ESTUDO COMPARATIVO DE MODELOS EM SISTEMAS ESPECIALISTAS ATRAVÉS DE LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM

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1 Anais do 13 O Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA XIII ENCITA / 2007 Instituto Tecnológico de Aeronáutica São José dos Campos SP Brasil Outubro 01 a ESTUDO COMPARATIVO DE MODELOS EM SISTEMAS ESPECIALISTAS ATRAVÉS DE LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM Fleuri Domingues Barreto Arruda ITA Instituto Tecnológico de Aeronáutica H8-C 317 Pç. Marechal Eduardo Gomes n 50 Campus do CTA São José dos Campos SP Bolsista PIBIC-CNPq fleurid@gmail.com Paulo Marcelo Tasinaffo ITA Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Ciência da Computação Pç. Marechal Eduardo Gomes n 50 Campus do CTA São José dos Campos SP tasinafo@ita.br Vakulathil Abdurahiman ITA Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Ciência da Computação Pç. Marechal Eduardo Gomes n 50 Campus do CTA São José dos Campos SP Resumo: O principal objetivo desse trabalho é mostrar as aplicações em lógica de primeira ordem na construção de um sistema especialista. A construção do sistema especialista se dá através da utilização do PROLOG como linguagem de programação. São abordados tópicos relacionados à coloração de grafos não orientados uma vez que a modelagem utilizada exige tal procedimento. Por fim serão realizadas análises dos resultados obtidos junto de comparações em relação ao grau de dificuldade e gasto de tempo para que a obtenção dos mesmos se concretizasse caso não fossem utilizados os métodos computacionais abordados por esse projeto. Palavras-chave: linguagem Prolog coloração de mapas lógica de primeira ordem. 1. Introdução A lógica teve suas origens na filosofia e na matemática dos antigos gregos quando após a morte de Aristóteles em 322 a.c. seus alunos reuniram suas principais anotações em um tratado denominado Organon. Modernamente podese analisar os silogismos de Aristóteles como regras de inferência e estes silogismos já incluíam elementos de lógica proposicional e de predicados. Ainda nesta época ocorreram outras contribuições de grandes filósofos e conjuntamente pode-se descrevê-los através de Aristóteles (fundador da escola Aristotélica) Euclides (fundador da escola Megárica) e Zenon (fundador da escola dos Estóicos). A diferença básica entre essas três escolas [1] é que a primeira era predominantemente definida através da lógica de classes ou de predicados e as duas últimas pela lógica de preposições. Após os Estóicos inicia-se um período obscuro no desenvolvimento da lógica de proposições e até meados do século dezenove pode-se citar apenas alguns autores como Boécio ( d.c.) Petrus Hispanus e Leibniz ( ). Entretanto a lógica moderna foi impulsionada a partir de 1847 quando George Boole ( ) introduziu o primeiro sistema completo e funcional de lógica formal em seu livro The Mathematical Analysis of Logic e logo após em 1854 com seu clássico Investigations of the Laws of Thought. É devido a George Boole o famoso princípio da nãocontradição ou seja nenhum objeto pode ter duas propriedades contraditórias ou a notação booleana: 1 verdadeiro e 0 falso. Logo em seguida Gottlob Frege ( ) publica em 1879 o livro intitulado Escrita de Conceitos que relata a primeira exposição completa da lógica moderna proposicional e de primeira ordem que distingue claramente as premissas das regras de inferência e o surgimento dos quantificadores. O matemático italiano Giuseppe Peano ( ) elabora uma notação matemática mais simples que a de Frege criando assim a anotação atual para a lógica de primeira ordem [4] em Bertrand Russel ( ) e A. N. WhiteHead ( ) publicam The Principia Mathematica três volumes de 1910 a 1913 dando surgimento aos paradoxos dentro da própria lógica. Além disso B. Russel introduz em 1902 o símbolo de igualdade dentro da lógica de predicados com os princípios da identidade e da substituibilidade. Alfred Tarski em 1935 através da teoria de conjuntos dá uma definição explícita de verdade e de satisfação em lógica de primeira ordem. No final do século XX vê-se a utilização da lógica de predicados ou de primeira ordem na construção e elaboração de compiladores originando os primeiros sistemas especialistas em Inteligência Artificial através da descoberta de algoritmos automáticos de inferência [2] e [3]. Os principais deles são: algoritmo de encadeamento pra frente ou de encadeamento para trás em cláusulas de Horn e o algoritmo da Resolução Completa [2]. Este último podendo ser definido brevemente como uma generalização e sistematização do método de redução ao absurdo proposto ainda por Zenon na Grécia Antiga. Desta forma Alfred Horn em 1951 introduziu a forma de Horn nas sentenças de primeira ordem e J.A. Robinson em 1965 introduziu a regra de Resolução Completa e uma prova de sua completeza mostrando assim como

