Aplicação de Gauss de Superfícies Completas de Curvatura Média Constante em R 3 e R 4

Transcrição

1 Universidade de Brasília Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Aplicação de Gauss de Superfícies Completas de Curvatura Média Constante em R 3 e R 4 por Karise Gonçalves Oliveira Brasília 2007

2 Livros Grátis Milhares de livros grátis para download.

3 À vovó Geralda

4 Agradecimentos Aos meus pais, Divina e Elisio, pelo incentivo e por estarem presentes em todos os momentos de minha vida. Ao Jardel, pela compreensão e carinho. Aos meus tios e primos, que ficaram felizes com mais esta meta atingida. Aos meus amigos, em especial Vagner, Flávia, Luciene, Rangel, Evander e Eunice, pelo amparo, trocas de conhecimento e momentos de distração. Ao meu orientador, professor Dr. Pedro Roitman, pela indispensável ajuda e pelos esclarecimentos. Aos professores da banca, pelas correções e sugestões. À CAPES, pelo apoio financeiro.

5 Resumo Apresentamos demonstrações dos seguintes teoremas, que são encontrados em Hoffman, Osserman e Schoen [11]. Seja S uma superfície completa de curvatura média constante em R 3, tal que a sua imagem pela aplicação de Gauss está contida em um hemisfério fechado, então S é um cilindro circular reto ou um plano. Seja S uma superfície completa em R 4, com vetor curvatura média paralelo e não nulo, tal que a sua imagem por qualquer projeção da aplicação de Gauss generalizada está contida em um hemisfério fechado, então S é um cilindro circular reto em algum R 3 R 4 ou um produto de círculos. Palavras-chave: Aplicação de Gauss generalizada, quádrica complexa Q 2, superfícies de curvatura média constante em R 3 e R 4. iv

6 Abstract We proof the theorems below, that are found in Hoffman, Osserman and Schoen [11]. Let S be a complete surface of constant mean curvature in R 3, such that the image under its Gauss map lies in a closed hemisphere, then S will be a right circular cylinder or a plane. Let S be a complete surface in R 4, whose mean curvature vector is parallel and non-zero, such that its image under any projection of the generalized Gauss map lies in a closed hemisphere, then S is a right circular cylinder in some R 3 R 4, or a product of circles. Keywords: Generalized Gauss map, complex quadric Q 2, surfaces of constant mean curvature in R 3 and R 4. v

7 Sumário Introdução 1 1 Aplicação de Gauss Generalizada Aplicação de Gauss Generalizada A Geometria da Quádrica Q n A Geometria da Quádrica Q Superfícies em R n Superfícies em R n Superfícies em R Superfícies de Curvatura Média Constante em R 3 e R Demonstração do Teorema Demonstração do Teorema Apêndice A 44 Apêndice B 48 Referências Bibliográficas 60

8 Introdução A aplicação de Gauss clássica foi introduzida por Gauss em seu artigo fundamental sobre a teoria de superfícies, [6]. O presente trabalho abrange questões relacionadas com a aplicação de Gauss clássica e a aplicação de Gauss generalizada dada pelo artigo de Hoffman e Osserman [10], tendo como objetivo a demonstração dos seguintes teoremas. Teorema Seja S uma superfície completa orientada de curvatura média constante em R 3. Se a imagem de S pela aplicação de Gauss situa-se em um hemisfério aberto então S é um plano. Se a imagem pela aplicação de Gauss situa-se em um hemisfério fechado então S é um plano ou um cilindro circular reto. Teorema Seja S uma superfície completa orientada em R 4, cujo vetor curvatura média é paralelo e não nulo. Suponha que o Grassmanniano de 2-planos orientados em R 4 é representado como um produto de esferas S 1 S 2. Então a imagem de S pela aplicação de Gauss generalizada é tal que nenhuma das projeções em S 1 ou S 2 situa-se em um hemisfério aberto. Se quaisquer das projeções situam-se em um hemisfério fechado, então S é um cilindro circular reto em algum R 3 R 4 ou um produto de círculos. Nos teoremas acima, o elo fundamental entre Geometria e Análise é o seguinte: as hipóteses sobre a curvatura média implicam que a aplicação de Gauss é harmônica. Tal fato, combinado com as hipóteses sobre a imagem da aplicação de Gauss e a análise do tipo conforme de S, nos permite exibir uma demonstração dos teoremas a partir de resultados clássicos sobre funções subharmônicas e da não existência de soluções de uma certa equação diferencial parcial encontrada no artigo de Fischer-Colbrie e Schoen [5]. O presente trabalho está organizado da seguinte forma: no Capítulo 1 fazemos referência a alguns fatos clássicos que serão utilizados freqüentemente em todo o texto, tais como Grassmanniano de k-planos orientados em R n, o qual denotaremos por G k,n, e aplicação de Gauss generalizada, bem como uma rápida análise relacionando o espaço imagem, G 2,3, de tal apli- 1

9 Introdução cação com uma quádrica complexa conveniente. No Capítulo 2, usando a equivalência obtida entre G 2,3 e a quádrica complexa, que agora indicaremos por Q 1, passamos a trabalhar com G 2,4 e exploramos algumas propriedades geométricas desta quádrica, mostrando que ela pode ser identificada com S 1 S 2 onde cada S k é uma esfera padrão em R 3 de raio 1/ 2. No Capítulo 3, são feitas observações gerais sobre a aplicação de Gauss de superfícies imersas em R n. Em particular, obtemos expressões importantes para o caso n = 4, que são fundamentais para a demonstração do Teorema Por fim, no Capítulo 4, usando resultados de Hoffman e Osserman [8], Fischer-Colbrie e Schoen [5], e Hoffman [12] demonstramos os Teoremas e

10 Capítulo 1 Aplicação de Gauss Generalizada Neste capítulo definimos a aplicação de Gauss generalizada, o Grassmanniano de k-planos orientados em R n e identificamos o Grassmanniano de 2-planos orientados em R 3 com a quádrica complexa Q 1 em CP 2, a ser definida na Seção 1.1, que mostraremos ser topologicamente equivalente à esfera unitária. Este capítulo é baseado no trabalho de Hoffman e Osserman [10]. 1.1 Aplicação de Gauss Generalizada Suponha que G k,n denote o Grassmanniano de k-planos orientados em R n, isto é, o conjunto de todos subespaços k-dimensionais em R n e seja M uma subvariedade k-dimensional orientada de R n, 2 k n 1. A aplicação g : M G k,n definida por g(p) = T p M onde T p M é o espaço tangente a M em p, é a aplicação de Gauss generalizada. Quando k = n 1, G n 1,n pode ser identificado com a esfera unitária S n 1, onde a cada hiperplano corresponde um vetor normal unitário (com a orientação induzida de R n ). A aplicação g então torna-se a aplicação de Gauss clássica, que atribui a cada ponto p de uma hipersuperfície M, um vetor normal unitário a M em p. Observação Estamos usando a convenção de identificar T p R n com R n e assim T p M 3

11 Capítulo 1. Aplicação de Gauss Generalizada T p R n é identificado com um subespaço k-dimensional de R n. Trabalhamos em um contexto um pouco mais geral, com variedades M imersas definidas por uma aplicação X : M R n onde M é uma variedade k-dimensional orientada. Neste capítulo trabalharemos somente com propriedades locais, podendo então considerar nossas imersões como mergulhos. É conveniente identificar G 2,n com uma quádrica no espaço projetivo complexo CP n 1. Tal identificação é feita da seguinte maneira: dado um 2-plano orientado P em R n, seja v,w um par ordenado de vetores ortonormais gerando P, a ordem dependendo da orientação. O vetor complexo z = v+iw atribui um ponto de C n ao plano P. Uma escolha diferente de bases fornece um ponto da forma e iθ z. Se passarmos ao espaço projetivo complexo CP n 1, notamos que a cada plano P corresponde um único ponto de CP n 1. A ortonormalidade do par v,w implica que o conjunto de pontos na forma z = v+iw (z 1,...,z n ) = (v 1 + iw 1,...,v n + iw n ), satisfaz n i=1 z2 i = n i=1 (v i + iw i ) 2 = v 2 + 2iv w w 2 = 0, pois v e w são ortonormais. A equação acima define a quádrica Q n 2 em CP n 1. Vamos verificar que a seguinte aplicação γ : G 2,n Q n 2 tal que γ(p) = [z] é uma bijeção. De fato, dado z Q n 2, z = v+iw, onde v e w são vetores reais linearmente independentes, o plano P gerado por v e w é tal que γ(p) = [z]. Assim a aplicação é sobrejetora. Para mostrar a injetividade, suponha que [z 1 ] = [z 2 ]. Assim z 1 = e iθ z 2, logo v 1 = e iθ v 2 e w 1 = e iθ w 2. Portanto o plano P 1 gerado por v 1,w 1 coincide com o plano P 2 gerado por v 2,w 2 e a aplicação é injetora. Conseqüentemente nossa aplicação é uma bijeção e desta forma podemos identificar a quádrica 4

