Relatório sobre a Prova de Aferição de Matemática do 2.º ciclo de 2009

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1 Relatório sobre a Prova de Aferição de Matemática do 2.º ciclo de 2009 Novembro

2 Índice 1. Apresentação da prova Resultados nacionais globais Resultados nacionais por área temática Resultados nacionais por item Análise de resultados nos itens por área temática Números e Cálculo Geometria Estatística e Probabilidades Álgebra e Funções Conclusão Anexo 1: Descritores dos itens da prova... Anexo 2: Descritores dos códigos dos itens da prova

3 1. Apresentação da prova A prova de aferição de Matemática do 2.º ciclo do Ensino Básico, enquanto instrumento de aferição, tem por referência os aspectos da competência matemática apresentados no Currículo Nacional do Ensino Básico Competências Essenciais e no Programa de Matemática em vigor. A prova tem por base duas dimensões: as áreas temáticas e os aspectos da competência matemática. Os aspectos da competência matemática avaliados na prova são: o conhecimento e a compreensão de conceitos e matemáticos, e as capacidades de resolver problemas, de raciocinar matematicamente e de comunicar matematicamente. Os alunos mostram os seus conhecimentos nestes aspectos respondendo a itens das áreas temáticas de Números e Cálculo, Geometria, Estatística e Probabilidades, e Álgebra e Funções. Cada item é construído para avaliar, preferencialmente, uma das quatro áreas temáticas e um dos aspectos da competência matemática. Contudo, alguns itens abarcam conhecimentos de várias áreas temáticas e vários aspectos da competência matemática. Na tabela abaixo explicitam-se algumas das capacidades específicas dos aspectos da competência matemática que se pretendem avaliar. ASPECTOS DA COMPETÊNCIA CONHECIMENTO E COMPREENSÃO DE CONCEITOS E PROCEDIMENTOS MATEMÁTICOS RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS RACIOCÍNIO MATEMÁTICO CAPACIDADES A AVALIAR - Conhecimento de factos, conceitos e matemáticos e sua aplicação a situações simples ou rotineiras. Resolver problemas em contextos matemáticos e em outros contextos - Matematizar uma dada situação. - Aplicar e adaptar uma diversidade de estratégias adequadas à resolução de uma situação. - Interpretar e criticar resultados dentro do contexto de uma situação. - Acompanhar e avaliar cadeias de argumentos matemáticos. - Formular, investigar e validar conjecturas matemáticas. - Formular argumentos matemáticos válidos para justificar opiniões. - Utilizar diversos tipos de raciocínio e métodos de demonstração. 2

4 COMUNICAÇÃO MATEMÁTICA - Interpretar e utilizar representações matemáticas e «textos» matemáticos. - Comunicar o pensamento matemático ou a estratégia de resolução de um problema de forma coerente e clara, utilizando a linguagem matemática. A prova é constituída por 29 itens distribuídos por duas partes idênticas, em número e tipo de itens (itens de escolha múltipla, de resposta curta, de completamento e de resposta aberta). As percentagens indicadas no quadro seguinte dizem respeito ao número de itens de cada aspecto da competência matemática relativamente ao número total de itens da prova. Aspectos da competência matemática Conhecimento e compreensão de conceitos e matemáticos Percentagem de itens (matriz conceptual) Percentagem de itens (matriz da prova de 2009) 45% a 55% 52% Resolução de problemas 15% a 30% 17% Raciocínio matemático 15% a 30% 24% Comunicação matemática 5% a 10% 7% As percentagens indicadas no quadro seguinte dizem respeito ao número de itens de cada área temática relativamente ao número total de itens da prova. Áreas temáticas Percentagem de itens (matriz conceptual) Percentagem de itens (matriz da prova de 2009) Números e Cálculo 35% a 45% 38% Geometria 35% a 45% 41% Estatística e Probabilidades 10% a 15% 14% Álgebra e Funções 5% a 10% 7% 3

5 2. Resultados nacionais globais A prova foi realizada por alunos do 6.º ano de escolaridade, envolvendo todas as escolas públicas e privadas. A classificação final dos alunos na prova de aferição foi feita com base nos seus níveis de desempenho, medidos em pontos percentuais: atribuiu-se uma pontuação a cada item e a soma dos pontos correspondentes aos códigos atribuídos às respostas dos alunos foi convertida em percentagem da pontuação máxima possível. A tabela ao lado mostra a distribuição dos alunos pelos cinco níveis de classificação adoptados para descrever o seu desempenho. Cada nível corresponde a um dos cinco intervalos em que foi dividida a escala de pontos percentuais, sendo A o nível mais elevado e E o mais baixo. A leitura da tabela permite verificar que mais de metade dos alunos se situa no nível C e cerca de 27% se Classificação final Nível Frequência % A ,2 B ,3 C ,2 D ,6 E ,7 Total ,0 situam nos dois níveis superiores A e B. O histograma seguinte mostra a distribuição dos alunos, de acordo com a classificação obtida na prova, em pontos percentuais. A média nacional foi de 61,5%, com um desvio-padrão de 19,5% Frequência Classificação (%) 4

