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1 1. (Insper 01) De cada vértice de um prisma hexagonal regular foi retirado um tetraedro, como exemplificado para um dos vértices do prisma desenhado a seguir. O plano que definiu cada corte feito para retirar os tetraedros passa pelos pontos médios das três arestas que concorrem num mesmo vértice do prisma. O número de faces do poliedro obtido depois de terem sido retirados todos os tetraedros é a). b) 0. c) 18. d) 16. e) 1.. (Ufjf 01) Uma empresa de sorvete utiliza como embalagem um prisma reto, cuja altura mede 10 cm e cuja base é dada conforme descrição a seguir: de um retângulo de dimensões 0 cm por 10 cm, extrai-se em cada um dos quatro vértices um triângulo retângulo isósceles de catetos de medida 1cm. a) Calcule o volume da embalagem. b) Sabendo que o volume ocupado por esse sorvete aumenta em 1 5 (um quinto) quando passa do estado líquido para o estado sólido, qual deve ser o volume máximo ocupado por esse sorvete no estado líquido, nessa embalagem, para que, ao congelar, o sorvete não transborde?. (Uerj 01) As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos semelhantes. Página 1 de 0

2 Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a medida da área total do maior pacote e a do menor é igual a: a) b) c) 6 d) 8. (Uff 01) O sistema de tratamento da rede de esgoto do bairro de lcaraí, em Niterói, tem a capacidade de processar 985 litros de esgoto por segundo, ou seja, 0,985 metros cúbicos de esgoto por segundo. Sendo T o tempo necessário para que esse sistema de tratamento processe o volume de esgoto correspondente ao volume de uma piscina olímpica de 50 metros de comprimento, 5 metros de largura e metros de profundidade, é correto afirmar que o valor de T está mais próximo de a) segundos. b) minutos. c) 1 hora. d) 0 minutos. e) 1 dia. 5. (Unicamp simulado 011) Uma caixa d'água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura abaixo. Página de 0

3 Supondo que AB = 6m e AC = 1,5m, podem ser armazenados na caixa a) 178 litros de água. b) 10 litros de água. c) 1000 litros de água. d) 57 litros de água. 6. (Uerj 011) A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm. Em relação ao prisma, considere: - cada um dos ângulos Â,, e da base superior mede 10º; - as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada. Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$10,00 por m e que = 1,7. Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a: a) 0,50 b) 0,95 c) 1,50 d) 1,85 7. (Unicamp 011) A caixa de um produto longa vida é produzida como mostra a sequência de figuras abaixo. A folha de papel da figura 1 é emendada na vertical, resultando no cilindro da figura. Em seguida, a caixa toma o formato desejado, e são feitas novas emendas, uma no topo e outra no fundo da caixa, como mostra a figura. Finalmente, as abas da caixa são dobradas, gerando o produto final, exibido na figura. Para simplificar, consideramos as emendas como linhas, ou seja, desprezamos a superposição do papel. Página de 0

4 a) Se a caixa final tem 0 cm de altura, 7, cm de largura e 7 cm de profundidade, determine as dimensões x e y da menor folha que pode ser usada na sua produção. b) Supondo, agora, que uma caixa tenha seção horizontal quadrada (ou seja, que sua profundidade seja igual a sua largura), escreva a fórmula do volume da caixa final em função das dimensões x e y da folha usada em sua produção. 8. (Ifsp 011) A base de uma pirâmide hexagonal regular está inscrita em um círculo que é a base de um cilindro reto de altura 6 cm. Se esses sólidos têm o mesmo volume, então a medida, em centímetros, da altura da pirâmide é a) 9 π. b) 1 π. c) 15 π. d) 18 π. e) π. 9. (Ita 011) Uma esfera está inscrita em uma pirâmide regular hexagonal cuja altura mede 1 cm e a aresta da base mede 10 cm.. Então o raio da esfera, em cm, é igual a a) 10. b) 1. c) 15. d). e) (Fgv 011) Após t horas do inicio de um vazamento de óleo de um barco em um oceano, constatou-se ao redor da embarcação a formação de uma mancha com a forma de um círculo 0 0,5 cujo raio r varia com o tempo t mediante a função r( t) = t metros. A espessura da π mancha ao longo do circulo é de 0,5 centímetro. Desprezando a área ocupada pelo barco na mancha circular, podemos afirmar que o volume de óleo que vazou entre os instantes t = horas e t = 9 horas foi de: a) 1,5m b) 15m c) 17,5m d) 0m e),5m 11. (Enem 011) É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la. Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, n. 166, mar Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize π= ) a) 0 ml. b) ml. Página de 0