12 Capítulo 1. Aplicação de Gauss Generalizada Q n 2 com o Grassmanniano G 2,n. A partir de agora, usaremos livremente esta identificação. Dada uma 2-variedade orientada M em R n, temos a aplicação de Gauss g : M Q n 2. Localmente, se (u 1,u 2 ) são parâmetros isotérmicos em uma vizinhança de um ponto p pertencente a M, e M é definida em uma vizinhança de p por uma aplicação (u 1,u 2 ) (x 1,...,x n ), então os vetores x u 1, x u 2 são ortogonais e de mesmo comprimento. Segue que a aplicação de Gauss g pode ser dada localmente por (u 1,u 2 ) [ x u 1 + i x u 2 ] Q n 2 CP n 1. (1.1) No caso clássico de superfícies em R 3, sabe-se que esferas e superfícies mínimas são caracterizadas pelo fato de que suas aplicações de Gauss são conformes (ver [19]). Se fixarmos uma orientação sobre a esfera unitária imagem, podemos distinguir os dois casos, se a aplicação de Gauss preserva ou reverte a orientação, isto é, é conforme ou anti-conforme. Vamos relembrar a definição da segunda forma fundamental onde N denota a componente do vetor normal à superfície. 2 x B i j = ( ) N (1.2) u i u j Definição Uma superfície é totalmente umbílica em um ponto se B 11 = B 22, B 12 = 0 (onde u 1,u 2 são parâmetros isotérmicos). Teorema Seja M uma 2-variedade orientada em R n. A aplicação de Gauss g : M Q n 2 é holomorfa não-constante se, e somente se, M é totalmente umbílica. Conseqüentemente 5

13 Capítulo 1. Aplicação de Gauss Generalizada situa-se sobre uma 2-esfera em algum 3-espaço afim de R n ; a aplicação de Gauss g é antiholomorfa se, e somente se, M é uma superfície mínima. Demonstração: Uma vez que todas as propriedades consideradas são locais, podemos introduzir parâmetros isotérmicos locais u 1,u 2 e assim definir a aplicação de Gauss por (1.1). Introduzindo a notação w = u 1 + iu 2, ϕ(w) = (ϕ 1 (w),...,ϕ n (w)), podemos representar a aplicação de Gauss por ϕ k (w) = 2 x k w = x k u 1 i x k u 2, (1.3) g : w [ ϕ(w)]. (1.4) Assim g é holomorfa quando a aplicação ϕ é anti-holomorfa e a aplicação g é anti-holomorfa quando a aplicação ϕ é holomorfa. Para uma superfície mínima em R n temos que as ϕ k definidas por (1.3) são holomorfas, (ver, por exemplo, [15]). Conseqüentemente a aplicação g dada por (1.4) é anti-holomorfa. Reciprocamente, se cada ϕ k é holomorfa segue que M é mínima. De fato, temos que M é mínima se, e somente se, suas funções coordenadas são harmônicas e como mostrado abaixo, ϕ k é holomorfa se, e somente se, as funções coordenadas são harmônicas. (ϕ k ) w = x k x k + i i( x k x k + i ) u 1 u 1 u 1 u 2 u 2 u 1 u 2 u 2 = x k + x k u 1 u 1 u 2 u 2 = 0, pois x k é harmônica. Para um ponto [z] do espaço projetivo as coordenadas z k sozinhas não têm significado; somente os quocientes z j /z k estão bem definidos. Por definição, a aplicação w ϕ é anti-holomorfa se, e somente se, os quocientes ϕ j (w)/ϕ k (w) são funções holomorfas sempre que os denominadores não se anulam. Uma vez que a superfície M está imersa, em qualquer ponto w 0, nem todas ϕ k (w 0 ) se anulam. Faça ϕ j (w 0 ) 0. Então ψ k (w) = ϕ k (w)/ϕ j (w) é holomorfa em uma 6

14 Capítulo 1. Aplicação de Gauss Generalizada vizinhança de w 0. Fazendo µ(w) = 1/ϕ j (w) então pela hipótese de que g é anti-holomórfica 0 = ψ k w = [µϕ k] w = µ w ϕ k + µ ϕ k w. Assim Mas então por (1.3) temos que ϕ k µ µ w = ϕ k w. Escrevamos x k = 4 2 x k w w = 2 ϕ k w = 2 µ µ w ϕ k. 2 µ = f(w)+ig(w) (1.5) µ w onde f e g são reais. Uma vez que x k é real, usando (1.3) e (1.5) x k = [ f(w)+ig(w)]ϕ k = [ f(w)+ig(w)][ x k u 1 i x k u 2 ] = f(w) x k u 1 + g(w) x k u 2, ou seja, x = f(w) x u 1 + g(w) x u 2. (1.6) O lado direito de (1.6) representa, em cada ponto, um vetor tangente a M; mas x é um múltiplo escalar do vetor curvatura média H, que é normal a M. (ver Osserman [15], Lema 4.1). Segue que x = 0, logo H = 0. Conseqüentemente M é mínima, o que demonstra a segunda afirmação do Teorema A demonstração da primeira parte do teorema é análoga. 7

15 Capítulo 1. Aplicação de Gauss Generalizada Suponha que a aplicação de Gauss é holomorfa. Novamente, temos localmente uma função µ tal que 0 = ψ w = (µϕ) w = µ ϕ w + ϕ µ w. Isto implica que as partes real e imaginária do vetor ϕ/ w são combinações lineares de x/ u 1, x/ u 2, portanto tangentes a M. Mas ϕ w = 1 2 [ ( x i x ) i ( x i x )] u 1 u 1 u 2 u 2 u 1 u 2 = 1 2 [ 2 x u x 2i 2 x ] u 1 u 2 u 2 2 então por (1.2) conseqüentemente, ϕ w = 1 2 (B 11 B 22 2iB 12 ) = ( ϕ w )N = 0, B 11 = B 22 e B 12 = 0. Conseqüentemente, pela Definição 1.1.2, M é totalmente umbílica em cada ponto. Mas então, M situa-se sobre um plano ou sobre uma 2-esfera em algum 3-espaço afim (ver B. Y. Chen [2]). O primeiro caso corresponde à situação degenerada, na qual a aplicação de Gauss é constante. Reciprocamente, dada uma 2-esfera em um 3-espaço afim de R n, podemos usar o fato de que a aplicação de Gauss é conforme, junto com a correspondência entre as aplicações de Gauss clássica e generalizada. Por exemplo, usando a projeção estereográfica x 1 = u 1+ w 2, x v 2 = 1+ w 2, x 3 = 1 w 2 1+ w 2, x 4 =... = x n = 0, temos x 1 w = 1 2 ( x 1 u i x 1 v ) = 1 2 (2(1+ w 2 ) 4u 2 + i4uv (1+ w 2 ) 2 ) = 1 2 (2(1 u2 + v 2 + 2iuv) (1+ w 2 ) 2 ) = (1 w2 ) (1+ w 2 ) 2. 8

16 Capítulo 1. Aplicação de Gauss Generalizada Com cálculos análogos obtemos Logo x 2 w = i(1+ w2 ) x 3 (1+ w 2 ) 2, w = 2 w (1+ w 2 ) 2. x w = 1 (1+ w 2 ) 2(1 w2, i(1+ w 2 ), 2 w,0,...,0), e os quocientes ϕ j /ϕ k são anti-holomorfos. O que conclui a demonstração do teorema. O teorema de Ruh-Vilms (ver [17]) afirma que dada M uma subvariedade m-dimensional de R n, a aplicação de Gauss de M é uma aplicação harmônica se, e somente se, M tem vetor curvatura média paralelo. Este teorema será de grande importância no decorrer do presente trabalho. Note que as superfícies mínimas e as esferas têm vetor curvatura média paralelo e também que, as aplicações holomorfas e anti-holomorfas são harmônicas. Assim ambas as classes de superfícies do Teorema estão incluídas em uma classe mais geral do teorema de Ruh-Vilms. Note também que para hipersuperfícies, vetor curvatura média paralelo equivale à curvatura média constante, e que define a classe de hipersuperfícies cuja aplicação de Gauss é harmônica. Para concluir este capítulo vamos descrever explicitamente a correspondência entre a aplicação de Gauss clássica e a aplicação de Gauss generalizada no caso de uma superfície em R 3. Dado um 2-plano orientado P em R 3, suponha que v = (v 1,v 2,v 3 ), w = (w 1,w 2,w 3 ) formam uma base ortonormal apropriada para P. Então, associado a P temos seu vetor unitário ortonormal ν S 2 dado por ν = ν(p) = v w = (v 2 w 3 v 3 w 2,v 3 w 1 v 1 w 3,v 1 w 2 v 2 w 1 ) e o ponto [z] da quádrica Q 1 em CP 2, com z dado por z = z(p) = v+iw = (v 1 + iw 1,v 2 + iw 2,v 3 + iw 3 ). Como Im( z 2 z 3 ) = v 2 w 3 v 3 w 2, Im( z 3 z 1 ) = v 3 w 1 v 1 w 3, Im( z 1 z 2 ) = v 1 w 2 v 2 w 1 9

