= volume do cone => Vc N = 25, 47 (se π 3,14)

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1 ) Fernando utiliza um recipiente, em forma de um cone circular reto, para encher com água um aquário em forma de um paralelepípedo retângulo. As dimensões do cone são: 0 cm de diâmetro de base e 0 cm de altura e as do aquário são: 0 cm, 50 cm e 40 cm, conforme ilustração abaixo. Cada vez que Fernando enche o recipiente na torneira do jardim, ele derrama 0% de seu conteúdo no caminho e despeja o restante no aquário. Estando o aquário inicialmente vazio, qual é o número mínimo de vezes que Fernando deverá encher o recipiente na torneira para que a água despejada no aquário atinja 5 de sua capacidade? aq = volume do aquário => = = aq a = do volume doaquário => a = = π rh π π c = volume do cone => c = = = t = volume de água transportada no cone π => t = c = = 600π 0 0 N = número de viagens => N = 5, 47 (se π,4) 600π = π Conclusão: desta forma serão necessárias 6 viagens. Justificativa da conclusão: é necessário mostrar que a aproximação para π não influencia o resultado final, isto é, que as aproximações inferior e superior para π mantêm o número de viagens superior a 5, mas abaixo de 6. Assim, de, < π <,5, segue-se que o número de viagens, calculados pra os valores, e,5 são, respectivamente, = 5,8 e = 5,4.,,5 Portanto, o número de viagens usando a aproximação superior para π fica acima de 5 e o número de viagens usando a aproximação inferior fica abaixo de 6. (valor: 5,0 pontos) Pág.

2 ) Flávio tem, em sua calculadora, uma tecla com o símbolo. Se o visor da calculadora mostra 8x um número x, ao apertar a tecla, aparece, no visor, o valor de, se este existir; x x 7 caso contrário, aparece a mensagem ERRO. ( )( ) a) Se Flávio inserir o número no visor e apertar a tecla..., qual número aparecerá no visor? Fazendo x = na expressão dada, obtemos: ( 8). 6 6 = = =, ( )( 7) 5 5 (valor: 0,5 pontos) b) Para quais valores que, uma vez inseridos no visor, ao se apertar a tecla mensagem ERRO?, surgirá a Os valores que geram a mensagem erro são aqueles para os quais ( x )( x 7) = 0. Assim, temos que x= ou x= 7. c) Flávio inseriu um número x no visor e, ao apertar a tecla, apareceu o próprio número inserido. Nessas condições, determine todos os possíveis valores que Flávio poderia ter inserido no visor. -8x =x ( x-)( x-7) x 8x 7x 8x x 8x 5x + = + =0 xx ( 8x+ 5) = 0 x= 0 ou x 8x+ 5= 0 x = 0, x = ou x = 5. (valor:,5 pontos) Pág.

3 ) Num cômodo quadrado de lado 5 m, há uma porta de,5 m de largura, posicionada a 0,0 m de um dos cantos. Nesse cômodo, foram colocados dois balcões retangulares idênticos, de,5 m de comprimento e, m de largura, encostados nas paredes, e uma mesa circular de m de diâmetro, encostada nesses balcões, conforme indica a planta-baixa, a seguir: a) Qual é a medida, em m², da área da planta-baixa não ocupada pelos móveis? Sejam SC, SB, S M as áreas do cômodo, do balcão, da mesa, respectivamente, e seja S a área procurada. Então, S = 5.5 = 5 C S =,5., = 4, B SM = π (,5) =, 5π Portanto, S = S S S => S = 5 8,4,5π = 6,6,5π C B M (valor:,0 pontos) b) É possível abrir totalmente a porta desse cômodo com os móveis nas posições indicadas? Sejam AC o segmento de reta vertical ligando o centro da mesa à parede superior do cômodo e AB o segmento de reta ligando o centro da mesa ao ponto onde a porta está presa na parede. Então, AC = 5,5,=, CB = 5,5, 0,= ( AB) = (,) + = 5,9+ 4= 9,9 => AB = 9,9 AB > =,5+,5 = r + p, onde r é o raio da mesa e p é largura da porta. Portanto, é possível abrir a porta. (valor:,0 pontos) Pág.

4 4) Na figura abaixo, temos um sistema de eixos cartesianos com origem em O. Nele, encontra-se representada uma circunferência tangente ao eixo das ordenadas e com centro C (, 0). Sejam T e T pontos sobre o semi-eixo positivo das ordenadas, tais que TC T = OCT = 0º. a a) Determine o comprimento do segmento OT. OT OT = = tg 60º = b) Calcule o valor da área sombreada.. A ( Δ OCT ) = =. A( Δ ) OCT = = 6 π. π AS ( C ) = = π 4 π AR = A( ΔOCT ) A( Δ ) ( ) = = OCT A S C 6 (valor:,0 pontos) c) Encontre as equações das retas que passam pelo ponto T e são tangentes à circunferência dada. Justificativa de que a reta tangente com o eixo x forma um ângulo de 0º. y= y0 + ( tg0º)( x 0) e x = 0 y = + x e x = 0 (valor:,0 pontos) Pág. 4

5 5) Uma circunferência de centro no ponto C (5,4) é tangente à reta de equação x = 5+. a) Essa circunferência intercepta o eixo das abscissas? r = 5 (5+ ) = Comparando o raio com a ordenada do centro da circunferência:,8< 4 b) Qual é a posição relativa do ponto (, ) P em relação a essa circunferência? (valor:,5 pontos) Equação da circunferência: x y ( ) ( 5) + ( 4) = = 8 Como P(, ) satisfaz a equação da circunferência, o mesmo está sobre a circunferência. c) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (, ) circunferência. P e é tangente a essa y b m, onde ( y, x ) (, ) e ( a, b) = (5, 4). 0 r = 0 0 = x0 a m r 5 = = 4 = = ms mr y = ( x ) y= 5 x (valor:,5 pontos) Pág. 5

6 6) Numa escola, verificou-se que 0 alunos não lêem o jornal P, 46 não lêem o jornal M e 8 lêem os jornais P e M. Sabe-se que 60 alunos lêem, pelo menos, um dos dois jornais. a) Qual é o número de alunos na escola? x = lêem P e não lêem M y = não lêem P e lêem M z = lêem P e lêem M t = não lêem P e não lêem M x+y+z+t=? t+ y = 0 x + t = 46 x + z + y = 60 z = 8 t+ y = 0 => x + t = 46 => x + y =5 x y = 6 x + y = 5 => x= 4, y= 8, z = 8 e t = x+ y+ z+ t =7 (valor:,5 pontos) b) Um estudante dessa escola foi selecionado, aleatoriamente, dentre os estudantes que lêem, pelo menos, um dos dois jornais. Qual é a probabilidade de ele ser leitor de ambos os jornais? 8 PP ( M ) = = 60 5 c) Se um estudante dessa escola é selecionado ao acaso, qual é a probabilidade de esse aluno ser leitor do jornal P, sabendo-se que ele é leitor de, pelo menos, um dos dois jornais? PP ( ( P M)) PP ( ) 4 7 PP ( ( P M) = = = = PP ( M) PP ( M ) 60 0 (valor:,5 pontos) Pág. 6

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