USO DE ALGORITMO GENÉTICO PARA REDUÇÃO DE ORDEM DE MODELOS MATEMÁTICOS

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1 USO DE ALGOITMO GENÉTICO PAA EDUÇÃO DE ODEM DE MODELOS MATEMÁTICOS ANDÉ DE O. FEEIA 1, OLANDO F. SILVA 1, JOSÉ A. L. BAEIOS Laboratório de Controle e Sistemas, Faculdade de Engenharia Elétrica, Instituto de Tecnologia, Universidade Federal do Pará ua Augusto Corrêa, S/N, Guamá, Belém/PA, Brasil, CEP: andreferre@gmail.com, orfosi@ufpa.br, barreiro@ufpa.br Abstract This paper presents the order reduction problem of dynamic models, from the optimization viewpoint by genetic algorithm. An objective function, obtained from the norm of the coefficients of the numerator of the error transfer function among the original and reduced model, is minimized by a genetic algorithm, with consequent calculation of the parameters of the reduced model. The procedure is applied to some examples that demonstrate the validity of the approach. Keywords genetic algorithms, order reduction, optimization, mathematical models. esumo Neste artigo apresenta-se o problema de redução de ordem de modelos dinâmicos, sob o ponto de vista de otimização via Algoritmos Genéticos. Uma função custo, obtida a partir da norma dos coeficientes do numerador da função de transferência do erro entre o modelo original e o reduzido, é minimizada por meio de um algoritmo genético, com consequente cálculo dos parâmetros do modelo reduzido. O procedimento é aplicado em alguns exemplos que demonstram a validade da abordagem. Palavras-chave algoritmo genético, redução de ordem, otimização, modelos matemáticos. 1 Introdução Um modelo matemático de um sistema linear é uma equação diferencial ou de diferenças que descreve a dinâmica do sistema e, em diversas aplicações de controle, tem-se a necessidade de trabalhar com um modelo. Ocorre que muitos destes sistemas apresentam um modelo matemático de ordem elevada, o que aumenta a complexidade de análise e projeto de controladores (Pena, 1990; Aguirre, 2007). eduzir a ordem de um modelo consiste em determinar outro de ordem menor, que tenha aproximadamente as mesmas características dinâmicas (Benner, 2005). O problema de redução de modelos de sistemas lineares remonta aos anos 60 e atraiu muita atenção desde aquela década. Nessa época os métodos existentes se dividiam em dois grupos: métodos no domínio do tempo e métodos no domínio da freqüência (Aguirre, 1995). Nos anos subseqüentes outros métodos surgiram, dentre estes os baseados em otimização (Hsia, 1972; El-Attar e Vidyasagar, 1979), com uma publicação recente de (Araújo, 2008). Destaca-se também métodos que utilizam algoritmos genéticos (AGs) para minimizar uma determinada função de erro entre o modelo original e o reduzido (Parmar, Prasad e Mukherjee, 2007; Satakshi, Mukherjee e Mittal, 2005). Neste trabalho é usado o mesmo método proposto em (Araújo, 2008), mas com o uso de um (AG) para se determinar os parâmetros do modelo reduzido. A metodologia será aplicada em exemplos que demonstrarão o mérito da abordagem. 2 edução de Ordem via Otimização 2. 1 O problema de redução de ordem Seja a função de transferência da equação 1. b( s) b s + b s b s + b G ( s) = = a( s) s + a s a s + a m m m 1 n n 1 1 n 1 n m (1) A ordem de (1) é dada pelo grau da maior potência de a(s), ou seja, n. eduzir a ordem deste modelo consiste em obter outra função de transferência, cuja ordem seja menor que n, mas que apresente aproximadamente as mesmas características dinâmicas do modelo original. 2.2 edução de Ordem Baseada na Minimização da Norma dos Coeficientes Polinomiais do Erro. Este método, (Araújo, 2008), consiste basicamente em obter os parâmetros do modelo reduzido através da minimização de uma função custo obtida da seguinte forma. 1) Especifica-se inicialmente a estrutura e a ordem do modelo reduzido, representado pela função de transferência G (s). 2) Obtém-se a função de transferência do erro entre o modelo original e o modelo reduzido, equação (2). p(s) e q(s) são o numerador e o denominador da função de transferência do erro, respectivamente. p ( s ) e ( s ) = G ( s ) G ( s ) = (2) q ( s ) 3) Determina-se a norma dos coeficientes do polinômio p(s), que é a função f a ser minimizada. ISSN: Vol. X 456