17 Capítulo 1. Aplicação de Gauss Generalizada logo ν(p) = Im( z 2 z 3, z 3 z 1, z 1 z 2 ). Assim, z 3 = 0 v 3 + iw 3 = 0 v 3 = w 3 = 0 ν = (0,0,v 1 w 2 v 2 w 1 ) ν = (0,0,1) ou ν = (0,0, 1), pois ν é unitário. Defina Q 1 = {[z] Q 1;z 3 0}. Para [z] Q 1, seja ζ = z 1 z 3 + i z 2 z 3. (1.7) Uma vez que [z] Q 1 z z z 2 3 = 0 z z 2 2 = z 2 3 ( z 1 z 3 + i z 2 z 3 )( z 1 z 3 i z 2 z 3 ) = 1. Pela expressão de ζ segue que Assim, para [z] Q 1, com ζ 0 segue que 1 ζ = (z 1 z 3 i z 2 z 3 ). z 1 z 3 = 1 2 (ζ 1 ζ ), z 2 z 3 = 1 2i (ζ + 1 ζ ), ζ C = C {0}. Essas equações definem uma aplicação bijetora do plano menos um ponto C sobre a quádrica Q 1. Usando-as junto com a relação entre ν e z, obtemos 2ξ 2η 1 ζ 2 ν = ( 1+ ζ 2, 1+ ζ 2, 1+ ζ 2), ζ = ξ + iη, (1.8) que é a projeção estereográfica de C sobre a esfera menos dois pontos S. De fato, vamos calcular a terceira coordenada de ν. 10

18 Capítulo 1. Aplicação de Gauss Generalizada De segue que z 1 z 2 = (v 1 iw 1 )(v 2 + iw 2 ) = v 1 v 2 + w 1 w 2 + i(w 2 v 1 w 1 v 2 ), ζ 2 = ( z 1 z 3 + i z 2 z 3 )( z 1 z 3 i z 2 z 3 ) = z z i(z 2 z 1 z 2 z 1 ) z 3 2, 1 ζ 2 = (z 1 z 3 i z 2 z 3 )( z 1 z 3 + i z 2 z 3 ) = z z 2 2 i(z 2 z 1 z 2 z 1 ) z 3 2, ζ 2 1 ζ 2 = 2i(z 2 z 1 z 2 z 1 ) z 3 2 = 2i(2iImz 2 z 1 ) z 3 2 = 4Im(z 2 z 1 ) z 3 2, (1.9) e ζ ζ 2 = 2( z z 2 2 ) z 3 2. (1.10) Como v = 1 e w = 1, logo v 3 = 1 v 2 1 v2 2 e w 3 = 1 w 2 1 w2 2 respectivamente. Assim z 3 2 = 2 z 1 2 z 2 2, ou equivalentemente z z 2 2 = 2 z 3 2. (1.11) Substituindo (1.11) em (1.10) segue que Vamos isolar z 3 2 na igualdade acima ζ ζ 2 = 2(2 z 3 2 ) z ( ζ ζ 2) = 2 z (1+ ζ 4 + ζ 2 ζ 2 ) = 2 z ((1+ ζ 2 ) 2 ζ 2 ) = 2 z 3 2. Substituindo o resultado acima em (1.9) segue que ζ 2 1 ζ 2 = 4Im(z 2 z 1 ) z 3 2 = Im(z 2 z 1 )( (1+ ζ 2 ) 2 ζ 2 ), 11

19 Capítulo 1. Aplicação de Gauss Generalizada logo Im(z 2 z 1 ) = 1 ζ 2 1+ ζ 2. Com cálculos análogos, obtemos ν 1 = bijetora 2ξ 1+ ζ 2, ν 2 = Q 1 C S 2η 1+ ζ 2. Assim temos a correspondência pela variável intermediária ζ. Para estender a aplicação a todo Q 1, note que z 3 = 0 z z 2 2 = 0 z 1 = ±iz 2 assim Q 1 Q 1 = [(1,i,0)] [(1, i,0)]. Para [z] Q 1, se z (1,i,0) 1 ζ = (z 1 i z 2 ) = z 1 iz 2 z 3 z 3 z 3 ζ 0 ν (0,0,1), usando (1.8). Analogamente, se z (1, i,0) ν (0,0, 1). Assim a aplicação bijetora entre Q 1 e S se estende a uma aplicação bijetora entre Q 1 e S. 12

20 Capítulo 2 A Geometria da Quádrica Q n 2 Na demonstração do Teorema vamos utilizar a aplicação de Gauss de superfícies 2- dimensionais em R 4, que iremos descrever neste capítulo. Vimos no capítulo anterior que a imagem pela aplicação de Gauss situa-se sobre o Grassmanniano G 2,n, que pode ser identificado com a quádrica Q n 2 em CP n 1. Mostramos também que Q 1 é topologicamente equivalente a S 2. Neste capítulo vamos obter as expressões da métrica canônica em CP 2 e em CP 3 restritas a Q 1 e Q 2 respectivamente, e mostrar que com a métrica canônica de CP 3, Q 2 é isométrica a S 2 (1/ 2) S 2 (1/ 2), onde S 2 (1/ 2) é a 2-esfera padrão de raio 1/ 2. Este capítulo é baseado no trabalho de D. A. Hoffman e R. Osserman [10]. 2.1 A Geometria da Quádrica Q 2 A métrica canônica em CP n é a métrica de Fubini-Study, que é dada por ds 2 Z dz 2 = 2 Z 4 = 2 n j<k, j=1 z jdz k z k dz j 2 [ j=1 z j 2 ] 2. A seguir vamos obter a expressão desta métrica para n = 3 e n = 4, que são os casos trabalhados nas demonstrações dos dois teoremas principais deste trabalho. Para n = 3 a métrica de Fubini- Study é dada por ds 2 = 2 3 j<k, j=1 z jdz k z k dz j 2 [ 3 j=1 z j 2 ] 2. (2.1) 13

21 Capítulo 2. A Geometria da Quádrica Q n 2 Agora vamos utilizar as informações obtidas do parâmetro ζ sobre Q 1 em (1.7), e fazendo z 3 = 1, z 1 = 1 2 (ζ 1 ζ ), z 2 = 1 2i (ζ + 1 ), ζ C ζ logo, Como dz 3 = 0, dz 1 = 1 2 (dζ + 1 ζ 2 dζ), dz 2 = 1 2i (dζ 1 ζ 2 dζ). z 1 2 = 1 2 (ζ 1 ζ )1 2 ( ζ 1 ζ ) = 1 4 [ ζ ζ 2 ζ ζ ζ ζ ], e z 2 2 = 1 2i (ζ + 1 ζ ) 1 2i ( ζ + 1 ζ ) = 1 4 [ ζ ζ 2 + ζ ζ + ζ ζ ], concluímos que [ 3 j=1 z i 2 ] 2 = [ z z z 3 2 ] 2 = [ 1 2 ( ζ ζ 2)+1] 2. Agora vamos simplificar o numerador de (2.1), substituindo as informações obtidas acima para z 1, z 2 e z z j dz k z k dz j 2 = 2 1 j<k, j=1 2 (ζ 1 ζ ) 1 dζ (dζ 2i ζ 2 ) 1 2i (ζ ζ )1 dζ (dζ + 2 ζ 2 ) dζ (dζ + 2 ζ 2 ) dζ (dζ 2i ζ 2 ) = 2 1 2dζ (ζ dζ 4i ζ + dζ ζ 3 ) 1 2dζ (ζ dζ + 4i ζ + dζ 2 ζ 3 ) dζ (dζ + 2 ζ 2 ) dζ (dζ 2i ζ 2 ) 14

