Previsão de Volatilidade para os Vértices da Estrutura a Termo de Taxa de Juros em Reais Brasileira

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1 - FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ECONOMIA MESTRADO PROFISSIONALIZANTE TESE DE MESTRADO Autor: Orientador: Co-Orientador: Felipe Lourenço Margueron Eduarda de La Rocque Cesar Aragão Previsão de Volatilidade para os Vértices da Estrutura a Termo de Taxa de Juros em Reais Brasileira Rio de Janeiro Junho de 2006

2 - MARGUERON, FELIPE LOURENÇO PREVISÃO DE VOLATILIDADE PARA OS VÉRTICES DA ESTRUTURA A TERMO DE TAXA DE JUROS EM REAIS BRASILEIRA [Rio de Janeiro] 2006 pág. 36 v 29,7cm (EPGE/FGV, Mestrado Profissionalizante em Economia e Finanças, 2006) Tese de Mestrado Fundação Getúlio Vargas - RJ, Escola de Pós Graduação em Economia 1 Previsão de Volatilidade 2 Modelos GARCH 3 Value-at-Risk 4 - Risco de Mercado 5 Reunião do COPOM

3 Agradecimentos À minha família, em especial meus pais que sempre me incentivaram, aos meus orientadores e aos colegas de trabalho da RiskControl que me ajudaram com discussões sobre o tema. - 4

4 Resumo da Tese de Mestrado apresentada à Escola de Pós Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas RJ, como um dos requisitos necessários para a obtenção de grau de Mestre em Economia. PREVISÃO DE VOLATILIDADE PARA OS VÉRTICES DA ESTRUTURA A TERMO DE TAXA DE JUROS EM REAIS BRASILEIRA Felipe Lourenço Margueron Junho 2006 Orientador: Eduarda de La Rocque, César Aragão Palavras Chaves: Previsão de Volatilidade; Modelos GARCH; Value-at-Risk; Risco de Mercado; Reunião do COPOM. Este trabalho compara diferentes metodologias de previsão de volatilidade para vértices da estrutura a termo de juros em reais e propõe um novo modelo, batizado como COPOM-GARCH, para estimação desta. O modelo COPOM-GARCH se utiliza de duas variáveis dummy, uma no dia de divulgação do resultado da Reunião do COPOM e outra no dia seguinte, para fazer uma melhor previsão da volatilidade tanto nestes dois dias quanto nos dias subseqüentes. - 5

5 Índice 1 Introdução COPOM Comitê de Política Monetária O Mercado de Juros Brasileiro O Modelo Base de Dados Modelos de Previsão de Volatilidade Resultados Avaliação dos Modelos de Previsão de Volatilidade Conclusão Anexo I Bibliografia...33 Índice de Figuras Figura 1: Estrutura a Termo das Taxas de Juros em reais no fechamento do dia 10/03/ Figura 2: Evolução das Taxas de Juros Spot em reais...17 Figura 3: Evolução dos retornos das Taxas de Juros Spot em reais...18 Figura 4: Evolução da volatilidade calculada pelo modelo COPOM-GARCH (1,1) 252 du...23 Figura 5: Evolução do Parâmetro d0 e da volatilidade prevista pelo modelo COPOM-GARCH(1,1) Vértice 252 du...24 Figura 6: BackTesting do modelo COPOM-GARCH (1,1) - Vértice 252 du...27 Figura 7: Parâmetros do modelo GARCH (1,1) Vértice 126 du...31 Figura 8: Parâmetros do modelo GARCH (1,1) Vértice 252 du...31 Figura 9: Parâmetros do modelo COPOM-GARCH (1,1) Vértice 126 du...32 Figura 10: Parâmetros do modelo COPOM-GARCH (1,1) Vértice 252 du...32 Índice de Tabelas Tabela 1: Métricas de comparacão entre modelos de previsão de volatilidade...26 Tabela 2: Parâmetros do modelo COPOM-GARCH (1,1)...30 Tabela 3: Parâmetros do modelo GARCH (1,1)

6 1 Introdução O VaR (Value-at-Risk) atualmente já é uma métrica utilizada em todos os bancos, gestores de recursos e empresas para gerenciamento de risco de mercado em ativos líquidos do mercado financeiro. Esta medida é também utilizada por agências regulatórias para garantir que as instituições financeiras reservem capital suficiente para fazer frente a eventuais perdas decorrentes de flutuações de preços. No Brasil, o Banco Central promulgou, em março de 2000, a Circular 2972 que obriga as instituições financeiras a divulgar, diariamente, o seu VaR relativo à exposição préfixada em ativos denominados em reais dentro do Brasil. Esse número será utilizado para cálculo do Patrimônimo Líquido Exigido (PLE) que representa o capital regulatório que deve ser reservado pelas instituições financeiras brasileiras. Pelo fato de as regulamentações nacionais e internacionais usarem o VaR como instrumento de controle, é imperativo que o seu cálculo seja feito da forma mais precisa possível. Se o VaR é superestimado, a instituição reservará muito capital que não poderá ser empregado em atividades lucrativas e, se for subestimado, pouco capital será reservado e haverá maior risco de a instituição falir em virtude de suas exposições a fatores de risco de mercado. Existem muitos estudos na literatura acadêmica sobre como se chegar a melhores estimativas de VaR. Este trabalho tem por objetivo testar diferentes metodologias de previsão de volatilidade para 1 dia utilizadas na apuração do VaR diário para instrumentos de renda fixa denominados em reais, a fim de indicar qual modelo se adapta melhor à realidade brasileira. Entre as metodologias analisadas, este trabalho descreve uma nova metodologia de estimação de volatilidade baseada no modelo GARCH adaptado para dar um tratamento especial ao processo seguido pela variância condicional dos retornos das taxas de juros brasileiras que é afetado fortemente pelas datas das reuniões do COPOM. O COPOM Comitê de Política Monetária é responsável pela condução da política monetária brasileira e decide, periodicamente 1, o rumo da taxa de juros básica brasileira, a Selic. Esse comitê, por ter o monopólio da decisão da taxa básica de juros, possui uma 1 A partir de 2006, as reuniões do COPOM passaram a ser realizadas 8 vezes ao ano. Antes, eram realizadas mensalmente. - 7

