ZURYELL COSTA DUTRA DETERMINAÇÃO DAS PERDAS EM CONCRETO PROTENDIDO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL ZURYELL COSTA DUTRA DETERMINAÇÃO DAS PERDAS EM CONCRETO PROTENDIDO NATAL-RN 2017

2 Zuryell Costa Dutra Determinação das perdas em concreto protendido Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos necessários para obtenção do Título de Bacharel em Engenharia Civil. Orientador: Professora Dr.ª Fernanda Rodrigues Mittelbach Natal-RN 2017

3 Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede Dutra, Zuryell Costa. Determinação das perdas em concreto protendido / Zuryell Costa Dutra f.: il. Monografia (Graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Departamento de Engenharia Civil. Natal, RN, Orientadora: Profª. Drª. Fernanda Rodrigues Mittelbach. 1. Concreto protendido - Monografia. 2. Perdas de protensão - Monografia. 3. Pré-tração - Monografia. 4. Pós-tração - Monografia. 5. Código computacional - Monografia. I. Mittelbach, Fernanda Rodrigues. II. Título. RN/UF/BCZM CDU

4 Zuryell Costa Dutra Determinação das perdas em concreto protendido Trabalho de conclusão de curso na modalidade Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos necessários para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil. Aprovado em 01 de junho de 2017: Professora Dr.ª Fernanda Rodrigues Mittelbach Professor Dr. José Neres da Silva Filho Professor Dr. Rodrigo Barros Natal-RN 2017

5 DEDICATÓRIA Dedico este sonho realizado a Deus que me criou a sua semelhança, para toda a minha família que sempre me apoiaram, aos meus amigos que me acompanharam nessa jornada, que me ajudaram nos momentos difíceis e a mulher da minha vida, Ana Clara Fortunato, pelo apoio incondicional em todos os momentos de incerteza e nos novos caminhos.

6 AGRADECIMENTOS Aos meus pais, Irene Alves e José Dutra, aos meus irmãos, Zuezyo e Zenno Costa, aos meus avós e a todos familiares pelo amor incondicional e o carinho dedicado. Além do esforço dedicado para garantir uma boa educação. Fez a diferença nas conquistas já alcançadas e fará toda a diferença em meu futuro. A mulher da minha vida, Ana Clara Fortunato, por sempre ter proporcionado carinho, companheirismo e apoio total. Pela compreensão nos momentos dedicados exclusivamente aos estudos e por não ter medido esforços para me auxiliar nos momentos mais difíceis. Aos colegas e amigos de curso, com quem vivi uma etapa inesquecível durante os últimos 5 anos, pela amizade e troca de experiências. A professora Dr.ª Fernanda Rodrigues Mittelbach, pela prestatividade, orientação contínua dedicadas neste trabalho e por todo apoio nas dificuldades. A todos que forma a família CONSTEL e INCIBRA por acreditarem em mim e darem a oportunidade de aplicar os conhecimentos adquiridos durante a graduação e por proporcionar conhecimentos que vão além da universidade, que exemplificam a ética e competência profissionais, a dedicação e o aprimoramento contínuos. Aos convidados da Banca Examinadora, pela vontade em contribuir com o trabalho. A todos os professores que contribuíram com a minha formação, especialmente pela base sólida de conhecimentos e pela disciplina fornecidas pelo colégio de Edna, Ideal Colégio e Curso e, principalmente, pelo IFRN (eterno CEFET-RN) em que adquirir valores dos quais irei levar pelo resto da minha vida.

7 RESUMO Determinação das perdas em concreto protendido Devido a necessidade de otimizar os recursos naturais, busca-se a utilização de estruturas mais esbeltas e leves, assim o concreto protendido torna-se uma solução viável, apesar da necessidade de cuidados especiais e uma mão de obra qualificada. O dimensionamento de estruturas protendidas é bastante trabalhoso e demorado. No presente trabalho, elabora-se um código computacional (software) para a determinação das perdas inerentes ao processo de aplicação de força nas situações de pré-tração e pós-tração, provendo agilidade nos cálculos e otimizando o tempo de projeto para análise e verificação dos resultados obtidos. Ressaltando que as perdas em pré-tração correspondem em torno de 30 %, enquanto na pós-tração é em torno de 40% em relação a força aplicada inicialmente. Será feito o uso da linguagem Fortran para a elaboração dos códigos, com base na NBR 6118/2014, NBR 7482/2008 e NBR 7483/2008, sendo apresentados exemplos de validação com resultados existentes na literatura e manualmente. Palavras-chave: Concreto protendido, perdas de protensão, pré-tração, pós-tração, código computacional

8 ABSTRACT Determination of losses in prestressed concrete Due to the need to optimize natural resources, the use of slimmer and lighter structures is sought, so the prestressed concrete becomes a viable solution, despite the need for special care and a qualified workforce. The sizing of prestressed structures is quite laborious and time-consuming. In the present work, a computational code (software) is elaborated to determine the inherent losses to the force application process in the pre-traction and posttraction situations, providing agility in the calculations and optimizing the design time for analysis and verification Of the results obtained. Note that the pre-traction losses correspond to around 30%, while in the traction it is around 40% in relation to the applied force initially. The Fortran language will be used for the elaboration of the codes, based on NBR 6118/2014, NBR 7482/2008 and NBR 7483/2008, being presented examples of validation with results existing in the literature and manually. Keywords: Prestressed concrete, loss of pretension, pre-traction, post-traction, computational code

9 ÍNDICE GERAL 1 INTRODUÇÃO CONSIDERAÇÕES INICIAIS OBJETIVOS Objetivo geral Objetivo específico ESTRUTURA DO TRABALHO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA PROTENSÃO NAS ESTRUTURAS DE CONCRETO Histórico Conceito Tipos de protensão Tensões normais Aços de protensão Perdas FORTRAN Fortran Ponteiros Arranjos Comparação PERDAS NA PROTENSÃO PRÉ-TRAÇÃO Perda por escorregamento dos fios e acomodação da ancoragem P anc Perda por deformação inicial do concreto P e Perda por relaxação da armadura P r Perda por retração do concreto P cs Perda por fluência do concreto P cc PÓS-TRAÇÃO Perda por atrito ao longo da armadura P atr Perda por escorregamento dos fios e acomodação da ancoragem P anc Perda por deformação imediata do concreto pelo estiramento dos cabos restantes P e Perda por relaxação da armadura P r... 56

10 3.2.5 Perda por retração do concreto P cs Perda por fluência do concreto P cc METODOLOGIA DESENVOLVIMENTO DO ROTEIRO DO PROGRAMA DADOS DE ENTRADA PROCEDIMENTO DO CÓDIGO Pré-tração Pós-tração DADOS DE SAÍDA VALIDAÇÃO DO PROGRAMA (EXEMPLOS) EXEMPLO EXEMPLO CONCLUSÃO SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFIA CONSULTADA... 80

11 ÍNDICE DE FIGURA Figura 1 Modelo de uma viga ocorrendo estiramento da armadura de protensão Figura 2 Viga com armadura protendida Figura 3 Ponte com armadura protendida Figura 4 Protensão com armadura pré-tracionada Figura 5 Protensão com armadura pós-tracionada Figura 6 Peça pré-moldada de concreto protendido (antes da liberação dos cabos tracionados) Figura 7 Peça pré-moldada de concreto protendido (após da liberação dos cabos tracionados) Figura 8 Protensão excêntrica na seção de concreto Figura 9 Atrito nos cabos dentro da bainha Figura 10 Ondulação parasitas da bainha Figura 11 Forças de atrito num cabo curvo Figura 12 Tensão ao longo cabo antes da ancoragem (1-4-2) e após a ancoragem (3-4-2).. 52 Figura 13 Valores de λ e X para perfis típicos da armadura Figura 14 - Plato Idea Figura 15 Modelo do arquivo de entrada para pré-tração Figura 16 Situação A Figura 17 Situação B Figura 18 Situação C Figura 19 Modelo do arquivo de saída para pós-tração Figura 20 Diagrama força de protensão x tempo para peça protendida pré-tracionada Figura 21 Diagrama força de protensão x tempo para peça protendida pós-tracionada Figura 22 Esquema da viga Figura 23 Posicionamento da armadura de protensão na viga protendida... 73