6 3. Resultados nacionais por área temática A tabela seguinte permite fazer uma leitura do desempenho global dos alunos, em cada área temática, através da percentagem de itens a que deram respostas correctas. Permite ainda ver o número de itens da prova, de cada área temática, e a respectiva média global. N.º de respostas correctas Geometria (%) Números e Cálculo (%) Área temática Estatística e Probabilidades (%) Álgebra e Funções (%) 0 1,0 0,6 2,1 30,8 1 3,7 2,3 9,2 47,1 2 7,8 4,7 36,5 22,1 3 11,2 7,3 41, ,4 9,9 10, ,7 11, ,8 12, ,9 12, ,1 12, ,3 10, ,3 9, ,1 5, , Média 46,8 58,8 62,4 45,6 Apesar da disparidade entre o número de itens das quatro áreas temáticas, a partir das percentagens apresentadas na tabela, é possível tirar algumas ilações: A área temática onde os alunos apresentam menor média global de acertos é Álgebra e Funções, logo seguida da área de Geometria, ambas com média global inferior a 50%. A área onde os alunos apresentam melhor desempenho é Estatística e Probabilidades, logo seguida da área de Números e Cálculo, ambas com médias globais de acerto da ordem dos 60%. 5

7 4. Resultados nacionais por item As respostas dos alunos foram classificadas através de códigos que correspondem a níveis diferenciados de desempenho. A codificação das diversas respostas aos itens é variada, de acordo com o formato do item e com o tipo de desempenho previsto. Alguns itens têm códigos com dois dígitos. O primeiro dígito corresponde ao nível de desempenho da resposta do aluno. O segundo dígito usa-se para codificar diferentes tipos de respostas. A tabela da página seguinte mostra as percentagens de respostas classificadas nos diferentes códigos, de cada item. Para uma leitura mais aprofundada do desempenho dos alunos sugere-se que a leitura dos resultados apresentados na tabela seja completada com uma análise do que se pretende avaliar com cada item e do significado dos respectivos códigos (documentos em anexo). A observação da tabela permite tirar algumas conclusões genéricas: A percentagem de alunos que não responde (código X) é relativamente baixa, sendo os itens 18 e 20, de resolução de problemas, 12 e 14.2, de comunicação, e o item 9, de conceitos e, os que apresentam percentagens de não resposta mais elevadas (superiores a 10%). Os três itens em que os alunos obtiveram melhor desempenho, com percentagens de respostas classificadas com código máximo superiores a 85%, são os itens 3 e 4.2, que avaliam o conhecimento e a compreensão de conceitos e das áreas de Números e Cálculo, e de Estatística e Probabilidades, e o item 4.1, que avalia o raciocínio matemático na área de Estatística e Probabilidades. A percentagem de alunos que apresentam respostas consideradas totalmente incorrectas (códigos 0, 00, 01, 02 e 03) é muito diversificada, desde valores inferiores a 9%, nos itens 3, 4.1, 4.2 e 14.3, até valores que ultrapassam os 60%, nos itens 1.1 e 1.2. Os itens 4.3 e 18, problemas de Estatística e Probabilidades, e de Geometria, respectivamente, são os itens em que os alunos apresentam percentagens de respostas classificadas com código máximo mais baixas (menos de 10%). Importa ainda observar o modo como se distribuem as preferências dos alunos, que não identificam a resposta correcta nos itens de escolha múltipla, pelas opções incorrectas. Os itens 11 e 21 são os únicos em que se destaca a preferência dos alunos por uma das opções incorrectas em detrimento das outras. 6

8 Tabela com os resultados nacionais por item Código Itens X 3,3 0,7 4,2 0,5 0,3 0,4 8,9 4,5 6,8 0,3 8,4 11,9 1,4 0,7 10,9 2,6 0,4 14,4 2,3 1,1 1,3 0,6 6,4 10,0 1,5 13,7 1,8 4,2 5,8 00/0 65,4 0,8 26,9 7,9 2,2 8,6 48,5 15,9 56,4 1,2 27,5 57,1 41,0 0,5 37,3 3,8 1,7 42,2 8,7 2,4 19,4 16,5 16,2 30,4 27,3 37,0 0,6 28,7 46, ,7 10, , , , ,7 13, , , , , , , , , , , , , , , , ,7 2, , ,3 0, ,6 0, ,9 2,9 71,9 64,7 16, ,0 2, ,1 4,9 3,6 0,3 49,2 2, , , ,6 3, , , , , ,9 17,4 1,0 12, , , , , , , , , ,6 57, , , , , , ,8 1, , , , , ,0 18,6 2,2 9, , ,0 1, , , , ,1 3, , , , , , , ,4 53, , , , , , , , ,

9 5 Análise de resultados nos itens por área temática A seguir apresenta-se uma análise mais pormenorizada dos resultados dos alunos em alguns itens da prova. A análise está agrupada por área temática e tem como objectivo explicitar os aspectos que se pretendem avaliar em cada um dos itens analisados, o desempenho global dos alunos nesses itens, evidenciando, sempre que possível, erros e más concepções ou dificuldades que os padrões de resposta dos alunos permitem deduzir e, igualmente, evidenciar algumas implicações destes resultados para o ensino e a aprendizagem da Matemática Números e Cálculo Na tabela seguinte pode ver-se, relativamente, aos onze itens da área temática de Números e Cálculo, os aspectos da competência matemática que avaliam e uma descrição sumária de cada um. Os itens estão dispostos por ordem crescente da sua dificuldade. Item Aspecto da competência Descrição sumária 3 Representar uma fracção graficamente Raciocínio matemático Resolução de problemas Comunicação matemática 2 Raciocínio matemático 6 8 Resolução de problemas Resolver uma situação envolvendo a adição de números escritos na forma decimal. Resolver uma situação envolvendo o raciocínio proporcional. Identificar, num conjunto de fracções, a que não é equivalente a uma dada fracção. Resolver um problema envolvendo a identificação da informação relevante. Calcular o valor de uma expressão numérica com racionais. Identificar, num conjunto de números inteiros aquele que é múltiplo de 9. Identificar e interpretar a informação relevante para resolver uma situação envolvendo a adição de números escritos na forma decimal. Resolver uma situação envolvendo múltiplos e apresentar a estratégia utilizada. Identificar o valor do expoente de uma potência de base 10, conhecido o seu valor. Resolver um problema envolvendo o conceito de fracção como operador. De um modo global, pode afirmar-se que o desempenho dos alunos nesta área temática, com excepção dos itens 6 e 17.2, é mais elevado nos itens que avaliam o conhecimento e a compreensão de conceitos e, e vai decrescendo nos itens que avaliam o raciocínio, a comunicação e a resolução de problemas. 8