7 enorme influência sobre o mercado de juros. Na realidade, o mercado de juros gira em torno das decisões do COPOM. A primeira parte do trabalho descreve o mercado de juros brasileiro e a influência do COPOM neste mercado e, na segunda parte, são feitos estudos para comparação das diferentes metodologias de estimação de volatilidade das taxas de juros em reais. - 8

8 2 COPOM Comitê de Política Monetária O Copom foi instituído em 20 de junho de 1996, com o objetivo de estabelecer as diretrizes da política monetária e de definir a taxa de juros. A criação do Comitê buscou proporcionar maior transparência e ritual adequado ao processo decisório, a exemplo do que já era adotado pelo Federal Open Market Committee (FOMC) do Banco Central dos Estados Unidos e pelo Central Bank Council, do Banco Central da Alemanha. Em junho de 1998, o Banco da Inglaterra também instituiu o seu Monetary Policy Committee (MPC), assim como o Banco Central Europeu, desde a criação da moeda única em janeiro de Atualmente, uma vasta gama de autoridades monetárias em todo o mundo adota prática semelhante, facilitando o processo decisório, a transparência e a comunicação com o público em geral. Desde 1996, o Regulamento do Copom sofreu uma série de alterações no que se refere ao seu objetivo, à periodicidade das reuniões, à composição, e às atribuições e competências de seus integrantes. Essas alterações visaram não apenas a aperfeiçoar o processo decisório no âmbito do Comitê, como também a refletir as mudanças de regime monetário. Destaca-se a adoção, pelo Decreto 3.088, em 21 de junho de 1999, da sistemática de "metas para a inflação" como diretriz de política monetária. Desde então, as decisões do Copom passaram a ter como objetivo cumprir as metas para a inflação definidas pelo Conselho Monetário Nacional. Segundo o mesmo Decreto, se as metas não forem atingidas, cabe ao presidente do Banco Central divulgar, em Carta Aberta ao Ministro da Fazenda, os motivos do descumprimento, bem como as providências e prazo para o retorno da taxa de inflação aos limites estabelecidos. Formalmente, os objetivos do Copom são "implementar a política monetária, definir a meta da Taxa Selic e seu eventual viés, e analisar o 'Relatório de Inflação'". A taxa de juros fixada na reunião do Copom é a meta para a Taxa Selic (taxa média dos financiamentos diários, com lastro em títulos federais, apurados no Sistema Especial de Liquidação e Custódia), a qual vigora por todo o período entre reuniões ordinárias do Comitê. Se for o caso, o Copom também pode definir o viés, que é a prerrogativa dada ao presidente do Banco Central para alterar, na direção do viés, a meta para a Taxa Selic a qualquer momento entre as reuniões ordinárias. - 9

9 As reuniões ordinárias do Copom dividem-se em dois dias: a primeira sessão às terçasfeiras e a segunda, às quartas-feiras. Mensais desde 2000, o número de reuniões ordinárias foi reduzido para oito ao ano a partir de 2006, sendo o calendário anual divulgado até o fim de outubro do ano anterior. O Copom é composto pelos membros da Diretoria Colegiada do Banco Central do Brasil: o presidente, que tem o voto de qualidade; e os diretores de Política Monetária, Política Econômica, Estudos Especiais, Assuntos Internacionais, Normas e Organização do Sistema Financeiro, Fiscalização, Liquidações e Desestatização, e Administração. Também participam do primeiro dia da reunião os chefes dos seguintes Departamentos do Banco Central: Departamento Econômico (Depec), Departamento de Operações das Reservas Internacionais (Depin), Departamento de Operações Bancárias e de Sistema de Pagamentos (Deban), Departamento de Operações do Mercado Aberto (Demab), Departamento de Estudos e Pesquisas (Depep), além do gerente-executivo da Gerência-Executiva de Relacionamento com Investidores (Gerin). Integram ainda a primeira sessão de trabalhos três consultores e o secretário-executivo da Diretoria, o assessor de imprensa, o assessor especial e, sempre que convocados, outros chefes de departamento convidados a discorrer sobre assuntos de suas áreas. No primeiro dia das reuniões, os chefes de departamento e o gerente-executivo apresentam uma análise da conjuntura doméstica abrangendo inflação, nível de atividade, evolução dos agregados monetários, finanças públicas, balanço de pagamentos, economia internacional, mercado de câmbio, reservas internacionais, mercado monetário, operações de mercado aberto, avaliação prospectiva das tendências da inflação e expectativas gerais para variáveis macroeconômicas. No segundo dia da reunião, do qual participam apenas os membros do Comitê e o chefe do Depep, sem direito a voto, os diretores de Política Monetária e de Política Econômica, após análise das projeções atualizadas para a inflação, apresentam alternativas para a taxa de juros de curto prazo e fazem recomendações acerca da política monetária. Em seguida, os demais membros do Copom fazem suas ponderações e apresentam eventuais propostas alternativas. Ao final, procede-se à votação das propostas, buscando-se, sempre que possível, o consenso. A decisão final - a meta para a Taxa Selic e o viés, se houver - é imediatamente divulgada à imprensa ao mesmo tempo em que é expedido Comunicado através do Sistema de Informações do Banco Central (Sisbacen). - 10

10 As atas em português das reuniões do Copom são divulgadas às 8h30 da quinta-feira da semana posterior a cada reunião, dentro do prazo regulamentar de seis dias úteis, sendo publicadas na página do Banco Central na internet ("Notas da Reunião do Copom") e para a imprensa. A versão em inglês é divulgada com uma pequena defasagem de cerca de 24 horas. Ao final de cada trimestre civil (março, junho, setembro e dezembro), o Copom publica, em português e em inglês, o documento "Relatório de Inflação", que analisa detalhadamente a conjuntura econômica e financeira do País, bem como apresenta suas projeções para a taxa de inflação. - 11

