Alan Vicente Oliveira

Transcrição

1 Análise Comparativa de Metodologias de Estimação de Parâmetros Aplicada a Modelos Analíticos Utilizados na Predição do Tempo de Vida de uma Bateria Alan Vicente Oliveira Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul - Unijuí - como parte dos requisitos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática. Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Orientador Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Co-Orientadora Ijuí, RS, Brasil c Alan Vicente Oliveira, Abril de 2012

2 Análise Comparativa de Metodologias de Estimação de Parâmetros Aplicada a Modelos Analíticos Utilizados na Predição do Tempo de Vida de uma Bateria Alan Vicente Oliveira Dissertação de Mestrado apresentada em Abril de 2012 Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Orientador Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Co-Orientadora Robinsom Figueiredo De Camargo, D.sc. Componente da Banca Sandro Sawicki, D.sc. Componente da Banca Ijuí, RS, Brasil, Abril de 2012 ii

3 Agradecimentos A Deus, o que seria de mim sem a fé que eu tenho nele. Aos meus pais, Davi e Marli, pelo amor, carinho, e dedicação que me possibilitou a vencer mais esta etapa de minha vida. Um agradecimento especial a minha mãe, que durante anos, se abdicou de sua própria vida, para que eu pudesse realizar os meus sonhos, meus desejos... Agradeço também aos meus irmãos, Alessandro e Ana Luisa, pelas palavras de incentivo em momentos difíceis. Muito obrigado por tudo, vocês são muito importantes para mim. A minha noiva Daniela, pela compreensão nos momentos de angústia e ausência, Te amo! Aos demais familiares e amigos, pelo apoio, pelas palavras de incentivo, pelo carinho. Aos meus professores, Paulo e Airam, pelos ensinamentos, conselhos, paciência e dedicação... Aos demais professores do Mestrado, pelos ensinamentos e amizade. Aos colegas de turma, pela amizade, companheirismo durante os estudos... Um abraço especial à Geni, pela atenção e disposição em me ajudar em momentos de dúvidas... À UNUJUÍ, pela estrutura física oferecida. Ao CnPQ, pelo aporte financeiro recebido, o qual possibilitou a realização desta pesquisa. i

4 Resumo Nos últimos anos, a utilização de dispositivos móveis têm aumentado significativamente, estes dispositivos podem ser utilizados nas mais diversas áreas, como no lazer, na segurança, no trabalho, entre outras. Para que estes dispositivos possam operar correntamente, necessitam de uma bateria que forneça energia aos mesmos. Geralmente estas baterias são recarregáveis e possuem um repositório finito de energia que relaciona o tempo de funcionamento do dispositivo a carga disponível da bateria. Neste contexto, surge a necessidade de utilizar algum método capaz de predizer o tempo de vida destas baterias e conseqüentemente o tempo em que o dispositivo ficará operacional. Atualmente existem uma série de métodos utilizados para esta finalidade, os modelos matemáticos são uma destas opções. Neste trabalho, inicialmente, é apresentado um estudo sobre modelos matemáticos utilizados para predizer o tempo de vida de uma bateria utilizadas em dispositivos móveis, dando ênfase aos modelos analíticos, dentre os modelos analíticos estudados destacam-se três modelos, o Modelo Linear, a Lei de Peukert e o Modelo Analítico de Difusão de Rakhmatov-Vrudhula. Todos estes modelos foram implementados computacionalmente objetivando a realização de simulações para determinar o tempo de vida de uma bateria sob diferentes perfis de descargas. Porém, para realizar as simulações computacionais dos modelos, é necessário primeiramente estimar os parâmetros dos mesmos, esta estimação é realizada a partir de curvas de descargas, obtidas em ensaios realizados em uma plataforma de teste especialmente desenvolvida para este fim. Logo em seguida, os modelos matemáticos foram validados a partir de ensaios utilizando-se baterias reais, no caso deste trabalho foram utilizadas baterias de lition-íon modelo BL-5F que equipam telefones celulares da marca Nokia modelo N95. Na continuidade do estudo, ainda foram comparadas duas metodologias de estimação dos parâmetros, que utilizam a técnica de estimação dos Mínimos Quadrados. A primeira metodologia avaliada foi proposta por Rakhmatov-Vrudhula e a segunda metodologia foi proposta por Gauss. Ambas metodologias foram simuladas computacionalmente e seus resultados serão validados a partir de ensaios realizados em uma plataforma de teste objetivando a apresentação da metodologia e do modelo que consegue predizer com maior precisão o tempo de vida de uma bateria que alimenta um dispositivo móvel. ii

5 Abstract In the last years, the use of mobile devices has increased significantly, these devices can be used in several areas such as leisure, safety at work, among others. For these devices can operate correctly, require a battery that supplies power to them. Generally these batteries are rechargeable and have a finite energy store that relates the time of operation of the device available battery power. In this context there is a need to use any method capable of predicting the lifetime of these batteries and consequently the time the device is operating. Currently there are a number of methods used for this purpose, mathematical models are one of the following. This paper initially presents a study on mathematical models used to predict the lifetime of a battery used in mobile devices, with emphasis on analytical models, from the analytical models studied include three models, the Linear Model, Peukert s Law and Model Analytical of diffusion Rakhmatov-Vrudhula. All these models have been implemented aiming at computational simulations to determine the lifetime of a battery under different profiles of discharges. But to perform the computer simulations of the model is first necessary to estimate the parameters of mathematical models, this estimation is performed from the discharge curves obtained from tests on a test platform specially developed for this purpose. Shortly thereafter, the mathematical models were validated from tests using real batteries, in the case of this work were used litio-ion batteries model BL-5F fitted to mobile phones brand Nokia model N95. In continuation of the study were also compared two methodologies, using the method of least squares, to estimate the parameters of mathematical models evaluated. The first methodologies evaluated was proposed by Rakhmatov-Vrudhula, and second methodologies was proposed by Gauss. Both methodologies are computationally simulated and their results will be validated from tests on a test platform aimed, at presenting the methodology and model that can predict more accurately the lifetime of a battery that power a mobile device. iii

6 Lista de Símbolos Ah - Ampère-hora V - Tensão C - Capacidade inicial da bateria para o Modelo Analítico de Difusão de Rakhmatov- Vrudhula ma - Miliampère mah - Miliampère-hora ma min - Miliampère-minutos s - Segundos min - Minutos P 1...P 13 - Perfis de descarga i(t) - Corrente de descarga k - Parâmetro relacionado ao tipo de bateria do modelo analítico Cinético h 1 - Altura da fonte de carga disponível do modelo analítico Cinético h 2 - Altura da fonte de carga limitada do modelo analítico Cinético α - Parâmetro que representa a capacidade da bateria no modelo analítico de Rakhmatov- Vrudhula iv

7 β - Parâmetro que representa a não-linearidade da bateria no modelo analítico de Rakhmatov-Vrudhula C(x, t) - Função concentração de espécies eletroativas do modelo analítico de Rakhmatov- Vrudhula L - Tempo de vida da bateria w - Comprimento do eletrólito da bateria C - Capacidade da bateria C - Capacidade da bateria no início da operação do modelo analítico Linear I - Corrente constante de descarga t d - Tempo de duração da corrente de descarga do modelo analítico Linear i(τ) - Função aproximada para a corrente de descarga a - Parâmetro que relaciona a capacidade da bateria na Lei de Peukert b - Parâmetro que captura o efeito da taxa de capacidade da bateria na Lei de Peukert J(x, t) - Fluxo de espécies eletroativas D - Constante de difusão v - Número de elétrons envolvidos na reação eletroquímica F - Constante de Faraday A - Área da superfície do eletrodo ρ(t) - Fração de decaimento da concentração de espécies elétroativas v

8 U(τ) - Função degrau I k - Corrente de descarga utilizada durante um período, onde k = 0,..., n, e k N I k 1 - Corrente de descarga utilizada durante um período, onde k = 1,..., n, e k N t k - Tempo inicial da corrente de descarga, onde k = 0,..., n, e k N t k 1 - Tempo final da corrente de descarga, onde k = 1,..., n, e k N N Estados da Cadeia de Markov N - Número de unidades de carga disponíveis % - Porcentagem T.E. - Tempo estimado E.P. - Erro em percentual M - Número de unidades de carga G - Ganho obtido por uma descarga pulsante em relação a uma descarga constante y 1 - Quantidade de carga da fonte disponível y 2 - Quantidade de carga da fonte limitada i - Nível da discretização da fonte de carga disponível j - Nível da discretização da fonte de carga limitada t - Duração da corrente inativa c - Fração da capacidade da bateria y 1,0 - Quantidade de carga disponível em t = 0 vi

9 y 2,0 - Quantidade de carga limitada em t = 0 u(t) - Dados experimentais de entrada y(t) - Dados experimentais de saída a 1,..., a n - Parâmetros b 1,..., b n - Parâmetros θ - Vetor que contém os parâmetros do modelo φ(t) - Vetor que contém os dados experimentais Z N 1 t N - Conjunto das entradas e saídas ao longo de um intervalo de tempo, onde V N - Função que relaciona os dados experimentais e os parâmetros do modelo vii