22 Capítulo 2. A Geometria da Quádrica Q n 2 = 2[ idζ 2 ζ dζ (dζ + 2 ζ 2 ) dζ (dζ 2i ζ 2 ) ] dζ 2 = 2{ ζ dζ [(dζ + 4 ζ 2 )(d ζ + d ζ ζ )]+ 1 dζ [(dζ 2 4 ζ 2 )(d ζ d ζ ζ )]} 2 dζ 2 = 2[ ζ ( dζ dζ ζ 2 + dζ 2 = 2[ ζ ( dζ 2 + dζ ζ 4 )] = 2 dζ 2 ζ 2 + dζ 2 + dζ ζ 4 = dζ 2 ( 2 ζ ζ 4) = dζ 2 (1+ 1 ζ 2) dζ 2 ζ 4 )] Logo ds 2 = dζ 2 (1+ 1 ζ 2 ) 2 [ 1 2 ( ζ ζ 2 )+1] 2 (1+ 1 ) dζ ζ = 4[ 2 2+ ζ ] ζ 2 (1+ ζ 2 ) dζ = 4[ ζ 2 (2 ζ 2 + ζ 4 + 1) ] dζ 2 = 4 (1+ ζ 2 ) 2, que é a métrica sobre a esfera unitária dada pela projeção estereográfica sobre o ζ -plano complexo. A estrutura da quádrica Q 2 em CP 3 será de interesse particular na seqüência. Algebricamente, Q 2 é uma superfície complexa duplamente regrada, isto é, cada ponto de Q 2 é a interseção de um par de retas projetivas situadas sobre Q 2. Por exemplo, considere o ponto P = [(1,i,0,0)]

23 Capítulo 2. A Geometria da Quádrica Q n 2 sobre a quádrica Q 2, que é dada por z C 4 tal que, z z z z 2 4 = 0. (2.2) O hiperplano em C 4 H 2 : z 1 + iz 2 = 0 contém o ponto P e é tangente a Q 2 em P. De fato, seja [α] : ( ε,ε) Q 2 dada por α(t) = (z 1 (t),...,z 4 (t)), tal que [α(0)] = P. Então, em t = 0, z 1 z 1 + z 2 z 2 + z 3 z 3 + z 4 z 4 = 0. Como P = [(1,i,0,0)], segue que z 1 + iz 2 = 0. Portanto o hiperplano H 2 é tangente a Q 2 em P. Temos que todo ponto de Q 2 H 2 satisfaz z z2 4 = 0. De fato, como H 2 : z 1 + iz 2 = 0, multiplicando ambos os lados da igualdade por z 1 iz 2 segue que (z 1 + iz 2 )(z 1 iz 2 ) = z z 2 2 = 0. Substituindo em (2.2), segue que z z2 4 = 0. Conseqüentemente, um tal ponto em Q 2 H 2 situa-se sobre um dos hiperplanos Assim, verificamos que H 2 : z 3 + iz 4 = 0, H 2 : z 3 iz 4 = 0. Q 2 H 2 = (H 2 H 2 ) (H 2 H 2 ). (2.3) O lado direito de (2.3) representa a união de um par de retas projetivas sobre Q 2 que se intersectam somente no ponto P. Vamos mostrar que Q 2 = CP 1 CP 1 como segue. Considere o hiperplano H : z 1 iz 2 = 0 e seja Q 2 = Q 2 H. Uma vez que H é o plano tangente a Q 2 no ponto [(i,1,0,0)], pelo argumento precedente, temos que Q 2 H = L L, 16

24 Capítulo 2. A Geometria da Quádrica Q n 2 onde L e L são retas projetivas definidas por L : z 1 iz 2 = 0, z 3 iz 4 = 0, L : z 1 iz 2 = 0, z 3 + iz 4 = 0. Além disso, L L = {[(i,1,0,0)]}. Agora dado [z] Q 2, com z = (z 1,z 2,z 3,z 4 ), e fazendo então Usando (2.2) conseqüentemente w 1 = z 3 + iz 4 z 1 iz 2, w 2 = z 3 + iz 4 z 1 iz 2, (2.4) w 1 w 2 = 2z 3 z 1 iz 2, w 1 + w 2 = 2iz 4 z 1 iz 2. w 1 w 2 = (z 3 + iz 4 )( z 3 + iz 4 ) (z 1 iz 2 ) 2 = (z2 3 + z2 4 )+iz 3z 4 iz 3 z 4 (z 1 iz 2 ) 2 = z z2 2 (z 1 iz 2 ) 2 = z 1 + iz 2 z 1 iz 2, 1+w 1 w 2 = 1+ z 1 + iz 2 z 1 iz 2 = 2z 1 z 1 iz 2, Assim 1 w 1 w 2 = 1+ z 1 + iz 2 z 1 iz 2 = 2iz 2 z 1 iz 2. 2 (z 1,z 2,z 3,z 4 ) = (1+w 1 w 2,i(1 w 1 w 2 ),w 1 w 2, i(w 1 + w 2 )). z 1 iz 2 17

25 Capítulo 2. A Geometria da Quádrica Q n 2 Logo, dado (w 1,w 2 ) C 2, o ponto (1+w 1 w 2,i(1 w 1 w 2 ),w 1 w 2, i(w 1 + w 2 )) (2.5) satisfaz a equação de Q 2, isto é, 2 0 = (z z z z 2 z 1 iz 4) 2 = (1+w 1 w 2 ) 2 +(i(1 w 1 w 2 )) 2 +(w 1 w 2 ) 2 +( i(w 1 + w 2 )) 2 segue que (2.5) define uma aplicação ϕ de C C em Q 2 com a propriedade que, sobre Q 2, ϕ 1 é dada por (2.4). A imagem de ϕ é Q 2 {L L }. Estamos considerando (2.5) como coordenadas homogêneas de um ponto em CP 3. Agora considere (w 1,w 2 ) C C. Note que ϕ definida por (2.5), se estende continuamente a uma bijeção [ϕ] de CP 1 CP 1 sobre Q 2. A saber, fixado w 2 C, dividindo (2.5) por w 1 e fazendo w 1 temos [ϕ(w 1,w 2 )] lim w1 = lim w1 [( 1 + w 2,i( 1 w 2 ),1 w 2, i(1+ w 2 ))] w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = [(w 2, iw 2,1, i)]. O ponto acima pertence a L, e todo ponto de L pode ser representado desta forma, exceto quando z 3 ou z 4 se anulam. Analogamente [ϕ(w 1,w 2 )] lim w2 = lim w2 [( 1 + w 1,i( 1 w 1 ), 1+ w 1, i(1+ w 1 ))] w 2 w 2 w 2 w 2 w 2 = [(w 1, iw 1, 1, i)], que fornece todos os pontos de L exceto quando z 3 = z 4 = 0. Por fim [ϕ(w 1,w 2 )] lim w1,w 2 w 1 w = lim w1,w 2 [( + 1,i( 1), 1 1, i( ))] w 1 w 2 w 2 w 1 w 2 w 1 w 1 w 2 = [(1, i,0,0)], que é exatamente o único ponto de L L, pois [(1, i,0,0)] = [(i,1,0,0)] = P. Assim obtemos uma aplicação contínua bijetora de CP 1 CP 1 sobre Q 2, mostrando que Q 2 é homeomorfo a CP 1 CP 1, isto é, a S 2 S 2. 18

26 Capítulo 3 Superfícies em R n Neste capítulo tomamos como modelo para o Grassmanniano de 2-planos orientados em R n a quádrica Q n 2 em CP n 1 que definimos no Capítulo 1 pela equação abaixo n z 2 k = 0. k=1 Para qualquer ponto P = (z 1,...,z n ) em Q n 2, se z k = a k + ib k, obtemos um par de vetores reais A = (a 1,...,a n ) e B = (b 1,...,b n ) que satisfazem A 2 = a a 2 n = B 2 = b b 2 n e AB = a 1 b a n b n = 0. (3.1) Logo, n z 2 k = k=1 = = n k=1 n k=1 n k=1 (a k + ib k ) 2 (a 2 k + 2ia kb k b 2 k ) (a 2 k b2 k ) = A 2 B 2 = 0. Além disso, A e B não se anulam, uma vez que as coordenadas homogêneas (z 1,...,z n ) de um ponto em CP n 1 não são todas nulas. Assim o par A, B forma uma base ortogonal de um 19

27 Capítulo 3. Superfícies em R n 2-plano orientado Π. Diferentes coordenadas homogêneas de P determinam o mesmo plano. Reciprocamente, para qualquer 2-plano Π podemos escolher uma base ortogonal A, B de Π e colocar z k = a k +ib k, obtendo um ponto P de Q n 2. Vamos usar a notação K = [w], para denotar o ponto em CP n 1 correspondendo ao ponto w = (w 1,...,w n ) em C n {0}. Este capítulo é baseado no artigo de Hoffman e Osserman [8]. 3.1 Superfícies em R n Definição Uma superfície de Riemann é um espaço de Hausdorff conexo W com uma estrutura conforme definida por uma família φ de homeomorfismos locais sobre W, denotado por (W,φ). Para maiores explicações com relação à definição acima ver [1], páginas Definição Uma superfície S em R n é um par (S 0,X), onde S 0 é uma superfície de Riemann e X : S 0 R n é uma imersão conforme. Como nossas superfícies estão imersas, elas têm um plano tangente bem definido em cada ponto. Se z = ϑ + iς C é uma coordenada conforme local na superfície de Riemann S 0 e (x 1,...,x n ) são coordenadas em R n, então a aplicação que define S é dada localmente por X(z), X = (x 1,...,x n ). A conformidade da aplicação é expressa por X ϑ 2 = X ς 2 = λ 2 0, X ϑ X ς = 0. O plano tangente a S, gerado por X/ ϑ, X/ ς, corresponde, como acima, ao ponto [ X ϑ + i X ς ] (3.2) da quádrica Q n 2. A aplicação de Gauss G de S é a aplicação de S 0 em Q n 2 definida localmente por (3.2). Usando a definição de derivada complexa, isto é, f z = 1 2 ( f ϑ i f ς ), f z = 1 2 ( f ϑ + i f ς ) 20

