Análise de Conteúdos de Geometria Analítica em Livros Didáticos de Ensino Médio

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1 Análise de Conteúdos de Geometria Analítica em Livros Didáticos de Ensino Médio Karen Tibursky Alves Ventura 1 GD3 Educação Matemática no Ensino Médio Este trabalho visa investigar se os livros didáticos de Matemática podem auxiliar o professor no que se refere aos subsídios ao trabalho em sala de aula e à complementação do suporte teórico do conteúdo a ser abordado com a classe. O tema escolhido para este estudo é a Geometria Analítica. A pesquisa é bibliográfica e documental. Foram avaliadas, à luz dos documentos oficiais que regulamentam o ensino brasileiro, as duas coleções de livros didáticos de Ensino Médio mais vendidas no Brasil por meio do Programa Nacional do Livro Didático, realizado pelo Ministério da Educação. Neste momento da pesquisa, foi feita uma análise prévia, a ser detalhada, das tarefas, técnicas e discurso teórico-metodológico tendo por base a Teoria Antropológica do Didático, proposta por Chevallard. Neste primeiro momento, observou-se que as obras têm distribuição de conteúdos similar, mas que apresentam, entre si, variação de propostas de trabalho em sala de aula, interdisciplinaridade e contextualização. Palavras-chave: Matemática. Educação Matemática. Geometria Analítica. Livro didático. 1. Introdução Este trabalho vem sendo desenvolvido dentro do grupo de pesquisa de Processo de Ensino e Aprendizagem em Matemática seguindo a linha de pesquisa A Matemática na estrutura curricular e formação de professores. Ao longo da história do livro didático no Brasil, este material tem se mostrado como fundamental no apoio ao professor ao preparar sua aula (ROCKWELL apud SILVA, 2010). E as obras didáticas têm-se tornado cada vez mais sofisticadas a fim de atender aos rígidos padrões de qualidade impostos pelos editais do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). O livro didático é a base do currículo de muitas escolas, e seu sumário é, via de regra, utilizado para escolha dos conteúdos que serão ensinados (BRASIL, 2006). A relação do professor com o livro didático é muito particular, mas o instrumento em si pode ser aperfeiçoado de forma a permitir que o professor se aproprie deste material e o customize para seu uso em sala de aula, embora entenda-se que o livro didático não deva ser o único material didático a ser utilizado. 1 Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, karentibursky@uol.com.br, orientador: Saddo Ag Almouloud.

2 A base escolhida para a pesquisa são dois livros aprovados, de diferentes editoras de alcance nacional, pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), uma vez que essas obras devem atender a um apurado critério de seleção e serem aprovadas em um processo de avaliação realizado por pesquisadores do Ensino de Matemática coordenados por equipes de universidades federais e que envolvem pesquisadores de ensino de Matemática de diversas instituições, públicas e privadas. O tema deste trabalho é a abordagem dos conteúdos de Geometria Analítica nos livros didáticos. Pretende-se verificar, qualitativamente, se as duas coleções de livros didáticos de Matemática mais vendidas no PNLD 2012, que juntas atendem a aproximadamente 40% dos alunos de escolas optantes pelo PNLD, segundo dados do FNDE 2 (Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação), oferecem condições para os professores trabalharem os conteúdos de Geometria Analítica de Ensino Médio, por meio de seus textos e tarefas, fornecendo subsídios para o incremento dessas aulas, e para servir como formador do professor no que se refere às questões conceituais e procedimentais em sala de aula. Nesse contexto, a análise das obras está voltada a como estão organizados e distribuídos esses conteúdos, quais os subsídios oferecidos ao professor para o trabalho em sala de aula, os tipos de tarefas, segundo a Teoria Antropológica do Didático de Chevallard, e a contribuição desses livros no processo de formação continuada do professor de Matemática. O interesse por este tema justifica-se pela dificuldade latente que se percebe haver no trabalho dos professores em relação aos conteúdos de Geometria. O tema Geometria foi escolhido como recorte para este estudo porque é o bloco de conteúdos em que se percebe maior deficiência na formação de professores (ALMOULOUD, 2002) e de dificuldades dos alunos em testes oficiais tais como o Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb), realizado pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep), e do Exame Nacional do Ensino Médio, realizado pelo Ministério da Educação. Esses resultados poderão ser úteis aos profissionais do livro didático, autores e editores, assim como aos professores, que podem identificar a relevância dessas obras em sua 2 Órgão vinculado ao Ministério da Educação, responsável pela negociação e aquisição dos livros aprovados no PNLD. Os dados utilizados são de 2012, ano de adoção de novas obras de Ensino Médio. Os valores de aquisição de 2013 referem-se apenas à reposição e reserva técnica. Disponível em: < Acesso em: 12 set