2 Este trabalho propõe obter os parâmetros do modelo reduzido por meio da minimização da função f através de um AG. A seção a seguir descreve resumidamente a teoria dos algoritmos genéticos (AGs), e o que foi implementado para este trabalho. 3 Algoritmos Genéticos Os AGs são uma técnica de busca do ramo da computação evolucionária cujo funcionamento é baseado no processo biológico de evolução natural (Linden, 2006). Podem ser usados principalmente para otimização global de funções multimodais. 3.1 Características de um AG e seus Componentes. A principal característica de um AG como método de busca é que não ficam retidos ao encontrar máximos ou mínimos locais, pois não tem dependência forte aos valores iniciais. Um AG nem sempre localiza a solução ótima, mas sim boas soluções a cada execução e não necessariamente a mesma todas as vezes (Linden, 2006). Como método de busca baseado na evolução natural, necessita de componentes que representem as várias partes que formam o processo de evolução, tais como população de indivíduos, genes, operadores genéticos, seleção natural dentre outros. Estes componentes serão descritos nas seções 3.3, 3.4, 3.5 e Funcionamento de um AG. esumidamente, os AGs funcionam da seguinte forma: uma população de indivíduos é criada. Para cada um dos indivíduos é feita uma avaliação destes como solução para o problema em questão. Em seguida, são selecionados os melhores candidatos a solução através de algum método que simule o processo de seleção natural. Posteriormente, os candidatos selecionados são submetidos aos operadores genéticos, tais como recombinação e mutação. Estes operadores e também o método de seleção natural serão descritos nas seções 3.5 e 3.6. Após a ação dos operadores genéticos, uma nova população é gerada e cada novo indivíduo é novamente avaliado. Caso haja, na nova população, um indivíduo que seja considerado uma boa solução, o processo pára, senão é repetido até que uma boa solução seja obtida. Todo o processo descrito anteriormente simula a evolução natural dos indivíduos criados. As seções a seguir descrevem as partes que constituem um AG. 3.3 Módulo de População. O módulo de população é responsável pela criação de indivíduos candidatos a solução do problema. Por analogia ao processo de evolução natural, no AG cada indivíduo é um cromossomo e para que a população de cromossomos possa ser criada necessita-se de uma representação destes, de forma que possam ser tratados pelo computador. Neste trabalho será usada a representação binária, onde cada cromossomo é uma seqüência de bits. Por analogia com as partes fundamentais que compõe um cromossomo biológico, cada bit é chamado de gene. A figura 1 representa um cromossomo e seus genes. Figura 1: epresentação de um Cromossomo e seus Genes Na representação binária, é necessário definir dois itens: 1) Faixa de operação das variáveis; 2) A precisão desejada; Se a faixa de operação pertence ao intervalo [inf i, sup i ], onde inf i e sup i representam o limite inferior e superior do intervalo, respectivamente, e os cromossomos são formados por k bits, a precisão é definida pela equação (3). P = sup i inf i k 2 1 (3) Usa-se a equação (4) para converter os cromossomos na representação binária para o número real correspondente dentro da faixa de operação. N = in f + P r reali i i (4) Onde r i é o número inteiro correspondente ao número binário. Existem outras representações, porém a binária ainda é muito usada, mesmo quando há outras que podem se mostrar mais adequadas para a resolução do problema em questão (Linden, 2006). Optou-se pelo uso da representação binária pela simplicidade e facilidade de aplicação dos operadores genéticos. Para o trabalho em questão, a população foi gerada através de um script em Matlab (MathWorks, 2007; Chapman, 2006) chamado gerapopulacao. 