11 3 O Mercado de Juros Brasileiro No mercado de juros pré-fixados em reais brasileiro é negociada a taxa de juros spot (taxa a vista) para diferentes prazos. Entre os instrumentos mais importantes estão os derivativos de juros negociados na BM&F Bolsa de Mercadorias e Futuros, e os Títulos do Tesouro Nacional pré-fixados em reais. Na BM&F são negociados contratos de swap de taxa de juros que trocam remuneração pré-fixada por pós-fixada, ou vice-versa (Swaps DI x Pré) e contratos futuros que funcionam como Swaps DI x Pré, só que possuem ajuste diário de resultado (DI Futuro). O contrato de DI Futuro é o contrato mais líquido e, portanto, representa melhor as expectativas do mercado para a taxa de juros negociada nas operações compromissadas de um dia feitas entre as intituições financeiras, o CDI. Além de swaps e futuros, opções de juros também são negociadas na BM&F (Opções de IDI e Opções de DI1). Os títulos públicos federais pré-fixados em reais são as LTN s e as NTN-F s. As LTN s são títulos que não pagam cupons periódicos semestrais, pagando apenas mil reais no seu vencimento, enquanto as NTN-F s pagam cupons semestrais de sessenta reais e amortizam a totalidade do seu principal (mil reais) no vencimento. Este último foi criado em 2004 pelo Tesouro Nacional para conseguir alongar o prazo médio da Dívida Mobiliária Federal pré-fixada em reais já que agrada aos investidores pagando cupons semestrais. Basicamente, ao negociar os instrumentos supracitados, o investidor está apostando nos resultados das próximas reuniões do COPOM, pois são elas que determinarão as taxas Selic futuras e, portanto, determinam hoje a estrutura a termo da taxa de juros em real. A estrutura a termo das taxas de juros representa as taxas de equilíbrio do mercado para a oferta e demanda de títulos com diferentes vencimentos. A figura 1 apresenta a estrutura a termo das taxas de juros em reais referente ao fechamento do dia 10/03/2006. Nesta data, a taxa da meta da Selic para 1 dia definida pela ultima reunião do COPOM era de 17% ao ano e nota-se que as taxas para períodos mais longos eram decrescentes: havia oferta de crédito a taxas menores que 17% para prazos longos, pois o mercado já estava apreçando reduções da taxa Selic nas próximas reuniões do COPOM. Para 02/04/2007, a taxa de juros de equilíbrio era de 14.90% a.a. 2. Essa estrutura a termo foi 2 Taxa com composição anual e com base ndu/252 como é o padrão do mercado de juros brasileiro. - 12

12 construída usando os contratos de DI Futuro da BM&F e, portanto, os vértices são os vencimentos com posições em aberto nesta bolsa % 16.50% 16.00% 15.50% 15.00% 14.50% 14.00% 13/03/06 13/09/06 13/03/07 13/09/07 13/03/08 13/09/08 13/03/09 13/09/09 13/03/10 13/09/10 13/03/11 Figura 1: Estrutura a Termo das Taxas de Juros em reais no fechamento do dia 10/03/2006 O mercado forma o valor das taxas implícitas no contrato de DI Futuro através de uma simples arbitragem entre uma rentabilidade pré-fixada e uma pós fixada: T t= 0 ( ) 1 T 1+ CDI 252 = ( 1+ r) 252 t É a partir dessa relação de arbitragem que o mercado cria suas trajetórias esperadas para o CDI e, a partir disso, chega às taxas spot negociadas para os diferentes vencimentos em aberto. As taxas forward descrevem a expectativa do mercado para a trajetória do CDI. 3 Olender e Aragão (2006) mostram que a melhor forma de construir a estrutura a termo em reais brasileira é utilizar os contratos de DI Futuro e mas com os três primeiros vértices iguais às datas das próximas três reuniões do COPOM. As taxas forward tiradas dessa ETTJ exprimem exatamente às expectativas do mercado de mudanças na taxa Selic nas reuniões deste comitê. - 13

13 4 O Modelo O Value-at-Risk é definido como sendo a perda potencial em um determinado horizonte de tempo e a um determinado nível de significância α. Para uma determinada série de retornos r(t), o VaR é o número que satisfaz a equação 1 abaixo: [ r( t) < VaR( t) I( t 1) ] = α P Equação 1 Onde I(t-1) é o conjunto de informações até o tempo t-1. A apuração do VaR é calcada em dois pilares fundamentais: i) cálculo da exposição aos fatores de risco de mercado; ii) cálculo de volatilidades e correlações. São três as principais metodologias de cálculo do VaR que utilizam diferentes abordagens para esses dois pilares: VaR Paramétrico: calcula a exposição a fatores de risco usando a primeira derivada (modelo delta-normal). Calcula a matriz Variância-Covariância usando modelos econométricos de previsão de volatilidade e correlação nas séries temporais dos retornos dos fatores de risco. Os fatores de risco supostamente são normalmente distribuídos; VaR Histórico: é um modelo não paramétrico em que a exposição aos fatores de risco, assim como o cálculo das volatilidades e correlações, está implícita no reapreçamento da carteira segundo os cenários de mercado do passado; Simulação de Monte Carlo: calcula as estatísticas da mesma forma que o modelo paramétrico, mas apresenta um diferencial positivo em relação a este no cálculo da exposição que é feito através de simulações do retorno via reapreçamento total da carteira, que é bem mais preciso que a primeira derivada. Existe uma série de artigos que discutem como melhorar a estimação de algum dos dois pilares. Uma abordagem interessante é a compararação de metodologias para cálculo de VaR de instrumento de renda fixa usando diferentes tipos de fatores de risco para taxas de juros: usar taxas spot (a vista) versus usar taxas forward (a termo). Diversos outros artigos comparam metodologias de previsão de volatilidade para diferentes fatores de risco: bolsa, câmbio, juros, commodities, etc. Da mesma forma, este trabalho visa a comparar metodologias de previsão de volatilidade (2º pilar) para o mercado de juros em reais brasileiro. - 14