3 prática e buscar fazer escolhas de obras e materiais didáticos que as complementem e atendam a suas necessidades. A metodologia utilizada é a análise bibliográfica e documental e os resultados são apresentados de forma qualitativa. 2. O PNLD O PNLD é um programa, organizado pelo governo federal brasileiro, que visa distribuir material didático às escolas públicas de todo o país. Para cada ciclo do ensino básico, a saber, Ensino Fundamental I, Ensino Fundamental II e Ensino Médio, é realizado um processo de chamada pública por edital, inscrição de obras e avaliação a cada três anos. A avaliação feita pelas equipes acadêmicas contratadas pelo MEC é regida pelos documentos oficiais que regulamentam a educação brasileira, tais como a Lei de Diretrizes e Bases (LDB), os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (OCEM), além da observância de parâmetros de qualidade, coerência metodológica e correção conceitual específicos de cada componente curricular. Resenhas das obras aprovadas, elaboradas pelos pareceristas, são publicadas pelo Ministério da Educação (MEC) no Guia do Livro Didático e podem ser escolhidas pelas escolas da rede pública, participantes do programa, para serem utilizadas pelo período de três anos. A negociação e compra dos livros junto às editoras e a distribuição dessas obras fica a cargo do FNDE, e estados e municípios os recebem sem custo. 3. Livro didático e PNLD Com a implantação dos programas governamentais de compra e distribuição de livros no Brasil, as editoras e autores têm se profissionalizado a fim de obter aprovação nas avaliações realizadas pelo MEC, o que representa a possibilidade de participar do PNLD, que movimentou, no ano de 2012, mais de 1,1 bilhão de reais 3 em obras didáticas para o ensino básico. Para atender à nova demanda, as coleções didáticas passaram por muitas mudanças e as editoras tiveram de recorrer a profissionais especializados nas áreas de cada componente curricular a fim de dar ao autor o suporte necessário para a criação de material que possa atender a tantas e tão variadas exigências. 3 Fonte: FNDE. Disponível em: < Acesso em: 10 set

4 Essa especialização trouxe ganhos significativos às obras didáticas que têm se tornado mais eficientes como material de apoio à prática didática, no entanto, em alguns casos, ainda sem mudanças significativas no critério de seleção e organização de conteúdos (MELLO, 2005). Quanto às obras efetivamente aprovadas, o Guia de livros didáticos PNLD 2012, publicação por meio da qual os professores, coordenadores e diretores de escolas públicas de todo o país fazem a escolha da obra que será adotada em cada escola, em sua explanação geral sobre o processo de avaliação, reproduz os critérios de avaliação expostos no respectivo edital e os traduz nos seguintes requisitos que devem ser obrigatoriamente cumpridos pelos livros: 1. Incluir todos os campos da Matemática escolar, a saber, números e operações, funções, equações algébricas, geometria analítica, geometria, estatística e probabilidades. 2. Privilegiar a exploração dos conceitos matemáticos e de sua utilidade para resolver problemas. 3. Apresentar os conceitos com encadeamento lógico, evitando: recorrer a conceitos ainda não definidos para introduzir outro conceito, utilizar-se de definições circulares, confundir tese com hipótese em demonstrações matemáticas, entre outros. 4. Propiciar o desenvolvimento, pelo aluno, de competências cognitivas básicas, como: observação, compreensão, argumentação, organização, análise, síntese, comunicação de ideias matemáticas, memorização. (BRASIL, 2011, p.17) Caso esses requisitos não sejam cumpridos, a obra estaria automaticamente eliminada do PNLD. A partir do exposto, pode-se imaginar que todos os livros aprovados no PNLD necessariamente atendem a essas diretrizes, no entanto, a experiência na leitura dessas obras demonstra que nem sempre isso ocorre de forma completa. Na descrição das obras apresenta no Guia de livros didáticos PNLD 2012, observa-se que o próprio texto dos pareceristas alerta para eventuais distorções na distribuição dos conteúdos e inadequações em seu desenvolvimento. O PNLD é um processo, conforme Batista (2002), e atingir os altos padrões pensados para esta política pública pode ser encarado como um ir mais além a cada fase deste processo, ou seja, a cada avaliação. Isso, em parte, explica porque obras aprovadas em um PNLD muitas vezes não o são posteriormente. 4. Sobre o ensino de Geometria Na grande maioria das escolas brasileiras, o livro didático é ferramenta relevante no trabalho do professor, oferecendo conhecimentos e estratégias que facilitam o trabalho em