10 Lista de Tabelas 4.1 Simulações das Correntes de descarga apresentadas no Vetor I [1] Parâmetros do Modelo de Rakhmatov-Vrudhula e Lei de Peukert Perfis de Corrente de Descarga Utilizados na Validação dos Modelos Matemáticos Simulações das Correntes de Descarga apresentadas na Tabela Simulação do Modelo de Rakhmatov-Vrudhula e Comparação com a Plataforma de Teste, utilizando Cargas Constantes Simulação da Lei de Peukert e Comparação com a Plataforma de Teste, utilizando Cargas Constantes Simulação do Modelo Linear e Comparação com a Plataforma de Teste, utilizando Cargas Constantes Comparação dos erros médios (%) e máximos (%) dos modelos matemáticos, utilizando Cargas Constantes Simulação do Modelo de Rakhmatov-Vrudhula e Comparação com a Plataforma de Teste, utilizando Cargas Constantes Simulação da Lei de Peukert e Comparação com a Plataforma de Teste, utilizando Cargas Variáveis Simulação do Modelo Linear e Comparação com a Plataforma de Teste, utilizando Cargas Variáveis Comparação dos erros médios (%) e máximos (%) dos modelos matemáticos, utilizando Cargas Variáveis Média Geral dos erros encontrados nos modelos matemáticos Conjuntos utilizados na nova Estimação dos Parâmetros Parâmetros α, β, a e b encontrados pelos dados da Tabela Simulação do Modelo de Rakhmatov-Vrudhula e Comparação com a Plataforma de Teste, utilizando Cargas Constantes Simulação da Lei de Peukert e Comparação com a Plataforma de Teste, utilizando Cargas Constantes

11 Lista de Tabelas Comparação dos erros médios (%) e máximos (%) dos modelos matemáticos, utilizando Cargas Constantes Simulação do Modelo de Rakhmatov-Vrudhula e Comparação com a Plataforma de Teste, utilizando Cargas Variáveis Simulação da Lei de Peukert e Comparação com a Plataforma de Teste, utilizando Cargas Variáveis Comparação dos erros médios (%) e máximos (%) dos modelos matemáticos, utilizando Cargas Variáveis Média Geral dos erros encontrados nos modelos matemáticos Comparação entre as Metodologias utilizadas na Estimação dos Parâmetros do modelo de Rakhmatov-Vrudhula Comparação entre as Metodologias utilizadas na Estimação dos Parâmetros da Lei de Peukert Sequência de Correntes de Descargas utilizadas na Estimação dos Parâmetros dos Modelos Matemáticos Parâmetros Estimados para cada Sequência de Correntes de Descargas Simulação dos Tempos de cada Perfil de Descarga para o Modelo de Rakhmatov- Vrudhula, utilizando correntes de descargas constantes Simulação dos Tempos de cada Perfil de Descarga para a Lei de Peukert, utilizando correntes de descargas constantes Análise dos Erros Médios Obtidos pelas Sequências de Curvas de Descargas em cada Modelo Matemático, Utilizando Correntes de Descargas Constantes Simulação dos Tempos de cada Perfil de Descarga para o Modelo de Rakhmatov- Vrudhula, utilizando correntes de descargas variáveis Simulação dos Tempos de cada Perfil de Descarga para a Lei de Peukert, utilizando correntes de descargas variáveis Análise dos Erros Médios Obtidos pelas Sequências de Curvas de Descargas em cada Modelo Matemático, Utilizando Correntes de Descargas Variáveis Análise dos Erros Médios Gerais Obtidos pelas Sequências de Curvas de Descargas. 70

12 Lista de Figuras 2.1 Esquema de uma célula eletroquímica [2] Estados de operação da bateria [3] Densidade de energia e ano de implantação comercial das tecnologias de bateria [4] Esquema básico funcional abrangendo todos os tipos de células modeladas [2] Modelo de duas fontes do Modelo Cinético de baterias [1] Representação de um sistema com Cargas Variáveis [1] Diagrama da Plataforma de Teste [5] Hardware da Plataforma de Teste [5] Configurador da Plataforma de Teste Software de Controle da Plataforma de Teste Foto da fonte externa carregando as baterias utilizadas nos ensaios Foto das baterias conectadas a plataforma de teste Curvas das correntes de descarga utilizadas na estimação dos parâmetros Gráfico da Rotina de Descarga do Perfil P Curvas de Correntes de Descargas Constantes, utilizadas para realizar a validação dos modelos analíticos Curvas de Correntes de Descargas Variáveis, utilizadas para realizar a validação dos modelos analíticos

13 Sumário 1 Apresentação da Dissertação Introdução Motivação Objetivos Objetivo Geral Objetivos Específicos Contribuições Estrutura do Documento Revisão Bibliográfica Baterias Características não-lineares Tipos de Baterias Modelos Matemáticos de Baterias Modelos Eletroquímicos Modelos Elétricos Modelos Estocásticos Modelos Analíticos Descrição dos Modelos Analíticos Descrição do Modelo Linear Descrição da Lei de Peukert Descrição do Modelo de Rakhmatov-Vrudhula Cargas Constantes Cargas Variáveis Ambiente de Simulação Plataforma de Teste Metodologia Adotada nos Ensaios Experimentais Método dos Mínimos Quadrados

14 Sumário Descrição do Método dos Mínimos Quadrados Estimação dos Parâmetros dos Modelos Matemáticos Ensaios Experimentais e Validação dos Modelos Analíticos Simulações das Correntes de Descargas para a Validação dos Modelos Matemáticos Validação dos Modelos Matemáticos Utilizando a Metodologia de Rakhmatov-Vrudhula Estimação dos Parâmetros Utilizando a Metodologia proposta por Gauss Validação dos Modelos Matemáticos a partir da Metodologia proposta por Gauss Análise Comparativa entre as Metodologias adotadas na Estimação dos Parâmetros Determinação da Sequência das Correntes de Descarga para a Estimação dos Parâmetros Conclusões 71 Referências Bibliograficas 74 A Lista das Publicações Relacionadas com a Dissertação 76 A.1 Resumos Expandidos Publicados em Anais de Congressos A.2 Trabalhos Completos Publicados em Anais de Congressos A.3 Resumos Publicados A.4 Artigo Submetido

15 Capítulo 1 Apresentação da Dissertação 1.1 Introdução Nas últimas décadas tem-se acompanhado um significativo crescimento na utilização de dispositivos móveis, como por exemplo telefones celulares, câmeras digitais, notebooks, tablets entre outros. Este crescimento se deve, em grande parte, ao surgimento de novas tecnologias tais como Microelectromechanical systems (MEMS) e a comunicação wireless que minimizaram o custo da produção destes dispositivos aumentando, desta forma, seu uso. Estes dispositivos móveis podem ser encontrados nas mais diversas áreas, tais como, indústria, comércio, educação, lazer, saúde, segurança, entre outras. Na sua grande maioria, os dispositivos móveis, necessitam de uma bateria para seu funcionamento, geralmente carregável, esta bateria tem como função principal fornecer energia ao sistema, fazendo com que os dispositivos consigam desempenhar as funções a eles atribuídas. Neste contexto, os dispositivos móveis estão limitados a um tempo de vida, que é por definição o tempo em que a bateria demora para atingir um determinado nível de capacidade de carga, este nível é conhecido como nível de CutOff [1,4,6]. Quando a bateria atinge o nível de CutOff as reações eletroquímicas, que são responsáveis pelo fornecimento de energia ao sistema, cessam, e consequentemente, a bateria não consegue mais fornecer energia ao sistema, e neste momento que a bateria é considerada descarregada. Nos últimos anos, diversos estudos mostram que o processo de descarga de uma bateria é não-linear no tempo [7], isto é, uma corrente de descarga sofre efeitos não-lineares que influenciam diretamente na capacidade da bateria. Os dois principais efeitos não-lineares, que influenciam na predição do tempo de vida de uma bateria, são o efeito da taxa de capacidade e o efeito de recuperação. O efeito de taxa de capacidade é definido pela dependência entre a capacidade da bateria e a taxa em que a mesma é descarregada. Já o efeito de recuperação ocorre no momento em que a corrente de descarga, aplicada a bateria, é reduzida significativamente. É a partir desde efeito que ocorre a recuperação da 4