10 O baixo desempenho dos alunos no item 6, quando comparado com os seus desempenhos nos outros itens que avaliam o mesmo aspecto da competência matemática, poderá, eventualmente, ter a ver com o grau de abstracção subjacente à compreensão do conceito de potência. Quanto ao item 17.2, o razoável nível de desempenho dos alunos, comparativamente ao seu desempenho no item 8, ambos de resolução de problemas, poderá dever-se ao contexto, relativamente familiar à maior parte dos alunos, que envolve a leitura de uma tabela e a adição de números decimais. O item 3, de conceitos e, é o item que apresenta a taxa de sucesso mais elevada, cerca de 92% dos alunos pintam correctamente a parte do desenho pedida. Os itens 2, 6 e 8, de raciocínio, de conceitos e de resolução de problemas, respectivamente, são os que apresentam taxas de sucesso mais baixas. A resolução do item 8, apresentado a seguir, requer: o conhecimento do conceito de fracção como operador e a sua aplicação numa situação contextualizada, e a interpretação do significado dos valores obtidos. Para resolver este problema, os alunos têm de calcular o total do dinheiro representado na figura, a quantia correspondente a três quartos desse dinheiro e, por último, metade desta quantia. 9

11 Cerca de 26% dos alunos apresentam respostas que foram classificadas com código máximo e cerca de 24% apresentam respostas que revelam alguma compreensão dos dados do problema. No sentido de procurar possíveis causas para o elevado insucesso neste item, foram analisadas algumas das respostas registadas pelos alunos, que se apresentam de seguida. Alguns alunos apresentam estratégias de resolução adequadas mas cometem erros no cálculo do dinheiro representado na figura, quer porque adicionam incorrectamente euros com cêntimos, revelando alguma incompreensão do sistema monetário, quer porque não contabilizam parte das moedas e/ou notas, como na resposta seguinte, em que o aluno considera que o António tem apenas 20 euros. Outros alunos, que também apresentam estratégias de resolução adequadas, calculam correctamente o dinheiro representado na figura mas não o preço da caneta. Uns porque cometem erros de cálculo e outros, como na resposta seguinte, porque calculam a quarta parte do dinheiro, em vez dos três quartos. 10

12 A resposta seguinte revela uma não compreensão do conceito de fracção como operador, apesar de o aluno ter determinado correctamente o dinheiro representado na figura. Na resposta seguinte, o aluno calcula o valor correcto do dinheiro representado na figura e três quartos desse dinheiro. Em seguida, adiciona os dois valores e calcula metade desse total, não sendo possível identificar quais as causas deste erro: uma mera distracção, dificuldade em seguir uma cadeia de raciocínios, interpretação errada do problema? Ainda assim, a resposta do aluno revela falta de sentido crítico face ao valor obtido. Outros alunos, ignorando a quantia total de dinheiro, calculam metade de três quartos e respondem um valor absurdo, revelando falta de sentido crítico face aos valores obtidos. A figura seguinte mostra a resolução de um aluno que responde o preço correcto da caneta, com uma explicação incorrecta. O raciocínio explicitado pelo aluno não o deveria ter conduzido à resposta correcta, no entanto, surge a dúvida: se o aluno chega à resposta correcta por mero acaso ou se resolveu o problema mas não foi capaz de explicar a estratégia que utilizou. 11

13 Os resultados nacionais obtidos nesta área, em particular no item 8, apontam para a necessidade premente de serem dadas mais oportunidades aos alunos para resolverem problemas envolvendo fracções e para discutirem o significado das suas soluções, nos respectivos contextos Geometria A tabela seguinte refere-se aos doze itens da área temática de Geometria, onde se referenciam os aspectos da competência matemática que avaliam e uma descrição sumária de cada um. Os itens estão dispostos por ordem crescente da sua dificuldade. Item Aspecto da competência Descrição sumária 13 Desenhar uma circunferência dado o seu diâmetro Desenhar uma figura geométrica que obedeça a determinadas condições Identificar designações de polígonos Raciocínio matemático Raciocínio matemático 14.2 Comunicação matemática 20 Resolução de problemas Identificar, num conjunto de quatro símbolos, aquele que só tem um eixo de simetria. Completar o desenho de um paralelogramo numa grelha de pontos, dados dois dos seus lados. Identificar um triângulo acutângulo, conhecidas as amplitudes dos seus ângulos. Utilizar a noção de bissectriz para calcular a amplitude de um ângulo. Identificar, num conjunto de figuras geométricas, a que pode representar uma face lateral de um prisma cujas arestas são geometricamente iguais. Utilizar o raciocínio espacial para determinar o número de arestas de um prisma hexagonal. Comparar as áreas de figuras, compostas por triângulos geometricamente iguais. Resolver um problema, envolvendo visualização e raciocínio espacial. 18 Resolução de problemas Resolver um problema, envolvendo a noção de área. 12