14 Não serão comparados resultados entre as três diferentes metodologias de apuração do VaR 4 e o estudo será focado nos diferentes modelos econométricos usados para previsão de volatilidade. Portanto, os resultados deste estudo são relevantes para os modelos de VaR Paramétrico e VaR via Simulação de Monte Carlo, que usam tais modelos econométricos para previsão de volatilidade. 4 Para maiores informações sobre metodologias de cálculo de VaR, consultar artigo de MARGUERON e FLORA Metodologias para Gerenciamento de Risco de Mercado (UFRJ/2002), que descreve detalhadamente as três metodologias aqui citadas. - 15

15 5 Base de Dados A fim de montar a série temporal dos retornos das taxas de juros brasileiras, foi escolhido usar o DI Futuro como fonte de dados, por ser o contrato mais líquido expressando fielmente as expectativas do mercado. Foram usados dois diferentes vértices de juros - 6 meses (126du) e 1 ano (252du) para testar a adaptação de cada modelo ao médio e longo prazos. Foram criadas séries de retornos diários, com valores de fechamento, de 04/01/2000 a 30/12/2005 retirados da BM&F - que divulga diariamente os PU s de ajuste dos contratos de DI Futuro. A partir desses PU s foram calculadas as taxas de juros que constituem as séries históricas utilizadas neste trabalho. Denotando o número do vértice da estrutura a termo da taxa de juros em reais por i e a data de avaliação por t, a taxa de juros é calculada da seguinte forma: {[ ] 1} *100% 252 ( i, t) = ( / PU ( i, t) ) ndu( i, t ) r Equação 2 Onde: r(i,t) é a taxa de juros spot para o vértice i na data t PU(i,t) é o preço de ajuste divulgado pela BM&F para o vértice i na data t ndu(i,t) é o número de dias úteis entre a data t e o vencimento relativo ao vértice i A partir das taxas encontradas para cada contrato de DI Futuro da BM&F, foi utilizada a interpolação flat-forward para se chegar às taxas de duration constante iguais a 126du e 252du 5. A interpolação flat-forward se utiliza a forma de degraus da estrutura a termo das taxas forward para interpolar os vértices. A equação 3 abaixo explicita a interpolação das taxas dos vértices i1 e i2 para o cálculo da taxa para o vértice i (entre i1 e i2): 5 É importante usar como fator de risco o retorno de vértices com prazo fixo conforme está sendo feito neste trabalho (126du e 252du). O DI Futuro possui prazo variável pois o vencimento e fixo e, portanto, a duration do contrato diminui ao longo do tempo. Portanto, não se pode usar como fator de risco a taxa implícita em um contrato de DI Futuro sem fazer as interpolações necessárias para se manter a série histórica com duration constante. - 16

16 252 ( i i1) i ( i2 i1 ) 1 i2 i1 ( ) [ ( )] [ 1+ r( i2, t) ] 252 r i, t = 1 1, r i t 1 Equação 3 i [ 1 ( 1, )] r i t Após a interpolação chega-se às séries históricas das taxas de 6 meses e 1 ano mostradas na figura 2. Utilizando a equação 4 abaixo, calcula-se os retornos dessas mesmas taxas que se encontram na figura 3. ( i, t) = r( i, t) r( i, t 1) R Equação 4 A figura 3 evidencia diferentes regimes de volatilidade, indicando que modelos de hetocedasticidade condicional são recomendados para previsão de volatilidade. Verificamos elevada volatilidade de fevereiro a maio de 2003 e de maio a agosto de Além desses períodos de nervosismo crônico modelados pelos modelos clássicos de heterocedasticidade condicional, a figura 3 mostra retornos elevados nas datas das reuniões do COPOM mesmo quando o regime é de baixa volatilidade, como no ano de % 24.00% 19.00% Taxa Spot 42 du Taxa Spot 63 du Taxa Spot 126 du Taxa Spot 252 du CDI 14.00% 03/01/ /07/ /01/ /07/ /01/ /07/ /01/ /07/ /01/ /07/ /01/ /07/2005 Figura 2: Evolução das Taxas de Juros Spot em reais - 17

17 /01/ /05/ /09/ /01/ /05/ /09/ /01/ /05/ /09/ /01/ /05/ /09/ /01/ /05/ /09/ /01/ /05/ /09/2005 Figura 3: Evolução dos retornos das Taxas de Juros Spot em reais Retorno Taxa 252 du Retorno Taxa 126 du Retorno Taxa 63 du Retorno Taxa 42 du - 18

18 6 Modelos de Previsão de Volatilidade Existem diversos métodos de previsão de volatilidade que apresentam diferentes graus de dificuldade de implementação. O mais simples é o desvio padrão histórico que utiliza uma janela móvel de n dias e que dá o mesmo peso para todas as observações. O modelo do RiskMetrics, amortecimento exponencial (EWMA), atribui maiores pesos para as observações mais recentes, mas o parâmetro de decaimento do peso deve ser arbitrariamente escolhido. As variâncias são modeladas através de previsão exponencial. A previsão para um instante t é a média ponderada da previsão anterior, usando-se e a do quadrado da última inovação utilizando-se peso (1 - λ): h 2 t =. ht 1 + (1 λ). rt 1 λ Equação 5 onde: h t é a variância estimada para a data t; λ é o fator de decaimento, e é menor que um; 2 r t 1 é o quadrado do retorno da última inovação. O modelo exponencial é de fácil implementação, pois depende de um único parâmetro. A previsão se baseia na previsão anterior e na inovação mais recente. Todo o histórico é resumido em um único número, h t-1, que contrasta com a janela móvel, onde todos os últimos retornos M são utilizados para a previsão. Quanto menor o λ, maior é o peso dado aos retornos mais recentes. Essa característica do EWMA faz com que ele consiga capturar aglomerados de volatilidade. O parâmetro λ pode ser determinado mediante a maximização da função de verossimilhança, mas seria inviável operacionalmente computá-lo diariamente. Na prática, se usa o λ entre 0.7 e O λ igual a 0.94 foi proposto pela RiskMetrics em 1994 para os ativos do mercado americano naquela época. No entanto, alguns estudos mostram que o λ dos ativos brasileiros é mais baixo que Isso é devido às constantes mudanças dos regimes econômicos no Brasil, fazendo com que a estimativa de variância para hoje dependa muito do retorno do dia anterior. Os modelos da família GARCH para previsão da variância condicional são bastante utilizados na literatura porque não apresentam o inconveniente da escolha arbitrária do parâmetro de decaimento, pois seus parâmetros são estimados através da maximização da função de verossimilhança. O modelo GARCH foi proposto por Bollerslev (1986) - 19