12 ÍNDICE DE TABELA Tabela 1 Valores de ψ1000 (%) Tabela 2 Resultados na Pré-tração Tabela 3 Comparativos das perdas na Pré-tração Tabela 4 Resultados na Pós-tração Tabela 5 Comparativos das perdas na Pós-tração... 76

13 ÍNDICE DE QUADRO Quadro 1: Comparação entre linguagens numa escala de melhor (10) a pior (0) Quadro 2: Coeficiente que depende da umidade relativa do ambiente e da consistência do concreto Quadro 3: Coeficiente que depende da umidade relativa do ambiente Quadro 4: Idade fictícia do concreto Quadro 5: Valores de em função da velocidade de endurecimento do cimento para retração Quadro 6: Coeficiente de fluência rápida φa Quadro 7: Coeficiente s de correlação do tipo de concreto com o crescimento da resistência do concreto Quadro 8: Coeficiente de deformação lenta irreversível φf Quadro 9: Coeficiente φ1c Quadro 10: Valores de em função da velocidade de endurecimento do cimento para fluência Quadro 11: Coeficientes de perda de atrito Quadro 12: Dados de entrada para pré-tração Quadro 13: Dados de entrada para pós-tração Quadro 14: Valores limites de tensão na pré-tração Quadro 15: Valores limites de tensão na pós-tração... 64

14 SIMBOLOGIA SÍMBOLO A c A ch SIGNIFICADO Área da seção bruta de concreto Área da seção homogeneizada A p Área do aço protendido μ k ε 1s ε 2s γ Coeficiente de atrito aparente entre cabo e bainha Coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas não intencionais do cabo Coeficiente que depende da umidade relativa do ambiente e da consistência do concreto Coeficiente que depende da espessura fictícia da peça Coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente Coeficiente dependente da velocidade de endurecimento do cimento β s (t; t 0 ) Coeficiente relativo à retração ao instante de tempo t, t 0 φ Coeficiente de fluência φ a Coeficiente de deformação rápida φ f Coeficiente de deformação lenta irreversível β f (t; t 0 ) β d Coeficiente relativo à fluência irreversível Coeficiente relativo à fluência reversível

15 φ 1c φ 2c Coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente U e da consistência do concreto Coeficiente dependente da espessura fictícia ε aço Deformação do aço, por ocasião do estiramento ε cs ε cca d ε ccf ε ccd Deformação específica de retração do concreto ao nível da armadura, no tempo considerado Deformação rápida irreversível, primeiras 24 horas Deslocamento do ponto de ancoragem/acomodação Deformação lenta irreversível (umidade, consistência, espessura, idade) Deformação lenta reversível, depende apenas da duração do carregamento ε cc,tot Deformação total do concreto δ Escorregamento/acomodação na ancoragem h fic Espessura fictícia e p P a P i t 0 t Excentricidade da força de protensão P 0 em relação ao centro de gravidade da seção homogeneizada Força na armadura de protensão no imediatamente anterior à sua liberação das ancoragens externas Força máxima aplicada à armadura de protensão pelo equipamento de tração Idade fictícia do concreto no instante em que o efeito de retração e fluência começa a ser considerado Idade fictícia do concreto no instante considerado

16 n E c Número de cabos Módulo de elasticidade do concreto E p Módulo de elasticidade do aço I h Momento de inércia E c,28 μ ar Δt ef,i Δσ Pr (t; t 0 ) X ε Módulo de elasticidade tangente inicial para 28 dias Parte do perímetro externo da seção transversal da peça em contato com o ar Período em dias, durante o qual a temperatura média diária do ambiente, T i pode ser admitida constante Perda de tensão por relaxação pura desde o instante t 0 do estiramento da armadura até o instante t considerado Posição aonde a perda de tensão é nula Perda de deformação média até X α p Razão modular α Soma dos ângulos de desvios previstos, no trecho compreendido entre as abcissas 0 e x da peça σ Pi Tensão na armadura de protensão aplicada pelo equipamento de tração σ Po Tensão na armadura de protensão (t = t 0 ) σ cg σ cp σ P Tensão no concreto no nível da resultante de protensão, devida à carga permanente mobilizada pela protensão Tensão no concreto no nível da resultante de protensão, devida à protensão simultânea de todos os cabos Variação da tensão da armadura de protensão

17 16 1 INTRODUÇÃO 1.1 Considerações iniciais O concreto de cimento Portland é um material obtido a partir da mistura de areia, pedra britada, cimento Portland e água. A mistura destes componentes varia de acordo com a necessidade de desempenho mecânico requerido, como características, possui uma alta resistência às tensões de compressão, todavia uma baixa resistência às tensões de tração (variando de 8 a 15% da resistência à compressão). Pela necessidade de estruturas viáveis economicamente solicitadas, a tração, surgiu o concreto armado que, segundo a NBR 6118/2014, possui um comportamento estrutural dependente da aderência entre o concreto e armadura, nos quais não se aplicam alongamentos iniciais das armaduras antes da materialização dessa aderência. Com a industrialização da construção civil houve a busca por estruturas mais esbeltas, com um alto desempenho e um menor consumo. Desenvolveu-se então, o uso do concreto protendido que, de acordo com a NBR 6118/2014, é assim definido: Concreto protendido é o concreto armado em que as armaduras são previamente alongadas por equipamentos especiais de protensão, com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos da estrutura, bem como propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no estado-limite último (ELU). Segundo PFEIL (1984) este artifício permite utilizar o concreto com maior eficiência, pois desloca a faixa de trabalho do concreto para o âmbito das compressões, onde o material apresenta boa resistência. Na Figura 1 é possível visualizar um modelo de uma viga na qual ocorre estiramento da armadura protendida, enquanto na Figura 2 e na Figura 3 são ilustrados alguns exemplos de estruturas protendidas.

18 17 Figura 1 Modelo de uma viga ocorrendo estiramento da armadura de protensão Fonte: Schmid, Figura 2 Viga com armadura protendida Fonte: Veríssimo e Lenz, 1998.

19 18 Figura 3 Ponte com armadura protendida Fonte: Veríssimo e Lenz, Objetivos Objetivo geral Elaborar um software para determinar as perdas inerentes ao processo de aplicação de força de protensão na situação de pré-tração e pós-tração Objetivo específico Os objetivos específicos do trabalho são: Aplicar a NBR 6118/2014 para a determinação das perdas inerentes ao concreto protendido; Utilizar o FORTRAN para a criação dos códigos;

20 Estrutura do trabalho Este trabalho será dividido em sete (07) capítulos tendo como enfoque a criação de um software para determinar as perdas que ocorrem na protensão nas duas formas de aplicação a força: pré-tração e pós-tração. O Capítulo 2 apresenta a revisão bibliográfica do trabalho sendo dividido em 2 subcapítulos: a protensão nas estruturas de concreto e o Fortran. Assim, será apresentado a história do concreto protendido, será conceituado, apresentado os tipos de protensão, as tensões normais, os aços que existem e a introdução sobre perdas. O Capítulo 3 abordará com mais detalhes sobre as perdas do concreto protendido na pré-tração e pós-tração. O Capítulo 4 apresenta a metodologia empregado para ser elaborado os softwares da determinação das perdas no concreto protendido. O Capítulo 5 abordará o roteiro empregado para ser elaborado os softwares, sendo dividido em 03 subcapítulos: os dados de entrada que devem ser empregados, a etapa de cálculo e os dados de saída. A validação dos softwares será realizada por meio de exemplos existentes na literatura sendo apresentado uma análise de comparação dos resultados já existentes com os obtidos naquele sendo apresentado no capítulo 6. E por fim o Capítulo 7 apresentará as conclusões do trabalho.