28 Capítulo 3. Superfícies em R n podemos escrever a aplicação de Gauss na forma G(z) = [ X z ]. Por razões históricas vamos trabalhar com o complexo conjugado desta aplicação Ḡ(z) = [ X z ] = [ X ϑ i X ], (3.3) ς cuja imagem também situa-se em Q n 2. A métrica induzida em S 0 pela imersão X é dada por ds 2 = X 2 ϑ dϑ X ϑ X 2 dϑdς + X ς ς dς 2 = λ 2 ( dϑ 2 + dς 2 ) = λ 2 dz 2, com z = ϑ + iς. Também vamos usar a relação ( 4 λ 2)X z z = X = 2H, (3.4) onde H é o vetor curvatura média de X e é o operador Laplace-Beltrami em S. A aplicação de Gauss de S 0 em Q n 2, pode ser representada localmente na forma [Φ], onde Φ(z) = (ϕ 1,...,ϕ n ) C n {0} satisfaz Pela equação (3.3), podemos escrever n ϕk 2 (z) = 0. (3.5) k=1 X z = ψφ, (3.6) para alguma função complexa ψ : S 0 C que não se anula. De (3.4) e (3.6) temos Da conformidade da aplicação X segue que λ 2 2 H = (X) z z = ψφ z + ψ z Φ. λ 2 2 = X/ z 2 = ψ 2 Φ 2, 21

29 Capítulo 3. Superfícies em R n conseqüentemente Φ 2 ψh = Φ z + ψ z ψ Φ = Φ z +(logψ) z Φ, (3.7) sempre que ψ 0. Lema Seja D R 2 um domínio simplesmente conexo e seja Φ : D C n uma aplicação C 1. Uma condição necessária e suficiente para que exista uma aplicação X : D R n tal que X z = Φ é que Φ satisfaça ImΦ z = 0. Demonstração: Pelo Teorema de Green, a condição para que a expressão X(z) = Re Φ dz, onde γ(0) = z 0 e γ(1) = z, γ Φ = ϕ + iψ defina uma aplicação é justamente ImΦ z = 0. Assumindo isto, verifica-se sem dificuldades que X z = Φ. Lema Seja W um vetor em C n da forma W = A+iB, onde A e B são vetores reais não nulos satisfazendo (3.1). Seja Π o plano gerado por A e B. Para qualquer vetor C em R n, seja C Π a projeção de C sobre Π. Para qualquer par de vetores C,D em R n, seja Z = C+ id C n, e defina Z Π = C Π + id Π. Então Z Π = Z,W W W 2 + Z, W W W 2, onde, denota o produto Hermitiano usual sobre C n. Demonstração: Mostrar é equivalente a mostrar que Z Π = Z,W W W 2 + Z, W W W 2, Z Π = Z,A A A 2 + Z, B B B 2. Fazendo a identificação C n = R n R n, A = (A,0) e B = (0,B), onde A,B R n, com A = B 22

30 Capítulo 3. Superfícies em R n e A B = 0 segue que Z Π = Z A A A 2 + Z B B B 2 = A, Z A A 2 + B, B Z B 2 = Z,Ā A A 2 + Z, B B B 2 = Z,A A A 2 + Z,B B B 2, onde usamos o fato de que A,B R n e a propriedade X,Y = Y,X do produto Hermitiano usual sobre C n. Aplicamos o Lema com W = Φ, fazendo Π como o plano tangente a nossa superfície e Z = Φ z. Podemos escrever (3.5) como Φ Φ = 0, logo 0 = (Φ Φ) z = 2Φ Φ z = 2 Φ z, Φ. Assim pelo Lema 3.1.4, onde (Φ z ) Π = Φ z Φ Φ 2 Φ = ηφ, η = Φ z Φ/ Φ 2. (3.8) Além disso, denotamos por V a componente de Φ z ortogonal a Π, e temos que V = Φ z (Φ z ) Π = Φ z ηφ. (3.9) Uma vez que o vetor curvatura média H é ortogonal ao plano Π, obtemos duas equações tomando as componentes tangente e ortogonal de (3.7) (logψ) z = η. (3.10) Φ 2 ψh = V, (3.11) 23

31 Capítulo 3. Superfícies em R n Teorema Seja S uma superfície em R n dada localmente por uma aplicação conforme X : D R n, onde D é um domínio de R 2 simplesmente conexo. Seja Φ a aplicação de Gauss de S no sentido de G(z) = [ X z ] e X z = ψφ. Defina as expressões η e V de Φ por (3.8) e (3.9) respectivamente. Então para todo z D, temos que V(z) = R(z)e iα(z), (3.12) onde R(z) é um vetor real. Além disso, no conjunto onde V(z) 0, a função α(z) é unicamente determinada módulo 2π, e satisfaz α z z = Im{η z }. (3.13) Demonstração: Façamos ρ = ψ e escrevamos ψ = ρe iα, (3.14) onde α é unicamente determinado módulo 2π quando ρ 0. Então (3.11) pode ser escrito como V = ρ Φ 2 e iα H, o que prova (3.12). Quando V 0 precisamos ter ρ 0, e substituindo (3.14) em (3.10) obtemos (logρe iα ) z (logρ) z iα z = η = η. Assim, logρ z z = iα z z η z e portanto a equação (3.13) segue do fato de que (logρ) z z e α z z são reais. 3.2 Superfícies em R 4 Começamos esta seção relembrando alguns fatos do Capítulo 2, com respeito à quádrica Q 2 CP 3. A aplicação ϕ de C C dada por ϕ : (w 1,w 2 ) (1+w 1 w 2,i(1 w 1 w 2 ),w 1 w 2, i(w 1 + w 2 )) 24

32 Capítulo 3. Superfícies em R n tem a propriedade que ϕ 2 = 4 k=1 ϕ2 k = 0. Logo, [ϕ] toma valores em Q 2 = {[Z] CP 3 ;Z 2 = 0}. Sobre ϕ(c C), ϕ 1 é dada por (z 1,z 2,z 3,z 4 ) (w 1,w 2 ) = ( z 3 + iz 4 z 1 iz 2, z 3 + iz 4 z 1 iz 2 ). (3.15) Mostramos no Capítulo 2 que ϕ, se estende a uma aplicação [ϕ] de CP 1 CP 1 sobre Q 2, que é um homeomorfismo. Se consideramos CP 3 com a métrica de Fubini-Study de curvatura holomorfa constante 2, pelo Apêndice A, segue que a métrica induzida sobre Q 2, expressa em termos de (w 1,w 2 ), tem a forma ds 2 = 2 dw 1 2 (1+ w 1 2 ) dw 2 2 (1+ w 2 2 ) 2, de onde concluímos que Q 2 é o produto de duas esferas padrão de curvatura Gaussiana constante 2. Agora usamos estes resultados para deduzir condições necessárias sobre a aplicação de Gauss de uma superfície orientada imersa em R 4. Suponha que S R 4 seja uma superfície cuja aplicação de Gauss é dada por G : S Q 2. Podemos escrever Q 2 como um produto de esferas Q 2 = S 1 S 2, onde S k é uma esfera padrão de raio 1/ 2. Denote por π k a projeção de Q 2 sobre cada S k, k=1,2. Usando a variável complexa w k para parametrizar S k, onde w k é dada em termos de coordenadas homogêneas sobre CP 3 por (3.15), o conjugado Ḡ da aplicação de Gauss pode ser expresso em termos de um parâmetro conforme local z sobre S, por um par de funções w 1 = f 1 (z), w 2 = f 2 (z). Podemos então escrever Ḡ(z) = [Φ(z)], onde, Φ(z) = ϕ( f 1 (z), f 2 (z)) = (1+ f 1 (z) f 2 (z),i(1 f 1 (z) f 2 (z)), f 1 (z) f 2 (z), i( f 1 (z)+ f 2 (z))). Para enunciar o principal resultado deste capítulo, precisamos introduzir funções auxiliares obtidas das funções f 1, f 2 que descrevem a aplicação de Gauss. São elas F k = ( f k) z ˆF 1+ f k 2 k = ( f k) z 1+ f k 2, k = 1,2. (3.16) O teorema a seguir será utilizado na demonstração do Teorema Teorema Seja S uma superfície orientada imersa em R 4 cuja aplicação de Gauss é dada 25