14 Tal como na área de Números e Cálculo, também em Geometria os alunos apresentam melhor desempenho nos itens de conceitos e do que nos itens de resolução de problemas. No entanto, o nível de desempenho dos alunos nos itens de Geometria é globalmente mais baixo do que nos itens de Números e Cálculo. Os itens 13 e 14.3, de conceitos e, são os que apresentam taxas de sucesso mais elevadas, com percentagens de respostas correctas de 72% e 66%, respectivamente. Os itens onde o insucesso é mais elevado são os itens 1.1 e 14.2, de raciocínio e comunicação matemáticos, e os itens 18 e 20, de resolução de problemas, todos com percentagens de respostas correctas inferiores a 32%. São itens em que as capacidades de visualização e de raciocínio espacial têm um peso considerável. No entanto, as maiores dificuldades continuam a surgir nos itens de resolução de problemas, em particular no item 18, que envolve o cálculo do número de fatias que cabem num tabuleiro dadas as suas dimensões. A figura seguinte mostra o item tal como aparece na prova. Para descobrirem uma estratégia adequada à resolução deste problema, os alunos teriam de ler e interpretar o seu enunciado, e compreender que as fatias não vão ocupar totalmente o interior do tabuleiro. Para chegarem à resposta correcta, os alunos teriam de identificar quantas fatias cabem em cada uma das duas dimensões 13

15 do tabuleiro e só depois determinariam o número total de fatias que cabem no seu interior, aplicando o conceito de área. Neste problema, cerca de 17% dos alunos apresentam uma estratégia de resolução apropriada e completa, e respondem correctamente, e cerca de 40% ou não desenvolvem qualquer trabalho (código X) ou apresentam respostas que foram classificadas com código 00. Cerca de 43% dos alunos apresentam respostas que foram classificadas com códigos intermédios. A análise de algumas respostas pode ajudar a compreender melhor o tipo de erros cometidos ou más concepções dos alunos. Muitos alunos resolvem o problema como se as fatias preenchessem completamente o interior do tabuleiro. Calculam a área do interior do tabuleiro e a área ocupada por uma fatia, e dividem estas duas áreas. Outros procuram saber quantas fatias cabem em cada uma das dimensões do tabuleiro mas apenas identificam o número correcto de fatias que cabem numa delas, como ocorre na resposta seguinte. A explicação apresentada não permite identificar qual a estratégia que o aluno utilizou para determinar que cabem 6 fatias na primeira coluna e 7 na primeira linha. Apenas se pode especular sobre o modo como o aluno terá desenvolvido a sua estratégia: poderá ter contando mentalmente de 5 em 5, desenhando um traço por cada fatia, e cometido um erro de contagem, na primeira linha, ou poderá ter confiado na sua capacidade de visualização e visualizado quantas fatias cabiam em cada fila. As respostas dos alunos nem sempre apresentam, explicitamente, todas as etapas seguidas na resolução do problema, algumas poderão ter sido realizadas mentalmente, e os alunos não as registam por escrito, revelando uma comunicação deficitária. Por exemplo, na resposta apresentada a seguir, o aluno também não explica como calculou o número de fatias que cabem em cada uma das dimensões do tabuleiro. No entanto, como a sua resposta não apresenta erros, parte-se do princípio de que utilizou uma estratégia adequada. 14

16 Outras repostas revelam estratégias incompletas, ou etapas incorrectas. Por exemplo, na resposta apresentada a seguir, o aluno identifica o número de fatias que cabem em cada uma das duas dimensões do tabuleiro, mas não calcula o total de fatias que cabem no tabuleiro, não evidenciando saber aplicar a noção de área, no contexto da situação. Na resposta seguinte, depois de ter identificado correctamente o número de fatias que cabem em cada uma das dimensões do tabuleiro, o aluno adiciona esses dois números, evidenciando falta de compreensão do conceito de área. 15

17 Na resposta seguinte, confrontado com três medidas de comprimento, o aluno multiplica-as, aplicando inadequadamente um procedimento adequado ao cálculo de um volume, e revelando uma incompreensão do problema. Na resposta apresentada a seguir, parece haver evidência de que o aluno iniciou uma estratégia adequada de resolução do problema, tendo verificado que 8 fatias colocadas, lado a lado, ocupam 40 cm, tendo sobrado 2 cm sem fatia, e que 6 fatias ocupam 30 cm, tendo sobrado 3 cm sem fatia. No entanto, as etapas que o aluno apresenta a seguir, suscitam algumas dúvidas acerca do significado que o mesmo atribuiu ao seu trabalho. A seguir, apresenta-se outro exemplo de resposta em que o aluno manipula os valores do enunciado do problema, utilizando fórmulas que aprendeu, mas não há evidência de que lhes tenha atribuído qualquer significado. 16