21 20 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 Protensão nas estruturas de concreto Histórico O concreto começou a se desenvolver a partir da criação do cimento Portland em 1824 na Inglaterra. Nos anos que se seguiram, a Europa começou a criar novas formas de melhorar a capacidade do concreto (PFEIL, 1984). O concreto acabou sendo disseminado para todo o mundo tendo diversas empregabilidades, como lajes, vigas, pontes etc. Todavia, apenas em 1877, o americano Hyatt reconheceu o efeito da aderência entre o concreto e a armadura, após executar vários ensaios com construções de concreto (PFEIL, 1984). Em 1886 foi anunciada a primeira aplicação de protensão no concreto por H. Jackson, de São Francisco (EUA) e métodos de dimensionamento empíricos para alguns tipos de construção pelo alemão Matthias Koenen. Em 1953, surgiu à primeira norma de concreto protendido na Alemanha, a DIN 4227 (BASTOS, 2015). A primeira obra em concreto protendido no Brasil foi à ponte do Galeão, no Rio de Janeiro, construída em 1948 utilizando o sistema Freyssinet. Para essa obra foi importado da França: o aço, as ancoragens, os equipamentos e até o projeto. Em 1952, a Companhia Siderúrgica Belgo-Mineira iniciou a fabricação do aço de protensão. A segunda obra brasileira, a ponte de Juazeiro, já foi construída com aço brasileiro (VERÍSSIMO E LENZ, 1998) Conceito Segundo, Pfeil (1980), a protensão aplicada ao concreto consiste em introduzir esforços que limitem as tensões de tração no concreto, limitando a abertura de fissuras e as deformações. Já segundo a NBR6118/2014 define-se elementos de concreto protendido como sendo aqueles nos quais parte das armaduras é previamente alongada por equipamentos especiais de protensão com a finalidade de, em condições de serviço, limitar a fissuração e as

22 21 deformações da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no estado limite último (ELU). Apesar dos procedimentos de projeto em concreto armado e protendido serem apresentados conjuntamente numa mesma normatização no Brasil (NBR 6118/2014), os aços empregados em cada caso diferem-se pelo tipo de aço (CARVALHO, 2012). A protensão permite o aproveitamento das qualidades dos dois materiais empregados, com a elevada resistência à compressão do concreto e a elevada resistência à tração dos cabos de aço. Dessa forma, o uso do concreto protendido é justificado pelo acréscimo nas resistências do concreto e do aço ser superior ao acréscimo dos custos desses materiais (PFEIL, 1984). Quanto à execução, no caso da aplicação da protensão, pode haver maior complexidade na montagem de formas, sendo necessária a colocação de elementos específicos (CARVALHO, 2012), como bainhas, cabos, etc, exigindo uma mão de obra mais qualificada. Dentre as vantagens do concreto protendido citadas na bibliografia, pode-se listar: a. Permite projetar seções mais esbeltas que no concreto armado convencional; b. Permite controlar a deformação elástica e limitá-la a valores menores que os que seriam obtidos para estruturas similares em aço ou concreto armado; c. Proporciona melhores condições de durabilidade, pois anula totalmente, ou quase totalmente, as tensões de tração, principais responsáveis pela fissuração; d. Permite que a estrutura se recomponha após a atuação de uma sobrecarga eventual não prevista; e. Possui maior resistência à fadiga, pois a variação de tensão no aço, provenientes de cargas móveis, é muito pequena se comparada com o valor da sua resistência característica; f. A operação de protensão funciona como uma verdadeira prova de carga; Todavia, podem ser relacionadas algumas desvantagens:

23 22 a. Concreto com uma maior resistência exige um maior controle de qualidade; b. Os aços de alta resistência exigem cuidados especiais contra corrosão; c. A colocação dos cabos de protensão deve ser feita com maior precisão de modo a garantir as posições admitidas nos cálculos; d. Exigência de mão de obra especializada; Tipos de protensão Nas armaduras de protensão podem ser pré-tracionadas ou pós-tracionadas. No sistema pré-tracionado (Figura 4), a armadura é ancorada em duas extremidades, sendo tensionada por elas, e posteriormente é realizada a concretagem nas fôrmas. Após o endurecimento do concreto, quando atingida a resistência necessária, os fios de aço são soltos das ancoragens e o esforço de protensão é então transferido para a peça (LEONHARDT, 1983; PFEIL, 1984). Devido à aderência existente entre os materiais, é transferida uma força de compressão ao concreto pela tendência do aço retornar ao seu comprimento inicial (CARVALHO, 2012). Figura 4 Protensão com armadura pré-tracionada Fonte: Rodrigues, No sistema com armadura pós-tracionada (Figura 5), são alocadas bainhas dentro da forma, nas quais serão alojados os cabos, e a peça é concretada antes da aplicação da protensão. Quando o concreto atinge a resistência necessária, os cabos de aço são tracionados, sendo submetidos a um pré- alongamento. A tendência de encurtamento dos cabos, para retorna à sua configuração indeformada, faz com que um esforço de compressão seja transferido ao concreto na região das ancoragens. Quando a protensão é aplicada nas duas extremidades da peça, diz-se que ambas as ancoragens são ativas.

24 23 A protensão também pode ser aplicada por apenas uma extremidade, caso em que se tem uma ancoragem ativa e outra passiva. Para garantir uma proteção da armadura contra a corrosão, as bainhas são, em geral, injetadas com nata de cimento, após a aplicação da protensão. A nata também serve para promover a aderência entre a armadura e o concreto, dando origem ao termo protensão com aderência posterior. Quando não é aplicada a nata, têm-se peças pós-tracionadas sem aderência. Figura 5 Protensão com armadura pós-tracionada Fonte: Rodrigues, Tensões normais O concreto protendido visa eliminar ou reduzir as tensões de tração que possam ocorrer no elemento estrutural. Isso é feito com a aplicação de um pré-alongamento do aço de protensão, de modo a transferir um esforço de compressão normal em toda a seção da viga, além de esforços de flexão devido à excentricidade das armaduras ativas. Os esforços de flexão causam tensões de compressão na borda inferior e de tração na borda superior quando os cabos de protensão passam abaixo do centro de gravidade (CG) da seção reta da viga (KAESTNER, 2014). Assim, nas regiões em que as ações externas à estrutura causam momentos fletores positivos (que convencionalmente indicam tração na borda inferior), traçando-se os cabos abaixo do CG da seção reta da viga, a protensão atenuará a tensão de tração na borda inferior, não apenas pela força normal aplicada, mas também pelo momento de flexão gerado pela sua excentricidade. Analogamente, entende-se que, nos pontos de momentos negativos, os cabos devem ser traçados de modo a passar acima do CG da seção reta da (KAESTNER, 2015).

25 Aços de protensão A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) divide os aços de protensão em três tipos: a. Barras: possuem comprimento limitado (entre 10 m e 12 m), com fornecimento em trechos retos, produzidos com aço de liga de resistência elevada, laminada a quente; b. Fios: são especificados pela NBR 7482/ Fios de aço para estruturas de concreto protendido Especificação, fornecidos em forma de rolos devido ao seu pequeno diâmetro (de até 12 mm, mas entre 3 e 8 mm no Brasil) e designados pela sua categoria, relaxação e acabamento superficial; c. Cordoalhas: são agrupamentos de 3 ou 7 fios enrolados em hélice com um eixo longitudinal em comum, especificadas pela NBR 7483/ Cordoalhas de aço para estruturas de concreto protendido Especificação. Utiliza-se a sigla CP para se referir a um aço de protensão, seguida do valor característico da resistência à tração última (em kgf/mm²) e a indicação do tipo de relaxação. A relaxação é um parâmetro que diz respeito à fabricação do aço. Os aços ditos de relaxação baixa, com a sigla RB, apresentam menores perdas por relaxação em relação aos de relaxação normal (RN), devido a um alongamento aplicado a temperatura controlada quando da sua fabricação (CARVALHO, 2012). A NBR 7483/2008 especifica que, para as cordoalhas atuais de 3 e de 7 fios, existem as categorias 190 e 210 de resistência à tração, sendo o processo de fabricação sempre com a condição de relaxação baixa. Os aços dessas cordoalhas são, portanto, designadas por CP 190 RB e CP 210 RB Perdas A protensão introduz na peça uma força inicial que provoca um alongamento na armadura ativa. O acionamento dos macacos, a liberação dos cabos e a transferência da força de protensão, entre outros fatores, diminuem a força de protensão.