33 Capítulo 3. Superfícies em R n localmente por Φ(z) = (1+ f 1 (z) f 2 (z),i(1 f 1 (z) f 2 (z)), f 1 (z) f 2 (z), i( f 1 (z)+ f 2 (z))), via um par de funções f 1, f 2, onde z é um parâmetro conforme local em S. Então F 1 F 2. Demonstração: Vamos aplicar o Teorema (3.1.5). Primeiro expressaremos a função η = Φ z. Φ/ Φ 2, e a função a valores vetoriais complexos V = Φ z ηφ, em termos das funções f j e F j. Uma vez que, Φ z = (( f 1 ) z f 2 + f 1 ( f 2 ) z, i(( f 1 ) z f 2 + f 1 ( f 2 ) z ),( f 1 ) z (f 2 ) z, i(( f 1 ) z +(f 2 ) z )) = ( f 1 ) z ( f 2, i f 2,1,i)+(f 2 ) z ( f 1, i f 1, 1, i), Φ 2 = Φ Φ = 2(1+ f 1 2 )(1+ f 2 2 ), e F k = ( f k) z 1+ f k 2, k = 1,2, 26

34 Capítulo 3. Superfícies em R n segue que Logo F 1 η = ( 2(1+ f 2 2 ) ( f F 2 2, i f 2,1, i)+ 2(1+ f 1 2 ) ( f 1, i f 1, 1, i)) = = = (1+ f 1 f 2,i( 1+ f 1 f 2 ), f 1 f 2,i( f 1 + f 2 )) F 1 2(1+ f 2 2 ) ((1+ f 1 f 2 ) f 2 + f 2 ( 1+ f 1 f 2 )+ f 1 f 2 + f 1 + f 2 )+ F 2 + 2(1+ f 1 2 ) ((1+ f 1 f 2 ) f 1 + f 1 ( 1+ f 1 f 2 ) f 1 + f 2 + f 1 + f 2 ) F 1 2(1+ f 2 2 ) ( f f 1 f 2 2 f f 1 )+ F 1 2(1+ f 2 2 ) 2 f 1 (1+ f 2 2 )+ = f 1 F 1 + f 2 F 2. F 2 2(1+ f 1 2 ) ( f f 2 f f 2 ) F 2 2(1+ f 1 2 ) 2 f 2 (1+ f 1 2 ) η = f 1 F 1 + f 2 F 2. (3.17) Agora vamos definir uma função a valores vetoriais complexos A(z) por A = ( f 2 f 1, i( f 2 + f 1 ),1+ f 1 f 2, i(1 f 1 f 2 )) e vamos mostrar que V = F 1 A F 2 Ā. De fato, pela definição de Φ, A e a expressão de η obtida em (3.17) segue que V = Φ z ηφ = Φ z ( f 1 F 1 + f 2 F 2 )(1+ f 1 f 2,i(1 f 1 f 2 ), f 1 f 2, i( f 1 + f 2 )) f 1 f 1 z = Φ z ( (1+ f 1 2 ) + f 2 f 2 z (1+ f 2 2 ) )(1+ f 1 f 2,i(1 f 1 f 2 ), f 1 f 2, i( f 1 + f 2 )) f 1 f 1 z = Φ z ( (1+ f 1 2 ) + f 2 f 2 z (1+ f 2 2 ) )(1+ f f 1 f 1 z 1 f 2 ),( (1+ f 1 2 ) + f 2 f 2 z (1+ f 2 2 ) )(i(1 f 1 f 2 ), f 1 f 1 z ( (1+ f 1 2 ) + f 2 f 2 z (1+ f 2 2 ) )( f f 1 f 1 z 1 f 2 ),( (1+ f 1 2 ) + f 2 f 2 z (1+ f 2 2 ) )( i( f 1 + f 2 ))). 27

35 Capítulo 3. Superfícies em R n Façamos A = (A 1,A 2,A 3,A 4 ), V = (V 1,V 2,V 3,V 4 ) e calculemos os V j separadamente. V 1 = f 1 z f 2 (1+ f 1 2 ) f 1 f 1 z (1+ f 1 f 2 ) (1+ f 1 2 ) = f 1 z f 2 f 1 f 1 z (1+ f 1 2 ) + f 2 z f 1 f 2 f 2 z (1+ f 2 2 ) = f 1 z( f 2 f 1 ) (1+ f 1 2 ) + f 2 z( f 1 f 2 ) (1+ f 2 2 ) = F 1 A 1 F 2 A 1. + f 2 z f 1 (1+ f 2 2 ) f 2 f 2 z (1+ f 1 f 2 ) (1+ f 2 2 ) V 2 = i f 1 z f 2 (1+ f 1 2 ) f 1 f 1 z i(1 f 1 f 2 ) (1+ f 1 2 ) = i f 1 z f 2 i f 1 f 1 z (1+ f 1 2 ) = i f 1 z( f 2 + f 1 ) (1+ f 1 2 ) = F 1 A 2 F 2 A 2. + i f 2 z f 1 i f 2 f 2 z (1+ f 2 2 ) + i f 2 z( f 1 + f 2 ) (1+ f 2 2 ) + i f 2 z f 1 (1+ f 2 2 ) f 2 f 2 z i (1+ f 2 2 ) V 3 = f 1 z(1+ f 1 2 ) f 1 f 1 z ( f 1 f 2 ) (1+ f 1 2 ) = f 1 z + f 1 f 1 z f 2 (1+ f 1 2 ) f 2 z + f 2 f 2 z f 1 (1+ f 2 2 ) = f 1 z(1+ f 1 f 2 ) (1+ f 1 2 ) f 2 z(1+ f 2 f 1 ) (1+ f 2 2 ) = F 1 A 3 F 2 A 3. f 2 z(1+ f 2 2 )+ f 2 f 2 z ( f 1 f 2 ) (1+ f 2 2 ) V 4 = i f 1 z(1+ f 1 2 )+ f 1 f 1 z i( f 1 + f 2 ) (1+ f 1 2 ) = i f 1 z + f 1 f 1 z f 2 (1+ f 1 2 ) = i f 1 z( 1+ f 1 f 2 ) (1+ f 1 2 ) = F 1 A 4 F 2 A 4. Portanto V = F 1 A F 2 Ā. + i f 2 z + f 2 f 2 z i( f 1 + f 2 ) (1+ f 2 2 ) + i f 2 z(1 f 2 f 1 ) (1+ f 2 2 ) + i f 2 z(1+ f 2 2 )+ f 2 f 2 z i( f 1 + f 2 ) (1+ f 2 2 ) 28

36 Capítulo 3. Superfícies em R n Temos que A 2 0. Além disso, A 2 = 2(1+ f 1 2 )(1+ f 2 2 ) = Φ 2, (3.18) logo A não pode se anular. Calculando V j V k = (F 1 A j F 2 A j )(F 1 A k F 2 A k ) = F 1 2 A j A k + F 2 2 A k A j F 1 F 2 A j A k F 2 F 1 A j A k (3.19) = F 1 2 A j A k + F 2 2 A k A j 2Re(F 1 F 2 A j A k ) = ( F F 2 2 )Re(A j A k )+i( F F 2 2 )Im(A j A k ) 2Re(F 1 F 2 A j A k ). Segue de (3.18), (3.19) e de A 2 = 4 i=1 A2 j = 0 que V 2 = 4 j=1 V j V j = ( F F 2 2 ) A 2 = 2( F F 2 2 )(1+ f 1 2 )(1+ f 2 2 ). Da equação acima concluímos que V(z) = 0 se, e somente se, F 1 (z) = F 2 (z) = 0 ou equivalentemente se, e somente se, ( f 1 ) z (z) = ( f 2 ) z (z) = 0. Em particular, sempre que V(z) = 0, temos que F 1 F 2. A condição que V(z) = e iα(z) R(z) do Teorema 3.1.5, a saber que V é igual a uma função a valores vetoriais reais multiplicada por uma função complexa não nula, sempre que V(z) 0, é equivalente a requerer que a matriz hermitiana 4 4 V T V seja uma matriz real. De fato, V T V = e iα(z) (r 1,r 2,r 3,r 4 ) T e iα(z) (r 1,r 2,r 3,r 4 ) M 4 (R). Da expressão das componentes de V j V k dadas em (3.19) segue que V T V é uma matriz real se, e somente se, ( F 1 2 F 2 2 )Im(A j Ā k ) = 0 j,k = 1,...,4. (3.20) Claramente temos que se F 1 = F 2 então (3.20) é válido. Mostraremos que (3.20) implica F 1 = F 2. Assumindo que F 1 F 2 em algum ponto z 0 D onde V(z 0 ) 0. Então em z 0 (3.20) é 29

