REGRESSÃO ESPACIAL. Flávia F. Feitosa

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1 REGRESSÃO ESPACIAL Flávia F. Feitosa BH1350 Métodos e Técnicas de Análise da Informação para o Planejamento Julho de 2015

2 ANÁLISE DE REGRESSÃO Análise de regressão é uma ferramenta estatística que utiliza a relação entre duas ou mais variáveis tal que uma variável possa ser explicada ( Y variável resposta/ saída/dependente) pela outra ou outras (X variáveis indicadoras/ preditoras/ explicativas/ independentes). Y = ax + b NETER J. et al. Applied Linear Statistical Models. Boston, MA: McGraw-Hill, 1996.

3 Etapas da Análise de Regressão 1. Seleção e Preparação das Variáveis 2. Escolha e Ajuste do Modelo de Regressão 3. Diagnóstico para verificar se o modelo ajustado é adequado Ajuste do modelo (R2, Teste F, Testes t para coef., etc.) Multicolinearidade (FIV) Análise dos Resíduos

4 Análise dos Resíduos Se modelo for adequado, resíduos devem refletir as propriedades impostas pelo termo de erro do modelo. Resíduo LINEARIDADE DO MODELO 0 X Não Linearidade

5 Análise dos Resíduos NORMALIDADE DOS RESÍDUOS: Suposição essencial para que os resultados do ajuste do modelo sejam confiáveis. Outros diagnósticos: Shapiro-Wilk, Anderson-Darling, Kolmogorov-Smirnov

6 Análise dos Resíduos HOMOCEDASTICIDADE (Variância Constante) Resíduo Variância Não Constante 0 X Outros diagnósticos: Teste de Breush-Pagan, Goldfeld-Quandt

7 Análise dos Resíduos PRESENÇA DE OUTLIERS Gráfico resíduos padronizados vs. Valores Ajustados Pontos Influentes: DFFITS, DFBETA, Distância de Cook.

8 Análise dos Resíduos INDEPENDÊNCIA Resíduo Gráfico resíduos padronizados vs. Valores Ajustados 0 X Erros Correlacionados Outros Diagnósticos: Teste de Durbin-Watson Autocorrelação espacial: Mapa dos resíduos, Índice de Moran

9 Análise dos Resíduos Resíduo MODELO ADEQUADO 0 X

10 Análise dos Resíduos DADOS ESPACIAIS Caso a hipótese de independência espacial das observações seja FALSA DEPENDÊNCIA ESPACIAL EFEITOS ESPACIAIS: Se existir forte tendência ou correlação espacial, os resultados serão influenciados, apresentando associação estatística onde não existe (e vice-versa)

11 Análise dos Resíduos Como verificar? Medir a autocorrelação espacial dos resíduos da regressão (ex. Índice de Moran dos resíduos) Dica para o trabalho final do curso Exportar tabela com os resíduos do modelo de regressão (SPSS) Unir esta tabela com o shapefile original ( join no QGIS) e visualizar os resíduos (Mapa dos resíduos) Os resíduos estão espacialmente correlacionados? Calcular o Índice de Moran dos Resíduos no GeoDa (com teste de pseudosignificância)

12 Exemplo São José dos Campos Crescimento Populacional X Densidade Populacional Mapear os resíduos da regressão índícios de correlação Índice de Moran sobre mapa de resíduos I=0,45 Testes de pseudosignificância indicam autocorrelação espacial significativa

13 Autocorrelação Espacial Constatada!!! As observações não são independentes espacialmente. Portanto... temos uma violação das nossas premissas. Dependendo da natureza da dependência, parâmetros estimados pelo método dos mínimos quadrados será ineficiente ou inconsistente. E agora?

14 Regressão Espacial Incorpora a estrutura de dependência espacial no modelo PREMISSA: Assumimos que conhecemos a estrutura de dependência espacial (ela não é estimada) Premissa forte? Sim! Porém não tão forte quanto assumir que todas as observações são independentes espacialmente Matrizes de ponderação tipicamente consideradas: contiguidade (queen, rook...) ou distância (n vizinhos mais próximos...)