18 Quanto aos itens 1.2, 7, 11 e 14.1, todos de escolha múltipla, que avaliam o conhecimento de conceitos, a observação da tabela com os resultados nacionais por item revela padrões de respostas distintos. No item 7, cerca de 63% dos alunos assinalam correctamente o símbolo que tem apenas um eixo de simetria (o símbolo <) e as opiniões dos restantes alunos dividem-se diferentemente pelas três opções incorrectas: cerca de 16% assinalam o símbolo =, 14% optam pelo símbolo e 6% pelo símbolo. No item 14.1, as respostas incorrectas incidem sobre duas das opções, com cerca de 13% cada, em detrimento da terceira que é assinalada por apenas 7% dos alunos. No item 11, cerca de 56% dos alunos identificam correctamente a opção que contém as amplitudes de um triângulo acutângulo (35º, 85º, 60º) e cerca de 22% assinalam a opção que contém as amplitudes de um triângulo rectângulo (30º, 90º, 60º). As opiniões dos restantes alunos dividem-se em cerca de 11% para cada uma das outras duas opções. No item 1.2, cerca de 37% dos alunos identificam o quadrado como sendo a figura que pode representar a forma de uma das faces da estrutura de um prisma hexagonal, construído com palhinhas do mesmo comprimento. Contrariamente ao que seria de esperar, a opção incorrecta mais assinalada foi o triângulo equilátero (23%) e não o rectângulo (20%). Uma das possíveis explicações poderá dever-se ao facto de o triângulo ser a figura que, além do quadrado, também tem os lados todos do mesmo comprimento. Cerca de 19% dos alunos assinalam o paralelogramo. Seria interessante tentar perceber-se o porquê destes resultados. Tendo em conta os resultados obtidos nesta área, em particular no item 18, sugere-se que sejam dadas oportunidades aos alunos para realizarem tarefas, que envolvam a noção de área em contextos diversificados, e para analisarem e discutirem a plausibilidade das soluções obtidas, nos respectivos contextos. 17

19 5.3. Estatística e Probabilidades Na tabela seguinte pode ver-se, relativamente, aos quatro itens da área temática de Estatística e Probabilidades, os aspectos da competência matemática que avaliam e uma descrição sumária de cada um. Os itens estão dispostos por ordem crescente da sua dificuldade. Item Aspecto da competência Descrição sumária 4.2 Ler informação contida numa tabela de dupla entrada. 4.1 Raciocínio matemático 22 Raciocínio matemático Completar um gráfico de barras a partir de dados fornecidos numa tabela. Usar processos organizados de contagem para resolver problemas combinatórios simples. 4.3 Resolução de problemas Resolver um problema, envolvendo a noção de média. A área temática de Estatística e Probabilidades é uma área em que os alunos normalmente apresentam bom desempenho. De facto, as taxas de sucesso nos itens 4.1 e 4.2 são da ordem dos 90%, podendo concluir-se que a maior parte dos alunos revela boa capacidade para ler e interpretar informação apresentada em tabelas e para construir diferentes representações gráficas da mesma informação. À semelhança do que acontece nas outras áreas temáticas, é também no item de resolução de problemas, item 4.3, que os alunos apresentam o pior desempenho. A resolução deste item envolve o conceito de média aritmética e requer a procura e selecção da informação relevante numa tabela que contém informação em excesso. 18

20 Neste problema, apenas 12% dos alunos apresentam respostas que foram classificadas com código máximo. Cerca de 57% dos alunos ou não respondem ou apresentam respostas que foram classificadas com código 00. Cerca de 20% dos alunos apresentam respostas que foram classificadas com códigos intermédios. Para resolver este problema, os alunos teriam de identificar, na tabela, o número de rapazes que dormem 8h, 9h e 10h, por dia, calcular o número total de horas que eles dormem e aplicar um procedimento para o cálculo de uma média aritmética, por exemplo, dividindo o número total de horas calculado pelo número de rapazes da turma. O elevado insucesso neste item poderá constituir um indicador da existência de alguns problemas na compreensão do conceito de média, apesar de alguns alunos revelarem ter conhecimento de um procedimento para calcular a média aritmética de três números (calculam a média das frequências que lêem na coluna dos rapazes (cerca de 11%) ou a média das três categorias de horas apresentadas na tabela (cerca de 8%). A análise de respostas dos alunos poderá permitir a identificação de alguns dos erros cometidos e eventuais más concepções. Os erros mais surpreendentes, e que surgiram com alguma frequência, são os que ocorrem nas resoluções de alunos que, apesar de revelarem compreensão do conceito de média, não chegam à resposta correcta por cometerem erros de cálculo, reveladores da não compreensão de operação e número, numa expressão numérica com números inteiros. A seguir apresenta-se uma destas respostas. 19

21 Outro tipo de erro, que revela falta de compreensão do conceito de média, ocorre em respostas em que os alunos dividem o número total de horas de sono por 3 (as três parcelas que identificam no cálculo destas horas) em vez de as dividirem por 10 (o número total de rapazes da turma), como acontece na resposta seguinte. Além dos erros referidos, as respostas destes alunos revelam ainda a existência de graves lacunas no seu sentido do número e na sua capacidade crítica relativamente aos valores que apresentam. Tendo em conta estes resultados, devem ser criadas oportunidades para os alunos realizarem tarefas que envolvam o cálculo de médias em contextos diversificados, a análise das soluções obtidas e a discussão da sua plausibilidade no respectivo contexto Álgebra e Funções Na tabela seguinte pode ver-se, relativamente, aos dois itens da área temática de Álgebra e Funções, os aspectos da competência matemática que avaliam e uma descrição sumária de cada um. Os itens estão dispostos por ordem crescente da sua dificuldade. Item Aspecto da competência Descrição sumária 19. Raciocínio matemático 9. Descobrir o 5.º elemento de uma sequência de figuras geométricas. Descobrir a solução de uma equação, envolvendo uma subtracção com números racionais não negativos. No item 19, os alunos têm de descobrir a lei de formação da sequência de figuras para poderem identificar o número de elementos constituintes da 5.ª figura. Cerca de 60% dos alunos respondem correctamente a este item. No item 9, os alunos têm de identificar o subtractivo numa subtracção de números racionais não negativos em que o aditivo e o resto são conhecidos. 20

