EXPERIMENTANDO, CONJECTURANDO, FORMALIZANDO E GENERALIZANDO: ARTICULANDO INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA COM O GEOGEBRA*

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1 EXPERIMENTANDO, CONJECTURANDO, FORMALIZANDO E GENERALIZANDO: ARTICULANDO INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA COM O GEOGEBRA* Duelci Aparecido de Freitas Vaz** Resumo: neste artigo, apresento uma proposta de trabalho com o software Geogebra inspirada no construtivismo pela ação baseada em experimentar, conjecturar, formalizar e generalizar o saber matemático. As atividades foram planejadas em projetos de pesquisas desenvolvidos com grupos de diferentes níveis levando em consideração a participação coletiva dos alunos envolvidos no processo. Nas atividades, em muitos momentos foi possível desenvolver a investigação matemática, pois as conjecturas suscitadas em muitas experiências permitiram o desenvolvimento de descobertas e releituras interessantes possibilitando ao aluno perceber o caráter dedutivo e generalizante da Matemática. Palavras-chave: Investigação Matemática. Ensino Tecnológico de Matemática. Geogebra. N os últimos anos mudanças significativas ocorreram nos cursos de Licenciatura em Matemática da maioria das instituições de ensino brasileiras modificando uma concepção de formação de professor que valorizava, excessivamente, a transmissão de conhecimento para uma concepção visando introduzir o aluno, o quanto antes, na sua realidade de trabalho, nas tendências da Educação Matemática, ao mesmo tempo, dando uma formação sólida do saber matemático. Nas grades dos cursos mais antigos, as técnicas de ensino, além de não serem valorizadas, baseavam-se na tentativa única de se fazer a transposição didática fundamentada em transmitir para o aluno o ideal científico, construído ao longo da história, e, exigir do mesmo, em contrapartida, esse ideal, através de uma avaliação que, na maioria das vezes, testava mais a capacidade de memorização do que a aprendizagem efetiva. Os professores egressos desses cursos estavam preocupados com a transmissão de conteúdos, repetindo uma tradição que foi incorporada não só nos cursos de Licenciatura de Matemática, mas uma característica presente na maioria dos cursos instituídos no Brasil., Goiânia, v. 15, n. 1, p , jan./jun

2 Uma das novidades instituídas nas grades recentes dos cursos de Licenciatura em Matemática de diversas instituições é a disciplina associada a tecnologias. Hoje se sabe que o uso de tecnologias na Educação Matemática abrange um leque de possibilidades, incluindo a variedade de softwares disponíveis, mas o importante, sobretudo, é refletir como devemos explorá-los no ensino. Para este fim, escolhemos o software Geogebra para realizar este trabalho por vários motivos. Primeiro porque se enquadra na categoria da geometria dinâmica, livre, permitindo uma boa interatividade, possibilitando trabalhar teoremas, construção de conceitos, testar hipóteses e fazer releituras importantes de conteúdos matemáticos. Outro fator importante é a possibilidade de trabalhar com o aluno, permitindo que o saber seja obtido através da interação realizada em atividades planejadas. Assim, podemos articular o processo de ensino aprendizagem, passando de um modelo baseado na informação para um modelo fundamentado na construção do saber. No Geogebra podemos contemplar geometria e ágebra dinâmicamente, interagindo entre si na mesma tela, possibilitando o usuário relacionar as várias faces de um mesmo objeto matemático. Permite trabalhar conceitos matemáticos do ensino fundamental, médio e superior e realizar construções matemáticas diversificadas e alterá-las após a construção ser finalizada. Esse dinamismo possibilita que o aluno perceba diversas relações entre os objetos matemáticos, faça conjecturas e até mesmo formalize os resultados, de forma visual, no próprio software. Além das operações usuais o Geogebra deriva, integra funções, oferece comandos diversos, entre eles, comandos para encontrar raízes e pontos extremos de uma função. Seu uso tem sido extensamente explorado por diversos professores. Encontramos diversos relatos nas páginas da Internet, bem como diversos tipos de experiências educativas, sendo, portanto, fácil encontrar material para trabalhar em sala de aula e em laboratórios. A proposta As atividades matemáticas planejadas nas aulas e nos projetos de pesquisa tinham o propósito de trabalhar com o Geogebra articuladas em três níveis, a saber: experimentar, conjecturar e formalizar o saber matemático, mas podemos utilizá-lo também para construir conceitos, simular situações e testar hipóteses. Além do 40, Goiânia, v. 15, n. 1, p , jan./jun