2 realizar o raciocínio de primeira ordem sem recorrer às técnicas proposicionais [2]. Em 1971 Stephen Cook mostrou que a definição de satisfabilidade de uma sentença em lógica proposicional é NP-Completa. Para uma aplicação interessante da lógica de primeira ordem considere o problema que consiste na coloração dos estados do mapa do Brasil observando-se o fato de que estados adjacentes não podem ter a mesma cor. Para a solução deste problema deve-se tentar encontrar as soluções que utilizem o menor número possível de cores. A questão da coloração de mapas com número limitado de cores deu origem a vários trabalhos matemáticos [5] [6] [7] [8] e [9] que versavam sobre a possibilidade de se pintar um mapa qualquer se utilizando apenas quatro cores dando origem ao Teorema das Quatro Cores. Tal problema foi proposto por Francis Guthrie em 1852 ao seu irmão que era um estudante universitário de matemática em Cambridge. Várias tentativas surgiram na tentativa de se demonstrar tal teorema entretanto a solução que se mostrou verdadeiramente correta foi apresentada por Appel-Haken em Essa demonstração só foi possível através da utilização de métodos computacionais uma vez que esse processo gera grafos classificados em mais de 1400 configurações que em seguida foram testadas por um algoritmo de cerca de 740 páginas. Uma versão mais concisa dessa demonstração foi apresentada em 1997 entretanto ainda necessitava de um potente computador para realização. Mesmo que a primeira solução tenha sido apresentada na década de 70 não houve até hoje uma prova realmente sucinta da demonstração desse teorema. Desta forma podemos partir do princípio de que o banco de cores possíveis para coloração do mapa do Brasil não precisa ter mais de quatro possibilidades a não ser que haja a intenção de se determinar o número de possibilidades de se pintar certo mapa a partir de um conjunto de cores dado. Entretanto para mapas nos quais o número de áreas a serem coloridas é relativamente elevado a geração de todas as possibilidades torna-se consideravelmente dispendiosa. A exemplo do Brasil considerando-se 26 estados e 4 cores 15 disponíveis para coloração o número estimado de possibilidades é da ordem de 10 tornando completamente inviável a geração de todos esses resultados. 2. Desenvolvimento do projeto Uma cláusula de Horn é definida como um conjunto de disjunção (conectivo ou) de literais dos quais no máximo um é positivo. Exemplo: α β γ é uma cláusula de Horn enquanto α β γ não é. Através das regras de inferência de conversão do cálculo proposicional [1] o condicional ( α β ) γ tem forma equivalente a ( α β ) γ ou ( α β γ ) ou seja ele também está na forma de cláusulas definidas de Horn. Assim dentro do cálculo proposicional pode-se definir o encadeamento para frente como uma aplicação sistemática de α α β α α β Modus Ponens ou seja a regra de inferência do tipo pode ser convertida na forma. Neste sentido pode-se dizer que o encadeamento para frente é consistente ou seja toda inferência é em essência uma aplicação de Modus Ponens. O encadeamento para frente também é completo no sentido de que toda sentença atômica permitida será derivada. O encadeamento para frente em lógica de primeira ordem já permite a utilização dos quantificadores xϕ ( x) e xϕ ( x) que significam respectivamente para todo x ϕ ( x) e existe pelo menos um x tal que ϕ ( x). Neste caso tem-se a aplicação sistemática da regra de inferência Modus Ponens Generalizado. Em particular esta regra afirma que: ' ' ' ' p1 p2 p3... pn ( p1 p2... pn q) (1) Subst( θ q) ' onde Subst( θ p i ) = Subst( θ p i ) para todo i. O exemplo a seguir exemplifica a utilização de Modus Ponens Generalizado [1]: β 1 y REI ( y) PODEROSO( y) H 2 x REI( x) GULOSO( x) PERVERSO( x) H 3 y REI ( y) H 4 z GULOSO( z) H 5 PERVERSO( João ) e 4 (MPG) θ = { x / João y / João z / João} β