22 Cerca de 27% dos alunos respondem correctamente a este item e cerca de 4% apresentam uma estratégia adequada para calcular o subtractivo, mas não o calculam (respostas classificadas com código 1). Cerca de 69% dos alunos ou não respondem (12%) ou apresentam respostas incorrectas (57%). Eventualmente, a coexistência de diferentes formas de representação de números (fracção e decimal) na mesma igualdade terá contribuído para o elevado insucesso neste item. 21

23 6. Conclusão Os itens em que os alunos obtêm melhor desempenho são os itens 3 e 4.2, de conceitos e, das áreas temáticas de Números e Cálculo, e de Estatística e Probabilidades, com percentagens de respostas classificadas com código máximo superiores a 90%. Os itens em que obtêm pior desempenho são os itens 4.3 e 18, de resolução de problemas, das áreas temáticas de Estatística e Probabilidades e de Geometria, com percentagens de respostas classificadas com código máximo inferiores a 20%. No total dos 29 itens da prova, há dez itens nos quais as percentagens de respostas, classificadas com código máximo são inferiores a 48%. O desempenho dos alunos foi superior na área de Números e Cálculo e na área de Estatística e Probabilidade, e um pouco mais baixo em Geometria e em Álgebra e Funções. O desempenho global dos alunos, quando as respostas com códigos intermédios também são contabilizadas, pode considerar-se razoável, sendo a média nacional de 62%. Um outro indicador deste desempenho é a classificação final, na qual a percentagem de alunos classificados nos três escalões superiores é de 79%. De um modo global, os resultados obtidos pelos alunos do 6.º ano do Ensino Básico, nesta prova, revelam que estes são detentores de um conhecimento de conceitos e razoável. No entanto, evidenciam também a dificuldade que os alunos ainda manifestam na resolução de problemas contextualizados, bem como, uma preocupante falta de sentido crítico face à plausibilidade das soluções que apresentam. Neste sentido, é importante que, não descurando o conhecimento e a compreensão de conceitos e, os professores promovam, com mais frequência, experiências matemáticas em que os alunos resolvem problemas com contexto, discutem as suas estratégias de resolução e analisam o significado das suas soluções. 22

24 Anexo 1 Descritores dos itens da prova de aferição de Matemática Item Área temática 1.1 Geometria 1.2 Geometria Números e cálculo Números e cálculo Estatística e probabilidades Estatística e probabilidades Estatística e probabilidades Números e cálculo Números e cálculo 7 Geometria 8 9 Números e cálculo Álgebra e funções Número e cálculo 10 Geometria 11 Geometria 12 Números e cálculo 13 Geometria 14.1 Geometria Geometria Medida Geometria Medida Números e cálculo Números e cálculo Aspecto da competência Raciocínio matemático Raciocínio matemático Raciocínio matemático Resolução de problemas Resolução de problemas Raciocínio matemático Comunicação matemática Comunicação matemática Raciocínio matemático Descrição Utilizar o raciocínio espacial para determinar o número de arestas de um prisma hexagonal. Identificar, num conjunto de figuras geométricas, a que pode representar uma face lateral de um prisma cujas arestas são geometricamente iguais. Desenvolver uma estratégia adequada de resolução de uma situação envolvendo múltiplos e apresentar a estratégia utilizada. Representar uma fracção graficamente. Completar um gráfico de barras a partir de dados fornecidos numa tabela. Ler informação contida numa tabela de dupla entrada. Identificar a informação relevante para a resolução de um problema que envolve a média aritmética. Desenvolver uma estratégia adequada de resolução e apresentar a estratégia utilizada. Calcular o valor de uma expressão numérica com racionais não negativos, que envolve a prioridade do parêntesis. Identificar o valor do expoente de uma potência de base 10, conhecido o seu valor. Identificar, num conjunto de quatro símbolos, aquele que só tem um eixo de simetria. Desenvolver uma estratégia adequada de resolução de um problema que envolve o conceito de fracção como operador. Apresentar a estratégia utilizada. Descobrir a solução de uma equação, envolvendo uma subtracção com números racionais não negativos. Completar o desenho de um paralelogramo numa grelha de pontos, dados dois dos seus lados. Identificar um triângulo acutângulo, conhecidas as amplitudes dos seus ângulos. Identificar e interpretar a informação relevante para resolver uma situação envolvendo a adição de números escritos na forma decimal. Desenhar uma circunferência conhecido o seu diâmetro. Identificar designações de polígonos. Comparar as áreas de figuras, compostas por triângulos geometricamente iguais. Desenhar uma figura geométrica que obedeça a determinadas condições. Identificar, num conjunto de fracções, a que não é equivalente a uma dada fracção. Utilizar o raciocínio proporcional na resolução de uma situação. 23

25 17.1 Números e cálculo 17.2 Números e cálculo Geometria Medida Álgebra e funções Geometria Números e cálculo Números e cálculo Estatística e probabilidades Geometria Medida Resolução de problemas Resolução de problemas Raciocínio matemático Resolução de problemas Raciocínio matemático Resolver uma situação que envolve operações com números escritos na forma decimal. Identificar a informação relevante. Identificar a informação relevante para a resolução de um problema e desenvolver uma estratégia adequada de resolução. Desenvolver uma estratégia adequada de resolução de um problema que envolve a noção de área. Apresentar a estratégia utilizada. Identificar o padrão de uma sequência de figuras e utilizá-lo para descobrir uma figura da sequência. Utilizar a visualização e o raciocínio espacial na análise e resolução de um problema. Identificar, num conjunto de números inteiros, aquele que é múltiplo de 9. Usar processos organizados de contagem para resolver um problema combinatório simples. Utilizar a noção de bissectriz para calcular a amplitude de um ângulo. 24