19 como um avanço do modelo ARCH desenvolvido por Engle (1982) no que se refere à modelagem da estrutura de autocorrelação. Para realização deste trabalho foi verificada a estrutura de defasagem do modelo GARCH, através da avaliação dos critérios de informação de Schwarz e Akaike. De acordo com os dois critérios aplicados para todos os vértices de juros estudados, foi escolhido trabalhar com o modelo GARCH(1,1). Sendo h t a variância condicional que usa as informações até o instante t-1, e r t-1 como retorno de ontem (t-1), chega-se à fórmula autoregressiva do GARCH(1,1): r t = µ + ε t *h t 0.5 h t = α 0 + α 1 ε 2 t-1 + β 0 h t-1 Equação 6 Onde: ε t é um ruído branco N(0,1); h t é a variância condicional estimada para t; Eε 2 t= E t-1 ε 2 t =1 => E t-1 r 2 t = h t => Assim, h t é a variância condicional de r t µ é a média incondicional de r t E r t = E[µ + ε t *h t 0.5 ] => Eε t =0 => E r t = µ A variância incondicional de r t (E r 2 t ) pode ser calculada da seguinte forma: Da equação 6: r t = ε t * (α 0 + α 1 ε 2 t-1 + β 0 h t-1) 0.5 r 2 t = ε 2 t* (α 0 + α 1 ε 2 t-1 + β 0 h t-1) E r 2 t = E ε 2 t* (α 0 + α 1 E ε 2 t-1 + β 0 E h t-1) Sabendo-se que E ε 2 t=1, E h t-i = E ε 2 t-i = E ε 2 t-1 = E r 2 t-1, temos que a variância incondicional de r t é dada por : E r 2 t = α 0 + α 1 Er 2 t-1 + β 0 Er 2 t-1 E r 2 t = α 0 / (1 - α 1 - β 0 ) Portanto, para que o modelo seja estacionário e tenha variância incondicional constante, finita e maior que zero, deve-se atentar para a seguinte restrição dos coeficientes do modelo GARCH(1,1): α 1 + β 0 <1 e α 0 > 0. Além dos modelos EWMA e GARCH, propõe-se, neste trabalho, o uso de um novo modelo de previsão da variância condicional derivado do GARCH(1,1) que leva em consideração as datas das reuniões do COPOM. Daqui em diante, este modelo será chamado de COPOM-GARCH. O modelo tem exatamente a mesma estrutura do - 20

20 GARCH padrão, mas possui duas variáveis dummy para captar o efeito do aumento da variância no dia em que o mercado recebe a notícia do resultado da reunião do COPOM. r t = µ + ε t *h t 0.5 h t = α 0 + α 1 ε 2 t-1 + β 0 h t-1 + d 0 R0 t + d 1 R1 t Equação 7 Onde: ε t é um ruído branco N(0,1); h t é a variância condicional estimada para t; µ é a média incondicional de r t R0 t vale 1 quando t é a data em que o mercado recebe a notícia do resultado do COPOM e vale 0 em todos os outros dias; R1 t vale 1 quando t é a data seguinte a que o mercado recebe a notícia do resultado do COPOM e vale 0 em todos os outros dias; A variância incondicional de r t (E r 2 t ) pode ser calculada da seguinte forma: Da equação 7: r t = ε t * (α 0 + α 1 ε 2 t-1 + β 0 h t-1 + d 0 R0 t + d 1 R1 t ) 0.5 r 2 t = ε 2 t* (α 0 + α 1 ε 2 t-1 + β 0 h t-1 + d 0 R0 t + d 1 R1 t ) E r 2 t = E ε 2 t* (α 0 + α 1 E ε 2 t-1 + β 0 E h t-1 + d 0 E R0 t + d 1 E R1 t ) Da mesma forma que foi feito para o modelo GARCH, podemos assumir 6 que vale a lei das espectativas iteradas e chegar a: E r 2 t = α 0 + α 1 Er 2 t + β 0 Er 2 t + d 0 R0 t + d 1 R1 t A equação acima nos mostra que a variância incondicional (Er 2 t) pode assumir três diferentes formas de acordo com t: Caso R0 t =1 e R1 t =0 => E r 2 t = (α 0 + d 0 ) / (1 - α 1 - β 0 ) Caso R0 t =0 e R1 t =1 => E r 2 t = (α 0 + d 1 ) / (1 - α 1 - β 0 ) Caso R0 t =0 e R1 t =0 => E r 2 t = α 0 / (1 - α 1 - β 0 ) - 21