16 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 5 capacidade "perdida" que resulta em um acréscimo no tempo de vida da mesma. Neste contexto, surge a importância de possuir um método que seja capaz de predizer o tempo de vida de uma bateria, bem como, todo o comportamento dinâmico do sistema. Atualmente, uma das forma de predizer o tempo de vida de uma bateria, é através da utilização de modelos matemáticos [2, 7]. Na literatura encontram-se vários modelos matemáticos que tem por objetivo determinar o tempo de vida de uma bateria, dentre estes modelos pode-se citar dois modelos que são considerados simples, o Modelo Linear e a Lei de Peukert. Estes dois modelos não conseguem capturar todos os efeitos nãolineares que ocorrem em uma corrente de descarga [2, 3, 6, 7], portanto a precisão destes modelos podem ficar prejudicada. Neste contexto, surge a necessidade de utilizar modelos que consigam descrever tais efeitos, e assim obter uma melhor precisão. Na literatura são apresentados vários outros modelos matemáticos, mais complexos, que os modelos citados anteriormente, que levam em consideração os efeitos não-lineares. Atualmente os modelos matemáticos considerados mais precisos são os Modelos Eletroquímicos, sendo inclusive utilizados como referencia nas comparações entre modelos matemáticos, porém estes tipos de modelos possuem uma difícil implementação, devido a grande quantidade de parâmetros que precisam ser definidos [2, 4]. Existem também modelos matemáticos mais simples, quando comparado ao modelo eletroquímico, que também levam em considerações os efeitos não-lineares, agregando acurácia e facilidade na implementação, são exemplos desta classe de modelos, os modelos Elétricos, os modelos Estocásticos e os modelos Analíticos. Neste trabalho, inicialmente, é apresentado um estudo sobre os diferentes modelos matemáticos que são utilizados para predizer o tempo de vida de uma bateria, onde é dado uma ênfase maior aos modelos analíticos, que utilizam um conjunto reduzido de equações para modelar as principais propriedades da bateria tornando-os fáceis de utilizar e computacionalmente mais flexíveis e eficientes. Dentre os modelos analíticos estudados, neste trabalho, será utilizado o Modelo Analítico de Difusão de Rakhmatov-Vrudhula, o Modelo Linear e a Lei de Peukert, estes serão implementados na ferramente computacional Matlab, objetivando obter resultados a partir destas simulações e após realizar uma análise dos resultados, objetivando determinar o modelo analítico mais indicado para predizer o tempo de vida de uma bateria. Porém para realizar as simulações computacionais, é necessário primeiramente estimar os parâmetros dos modelos, esta estimação é realizada a partir de um conjunto de curvas de descargas, obtidas em ensaios realizados em uma plataforma de teste. Os modelos matemáticos foram validados a partir de ensaios utilizando-se baterias reais, no caso deste trabalho foram utilizadas baterias de lition-íon modelo BL-5F que equipam telefones celulares da marca Nokia modelo N95.

17 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 6 Na continuidade do estudo ainda foram comparadas duas metodologias, que utilizam a técnica de estimação dos Mínimos Quadrados, para a estimação dos parâmetros dos modelos matemáticos avaliados. A primeira metodologia avaliada foi proposta por Rakhmatov- Vrudhula e a segunda metodologia é proposta por Gauss. Ambas metodologias serão simuladas computacionalmente e seus resultados serão validados a partir de ensaios realizados em uma plataforma de teste objetivando a apresentação da metodologia e do modelo que consegue predizer com maior precisão o tempo de vida de uma bateria que alimenta um dispositivo móvel. O restante deste capítulo está organizado da seguinte forma. Na Seção 1.2 é apresentada a motivação que impulsionou a realização deste trabalho. Na Seção 1.3 são apresentados os objetivos, geral e específicos, desta dissertação. As contribuições são apresentadas na Seção 1.4. E, finalmente, na Seção 1.5 é apresentada a estrutura deste documento. 1.2 Motivação Com o crescente aumento da utilização dos dispositivos móveis, estes dispositivos passam a ser encontrados nas mais diversas áreas. Atualmente, podem ser utilizadas no entretenimento, no trabalho, na segurança, na saúde, entre outras. Cada vez mais estes dispositivos estão incorporados ao cotidiano das pessoas, muitas vezes sendo indispensáveis uma vez que permitem o acesso a dados, noticias, , entre outras informações, em qualquer lugar a qualquer momento. Neste contexto a mobilidade permitida pelos dispositivos móveis deixa de ser uma facilidade tornando-se uma necessidade para muitos usuários. A grande maioria dos dispositivos móveis, em virtude de sua natureza, não possuem uma conexão direta com a rede elétrica e consequentemente suprem sua necessidade de energia a partir da utilização de baterias. Surge neste fato um desafio, atual, que é como mensurar o tempo que cada dispositivo móvel irá manter-se operacional a partir da capacidade da bateria que o alimenta. Um dos métodos conhecidos para a predição do tempo de vida de uma bateria, é a utilização de modelos matemáticos que simulam a descarga de energia de uma bateria. Atualmente, pode-se encontrar diferentes modelos matemáticos na literatura, dos mais simples aos mais complexos, são exemplos destes os modelos eletroquímicos, os modelos elétricos, os modelos estocásticos e os modelos analíticos. Porém não são todos os modelos matemáticos que conseguem predizer o tempo de vida adequadamente, pois durante uma corrente de descarga, a bateria sofre efeitos nãolineares que podem afetar significativamente sua capacidade. Neste contexto, destaca-se

18 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 7 a importância de utilizar um modelo matemático que possua um bom nível de precisão, que considere os efeitos não-lineares, e que ao mesmo tempo seja fácil de ser utilizado. Neste contexto o presente trabalho objetiva investigar, a partir de uma análise comparativa, qual o modelo matemático é mais indicado para predizer o tempo de vida de uma bateria que alimenta um dispositivo móvel. Além de propor uma nova metodologia a ser utilizada na estimação de parâmetros dos modelos avaliados objetivando melhorar a facilidade de uso destes modelos matemáticos. 1.3 Objetivos Nesta seção são apresentados os objetivos que nortearão o presente trabalho. Para facilitar a compreensão, optou-se em dividi-los em Objetivo Geral e Específicos, os quais são detalhados na sequência Objetivo Geral O Objetivo geral deste trabalho é estudar um conjunto de modelos analíticos e avalia-los com o objetivo de determinar o modelo matemático mais indicado para realizar a predição do tempo de vida de uma bateria Objetivos Específicos Realizar uma revisão bibliográfica dos diferentes modelos matemáticos utilizados na predição do tempo de vida de uma bateria utilizadas em dispositivos móveis, dando ênfase aos modelos analíticos; Realizar a descrição matemática dos modelos analíticos e implementa-los na ferramenta computacional Matlab; Realizar ensaios na plataforma de teste, objetivando criar um conjunto de dados experimentais que possibilitem a comparação com as simulações computacionais dos modelos estudados; Estimar os parâmetros dos modelos matemáticos, através de duas metodologias, uma proposta por Rakhmatov-Vrudhula e outra proposta por Gauss; Simular os modelos matemáticos a partir de uma ferramenta computacional, utilizando os parâmetros obtidos, por cada metodologia, e compara-los com os dados experimentais;

19 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 8 Analisar os resultados obtidos pelos modelos matemáticos, objetivando determinar o modelo que obtém o melhor desempenho na predição do tempo de vida de uma bateria; Determinar a melhor metodologia utilizada para estimar os parâmetros, e verificar a quantidade mínima de curvas de descargas necessárias para realizar esta estimação. 1.4 Contribuições Este trabalho, diferentemente dos trabalhos similares encontrados na literatura, faz uso de dados reais para realizar uma analise comparativa de modelos analíticos utilizados para predizer o tempo de vida de uma bateria. Os dados utilizados na análise foram obtidos a partir de uma plataforma de teste que simula a descarga de energia de uma bateria real. Os modelos matemáticos analisados, neste trabalho, foram validados a partir de correntes de descargas constantes e variáveis aplicadas em uma bateria real. Outra contribuição deste trabalho, é disponibilizar uma nova metodologia para ser utilizada na estimação dos parâmetros dos modelos avaliados. Esta nova metodologia foi aplicada, juntamente com o método de mínimos quadrados, para estimar os parâmetros dos modelos simulados. A aplicação da metodologia proposta reduz de forma significativa o número de curvas de descargas necessárias para a realização da estimação dos parâmetros para os modelos simulados. 1.5 Estrutura do Documento Este trabalho propõe o estudo e avaliação dos modelos analíticos de descarga de bateria na predição do seu tempo de vida, comparando os resultados de simulação dos modelos com os obtidos a partir de uma plataforma experimental. Para tanto, este trabalho está organizado da seguinte forma: No Capítulo 2 são apresentadas as principais propriedades e características de uma bateria, os tipos de baterias, bem como as tecnologias existentes nelas. No Capítulo 3 são apresentados os modelos matemáticos utilizados neste trabalho, bem como, a apresentação de toda a modelagem matemática realizada em cada modelo. No Capítulo 4 é apresentado o ambiente de simulação, o funcionamento da plataforma de teste, utilizada na obtenção das curvas de descargas, a metodologia adotada nos ensaios experimentais, a descrição do Método dos Mínimos Quadrados, utilizado na

20 Capítulo 1. Apresentação da Dissertação 9 estimação dos parâmetros dos modelos analisados, os ensaios das curvas de descargas constantes na plataforma de teste, utilizadas para estimar os parâmetros, bem como os parâmetros estimados pela metodologia proposta por Rakhmatov-Vrudhula. No Capítulo 5 são apresentados os ensaios realizados na plataforma de testes, para correntes de descargas variáveis e constantes. Serão apresentadas as validações dos modelos matemáticos analisados, utilizando os parâmetros obtidos pela metodologia de Rakhmatov-Vrudhula. Também será apresentada uma nova metodologia para se estimar os parâmetros dos modelos. Com estes novos parâmetros também serão validados os modelos matemáticos. Após a validação dos modelos com o auxílio das duas metodologias, será apresentada uma análise comparativa entre as metodologias, objetivando determinar qual a melhor metodologia adotada na estimação dos parâmetros. Por últimos será apresentada a melhor sequência de curvas de descargas utilizada na estimação dos parâmetros dos modelos. E finalmente no Capítulo 6 são apresentadas as considerações finais deste trabalho.