26 Anexo 2 Descritores dos códigos dos itens da prova de aferição de Matemática Nota: Em todos os itens, o código X é atribuído quando o aluno não apresenta qualquer trabalho nesse item. Item Código Descrição Escreve o número de arestas de um prisma hexagonal: Apresenta outra resposta. 11 Assinala a opção correcta: Figura A. 01 Assinala a opção incorrecta: Figura B. 02 Assinala a opção incorrecta: Figura C. 03 Assinala a opção incorrecta: Figura D. 00 Assinala mais do que uma opção. 32 Apresenta uma estratégia apropriada e completa de resolução da questão e dá a resposta correcta. 31 Há evidência de que identifica as tostas que ficam sem nada, mas não dá a resposta correcta ou não responde. 21 Apresenta uma estratégia explícita de resolução da questão, mas comete um ou dois erros de percurso e responde de acordo com o erro cometido. 12 O trabalho apresentado revela alguma compreensão da situação apresentada. 11 Responde correctamente, sem apresentar uma explicação adequada, ou sem apresentar uma explicação. 01 Repete o padrão das primeiras quatro tostas. 00 Apresenta outra resposta, além das mencionadas. 1 Pinta dois dos sectores em que o círculo está dividido. 0 Apresenta outra resposta, além das mencionadas. 21 Completa correctamente o gráfico Desenha correctamente as quatro barras que faltam no gráfico, mas não 12 preenche, ou preenche incorrectamente, os espaços correspondentes às designações das categorias (9 horas e 10 horas). 11 Preenche os espaços correspondentes às designações das categorias, mas não desenha uma ou duas das barras que faltam, ou desenha-as incorrectamente. 00 Apresenta outra resposta, além das mencionadas. 1 Identifica correctamente o número de alunos que dormem 9 horas por dia: 5. 0 Não identifica correctamente o número de alunos que dormem 9 horas por dia. 32 Apresenta uma estratégia apropriada e completa de resolução do problema e há evidência de ter chegado à resposta correcta. Apresenta uma estratégia apropriada e completa de resolução do problema, 31 mas comete um pequeno erro de cálculo e responde de acordo com o erro cometido. Apresenta uma estratégia apropriada e completa de resolução do problema, 22 mas comete um erro de percurso e responde de acordo com o erro cometido, podendo cometer, ou não, um pequeno erro de cálculo. 21 Inicia uma estratégia de resolução do problema, mas não a completa. 12 O trabalho revela alguma compreensão do conceito de média aritmética. 11 Responde correctamente, sem apresentar uma explicação adequada, ou sem apresentar uma explicação. 01 Calcula a média das frequências relativas ao número de horas que os rapazes dormem. 00 Apresenta outra resposta além das mencionadas. 31 Resolve correctamente a expressão e apresenta os cálculos, podendo cometer um pequeno erro de cálculo 22 Calcula correctamente o valor da expressão e apresenta os cálculos, mas simplifica incorrectamente o resultado obtido. 21 Transforma correctamente fracções em decimais, substitui as fracções não decimais por valores aproximados e resolve a expressão obtida de forma 25

27 correcta. Não respeita a prioridade das operações, mas efectua cada uma delas 14 correctamente. Respeita a prioridade das operações e efectua correctamente uma das duas 13 operações envolvidas na expressão numérica. Comete alguns erros de cálculo, mas há evidência de que sabe adicionar ou 12 multiplicar números fraccionários. 11 Indica o valor correcto da expressão numérica, sem apresentar cálculos. 00 Apresenta outra resposta além das mencionadas. 1 Calcula correctamente o expoente da potência. 6 0 Apresenta um valor que não corresponde ao expoente da potência. 11 Assinala a opção correcta: Símbolo Assinala a opção incorrecta: Símbolo Assinala a opção incorrecta: Símbolo Assinala a opção incorrecta: Símbolo Assinala mais do que uma opção. Apresenta uma estratégia apropriada e completa de resolução do problema, e 32 há evidência de ter chegado à resposta correcta. Apresenta uma estratégia apropriada e completa de resolução do problema, 31 mas não contabiliza uma das moedas, ou notas, ou comete um pequeno erro de cálculo e responde de acordo com o erro cometido. Apresenta uma estratégia apropriada e completa de resolução do problema, 22 mas comete um erro de percurso e responde de acordo com o erro cometido, podendo cometer, ou não, um pequeno erro de cálculo 8 Apresenta uma estratégia apropriada, mas incompleta, tendo chegado ao preço 21 da caneta. Apresenta uma estratégia apropriada e completa de resolução do problema, 13 mas não revela ter a noção de fracção como operador. 12 O trabalho revela alguma compreensão do problema. Responde correctamente, sem apresentar uma explicação compreensível ou 11 sem apresentar uma explicação. 00 Apresenta outra resposta além das mencionadas. 2 Completa a igualdade com o número 0,05 ou outra designação equivalente. Apresenta uma estratégia adequada de resolução da questão, mas comete 9 1 erros de cálculo. 0 Apresenta outra resposta além das mencionadas. 1 Completa correctamente o paralelogramo Não completa correctamente o paralelogramo. 11 Assinala a opção correcta: 35º, 85º, 60º. 01 Assinala a opção incorrecta: 30º, 90º, 60º Assinala a opção incorrecta: 30º, 95º, 55º. 03 Assinala a opção incorrecta: 35º, 110º, 35º. 00 Assinala mais do que uma opção. 21 Calcula correctamente o número mágico 2, Apresenta outra resposta além das mencionadas. 11 Desenha uma circunferência com 8 cm de diâmetro Desenha uma circunferência com 8 cm de raio. 00 Apresenta outra resposta além das mencionadas. 11 Assinala a opção correcta: Paralelogramo, Triângulo e Pentágono. 01 Assinala a opção incorrecta: Losango, Triângulo e Pentágono Assinala a opção incorrecta: Losango, Triângulo e Hexágono. 03 Assinala a opção incorrecta: Paralelogramo, Triângulo e Hexágono. 00 Assinala mais do que uma opção Apresenta um argumento que justifica que os três polígonos têm a mesma área. 12 Identifica os três números que deve adicionar para obter o número mágico, mas calcula incorrectamente o número mágico. 11 Há evidência de que calcula correctamente o número mágico, pois utiliza-o para obter os números de uma ou mais células do quadrado mágico. 26

