TÉCNICA DE ANALOGIA DE GRELHA ASSOCIADA A UM MODELO DE PÓRTICO PARA ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE SISTEMAS ESTRUTURAIS DE PONTES

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1 TÉCNICA DE ANALOGIA DE GRELHA ASSOCIADA A UM MODELO DE PÓRTICO PARA ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE SISTEMAS ESTRUTURAIS DE PONTES David Leonardo Nascimento de Figueiredo Amorim, Bcl. Graduado na Universidade Federal de Alagoas, davidnf2@gmail.com Aline da Silva Ramos Barboza, DSc. Universidade Federal de Alagoas, aline@lccv.ufal.br João Carlos Cordeiro Barbirato, DSc. Universidade Federal de Alagoas, jccb@lccv.ufal.br Resumo As pontes são grandes obras que historicamente vêm marcando o desenvolvimento da engenharia civil pois exigem dos projetistas soluções cada vez mais inovadoras e, em algumas situações, o desenvolvimento de novos métodos e materiais. Usualmente, no projeto estrutural de uma ponte, são feitas aproximações que possibilitam um cálculo manual dos elementos que compõem o sistema estrutural, separando os elementos e analisando cada um deles de maneira isolada. Por este motivo, o uso de microcomputadores na análise de grandes estruturas, como pontes, ganha muita importância, pois viabiliza um estudo integrado da estrutura. Em estudos como esses, a avaliação de esforços e tensões internas na estrutura, considerando-se a interação dos elementos estruturais que a compõem, permite determinar de forma mais realista a influência do carregamento sobre a estrutura. O desenvolvimento de métodos e modelos discretos que abordem essa questão de maneira satisfatória, mas sem perder o cunho prático de aplicação corriqueira nos escritórios de cálculo, ainda é motivo de estudos dos pesquisadores e projetistas. Dentro deste contexto a analogia de grelha se apresenta como uma técnica de modelagem estrutural bastante atrativa, pois reúne características que possibilitam uma representação, ao mesmo tempo, geometricamente favorável e, computacionalmente, de fácil aplicação nos escritórios de cálculo e fácil implementação. Aliando-se um modelo de pórtico a esta técnica pode-se analisar globalmente uma estrutura de ponte. Este trabalho teve como objetivo analisar o comportamento de sistemas estruturais de pontes, investigando a influência dos carregamentos peculiares, onde, para isto, foram simulados exemplos de pontes com variações de solicitações e de concepção estrutural. O modelo de pórtico foi desenvolvido utilizando o método dos deslocamentos em sua forma matricial e o modelo de grelha foi desenvolvido utilizando o mesmo método e aplicando a técnica da analogia de grelha para simulação do tabuleiro da ponte. Palavras-chave Pontes; Analogia de Grelha; Modelo Pórtico; Método dos Deslocamentos.

2 1 Introdução Pontes são grandes obras da engenharia civil que marcam o desenvolvimento da civilização, pois exigem soluções inovadoras e, em alguns casos, o desenvolvimento de novos métodos e materiais. As pontes são indispensáveis ao desenvolvimento urbano, pois têm como objetivo interligar regiões, fazendo com que ocorra um intercâmbio tanto no aspecto comercial e econômico, quanto no cultural e intelectual. Viabiliza-se, portanto, o transporte de mercadorias, de pessoas e ideias, favorecendo assim o crescimento que tanto beneficia a sociedade. Por tal grandiosidade, uma ponte é considerada por muitos como uma obra de arte, pois envolve alta complexidade em todos os aspectos, desde seu estudo de viabilidade, envolvendo análises econômicas, sociais e ambientais, até a sua execução e manutenção. No caso específico dos projetos estruturais exige do projetista um conhecimento cada vez mais detalhado e refinado do comportamento estrutural. Todo o processo de implantação de uma ponte possibilita uma integração interdisciplinar, envolvendo profissionais de diversas áreas. Segundo O Connor (1971), uma ponte é um meio de conduzir o tráfego, de veículos ou pedestres, entre dois pontos separados por algum obstáculo, que pode ser água ou um vale, por exemplo. Já para Pfeil (199), ponte é uma obra de engenharia destinada à transposição de obstáculos à continuidade do leito normal de uma via, como rios, braços de mar, vales profundos, outras vias, entre outros. A estrutura de uma ponte é, de maneira geral, subdividida em três sistemas que interagem entre si: a superestrutura, a mesoestrutura e a infraestrutura (Figura 1). Figura 1 Subdivisão dos elementos de uma ponte. A infraestrutura é formada pelos elementos de fundação e na mesoestrutura situam-se os pilares, cintas de travamento e aparelhos de apoio. Os pilares podem ou não ser ligados por uma cinta de travamento, alocada em uma altura intermediária em relação à altura dos pilares, e a ligação entre os pilares e o vigamento pode ser completamente rígida, em caso desta ser monolítica, simplesmente apoiada, caso se utilizem aparelhos especiais para esta finalidade,