15 Regressão Espacial Podem ser globais ou locais Globais: inclui no modelo de regressão um parâmetro para capturar a estrutura de autocorrelação espacial na área de estudo como um todo. Locais: parâmetros variam continuamente no espaço

16 Global vs. Local Global Local Estatísticas dizem respeito à região como um todo (1 valor) Disagregações locais das estatísticas globais (Muitos valores) Estatísticas globais e não mapeáveis Estatísticas locais e mapeáveis Ênfase nas similaridades da região Ênfase nas diferenças ao longo do espaço Procura regularidades ou leis Procura por exceções ou hotspots locais Ex.: Regressão Clássica, Spatial Lag, Spatial Error Ex.: GWR, Regimes Espaciais Adaptado de: Fotheringham, A.S., Brunsdon, C., and Charlton, M.E., 2002, Geographically Weighted Regression: The Analysis of Spatially Varying Relationships, Chichester: Wiley.

17 Modelos com Efeitos Espaciais Globais PREMISSA É possível capturar a estrutura de correlação espacial num único parâmetro (adicionado ao modelo de regressão). Alternativas Spatial Lag Models (SAR): atribuem a autocorrelação espacial à variável resposta Y. (Spatial Autoregressive Modeling) Spatial Error Models (CAR): atribuem a autocorrelação ao erro. (Conditional Autoregressive Modeling)

18 Modelo Spatial Lag PREMISSA: A variável Yi é afetada pelos valores da variável resposta nas áreas vizinhas a i. Y = WY + X + = coeficiente espacial autoregressivo - medida de correlação espacial ( = 0, se autocorrelação é nula - hipótese nula) W = matriz de proximidade espacial WY expressa a dependência espacial em Y Exemplo: Valor dos imóveis

19 Modelo Spatial Error PREMISSA: As observações são interdependentes graças a variáveis não mensuradas, e que são espacialmente correlacionadas Ou seja: efeitos espaciais são um ruído! Por que ele ocorre? Porque não conseguimos modelar todas as características de uma unidade geográfica que podem influenciar as regiões vizinhas. Assume que, se pudéssemos adicionar as variáveis certas para remover o erro do modelo, o espaço não importaria mais.

20 Modelo Spatial Error MODELO: Y = X + = W + ξ W = erro com efeitos espaciais = medida de correlação espacial ξ = componente do erro com variância constante e não correlacionada.

21 Spatial Lag & Spatial Error DIAGNÓSTICO PARA AUXILIAR NA ESCOLHA DE UM MODELO OU OUTRO Testes Multiplicadores de Langrange (Langrange Multiplier Tests, Anselin et al. 1996) Executa regressão dos resíduos em relação às variáveis originais e aos resíduos das áreas vizinhas LM-Lag: testes para dependência em relação às variáveis originais nas áreas vizinhas lag dependence LM-Error: testes para dependência em relação aos resíduos nas áreas vizinhas - error dependence

22 Spatial Lag & Spatial Error Motivações diferentes, porém próximos em termos formais. Ambos partem do pressuposto de que o processo espacial analisado é estacionário e pode ser capturado em um único parâmetro.

23 Porém isto nem sempre é verdade! É importante verificar se padrões diversos de associação espacial estão presentes. Uma Solução Exploratória: Indicadores Locais de Autocorrelação Espacial

24 Indicadores Locais de Associação Espacial (LISA) Distribuição dos valores de correlação local para o índice de exclusão % Exclusão Não significantes p = 0.05 [95% (1,96s)] p = 0.01 [99% (2,54s)] p = [99,9% (3,2s)]

25 Modelos com Efeitos Espaciais Locais Modelos de Regressão com Efeitos Espaciais DISCRETOS Variações espaciais modeladas de maneira discreta. Regimes Espaciais Modelos de Regressão com Efeitos Espaciais CONTÍNUOS Variações espaciais modeladas de forma contínua, com parâmetros variando no espaço. Geographically Weighted Regression GWR. [Regressão Geograficamente Ponderada] Quantitative Geography; A. S. Fotheringham, C. Brunsdon, M. Charlton, 2000 (print 2004)

26 Regimes Espaciais A ideia é regionalizar a área de estudo obtendo subregiões com seu padrão próprio. Realizar regressões separadas para cada sub-região.