21 7 Resultados Todos os três modelos citados no ítem anterior foram estimados para os vértices de 6 e 12 meses, usando a janela histórica de retornos de 04/01/2000 a 30/12/2005. Os modelos GARCH(1,1) e COPOM-GARCH(1,1) foram estimados usando o software estatístico EViews. Os resultados encontram-se nas tabelas 2 e 3 do Anexo I. Todos os parâmetros dos modelos GARCH(1,1) e COPOM-GARCH(1,1) se mostraram significativos ao nível de confiança de 5%. Portanto, o modelo COPOM-GARCH(1,1) se mostrou bastante robusto tendo, inclusive, melhores resultados que o modelo GARCH(1,1) ao se analisar os critérios de informação Akaike e Schwarz. As dummies estimadas seguiram a idéia inicial do modelo em que há um choque positivo na variância no dia da divulgação do resultado da reunião do COPOM, e que esse é dissipado no dia seguinte, quando o regime de variância volta a ser igual ao regime do dia anterior à decisão do COPOM. Isso é demonstrado pela estimação de coeficientes significativos e positivos para a dummy Reunião0 e negativos para a dummy Reunião1. Nota-se, porém, que o coeficiente da dummy Reunião0 é maior em módulo do que o coeficiente da Reunião1 (pode ser visto nas figuras 11 e 12 do Anexo I que esse comportamento é estável), o que mostra que o choque da reunião do COPOM não é completamente dissipado em D+1: parte da nova informação da reunião do COPOM demora mais de 1 dia para ser digerida pelo mercado. O modelo COPOM-GARCH(1,1), por causa das dummies, gera um gráfico de volatilidade ao longo do tempo com uma cara de serrote pois faz a volatilidade dar um salto positivo no dia de divulgação do resultado do COPOM e um salto negativo no dia seguinte conforme o gráfico abaixo. - 22

22 /01/ /03/ /05/ /07/ /09/ /11/ /01/ /03/ /05/ /07/ /09/ /11/ /01/ /03/ /05/ /07/ /09/ /11/ /01/ /03/ /05/ /07/ /09/ /11/ /01/ /03/ /05/ /07/ /09/ /11/ /01/ /03/ /05/ /07/ /09/ /11/2005 Figura 4: Evolução da volatilidade calculada pelo modelo COPOM-GARCH (1,1) 252 du Os dois modelos, de maneira geral, estimaram coeficientes próximos a 0.8 para o regressor da variância de D-1 e 0.2 para o regressor do retorno ao quadrado de D-1. Essas estimativas estão em linha com o histórico do mercado de juros brasileiro que sofreu pelo menos 3 grandes choques no regime de variância entre 2000 e 2005, como se pode verificar nas figuras 2 e 3: março a dezembro de 2001, junho de 2002 a agosto de 2003 e maio a novembro de Portanto, é bastante razoável a estimativa de α 1 de 20%, que é uma característica de mercados que apresentam grande nervosismo. De posse dessa informação, os modelos GARCH(1,1) e COPOM-GARCH(1,1) serão comparados com modelos EWMA com λ iguais a 0.8, 0.7 e 0.9 (admitindo que o mercado de juros requer λ s em torno de 0.8). As tabelas 2 e 3 exibidas no Anexo I mostram as estimativas feitas dentro da amostra para o período de 04/01/2000 até 30/12/2005, num total de 1508 retornos. Mas, para se provar a robustez do modelo é preciso testar se este produz estimativas significativas ao longo do tempo. Portanto, foram realizadas estimativas fora da amostra, estimando os parâmetros do modelo com uma janela de 756 dias úteis (3 anos) até o período t, e então fazendo a previsão para o período t+1. Tais estimativas fora da amostra foram feitas para estudar a evolução mensal dos parâmetros no tempo. As figuras 7 e 8 presentes no Anexo I mostram, graficamente, as estimativas obtidas mês a mês de a para os diversos parâmetros do modelo GARCH(1,1) para os vértices de 126du e 252du. - 23

23 Todos os quatro parâmetros do GARCH(1,1) estimados se mostraram significativos ao nível de 5%. As mesmas estimações mensais foram feitas usando o modelo COPOM- GARCH(1,1). As estimativas deste novo modelo podem ser visualizadas nas figuras 9 e 10 do Anexo I e todos os parâmetros também se mostraram significativos ao nível de confiança de 5%. Da mesma forma que a estimação dentro da amostra, a estimação fora da amostra usando a janela de 3 anos gerou coeficientes bem parecidos para os dois modelos nos dois vértices analisados: perto de 0.2 para α 1 e perto de 0.8 para β 1. Além de serem significantes, os gráficos acima mostram que os parâmetros do COPOM-GARCH(1,1) são consistentes ao longo do tempo como os do modelo GARCH(1,1). A dummy Reunião0 converge para valores maiores em períodos de maior volatilidade. Isso já é esperado dado que, em períodos de nervosismo, os dias da reunião do COPOM são de muita incerteza em relação aos próximos passos da política monetária do BACEN. A figura abaixo mostra esta relação entre a volatilidade prevista pelo modelo COPOM- GARCH(1,1) e o parâmetro d /01/ /04/ /07/ /10/ /01/ /04/ /07/ /10/ /01/ /04/ /07/ /10/2005 Volatilidade Parâmetro d0 Figura 5: Evolução do Parâmetro d0 e da volatilidade prevista pelo modelo COPOM- GARCH(1,1) Vértice 252 du - 24