26 25 Assim, acontecem as chamadas perdas de protensão. Podemos classificá-las em perdas iniciais e perdas diferidas, devido ao atrito entre os cabos e a bainha, a retração e fluência do concreto, a deformação do concreto, a relaxação das armaduras e os escorregamentos dos fios e ancoragem, no decorrer do tempo durante toda a vida útil da estrutura (CARVALHO, 2012). Teoricamente, essas perdas se estabilizam com o passar do tempo. Considerando, inicialmente, um cabo representante, pode-se estimar as perdas para se fazer um prédimensionamento de armadura longitudinal. Com o número de cabos determinado, é possível calcular as perdas iniciais e as perdas diferidas (ao longo do tempo) (CARVALHO, 2012). Como este trabalho possui enfoque na determinação das perdas de peças protendidas solicitadas por pré-tração e pós-tração, serão apresentados adiante mais informações sobre as perdas. 2.2 Fortran O Fortran (Formula translation, em português: tradução de fórmulas) é uma linguagem simples cujo vocabulário consiste de um conjunto de palavras, conhecidas como palavras-chave e comandos é uma sentença escrita nessa linguagem, segundo Hehl (1986). Segundo a The Fortran Company, o Fortran surgiu em 1954 pela IBM e seu primeiro compilador foi implementado em 1957 para um computador de 1ª geração, o IBM 704. Dessa forma, houve evoluções significativas nos computadores e, consequentemente, a linguagem foi evoluindo sendo conhecida como FORTRAN II, FORTRAN III E FORTRAN IV em, respectivamente, 1956, 1958 e Essa foi à primeira linguagem de programação computacional de alto-nível concebida (linguagem com um nível de abstração relativamente elevado, longe do código de máquina e mais próximo à linguagem humana). Até então, a programação de computadores envolvia o uso de linguagens de baixo-nível, como a linguagem ASSEMBLY e/ou o uso da linguagem de máquina.

27 26 O FORTRAN possui uma sintaxe rígida e formato algébrico para simplificar seu uso com as fórmulas matemáticas sendo também destinado a aplicações científicas. A primeira padronização foi feita pela ASA American Standard Association (1966). O segundo padrão americano surgiu em 1978, numa única norma (X ) da ANSI American National Standards Institute sucessora da ASA, que fora transformada na United States of America Standards Institute, em Embora a norma seja de 1978, mas por analogia com o FORTRAN 66 (dois dígitos repetidos), este padrão é conhecido por FORTRAN 77 ou ainda FORTRAN ANSI 77. Ao longo do tempo a linguagem teve muitas aplicabilidades, tanto para empresas como para universidades Fortran 90 O Fortran 90 é um superconjunto do Fortran 77 todo programa em Fortran 77 padrão, são programas em Fortran 90 padrão. Logo, Fortran 90 adere e é completamente compatível com a já existente infraestrutura computacional do Fortran 77. À forma fixa do código-fonte do Fortran 77 o Fortran 90 acresce uma outra forma fonte, chamada forma livre, no qual não existe qualquer coluna de dependências. Na forma livre da fonte os comentários não precisam começar na coluna 1 e a coluna 6 não é reservada para o sinal de continuação. Em ambas as formas o sinal de exclamação! pode ser usado para iniciar comentários de fim-de-linha (e.g., depois de um comando naquela linha) e um ; pode ser usado para separar dois comandos na mesma linha. Como no Fortran 77, os nomes (de variáveis, procedimentos, etc.) do Fortran 90 começam com uma letra e contém letras e dígitos. Adicionalmente, nomes podem conter até 31 caracteres, podem conter sublinhados _, e podem conter letras maiúsculas e minúsculas.

28 Ponteiros Os ponteiros provêm duas importantes capacidades no Fortran 90 estruturas de dados dinâmicas e arranjos dinâmicos. O último é especialmente importante para a ciência computacional, pois ele permite que os arranjos sejam dinamicamente alocados (e realocados) de tamanho adequado e fornece meios de minimizar a transferência de dados. Por conta do impacto negativo que os ponteiros têm sobre a otimização, um ponteiro em Fortran 90 pode apontar apenas para (a) um objeto de dados explicitamente declarado como alvo do ponteiro, (b) um objeto criado dinamicamente, ou (c) outro ponteiro. Isto torna possível que a aplicação da tecnologia de otimização de armazenamento estático seja usada sobre dados que não tenham atributos nem de ponteiros nem de alvo Arranjos Arranjos são provavelmente os mais importantes objetos compostos de dados para a ciência computacional, porém objetos mais heterogêneos são necessários, incluindo estruturas ligadas dinamicamente. No jargão do Fortran 90, estruturas são objetos de tipos definidos pelo usuário. Estruturas dinamicamente ligadas são implementadas essencialmente pelos tipos recursivos definidos pelo usuário. A ideia é finalmente remover aquelas características que se tornaram obsoletas enquanto a linguagem evolui, mas oficialmente identificar tais candidatos como obsolescentes bem antes da remoção efetiva. Intenta-se assim dar a comunidade Fortran (a) a chance de rever as recomendações e prevenir que equívocos sejam feitos, (b) tempo para preparar-se para a mudança de forma ordenada. Segundo o modelo corrente, um item listado como obsolescente em uma versão do Fortran padrão é um candidato à remoção na próxima versão. Os dez itens seguintes do Fortran 90 são listados como obsolescentes: 1. O IF-aritmético 2. Expressões e variáveis de precisão real (e dupla) como índices do DO 3. Finalização partilhada do DO (i.e., dois laços terminando no mesmo comando) 4. Outra finalização do laço DO que não END DO ou CONTINUE

29 28 5. Desviar para um comando END IF exterior àquela construção IF 6. Retornos alternados (ao invés, usar um código variável de retorno) 7. O comando PAUSE (usar READ no lugar) 8. Comandos ASSIGN e GOTO atribuído (usar procedimentos internos no lugar) 9. Especificadores atribuídos de FORMAT (usar cadeias de strings ao invés) 10. O descritor H de edição de string (i.e., nhstring é equivalente a string ) Comparação Por trinta anos, desde sua criação até o Fortran 77, o Fortran tem sido a principal linguagem da ciência computacional. Durante este tempo as capacidades numéricas do Fortran têm sido notavelmente estáveis e superiores àquelas de outras linguagens de computador. As maiores mudanças surgem na forma de uma diversamente crescente e confiável biblioteca de rotinas numéricas. A união do Fortran, técnicas para seu uso, e a extensivas bibliotecas numéricas caracterizam a predominante infraestrutura para a ciência computacional. Na década passada, todavia, a crescente importância de estruturas de dados dinâmicas (particularmente arranjos dinâmicos), unix workstations, sofisticadas facilidades de visualização interativas, e, mais recentemente, arquiteturas paralelas nenhuma das quais Fortran 77 adere bem tem promovido interesse no uso de outras linguagens para computação, mais notadamente a C. Recentemente C++ tem também angariado considerável interesse, e Fortran tem tentado endereçar suas deficiências para a moderna ciência computacional evoluindo para o Fortran 90. A tabela abaixo resume uma tentativa genérica de comparar estas quatro linguagens quanto a relativa adaptabilidade à ciência computacional. Quadro 1: Comparação entre linguagens numa escala de melhor (10) a pior (0) FUNCIONALIDADE FORTRAN 77 C C++ FORTRAN 90 Robustez numérica 5,0 10 7,5 2,5 Paralelismo de dados 7,5 7,5 7,5 2,5

30 29 Abstração de dados 10 7,5 5,0 2,5 Programação orientada a objetos 10 7,5 2,5 5,0 Programação funcional 10 7,5 5,0 2,5 MÉDIA 8,5 8,0 5,5 3,0 Fonte: Adaptado de Cristo, 2003.