27 Regimes Espaciais Regionalizações da área de estudo Diferentes tipos de variabilidade espacial Métricas: Diagrama de espalhamento e índices locais e globais regionalização tipo kmedias espacial Ex: Regimes espaciais para índice de exclusão

28 Impacto de Regimes Espaciais Análise de Regressão: Idosos = f (Domicílios Sem Esgoto) Regressão Linear R2 = 0,35 Regressão Espacial Regiões Adm (R2 = 0,72) Regimes Espaciais (R2 = 0,83) Para dados socioeconômicos: modelo de regimes espaciais tende a apresentar resultados melhores que os de regressão simples ou de regressão espacial com efeitos globais.

29 Diagnóstico de Modelos de Efeitos Espaciais Análise gráfica dos resíduos Mapear os resíduos concentração de resíduos negativos ou positivos em parte do mapa indica presença de autocorrelação espacial Índice de Moran dos resíduos Indicadores de qualidade de ajuste dos modelos baseados no coeficiente de determinação (R 2) serão incorretos. Utilização do AIC critério de informação de Akaike, a avaliação do ajuste é penalizada por função do número de parâmetros (é preferível o modelo com o menor valor AIC).

30 Comparação das Regressões Longevidade X Renda Regressão Simples Spatial Lag Regimes Espaciais AIC Indice Moran dos resíduos R2 ajustado

31 GWR Geographically Weighted Regression Ajusta um modelo de regressão a cada ponto observado, ponderando todas as demais observações como função da distância a este ponto. Y(i) = (i)x + Y(i): variável que representa o processo no ponto i. (i): parâmetros estimados no ponto i. Quantitative Geography; A. S. Fotheringham, C. Brunsdon, M. Charlton, 2000 (print 2004)

32 GWR Geographically Weighted Regression y = b0 + b1x1 + e regressão clássica simples com um preditor b0, b1 é o mesmo para toda área Se existe alguma variação geográfica na relação essa variação fica incluída como erro.

33 GWR Geographically Weighted Regression y(i) = b0(i) + b1(i) x1 + e(i) GWR b0(i), b1(i) para cada ponto i do espaço há um b0 e b1 diferentes Existe uma função (kernel) sobre cada ponto do espaço que determina todos os pontos da regressão local que é poderada pela distância. Pontos mais próximos do ponto central tem maior peso. Assim como no kernel a escolha da largura da banda é importante (pode ser fixa ou adaptável à densidade dos dados)

34 GWR Geographically Weighted Regression FUNÇÃO DE PONDERAÇÃO LARGURA DE BANDA Adaptado de: Fotheringham, A.S., Brunsdon, C., and Charlton, M.E., 2002, Geographically Weighted Regression: The Analysis of Spatially Varying Relationships, Chichester: Wiley.

35 Ajuste do Modelo GWR Modelos Locais vs. Modelos Globais Mesmas técnicas de análise do ajuste do modelo, porém comparação é problemática GWR apresentará sempre melhores ajustes pois envolve o ajuste de muito mais parâmetros Sugestão: medida AIC, que leva em consideração a complexidade do modelo.

36 GWR Geographically Weighted Regression Os parâmetros podem ser apresentados visualmente para identificar como se comportam espacialmente os relacionamentos entre as variáveis. Ex: Crescimento Pop. (resposta) X Densidade Pop. (preditora)

37 GWR Geographically Weighted Regression Ex: Crescimento Pop. (resposta) X Densidade Pop. (preditora) Mapa de resíduos (I = 0,04) :

38 EXEMPLO Consumo de Água per Capita (resposta) X Renda per capita (preditora) Distribuição espacial de consumo residencial de água e renda da população em Fonte: SNIS (2010) e IBGE (2010). CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flávia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. População, Renda e Consumo Urbano de Água no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. 17 a 22 de novembro de Bento Gonçalves, RS.

