de baterias encontrados na literatura e que são utilizados para predizer o seu tempo de vida. Este capítulo esta organizado como segue. Na Seção 2.2 são descritos os conceitos básicos de baterias. Na Seção 2.3 são apresentadas as algumas definições referentes as baterias. Na Seção 2.4 são abordadas as principais propriedades das baterias. Na Seção 2.5 são descritos os principais efeitos não lineares que ocorrem durante um processo de descarga. Na Seção 2.6 são expostos os principais tipos de baterias disponíveis no mercado. Na Seção 2.7 são apresentados as categorias de modelos matemáticos de baterias referenciados na literatura técnica. E, na Seção 2.8, é apresentado um resumo do capítulo. 2.2 Baterias As baterias são um dos principais meios de obtenção de energia elétrica sem a necessidade de ligação a uma fonte fixa de energia, mesmo que por um limite finito de tempo. São 10

27 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 11 compostas por uma ou mais células que através de reações eletroquímicas transformam energia química armazenada em energia elétrica. Estas células podem ser interligadas em série, paralelo ou ainda através da combinação de ambas [14, 27]. Além disso, podem ser classificadas como células primárias ou células secundárias, sendo que as células primárias não podem ser recarregadas enquanto as células secundárias podem. Isto significa que a reação química que ocorre no interior de uma célula secundária é reversível, possibilitando assim restaurar a sua carga [4]. Basicamente uma célula eletroquímica é formada por dois eletrodos, um ânodo (polaridade negativa) e um cátodo (polaridade positiva) que são separados por um eletrólito. Os eletrodos são condutores metálicos por onde a corrente elétrica entra e sai da bateria. O eletrólito, que pode ser sólido ou líquido, é um condutor de eletricidade que separa os eletrodos. No período em que a bateria esta fornecendo energia a um circuito externo, a corrente elétrica originada pelas reações químicas no interior das células, faz com que os elétrons, na forma de íons, se movam do ânodo para o cátodo através do eletrólito [27]. O esquema de uma célula eletroquímica é mostrado a seguir: Figura 2.1: Esquema de uma célula eletroquímica [14]. As reações eletroquímicas que ocorrem no interior de uma bateria ocasionam uma diferença de potencial entre os eletrodos, o qual determina a tensão da bateria, expressa em Volts (V). Além da tensão, outra propriedade importante gerada é a capacidade, expressa normalmente em Ampère-hora (Ah). O produto entre a tensão e a capacidade da bateria determina a quantidade de energia armazenada na mesma. Em uma bateria ideal é esperado que a tensão permaneça constante durante todo o processo de descarga, sendo nula apenas quando a bateria estiver totalmente descarregada, assim como, que a capacidade se mantenha constante durante o processo de descarrega sendo totalmente utilizada [27]. Contudo, em situações reais, nenhum dos casos citados anteriormente

28 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 12 realmente acontece, devido aos efeitos não lineares presentes no processo de descarga e que devem ser considerados na modelagem matemática da predição do tempo de vida de baterias [14, 27]. Estes efeitos não lineares juntamente com algumas características e propriedades são descritos nas próximas seções. 2.3 Definições das Baterias Considerando as baterias, observa-se que podem existir algumas diferenças entre os tipos de baterias disponíveis no mercado. Estas diferenças, ocorrem, principalmente, pela utilização final da bateria e pelo material que ela é formada. Entretanto, algumas definições se mantêm em todas as baterias, independente do tipo. A seguir, nessa seção são descritas estas definições, proporcionando assim, um melhor entendimento do seu funcionamento Nível de Cutoff Nível de cutoff é o momento em que a quantidade de energia no interior da bateria não é suficiente para garantir o funcionamento do circuito a qual esta conectada. Desta forma, as reações eletroquímicas em seu interior cessam, e a mesma é considerada descarregada, mesmo ela possuindo ainda uma quantidade pequena de energia [8, 13] Tempo de Vida O tempo de vida de uma bateria é definido como sendo o tempo que a bateria demora até atingir o nível de cutoff em seu processo de descarga Estado de Carga O estado de carga da bateria (State Of Charge - SOC) é o percentual de capacidade máxima disponível na bateria. Ele indica a capacidade e a energia útil existente no interior da bateria. Logo se a bateria estiver totalmente carregada, o SOC é de 100%, assim como, se a bateria estiver descarregada, o SOC é de 0% [15]. Alguns fatores podem vir a influenciar o SOC, como por exemplo, o tipo de descarga que esta sendo aplicado a bateria e a taxa de carga/descarga. 2.4 Propriedades das Baterias Como comentado anteriormente, a partir das reações eletroquímicas que ocorrem no interior da bateria, são produzidas algumas propriedades, sendo elas: a tensão elétrica,

29 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 13 medida em Volts (V) e a capacidade, medida em Ampére-hora (Ah). O produto dessas grandezas é a energia armazenada na bateria, a qual garante que um dispositivo móvel continue funcionando. A seguir, as duas principais propriedades são descritas com maiores detalhes Capacidade da Bateria A capacidade é a quantidade de carga elétrica armazenada na bateria. Para a sua estimação deve-se considerar a influência dos efeitos não lineares presentes no processo de descarga juntamente com a intensidade da corrente de descarga aplicada, visto que, a atuação dos efeitos não lineares varia de acordo com a intensidade da corrente de descarga utilizada. Basicamente, a capacidade pode ser classificada de três formas diferentes [13]: capacidade teórica, que representa a quantidade de energia armazenada, sendo o limite máximo de energia que pode ser extraída na prática; capacidade padrão, que consiste na energia que pode ser extraída sob condições especificadas pelo fabricante; e capacidade atual, que pode exceder a capacidade padrão, mas não pode exceder a capacidade teórica de uma bateria Tensão Uma diferença de potencial surge a partir das reações eletroquímicas que ocorrem no interior da bateria quando uma carga é conectada a mesma, este efeito caracteriza a tensão da bateria. O valor nominal da tensão varia de acordo com o SOC, e durante o processo de descarga é reduzida gradualmente. Observa-se que durante a descarga a tensão possui dois estados: a tensão inicial e a tensão final. A tensão inicial ocorre quando a bateria está completamente carregada, neste caso a tensão também pode ser denominada de tensão de circuito aberto, visto que não há presença de corrente elétrica. Já a tensão final, também conhecida como tensão de Cutoff, ocorre quando a bateria está descarregada [15]. 2.5 Efeitos Não Lineares Nas baterias, durante o processo de descarga, há a presença de pelo menos dois efeitos não lineares que possuem grande influência sob suas propriedades. Estes efeitos são descritos a seguir: Efeito de Recuperação O efeito de recuperação ocorre quando a corrente de descarga é reduzida significativamente ou é nula no período de descarga. Nestes momentos os elétrons no interior da

30 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 14 bateria se reorganizam, aumentando a capacidade da bateria naquele momento e consequentemente seu tempo de vida [11]. Este efeito pode ser melhor analisado observando a Figura 2.2. Figura 2.2: Efeito de recuperação de uma bateria [25]. Quando a bateria está totalmente carregada as espécies eletroativas são constantes em todo o eletrólito (Figura 2.2(A)). Ao iniciar o processo de descarga, as espécies eletroativas são reduzidas próximo ao eletrodo (Figura 2.2(B)). Quando ocorre uma diminuição significativa da corrente, também chamado de momento de relaxação, os elétrons se reorganizam, (Figura 2.2 (C)) aumentando a concentração de espécies eletroativas no eletrodo, possibilitando assim, um aumento da capacidade da bateria quando reorganizados (Figura 2.2 (D)). Este efeito pode se repetir durante todo o processo de descarga, até que o nível de cutoff seja atingido e a bateria seja considerada descarregada (Figura 2.2(E)). É válido salientar que em nenhum momento a capacidade recuperada será maior que a capacidade inicial [16] Efeito da Taxa de Capacidade O efeito da taxa de capacidade depende da capacidade atual da bateria e da intensidade da corrente de descarga. Nos processos de descarga com correntes altas, dificilmente o efeito de recuperação acontece, pois não há tempo suficiente para que as espécies eletroativas se reorganizem no eletrólito, fazendo com que a capacidade efetiva da bateria seja

