Relações entre tableaux para formalizar a noção de poucos em ambiente proposicional e de primeira ordem

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1 Relações entre tableaux para formalizar a noção de poucos em ambiente proposicional e de primeira ordem Luiz Henrique C. Silvestrini, Ana Cláudia de J. Golzio Depto de Matemática, FC, UNESP , Bauru, SP silvestrini@fc.unesp.br; anaclaudiagolzio@yahoo.com.br Resumo: Feitosa, Nascimento e Grácio (2009) no artigo intitulado Algebraic elements for the notions of many introduziram uma lógica proposicional para muitos, que é uma lógica proposicional com um operador modal para formalizar a noção de muitos no campo proposicional. A partir deste trabalho, Golzio em [4] apresenta uma lógica proposicional que formaliza a noção de poucos. Embora exista uma dualidade entre muitos e poucos, a abordagem do termo poucos se estabelece como uma adaptação não dual à abordagem feita em [1] para o termo muitos. Por outro lado, Oliveira em [7] estabelece uma lógica quantificacional para formalizar a noção de poucos, desta vez baseada em uma lógica quasemodulada. Neste trabalho apresentamos dois sistemas de tableaux originados a partir das lógicas de Golzio e de Oliveira para a noção de poucos. Em seguida, explicitamos as relações entre as duas abordagens. Ademais, enfatizamos o método de tableaux como um método dedutivo mais eficiente do que o método hilbertiano usualmente utilizado para a apresentação de sistemas lógicos. Palavras-chave: Sistema de Tableaux, Quantificadores Generalizados, Operador Lógico. Introdução A lógica clássica de primeira ordem é insuficiente para formalizar todas as sentenças da linguagem natural. Mostowski, em seu artigo On a generalization of quantifiers, publicado em 1957, aponta a existência de muitos outros quantificadores que são matematicamente interessantes, mas que não podem ser definidos a partir dos quantificadores de primeira ordem: universal e existencial. Esses quantificadores, não definidos na lógica clássica de primeira ordem, foram denominados por ele de quantificadores generalizados. Sette, Carnielli e Veloso (1999), buscando uma formalização lógica para um tipo específico de quantificador generalizado, apresentaram um sistema lógico monotônico, denominado lógica dos ultrafiltros. O nome desse sistema é devido à composição de sua estrutura semântica: um conjunto universo e um ultrafiltro sobre esse universo. A lógica dos ultrafiltros é uma extensão da lógica de primeira ordem, feita basicamente pelo acréscimo de um quantificador generalizado na linguagem clássica de primeira ordem. Motivada por esse trabalho, Grácio (1999), em sua tese de doutorado, intitulada Lógicas moduladas e raciocínio sob incerteza, introduziu um conjunto de lógicas monotônicas não clássicas, denominadas por ela de lógicas moduladas. Uma lógica modulada em particular, a lógica do muito, introduzida por Grácio (1999), insere um novo quantificador Q na sintaxe da lógica clássica de primeira ordem e essa lógica captura a noção de muitos, por meio de uma estrutura matemática denominada família própria de conjuntos fechados superiormente. Depois de investigar estes elementos que permitem a formalização do conceito de muitos, Feitosa, Nascimento e Grácio em [1] introduzem uma álgebra para muitos e uma lógica proposicional para muitos, que é uma lógica proposicional com um operador modal acrescido na linguagem clássica para formalizar tal noção. A lógica proposicional para muitos de certa maneira captura algumas características do termo muitos da linguagem natural. 517