31 30 3 PERDAS NA PROTENSÃO 3.1 Pré-tração Perda por escorregamento dos fios e acomodação da ancoragem P anc O escorregamento dos fios e a acomodação da ancoragem nos furos proporciona um deslocamento no ponto de ancoragem da ordem de 4 a 6 mm, dependendo do tipo de armadura de protensão e da existência ou não de pistão de cravação de cunhas nos macacos de protensão (BASTOS, 2015). Esta deve ser mensurada apenas na ancoragem ativa (localização do macaco hidráulico), enquanto na ancoragem passiva a acomodação/escorregamento vai sendo anulada na operação de estiramento (BASTOS, 2015). A perda de protensão por escorregamento/acomodação é determinada por: em que: P anc = d L ε aço σ Pi A p (1) d = deslocamento do ponto de ancoragem/acomodação; L = comprimento da peça; ε aço = deformação do aço, por ocasião do estiramento, geralmente adotado 0,7%; σ Pi = tensão na armadura de protensão aplicada pelo equipamento de tração. A p = área do aço protendido. A perda de protensão por escorregamento/acomodação é constante para toda a viga, ou seja, essa perda é a mesma para qualquer seção da viga.

32 Perda por deformação inicial do concreto P e A perda de protensão por deformação imediata do concreto é decorrente do alívio de tensão nos cabos devido ao encurtamento da armadura, provocada pela aplicação da força de protensão que acarreta uma deformação elástica imediata do concreto. (HANAI, 1998). Assim, a NBR 6118/2014 (item ) define A variação da força de protensão em elementos estruturais com pré-tração, por ocasião da aplicação da protensão ao concreto, e em razão do seu encurtamento, deve ser calculada em regime elástico, considerando-se a deformação da seção homogeneizada. O módulo de elasticidade do concreto a considerar é o correspondente à data de protensão, corrigido, se houver cura térmica.. As figuras abaixo mostram uma peça de concreto sendo submetida a uma força no estado inicial e outra após a liberação dos cabos protendido. Figura 6 Peça pré-moldada de concreto protendido (antes da liberação dos cabos tracionados) Fonte: Veríssimo e Lenz, Figura 7 Peça pré-moldada de concreto protendido (após da liberação dos cabos tracionados) Fonte: Veríssimo e Lenz, 1998.

33 32 Com base nas Figura 6 e Figura 7, tem-se que a força P 0 será absorvida pela seção do concreto e pela seção da armadura homogeneizada. A determinação dessa perda será baseada na posição de aplicação da força. Existem 02 (dois) casos possíveis, sendo o primeiro quando a protensão está centrada na seção de concreto e por último quando há uma excentricidade Protensão centrada Após a transferência da protensão para a peça, a alteração da deformação da armadura de protensão ( ε p ), causada pelo encurtamento elástico do concreto, é equivalente à deformação do concreto (ε cp ) ao nível da armadura de protensão, sendo a equação de compatibilidade expressa por (BASTOS, 2015): ε p = ε cp (2) Portanto, aplicando-se a Lei de Hooke, tem-se: σ P E p = σ cp E c (3) em que: E p = módulo de elasticidade do aço; E c = módulo de elasticidade do concreto; σ cp = tensão no concreto; σ P = variação da tensão da armadura de protensão. Assim, a perda de protensão é: σ P = α p. σ cp (4) em que: α p = razão modular, sendo determinado por α p = E p E c.

34 33 Após as perdas imediatas, a força resistente do concreto equilibrará a força aplicada, de onde podemos escrever que: P a P a = σ cp. (A c A p ) (5) em que: P a = força na armadura de protensão no instante imediatamente anterior à sua liberação das ancoragens externas; A c = área da seção bruta de concreto; A p = área da seção da armadura de protensão. Todavia, tem-se que P a = σ p. A p, portanto: P a = σ cp. (A c A p + α p. A p ) P a = σ cp. A ch (6) em que: A ch = área da seção homogeneizada, sendo determinado por A ch = A c + A p. (α p 1). A parcela α p. A p corresponde à deformação no aço de protensão, que implica na diminuição da força P a, ou seja, é a forma através da qual o decréscimo da força P a é considerado (VERÍSSIMO E LENZ, 1998). E, caso seja dispensada a parcela α p. A p, equivale a admitir que a força P a, causadora do encurtamento da peça, é constante durante todo o processo de deformação elástica imediata do concreto, o que não se verifica experimentalmente (VERÍSSIMO E LENZ, 1998). À medida que o concreto se deforma, devido ao efeito da força de protensão, ocorre o encurtamento concomitante do cabo de protensão e consequente diminuição da força P a (VERÍSSIMO E LENZ, 1998). Como os dois materiais, aço e concreto, possuem módulos de elasticidade diferentes, transforma-se a área de aço numa área fictícia de concreto equivalente (A ch ), denominada de área homogeneizada. A tensão no concreto devido à protensão é dada por:

35 34 σ cp = P a P a = A ch A c + A p. (α p 1) (7) Portanto, a perda de protensão será: P e = P a (8) P a P e = α p.. A A p (9) ch Protensão excêntrica No caso de protensão centrada, a peça trabalha à compressão simples de forma que a tensão num ponto genérico da seção é dada pela equação (7). Entretanto, no caso da protensão excêntrica, a peça trabalha em flexo-compressão. Ou seja, além do esforço normal atuante existe uma parcela de tensão oriunda do momento produzido pela força de protensão (P 0 ) excêntrica. Portanto, para essa situação temse: em que: σ cp = P a A ch + P a. e p I h. y (10) P a = força na armadura de protensão no imediatamente anterior à sua liberação das ancoragens externas; e p = excentricidade da força de protensão P 0 em relação ao centro de gravidade da seção homogeneizada; I h = momento de inércia. Entretanto, essa expressão está a favor da segurança, pois será desconsiderado a influência do peso próprio da estrutura. As características da seção composta de concreto e aço são calculadas considerando a seção homogeneizada, obtendo-se a área A ch, o momento de inércia I h e as distâncias y 1 e y 2 do centro de gravidade como mostra a figura abaixo.

36 35 Figura 8 Protensão excêntrica na seção de concreto Fonte: Veríssimo e Lenz, Assumindo que e p é a excentricidade da força de protensão P 0 em relação ao centro de gravidade da seção homogeneizada, a tensão no concreto devido à protensão no nível y de uma armadura é dada pela equação (10). Portanto, a perda de protensão será: P e = α p. ( P a + P a. e p. y). A A ch I p (91) Assim, a perda por deformação imediata é constante para toda a viga, ou seja, essa perda é a mesma para qualquer seção da viga Perda por relaxação da armadura P r Relaxação da armadura é o alívio de tensão ao longo do tempo em um aço estirado, sob comprimento e temperatura constantes, ocorrendo a partir do instante que o aço é estirado (BASTOS, 2015). A perda de protensão por relaxação inicial da armadura é aquela que ocorre no intervalo de tempo entre o estiramento da armadura e a aplicação da protensão no concreto (BASTOS, 2015).