31 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 15 baixa [11]. Desta forma, a energia não é completamente aproveitada, e consequentemente, a bateria tem seu tempo de vida reduzido. 2.6 Tipos de Baterias A medida que o desenvolvimento tecnológico avança, e novos dispositivos eletrônicos são desenvolvidos (especialmente os dispositivos móveis), ocorre a demanda por baterias que correspondam satisfatoriamente, em termos de desempenho, a este crescimento. Desta forma, no transcorrer dos anos, foram desenvolvidos diferentes tipos de baterias, cada uma com suas características, variando basicamente, o material que é utilizado para sua concepção. Neste sentido, nesta seção são apresentados os tipos de baterias recarregáveis mais utilizadas Baterias de Níquel-Cádmio As baterias de Níquel-Cádmio (Ni-Cd) já possuíram grande importância na utilização como no desenvolvimento tecnológico de dispositivos móveis. Destacaram-se por apresentar baixo custo de produção, longa vida útil e capacidade para altas taxas de descarga [4]. Porém, acabaram perdendo espaço por apresentarem o efeito memória, causado quando a recarga da bateria é realizado antes do seu descarregamento completo, e também pelo alto nível de contaminação que podem causar ao meio ambiente [11] Baterias de Chumbo-Ácido As baterias de Chumbo-Ácido (PbA) são compostas por eletrodos de chumbo e dióxido de chumbo, imersos em um eletrólito líquido com uma concentração de ácido sulfúrico. Muito utilizada em veículos automotores, são consideravelmente simples e suportam picos de correntes. Suas desvantagens estão ligadas a sua pequena densidade de energia, ao alto risco ambiental caso ocorra algum vazamento, e por suportarem poucos ciclos de carga e descarga sem perder capacidade [4, 13] Baterias de Níquel Metal-Hidreto Semelhante as baterias de Ni-Cd, principalmente em características operacionais, as baterias de Níquel Metal-Hidreto (Ni-MH) são superiores por apresentarem efeito de memória menor e densidade de energia maior. Apesar destas vantagens, apresentam um custo de produção maior e não apresentam um ciclo de vida elevado [11]

32 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica Baterias Alcalinas Recarregáveis Possuem densidade de energia inicial maior quando comparadas as baterias de NiCd e baixo custo de produção, as baterias alcalinas recarregáveis já foram muito exploradas. Entretanto, sua principal desvantagem é ter seu tempo de vida rapidamente diminuído após poucas descargas. Além disso, quando descartadas de forma inadequada, são altamente prejudiciais ao meio ambiente, visto que algumas utilizam elementos tóxicos na sua composição Baterias de Lítio-Íon As baterias de Lítio-Íon (Li-Ion) são muito utilizadas em dispositivos móveis atualmente. Suas principais vantagens em relação as demais baterias é a armazenagem de grande quantidade de energia, utilização de pouco espaço devido a baixa densidade do material que é feita, são relativamente leves e apresentam prolongado ciclo de vida. Como desvantagem apresentam alto custo de produção, são mais sensíveis a efeitos da corrente e possuem certo risco de periculosidade, devido ao eletrólito ser altamente inflamável [8,13] Baterias de Lítio-Íon Polímero As baterias de Lítion-Íon Polímero (Li-Po) possuem características semelhantes as baterias de Li-Ion, porém podem apresentar finíssimas espessuras (inferior a 1mm). Apesar de serem consideradas um melhoramento das baterias de Li-Ion, ainda apresentam desvantagens, como por exemplo, alto custo de produção e contagem de ciclos diminuída [13]. Atualmente, possuem grande aplicabilidade em dispositivos móveis, principalmente em telefones celulares do tipo smartphone, sendo este o tipo de bateria utilizada para realização deste trabalho. 2.7 Modelos Matemáticos Diversos fenômenos reais podem ser representados através da interpretação matemática, por meio de uma equação ou de um conjunto delas. Esse mecanismo é chamado de modelagem matemática, que além de descrever matematicamente um problema real, permite identificar características, direcionar ações de decisão e prever situações futuras. Um dos processos reais que pode ser representado através da modelagem matemática é o processo de descarga de uma bateria, na qual através de equações é possível predizer o tempo de vida da mesma. Este tipo de representação, apresenta menor custo quando comparado a experimentos físicos, e podem fornecer informações importantes, como o comportamento da tensão e da capacidade da bateria.

33 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 17 Os modelos matemáticos utilizados para a predição do tempo de vida de baterias são classificados em categorias, cada uma possuindo características específicas. Um modelo matemático utilizado para este fim, é dito acurado, quando o erro máximo obtido pelo modelo for inferior a 5%, conforme [28]. Desta forma, a seguir é apresentada uma revisão bibliográfica das principais categorias de modelos matemáticos encontrados na literatura técnica e que descrevem o processo de descarga, e consequentemente realizam a predição do tempo de vida de baterias que alimentam dispositivos móveis Modelos Eletroquímicos Os modelos eletroquímicos são baseados nas reações químicas que ocorrem no interior da bateria. Por descreverem os processos com grande quantidade de detalhes, apresentam resultados bastante fiéis ao sistema real, assim são considerados modelos de grande acurácia. Porém, pelo motivo de necessitarem de uma grande quantidade de informação para a modelagem, são considerados modelos de alta complexidade. Um dos modelos eletroquímicos desenvolvido e considerado um dos mais acurados é o modelo proposto por Doyle [7]. Este modelo é constituído por um sistema de seis equações diferencias não lineares acopladas. Sua resolução fornece informações de tensão e corrente em função do tempo, como também, as fases de potencial no eletrólito e no eletrodo, a concentração salina, a taxa de reação e a densidade da corrente no eletrólito em função do tempo e da posição na célula. A partir da implementação deste modelo, foi construído o programa computacional Fortran Dualfoil que necessita que o usuário ajuste aproximadamente 50 parâmetros referente a bateria, necessitando que o mesmo tenha um conhecimento bastante detalhado da bateria que está modelando [14] Modelos Elétricos Os modelos elétricos descrevem o comportamento da bateria através da combinação de componentes elétricos (resistores, capacitores, fontes, indutores) em um determinado circuito elétrico. Normalmente, o capacitor representa a capacidade da bateria, a taxa de descarga normalizadora determina a perda de capacidade em altas correntes de descarga, uma tabela de pesquisa é usada para comparar tensão versus estado da carga, e um resistor representa a resistência da bateria. Relativamente mais simples, quando comparados com os modelos eletroquímicos, apresentam boa acurácia na modelagem matemática do tempo de vida de baterias [8, 13]. Entre os modelos elétricos presentes na literatura, destacase o modelo Battery proposto por Hageman [14] e o modelo para Predizer Runtime e Características V-I proposto por Chen [5]. O modelo proposto por Chen é utilizado na composição de modelos híbridos, que é o foco de estudo desse trabalho, e será descrito