3 mais, a experiência mostrou que seria necessário acrescentar uma quarta etapa, a generalização. A primeira etapa seria a possibilidade de experimentar, isto é, alunos e professor podem, em um laboratório de informática, usar o software para trabalhar atividades matemáticas que permitem o aluno, movimentando os objetos matemáticos, compararar representações algébricas e geométricas, perceber propriedades, definições e construir conceitos através da interação. A segunda fase do processo seria levantar conjecturas relacionadas à primeira etapa. Conjecturar significa que depois de perceber as relações oriundas da experimentação é possível vislumbrar propriedades, relações, resultados gerais importantes para o bom desenvolvimento do ensino da matemática. Uma vez feita a conjectura, o aluno pode enunciá-la como um resultado a ser investigado. A terceira etapa é a formalização que seria a demonstração matemática do fato propriamente dita ou uma contra-proposição da conjectura levantada, nos dois casos com um argumento pedagógico compativel à série que se está trabalhando. Tal atitude é importante, pois não podemos, através da experimentação, generalizar os resultados sob o risco de não estarmos praticando os ideais da Matemática. Os resultados dessa ciência devem ser argumentados, respeitando os níveis de entendimento do aluno. Não é uma boa ideia provar que uma função do segundo grau, com a > 0, tem a concavidade para cima pelo uso da operação derivada primeira ou segunda numa turma do nono ano do ensino funadamental ou numa turma de primeiro ano do ensino médio, mas podemos usar argumentos compatíveis para se provar tal resultado. Depois de experimentar, conjecturar e formalizar o saber matemático é importante tentar fazer a generalização do resultado, isto é, investigar outras situações pertinentes, situações particulares, enfim, explorar o alcance do resultado obtido. Foi surpreendente, em muitos casos, que releituras de conteúdos tenham nos dado situações que ainda não tinham sido percebidas e também em muitas atividades que se pretendia investigar determinadas propriedades o aluno percebeu outras. Materiais e métodos A pesquisa teve como foco principal planejar atividades de matemática no Geogebra baseadas na ideia de experimentar, conjecturar, formalizar e generalizar o pensamento matemático no laboratório de, Goiânia, v. 15, n. 1, p , jan./jun

4 ensino. O estudo envolveu alunos de iniciação científica do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás (IFG), alunos do curso de Licenciatura em Matemática da disciplina Metodologia do Ensino da Matemática e alunos do ensino médio do IFG e alunos da disciplina Novas Tecnologias da Pontifícia Universidade Católica de Goiás. A metodologia utilizada foi a pesquisa-ação. As atividades planejadas eram realizadas, uma avaliação diagnóstica era efetuada através de perguntas e observações e a intervenção pedagógica era realizada concomitantemente no sentido de melhorar o entendimento da atividade, caso fosse necessário. A formalização era sempre realizada com um argumento pedagógico compatível, buscando explicar o conteúdo no contexto visualizado. Usamos como base teórica a teoria construtivista de Vygotsky. Através das diversas interações pela via da experimentação dinâmica que o software permite, sempre trabalhadas com a participação do aluno, pudemos constatar, em várias oportunidades, a percepção do saber, seja na elaboração de conceitos, na releitura de conteúdos e na conjectura de resultados importantes por parte do aluno. Alterando a concepção do professor Não é difícil encontrar dados estatísticos mostrando o baixo rendimento escolar em Educação Matemática em nosso país corroborando com a nossa própria experiência profissional como educador matemático. Os diversos relatos que obtemos pelas pesquisas governamentais, seja em testes internacionais ou nacionais, revelam um cenário ainda desolador com relação ao ensino em geral e particularmente na Matemática esses índices são mais alarmantes. Existem diversos problemas associados ao baixo rendimento escolar do aluno na disciplina de Matemática: formação inadequada, baixos salários, problemas sociais, falta de uma política pública adequada, principalmente nas esferas estaduais e municipais, entre tantos. Constata-se ainda que a metodologia de ensino do professor, na maioria dos casos, é quase sempre informativa. Tal atitude tem sido foco de críticas por partes de renomados pesquisadores. Caracterizada pela ansiedade do professor em ministrar novos conteúdos concebendo o aluno como receptor, expõe visivelmente a dicotomia entre o sujeito e o objeto do conhecimento. Concordando com nossa fala, Moretto nos diz: 42, Goiânia, v. 15, n. 1, p , jan./jun