3.4 Módulo de Avaliação. O módulo de avaliação contem a função de avaliação. Ele retorna um valor numérico que indica quão boa é a solução representada por determinado indivíduo. O módulo de avaliação deve conter todo o conhecimento sobre o problema a ser resolvido, tanto suas restrições quanto seus objetivos. No trabalho em questão, a função de avaliação é a função que contém as normas quadráticas dos coeficientes do numerador da função de transferência do erro. Para implementar o módulo de avaliação, foi desenvolvida uma função em Matlab que tem como entrada os indivíduos gerados no módulo de popula- ISSN: Vol. X 457

3 ção, o tamanho da população e a quantidade de genes. A função converte os valores binários para seus respectivos valores decimais e, em seguida, para os valores em real dentro da faixa de operação. Após, efetua o cálculo da avaliação de cada indivíduo de acordo com a função de avaliação utilizada. A função Matlab que calcula as avaliações foi chamada de calculavaliacao. 3.5 Módulo de Seleção de Pais. Este módulo simula o mecanismo de seleção natural que atua sobre as espécies no processo de evolução. Ele consiste basicamente em selecionar indivíduos mais fortes (com alto valor de avaliação), mas sem desprezar completamente os mais fracos (com valor de avaliação muito baixo), isso porque indivíduos fracos também podem apresentar características que sejam favoráveis à criação de outro indivíduo que seja uma boa solução, características estas que podem não estar presentes em indivíduos fortes. Um método que apresenta os requisitos anteriormente mencionados é o método da roleta viciada, que consiste em criar uma roleta virtual, na qual cada indivíduo recebe um pedaço proporcional ao seu valor de avaliação. A roleta é rodada virtualmente e o indivíduo sobre o qual ela parar será o selecionado. Para o trabalho em questão, o método da roleta foi implementado através de uma função em Matlab chamada seleciona. 3.6 Operadores de Crossover e Mutação. Na evolução das espécies, estas são capazes de se reproduzir. Existem dois tipos de reprodução, a sexuada e a assexuada. Na reprodução sexuada, os pais transmitem aos filhos suas características. Cada progenitor fornece parte do material genético para que o novo indivíduo seja formado. Esse processo se inicia com a duplicação dos cromossomos, que depois realizam uma operação denominada crossover. Na operação de crossover, um pedaço de cada cromossomo é trocado com seu par. Nos AG essa operação ocorre analogamente. Depois de selecionados dois pais no módulo de seleção, um ponto de corte é escolhido aleatoriamente. Um ponto de corte é um ponto de separação entre dois genes e para k genes existem (k-1) pontos de corte. Depois de selecionado o ponto de corte, os pais são separados em duas partes: um à esquerda do ponto de corte e outro à direita. O primeiro filho é composto através da concatenação da parte esquerda do primeiro pai com a parte direita do segundo pai. O segundo filho é composto através da concatenação da parte esquerda do segundo pai com a parte direita do primeiro pai. A figura 2 ilustra a operação de crossover. No processo de reprodução podem ocorrer alterações nos genes devido a diversos fatores. Nos AGs essa operação também ocorre da seguinte forma: um numero entre 0 e 1 é sorteado. Se este número for menor que uma probabilidade predeterminada (que para este trabalho foi de 1%) então o operador de mutação entra em ação alterando o valor do gene. A figura 3 ilustra o processo de mutação. Figura 3: Operação de Crossover com Mutação. Para o trabalho em questão foi desenvolvida uma função em Matlab chamada crossover que recebe os indivíduos selecionados, faz a operação de crossover/mutação e gera a nova população de filhos. 