34 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 18 com maior riqueza de detalhes no Capítulo 3. Os dois modelos são de implementação computacional simples e são considerados acurados [28] Modelos Estocásticos Os modelos Estocásticos são os modelos mais abstratos em comparação ao demais modelos matemáticos de baterias. Como característica descrevem a descarga da bateria, considerando o efeito da taxa de capacidade e o efeito de recuperação, a partir de processos estocásticos, ou seja, discretos no tempo. O primeiro modelo estocástico foi proposto por Chiasserini e Rao [14]. Neste modelo, a bateria é representada por um número finito de unidades de carga, e o comportamento de descarga é modelado utilizando um processo estocástico transitório no tempo discreto [16]. Após o processo de descarga ser iniciado e começar a evoluir ao longo do tempo, o estado da bateria é controlado pelo número de unidades de cargas restantes. A corrente média de descarga é medida em intervalos de tempo iguais e usada para determinar a quantidade de carga consumida, indicando se unidades de carga devem ser acrescentadas ou eliminadas. Se a média de descarga não for nula, o número de unidades drenadas é obtido através de uma tabela ou gráfico que contenha os dados de taxa de capacidade. Se a média for nula, isto é, não sofreu descarga, a bateria recupera um certo número de unidades de carga (efeito de recuperação) [8]. Desta forma, os modelos estocásticos são considerados acurados, sendo uma ferramenta importante na modelagem do tempo de vida das baterias Modelos Analíticos Os modelos analíticos descrevem a bateria com alto nível de abstração, através de equações que são fundamentadas em leis físicas ou empíricas. Existem diferentes modelos analíticos presentes na literatura técnica, eles possuem fácil implementação computacional, poucos parâmetros para serem estimados, e alguns consideram as características não lineares presente em um processo de descarga. Os modelos analíticos são muito utilizados na composição de modelos híbridos, principalmente por serem bastante acurados. Alguns dos modelos analíticos da literatura são: o modelo Linear [21], o Kinetic Battery Model (KiBaM) proposto por Manwell e Gowan [18], o modelo de difusão de Rakhmatov e Vrudhula (modelo RV) [21] e o modelo proposto por Freitas [12] chamado de Lei de Peukert Estendida, sendo esta uma nova proposta do modelo desenvolvido pelo engenheiro alemão Wilhem Peukert em 1897 conhecido como Lei de Peukert [13]. Os modelos analíticos citados (i.e., KiBam, modelo RV e Lei de Peukert Estendida) são apresentados no próximo Capítulo com mais detalhes, por comporem os modelos híbridos aplicados nessa pesquisa.

35 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica Modelos da Teoria de Identificação de Sistemas Os modelos matemáticos obtidos via teoria de Identificação de Sistemas são modelos que explicam a relação entre a causa (variáveis de entrada) e o efeito (variáveis de saída) de um conjunto de dados sem relacioná-los às leis físicas envolvidas no processo. Para isso, utilizam-se de dados observados no sistema analisado ou algum conhecimento prévio do mesmo. Para o desenvolvimento destes modelos, é utilizada a modelagem caixa preta, ou a modelagem caixa cinza. A modelagem caixa preta não necessita de conhecimentos prévios do sistema a ser modelado e a matemática utilizada não tem relação com as leis físicas envolvidas. A modelagem caixa cinza, por sua vez, é utilizada quando se possui algum conhecimento prévio do sistema a ser modelado e considera alguma relação física ou química do fenômeno [24]. Os modelos utilizados na teoria de Identificação de Sistemas podem ser classificados em três categorias: os modelos paramétricos lineares, os modelos paramétricos não lineares e os modelos não paramétricos. Entre os modelos paramétricos lineares destacam-se os modelos: AutoRegressivo (AR), AutoRegressivo com entradas externas (ARX), AutoRegressivo com Médias móveis e entradas externas (ARMAX), Erro de Saída (ES) e Box-Jenkins (BJ). Entre os modelos paramétricos não lineares destaca-se os modelos: Não linear AutoRegressivo com entradas externas (NARX) e Não linear AutoRegressivo com Médias móveis e entradas externas (NARMAX). Por fim, entre os modelos não paramétricos, que são modelos no domínio da frequência, destaca-se o modelo de Analise Espectral [17, 24] Modelos Híbridos Os modelos híbridos são caracterizados por serem obtidos a partir da união de dois ou mais modelos diferentes. Seu principal diferencial é oferecer as vantagens dos modelos utilizados na sua construção. Na literatura, podem-se destacar os modelos propostos por Kim [15], Zhang [33] e Gomes [13] que são modelos híbridos para predizer o tempo de vida de baterias a partir da união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Carcteristicas V-I com modelos analíticos. Normalmente o modelo para Predizer Runtime e Características V-I é escolhido, pois fornece com precisão as características do circuito dinâmico da bateria. Entretanto o modelo elétrico não considera os efeitos não lineares presente no processo de descarga, então normalmente, os componentes responsáveis pelo estado da carga e o tempo de vida da bateria no modelo elétrico são substituídos por equações de modelos analíticos, como é o caso dos modelos híbridos citados anteriormente. No modelo híbrido proposto por Kim, o modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I é relacionado com o modelo analítico KiBaM. Zhang propôs um modelo

36 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 20 híbrido baseado na união entre o modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I com o modelo analítico de Rakhmatov e Vrudhula. Gomes propôs um modelo híbrido baseado na união do modelo elétrico Runtime e Características V-I com o modelo analítico Lei de Peukurt Estendida. O três modelos obtiveram resultados satisfatórios e são bastante acurados [13]. Os mesmo serão apresentados no próximo Capítulo, pois são objetos de estudo dessa dissertação. 2.8 Resumo do Capítulo Neste capítulo é apresentada uma revisão bibliográfica referente as baterias utilizadas em dispositivos móveis, suas propriedades, principais definições e os principais efeitos não lineares presentes em um processo de descarga. Em seguida, são apresentados os diferentes tipos de baterias já desenvolvidos, como também, são abordados as principais categorias de modelos matemáticos de baterias presentes na literatura.

37 Capítulo 3 Modelagem Matemática 3.1 Introdução A utilização da modelagem matemática para a representação de diversos sistemas reais, possibilita e facilita a tomadas de decisões, bem como, pode proporcionar um melhor entendimento sobre o sistema estudado e ainda, fornece previsões de situações futuras. No contexto da modelagem matemática do tempo de vida de baterias, além de possibilitar conhecer previamente o desempenho de uma bateria, frente ao processo de descarga, a modelagem matemática possibilita modificar este processo e submeter a bateria a diferentes condições de descarga. Dentre as categorias de modelos matemáticos utilizados na predição/estudo do tempo de vida de baterias, existem modelos simples, complexos, de fácil ou difícil implementação computacional, que capturam ou não capturam os principais efeitos não lineares, assim como suas características elétricas (i.e., tensão e corrente). Neste contexto, surge a categoria dos modelos híbridos, sendo uma alternativa viável, pois agregam as vantagens dos modelos matemáticos utilizados na sua concepção. Assim, é possível obter modelos matemáticos sem grande complexidade, que considera em sua modelagem os principais efeitos não lineares presente em um processo de descarga real, como também, captura as características elétricas do mesmo. Neste sentido, neste capítulo são apresentados os modelos híbridos encontrados na literatura técnica: o modelo proposto por Kim [15] caracterizado pela união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I [5] com o modelo analítico KiBaM [18]; o modelo proposto por Zhang [33] caracterizado pela união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I [5] com o modelo analítico de difusão de Rakhmatov e Vrudhula [22]; e por fim o modelo híbrido proposto por Gomes [13] caracterizado pela união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I [5] com o modelo analítico Lei de Peukert Estendida [12]. Para um melhor entendimento, inicialmente são apresentados e descritos os modelos originais que compõem os modelos híbridos dessa pes- 21

38 Capítulo 3. Modelagem Matemática 22 quisa. Em seguida são apresentados os modelos híbridos juntamente com o seu conjunto de equações. Esse capítulo está organizado como segue. Na Seção 3.2 são detalhados os modelos utilizados na concepção dos modelos híbridos, isto é, o modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I [5], e os modelos analíticos: KiBam [18], Rakhmatov e Vrudhula [22], e Lei de Peukert Estendida [12]. Na Seção 3.3 são apresentados os modelos híbridos utilizados neste trabalho. Por fim, na Seção 3.4, é apresentado o resumo do capítulo. 3.2 Modelos Matemáticos Nesta seção são apresentados os modelos utilizados na concepção dos modelos híbridos abordados neste trabalho. Primeiramente é apresentado o modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I, seguido pelos modelos analíticos KiBaM, Rakhmatov e Vrudhula e Lei de Peukert Estendida Modelo Elétrico Para Predizer Runtime e Características V-I O modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I é um modelo composto por dois circuitos separados, relacionados entre si por uma fonte de tensão e uma fonte de corrente [5], conforme mostrado na Figura 3.1. Figura 3.1: Ilustração do Modelo Elétrico para Predizer Runtime e Características V-I de uma bateria [5]. Observando a Figura 3.1 pode-se verificar que cada circuito é responsável pela modelagem de características importantes da bateria. O primeiro circuito (esquerda) modela a capacidade de armazenamento de energia da bateria e a carga armazenada durante os processos de carga ou descarga. O segundo circuito (direita) modela a resistência interna da bateria e o comportamento transiente para correntes de descarga diferentes.