37 A intensidade de relaxação do aço é determinada pelo coeficiente ψ(t; t 0 ), que segundo a NBR 6118 (item ) é definido por: 36 Δσ Pr (t; t 0 ) = ψ(t; t 0 ). σ Pi (102) em que: Δσ Pr (t; t 0 ) = perda de tensão por relaxação pura desde o instante t 0 do estiramento da armadura até o instante t considerado; σ Pi = tensão na armadura de protensão aplicada pelo equipamento de tração. Segundo a NBR 7482 e 7483, os valores médios para o coeficiente de relaxação de fios e cordoalhas, medidos após horas à temperatura constante de 20ºC (ψ 1000 ), para tensões variando de 0,5. f ptk e 0,8. f ptk, podem ser adotados conforme tabela abaixo. σ Pi Tabela 1 Valores de ψ 1000 (%) Cordialha Fio Barra RN RB RN RB 0, 5. f ptk 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0, 6. f ptk 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5 0, 7. f ptk 7,0 2,5 5,0 2,0 4,0 0, 8. f ptk 12,0 3,5 8,5 3,0 7,0 Fonte: Adaptado da NBR 7482/2008 e 7483/2008. Nota: interpolar para valores intermediários. RN é relaxação normal e RB é relaxação baixa. posteriores. Para valores diferentes de horas, sempre a 20º C, as expressões são: ψ(t, t 0 ) = ψ ( t t ) 0,15 ψ(t, t 0 ) = ψ ( t t 0 41,67 ) 0,15 (t em horas) (113) (t em dias) (14) A seguir, tem-se a determinação das perdas de relaxação nos instantes iniciais e

38 Relaxação inicial A perda por relaxação inicial será determinada pela equação (15): em que: P r1 = ψ(t = t 0). σ 100 Pi. A p (15) σ Pi = tensão na armadura de protensão aplicada pelo equipamento de tração Relaxação posterior A perda de protensão por relaxação é constante para toda a viga apenas inicialmente, ou seja, essa perda é a mesma para qualquer seção da viga. Entretanto, para a relaxação posterior, como a tensão varia nas diferentes seções da viga unicamente pelo fato de as perdas anteriores a esta se alterarem (σ P0 no meio do vão é diferente de σ P0 em outra seção qualquer). A perda por relaxação posterior será determinada pela equação (16): P r2 = 2,5. σ P0. A p (16) em que: σ Po = tensão na armadura de protensão (t = t 0 ) Perda por retração do concreto P cs A retração é um fenômeno que ocorre em função do equilíbrio higrotérmico do concreto com o meio ambiente, sendo influenciada por muitos fatores: traço do concreto, tipo de agregado, tipo de cimento, tempo de aplicação da protensão após a cura, dimensões e forma da peça etc. (BASTOS, 2015). O concreto perde parte da água de amassamento nas primeiras idades, gradativamente, até atingir uma umidade estável. Essa perda produz uma diminuição de

39 38 volume e um consequente encurtamento da peça que se manifesta ao longo do tempo (VERÍSSIMO E LENZ, 1998). A protensão é aplicada à peça depois que o concreto já possui resistência suficiente para lidar com as tensões decorrentes da protensão e do peso próprio. Aquela deve ser adiada tanto quanto possível, com o objetivo de diminuir as perdas de protensão, pois a retração é mais intensa nas primeiras idades do concreto (VERÍSSIMO E LENZ, 1998). A perda de força devida à retração do concreto pode ser aproximada por: P cs = ε cs. E p. A p (7) em que: ε cs = deformação específica de retração do concreto ao nível da armadura, no tempo considerado; E p = módulo de elasticidade da armadura de protensão; A p = área da armadura de protensão. A deformação ε cs é fornecida pela NBR 6118 (Tabela 8.2, item ) do tempo t 0 (dias) até o tempo final (t ), podendo ser utilizada quando não for necessária grande precisão. Quando maior precisão for exigida pode-se aplicar a formulação contida no Anexo A da NBR O Anexo A da norma trata do Efeito do tempo no concreto estrutural, e informa que as prescrições têm caráter informativo que podem, na falta de dados melhores, ser usadas no projeto de estruturas com concretos do grupo I da ABNT NBR 8953 cobertos por esta Norma. Outros valores podem ser usados, desde que comprovados experimentalmente, por meio de ensaios realizados de acordo com Normas Brasileiras específicas, levando em conta variações nas características e propriedades dos componentes do concreto, ou ainda desde que respaldados por Normas Internacionais ou literatura técnica. (BASTOS, 2015). No instante t a retração do concreto no intervalo de tempo t t 0 é dado por: ε cs (t; t 0 ) = ε cs. [β s (t) β s (t 0 )] (18)

40 39 em que: ε cs = valor final da retração, sendo determinado por ε cs = ε 1s. ε 2s ; ε 1s = coeficiente que depende da umidade relativa do ambiente e da consistência do concreto no Quadro 2: ε 2s = coeficiente que depende da espessura fictícia da peça, sendo determinado pela equação (19): Quadro 2: Coeficiente que depende da umidade relativa do ambiente e da consistência do concreto UMIDADE ABATIMENTO (%) (cm) ε 1s 0 4 ε 1s,PADRÃO. 0, ,09 + U 15 U U U (PADRÃO) ε 1s,PADRÃO. 1,25 Qualquer > 90 situação Fonte: Adaptado da NBR ,0 ε 2s = 0, h fic 0, h fic (19) h fic = espessura fictícia, expressa em m (definida posteriormente); β s (t; t 0 ) = coeficiente relativo à retração ao instante de tempo t, t 0 ; em que: A = 40 β s (t, t 0 ) = B = 116. h fic h fic h fic 4,8 [ (t, t 3 0) 100 ] + A. [ (t, t 2 0) 100 ] + B. [ (t, t 0) 100 ] [ (t, t 3 0) 100 ] + C. [ (t, t 2 0) 100 ] + D. [ (t, t (12) 0) 100 ] + E

41 40 C = 2,5. h fic 3 8,8. h fic + 40,7 D = 75. h fic h fic h fic 6,8 E = 169. h 4 fic h 3 fic h 2 fic 39. h fic + 0,8 t = idade fictícia do concreto no instante considerado, em dias (definido posteriormente); t 0 = idade fictícia do concreto no instante em que o efeito de retração começa a ser considerado, em dias; Assim, a perda de protensão, no instante t, devida à retração no concreto resulta: P cs = E p. ε cs. [β s (t) β s (t 0 )]. A p (21) Parâmetros Espessura fictícia da peça A espessura fictícia da peça é determinada, conforme a NBR 7197, equação (22). Todavia, a mesma é limitada para o intervalo entre 0,05 m e 1,60 m e, caso encontre-se fora deste intervalo, deve-se adotar os extremos correspondentes. onde: A c = área da seção transversal da peça; h fic = γ. 2. A c μ ar (22) μ ar = parte do perímetro externo da seção transversal da peça em contato com o ar; γ = coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente, sendo determinado conforme o Quadro 3: Quadro 3: Coeficiente que depende da umidade relativa do ambiente UMIDADE (%) γ

42 exp ( 7,80 + 0,1. U) > 90 1,0 Fonte: Adaptado de Veríssimo e Lenz, Idade fictícia do concreto A idade fictícia do concreto é determinada conforme a NBR 7197 ítem 7.3.1, segundo o Quadro 4: em que: t = idade fictícia em dias; Quadro 4: Idade fictícia do concreto TEMPERATURA (ºC) 20 (temperatura ambiente) t =. t ef Qualquer outra t =. T i Δt 30 ef,i Fonte: Adaptado da NBR 7197/1989. Δt ef,i = período em dias, durante o qual a temperatura média diária do ambiente, T i pode ser admitida constante; = coeficiente dependente da velocidade de endurecimento do cimento, sendo obtido experimentalmente ou conforme quadro abaixo: Quadro 5: Valores de em função da velocidade de endurecimento do cimento para retração CIMENTO onde: AF250, AF320, POZ250, POZ320, MRS e ARS 1 CP250, CP320 e CP400 1 ARI 1 Fonte: Adaptado da NBR 7197/1989. AF = alto forno; ARI = alta resistência inicial; t

43 42 ARS = alta resistência a sulfatos; CP = cimento Portland; MRS = moderada resistência aos sulfatos; POZ = pozolânico. Todavia, a idade mínima é de 3 (três) dias Perda por fluência do concreto P cc Fluência é a deformação permanente de materiais quando estes são sujeitos a cargas ou tensões constantes ao longo do tempo. Assim, no decorrer da vida útil da estrutura, os cabos vãos se encurtando, gradativamente, à medida que o concreto se deforma, devido à tensão de protensão. Consequentemente, ocorre uma perda da força de protensão, isto é, a deformação lenta influencia a força de protensão, por sua vez, influencia a deformação lenta. Admite-se a hipótese de que a tensão na armadura de protensão diminui linearmente durante o período no qual a fluência ocorre (Veríssimo, 1998). Segundo a NBR 6118, A deformação por fluência do concreto (ε cc ) é composta de duas partes, uma rápida e outra lenta. A deformação rápida (ε cca ) é irreversível e ocorre durante as primeiras 24 h após a aplicação da carga que a originou. A deformação lenta é, por sua vez, composta por duas outras parcelas: a deformação lenta irreversível (ε ccf ) e a deformação lenta reversível (ε ccd ).. Assim, a ε cc é determinado pela expressão abaixo: ε cc = ε cca + ε ccf + ε ccd (23) em que: ε cca = deformação rápida irreversível, primeiras 24 horas; ε ccf = deformação lenta irreversível (umidade, consistência, espessura, idade);