5 c) 100 ml. d) 10 ml. e) 600 ml. 1. (Unicamp 011) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro. A altura do cone formado pela areia era igual a a) da altura do cilindro. b) 1 da altura do cilindro. c) da altura do cilindro. d) 1 da altura do cilindro. 1. (Espm 011) Um reservatório de água é constituído por uma esfera metálica oca de m de diâmetro, sustentada por colunas metálicas inclinadas de 60 com o plano horizontal e soldadas à esfera ao longo do seu círculo equatorial, como mostra o esquema abaixo. Sendo 1,7, a altura h da esfera em relação ao solo é aproximadamente igual a: a),0 m b),80 m c),0 m d),0 m e),60 m 1. (Uff 011) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de futebol deve passar por vários testes. Um deles visa garantir a esfericidade da bola: o seu diâmetro é medido em dezesseis pontos diferentes e, então, a média aritmética desses valores é calculada. Para passar nesse teste, a variação de cada uma das dezesseis medidas do diâmetro da bola com relação à média deve Página 5 de 0

6 ser no máximo 1,5%. Nesse teste, as variações medidas na Jabulani, bola oficial da Copa do Mundo de 010, não ultrapassaram 1%. Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu volume aumenta x %. Dessa forma, é correto afirmar que a) x [5,6). b) x [,). c) x = 1. d) x [,). e) x [,5). 15. (Uerj 011) Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material homogêneo, flutua em um líquido, conforme a ilustração abaixo. Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a: a) 1 b) c) 5 6 d) 7 8 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Os sólidos de revolução são gerados pela rotação completa de uma figura plana em torno de um eixo. Por exemplo, rotacionando um quadrado em torno de um eixo que passa por um de seus lados obtemos um cilindro circular reto, como mostra a figura. Página 6 de 0

7 16. (Insper 011) Considere o sólido gerado pela rotação completa do triângulo acutângulo ABC, de área S, em torno de um eixo que passa pelo lado BC, que tem comprimento l. O volume desse sólido é igual a πs a). l πs b). l c) π S l. d) π S l. πs l e). 17. (Enem 010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura ). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual. Considere: V 1 esfera = πr e Vcone = πr h Página 7 de 0

8 Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de a) 1,. b) 6,00. c) 1,00. d) 56,5. e) 11, (Uerj 010) A figura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 7%. O nível desse líquido tem 1 cm de altura. Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a solução inicial com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio a 8%. Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a a) 16 b) 18 c) 0 d) 19. (Uff 010) Em 1596, em sua obra Mysterium Cosmographicum, Johannes Kepler estabeleceu um modelo do cosmos onde os cinco poliedros regulares são colocados um dentro do outro, separados por esferas. A ideia de Kepler era relacionar as órbitas dos planetas com as razões harmônicas dos poliedros regulares. A razão harmônica de um poliedro regular é a razão entre o raio da esfera circunscrita e o raio da esfera inscrita no poliedro. A esfera circunscrita a um poliedro regular é aquela que contém todos os vértices do poliedro. A esfera inscrita, por sua vez, é aquela que é tangente a cada uma das faces do poliedro. A razão harmônica de qualquer cubo é igual a: a) 1 b) c) d) e) 0. (Uerj 010) Uma embalagem em forma de prisma octogonal regular contém uma pizza circular que tangencia as faces do prisma. Página 8 de 0

9 Desprezando a espessura da pizza e do material usado na embalagem, a razão entre a medida do raio da pizza e a medida da aresta da base do prisma é igual a: a) b) c) + 1 d) ( 1) 1. (Uerj 009) Observe o dado ilustrado a seguir, formado a partir de um cubo, com suas seis faces numeradas de 1 a 6. Esses números são representados por buracos deixados por semiesferas idênticas retiradas de cada uma das faces. Todo o material retirado equivale a,% do volume total do cubo. Considerando π=, a razão entre a medida da aresta do cubo e a do raio de uma das semiesferas, expressas na mesma unidade, é igual a: a) 6 b) 8 c) 9 d) 10. (Uerj 008) Considere o icosaedro a seguir (Fig.1), construído em plástico inflável, cujos vértices e pontos médios de todas as arestas estão marcados. A partir dos pontos médios, quatro triângulos equiláteros congruentes foram formados em cada face do icosaedro. Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos marcados fiquem sobre a superfície de uma esfera, e os lados dos triângulos tornem-se arcos de circunferências, como ilustrado na figura. Observe agora que, substituindo-se esses arcos por segmentos de reta, obtém-se uma nova estrutura poliédrica de faces triangulares, denominada geodésica. (Fig. ) Página 9 de 0