24 8 Avaliação dos Modelos de Previsão de Volatilidade De forma análoga a Andersen & Bollerslev (1998), foram avaliadas as estimativas e previsões em relação à variância realizada. Para avaliação, foram utilizadas as estimativas dos modelos GARCH(1,1) e COPOM-GARCH(1,1) para o período de 04/01/2000 a 30/12/2005 descritas nas tabelas 2 e 3. Para o EWMA, trabalhou-se com os λ s 0.7, 0.8 e 0.9. Foram analisadas três medidas de desempenho: Raiz do erro quadrático médio (REQM); Erro absoluto médio (EAM); Desempenho dos estimadores para o cálculo do VaR, medido pelo BackTesting As duas primeiras medidas de desempenho, REQM e EAM, indicam quão distantes as estimativas estão da variância realizada 7, que foi medida como sendo o retorno ao quadrado no instante t considerado: 1 REQM = T 1 REAM = T onde T 2 2 ( σ t rt ) T t= 1 t= 1 σ r 2 t 2 t 2 σ t é a previsão da volatilidade para t e 2 1 2, 2 r t é a variância realizada em t. A fim de testar os modelos para serem utilizados no cálculo do Value-at-Risk, foi feito o teste de Kupiec (1995) para compararmos os resultados do backtesting dos modelos. O BackTesting é um teste do modelo de VaR em que se compara o número de violações (em que o retorno realizado é menor do que o VaR estimado) com o nível de significância do VaR estimado. Um modelo bem aderente apresenta a razão número de violações / total de observações bem próximo ao nível de significância, apresentando um valor bem pequeno para a estatística de Kupiec, LR, apresentada a seguir. [ ] = α O teste de Kupiec é feito de forma a, sob a hipótese nula, r( t) < VaR( t) I( t 1) P, em que a probabilidade de ocorrência de um evento menor que o VaR é igual a α. O número de violações, X, em um determinado espaço de tempo T, segue uma 7 A variância realizada descrita aqui não é a variância estimada com dados intradiarios de alta freqüência, mas sim o quadrado do retorno, calculado como sendo a diferença da taxa de fechamento de t com a taxa de fechamento de t

25 ^ X distribuição Binomial: X ~ Binomial (T, α). Definindo α =, chegamos à estatística T do teste: LR uc ^ X α 1 2ln X α ^ α = T X ( 1 α ) T X, em que LR uc ~ 2 χ sob a hipótese nula ^ α = α A tabela abaixo mostra os resultados encontrados analisando as 3 métricas de comparação de desempenho dos diferentes modelos de previsão de volatilidade: 126 DIAS ÚTEIS COPOM GARCH(1,1) GARCH(1,1) EWMA 0.7 EWMA 0.8 EWMA 0.9 REQM EAM BCKTEST (%violações) % % % % % LR UC DIAS ÚTEIS COPOM GARCH(1,1) GARCH(1,1) EWMA 0.7 EWMA 0.8 EWMA 0.9 REQM EAM BCKTEST (%violações) % % % % % LR UC Tabela 1: Métricas de comparacão entre modelos de previsão de volatilidade Os modelos GARCH apresentaram os melhores resultados tanto nos testes REQM e EAM quanto no backtesting. O modelo COPOM-GARCH(1,1) apresentou resultados semelhantes ao modelo GARCH(1,1) nos testes de convergência para a variância realizada (REQM e EAM). O novo modelo apresentou melhores resultados no REQM, pois esta medida de desempenho usa o erro ao quadrado que, no GARCH(1,1) comum, fica muito grande nos dias próximos às reuniões do COPOM, já que este modelo não consegue capturar o regime de volatilidade característico neste dia. Além de ter tido uma excelente performance nas medidas de convergência para a variância realizada, o modelo COPOM-GARCH(1,1) também apresentou os melhores resultados no backtesting. A figura 6 mostra como o modelo COPOM-GARCH(1,1) consegue fitar melhor os retornos dos juros em reais já que captura as rupturas do regime de volatilidade que ocorrem nos dias da divulgação do resultado do COPOM. - 26

26 /01/ /03/ /05/ /07/ /09/ /11/ /01/ /03/ /05/ /07/ /09/ /11/ /01/ /03/ /05/ /07/ /09/ /11/ /01/ /03/ /05/ /07/ /09/ /11/ /01/ /03/ /05/ /07/ /09/ /11/ /01/ /03/ /05/ /07/ /09/ /11/2005 Figura 6: BackTesting do modelo COPOM-GARCH (1,1) - Vértice 252 du - 27

27 9 Conclusão Foram testados 5 diferentes modelos de previsão de volatilidade para os vértices da estrutura a termo de juros em reais: COPOM-GARCH(1,1), GARCH(1,1), EWMA 0.7, EWMA 0.8 e EWMA 0.9. Este trabalho propõe o uso do modelo batizado como COPOM-GARCH para estimação da volatilidade para 1 dia à frente para o cálculo do Value-at-Risk de ativos que apresentam exposição à taxa de juros em reais. O modelo captura a elevação da volatilidade que ocorre nos dias da divulgação do resultado da reunião do COPOM e sua redução no dia seguinte. Como analisado na seção 8 deste trabalho, a incorporação das variáveis dummy ao modelo original de Bollerslev, gerando o modelo COPOM-GARCH, conseguiu melhorar a sua performance no backtesting (teste de Kupiec) e na convergência para a variância realizada (estatística REQM raiz do erro quadrático médio). Isso significa que este modelo gera um VaR mais acurado para um nível de significância α, de forma [ ] = α a r( t) < VaR( t) I( t 1) P. O novo modelo consegue, portanto, prever melhor a variância condicional, pois entende melhor como esta se comporta ao redor do dia do COPOM, já que sabe que o aumento da volatilidade no dia de divulgação do resultado é um evento esperado com duração de apenas 1 dia e não pode ser carregado para estimação da volatilidade dos dias que se seguem como fazem os modelos GARCH e EWMA. Assim, acreditamos que o modelo COPOM-GARCH possui avanços em relação ao GARCH original para cálculo do VaR de ativos de renda fixa denominados em reais e, portanto, pode ser utilizado em larga escala para cálculo do Value-at-Risk incorrido pelos gestores de carteiras que contenham papéis e derivativos de renda fixa denominados em reais. Propomos estudar, como extensão deste trabalho, outros dois efeitos que impactam a estimação do VaR de ativos prefixados em reais decorrentes da Reunião do COPOM: 1) Os efeitos do COPOM nas correlações entre os fatores de risco representados pelos vértices da estrutura a termo das taxas de juros em reais; - 28

28 2) Modelagem dos fatores de risco como sendo os vértices que representam as datas das próximas reuniões do COPOM. - 29