3 ou com certo grau de engastamento, caso a ligação entre os elementos estruturais seja enrijecida. Na superestrutura situam-se os elementos estruturais que recebem influência direta do carregamento móvel atuante, os quais podem se apresentar de várias maneiras ou tipos construtivos. Podem-se citar como mais comuns os sistemas formados pelo próprio tabuleiro, por vigas longitudinais, também chamadas de vigamento principal ou longarinas, e vigas transversais, também chamadas de vigamento secundário ou transversinas. Considerando apenas o conjunto das vigas existentes na superestrutura, as mesmas formam uma grelha de sustentação para o tabuleiro. Segundo Quiroga (1983) apud Khouri (26), pode-se distinguir três fases fundamentais no processo de análise de uma estrutura: Idealização, Cálculo e Interpretação. Na primeira fase tem-se o modelo matemático ou estrutural. Na segunda fase, objeto específico do cálculo estrutural, analisa-se, o modelo matemático da primeira fase, com o objetivo de obter uma série de resultados, cujo significado e aplicação à realidade da estrutura constituem a última fase do processo, denominada Interpretação. Nesse aspecto, observa-se que a interpretação e aplicação dos resultados de um cálculo, dependem da idealização do modelo considerado. É necessário, portanto, dar ênfase às diferentes técnicas e modelos de cálculo, para uma análise mais conveniente da estrutura. Usualmente, o projeto estrutural de uma ponte, permite que sejam feitas aproximações que possibilitam um cálculo manual dos elementos que compõem o sistema estrutural, separando-os e analisando-os de maneira isolada. Desta forma, o dimensionamento da estrutura torna-se oneroso, pois não é verificado o comportamento real da mesma. Por este motivo, o uso de microcomputadores na análise de grandes estruturas como pontes, ganha muita importância, pois viabiliza um estudo integrado da transmissão de esforços entre seus elementos constituintes. Em estudos como esses, a avaliação de esforços e tensões internas na estrutura, considerando-se a interação dos elementos estruturais que a compõem, permite determinar de forma mais realista a influência do carregamento sobre a estrutura. O desenvolvimento de métodos e modelos discretos que abordem essa questão de maneira satisfatória, mas sem perder o cunho prático de aplicação corriqueira nos escritórios de cálculo, ainda é motivo de estudos dos pesquisadores e projetistas. Dentro deste contexto, a analogia de grelha se apresenta como uma técnica de modelagem estrutural bastante atrativa, pois reúne características que possibilitam uma representação, ao mesmo tempo, geometricamente favorável (com barras na mesma direção das longarinas e transversinas e solicitada perpendicularmente ao seu plano médio) e, computacionalmente, de fácil aplicação nos escritórios de cálculo e fácil implementação. Associando o modelo de grelha a um modelo de pórtico, é possível obter uma visão integrada do comportamento das vigas, laje e pilares da ponte. Para isto, foi desenvolvida uma ferramenta computacional que associa o modelo de pórtico espacial ao modelo de grelha. Esta ferramenta teve como ponto de partida o trabalho desenvolvido por Freitas (27), o qual já desenvolveu uma ferramenta para análise de esforços em tabuleiros de pontes utilizando um modelo de grelha para a transformação da laje do tabuleiro em uma grelha equivalente. Posteriormente, recebeu contribuição importante de Amorim (29), o qual inseriu o modelo de pórtico espacial associado à técnica da analogia de grelha já existente, permitindo a análise integrada de uma ponte em vigas apoiada em pilares.