5 sala de aula. De fato, em face da própria política que sustenta o PNLD, percebe-se a busca do livro ideal, que possa servir de referência curricular e contribuição à formação do professor (LOPES, 2006). Em muitos casos, é a única, ou uma das poucas, fonte de informação ao que o professor tem acesso para elaboração de seu plano pedagógico. Em suas orientações específicas, o edital para inscrição de livros didáticos para o PNLD de Ensino Médio especifica, entre diversos outros quesitos, que o livro de Matemática deve: estabelecer relações entre os conhecimentos nos campos da aritmética, álgebra, geometria, grandezas e medidas, combinatória, estatística e probabilidade, para resolver problemas, passando de um desses quadros para outro, a fim de enriquecer a interpretação do problema, encarando-o sob vários pontos de vista. (BRASIL, 2011, pp.33-34) Existem diversos estudos sobre o abandono do ensino de Geometria à época do que ficou conhecido como Movimento da Matemática Moderna (MMM). Segundo Silva (2006), o movimento buscava privilegiar uma formação matemática com enfoque naquilo que os alunos tinham condições de compreender. Ainda para Silva (2006), dessa forma, o ensino de Geometria, que era muito axiomático, tanto no nível ginasial quanto no secundário, teve em um primeiro momento sua prática prejudicada, uma vez que o MMM orientava os professores sobre uma nova maneira de ensinar, mas não sobre novos assuntos. Sendo assim, e tendo os professores liberdade de escolher que temas trabalhariam com seus alunos, percebe-se uma dificuldade de se colocar o tema Geometria dentro dessa nova perspectiva de ensino da Matemática. Almouloud, Manrique e Silva (2002) apontam que os professores possuem formação precária em Geometria e os cursos de formação inicial e continuada são insuficientes para que se atendam os objetivos em relação à Geometria. No caso da Geometria Analítica, o Guia do Livro Didático destaca sua importância como uma conexão entre a Geometria e a Álgebra, tratando-a como um campo específico e que deve contemplar: retas, circunferências e cônicas no plano cartesiano; vetores; e transformações geométricas (BRASIL, 2011). Essa questão também é levantada pelas OCEM: O trabalho com a geometria analítica permite a articulação entre geometria e álgebra. Para que essa articulação seja significativa para o aluno, o professor deve trabalhar as duas vias: o entendimento de figuras geométricas, via equações, e o entendimento de equações, via figuras geométricas. (BRASIL, 2006, p.77)

6 Dessa forma, justifica-se a relevância do estudo de como as obras didáticas têm abordado os conteúdos de Geometria Analítica. 5. Aspectos da pesquisa As obras escolhidas para este trabalho são, entre as 7 aprovadas pelo MEC, as duas mais vendidas no PNLD 2012, a saber: Matemática: ciência e aplicações, de Gelson Iezzi et al., Editora Saraiva; Matemática: contexto e aplicações, de Luiz Roberto Dante, Editora Ática. Juntas, essas coleções atendem a aproximadamente 40% dos estudantes de Ensino Médio das escolas optantes pelo PNLD. Ressalta-se que não se trata de uma avaliação que vise a determinar qual a qualidade desses materiais, já atestada pelo próprio PNLD, em termos conceituais, ainda que não absolutos. E, tendo em vista que possuem características distintas entre si que privilegiam um ou outro aspecto do ensino de Matemática, trata-se antes de verificar como as obras se apresentam diante dos referenciais adotados para esta análise e de discutir como precisam ser utilizados, tendo em vista que o protagonismo em sala de aula não deve ser dedicado aos materiais didáticos. Nesta pesquisa, cada obra foi analisada quanto a seu sumário e projeto editorial à luz dos documentos oficiais. Em segundo momento, foi feita a análise das tarefas e sua organização praxeológica tendo por base a Teoria Antropológica do Didático (TAD) de Chevallard (1992 apud ALMOULOUD 2007), que a apresenta como um importante instrumento para a análise de práticas docentes. Nas duas obras, as principais tarefas são: localizar pontos no plano cartesiano; determinar a equação geral de uma reta dados dois pontos e representar graficamente; verificar por quais pontos passa uma reta; representar graficamente retas dada sua equação; associar a representação gráfica à equação da reta; determinar a equação geral de uma reta dado um ponto e sua posição relativa a outra reta dada; determinar a equação geral da reta dada sua representação gráfica; obter ponto de interseção de retas; verificar a posição relativa de duas retas dadas as equações;