39 Capítulo 3. Modelagem Matemática 23 Ainda referente a Figura 3.1, no circuito a esquerda o V SOC é a tensão inicial no capacitor C capacity (esse representa a capacidade utilizável da bateria); I batt é a fonte de corrente controlada; R self discharge é o resistor que representa a auto-descarga da bateria quando a mesma é armazenada por um longo período de tempo. No circuito a direita V OC (V SOC ) é a fonte de tensão controlada e representa a relação entre a tensão do circuito aberto (V OC ) e o estado da carga (SOC); R series é o resistor responsável pela queda de tensão instantânea da resposta a degraus referentes a tensão da bateria (V batt ); R transients, C transients, R transientl e C transientl são os resistores e capacitores responsáveis pelas constantes de tempo de curta e longa duração da resposta em degraus da tensão da bateria [5, 11]. A partir desse modelo, o cálculo da tensão pode ser determinado pela tensão do circuito aberto V OC, pela queda de tensão devido a impedância interna (i.e resistência interna) Z eq, e pela corrente de descarga i batt [8], resultando na seguinte equação: V batt = V OC i batt.z eq. (3.1) Como mencionado, o capacitor C capacity representa a carga total armazenada na bateria, que pode ser calculada por: C capacity = 3600.Capacity.f 1 (ciclo).f 2 (temp) (3.2) onde: Capacity é a capacidade nominal em Ah, f 1 e f 2 são fatores de correção dependentes do número de ciclos e da temperatura da bateria. Quando se define a tensão inicial V SOC em C capacity igual a 1 V ou 0 V, a bateria é inicializada em seu estado totalmente carregado com SOC 100%, ou totalmente descarregada com SOC 0%. Com isto, a fonte de tensão V OC (V SOC ) representa a dependência entre o estado de carga SOC e a tensão de circuito aberto V OC, ou ainda, V SOC representa a quantidade de carga da bateria (SOC) quantitativamente [5]. Para a determinação das equações das demais variáveis presentes no modelo elétrico, Chen e Rincón-Mora [5] realizaram um ajuste de curvas, na qual estes componentes são funções do SOC e da corrente de descarga. Observa-se que os parâmetros das funções são aproximadamente constantes quando o valor do SOC é alto (i.e., valores entre 20%- 100%) e mudam exponencialmente quando o SOC varia em valores baixos (i.e., valores entre 20%-0%). Assim, tem-se que: V oc [SOC(t)] = a 0 e a 1[SOC(t)] + a 2 + a 3 [SOC(t)] a 4 [SOC(t)] 2 + a 5 [SOC(t)] 3 (3.3) R series [SOC(t)] = b 0 e b 1[SOC(t)] + b 2 (3.4) R transients [SOC(t)] = c 0 e c 1[SOC(t)] + c 2 (3.5)

40 Capítulo 3. Modelagem Matemática 24 C transients [SOC(t)] = d 0 e d1[soc(t)] + d 2 (3.6) R transientl [SOC(t)] = e 0 e e1[soc(t)] + e 2 (3.7) C transientl [SOC(t)] = f 0 e f1[soc(t)] + f 2. (3.8) onde: a 0, a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, b 0, b 1, b 2, c 0, c 1, c 2, d 0, d 1, d 2, e 0, e 1, e 2, f 0, f 1 e f 2 são os parâmetros a serem estimados. O modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I é considerado um modelo preciso para a determinação das características de tensão e corrente, porém esse modelo elétrico não considera em sua modelagem os principais efeitos não lineares presentes no processo de descarga. Desta forma, buscou-se uni-lo a outros modelos que consideram tais efeitos, como os modelos analíticos citados anteriormente (i.e. modelo KiBaM, modelo Rakhmatov e Vrudhula, e modelo Lei de peukert Estendido) Modelo Analítico Kinetic Battery Model (KiBaM) O modelo analítico de bateria Kinetic Battery Model (KiBaM) foi desenvolvido a fim de modelar os processos químicos presentes em baterias de chumbo-ácido [15]. Seu desenvolvimento baseia-se na distribuição da carga da bateria em duas fontes, a fonte de carga disponível e a fonte de carga limitada, conforme representado na Figura 3.2, na qual y 1 é a carga disponível da bateria, y 2 é a carga limitada, h 1 e h 2 são as alturas das cargas, respectivamente, c é a fração da carga total que corresponde à carga disponível e 1 c é a fração da carga total que corresponde à carga limitada. Figura 3.2: Representação do modelo analítico KiBaM [18]. Durante o processo de descarga, a fonte de carga disponível fornece elétrons diretamente a corrente i(t), enquanto a fonte de carga limitada fornece elétrons somente para a fonte de carga disponível. Assim, o fluxo de elétrons que ocorre entre as fontes de carga

41 Capítulo 3. Modelagem Matemática 25 limitada e disponível equivale a uma taxa k que depende da diferença entre as alturas h 1 e h 2, onde h 1 representa o SOC da bateria. Com isso, durante o processo de descarga, a carga disponível é reduzida e a diferença entre as alturas das fontes de carga aumenta. Ao ocorrer um momento de relaxação, isto é, quando a corrente de descarga é diminuída significativamente ou anulada, um fluxo de carga flui da fonte de carga limitada para a fonte de carga disponível. Assim, ao iniciar novamente o processo de descarga haverá uma quantidade maior de energia na fonte de carga disponível, o que caracteriza o efeito não linear denominado efeito de recuperação. O efeito da taxa de capacidade também é considerado, pois para correntes de descargas muito altas, a energia da carga disponível é drenada rapidamente, não havendo tempo para que elétrons da carga limitada fluam para a fonte de carga disponível. Desta forma, uma quantidade de carga na fonte de carga limitada não será utilizada totalmente, gerando redução efetiva na capacidade da bateria. As alturas das fontes e k são dados pelas seguintes equações: h 1 = y 1(t) c (3.9) e h 2 = y 2(t) 1 c k = (3.10) k c(1 c). (3.11) A variação entre as cargas y 1 (t) e y 2 (t) é dado pelo seguinte balaço de massa: { dy1 (t) dt = i(t) + k(h 2 h 1 ) dy 2 (t) dt = k(h 2 h 1 ). (3.12) Substituindo as equações (3.9), (3.10) e (3.11) em (3.12) encontra-se o seguinte sistema de Equações Diferencias Ordinárias (EDOs) dado por: { dy1 (t) dt dy 2 (t) dt = i(t) + k cy 2 (t) k (1 c)y 1 (t) = k cy 2 (t) + k (1 c)y 1 (t). (3.13) Para a resolução do sistema de EDOs em (3.13), considerando correntes de descarga constantes, (i.e. i(t) = I) tem-se as seguintes condições iniciais: y 1 (0) = cc (3.14) e y 2 (0) = (1 c)c (3.15)