4 2 Ações As pontes estão submetidas às mais diversas ações, impostas pela natureza ou pela sua utilização corrente. Na primeira, pode-se citar a ação do vento, que é uma ação dinâmica, e o peso próprio, que é uma ação considerada estática, além de intempéries das mais variadas. Na segunda, se enquadram as cargas trazidas pelos veículos que ali trafegam. Essas cargas vão depender do tipo de ponte, rodoviária ou ferroviária, e da classe de utilização da mesma. A ação trazida pelo peso de um veículo é um carregamento móvel, que provoca esforços dinâmicos na estrutura e que vão depender da posição em que se encontra o veículo no pavimento (tabuleiro) da ponte. Este efeito dinâmico provoca variações de esforços internos e, consequentemente, das tensões em toda a estrutura. Esse fato deve ser estudado detalhadamente pelo projetista, pois gera fenômenos importantes como a fadiga, que pode levar o material à ruptura com solicitação de tensões bem menores do que as toleráveis. Para fins de projeto estrutural, as ações dos veículos são pré-definidas pela norma brasileira NBR 7188 (1982), para pontes rodoviárias, ou pela NBR 7189 (1985). Para fins de dimensionamento é necessário conhecer as posições da carga móvel que provocam solicitações críticas na estrutura como um todo, por meio das envoltórias de esforços. A determinação da envoltória de esforços, de acordo com a literatura disponível para Estática das Estruturas, pode ser feita com o auxílio de linhas de influência, que mostram a evolução de um determinado esforço em uma seção S ao mover-se uma carga pontual unitária ao longo de todo o comprimento do elemento estrutural. O esforço crítico na superestrutura é obtido posicionando-se o carregamento móvel real, da maneira mais desfavorável, na posição de pontos máximos da linha de influência da seção S em estudo, sendo o esforço diretamente proporcional a estes pontos críticos da linha de influência. Portanto, se de cada seção fosse feita uma linha de influência e verificado os pontos críticos, a envoltória de solicitações da estrutura poderia ser obtida traçando-se a curva que liga esses valores críticos das linhas de influência. 2.1 Carga permanente De acordo com a NBR 7187 (23), ações permanentes são aquelas cujas intensidades podem ser consideradas como constantes ao longo da vida útil da construção. As principais ações permanentes são: as cargas provenientes do peso próprio dos elementos estruturais, da pavimentação, dos trilhos, dos dormentes, dos lastros, dos revestimentos, das barreiras, dos guarda-rodas, dos guarda-corpos, e dos dispositivos de sinalização, os empuxos de terra e de líquidos, as forças de protensão e as deformações impostas, isto é, provocadas por fluência e retração do concreto, por variações de temperatura e por deslocamentos de apoios. De acordo com a NBR 7187 (23), a avaliação das cargas devidas ao peso próprio dos elementos estruturais, o peso específico deve ser tomado no mínimo igual a 24 kn/m 3 para o concreto simples e 25 kn/m 3 para o concreto armado ou protendido. Em situação de projeto esta ação deve ser majorada por um fator de 1,4.

5 2.2 Carga móvel A carga móvel é fixada de acordo com o tipo de ponte e a classe de rodovia ou ferrovia. No caso de pontes rodoviárias a NBR 7188 (1982), fixa um veículo padrão, também chamado de veículo-tipo, que é classificado em três tipos, conforme a Figura 2. Figura 2 Veículos-tipo para pontes rodoviárias. Fonte: NBR 7188 (1982). Este veículo é associado a um sistema de cargas distribuídas p e p, colocadas no seu entorno e sobre o pavimento, para que seja simulado o tráfego da via (Figura 3), sendo esta associação chamada de trem-tipo. O valor das cargas p, p e do peso próprio dos eixos dos veículos depende da classe da ponte (Tabela 1).

6 Figura 3 Cargas distribuídas p e p para simular o tráfego rodoviário. Classe da ponte Tipo Tabela 1 Adoção do trem-tipo. Fonte: NBR 7188 (1982). Veículo Peso total p p' Carga uniformemente distribuída kn tf kn/m² kgf/m² kn/m² kgf/m² Disposição da carga Carga p em toda pista Carga p' nos passeios O veículo-tipo é uma adoção feita pela NBR 7188 (1982) para facilitar a aplicação do carregamento móvel, sem que seja necessário estudar cada tipo de veículo existente para que se escolha um. A desvantagem sobre esta adoção é que, ao depender do tipo de tráfego a ser suportado pela ponte em estudo, o veículo-tipo pode não representar adequadamente a solicitação imposta. As cargas móveis produzem efeitos dinâmicos diversos, em consequência de sua própria mobilidade, irregularidades da pista, entre outros. Na prática, os diversos efeitos dinâmicos costumam ser levados em conta por meio do coeficiente de impacto vertical φ, aplicado ao valor estático das cargas móveis. A NBR 7187 (23) fixa este coeficiente conforme abaixo, para pontes rodoviárias, sendo l o comprimento de cada vão teórico do trecho carregado. 2.3 Ação do vento 1,4,7 l 1, (1) O vento é uma ação que incide transversalmente sobre a ponte, sendo o seu efeito avaliado por meio da NBR 6123 (1988). Esta norma preconiza que o vento atua sobre determinada estrutura através de uma velocidade característica, calculada por meio da velocidade básica do vento, de um fator topográfico, de um fator estatístico e de um fator que abrange a rugosidade do terreno, dimensões da edificação e altura sobre o terreno.