21 Capítulo 2 Revisão Bibliográfica Neste capítulo será feito uma breve revisão dos conceitos básicos relacionados à bateria, com o objetivo de facilitar a compreensão desta dissertação. Também será feita uma revisão bibliográfica dos diferentes tipos de baterias utilizadas atualmente, e dos modelos matemáticos encontrados na literatura que podem auxiliar na tarefa de predizer do tempo de vida de baterias em dispositivos móveis. 2.1 Baterias Uma bateria, geralmente, é composta por uma ou mais células eletroquímicas, ligadas em série ou em paralelo. Nestas células a energia química armazenada é convertida em energia elétrica através de uma reação eletroquímica. Figura 2.1: Esquema de uma célula eletroquímica [2]. Na Figura 2.1 é apresentada como uma célula eletroquímica é constituída. Cada célula é formada por dois eletrodos que são condutores metálicos por onde uma corrente elétrica 10

22 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 11 entra ou sai do sistema, e um eletrólito que é um condutor de eletricidade, sólido ou líquido. Os eletrodos são divididos entre o ânodo, que tem polaridade negativa e o cátodo que tem polaridade positiva, ambos são separados por um eletrólito [2, 4, 7]. Quando está ocorrendo um descarregamento (i.e., consumo de energia), o ânodo libera elétrons ao sistema e o cátodo recebe elétrons do sistema, já quando a bateria está sendo carregada o processo ocorre de forma inversa. Os elétrons são resultados de reações eletroquímicas e também são chamadas de espécies eletroativas [2 4]. A bateria possui duas importantes propriedades, a Capacidade, que é medida em Ampére-hora (Ah) e a Tensão, que é medida em Volts (V ). O produto destas duas grandezas fornece a quantidade de energia armazenada na bateria. A capacidade da bateria [4] pode ser expressa de três maneiras: 1. Capacidade teórica: é baseada na quantidade de energia armazenada na bateria, é um limite superior à energia que pode ser extraída na prática; 2. Capacidade padrão: é a energia que pode ser extraída quando a bateria é descarregada sob condições normais de carga; 3. Capacidade real: é a quantidade de energia que a bateria fornece sob uma determinada carga. Vale salientar que a capacidade real pode exceder a capacidade padrão da bateria, mas não pode exceder a capacidade teórica da mesma. Para uma bateria ideal, a tensão deve permanecer constante durante todo o tempo de descarga, caindo então bruscamente até zero. Por exemplo, teoricamente, uma bateria de 56Ah, deveria fornecer 28A por 2 horas, considerando uma corrente de descarga constante. Na prática não é isto que ocorre, pois a descarga não é constante no tempo, ou seja, a descarga tem características não-lineares no tempo e com isso ocorrem efeitos não-lineares que interferem no tempo de vida da bateria [7]. O tempo de vida da bateria é limitada ao Nível de C utoff, que é por definição o limite inferior de carga (i.e., capacidade) em que a bateria consegue fornecer energia (i.e., tensão) para o funcionamento do sistema. Quando a bateria atinge este nível, a mesma é considerada descarregada, pois as espécies eletroativas existentes em seu sistema não são capazes de fornecer energia ao sistema através de reações eletroquímicas Características não-lineares Durante uma descarga (i.e., consumo de energia), ocorrem efeitos não-lineares que podem interferir no tempo de vida da bateria. Dentre estes, pode-se citar os principais efeitos

23 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 12 não-lineares, que são conhecidos como Efeito de Recuperação e o Efeito da Taxa de Capacidade. A seguir serão apresentado estes efeitos não-lineares, suas caracteristicas e a influência que cada um pode ter no tempo de vida dos dispositivos móveis. (A) Efeito de Recuperação O efeito de recuperação [2, 4, 7], é definido pela reorganização de elétrons no eletrólito durante um período em que a corrente de descarga da bateria sofre uma redução significativa ou quando existem períodos de descanso. Este efeito faz com que a bateria recupere a capacidade "perdida" durante os períodos de alta descarga. Desta forma, a capacidade efetiva é aumentada e o tempo de vida da bateria é prolongado. Na Figura 2.2 são apresentados os diferentes estados de operação de uma bateria, bem como o efeito de recuperação. Figura 2.2: Estados de operação da bateria [3]. Sabendo que os processos são idênticos nos dois eletrodos, então na Figura 2.2 é apresentada uma visão simplificada das operações da bateria de acordo com o modelo de difusão. Também são mostradas as diferentes etapas de descarregamento da bateria. Como pode ser observada na Figura 2.2(A), quando a bateria está totalmente carregada,

24 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 13 a concentração de espécies eletroativas é constante por toda a largura (w) do eletrólito. Na Figura 2.2(B) é aplicado uma corrente de descarga na bateria, neste momento ocorre o efeito da taxa de capacidade. Quando está ocorrendo este descarregamento, a redução da concentração de espécies próximas ao eletrodo é reduzida e com isto é formado um gradiente de concentração, onde o mesmo faz com que as espécies eletroativas se espalhem por todo o eletrólito, fazendo com que a capacidade efetiva da bateria seja diminuída. Porém quando há uma redução de consumo de energia ou até mesmo um desligamento do sistema, a bateria apresenta o efeito de recuperação, onde gradualmente as espécies se distribuem de maneira uniforme por todo eletrólito fazendo com que o gradiente de concentração, formado no momento em que há um descarregamento, seja nulo, e por consequência o tempo de vida da bateria é incrementado, como pode ser observado na Figura 2.2(C). É necessário salientar que esta nova concentração de espécies será sempre inferior a concentração anterior a aplicação da carga. Na Figura 2.2(D) são apresentadas as espécies eletroativas reorganizadas, neste momento já aconteceu o efeito de recuperação. Finalmente, quando a concentração de espécies eletroativas no eletrodo for menor que o nível de C utoff, a bateria é considerada descarregada, apesar de ainda haver especies eletroativas no eletrólito, como pode ser observado na Figura 2.2(E) [2,4,7]. (B) Efeito da Taxa de Capacidade O efeito da taxa de capacidade [4, 7] é definido pela dependência entre a capacidade da bateria e a taxa em que a mesma é descarregada. Quando há uma taxa de descarga alta (i.e., corrente de descarga alta), a capacidade efetiva da bateria é baixa, pois neste processo de descarga não há tempo para que ocorra uma reorganização dos elétrons no eletrólito (i.e., o efeito de recuperação), quando isto ocorre o eletrólito fica com cargas sem ser utilizadas, e por consequência o tempo de vida da bateria diminui. Porém, ocorrendo uma taxa de descarga baixa (i.e., corrente de descarga baixa), a capacidade efetiva da bateria é alta, pois o efeito de recuperação age com maior frequência no descarregamento da bateria, fazendo com que os elétrons se reorganize por todo o eletrólito, ocorrendo este processo mais cargas estarão disponíveis para a utilização, e assim o tempo de vida da bateria aumenta. 2.2 Tipos de Baterias Nesta seção serão apresentadas as diferentes tecnologias de baterias, que tem sido desenvolvida ao longo dos anos, devido a crescente procura por baterias recarregáveis com menores dimensões, mais leves e com maior capacidade para dispositivos móveis. A seguir serão apresentadas as baterias recarregáveis mais populares, a Níquel Cádmio,

25 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 14 Níquel-metal-hidreto, Lithium-Ion, Alcalina recarregável e a Lithium Polymer [4, 8]. Níquel Cádmio: (NiCd), foi o primeiro modelo de bateria recarregável a ser desenvolvida. As baterias NiCd tem a vantagem de serem baratas, por outro lado, possuem menor tempo de vida útil, podem sofrer com o "efeito memória" e possuem baixa densidade de energia. Este tipo de bateria está em desuso por ser muito poluente, já que em sua composição é usado o cádmio, um elemento químico altamente tóxico e prejudicial ao meio ambiente [4]. Níquel-metal-hidreto: (Ni-MH), esta é uma tecnologia relativamente nova, apresenta características operacionais semelhantes às baterias NiCd, a única diferença é o uso de hidrogênio. Este tipo de bateria tem uma densidade de energia maior que as baterias NiCd, porém, as mesmas têm ciclo de vida mais curto, são mais caras e são ineficientes operando com altas taxas de descarga [4]. Lithium-Ion: (Li-íon), as baterias com este tipo de tecnologia são as mais usadas atualmente em dispositivos móveis, devido ao longo tempo de vida das mesmas. As baterias de Li-íon armazenam o dobro de energia em relação à Ni-MH. A principal vantegam na utilização das baterias Li-íon, é que elas não sofrem com o efeito memoria (i.e., não vicia). Por outro lado elas podem ser perigosas, podendo até explodir quando utilizadas indevidamente. Alcalina recarregável: a tecnologia reutilizável alcalina manganês foi desenvolvida como uma alternativa de baixo custo. No entanto a densidade de energia e ciclo de vida são comprometidos. Embora a densidade de energia inicial seja superior à NiCd, ela tem uma redução do ciclo de vida. Lithium Polymer: esta tecnologia emergente permite baterias ultrafinas (menos de 1mm de espessura), são esperadas delas uma melhor relação a tecnologia da lítion íon em termos de densidade de energia e segurança, porém elas são caras para fabricar, e enfrentam desafios no gerenciamento térmico interno. Na figura (2.3) é apresentada o desenvolvimento das tecnologias de baterias recarregáveis e comparando-os em termos de densidade de energia juntamente com o ano em que cada tecnologia foi introduzida no mercado. 2.3 Modelos Matemáticos de Baterias Os modelos matemáticos de baterias capturam as caracteristicas reais das baterias, e podem ser usados para prever o seu comportamento sob diversas condições de cargas/descarga. Os modelos são ferramentas úteis para projetistas de dispositivos móveis alimentados por baterias, pois permite a análise do comportamento de descarga da bateria, sob diferentes escolhas de projetos.