5 Nessa representação, vemos o conhecimento como uma descrição de mundo. Dizemos que as verdades correspondentes ao conhecimento são aquelas que correspondem à descrição dos objetos como eles são em si. Chamaremos isso de verdades de natureza ontológica. Elas não dependem do observador, pois estão relacionadas diretamente ao mundo dos objetos. Os conhecimentos, com visão epistemológica tradicional, são descrições do mundo, pois em aula ele descreve os objetos, independentemente do contexto do observador (MORETTO, 2008, p. 34). Acreditamos no ensino da Matemática que aproxima as partes envolvidas e essa proposta foi concebida para o professor e o aluno trabalharem conjuntamente, construindo o conhecimento e permitindo o diálogo multilateral. A sugestão de usar a informática como elemento mediador do ensino é incipiente na nossa cultura escolar. Mas passos importantes estão sendo dados. No caso da Matemática, é uma tendência crescente em vários níveis: no ensino e aprendizagem da Matemática, no ensino à distância, na pesquisa e na inclusão digital e na formação do professor. Na literatura encontramos diversos autores defendendo seu uso: Da mesma forma que a invenção da oralidade permitiu uma expansão qualitativa da capacidade de comunicação do homem pré-histórico e a escrita forneceu condições para ampliar a inteligência, o uso de novos recursos da informática proporciona instrumentos para expandir as estratégias de trabalhar com a argumentação no contexto escolar e isto sugere uma ampla temática de pesquisa na área da Educação Matemática (PAIS, 2006, p. 39). Sustenta-se o uso da informática por que representa para o professor possibilidades importante de ensino, além do mais, amplia a noção de metodologias e estratégias de ensino colocando o professor numa situação que exige um movimento na direção de novos saberes exigindo que ele saia da situação de acomodação, fazendo com que amplie e renove seu conhecimento matemático, provocando um avanço no seu estilo de ensinar e na sua cognição. Para o aluno representa possibilidade de aprendizagem, se adaptando a nova realidade que se estabelece nas sociedades modernas., Goiânia, v. 15, n. 1, p , jan./jun

6 O professor ao trabalhar com o aluno, com atividades bem planejadas, possibilita que o saber emerja do processo, mas no nosso caso, como o saber matemático tem o caráter da abstração e da generalização, proporemos argumentos pedagógicos complementares e adequados à série que estaremos trabalhando, formalizando os resultados teóricos suscitados a partir dessa empiria consolidando nossos objetivos, como sugerido por Moretto: Há, no entanto uma nova epistemologia que toma corpo em nossos dias, em contraposição à que chamamos de tradicional. É a perspectiva construtivista sociointeracionista. Nessa visão, o conhecimento não é uma descrição do mundo, mas uma representação que o sujeito faz do mundo que o rodeia, em função de suas experiências na interação com ele. Dizemos, por isso, que todo conhecimento é uma construção individual cognoscente, em sua interação com o mundo físico e social que o rodeia, isto é, todo conhecimento é uma construção individual mediada pelo social (MORETTO, 2008, p. 34). Esperamos que nossa proposta dê possibilidades de ação para o professor de Matemática e consequentemente contribua com a formação do aluno de nossas escolas, melhorando a qualidade de ensino da Matemática. Investigação matemática: um exemplo motivador Relato aqui uma experiência para ilustrar tal situação. Durante uma aula de matemática, no desenvolvimento de uma atividade, uma aluna apresentou a experiência de calcular soma de matrizes e determinantes. Nessa atividade, embora sem o apelo gráfico que o software permite, foi possível, depois de certas experimentações, perceber uma propriedade interessante do cálculo de determinantes. A aluna apresentou alguns exemplos de como somar e calcular determinantes de ordem 2x2. Depois de vários exemplos dados por ela, solicitei exemplos com matrizes 3x3. O exemplo imediatamente apresentado foi o de uma matriz com os seguintes elementos consecutivos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que no Geogebra, na entrada de comandos, é escrita M={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}} e na janela algébrica é representada como nos livros didáticos. Para calcular o determinante, basta escrever na en- 44, Goiânia, v. 15, n. 1, p , jan./jun