7 Segundo a NBR 6123 (1988), a velocidade básica do vento (V ), dada em m/s, é a velocidade de uma rajada de três segundos, excedida em média uma vez em 5 anos, a 1 m acima do terreno, em campo aberto e plano. Via de regra, é admitido que o vento básico possa soprar de qualquer direção horizontal. Para o Brasil, foram determinadas as velocidades básicas do vento para todo seu território (Figura 4). Figura 4 Isopletas da velocidade básica do vento. Fonte: NBR 6123 (1988). De acordo com a NBR 6123 (1988), o fator topográfico S 1 leva em consideração as variações do relevo do terreno e é determinado de acordo com a declividade do mesmo. O fator S 2 leva em consideração o efeito combinado da rugosidade do terreno, da variação da velocidade do vento com a altura acima do terreno e das dimensões da edificação, ou da parte em consideração. O fator S 3 é baseado em conceitos estatísticos, considerando o grau de segurança requerido e a vida útil da edificação. A velocidade característica do vento (V k ), dada em m/s, é definida como o produto da velocidade básica do vento pelos fatores S 1, S 2 e S 3. V k V (2) S1 S2 S3

8 A pressão dinâmica (q), dada em N/m 2, é obtida com base na velocidade característica do vento: q V (3) 2,613 k Vale salientar que, para um projeto de pontes, a NBR 7187 (23) preconiza que a ação do vento sobre a estrutura deve ser avaliada pela NBR 6123 (1988). Entretanto, esta norma traz especificações imprecisas para a adoção dos valores de S 1, S 2 e S 3 para pontes, forçando o projetista a adotar tais parâmetros com base em projetos e experiências anteriores. 3 Modelagem numérica Considerando o sistema estrutural de uma ponte como uma associação de elementos estruturais integrados utilizou-se para definição do modelo de cálculo, um modelo de grelha associado a um modelo de pórtico. Para a definição do modelo de grelha foi utilizada a técnica da analogia de grelha. 3.1 Técnica da analogia de grelha De acordo com Hambly (1976), a técnica da analogia de grelha, ou grelha equivalente, é provavelmente o método computacional mais utilizado para analisar tabuleiros de pontes, por ser facilmente compreendida e aplicada. Inicialmente, esta técnica foi utilizada por Timoshenko e Woinowsky (1959) para estudar placas. Posteriormente, Braga (22) confrontou a técnica de analogia de grelha e os elementos finitos de placas e elementos tridimensionais para a modelagem de superestruturas de pontes, obtendo diferenças inexpressivas entre os métodos. Assim, no presente trabalho foi utilizada apenas a técnica da analogia de grelha para simular a superestrutura, pois tal processo possui custo computacional relativamente baixo. Este método representa o tabuleiro por meio de uma grelha equivalente, onde se assume que as rigidezes de torção e flexão, dispersas por toda a região da superestrutura, são concentradas na barra de grelha equivalente mais próxima. Com isso, à barra de grelha incorporam-se as propriedades de um trecho de viga (Figura 5) ou laje (Figura 6). Figura 5 Barras de grelha das vigas. Fonte: Freitas (27).

9 Figura 6 Inclusão das barras de grelha de laje à malha disposta pelas barras das vigas. Fonte: Freitas (27). Segundo Hambly (1976), idealmente, as rigidezes das barras devem ser tais que a grelha equivalente deve flexionar de forma idêntica à superestrutura, resultando os mesmos esforços internos solicitantes. Porém, sabe-se que a analogia de grelha é uma técnica aproximada, e não exata. Entretanto, para tabuleiros de laje em vigas a técnica da analogia de grelha é extremamente recomendada, pois o vigamento forma uma grelha de sustentação, fazendo com que os resultados desta técnica sejam muito próximos à realidade. O processo de geração da grelha equivalente não possui regras específicas, mas apenas recomendações, conforme explica Hambly (1976). Sendo assim, no presente trabalho seguese o fluxograma apresentado na Figura 7, proposto por Amorim (29). Figura 7 Fluxograma para geração da grelha equivalente. Fonte: Amorim (29).