26 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 15 Figura 2.3: Densidade de energia e ano de implantação comercial das tecnologias de bateria [4]. Atualmente, na literatura, são encontrados alguns modelos analíticos de baterias, que conseguem predizer o tempo de vida das mesmas, dentre eles pode-se citar o Modelo Linear e a Lei Peukert, estes dois modelos, não conseguem descrever precisamente o comportamento da bateria durante uma descarga, pois não levam em consideração os efeitos não-lineares, (i.e., efeito da taxa de capacidade e o efeito de recuperação), no cálculo do tempo de vida das baterias. Além destes dois modelos, existem outros modelos com diferentes características e complexidades. Entre estes pode-se citar os Modelos Eletroquímicos, os Modelos Elétricos e os Modelos Estocásticos, que serão breviamente descritos a seguir Modelos Eletroquímicos Os Modelos Eletroquímicos [2, 4, 9, 10] baseiam-se nos processos químicos que ocorrem na bateria. Estes modelos apresentam maior precisão, porém a sua descrição detalhada torna-os complexo e de difícil implementação. Doyle, Fuller e Newman desenvolveram um modelo para células de lítio e lítio-íon, composto por seis equações diferenciais parciais (EDPs) não-lineares. Na resolução destas equações é possível obter a tensão, a corrente em função do tempo, as fases de potencial no eletrólito e eletrodo, concentração salina, a taxa de reação e densidade de corrente no eletrólito em função do tempo e da posição na célula [2]. Atualmente, existe um simulador disponível, gratuitamente, na Internet, denominado

27 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 16 Dualfoil, que utiliza este modelo para simular baterias de lítio-íon. Este simulador consegue computar todas as propriedades da bateria que mudam ao longo do descarregamento, e a partir dos dados de saída, é possivel predizer o tempo de vida dos dispositivos móveis. Para utilizar este simulador, o usuário deve possuir um bom conhecimento da bateria, devido à quantidade de parâmetros que devem ser definidos, como por exemplo, a geometria do eletrodo, concentração do eletrólito, coeficiente de difusão, a espessura dos eletrodos e a concentração inicial de sal no eletrólito. O Dualfoil tem uma boa precisão, e por isso, é frequentemente usado na comparação com outros modelos, em vez de utilizar resultados experimentais para a verificação da precisão de outros modelos matemáticos [2, 4] Modelos Elétricos Os modelos elétricos são modelos de baterias que podem incluir carga constantes e cargas variáveis, estes modelos são capazes de representar a taxa de capacidade e os efeitos térmicos da bateria, porém, alguns modelos elétricos não consideram o efeito de recuperação [4, 11], uma vantagem de usar este modelo é que o mesmo apresenta simulação de fácil entendimento. A maioria das simulações são baseadas no modelo SPICE, (i.e., um programa de simulação), de uma rede acoplada para representar a bateria. Um dos primeiros modelos elétricos foi desenvolvido por HAGEMAN [2], que usou um circuito simples PSpice, que considera três tipos de baterias, níquel-cádmio, chumbo-ácido e alcalinas. A essência dos modelos para os diferentes tipos de baterias é o mesmo, ou seja: Um capacitor representa a capacidade da bateria; Uma taxa de descarga normalizadora determina a perda de capacidade em altas correntes de descargas; Um circuito para o consumo (descarga) da capacidade da bateria; Uma tabela de pesquisa da tensão versus estado da carga; Um resistor representando a resistência da bateria. Na Figura (2.4) é apresentada a base dos circuitos utilizados para modelar uma célula arbitrária. Pequenas mudanças têm de ser feitas para completar o modelo para um determinado tipo de célula. Quando comparado ao Modelo Eletroquímico, as simulações computacional do modelo são mais simples, porém são menos precisas. Apesar disto, ainda exigem algum esforço para a correta configuração dos circuitos elétricos, especialmente para as tabelas de pesquisa que exigem muitos dados experimentais sobre o comportamento da bateria [2].

28 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 17 Figura 2.4: Esquema básico funcional abrangendo todos os tipos de células modeladas [2] Modelos Estocásticos Os Modelos Estocásticos conseguem descrever o comportamento de descarga da bateria utilizando diferentes correntes de descarga, podendo ser constante ou variáveis. Este tipo de modelo tem por objetivo descrever a bateria de uma forma mais abstrata, do que os modelos elétricos e os modelos eletroquímicos. Porém efeito da taxa de capacidade e o efeito de recuperação são descritos como processos estocásticos, isto é, aleatórios [2, 12]. Neste modelo a bateria é representada por um número finito de unidades de carga e o comportamento de descarga da bateria é modelado utilizando um tempo discreto no processo transitório estocástico, este processo evolui ao longo do tempo, e é dividido em tamanhos iguais, o estado da bateria é controlado pelo número de unidades de carga restantes. Em cada intervalo de tempo, a corrente média de descarga é medida e usada para determinar o número de unidade de carga consumida. Quando está média for diferente de zero, o número de unidades de carga drenada é obtido através de uma tabela de pesquisa ou até mesmo de um gráfico. No entanto, se em um intervalo, nenhuma corrente é drenada da bateria, a mesma recupera certo número de unidades de carga, simulando assim o efeito de recuperação. Para obtenção do número exato de unidades de cargas recuperadas é utilizado uma função de probabilidade de densidade exponencial decrescente, que é baseado no estado da carga da bateria, e nos coeficientes, que dependem da bateria específica, bem como as características de descarga. São exemplos de modelos estocásticos, os modelos de Chiasserini e Rao e o modelo KiBaM Modificado, que serão apresentados a seguir.

29 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 18 Modelo de Chiasserini e Rao Entre 1999 e 2001, Chiasserini e Rao desenvolveram o primeiro modelo de bateria estocástico, no qual é baseado na modelagem da bateria em tempo discreto da cadeia de Markov [2]. Foram desenvolvidos dois modelos para uma bateria de um dispositivo móvel para transmissão de pacotes de comunicação. O primeiro modelo é considerado o mais simples, onde a bateria é descrita por um tempo discreto da cadeia de Markov com N + 1 estados, onde são numerados de 0 a N. O número de estados representam o número de unidades de carga disponíveis na bateria. O segundo modelo é uma versão estendida do primeiro modelo e também é descrito pela cadeia de Markov discreta com N + 1 estados. Porém neste modelo mais de uma unidade de carga pode ser consumida em qualquer etapa do tempo, com um número máximo de unidades de carga M(M N). Desta maneira, mais etapas de consumo de energia podem ser modeladas. Outro novo aspecto é que existe uma probabilidade diferente de zero de permanecer no mesmo estado. Isto significa que nenhum consumo ou recuperação ocorre durante o passo de tempo. A principal propriedade investigada por Chiasserini e Rao é o ganho (G), onde o mesmo é obtido por uma descarga pulsante em relação a uma descarga constante. O ganho é denotado como uma função de número médio de pacotes que chegam a um determinado período de tempo e para diferentes N. O mesmo pode aumentar quando a carga é reduzida, devido a maior probabilidade de recuperação. O modelo de Chiasserini e Rao dá uma boa descrição qualitativa do comportamento da bateria sob uma descarga pulsante, por outro lado, não está claro o quão bom o modelo é quantitativamente, uma vez que apenas números relativos de tempos de vida são comparados [2]. Modelo KiBaM Modificado Em 2005, Chiasserini e Rao propuseram um modelo estocástico de bateria tendo como base o modelo analítico de bateria Cinético (KiBaM), que foi proposto por Manwell e McGowan [2]. O Modelo KiBaM, foi desenvolvido inicialmente para baterias de chumboácido, mas o novo modelo desenvolvido, o modelo estocástico KiBaM, é usado para modelar uma bateria Ni-MH, e para conseguir modelar este tipo de bateria, foram feitas algumas modificações no modelo. A primeira modificação foi a adição de um fator extra h 2, no termo correspondente ao fluxo de carga da fonte de carga limitada para a fonte de carga disponível, a segunda modificação feita neste modelo foi a adição da possibilidade de recuperação durante períodos não ociosos. Com essas modificações no modelo, chega-se

30 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 19 as seguintes equações dy 1 dt = I + k sh 2 (h 2 h 1 ) dy 2 dt = k sh 2 (h 2 h 1 ) No modelo KiBaM o comportamento da bateria é representado por um tempo discreto transiente no processo Markov. Os estados da cadeia de Markov são representados por três parâmetros (i, j, t). Os parâmetros i e j representam respectivamente os níveis da discretização da fonte de carga disponível e da fonte de carga limitada, e o parâmetro t representa a duração da corrente inativa (i.e., ociosa). Utilizando este modelo para a simulação do tempos de vida e a carga drenada da bateria, o mesmo obtém uma boa precisão [2] Modelos Analíticos Assim como os modelos estocásticos, os modelos analíticos descrevem a bateria em um nível mais elevado de abstração do que os modelos eletroquímicos e os modelos elétricos. As principais propriedades da bateria são modeladas utilizando apenas equações e isto torna este tipo de modelo fácil de usar quando comparado com os modelos eletroquímicos e modelos elétricos [2]. Alguns modelos podem ser usados para calcular o tempo de vida de dispositivos móveis usando cargas constantes ou cargas variáveis. Estes modelos são flexíveis e podem ser facilmente configurados para baterias específicas, são computacionalmente eficientes, requerendo avaliação de simples expressões analíticas [4]. Nesta subseção serão apresentados alguns modelos analíticos encontrados na literatura, dos mais simples, como o Modelo Linear e a Lei de Peukert, até modelos mais complexos, como o Modelo Analítico de Difusão de Rakhmatov-Vrudhula e o Modelo Cinético de Manwell e McGowan [6, 7]. Um dos modelos analíticos mais simples, encontrado na literatura, para a predição do tempo de vida de baterias é o modelo Linear [2, 3, 7], este considera a bateria como um recipiente linear de corrente, não considerando os efeitos não-lineares que ocorrem durante uma descarga. Outro exemplo de modelo simples é a Lei de Peukert [2,6,13], que consegue capturar a relação não-linear entre a vida útil da bateria e a taxa de descarga, mas não considera o efeito de recuperação. Nota-se que estes dois modelos, não levam em consideração todos os efeitos não-lineares que ocorrem durante uma descarga de uma bateria, um dos efeitos que não é considerado é o efeito de recuperação, como visto anteriormente, este influencia na capacidade da bateria.