2 A partir da abordagem para o termo muitos feita em [1], Golzio em [4] apresenta uma lógica proposicional para o termo poucos em um sistema de tableaux. O método dos tableaux é um método dedutivo (cf. [2], [3] e [10]), assim como o método hilbertiano ou axiomático comumente utilizado na apresentação de sistemas lógicos. Em contrapartida, Oliveira em [6] estabelece uma lógica quantificacional para formalizar a noção de poucos, desta vez baseada na lógica do muito, uma lógica quase-modulada introduzida em [5]. Dessa maneira, neste trabalho apresentamos dois sistemas de tableaux originados a partir das lógicas de Golzio e de Oliveira para a noção de poucos. Em seguida, explicitamos as relações entre as duas abordagens. Além disso, enfatizamos o método de tableaux como um método dedutivo mais eficiente do que o método hilbertiano usualmente utilizado para a apresentação de sistemas lógicos. Materiais e Métodos Trata-se de um trabalho teórico e a presente pesquisa possibilita reconhecer o método de tableaux como um método alternativo ao axiomático, dessa maneira, utilizaremos o método das árvores ordenadas diádicas para definir uma sequência de tableau. Objetivo Explicitar as relações entre dois sistemas de tableaux para a formalização da noção de "poucos", sendo um deles desenvolvido em ambiente proposicional e outro em primeira ordem. Esta análise consiste de duas etapas: (i) apresentar as regras de expansão dos tableaux num ambiente proposicional e outro em primeira ordem; e (ii) explorar as vantagens e desvantagens de cada abordagem. Resultados e Discussão A lógica proposicional para poucos em tableaux é estabelecida em [4] pelo acréscimo de um novo operador à linguagem L(,,, ) da lógica proposicional clássica. A lógica proposicional para poucos em um sistema de tableaux (LPP T ), de linguagem L P (,,,, ) é definida por meio do acréscimo das seguintes regras de expansão às regras clássicas: R P1 : R P2 : R P3 : ( ) Só se aplica se e Ao se deparar com uma fórmula do tipo ( ) o tableau deverá aplicar primeiro a regra (R P3 ) e a regra (R ) só deverá ser aplicada na impossibilidade de se aplicar a regra (R P3 ). 518

3 R P4 : (( ) ( )) Só se aplica se ( ) ( ) Intuitivamente, a regra (R P1 ) diz que o fato de uma contradição ter poucas evidências gera uma contradição no sistema de tableaux e a regra (R P2 ) diz que o fato de uma tautologia ter poucas evidências também gera uma contradição no sistema de tableaux, ou seja, nesse sistema uma contradição não tem poucas evidências e uma tautologia também não tem poucas evidências. A regra (R P3 ) diz que se implica, não é uma contradição e se tem poucas evidências, então também tem poucas evidências. Por fim, a regra (R P4 ) serve, apenas para tornar possível a demonstração dos teoremas de correção e completude. A lógica quantificacional para poucos é estabelecida em [7] pelo acréscimo de um novo quantificador na linguagem da lógica clássica de predicados de primeira ordem. A lógica quantificacional para poucos em um sistema de tableaux (TLK) é definida por meio do acréscimo das regras de expansão abaixo às regras clássicas (cf. [9]): Um ramo no sistema TLK é fechado quando ocorre no ramo: (i) λ e λ; (ii) xθ(x) e yθ(x), em que y é livre para x em θ(x). As regras de expansão são todas as regras clássicas, acrescidas de regras para o quantificador, que nos permitem manipular as fórmulas que apresentarem o quantificador poucos. A seguir, apresentamos as regras adicionais: R p [ ] xλ(x), em que a b são constantes novas no ramo. λ(a) λ(b) R p [ ] xθ(x) xλ(x) x(θ(x) ), em que λ θ. R p [ ] xθ(x) xλ(x) λ(c) x(λ(x) θ(x)), em que c é uma constante qualquer. Restrição à regra R p [ ]: aqui temos que λ θ, pois se λ = θ, ao aplicarmos essa regra obteríamos a fórmula x (θ θ), o que contradiz as noções clássicas. Por outro lado, se λ = θ o ramo do tableau fecharia imediatamente. Notamos também que nesse caso, a ordem de λ e θ é irrelevante. Por outro lado, ao observarmos que na regra R p [ ] a ordem de λ e θ é importante, uma vez que o conjunto θ possui poucos indivíduos e o conjunto λ não tem poucos indivíduos, pela regra concluímos que não é o caso em que λ está contido em θ, mas não podemos concluir que não é o caso que θ está contido em λ. As três regras acima foram obtidas por meio dos axiomas da lógica do poucos. Analisando o primeiro axioma (Ax 1 ) em [7], vemos que ao aplicarmos a contra positiva (a partir de λ θ, a contra positiva é θ λ), conseguimos encontrar a forma ( xθ xλ) x (θ λ), 519