10 Em uma estrutura de grelha todos os elementos existem no mesmo plano (x M z M ), supondo-se que os elementos estão rigidamente ligados nos nós. O elemento de grelha possui seis graus de liberdade, sendo três por nó, conforme apresentado na Figura 8. Figura 8 Elemento de grelha com referência local. Fonte: Gere e Weaver (1981). 3.2 Modelo de pórtico O modelo de pórtico é bastante utilizado para análise de estruturas reticuladas, pois apresenta excelente representatividade aos elementos estruturais classificados como lineares, ou seja, aqueles que possuem uma dimensão bem maior em relação às outras duas (da seção transversal). Este modelo é muito empregado em projetos de edifícios, onde é comum que as vigas e os pilares sejam representados e processados por um único pórtico espacial, representando de forma mais realista o comportamento de todo o sistema estrutural. O elemento de pórtico espacial (Figura 9) possui doze graus de liberdade, sendo três rotações e três translações para cada nó, tornando possível todos os tipos de movimentação do elemento (em direções independentes).

11 Figura 9 Elemento de pórtico espacial com referência local. Fonte: Gere e Weaver (1981). Partindo da disposição das barras de grelha, os pilares da ponte são posicionados conforme as coordenadas dos seus eixos, onde a altura de cada pilar é inserida a partir do nível da grelha equivalente, considerado como zero. 3.3 Modelo integrado Para a análise proposta neste trabalho, faz-se necessária a integração entre os elementos de grelha, que simulam o tabuleiro da ponte, e os de pórtico espacial, que incorporam os pilares. Para isto, o acoplamento dos modelos se faz necessário, permitindo que os esforços entre as barras de grelha e pórtico sejam equilibrados. Amorim, Barboza e Barbirato (21) enfatizam que o elemento de grelha é um caso particular do elemento de pórtico espacial; já Amorim (29) mostra que o elemento de pórtico espacial comporta-se como elemento de grelha, se solicitado como tal. Desta forma, neste trabalho é adotado o elemento de pórtico espacial para análise do modelo estrutural integrado de uma ponte em vigas, pois este elemento, além de mais genérico, consegue absorver informações de solicitações como a ação do vento, diferente do elemento de grelha. 3.4 Método dos delocamentos O procedimento adotado neste trabalho para cálculo de esforços internos, deslocamentos lineares e rotações é o método dos deslocamentos, ou método da rigidez, em sua formulação matricial. O método dos deslocamentos permite analisar o comportamento de uma estrutura reticulada, fornecendo informações de esforços e deslocamentos. Para aplicação deste método, é necessária a discretização da estrutura estudada em segmentos, chamados elementos (ou barras), onde seus pontos extremos, denominados nós, fornecem as grandezas

12 de interesse. Portanto, adotando-se uma discretização mais refinada (maior número de elementos, consequentemente de nós) melhor será a resposta do problema, pois o modelo é discreto e tenderá à solução exata de diagramas de esforços e comportamento da linha elástica dos elementos estruturais. Como citado anteriormente, a discretização é realizada com elemento de pórtico espacial, apresentado na Figura 9 com uma referência local. Para análise estrutural, os graus de liberdade dos elementos de pórtico precisam ser escritos em um sistema de referência global. Assim sendo, cada elemento sofre uma transformação de coordenadas, por meio de uma matriz [T], que é função dos ângulos α, φ e ζ, conforme apresentado na Figura 1. Figura 1 Esquema de transformação de coordenadas entre os sistemas: local (x,y,z ), auxiliar (x,y,z ) e global (x, y, z). A matriz de transformação de coordenadas é dada por: T cos sen sen cos cos 1 sen 1 sen 1 cos cos sen sen cos T (4) Assim, em cada nó de barra há dois sistemas cartesianos de medições de grandezas: uma para grandezas lineares e outra para angulares. Portanto, a matriz para transformação de referências locais e globais do elemento é uma matriz de ordem 12x12, composta por quatro matrizes [T]: T T T T T (5)