7 verificar alinhamento de três pontos. Neste momento da pesquisa, foram submetidos à análise os conteúdos referentes a ponto e reta. As obras avaliadas são coleções compostas por três volumes equivalentes às três séries do Ensino Médio. 6. Matemática: ciência e aplicações, de Gelson Iezzi et al. Das 272 páginas do volume 3, 113 são dedicadas ao estudo de Geometria Analítica (GA). O livro é dividido em 8 capítulos, dos quais quatro apresentam conteúdos de GA. Os capítulos distribuem os conteúdos de GA da seguinte forma: 1. O ponto ; 2. A reta ; 3. A circunferência ; 4. As cônicas. Os demais capítulos do livro são: 5. Números complexos ; 6. Polinômios ; 7. Equações algébricas ou polinomiais ; 8. Estatística. Estão descritos brevemente a seguir os capítulos 1 e 2, que compreendem os seguinte tópicos: O ponto: plano cartesiano; distância entre dois pontos; ponto médio; alinhamento de três pontos; histórico da geometria analítica; A reta: equação geral; formas de equação de uma reta; função afim e equação da reta; paralelismo; perpendicularidade; distância; ângulo; área do triângulo; inequações do 1º. grau; introdução à programação linear. O capítulo 1 inicia-se com um texto sobre a história do surgimento da GA. São citados alguns pensadores, tais como Pierre de Fermat e René Descartes. Na sequência apresenta o plano cartesiano, tendo como premissa que o aluno já o estudou no volume 1 da coleção. Todos os demais conteúdos são apresentados formalmente, seguidos de exemplos e exercícios que possuem como contexto a própria Matemática e com ênfase na aplicação do conteúdo apresentado. Ao final do capítulo, há uma seção denominada Exercícios complementares, que traz atividades com contextos diversos, utilizando cálculo de coordenadas em situações reais. Há também um exercício denominado Desafio que não tem relação com o conteúdo do capítulo e é apresentado pela obra como uma oportunidade de o aluno desenvolver habilidades relacionadas à resolução de problemas. O capítulo 2 inicia-se com um exemplo de reta no plano cartesiano e a forma de encontrar sua equação geral. A seguir, é feita a apresentação formal da equação geral da reta, seguido de exemplos, exercícios resolvidos e exercícios propostos ao aluno. De modo geral, os

8 demais itens do capítulo seguem o mesmo padrão de apresentação de conteúdo seguido de exemplos e/ou exercícios resolvidos e exercícios propostos que não enfatizam a participação do aluno na construção do conhecimento, uma vez que privilegiam a aplicação de fórmulas descritas na parte teórica. O Manual do Professor (MP), suplemento ao final do livro, apresenta duas sugestões de atividade em grupo do tipo situação-problema para este bloco de conteúdo. Os capítulos 1 e 2 apresentam 131 exercícios, além de 41 exemplos e 21 exercícios resolvidos. Quanto às tarefas, são, em geral, do tipo calcule e determine, visando aplicação de fórmulas utilizando a teoria apresentada no texto. A seção Exercícios complementares apresenta questões que mobilizam mais técnicas e relacionam os conteúdos abordados ao longo do capítulo entre si. Um dos exercícios solicita que o aluno, utilizando um triângulo retângulo representado no plano cartesiano, mostre a propriedade da Geometria Plana de que a mediana relativa à hipotenusa tem medida igual à metade da medida da hipotenusa (IEZZI, 2010, p.24). A tarefa em questão é mostrar a propriedade da Geometria Plana. A técnica consiste em utilizar a fórmula da distância entre os pontos do triângulo no plano cartesiano para encontrar a equação que relaciona a medida da hipotenusa a de sua mediana. O discurso teórico-tecnológico envolve: localização de pontos no plano cartesiano, distância entre dois pontos, propriedades do triângulo. A interdisciplinaridade está presente em algumas atividades. Um exemplo é a atividade que relaciona o conteúdo à Física e à Geografia, ao pedir que o estudante calcule, tendo e vista o fuso horário e a velocidade de um avião, a que horas pousará em uma determinada cidade localizada por um par ordenado em um plano cartesiano (IEZZI, 2010, p.25). No MP, na seção Conheça esta coleção, os autores afirmam que a obra visa preparar para o trabalho e desenvolver habilidades e competências, assim como levar o aluno ao exercício da cidadania e à continuação dos estudos, além de contribuir para o trabalho do professor, em que se pese sua autonomia. Um ponto salientado também é a importância da precisão dos conceitos. É evidente a preocupação dos autores quanto à correção conceitual. No entanto, para o conteúdo avaliado, os tópicos são introduzidos de maneira bastante formal e sem convidar o aluno a participar da construção de seu conhecimento. Não há proposta de uso de