3.7 Algoritmo Genético Completo. A figura 4 apresenta um script Matlab que contém o algoritmo genético completo desenvolvido para os problemas propostos nesse trabalho e funciona da seguinte forma: 1) Inicialize a população de cromossomos a- través do script gerapopulacao ; 2) Enquanto o valor máximo da função de avaliação for menor que um valor predeterminado, execute o AG; 3) Calcule o valor da avaliação de todos os indivíduos da população através da função calculaavaliacao ; 4) Selecione os pais através da função seleciona ; 5) Aplique a operação de crossover e mutação por meio da função crossover aos pais selecionados para que uma nova população seja gerada; 6) Crie a nova população e, caso o critério de parada não seja satisfeito, repita o processo; 7) Se o critério de parada foi satisfeito, então pare o processo; 8) Fim. Figura 4: Script Matlab para o AG. Figura 2: Operação de Crossover ISSN: Vol. X 458

4 4 esultados Obtidos 4.1 Exemplo 1: Validação do AG Desenvolvido. O primeiro passo em busca de resultados foi validar o AG desenvolvido através da verificação de seu correto funcionamento. Para isso, o AG foi usado para calcular os parâmetros a e b do modelo reduzido de (5), retirado de (Araújo, 2008). G ( s ) = 4s + 28s + 68s s + 8s + 24s + 32s + 15 (5) 1 G ( s) = ( s + 0, 99)( s + 1)( s + 1,1) (9) (Araújo, 2008) obtém um modelo reduzido de 2ª. ordem de fase não mínima. O AG foi usado para que se obtivesse um modelo reduzido de 2ª. ordem, mas de fase mínima. Para tanto, procedeu-se da seguinte forma: 1) Supôs-se um modelo reduzido de segunda ordem dado por (10) (5) apresenta um cancelamento perfeito de pólos e zeros, o que resulta na função de transferência reduzida dada por (6). G ( s ) = cs + d + + (10) 2 s a s b G ( s ) = Procedeu-se conforme segue: 4 s + 1 (6) 1) Da mesma forma que (Araújo, 2008), supõe-se uma função de transferência reduzida dada por (7). ( ) b G s = s + a (7) 2) Calculou-se a função de transferência do erro. 3) Foi obtida a norma quadrática dos coeficientes do numerador da função de transferência do erro, cujo resultado é (8). f ( a, b) = (4 b) + (28 + 4a 8 b) + ( a 24 b) ( a b ) + (6 0 a 1 5 b ) (8) (8) será a função a ser minimizada no AG. O AG foi executado com os parâmetros discriminados na tabela 1, que também apresenta os valores de a e b: Tabela 1: Parâmetros e Valores Calculados pelo AG para o Ex. 1 Exec. População Genes Espaço de Busca a e b 1ª [-10,10] 1,0002 e ª [-20,20] e Na primeira execução, o AG desenvolvido calculou os valores praticamente exatos das variáveis a e b, o que o torna confiável como ferramenta para otimização de funções. 4.2 Exemplo 2: Sistema de Ordem 3. Este exemplo trata de um sistema de terceira ordem, com função de transferência (9) (Araújo, 2008). 2) Como nos passos 1, 2 e 3 do exemplo 1, obteve-se a função a ser minimizada. 3) Foi incluída a restrição para que o modelo reduzido gerado seja de fase mínima. 4) Incluiu-se a restrição y( )=y ( ). A restrição para a geração de modelos de fase mínima foi incluída no AG através do espaço de busca de soluções, restringido somente a números positivos. Dado um polinômio (11) a condição necessária para que todas as raízes tenham parte real negativa é que todos os coeficientes a i sejam positivos (Ogata, 1970). m m 1 a 0 s a1 s... a m (11) Essa restrição também implica que os modelos gerados serão estáveis. De acordo com critério de estabilidade de outh-hurwitz (Dorf, 2001), o requisito para que um sistema de segunda ordem seja estável é que todos os coeficientes do polinômio característico da função de transferência sejam positivos. A restrição y( ) = y ( ) iguala os valores em regime permanente de ambos os modelos através do teorema do valor final (Dorf, 2001). A tabela 2 apresenta os valores das variáveis calculadas pelo AG. Tabela 2: Valores Calculados pelo AG para o Exemplo 2 Exec. População Genes Esp. Busca a, b, c e d. 1ª [0,5] a=0,8813 b=0,3059 c=0,0020 d=0,2809 2ª [0,5] a=0,9322 b=0,3177 c=1,526x10-4 d=0,2917 As figuras 5 e 6 apresentam as respostas ao degrau e em freqüência, respectivamente, dos sistemas original e reduzido com a=0,9322, b=0,3177, c=1,526x10-4 e d=0,2917. ISSN: Vol. X 459

