Unidade Curricular Matemática para Computação Prof. Angelo Gonçalves da Luz Lógica Formal

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1 Unidade Curricular Matemática para Computação Prof. Angelo Gonçalves da Luz Lógica Formal Leitura obrigatória: GERSTING, J. A. Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação, 4. ed. Rio de Janeiro. LTC, Capítulo 1. Integrantes: 1. Para cada argumento válido a seguir, justifique cada passo de sua prova (sequencia de demonstração) com o nome das regras de inferências e equivalências usadas. a. Argumento válido: (A B ) ^ B A V C Sequencia de demonstração (Prova) : 1. A B hip 2. B hip 3. A 1,2 mt 4. A V C 3 ad b. Argumento válido: (A B) ^ A ^ (B V C) C Sequencia de demonstração (Prova): 1. A B hip 2. A hip 3. B V C hip 4. B 1,2 mp 5. C 3,4 sd c. Argumento válido: (B V C ) ^ (A ^ C D) ^ (A V C B ^ C) (D ^ E) Sequencia de demonstração (Prova): 1. B V C hip 2. A ^ C D hip 3. A V C B ^ C hip 4. (B ^ C) 1 De Morgan 5. (A V C ) 3,4 mt 6. A ^ C 5 De Morgan 7. D 3,6 mp 8. D V E 7 ad 9. (D ^ E) 8 De Morgan d. Argumento válido: (A V B ) ^ (A C) (B C) Sequencia de demonstração (Prova): 1. A V B hip 2. A C hip 3. B hip 4. A 1,3 sd 5. C 2,4 mp Use a tabela 1 com as principais equivalências e regras de inferência para resolver os exercícios 2 e 3. Note que algumas novas inferências foram inseridas, embora não sejam necessárias, podem facilitar a validação. 2. Usando regras de inferências e equivalências prove a validade dos seguintes argumentos: a. (A B) ^ B A b. A (A B) 1. A B hip 2. B hip 3. A 1,2 mt 1. A hip 2. A hip 3. A V B 2 ad 4 B 1,3 sd c. (P Q) ^ (P Q) Q (P -> Q) ^ (P' -> Q) -> Q

2 1.P -> Q hip 2. P' -> Q hip 3. Q' -> P' 1 contraposicao 4. Q' -> Q 3,2 sh 5. Q v Q 4 cond 6.Q 5 idempotência d. (A ^ C B ) ^ A ^ C B 1. (A ^ C ) B Hip 2. A Hip 3. C Hip 4. A ^ C 2,3 conj 5. B 4,1 mt e. (P Q) ^ (R Q ) (R P ) 1. P Q Hip 2. R Q Hip 3. R Hip 4. Q 2,3 mp 5. P 1,4 mt f. (P Q ^ R) ^ P ^ (T Q ) ^ (T V S) S 1. P Q ^ R Hip 2. P Hip 3. T Q Hip 4. T V S Hip 5. Q ^ R 1,2 mp 6. Q 5 simp 7. T 3,6 mt 8. T S 4 Cond 9. S 7,8 Mp g. (A ^ B) ^ (C ^ A) ^ (C ^ B ) A 1. (A ^ B) Hip 2. (C ^ A) Hip 3. (C ^ B ) Hip 4. A v B 1 De Morgan 5. C v A 2 De Morgan 6. C v B 3 De Morgan 7. A B 4 cond 8. C A 5 cond 9. C B 6 cond 10. A C 8 contraposição 11. B C 9 contraposição 12. B A 4,8 sd 13. A A 7,12 sh 14. A v A 13 cond 15. A 14 idempotência h. (R Q) ^ T ^ (S Q ) (T V S R) 1. r q Hip 2. t Hip 3. s q Hip 4. t v s Hip 5. s 4,2 sd 6. q 3,5 mp 7. r Modus Tollens 1,6 i. (A V J G) ^ (J G ^ H ) ^ (J V B) (A B) 1. a v j g hip 2. j g ^ h hip 3. j v b hip 4. a hip 5. a v j 4 ad 6. g 1,5 mp 7. g v h 6 ad 8. (g ^ h ) 7 De Morgan 9. j 2,8 mt 10. b 3,9 sd 3. Usando regras de inferência e equivalências prove a validade dos seguintes argumentos: a. Se o anuncio for bom, o volume de vendas aumentará. Ou o anúncio é bom ou a loja vai fechar. O volume de vendas não vai aumentar. Portanto, a loja vai fechar. A: anúncio for bom. V: volume de vendas aumentará. L: loja vai fechar. (A V) (A L) V L 1. A V hip 2. A L hip 3. V hip 4. A 1,3 mt 5. L 2,4 sd b. Se Jane é a mais popular, ela será eleita. Se Jane é a mais popular, então Carlos vai renunciar. Portanto, se