9 materiais de desenho geométrico (com exceção da régua) nem de softwares de régua e compasso, que poderiam enriquecer as propostas de trabalho e facilitar a observação da relação entre a álgebra e a geometria pelos alunos. Os capítulos avaliados ofereceram poucas oportunidades para a abordagem de contextos fora da Matemática, exercício da cidadania e interdisciplinaridade. 7. Matemática: contexto e aplicações, de Luiz Roberto Dante Nesta coleção, os conteúdos de GA estão concentrados no volume 3, mas há um texto de 8 páginas de leitura opcional no volume 2, na sequência da apresentação de matrizes e determinantes, sobre vetores. Note-se que, observando os sumários das 7 coleções aprovadas no PNLD, apenas esta faz referência a vetores. Das 264 páginas do volume 3, 88 são dedicadas ao estudo de Geometria Analítica (GA). O livro é dividido em 8 capítulos, sendo que os capítulos 3, 4 e 5 apresentam conteúdos de GA. Os capítulos distribuem os conteúdos da seguinte forma: 1. O Princípio da Indução Finita ; 2. Estatística ; 3. Geometria analítica: ponto e reta ; 4. Geometria analítica: a circunferência ; 5. Geometria analítica: secções cônicas ; 6. Números complexos ; 7. Polinômios e equações algébricas ; 8. Noções intuitivas sobre derivada. A seguir, está descrito o capítulo 3, que compreende os seguintes tópicos: ponto e reta; posições relativas de duas retas; perpendicularidade; ângulo e distância; área de região triangular. O capítulo 3 inicia-se com um texto sobre a história do surgimento da Geometria Analítica. A seguir, é proposta uma atividade com o objetivo de recordar a aplicação da representação de pontos no plano cartesiano (DANTE, 2011, p.49). A partir daí, o conteúdo está dividido em itens intercalados por exemplos e exercícios propostos. Na sequência, o capítulo apresenta 99 exercícios propostos ao aluno e uma seção ao final com 28 exercícios de vestibular. Quanto às tarefas, as do tipo calcule e determine são a maioria, mas apresentam diversidade de procedimentos. O capítulo traz algumas atividades de demonstração. Um exemplo: Demonstre que os comprimentos das diagonais de um retângulo de lados a e b são iguais. (Dica: Estabeleça um sistema de eixos coordenados e trabalhe com os vértices do retângulo.) (DANTE, 2011, p.53).