42 Capítulo 3. Modelagem Matemática 26 onde: y 1 (0) e y 2 (0) são as quantidades de carga disponível e limitada respectivamente em t = 0 (i.e., antes do processo de descarga ser iniciado) e C é a capacidade total da bateria. Na sequência, utilizando os conceitos de Transformada de Laplace para a resolução das equações do sistema (3.13), obtém-se: { y1 (s)[s + k (1 c)] k cy 2 (s) = y 1 (0) I s y 2 (s)[s + k c] k (1 c)y 1 (s) = y 2 (0). (3.16) y 2 (s). Dando continuidade à resolução, deve-se eliminar ou a variável y 1 (s), ou a variável Optou-se por eliminar y 1 (s) e para isto, inicialmente, multiplicou-se a segunda equação do sistema (3.16) por ( ) s k (1 c) + 1. (3.17) Como resultado, após a realização de manipulações matemáticas, obtém-se as seguintes equações: { y1 (s)[s + k (1 c)] k cy 2 (s) = y 1 (0) I s s y 2 (s)[ 2 + s + cs + k (1 c) (1 c) k c] y 1 (s)[s + k (1 c)] = y 2(0)s + y k (1 c) 2(0). (3.18) A adição das equações do sistema (3.18) fornece a equação (3.19) que possui somente a variável y 2 (s) onde: y 0 é a soma entre y 1 (0) e y 2 (0). y 2 (s) = y 2(0)s 2 + y 0 k s(1 c) Ik (1 c) s 2 (1 + k) (3.19) A equação (3.19) é resolvida a partir da aplicação de frações parciais, obtendo-se a seguinte equação no domínio de Laplace: y 2 (s) = I(1 c) + (1 c)(y 0k + I) + y 2(0) s 2 k s s + k (1 c)(y 0k + I). (3.20) k (1 + k ) Para retornar ao domínio do tempo, aplica-se na equação (3.20) os conceitos de Transformada de Laplace Inversa, na qual encontra-se a função y 2 (t) que representa a fonte de carga limitada: y 2 (t) = y 2 (0)e k t + y 0 (1 c)(1 e k t ) I(1 c)[k t 1 + e k t ] k. (3.21) Para determinar a função y 1 (t) que representa a fonte de carga disponível, deve-se substituir na segunda equação do sistema (3.13) a função y 2 (t), então após manipulações

43 Capítulo 3. Modelagem Matemática 27 matemáticas obtém-se: y 1 (t) = y 1 (0)e k t + (y 0k c I)(1 e k t ) k Ic (k t 1 + e k t ) k. (3.22) Desta forma, os resultados da resolução das equações do sistema (3.13) são: { y1 (t) = y 1 (0)e k t + (y 0k c I)(1 e k t ) k Ic (k t 1+e k t ) k y 2 (t) = y 2 (0)e k t + y 0 (1 c)(1 e k t ) I(1 c)[k t 1+e k t ] k. Por fim, a diferença entre as alturas das duas fontes δ(t) é descrita por: (3.23) δ(t) = h 2 h 1 = y 2(t) 1 c y 1(t). (3.24) c e a quantidade de carga indisponível u(t) será expressa por: u(t) = (1 c)δ(t). (3.25) a zero. É válido salientar que a bateria será considerada descarregada quando y 1 (t) for igual Modelo Analítico de Rakhmatov e Vrudhula O modelo analítico de difusão de Rakhmatov e Vrudhula [22], descreve a evolução da concentração de espécies eletroativas no eletrólito. O processo de difusão unidimensional destas espécies é descrito pelas Leis de Fick [21], dadas pelo seguinte sistema de Equações Diferencias Parciais (EDPs): { J(x, t) = D C(x,t) x = D 2 C(x,t) C(x,t) t x 2, (3.26) onde: J(x, t) é o fluxo das espécies eletroativas, as variáveis independentes t e x que são respectivamente o tempo e uma posição no eletrodo com t [0, L] e x [0, w], D é a constante de difusão, e C(x, t) é a concentração de espécies eletroativas. Para uma bateria completamente carregada a concentração de espécies eletroativas é uniformemente distribuída em todo eletrólito proporcionando a seguinte condição inicial: C(x, 0) = C (3.27) onde: C é a concentração inicial de espécies eletroativas. O eletrólito com tamanho w fornece as condições de fronteira, sendo que quando x = 0 de acordo com a Lei de Faraday,

44 Capítulo 3. Modelagem Matemática 28 o fluxo das espécies eletroativas J(0, t) no eletrodo é proporcional a corrente i(t), ou seja: J(0, t)vaf = i(t) (3.28) onde: A é a área da superfície do eletrodo, F é a constante de Faraday e v é o número de elétrons envolvidos na reação eletroquímica na superfície do eletrodo. Assim: Além disto, em x = w o fluxo é zero, desta forma: D C(x, t) x=0 = i(t) x vaf. (3.29) D C(x, t) x=w = 0. (3.30) x Para realizar a resolução do modelo, inicialmente aplica-se o conceito de Transformada de Laplace na segunda EDP do sistema (3.26), na qual obtém-se: sc(x, s) C(x, 0) = D 2 C(x, s) x 2. (3.31) Em seguida, substitui-se na equação (3.31) a condição inicial e realiza-se algumas manipulações matemáticas, onde encontra-se: C s D C = C D (3.32) que é uma EDO de segunda ordem não homogênea, que pode ser resolvida utilizando o método de coeficientes a determinar, cuja solução geral é: s C(x, s) = k 1 e D x + k 2 e s D x + C s. (3.33) Visando encontrar a solução particular da equação (3.33), primeiramente, deve-se derivála em relação a x, encontrando: C(x, s) x = k 1 s D e s D x k 2 s D e s D x. (3.34) Sendo necessário determinar k 1 e k 2, deve-se aplicar os conceitos de Transformada de Laplace nas condições de fronteira do modelo, onde obtém-se: C(c, s) x = i(s) vf AD (3.35) C(w, s) x = 0 (3.36)

45 Capítulo 3. Modelagem Matemática 29 e em seguida, substituir as equações (3.35) e (3.36) na equação (3.34), onde obtém-se o seguinte sistema: { s (k D 1 K 2 ) = i(s) vf AD s k 1 e D w k 2 e s. (3.37) D w Resolvendo o sistema (3.37) os valores de k 1 e k 2 são dados por: k 1 = i(s) [ D 1 vf AD s e s e D w s D w e s k 2 = i(s) [ s D e D w vf AD s s e D w e s D w D w ] ] (3.38). (3.39) Substituindo os valores de k 1 e k 2 na equação (3.33) obtém-se a expressão que representa a concentração de espécies eletroativas no domínio de Laplace representada por: C(x, s) = i(s) [ D 1 vf AD s i(s) vf AD D s e [ s e D w s D w e s e D w s e D w s D w e s ] D w e s D x + ] e s D x. (3.40) Como existe apenas interesse na concentração de espécies eletroativas na superfície do eletrodo (i.e., em x = 0) e utilizando uma identidade matemática, como também, realizando algumas manipulações, a equação (3.40) torna-se: C(0, s) = C s i(s) vf AD [ coth( s w) ] D s. (3.41) D A equação (3.41) que representa a concentração de espécies eletroativas está no domínio de Laplace. Para transformá-la ao domínio do tempo, utiliza-se o conceito de Transformada de Laplace Inversa, considerando que a multiplicação no domínio de Laplace corresponde à convolução no domínio do tempo. Desta forma: C(0, t) = C i(t) D vf AD πt e também dividindo a equação por C obtém-se: 1 C(0, t) C = 1 vf A πdc t 0 i(τ) t τ m= e w2 m 2 Dt, (3.42) m= e w2 m 2 D(t τ) dτ (3.43)