39 Consumo de Água per Capita (m3/dia/ano) Análise Exploratória Renda per Capita (R$)

40 MODELO DE REGRESSÃO LINEAR GLOBAL Consumo de Água per Capita (resposta) X Renda per capita(preditora) Var iável β Desvio Padrão (constante) 4,25.(10-3) 4,55.(10-4) RENDA 41.(10-6) 8,2.(10-7) Coeficiente de determinação: R2 = 0,36 Teste F: F = 2499,1 Estatística t 9,3 49 CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flávia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. População, Renda e Consumo Urbano de Água n Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. 17 a 22 de novembro de Bento Gonçalves, RS.

41 Mas será que esta relação, entre consumo de água e renda, ocorre da mesma maneira em todo o país??? O ESPAÇO IMPORTA!!!

42 GWR Geographically Weighted Regression Consumo de Água per Capita (resposta) X Renda per capita(preditora) GWR: CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flávia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. População, Renda e Consumo Urbano de Águ no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. 17 a 22 de novembro de Bento Gonçalves, RS.

43 GWR Geographically Weighted Regression Consumo de Água per Capita (resposta) X Renda per capita(preditora) Os menores coeficientes estimados para a variável RENDA foram observados em municípios do Estado do Rio Grande do Sul......e os maiores em Alagoas. CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flávia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. População, Renda e Consumo Urbano de Águ no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. 17 a 22 de novembro de Bento Gonçalves, RS.

44 GWR Geographically Weighted Regression Consumo de Água per Capita (resposta) X Renda per capita(preditora) Região do Município de Traipu (AL) maior coeficiente estimado Um aumento de R$ 1 na renda per capita da população está associado a um incremento do consumo de água de 100,3 ml/dia/hab. Região do município de Floriano Peixoto (RS) um dos menores coeficientes significativos (t-valor > 1,96): Um aumento de R$ 1 na renda per capita da população está associado a um aumento do consumo de 10,22 ml/dia/hab. Hipóteses??? CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flávia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. População, Renda e Consumo Urbano de Águ no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. 17 a 22 de novembro de Bento Gonçalves, RS.

45 Considerações sobre os Resultados De maneira geral, as regiões apresentadas como aquelas onde a elevação da renda está relacionada a um maior incremento do consumo (áreas mais escuras) tendem a coincidir com as áreas onde o aumento do poder de consumo que acompanhou o recente processo de estabilização econômica, crescimento econômico e ampliação dos programas redistributivos apresentou os maiores impactos na redução da pobreza e extrema pobreza do país. CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flávia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. População, Renda e Consumo Urbano de Água no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. 17 a 22 de novembro de Bento Gonçalves, RS.

46 Considerações sobre os Resultados São regiões onde a redução da pobreza ampliou de maneira expressiva o acesso a recursos básicos para a manutenção de vida desta população, entre eles a água potável. Já em regiões como a Sul, caracterizada por níveis mais elevados de renda, um aumento na renda tende a gerar um impacto menor no aumento do consumo de bens essenciais como a água e, provavelmente, maior no consumo de bens de outra natureza. CARMO, Roberto Luiz do; DAGNINO, Ricardo Sampaio; FEITOSA, Flávia da Fonseca; JOHANSEN, Igor Cavallini; CRAICE, Carla. População, Renda e Consumo Urbano de Água no Brasil: Interfaces e Desafios. XX Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos. 17 a 22 de novembro de Bento Gonçalves, RS.

47 Tutoriais Spatial Regression Analysis: A Workbook (Luc Anselin): Fitting and Interpreting Spatial Regression Models: An Applied Survey (Roger Bivand):

48 Softwares GeoDa Índice de Moran, LISA maps, Regressão Clássica e Espacial (Spatial Lag & Spatial Error) SPRING e Terraview Índice de Moran, LISA map GWR 4.0 GWR

49 PRÁTICA Regressão Espacial Spatial Lag e Spatial Error com o Software GeoDa GWR com o Software GWR 4.0