3 Nesse processo as linhas e 4 são as hipóteses de uma Base de Conhecimento (BC) e portanto as premissas das quais PERVERSO(João) pode ser inferido a partir da aplicação das regras de inferência 1 e o conjunto θ de substituição de variáveis denomina-se processo de unificação fundamental em todos os algoritmos automáticos em inferência de primeira ordem. O processo de inferência anterior pode ser representado pela árvore de busca representada na Fig. 1. Figura 1. Esquema Gráfico para representação da regra de inferência Modus Ponens Generalizado. A linguagem PROLOG consiste basicamente na aplicação sistemática dos algoritmos de encadeamento para frente e encadeamento para trás num sistema híbrido de inferências sobre cláusulas de Horn que permitem manipular Bases de Conhecimento formuladas a partir da observação de fatos do mundo real transformadas num processo de inferência em lógica de primeira ordem. Tais linguagens denominam-se Sistemas Especialistas [2] e [3] e atualmente muitos compiladores trabalham desta forma e podem ser obtidos gratuitamente na Internet tais como o SWI- PROLOG e o JESS para Java. Para o modelamento do problema de colorir mapas utilizou-se a divisão política dos estados do território brasileiro mostrada na Fig.2. Figura 2. Divisão dos estados do território brasileiro. Utilizando-se desse mapa montou-se o grafo não orientado mostrado na Fig. 3 que será base para a construção do código do sistema especialista. Figura 3. Grafo representativo das adjacências entre os estados.

4 A partir desse ponto a implementação em linguagem PROLOG pode ser iniciada. Inicialmente foi implemento o código que gera todas as possibilidades de se pintar os estados utilizando-se quatro cores. Esse código que abrange todos os estados simultaneamente está representado na Fig.4. Figura 4. Programa em PROLOG para coloração do mapa do Brasil. Como era de se esperar a execução desse programa não gerou resultados já que o número de possibilidades de coloração é realmente muito grande. Uma possível maneira para a determinação de pelo menos uma solução para o problema se baseia na divisão do mapa do Brasil em macro-regiões. As macro-regiões geradas foram denominadas: nordeste norte/centro-oeste e sul/sudeste. Cada uma dessas regiões contendo menos estados do que o mapa do Brasil como um todo permitiu a geração de soluções partindo do seguinte princípio: gera-se uma solução para determinada região e em seguida adapta-se as outras regiões à solução inicialmente obtida. Sendo assim tomando-se a região nordeste como ponto de partida construiu-se o seguinte programa em PROLOG mostrado na Fig.5: Figura 5. Programa em PROLOG para coloração da região Nordeste. Desta forma a solução encontrada considerando-se essas restrições iniciais é mostrada na Fig. 6: Figura 6. Solução gerada pelo programa para a região Nordeste.

5 Ilustrando a solução encontrada tem-se: Figura 7. Coloração da região Nordeste. O próximo passo foi gerar soluções para as macro-regiões norte/centro-oeste e sul/sudeste considerando-se as restrições adicionais devido à coloração da região nordeste. Para isso criou-se o programa responsável por colorir a macro-região sul/sudeste levando-se em consideração a cor do estado da BA. Figura 8. Programa em PROLOG para coloração da macro-região Sul/Sudeste. A solução gerada pelo programa é dada por: Figura 9. Solução gerada pelo programa para a macro-região Sul/Sudeste. Figura 10. Coloração da macro-região Sul/Sudeste