46 Capítulo 3. Modelagem Matemática 30 na qual determina-se que: ρ(t) = 1 C(0, t) C. (3.44) O somatório da equação (3.43) permite realizar uma troca de variáveis a partir de uma identidade presente na teoria de funções theta [3], que determina: considerando: n= e yn2 = π y y = n= e π2 n 2 y, Re(y) > 0 (3.45) w 2 D(t ρ). (3.46) Além disto, o somatório presente na equação (3.43) apresenta resultado 1 quando m = 1 e apresenta os mesmos resultados para valores de m negativos e positivos devido a m estar elevado ao quadrado. Assim, a partir das análises e conclusões citadas, e realizando as manipulações matemáticas possíveis, chega-se na seguinte equação: Considerando ρ(t) = 1 vf AwC t 0 i(τ) [ β = π D w m=1 e π2 D(t τ)m 2 w 2 ] dτ. (3.47) como o parâmetro que está relacionado ao comportamento não linear da bateria e, (3.48) α = vf AwC ρ(l) (3.49) como o parâmetro que está relacionado com a capacidade da bateria. Sendo t = L o tempo de vida da bateria, a partir da equação (3.47) obtém-se a expressão geral que relaciona o tempo de vida L da bateria e a corrente de descarga com os parâmetros α e β, dado por α = L i(τ)dτ + 2 L 0 m=1 0 i(τ)e β2 m 2 (L τ) dτ. (3.50) na qual o primeiro termo da equação representa a carga total consumida pelo sistema e o segundo termo a quantidade de carga não utilizada (i.e., indisponível) pelo sistema [11]. Assim: u(t) = 2 L m=1 0 i(τ)e β2 m 2 (L τ) dτ. (3.51) A partir da equação (3.50) é possível realizar a predição do tempo de vida de baterias

47 Capítulo 3. Modelagem Matemática 31 considerando correntes de descarga constantes e variáveis. No primeiro caso, conforme Rakhmatov e Vrudhula [22], ao considerar uma corrente de descarga constante (i.e. i(τ) = I), a equação (3.50) torna-se: [ ] 1 e β2 n 2 L α = IL (3.52) β 2 n 2 L n=1 Para correntes de descarga variáveis no tempo, realiza-se uma aproximação através de uma função escada de n degraus [11] dada por: n 1 i(τ) = I k [U(τ t k ) U(τ t k+1 )] (3.53) n=0 onde: I k é uma carga constante e U(τ) é uma função degrau. Substituindo a equação (3.53) na equação (3.50) e realizando algumas manipulações matemáticas, chega-se a equação geral para correntes de descarga variáveis, dada por: ] n 1 e α = I k [t β2 n 2 (L t k+1 ) e β2 n 2 (L t k ) k+1 t k + 2. (3.54) β 2 n 2 k=0 n=1 É válido salientar que neste trabalho são considerados apenas perfis de descarga constantes, não estendendo a pesquisa para perfis de descarga variáveis Modelo Analítico Lei de Peukert Estendida O modelo analítico Lei de Peukert Estendida foi proposto por Freitas [12], que pode ser considerado um aprimoramento do modelo analítico Lei de Peukert. Originalmente, a Lei de Peukert modela o tempo de vida de uma bateria pela seguinte expressão: L = a I b, (3.55) onde: a e b são os parâmetros a serem estimados e representam, respectivamente, a capacidade da bateria e o coeficiente de Peukert, L representa o tempo de vida da bateria e I a corrente de descarga. Desta forma, a fim de aprimorar e melhorar a acurácia do modelo original da Lei de Peukert, Freitas [12] utilizou em seu trabalho a minimização funcional por comparação de derivadas de 1 a e 2 a ordem, onde inicialmente, a partir da equação (3.55) evidenciou I a esquerda do sinal de igualdade, deixando-o dependente dos demais termos: I = ( a L)1 b. (3.56)

48 Capítulo 3. Modelagem Matemática 32 Calculando a primeira derivada da equação (3.56) em função de L, que é a velocidade do fluxo de elétrons da corrente, tem-se: di dl = ( a L)1 b bl (3.57) Substituindo a equação (3.56) em (3.57), obtém-se: L di dl I b = 0. (3.58) De forma análoga, é calculada a derivada de segunda ordem da equação (3.56) em função de L, que é a aceleração do fluxo da corrente, obtendo-se: d 2 I dl 2 = Substituindo a equação (3.56) em (3.59) obtém-se: ( a L)1 b (b + 1) b 2 L 2. (3.59) L 2 d2 I I(b + 1) = 0 (3.60) dl2 b 2 Após possuir as derivadas de primeira e segunda ordem, realiza-se uma comparação entre ambas, sendo isto possível ao considerarmos que ao final do processo de descarga, a velocidade e a aceleração do fluxo de elétrons é nula. Desta forma tem-se: L 2 d2 I dl + L di 2 dl I = 0, (3.61) b2 que é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de Cauchy-Euller. Pode-se resolvê-la considerando de onde é possível deduzir que L = e t t = ln(l) (3.62) di dl = 1 di L dt (3.63) d 2 I dl = 1 I 2 L 2 [d2 I(t)]. (3.64) dt2 Substituindo as equações (3.63) e (3.64) em (3.61) e realizando algumas manipulações matemáticas obtém-se: cuja equação característica é: d 2 I dt 2 I b 2 = 0 (3.65) r 2 1 b 2 = 0 (3.66)

49 Capítulo 3. Modelagem Matemática 33 sendo sua solução: I(L) = C 1 L 1 b + C2 L 1 b. (3.67) Como L > 0 e L 1 b > 0 multiplica-se ambos os membros das equação (3.67) por L 1 b e realizando algumas manipulações matemáticas obtém-se: C 1 (L 1 b ) 2 IL 1 b + C2 = 0. (3.68) Para simplificação é definido que L 1 b = y, ao substituir L na equação (3.68) encontra-se: C 1 y 2 Iy + C 2 = 0 (3.69) que possui como solução: y = I ± I 2 4C 1 C 2 2C 1. (3.70) Realizando novamente a substituição y = L 1 b juntamente com algumas manipulações matemáticas, encontra-se a equação que caracteriza a Lei de Peukert Estendida para correntes de descarga constantes: ( ) b I I2 4C 1 C 2 L =, (3.71) 2C 1 onde: C 1 é o coeficiente de ajuste não linear, C 2 é a capacidade análoga à capacidade física da bateria, e b é o coeficiente de Peukert. Ainda, pode-se a partir da equação (3.68) isolar C 2, onde é realizada uma substituição da corrente de descarga I pela média ponderada das correntes ao longo do tempo (t 0 < t k < t n ), o que permite generalizar a Lei de Peukert Estendida para correntes de descarga constantes e variáveis, resultando na seguinte expressão: [( ) 1 tn C 2 = t n t 0 t 0 ] i(t)dt t 1 b C1 t 2 b (3.72) onde: i(t) é a corrente de descarga e t é o tempo. É válido ressaltar que o modelo analítico Lei de Peukert Estendida, como o modelo Lei de Peukert, consideram em sua modelagem somente o efeito não linear da taxa de capacidade. 3.3 Modelos Híbridos Nesta seção são apresentados os modelos híbridos, que são o foco de estudo deste trabalho. Primeiramente é apresentado o modelo híbrido proposto por Kim [15], seguido

50 Capítulo 3. Modelagem Matemática 34 pelo modelo híbrido proposto por Zhang [33], e por fim o modelo híbrido proposto por Gomes [13] Modelo Híbrido de Kim O modelo híbrido proposto por Kim [15], utilizado para predizer o tempo de vida de baterias, é caracterizado pela união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I com o modelo analítico KiBaM. Para a concepção deste modelo híbrido, o modelo elétrico foi escolhido por capturar as características dinâmicas do circuito da bateria, como a tensão de circuito aberto, a tensão terminal e a resposta transiente; e o modelo analítico por capturar os efeitos não lineares do processo de descarga, (i.e. efeito de recuperação e efeito taxa de capacidade) que não são capturados pelo modelo elétrico [8]. O desenvolvimento do modelo híbrido ocorre a partir da substituição dos componentes responsáveis pelo estado de carga e o tempo de vida da bateria, no modelo elétrico; pelas equações baseadas no modelo analítico KiBaM. A representação esquemática do modelo híbrido proposto por Kim é mostrado na Figura 3.3. Figura 3.3: Esquema do Modelo Híbrido de Kim [15]. Para realizar a modelagem do processo de descarga, considera-se um período de tempo em que t 0 < t < t r, no período de t 0 < t < t d (com t d < t r ) a bateria é descarregada primeiramente por uma corrente constante (i.e. i cell = I > 0), e passa por um momento de relaxação no período restante (t d < t < t r ) com i cell = 0. Desta maneira o estado de carga (SOC) pode ser descrito pela seguinte equação: SOC(t) = C available(t) C max (3.73) onde: C available (t) e C max são a capacidade disponível e a capacidade nominal da bateria respectivamente. Por sua vez, a capacidade disponível da bateria, C available (t), é determi-