13 Para resolução de toda estrutura é necessário que se defina um sistema global (estrutura geometricamente definida), permitindo que todos os elementos estejam referidos, onde a determinação das incógnitas, deslocamentos lineares e angulares, seja feita de uma só maneira. Sendo assim, entende-se a necessidade de uma entidade de transformação de referenciais que o faça de forma automatizada endereçando das contribuições dos elementos em toda estrutura. Esta entidade é chamada de matriz de incidência cinemática [β] que, por definição, relaciona os deslocamentos locais aos globais. Esta matriz é função do transformador de coordenadas, já definido, e da conectividade (nós) do elemento. Esta transformação é realizada em todos os elementos, passando o vetor de forças [f], deslocamentos [δ], matriz de rigidez [k] m dados no sistema local para o sistema global da estrutura: F m T f, U m T, K T k. m m (6) Assim, as matrizes de rigidez, forças e deslocamentos são calculadas por meio do somatório das matrizes dos elementos: F U N F m1 N U m1 N K K m. m1 m m,, (7) Sendo N o número de elementos, [F] a matriz de forças globais, [U] a matriz de deslocamentos globais e [K] a matriz de rigidez global. As condições de contorno do problema estão embutidas na formulação dada, pois a restrição é feita diretamente nos nós travados, para evitar que haja singularidade na matriz de rigidez da estrutura. Com a definição de todas as grandezas globais resolve-se o sistema de equações lineares do método, onde são obtidos os deslocamentos globais dos nós da estrutura. F K U. (8) Assim, esforços internos e deslocamentos nodais de cada elemento são determinados a partir dos deslocamentos calculados e da conectividade em relação ao referencial local: U, f K. (9)

14 3.5 Aplicação das cargas Neste trabalho, o efeito do movimento da carga móvel é aproximado por meio da aplicação de estados de carregamentos estáticos com o trem-tipo, sendo este posicionado sobre o tabuleiro de forma que sua atual posição seja encontrada a partir do estado anterior com um pequeno deslocamento longitudinal Δx (Figura 11). Figura 11 Superestrutura submetida ao veículo-tipo: (a) primeiro e (b) segundo - estados de carregamento. Ressalte-se, ainda, que existem cargas pontuais do veículo-tipo que podem estar aplicadas em posições intermediárias aos nós funcionais (entre elementos) da malha da grelha. Neste caso, determina-se um carregamento nodal equivalente por meio de elementos retangulares de placa, limitados pelas barras da grelha equivalente. Maiores detalhes podem ser vistos em Amorim (29). O carregamento proveniente do vento é estimado a partir da NBR 6123 (1988), como exposto anteriormente. Neste trabalho, o carregamento encontrado no cálculo é aplicado na lateral da ponte e suposto constante. Assim, numa viga longitudinal de borda a carga de vento q (N/m 2 ) é multiplicada por sua altura acrescida de 2m (consideração feita a um veículo alto que transita no instante da rajada), onde é encontrada uma carga q v, dada em N/m. Já em um pilar, a carga de vento q (N/m 2 ) é multiplicada pela largura do mesmo que recebe a ação do vento (b v ), resultando em uma carga q v, dada em N/m. A partir destes carregamentos distribuídos, são calculadas as cargas nodais equivalentes nos elementos que constituem os portantes viga e pilar, de acordo com a literatura disponível para Estática das Estruturas. 4 Exemplo de aplicação O modelo de análise adotado neste trabalho trata de uma ponte com 128 m de comprimento por, aproximadamente, 11 m de largura. Admite-se que esta ponte foi moldada in loco com concreto que possui módulo de elasticidade (E) igual a kn/m 2, peso

15 específico de 25 kn/m 3 e coeficiente de Poisson igual a,2. A superestrutura é composta por laje com 18 cm de espessura e vigamento de sustentação composto por cinco longarinas e cinco transversinas, espaçadas igualmente ao longo da largura e do comprimento, respectivamente. A Figura 12 apresenta uma seção transversal do tabuleiro e a Figura 13 apresenta as dimensões de uma longarina. Figura 12 Seção transversal da superestrutura (dimensões em cm). Figura 13 Detalhes da seção transversal da longarina (dimensões em cm). As transversinas possuem seção transversal retangular de 25x15 cm, com exceção daquela posicionada no meio do vão total, que possui seção transversal de 37,5x225 cm. Esta transversina foi enrijecida para servir de sustentação às longarinas e, também, formar pórtico