5 Figura 5: esposta ao Degrau para o Exemplo 2. Figura 7: esposta ao Degrau para o Exemplo 3. Figura 6: esposta em Frequência para o Exemplo Exemplo 3: Sistema de Ordem 4. Nesse exemplo (Araújo, 2008), o modelo a ser reduzido é dado por (12). Figura 8: esposta em Frequência para o Exemplo Exemplo 4: Sistema de Ordem 5. Este exemplo foi obtido em (Penna, 1990). Trata-se de um modelo de quinta ordem dado por (13). G ( s ) = s + s + s + 4 s s s s (12) Supôs-se uma função de transferência reduzida com a mesma estrutura de (10). O melhor resultado obtido consta na tabela 3. Tabela 3: Valores Calculados pelo AG para o Exemplo 3 População Genes Espaço a, b, c e d de Busca [0,5] a=2,5812 b=1,6248 c=0,7936 d=1,6333 G( s) = 4 0,0217 s + 0,7968 s + 3,5762 s + 1,9614 s+ 0, ,884 6,129 5,282 3,56 1 x s + s + s + s + s+ (13) Como em (Penna, 1990), foi obtido um modelo reduzido de ordem 3 para (13). A estrutura do modelo reduzido de ordem 3 é (14). Seguindo-se a metodologia proposta e com a adição da restrição y( )=y ( ), foi obtido o modelo reduzido (15) e conforme a Tabela 4. G ( s) = 2 es + cs + d s as bs k (14) Para este exemplo, o modelo reduzido com os parâmetros calculados no AG apresentou desempenho superior ao modelo obtido em (Araújo, 2008). As figuras 7 e 8 apresentam as resposta ao degrau e em frequência, respectivamente, do modelo original, do reduzido pelo método de (Araújo, 2008) e do reduzido através do AG. G ( s ) = 2 0, 6587 s + 0, 3286 s + 0,1914 s s s + 0, , ,1976 (15) ISSN: Vol. X 460

6 Tabela 4: Valores Calculados pelo AG para o Exemplo 4 População Genes Espaço a, b, c, d, e,k de Busca [0,2] a=0,8838 b=0,6470 c=0,3286 d=0,1914 e=0,6587 k=0,1976 As figuras 9 e 10 comparam as respostas ao degrau e em freqüência. Figura 9: esposta ao Degrau para o Exemplo 4. Figura 10: esposta em Frequencia para o Exemplo 4. 5 Conclusão Neste trabalho foi apresentado um método de redução de ordem de sistemas, onde o erro entre o modelo reduzido e o modelo não reduzido é minimizado usando-se algoritmo genético. Os exemplos apresentados mostram excelente comparação nas curvas de resposta ao degrau nos modelos reduzido e não reduzido, de modo que este método mostra-se viável para este tipo de aplicação. Agradecimentos Agradecemos ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Pará. eferências Bibliográficas Aguirre, L. A. (1995). Exact Pole etention in Least Square Padé eduction of SISO Systems. SBA Controle e Automação, Vol.6, No. 2, pp Aguirre, L. A. (2007). Introdução à Identificação de Sistemas: Técnicas lineares e não-lineares aplicadas a sistemas reais. Editora da UFMG, 3ª. Ed.. Araújo, J. M. (2008). edução de Ordem no Domínio da Frequência Baseada na Minimização da Norma dos Coeficientes Polinomiais do Erro. evista Controle e Automação, Vol.19, No. 3, pp Benner, P.; Mehrmann, V. and Sorensen, D. C. (2005). Dimension eduction of Large-Scale Systems. Springer, Berlin. Chapman, S. J. (2006). Programação em MATLAB para Engenheiros. Thomson Learning, São Paulo. Dorf,. C; Bishop,. H (2001). Sistemas de Controle Modernos. LTC, io de Janeiro. El-Attar,. A. and Vidyasagar, M., (1978). Order eduction by l 1 and l, norm minimization. IEEE Transaction on Automatic Control, Vol. 23, No. 04, pp Hsia, T.C. (1972). On the simplification of linear systems. IEEE Transaction on Automatic Control, Vol. 17, No. 04, pp Linden,. (2006). Algoritmos Genéticos. Brasport, io de Janeiro. MathWorks, T. (2007). MATLAB Programmimg. The MathWorks, Inc. Ogata, K. (1970). Engenharia de Controle Moderno. Prentice Hall do Brasil, io de Janeiro. Pena,. T; Aguirre, L. A.; Mendes, E. M. A. M. (1990). A four Fuel Drum Boiler Combustion Control System Study and edesign, IEEE 29 th Conference on Decision and Control, Hawaii, Parmar, G.; Prasad,.; Mukherjee, S. (2007). Order eduction of Linear Dynamic Systems using Stability Equation Method and Genetic Algorithm, International Journal of Computer, Information and Systems Science, Satakshi; Mukherjee, S.; Mittal,. C. (2005). Order eduction of Linear Discrete Systems Using Genetic Algorithm, Applied Mathematical Modelling, Elsevier, ISSN: Vol. X 461