51 Capítulo 3. Modelagem Matemática 35 nada por: C available (t) = C initial l(t) C unavailable (t), (3.74) onde: C initial é a capacidade inicial da bateria, l(t) é a carga total consumida pelo sistema, que é dada por l(t) = i cell (t)dt. (3.75) A capacidade indisponível no tempo t representada por C unavailable (t) pode ser descrita pela carga indisponível u(t), proveniente do modelo KiBaM. A expressão u(t) é obtida a partir da substituição das equações (3.21) e (3.22) em (3.24) obtendo-se δ(t), que é então substituído em (3.25), resultando em: u(t) = { (1 c)[δ(t0 )e k (t t 0 ) + I. 1 et t 0 ], t c k 0 < t < t d. (3.76) (1 c)δ(t d )e k (t t d ), t d < t < t r onde: c é a fração da capacidade total da bateria C, δ(t 0 ) é a diferença entre as alturas das fontes do modelo KiBaM no início da descarga, k é a constante relacionada a taxa de difusão de energia entre as fontes de cargas, δ(t d ) é a diferença entre as alturas das fontes do modelo KiBaM no tempo final de descarga, I é a corrente de descarga, t 0 é o tempo inicial, t d é o tempo final de descarga, e t r é o tempo que resta para terminar o período. Durante o processo de descarga, isto é, no intervalo t 0 < t < t d, a carga indisponível u(t) aumenta, o que representa o efeito taxa de capacidade. No intervalo t d < t < t r a carga indisponível u(t) diminui, pois a carga da fonte limitada flui para a fonte de carga disponível representando o efeito de recuperação. Com isso, C unavailable (t) também pode ser expressa por onde: C unavailable (t) = { Cunavailable(t0 )e k (t t 0 ) + (1 c) I. 1 et t 0, t c k 0 < t < t d. (3.77) C unavailable (t d )e k (t t d ), t d < t < t r C unavailable (t 0 ) é a capacidade indisponível da bateria no início da descarga, e C unavailable (t d ) é a capacidade indisponível da bateria no final do tempo de descarga. Portanto, o estado de carga (SOC) é dado por: SOC(t) = SOC initial 1 [ C max i cell (t)dt + C unavailable (t)] (3.78) onde: SOC initial é o SOC estimado antes de t 0, i cell (t) é a corrente de descarga, e C unavailable (t) é a capacidade indisponível da bateria que é proveniente do modelo KiBaM. A tensão do modelo pode ser expressa por: V cell (t) = V OC [SOC(t)] i cell (t).r series V transient(t) (3.79)

52 Capítulo 3. Modelagem Matemática 36 onde: V cell (t) é a tensão, V OC [SOC(t)] é a tensão de circuito aberto, R series [SOC(t)] é a resistência em série, e V transient (t) é a tensão transiente. Os termos da equação anterior são obtidos através das seguintes equações: V oc [SOC(t)] = a 0 e a 1[SOC(t)] + a 2 + a 3 [SOC(t)] a 4 [SOC(t)] 2 + a 5 [SOC(t)] 3 (3.80) R series [SOC(t)] = b 0 e b 1[SOC(t)] + b 2 + b 3 [SOC(t)] b 4 [SOC(t)] 2 + b 5 [SOC(t)] 3 (3.81) V transient (t) = V transients (t) + V transientl (t) (3.82) onde: V transients (t) é a tensão transiente de curta duração, e V transientl é a tensão de longa duração, que são dadas pelas seguintes equações respectivamente: onde: R transients { RtransientS.i cell (t)[1 e (t t 0 ) τ S ], t 0 < t < t d V transients (t) = (3.83) V transients (t d )e (t t d ) τ S, t d < t < t r é a resistência transiente de curta duração, V transients (t d ) é a tensão transiente de curta duração no final da descarga, e τ S é o produto entre R transients e C transients que é a capacitância transiente de curta duração. { RtransientL.i cell (t)[1 e (t t 0 ) τ L ], t 0 < t < t d V transientl (t) = (3.84) V transientl (t d )e (t t d ) τ L, t d < t < t r onde: R transientl é a resistência transiente de longa duração, V transientl (t d ) é a tensão transiente de longa duração no tempo final da descarga e τ L é o produto entre R transientl e C transientl que é a capacitância transiente de longa duração. Os parâmetros que modelam a tensão transiente são funções do SOC e são dadas pelas quatro equações abaixo: R transients [SOC(t)] = c 0 e c1[soc(t)] + c 2 (3.85) C transients [SOC(t)] = d 0 e d1[soc(t)] + d 2 (3.86) R transientl [SOC(t)] = e 0 e e1[soc(t)] + e 2 (3.87) C transientl [SOC(t)] = f 0 e f1[soc(t)] + f 2. (3.88) Modelo Híbrido de Zhang O modelo híbrido proposto por Zhang [33] é formado pela união entre o modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I com o modelo analítico de Rakhmatov e Vrudhula. A união entre os dois modelos acontece analogamente ao modelo proposto

53 Capítulo 3. Modelagem Matemática 37 por Kim [15], isto é, os componentes responsáveis pelo estado de carga e o tempo de vida da bateria do modelo elétrico são substituídos por equações baseadas no modelo de Rakhmatov e Vrudhula. Com esta substituição, o modelo híbrido captura os efeitos não lineares do processo de descarga, observa-se que esses efeitos não eram considerados pelo modelo elétrico. O esquema do modelo híbrido proposto por [33] é mostrado na Figura 3.4. Figura 3.4: Esquema do Modelo Híbrido de Zhang [11]. O estado de carga (SOC) é dado pela mesma equação do modelo híbrido de [15] porém, neste caso, alguns termos são definidos, obviamente, pelas equações do modelo RV. Assim: SOC(t) = C available(t) C max (3.89) onde: C available (t) e C max são a capacidade disponível e a capacidade nominal da bateria respectivamente. Por sua vez, C available (t) é determinada por: C available (t) = C initial l(t) C unavailable (t), (3.90) onde: C initial é a capacidade inicial da bateria e l(t) é a carga total consumida pelo sistema e dada por l(t) = It. (3.91) A capacidade indisponível da bateria C unavailable (t) é descrita por u(t) apresentado na equação (3.51), e proveniente do modelo de Rakhmatov e Vrudhula. Desta forma: C unavailable (t) = u(t) (3.92)

54 Capítulo 3. Modelagem Matemática 38 onde, substituindo u(t) encontra-se: 1 e β2 n 2 L C unavailable (t) = 2I β 2 n 2 L n=1 (3.93) Assim, o SOC pode ser representado pela equação: SOC(t) = SOC initial 1 [ C max onde: SOC initial é o SOC estimado antes de t 0. i cell (t)dt + C unavailable (t)] (3.94) As demais funções do modelo híbrido como a tensão do modelo (V cell (t)), a resistência em série (R series ), a tensão transiente (V transient (t)) são dadas pelas mesmas equações do modelo híbrido de Kim, ou seja, as equações apresentadas a partir da equação (3.79) até a equação (3.88) Modelo Híbrido de Gomes O modelo híbrido proposto por Gomes [13], análogo aos modelos anteriores, também surge da união de um modelo elétrico com um modelo analítico. O modelo elétrico novamente é o modelo para Predizer Runtime e Características V-I e o modelo analítico é o modelo Lei de Peukert Estendida. O esquema do modelo híbrido é mostrado na Figura 3.5. Figura 3.5: Esquema do Modelo Híbrido de Gomes [13]. Diferente dos modelos híbridos anteriormente descritos [15, 33], o modelo analítico utilizado por Gomes captura apenas um efeito não linear presente no processo de descarga, o efeito da taxa de capacidade. Como nos modelos híbridos anteriores, o modelo híbrido de Gomes considera em sua modelagem os mesmos períodos de tempo, para descarga e repouso da bateria. O SOC é calculado através da mesma relação matemática apresentada