10 A tarefa em questão é mostrar uma propriedade da Geometria Plana, promovendo conexão dentro da própria Geometria. A técnica consiste em utilizar a fórmula da distância entre os pontos do retângulo em um plano cartesiano e, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos, verifique as diagonais têm mesmo comprimento. O discurso teórico-tecnológico envolve: localização de pontos no plano cartesiano, distância entre dois pontos, propriedades do retângulo. A maioria das atividades do capítulo se dá no contexto da própria Matemática, sem relação com outras áreas de conhecimento. A exceção é a seção intitulada A Matemática e as práticas sociais, ao final do capítulo, cujo tema é reforma agrária e com a qual se pode fazer uma relação com Geografia e História. Trata-se de um texto seguido de problemas matemáticos que utilizam o tema como contexto para a situação apresentada. Na sequência, são propostas pesquisas e discussões em grupo sobre a questão da reforma agrária, mas que não envolvem conceitos matemáticos. Nos demais casos, a interdisciplinaridade está praticamente ausente no trecho analisado da obra. O MP traz algumas sugestões de atividades suplementares para serem utilizadas em avaliações, fixações e revisões. Nota-se o zelo do autor no que diz respeito à correção conceitual. A linguagem é formal e matematicamente correta. No entanto, há poucas oportunidades de relacionar o conteúdo matemático a outros conteúdos e temas fora da Matemática. Também evidencia-se a ausência de proposta de uso de materiais de desenho geométrico e softwares de régua e compasso. 8. Considerações finais Esta pesquisa ainda se encontra em andamento, mas já é possível perceber que há ausências significativas, como no caso do tema vetores, embora seja recomenda do pelas OCEM, na escolha de conteúdos das obras. É desejável, também, que o professor de Matemática aborde com seus alunos o conceito de vetor, tanto do ponto de vista geométrico (coleção dos segmentos orientados de mesmo comprimento, direção e sentido) quanto algébrico (caracterizado pelas suas coordenadas). Em particular, é importante relacionar as operações executadas com as coordenadas (soma, multiplicação por escalar) com seu significado geométrico. A inclusão da noção de vetor nos temas abordados nas aulas de Matemática viria a corrigir a distorção causada pelo fato de que é um tópico matemático importante, mas que está presente no ensino médio somente nas aulas de Física. (BRASIL, 2006, p. 77.)

11 Também se verifica uma tendência ainda bastante forte em se privilegiar, por parte das escolas a adoção de obras mais tradicionais, seja em termos de conteúdo ou de sua abordagem. Além disso, as OCEM também recomendam que se utilizem softwares de régua e compasso virtual no ensino de Geometria No que se refere a esta primeira parte da pesquisa, observa-se que as duas obras analisadas possuem sumários bastante semelhantes, que privilegiam uma visão ainda propedêutica no Ensino Médio como preparação para o vestibular. Quanto à História da Matemática, para os conteúdos escolhidos, as duas obras possuem abordagem similar, descrevendo os fatos e nomeando os envolvidos, mas sem detalhar quais problemas motivaram a criação da Geometria Analítica, ou até mesmo, simular o problema histórico. O MP, nos dois casos, embora bastante rico em textos para leitura do professor sobre o ensino de Matemática, traz poucos comentários específicos sobre o ensino de Geometria Analítica. O uso de situações-problema em geral é feito depois que os conhecimentos já foram institucionalizados. As obras analisadas possuem diversas qualidades em sua estrutura geral e na apresentação do conteúdo de forma correta, o que pode contribuir como subsídio teórico ao professor, embora possam necessitar de complementação e/ou adequação por parte do professor que as utiliza.

12 Referências ALMOULOUD, S. A. Fundamentos da Didática da Matemática. Curitiba: UFPR, ; MANRIQUE, A. L.; SILVA, M. J. F. Conceitos geométricos e formação de professores do ensino fundamental. Anais da 25ª. Reunião da ANPEd, Artigo disponível em: < Acesso em: 30 abr BATISTA, A. A. G. Recomendações para uma política pública de livros didáticos. Brasília: MEC/SEF, BRASIL. Edital de convocação para inscrição no processo de avaliação e seleção de coleções didáticas para o Programa Nacional do Livro Didático PNLD Brasília: MEC/FNDE/SEB, Guia de livros didáticos PNLD 2012: Matemática. Brasília: MEC/SEB, Orientações Curriculares para o Ensino Médio. Brasília: MEC/SEB, v. 2. DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, v. 3. IEZZI, G. et al. Matemática: ciência e aplicações. 6.ed. São Paulo: Saraiva, v. 3. LOPES, A. C. Discursos nas políticas de currículo. Currículo sem fronteiras, v. 6, n. 2, pp , jul./dez Disponível em: < Acesso em: 11 mar MELLO, J. C. D. Os livros didáticos nas políticas curriculares para o ensino médio. In: 28ª Reunião Anual da ANPEd, 2005, Caxambu. 40 Anos da Pós-Graduação no Brasil. Rio de Janeiro: Vozes, p SILVA, M. C. L.; OLIVEIRA, M. C. A. O ensino de Geometria durante o Movimento da Matemática Moderna (MMM) no Brasil: análise do arquivo pessoal de Sylvio Nepomuceno. Artigo apresentado no VI Congresso Luso-Brasileiro de História da Educação, PUC-SP. Disponível em: < pdf>. Acesso em: 9 jul