29 10 Anexo I Resultados obtidos para os modelos GARCH (1,1) e COPOM-GARCH (1,1): Dependent Variable: RETRATE126DU Dependent Variable: RETRATE252DU Method: ML - ARCH Method: ML - ARCH Date: 05/15/06 Time: 00:31 Date: 05/15/06 Time: 01:13 Sample: Sample: Included observations: 1508 Included observations: 1508 Convergence achieved after 48 iterations Convergence achieved after 48 iterations Coefficient Std. Error z-statistic Prob. Coefficient Std. Error z-statistic Prob. C C Variance Equation Variance Equation C 5.44E E C 3.82E E ARCH(1) ARCH(1) GARCH(1) GARCH(1) REUNIAO REUNIAO REUNIAO REUNIAO R-squared Mean dependent va R-squared Mean dependent va Adjusted R S.D. dependent var Adjusted R S.D. dependent var S.E. of regr Akaike info criterion S.E. of regr Akaike info criterion Sum squar Schwarz criterion Sum squar Schwarz criterion Log likeliho Durbin-Watson stat Log likeliho Durbin-Watson stat Tabela 2: Parâmetros do modelo COPOM-GARCH (1,1) Vértices de 126du e 252 du Dependent Variable: RETRATE126DU Dependent Variable: RETRATE252DU Method: ML - ARCH Method: ML - ARCH Date: 05/15/06 Time: 00:37 Date: 05/15/06 Time: 01:19 Sample: Sample: Included observations: 1508 Included observations: 1508 Convergence achieved after 23 iterations Convergence achieved after 19 iterations Coefficient Std. Error z-statistic Prob. Coefficient Std. Error z-statistic Prob. C C Variance Equation Variance Equation C E C ARCH(1) ARCH(1) GARCH(1) GARCH(1) E R-squared Mean dependent va R-squared Mean dependent va Adjusted R S.D. dependent var Adjusted R S.D. dependent var S.E. of regr Akaike info criterion S.E. of regr Akaike info criterion Sum squar Schwarz criterion Sum squar Schwarz criterion Log likeliho Durbin-Watson stat Log likeliho Durbin-Watson stat Tabela 3: Parâmetros do modelo GARCH (1,1) Vértices de 126du e 252 du - 30

30 Evolução dos Parâmetros do modelo GARCH (1,1): - µ α0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mai/03 set/03 α1 mai/04 set/04 mai/05 set/ abr/03 jul/03 out/03 abr/04 jul/04 β1 out/04 abr/05 jul/05 out/ abr/03 jul/03 out/03 abr/04 jul/04 out/04 abr/05 jul/05 out/ abr/03 jul/03 out/03 abr/04 jul/04 out/04 abr/05 Figura 7: Parâmetros do modelo GARCH (1,1) Vértice 126 du jul/05 out/ µ α0 - ( ) ( ) ( ) ( ) mai/03 set/03 abr/03 jul/03 out/03 abr/04 α1 mai/04 set/04 mai/05 set/05 jul/04 out/04 abr/05 jul/05 out/ abr/03 jul/03 out/03 abr/04 jul/04 β1 out/04 abr/05 jul/05 out/05 abr/03 jul/03 out/03 abr/04 jul/04 out/04 abr/05 jul/05 out/05 Figura 8: Parâmetros do modelo GARCH (1,1) Vértice 252 du - 31

31 Evolução dos Parâmetros do modelo COPOM-GARCH (1,1): - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mai/03 set/03 abr/03 jul/03 out/03 µ α1 d0 mai/04 set/04 abr/04 jul/04 out/04 mai/05 set/05 abr/05 jul/05 out/05 abr/03 jul/03 out/03 abr/04 jul/04 out/04 abr/05 jul/05 out/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) abr/03 jul/03 out/03 abr/03 jul/03 out/03 α0 β1 d1 abr/04 jul/04 out/04 abr/04 jul/04 out/04 abr/05 jul/05 out/05 abr/05 jul/05 out/05 abr/03 jul/03 out/03 abr/04 jul/04 out/04 abr/05 jul/05 out/05 Figura 9: Parâmetros do modelo COPOM-GARCH (1,1) Vértice 126 du abr/03 jul/03 out/03 µ α1 d0 mai/03 set/03 mai/04 set/04 mai/05 set/05 abr/04 jul/04 out/04 abr/05 jul/05 out/05 abr/03 jul/03 out/03 abr/04 jul/04 out/04 abr/05 jul/05 out/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) abr/03 abr/03 jul/03 out/03 α0 jul/03 out/03 abr/04 jul/04 β1 d1 abr/04 jul/04 out/04 out/04 abr/05 jul/05 out/05 abr/05 jul/05 out/05 abr/03 jul/03 out/03 abr/04 jul/04 out/04 abr/05 jul/05 out/05 Figura 10: Parâmetros do modelo COPOM-GARCH (1,1) Vértice 252 du - 32

32 11 Bibliografia ANDERSEN, T. G. & BOLLERSLEV, T. (1998), Answering the skeptics: Yes, standard volatility models do provide accurate forecasts, International Economic Review 39, ARCOVERDE, G., 2001, Risco de Mercado: Uma Abordagem Integrada, Working Paper, Banco Central do Brasil BANCO CENTRAL DO BRASIL, mar/2006, Material Consultado na Internet: BOLSA DE MERCADORIAS E FUTUROS, out/2004, Contratos Derivativos Financeiros, Material Consultado na Internet: CAMPBELL, LO, MCKINLAY, The Econometrics of Financial Markets, Princeton University Press DIEBOLD, F.X., 2004, Elements of Forecasting,3ª Edição, Canada, Ed. Thomson South Western. ENDERS, W., 2004, Applied Econometric Time Series, 2a Edição, E.U.A., Ed. Wiley HAMILTON, J.D., Time Series Analysis, Princeton University Press HULL, J., Options, Futures and Other Derivatives, 5ª Edição, E.U.A., Prentice Hall JORION, P., 2000, Value-at-Risk, 2ª Edição, Rio de Janeiro, Brasil, Ed. LTC. KUPIEC, P., Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurement Models. Journal of Derivatives 3,

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