55 Capítulo 3. Modelagem Matemática 39 nos modelos híbridos de Kim e Zhang, isto é: SOC(t) = C available(t) C max (3.95) onde: C available (t) e C max são a capacidade disponível e a capacidade nominal da bateria respectivamente. Já C available (t) é determinada por: C available (t) = C initial l(t) C unavailable (t), (3.96) onde: C initial é a capacidade inicial da bateria, l(t) é a carga total consumida pelo sistema, dada por: l(t) = i cell (t)dt. (3.97) onde: i cell (t) é a corrente de descarga. Assim, o SOC pode ser representado pela equação a seguir: SOC(t) = SOC initial 1 [ C max i cell (t)dt + C unavailable (t)] (3.98) onde: SOC initial é o SOC estimado antes de t 0 e C unavailable (t) é a capacidade indisponível da bateria. Considerando a equação (3.72) da Lei de Peukert Estendida, que representa a capacidade análoga da capacidade física da bateria, pode-se substituir C 2 no termo que está dentro do colchetes da equação (3.98), que também representa a capacidade física da bateria, obtendo: SOC(t) = SOC initial 1 [[ 1 C max t n t 0 tn 0 ] i(t)dt t 1 b C1 t 2 b ] (3.99) Análogo aos modelos híbridos apresentados anteriormente, as demais funções como a tensão do modelo (V cell (t)), a resistência em série (R series ), a tensão transiente (V transient (t)) são dadas pelas mesmas equações do modelo híbrido de Kim e de Zhang, ou seja, as equações apresentadas a partir da equação (3.79) até a equação (3.88). 3.4 Resumo do Capítulo A utilização da modelagem matemática no estudo/predição do tempo de vida de baterias, permite conhecer previamente o seu comportamento e desempenho frente a diferentes condições de carga e descarga. Dentre os diferentes modelos matemáticos existentes para a realização deste estudo, encontra-se a categoria de modelos híbridos, que são concebidos pela união de dois ou mais modelos agregando as vantagens de cada um, originando assim modelos com baixa complexidade, que descrevem um número maior de informações do

56 Capítulo 3. Modelagem Matemática 40 processo de descarga (como as características elétricas da bateria) e que ainda, considerem os efeitos não lineares. Desta forma, optou-se pelo estudo e aplicação dos modelos híbridos, buscando entender, não somente eles, como os modelos originais utilizados na sua concepção. O primeiro modelo híbrido estudado, foi o modelo de Kim, constituído pela união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I [5] com o modelo analítico KiBaM [18]. O modelo elétrico captura as características elétricas da bateria e o modelo analítico considera os principais efeitos não lineares presentes no processo de descarga. O segundo modelo híbrido é o de Zhang. Este modelo une o modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I [5] com o modelo analítico de Rakhmatov e Vrudhula [22]. Analogamente aos demais modelos híbridos, o modelo elétrico é utilizado para capturar as características elétricas da bateria e o modelo analítico para capturar os efeitos não lineares presentes no processo de descarga. Neste caso, o modelo analítico utilizado é considerado de alta acurácia pela literatura. Por fim, o último modelo híbrido estudado é o modelo híbrido de Gomes, concebido pela união do modelo elétrico para Predizer Runtime e Características V-I [5] e o modelo analítico Lei de Peukert Estendida [12]. Neste, o modelo analítico é utilizado para modelar o efeito não lineares da taxa de capacidade. Para a realização deste trabalho, são consideradas apenas perfis de descarga constantes e desta forma, as equações dos modelos utilizadas são somente as que considerem tais perfis.

57 Capítulo 4 Estimação dos Parâmetros dos Modelos Híbridos 4.1 Introdução Todos os modelos híbridos apresentados no capítulo anterior possuem parâmetros que precisam ser estimados para a realização da sua simulação e predição do tempo de vida de baterias. O processo de estimação de parâmetros ocorre a partir da obtenção de dados experimentais e da definição de uma metodologia [11]. Desta forma, neste capítulo, primeiramente é apresentada uma descrição da plataforma de testes, na qual são realizados os testes experimentais; em seguida, é apresentada a metodologia adotada para a realização desses testes e ainda, são apresentados os dados obtidos nos processos de descarga das baterias. Após a coleta de dados, é realizado um tratamento nos mesmos, onde aplicou-se conceitos estatísticos a fim de identificar a presença de valores outliers nos conjuntos de dados, como também, identificar as médias estatisticamente diferentes. A partir dos resultados dos testes estatísticos são determinados os conjuntos de dados que são utilizados para estimação dos parâmetros empíricos, e para a validação dos modelos híbridos. Por fim, são realizadas as estimações dos parâmetros empíricos dos modelos híbridos, onde os parâmetros das partes analíticas dos modelos híbridos de Kim e Zhang são estimados através de uma metodologia que visa a aplicação da regressão estatística e do método numérico de Newton-Raphson; e os parâmetros do modelo híbrido de Gomes são estimados através da aplicação do método dos Mínimos Quadrados não linear. Diante disso, na Seção 4.2, é realizada a descrição da plataforma de testes utilizada nos ensaios experimentais. Na Seção 4.3, é apresentada a metodologia adotada para a obtenção dos dados experimentais, assim como a descrição dos dados obtidos. Na Seção 4.4, são apresentados os conceitos e testes estatísticos utilizados na identificação de valores 41

58 Capítulo 4. Estimação dos Parâmetros dos Modelos Híbridos 42 outliers, e de médias estatisticamente diferentes. Na Seção 4.5 é apresentada a metodologia adotada para estimação dos parâmetros de cada modelo híbrido, e os parâmetros obtidos. Por fim, na Seção 4.6, é exposto um resumo do capítulo. 4.2 Descrição da Plataforma de Testes A plataforma de testes utilizada neste estudo foi desenvolvida pelo Grupo de Automação Industrial e Controle (GAIC), no Laboratório de Sensores Inteligentes (LSI), localizado no Departamento de Ciências Exatas e Engenharias (DCEEng) da UNIJUÍ. Ela tem a função de simular um sistema real de descarga de baterias e obter informações do mesmo, como a corrente, a temperatura, a tensão e a duração da descarga. A plataforma é constituída por três partes básicas: sistema de controle (i.e., software), hardware e baterias, conforme pode ser observado na Figura 4.1. Figura 4.1: Plataforma de Testes do GAIC. O sistema de controle (software) desenvolvido em linguagem C++ possui uma interface intuitiva para a informação dos parâmetros das baterias, sendo responsável pelo envio das configurações do tipo de descarga ao hardware. Além disso, possibilita a obtenção dos resultados gerados pelos testes, permitindo salvar as imagens dos gráficos em bitmap e os relatórios em formato de texto. Ele permite que sejam realizados até quatro experimentos/descargas simultâneas, o sistema armazena as informações de cada bateria em arquivos separados. Além disto, caso ocorram falhas de comunicação serial entre o hardware e software, ou caso a curva de tensão da bateria atinja o nível de cutoff durante o experimento, a plataforma para de operar imediatamente [11, 13]. O hardware é responsável pela comunicação entre o computador e a administração dos módulos de sensoriamento e controle de descarga [11]. Este é composto por três placas eletrônicas, onde em uma destas placas localiza-se um microcontrolador responsável pela