28 Apresenta um argumento, ou um esquema, em que há evidência de que 12 identifica, pelo menos, dois dos polígonos como tendo a mesma área. 11 Refere uma estratégia que permite determinar as áreas das figuras. 00 Apresenta outra resposta além das mencionadas. 2 Desenha um triângulo que tem uma área maior do que a do polígono B. Desenha uma figura que não é um triângulo, mas que tem uma área maior do 1 que a do polígono B. 0 Apresenta outra resposta além das mencionadas. 11 Assinala a opção correcta: Assinala a opção incorrecta: Assinala a opção incorrecta: Assinala a opção incorrecta: Apresenta uma estratégia completa de resolução da questão e responde correctamente (9 embalagens). Apresenta uma estratégia completa de resolução da questão, mas não 21 responde, ou responde incorrectamente, ou comete um pequeno erro de cálculo e responde de acordo com o erro cometido. 12 O trabalho revela alguma compreensão dos dados apresentados. 11 Responde correctamente, sem apresentar uma explicação adequada, ou sem apresentar uma explicação. 00 Apresenta outra resposta, além das mencionadas. 2 Calcula correctamente o preço da piza com tomate (9,35 euros). 1 Identifica correctamente os preços e a operação a efectuar, mas não a efectua ou efectua-a incorrectamente. 0 Apresenta outra resposta além das mencionadas. 22 Apresenta uma estratégia apropriada e completa de resolução do problema e responde correctamente. Apresenta uma estratégia apropriada e completa de resolução do problema, 21 mas não responde, ou responde incorrectamente, ou comete um pequeno erro de cálculo e responde de acordo com o erro cometido. 12 O trabalho revela alguma compreensão dos dados do problema. 11 Responde correctamente, sem apresentar uma explicação compreensível, ou sem apresentar uma explicação. 00 Apresenta outra resposta além das mencionadas. 32 Apresenta uma estratégia apropriada e completa de resolução do problema e responde correctamente (48 fatias). Apresenta uma estratégia apropriada e completa de resolução do problema, 31 mas comete um pequeno erro de cálculo e responde de acordo com o erro cometido. Apresenta uma estratégia de resolução do problema, mas comete um erro de 21 percurso e responde de acordo com o erro cometido, podendo cometer, ou não, pequenos erros de cálculo. 12 O trabalho revela alguma compreensão dos dados do problema. 11 Responde correctamente, sem apresentar uma explicação adequada, ou sem apresentar uma explicação. 00 Apresenta outra resposta além das mencionadas. 22 Responde correctamente (35), havendo evidência que identificou o padrão de formação da sequência de figuras. 21 Desenha a 5 a figura, mas não responde à pergunta, ou responde incorrectamente. 12 O trabalho revela conhecimento da lei de formação da sequência de figuras. 11 Responde 24 ou identifica correctamente o número de estrelas da 4 a figura. 27

29 Identifica parcialmente o padrão de crescimento da figura. 00 Apresenta outra resposta além das mencionadas. 31 Apresenta uma estratégia apropriada e completa de resolução do problema, e há evidência de ter chegado à resposta correcta. Apresenta uma estratégia apropriada e completa de resolução do problema, 22 mas comete erros de cálculo ou de transformação da unidade de medida, e responde de acordo com o valor obtido. 21 Apresenta uma estratégia apropriada de resolução do problema, mas não a completa ou completa-a incorrectamente. 12 O trabalho apresentado revela alguma compreensão do problema. 11 Responde correctamente, sem apresentar uma explicação compreensível ou sem apresentar uma explicação. 00 Apresenta outra resposta, além das mencionadas. 11 Assinala a opção correcta: Assinala a opção incorrecta: Assinala a opção incorrecta: Assinala a opção incorrecta: Assinala mais do que uma opção. 31 Apresenta uma estratégia apropriada e completa de resolução do problema, e responde correctamente (10). 22 Apresenta uma estratégia apropriada de resolução da questão, mas não responde correctamente ou não responde à questão. 21 Apresenta um processo organizado de contagem, identificando as dez combinações possíveis, mas acrescenta outras combinações. 12 Identifica, pelo menos, cinco das combinações possíveis. 11 Responde correctamente, sem apresentar uma explicação compreensível ou sem apresentar uma explicação. 00 Apresenta outra resposta, além das mencionadas. 2 Calcula, a medida correcta do ângulo (35º). 1 Há evidência de que o aluno identifica a medida do ângulo como sendo metade de 70 o, mas responde incorrectamente. 0 Apresenta outra resposta, além das mencionadas. 28