31 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 20 Representando os modelos analíticos mais complexos tem-se, o Modelo Cinético de Manwell e McGowan e o Modelo Analítico de Difusão de Rakhmatov-Vrudhula, estes dois modelos conseguem capturar os efeitos não-lineares que ocorrem durante uma corrente de descarga. O Modelo Cinético de Manwell e McGowan, também é conhecido como KiBam [2,7,14], é chamado de cinético porque utiliza um processo cinético químico em seu fundamento, isto é, estuda a velocidade das reações químicas dos processos químicos e os fatores que as influenciam. O KiBam é um modelo de bateria muito intuitivo. No modelo a carga aplicada na bateria é distribuída através de duas fontes: a fonte de carga disponível e a fonte de carga limitada, conforme pode ser observado na Figura 2.5. Figura 2.5: Modelo de duas fontes do Modelo Cinético de baterias [1]. Na Figura 2.5 a carga aplicada na bateria é distribuída através de duas fontes: a fonte de carga disponível e a fonte de carga limitada. Uma fração c da capacidade total é posta na fonte da carga disponível e uma fração 1 c na fonte da carga limitada. A fonte da carga disponível é responsável pelo abastecimento dos elétrons para o carregamento i(t), e a fonte da carga limitada é responsável pelo fornecimento de elétrons para a fonte da carga disponível. A taxa de fluxo de carga entre as duas fontes dependem da diferença da altura h 1 da fonte da carga disponível e a altura h 2 da fonte da carga limitada e de um parâmetro k. As alturas das fontes são dadas por: h 1 = y 1 /c e h 2 = y 2 /1 c. A mudança da carga nas duas fontes é dada pelo sistema de equações diferenciais { dy1 dt = i(t) + k(h 2 h 1 ) dy 2 dt = k(h 2 h 1 ) onde tem-se as condições iniciais y 1 (0) = c C e y 2 (0) = (1 C) C, e C representa a capacidade total da bateria, a mesma é considerada descarregada quando não há mais carga na fonte da carga disponível.

32 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica 21 Quando é aplicada uma corrente de descarga na bateria a carga diponível diminui, isto é, são liberados elétrons para o sistema, e com isso a diferença das altura h 1 e h 2 aumenta. Porém quando a corrente de descarga é nula, a carga da fonte limitada flui para a fonte de carga disponível até que as alturas h 1 e h 2 sejam novamente iguais, fazendo com que mais carga se torne disponível ao sistema, este procedimento é conhecido por efeito de recuperação. Neste modelo também é considerado o efeito da taxa de capacidade, pois a partir de uma corrente de descarga alta, a fonte da carga disponível será rapidamente reduzida, refletindo em um tempo menor para a carga da fonte limitada fluir para a disponível, e como consequência a capacidade da bateria é reduzida. O KiBam foi desenvolvido para modelar grandes baterias de chumbo-ácido, e as equações do modelo não dão suporte às baterias utilizadas em dispositivos móveis, como as baterias Li-íon [2]. O Modelo Analítico de Difusão de Rakhmatov-Vrudhula é baseado na difusão dos íons no eletrólito, e foi desenvolvido por Rakhmatov e Vrudhula em 2001 [2, 7]. O modelo descreve a evolução da concentração das espécies eletroativas no eletrólito para predizer o tempo de vida de uma bateria a partir de um descarregamento. A difusão é considerada como sendo uni-dimensional em uma região de comprimento w. C(x, t) é a concentração do material ativo no tempo t [0, L] e a distância x [0, w] a partir do eletrodo. No modelo a condição inicial é representada pela bateria totalmente carregada, a bateria é considerada carregada quando a concentração é constante através do comprimento do eletrólito, isto é, (C(x, 0) = C ), onde C representa a capacidade inicial da bateria e x [0, w]. A bateria é considerada descarregada quando a concentração na superfície do eletrodo, C(0, t), cai abaixo do nível C utoff. O modelo é descrito pelas Leis de Fick [6,15], onde o modelo é dado por um sistema de Equações Diferenciais Parciais (EDP s). O modelo possui dois parâmetros empíricos, α e o β, onde o parâmetro α esta relacionado à capacidade da bateria e o parâmetro β esta relacionado ao comportamento não-linear. Para a estimação destes parâmetros deve-se usar alguma técnica de estimação, usando dados experimentais da bateria estudada. No próximo capítulo, os modelos analíticos, isto é, Modelo Linear, Lei de Peukert e de Rakhmatov- Vrudhula serão descritos com maior nível de detalhadamento, em virtude de serem utilizados nesta dissertação para a realização de uma análise comparativa com experimentos reais, objetivando verificar qual destes modelos é o mais adequado para a predição do tempo de vida de baterias que alimentam dispositivos móveis. Esta análise comparativa não se aplica ao modelo analítico Cinético, em virtude do mesmo ter sido originalmente desenvolvido para modelar baterias de chumbo-ácido, as quais não são utilizadas em dispositivos móveis.

33 Capítulo 3 Descrição dos Modelos Analíticos Neste capitulo serão apresentados as descrições dos modelos analíticos estudados neste trabalho, que serão usados para a simulação do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis. Na seção 3.1 será apresentado a descrição do Modelo Linear, na seção 3.2 é descrito a Lei de Peukert e por último na seção 3.3 será apresentada a descrição do Modelo Analítico de Difusão de Rakhmatov-Vrudhula. 3.1 Descrição do Modelo Linear Nesta seção é apresentado o modelo analítico mais simples e mais referenciado na literatura, o Modelo Linear [2,3,7]. Este modelo considera a bateria como um recipiente linear de corrente, desta maneira não considera os efeitos não-lineares que ocorrem durante a descarga da bateria, por este motivo o modelo não possui uma boa precisão na predição do tempo de vida de uma bateria, pois como visto no capítulo 2 os efeitos não-lineares influenciam na capacidade da bateria, e com isso o tempo de vida da mesma pode sofrer alteração. O Modelo Linear é descrito pela equação 3.1 C = C It d (3.1) onde C representa a capacidade restante da bateria, C representa a capacidade no inicio da operação, I é a corrente de descarga aplicada e t d representa o tempo de duração da corrente. Esta equação é utilizada quando a corrente de descarga I, é constante ou variável, independentemente da corrente de descarga a equação não se altera. 22

34 Capítulo 3. Descrição dos Modelos Analíticos Descrição da Lei de Peukert Outro modelo simples para a predição do tempo de vida de baterias encontrado na literatura é a Lei de Peukert. Diferente do Modelo Linear esta lei leva em consideração parte das propriedades não-lineares da bateria, ela captura a relação não-linear entre a vida útil da bateria e a taxa de descarga, porém não consegue representar o efeito de recuperação [2, 6, 7, 13]. Para o cálculo do tempo de vida de baterias, utilizando carga constante, utiliza-se a equação (3.2), L = a (3.2) I b onde I é a corrente de descarga, a e b são parâmetros que precisam ser estimados, com o auxílio de dados experimentais, e L é o tempo de vida aproximado da bateria. Porém muitos dispositivos móveis funcionam com cargas variadas, isto é, a carga varia no decorrer do tempo, para melhor entendimento na Figura 3.1, é representado uma corrente de descarga variável. Figura 3.1: Representação de um sistema com Cargas Variáveis [1]. Na Figura 3.1 são apresentadas correntes de descargas variáveis, estas correntes são alternadas durante um periodo de tempo, isto é, do tempo t 0 ao tempo t 1 a corrente que age no sistema é a corrente inicial, I 0, já a corrente I 1 age no sistema durante o período