3 Jane é a mais popular, ela será eleita e Carlos renunciará. J: Jane é a mais popular. E: Ela será eleita. C: Carlos vai renunciar. (J E) (J C) (J (E C)) 1. J E Hip 2. J C Hip 3.. J hip 4. C 2,3 mp 5. E 1,3 mp 6. E C 4,5 conj c. A colheita é boa mas não há água suficiente. Se houver muita chuva ou se não houver muito sol então haverá água suficiente. Portanto a colheita é boa e há muito sol. C: A colheita é boa. A: Há água suficiente. V: Há muita chuva. S: Há muito sol. (C A ) [(V S ) A] (C S) 1. C A Hip 2. (V S ) A Hip 3. A 1 simp 4. (V S ) 2,3 mt 5. V S 4 De Morgan 6. C 1 simp 7. S 5 simp 8. C S 6,7 conj d. Estudar Álgebra é condição suficiente para que eu fique inteligente. Ou eu estudo Álgebra ou eu descanso. Se eu descanso então não estudo para Lógica Matemática. Mas se eu ficar inteligente então serei aprovado em Lógica Matemática. Portanto se eu estudar Lógica Matemática eu terei média suficiente para ser aprovado em Lógica Matemática. E: Estudar Álgebra. I: Ficar inteligente. D: Descansar. L: Estudar para Lógica Matemática. A: Aprovado em Lógica Matemática. (E I) (E D) (D L ) (I A) (L A) 1. E I Hip 2. E D Hip 3. D L Hip 4. I A Hip 5. L Hip 6. D 3,5 mt 7. E 2,6 sd 8. I 1,7 mp 9. A 4,8 mp e. Se Maria disse a verdade, João mentiu e Carlos também mentiu. Se Carlos mentiu, Regina falou a verdade. Se Regina falou a verdade, então Lógica Matemática é difícil. Ora, Lógica Matemática não é difícil. Logo, podemos concluir que Maria mentiu e Regina também mentiu. M: Maria diz a verdade. J: João mentiu. C: Carlos Mentiu. R: Regina fala verdade. L: Lógica Matemática é difícil. (M (J C)) (C R) (R L) L (M R ) 1. M (J C) hip 2. C R hip 3. R L hip 4. L hip 5. R 3,4 mt 6. C 2,5 mt 7. C J 6 ad 8. J C 7 com 9. (J C) 8 De Morgan 10. M 1,9 mt 11. M R 5,10 conj f. Não é verdade dizer que: ou Marcelo é sábio ou não é inteligente. Marcelo é sábio ou gosta de Matemática. Se ele é inteligente então é belo. Se gosta de Matemática e é belo então ele é feliz e belo. Portanto Marcelo é belo e feliz. S: Marcelo é sábio. I: Marcelo é inteligente. M: Marcelo gosta de matemática. B: Marcelo é belo. F: Marcelo é feliz. (S I ) (S M) (I B) ((M B) (F B)) (B F) 1. (S I ) hip 2. S M hip 3. I B hip 4. (M B) (F B) hip 5. S I 1 de Morgan 6. S 5 simp 7. M 2,6 sd 8. I 5 simp 9. B 3,8 mp 10. M B 7,9 conj 11. F B 4,10 mp