37 Capítulo 3. Superfícies em R n equivalente, uma vez que V T V é hermitiana simétrica, às seis equações Im(A j (z 0 )Ā k (z 0 )) = 0 1 j < k 4. (3.21) Vamos usar a definição de A para mostrar que (3.21) leva a uma contradição. A 1 Ā 2 = ( f 2 f 1 )( f 1 + f 2 )i = i( f 1 f 2 + f 2 2 f 1 2 f 1 f 2 ) = i( f 2 2 f Im( f 1 f 2 )). Logo, Im(A 1 Ā 2 ) = f 2 2 f 1 2. A 3 Ā 4 = (1+ f 1 f 2 )i(1 f 1 f 2 ) = i(1+2im( f 1 f 2 ) f 1 2 f 2 2 ). Logo, Im(A 3 Ā 4 ) = 1 f 1 2 f 2 2. De (3.20) segue que f 1 (z 0 ) 2 = f 2 (z 0 ) 2 e f 1 (z 0 ) 2 f 2 (z 0 ) 2 = 1 = f 1 (z 0 ) = f 2 (z 0 ) = 1. Vamos encontrar as outras 4 equações de (3.20) em z 0, lembrando que vale f 1 (z 0 ) = f 2 (z 0 ) = 1. A 1 Ā 3 = ( f 2 f 1 )(1+ f 1 f 2 ) = f 2 + f 2 2 f 1 f 1 f 2 f 1 2 = 2Im( f 1 + f 2 ). Logo, Im(A 1 Ā 3 ) = 2Im( f 1 + f 2 ) = 0. A 1 Ā 4 = ( f 2 f 1 )i(1 f 1 f 2 ) = i[ f 2 f 2 2 f 1 f 1 + f 2 f 1 2 ] = 2iRe( f 2 f 1 ). Logo, Im(A 1 Ā 4 ) = 2Re( f 2 f 1 ) = 0. A 2 Ā 3 = i( f 2 + f 1 )(1+ f 1 f 2 ) = i[ f 2 + f 2 2 f 1 + f 1 + f 2 f 1 2 ] = 2iRe( f 1 + f 2 ). 30

38 Capítulo 3. Superfícies em R n Logo, Im(A 2 Ā 3 ) = 2Re( f 1 + f 2 ) = 0. A 2 Ā 4 = i( f 2 + f 1 )i(1 f 1 f 2 ) = [ f 2 f 2 2 f 1 + f 1 f 2 f 1 2 ] = 2Im( f 1 + f 2 ). Logo, Im(A 2 Ā 4 ) = 2Im( f 2 f 1 ) = 0. Assim, Im(A 1 Ā 3 ) = 2Im( f 1 + f 2 ) = 0, Im(A 1 Ā 4 ) = 2Re( f 2 f 1 ) = 0, (3.22) Im(A 2 Ā 3 ) = 2Re( f 1 + f 2 ) = 0, Im(A 2 Ā 4 ) = 2Im( f 2 f 1 ) = 0, em z 0. De (3.22), temos que f 1 (z 0 ) + f 2 (z 0 ) = f 2 (z 0 ) f 1 (z 0 ) = 0 = f 1 (z 0 ) = f 2 (z 0 ) = 0, o que é um absurdo pois supomos f 1 (z 0 ) = f 2 (z 0 ) = 1. Assim, (3.20) implica que F 1 F 2, e conseqüentemente, (3.20) é equivalente a F 1 F 2, sempre que V(z) 0. 31

39 Capítulo 4 Superfícies de Curvatura Média Constante em R 3 e R 4 Neste capítulo estamos interessados na demonstração dos seguintes teoremas. Teorema Seja S uma superfície completa orientada de curvatura média constante em R 3. Se a imagem de S pela aplicação de Gauss situa-se em um hemisfério aberto, então S é um plano. Se a imagem pela aplicação de Gauss situa-se em um hemisfério fechado, então S é um plano ou um cilindro circular reto. Teorema Seja S uma superfície completa orientada em R 4, cujo vetor curvatura média é paralelo e não nulo. Suponha que o Grassmanniano de 2-planos orientados em R 4 é representado como um produto de esferas S 1 S 2. Então a imagem de S pela aplicação de Gauss generalizada é tal que nenhuma das projeções em S 1 ou S 2 situa-se em um hemisfério aberto. Se quaisquer das projeções situam-se em um hemisfério fechado, então S é um cilindro circular reto em algum R 3 R 4 ou um produto de círculos. Primeiramente vamos fazer algumas considerações sobre os teoremas acima. Notamos que no caso de superfícies mínimas um fato muito importante é que sua aplicação de Gauss é antiholomorfa, fato que demonstramos no Teorema A propriedade correspondente para superfícies de curvatura média paralela é que sua aplicação de Gauss é harmônica (ver [17]). O principal fato que utilizaremos na demonstração do Teorema é a equação ν + dν 2 ν = 0, (4.1) 32

40 Capítulo 4. Superfícies de Curvatura Média Constante em R 3 e R 4 para a normal unitária ν a uma superfície S de curvatura média constante em R 3, onde o coeficiente dν 2 pode ser visto como a norma ao quadrado da segunda forma fundamental de S. Uma interpretação de (4.1) é que a aplicação de Gauss é harmônica, o que podemos ver pela observação a seguir. Observação A equação (4.1) é um caso especial da equação X + 1 r 2 dx 2 X = 0, (4.2) caracterizando as aplicações harmônicas de uma superfície S em uma esfera de raio r em R n. A saber, se X : S R n é uma aplicação cuja imagem situa-se em uma subvariedade N de R n, então a aplicação X : S R n é harmônica se, e somente se, em cada ponto de S o n-vetor X é normal a N em X(p). No nosso caso, quando N = S n 1 (r), a condição se torna X = λx, (4.3) para alguma função λ em S. Assim (4.2) implica que a aplicação X : S S n 1 (r) é harmônica. Reciprocamente, se z = x+iy é um parâmetro conforme local em S, então uma vez que X X = r 2, temos X z X = 0 e X zz X + X z X z = 0 X zz X = X z X z. Como X z = 1 2 (X x ix y ) e X z = 1 2 (X x + ix y ), X zz = 1 4 ( X x 2 + X y 2 ) 4X zz = X x 2 + X y 2 = dx 2. Assim, X X = 4X zz X = 4X z X z = dx 2. (4.4) 33

41 Capítulo 4. Superfícies de Curvatura Média Constante em R 3 e R 4 Portanto, se vale a igualdade (4.3), então X X = λ X 2 = λr 2 e por (4.4), λ = dx 2 /r 2. Assim, também vale (4.2). Este capítulo é baseado no trabalho de Hoffman, Osserman e Schoen [11]. 4.1 Demonstração do Teorema Teorema (Teorema de Uniformização) A superfície de recobrimento universal de qualquer superfície de Riemann é conformemente equivalente a um disco, ao plano ou à esfera. Demonstração: Ver [1] página 181. Teorema (Teorema de Liouville para funções subharmônicas) Se u é uma função subharmônica no plano inteiro exceto possivelmente na origem e se u é uniformemente limitada superiomente então u é uma constante. Demonstração: Ver [16] páginas Teorema (Princípio do Máximo para funções subharmônicas) Seja u 0 em Ω R n, u C 2 (Ω) e suponha que exista um ponto y Ω tal que u(y) = sup Ω u. Então u é constante. Demonstração: Ver [7] página 15. Agora estamos em condições de demonstrar o Teorema Demonstração: Sejam S uma superfície completa de curvatura média constante em R 3 e S a superfície de recobrimento universal de S. Se a imagem de S pela aplicação de Gauss situa-se em um hemisfério, então o mesmo é válido para S. Pelo Teorema de Uniformização temos três possibilidades. Caso 1. S é conforme a uma 2-esfera. Este caso não pode ocorrer, uma vez que a imagem de uma esfera pela aplicação de Gauss contém todos os pontos da esfera. Uma demonstração deste fato pode ser encontrada em [3], página 482. Caso 2. S é conforme ao plano. 34