7 trada de comandos Determinante [M], dar enter, e obtém-se na janela algébrica seu valor, neste caso zero, como ilustrado na figura abaixo. Forma matricial Valor do determinante Figura 1 Solicitamos a aluna que apresentasse outro exemplo e foi dado o exemplo com os elementos: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11, cujo determinante também é zero. Diante dos exemplos insistentes com números consecutivos, que continuaram sendo dados, os alunos conjecturaram algo interessante: o determinante de matrizes com elementos consecutivos é sempre igual a zero. Então pedimos aos alunos para verificarem se isso era um fato geral. Muitos alunos voltaram a experimentar no Geogebra diversos outros exemplos com a característica citada, constatando o mesmo resultado. Nos exemplos também foram incorporados sequências de números decimais, como por exemplo, M={{2.5,3.5,4.5}, {5.5, 6.5, 7.5}, {8.5, 9.5, 10.5}}, confirmando a conjectura. Ampliando nossa investigação, escrevendo na entrada de comando M={{n,n+1, {n+2},{n+3, n+4, n+5},{ n+6, n+7, n+8}} e fazendo o valor de n variar dentro de um intervalo qualquer, também se confirmou a conjectura. Isso, entretanto, não pode ser usado como a demonstração do fato, pois neste caso, embora a variável assuma diversos valores dentro de um intervalo, não assume todos esses valores. Além do mais, os valores externos ao intervalo ficaram excluídos da verificação. Exploramos o fato de que toda propriedade válida para linhas também são válidas para colunas. A partir de então passamos a trabalhar com números consecutivos em forma de colunas. Para demonstrar a validade da conjectura, para o caso 3x3, procedemos aplicando propriedades dos determinantes e percebemos que a propriedade proposta, para confirmar a conjectura, não foi bem entendida ou não era bem assimilada pelos alunos, embora fosse adequada, Goiânia, v. 15, n. 1, p , jan./jun

8 à série trabalhada. Assim, aproveitamos o momento para explorá-la e comprovar a validade da conjectura: Na realização do raciocínio abaixo ficou evidenciado um entendimento melhor da propriedade. Num cenário de investigação, evidentemente, a pergunta sequencial seria sobre a validade dessa regra para matrizes de outra ordem. Incentivei primeiramente o caso 4x4 ficando constatado que o determinante também era nulo. Os alunos fizeram diversas experimentações, como anteriormente, comprovando que a mesma conjectura era válida neste caso também. A formalização foi realizada como mostra o cálculo a seguir. A propriedade também foi explorada em mais de uma via, em consórcio com propriedades dos determinantes, articulando com conhecimentos desenvolvidos anteriormente. A primeira demonstração do fato foi feita como segue: 46, Goiânia, v. 15, n. 1, p , jan./jun

9 A outra forma escolhida para demonstrar o fato está ilustrada abaixo: =0. Os alunos sempre se manifestaram favoráveis ao segundo tipo de cálculo alegando que a argumentação é mais simples. Para uma matriz quadrada de ordem k qualquer, maior que 3, podemos demonstrar como segue: = = 0 A dificuldade neste caso ficou relacionada a ordenar os termos. Mas tal dificuldade foi superada observando casos particulares. Restava-nos investigar o caso das matrizes quadradas de ordem constatando que, para esse caso, o determinante é sempre igual a -2. Assim, foi possível enunciar a regra geral. Toda matriz quadrada de ordem maior ou igual a 3, em que os elementos estão dispostos consecutivamente, em forma de linhas ou de colunas, possui determinante nulo. No caso especial em que a matriz tem ordem 2, o determinante é sempre -2. O inesperado nas aulas de matemática Trabalhar na linha de pensamento que estamos adotando pode nos reservar surpresas interessantes. Mas dentro da perspectiva adotada tudo que temos a fazer é aceitar o desafio de enfrentar situações impensadas,, Goiânia, v. 15, n. 1, p , jan./jun

10 que não foram contempladas no planejamento. A seguir relato uma dessas situações. A atividade proposta consistia em determinar o lugar geométrico do baricentro de um triângulo inscrito numa circunferência quando movemos um vértice sobre a circunferência e mantemos os outros dois fixos, isto é, que curva é descrita pelo baricentro do triângulo nesta situação? Lembramos que o baricentro é o ponto definido pelo encontro das medianas do triângulo. Traçamos uma circunferência de raio 3 e em seguida determinamos um triângulo inscrito nesta circunferência. Marcamos os pontos médios de cada lado desse triângulo e os segmentos que unem o vértice ao ponto médio. Determinamos o ponto H, o baricentro, intersecção dos segmentos. Figura 2 Habilitando o rastro de H e movendo o ponto D, obtemos o traçado do ponto H, como ilustra a figura abaixo. Figura 3 48, Goiânia, v. 15, n. 1, p , jan./jun