44 43 ε ccd = deformação lenta reversível, depende apenas da duração do carregamento. Todavia, deve-se ser determinada a deformação total que será: ε cc,tot = ε cc + ε c = ε c. (1 + φ) (24) em que: ε cc,tot = deformação total do concreto; φ = coeficiente de fluência, sendo determinado pela expressão abaixo: φ = φ a + φ f + φ d (25) onde: φ a = coeficiente de deformação rápida; φ f = coeficiente de deformação lenta irreversível; φ d = coeficiente de deformação lenta reversível. Assim, o coeficiente de fluência φ(t; t 0 ) é dado por: φ(t; t 0 ) = φ a + φ f. [β f (t) β f (t 0 )] + φ d. β d (26) em que: φ a = coeficiente de deformação rápida; φ f = coeficiente de deformação lenta irreversível; β f (t; t 0 ) = coeficiente relativo à fluência irreversível; t = idade fictícia do concreto no instante considerado, em dias; t 0 = idade fictícia do concreto ao ser feito o carregamento único, em dias;

45 44 φ d = coeficiente de deformação lenta reversível; β d = coeficiente relativo à fluência reversível. O coeficiente de fluência rápida φ a é dado por: Quadro 6: Coeficiente de fluência rápida φ a CLASSE DO CONCRETO φ a C20 a C45 φ a = 0,8. [1 f c(t 0 ) f c (t ) ] C50 a C90 φ a = 1,4. [1 f c(t 0 ) f c (t ) ] Fonte: Adaptado da NBR 6118/2014. onde: f c (t 0 ) = β 1 (t 0 ) f c (t ) β 1 (t ) = função do crescimento da resistência do concreto com a idade, sendo; β 1 (t; t ) = exp. {s. [1 ( 28 1 ) 2 (t;t ) ]}, com s determinado a seguir: Quadro 7: Coeficiente s de correlação do tipo de concreto com o crescimento da resistência do concreto CIMENTO s CP I e CP II 0,25 CP III e CP IV 0,38 CP V e ARI 0,20 Fonte: Adaptado da NBR 6118/2014. O coeficiente de deformação lenta irreversível φ f é dado por: Quadro 8: Coeficiente de deformação lenta irreversível φ f CONCRETO φ f C20 a C45 C50 a C90 φ f = φ 1c. φ 2c φ f = 0,45. φ 1c. φ 2c Fonte: Adaptado da NBR 6118/2014. onde:

46 45 φ 1c = coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente U (%) e da consistência do concreto, sendo determinado no Quadro 9: φ 2c = coeficiente dependente da espessura fictícia (h fic ) da peça: anteriormente). φ 2c = 0,42+h fic 0,20+h fic, espessura fictícia, expressa em m (definida Quadro 9: Coeficiente φ 1c UMIDADE (%) ABATIMENTO (cm) φ 1c 0 4 φ 1c = φ 1c,PADRÃO. 0, φ 1c = 4,45 0,035. U (PADRÃO) φ 1c = φ 1c,PADRÃO. 1, φ 1c = 0,60 > φ 1c = 0, φ 1c = 1,00 Fonte: Adaptado da NBR 6118/2014. O coeficiente relativo à fluência irreversível β f (t; t 0 ), função da idade do concreto, é determinado pela equação (27): β f (t; t 0 ) = (t; t 0) 2 + A. (t; t 0 ) + B (t; t 0 ) 2 + C. (t; t 0 ) + D (27) em que: A = 42. h fic h fic h fic B = 768. h fic h fic h fic 23 C = 200. h fic h fic h fic D = h 3 fic h 2 fic h fic O coeficiente de deformação lenta irreversível φ d será considerado igual a 0,4. Enquanto que coeficiente relativo à fluência reversível β d, função do tempo (t t o ), decorrido após o carregamento é dado por:

47 46 β d (t) = t t o + 20 t t o + 70 (28) Portanto, a perda de protensão por fluência é determinado pela equação (29): em que: P cc = E p. σ c(t o ) E ci,28. φ. A p (29) E c,28 = módulo de elasticidade tangente inicial para 28 dias, sendo determinado por: E c,28 = E ci,28 = α E f ck (30) sendo: α E = 1,2 para basalto e diabásio; α E = 1,0 para granito e gnaisse; α E = 0,9 para calcário; α E =,7 para arenito; Parâmetros Espessura fictícia da peça O procedimento de cálculo para se determinar a espessura fictícia é idêntico ao apresentado anteriormente Idade fictícia do concreto O procedimento de cálculo para determinar a idade fictícia do concreto é idêntico ao apresentado anteriormente, todavia o valor de é distinto do apresentado anteriormente. A seguir seguem os valores utilizados para :

48 47 Quadro 10: Valores de em função da velocidade de endurecimento do cimento para fluência CIMENTO AF250, AF320, POZ250, POZ320, MRS e ARS 1 CP250, CP320 e CP400 2 ARI 3 Fonte: Adaptado da NBR Pós-tração Perda por atrito ao longo da armadura P atr As perdas por atrito, ao longo da armadura, variam ao longo de toda a peça protendida, provocada pelo fato dos cabos estarem em contato com as bainhas, gerando um atrito quando submetido à força de protensão, além do atrito interno entre os fios ou cordoalhas que constituem o cabo (VERÍSSIMO E LENZ, 1998). Figura 9 Atrito nos cabos dentro da bainha Fonte: Veríssimo e Lenz, A armadura que existe dentro da bainha perde tensão devido ao atrito cabo-bainha, consequência da sinuosidade inevitável do duto em todos os planos, mesmo em trechos retilíneos do cabo, e da curvatura própria do traçado do cabo. Figura 10 Ondulação parasitas da bainha Fonte: Veríssimo e Lenz, 1998.

49 48 A sinuosidade da bainha é chamada de ondulação parasita, ocorrendo tanto em trechos curvos como nos retilíneos, e deve-se: i. Rigidez insuficiente; ii. Defeitos de montagem da armadura de protensão iii. Insuficiência de pontos de amarração do cabo iv. Empuxo do concreto durante a concretagem Dessa forma, a perda por atrito pode ser dividida de duas formas, sendo elas a perda por atrito em curva e a perda por atrito parasita. A seguir demostra-se como se determina cada uma das formas Perda por atrito em curva Supondo-se um trecho curvo AB de um cabo e duas seções S e S infinitamente próximos como mostra na Figura 11: Figura 11 Forças de atrito num cabo curvo Fonte: Veríssimo e Lenz, Na seção S atua a força P. Na seção S atua a força P que é a força P menos a força de atrito dp entre S e S. Matematicamente, pode-se escrever: P = P dp dp = μdn onde μ é o coeficiente de atrito cabo-bainha.