4 que suscitou a regra R p [ ]. Considerando os axiomas (Ax 3 ) e o (Ax 4 ) em [7], temos que ambos possuem o mesmo antecedente, ou seja, xλ(x), assim podemos unir as informações desses axiomas em uma única regra, que denotamos por R p [ ]. A regra R p [ ] é similar à regra R p [ ], contudo R p [ ] possui uma condição a mais, que a torna mais restrita, onde a ordem de λ e θ na conclusão é relevante por se tratar de uma implicação. Considerações Finais O tratamento formal do termo poucos pode ser feito em um ambiente proposicional ou quantificacional, e há vantagens e desvantagens nas duas abordagens. O cálculo quantificacional é preferível ao proposicional em termos de linguagem, já que tem maior poder de expressão, podendo, consequentemente, formalizar mais sentenças da linguagem natural. Basta observarmos as consequências nas regras de expansão. Para o ambiente proposicional, temos apenas como fórmula derivada, enquanto que as regras no ambiente quantificacional conseguem derivar ainda informações com grande conteúdo informacional. Por outro lado, o ambiente quantificacional é menos adequado em termos computacionais devido a sua não decidibilidade. A decidibilidade é uma importante propriedade dos sistemas dedutivos. Para que um sistema lógico seja decidível deve existir um algoritmo que permita verificar se uma fórmula qualquer do sistema é ou não um teorema. Em um ambiente proposicional, em geral, há decidibilidade e, desse modo, são computacionalmente mais eficientes, ao passo que os sistemas quantificacionais, em geral, não o são. Além disso, tratar de uma formalização para poucos em nível da linguagem objeto, em contexto proposicional, pode ser interessante, pois torna possível a investigação de elementos presentes na relação entre lógica e álgebra e consequentemente o estudo teórico de propriedades algébricas presentes na semântica da lógica proposicional para o termo poucos. Desse modo, cada ambiente lógico, quantificacional ou proposicional, pode apresentar vantangens ou desvantagens, isso vai depender, intrinsecamente, do objetivo do trabalho. Por exemplo, se o objetivo for formalizar as sentenças de uma linguagem natural e uma discussão mais profunda a respeito de quantificadores, o ambiente quantificacional é a melhor opção, mas se, por outro lado, o objetivo for uma implementação computacional enquanto operador lógico, o ambiente proposicional é o mais indicado, pois muitos problemas da ciência da computação podem ser mais bem tratados através do uso de estruturas algébricas. Referências [1] H. A. Feitosa; M. C. Nascimento; M. C. C. Grácio. Algebraic elements for the notion of 'many'. CLE e-prints (Online), v. 9, p. 1-22, [2] M. C. Fitting, Introduction. In: M. D Agostino; D. V. Gabbay; R. Hahnle; J. Posegga (Eds.). Handbook of Tableaux Methods. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, p. 1-43, [3] G. Gentzen, Untersuchungen über das logische Schlieben. Mathematische Zeitschrift. v [4] A. C. J. Golzio, Elementos algébricos para a noção de poucos e sua formalização em sistemas lógicos dedutivos. Dissertação de Mestrado. FFC-UNESP, Marília, [5] M. C. C. Grácio. Lógicas moduladas e raciocínio sob incerteza. Tese de doutorado 520

5 (Doutorado em Lógica e Filosofia da Ciência), Instituto de Filosofia e Ciências Humanas, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, [6] A. Mostowski, On a generalization of quantifiers. Fundamenta Mathematicae, 44:12-36, [7] K. E. C. S. Oliveira, Uma lógica do poucos. Dissertação de Mestrado. FFC-UNESP, Marília, [8] A. M. Sette; W. A. Carnielli; P. Veloso. An alternative view of default reasoning and its logic. In: HAUESLER, E. H., PEREIRA, L. C. (Eds.) Pratica: Proofs, types and categories. Rio de Janeiro: PUC, p , [9] H. G. da Silva. O método de tableaux aplicado a uma lógica quase-modulada para o quantificador poucos. Monografia. Processo Fapesp n 2012/ (2012). [10] R. M. Smullyan, First-order logic. New York: Springer-Verlag/Dover Publication,