35 Capítulo 3. Descrição dos Modelos Analíticos 24 de tempo t 1 ao tempo t 2. As correntes são alternadas até a bateria ser considerada descarregada, isto é, não consegue mais fornecer energia ao sistema. Neste contexto pode ser citada a equação 3.3, que é a extensão da Lei de Peukert [7], esta extensão pode calcular o tempo de vida usando cargas variáveis, porém considera apenas a média das correntes de descargas. L = a [ n k=1 I k(t k t k 1 ) L ] b (3.3) onde L representa o tempo de vida da bateria, a e b são parâmetros específicos para cada tipo de bateria, I k é a corrente de descarga utilizada durante um período, t k é o tempo inicial da corrente de descarga e t k 1 é o tempo final corrente utilizada. Apesar da equação 3.3 parecer simples, ela não é uma equação tão simples quanto parece, pois tem-se um L na equação dentro de um somatório com n termos, onde t n = L, e para n = 1 a equação 3.3 resume-se para a equação 3.2. Apesar desta extensão da Lei de Peukert conseguir trabalhar com cargas variáveis, o efeito mais importante não é modelado, o efeito de recuperação [2]. 3.3 Descrição do Modelo de Rakhmatov-Vrudhula Nesta seção é apresentado o modelo analítico de difusão de Rakhmatov-Vrudhula que, entre outras características, considera os efeitos não-lineares da bateria [2, 6]. O processo de difusão unidimensional do modelo é descrito pelas leis de Fick dadas pelo sistema de Equações Diferenciais Parciais (EDPs) J(x, t) = D C (x, t) (3.4) x C t (x, t) = D 2 C (x, t) (3.5) x2 onde J(x, t) é o fluxo das espécies eletroativas em função do tempo t e em função de uma distância x do eletrodo, e D é a constante de difusão. Seja C(x, t) a concentração de espécies eletroativas no tempo t [0, L] e na distância x [0, w] do eletrodo. Para uma bateria completamente carregada (i.e., t = 0), a concentração de espécies é constante através do comprimento do eletrólito, proporcionando a seguinte condição inicial C(x, 0) = C (3.6) A bateria é considerada descarregada quando C(0, t) é inferior ao nível de C utoff. De acordo com a Lei de Faraday, o fluxo de espécies na superfície do eletrodo (x = 0), é proporcional à corrente, i(t) (i.e., carga externa aplicada), e o fluxo na outra extremidade

36 Capítulo 3. Descrição dos Modelos Analíticos 25 da região de difusão (x = w) é zero. Com essas considerações, obtém se as seguintes condições de fronteira, para 0 < t < D C x (x, t) x=0 = i(t) vf A (3.7) D C x (x, t) x=w = 0 (3.8) onde A é a área da superfície do eletrodo, F é a constante de Faraday e v é o número de elétrons envolvidos na reação eletroquímica na superfície do eletrodo. Aplicando a Transformada de Laplace e suas definições [16] em (3.5), obtem-se SC(x, S) C(x, 0) = D 2 C (x, S), (3.9) x2 substituindo a condição inicial na equação 3.9 e dividindo a mesma por D, obtem-se uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de 2 a ordem, não-homogênea igual a cuja solução é dada por por C S D C = C D S C(x, S) = k 1 e D x + k 2 e S D x + C S. (3.10) derivando (3.10), tem-se C S x (x, S) = k 1 D e S S D x S k 2 D e D x. (3.11) Aplicando a Transformada de Laplace nas condições de fronteira (3.7) e (3.8) C (0, S) = i(s) x vf AD (3.12) C (w, S) = 0 (3.13) x Substituindo as equações (3.12) e (3.13) na equação (3.11), obtém-se o sistema dado cujas soluções são e k 1 = S D (k 1 k 2 ) = i(s) vf AD k 1 e S D w k 2 e S D w = 0 [ i(s) D e 1 vf AD S k 2 = i(s) D vf AD S SD w e SD w e SD w ]. (3.14) S e D w S. (3.15) e D w e S D w

37 Capítulo 3. Descrição dos Modelos Analíticos 26 Em seguida substituindo as equações (3.15) e (3.14) na equação (3.10), obtém-se a expressão da concentração de espécies eletroativas no domínio de Laplace representada por ( i(s) D vf AD S ) e S D x + S C(x, S) = 1 e D w e 1 SD w e SD w ( ) i(s) D e S (3.16) D w 1 vf AD S SD w e e SD e S D x + C. w S Por outro lado, existe apenas o interesse na concentração de espécies eletroativas na superfície do eletrodo x = 0, ou seja, C(0, S) = C S i(s) vf AD S coth S D D w. (3.17) Aplicando a Transformada de Laplace Inversa na equação (3.17) e a definição de convolução [16], obtém a seguinte expressão ρ(t) = 1 vf A πdc t 0 i(τ) t τ n= e w2 n 2 D(t τ) } {{ } A dτ (3.18) onde ρ(t) = 1 C(0,t) C. No somatório A, quando n = 0, a expressão tem como resultado 1, e quando n for um número negativo, dará o mesmo resultado do que quando n for um número positivo, devido a n estar elevado ao quadrado, então chega-se a seguinte equação ] 1 t ρ(t) = vf A i(τ) [1 + 2 e w2 n 2 D(t τ) dτ (3.19) πdc t τ Definindo 0 n=1 α = vf A πdc ρ(l) β = w D encontra-se a equação geral para o cálculo do tempo de vida de uma bateria α = L 0 i(τ) L τ dτ + 2 n=1 L 0 i(τ) L τ e β2 n 2 (L τ) dτ (3.20) que relaciona o tempo de vida L da bateria, a corrente de descarga i(τ), com os parâmetros a serem estimados α e β Cargas Constantes O modelo analítico de difusão de Rakhmatov-Vrudhula pode calcular o tempo de vida de uma bateria que alimenta um dispositivo móvel, usando cargas constantes ou cargas

38 Capítulo 3. Descrição dos Modelos Analíticos 27 variáveis. Nesta subseção será apresentado o modelo para cargas constantes. Para isto há uma substituição na equação 3.20, onde substitui o i(τ) por I, que representa uma corrente constante durante o tempo, e assim obtém-se a seguinte equação L 1 α = I dτ + 2I 0 L τ }{{} (B) n=1 L 0 e β 2 n 2 (L τ) dτ L τ } {{ } (C). (3.21) Como a equação (3.21) possui duas integrais, (B) e (C), as mesmas serão resolvidas separadamente, a fim de facilitar o cálculo. Cálculo da Integral (B) A integral (B) é dada por (B) = I L 0 1 L τ dτ Resolvendo a integral (B), e fazendo as substituições necessárias, chega-se a seguinte solução onde a equação (3.22) é a solução da 1 a integral. (B) = 2I L (3.22) Cálculo da Integral (C) Considerando o conjunto de expressões y = 1 L τ (P ) = y 2 = 1 L τ dτ = 2 y 3 dy z = βn. Fazendo as substituições acima mensionadas na integral (C), obtém-se (C) = 4I n=1 L 0 e z2 y 1 2 dy. (3.23) y2 Aplicando a integral por partes em (3.23), e alterando os limites de integração, para τ = 0 y = 1 L τ = L y =

39 Capítulo 3. Descrição dos Modelos Analíticos 28 se obtém (C) = 4I n=1 z Le 2 L 2z 2 z2y2 e 1 L } {{ } (D) dy. (3.24) Sabendo que a Função Erro Complementar (ERFc) [17], é descrita por π 2z Φ(zx) = e z2 y 2 dy. (3.25) x Pode-se observar a integral (D) da equação (3.24) é igual a ERFc, então substitui-se (3.25) em (3.24) (C) = 4I [ Le β 2 n 2 n=1 A ERFc tem uma aproximação definida em [6, 18] L βn ( )] βn πφ. (3.26) L Φ(x) e x2 ( ). (3.27) π x x + x 2 +π π π Substituindo (3.27), que é aproximação de ERFc, em (3.26), obtém-se a solução da integral (C) (C) = 4I ( L β 2 n 2 πe n=1 e β 2 n 2 L L π πl β 2 n 2 ). (3.28) Substituindo (3.22) e (3.28) em (3.21), obtém-se a solução geral para cargas constantes α = 2I ( L Cargas Variáveis n=1 e β 2 n 2 β 2 n 2 πe L L π πl β 2 n 2 ). (3.29) Nesta subseção será apresentado a modelagem matemática para cargas variáveis. Para conseguir representar as cargas variáveis, usa-se uma função aproximada para i(τ) i(τ) = I k 1 [U(τ t k 1 ) U(τ t k )]. (3.30) k=1 Considerando que U(τ) é uma função degrau, então tem se a seguinte consideração U(τ) = Substituindo (3.30) em (3.20), obtém-se α = +2 n=1 n k=1 L k=1 0 L 0 { 1 se t 0 0 se x < 0. I k 1 L τ [U(τ t k 1 ) U(τ t k )] dτ I k 1 L τ [U(τ t k 1 ) U(τ t k )] e β2 n 2 L τ dτ. (3.31)

40 Capítulo 3. Descrição dos Modelos Analíticos 29 Para sair da função degrau, considera-se o limite inferior da integral igual a t k 1 e o limite superior da integral igual a t k. Como [U(τ t k 1 ) U(τ t k )] = 1 e I k 1 é constante, obtém-se a seguinte solução α = n k=1 I k 1 tk t k 1 dτ L τ dτ } {{ } (E) β tk e 2 n 2 L τ + 2 dτ n=1 t k 1 L τ }{{} (F ) (3.32) Como pode ser observado a equação (3.32), é formada por duas integrais, (E) e (F ), e para facilitar o cálculo essas integrais serão calculadas separadamente, como realizado anteriormente para cargas constantes. Cálculo da Integral (E) A integral (E) é dada por (E) = Resolvendo a integral (E), obtém-se tk t k 1 dτ L τ dτ [ (E) = 2 L tk 1 ] L t k. (3.33) Cálculo da Integral (F ) Fazendo as substituições com o conjunto de expressões (P), na equação (F), obtém-se (F ) = 4 n=1 tk 1 e z2y2 dy. (3.34) t k 1 y2 Aplicando a integral por partes em (3.34), e alterando os limites de integração, para obtém-se 1 τ = t k 1 y = L tk 1 1 τ = t k y = L tk (F ) = 4 n=1 L tk 1 e z2 L t k 1 L tk e z2 1 L t k 2z 2 L tk z2y2 e 1 L tk 1 dy. } {{ } (G) (3.35)