11 Evidentemente que a maioria dos alunos conjecturou que a curva descrita é uma circunferência e que a questão a seguir seria determinar sua equação, para de fato confirmar nossas expectativas. Mas surgiram duas perguntas inesperadas sobre a curva descrita pelos dois pontos médios G e F. Figura 4 Ao mover o ponto D, tudo indica que o baricentro descreveria uma circunferência, mas, alguém, ao habilitar o rastro dos dois pontos médios G e F que se movem conjuntamente com o baricentro conjecturou: os pontos médios que estão se movendo também descrevem uma circunferência. Feitas as conjecturas passamos a tentativa de comprovar o fato. A seguir apresentamos nossos argumentos. A equação da circunferência, neste caso, foi obtida pela definição, ou seja, dado o ponto fixo (0,0) e o raio 3, então d(d,c) = 3, onde D(x,y), obtemos: x 2 + y 2 = 9. O baricentro é obtido calculando a média aritmética das coordenadas dos três pontos que definem o triângulo. No caso exemplificado, os pontos C(0,3) e B(3,0) são fixos e o ponto D(x, y) é móvel, onde por pertencer a circunferência dada. Assim o baricentro seria calculado (a, b) = ((x + 3)/3, (y +3)/3), onde (a,b) é o ponto correspondente ao baricentro. Dai, x = 3a-3e y=3b-3, substituindo em x 2 + y 2 = 9, obtemos a circunferência (a-1) 2 + (b-1) 2 =1, comprovando nossa conjectura inicial, pois ao introduzir tal equação na entrada de comando e dar enter confirmamos nossa conjectura. Do mesmo modo se procede para confirmar as conjecturas relacionadas aos dois pontos médios F e G. Conclusão Concluímos nosso artigo reafirmando a importância de se trabalhar com diversas metodologias no ensino da Matemática. Pela expe-, Goiânia, v. 15, n. 1, p , jan./jun

12 riência, percebemos através da pesquisa-ação a potencialidade dessa proposta de trabalho. Visualizamos a versatilidade do software que permite um aprendizado significativo de suas principais ferramentas e que apresenta uma possibilidade importante que é a de permitir o usuário motivado ser autodidata. As ferramentas são de fácil acesso e sua didática interna dá condições para que o usuário vá entendendo, passo a passo, como construir figuras geométricas, como torná-las dinâmicas e pela acessibilidade à Internet pode avançar fazendo sua leitura.quanto ao desenvolvimento das atividades previstas ficou evidenciado que quando trabalhadas dentro da perspectiva proposta obtém-se resultados surpreendentes, pois no desenvolvimento delas, obtemos resultados inesperados e até mesmo ampliações de resultados já estabelecidos. Outro fator importante é a possibilidade de consolidar práticas de ensino articuladas com a participação do aluno e com a investigação matemática, mostrando o viés do raciocínio matemático, fator que ficou evidenciado em todo processo. Portanto salientamos a importância de trabalhar com esse tipo de metodologia, mas pensamos que não está só nisso as possibilidades de avanços na Educação Matemática. Referências Agradecimento: CNPQ. BICUDO, M.A.V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções & Perspectivas. São Paulo: Editora da UNESP, BORBA, M.C. PENTEADO, M.G. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Autentica, BRITO, G. S.; PURIFICAÇÂO, I. Educação e novas tecnologias: um repensar. Curitiba: Ibpex, CURY, Helena Noronha. Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo Horizonte: Autêntica, FIORENTINI, D. (Org.). Formação de Professores de matemática. Campinas: Mercado de Letras, FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, LORENZATO, S. (Org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas: Autores Associados, MORETTO, V. P. Prova um momento privilegiado de estudo, não um acerto de contas. Rio de Janeiro. Ed. Lamparina PAIS, L. C. Ensinar e aprender matemática. Belo Horizonte. Editora: Autentica , Goiânia, v. 15, n. 1, p , jan./jun

13 EXPERIMENTING, CONJECTURING, FORMALIZING AND GE- NERALIZING: ARTICULATING MATHEMATICAL INVESTIGA- TION WITH GEOGEBRA. Abstract: in this article, I present a proposal to work with the Geogebra software inspired on constructivism through action based in experience, conjecture, formalize and generalize the mathematical knowledge. The activities were planned in research projects developed with groups of different levels, taking into consideration the collective participation of the students involved in the process. It was possible, in many moments during these activities, to develop mathematical investigation, since the conjectures raised in many of the experiments allowed the development of interesting discoveries and new interpretations, which allowed the students to perceive the deductive and generalizing characteristics of math. Keywords: Mathematical Research. Technological Education. Mathematics Geogebra. * Texto recebido em 24/05/211 e aprovado em 30/11/2011 ** Doutor em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista; professor da Pontifícia Universidade Católica de Goiás e do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Goiás; desenvolve pesquisa em Educação Matemática nos seguintes campos: Ensino e Aprendizagem da Matemática, História e Filosofia da Matemática. Goiânia, v. 15, n. 1, p , jan./jun

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