4 12. B F 11 com 10. N 3,9 sd g. A condição necessária para eu ir a aula amanhã é eu acordar cedo amanhã. Se eu for a festa hoje à noite eu ficarei lá até tarde. Se eu ficar até tarde na festa e acordar cedo amanhã eu sou forçado a dormir apenas 5 horas. Eu simplesmente não posso dormir somente 5 horas. Por isso eu tenho que perder a aula de amanhã ou deixar de ir a festa hoje. A: Acordar cedo amanhã. I: Ir a aula. F: For a festa hoje a noite. T: Ficar até tarde na festa. D: Dormir apenas 5 horas. (I A) (F T) ((T A) D) D (I F ) 1. I A hip 2. F T hip 3. (T A) D hip 4. D hip 5. (T A) 3,4 mt 6. T A 5 de Morgan 7. T A 6 cond 8. F A 2,7 sh 9. A F 8 Contraposição 10. I F 1,9 sh 11. I F 10 cond h. Se o aluno estuda ou não faz perguntas nas aulas, então ele obterá uma boa aprendizagem. Se ele não faz perguntas nas aulas então ele não tem uma boa aprendizagem e também é considerado um aluno apático. Sabe-se que ou ele tira uma boa nota ou não faz perguntas na aula. Portanto se o aluno estuda então ele tira uma boa nota. E: Aluno estuda. P: Fazer perguntas nas aulas. B: Obter boa aprendizagem. A: Aluno apático. N: Aluno tira nota boa. ((E P ) B) (P (B A)) (N P ) (E N) 1. (E P ) B hip 2. P (B A) hip 3. N P hip 4. E hip 5. E P 4 ad 6. B 1,5 mp 7. B A 6 ad 8. (B A) 7 De Morgan 9. P 2,8 mt i. Ou Suely e Bento possuem a mesma idade ou Suely é mais velha do que Bento. Se Suely e Bento tem a mesma idade então Norma e Bento não tem a mesma idade. Se Suely é mais velha do que Bento então Bento é mais velho do que Walter. Portanto, ou Norma e Bento não tem a mesma idade ou Bento é mais velho que Walter. Resposta: S: Sueli e Bento tem mesma idade. V: Sueli é mais velha que Bento. N: Norma e Bento tem mesma idade. B: Bento é mais velho do que Walter. (S V) (S N ) (V B) (N B) 1. S V hip 2. S N hip 3. V B hip 4. S V 1 cond 5. S B 4,3 sh 6. B S 5 Contraposição 7. B N 6,2 sh 8. B N 7 Contraposição 9. N B 8 Com j. A Rússia era uma potência superior e ou a França não era suficientemente poderosa, ou Napoleão cometeu um erro. Napoleão não cometeu um erro, mas, se o exército não perdeu, então a França era poderosa. Portanto, o exército perdeu e a Rússia era uma potência superior. R: Rússia era uma potência superior. F: França era suficientemente poderosa. N: Napoleão cometeu um erro. E: O exército perdeu. [R (F N)] N (E F) (E R) 1. R (F N) hip 2. N hip 3. E F hip 4. R 1 simp 5. F N 1 simp 7. F 2,5 sd 8. E 3,7 mt 9. E R 8,4 conj k. Não é verdade que: se as tarifas de energia elétrica subirem, então o uso diminuirá, nem é verdade que: novas usinas elétricas serão construídas ou as contas

5 não serão pagas com atraso. Portanto o uso não vai diminuir e as contas serão pagas com atraso. T: Tarifas de energia elétrica subirem. U: Uso diminuirá. E: Novas usinas elétricas serão construídas. C: As contas serão pagas com atraso. (T U) (E C ) (U C) 1. (T U) hip 2. (E C ) hip 3. (T U) 1 cond 4. T U 3 De Morgan 5. U 4 simp 6. E C 2 De Morgan 7. C 6 simp 8. U C conj 5,7 1. C F hip 2. F J hip 3. O J hip 4. O (F M) hip 5. M hip 6. O (F M) 4 cond 7.(O F) (O M) 6 dist 8. O M 7 simp 9. O 5,8 sd 10. J 3,9 mp 11. F 2,10 sd 12. C 1,11 mt l. Se José levou as jóias ou Sr. Krasov mentiu, então foi cometido um crime. O Sr. Krasov estava na cidade. Se um crime foi cometido, então Sr. Krasov não estava na cidade. Portanto José não levou as jóias. J: José levou as jóias. M: Sr. Krasov mentiu. C: Foi cometido um crime. K: Sr. Krasov estava na cidade. [(J M) C] K (C K ) J 1. (J M) C hip 2. K hip 3. C K hip 4. C 2,3 mt 5. (J M) 1,4 mt 6. J M 5 De Morgan 7. J 6 simp m. Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou a faca não estava na gaveta ou Jason viu a faca. Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro então Jason não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores, meu cliente é inocente. C: Cliente culpado. F: Faca estaria na gaveta. J: Jason viu a faca. O: A faca estava lá no dia 10 de Outubro. M: O martelo estava no celeiro. (C F) (F J) (O J ) [O (F M)] M C

6 (A B) A B (A B) B A (A V B) A B (A B) (B C)_ (A C) A A V B A B A A B A B Tabela 1. Regras de apoio Inferências Equivalências Nome/Abreviação Expressão Equivalente a Nome/Abreviação modus ponens mp P V Q Q V P P Λ Q Q Λ P Comutatividade / com modus tollens mt silogismo disjuntivo sd silogismo hipotético- sh Adição ad Simplificação simp (P V Q) V R (P Λ Q) Λ R (P V Q) (P Λ Q) P V (Q V R) P Λ (Q Λ R) P Λ Q P V Q Associatividade / ass Leis de De Morgan / De Morgan P Q P V Q Condicional / cond P P Dupla negação / dn P v P P idempotência / idem conjunção - conj P v (Q ^ R) (P V Q) Λ (P V Q) Distributividade/ dist (B C) (C B ) Contraposição / cp