16 com dois pilares (seção transversal de 1x15 cm e 3 m de altura) que se localizam abaixo das longarinas de borda. Para esta ponte foram executadas duas análises: a primeira considera-se o tabuleiro apoiado na transversina enrijecida, sem pilares; e, a segunda, considera-se os pilares apoiando a transversina enrijecida. A ligação entre os pilares e o tabuleiro foi considerada rígida. O veículo adotado é o tipo 45, com coeficiente de impacto vertical de 1,. Assim, a força que cada pneu exerce sobre o pavimento é igual a 75 kn e a carga distribuída aplicada sobre todo o pavimento, de 5 kn/m 2. Para o carregamento de vento adotou-se 3 m/s como velocidade básica do vento, e os fatores S 1, S 2 e S 3 como sendo,9,,92 e 1,1, respectivamente. 4.1 Exemplo 1: Sem pilares intermediários Neste exemplo, a superestrutura apoia-se na transversina central, a qual está apoiada nas suas extremidades. A Figura 14 mostra o modelo de análise utilizado pelo programa, exaltando-se com asterisco os pontos de apoio (indeslocáveis) da superestrutura. Já na Figura 15 apresentam-se os deslocamentos verticais máximos na superestrutura, sendo os deslocamentos horizontais máximos apresentados na Figura 16. Figura 14 Modelo estrutural.

17 Figura 15 Deslocamentos verticais máximos da superestrutura. Figura 16 Deslocamentos horizontais máximos. Percebem-se deslocamentos vertical e horizontal máximos de 9,4 cm e,81 mm, respectivamente, nos meios dos dois vão livres da superestrutura, aproximadamente. Os esforços máximos que solicitam o vigamento longitudinal são dados na Tabela 2.

18 Solicitação Momento fletor (kn.m) Momento torçor (kn.m) Esforço Cortante (kn) Tabela 2 Solicitações máximas nas longarinas. Longarinas V1 V2 V3 V4 V , , , , , , , , , ,21 54,43 483,73 143,95 483,73 54,43-54,43-483,92-143,95-483,73-54,43 1.7, ,52 864, ,37 1.7,83-975,3-1.22,66-83,1-122,72-975,3 4.2 Exemplo 2: Com pilares intermediários Neste exemplo, a superestrutura apoia-se nas cabeceiras e forma nós rígidos no meio do vão com a transversina central, onde em tais nós se encontram dois pilares que formam um travamento em pórtico intermediário. A Figura 17 mostra o modelo de análise utilizado pelo programa, exaltando-se com asterisco os pontos onde a superestrutura apoia-se (de maneira indeslocável) nas cabeceiras e a localização dos pilares, a Figura 18 mostra os deslocamentos verticais e a Figura 19 os deslocamentos horizontais máximos na superestrutura. Figura 17 Modelo estrutural.

19 Figura 18 Deslocamentos verticais máximos. Figura 19 Deslocamentos horizontais máximos. Os deslocamentos verticais e horizontais máximos se dão em torno dos meios dos dois vão livres da superestrutura e são aproximadamente 9,3 cm e 7,4 mm, respectivamente. Os esforços máximos que solicitam o vigamento longitudinal são dados na Tabela 3 e para os pilares os esforços solicitantes máximos são dados na Tabela 4.

20 Solicitação Momento fletor (kn.m) Momento torçor (kn.m) Esforço Cortante (kn) Tabela 3 Solicitações máximas nas longarinas. Longarinas V1 V2 V3 V4 V , , , , , , , , , ,71 319,84 293,41 14,9 292,7 311,98-319,84-293,41-14,9-285,19-31,39 1.4,59 1.7,65 88,41 1.7,91 1.4,53-972,7-1.26,42-837, ,68-972,1 Tabela 4 Solicitações máximas nos pilares. Solicitação P1 Pilares P2 Esforço Normal (kn) -9.82, ,93 Esforço Cortante x (kn) Esforço Cortante y (kn) Momento fletor y (kn.m) Momento fletor z (kn.m) 11,47 4,25-11,47-4,25 317,12 317,12-317,12-317, , , , ,67 132,6 453,6-132,6-453,6 5 Conclusões O trabalho aqui apresentado teve como premissa o desenvolvimento de uma ferramenta computacional que permitisse a associação de um modelo de pórtico com um modelo de grelha para a análise do comportamento dos esforços numa estrutura de ponte. Com o processamento dos exemplos foi possível observar a importância de um modelo de cálculo mais refinado no intuito de obter uma resposta mais realista da estrutura. O acoplamento entre o modelo de grelha do tabuleiro e o modelo de pórtico espacial da mesoestrutura resultou em informações do conjunto sem as idealizações de apoios indeslocáveis, por exemplo. Os exemplos processados com a ferramenta desenvolvida apresentaram valores da mesma ordem de grandeza dos valores apresentados na literatura aplicando-se o método dos