50 O cabo tracionado com a força P exerce sobre a bainha a força dn que produz o atrito. Sabe-se que para ângulos muitos pequenos, a tangente pode ser confundida com o próprio ângulo. Como dα é um ângulo muito pequeno, do triângulo de forças vem que: dn = P. dα e da equação de equilíbrio do cabo se obtém o valor da parcela dp, que é dada por: e, dp = P. μ. dα dp P Integrando-se a equação acima, tem-se: = μ. dα 49 dp P = μ dα ln( P) = μ. α + ln( C) ln( P) ln( C) = μ. α ln( P ) = μ. α C Tirando o exponencial dos dois termos, obtém-se: e ln(p C ) = e μ.α onde, P C = e μ.α P = C. e μ.α Para α = 0, P = P A. Portanto: P A = C. e 0 = C Logo, P = P A. e μ.α, ou seja, P B = P A. e μ.α é a expressão geral que dá a força na seção B do cabo, em função da força na seção A e do ângulo de desvio do cabo entre A e B. Assim, considerando-se para n curvas tem-se a expressão:

51 50 μ. α P N = P A. e Perda por atrito parasita A perda por atrito parasita pode ser analisando como uma sucessão de perdas em curva, tanto nos trechos retos de um cabo como nos curvos. Assim, tem-se: μ. γ P N = P A. e onde, γ = k. L, sendo k a ondulação média (em radianos) por unidade de comprimento em reta ou em curva. De acordo com a NBR 7197, a perda da força de protensão no cabo devido ao atrito pode ser determinada pela equação abaixo, sendo o resultado da sobreposição dos efeitos das duas formas de atrito. ΔP(x) = P i. [1 e (μ. α+k.x) ] (31) em que: P i = força máxima aplicada à armadura de protensão pelo equipamento de tração; α = soma dos ângulos de desvios previstos, no trecho compreendido entre as abcissas 0 e x da peça; μ = coeficiente de atrito aparente entre cabo e bainha; k = coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas não intencionais do cabo; Os coeficientes podem ser obtidos por experimentos ou podem ser adotados os valores conforme o Quadro 11: Quadro 11: Coeficientes de perda de atrito TIPO DE MATERIAL μ μ (protensão individual) k Cabo e concreto sem bainha 0,50 0,60 Barra com saliência e 0,30 0,40 0,01.μ

52 51 TIPO DE MATERIAL μ μ (protensão individual) k bainha metálica Fios com saliência e bainha metálica 0,30 0,40 Fios lisos paralelos e bainha metálica 0,20 0,30 Fios lisos trançados e bainha metálica 0,20 0,30 Fios lisos paralelos e bainha metálica lubrificada 0,10 0,20 Fios liso trançados e bainha metálica lubrificada 0,10 0,20 Fonte: Adaptado da NBR 7197/ Perda por escorregamento dos fios e acomodação da ancoragem P anc A perda na ancoragem deve-se ao escorregamento dos fios, e depende do tipo de dispositivo de ancoragem, devido à acomodação do elemento de ancoragem (BASTOS, 2015). Em alguns elementos de ancoragem, essa perda é muito pequena, como na ancoragem por meio da rosca e porca, sistema Leonhardt, e quando a ancoragem está apoiada em argamassa ou calda de injeção (HANAI, 2005). Todavia, o encunhamento é o elemento mais empregado na construção civil tendo perdas de protensão maiores e significativas. Segundo a NBR 6118 ( ), essas perdas devem ser determinadas experimentalmente ou adotados os valores indicados pelos fabricantes dos dispositivos de ancoragem..

53 52 Figura 12 Tensão ao longo cabo antes da ancoragem (1-4-2) e após a ancoragem (3-4-2). Fonte: Carvalho, Na Figura 12, tem-se o desenvolvimento das tensões em um cabo antes de ser ancorado (1º situação: 1-4-2). Após a ancoragem, ocorrem as perdas e o desenvolvimento das tensões fica sendo o trecho de (2º situação), resultando então uma queda de tensão na região 1-4 (CARVALHO, 2012). A queda de tensão no início vale σ e vai diminuindo até que, no ponto 4 torna-se zero. A diminuição da queda de tensão ocorre devido ao atrito cabo-bainha que impede a livre movimentação do cabo para o interior da estrutura. Os pontos entre 4 e 2 não se movimentam durante a operação de ancoragem e, portanto, neste trecho não se verifica queda de tensão (CARVALHO, 2012). Portanto, com base na Lei de Hooke, a perda da ancoragem é determinada pela equação (32): P anc = 2. E p. δ X. A p (132) em que: E p = módulo de elasticidade do aço de protensão; δ = escorregamento/acomodação na ancoragem; δ X = ε = perda de deformação média até X;

54 53 X = posição aonde a perda de tensão é nula; A p = área do aço protendido. A posição aonde a perda de tensão é nula é determinada por: X = E p. δ σ Pi. λ (33) em que: λ = valor dependente da curvatura da armadura e do atrito (μ); σ Pi = tensão na armadura de protensão aplicada pelo equipamento de tração. Todavia, a expressão X pode variar de acordo com o tipo de perfil, sendo assim, segue a seguir as formas possíveis de um perfil e os valores para ser determinado X, ratificando que k é determinado pelo Quadro 11.

55 54 Figura 13 Valores de λ e X para perfis típicos da armadura. Fonte: Bastos, Perda por deformação imediata do concreto pelo estiramento dos cabos restantes P e A armadura de protensão é tracionada com uma determinada tensão e, quando liberada, a força de protensão é transferida para o concreto, consequentemente, provocando deformações. Essas deformações acarretam perda de tensão na armadura (HANAI, 2005). Essa situação é intrínseca ao processo de execução, pois para que ocorra a aplicação da força de protensão é necessário que existam deformações no concreto (HANAI, 2005). O macaco de protensão apoia-se em parte da própria peça a ser protendida, o que provocará as deformações na peça à medida que a armadura vai sendo estirada, de modo que não ocorre queda de tensão por deformação imediata do concreto, quando se tem apenas um cabo de protensão (BASTOS, 2015).

56 Todavia, quando existe mais de um cabo e a protensão é aplicada cabo por cabo (como ocorre, geralmente, nas obras), a protensão num cabo provoca deformações no concreto que resultam em perda de protensão nos cabos já tracionados e ancorados. Dessa forma, deve-se calcular um valor médio (BASTOS, 2015). Assim, o primeiro cabo sofre perda de protensão decorrente da protensão dos n-1 cabos restante, e assim sucessivamente, sendo zero a perda do último cabo estirado (BASTOS, 2015). Segundo a NBR 6118 (item ), a perda média de protensão, por cabo, é: P e = [ p. (σ cp + σ cg ). (n 1) ]. A 2. n p (34) 55 em que: p = E p E c = coeficiente de equivalência entre os módulos de elasticidade da armadura de protensão e do concreto; σ cg = M cg I h. e p = tensão no concreto no nível da resultante de protensão, devida à carga permanente mobilizada pela protensão; σ cp = P ( 1 A ch + e p I h. y) = tensão no concreto no nível da resultante de protensão, devida à protensão simultânea de todos os cabos; A p = área do aço protendido; I c = momento de inércia da seção transversal; e p = excentricidade da resultante de protensão; n = número de cabos.

57 Perda por relaxação da armadura P r O procedimento dessa perda ocorre da mesma forma do processo determinado anteriormente em pré-tração. Portanto, para se determinar a perda por relaxação da armadura em pós-tração deve seguir o mesmo procedimento Perda por retração do concreto P cs O procedimento dessa perda ocorre da mesma forma do processo determinado anteriormente em pré-tração. Portanto, para se determinar a perda por retração do concreto em pós-tração deve seguir o mesmo procedimento Perda por fluência do concreto P cc O procedimento dessa perda ocorre da mesma forma do processo determinado anteriormente em pré-tração. Portanto, para se determinar a perda por fluência do concreto em pós-tração deve seguir o mesmo procedimento.

58 57 4 METODOLOGIA O programa para se determinar as perdas em peças protendidas foi separado em duas vertentes, sendo a primeira para se determinar a perda da força de protensão em pré-tração e a outra para se determinar em situações de pós-tração (processo mais comum na construção civil brasileira). Essa divisão ocorre devido a cada processo possuir suas devidas particularidades. Os dois programas elaborados poderão ser empregados em suas situações específicas. É necessário que o usuário entre com todos os dados necessários para que o programa processe as informações e retorne como resultado final todas as perdas de protensão que ocorrem e as forças que existem no processo. Os códigos foram elaborados com a linguagem FORTRAN, devido aos seus benefícios em relação às outras linguagens existentes no mercado, tendo sido desenvolvidos no 2.2 Fortran, usando a interface PLATO IDE, como mostra a figura abaixo. Figura 14 - Plato Idea Fonte: Autor, 2017.