10 O número de arestas dessa estrutura é igual a: a) 90 b) 10 c) 150 d) 180. (Ufjf 007) A figura a seguir representa a planificação de um poliedro convexo. O número de vértices deste poliedro é: a) 1. b) 1. c) 16. d) 0. e).. (Uerj 00) Leia os quadrinhos: Página 10 de 0

11 Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de-mão do personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo. Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm, igual a: a) 1 b) 1 c) 1 d) 15 Página 11 de 0

12 Gabarito: Resposta da questão 1: [B] O prisma triangular regular possui 1 vértices e oito faces. Acrescentando-se uma nova face em cada vértice, teremos um total de = 0 faces. Resposta da questão : a) Área da base (área do retângulo menos vezes a área do triângulo): 11 A = 0 10 A = 198cm Portanto, seu volume será: V = = 1980cm b) x = volume inicial do sorvete líquido Portanto, x x + = x 1980 x 1650cm = = 5 Resposta da questão : [B] A razão entre os volumes é o cubo da razão se semelhança. Logo, a razão de semelhança é k = ; A razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança. Logo, a razão entre as áreas dos pacotes é k = =. Resposta da questão : [D] Volume da piscina em m = 50.5.=500m Loto T = s 0min 0,985 ; ; Resposta da questão 5: Página 1 de 0

13 [A] Δ CDE ΔCAB 1,5 x x = 1,5 x = 9 6x 7,5x = 9 x = 1,m 1,5 6 Logo V = (1,) = 1,78m = 178L Resposta da questão 6: [B] Área do pentágono = área do triângulo maior (lado 0) menos duas vezes a área do triângulo menor (lado 10) A = = 00 = 175 Área da superfície da caixa: A = ( ).5 = 955,5 cm = 0,09555 m. Como o m de papelão custa 10 reais, o valor de cada caixa será aproximadamente R$ 0,95. Resposta da questão 7: a) Considere a figura. Página 1 de 0

14 Sabendo que a profundidade da caixa mede l = 7cm, temos que: y= 0+ l = 0+ 7= 7cm. Por outro lado, a dimensão x é o perímetro da base da caixa final, ou seja, x= (7,+ l ) = (7,+ 7) = 8,cm. b) De forma análoga ao item (a), temos que a aresta da base da caixa final é x cm e sua altura x vale y cm. Portanto, o volume da caixa final em função das dimensões x e y é dado x x x x por: y y cm. = 16 Resposta da questão 8: [B] A aresta da base da pirâmide tem a mesma medida do raio da circunferência. Logo, temos 16.r..h.r.6 h 1 Resposta da questão 9: [E] =π = π Aresta da base a = = Por semelhança de triângulos, temos 1 r r = r = 10/cm 1 5 Resposta da questão 10: [E] Página 1 de 0

15 A mancha de óleo tem a forma de um cilindro circular reto de raio r(t) e altura 0,5cm. Logo, se V(t) indica o volume de óleo, em m, que vazou até o instante t, t em horas, segue que V(t) =π [r(t)] 0,005 =π π =,5t. 0 t 0,5 0,005 Portanto, o volume de óleo que vazou entre os instantes t = horas e t = 9 horas foi de V(9) V() =,5 9,5 =,5 (9 ) =,5 m. Resposta da questão 11: [C] Supondo que o volume de açúcar e o volume de água somem o volume do copo. De acordo com o texto, temos: Volume de água = 5x Volume de água = x Volume do copo = π..10 =..10 = 10cm Então x + 5x = 10 6x = 10 x = 0cm Portanto, a quantidade de água deverá ser 5.0 = 100 cm = 100 ml. Resposta da questão 1: [A] Como o volume de areia é o mesmo, segue que: 1 1 π r h =π r h (R) h = R h hcon = h cil. con con cil cil con cil Resposta da questão 1: [C] Considere a figura abaixo. Página 15 de 0