41 Capítulo 3. Descrição dos Modelos Analíticos 30 Como pode ser observado a integral (G) da equação (3.35) é igual a ERFc, então pode-se substituir (3.25) em (3.35) (F ) = 4 n=1 L tk 1 e β2 n 2 L t k 1 L tk e β2 n 2 L t k βn ( ) βn πφ + βn ( ) βn πφ L tk 1 L tk. (3.36) Substituindo (3.27) em (3.36), obtém-se (F ) = 4 n=1 L tk 1 e β2 n 2 L t k 1 L tk e β2 n 2 L t k π L t k 1 e π 1+ β 2 n 2 L t β k 1 + π 2 n 2 L tk e L t k. 1+ π(l t k 1 ) β 2 n 2 π π(l t k ) β 2 n 2 (3.37) Aplicando (3.33) e (3.37) em (3.32), obtém-se a solução geral para cargas variáveis. α = n 2I k 1 A(L, t k, t k 1, β) (3.38) k=1 onde A(L, t k, t k 1, β) = L t k L t k n=1 e β 2 n 2 L t k 1 β 2 n 2 L t πe k 1 π π(l t k 1 ) β 2 n 2 n=1 e β 2 n 2 β 2 n 2 L t k πe L t k π π(l t k ) β 2 n 2. (3.39)

42 Capítulo 4 Ambiente de Simulação Neste capítulo é apresentado o funcionamento da plataforma de teste, o principal objetivo desta palataforma é auxiliar na obtensão de dados reais durante uma corrente de descarga de uma baterias. Também será apresentada a metodologia adotada nos ensaios na plataforma de teste. Através da plataforma será possível obter curvas de descargas, realizadas a partir de 10 ensaios de correntes de descargas, objetivando determinar o tempo de vida para cada corrente aplicada na bateria, para assim utilizar estas curvas de descargas para estimar os parâmetros dos modelos matemáticos analisados. 4.1 Plataforma de Teste Nesta seção são apresentados os componentes da plataforma de teste e como a mesma desempenha suas funções. Esta plataforma foi desenvolvida pelo bolsista de iniciação científica Heriberto Brill Nonemacher, estudante de Engenharia Elétrica e alocado junto aos projetos do Grupo de Automação Industrial e Controle (GAIC). O objetivo da plataforma de teste é a realização de testes experimentais, para que, de forma autônoma e flexível, seja possível capturar a curva característica de descarga de uma bateria [5]. Na Figura 4.1 é apresentado o diagrama da plataforma de testes, que é constituída por 3 componentes e estes são responsáveis pela aquisição da curva de descarga da bateria. O primeiro componente da plataforma de teste é o sistema de controle, representado pelo sof tware, que foi elaborado a partir da utilização da linguagem de programação C ++, este tem por objetivo enviar as informações de descarga (i.e., valor da corrente de descarga e tempo) que pretende-se aplicar à bateria e também obter informações de tensão, corrente e temperatura. O segundo componente é o circuito, (i.e., Hardware), ele tem a função de realizar a comunicação com o computador e administrar os módulos de sensoriamento e controle de descarga e por fim o terceiro componente da plataforma de teste é a bateria, que é o objeto de estudo, para este estudo serão usadas baterias 31

43 Capítulo 4. Ambiente de Simulação 32 de Lítio-Íon, que são frequentemente utilizadas em dispositivos móveis [5]. A seguir será apresentado com maior detalhamento o sof tware e o hardware utilizado na plataforma de teste. Figura 4.1: Diagrama da Plataforma de Teste [5]. (A) Hardware O circuito é composto por uma placa central e por outras duas placas, constituídas de um microcontrolador, com a função é de efetuar aquisições de temperatura, de tensão e corrente. Conforme pode ser observado na Figura 4.2, o microcontrolador, através de um controlador do tipo Proporcional-Integral (P I), faz o controle da corrente de descarga aplicada sob a bateria, com referência ao comando do software, garantindo que o valor solicitado seja o mesmo aplicado na descarga [5]. Figura 4.2: Hardware da Plataforma de Teste [5]. (B) Software O desenvolvimento de um software se deu pela necessidade de controle dos testes de forma autônoma, facilitação na representação gráfica e, consequentemente, na obtenção dos dados gerados no teste aplicado. Assim, após o preenchimento dos parâmetros e do tipo de descarga que se deseja aplicar à bateria, o software administra automaticamente o controle de descarga. O software conta com recursos de proteção da bateria, encerrando os testes caso ocorra qualquer avaria no sistema ou estouro do tempo estipulado para descarga da bateria. Também é possível salvar em arquivos os gráficos gerados a partir das descargas, ou mesmo armazenar em um relatório completo as operações realizadas.

44 Capítulo 4. Ambiente de Simulação 33 Na Figura 4.3 é apresentada a configuração do software, no item 1 representa a configuração dos parâmetros da bateria, como por exemplo o Tipo de Bateria usada no experimento, Tensão Nominal, Tensão de Corte (i.e., Nivel de C utoff ) e a Capacidade da Bateria, que são parâmetros específicos de cada bateria e por fim atraso do corte, que representa o tempo de atraso que demora para a bateria ser desligada. Ainda na Figura 4.3, no item 2 é apresentada a rotina de descarga, onde é configurado o tempo (s) de descarga para cada corrente (ma), também existem dois botões de acionamento de rotinas de descargas, o primeiro deles (i.e., adicionar) é usado para incluir uma descarga, o segundo botão (i.e., remover) é utilizado quando existe a necessidade de excluir uma descarga. Figura 4.3: Configurador da Plataforma de Teste. Após a configuração do sof tware é possível dar início ao processo de descarregamento da bateria. Na Figura 4.4 é apresentado a interface de controle da plataforma de teste, como pode ser observado o descarregamento pode ser feito com duas baterias simultaneamente, sem que ocorra nenhuma interferência. No item 1 da Figura 4.4 é apresentado as informações adquiridas instantaneamente durante os ensaios, como por exemplo o tempo de duração do experimento, a data e horário de início e término do experimento, a corrente de descarga que esta agindo na bateria, a tensão da bateria e sua temperatura. Neste item também é possível encontrar 3 botões de acionamento do software, o primeiro botão é o configurador, quando acionado abrirá uma nova janela, representada pela Figura 4.3, no qual será preenchido com a configurações desejadas para os ensaios, o segundo botão é o descarregar, este quando acionado dará o início ao ensaio de descarga da bateria e por último o botão salvar relatório, que tem por objetivo salvar toda a rotina de descarga da bateria em formato de texto. No item 2 são apresentados gráficos dos ensaios, nesta representação é possível escolher entre 3 tipos de gráficos (i.e., Tensão, Corrente e Tem-

45 Capítulo 4. Ambiente de Simulação 34 peratura). Figura 4.4: Software de Controle da Plataforma de Teste. 4.2 Metodologia Adotada nos Ensaios Experimentais A metodologia adotada nos experimentos foi a de manter um padrão único para todos os ensaios, objetivando minimizar qualquer alteração no resultado final em decorrência das variações nos parâmetros de simulação, como por exemplo, a carga total disponível na bateria no início das simulações. No início dos ensaios a bateria foi submetida a um carregamento, que tem por objetivo obter uma carga plena em todas as baterias, para assim dar início aos ensaios na plataforma de teste. Este processo de carga da bateria inicia com a conexão das mesmas a uma fonte de carregamento externo, como pode ser observado na Figura 4.5. Para carregar a bateria optou-se em usar a metodologia de carga lenta, ou seja, foi aplicado uma corrente de 20 % da capacidade nominal da bateria, que para a bateria utilizada neste trabalho é uma corrente de 190 ma, a bateria é considerada totalmente carregada quando a tensão atingir o valor máximo de carga, 4, 2 V e a corrente atingir 0, 01 A. Finalizando este procedimento, a bateria é considerada carregada, somente então ela é desconectada da fonte externa e conectada a plataforma de teste, (Figura 4.6), para então dar início ao

46 Capítulo 4. Ambiente de Simulação 35 processo de descarga, porém vale salientar que antes de iniciar os ensaios, deve-se configurar o Software (ver Figura 4.3), para que ele possa processar as informações solicitadas na descarga. Figura 4.5: Foto da fonte externa carregando as baterias utilizadas nos ensaios. Figura 4.6: Foto das baterias conectadas a plataforma de teste. Nos experimentos a bateria utilizada é de Lítio-íon, modelo BL 5F, que são fabricadas pela N okia e utilizadas nos aparelhos celulares N okia N 95. Todas as baterias utilizadas nos ensaios são baterias novas, este procedimento foi adotado como forma de minimizar influência da vida útil da bateria nos resultados dos ensaios.