42 Capítulo 4. Superfícies de Curvatura Média Constante em R 3 e R 4 Por hipótese, temos que S tem curvatura média constante. Logo sua aplicação de Gauss é harmônica. Assim, conseguimos uma aplicação ν do plano na esfera unitária satisfazendo (4.1). Podemos assumir que o hemisfério contendo a imagem é o hemisfério inferior. Neste caso, 1 ν 3 0. Como por (4.1) temos que ν 3 = dν 2 ν 3, segue que ν 3 é uma função subharmônica limitada. Como a noção de subharmonicidade é invariante por transformações conformes, e temos que S é conforme ao plano, utilizando o Teorema 4.1.2, segue que ν 3 é constante. Observamos que se ν 3 é uma constante não nula então, pela equação ν 3 = dν 2 ν 3, temos que dν 2 = 0. Logo ν =constante, o que nos fornece um vetor fixo na esfera, e conseqüentemente S é um plano. Se ν 3 = 0 então o vetor vertical e 3 situa-se no espaço tangente a S em todo ponto. Isto implica que por cada ponto de S passa uma reta paralela a e 3 e situada inteiramente em S. Assim, S é um cilindro sobre uma curva plana. Como S tem curvatura média constante, a curva plana é um círculo ou uma reta. Portanto S é um plano ou um cilindro circular reto. Caso 3. S é conforme ao disco unitário. Vamos mostrar que este caso não pode ocorrer. Vamos usar novamente a equação (4.1) e notar que dν 2 = 2 i, j B i j 2 = B B B 22 2 = B 11 + B ( B 12 2 B 11 B 22 ) = 4H 2 2K, onde dν é a segunda forma fundamental de S, H é a curvatura média de S e K é a curvatura gaussiana de S. Assim ν 3 satisfaz a equação ν 3 2Kν 3 + 4H 2 ν 3 = 0. Assumindo novamente que a imagem pela aplicação de Gauss situa-se no hemisfério inferior, então 1 ν 3 0. Por (4.1) temos ν 3 = dν 2 ν 3. Assim ν 3 é subharmônica. Pelo Princípio do Máximo para funções subharmônicas, se ν 3 = 0 em qualquer ponto interior então ν 3 = 0. Mas, pelo que vimos no Caso 2, isto implica que S é um plano ou um cilindro circular reto, o que força S ser um plano e não um disco. Assim concluímos que ν 3 é estritamente negativo, pois S não é um plano. Mas [5] (corol. 3 pg. 205) demonstra que quando K é a curvatura Gaussiana de 35

43 Capítulo 4. Superfícies de Curvatura Média Constante em R 3 e R 4 uma métrica conforme completa no disco unitário, então não existe solução negativa da equação ν 3 2Kν 3 + 4H 2 ν 3 = 0. O que completa a prova do teorema. 4.2 Demonstração do Teorema Na demonstração vamos usar os seguintes fatos com relação ao Grassmanniano de 2-planos orientados em R 4 e a aplicação de Gauss de superfícies em R 4. O G 2,4 pode ser identificado com o produto S 2 S 2, onde cada fator é uma 2-esfera padrão de raio 1/ 2, resultado obtido no Apêndice A. A representação produto de G 2,4 nos permite associar à aplicação de Gauss g de uma superfície orientada S em R 4 um par de aplicações g 1 = π 1 g e g 2 = π 2 g, onde cada g k é uma projeção de g em um fator S 2. Seja f k a aplicação a valores complexos obtida pela composição de g k com a projeção estereográfica. Em [17], temos que uma superfície S tem vetor curvatura média paralelo se, e somente se, sua aplicação de Gauss g é harmônica, o que é equivalente a cada g k ser harmônica. A harmonicidade da aplicação g k pode ser expressa pela equação ν k + 2 dν k 2 ν k = 0, (4.5) onde ν k representa o vetor posição sobre a esfera S k, considerada como uma esfera padrão de raio 1/ 2 em R 3. Utilizaremos vários fatos com relação às aplicações g 1, g 2, e suas funções correspondentes f 1 e f 2. Vamos precisar das funções F k e ˆF k, obtidas em (3.16). Relembrando, F k = ( f k) z 1+ f k 2, ˆF k = ( f k) z 1+ f k 2, onde z é um parâmetro isotérmico local em S. Notamos que se f k é composta com uma transformação de Möbius, correspondendo a uma rotação da esfera, então as quantidades F k e ˆF k permanecem invariantes. Assim não existem singularidades nos pontos onde f k =, como podemos ver pelo seguinte lema. Lema Seja W = R[w] uma transformação de Möbius correspondendo a uma rotação da 36

44 Capítulo 4. Superfícies de Curvatura Média Constante em R 3 e R 4 esfera de Riemann, W = aw+b bw+ā onde a 2 + b 2 = 1. Então as quantidades F e pela função W = R[ f(z)]. ˆ F permanecem invariantes quando trocamos a função w = f(z) Demonstração: Vamos mostrar que ˆF(W) = ˆF( f) e F(W) = F( f). De fato, Temos que F(W) = W z a f(z)+b 1+ W 2, onde W = b f(z)+ā. W z = a f z( b f + ā)+(a f + b) b f z ( b f(z)+ā) 2 = f z( a 2 + b 2 ) ( b f + ā) 2 = f z ( b f + ā) 2, e 1+ W 2 (a f + b) (ā f + b) = 1+ ( b f + ā) ( b f + a) = 1+ a 2 ( f 2 1)+1+2Re(a b f) ( b f + ā)( b f + a) 1+ f 2 = ( b f + ā)( b f + a). Substituindo os valores obtidos acima para W z e 1+ W 2 na expressão de F(W), segue que W z F(W) = 1+ W 2 f z ( b f + ā)( b f + a) = (1+ f 2 ) 1+ f 2 = F( f) ( b f + ā)( b f + a) 1+ f 2. 37

45 Capítulo 4. Superfícies de Curvatura Média Constante em R 3 e R 4 Logo F(W) 2 = W z 2 (1+ W 2 ) 2 = F( f) 2( b f + ā) 2 ( b f + a) 2 ( b f + ā) 2 ( b f + a) 2 = F( f) 2. Assim F(W) = F( f) e, portanto, F é invariante por uma transformação de Möbius correspondendo a uma rotação da esfera de Riemann. Analogamente, temos que ˆF também é invariante. Corolário Seja S 0 uma superfície de Riemann e seja g : S 0 S 2 (r) uma aplicação diferenciável de S 0 em uma esfera padrão. Suponha que g é representada em termos de uma coordenada local z sobre S 0 por w = f(z), onde f assume valores no plano estendido. Então as funções associadas F e ˆF definidas por (3.16) são funções diferenciáveis inclusive nos pontos onde f =. Demonstração: Temos que F e ˆF são diferenciáveis sempre que f. Em uma vizinhança de um ponto onde f =, fazemos uma rotação R[W] levando a um ponto finito e usamos a invariância de F e ˆF por uma rotação da esfera de Riemann obtida pelo Lema Para a demonstração do Teorema 4.0.3, os fatos seguintes são utilizados na seqüência em que são apresentados. (1) Se e(g) denota a densidade de energia da aplicação de Gauss g, então e(g) = e 1 + e 2 onde e k denota a densidade de energia de g k. De fato, usando a definição da métrica produto, (ver por exemplo [4] página 46), e a expressão para a densidade de energia da aplicação harmônica g em função da métrica de S 1 S 2, (ver [13]), com alguns cálculos segue o resultado desejado. (2) Em termos de f k, λ 2 e k = 2[ F k 2 + ˆF k 2 ], (4.6) onde a métrica em S é dada por ds 2 = λ 2 dz 2. De fato, se f : M N é uma aplicação diferenciável entre as superfícies M e N munidas de 38

46 Capítulo 4. Superfícies de Curvatura Média Constante em R 3 e R 4 métricas conformes, dadas localmente por ds 2 = λ 2 dz 2 em M e dσ 2 = µ 2 dw 2 em N, então a densidade de energia de f, que é dada por e( f) = 1 2 d f 2, se decompõe nas componentes e( f) = ε 1 ( f)+ε 2 ( f), onde ε 1 ( f) = µ2 λ 2 w z 2, ε 2 ( f) = µ2 λ 2 w z 2, (4.7) e f é representada localmente na forma w = f(z) (ver [9]). Vamos tratar o caso particular: N = S 2 (1/ 2), a esfera padrão de raio 1/ 2. Se w é o parâmetro conforme obtido por uma transformação conforme de S 2 (1/ 2) em S 2 (1) seguido pela projeção estereográfica então µ = w 2. Assim, se g aplica S em S 2 (1/ 2), as equações (4.7) se reduzem a ε 1 (g) = µ2 λ 2 w 1z 2 = 2 λ 2 f 1z 2 (1+ f 1 2 ) 2, e Portanto, ε 2 (g) = µ2 λ 2 w 2 z 2 = 2 λ 2 f 2 z 2 (1+ f 2 2 ) 2. e k = µ2 λ 2 w kz 2 + µ2 λ 2 w k z 2 = 2 λ 2 f kz 2 (1+ f k 2 ) λ 2 f k z 2 (1+ f k 2 ) 2 = 2 λ 2[ F k 2 + ˆ F k 2 ], onde a métrica em S é dada por ds 2 = λ 2 dz 2. (3) Se J k denota o Jacobiano da aplicação g k, então λ 2 J k = 2[ ˆ F k 2 F k 2 ]. (4.8) 39