6 Por fim utilizando-se das cores já determinadas para as regiões acima mencionadas basta criar o programa para coloração da macro-região norte/centro-oeste considerando-se tais restrições adicionais. Sendo assim tem-se: Figura 11. Programa em PROLOG para coloração da macro-região Norte/Centro. As Fig.12 e Fig.13 mostram respectivamente a solução gerada e o mapa já colorido. Figura 12. Solução gerada pelo programa para a macro-região Norte/Centro. Figura 13. Coloração da macro-região Norte/Centro. Pôde-se notar durante a execução dos três programas que no terceiro caso o tempo para que a resposta fosse gerada foi de alguns segundos uma vez que o número de estados é relativamente grande e o número de restrições também é maior se comparado com as outras duas regiões. Para as duas primeiras não se observa tempo considerável para geração dos resultados. Desta forma o mapa do Brasil completo é dado por:

7 Figura 14. Solução 1 - Mapa do Brasil completamente colorido. Utilizando-se do mesmo raciocínio mais soluções podem ser geradas: Figura 15. Soluções 2 e 3 - Mapa do Brasil completamente colorido. Para os casos em que o número de cores não era suficiente para se obter a coloração do mapa o programa exibia a seguinte informação: Figura 16. Caso em que não existe solução A exibição do No indica que não é possível gerar pintar( ) de tal forma que todos as restrições de cores e adjacências sejam satisfeitas. 3. Conclusões O projeto como um todo versou sobre o tema da coloração de superfícies divididas em um certo número de regiões de tal forma que regiões adjacentes não apresentassem a mesma coloração. Sendo assim o Teorema das 4 cores deve de ser elucidado uma vez que aborda o limite inferior do número de cores necessárias para se pintar uma

8 disposição de figuras adjacentes que se encontram num determinado plano. Para a coloração das regiões abordadas nesse trabalho o teorema pôde ser verificado uma vez que as hipóteses do mesmo estão sendo respeitadas. Em relação à intenção inicial do trabalho nota-se que houve algumas alterações pois se almejava uma solução direta para o problema da coloração isto é inicialmente não seria necessário realizar a divisão do mapa em macroregiões entretanto tal processo faz-se necessário já que o número de possibilidades a serem geradas e a quantidade de restrições que o programa deve obedecer acaba por tornar inviável sua execução. Desta forma a estratégia de divisão do problema inicial em outros menores possibilitou a geração de soluções entretanto houve o ônus adicional de se restringir as cores das macro-regiões adjacentes devido à coloração da macroregião escolhida a priori. Logo vê-se que a utilização do PROLOG como ferramenta para a resolução desse problema mostra-se extremamente útil uma vez que a lógica de primeira ordem permite a obtenção de resultados importantes através de programas de implementação computacional relativamente simples. Tais resultados foram obtidos de maneira consideravelmente rápida se comparados ao tempo necessário para se obter manualmente através de tentativa e erro. A velocidade de processamento dos computadores auxilia na geração de inferências acerca do problema proposto e que respeitem as condições inicialmente impostas. 4. Agradecimentos Agradeço ao CNPq e ao Prof. Paulo Marcelo Tasinaffo pelo apoio dado na elaboração deste projeto. Gostaria de agradecer também a participação do professor Vakulathil Abdurahiman em memória que iniciou esta orientação. 5. Referências Bibliográficas [1] Hegenberg L. Lógica Cálculo Sentencial. 2ª Ed. São Paulo: E.P.U. Editora Pedagógica e Universitária [2] Russel S. ; Norvig P. Inteligência Artificial. Rio de Janeiro: Elsevier [3] Araribóbia G. Inteligência Artificial: um Curso Prático. Rio de Janeiro: livros técnicos e científicos Editora Ltda [4] Smullyan R. M. First-Order Logic. New York: Dover Publications Inc [5] Four Color Theorem. Wikipedia the free encyclopedia. Disponível em < Acesso em Julho de [6] Grupo Teorema de Matemática. Disponível em < Acesso em Julho de [7] Instituto Politécnico de Viseu. Disponível em < Acesso em Julho de [8] Programa de Engenharia de Sistema e Computação Universidade Federal do Rio de Janeiro. Disponível em: < Acesso em Julho de 2007 Propriedades_Sintaticas.doc>. [9] Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico de Lisboa. Disponível em: < Acesso em Julho de 2007