21 elementos finitos, o que significa boa adequação da associação pórtico-grelha para análise de superestruturas de pontes. No contexto de um modelo de cálculo mais realista para a estrutura, foi possível considerar a força do vento incidindo direta e indiretamente no tabuleiro e nos pilares. Ainda, que o modelo permite com segurança a definição das diversas situações de carregamento em todos os pontos do tabuleiro, sem que para isso utilize tempo computacional exorbitante, muito pelo contrário. Para ilustrar os comentários acima, fazendo-se a comparação entre o exemplo 1 e o exemplo 2, pode-se observar que a geometria dos pilares influencia nos deslocamentos máximos. Pela deformação conjunta da estrutura, o deslocamento horizontal máximo é bem maior no exemplo que contém os pilares, por exemplo, dada a sua rigidez não infinita. Tal situação exige uma melhor consideração de esforços decorrentes das deformações que a estrutura pode sofrer. Em alguns casos isso pode levar a uma mudança de estádio para o dimensionamento. Em termos de vigamento principal também se observa aumento nos esforços internos solicitantes no exemplo que contém os pilares, com exceção para o momento torçor que foi redistribuído como flexão entre os elementos. Isso faz com que se tenha uma distribuição de armadura mais uniforme, embora o dimensionamento não tenha sido objeto de estudo. Reforça-se portanto a implementação de técnicas de análise simples, mas ao mesmo com capacidade de análise mais realista do comportamento da estrutura, considerando esforços decorrentes das deformações. 7 Referências ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 6123 Forças devidas ao vento em edificações ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 7187 Projeto de pontes de concreto armado e de concreto protendido - Procedimento. 23. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 7188 Cargas móveis em ponte rodoviária e passarela de pedestre ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 7189 Cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias AMORIM, D.L.N.F. Análise do Comportamento de Sistemas Estruturais de Pontes Utilizando a Técnica de Analogia de Grelha Aplicada ao Tabuleiro Associada a um Modelo de Pórtico. Monografia de Graduação, Universidade Federal de Alagoas, 77 p. Maceió. 29. AMORIM, D.L.N.F.; BARBOZA, A.S.R.; BARBIRATO, J.C.C. Análise estrutural de tabuleiros de pontes em vigas através de variações da técnica da analogia de grelha. XXX Congresso Ibero Latino Americano em Métodos Computacionais em Engenharia. Armação dos Búzios, 29. AMORIM, D.L.N.F.; BARBOZA, A.S.R.; BARBIRATO, J.C.C. Análise do comportamento de sistemas estruturais de pontes em vigas utilizando a técnica da analogia de grelha aplicada ao tabuleiro associada a um modelo de pórtico. In: MECOM Del Bicentenario - Macánica Computacional, Vol. XXIX, p , 21. BRAGA, W. Transversinas internas nos tabuleiros das pontes. Instituto de Engenharia de São Paulo Divisão Técnica de Estruturas. 22.

22 FREITAS, P.C.B. Análise do comportamento estrutural do conjunto laje-viga de pontes utilizando a técnica de analogia de grelha. Monografia de Graduação, Universidade Federal de Alagoas, 76 f. Maceió, 27. GERE, J.M.; WEAVER Jr, W. Análise de Estruturas Reticuladas. Editora Guanabara Dois, HAMBLY, E.C. Bridge deck behaviour. London Chapman and Hall, KHOURI, M. E. Contribuição ao projeto de pilares de pontes de concreto armado com consideração das não-linearidades física e geométrica e interação solo-estrutura. Dissertação de Mestrado, Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo. 215 p. São Carlos. 21. MANSON, J. Pontes em concreto armado e protendido. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A O CONNOR, C. Pontes superestruturas. Editora LTC/EDUSP, PFEIL, W. Pontes em concreto armado: elementos de projeto, solicitações, superestruturas. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, Vol. 1, 199. TIMOSHENKO, S.; WOINOWSKY-KRIEGER, S. Theory of plates and shells. McGraw Hill, 1959.