16 Queremos calcular h= PO' = OO' OP. AD 10 Temos que O'A = = = 5m e OB = = m = O'C. Logo, AC = O' A O'C = 5 = m. BC Do triângulo ABC, vem que tgbac ˆ = BC = tg60 = 1,7 = 5,19 m. AC Portanto, h= 5,19 =,19,0m. Resposta da questão 1: [D] O volume (V) de uma esfera, em função do seu diâmetro (D), é dado por π V = D. 6 Se o diâmetro tem aumento de 1%, então o volume dessa esfera passa a valer π π V' = (1,01 D) = 1,0001 D = 1,0001 V. 6 { 6 Portanto, 1, 0001 V V 0, 0001 V x% = 100% =,0% [, ). V V Resposta da questão 15: [D] V Seja g uma geratriz do cone emerso e G uma geratriz do sólido. Segue que g 1 = = k, G com k sendo a constante de proporcionalidade. Assim, se v é o volume emerso e V é o volume do sólido, temos v v 1 1 V = k = = v =. V V 8 8 Seja V s o volume submerso. V 7V Vs = V v = V =. 8 8 Portanto, a razão pedida é 7V Vs = 8 7 =. V V 8 Resposta da questão 16: [A] Uma rotação completa do triângulo ABC em torno da reta suporte do lado BC gera o sólido abaixo, constituído de dois cones. Página 16 de 0

17 Como a área do triângulo do triângulo ABC é S, segue que l r S (ABC) = = S r =. l Portanto, o volume pedido é dado por πr x+ πr ( l x) = πr (x+ l x) 1 = πr l Resposta da questão 17: [B] 1 S = π l l πs =. l 1.. π = π..h h= 18 h= 6cm Resposta da questão 18: [B] 1 r 1cm, A solução inicial ocupa um volume igual a π em que r é o raio do cone menor 1 definido pelo nível do líquido. O recipiente tem volume igual a π R Hcm, em que R é o raio do recipiente e H é a sua altura. Como os cones são semelhantes, segue que: r 1 1R = r =. R H H Por outro lado, do enunciado vem: Página 17 de 0

18 1 1 1R 7% πr 1 = 8% πr H R H = H 1 H = 1 H = H = 18cm. Resposta da questão 19: [D] a r = e R r a = a a R = = a Resposta da questão 0: [C] Sejam O, A e M, respectivamente, o centro da pizza, um vértice do prisma e o ponto médio de uma das arestas adjacentes ao vértice A. OM Queremos calcular. MA ˆ 180 MOA = = 0'. 8 tgmoa ˆ = tg 0' = 1 cos 5 1+ cos 5 1 ( ) = = = = = MA MA tgmoa ˆ = 1= OM OM OM = = + 1. MA Página 18 de 0

19 Portanto, OM 1 OM + 1 = =. MA MA Resposta da questão 1: [D] Resposta da questão : [B] Resposta da questão : [A] Resposta da questão : [D] Página 19 de 0

20 Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 0/06/01 às 19:11 Nome do arquivo: pvn_aulao Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo Matemática... Insper/01... Múltipla escolha Matemática... Ufjf/01... Analítica Matemática... Uerj/01... Múltipla escolha Matemática... Uff/01... Múltipla escolha Matemática... Unicamp simulado/ Múltipla escolha Matemática... Uerj/ Múltipla escolha Matemática... Unicamp/ Analítica Matemática... Ifsp/ Múltipla escolha Matemática... Ita/ Múltipla escolha Matemática... Fgv/ Múltipla escolha Matemática... Enem/ Múltipla escolha Matemática... Unicamp/ Múltipla escolha Matemática... Espm/ Múltipla escolha Matemática... Uff/ Múltipla escolha Matemática... Uerj/ Múltipla escolha Matemática... Insper/ Múltipla escolha Matemática... Enem/ Múltipla escolha Matemática... Uerj/ Múltipla escolha Matemática... Uff/ Múltipla escolha Matemática... Uerj/ Múltipla escolha Matemática... Uerj/ Múltipla escolha Matemática... Uerj/ Múltipla escolha Matemática... Ufjf/ Múltipla escolha Matemática... Uerj/00... Múltipla escolha Página 0 de 0